Χαιρετισμούς, αγαπητοί φοιτητές του Argemony University!

Σήμερα θα συνεχίσουμε να μελετάμε την υλοποίηση των αντικειμένων. Την τελευταία φορά περιστρέψαμε επίπεδες φιγούρες και πήραμε τρισδιάστατα σώματα. Μερικά από αυτά είναι πολύ δελεαστικά και χρήσιμα. Νομίζω ότι πολλά όσα επινοεί ο μάγος μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο μέλλον.

Σήμερα θα περιστρέψουμε τις καμπύλες. Είναι σαφές ότι με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να πάρουμε κάποιο είδος αντικειμένου με πολύ λεπτές άκρες (ένα κώνο ή ένα μπουκάλι για φίλτρα, ένα βάζο για λουλούδια, ένα ποτήρι για ποτά κ.λπ.), επειδή μια περιστρεφόμενη καμπύλη μπορεί να δημιουργήσει ακριβώς τέτοια αντικείμενα . Με άλλα λόγια, περιστρέφοντας την καμπύλη, μπορούμε να έχουμε κάποιο είδος επιφάνειας - κλειστή από όλες τις πλευρές ή όχι. Γιατί αυτή τη στιγμή θυμήθηκα το κύπελλο τρύπας από το οποίο έπινε ο Sir Shurf Lonley-Lockley όλη την ώρα.

Έτσι θα δημιουργήσουμε ένα μπολ με διαρροή και ένα μη διάτρητο και θα υπολογίσουμε το εμβαδόν της επιφάνειας που δημιουργήθηκε. Νομίζω ότι για κάποιο λόγο (γενικά, η επιφάνεια) θα χρειαστεί - καλά, τουλάχιστον για την εφαρμογή μιας ειδικής μαγικής βαφής. Και από την άλλη πλευρά, οι περιοχές των μαγικών τεχνουργημάτων μπορεί να απαιτούνται για τον υπολογισμό των μαγικών δυνάμεων που εφαρμόζονται σε αυτά ή κάτι άλλο. Θα μάθουμε πώς να το βρίσκουμε και θα βρούμε πού να το εφαρμόσουμε.

Έτσι, ένα κομμάτι παραβολής μπορεί να μας δώσει το σχήμα ενός μπολ. Ας πάρουμε το απλούστερο y=x 2 στο διάστημα . Μπορεί να φανεί ότι όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα OY, λαμβάνεται μόνο ένα μπολ. Χωρίς πάτο.

Το ξόρκι για τον υπολογισμό της επιφάνειας περιστροφής έχει ως εξής:

Εδώ |y| είναι η απόσταση από τον άξονα περιστροφής σε οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης που περιστρέφεται. Όπως γνωρίζετε, η απόσταση είναι κάθετη.
Λίγο πιο δύσκολο με το δεύτερο στοιχείο του ξόρκι: ds είναι το διαφορικό τόξου. Αυτές οι λέξεις δεν μας δίνουν τίποτα, οπότε ας μην ασχοληθούμε, αλλά περάσουμε στη γλώσσα των τύπων, όπου αυτή η διαφορά παρουσιάζεται ρητά για όλες τις γνωστές σε εμάς περιπτώσεις:
- Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
- Εγγραφές της καμπύλης σε παραμετρική μορφή.
- πολικό σύστημα συντεταγμένων.

Για την περίπτωσή μας, η απόσταση από τον άξονα περιστροφής σε οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης είναι x. Θεωρούμε την επιφάνεια του μπολ τρύπας που προκύπτει:

Για να φτιάξετε ένα μπολ με πάτο, πρέπει να πάρετε ένα άλλο κομμάτι, αλλά με διαφορετική καμπύλη: στο διάστημα, αυτή είναι η γραμμή y=1.

Είναι σαφές ότι όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα OY, ο πυθμένας του μπολ θα ληφθεί με τη μορφή ενός κύκλου μοναδιαίας ακτίνας. Και γνωρίζουμε πώς υπολογίζεται το εμβαδόν ενός κύκλου (σύμφωνα με τον τύπο pi * r ^ 2. Για την περίπτωσή μας, το εμβαδόν του κύκλου θα είναι ίσο με το pi), αλλά θα το υπολογίσουμε χρησιμοποιώντας έναν νέο τύπο - για επαλήθευση.
Η απόσταση από τον άξονα περιστροφής σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του κομματιού της καμπύλης είναι επίσης x.

Λοιπόν, οι υπολογισμοί μας είναι σωστοί, πράγμα που ευχαριστεί.

Και τώρα εργασία για το σπίτι.

1. Βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας που προκύπτει περιστρέφοντας την πολύγραμμη ABC, όπου A=(1; 5), B=(1; 2), C=(6; 2), γύρω από τον άξονα OX.
Συμβουλή. Καταγράψτε όλα τα τμήματα σε παραμετρική μορφή.
ΑΒ: x=1, y=t, 2≤t≤5
π.Χ.: x=t, y=2, 1≤t≤6
Παρεμπιπτόντως, πώς μοιάζει το στοιχείο που προκύπτει;

2. Λοιπόν, τώρα σκεφτείτε κάτι μόνοι σας. Τρία στοιχεία, νομίζω, είναι αρκετά.

Παράδειγμα:Βρείτε τον όγκο μιας σφαίρας ακτίνας R.

