Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу

Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.

Хоствано на http://www.allbest.ru/

ДЕЙНОСТ 1

Симулация на случайни събития със зададен закон на разпределение

Възпроизвеждане на дискретно случайна величина

Нека се изисква да се възпроизведе дискретна случайна променлива, т.е. вземете последователността от възможните му стойности x i (i = 1,2,3,...n), като знаете закона за разпределение X:

Означаваме с R непрекъсната случайна променлива. Стойността на R е разпределена равномерно в интервала (0,1). Означаваме с r j (j = 1,2,...) възможните стойности на случайната променлива R. Нека разделим интервала 0< R < 1 на оси 0r точками с координатами на n частичных интервалов.

Тогава получаваме:

Вижда се, че дължината на частичния интервал с индекс i е равна на вероятността Р със същия индекс. Дължина

Така, когато произволно число r i попадне в интервала, случайната променлива X приема стойността x i с вероятност P i .

Има следната теорема:

Ако на всяко произволно число, попаднало в интервала, се присвои възможна стойност x i , тогава изиграната стойност ще има даден закон на разпределение

Алгоритъм за възпроизвеждане на дискретна случайна променлива, зададена от закона за разпределение

1. Необходимо е интервалът (0,1) на оста 0r да се раздели на n частични интервала:

2. Изберете (например от таблица със случайни числа или в компютър) произволно число r j .

Ако r j попадне в интервала, тогава дискретната произволна променлива, която се играе, приема възможната стойност x i .

Възпроизвеждане на непрекъсната произволна променлива

Нека се изисква да се възпроизведе непрекъсната случайна променлива X, т.е. вземете последователността от неговите възможни стойности x i (i = 1,2,...). В този случай функцията на разпределение F(X) е известна.

Съществува следващия теорема.

Ако r i е произволно число, тогава възможната стойност x i на възпроизвежданата непрекъсната случайна променлива X с известна функция на разпределение F(X), съответстваща на r i, е коренът на уравнението

Алгоритъм за възпроизвеждане на непрекъсната случайна променлива:

1. Необходимо е да се избере произволно число r i .

2. Приравнете избраното произволно число на известната функция на разпределение F(X) и получете уравнението.

3. Решете това уравнение за x i . Получената стойност x i ще съответства едновременно на произволно число r i . и даден закон на разпределение F(X).

Пример. Възпроизвеждане на 3 възможни стойности на непрекъсната случайна променлива X, разпределени равномерно в интервала (2; 10).

Функцията на разпределение на X има следната форма:

По условие a = 2, b = 10, следователно,

В съответствие с алгоритъма за възпроизвеждане на непрекъсната случайна променлива, ние приравняваме F(X) към избраното случайно число r i .. Получаваме от това:

Заместете тези числа в уравнение (5.3) Получаваме съответните възможни стойности на x:

Задачи за моделиране на случайни събития със зададен закон на разпределение

1. Необходимо е да се възпроизведат 10 стойности на дискретна случайна променлива, т.е. вземете последователност от неговите възможни стойности x i (i=1,2,3,…n), като знаете закона за разпределение X

Нека изберем от таблицата със случайни числа произволно число r j: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,66; 0,99; 0,19; 0,88; 0,59; 0,78

2. Честотата на получаване на заявления за услуга се подчинява на експоненциалния закон на разпределение (), x, параметърът l е известен (по-нататък l = 1/t е интензитетът на получаване на заявления)

l=0,5 заявки/час. Определете последователността от стойности за продължителността на интервалите между получаването на заявки. Броят на реализациите е равен на 5. Число r j: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,99;

ДЕЙНОСТ 2

Система за опашка

Системи, в които, от една страна, има масови заявки за извършване на всякакви видове услуги, а от друга страна, тези заявки се удовлетворяват, се наричат ​​системи за масово обслужване. Всеки QS служи за изпълнение на потока от приложения.

QS включва: източник на изисквания, входящ поток, опашка, сервизно устройство, изходящ поток от заявки.

SMO се разделят на:

QS със загуби (откази)

CMO с изчакване (неограничена дължина на опашка)

QS с ограничена дължина на опашката

CMO с ограничено време за изчакване.

Според броя на каналите или сервизните устройства QS са едноканални и многоканални.

Според местоположението на източника на изисквания: отворени и затворени.

По брой обслужващи елементи по изискване: еднофазни и многофазни.

Една от формите на класификация е класификацията на Д. Кендъл - A / B / X / Y / Z

A - определя разпределението на времето между пристигания;

Б - определя разпределението на служебното време;

X - определя броя на обслужващите канали;

Y - определя пропускателната способност на системата (дължина на опашката);

Z - определя реда на обслужване.

Когато капацитетът на системата е безкраен и поръчката за обслужване е първи дошъл, първи обслужен, частите Y/Z се пропускат. Първата цифра (A) използва следните знаци:

М-разпределението има експоненциален закон,

G - липсата на каквито и да е предположения относно процеса на обслужване или се идентифицира със символа GI, което означава повтарящ се процес на обслужване,

D- детерминиран (времето за обслужване е фиксирано),

Е n - Ерлангиан от n-ти ред,

NM n - хипер-ерлангиан от n-ти ред.

Втората цифра (B) използва същите знаци.

Четвъртата цифра (Y) показва капацитета на буфера, т.е. максималния брой места на опашката.

Петата цифра (Z) показва метода за избор от опашката в чакаща система: SP-equiprobable, FF-first in-first out, LF-last in-first out, PR-приоритет.

За задачи:

l - средният брой заявки, пристигащи за единица време

µ е средният брой обслужени заявки за единица време

Коефициент на натоварване на канал 1 или процент от времето, през което каналът е зает.

Основни характеристики:

1) P ref - вероятността от повреда - вероятността системата да откаже услуга и изискването да бъде загубено. Това се случва, когато каналът или всички канали са заети (PSTN).

За многоканален QS R otk = R n, където n е броят на обслужващите канали.

За QS с ограничена дължина на опашката Р otk =Р n + l , където l е допустимата дължина на опашката.

2) Относителна q и абсолютна A пропускателна способност на системата

q \u003d 1-P otk A \u003d ql

3) Общият брой на изискванията в системата

L sys = n - за QS с неуспехи, n е броят канали, заети от услугата.

За QS с чакане и ограничена дължина на опашката

L sys \u003d n + L cool

където L exp е средният брой заявки, чакащи за стартиране на услугата и т.н.

Останалите характеристики ще бъдат разгледани в хода на решаването на проблемите.

Едноканални и многоканални системи за масово обслужване. Системи за отказ.

Най-простият едноканален модел с вероятностен входен поток и процедура за обслужване е модел, характеризиращ се с експоненциално разпределение както на продължителността на интервалите между пристигащите рекламации, така и на продължителността на обслужване. В този случай плътността на разпределението на продължителностите на интервалите между пристиганията на рекламации има формата

Плътност на разпределение на продължителността на услугата:

Потоците от заявки и услуги са най-прости. Оставете системата да работи с повреди. Този тип QS може да се използва при моделиране на предавателни канали в локални мрежи. Необходимо е да се определи абсолютната и относителната производителност на системата. Нека представим тази система за опашка като графика (Фигура 2), която има две състояния:

S 0 - каналът е свободен (изчакване);

S 1 - каналът е зает (заявката се обслужва).

Фигура 2. Графика на състоянията на едноканален QS с повреди

Нека обозначим вероятностите за състояния: P 0 (t) - вероятността за състоянието "каналът е свободен"; P 1 (t) - вероятността от състоянието "каналът е зает". Въз основа на етикетираната графика на състоянието ние съставяме системата диференциални уравненияКолмогоров за вероятностите на състоянието:

Системата от линейни диференциални уравнения има решение, подчинено на условието за нормализиране P 0 (t) + P 1 (t) = 1 . Решението на тази система се нарича нестационарно, тъй като зависи пряко от t и изглежда така:

P 1 (t) = 1 - P 0 (t) (3.4.3)

Лесно е да се види, че за едноканален QS с откази, вероятността P 0 (t) не е нищо друго освен относителния капацитет на системата q. Наистина, P 0 е вероятността, че в момент t каналът е свободен и претенцията, която е пристигнала в момент t, ще бъде обслужена и следователно за този моментвреме t, средното отношение на броя на обслужените заявки към броя на получените също е равно на P 0 (t), т.е. q = P 0 (t).

