(πραγματικό, αυστηρά θετικό)

Κανονική κατανομή, επίσης λέγεται Gaussian κατανομήή Gauss - Laplace- κατανομή πιθανότητας, η οποία στη μονοδιάστατη περίπτωση δίνεται από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, που συμπίπτει με τη συνάρτηση Gauss:

f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2 , (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi ))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))))

όπου η παράμετρος μ είναι η μαθηματική προσδοκία (μέση τιμή), η διάμεσος και ο τρόπος κατανομής και η παράμετρος σ είναι η τυπική απόκλιση ( σ  ² - διακύμανση) της κατανομής.

Έτσι, η μονοδιάστατη κανονική κατανομή είναι μια οικογένεια κατανομών δύο παραμέτρων. Η περίπτωση πολλαπλών μεταβλητών περιγράφεται στο άρθρο "Πολυμεταβλητή κανονική κατανομή".

τυπική κανονική κατανομήονομάζεται κανονική κατανομή με μέσο όρο μ = 0 και τυπική απόκλιση σ = 1 .

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

• 1 / 5

  Η σημασία της κανονικής κατανομής σε πολλούς τομείς της επιστήμης (για παράδειγμα, στη μαθηματική στατιστική και τη στατιστική φυσική) προκύπτει από το κεντρικό οριακό θεώρημα της θεωρίας πιθανοτήτων. Εάν το αποτέλεσμα μιας παρατήρησης είναι το άθροισμα πολλών τυχαίων, ασθενώς αλληλοεξαρτώμενων μεταβλητών, καθεμία από τις οποίες συνεισφέρει μικρή σε σχέση με το συνολικό άθροισμα, τότε καθώς αυξάνεται ο αριθμός των όρων, η κατανομή του κεντρικού και κανονικοποιημένου αποτελέσματος τείνει στο κανονικό. Αυτός ο νόμος της θεωρίας πιθανοτήτων έχει ως συνέπεια την ευρεία κατανομή της κανονικής κατανομής, που ήταν ένας από τους λόγους για το όνομά του.

  Ιδιότητες

  Στιγμές

  Αν τυχαίες μεταβλητές X 1 (\displaystyle X_(1))Και X 2 (\displaystyle X_(2))είναι ανεξάρτητες και έχουν κανονική κατανομή με μαθηματικές προσδοκίες μ 1 (\displaystyle \mu _(1))Και μ 2 (\displaystyle \mu _(2))και διασπορές σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))Και σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))αντίστοιχα, λοιπόν X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2))έχει επίσης κανονική κατανομή με αναμενόμενη τιμή μ 1 + μ 2 (\style display \mu _(1)+\mu _(2))και διασπορά σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).)Αυτό σημαίνει ότι μια κανονική τυχαία μεταβλητή μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ενός αυθαίρετου αριθμού ανεξάρτητων κανονικών τυχαίων μεταβλητών.

  Μέγιστη εντροπία

  Η κανονική κατανομή έχει τη μέγιστη διαφορική εντροπία μεταξύ όλων των συνεχών κατανομών των οποίων η διακύμανση δεν υπερβαίνει μια δεδομένη τιμή.

  Μοντελοποίηση κανονικών ψευδοτυχαίων μεταβλητών

  Οι απλούστερες προσεγγιστικές μέθοδοι μοντελοποίησης βασίζονται στο κεντρικό οριακό θεώρημα. Δηλαδή, αν προσθέσουμε πολλές ανεξάρτητες πανομοιότυπα κατανεμημένες ποσότητες με πεπερασμένη διακύμανση, τότε το άθροισμα θα κατανεμηθεί κατά προσέγγισηΠρόστιμο. Για παράδειγμα, αν προσθέσετε 100 ανεξάρτητα πρότυπα εξίσουκατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές, τότε η κατανομή του αθροίσματος θα είναι περίπου κανονικός.

  Για τη δημιουργία λογισμικού κανονικά κατανεμημένων ψευδοτυχαίων μεταβλητών, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείται ο μετασχηματισμός Box - Muller. Σας επιτρέπει να δημιουργήσετε μια κανονικά κατανεμημένη τιμή με βάση μια ομοιόμορφα κατανεμημένη τιμή.