Στις διατομές της μπάλας προκύπτουν κύκλοι μεταβλητής ακτίνας y. Ανάλογα με την τρέχουσα συντεταγμένη x, αυτή η ακτίνα εκφράζεται με τον τύπο .

Τότε η συνάρτηση επιφάνειας διατομής έχει τη μορφή: Q(x) = .

Παίρνουμε τον όγκο της μπάλας:

Παράδειγμα:Βρείτε τον όγκο μιας αυθαίρετης πυραμίδας με ύψος Η και εμβαδόν βάσηςΜΙΚΡΟ.

Όταν διασχίζουμε την πυραμίδα με επίπεδα κάθετα στο ύψος, σε τομή παίρνουμε σχήματα παρόμοια με τη βάση. Ο συντελεστής ομοιότητας αυτών των αριθμών είναι ίσος με την αναλογία x / H , όπου x είναι η απόσταση από το επίπεδο τομής μέχρι την κορυφή της πυραμίδας.

Είναι γνωστό από τη γεωμετρία ότι ο λόγος των εμβαδών ομοίων σχημάτων είναι ίσος με τον συντελεστή ομοιότητας στο τετράγωνο, δηλ.

Από εδώ παίρνουμε τη συνάρτηση των περιοχών διατομής:

Εύρεση του όγκου της πυραμίδας:

Ο όγκος των σωμάτων της επανάστασης.

Θεωρήστε την καμπύλη που δίνεται από την εξίσωση y=f(x ). Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση f(x ) είναι συνεχής στο τμήμα [α , β ]. Αν το αντίστοιχο καμπυλόγραμμο τραπέζιο με βάσεις α καισι περιστρέφονται γύρω από τον άξονα x, τότε παίρνουμε το λεγόμενο σώμα της επανάστασης.

y=f(x)

Επιφάνεια ενός σώματος επανάστασης.

Μι Β

Ορισμός: Επιφάνεια περιστροφήςΗ καμπύλη AB γύρω από έναν δεδομένο άξονα είναι το όριο στο οποίο τείνουν οι περιοχές των επιφανειών περιστροφής των διακεκομμένων γραμμών που εγγράφονται στην καμπύλη ΑΒ, όταν το μεγαλύτερο από τα μήκη των συνδέσμων αυτών των διακεκομμένων γραμμών τείνει στο μηδέν.

Ας χωρίσουμε το τόξο ΑΒ σε n μέρη ανά σημεία M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Οι συντεταγμένες των κορυφών της πολυγραμμής που προκύπτει έχουν τις συντεταγμένες x i και y i . Όταν η διακεκομμένη γραμμή περιστρέφεται γύρω από τον άξονα, λαμβάνουμε μια επιφάνεια που αποτελείται από πλευρικές επιφάνειες κόλουρων κώνων, το εμβαδόν της οποίας είναι ίση με D P i . Αυτή η περιοχή μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Εάν η καμπύλη δίνεται με παραμετρικές εξισώσεις, τότε το εμβαδόν επιφάνειας που προκύπτει από την περιστροφή αυτής της καμπύλης γύρω από τον άξονα υπολογίζεται από τον τύπο . Ταυτόχρονα, η «κατεύθυνση σχεδίασης» της γραμμής, για την οποία έσπασαν τόσα πολλά αντίγραφα στο άρθρο, είναι αδιάφορη. Όμως, όπως και στην προηγούμενη παράγραφο, είναι σημαντικό να βρίσκεται η καμπύλη πιο ψηλάάξονας τετμημένης - διαφορετικά, η συνάρτηση "υπεύθυνη για τους παίκτες" θα λάβει αρνητικές τιμές και θα πρέπει να βάλετε ένα σύμβολο μείον μπροστά από το ολοκλήρωμα.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το εμβαδόν της σφαίρας που λαμβάνεται περιστρέφοντας τον κύκλο γύρω από τον άξονα.

Λύση: από τα υλικά του άρθρου σχετικά με το εμβαδόν και τον όγκο με μια παραμετρικά δεδομένη γραμμήξέρετε ότι οι εξισώσεις ορίζουν έναν κύκλο με κέντρο την αρχή με ακτίνα 3.

καθώς και σφαίρα , για όσους ξέχασαν, είναι η επιφάνεια μπάλα(ή σφαιρική επιφάνεια).

Συμμορφωνόμαστε με το αναπτυγμένο σχέδιο λύσεων. Ας βρούμε παράγωγα:

Ας συνθέσουμε και ας απλοποιήσουμε τη ρίζα "τύπου":

Περιττό να πούμε ότι έγινε καραμέλα. Δείτε για σύγκριση πώς ο Fikhtengoltz κούμπωσε τα κεφάλια με το τετράγωνο ελλειψοειδές της επανάστασης.

Σύμφωνα με τη θεωρητική παρατήρηση, θεωρούμε το άνω ημικύκλιο. "Τραβιέται" κατά την αλλαγή της τιμής της παραμέτρου εντός (είναι εύκολο να το δούμε αυτό σε αυτό το διάστημα), έτσι:

Απάντηση:

Εάν το πρόβλημα λυθεί σε γενική εικόνα, τότε παίρνετε ακριβώς τη σχολική φόρμουλα για το εμβαδόν μιας σφαίρας, πού είναι η ακτίνα της.

Κάτι οδυνηρά απλό πρόβλημα, ακόμα και ντροπή…. Σας προτείνω να διορθώσετε αυτό το σφάλμα =)

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που προκύπτει περιστρέφοντας το πρώτο τόξο του κυκλοειδούς γύρω από τον άξονα.