След дълъг интервал от време (при) се достига стационарен (устойчив) режим:

Познавайки относителната производителност, лесно е да се намери абсолютната. Абсолютна производителност (A) - средният брой приложения, които системата за масово обслужване може да обслужи за единица време:

Вероятността за отказ за обслужване на заявката ще бъде равна на вероятността за състояние "каналът е зает":

Тази стойност P otk може да се интерпретира като средния дял на необслужените заявки сред подадените.

В преобладаващата част от случаите на практика системите за масово обслужване са многоканални и следователно моделите с n обслужващи канала (където n>1) представляват безспорен интерес. Процесът на опашка, описан с този модел, се характеризира с интензивност входен поток l, докато не повече от n клиенти (заявки) могат да бъдат обслужени паралелно. Средното време за обслужване на една заявка е 1/м. Входните и изходните потоци са поасонови. Режимът на работа на един или друг обслужващ канал не влияе върху режима на работа на други обслужващи канали на системата, а продължителността на обслужващата процедура за всеки от каналите е случайна величина, подчинена на експоненциален закон на разпределение. Крайната цел на използването на n канала за обслужване, свързани паралелно, е да се увеличи (в сравнение с едноканална система) скоростта на обслужване на заявките чрез обслужване на n клиенти едновременно. Графиката на състоянието на многоканална система за масово обслужване с повреди има формата, показана на фигура 4.

Фигура 4. Графика на състоянията на многоканален QS с откази

S 0 - всички канали са безплатни;

S 1 - един канал е зает, останалите са свободни;

S k - точно k канала са заети, останалите са свободни;

S n - всички n канала са заети, останалите са свободни.

Уравненията на Колмогоров за вероятностите на състоянията на системата P 0 , ... ,P k , ... P n ще имат следния вид:

Началните условия за решаване на системата са следните:

P 0 (0) = 1, P 1 (0) = P 2 (0) = ... = P k (0) = ... = P 1 (0) = 0 .

Стационарното решение на системата има формата:

Формулите за изчисляване на вероятностите P k (3.5.1) се наричат ​​формули на Ерланг.

Нека определим вероятностните характеристики на функционирането на многоканален QS с повреди в стационарен режим:

1) вероятност за повреда:

тъй като заявката се отхвърля, ако пристигне в момента, когато всички n канала са заети. Стойността на P otk характеризира пълнотата на обслужване на входящия поток;

2) вероятността приложението да бъде прието за обслужване (това е и относителната производителност на системата q) допълва P otk до единица:

3) абсолютна честотна лента

4) средният брой канали, заети от услугата (), е следният:

Стойността характеризира степента на натоварване на QS.

Задачикъм урок 2

1. Комуникационният клон, който има един канал, получава най-простия поток от съобщения с интензивност n = 0,08 съобщения в секунда. Времето за предаване се разпределя по закона за ехр. Обслужването на едно съобщение става с интензитет µ=0.1. Съобщенията, пристигащи в моменти, когато обслужващият канал е зает с предаване на получено преди това съобщение, получават неуспешно предаване.

коеф. Относително натоварване на канала (вероятност каналът да е зает)

П

Q е относителният капацитет на междувъзловия клон

И абсолютната честотна лента на комуникационния клон.

2. Комуникационният клон има един канал и получава съобщения на всеки 10 секунди. Времето за обслужване на едно съобщение е 5 секунди. Времето за предаване на съобщението се разпределя експоненциално. Съобщенията, пристигащи в моменти, когато каналът е зает, се отказват да бъдат обслужвани.

Дефинирайте

Р zan - вероятността за заетост на комуникационния канал (коефициент на относително натоварване)

Q- относителна честотна лента

A е абсолютната честотна лента на комуникационния клон

4. Междувъзловият клон на вторичната комуникационна мрежа има n = 4 канала. Потокът от съобщения, пристигащи за предаване по каналите на комуникационния клон, е със скорост = 8 съобщения в секунда. Средното време за предаване на едно съобщение е t = 0,1 секунди.Съобщение, пристигащо в момента, когато всички n канала са заети, получава грешка при предаване по комуникационния клон. Намерете характеристики на CMO:

ДЕЙНОСТ 3

Едноканална система с изчакване

Помислете сега за едноканален QS с очакване. Системата за масово обслужване има един канал. Входящият поток от заявки за услуги е най-простият поток с интензивност. Интензитетът на потока на услугата е еднакъв (т.е. средно непрекъснато зает канал ще издава обслужвани заявки). Продължителността на услугата е случайна променлива, предмет на експоненциален закон за разпределение. Сервизният поток е най-простият Поасонов поток от събития. Заявка, която пристига в момент, когато каналът е зает, се поставя в опашка и чака обслужване. Тази QS е най-често срещаната в моделирането. С една или друга степен на приближение може да се използва за симулиране на почти всеки възел на локална мрежа (LAN).

Нека приемем, че без значение колко заявки влизат на входа на системата за обслужване, тази система(опашка + обслужени клиенти) не могаотговарят на повече от N-изисквания (приложения), т.е. клиентите, които не попадат в периода на изчакване, са принудени да бъдат обслужени другаде. Система M/M/1/N. И накрая, източникът, който генерира заявки за услуги, има неограничен (безкрайно голям) капацитет. Графиката на състоянието на QS в този случай има формата, показана на фигура 3

Фигура 3. Графика на състоянията на едноканален QS с изчакване (схема на смърт и възпроизвеждане)

QS състоянията имат следното тълкуване:

S 0 - "каналът е свободен";

S 1 - "каналът е зает" (няма опашка);

S 2 - "каналът е зает" (едно приложение е в опашката);

S n - "каналът е зает" (n -1 приложения са в опашката);

S N - "каналът е зает" (N - 1 заявки са в опашката).

Стационарният процес в тази система ще бъде описан със следната система от алгебрични уравнения:

където p = коефициент на натоварване

n - номер на държавата.

Решението на горната система от уравнения за нашия QS модел има формата:

Първоначалната стойност на вероятността за QS с ограничена дължина на опашката

За QS с безкрайна опашка H =? :

P 0 \u003d 1- s (3.4.7)

Трябва да се отбележи, че изпълнението на условието за стационарност за тази QS не е необходимо, тъй като броят на заявките, допуснати до обслужващата система, се контролира чрез въвеждане на ограничение за дължината на опашката, която не може да надвишава (N - 1), а не чрез съотношението между интензитетите на входния поток, т.е. не отношението c=l/m.

За разлика от едноканалната система, която беше разгледана по-горе и с неограничена опашка, в този случай стационарното разпределение на броя на заявките съществува за всякакви крайни стойности на коефициента на натоварване c.

Нека определим характеристиките на едноканален QS с чакане и ограничена дължина на опашката, равна на (N - 1) (M/M/1/N), както и за едноканален QS с неограничен капацитет на буфера ( M/M/1/?). За QS с безкрайна опашка условието с<1, т.е., для того, чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь необходимо, чтобы в среднем запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.

1) вероятността за отказ за обслужване на приложението:

Една от най-важните характеристики на системите, в които заявките могат да бъдат загубени, е вероятността P загуба произволна заявка да бъде загубена. В този случай вероятността за загуба на произволна заявка съвпада с вероятността в произволен момент всички места за чакане да бъдат заети, т.е. формулата P от k \u003d P H е валидна

2) относителна производителност на системата:

За CMO с неограничента опашка q=1,защото всички приложения ще бъдат обслужени

3) абсолютна честотна лента:

4) среден брой приложения в системата:

L S с неограничена опашка

5) средно време на престой на приложение в системата:

За неограничена опашка

6) средната продължителност на престоя на клиента (приложението) в опашката:

С неограничена опашка

7) средният брой приложения (клиенти) в опашката (дължина на опашката):

с неограничена опашка

Сравнявайки изразите за средното време на изчакване в опашката T pt и формулата за средната дължина на опашката L pt, както и средното време на престой на заявките в системата T S и средния брой заявки в системата L S , виждаме че

L och \u003d l * T och L s \u003d l * T s

Имайте предвид, че тези формули са валидни и за много системи за масово обслужване, по-общи от разглежданата система M/M/1 и се наричат ​​формули на Литъл. Практическото значение на тези формули се състои в това, че те премахват необходимостта от директно изчисляване на стойностите на T och и T s с известна стойност на стойностите на L och и L s и обратно.

