Εξαρτημένες και ανεξάρτητες εκδηλώσεις. Παραγωγή εκδηλώσεων. Η έννοια της υπό όρους πιθανότητας. Θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων (με απόδειξη).

Τύποι συνολικής πιθανότητας και Bayes (με απόδειξη). Παραδείγματα.

Επαναλαμβανόμενες ανεξάρτητες δοκιμές. Ο τύπος του Bernoulli (με συμπέρασμα). Παραδείγματα.

Τοπικό θεώρημα Moivre-Laplace, προϋποθέσεις εφαρμογής του. Ιδιότητες της συνάρτησης Dx). Παράδειγμα.

Ασύμπτωτος τύπος Poisson και προϋποθέσεις για την εφαρμογή του. Παράδειγμα.

Το ολοκληρωτικό θεώρημα Moivre-Laplace και προϋποθέσεις εφαρμογής του. Η συνάρτηση Laplace f(x) και οι ιδιότητές της. Παράδειγμα.

Συμπεράσματα από το ολοκληρωτικό θεώρημα Moivre-Laplace (με συμπέρασμα). Παραδείγματα.

Μαθηματική προσδοκία μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και οι ιδιότητές της (με παραγωγή). Παραδείγματα.

Διασπορά μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και των ιδιοτήτων της (με παραγωγή). Παραδείγματα.

Συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής, ορισμός, ιδιότητες και γράφημα.

Συνεχής τυχαία μεταβλητή (νέα). Η πιθανότητα μιας μεμονωμένης τιμής του nsv. Μαθηματική προσδοκία και διασπορά του nsv.

Πυκνότητα πιθανότητας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, ορισμός, ιδιότητες και γράφημά της.

Μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με το διωνυμικό νόμο, τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανσή της. Νόμος διανομής Poisson.

Μαθηματική προσδοκία και διασπορά του αριθμού και της συχνότητας των εμφανίσεων ενός γεγονότος σε n επαναλαμβανόμενες ανεξάρτητες δοκιμές (με συμπέρασμα).

Ορισμός του νόμου κανονικής διανομής. Θεωρητική και πιθανολογική σημασία των παραμέτρων του. Η κανονική καμπύλη και η εξάρτηση της θέσης και του σχήματός της από παραμέτρους.

Η συνάρτηση κατανομής μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής και η έκφρασή της μέσω της συνάρτησης Laplace.

Τύποι για τον προσδιορισμό της πιθανότητας: α) μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή να πέσει σε ένα δεδομένο διάστημα. β) οι αποκλίσεις του από τη μαθηματική προσδοκία. Ο κανόνας των τριών σίγμα.

Η έννοια μιας δισδιάστατης (/7-διάστατης) τυχαίας μεταβλητής. Παραδείγματα. Πίνακας κατανομής του. Μονοδιάστατες κατανομές των συστατικών του. Κατανομές υπό όρους και ο προσδιορισμός τους από τον πίνακα κατανομής.

Συνδιακύμανση και συντελεστής συσχέτισης τυχαίων μεταβλητών. Η σχέση μεταξύ συσχέτισης και ανεξαρτησίας τυχαίων μεταβλητών.

Η έννοια ενός δισδιάστατου νόμου κανονικής κατανομής. Υπό όρους μαθηματικές προσδοκίες και διακυμάνσεις.

Η ανισότητα του Markov (Λήμμα του Chebyshev) (με παράγωγο). Παράδειγμα.

Η ανισότητα του Chebyshev (με παραγωγή) και οι ειδικές περιπτώσεις της για μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με το διωνυμικό νόμο και για τη συχνότητα ενός γεγονότος.

Το θεώρημα του Chebyshev (με απόδειξη), το νόημα και η συνέπειά του. Παράδειγμα.

Νόμος των μεγάλων αριθμών. Το θεώρημα Bernoulli (με απόδειξη) και η σημασία του. Παράδειγμα.

Η ανισότητα του Chebyshev για τον αριθμητικό μέσο όρο των τυχαίων μεταβλητών (με παραγωγή).

Κεντρικό οριακό θεώρημα. Η έννοια του θεωρήματος του Lyapunov και η σημασία του. Παράδειγμα.

Σειρά παραλλαγής, οι ποικιλίες της. Αριθμητικός μέσος όρος και διακύμανση σειράς. Ένας απλοποιημένος τρόπος υπολογισμού τους.

Η έννοια της εκτίμησης των παραμέτρων ενός γενικού πληθυσμού. Ιδιότητες των αξιολογήσεων: αμερόληπτη, συνεπής, αποτελεσματική.

Εκτίμηση του γενικού μεριδίου με βάση τυχαίο δείγμα. Αμερόληπτη και συνέπεια της αναλογίας του δείγματος.

Εκτίμηση του γενικού μέσου όρου με βάση τυχαίο δείγμα. Η αμερόληπτη και η συνέπεια του δείγματος σημαίνει.

Εκτίμηση γενικής διακύμανσης με βάση τυχαίο δείγμα. Μεροληψία και συνέπεια δειγματοληπτικής διακύμανσης (χωρίς συμπέρασμα). Διορθώθηκε η διακύμανση δειγματοληψίας.