Η εργασία είναι δημιουργική. Προσπαθήστε να συναγάγετε ή να κατανοήσετε τον τύπο για τον υπολογισμό της επιφάνειας που λαμβάνεται περιστρέφοντας μια καμπύλη γύρω από τον άξονα y. Και, φυσικά, θα πρέπει να σημειώσουμε ξανά το πλεονέκτημα παραμετρικές εξισώσεις- δεν χρειάζεται να τροποποιηθούν με κανέναν τρόπο. δεν χρειάζεται να ασχοληθείτε με την εύρεση άλλων ορίων ολοκλήρωσης.

Το κυκλοειδές γράφημα μπορεί να προβληθεί στη σελίδα Εμβαδόν και όγκος εάν η γραμμή έχει ρυθμιστεί παραμετρικά. Η επιφάνεια της περιστροφής θα μοιάζει με ... δεν ξέρω καν με τι να τη συγκρίνω με ... κάτι απόκοσμο - στρογγυλεμένο με μια μυτερή εσοχή στη μέση. Εδώ, για την περίπτωση της περιστροφής του κυκλοειδούς γύρω από τον άξονα, ο συσχετισμός ήρθε αμέσως στο μυαλό - μια επιμήκης μπάλα ράγκμπι.

Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ολοκληρώνουμε τη συναρπαστική κριτική μας με μια υπόθεση πολικές συντεταγμένες. Ναι, είναι μια ανασκόπηση, αν κοιτάξετε σε εγχειρίδια για τη μαθηματική ανάλυση (από τους Fikhtengolts, Bokhan, Piskunov και άλλους συγγραφείς), μπορείτε να λάβετε μια καλή ντουζίνα (ή ακόμα και αισθητά περισσότερα) τυπικά παραδείγματα, μεταξύ των οποίων είναι πολύ πιθανό να θα βρείτε το πρόβλημα που χρειάζεστε.

Πώς να υπολογίσετε την επιφάνεια της περιστροφής,
αν η ευθεία δίνεται σε πολικό σύστημα συντεταγμένων;

Εάν η καμπύλη έχει ρυθμιστεί σε πολικές συντεταγμένεςεξίσωση , και η συνάρτηση έχει μια συνεχή παράγωγο σε ένα δεδομένο διάστημα, τότε το εμβαδόν επιφάνειας που προκύπτει από την περιστροφή αυτής της καμπύλης γύρω από τον πολικό άξονα υπολογίζεται από τον τύπο , όπου είναι οι γωνιακές τιμές που αντιστοιχούν στα άκρα της καμπύλης.

Σύμφωνα με τη γεωμετρική έννοια του προβλήματος, το ολοκλήρωμα , και αυτό επιτυγχάνεται μόνο εάν (και είναι γνωστό ότι είναι μη αρνητικό). Επομένως, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι τιμές γωνίας από το εύρος, με άλλα λόγια, η καμπύλη θα πρέπει να βρίσκεται πιο ψηλάπολικός άξονας και οι προεκτάσεις του. Όπως μπορείτε να δείτε, η ίδια ιστορία με τις δύο προηγούμενες παραγράφους.

Παράδειγμα 5

Υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή του καρδιοειδούς γύρω από τον πολικό άξονα.

Λύση: το γράφημα αυτής της καμπύλης φαίνεται στο Παράδειγμα 6 του μαθήματος για πολικό σύστημα συντεταγμένων. Το καρδιοειδές είναι συμμετρικό ως προς τον πολικό άξονα, οπότε θεωρούμε το πάνω μισό του στο κενό (που, μάλιστα, οφείλεται και στην παραπάνω παρατήρηση).

Η επιφάνεια περιστροφής θα μοιάζει με bullseye.

Η τεχνική λύσης είναι στάνταρ. Ας βρούμε την παράγωγο σε σχέση με το "phi":

Συνθέστε και απλοποιήστε τη ρίζα:

Ελπίζω με υπεράριθμους τριγωνομετρικούς τύπουςκανείς δεν είχε κανένα πρόβλημα.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Ανάμεσα , ως εκ τούτου: (Περίγραψα λεπτομερώς πώς να απαλλαγείτε σωστά από τη ρίζα στο άρθρο Καμπύλη μήκος τόξου).

Απάντηση:

Μια ενδιαφέρουσα και σύντομη εργασία για μια ανεξάρτητη λύση:

Παράδειγμα 6

Υπολογίστε το εμβαδόν της σφαιρικής ζώνης,

Τι είναι η ζώνη με μπάλα; Τοποθετήστε ένα στρογγυλό, μη ξεφλουδισμένο πορτοκάλι στο τραπέζι και σηκώστε ένα μαχαίρι. Κάντε δύο παράλληλοκόψτε, χωρίζοντας έτσι τα φρούτα σε 3 μέρη αυθαίρετων μεγεθών. Τώρα πάρτε τη μέση, στην οποία ο ζουμερός πολτός είναι εκτεθειμένος και στις δύο πλευρές. Αυτό το σώμα ονομάζεται σφαιρικό στρώμακαι την οριακή του επιφάνεια (φλούδα πορτοκαλιού) - ζώνη μπάλας.

