Ένα από τα επιμέρους θέματα του θέματος «Η εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο» είναι το θέμα της σύνταξης παραμετρικών εξισώσεων ευθείας γραμμής σε επίπεδο σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Το παρακάτω άρθρο εξετάζει την αρχή της σύνταξης τέτοιων εξισώσεων για ορισμένα γνωστά δεδομένα. Ας δείξουμε πώς περνάμε από παραμετρικές εξισώσεις σε εξισώσεις διαφορετικής μορφής. Ας αναλύσουμε τη λύση τυπικών προβλημάτων.

Μια συγκεκριμένη γραμμή μπορεί να οριστεί προσδιορίζοντας ένα σημείο που ανήκει σε αυτή τη γραμμή και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης για τη γραμμή.

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y . Και επίσης δίνεται η ευθεία a, υποδεικνύοντας το σημείο M 1 που βρίσκεται πάνω της (x 1, y 1) και το διάνυσμα κατεύθυνσης της δεδομένης ευθείας a → = (a x, a y) . Δίνουμε μια περιγραφή της δεδομένης γραμμής a χρησιμοποιώντας εξισώσεις.

Χρησιμοποιούμε ένα αυθαίρετο σημείο M (x, y) και παίρνουμε ένα διάνυσμα M 1 M →; να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του από τις συντεταγμένες των σημείων έναρξης και λήξης: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Ας περιγράψουμε το αποτέλεσμα: η ευθεία δίνεται από ένα σύνολο σημείων M (x, y), διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (a x, a y) . Το καθορισμένο σύνολο ορίζει μια ευθεία γραμμή μόνο όταν τα διανύσματα M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) και a → = (a x , a y) είναι συγγραμμικά.

Υπάρχει μια απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων, η οποία στην περίπτωση αυτή για τα διανύσματα M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) και a → = (a x , a y) μπορεί να γραφτεί ως εξίσωση:

M 1 M → = λ · a → , όπου λ είναι κάποιος πραγματικός αριθμός.

Ορισμός 1

Η εξίσωση M 1 M → = λ · a → ονομάζεται διανυσματική-παραμετρική εξίσωση της ευθείας.

Σε συντεταγμένη μορφή, μοιάζει με:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Οι εξισώσεις του προκύπτοντος συστήματος x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ονομάζονται παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Η ουσία του ονόματος είναι η εξής: οι συντεταγμένες όλων των σημείων μιας ευθείας γραμμής μπορούν να προσδιοριστούν με παραμετρικές εξισώσεις σε ένα επίπεδο της μορφής x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ κατά την επανάληψη σε όλες τις πραγματικές τιμές της παραμέτρου λ

Σύμφωνα με τα παραπάνω, οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής στο επίπεδο x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ καθορίζουν μια ευθεία που δίνεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και έχει διάνυσμα οδηγό a → = (a x, a y) . Επομένως, εάν δοθούν οι συντεταγμένες ενός συγκεκριμένου σημείου της ευθείας και οι συντεταγμένες του διανύσματος που κατευθύνει, τότε είναι δυνατό να γραφτούν αμέσως οι παραμετρικές εξισώσεις της δεδομένης ευθείας.

Παράδειγμα 1

Είναι απαραίτητο να συνθέσουμε παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, αν δίνεται το σημείο Μ 1 (2, 3) που ανήκει σε αυτό και το διάνυσμα κατεύθυνσής του. a → = (3 , 1) .

Λύση

Με βάση τα αρχικά δεδομένα, παίρνουμε: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Οι παραμετρικές εξισώσεις θα έχουν ως εξής:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Ας δείξουμε ξεκάθαρα:

Απάντηση: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Πρέπει να σημειωθεί: αν το διάνυσμα a → = (a x , a y) χρησιμεύει ως κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας a, και τα σημεία M 1 (x 1, y 1) και M 2 (x 2, y 2) ανήκουν σε αυτή τη γραμμή, τότε μπορεί να προσδιοριστεί ορίζοντας παραμετρικές εξισώσεις της μορφής : x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , καθώς και αυτή η επιλογή: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

Για παράδειγμα, μας δίνεται ένα κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής a → \u003d (2, - 1), καθώς και τα σημεία M 1 (1, - 2) και M 2 (3, - 3) που ανήκουν σε αυτή τη γραμμή. Τότε η ευθεία προσδιορίζεται με παραμετρικές εξισώσεις: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ ή x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Προσοχή πρέπει επίσης να δοθεί στο εξής γεγονός: αν a → = (a x, a y) είναι το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας a , τότε οποιοδήποτε από τα διανύσματα θα είναι επίσης το κατευθυντικό της διάνυσμα μ a → = (μ a x , μ a y) , όπου μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Έτσι, μια ευθεία γραμμή a σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να οριστεί με παραμετρικές εξισώσεις: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ για οποιαδήποτε μη μηδενική τιμή του μ.

