(истински, строго положителен)

Нормална дистрибуция, също наричан Гаусово разпределениеили Гаус - Лаплас- вероятностно разпределение, което в едномерния случай се дава от функцията на плътност на вероятността, съвпадаща с функцията на Гаус:

f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2 , (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi ))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))),)

където параметърът μ е математическото очакване (средна стойност), медианата и модата на разпределението, а параметърът σ е стандартното отклонение ( σ  ² - дисперсия) на разпределението.

По този начин, едномерното нормално разпределение е двупараметърно семейство от разпределения. Многовариантният случай е описан в статията „Многовариантно нормално разпределение“.

стандартно нормално разпределениесе нарича нормално разпределение със средно μ = 0 и стандартно отклонение σ = 1 .

Енциклопедичен YouTube

• 1 / 5

  Важността на нормалното разпределение в много области на науката (например в математическата статистика и статистическата физика) следва от централната гранична теорема на теорията на вероятностите. Ако резултатът от едно наблюдение е сбор от много случайни, слабо взаимозависими променливи, всяка от които има малък принос спрямо общата сума, тогава с увеличаване на броя на членовете разпределението на центрирания и нормализиран резултат клони към нормалното. Този закон на теорията на вероятностите има като следствие широкото разпространение на нормалното разпределение, което е една от причините за името му.

  Имоти

  Моменти

  Ако случайни променливи X 1 (\displaystyle X_(1))И X 2 (\displaystyle X_(2))са независими и имат нормално разпределение с математически очаквания μ 1 (\displaystyle \mu _(1))И μ 2 (\displaystyle \mu _(2))и дисперсии σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))И σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))съответно тогава X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2))също има нормално разпределение с очаквана стойност μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2))и дисперсия σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).)Това означава, че една нормална случайна променлива може да бъде представена като сбор от произволен брой независими нормални случайни променливи.

  Максимална ентропия

  Нормалното разпределение има максимална диференциална ентропия сред всички непрекъснати разпределения, чиято дисперсия не надвишава дадена стойност.

  Моделиране на нормални псевдо-случайни променливи

  Най-простите методи за приблизително моделиране се основават на теоремата за централната граница. А именно, ако добавим няколко независими еднакво разпределени величини с крайна дисперсия, тогава сумата ще бъде разпределена приблизителноГлоба. Например, ако добавите 100 независими стандарта равномерноразпределени случайни променливи, тогава разпределението на сумата ще бъде приблизително нормално.

  За софтуерно генериране на нормално разпределени псевдо-случайни променливи е за предпочитане да се използва трансформацията на "Box" - "Muller". Тя ви позволява да генерирате една нормално разпределена стойност въз основа на една равномерно разпределена.

  Нормално разпространение в природата и приложения

  Нормалното разпределение често се среща в природата. Например следните случайни променливи са добре моделирани от нормалното разпределение:

  • отклонение при стрелба.
  • грешки при измерване (обаче, грешките на някои измервателни уреди имат ненормални разпределения).
  • някои характеристики на живите организми в популацията.

  Това разпределение е толкова широко разпространено, защото е безкрайно делимо непрекъснато разпределение с крайна дисперсия. Следователно някои други се доближават до него в границата, като бином и Поасон. Много недетерминирани физически процеси се моделират от това разпределение.

  Връзка с други дистрибуции

  • Нормалното разпределение е разпределение на Пиърсън тип XI.
  • Съотношението на двойка независими стандартни случайни променливи с нормално разпределение има разпределение на Коши. Тоест, ако случайната променлива X (\displaystyle X)представлява отношението X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Където Y (\displaystyle Y)И Z (\displaystyle Z)са независими стандартни нормални случайни променливи), то ще има разпределение на Коши.
  • Ако z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))са съвместно независими стандартни нормални случайни променливи, т.е. z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), след това случайната променлива x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2))има разпределение хи-квадрат с k степени на свобода.
  • Ако случайната променлива X (\displaystyle X)подлежи на логнормално разпределение, тогава неговият естествен логаритъм има нормално разпределение. Тоест, ако X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Че Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). И обратното, ако Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Че X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ, σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \точно)).
  • Съотношението на квадратите на две стандартни нормални случайни променливи има

  ) играе особено важна роля в теорията на вероятностите и най-често се използва при решаване на практически проблеми. Основната му характеристика е, че това е ограничаващият закон, който се доближава от други закони на разпределение при много общи типични условия. Например сумата от достатъчно голям брой независими (или слабо зависими) случайни променливи приблизително се подчинява на нормалния закон и това е толкова по-точно, колкото повече случайни променливи се сумират.