Αναγνώστες εξοικειωμένοι με πολικές συντεταγμένες, παρουσίασε εύκολα το σχέδιο του προβλήματος: η εξίσωση ορίζει έναν κύκλο με κέντρο τον πόλο της ακτίνας , από τον οποίο ακτίνες αποκόβω μικρότεροςτόξο. Αυτό το τόξο περιστρέφεται γύρω από τον πολικό άξονα και έτσι προκύπτει μια σφαιρική ζώνη.

Τώρα μπορείτε να φάτε ένα πορτοκάλι με καθαρή συνείδηση ​​και ανάλαφρη καρδιά, σε αυτή τη νόστιμη νότα θα τελειώσουμε το μάθημα, μην χαλάσετε την όρεξή σας με άλλα παραδείγματα =)

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2:Λύση : υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή του άνω κλάδου γύρω από τον άξονα x. Χρησιμοποιούμε τον τύπο .
Σε αυτήν την περίπτωση: ;

Ετσι:


Απάντηση:

Παράδειγμα 4:Λύση : χρησιμοποιήστε τον τύπο . Το πρώτο τόξο του κυκλοειδούς ορίζεται στο τμήμα .
Ας βρούμε παράγωγα:

Συνθέστε και απλοποιήστε τη ρίζα:

Άρα η επιφάνεια της περιστροφής είναι:

Ανάμεσα , Να γιατί

Πρώτο ολοκλήρωμαενσωμάτωση κατά εξαρτήματα :

Στο δεύτερο ολοκλήρωμα χρησιμοποιούμετριγωνομετρικός τύπος .


Απάντηση:

Παράδειγμα 6:Λύση : χρησιμοποιήστε τον τύπο:


Απάντηση:

Ανώτερα μαθηματικά για μαθητές αλληλογραφίας και όχι μόνο >>>

(Μετάβαση στην κεντρική σελίδα)

Πώς να υπολογίσετε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα
χρησιμοποιώντας τον τραπεζοειδή τύπο και τη μέθοδο Simpson;

Οι αριθμητικές μέθοδοι είναι ένα αρκετά μεγάλο τμήμα ανώτερων μαθηματικών και τα σοβαρά εγχειρίδια για αυτό το θέμα έχουν εκατοντάδες σελίδες. Στην πράξη, σε εργασίες ελέγχουπαραδοσιακά προτείνεται για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων με αριθμητικές μεθόδους, και ένα από τα κοινά προβλήματα είναι - ο κατά προσέγγιση υπολογισμός οριστικά ολοκληρώματα. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσω δύο μεθόδους για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος − τραπεζοειδής μέθοδοςΚαι μέθοδος Simpson.

Τι πρέπει να γνωρίζετε για να κατακτήσετε αυτές τις μεθόδους; Ακούγεται αστείο, αλλά μπορεί να μην μπορείτε να πάρετε ολοκληρώματα καθόλου. Και ακόμη και δεν καταλαβαίνω τι είναι τα ολοκληρώματα. Από τα τεχνικά μέσα, θα χρειαστείτε έναν μικροϋπολογιστή. Ναι, ναι, περιμένουμε συνηθισμένους σχολικούς υπολογισμούς. Ακόμα καλύτερα, κατεβάστε το my ημιαυτόματη αριθμομηχανή για την τραπεζοειδή μέθοδο και τη μέθοδο Simpson. Η αριθμομηχανή είναι γραμμένη σε Excel και θα σας επιτρέψει να μειώσετε το χρόνο για την επίλυση και την επεξεργασία εργασιών στο δεκαπλάσιο. Περιλαμβάνεται εγχειρίδιο βίντεο για τσαγιέρες Excel! Παρεμπιπτόντως, το πρώτο βίντεο με τη φωνή μου.

Αρχικά, ας αναρωτηθούμε, γιατί χρειαζόμαστε καθόλου κατά προσέγγιση υπολογισμούς; Φαίνεται ότι είναι δυνατό να βρεθεί η αντιπαράγωγος της συνάρτησης και να χρησιμοποιηθεί ο τύπος Newton-Leibniz, υπολογίζοντας την ακριβή τιμή ενός συγκεκριμένου ολοκληρώματος. Ως απάντηση στην ερώτηση, ας εξετάσουμε αμέσως ένα παράδειγμα επίδειξης με μια εικόνα.

Υπολογίστε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα

Όλα θα ήταν καλά, αλλά σε αυτό το παράδειγμα δεν λαμβάνεται το ολοκλήρωμα - πριν δεν ληφθείτε, το λεγόμενο ολοκληρωτικός λογάριθμος. Υπάρχει καν αυτό το αναπόσπαστο; Ας απεικονίσουμε το γράφημα του ολοκληρώματος στο σχέδιο:

Ολα ειναι καλά. Ολοκληρωτέου συνεχήςστο τμήμα και το οριστικό ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με τη σκιασμένη περιοχή. Ναι, αυτό είναι μόνο ένα εμπόδιο - το αναπόσπαστο δεν έχει ληφθεί. Και σε τέτοιες περιπτώσεις, αριθμητικές μέθοδοι έρχονται στη διάσωση. Σε αυτή την περίπτωση, το πρόβλημα παρουσιάζεται σε δύο διατυπώσεις:

1) Να υπολογίσετε το οριστικό ολοκλήρωμα κατά προσέγγιση , στρογγυλοποιώντας το αποτέλεσμα σε ένα συγκεκριμένο δεκαδικό ψηφίο. Για παράδειγμα, έως δύο δεκαδικά ψηφία, έως τρία δεκαδικά ψηφία κ.λπ. Ας υποθέσουμε ότι λαμβάνετε μια κατά προσέγγιση απάντηση 5.347. Στην πραγματικότητα, μπορεί να μην είναι απολύτως σωστό (στην πραγματικότητα, ας πούμε ότι η πιο ακριβής απάντηση είναι 5.343). Το καθήκον μας είναι μόνο σε αυτόγια να στρογγυλοποιήσετε το αποτέλεσμα σε τρία δεκαδικά ψηφία.

