От всички случайни променливи най-лесно е да се играе (симулира) равномерно разпределена променлива. Да видим как се прави.

Да вземем някакво устройство, на изхода на което с вероятност могат да се появят цифрите 0 или 1; появата на едно или друго число трябва да бъде случайна. Такова устройство може да бъде хвърлена монета, зарове(четно - 0, нечетно - 1) или специален генератор, базиран на преброяване на броя на радиоактивните разпадания или изблици на радио шум за определено време (четно или нечетно).

Нека запишем y като двоична дроб и заменим последователните цифри с числа, генерирани от генератора: например, . Тъй като първата цифра е еднакво вероятно да бъде 0 или 1, това число е еднакво вероятно да лежи в лявата или дясната половина на сегмента. Тъй като 0 и 1 също са еднакво вероятни във втората цифра, числото лежи във всяка половина от тези половини с еднаква вероятност и т. н. Следователно, двоична дроб със случайни цифри наистина приема всякаква стойност в сегмента с еднаква вероятност

Строго погледнато, само краен брой битове k могат да бъдат възпроизведени. Следователно разпространението няма да е напълно необходимо; математическото очакване ще бъде по-малко от 1/2 от стойността (защото стойността е възможна, но стойността е невъзможна). За да не повлияе този фактор, трябва да се вземат многоцифрени числа; Вярно е, че при метода на статистическото тестване точността на отговора обикновено не надвишава 0,1% -103, а условието дава, че на съвременните компютри е преизпълнено с голям марж.

псевдослучайни числа. Реалните генератори на произволни числа не са лишени от системни грешки: асиметрия на монети, дрейф на нулата и т.н. Следователно качеството на произвежданите от тях числа се проверява чрез специални тестове. Най-простият тест е да се изчисли за всяка цифра честотата на поява на нула; ако честотата е забележимо различна от 1/2, тогава има систематична грешка, а ако е твърде близо до 1/2, тогава числата не са случайни - има някакъв модел. По-сложните тестове са изчисляването на коефициентите на корелация на последователни числа

или групи от цифри в число; тези коефициенти трябва да са близки до нула.

Ако някоя последователност от числа удовлетворява тези тестове, тогава тя може да се използва в изчисления по метода на статистическите тестове, без да се интересуваме от нейния произход.

Разработени са алгоритми за конструиране на такива последователности; символично те са записани чрез повтарящи се формули

Такива числа се наричат ​​псевдослучайни и се изчисляват на компютър. Обикновено това е по-удобно от използването на специални генератори. Но всеки алгоритъм има собствено ограничение за броя на членовете на последователността, които могат да се използват в изчисленията; с по-голям брой членове се губи случайният характер на числата, например се открива периодичност.

Първият алгоритъм за получаване на псевдослучайни числа е предложен от Нойман. Нека вземем число от цифри (десетично за определеност) и го повдигнем на квадрат. Оставяме средните числа близо до квадрата, като изхвърляме последното и (или) първото. Отново квадратираме полученото число и т. н. Стойностите се получават чрез умножаване на тези числа по Например, нека зададем и изберем първоначалното число 46; тогава получаваме

Но разпределението на числата на Нойман не е достатъчно равномерно (преобладават стойностите, което ясно се вижда в примера по-горе) и сега те рядко се използват.

Най-често използваният сега е прост и добър алгоритъм, свързан с избора на дробната част на продукта

където A е много голяма константа (къдравата скоба означава дробната част от числото). Качеството на псевдослучайните числа силно зависи от избора на стойността A: това число в двоична система трябва да има достатъчно "случайна" стойност, въпреки че последната му цифра трябва да се приема за единица. Стойността има малък ефект върху качеството на последователността, но е отбелязано, че някои стойности са неуспешни.