Задачи за едноканални CMOс очакване, сочакване иограничена дължина на опашката

1. Дадена е едноредова QS с неограничен акумулатор на опашка. Приложенията пристигат на всеки t =14 секунди. Средното време за предаване на едно съобщение е t=10 секунди. Съобщенията, пристигащи в моменти, когато обслужващият канал е зает, се получават в опашката, без да я напускат, докато услугата започне.

Определете следните показатели за ефективност:

2. Междувъзловият клон на комуникация, който има един канал и устройство на опашка за m=3 чакащи съобщения (N-1=m), получава най-простия поток от съобщения със скорост от n=5 съобщения. в сек.. Времето за предаване на съобщението се разпределя по експоненциалния закон. Средното време за предаване на едно съобщение е 0,1 секунди. Съобщенията, пристигащи в моменти, когато обслужващият канал е зает с предаване на предварително получено съобщение и няма свободно място в устройството, се отхвърлят.

Р otk - вероятността да не получите съобщение

L syst - средният общ брой съобщения в опашката и предадени по комуникационния клон

T och - средното време, през което съобщението остава в опашката преди началото на предаването

T syst - средното общо време, прекарано от едно съобщение в системата, сумата от средното време на изчакване в опашката и средното време за предаване

Q- относителна честотна лента

А е абсолютната производителност

3. Междувъзловият клон на вторичната комуникационна мрежа, който има един канал и хранилище на опашка за m = 4 (N-1=4) чакащи съобщения, получава най-простия поток от съобщения със скорост = 8 съобщения в секунда. Времето за предаване на съобщението се разпределя експоненциално. Средното време за предаване на едно съобщение е t = 0,1 секунда. Съобщенията, пристигащи в моменти, когато обслужващият канал е зает с предаване на получено преди това съобщение и няма свободно място в устройството, се отказват в опашката.

P otk - вероятността да не се получи съобщение за предаване по комуникационния канал на междувъзловия клон;

L och - средният брой съобщения в опашката към комуникационния клон на вторичната мрежа на опашката;

L syst - средният общ брой съобщения в опашката и предадени през комуникационния клон на вторичната мрежа;

T och - средното време, през което съобщението остава в опашката преди началото на предаването;

Р zan - вероятността за заетост на комуникационния канал (коефициент на относително натоварване на канала);

Q е относителният капацитет на междувъзловия клон;

A е абсолютният капацитет на междувъзловия клон;

4. Междувъзловият комуникационен клон, който има един канал и задвижване на опашка за m=2 чакащи съобщения, получава най-простия поток от съобщения с интензитет от n=4 съобщения. в сек.. Времето за предаване на съобщението се разпределя по експоненциалния закон. Средното време за предаване на едно съобщение е 0,1 секунди. Съобщенията, пристигащи в моменти, когато обслужващият канал е зает с предаване на предварително получено съобщение и няма свободно място в устройството, се отхвърлят.

Определете следните показатели за ефективност на комуникационния клон:

Р otk - вероятността да не получите съобщение

L och - средният брой съобщения в опашката към комуникационния клон

L syst - средният общ брой съобщения в опашката и предадени по комуникационния клон

T och - средното време, през което съобщението остава в опашката преди началото на предаването

T syst - средното общо време, прекарано от едно съобщение в системата, сумата от средното време на изчакване в опашката и средното време за предаване

Р zan - вероятността за заетост на комуникационния канал (коефициент на относително натоварване на канала c)

Q- относителна честотна лента

А е абсолютната производителност

5. Интернодалният клон на вторичната комуникационна мрежа, който има един канал и неограничена опашка за съхранение на чакащи съобщения, получава най-простия поток от съобщения с интензивност n = 0,06 съобщения в секунда. Средно време за предаване на едно съобщение t =10 секунди. Съобщенията, пристигащи в моменти, когато комуникационният канал е зает, се получават в опашката и не я напускат до началото на услугата.

Определете следните показатели за ефективност на комуникационния клон на вторичната мрежа:

L och - средният брой съобщения в опашката към комуникационния клон;

L syst - средният общ брой съобщения в опашката и предадени по комуникационния клон;

T och - средното време, прекарано от едно съобщение в опашката;

T syst е средното общо време, прекарано от едно съобщение в системата, което е сумата от средното време на изчакване в опашката и средното време за предаване;

Р zan - вероятността за заетост на комуникационния канал (коефициентът на относителното натоварване на канала);

Q е относителният капацитет на междувъзловия клон;

A - абсолютна производителност на междувъзловия клон

6. Дадена е едноредова QS с неограничен акумулатор на опашка. Приложенията пристигат на всеки t =13 секунди. Средно време за предаване на съобщение

t=10 секунди. Съобщенията, пристигащи в моменти, когато обслужващият канал е зает, се получават в опашката, без да я напускат, докато услугата започне.

Определете следните показатели за ефективност:

L och - средният брой съобщения в опашката

L syst - средният общ брой съобщения в опашката и предадени по комуникационния клон

T och - средното време, през което съобщението остава в опашката преди началото на предаването

T syst - средното общо време, прекарано от едно съобщение в системата, сумата от средното време на изчакване в опашката и средното време за предаване

Р zan - вероятност за заетост (коефициент на относителното натоварване на канала c)

Q- относителна честотна лента

А е абсолютната производителност

7. Специализиран диагностичен пост е едноканален QS. Броят на паркоместата за чакащи за диагностика автомобили е ограничен и е равен на 3 [(N - 1) = 3]. Ако всички паркоместа са заети, т.е. вече има три коли на опашката, тогава следващата кола, пристигнала за диагностика, не влиза в сервизната опашка. Потокът от автомобили, пристигащи за диагностика, се разпределя по закона на Поасон и е с интензитет = 0,85 (автомобили на час). Времето за диагностика на автомобила е разпределено по експоненциалния закон и е средно 1,05 часа.

Необходимо е да се определят вероятностните характеристики на диагностичния пост, работещ в стационарен режим: P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P отворен, q, A, L och, L sys, T och, T sis

ДЕЙНОСТ 4

Многоканален QS с изчакване, с изчакване и ограничена дължина на опашката

Помислете за многоканална система за опашка с изчакване. Този тип QS често се използва при моделиране на групи от LAN абонатни терминали, работещи в режим on-line. Процесът на масово обслужване се характеризира със следното: входните и изходните потоци са поасонови с интензитети и съответно; не повече от n клиенти могат да бъдат обслужени паралелно. Системата има n обслужващи канала. Средното време за обслужване на клиент е 1/m за всеки канал. Тази система се отнася и до процеса на смърт и размножаване.

с=l/nm - отношението на интензитета на входящия поток към общия интензитет на обслужване, е коефициентът на натоварване на системата

(С<1). Существует стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе. При этом вероятности состояний Р к определяются:

където Р 0 е вероятността за свободно състояние на всички канали с неограничена опашка, k е броят на приложенията.

ако приемем c=l / m, тогава P 0 може да се определи за неограничена опашка:

За ограничена опашка:

където m е дължината на опашката

С неограничена опашка:

Относителна производителност q=1,

Абсолютна честотна лента A \u003d l,

Среден брой заети канали Z=A/m

С ограничена опашка

1 Междувъзловият клон на вторичната комуникационна мрежа има n = 4 канала. Потокът от съобщения, пристигащи за предаване по каналите на комуникационния клон, е със скорост = 8 съобщения в секунда. Средното време t = 0,1 за предаване на едно съобщение от всеки комуникационен канал е t/n = 0,025 секунди. Времето за изчакване на съобщения в опашката е неограничено. Намерете характеристики на CMO:

R otk - вероятността за неуспешно предаване на съобщения;

Q е относителната пропускателна способност на комуникационния клон;

A е абсолютната честотна лента на комуникационния клон;

Z е средният брой заети канали;

L och - средният брой съобщения в опашката;

T exp - средно време на изчакване;

T syst - средното общо време, прекарано от съобщения в опашката и предаване по комуникационния клон.