Έστω ότι η ευθεία a δίνεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ . Επειτα a → = (2 , - 5) - διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της γραμμής. Και επίσης οποιοδήποτε από τα διανύσματα μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 θα γίνει το διάνυσμα κατεύθυνσης για τη δεδομένη ευθεία. Για λόγους σαφήνειας, θεωρήστε ένα συγκεκριμένο διάνυσμα - 2 · a → = (- 4 , 10) , αντιστοιχεί στην τιμή μ = - 2 . Στην περίπτωση αυτή, η δεδομένη ευθεία μπορεί να προσδιοριστεί και από τις παραμετρικές εξισώσεις x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Μετάβαση από τις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας σε ένα επίπεδο σε άλλες εξισώσεις μιας δεδομένης ευθείας γραμμής και αντίστροφα

Για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων, η χρήση παραμετρικών εξισώσεων δεν είναι η μεγαλύτερη η καλύτερη επιλογή, τότε καθίσταται απαραίτητο να μεταφραστούν οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας σε εξισώσεις μιας ευθείας διαφορετικής μορφής. Ας δούμε πώς να το κάνουμε.

Οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ θα αντιστοιχούν στην κανονική εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Λύνουμε καθεμία από τις παραμετρικές εξισώσεις ως προς την παράμετρο λ, εξισώνουμε τα σωστά μέρη των ισοτήτων που λαμβάνονται και παίρνουμε την κανονική εξίσωση της δεδομένης ευθείας:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Σε αυτήν την περίπτωση, δεν θα πρέπει να είναι ενοχλητικό εάν ένα x ή ένα y θα είναι ίσο με μηδέν.

Παράδειγμα 2

Είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί η μετάβαση από τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας x = 3 y = - 2 - 4 · λ στην κανονική εξίσωση.

Λύση

Γράφουμε τις παραμετρικές εξισώσεις με την εξής μορφή: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

Εκφράζουμε την παράμετρο λ σε καθεμία από τις εξισώσεις: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Εξισώνουμε τα σωστά μέρη του συστήματος εξισώσεων και παίρνουμε την απαιτούμενη κανονική εξίσωση μιας ευθείας στο επίπεδο:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Απάντηση: x - 3 0 = y + 2 - 4

Στην περίπτωση που είναι απαραίτητο να γράψουμε την εξίσωση της ευθείας της μορφής A x + B y + C = 0 , ενώ δίνονται οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας στο επίπεδο, είναι απαραίτητο να γίνει πρώτα η μετάβαση στην κανονική εξίσωση και στη συνέχεια στη γενική εξίσωση της ευθείας γραμμής. Ας γράψουμε ολόκληρη τη σειρά των ενεργειών:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Παράδειγμα 3

Είναι απαραίτητο να γράψετε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας αν δίνονται οι παραμετρικές εξισώσεις που την ορίζουν: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Λύση

Αρχικά, ας κάνουμε τη μετάβαση στην κανονική εξίσωση:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Η αναλογία που προκύπτει είναι πανομοιότυπη με την ισότητα - 3 · (x + 1) = 2 · y. Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και πάρουμε τη γενική εξίσωση της ευθείας: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Απάντηση: 3x + 2y + 3 = 0

Ακολουθώντας την παραπάνω λογική των ενεργειών, να προκύψει η εξίσωση ευθείας με συντελεστής κλίσης, η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα ή η κανονική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, είναι απαραίτητο να ληφθεί η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής και από αυτήν να πραγματοποιηθεί μια περαιτέρω μετάβαση.

Τώρα εξετάστε την αντίστροφη ενέργεια: γράφοντας τις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής για μια διαφορετική δεδομένη μορφή των εξισώσεων αυτής της ευθείας.

Η πιο εύκολη μετάβαση: από την κανονική εξίσωση στις παραμετρικές. Έστω η κανονική εξίσωση της μορφής: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Λαμβάνουμε καθεμία από τις σχέσεις αυτής της ισότητας ίση με την παράμετρο λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Ας λύσουμε τις εξισώσεις που προκύπτουν για τις μεταβλητές x και y:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Παράδειγμα 4

Είναι απαραίτητο να γράψετε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας αν είναι γνωστή η κανονική εξίσωση της ευθείας στο επίπεδο: x - 2 5 = y - 2 2

Λύση

Ας εξισώσουμε τα μέρη της γνωστής εξίσωσης με την παράμετρο λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Από την ισότητα που προκύπτει παίρνουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Απάντηση: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Όταν είναι απαραίτητο να γίνει μετάβαση σε παραμετρικές εξισώσεις από μια δεδομένη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, μια εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με μια κλίση ή μια εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε τμήματα, είναι απαραίτητο να φέρετε την αρχική εξίσωση στο κανονική, και στη συνέχεια κάντε τη μετάβαση σε παραμετρικές εξισώσεις.

Παράδειγμα 5

Είναι απαραίτητο να γράψουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας με τη γνωστή γενική εξίσωση αυτής της ευθείας: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Λύση

Μετατρέπουμε τη δεδομένη γενική εξίσωση σε εξίσωση της κανονικής μορφής:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Εξισώνουμε και τα δύο μέρη της ισότητας με την παράμετρο λ και παίρνουμε τις απαιτούμενες παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Απάντηση: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Παραδείγματα και προβλήματα με παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο

Ας εξετάσουμε τους πιο συνηθισμένους τύπους προβλημάτων χρησιμοποιώντας παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

1. Σε προβλήματα του πρώτου τύπου δίνονται οι συντεταγμένες των σημείων, είτε ανήκουν είτε όχι σε ευθεία που περιγράφεται με παραμετρικές εξισώσεις.