2) Υπολογίστε το οριστικό ολοκλήρωμα κατά προσέγγιση, με μια ορισμένη ακρίβεια. Για παράδειγμα, να υπολογίσετε το οριστικό ολοκλήρωμα περίπου με ακρίβεια 0,001. Τι σημαίνει? Αυτό σημαίνει ότι εάν ληφθεί μια κατά προσέγγιση απάντηση 5,347, τότε Ολαοι φιγούρες πρέπει να είναι οπλισμένο σκυρόδεμα σωστός. Για να είμαστε πιο ακριβείς, η απάντηση 5.347 θα πρέπει να διαφέρει από το modulo αλήθειας (σε μία ή την άλλη κατεύθυνση) όχι περισσότερο από 0,001.

Υπάρχουν πολλές βασικές μέθοδοι για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος που εμφανίζεται σε προβλήματα:

Μέθοδος ορθογωνίου. Το τμήμα της ολοκλήρωσης χωρίζεται σε πολλά μέρη και κατασκευάζεται ένα βήμα ( ραβδόγραμμα), που είναι κοντά στην περιοχή στην επιθυμητή περιοχή:

Μην κρίνετε αυστηρά από τα σχέδια, η ακρίβεια δεν είναι τέλεια - βοηθούν μόνο στην κατανόηση της ουσίας των μεθόδων.

Σε αυτό το παράδειγμα, το τμήμα της ενοποίησης χωρίζεται σε τρία τμήματα:
. Προφανώς, όσο πιο συχνή είναι η κατάτμηση (όσο πιο μικρά ενδιάμεσα τμήματα), τόσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια. Η μέθοδος των ορθογωνίων δίνει μια χονδρική προσέγγιση της περιοχής, προφανώς, επομένως, είναι πολύ σπάνια στην πράξη (θυμήθηκα μόνο ένα πρακτικό παράδειγμα). Από αυτή την άποψη, δεν θα εξετάσω τη μέθοδο των ορθογωνίων και δεν θα δώσω καν έναν απλό τύπο. Όχι λόγω τεμπελιάς, αλλά λόγω της αρχής του βιβλίου λύσεων: ό,τι είναι εξαιρετικά σπάνιο σε πρακτικές εργασίες δεν λαμβάνεται υπόψη.

Τραπεζοειδής μέθοδος. Η ιδέα είναι παρόμοια. Το τμήμα ολοκλήρωσης χωρίζεται σε πολλά ενδιάμεσα τμήματα και προσεγγίζει το γράφημα του ολοκλήρωσης σπασμένη γραμμήγραμμή:

Άρα το εμβαδόν μας (μπλε σκίαση) προσεγγίζεται με το άθροισμα των εμβαδών των τραπεζοειδών (κόκκινο). Εξ ου και το όνομα της μεθόδου. Είναι εύκολο να δούμε ότι η μέθοδος του τραπεζοειδούς δίνει πολύ καλύτερη προσέγγιση από τη μέθοδο του ορθογωνίου (με τον ίδιο αριθμό τμημάτων διαμερισμάτων). Και, φυσικά, όσο πιο μικρά ενδιάμεσα τμήματα θεωρούμε, τόσο μεγαλύτερη θα είναι η ακρίβεια. Η τραπεζοειδής μέθοδος εμφανίζεται περιστασιακά σε πρακτικές εργασίες, και πολλά παραδείγματα θα συζητηθούν σε αυτό το άρθρο.

Μέθοδος Simpson (μέθοδος παραβολής). Αυτός είναι ένας πιο τέλειος τρόπος - το γράφημα του ολοκληρωτή δεν προσεγγίζεται από μια διακεκομμένη γραμμή, αλλά από μικρές παραβολές. Πόσα ενδιάμεσα τμήματα - τόσες μικρές παραβολές. Αν πάρουμε τα ίδια τρία τμήματα, τότε η μέθοδος Simpson θα δώσει ακόμη πιο ακριβή προσέγγιση από τη μέθοδο του ορθογωνίου ή τη μέθοδο του τραπεζοειδούς.

Δεν βλέπω το νόημα στη δημιουργία ενός σχεδίου, αφού οπτικά η προσέγγιση θα υπερτεθεί στο γράφημα της συνάρτησης (η διακεκομμένη γραμμή της προηγούμενης παραγράφου - και ακόμη και τότε σχεδόν συνέπεσε).

Η εργασία του υπολογισμού ενός ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον τύπο Simpson είναι η πιο δημοφιλής εργασία στην πράξη. Και η μέθοδος των παραβολών θα δοθεί μεγάλη προσοχή.