С помощта на експерименти и теоретичен анализ са изследвани и препоръчани следните стойности: за БЕСМ-4; за БЕСМ-6. За някои американски компютри тези числа са препоръчителни и са свързани с броя на цифрите в мантисата и реда на числото, така че са различни за всеки тип компютър.

Забележка 1. По принцип формули като (54) могат да дадат много дълги добри последователности, ако са записани в нерекурсивна форма и всички умножения се извършват без закръгляне. Нормалното закръгляване на компютър влошава качеството на псевдослучайните числа, но въпреки това членовете на редицата обикновено са подходящи.

Забележка 2. Качеството на последователността се подобрява, ако в алгоритъма (54) се въведат малки случайни смущения; например след нормализиране на число е полезно да изпратите двоичния ред на числото до последните двоични цифри на неговата мантиса

Строго погледнато, редовността на псевдослучайните числа трябва да бъде незабележима във връзка с необходимото конкретно приложение. Следователно, в прости или добре формулирани проблеми е възможно да се използват последователности от не много добро качество, но това изисква специални проверки.

Произволно разпределение. За да възпроизведете произволна променлива с неравномерно разпределение, можете да използвате формула (52). Играйте y и определете от равенството

Ако интегралът се вземе в крайната му форма и формулата е проста, тогава това е най-удобният начин. За някои важни разпределения - Гаус, Поасон - не се вземат съответните интеграли и са разработени специални начини за разиграване.

ВЪВЕДЕНИЕ

Прието е да се нарича система набор от елементи, между които има връзки от всякакво естество и има функция (предназначение), която нейните съставни елементи нямат. Информационните системи, като правило, са сложни географски разпределени системи с голям брой съставни елементи, които имат обширна мрежова структура.

развитие математически модели, позволяващи да се оценят показателите за ефективност информационни системи, е сложна и отнемаща време задача. За да се определят характеристиките на такива системи, може да се приложи методът симулационно моделиранес последваща обработка на резултатите от експеримента.

Симулационното моделиране е една от централните теми в изучаването на дисциплините "Моделиране на системи" и " Математическо моделиране„Предмет на симулационното моделиране е изследването на сложни процеси и системи, обикновено подложени на влиянието на случайни фактори, чрез провеждане на експерименти с техните симулационни модели.

Същността на метода е проста - "животът" на системата се симулира с многократно повторение на тестове. В този случай се моделират и записват произволно променящи се външни влияния върху системата. За всяка ситуация системните показатели се изчисляват според уравненията на модела. Съществуващите съвременни методи на математическата статистика позволяват да се отговори на въпроса - възможно ли е и с каква увереност да се използват симулационни данни. Ако тези показатели за доверие са достатъчни за нас, можем да използваме модела, за да изследваме тази система.

Можем да говорим за универсалността на симулационното моделиране, тъй като се използва за решаване на теоретични и практически проблеми на анализа на големи системи, включително проблемите с оценката на опциите за структурата на системата, оценката на ефективността на различни алгоритми за управление на системата и оценката на влиянието на промяната на различни параметри на системата върху нейното поведение. Симулационното моделиране може да се използва и като основа за синтеза на големи системи, когато е необходимо да се създаде система със зададени характеристики при определени ограничения, която би била оптимална според избраните критерии.

Симулацията е една от най- ефективни средстваизследване и проектиране на сложни системи, а често и единственият практически прилаган метод за изследване на процеса на тяхното функциониране.

Целта на курсовата работа е да изучава от студентите методите за симулация и методите за обработка на статистически данни на компютър с помощта на приложен софтуер. Ето някои възможни теми курсови работи, което ви позволява да изследвате сложни системи въз основа на симулационни модели.

· Симулационно моделиране в задачи на едномерно или плоско рязане. Сравнение на плана на разкроя с оптималния план, получен чрез методите на линейно целочислено програмиране.

· Транспортни модели и техните разновидности. Сравнение на транспортния план, получен чрез симулационния метод с оптималния план, получен чрез потенциалния метод.