  Експериментално е доказано, че грешките при измерване, отклоненията в геометричните размери и положението на елементите на строителните конструкции по време на тяхното производство и монтаж, променливостта на физико-механичните характеристики на материалите и натоварванията, действащи върху строителните конструкции, са подчинени на нормалния закон.

  Почти всички случайни променливи се подчиняват на разпределението на Гаус, чието отклонение от средните стойности се дължи на голям набор от случайни фактори, всеки от които поотделно е незначителен (централна гранична теорема).

  нормална дистрибуциянаречено разпределение на случайна непрекъсната променлива, за която плътността на вероятността има формата (фиг. 18.1).

  Ориз. 18.1. Нормален закон за разпределение за 1< a 2 .

  (18.1)

  където a и са параметрите на разпределението.

  Вероятностни характеристики случайна величина, разпределени по нормалния закон, са равни на:

  Математическо очакване (18.2)

  Дисперсия (18.3)

  Стандартно отклонение (18,4)

  Коефициент на асиметрия А = 0(18.5)

  Излишък д= 0. (18.6)

  Параметърът σ, включен в разпределението на Гаус, е равен на средноквадратичното съотношение на случайна променлива. Стойност Аопределя позицията на разпределителния център (виж фиг. 18.1) и стойността А- ширина на разпределение (фиг. 18.2), т.е. статистическо разпространение около средната стойност.

  Ориз. 18.2. Нормален закон на разпределение за σ 1< σ 2 < σ 3

  Вероятността за попадане в даден интервал (от x 1 до x 2) за нормално разпределение, както във всички случаи, се определя от интеграла на вероятностната плътност (18.1), който не се изразява чрез елементарни функции и е представена от специална функция, наречена функция на Лаплас (интеграл на вероятностите).

  Едно от представянията на вероятностния интеграл:

  Стойност ИНаречен квантил.

  Вижда се, че Ф(х) е нечетна функция, т.е. Ф(-х) = -Ф(х) . Стойностите на тази функция се изчисляват и представят под формата на таблици в техническата и учебната литература.

  
  

  Функцията на разпределение на нормалния закон (фиг. 18.3) може да бъде изразена чрез вероятностния интеграл:

  Ориз. 18.2. Функцията на нормалния закон за разпределение.

  Вероятността случайна променлива, разпределена по нормалния закон, да попадне в интервала от Х.към x, се определя от израза:

  трябва да бъде отбелязано че

  Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.

  Когато се решават практически задачи, свързани с разпределението, често трябва да се вземе предвид вероятността за попадане в интервал, който е симетричен по отношение на математическото очакване, ако дължината на този интервал, т.е. ако самият интервал има граница от до , имаме:

  При решаване на практически проблеми границите на отклоненията на случайните променливи се изразяват чрез стандарта, стандартното отклонение, умножено по определен коефициент, който определя границите на зоната на отклонения на случайна променлива.

  Вземайки и използвайки формулата (18.10) и таблицата F (x) (Приложение № 1), получаваме

  Тези формули показватче ако една случайна променлива има нормално разпределение, тогава вероятността тя да се отклони от средната си стойност с не повече от σ е 68,27%, с не повече от 2σ - 95,45%, и с не повече от 3σ - 99,73%.

  Тъй като стойността на 0,9973 е близка до единица, практически се счита за невъзможно нормалното разпределение на случайна променлива да се отклонява от математическото очакване с повече от 3σ. Това правило, което е валидно само за нормално разпределение, се нарича правилото на трите сигми. Вероятно е нарушението му P = 1 - 0,9973 = 0,0027. Това правило се използва при определяне на границите на допустимите отклонения на допустимите отклонения на геометричните характеристики на продуктите и конструкциите.

  Определение 1

  Случайна променлива $X$ има нормално разпределение (разпределение на Гаус), ако плътността на нейното разпределение се определя по формулата:

  \[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)(2(\sigma )^ 2))\]

  Тук $aϵR$ е математическото очакване, а $\sigma >0$ е стандартното отклонение.