Αφήστε ένα σώμα να δοθεί στο διάστημα. Έστω οι τομές του κατασκευασμένες από επίπεδα κάθετα στον άξονα που διέρχεται από τα σημεία x
Σε αυτήν. Η περιοχή του σχήματος που σχηματίζεται στο τμήμα εξαρτάται από το σημείο Χ, που ορίζει το επίπεδο τομής. Αφήστε αυτή την εξάρτηση να είναι γνωστή και να δίνεται συνεχής λειτουργία. Στη συνέχεια ο όγκος του μέρους του σώματος που βρίσκεται μεταξύ των επιπέδων x=aΚαι x=vυπολογίζεται με τον τύπο

Παράδειγμα.Ας βρούμε τον όγκο ενός οριοθετημένου σώματος που περικλείεται μεταξύ της επιφάνειας ενός κυλίνδρου ακτίνας :, ενός οριζόντιου επιπέδου και ενός κεκλιμένου επιπέδου z=2y και που βρίσκεται πάνω από το οριζόντιο επίπεδο .

Προφανώς, το υπό εξέταση σώμα προβάλλεται στον άξονα του τμήματος
, και για x
η διατομή του σώματος είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη y και z=2y, όπου το y μπορεί να εκφραστεί ως x από την εξίσωση του κυλίνδρου:

Επομένως, το εμβαδόν διατομής S(x) είναι:

Εφαρμόζοντας τον τύπο, βρίσκουμε τον όγκο του σώματος:

Υπολογισμός όγκων σωμάτων επανάστασης

Αφήστε το τμήμα[ ένα, σι] είναι μια συνεχής συνάρτηση προσήμου-σταθερά y= φά(Χ). Όγκοι ενός σώματος περιστροφής που σχηματίζεται από περιστροφή γύρω από έναν άξονα Ω(ή τσεκούρια OU) καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές οριοθετημένο από καμπύλη y= φά(Χ) (φά(Χ) 0) και απευθείας y=0, x=a, x=σι, υπολογίζονται σύμφωνα με τους τύπους:

, ( 19)

(20)

Αν ένα σώμα σχηματίζεται με περιστροφή γύρω από έναν άξονα OUκαμπυλόγραμμο τραπεζοειδές που οριοθετείται από καμπύλη
και άμεση Χ=0, y= ντο, y= ρε, τότε ο όγκος του σώματος της περιστροφής είναι ίσος με

. (21)

Παράδειγμα.Υπολογίστε τον όγκο ενός σώματος που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα σχήμα που οριοθετείται από γραμμές γύρω από έναν άξονα Ω.

Σύμφωνα με τον τύπο (19), ο επιθυμητός όγκος

Παράδειγμα.Έστω η ευθεία y=cosx στο επίπεδο xOy του τμήματος .

μι αυτή η γραμμή περιστρέφεται στο χώρο γύρω από τον άξονα και η επιφάνεια περιστροφής που προκύπτει περιορίζει κάποιο σώμα περιστροφής (βλ. Εικ.). Βρείτε τον όγκο αυτού του σώματος της επανάστασης.

Σύμφωνα με τον τύπο, παίρνουμε:

Επιφάνεια περιστροφής

,
, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox, τότε η επιφάνεια περιστροφής υπολογίζεται από τον τύπο
, Οπου έναΚαι σι- τετμημένα της αρχής και του τέλους του τόξου.

Αν το τόξο της καμπύλης δίνεται από μη αρνητική συνάρτηση
,
, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Oy, τότε η επιφάνεια περιστροφής υπολογίζεται από τον τύπο

,

όπου c και d είναι τα τετμημένα της αρχής και του τέλους του τόξου.

Αν δίνεται το τόξο της καμπύλης παραμετρικές εξισώσεις
,
, και
, Οτι

Εάν το τόξο έχει ρυθμιστεί σε πολικές συντεταγμένες
, Οτι

.

Παράδειγμα.Υπολογίστε το εμβαδόν της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή στο διάστημα γύρω από τον άξονα του τμήματος της ευθείας y= βρίσκεται πάνω από τη γραμμή αποκοπής.

Επειδή
, τότε ο τύπος μας δίνει το ολοκλήρωμα

Ας κάνουμε την αλλαγή t=x+(1/2) στο τελευταίο ολοκλήρωμα και πάρουμε:

Στο πρώτο από τα ολοκληρώματα στη δεξιά πλευρά, κάνουμε την αλλαγή z=t 2 -:

Για να υπολογίσουμε το δεύτερο από τα ολοκληρώματα στη δεξιά πλευρά, το συμβολίζουμε και ολοκληρώνουμε με μέρη, λαμβάνοντας μια εξίσωση για:

Προχωρώντας προς την αριστερή πλευρά και διαιρώντας με το 2, παίρνουμε

όπου τελικά,

Εφαρμογές του οριστικού ολοκληρώματος στη λύση κάποιων προβλημάτων μηχανικής και φυσικής

Εργασία μεταβλητής δύναμης. Θεωρήστε την κίνηση ενός υλικού σημείου κατά μήκος του άξονα ΒΟΔΙυπό τη δράση μιας μεταβλητής δύναμης φά, ανάλογα με τη θέση του σημείου Χστον άξονα, δηλ. μια δύναμη που είναι συνάρτηση Χ. Μετά δούλεψε ΕΝΑ, απαραίτητο για τη μετακίνηση ενός υλικού σημείου από μια θέση Χ = έναστη θέση Χ = σιυπολογίζεται με τον τύπο:

Να υπολογίσω δυνάμεις πίεσης υγρούχρησιμοποιήστε το νόμο του Pascal, σύμφωνα με τον οποίο η πίεση ενός υγρού σε μια πλατφόρμα είναι ίση με το εμβαδόν του μικρόπολλαπλασιάζεται με το βάθος βύθισης η, στην πυκνότητα ρ και την επιτάχυνση της βαρύτητας σολ, δηλ.