· Приложение на симулационния метод за решаване на оптимизационни задачи върху графики.

· Определяне на производствените обеми като задача на многокритериална оптимизация. Използване на симулационния метод за намиране на достижимото множество и множеството на Парето.

· Метод на симулационно моделиране в задачите на разписанието. Получете съвет как да съставите рационален график.

· Изследване на характеристиките на информационните системи и комуникационните канали като системи за масово обслужване чрез симулация.

· Изграждане на симулационни модели при организиране на заявки в бази данни.

· Приложение на симулационния метод за решаване на проблема за управление на запасите при постоянно, променливо и случайно търсене.

· Изследване на работата на дробилния цех чрез симулационно моделиране.

ЗАДАЧА ЗА КУРСОВА РАБОТА

Техническа система S се състои от три елемента, чиято схема на свързване е показана на фиг.1. Времената на работа X 1 , X 2 , X 3 елементи на системата са непрекъснати случайни променливи с известни закони на разпределение на вероятностите. Външната среда E влияе върху работата на системата под формата на случайна величина V с известно дискретно разпределение на вероятностите.

Необходимо е да се оцени надеждността на системата S чрез компютърна симулация с последваща обработка на експерименталните резултати. По-долу е последователността на работа.

1. Разработване на алгоритми за възпроизвеждане на случайни променливи X 1 , X 2 , X 3 и V с помощта на генератори на произволни числа, съдържащи се в математически пакети, като Microsoft Excel или StatGraphics.

2. Определяне на времето на работа на системата Y в зависимост от времето на работа на елементите X 1 , X 2 , X 3 въз основа на блоковата диаграма на изчислението на надеждността.

3. Определяне на времето за работа на системата, като се вземе предвид влиянието външна средав съответствие с формулата Z=Y/(1+0.1V).

4. Изграждане на алгоритъм за моделиране, който симулира работата на системата S и отчита възможността за повреда на елементи и случайни ефекти на външната среда E. Внедряване на получения алгоритъм на компютър и създаване на файл със стойностите на случайни променливи X 1, X 2, X 3, V, Y и Z. Броят на експериментите за компютърен експеримент се приема равен на 100.

5. Статистическа обработка на получените резултати. За тази цел е необходимо

Разделете данните за случайната променлива Z на 10 групи и формирайте статистическа серия, съдържаща границите и средните точки на частични интервали, съответните честоти, относителни честоти, кумулативни честоти и кумулативни относителни честоти;

За стойността Z изградете многоъгълник и кумулирайте честотата, изградете хистограма на базата на относителна честотна плътност;

За стойностите X 1 , X 2 , X 3 , V да се установи тяхното съответствие с дадените закони на разпределение, като се използва критерият c 2 ;

За случайна променлива Z разгледайте три непрекъснато разпространение(равномерно, нормално, гама), начертайте върху хистограма за Z плътността на тези разпределения;

Използвайки критерия c 2, проверете валидността на хипотезата за съответствието на статистическите данни с избраните разпределения, нивото на значимост при избора на подходящо разпределение се приема равно на 0,05.

6. Запишете функцията на плътността на разпределението на времето за работа Z на системата, определете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайната променлива Z. Определете основните характеристики на надеждността на системата: средното време до отказ T 1 и вероятността за безотказна работа P(t) през времето t. Намерете вероятността системата да не се повреди за време T 1 .

Вариантите на задачите са дадени от Таблица 1 индивидуално за всеки ученик. Обозначенията на случайните величини се съдържат в текста в параграфи 2 и 3. Структурни диаграми за изчисляване на надеждността в съответствие с техните номера са показани на фиг.1.