  Плътност на нормалното разпределение.

  Нека покажем, че тази функция наистина е плътност на разпределение. За да направите това, проверете следното условие:

  Разгледайте неправилния интеграл $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sigma )e^(\frac(-((x-a)) ^ 2)(2(\sigma )^2))dx)$.

  Нека направим заместването: $\frac(x-a)(\sigma )=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$.

  Тъй като $f\left(t\right)=e^(\frac(-t^2)(2))$ е четна функция, тогава

  Равенството е спазено, така че функцията $\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)( 2 (\sigma )^2))$ наистина е плътността на разпределение на някаква случайна променлива.

  Разгледайте някои от най-простите свойства на функцията за плътност на вероятността на нормалното разпределение $\varphi \left(x\right)$:

  1. Графиката на функцията на плътност на вероятността на нормалното разпределение е симетрична по отношение на правата $x=a$.
  2. Функцията $\varphi \left(x\right)$ достига своя максимум при $x=a$, докато $\varphi \left(a\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma ) e^(\frac(-((a-a))^2)(2(\sigma )^2))=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )$
  3. Функцията $\varphi \left(x\right)$ намалява като $x>a$ и нараства като $x
  4. Функцията $\varphi \left(x\right)$ има инфлексни точки при $x=a+\sigma $ и $x=a-\sigma $.
  5. Функцията $\varphi \left(x\right)$ асимптотично се доближава до оста $Ox$ като $x\to \pm \infty $.
  6. Схематичната графика изглежда така (фиг. 1).

  Фигура 1 1. Диаграма на плътността на нормалното разпределение

  Имайте предвид, че ако $a=0$, тогава графиката на функцията е симетрична по отношение на оста $Oy$. Следователно функцията $\varphi \left(x\right)$ е четна.

  Функция на нормалното разпределение на вероятността.

  За да намерим функцията на разпределение на вероятността за нормално разпределение, използваме следната формула:

  следователно

  Определение 2

  Функцията $F(x)$ се нарича стандартно нормално разпределение, ако $a=0,\ \sigma =1$, тоест:

  Тук $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ е функцията на Лаплас.

  Определение 3

  Функция $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ се нарича вероятностен интеграл.

  Числени характеристики на нормалното разпределение.

  Математическо очакване: $M\left(X\right)=a$.

  Дисперсия: $D\left(X\right)=(\sigma )^2$.

  Средноквадратично разпределение: $\sigma \left(X\right)=\sigma $.

  Пример 1

  Пример за решаване на задача върху концепцията за нормално разпределение.

  Задача 1: Дължината на пътя $X$ е произволна непрекъсната стойност. $X$ се разпределя според нормалния закон за разпределение, чиято средна стойност е $4$ километра, а стандартното отклонение е $100$ метра.

  1. Намерете функцията на плътността на разпределението $X$.
  2. Постройте диаграма на плътността на разпределението.
  3. Намерете функцията на разпределение на случайната променлива $X$.
  4. Намерете дисперсията.
  1. Като начало, нека си представим всички количества в едно измерение: 100m = 0,1km

  От дефиниция 1 получаваме:

  \[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(0,1\sqrt(2\pi ))e^(\frac(-((x-4))^2)(0,02 ))\]

  (тъй като $a=4\ km,\ \sigma =0,1\ km)$

  1. Използвайки свойствата на функцията за плътност на разпределение, имаме, че графиката на функцията $\varphi \left(x\right)$ е симетрична по отношение на правата $x=4$.

  Функцията достига своя максимум в точката $\left(a,\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\right)=(4,\ \frac(1)(0,1\sqrt( 2\pi )))$

  Схематичната графика изглежда така:

  

  Фигура 2.

  1. По дефиниция на функцията на разпределение $F\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\int\limits^x_(-\infty )(e^(\frac( -( (t-a))^2)(2(\sigma )^2))dt)$, имаме:
  \
  1. $D\left(X\right)=(\sigma )^2=0,01$.

  Нормалният закон за разпределение (често наричан закон на Гаус) играе изключително важна роля в теорията на вероятностите и заема специално място сред другите закони за разпределение. Това е най-разпространеният закон за разпределение в практиката. Основната характеристика, която отличава нормалния закон от другите закони, е, че той е ограничаващият закон, към който други закони на разпределение се доближават при много често срещани типични условия.