.

1. Ροπές και κέντρα μάζας επίπεδων καμπυλών. Αν το τόξο της καμπύλης δίνεται από την εξίσωση y=f(x), a≤x≤b, και έχει πυκνότητα
, Οτι στατικές στιγμέςαυτού του τόξου, τα M x και M y ως προς τους άξονες συντεταγμένων Ox και Oy είναι

;

στιγμές αδράνειαςΤα I X και I y σε σχέση με τους ίδιους άξονες Ox και Oy υπολογίζονται με τους τύπους

ΕΝΑ κέντρο συντεταγμένων μάζας Και - από τύπους

όπου l είναι η μάζα του τόξου, δηλ.

Παράδειγμα 1. Να βρείτε τις στατικές ροπές και ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες Ox και Oy του αλυσοειδούς τόξου y=chx για 0≤x≤1.

Εάν η πυκνότητα δεν καθορίζεται, η καμπύλη θεωρείται ότι είναι ομοιόμορφη και
. Έχουμε: Επομένως,

Παράδειγμα 2Βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου μάζας του τόξου κύκλου x=acost, y=asint που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο. Εχουμε:

Από εδώ παίρνουμε:

Σε εφαρμογές, τα παρακάτω είναι συχνά χρήσιμα. Θεώρημα ολλανδικό νόμισμα. Το εμβαδόν επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή ενός τόξου μιας επίπεδης καμπύλης γύρω από έναν άξονα που βρίσκεται στο επίπεδο του τόξου και δεν τον τέμνει είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους του τόξου και του μήκους του κύκλου που περιγράφεται από το κέντρο μάζας.

Παράδειγμα 3Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου μάζας του ημικυκλίου

Λόγω της συμμετρίας
. Όταν ένα ημικύκλιο περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox, λαμβάνεται μια σφαίρα, η επιφάνεια της οποίας είναι ίση και το μήκος του ημικυκλίου είναι ίσο με pa. Με το θεώρημα του Gulden, έχουμε 4

Από εδώ
, δηλ. κέντρο μάζας C έχει συντεταγμένες C
.

2. Φυσικές εργασίες.Μερικές εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος στην επίλυση φυσικών προβλημάτων παρουσιάζονται παρακάτω στα παραδείγματα.

Παράδειγμα 4Η ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης του σώματος εκφράζεται με τον τύπο (m / s). Βρείτε τη διαδρομή που έχει διανύσει το σώμα σε 5 δευτερόλεπτα από την έναρξη της κίνησης.

Επειδή μονοπάτι που ακολουθεί το σώμαμε την ταχύτητα v(t) για το χρονικό διάστημα , εκφράζεται με το ολοκλήρωμα

τότε έχουμε:

Π
παράδειγμα.Ας βρούμε το εμβαδόν της περιορισμένης περιοχής που βρίσκεται μεταξύ του άξονα και της ευθείας y=x 3 -x. Επειδή η

η γραμμή διασχίζει τον άξονα σε τρία σημεία: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 1.

Η περιορισμένη περιοχή μεταξύ της γραμμής και του άξονα προβάλλεται σε ένα τμήμα
,και στο τμήμα
,γραμμή y=x 3 -x πηγαίνει πάνω από τον άξονα (δηλαδή γραμμή y=0 και - παρακάτω. Επομένως, η περιοχή της περιοχής μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

Π
παράδειγμα.Βρείτε την περιοχή της περιοχής που περικλείεται μεταξύ της πρώτης και της δεύτερης στροφής της σπείρας του Αρχιμήδη r=a (a>0) και ένα τμήμα του οριζόντιου άξονα
.

Η πρώτη στροφή της σπείρας αντιστοιχεί σε αλλαγή της γωνίας στην περιοχή από 0 έως και η δεύτερη - από έως. Για να φέρει μια αλλαγή επιχειρημάτων σε ένα κενό, γράφουμε την εξίσωση της δεύτερης στροφής της σπείρας στη μορφή
,

. Στη συνέχεια, η περιοχή μπορεί να βρεθεί από τον τύπο, βάζοντας
Και
:

Π παράδειγμα.Ας βρούμε τον όγκο του σώματος που οριοθετείται από την επιφάνεια περιστροφής της ευθείας y=4x-x 2 γύρω από τον άξονα (με
).

Για να υπολογίσουμε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής, εφαρμόζουμε τον τύπο

Π παράδειγμα.Υπολογίστε το μήκος τόξου της ευθείας y=lncosx που βρίσκεται ανάμεσα στις ευθείες και
.

(πήραμε ως τιμή της ρίζας , και όχι -cosx, αφού cosx > 0 όταν
, το μήκος του τόξου είναι

Απάντηση:
.

Παράδειγμα.Υπολογίστε το εμβαδόν Q της επιφάνειας περιστροφής που προκύπτει περιστρέφοντας το τόξο του κυκλοειδούς x=t-sint . y=1-κόστος, με

, γύρω από τον άξονα.