Η έννοια της εκτίμησης διαστήματος. Πιθανότητες εμπιστοσύνης και διάστημα εμπιστοσύνης. Οριακό σφάλμα δειγματοληψίας. Σφάλματα στην αντιπροσωπευτικότητα του δείγματος (τυχαία και συστηματικά).

Τύπος εμπιστοσύνης για την εκτίμηση του γενικού μέσου όρου. Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα επαναλαμβανόμενων και μη επαναλαμβανόμενων δειγμάτων και η κατασκευή ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για τον γενικό μέσο όρο.

Προσδιορισμός του απαιτούμενου όγκου επαναλαμβανόμενων και μη επαναλαμβανόμενων δειγμάτων κατά την εκτίμηση του γενικού μέσου όρου και του μεριδίου.

Στατιστική υπόθεση και στατιστικός έλεγχος. Σφάλματα 1ου και 2ου είδους. Επίπεδο σημαντικότητας και ισχύος του τεστ. Η αρχή της πρακτικής βεβαιότητας.

Κατασκευή θεωρητικού νόμου κατανομής με βάση πειραματικά δεδομένα. Η έννοια των κριτηρίων συναίνεσης.

Το κριτήριο καλής προσαρμογής x2-Pearson και το σχήμα εφαρμογής του.

Λειτουργικές, στατιστικές και συσχετιστικές εξαρτήσεις. Διαφορές μεταξύ τους. Κύρια καθήκοντα της θεωρίας συσχέτισης.

Γραμμική παλινδρόμηση ζεύγους. Σύστημα κανονικών εξισώσεων για τον προσδιορισμό των παραμέτρων των γραμμών παλινδρόμησης. Συνδιακύμανση δείγματος. Τύποι για τον υπολογισμό των συντελεστών παλινδρόμησης.

Απλοποιημένος τρόπος:

Εκτίμηση της στεγανότητας της σύνδεσης. Συντελεστής συσχέτισης (δείγμα), ιδιότητές του και αξιολόγηση αξιοπιστίας.

1. Η έννοια της εκτίμησης των παραμέτρων ενός γενικού πληθυσμού. Ιδιότητες των αξιολογήσεων: αμερόληπτη, συνεπής, αποτελεσματική.

Ας διατυπώσουμε το πρόβλημα της εκτίμησης παραμέτρων σε γενική μορφή . Αφήστε την κατανομή του χαρακτηριστικού X - ο γενικός πληθυσμός - να καθοριστεί από τη συνάρτηση vertey (για διακριτό SV X) ή την πυκνότητα του ver-ti
(για συνεχή SV X), που περιέχει μια άγνωστη παράμετρο . Για παράδειγμα, αυτή είναι η παράμετρος λ στην κατανομή Poisson ή οι παράμετροι a και
Για κανονικός νόμοςδιανομές κ.λπ.

Για να υπολογίσετε την παράμετρο Δεν είναι δυνατόν να μελετηθούν όλα τα στοιχεία του πληθυσμού. Επομένως, σχετικά με την παράμετρο προσπαθώντας να κρίνω με ένα δείγμα που αποτελείται από τιμές (επιλογές)
. Αυτές οι τιμές μπορούν να θεωρηθούν ως μερικές τιμές (πραγματοποιήσεις) n ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών
καθένα από τα οποία έχει τον ίδιο νόμο κατανομής με το ίδιο το SV X.

Ορισμός . Με εκτίμηση παράμετρος ονομάστε οποιαδήποτε συνάρτηση των αποτελεσμάτων των παρατηρήσεων στη γη της Γης (με άλλα λόγια, στατιστικά), με τη βοήθεια της οποίας κρίνεται η τιμή της παραμέτρου :

.

Επειδή η
είναι τυχαίες μεταβλητές, τότε η εκτίμηση (σε αντίθεση με την εκτιμώμενη παράμετρο - μια μη τυχαία, ντετερμινιστική ποσότητα) είναι μια τυχαία μεταβλητή ανάλογα με τον νόμο κατανομής του SV X και τον αριθμό n.

Η ποιότητα της αξιολόγησης δεν πρέπει να κρίνεται από τις μεμονωμένες τιμές της, αλλά μόνο από την κατανομή των τιμών της σε ένα μεγάλο δίκτυο δοκιμών, δηλ. με δειγματοληπτική κατανομή της εκτίμησης.

Εάν οι τιμές αξιολόγησης συγκεντρώνεται γύρω από την πραγματική τιμή της παραμέτρου , δηλ. το μεγαλύτερο μέρος της μάζας της κατανομής του δείγματος της εκτίμησης συγκεντρώνεται σε μια μικρή γειτονιά της εκτιμώμενης παραμέτρου , τότε με μεγάλη σιγουριά μπορούμε να υποθέσουμε ότι η εκτίμηση διαφορετικό από την παράμετρο μόνο σε μικρή ποσότητα. Επομένως, προκειμένου για την αξία ήταν κοντά στο , πρέπει προφανώς να απαιτήσουμε ότι η διασπορά τυχαία μεταβλητήσχετικά , που εκφράζεται, για παράδειγμα, με τη μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης της εκτίμησης από την εκτιμώμενη παράμετρο
, ήταν όσο το δυνατόν μικρότερο. Αυτή είναι η κύρια προϋπόθεση που πρέπει να πληροί η «καλύτερη» εκτίμηση.