Η λύση τέτοιων προβλημάτων βασίζεται στο εξής γεγονός: οι αριθμοί (x, y) που προσδιορίζονται από τις παραμετρικές εξισώσεις x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ για κάποια πραγματική τιμή λ είναι οι συντεταγμένες ενός σημείο που ανήκει στην ευθεία γραμμή, στην οποία περιγράφονται αυτές οι παραμετρικές εξισώσεις.

Παράδειγμα 6

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες ενός σημείου που βρίσκεται σε μια ευθεία που δίνεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ για λ = 3 .

Λύση

Αντικαθιστούμε τη γνωστή τιμή λ = 3 στις δεδομένες παραμετρικές εξισώσεις και υπολογίζουμε τις επιθυμητές συντεταγμένες: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Απάντηση: 1 1 2 , 5

Το ακόλουθο πρόβλημα είναι επίσης δυνατό: ας δοθεί κάποιο σημείο M 0 (x 0, y 0) στο επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν αυτό το σημείο ανήκει στην ευθεία που περιγράφεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ .

Για να λυθεί ένα τέτοιο πρόβλημα, είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν οι συντεταγμένες ενός δεδομένου σημείου στις γνωστές παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής. Αν προσδιοριστεί ότι είναι δυνατή μια τέτοια τιμή της παραμέτρου λ = λ 0, στην οποία θα είναι αληθείς και οι δύο παραμετρικές εξισώσεις, τότε το δεδομένο σημείο ανήκει στη δεδομένη ευθεία.

Παράδειγμα 7

Δίνονται τα σημεία M 0 (4, - 2) και N 0 (- 2, 1). Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν ανήκουν στην ευθεία γραμμή που ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Λύση

Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του σημείου M 0 (4, - 2) στις δεδομένες παραμετρικές εξισώσεις:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Συμπεραίνουμε ότι το σημείο M 0 ανήκει σε μια δεδομένη ευθεία, γιατί αντιστοιχεί στην τιμή λ = 2 .

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Είναι προφανές ότι δεν υπάρχει τέτοια παράμετρος λ στην οποία θα αντιστοιχεί το σημείο N 0. Με άλλα λόγια, η δεδομένη ευθεία δεν διέρχεται από το σημείο N 0 (- 2 , 1) .

Απάντηση:Το σημείο M 0 ανήκει σε μια δεδομένη γραμμή. το σημείο N 0 δεν ανήκει στη δεδομένη ευθεία.

1. Σε προβλήματα του δεύτερου τύπου απαιτείται η σύνθεση παραμετρικών εξισώσεων ευθείας γραμμής σε επίπεδο σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Το απλούστερο παράδειγμα ενός τέτοιου προβλήματος (με γνωστές συντεταγμένες του σημείου της ευθείας και του διανύσματος κατεύθυνσης) εξετάστηκε παραπάνω. Τώρα ας δούμε παραδείγματα στα οποία πρέπει πρώτα να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης και στη συνέχεια να γράψετε τις παραμετρικές εξισώσεις.

Παράδειγμα 8

Δίνεται το σημείο M 1 1 2 , 2 3. Είναι απαραίτητο να συνθέσετε παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από αυτό το σημείο και μιας παράλληλης ευθείας x 2 \u003d y - 3 - 1.

Λύση

Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, η ευθεία, η εξίσωση της οποίας πρέπει να προηγηθεί, είναι παράλληλη με την ευθεία x 2 \u003d y - 3 - 1. Στη συνέχεια, ως διάνυσμα κατεύθυνσης, η ευθεία που διέρχεται δεδομένο σημείο, είναι δυνατόν να χρησιμοποιήσουμε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας x 2 = y - 3 - 1 , το οποίο γράφουμε με τη μορφή: a → = (2 , - 1) . Τώρα όλα τα απαραίτητα δεδομένα είναι γνωστά για να συνθέσουμε τις επιθυμητές παραμετρικές εξισώσεις:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Απάντηση: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Παράδειγμα 9

Δίνεται το σημείο Μ 1 (0, - 7). Είναι απαραίτητο να γραφούν οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από αυτό το σημείο κάθετα στην ευθεία 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Λύση

Ως κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας, της οποίας πρέπει να συντεθεί η εξίσωση, είναι δυνατό να ληφθεί το κανονικό διάνυσμα της ευθείας 3 x - 2 y - 5 = 0 . Οι συντεταγμένες του είναι (3 , - 2) . Γράφουμε τις απαιτούμενες παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Απάντηση: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. Σε προβλήματα του τρίτου τύπου απαιτείται η μετάβαση από παραμετρικές εξισώσεις δεδομένης ευθείας σε άλλους τύπους εξισώσεων που την καθορίζουν. Εξετάσαμε τη λύση τέτοιων παραδειγμάτων παραπάνω, θα δώσουμε ένα ακόμη.

Παράδειγμα 10

Δίνεται μια ευθεία σε ένα επίπεδο σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, που ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες κάποιου κανονικού διανύσματος αυτής της ευθείας.