маса 1

Варианти на задачите

опция	x1	x2	x3	V	Номер на схемата
	LN(1,5;2)	LN(1,5;2)	E(2;0,1)	B(5;0,7)
	U(18;30)	U(18;30)	N(30;5)	G(0,6)
	W(1,5;20)	W(1,5;20)	U(10;20)	P(2)
	Exp(0,1)	Exp(0,1)	W(2;13)	B(4;0,6)
	N(18;2)	N(18;2)	Exp (0,05)	G(0,7)
	E(3;0,2)	E(3;0,2)	LN(2;0,5)	P(0,8)
	W(2,1;24)	W(2,1;24)	E(3;0,25)	B(3;0,5)
	Exp (0,03)	Exp (0,03)	N(30;0,4)	G(0,8)
	U(12;14)	U(12;14)	W(1,8;22)	P(3,1)
	N(13;3)	N(13;3)	W(2;18)	B(4;0,4)
	LN(2;1)	LN(2;1)	Exp (0,04)	G(0,9)
	E(2;0,1)	E(2;0,1)	LN(1;2)	P (4,8)
	W(1,4;20)	W(1,4;20)	U(30;50)	B(3;0,2)
	Exp (0,08)	Exp (0,08)	LN(2;1,5)	G(0,3)
	U(25;30)	U(25;30)	N(30;1,7)	P(2,8)
	N(17;4)	N(17;4)	E(2;0,04)	B(2;0,3)
	LN(3;0,4)	LN(3;0,4)	Exp (0,02)	G(0,4)
	E(2;0,15)	E(2;0,15)	W(2,3;24)	P(1,6)
	W(2,3;25)	W(2,3;25)	U(34;40)	B(4;0,9)
	Exp (0,02)	Exp (0,02)	LN(3;2;1)	G(0,7)
	U(15;22)	U(15;22)	N(19;2,2)	P(0,5)
	N(15;1)	N(15;1)	E(3;0,08)	B(4;0,6)
	LN(2;0,3)	LN(2;0,3)	Exp (0,02)	G(0,5)
	E(3;0,5)	E(3;0,5)	W(3;2)	P(3,6)
	W(1,7;19)	W(1,7;19)	U(15;20)	B(5;0,7)
	Exp (0,06)	Exp (0,06)	LN(2;1;6)	G(0,2)
	U(15;17)	U(15;17)	N(12;4)	P(4,5)
	N(29;2)	N(29;2)	E(2;0,07)	B(2;0,7)
	LN(1,5;1)	LN(1,5;1)	Exp (0,08)	G(0,7)
	E(2;0,09)	E(2;0,09)	W(2,4;25)	P(2,9)

На фиг. 1 има три вида свързване на елементи: последователно, паралелно (постоянен резерв) и заместващо резервиране.

Времето до отказ на система, състояща се от последователно свързани елементи, е равно на най-малкото време до отказ на елементите. Времето до отказ на система с постоянно включен резерв е равно на най-голямото време до отказ на елементите. Времето до отказ на система с резерв за подмяна е равно на сумата от времената до отказ на елементите.

Схема 1. Схема 2.

Схема 3. Схема 4.

Схема 5. Схема 6.
Схема 7. Схема 8.

Нека се изисква да се възпроизведе непрекъсната случайна променлива X, т.е. вземете последователността от възможните му стойности (i=1, 2, ..., n), като знаете функцията на разпределение F(x).

Теорема. Ако е произволно число, тогава възможно значениена непрекъснатата случайна променлива X, която се играе с дадена функция на разпределение F (x), съответстваща на , е коренът на уравнението .

Правило 1 За да намерите възможна стойност, непрекъсната случайна променлива X, знаейки нейната функция на разпределение F (x), е необходимо да изберете произволно число , да приравните неговата функция на разпределение и да решите полученото уравнение.

Забележка 1. Ако не е възможно да се реши това уравнение изрично, тогава прибягвайте до графични или числени методи.

Пример 1. Възпроизвеждане на 3 възможни стойности на непрекъсната случайна променлива X, разпределени равномерно в интервала (2, 10).