Ιδιότητες βαθμολογιών.

Ορισμός . Βαθμός παράμετρος που ονομάζεται αμερόληπτος, εάν η αναμενόμενη τιμή του είναι ίση με την εκτιμώμενη παράμετρο, δηλ.
.

διαφορετικά καλείται η εκτίμηση εκτοπισμένοι.

Εάν αυτή η ισότητα δεν ισχύει, τότε η εκτίμηση , που λαμβάνεται από διαφορετικά δείγματα, κατά μέσο όρο είτε θα υπερεκτιμήσει την τιμή (Αν
, ή υποτιμήστε το (αν
). Η αμερόληπτη απαίτηση διασφαλίζει ότι δεν υπάρχουν συστηματικά σφάλματα στην εκτίμηση.

Αν για πεπερασμένο μέγεθος δείγματος n
, δηλ. μεροληψία εκτίμησης
, Αλλά
, τότε μια τέτοια εκτίμηση που ονομάζεται ασυμπτωτικά αμερόληπτη.

Ορισμός . Βαθμός παράμετρος που ονομάζεται πλούσιος, αν ικανοποιεί το νόμο των μεγάλων αριθμών, δηλ. συγκλίνει ως προς την ακρίβεια στην εκτιμώμενη παράμετρο:

, ή .

Στην περίπτωση χρήσης συνεπών εκτιμήσεων, δικαιολογείται η αύξηση του μεγέθους του δείγματος, διότι Στην περίπτωση αυτή, σημαντικά σφάλματα στην αξιολόγηση καθίστανται απίθανα. Επομένως, μόνο συνεπείς εκτιμήσεις έχουν πρακτική σημασία. Εάν η εκτίμηση είναι συνεπής, τότε είναι σχεδόν βέβαιο ότι για ένα αρκετά μεγάλο n
.

Αν το σκορ παράμετρος είναι αμερόληπτο και η διακύμανσή του
ως n → ∞, τότε η εκτίμηση είναι επίσης πλούσιος. Αυτό προκύπτει άμεσα από την ανισότητα του Chebyshev:

.

Ορισμός . Αμερόληπτη εκτίμηση καλείται παράμετρος αποτελεσματικός, εάν έχει τη μικρότερη απόκλιση μεταξύ όλων των πιθανών αμερόληπτων εκτιμήσεων παραμέτρων , υπολογισμένο από δείγματα ίδιου μεγέθους n.

Επειδή για αμερόληπτη εκτίμηση
είναι η διακύμανσή του , τότε το αποτέλεσμα είναι αποφασιστική ιδιοκτησία, που καθορίζει την ποιότητα της αξιολόγησης.

Η αποτελεσματικότητα της αξιολόγησης καθορίζεται από την αναλογία: .

Οπου Και - σε σχέση με τη διασπορά των πραγματικών και δεδομένων εκτιμήσεων. Όσο πιο κοντά είναι το e στο 1, τόσο πιο αποτελεσματική είναι η εκτίμηση. Αν e → 1 ως n → ∞, τότε μια τέτοια εκτίμηση ονομάζεται ασυμπτωτικά αποδοτική.

"

Στην παράμετρο που αξιολογείται.

Ορισμοί

• Αφήνω $X\_1,\backslash ldots,\; X\_n,\backslash ldots$- δείγμα για διανομή ανάλογα με την παράμετρο $\backslash \theta ή\tau \alpha \; \backslash \sigma \epsilon \; \backslash \Theta ή\tau \alpha$. Μετά η εκτίμηση $\backslash hat(\backslash theta)\; \backslash equiv\; \backslash hat(\backslash theta)(X\_1,\backslash ldots,X\_n)$λέγεται πλούσιος αν

$$κατά πιθανότητα στο $n\backslash to\backslash infty$.

Διαφορετικά, η αξιολόγηση ονομάζεται άκυρη.

• Βαθμός $\backslash \kappa \alpha \pi έ\lambda o\; (\backslash \theta ή\tau \alpha )$που ονομάζεται πολύ πλούσιος, Αν

$\backslash hat(\backslash theta)\; \backslash to\; \backslash theta,\backslash quad\; \backslash forall\; \backslash theta\backslash in\; \backslash Theta$σχεδόν σίγουρα σε $n\backslash to\backslash infty$.

Στην πράξη, δεν είναι δυνατό να «δούμε» τη σύγκλιση «σχεδόν σίγουρα», αφού τα δείγματα είναι πεπερασμένα. Επομένως, για τις εφαρμοσμένες στατιστικές αρκεί να απαιτείται η συνοχή της αξιολόγησης. Επιπλέον, εκτιμήσεις που θα ήταν λογικές, αλλά όχι πολύ πλούσιες, «στη ζωή» είναι πολύ σπάνιες. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών για πανομοιότυπα κατανεμημένες και ανεξάρτητες ποσότητες με πεπερασμένη πρώτη ροπή εκπληρώνεται επίσης σε μια ενισχυμένη έκδοση· όλα τα στατιστικά στοιχεία ακραίας τάξης συγκλίνουν επίσης λόγω της μονοτονίας, όχι μόνο στην πιθανότητα, αλλά σχεδόν σίγουρα.