ρε Για να υπολογίσουμε, εφαρμόζουμε τον τύπο:

Εχουμε:

, Ετσι

Για να περάσουμε κάτω από το ολοκλήρωμα σε μια μεταβλητή, σημειώνουμε ότι όταν

παίρνουμε

, και

Επιπλέον, προϋπολογίζουμε

(Ετσι
) Και

Παίρνουμε:

Κάνοντας την αντικατάσταση, φτάνουμε στο ολοκλήρωμα

Πριν προχωρήσουμε στους τύπους για το εμβαδόν μιας επιφάνειας περιστροφής, δίνουμε μια σύντομη διατύπωση της ίδιας της επιφάνειας περιστροφής. Η επιφάνεια της περιστροφής, ή, το ίδιο, η επιφάνεια ενός σώματος περιστροφής είναι μια χωρική φιγούρα που σχηματίζεται από την περιστροφή ενός τμήματος ΑΒκαμπύλη γύρω από τον άξονα Βόδι(εικόνα παρακάτω).

Ας φανταστούμε ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο που οριοθετείται από πάνω από το αναφερόμενο τμήμα της καμπύλης. Το σώμα που σχηματίζεται από την περιστροφή αυτού του τραπεζοειδούς γύρω από τον ίδιο άξονα Βόδι, και υπάρχει ένα σώμα επανάστασης. Και η επιφάνεια περιστροφής ή η επιφάνεια ενός σώματος περιστροφής είναι το εξωτερικό του κέλυφος, χωρίς να υπολογίζονται οι κύκλοι που σχηματίζονται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα των γραμμών Χ = έναΚαι Χ = σι .

Σημειώστε ότι το σώμα της περιστροφής και, κατά συνέπεια, η επιφάνειά του μπορούν επίσης να σχηματιστούν περιστρέφοντας το σχήμα όχι γύρω από τον άξονα Βόδι, και γύρω από τον άξονα Oy.

Υπολογισμός του εμβαδού μιας επιφάνειας περιστροφής που δίνεται σε ορθογώνιες συντεταγμένες

Έστω ορθογώνιες συντεταγμένες στο επίπεδο από την εξίσωση y = φά(Χ) δίνεται μια καμπύλη, η περιστροφή της οποίας γύρω από τον άξονα συντεταγμένων σχηματίζει ένα σώμα περιστροφής.

Ο τύπος για τον υπολογισμό της επιφάνειας περιστροφής έχει ως εξής:

(1).

Παράδειγμα 1Βρείτε την επιφάνεια ενός παραβολοειδούς που σχηματίζεται από περιστροφή γύρω από έναν άξονα Βόδιτο τόξο της παραβολής που αντιστοιχεί στη μεταβολή Χαπό Χ= 0 έως Χ = ένα .

Λύση. Εκφράζουμε ρητά τη συνάρτηση που ορίζει το τόξο της παραβολής:

Ας βρούμε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης:

Πριν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την εύρεση του εμβαδού της επιφάνειας της περιστροφής, ας γράψουμε το τμήμα της ολοκλήρωσής του που είναι η ρίζα και ας αντικαταστήσουμε την παράγωγο που μόλις βρήκαμε εκεί:

Απάντηση: Το μήκος του τόξου της καμπύλης είναι

.

Παράδειγμα 2Βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από έναν άξονα Βόδιαστροειδή.

Λύση. Αρκεί να υπολογίσουμε το εμβαδόν επιφάνειας που προκύπτει από την περιστροφή ενός κλάδου του αστροειδούς, που βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο, και να το πολλαπλασιάσουμε με το 2. Από την εξίσωση του αστροειδούς, εκφράζουμε ρητά τη συνάρτηση που θα χρειαστεί να αντικαταστήσουμε στον τύπο για να βρείτε την επιφάνεια περιστροφής:

.

Πραγματοποιούμε ενσωμάτωση από το 0 έως το ένα:

Υπολογισμός της επιφάνειας περιστροφής που δίνεται παραμετρικά

Εξετάστε την περίπτωση που η καμπύλη που σχηματίζει την επιφάνεια της περιστροφής δίνεται από τις παραμετρικές εξισώσεις

Στη συνέχεια, το εμβαδόν της επιφάνειας περιστροφής υπολογίζεται από τον τύπο

(2).

Παράδειγμα 3Βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας περιστροφής που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από έναν άξονα Oyσχήμα που οριοθετείται από ένα κυκλοειδές και μια ευθεία γραμμή y = ένα. Το κυκλοειδές δίνεται από τις παραμετρικές εξισώσεις

Λύση. Βρείτε τα σημεία τομής του κυκλοειδούς και της ευθείας. Εξίσωση της κυκλοειδούς εξίσωσης και την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής y = ένα, εύρημα

Από αυτό προκύπτει ότι τα όρια της ολοκλήρωσης αντιστοιχούν

Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο (2). Ας βρούμε παράγωγα:

Γράφουμε τη ριζική έκφραση στον τύπο, αντικαθιστώντας τις παραγώγους που βρέθηκαν:

Ας βρούμε τη ρίζα αυτής της έκφρασης:

.

Αντικαταστήστε το που βρέθηκε στον τύπο (2):

.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση:

Και τελικά βρίσκουμε

Στο μετασχηματισμό των εκφράσεων χρησιμοποιήθηκαν τριγωνομετρικοί τύποι

Απάντηση: Η περιοχή της επιφάνειας της περιστροφής είναι .

Υπολογισμός του εμβαδού μιας επιφάνειας περιστροφής που δίνεται σε πολικές συντεταγμένες

Ας δοθεί η καμπύλη της οποίας η περιστροφή σχηματίζει την επιφάνεια σε πολικές συντεταγμένες.