Λύση

Για να προσδιορίσουμε τις επιθυμητές συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος, θα κάνουμε τη μετάβαση από τις παραμετρικές εξισώσεις στη γενική εξίσωση:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Οι συντελεστές των μεταβλητών x και y μας δίνουν τις απαιτούμενες συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος. Έτσι, το κανονικό διάνυσμα της ευθείας x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ έχει συντεταγμένες 1 , 3 4 .

Απάντηση: 1 , 3 4 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Η ευθεία μαζί με το σημείο είναι σημαντικά στοιχεία της γεωμετρίας, με τη βοήθεια της οποίας χτίζονται πολλές μορφές στο χώρο και στο επίπεδο. Αυτό το άρθρο εξετάζει λεπτομερώς την παραμετρική και τη σχέση της με άλλους τύπους εξισώσεων για αυτό το γεωμετρικό στοιχείο.

Ευθεία γραμμή και εξισώσεις για την περιγραφή του

Μια ευθεία γραμμή στη γεωμετρία είναι μια συλλογή σημείων που συνδέουν αυθαίρετα δύο σημεία στο χώρο με ένα τμήμα με το μικρότερο μήκος. Αυτό το τμήμα είναι μέρος μιας ευθείας γραμμής. Οποιεσδήποτε άλλες καμπύλες που συνδέουν δύο σταθερά σημεία στο χώρο θα έχουν μεγάλο μήκος, επομένως δεν είναι ευθείες γραμμές.

Η παραπάνω εικόνα δείχνει δύο μαύρες κουκκίδες. Η μπλε γραμμή που τα συνδέει είναι ευθεία και η κόκκινη γραμμή είναι καμπύλη. Προφανώς, η κόκκινη γραμμή ανάμεσα στις μαύρες κουκκίδες είναι μεγαλύτερη από την μπλε.

Υπάρχουν διάφοροι τύποι εξισώσεων ευθείας γραμμής που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν μια ευθεία γραμμή σε τρισδιάστατο χώρο ή σε δισδιάστατο χώρο. Παρακάτω είναι τα ονόματα αυτών των εξισώσεων:

• διάνυσμα;
• παραμετρική?
• σε τμήματα?
• συμμετρική ή κανονική?
• γενικού τύπου.

Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε την παραμετρική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, αλλά θα την εξαγάγουμε από τη διανυσματική. Θα δείξουμε επίσης τη σχέση μεταξύ παραμετρικών και συμμετρικών ή κανονικών εξισώσεων.

διανυσματική εξίσωση

Είναι σαφές ότι όλοι οι παραπάνω τύποι εξισώσεων για το εξεταζόμενο γεωμετρικό στοιχείο αλληλοσυνδέονται. Ωστόσο, η διανυσματική εξίσωση είναι βασική για όλα αυτά, αφού προκύπτει άμεσα από τον ορισμό της ευθείας. Ας εξετάσουμε πώς εισάγεται στη γεωμετρία.

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται ένα σημείο στο διάστημα P(x 0 ; y 0 ; z 0). Είναι γνωστό ότι αυτό το σημείο ανήκει στη γραμμή. Πόσες γραμμές μπορούν να περάσουν μέσα από αυτό; Άπειρο σύνολο. Επομένως, για να μπορέσετε να σχεδιάσετε μια ενιαία ευθεία γραμμή, είναι απαραίτητο να ορίσετε την κατεύθυνση της τελευταίας. Η κατεύθυνση, όπως γνωρίζετε, καθορίζεται από το διάνυσμα. Ας το συμβολίσουμε v¯(a; b; c), όπου τα σύμβολα στις αγκύλες είναι οι συντεταγμένες του. Για κάθε σημείο Q(x; y; z), που βρίσκεται στην ευθεία που εξετάζουμε, μπορούμε να γράψουμε την ισότητα:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α × (a; b; c)

Εδώ το σύμβολο α είναι μια παράμετρος που παίρνει απολύτως οποιαδήποτε πραγματική τιμή (ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό μπορεί να αλλάξει μόνο το μέτρο ή την κατεύθυνσή του προς το αντίθετο). Αυτή η ισότητα ονομάζεται διανυσματική εξίσωση για μια ευθεία γραμμή στον τρισδιάστατο χώρο. Αλλάζοντας την παράμετρο α, παίρνουμε όλα τα σημεία (x; y; z) που σχηματίζουν αυτή τη γραμμή.

Το διάνυσμα v¯(a; b; c) στην εξίσωση ονομάζεται διάνυσμα κατεύθυνσης. Μια ευθεία δεν έχει ιδιαίτερη κατεύθυνση και το μήκος της είναι άπειρο. Αυτά τα γεγονότα σημαίνουν ότι κάθε διάνυσμα που προκύπτει από το v¯ πολλαπλασιάζοντας με έναν πραγματικό αριθμό θα είναι επίσης ένας οδηγός για τη γραμμή.

Όσον αφορά το σημείο P(x 0; y 0; z 0), αντί για αυτό, ένα αυθαίρετο σημείο μπορεί να αντικατασταθεί στην εξίσωση, η οποία βρίσκεται σε μια ευθεία γραμμή, και η τελευταία δεν θα αλλάξει.

Το παραπάνω σχήμα δείχνει μια ευθεία γραμμή (μπλε γραμμή) που ορίζεται στο διάστημα μέσω ενός διανύσματος κατεύθυνσης (κόκκινο τμήμα γραμμής).