Σημάδι

• Εάν η εκτίμηση συγκλίνει στην πραγματική τιμή της παραμέτρου "στο μέσο τετράγωνο" ή εάν η εκτίμηση είναι ασυμπτωτικά αμερόληπτη και η διακύμανσή της τείνει στο μηδέν, τότε μια τέτοια εκτίμηση θα είναι συνεπής.

Ιδιότητες

• Από τις ιδιότητες της σύγκλισης των τυχαίων μεταβλητών έχουμε ότι μια ισχυρά συνεπής εκτίμηση είναι πάντα συνεπής. Το αντίστροφο, σε γενικές γραμμές, δεν είναι αλήθεια.
• Δεδομένου ότι η διασπορά συνεπών εκτιμήσεων τείνει στο μηδέν, συχνά με ρυθμό της τάξης του 1/n, οι συνεπείς εκτιμήσεις συγκρίνονται μεταξύ τους με την ασυμπτωτική διασπορά της τυχαίας μεταβλητής $\backslash sqrt\; (n)\; (\backslash hat(\backslash theta)-\backslash theta)$(η ασυμπτωτική μαθηματική προσδοκία αυτής της τιμής είναι μηδέν).

Σχετικές έννοιες

• Το σκορ ονομάζεται σούπερ πλούσιος, εάν η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής $n\; (\backslash \kappa \alpha \pi έ\lambda o(\backslash \theta ή\tau \alpha )-\backslash \theta ή\tau \alpha )$τείνει σε μια πεπερασμένη τιμή. Δηλαδή, ο ρυθμός σύγκλισης της εκτίμησης προς την πραγματική τιμή είναι σημαντικά υψηλότερος από εκείνον μιας συνεπούς εκτίμησης. Για παράδειγμα, οι εκτιμήσεις των παραμέτρων παλινδρόμησης των συνολοκληρωμένων χρονοσειρών αποδεικνύονται εξαιρετικά συνεπείς.

Παραδείγματα

• Δείγμα μέσου όρου $\backslash bar(X)\; =\; \backslash frac(1)(n)\; \backslash sum\backslash limits\_(i=1)^n\; X\_i$είναι μια ισχυρά συνεπής εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας $X\_i$.
• Το περιοδόγραμμα είναι μια αμερόληπτη αλλά ασυνεπής εκτίμηση της φασματικής πυκνότητας.

δείτε επίσης

Γράψτε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Αξιολόγηση ήχου"