  Κανονική κατανομή στη φύση και τις εφαρμογές

  Η κανονική κατανομή βρίσκεται συχνά στη φύση. Για παράδειγμα, οι ακόλουθες τυχαίες μεταβλητές μοντελοποιούνται καλά από την κανονική κατανομή:

  • εκτροπή βολής.
  • σφάλματα μέτρησης (ωστόσο, τα σφάλματα ορισμένων οργάνων μέτρησης έχουν μη κανονικές κατανομές).
  • ορισμένα χαρακτηριστικά των ζωντανών οργανισμών σε έναν πληθυσμό.

  Αυτή η κατανομή είναι τόσο διαδεδομένη επειδή είναι μια απείρως διαιρετή συνεχής κατανομή με πεπερασμένη διακύμανση. Επομένως, κάποιοι άλλοι το προσεγγίζουν στο όριο, όπως το διωνυμικό και το Poisson. Πολλές μη ντετερμινιστικές φυσικές διεργασίες μοντελοποιούνται από αυτήν την κατανομή.

  Σχέση με άλλες διανομές

  • Η κανονική κατανομή είναι μια κατανομή Pearson τύπου XI.
  • Ο λόγος ενός ζεύγους ανεξάρτητων τυπικών κανονικά κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών έχει κατανομή  Cauchy. Αν δηλαδή η τυχαία μεταβλητή X (\displaystyle X)αντιπροσωπεύει τη σχέση X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Οπου Y (\displaystyle Y)Και Z (\displaystyle Z)είναι ανεξάρτητες τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές), τότε θα έχει κατανομή Cauchy.
  • Αν z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))είναι από κοινού ανεξάρτητες τυπικές κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλ. z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), στη συνέχεια η τυχαία μεταβλητή x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2))έχει κατανομή χ-τετράγωνο με k βαθμούς ελευθερίας.
  • Αν η τυχαία μεταβλητή X (\displaystyle X)υπόκειται σε λογαριθμική κανονική κατανομή, τότε ο φυσικός του λογάριθμος έχει κανονική κατανομή. Αν δηλαδή X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Οτι Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Και το αντίστροφο, αν Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Οτι X = exp⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \σωστά)).
  • Ο λόγος των τετραγώνων δύο τυπικών κανονικών τυχαίων μεταβλητών έχει

  ) παίζει ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στη θεωρία πιθανοτήτων και χρησιμοποιείται συχνότερα στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Το κύριο χαρακτηριστικό του είναι ότι είναι ο περιοριστικός νόμος, τον οποίο προσεγγίζουν άλλοι νόμοι κατανομής κάτω από πολύ κοινές τυπικές συνθήκες. Για παράδειγμα, το άθροισμα ενός αρκετά μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων (ή ασθενώς εξαρτώμενων) τυχαίων μεταβλητών υπακούει περίπου στον κανονικό νόμο, και όσο πιο ακριβές, τόσο πιο τυχαίες μεταβλητές αθροίζονται.

  Έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι τα σφάλματα μέτρησης, οι αποκλίσεις στις γεωμετρικές διαστάσεις και η θέση των στοιχείων των κτιριακών κατασκευών κατά την κατασκευή και τοποθέτησή τους, η μεταβλητότητα των φυσικών και μηχανικών χαρακτηριστικών των υλικών και τα φορτία που επιδρούν στις κτιριακές κατασκευές υπόκεινται στον κανονικό νόμο.

  Σχεδόν όλες οι τυχαίες μεταβλητές υπακούουν στην κατανομή Gauss, η απόκλιση της οποίας από τις μέσες τιμές προκαλείται από ένα μεγάλο σύνολο τυχαίων παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ξεχωριστά ασήμαντος (θεώρημα κεντρικού ορίου).

  κανονική κατανομήονομάζεται η κατανομή μιας τυχαίας συνεχούς μεταβλητής για την οποία η πυκνότητα πιθανότητας έχει τη μορφή (Εικ. 18.1).

  Ρύζι. 18.1. Κανονικός νόμος διανομής για ένα 1< a 2 .

  (18.1)

  όπου α και είναι οι παράμετροι κατανομής.