2. Механичният цех на завода с три поста (канала) извършва ремонт на малка механизация. Потокът от повредени механизми, пристигащи в сервиза, е поасонов и има интензивност = 2,5 механизма на ден, средното време за ремонт на един механизъм е разпределено по експоненциалния закон и е равно на = 0,5 дни. Да предположим, че във фабриката няма друг цех и следователно опашката от механизми пред цеха може да расте почти безкрайно. Необходимо е да се изчислят следните гранични стойности на вероятностните характеристики на системата:

Вероятности за състояния на системата;

Средният брой приложения в опашката за обслужване;

Средният брой приложения в системата;

Средната продължителност на приложението в опашката;

Средната продължителност на престоя на приложението в системата.

3. Междувъзловият клон на вторичната комуникационна мрежа има n=3 канала. Потокът от съобщения, пристигащи за предаване по каналите на комуникационния клон, е с интензивност n=5 съобщения в секунда. Средното време за предаване на едно съобщение е t=0,1, t/n=0,033 сек.. До m= 2 съобщения могат да бъдат съхранени в устройството на чакащата опашка от съобщения. Съобщение, което пристига в момент, когато всички места в опашката са заети, получава отхвърляне на предаване в комуникационния клон. Намерете характеристиките на QS: P otk - вероятност за неуспешно предаване на съобщение, Q - относителна пропускателна способност, A - абсолютна пропускателна способност, Z - среден брой заети канали, L och - среден брой съобщения в опашката, T exp - средно чакане време, система T - средното общо време, прекарано от съобщение в опашката и предаването му по комуникационния клон.

ДЕЙНОСТ 5

Затворен QS

Да разгледаме модела на обслужване на машинния парк, който е модел на затворена система за масово обслужване. Досега разглеждахме само такива системи за масово обслужване, при които интензивността на входящия поток от заявки не зависи от състоянието на системата. В този случай източникът на искове е външен за QS и генерира неограничен поток от искове. Помислете за системи за опашка, за които зависи от състоянието на системата, където източникът на изисквания е вътрешен и генерира ограничен поток от заявки. Например машинен парк, състоящ се от N машини, се обслужва от екип от R механици (N > R), като всяка машина може да се обслужва само от един механик. Тук машините са източници на изисквания (заявки за обслужване), а механиците са канали за обслужване. Повредена машина след обслужване се използва по предназначение и се превръща в потенциален източник на изисквания за обслужване. Очевидно интензитетът зависи от това колко коли работят в момента (N - k) и колко коли се обслужват или стоят на опашка в очакване на услуга (k). В разглеждания модел капацитетът на източника на изисквания трябва да се счита за ограничен. Входящият поток от изисквания идва от ограничен брой работещи машини (N - k), които в произволни моменти се повреждат и изискват поддръжка. Освен това всяка машина от (N - k) работи. Генерира поток на търсене на Поасон с интензитет X независимо от други обекти, общият входящ поток има интензитет. Заявка, постъпила в системата в момента, в който поне един канал е свободен, веднага се изпраща за обслужване. Ако дадено изискване установи, че всички канали са заети да обслужват други изисквания, тогава то не напуска системата, а се нарежда на опашка и чака, докато един от каналите стане свободен. Така в затворена система за масово обслужване входящият поток от заявки се формира от изходящия. Състоянието S k на системата се характеризира с общия брой заявки, обслужвани и в опашката, равен на k. За разглежданата затворена система, очевидно, k = 0, 1, 2, ... , N. Освен това, ако системата е в състояние S k , тогава броят на обектите в експлоатация е (N - k). Ако - интензивността на потока от изисквания за машина, тогава:

Системата от алгебрични уравнения, описваща работата на затворена QS в стационарен режим, е следната:

Решавайки тази система, намираме вероятността за k-то състояние:

Стойността на P 0 се определя от условието за нормализиране на резултатите, получени по формулите за P k , k = 0, 1, 2, ..., N. Нека дефинираме следните вероятностни характеристики на системата:

Среден брой заявки в опашката за обслужване:

Среден брой заявки в системата (в услуга и на опашка)

среден брой механици (канали) "на празен ход" поради липса на работа

Коефициентът на престой на обслужвания обект (машина) в опашката

Коефициент на използване на обекти (машини)

Коефициент на престой на каналите за обслужване (механика)

Средно време за чакане за услуга (време за чакане за услуга на опашка)

Затворен QS проблем

1. Нека двама инженери с еднаква производителност бъдат назначени да обслужват десет персонални компютъра (PC). Потокът от повреди (неизправности) на един компютър е Поасон с интензитет = 0,2. Времето на обслужване на компютъра се подчинява на експоненциален закон. Средното време за поддръжка на един компютър от един инженер е: = 1,25 часа. Възможни са следните опции за организация на услугите:

И двамата инженери обслужват всичките десет компютъра, така че ако компютърът се повреди, един от свободните инженери го обслужва, в този случай R = 2, N = 10;

Всеки от двамата инженери поддържа пет компютъра, които са му възложени. В този случай R = 1, N = 5.

Необходимо е да изберете най-добрия вариант за организиране на поддръжката на компютъра.

Необходимо е да се дефинират всички вероятности на състоянията P k: P 1 - P 10, като се има предвид, че и използвайки резултатите от изчисляването на P k, изчисляваме P 0

ДЕЙНОСТ 6

Изчисляване на трафика.

Теорията на телетрафика е част от теорията на опашките. Основите на теорията за телетрафика са положени от датския учен А.К. Ерланг. Негови творби са публикувани през 1909-1928 г. Нека дадем важни определения, използвани в теорията на телетрафика (TT). Терминът "трафик" (на английски, трафик) съответства на термина "телефонно натоварване". Това предполага натоварване, създадено от потока от обаждания, изисквания, съобщения, пристигащи на входовете на QS. Обемът на трафика се нарича стойността на общия интегрален интервал от време, пропуснат от един или друг ресурс, през който този ресурс е бил зает за анализирания период от време. Работна единица може да се счита за второ използване на ресурс. Понякога можете да прочетете за часове, а понякога само за секунди или часове. Препоръките на ITU обаче дават измерението на обема на трафика в erlango часове. За да се разбере значението на такава мерна единица, трябва да се вземе предвид още един параметър на трафика - интензивността на трафика. В този случай те често говорят за средната интензивност на трафика (натоварването) на даден пул (набор) от ресурси. Ако във всеки момент t от даден интервал (t 1 ,t 2) броят на ресурсите от това множество, заети от обслужването на трафика, е равен на A(t), тогава средната интензивност на трафика ще бъде

Стойността на интензивността на трафика се характеризира като среден брой ресурси, заети от трафика в даден интервал от време. Единицата за измерване на интензивността на натоварването е един Erlang (1 Erl, 1 E), т.е. 1 ерланг е интензивността на трафика, която изисква пълна заетост на един ресурс, или с други думи, при която работата от една секунда се извършва от ресурса - заетост за време от една секунда. В американската литература понякога можете да намерите друга мерна единица, наречена CCS- Centrum (или сто) Calls Second (хектосекундни професии). CCS номерът отразява времето, през което сървърите са заети на интервали от 100 секунди за 1 час. Интензитетът, измерен в CCS, може да се преобразува в Erlangs, като се използва формулата 36CCS=1 Erl.

Трафикът, генериран от един източник и изразен в часове-сесии, е равен на произведението от броя опити за повикване c за определен интервал от време T и средната продължителност на един опит t: y = c t (h-h). Трафикът може да се изчисли по три различни начина:

1) нека броят на разговорите c на час е 1800, а средната продължителност на урока t = 3 минути, тогава Y = 1800 разговора. /ч 0.05 h = 90 Erl;

2) нека времетраенето t i на всички n заемания на изходите на даден пакет е фиксирано по време на T, тогава трафикът се определя, както следва:

3) нека през времето T наблюдението се извършва на равни интервали от броя на едновременно заетите изходи на определен лъч, според резултатите от наблюденията се изгражда стъпкова функция на времето x(t) (Фигура 8) .

Фигура 8. Преброяване на едновременно заети изходи на лъча

Трафикът по време на време T може да се оцени като средната стойност на x(t) за това време:

където n е броят на извадките от едновременно заети изходи. Стойността на Y е средният брой едновременно заети изходи на лъча по време на време T.