Απόσπασμα που χαρακτηρίζει μια ουσιαστική αξιολόγηση

«Ω, Κύριε ελέησον», πρόσθεσε πάλι ο διάκονος.
- Πηγαίνετε εκεί, είναι εκεί. Αυτή είναι. «Συνέχισα να αναστατώνομαι και να κλαίω», είπε ξανά η γυναίκα. - Αυτή είναι. Εδώ είναι.
Αλλά ο Πιέρ δεν άκουσε τη γυναίκα. Εδώ και μερικά δευτερόλεπτα, χωρίς να βγάλει τα μάτια του, κοίταξε τι συνέβαινε λίγα βήματα μακριά του. Κοίταξε την αρμενική οικογένεια και δύο Γάλλους στρατιώτες που πλησίασαν τους Αρμένιους. Ένας από αυτούς τους στρατιώτες, ένας μικρόσωμος, ταραχώδης άνδρας, ήταν ντυμένος με ένα μπλε παλτό ζωσμένο με ένα σχοινί. Είχε ένα σκουφάκι στο κεφάλι του και τα πόδια του ήταν γυμνά. Ο άλλος, που χτύπησε ιδιαίτερα τον Πιέρ, ήταν ένας μακρύς, σκυμμένος, ξανθός, αδύνατος άντρας με αργές κινήσεις και μια ηλίθια έκφραση στο πρόσωπό του. Αυτός ήταν ντυμένος με κουκούλα ζωφόρου, μπλε παντελόνι και μεγάλες σκισμένες μπότες. Ένας μικρός Γάλλος, χωρίς μπότες, με ένα μπλε σφύριγμα, πλησίασε αμέσως τους Αρμένιους, λέγοντας κάτι, έπιασε τα πόδια του γέρου και ο γέρος άρχισε αμέσως να βγάζει βιαστικά τις μπότες του. Ο άλλος, με κουκούλα, σταμάτησε απέναντι από την όμορφη Αρμενίτσα και σιωπηλά, ακίνητος, κρατώντας τα χέρια στις τσέπες, την κοίταξε.
«Πάρε, πάρε το παιδί», είπε ο Πιέρ, παραδίδοντας το κορίτσι και απευθυνόμενος στη γυναίκα αυτοκρατορικά και βιαστικά. - Δώσε τους, δώσε τους! - φώναξε σχεδόν στη γυναίκα, βάζοντας το κορίτσι που ούρλιαζε στο έδαφος, και ξανακοίταξε πίσω στη γαλλική και την αρμενική οικογένεια. Ο γέρος καθόταν ήδη ξυπόλητος. Ο μικρός Γάλλος έβγαλε την τελευταία του μπότα και χτύπησε τις μπότες τη μια πάνω στην άλλη. Ο γέρος, κλαίγοντας, είπε κάτι, αλλά ο Πιέρ το έβλεπε μόνο μια ματιά. όλη του η προσοχή στράφηκε στον Γάλλο με την κουκούλα, ο οποίος εκείνη την ώρα, ταλαντευόμενος αργά, κινήθηκε προς τη νεαρή γυναίκα και, βγάζοντας τα χέρια του από τις τσέπες του, της έπιασε το λαιμό.
Η όμορφη Αρμένισσα συνέχισε να κάθεται στην ίδια ακίνητη στάση, με τις μακριές βλεφαρίδες χαμηλωμένη, και σαν να μην έβλεπε και να μην ένιωθε τι της έκανε ο στρατιώτης.
Ενώ ο Πιερ έτρεχε τα λίγα σκαλοπάτια που τον χώριζαν από τους Γάλλους, ένας μακρύς επιδρομέας με κουκούλα έσκιζε ήδη το περιδέραιο που φορούσε από το λαιμό της Αρμένισσας και η νεαρή, κρατώντας το λαιμό της με τα χέρια της, ούρλιαξε με τσιριχτή φωνή .
– Laissez cette femme! [Άφησε αυτή τη γυναίκα!] - Ο Πιερ γρύλισε με μια ξέφρενη φωνή, πιάνοντας τον μακρύ, καμπουριασμένο στρατιώτη από τους ώμους και πετώντας τον μακριά. Ο στρατιώτης έπεσε, σηκώθηκε και έφυγε τρέχοντας. Αλλά ο σύντροφός του, πετώντας τις μπότες του, έβγαλε ένα μαχαίρι και προχώρησε απειλητικά στον Πιέρ.
- Voyons, pas de betises! [Ω καλά! Μην είσαι ανόητος!] – φώναξε.
Ο Πιερ βρισκόταν σε εκείνη την οργή που δεν θυμόταν τίποτα και η δύναμή του δεκαπλασιάστηκε. Όρμησε στον ξυπόλητο Γάλλο και, πριν προλάβει να βγάλει το μαχαίρι του, τον είχε ήδη χτυπήσει κάτω και τον σφυροκοπούσε με τις γροθιές του. Ακούστηκε μια επιδοκιμαστική κραυγή από το γύρω πλήθος, και την ίδια στιγμή μια έφιππη περίπολος Γάλλων λογχών εμφανίστηκε στη γωνία. Οι λογχοφόροι πλησίασαν τον Πιέρ και τον Γάλλο και τους περικύκλωσαν. Ο Πιέρ δεν θυμόταν τίποτα από αυτό που συνέβη στη συνέχεια. Θυμήθηκε ότι είχε χτυπήσει κάποιον, τον είχαν χτυπήσει και ότι στο τέλος ένιωσε ότι τα χέρια του ήταν δεμένα, ότι ένα πλήθος Γάλλων στρατιωτών στέκονταν γύρω του και έψαχναν το φόρεμά του.

Ορισμός.Η τυχαία μεταβλητή καλείται εκτίμησηάγνωστη παράμετρος, εάν η τιμή αυτής της τυχαίας μεταβλητής, που βρέθηκε από τα αποτελέσματα μιας σειράς μετρήσεων, μπορεί να ληφθεί ως κατά προσέγγιση τιμή αυτής της παραμέτρου, δηλ. αν ισχύει η ισότητα.

Παράδειγμα.Εάν η πιθανότητα εμφάνισης ενός συγκεκριμένου γεγονότος θεωρείται ως άγνωστη παράμετρος, τότε η εκτίμηση αυτής της παραμέτρου είναι η συχνότητα εμφάνισης του γεγονότος σε ανεξάρτητες δοκιμές (βλ. τον στατιστικό ορισμό της πιθανότητας και το θεώρημα Bernoulli).

Παράδειγμα.Αφήστε τις τυχαίες μεταβλητές έχουν την ίδια μαθηματική προσδοκία, δηλ. . Τότε η εκτίμηση της τιμής της γενικής μαθηματικής προσδοκίας τέτοιων τυχαίων μεταβλητών είναι ο αριθμητικός μέσος όρος αυτές τις τυχαίες μεταβλητές. Μια σημαντική ειδική περίπτωση της εξεταζόμενης κατάστασης είναι η ακόλουθη

Παράδειγμα. Μια εκτίμηση μιας συγκεκριμένης παραμέτρου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος Αποτελέσματα ανεξάρτητες μετρήσεις αυτής της παραμέτρου (δείτε το θεώρημα του Chebyshev).

Όταν χρησιμοποιείται απευθείας η κατά προσέγγιση ισότητα μιλάμε για εκτίμηση σημείωνάγνωστη παράμετρος.

Είναι επίσης δυνατό εκτίμηση διαστήματοςάγνωστη παράμετρος. Για να εξηγήσουμε σε τι αποτελείται, εισάγουμε τις ακόλουθες έννοιες.

Ορισμός.Για ένα αυθαίρετο διάστημα καλείται διάστημα εμπιστοσύνης;η ίδια η ποσότητα ονομάζεται σε αυτή την περίπτωση οριακό δειγματοληπτικό σφάλμα.