  Πιθανολογικά χαρακτηριστικά τυχαία μεταβλητή, που κατανέμονται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο, ισούνται με:

  Μαθηματική προσδοκία (18.2)

  Διασπορά (18.3)

  Τυπική απόκλιση (18.4)

  Συντελεστής ασυμμετρίας Α = 0(18.5)

  Υπέρβαση μι= 0. (18.6)

  Η παράμετρος σ που περιλαμβάνεται στην κατανομή Gauss είναι ίση με τον λόγο ρίζας-μέσος τετραγώνου μιας τυχαίας μεταβλητής. αξία ΕΝΑκαθορίζει τη θέση του κέντρου διανομής (βλ. Εικ. 18.1) και την τιμή ΕΝΑ- πλάτος κατανομής (Εικ. 18.2), δηλ. στατιστική εξάπλωση γύρω από το μέσο όρο.

  Ρύζι. 18.2. Κανονικός νόμος κατανομής για το σ 1< σ 2 < σ 3

  Η πιθανότητα πτώσης σε ένα δεδομένο διάστημα (από x 1 έως x 2) για μια κανονική κατανομή, όπως σε όλες τις περιπτώσεις, προσδιορίζεται από το ολοκλήρωμα της πυκνότητας πιθανότητας (18.1), το οποίο δεν εκφράζεται ως στοιχειώδεις συναρτήσεις και είναι αντιπροσωπεύεται από μια ειδική συνάρτηση, που ονομάζεται συνάρτηση Laplace (ολοκλήρωμα πιθανοτήτων).

  Μία από τις αναπαραστάσεις του ολοκληρώματος πιθανοτήτων:

  αξία Καιπου ονομάζεται ποσοστό.

  Μπορεί να φανεί ότι Ф(х) είναι μια περιττή συνάρτηση, δηλ. Ф(-х) = -Ф(х) . Οι τιμές αυτής της συνάρτησης υπολογίζονται και παρουσιάζονται με τη μορφή πινάκων στην τεχνική και εκπαιδευτική βιβλιογραφία.

  
  

  Η συνάρτηση κατανομής του κανονικού νόμου (Εικ. 18.3) μπορεί να εκφραστεί με βάση το ολοκλήρωμα πιθανότητας:

  Ρύζι. 18.2. Η λειτουργία του νόμου της κανονικής κατανομής.

  Η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο εμπίπτει στο διάστημα από Χ.έως x, καθορίζεται από την έκφραση:

  πρέπει να σημειωθεί ότι

  Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.

  Κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων που σχετίζονται με την κατανομή, συχνά πρέπει να λαμβάνεται υπόψη η πιθανότητα να πέσει σε ένα διάστημα που είναι συμμετρικό σε σχέση με τη μαθηματική προσδοκία, εάν το μήκος αυτού του διαστήματος π.χ. αν το ίδιο το διάστημα έχει όριο από έως , έχουμε:

  Κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, τα όρια των αποκλίσεων των τυχαίων μεταβλητών εκφράζονται μέσω του προτύπου, της τυπικής απόκλισης, πολλαπλασιαζόμενη με έναν ορισμένο παράγοντα που καθορίζει τα όρια της περιοχής αποκλίσεων μιας τυχαίας μεταβλητής.

  Λαμβάνοντας και χρησιμοποιώντας επίσης τον τύπο (18.10) και τον πίνακα F (x) (Παράρτημα αρ. 1), παίρνουμε

  Αυτοί οι τύποι δείχνουνότι αν μια τυχαία μεταβλητή έχει κανονική κατανομή, τότε η πιθανότητα απόκλισής της από τη μέση τιμή της όχι περισσότερο από σ είναι 68,27%, όχι περισσότερο από 2σ - 95,45%, και όχι περισσότερο από 3σ - 99,73%.

  Εφόσον η τιμή του 0,9973 είναι κοντά στη μονάδα, θεωρείται πρακτικά αδύνατο η κανονική κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής να αποκλίνει από τη μαθηματική προσδοκία περισσότερο από 3σ. Αυτός ο κανόνας, που ισχύει μόνο για μια κανονική κατανομή, ονομάζεται κανόνας τριών σίγμα. Η παραβίασή του είναι πιθανή P = 1 - 0,9973 = 0,0027. Αυτός ο κανόνας χρησιμοποιείται κατά τον καθορισμό των ορίων των επιτρεπόμενων αποκλίσεων των ανοχών των γεωμετρικών χαρακτηριστικών προϊόντων και δομών.