Δεν είναι δύσκολο να επιτευχθεί παρόμοια ισότητα για τη δισδιάστατη περίπτωση. Χρησιμοποιώντας παρόμοια συλλογιστική, καταλήγουμε στην έκφραση:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Βλέπουμε ότι είναι εντελώς το ίδιο με το προηγούμενο, χρησιμοποιούνται μόνο δύο συντεταγμένες αντί για τρεις για τον καθορισμό σημείων και διανυσμάτων.

Παραμετρική εξίσωση

Αρχικά, λαμβάνουμε μια παραμετρική εξίσωση μιας ευθείας στο χώρο. Παραπάνω, όταν γράφτηκε η διανυσματική ισότητα, αναφέρθηκε ήδη για την παράμετρο που υπάρχει σε αυτήν. Για να λάβουμε μια παραμετρική εξίσωση, αρκεί να επεκτείνουμε τη διανυσματική. Παίρνουμε:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b;

z = z 0 + α × γ

Το σύνολο αυτών των τριών γραμμικών ισοτήτων, καθεμία από τις οποίες έχει μία μεταβλητή συντεταγμένη και παράμετρο α, ονομάζεται συνήθως παραμετρική εξίσωση μιας ευθείας στο χώρο. Στην πραγματικότητα, δεν έχουμε κάνει κάτι νέο, αλλά απλώς καταγράψαμε ρητά τη σημασία της αντίστοιχης διανυσματικής έκφρασης. Σημειώνουμε μόνο ένα σημείο: ο αριθμός α, αν και είναι αυθαίρετος, είναι ίδιος και για τις τρεις ισότητες. Για παράδειγμα, εάν α \u003d -1,5 για την 1η ισότητα, τότε η ίδια τιμή του θα πρέπει να αντικατασταθεί στη δεύτερη και τρίτη ισότητα κατά τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του σημείου.

Η παραμετρική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο είναι παρόμοια με αυτή για τη χωρική περίπτωση. Γράφεται ως:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × β

Έτσι, για να συνθέσουμε μια παραμετρική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, θα πρέπει να γράψουμε τη διανυσματική εξίσωση για αυτήν σε ρητή μορφή.

Λήψη της κανονικής εξίσωσης

Όπως σημειώθηκε παραπάνω, όλες οι εξισώσεις που ορίζουν μια ευθεία γραμμή στο χώρο και σε ένα επίπεδο λαμβάνονται η μία από την άλλη. Ας δείξουμε πώς να αποκτήσετε μια κανονική ευθεία γραμμή από μια παραμετρική εξίσωση. Για τη χωρική περίπτωση έχουμε:

x = x 0 + α × a;

y = y0 + α × b;

z = z 0 + α × γ

Ας εκφράσουμε την παράμετρο σε κάθε ισότητα:

α \u003d (x - x 0) / a;

α \u003d (y - y 0) / b;

α \u003d (z - z 0) / γ

Δεδομένου ότι οι αριστερές πλευρές είναι ίδιες, τότε οι δεξιές πλευρές των ισοτήτων είναι επίσης ίσες μεταξύ τους:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c

Αυτή είναι η κανονική εξίσωση για μια ευθεία γραμμή στο χώρο. Η τιμή του παρονομαστή σε κάθε έκφραση είναι η αντίστοιχη συντεταγμένη Οι τιμές στον αριθμητή που αφαιρούνται από κάθε μεταβλητή είναι οι συντεταγμένες ενός σημείου σε αυτήν τη γραμμή.

Η αντίστοιχη εξίσωση για την περίπτωση στο επίπεδο έχει τη μορφή:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / β

Εξίσωση ευθείας διαμέσου 2 σημείων

Είναι γνωστό ότι δύο σταθερά σημεία, τόσο στο επίπεδο όσο και στο χώρο, ορίζουν μοναδικά μια ευθεία γραμμή. Ας υποθέσουμε ότι δίνονται τα ακόλουθα δύο σημεία στο επίπεδο:

Πώς να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσα από αυτά; Το πρώτο βήμα είναι να ορίσουμε ένα διάνυσμα κατεύθυνσης. Οι συντεταγμένες του είναι οι εξής:

PQ¯ (x 2 - x 1 ; y 2 ​​- y 1)

Τώρα μπορείτε να γράψετε την εξίσωση σε οποιαδήποτε από τις τρεις μορφές που συζητήθηκαν στις παραπάνω παραγράφους. Για παράδειγμα, η παραμετρική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής έχει τη μορφή:

x \u003d x 1 + α × (x 2 - x 1);

y \u003d y 1 + α × (y 2 - y 1)

Σε κανονική μορφή, μπορείτε να το ξαναγράψετε ως εξής:

(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)

Μπορεί να φανεί ότι η κανονική εξίσωση περιλαμβάνει τις συντεταγμένες και των δύο σημείων και αυτά τα σημεία μπορούν να αλλάξουν στον αριθμητή. Έτσι, η τελευταία εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)

Όλες οι γραπτές εκφράσεις ονομάζονται εξισώσεις ευθείας γραμμής 2 σημείων.

Πρόβλημα με τρεις τελείες

Δίνονται οι συντεταγμένες των ακόλουθων τριών σημείων:

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν αυτά τα σημεία βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή όχι.