Ορισμός.Η πιθανότητα η άγνωστη τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου να καλύπτεται από ένα διάστημα εμπιστοσύνης ονομάζεται πιθανότητα εμπιστοσύνης.

Έτσι, εάν – εκτίμηση παραμέτρων , Οτι

– πιθανότητα εμπιστοσύνης (υποθέτουμε ότι η εκτίμηση είναι μια συνεχής τυχαία μεταβλητή).

Η εκτίμηση διαστήματος συνίσταται, για παράδειγμα, στον υπολογισμό της πιθανότητας εμπιστοσύνης για ένα δεδομένο μέγιστο δειγματοληπτικό σφάλμα.

Η επίλυση του προβλήματος της εκτίμησης διαστήματος σχετίζεται με τον προσδιορισμό της φύσης του νόμου κατανομής της εκτίμησης που χρησιμοποιείται .

Ας εξετάσουμε τώρα ορισμένες ιδιότητες των εκτιμήσεων.

Ορισμός.Η εκτίμηση παραμέτρων καλείται αμερόληπτος, εάν η μαθηματική προσδοκία αυτής της εκτίμησης είναι ίση με την εκτιμώμενη παράμετρο, δηλ.

Ορισμός.Η εκτίμηση παραμέτρων καλείται πλούσιος, εάν η παρακάτω οριακή σχέση ισχύει για μια αυθαίρετη

Με άλλα λόγια, μια εκτίμηση μιας παραμέτρου είναι συνεπής εάν αυτή η εκτίμηση συγκλίνει κατά πιθανότητα στη δεδομένη παράμετρο. (Θυμηθείτε ότι παραδείγματα σύγκλισης αυτού του είδους δίνονται από τα θεωρήματα των Bernoulli και Chebyshev, βλ. § 6.2.)

Ορισμός.Καλείται μια αμερόληπτη εκτίμηση κάποιας παραμέτρου αποτελεσματικός, εάν έχει τη μικρότερη απόκλιση μεταξύ όλων των αμερόληπτων εκτιμήσεων που βρέθηκαν από ένα δείγμα δεδομένου μεγέθους.

Παράδειγμα.Συχνότητα η εμφάνιση κάποιου γεγονότος είναι μια αμερόληπτη, συνεπής και αποτελεσματική εκτίμηση της πιθανότητας αυτό το γεγονός . Σημειώστε ότι οι ιδιότητες της αμερόληπτης και της συνέπειας της συχνότητας θεωρήθηκαν στην πραγματικότητα από εμάς νωρίτερα σε ένα ελαφρώς διαφορετικό πλαίσιο. Πράγματι, η αμερόληπτη συχνότητα—ισότητα—είναι μία από τις ιδιότητες μιας διωνυμικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής (βλ. § 3.3). Η συνέπεια της συχνότητας δηλώνεται από το θεώρημα του Bernoulli (βλ. § 6.2).

Παράδειγμα. Ο αριθμητικός μέσος όρος ενός συγκεκριμένου αριθμού ανεξάρτητων και πανομοιότυπα κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών είναι μια αμερόληπτη και συνεπής εκτίμηση της γενικής μαθηματικής προσδοκίας αυτών των τυχαίων μεταβλητών. Πράγματι, η αμερόληπτη είναι ιδιότητα 5 της μαθηματικής προσδοκίας (βλ. § 3.3). Η συνέπεια επιβεβαιώνεται από το θεώρημα του Chebyshev (βλ. § 6.2).

) προβλήματα μαθηματικής στατιστικής.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια παραμετρική οικογένεια κατανομών πιθανοτήτων (για λόγους απλότητας, θα εξετάσουμε την κατανομή των τυχαίων μεταβλητών και την περίπτωση μιας παραμέτρου). Εδώ είναι μια αριθμητική παράμετρος της οποίας η τιμή είναι άγνωστη. Απαιτείται να εκτιμηθεί με βάση το διαθέσιμο δείγμα τιμών που δημιουργείται από αυτήν την κατανομή.

Υπάρχουν δύο κύριοι τύποι αξιολογήσεων: σημειακές εκτιμήσειςΚαι διαστήματα εμπιστοσύνης.

Εκτίμηση σημείων

Η εκτίμηση σημείων είναι ένας τύπος στατιστικής εκτίμησης στην οποία η τιμή μιας άγνωστης παραμέτρου προσεγγίζεται με έναν ξεχωριστό αριθμό. Δηλαδή, είναι απαραίτητο να καθοριστεί η λειτουργία του δείγματος (στατιστικά)

,

του οποίου η τιμή θα θεωρηθεί ως προσέγγιση της άγνωστης αληθινής τιμής.

Οι συνήθεις μέθοδοι για την κατασκευή σημειακών εκτιμήσεων παραμέτρων περιλαμβάνουν: μέθοδο μέγιστης πιθανότητας, μέθοδο ροπών, μέθοδο ποσοστοιχίας.

Ακολουθούν ορισμένες ιδιότητες που μπορεί να έχουν ή να μην έχουν οι σημειακές εκτιμήσεις.