  Ορισμός 1

  Μια τυχαία μεταβλητή $X$ έχει κανονική κατανομή (Gaussian κατανομή) εάν η πυκνότητα της κατανομής της καθορίζεται από τον τύπο:

  \[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)(2(\sigma )^ 2))\]

  Εδώ το $aϵR$ είναι η μαθηματική προσδοκία και το $\sigma >0$ είναι η τυπική απόκλιση.

  Πυκνότητα της κανονικής κατανομής.

  Ας δείξουμε ότι αυτή η συνάρτηση είναι πράγματι μια πυκνότητα κατανομής. Για να το κάνετε αυτό, ελέγξτε την ακόλουθη συνθήκη:

  Εξετάστε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a)) ^ 2)(2(\sigma )^2))dx)$.

  Ας κάνουμε την αντικατάσταση: $\frac(x-a)(\sigma )=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$.

  Εφόσον η $f\left(t\right)=e^(\frac(-t^2)(2))$ είναι άρτια συνάρτηση, τότε

  Η ισότητα ισχύει, οπότε η συνάρτηση $\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)( 2 (\sigma )^2))$ είναι πράγματι η πυκνότητα κατανομής κάποιας τυχαίας μεταβλητής.

  Εξετάστε μερικές από τις απλούστερες ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής $\varphi \left(x\right)$:

  1. Το γράφημα της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής είναι συμμετρικό ως προς την ευθεία $x=a$.
  2. Η συνάρτηση $\varphi \left(x\right)$ φτάνει στο μέγιστο στο $x=a$, ενώ η $\varphi \left(a\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma ) e^(\frac(-((a-a))^2)(2(\sigma )^2))=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )$
  3. Η συνάρτηση $\varphi \left(x\right)$ μειώνεται ως $x>a$ και αυξάνεται ως $x
  4. Η συνάρτηση $\varphi \left(x\right)$ έχει σημεία καμπής στα $x=a+\sigma $ και $x=a-\sigma $.
  5. Η συνάρτηση $\varphi \left(x\right)$ προσεγγίζει ασυμπτωτικά τον άξονα $Ox$ ως $x\to \pm \infty $.
  6. Το σχηματικό γράφημα μοιάζει με αυτό (Εικ. 1).

  Φιγούρα 1 1. Διάγραμμα πυκνότητας κανονικής κατανομής

  Σημειώστε ότι αν $a=0$, τότε το γράφημα της συνάρτησης είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα $Oy$. Επομένως, η συνάρτηση $\varphi \left(x\right)$ είναι άρτια.

  Συνάρτηση κανονικής κατανομής πιθανότητας.

  Για να βρούμε τη συνάρτηση κατανομής πιθανότητας για μια κανονική κατανομή, χρησιμοποιούμε τον ακόλουθο τύπο:

  Ως εκ τούτου,

  Ορισμός 2

  Η συνάρτηση $F(x)$ ονομάζεται τυπική κανονική κατανομή εάν $a=0,\ \sigma =1$, δηλαδή:

  Εδώ $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ είναι η συνάρτηση Laplace.

  Ορισμός 3

  Συνάρτηση $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ ονομάζεται ολοκλήρωμα πιθανότητας.

  Αριθμητικά χαρακτηριστικά της κανονικής κατανομής.

  Μαθηματική προσδοκία: $M\left(X\right)=a$.

  Διακύμανση : $D\left(X\right)=(\sigma )^2$.

  Μέση τετραγωνική κατανομή: $\sigma \left(X\right)=\sigma $.

  Παράδειγμα 1

  Ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος σχετικά με την έννοια της κανονικής κατανομής.

  Εργασία 1: Το μήκος διαδρομής $X$ είναι τυχαίο συνεχής αξία. Το $X$ κατανέμεται σύμφωνα με τον νόμο κανονικής κατανομής, η μέση τιμή του οποίου είναι $4$ χιλιόμετρα και η τυπική απόκλιση είναι $100$ μέτρα.

  1. Βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητας κατανομής $X$.
  2. Κατασκευάστε ένα διαγραμματικό διάγραμμα της πυκνότητας κατανομής.
  3. Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής $X$.
  4. Βρείτε τη διακύμανση.
  1. Αρχικά, ας φανταστούμε όλες τις ποσότητες σε μία διάσταση: 100m = 0,1km

  Από τον ορισμό 1, παίρνουμε:

  \[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(0,1\sqrt(2\pi ))e^(\frac(-((x-4))^2)(0,02 ))\]

  (γιατί $a=4\ km,\ \sigma =0,1\ km)$

  1. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας κατανομής, έχουμε ότι το γράφημα της συνάρτησης $\varphi \left(x\right)$ είναι συμμετρικό ως προς την ευθεία $x=4$.