Колебания в трафика. Трафикът на вторичните телефонни мрежи варира значително във времето. През работния ден кривата на трафика има два или дори три пика (Фигура 9).

Фигура 9. Колебания в трафика през деня

Часът от деня, през който дългосрочният трафик е най-значителен, се нарича натоварен час (BUSH). Познаването на трафика в CNN е фундаментално важно, тъй като определя броя на каналите (линиите), количеството оборудване на станциите и възлите. Трафикът за един и същи ден от седмицата има сезонни колебания. Ако денят от седмицата е предпразничен, тогава NPV на този ден е по-висока от деня след празника. Ако броят на поддържаните от мрежата услуги расте, нараства и трафикът. Следователно е проблематично да се предвиди с достатъчна сигурност появата на пикове на трафика. Трафикът се следи отблизо от мрежовата администрация и проектантските организации. Правилата за измерване на трафика са разработени от ITU-T и се използват от националните мрежови администрации, за да отговорят на изискванията за качество на услугата както за абонатите на тяхната собствена мрежа, така и за абонатите на други мрежи, свързани към нея. Теорията на телетрафика може да се използва за практически изчисления на загубите или обема на оборудването на станция (възел) само ако трафикът е стационарен (статистически постоянен). Това условие е приблизително изпълнено от трафика в CNN. Размерът на натоварването, получено на ден на PBX, влияе върху профилактиката и ремонта на оборудването. Неравномерността на натоварването на станцията през деня се определя от коефициента на концентрация

По-строго определение на NNN е следното. Препоръка ITU E.500 предписва да се анализират данните за интензитета за 12 месеца, да се изберат 30-те най-натоварени дни от тях, да се намерят най-натоварените часове в тези дни и да се осреднят резултатите от измерването на интензитета през тези интервали. Това изчисление на интензивността на трафика (натоварването) се нарича нормална оценка на интензивността на трафика в натоварения час или ниво А. По-строга оценка може да бъде осреднена за 5-те най-натоварени дни от избрания 30-дневен период. Такава оценка се нарича повишена или оценка на ниво Б.

Процесът на създаване на трафик. Както всеки потребител на телефонната мрежа знае, не всички опити за установяване на връзка с извикания абонат завършват успешно. Понякога трябва да направите няколко неуспешни опита, преди да се установи желаната връзка.

Фигура 10. Диаграма на събитията при установяване на връзка между абонати

Нека разгледаме възможните събития при симулиране на установяване на връзка между абонати A и B (Фигура 10). Статистическите данни за разговорите в телефонните мрежи са както следва: делът на проведените разговори е 70-50%, делът на неуспешните разговори е 30-50%. Всеки опит на абоната заема входа на QS. При успешни опити (когато се проведе разговорът) времето за заетост на превключващите устройства, които установяват връзки между входове и изходи, е по-дълго, отколкото при неуспешни опити. Абонатът може да прекъсне опитите за свързване по всяко време. Повторните опити могат да бъдат причинени от следните причини:

Неправилно набран номер;

Предположение за грешка в мрежата;

Степента на спешност на разговора;

Неуспешни предишни опити;

Познаване на навиците на абонат B;

Съмнение относно правилното набиране.

Може да се направи повторен опит в зависимост от следните обстоятелства:

Степени на спешност;

Оценки на причините за неуспеха;

Оценки за целесъобразността на повторните опити,

Оценки на приемливия интервал между опитите.

Отказът за повторен опит може да бъде свързан с ниска степен на спешност. Има няколко типа трафик, генериран от повиквания: входящ (предложен) Y p и пропуснат Y p. Трафикът Y p включва всички успешни и неуспешни опити, трафикът Y p, който е част от Y p, включва успешни и част от неуспешни опити:

Y pr \u003d Y p + Y np,

където Y p - разговорен (полезен) трафик и Y np - трафик, създаден от неуспешни опити. Равенството Y p = Y p е възможно само в идеалния случай, ако няма загуби, грешки на обаждащите се и няма отговори на повиканите абонати.

Разликата между входящите и пропуснатите товари за определен период от време ще бъде загубеният товар.

Прогнозиране на трафика. Ограничените ресурси водят до необходимостта от поетапно разширяване на станцията и мрежата. Администрацията на мрежата прави прогноза за увеличаване на трафика по време на фазата на разработка, като се има предвид, че:

Доходът се определя от частта от преминалия трафик Y p, - разходите се определят от качеството на услугата при най-висок трафик;

Голяма част от загубите (ниско качество) се срещат в редки случаи и са характерни за края на периода на развитие;

Най-големият обем пропуснат трафик пада върху периоди, когато практически няма загуби - ако загубите са по-малко от 10%, тогава абонатите не отговарят на тях. При планирането на развитието на гарите и мрежата проектантът трябва да отговори на въпроса какви са изискванията за качеството на предоставяне на услугата (за загуби). За целта е необходимо да се измерят загубите на трафик според приетите в страната правила.

Пример за измерване на трафика.

Първо, помислете как можете да покажете работата на QS, който има няколко ресурса, които обслужват известен трафик едновременно. По-нататък ще говорим за такива ресурси като сървъри, които обслужват потока от приложения или изисквания. Един от най-визуалните и често използвани начини за изобразяване на процеса на обслужване на заявки от набор от сървъри е диаграмата на Гант. Тази диаграма е правоъгълна координатна система, чиято абциса представлява времето, а ординатата представлява отделни точки, съответстващи на сървърите на пула. Фигура 11 показва диаграма на Гант за система с три сървъра.

В първите три времеви интервала (считаме ги за секунда) са заети първият и третият сървър, следващите две секунди - само третият, след това вторият работи за една секунда, след това вторият и първият за две секунди и последните две секунди - само първата.

Изградената диаграма ви позволява да изчислите обема на трафика и неговата интензивност. Диаграмата показва само обслужен или пропуснат трафик, тъй като не казва нищо за това дали в системата са влезли заявки, които не могат да бъдат обслужени от сървърите.

Обемът на преминалия трафик се изчислява като общата дължина на всички сегменти от диаграмата на Гант. Обем за 10 секунди:

Свържете с всеки времеви интервал, изчертан по абсцисата, цяло число, равно на броя сървъри, заети в този отделен интервал. Тази стойност A(t) е моментният интензитет. За нашия пример

A(t)= (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1)

Нека сега намерим средната интензивност на трафика за период от 10 секунди

По този начин средната интензивност на трафика, преминал от разглежданата система от три сървъра, е равна на 1,5 Erl.

Основни параметри на натоварване

Телефонната комуникация се използва от различни категории абонати, които се характеризират с:

броят на източниците на натоварване - N,

среден брой повиквания от един източник за определено време (обикновено HNN) - s,

средната продължителност на едно заемане на комутационната система при обслужване на един разговор е t.

Интензивността на натоварването ще бъде

Нека дефинираме различни източници на повикване. Например,

Среден брой обаждания на служебен телефон на служебен телефон;

Средният брой обаждания от едно апартаментно индивидуално устройство; произволно събитие опашка телетрафик

с граф - същите от апарата за колективно ползване;

с ма - същото от една монетна машина;

със sl - същото от една съединителна линия.

Тогава средният брой обаждания от един източник е:

Има приблизителни данни за средния брой обаждания от един източник от съответната категория:

3,5 - 5, \u003d 0,5 - 1, с броене \u003d 1,5 - 2, с ma = 15 - 30, с sl \u003d 10 - 30.

Има следните типове връзки, които в зависимост от резултата от връзката създават различно телефонно натоварване на станцията:

k p - коефициент, показващ дела на връзките, завършили с разговор;

k c - връзки, които не са завършили с разговор поради заетостта на извикания абонат;

k но - коефициент, изразяващ дела на връзките, които не са завършили с разговор поради неотговор на повикания абонат;

k osh - връзки, които не са завършили с разговор поради грешки на обаждащия се;

k от тези - разговори, които не са завършили с разговор по технически причини.

При нормална работа на мрежата стойностите на тези коефициенти са равни на:

к р =0,60-0,75; kc =0.12-0.15; k но =0.08-0.12; k osh =0,02-0,05; k тези = 0,005-0,01.