Πλούτος

Μία από τις πιο προφανείς απαιτήσεις για μια σημειακή εκτίμηση είναι ότι μπορεί να αναμένεται μια αρκετά καλή προσέγγιση στην πραγματική τιμή της παραμέτρου για αρκετά μεγάλα μεγέθη δειγμάτων. Αυτό σημαίνει ότι η εκτίμηση πρέπει να συγκλίνει στην πραγματική τιμή στο . Αυτή η ιδιότητα αξιολόγησης ονομάζεται πλούτος. Αφού μιλάμε για τυχαίες μεταβλητές για τις οποίες υπάρχουν ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙσύγκλιση, λοιπόν αυτό το ακίνητομπορεί να διατυπωθεί με ακρίβεια με διάφορους τρόπους:

Όταν χρησιμοποιείτε απλώς έναν όρο πλούτος, τότε συνήθως εννοούμε αδύναμη συνέπεια, δηλ. σύγκλιση στις πιθανότητες.

Η συνθήκη συνοχής είναι πρακτικά υποχρεωτική για όλες τις εκτιμήσεις που χρησιμοποιούνται στην πράξη. Οι εκτιμήσεις αποτυχίας χρησιμοποιούνται εξαιρετικά σπάνια.

Αμερόληπτη και ασυμπτωτική αμερόληπτη

Η εκτίμηση παραμέτρων καλείται αμερόληπτος, εάν η μαθηματική προσδοκία του είναι ίση με την πραγματική τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου:

.

Μια πιο αδύναμη κατάσταση είναι ασυμπτωτικός αμερόληπτος, που σημαίνει ότι η μαθηματική προσδοκία της εκτίμησης συγκλίνει στην πραγματική τιμή της παραμέτρου καθώς αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος:

.

Η αμερόληπτη είναι μια προτεινόμενη ιδιότητα για εκτιμήσεις. Ωστόσο, η σημασία του δεν πρέπει να υπερεκτιμάται. Τις περισσότερες φορές, υπάρχουν αμερόληπτες εκτιμήσεις παραμέτρων και στη συνέχεια προσπαθούν να λάβουν υπόψη μόνο αυτές. Ωστόσο, ενδέχεται να υπάρχουν στατιστικά προβλήματα στα οποία δεν υπάρχουν αμερόληπτες εκτιμήσεις. Το πιο διάσημο παράδειγμα είναι το εξής: εξετάστε την κατανομή Poisson με μια παράμετρο και θέστε το πρόβλημα της εκτίμησης της παραμέτρου . Μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει αμερόληπτος εκτιμητής για αυτό το πρόβλημα.

Σύγκριση βαθμολογιών και αποτελεσματικότητας

Για να συγκρίνετε διαφορετικές εκτιμήσεις της ίδιας παραμέτρου, χρησιμοποιείται η ακόλουθη μέθοδος: επιλέξτε μερικές συνάρτηση κινδύνου, που μετρά την απόκλιση της εκτίμησης από την πραγματική τιμή της παραμέτρου και η καλύτερη θεωρείται αυτή για την οποία αυτή η συνάρτηση παίρνει μικρότερη τιμή.

Τις περισσότερες φορές, η μαθηματική προσδοκία της τετραγωνικής απόκλισης της εκτίμησης από την πραγματική τιμή θεωρείται συνάρτηση κινδύνου

Για αμερόληπτες εκτιμήσεις, αυτή είναι απλώς η απόκλιση.

Υπάρχει ένα κατώτερο όριο σε αυτή τη συνάρτηση κινδύνου που ονομάζεται Ανισότητα Cramer-Rao.

Οι (αμερόληπτοι) εκτιμητές για τους οποίους επιτυγχάνεται αυτό το κάτω όριο (δηλαδή έχουν τη μικρότερη δυνατή διακύμανση) ονομάζονται αποτελεσματικός. Ωστόσο, η ύπαρξη μιας αποτελεσματικής εκτίμησης είναι μια μάλλον ισχυρή απαίτηση για την εργασία, κάτι που δεν συμβαίνει πάντα.

Μια πιο αδύναμη κατάσταση είναι ασυμπτωτική αποτελεσματικότητα, πράγμα που σημαίνει ότι η αναλογία της διακύμανσης της αμερόληπτης εκτίμησης προς το κάτω όριο Cramer-Rao τείνει σε ενότητα στο .

Σημειώστε ότι κάτω από επαρκώς ευρείες παραδοχές σχετικά με την κατανομή υπό μελέτη, η μέθοδος μέγιστης πιθανότητας δίνει μια ασυμπτωτικά αποτελεσματική εκτίμηση της παραμέτρου και εάν υπάρχει μια αποτελεσματική εκτίμηση, τότε δίνει μια αποτελεσματική εκτίμηση.

Επαρκείς στατιστικές

Οι στατιστικές καλούνται επαρκήςγια την παράμετρο , εάν η υπό όρους κατανομή δειγματοληψίας με την προϋπόθεση ότι , δεν εξαρτάται από την παράμετρο για όλες .

Η σημασία της έννοιας των επαρκών στατιστικών καθορίζεται από τα ακόλουθα έγκριση. Εάν είναι ένα επαρκές στατιστικό στοιχείο και είναι μια αμερόληπτη εκτίμηση της παραμέτρου , τότε η υπό όρους προσδοκία είναι επίσης μια αμερόληπτη εκτίμηση της παραμέτρου και η διακύμανσή της είναι μικρότερη ή ίση με τη διακύμανση της αρχικής εκτίμησης.