Αυτό το πρόβλημα θα πρέπει να λυθεί ως εξής: πρώτα, συντάξτε μια εξίσωση ευθείας γραμμής για οποιαδήποτε δύο σημεία και, στη συνέχεια, αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του τρίτου σε αυτήν και ελέγξτε εάν ικανοποιούν την προκύπτουσα ισότητα.

Συνθέτουμε μια εξίσωση ως προς τα Μ και Ν σε παραμετρική μορφή. Για αυτό, εφαρμόζουμε τον τύπο που προκύπτει στην παραπάνω παράγραφο, τον οποίο γενικεύουμε στην τρισδιάστατη περίπτωση. Εχουμε:

x = 5 + α × (-3);

y = 3 + α × (-1);

z = -1 + α × 1

Τώρα ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου Κ σε αυτές τις εκφράσεις και ας βρούμε την τιμή της παραμέτρου άλφα που αντιστοιχεί σε αυτές. Παίρνουμε:

1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;

1 = 3 + α × (-1) => α = 4;

5 = -1 + α × 1 => α = -4

Ανακαλύψαμε ότι και οι τρεις ισότητες θα ισχύουν αν η καθεμία από αυτές λάβει διαφορετική τιμή της παραμέτρου α. Το τελευταίο γεγονός έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη της παραμετρικής εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής, στην οποία το α πρέπει να είναι ίσο για όλες τις εξισώσεις. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο Κ δεν ανήκει στην ευθεία ΜΝ, που σημαίνει ότι και τα τρία σημεία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Το πρόβλημα των παράλληλων ευθειών

Δίνονται δύο εξισώσεις ευθειών στο παραμετρική μορφή. Παρουσιάζονται παρακάτω:

x = -1 + 5 × α;

x = 2 - 6 × λ;

y = 4 - 3,6 × λ

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν οι γραμμές είναι παράλληλες. Ο ευκολότερος τρόπος για τον προσδιορισμό της παραλληλίας δύο ευθειών είναι η χρήση των συντεταγμένων των διανυσμάτων κατεύθυνσης. Αναφερόμενοι στον γενικό τύπο της παραμετρικής εξίσωσης στον δισδιάστατο χώρο, παίρνουμε ότι τα διανύσματα κατεύθυνσης κάθε ευθείας γραμμής θα έχουν συντεταγμένες:

Δύο διανύσματα είναι παράλληλα αν ένα από αυτά μπορεί να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας το άλλο με κάποιο αριθμό. Διαιρούμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων σε ζεύγη, παίρνουμε:

Αυτό σημαίνει ότι:

v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯

Τα διανύσματα κατεύθυνσης v 2 ¯ και v 1 ¯ είναι παράλληλα, πράγμα που σημαίνει ότι οι γραμμές στη δήλωση του προβλήματος είναι επίσης παράλληλες.

Ας ελέγξουμε αν δεν είναι η ίδια γραμμή. Για να γίνει αυτό, πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της εξίσωσης με ένα άλλο. Πάρτε το σημείο (-1; 3), αντικαταστήστε το στην εξίσωση για τη δεύτερη ευθεία:

1 = 2 - 6 × λ => λ = 1/2;

3 \u003d 4 - 3,6 × λ => λ ≈ 0,28

Δηλαδή οι γραμμές είναι διαφορετικές.

Το πρόβλημα της καθετότητας των γραμμών

Δίνονται εξισώσεις δύο ευθειών:

x = 2 + 6 × λ;

y = -2 - 4 × λ

Είναι κάθετες αυτές οι γραμμές;

Δύο ευθείες θα είναι κάθετες αν το γινόμενο των τελειών των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους είναι μηδέν. Ας γράψουμε αυτά τα διανύσματα:

Ας βρούμε το βαθμωτό προϊόν τους:

(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0

Έτσι, ανακαλύψαμε ότι οι εξεταζόμενες γραμμές είναι κάθετες. Φαίνονται στην παραπάνω εικόνα.

Εξισώνοντας στις κανονικές εξισώσεις της ευθείας κάθε ένα από τα κλάσματα με κάποια παράμετρο t:

Λαμβάνουμε εξισώσεις που εκφράζουν τις τρέχουσες συντεταγμένες κάθε σημείου της ευθείας μέσω της παραμέτρου t.

Έτσι, οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας έχουν τη μορφή:

Εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.

Έστω δύο σημεία M 1 (x1,y1,z1)και Μ 2 (x2,y2,z2). Οι εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία λαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο όπως μια παρόμοια εξίσωση σε ένα επίπεδο. Επομένως, δίνουμε αμέσως τη μορφή αυτής της εξίσωσης.

Μια ευθεία γραμμή στη διασταύρωση δύο επιπέδων. Γενική εξίσωση ευθείας στο χώρο.

Αν θεωρήσουμε δύο μη παράλληλα επίπεδα, τότε η τομή τους θα είναι ευθεία.

Αν τα κανονικά διανύσματα και μη γραμμικό.

Παρακάτω, όταν εξετάζουμε παραδείγματα, θα δείξουμε έναν τρόπο μετατροπής τέτοιων ευθύγραμμων εξισώσεων σε κανονικές εξισώσεις.

5.4 Γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο ευθειών.