Средната продължителност на един урок зависи от видовете връзки. Например, ако връзката завърши с разговор, средната продължителност на заетостта на устройства t състояние ще бъде равна на

където е продължителността на установяване на връзката;

t услов. - проведеният разговор;

t in - продължителността на изпращане на повикване към телефонния апарат на извикания абонат;

t p - продължителност на разговора

където t co - сигнал за отговор на станцията;

1.5n - време за набиране на извикания абонат (n - брой знаци в номера);

t с - времето, необходимо за установяване на връзка чрез превключване на механизми и прекъсване на връзката след края на разговора. Приблизителни стойности на разглежданите количества:

t co \u003d 3 сек., t c \u003d 1-2,5 сек., t in = 8-10 сек., t p = 90-130 сек.

Обажданията, които не завършват с разговор, също създават натоварване на телефона.

Средното време на заетост на устройствата, когато виканият абонат е зает, е равно на

където t е зададено. определен от (4.2.3)

t зумер - време на слушане на заетия зумер, t зумер =6сек.

Средната продължителност на заетостта на устройствата, когато повиканият абонат не отговаря, е равна на

където t pv е времето за слушане на контролния сигнал за обратно позвъняване, t pv = 20 сек.

Ако не е имало разговор поради грешки на абоната, тогава средно t osh = 30 сек.

Продължителността на сесиите, които не са завършили с разговор по технически причини, не е определена, тъй като процентът на такива е малък.

От всичко казано по-горе следва, че общото натоварване, създадено от група източници за NTT, е равно на сумата от товарите на отделните видове професии.

където е коефициент, който отчита условията като дялове

На телефонна мрежа със седемцифрено номериране е проектирана автоматична телефонна централа, чийто структурен състав на абонатите е както следва:

N chr = 4000, N ind = 1000, N брой = 2000, N ma = 400, N sl = 400.

Средният брой обаждания, идващи от един източник в натоварен час, е

По формули (4.2.3) и (4.2.6) намираме натоварването

1.10.62826767 сек = 785.2 Hz.

Средна продължителност на урока t от формулата Y=Nct

t= Y/Nc= 2826767/7800*3,8=95,4 сек.

Заредете задача

1. На телефонна мрежа със седемцифрено номериране е проектирана автоматична телефонна централа, чийто структурен състав на абонатите е както следва:

N uchr = 5000, N ind = 1500, N count = 3000, N ma = 500, N sl = 500.

Определете товара, пристигащ на гарата - Y, средната продължителност на работа t, ако е известно, че

с chr = 4, с ind = 1, с броене = 2, с ma = 10, с sl = 12, t p = 120 сек., t в = 10 сек., k p = 0,6, t с \u003d 1 сек., \u003d 1.1.

Хоствано на Allbest.ru

Подобни документи

Концепцията за равномерно разпределена случайна променлива. Мултипликативен конгруентен метод. Моделиране на непрекъснати случайни променливи и дискретни разпределения. Алгоритъм за симулация на икономически отношения между кредитор и кредитополучател.

курсова работа, добавена на 03.01.2011 г


Общи понятия на теорията на масовото обслужване. Характеристики на моделирането на системи за масово обслужване. Графики на QS състояния, уравнения, които ги описват. Обща характеристика на разновидностите на моделите. Анализ на системата за опашки в супермаркетите.

курсова работа, добавена на 17.11.2009 г


Елементи на теорията на масовото обслужване. Математическо моделиране на системи за масово обслужване, тяхната класификация. Симулационно моделиране на системи за масово обслужване. Практическо приложение на теорията, решаване на задачи с математически методи.

курсова работа, добавена на 05/04/2011


Концепцията за случаен процес. Задачи на теорията на масовото обслужване. Класификация на системите за масово обслужване (QS). Вероятностен математически модел. Влияние на случайни фактори върху поведението на обект. Едноканални и многоканални QS с изчакване.

курсова работа, добавена на 25.09.2014 г


Изследването на теоретичните аспекти на ефективното изграждане и функциониране на система за масово обслужване, нейните основни елементи, класификация, характеристики и производителност. Моделиране на система за масово обслужване на езика GPSS.

курсова работа, добавена на 24.09.2010 г


Развитие на теорията на динамичното програмиране, мрежовото планиране и управлението на производството на продукти. Компоненти на теорията на игрите в проблемите на моделирането на икономически процеси. Елементи на практическото приложение на теорията на масовото обслужване.

практическа работа, добавена на 08.01.2011 г


Елементарни понятия за случайни събития, величини и функции. Числени характеристики на случайни величини. Видове асиметрия на разпределенията. Статистическа оценка на разпределението на случайни величини. Решаване на задачи за структурно-параметрична идентификация.

курсова работа, добавена на 03/06/2012


Моделиране на процеса на масово обслужване. Различни видове канали за опашка. Решение на едноканален модел на опашка с откази. Плътност на разпределение на продължителността на услугата. Определение за абсолютна производителност.

тест, добавен на 15.03.2016 г


Функционална характеристика на системата за масово обслужване в областта на автомобилния транспорт, нейната структура и основни елементи. Количествени показатели за качеството на функциониране на системата за масово обслужване, процедурата и основните етапи на тяхното определяне.

лабораторна работа, добавена на 03/11/2011


Поставяне на целта на моделирането. Идентификация на реални обекти. Избор на вида на моделите, математическа схема. Построяване на непрекъснато-стохастичен модел. Основни понятия на теорията на масовото обслужване. Определете потока от събития. Изложение на алгоритми.

ЛАБОРАТОРНА РАБОТА MM-03

ИГРАНЕ НА ДИСКРЕТНИ И НЕПРЕКЪСНАТИ ROVs

Цел на работата: проучване и софтуерна реализация на методи за възпроизвеждане на дискретни и непрекъснати RV

ВЪПРОСИ ЗА ИЗУЧАВАНЕ ОТ РЕЗЮМЕТА НА ЛЕКЦИЯТА:

1. Дискретни случайни величини и техните характеристики.

2. Възпроизвеждане на пълна група произволни събития.

3. Възпроизвеждане на непрекъсната случайна променлива по метода на обратната функция.

4. Избор на произволна посока в пространството.

5. Стандартно нормално разпределение и неговото преизчисляване по зададени параметри.

6. Методът на полярните координати за разиграване на нормалното разпределение.

ЗАДАЧА 1. Формулирайте (писмено) правило за възпроизвеждане на стойностите на дискретна RV, чийто закон за разпределение е даден под формата на таблица. Съставете подпрограма-функция за възпроизвеждане на стойностите на CV, като използвате BSV, получен от подпрограмата RNG. Пуснете 50 CB стойности и ги покажете на екрана.

Където N е номерът на варианта.

ЗАДАЧА 2.Дадена е функцията на плътността на разпределението f(x) на непрекъсната случайна променлива X.

В отчета запишете формулите и изчислението на следните стойности:

А) нормализационна константа;

Б) функция на разпределение F(x);

В) математическо очакване M(X);

D) дисперсия D(X);

E) формула за възпроизвеждане на стойностите на CB с помощта на метода на обратната функция.

Съставете функционална подпрограма за възпроизвеждане на даденото CV и получаване на 1000 стойности на това CV.

Постройте хистограма на разпределението на получените числа върху 20 сегмента.

ЗАДАЧА 3.Напишете процедура, която ви позволява да възпроизвеждате параметрите на произволна посока в пространството. Играйте 100 произволни посоки в пространството.

Използвайте вградения генератор на псевдослучайни числа.

Писменият доклад от лабораторната работа трябва да съдържа:

1) Име и цел на работата, група, фамилия и номер на варианта на ученика;

2) За всяка задача: -условие, -необходими формули и математически трансформации, -име на програмния файл, който изпълнява използвания алгоритъм, -резултати от изчисленията.

Отстранените програмни файлове се предават заедно с писмения доклад.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Варианти на плътността на разпространение на непрекъснатите SW

Вар-т	Плътност на разпространение на SW	Вар-т	Плътност на разпространение на SW

Определение 24.1.произволни числаиме на възможните стойности rнепрекъсната случайна променлива Р, разпределени равномерно в интервала (0; 1).

1. Възпроизвеждане на дискретна случайна променлива.