Решение: Да напишем функцията на разпределение на стойността X, разпределена равномерно в интервала (a, b): .

По условие, a=2, b=10, следователно, .

Използвайки правило 1, ние пишем уравнение, за да намерим възможните стойности на , за които приравняваме функцията на разпределение към произволно число:

Оттук .

Нека изберем 3 произволни числа, например, , , . Заместете тези числа в уравнението, разрешено по отношение на ; в резултат на това получаваме съответните възможни стойности на X: ; ; .

Пример 2. Непрекъсната случайна променлива X се разпределя по експоненциален закон, даден от функцията на разпределение (параметърът е известен) (x > 0). Изисква се да се намери изрична формула за възпроизвеждане на възможните стойности на X.

Решение: Използвайки правилото, напишете уравнението.

Нека решим това уравнение за: , или .

Случайното число е в интервала (0, 1); следователно числото също е случайно и принадлежи към интервала (0,1). С други думи, R и 1-R са еднакво разпределени. Следователно, за да го намерите, можете да използвате по-проста формула.

Забележка 2.Известно е, че.

В частност, .

От това следва, че ако плътността на вероятността е известна, тогава, за да изиграем X, вместо уравненията, можем да решим уравнението по отношение на .

Правило 2 За да се намери възможната стойност на непрекъсната случайна променлива X, като се знае нейната плътност на вероятността, трябва да се избере произволно число и да се реши уравнение или уравнение по отношение на , където a е най-малката крайна възможна стойност на X.

Пример 3. Дадена е плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива X в интервала ; извън този интервал. Изисква се да се намери изрична формула за възпроизвеждане на възможните стойности на X.

Решение: Нека напишем уравнение в съответствие с правило 2.

След интегриране и решаване на получената квадратно уравнениеотносително , най-накрая получаваме.

18.7 Приблизителна игра на нормална случайна променлива

Напомняме първо, че ако случайна величина R е равномерно разпределена в интервала (0, 1), то нейните математическо очакване и дисперсия са съответно равни: М(R)=1/2, D(R)=1/12.

Нека съставим сумата от n независими, равномерно разпределени в интервала (0, 1) случайни променливи : .

За да нормализираме тази сума, първо намираме нейното математическо очакване и дисперсия.

Известно е, че математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете. Сумата съдържа n члена, математическото очакване на всеки от които, поради M(R)=1/2, е 1/2; следователно, очакването на сумата

Известно е, че дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на членовете. Сумата съдържа n независими члена, дисперсията на всеки от които, поради D(R)=1/12, е равна на 1/12; следователно дисперсията на сумата

Оттук и стандартното отклонение на сумата

Нормализираме разглежданата сума, за която изваждаме математическото очакване и разделяме резултата на стандартното отклонение: .

По силата на централната гранична теорема при , разпределението на тази нормализирана случайна променлива клони към нормално с параметрите a=0 и . За ограничено n разпределението е приблизително нормално. По-специално, за n=12 получаваме доста добро и лесно за изчисляване приближение.

Оценките са задоволителни: близки до нула, малко по-различни от единица.

Списък на използваните източници

1. Гмурман В.Е. Теория на вероятностите и математическа статистика. - М.: Висше училище, 2001.

2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическа статистика. - М .: Висше училище, 2001.

3. Гмурман В.Е. Ръководство за решаване на задачи по теория на вероятностите и математическа статистика. - М .: Висше училище, 2001.

4. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория на вероятностите и математическа статистика. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2003.

5. Агапов Г.И. Проблемна книга по теория на вероятностите. - М .: Висше училище, 1994.

6. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория на вероятностите и математическа статистика. – М.: ИНФРА-М, 2001.

7. Вентцел Е.С. Теория на вероятностите. - М .: Висше училище, 2001.

Означаваме равномерно разпределената SW в интервала (0, 1) с R и неговите възможни стойности (случайни числа) с r j .

Нека разделим интервала )