  Η συνάρτηση φτάνει στο μέγιστο στο σημείο $\left(a,\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\right)=(4,\ \frac(1)(0,1\sqrt( 2\pi )))$

  Το σχηματικό γράφημα μοιάζει με:

  

  Σχήμα 2.

  1. Εξ ορισμού της συνάρτησης διανομής $F\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\int\limits^x_(-\infty )(e^(\frac( -( (t-a))^2)(2(\sigma )^2))dt)$, έχουμε:
  \
  1. $D\left(X\right)=(\sigma )^2=0,01$.

  Ο νόμος της κανονικής κατανομής (συχνά αποκαλούμενος νόμος του Gauss) παίζει εξαιρετικά σημαντικό ρόλο στη θεωρία πιθανοτήτων και κατέχει μια ιδιαίτερη θέση μεταξύ άλλων νόμων κατανομής. Αυτός είναι ο πιο κοινός νόμος διανομής στην πράξη. Το κύριο χαρακτηριστικό που διακρίνει τον κανονικό νόμο από άλλους νόμους είναι ότι είναι ο περιοριστικός νόμος, στον οποίο προσεγγίζουν άλλοι νόμοι κατανομής κάτω από πολύ συχνά τυπικές συνθήκες.

  Μπορεί να αποδειχθεί ότι το άθροισμα ενός αρκετά μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων (ή ασθενώς εξαρτώμενων) τυχαίων μεταβλητών που υπόκεινται σε νόμους αυθαίρετης κατανομής (υπόκεινται σε ορισμένους πολύ χαλαρούς περιορισμούς) υπακούει κατά προσέγγιση στον κανονικό νόμο, και αυτό ισχύει όσο ακριβέστερα όσο μεγαλύτερη είναι η αθροίζεται ο αριθμός των τυχαίων μεταβλητών. Οι περισσότερες από τις τυχαίες μεταβλητές που συναντώνται στην πράξη, όπως, για παράδειγμα, σφάλματα μέτρησης, σφάλματα βολής κ.λπ., μπορούν να αναπαρασταθούν ως το άθροισμα ενός πολύ μεγάλου αριθμού σχετικά μικρών όρων - στοιχειωδών σφαλμάτων, καθένα από τα οποία προκαλείται από δράση μιας ξεχωριστής αιτίας που δεν εξαρτάται από τις άλλες . Όποιοι νόμοι κατανομής μπορεί να υπόκεινται σε μεμονωμένα στοιχειώδη σφάλματα, τα χαρακτηριστικά αυτών των κατανομών στο άθροισμα ενός μεγάλου αριθμού όρων ισοπεδώνονται και το άθροισμα αποδεικνύεται ότι υπόκειται σε νόμο κοντά στο κανονικό. Ο κύριος περιορισμός που επιβάλλεται στα αθροίσιμα σφάλματα είναι ότι όλα παίζουν εξίσου έναν σχετικά μικρό ρόλο στο συνολικό άθροισμα. Εάν αυτή η προϋπόθεση δεν πληρούται και, για παράδειγμα, ένα από τα τυχαία σφάλματα αποδειχθεί ότι υπερισχύει έντονα έναντι όλων των άλλων στην επιρροή του στο άθροισμα, τότε ο νόμος κατανομής αυτού του επικρατούντος σφάλματος θα επιβάλει την επιρροή του στο άθροισμα και καθορίζουν στα κύρια χαρακτηριστικά του τον νόμο διανομής του.

  Τα θεωρήματα που καθιερώνουν τον κανονικό νόμο ως το όριο για το άθροισμα ανεξάρτητων ομοιόμορφα μικρών τυχαίων όρων θα εξεταστούν λεπτομερέστερα στο Κεφάλαιο 13.

  Ο νόμος της κανονικής κατανομής χαρακτηρίζεται από μια πυκνότητα πιθανότητας της μορφής:

  Η καμπύλη κατανομής σύμφωνα με τον κανονικό νόμο έχει συμμετρική λοφώδη εμφάνιση (Εικ. 6.1.1). Η μέγιστη τεταγμένη της καμπύλης, ίση με , αντιστοιχεί στο σημείο ; καθώς απομακρυνόμαστε από το σημείο, η πυκνότητα κατανομής μειώνεται και στο , η καμπύλη προσεγγίζει ασυμπτωτικά τον άξονα της τετμημένης.