Μια γωνία μεταξύ δύο ευθειών στο διάστημα είναι οποιαδήποτε από τις γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες γραμμές που χαράσσονται μέσω ενός αυθαίρετου σημείου παράλληλου στα δεδομένα.

Έστω δύο ευθείες που δίνονται από τις κανονικές τους εξισώσεις.

Για τη γωνία μεταξύ δύο ευθειών θα πάρουμε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης.

Και

Η συνθήκη της καθετότητας δύο ευθειών μειώνεται στην συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και, δηλαδή, στην ισότητα προς το μηδέν του βαθμωτού γινομένου: ή σε μορφή συντεταγμένων: .

Η συνθήκη παραλληλισμού δύο ευθειών ανάγεται στην συνθήκη παραλληλισμού των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και

5.5 Αμοιβαία τακτοποίησηευθεία και επίπεδη.

Έστω οι εξισώσεις της ευθείας:

και αεροπλάνα. Η γωνία μεταξύ της γραμμής και του επιπέδου θα είναι οποιαδήποτε από τις δύο παρακείμενες γωνίες που σχηματίζονται από τη γραμμή και την προβολή της στο επίπεδο (Εικόνα 5.5).

Εικόνα 5.5

Εάν η ευθεία είναι κάθετη στο επίπεδο, το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας και το κανονικό διάνυσμα προς το επίπεδο είναι συγγραμμικά. Έτσι, η συνθήκη της καθετότητας μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου ανάγεται στην κατάσταση των συγγραμμικών διανυσμάτων

Στην περίπτωση παραλληλισμού μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου, τα διανύσματά τους που αναφέρονται παραπάνω είναι αμοιβαία κάθετα. Επομένως, η συνθήκη παραλληλισμού μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου ανάγεται στην συνθήκη της καθετότητας των διανυσμάτων. εκείνοι. Το γινόμενο κουκίδων τους είναι μηδέν ή σε μορφή συντεταγμένων: .

Ακολουθούν παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με το θέμα του Κεφαλαίου 5.

Παράδειγμα 1:

Να γράψετε μια εξίσωση για ένα επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Α (1,2,4) κάθετο στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση:

Λύση:

Χρησιμοποιούμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ως σημείο, παίρνουμε το σημείο Α (1,2,4), από το οποίο διέρχεται το επίπεδο από τη συνθήκη.

Γνωρίζοντας τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας, γνωρίζουμε το διάνυσμα παράλληλο προς την ευθεία.

Λόγω του γεγονότος ότι, από τη συνθήκη, η ευθεία είναι κάθετη στο επιθυμητό επίπεδο, το διάνυσμα κατεύθυνσης μπορεί να ληφθεί ως το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου.

Έτσι, παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου με τη μορφή:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Παράδειγμα 2:

Βρείτε στο αεροπλάνο 4x-7y+5z-20=0ένα σημείο P για το οποίο το OP κάνει ίσες γωνίες με τους άξονες συντεταγμένων.

Λύση:

Ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο. (Εικόνα 5.6)

στο

Εικόνα 5.6

Το κενό σημείο Р έχει συντεταγμένες . Δεδομένου ότι το διάνυσμα κάνει τις ίδιες γωνίες με τους άξονες συντεταγμένων, τα συνημίτονα κατεύθυνσης αυτού του διανύσματος είναι ίσα μεταξύ τους

Ας βρούμε τις προβολές του διανύσματος:

τότε τα συνημίτονα κατεύθυνσης αυτού του διανύσματος βρίσκονται εύκολα.

Από την ισότητα των συνημιτόνων κατεύθυνσης προκύπτει η ισότητα:

x p \u003d y p \u003d z p

δεδομένου ότι το σημείο P βρίσκεται στο επίπεδο, η αντικατάσταση των συντεταγμένων αυτού του σημείου στην εξίσωση του επιπέδου το μετατρέπει σε ταυτότητα.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Αντίστοιχα: y r=10; z σελ=10.

Έτσι, το επιθυμητό σημείο P έχει συντεταγμένες P (10; 10; 10)

Παράδειγμα 3:

Δίνονται δύο σημεία Α (2, -1, -2) και Β (8, -7,5). Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από το σημείο Β, κάθετο στο τμήμα ΑΒ.

Λύση:

Για να λύσουμε το πρόβλημα, χρησιμοποιούμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ως σημείο, χρησιμοποιούμε το σημείο Β (8, -7,5), και ως διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο, διάνυσμα. Ας βρούμε τις προβολές του διανύσματος:

τότε παίρνουμε την εξίσωση του επιπέδου με τη μορφή:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Παράδειγμα 4:

Να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου παράλληλου προς τον άξονα ΟΥ και που διέρχεται από τα σημεία Κ(1,-5,1) και Μ(3,2,-2).

Λύση:

Εφόσον το επίπεδο είναι παράλληλο με τον άξονα OY, θα χρησιμοποιήσουμε την ημιτελή εξίσωση του επιπέδου.

Ax+Cz+D=0

Λόγω του γεγονότος ότι τα σημεία Κ και Μ βρίσκονται στο επίπεδο, λαμβάνουμε δύο συνθήκες.

Ας εκφράσουμε από αυτές τις συνθήκες τους συντελεστές Α και Γ ως D.