Нека се изисква да се възпроизведе дискретна случайна променлива х, тоест да се получи последователност от възможните му стойности, като се знае законът за разпределение х:

x x 1 х 2 … x n

p p 1 Р 2 … r p .

Помислете за случайна променлива, равномерно разпределена в (0, 1) Ри разделете интервала (0, 1) на точки с координати Р 1, Р 1 + Р 2 , …, Р 1 + Р 2 +… +r p-1 включено Пчастични интервали, чиито дължини са равни на вероятностите с еднакви индекси.

Теорема 24.1.Ако на всяко произволно число, което попада в интервала, се присвои възможна стойност, тогава изиграната стойност ще има даден закон на разпределение:

x x 1 х 2 … x n

p p 1 Р 2 … r p .

Доказателство.

Възможните стойности на получената случайна променлива съвпадат с множеството х 1 , х 2 ,… x n, тъй като броят на интервалите е П, а при удар rjв интервала една случайна променлива може да приеме само една от стойностите х 1 , х 2 ,… x n.

защото Ре равномерно разпределен, тогава вероятността да попадне във всеки интервал е равна на неговата дължина, което означава, че всяка стойност съответства на вероятността пи. По този начин случайната променлива, която се играе, има даден закон на разпределение.

Пример. Играйте 10 стойности на дискретна случайна променлива х, чийто закон на разпределение има формата: х 2 3 6 8

Р 0,1 0,3 0,5 0,1

Решение. Нека разделим интервала (0, 1) на частични интервали: D 1 - (0; 0.1), D 2 - (0.1; 0.4), D 3 - (0.4; 0.9), D 4 - (0.9; 1). Нека изпишем 10 числа от таблицата със случайни числа: 0,09; 0,73; 0,25; 0,33; 0,76; 0,52; 0,01; 0,35; 0,86; 0,34. Първото и седмото число лежат на интервала D 1, следователно в тези случаи произволната променлива, която се играе, е приела стойността х 1 = 2; третото, четвъртото, осмото и десетото число попадат в интервала D 2, който съответства на х 2 = 3; второто, петото, шестото и деветото число бяха в интервала D 3 - докато X = x 3 = 6; нито едно число не попадна в последния интервал. И така, изиграните възможни стойности хса: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.

2. Разиграване на противоположни събития.

Нека се изисква да се играят изпитания, във всеки от които събитието Асе появява с известна вероятност Р. Да разгледаме дискретна случайна променлива х, който приема стойностите 1 (ако събитието Аслучи) с вероятност Ри 0 (ако Ане се случи) с вероятност р = 1 – стр. След това пускаме тази произволна променлива, както е предложено в предишния параграф.

Пример. Играйте 10 предизвикателства, всяко със събитие Асе появява с вероятност от 0,3.

Решение. За случайна променлива хсъс закон за разпределение х 1 0

Р 0,3 0,7

получаваме интервалите D 1 - (0; 0.3) и D 2 - (0.3; 1). Използваме същата извадка от случайни числа, както в предишния пример, за която числата №№1,3 и 7 попадат в интервала D 1, а останалите - в интервала D 2 . Следователно можем да приемем, че събитието Асе случи в първия, третия и седмия опит, но не се случи в другите.

3. Възпроизвеждане на пълна група от събития.

Ако събития А 1 , А 2 , …, A p, чиито вероятности са равни Р 1 , Р 2 ,… r p, образуват пълна група, тогава за разиграване (т.е. моделиране на последователността на техните изяви в поредица от тестове), можете да изиграете дискретна случайна променлива хсъс закон за разпределение х 1 2 … П,правейки това по същия начин, както в параграф 1. В същото време приемаме, че

p p 1 Р 2 … r p

Ако хпридобива стойност x i = i, тогава в този опит е настъпило събитие A i.

4. Възпроизвеждане на непрекъсната случайна променлива.

а) Метод на обратните функции.

Нека се изисква да се възпроизведе непрекъсната случайна променлива х, т.е. вземете последователността от възможните му стойности x i (аз = 1, 2, …, н), знаейки функцията на разпределение Е(х).

Теорема 24.2.Ако r iе произволно число, тогава възможната стойност x iвъзпроизведена непрекъсната случайна променлива хс дадена функция на разпределение Е(х), съответстващ r i, е коренът на уравнението

Е(x i) = r i. (24.1)

Доказателство.

защото Е(х) нараства монотонно в диапазона от 0 до 1, тогава има (и уникална) стойност на аргумента x i, при което функцията на разпределение приема стойността r i. Следователно уравнение (24.1) има уникално решение: x i= Е -1 (r i), Където Е-1 - функция, обратна на Е. Нека докажем, че коренът на уравнение (24.1) е възможна стойност на разглежданата случайна променлива Х.Да предположим първо това x iе възможна стойност на някаква случайна променлива x и доказваме, че вероятността x да попадне в интервала ( c, d) е равно на Е(д) – Е(° С). Наистина, поради монотонността Е(х) и това Е(x i) = r i. Тогава

Следователно, следователно вероятността x да попадне в интервала ( c, d) е равно на нарастването на функцията на разпределение Е(х) на този интервал, следователно x = х.

Играйте 3 възможни стойности на непрекъсната случайна променлива х, разпределени равномерно в интервала (5; 8).

Е(х) = , т.е. необходимо е да се реши уравнението. Да изберем 3 произволни числа: 0,23; 0,09 и 0,56 и ги заместете в това уравнение. Вземете съответните възможни стойности х:

б) Метод на суперпозиция.

Ако функцията на разпределение на възпроизвежданата случайна променлива може да бъде представена като линейна комбинация от две функции на разпределение:

тогава , защото при х®¥ Е(х) ® 1.

Въвеждаме спомагателна дискретна случайна променлива Зсъс закон за разпределение

З 12 . Нека изберем 2 независими произволни числа r 1 и r 2 и изиграйте възможното

настолен компютър 1 ° С 2

значение Зпо номер r 1 (виж параграф 1). Ако З= 1, тогава търсим желаната възможна стойност хот уравнението и ако З= 2, тогава решаваме уравнението .

Може да се докаже, че в този случай функцията на разпределение на разиграната случайна променлива е равна на дадената функция на разпределение.

в) Приблизителна симулация на нормална случайна променлива.

Тъй като за Р, равномерно разпределени в (0, 1), , тогава за сумата Пнезависими, равномерно разпределени в интервала (0,1) случайни величини . Тогава, по силата на централната гранична теорема, нормализираната случайна променлива при П® ¥ ще има разпределение, близко до нормалното, с параметри А= 0 и s =1. По-специално се получава доста добро приближение за П = 12:

И така, за да възпроизведем възможната стойност на нормализираната нормална случайна променлива х, трябва да добавите 12 независими произволни числа и да извадите 6 от сумата.

От всички случайни променливи най-лесно е да се играе (симулира) равномерно разпределена променлива. Да видим как се прави.

Да вземем някакво устройство, на изхода на което с вероятност могат да се появят цифрите 0 или 1; появата на едно или друго число трябва да бъде случайна. Такова устройство може да бъде хвърлена монета, зар (четно - 0, нечетно - 1) или специален генератор, базиран на преброяване на броя на радиоактивните разпадания или изблици на радио шум за определено време (четно или нечетно).

Нека запишем y като двоична дроб и заменим последователните цифри с числа, генерирани от генератора: например, . Тъй като първата цифра е еднакво вероятно да бъде 0 или 1, това число е еднакво вероятно да лежи в лявата или дясната половина на сегмента. Тъй като 0 и 1 също са еднакво вероятни във втората цифра, числото лежи във всяка половина от тези половини с еднаква вероятност и т. н. Следователно, двоична дроб със случайни цифри наистина приема всякаква стойност в сегмента с еднаква вероятност

Строго погледнато, само краен брой битове k могат да бъдат възпроизведени. Следователно разпространението няма да е напълно необходимо; математическото очакване ще бъде по-малко от 1/2 от стойността (защото стойността е възможна, но стойността е невъзможна). За да не повлияе този фактор, трябва да се вземат многоцифрени числа; Вярно е, че при метода на статистическото тестване точността на отговора обикновено не надвишава 0,1% -103, а условието дава, че на съвременните компютри е преизпълнено с голям марж.