  

  Ας μάθουμε τη σημασία των αριθμητικών παραμέτρων που περιλαμβάνονται στην έκφραση του κανονικού νόμου (6.1.1). θα αποδείξουμε ότι η τιμή δεν είναι παρά η μαθηματική προσδοκία και η τιμή είναι η τυπική απόκλιση της τιμής . Για να γίνει αυτό, υπολογίζουμε τα κύρια αριθμητικά χαρακτηριστικά της ποσότητας - τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση.

  

  Εφαρμογή της αλλαγής της μεταβλητής

  Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι το πρώτο από τα δύο διαστήματα στον τύπο (6.1.2) είναι ίσο με μηδέν. το δεύτερο είναι το γνωστό ολοκλήρωμα Euler-Poisson:

  . (6.1.3)

  Ως εκ τούτου,

  εκείνοι. η παράμετρος είναι η μαθηματική προσδοκία της τιμής . Αυτή η παράμετρος, ειδικά σε εργασίες σκοποβολής, ονομάζεται συχνά κέντρο διασποράς (συντομογραφία c.r.).

  Ας υπολογίσουμε τη διασπορά της ποσότητας:

  .

  Εφαρμόζοντας ξανά την αλλαγή της μεταβλητής

  Ενσωματώνοντας ανά εξαρτήματα, παίρνουμε:

  Ο πρώτος όρος σε σγουρές αγκύλες είναι ίσος με μηδέν (καθώς όταν μειώνεται ταχύτερα από οποιαδήποτε αύξηση ισχύος), ο δεύτερος όρος σύμφωνα με τον τύπο (6.1.3) είναι ίσος με , από όπου

  Επομένως, η παράμετρος στον τύπο (6.1.1) δεν είναι παρά η τυπική απόκλιση της τιμής .

  Ας μάθουμε τη σημασία των παραμέτρων και την κανονική κατανομή. Μπορεί να φανεί απευθείας από τον τύπο (6.1.1) ότι το κέντρο συμμετρίας της κατανομής είναι το κέντρο σκέδασης. Αυτό είναι σαφές από το γεγονός ότι όταν το πρόσημο της διαφοράς αντιστρέφεται, η έκφραση (6.1.1) δεν αλλάζει. Εάν αλλάξετε το κέντρο διασποράς , η καμπύλη κατανομής θα μετατοπιστεί κατά μήκος του άξονα x χωρίς να αλλάξει το σχήμα του (Εικ. 6.1.2). Το κέντρο της σκέδασης χαρακτηρίζει τη θέση της κατανομής στον άξονα x.

  

  Η διάσταση του κέντρου σκέδασης είναι ίδια με τη διάσταση της τυχαίας μεταβλητής.

  Η παράμετρος δεν χαρακτηρίζει τη θέση, αλλά το ίδιο το σχήμα της καμπύλης κατανομής. Αυτό είναι το χαρακτηριστικό διασποράς. Η μεγαλύτερη τεταγμένη της καμπύλης κατανομής είναι αντιστρόφως ανάλογη με το ; όταν αυξάνεται, η μέγιστη τεταγμένη μειώνεται. Δεδομένου ότι το εμβαδόν της καμπύλης κατανομής πρέπει να παραμένει πάντα ίσο με τη μονάδα, καθώς η καμπύλη κατανομής αυξάνεται, γίνεται πιο επίπεδη, τεντώνοντας κατά μήκος του άξονα x. Αντίθετα, με μείωση, η καμπύλη κατανομής τεντώνεται προς τα πάνω, συρρικνώνοντας ταυτόχρονα από τα πλάγια και γίνεται πιο βελονοειδής. Στο σχ. Το 6.1.3 δείχνει τρεις κανονικές καμπύλες (I, II, III) στο ; Από αυτές, η καμπύλη I αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη τιμή και η καμπύλη III στη μικρότερη τιμή. Η αλλαγή της παραμέτρου ισοδυναμεί με την αλλαγή της κλίμακας της καμπύλης κατανομής - αύξηση της κλίμακας κατά μήκος ενός άξονα και η ίδια μείωση κατά μήκος του άλλου.