Θυμηθείτε ότι η υπό όρους προσδοκία είναι μια τυχαία μεταβλητή που είναι συνάρτηση του . Έτσι, στην κατηγορία των αμερόληπτων εκτιμήσεων, αρκεί να ληφθούν υπόψη μόνο εκείνες που αποτελούν συναρτήσεις επαρκών στατιστικών (εφόσον υπάρχουν τέτοιες στατιστικές για ένα δεδομένο πρόβλημα).

Η (αμερόληπτη) εκτίμηση της αποτελεσματικής παραμέτρου είναι πάντα επαρκής στατιστική.

Μπορούμε να πούμε ότι επαρκή στατιστικά στοιχεία περιέχουν όλες τις πληροφορίες σχετικά με την παράμετρο που εκτιμάται και περιέχονται στο δείγμα.

Προκειμένου οι στατιστικές εκτιμήσεις να παρέχουν μια καλή προσέγγιση των εκτιμώμενων παραμέτρων, πρέπει να είναι αμερόληπτες, αποτελεσματικές και συνεπείς.

Αμερόληπτοςονομάζεται εκτίμηση στατιστικών παραμέτρων , η μαθηματική προσδοκία της οποίας είναι ίση με την εκτιμώμενη παράμετρο για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος.

Εκτοπισμένοςπου ονομάζεται στατιστική εκτίμηση
παράμετρος , η μαθηματική προσδοκία του οποίου δεν είναι ίση με την εκτιμώμενη παράμετρο.

Αποτελεσματικόςπου ονομάζεται στατιστική εκτίμηση
παράμετρος , το οποίο για ένα δεδομένο μέγεθος δείγματος έχει τη μικρότερη διασπορά.

Πλούσιοςπου ονομάζεται στατιστική εκτίμηση
παράμετρος , που στο
τείνει κατά πιθανότητα στην εκτιμώμενη παράμετρο.

δηλαδή για οποιαδήποτε

.

Για δείγματα διαφορετικών μεγεθών, λαμβάνονται διαφορετικές τιμές του αριθμητικού μέσου όρου και της στατιστικής διασποράς. Επομένως, ο αριθμητικός μέσος όρος και η στατιστική διακύμανση είναι τυχαίες μεταβλητές για τις οποίες υπάρχει μαθηματική προσδοκία και διακύμανση.

Ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία του αριθμητικού μέσου όρου και της διακύμανσης. Ας υποδηλώσουμε με μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής

Εδώ οι παρακάτω θεωρούνται ως τυχαίες μεταβλητές: – S.V., οι τιμές του οποίου είναι ίσες με τις πρώτες τιμές που λαμβάνονται για διάφορα δείγματα όγκου από το γενικό πληθυσμό,
– S.V., οι τιμές των οποίων είναι ίσες με τις δεύτερες τιμές που λαμβάνονται για διάφορα δείγματα όγκου από το γενικό πληθυσμό, ...,
– S.V., του οποίου οι τιμές είναι ίσες -τις τιμές που ελήφθησαν για διάφορα δείγματα όγκου από το γενικό πληθυσμό. Όλες αυτές οι τυχαίες μεταβλητές κατανέμονται σύμφωνα με τον ίδιο νόμο και έχουν την ίδια μαθηματική προσδοκία.

Από τον τύπο (1) προκύπτει ότι ο αριθμητικός μέσος όρος είναι μια αμερόληπτη εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας, αφού η μαθηματική προσδοκία του αριθμητικού μέσου όρου είναι ίση με τη μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής. Ισχύει και αυτή η εκτίμηση. Η αποτελεσματικότητα αυτής της εκτίμησης εξαρτάται από τον τύπο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής
. Αν, για παράδειγμα,
κατανέμεται κανονικά, η εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας χρησιμοποιώντας τον αριθμητικό μέσο όρο θα είναι αποτελεσματική.

Ας βρούμε τώρα μια στατιστική εκτίμηση της διασποράς.

Η έκφραση για τη στατιστική διακύμανση μπορεί να μετασχηματιστεί ως εξής

(2)

Ας βρούμε τώρα τη μαθηματική προσδοκία της στατιστικής διασποράς

. (3)

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι
(4)

λαμβάνουμε από (3) -

Από τον τύπο (6) είναι σαφές ότι η μαθηματική προσδοκία της στατιστικής διασποράς διαφέρει κατά έναν παράγοντα από τη διασπορά, δηλ. είναι μια μεροληπτική εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού. Αυτό συμβαίνει γιατί αντί για την πραγματική αξία
, που είναι άγνωστο, ο στατιστικός μέσος όρος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της διακύμανσης .

Επομένως, εισάγουμε τη διορθωμένη στατιστική διακύμανση

(7)

Τότε η μαθηματική προσδοκία της διορθωμένης στατιστικής διακύμανσης είναι ίση με

εκείνοι. η διορθωμένη στατιστική διακύμανση είναι μια αμερόληπτη εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού. Η εκτίμηση που προκύπτει είναι επίσης συνεπής.