псевдослучайни числа. Реалните генератори на произволни числа не са лишени от системни грешки: асиметрия на монети, дрейф на нулата и т.н. Следователно качеството на произвежданите от тях числа се проверява чрез специални тестове. Най-простият тест е да се изчисли за всяка цифра честотата на поява на нула; ако честотата е забележимо различна от 1/2, тогава има систематична грешка, а ако е твърде близо до 1/2, тогава числата не са случайни - има някакъв модел. По-сложните тестове са изчисляването на коефициентите на корелация на последователни числа

или групи от цифри в число; тези коефициенти трябва да са близки до нула.

Ако някоя последователност от числа удовлетворява тези тестове, тогава тя може да се използва в изчисления по метода на статистическите тестове, без да се интересуваме от нейния произход.

Разработени са алгоритми за конструиране на такива последователности; символично те са записани чрез повтарящи се формули

Такива числа се наричат ​​псевдослучайни и се изчисляват на компютър. Обикновено това е по-удобно от използването на специални генератори. Но всеки алгоритъм има собствено ограничение за броя на членовете на последователността, които могат да се използват в изчисленията; с по-голям брой членове се губи случайният характер на числата, например се открива периодичност.

Първият алгоритъм за получаване на псевдослучайни числа е предложен от Нойман. Нека вземем число от цифри (десетично за определеност) и го повдигнем на квадрат. Оставяме средните числа близо до квадрата, като изхвърляме последното и (или) първото. Отново квадратираме полученото число и т. н. Стойностите се получават чрез умножаване на тези числа по Например, нека зададем и изберем първоначалното число 46; тогава получаваме

Но разпределението на числата на Нойман не е достатъчно равномерно (преобладават стойностите, което ясно се вижда в примера по-горе) и сега те рядко се използват.

Най-често използваният сега е прост и добър алгоритъм, свързан с избора на дробната част на продукта

където A е много голяма константа (къдравата скоба означава дробната част от числото). Качеството на псевдослучайните числа силно зависи от избора на стойността A: това число в двоична система трябва да има достатъчно "случайна" стойност, въпреки че последната му цифра трябва да се приема за единица. Стойността има малък ефект върху качеството на последователността, но е отбелязано, че някои стойности са неуспешни.

С помощта на експерименти и теоретичен анализ са изследвани и препоръчани следните стойности: за БЕСМ-4; за БЕСМ-6. За някои американски компютри тези числа са препоръчителни и са свързани с броя на цифрите в мантисата и реда на числото, така че са различни за всеки тип компютър.

Забележка 1. По принцип формули като (54) могат да дадат много дълги добри последователности, ако са записани в нерекурсивна форма и всички умножения се извършват без закръгляне. Нормалното закръгляване на компютър влошава качеството на псевдослучайните числа, но въпреки това членовете на редицата обикновено са подходящи.

Забележка 2. Качеството на последователността се подобрява, ако в алгоритъма (54) се въведат малки случайни смущения; например след нормализиране на число е полезно да изпратите двоичния ред на числото до последните двоични цифри на неговата мантиса

Строго погледнато, редовността на псевдослучайните числа трябва да бъде незабележима във връзка с необходимото конкретно приложение. Следователно в прости или добре формулирани задачи могат да се използват последователности с не много добро качество, но са необходими специални проверки.

Произволно разпределение. За да възпроизведете произволна променлива с неравномерно разпределение, можете да използвате формула (52). Играйте y и определете от равенството

Ако интегралът се вземе в крайната му форма и формулата е проста, тогава това е най-удобният начин. За някои важни разпределения - Гаус, Поасон - не се вземат съответните интеграли и са разработени специални начини за разиграване.

Нека се изисква да се възпроизведе непрекъсната случайна променлива X, т.е. вземете последователността от възможните му стойности (i=1, 2, ..., n), като знаете функцията на разпределение F(x).

Теорема. Ако е произволно число, тогава възможната стойност на непрекъснатата случайна променлива X, която се играе с дадена функция на разпределение F (x), съответстваща на , е коренът на уравнението .

Правило 1 За да намерите възможна стойност, непрекъсната случайна променлива X, знаейки нейната функция на разпределение F (x), е необходимо да изберете произволно число , да приравните неговата функция на разпределение и да решите полученото уравнение.

Забележка 1. Ако не е възможно да се реши това уравнение изрично, тогава прибягвайте до графични или числени методи.

Пример 1. Възпроизвеждане на 3 възможни стойности на непрекъсната случайна променлива X, разпределени равномерно в интервала (2, 10).

Решение: Да напишем функцията на разпределение на стойността X, разпределена равномерно в интервала (a, b): .

По условие, a=2, b=10, следователно, .

Използвайки правило 1, ние пишем уравнение, за да намерим възможните стойности на , за които приравняваме функцията на разпределение към произволно число:

Оттук .

Нека изберем 3 произволни числа, например, , , . Заместете тези числа в уравнението, разрешено по отношение на ; в резултат на това получаваме съответните възможни стойности на X: ; ; .

Пример 2. Непрекъсната случайна променлива X се разпределя по експоненциален закон, даден от функцията на разпределение (параметърът е известен) (x > 0). Изисква се да се намери изрична формула за възпроизвеждане на възможните стойности на X.

Решение: Използвайки правилото, напишете уравнението.

Нека решим това уравнение за: , или .

Случайното число е в интервала (0, 1); следователно числото също е случайно и принадлежи към интервала (0,1). С други думи, R и 1-R са еднакво разпределени. Следователно, за да го намерите, можете да използвате по-проста формула.

Забележка 2.Известно е, че.

В частност, .

От това следва, че ако плътността на вероятността е известна, тогава, за да изиграем X, вместо уравненията, можем да решим уравнението по отношение на .

Правило 2 За да се намери възможната стойност на непрекъсната случайна променлива X, като се знае нейната плътност на вероятността, трябва да се избере произволно число и да се реши уравнение или уравнение по отношение на , където a е най-малката крайна възможна стойност на X.

Пример 3. Дадена е плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива X в интервала ; извън този интервал. Изисква се да се намери изрична формула за възпроизвеждане на възможните стойности на X.

Решение: Нека напишем уравнение в съответствие с правило 2.

След интегриране и решаване на получената квадратно уравнениеотносително , най-накрая получаваме.

18.7 Приблизителна игра на нормална случайна променлива

Напомняме първо, че ако случайна величина R е равномерно разпределена в интервала (0, 1), то нейните математическо очакване и дисперсия са съответно равни: М(R)=1/2, D(R)=1/12.

Нека съставим сумата от n независими, равномерно разпределени в интервала (0, 1) случайни променливи : .

За да нормализираме тази сума, първо намираме нейното математическо очакване и дисперсия.

Известно е, че математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете. Сумата съдържа n члена, математическото очакване на всеки от които, поради M(R)=1/2, е 1/2; следователно, очакването на сумата

Известно е, че дисперсията на сумата от независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на членовете. Сумата съдържа n независими члена, дисперсията на всеки от които, поради D(R)=1/12, е равна на 1/12; следователно дисперсията на сумата

Оттук и стандартното отклонение на сумата

Нормализираме разглежданата сума, за която изваждаме математическото очакване и разделяме резултата на стандартното отклонение: .

По силата на централната гранична теорема при , разпределението на тази нормализирана случайна променлива клони към нормално с параметрите a=0 и . За ограничено n разпределението е приблизително нормално. По-специално, за n=12 получаваме доста добро и лесно за изчисляване приближение.

Оценките са задоволителни: близки до нула, малко по-различни от единица.

Списък на използваните източници

1. Гмурман В.Е. Теория на вероятностите и математическа статистика. - М.: Висше училище, 2001.

2. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическа статистика. - М .: Висше училище, 2001.

3. Гмурман В.Е. Ръководство за решаване на задачи по теория на вероятностите и математическа статистика. - М .: Висше училище, 2001.

4. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория на вероятностите и математическа статистика. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2003.

5. Агапов Г.И. Проблемна книга по теория на вероятностите. - М .: Висше училище, 1994.

6. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория на вероятностите и математическа статистика. – М.: ИНФРА-М, 2001.

7. Вентцел Е.С. Теория на вероятностите. - М .: Висше училище, 2001.