  Може да се докаже, че сборът от достатъчно голям брой независими (или слабо зависими) случайни променливи, подчинени на произволни закони за разпределение (при определени много свободни ограничения), приблизително се подчинява на нормалния закон и това е вярно, толкова по-точно, колкото по-голямо е броят на случайните променливи се сумира. Повечето от случайните променливи, срещани в практиката, като например грешки при измерване, грешки при снимане и т.н., могат да бъдат представени като сума от много голям брой относително малки членове - елементарни грешки, всяка от които е причинена от действие на отделна причина, която не зависи от другите. Каквито и закони на разпределение да са подчинени на отделни елементарни грешки, характеристиките на тези разпределения в сумата на голям брой термини се изравняват и сумата се оказва подчинена на закон, близък до нормалния. Основното ограничение, наложено на сумираните грешки е, че всички те еднакво играят относително малка роля в общата сума. Ако това условие не е изпълнено и например една от случайните грешки се окаже, че рязко преобладава над всички останали в влиянието си върху сумата, тогава законът за разпределение на тази преобладаваща грешка ще наложи своето влияние върху сумата и определят в основните му характеристики неговия закон на разпределение.

  Теоремите, установяващи нормалния закон като граница за сумата от независими равномерно малки произволни членове, ще бъдат разгледани по-подробно в Глава 13.

  Нормалният закон на разпределение се характеризира с плътност на вероятността от формата:

  Кривата на разпределение по нормалния закон има симетричен хълмист вид (фиг. 6.1.1). Максималната ордината на кривата, равна на , съответства на точката ; докато се отдалечаваме от точката, плътността на разпределението намалява и при кривата асимптотично се доближава до абсцисната ос.

  

  Нека разберем значението на числените параметри и включени в израза на нормалния закон (6.1.1); ще докажем, че стойността не е нищо друго освен математическото очакване, а стойността е стандартното отклонение на стойността. За да направите това, ние изчисляваме основните числени характеристики на количеството - математическото очакване и дисперсията.

  

  Прилагане на промяната на променливата

  Лесно се проверява, че първият от двата интервала във формула (6.1.2) е равен на нула; вторият е добре познатият интеграл на Ойлер-Поасон:

  . (6.1.3)

  следователно

  тези. параметърът е математическото очакване на стойността. Този параметър, особено при задачи за стрелба, често се нарича център на дисперсия (съкратено като c.r.).

  Нека изчислим дисперсията на количеството:

  .

  Прилага отново промяната на променливата

  Интегрирайки по части, получаваме:

  Първият член във къдрави скоби е равен на нула (тъй като кога намалява по-бързо, отколкото която и да е степен нараства), вторият член съгласно формула (6.1.3) е равен на , откъдето

  Следователно параметърът във формула (6.1.1) не е нищо друго освен стандартното отклонение на стойността.

  Нека разберем значението на параметрите и нормалното разпределение. Директно от формула (6.1.1) се вижда, че центърът на симетрия на разпределението е центърът на разсейване. Това става ясно от факта, че когато знакът на разликата е обърнат, изразът (6.1.1) не се променя. Ако промените центъра на дисперсията, кривата на разпределението ще се измести по оста x, без да променя формата си (фиг. 6.1.2). Центърът на разсейване характеризира позицията на разпределението по оста x.

  

  Размерът на центъра на разсейване е същият като размерът на случайната променлива.

  Параметърът характеризира не позицията, а самата форма на кривата на разпределение. Това е дисперсионната характеристика. Най-голямата ордината на кривата на разпределение е обратно пропорционална на ; при нарастване максималната ордината намалява. Тъй като площта на кривата на разпределение трябва винаги да остава равна на единица, тъй като кривата на разпределение се увеличава, тя става по-плоска, простирайки се по оста x; напротив, с намаляване кривата на разпределение се простира нагоре, като едновременно с това се свива отстрани и става по-игловидна. На фиг. 6.1.3 показва три нормални криви (I, II, III) при ; от тях крива I съответства на най-голямата стойност, а крива III на най-малката стойност. Промяната на параметъра е еквивалентна на промяна на мащаба на кривата на разпределение - увеличаване на мащаба по едната ос и същото намаляване по другата.