Αντικαθιστούμε τους συντελεστές που βρέθηκαν στην ημιτελή εξίσωση του επιπέδου:

αφού , τότε μειώνουμε το D:

Παράδειγμα 5:

Να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία σημεία M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Λύση:

Ας χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από 3 δεδομένα σημεία.

αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες σημεία M, K, Rως πρώτο, δεύτερο και τρίτο παίρνουμε:

επεκτείνετε την ορίζουσα κατά μήκος της 1ης γραμμής.

Παράδειγμα 6:

Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα σημεία M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) και κάθετο στο επίπεδο 3x+5y-7z-21=0

Λύση:

Ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο (Εικόνα 5.7)

Εικόνα 5.7

Συμβολίζουμε το δεδομένο επίπεδο P 2 και το επιθυμητό επίπεδο P 2. . Από την εξίσωση ενός δεδομένου επιπέδου Р 1 προσδιορίζουμε τις προβολές του διανύσματος κάθετες στο επίπεδο Р 1.

Το διάνυσμα μπορεί να μετακινηθεί στο επίπεδο P 2 μέσω παράλληλης μετάφρασης, αφού, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, το επίπεδο P 2 είναι κάθετο στο επίπεδο P 1, πράγμα που σημαίνει ότι το διάνυσμα είναι παράλληλο στο επίπεδο P 2 .

Ας βρούμε τις προβολές του διανύσματος που βρίσκεται στο επίπεδο Р 2:

τώρα έχουμε δύο διανύσματα και βρίσκονται στο επίπεδο R 2 . Προφανώς, το διάνυσμα είναι ίσο με το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων και θα είναι κάθετο στο επίπεδο P 2, αφού είναι κάθετο και, επομένως, το κανονικό του διάνυσμα στο επίπεδο P 2.

Τα διανύσματα και δίνονται από τις προβολές τους, επομένως:

Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο στο διάνυσμα. Ως σημείο, μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε από τα σημεία M 1 ή M 2, για παράδειγμα M 1 (8, -3.1). Ως κανονικό διάνυσμα στο επίπεδο Р 2 παίρνουμε .

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Παράδειγμα 7:

Μια ευθεία γραμμή ορίζεται από την τομή δύο επιπέδων. Βρείτε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας.

Λύση:

Έχουμε μια εξίσωση με τη μορφή:

Πρέπει να βρεθεί ένα σημείο x 0, y 0, z 0) από την οποία διέρχεται η ευθεία γραμμή και το διάνυσμα κατεύθυνσης.

Επιλέγουμε μια από τις συντεταγμένες αυθαίρετα. Για παράδειγμα, z=1, τότε παίρνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους:

Έτσι, βρήκαμε ένα σημείο που βρίσκεται στην επιθυμητή γραμμή (2,0,1).

Ως κατευθυντικό διάνυσμα της επιθυμητής ευθείας, λαμβάνουμε το εγκάρσιο γινόμενο των διανυσμάτων και , που είναι κανονικά διανύσματα αφού , που σημαίνει παράλληλη με την επιθυμητή γραμμή.

Έτσι, το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας έχει προβολές . Χρησιμοποιώντας την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο παράλληλο σε ένα δεδομένο διάνυσμα:

Άρα η επιθυμητή κανονική εξίσωση έχει τη μορφή:

Παράδειγμα 8:

Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής μιας ευθείας και αεροπλάνο 2x+3y+3z-8=0

Λύση:

Ας γράψουμε τη δεδομένη εξίσωση μιας ευθείας σε παραμετρική μορφή.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

κάθε σημείο της ευθείας αντιστοιχεί σε μία μόνο τιμή της παραμέτρου t. Για να βρείτε την παράμετρο tπου αντιστοιχεί στο σημείο τομής της ευθείας και του επιπέδου, αντικαθιστούμε την έκφραση στην εξίσωση του επιπέδου x, y, zμέσω παραμέτρου t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

τότε οι συντεταγμένες του επιθυμητού σημείου

το επιθυμητό σημείο τομής έχει συντεταγμένες (1;1;1).

Παράδειγμα 9:

Να βρείτε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από παράλληλες ευθείες.

Ας κάνουμε ένα σχηματικό σχέδιο (Εικόνα 5.9)

Εικόνα 5.9

Από τις δοσμένες εξισώσεις ευθειών και προσδιορίζουμε τις προβολές των κατευθυνόμενων διανυσμάτων αυτών των γραμμών. Βρίσκουμε τις προβολές του διανύσματος που βρίσκεται στο επίπεδο P, και παίρνουμε τα σημεία και από τις κανονικές εξισώσεις των ευθειών M 1 (1, -1,2) και M 2 (0,1, -2).

ΓΩΝΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

Ας θεωρήσουμε δύο επίπεδα α 1 και α 2 που δίνονται αντίστοιχα από τις εξισώσεις:

Κάτω από γωνίαμεταξύ δύο επιπέδων εννοούμε μία από τις δίεδρες γωνίες που σχηματίζονται από αυτά τα επίπεδα. Είναι προφανές ότι η γωνία μεταξύ των κανονικών διανυσμάτων και των επιπέδων α 1 και α 2 είναι ίση με μία από τις υποδεικνυόμενες γειτονικές διεδρικές γωνίες ή . Να γιατί . Επειδή Και , Οτι

.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων Χ+2y-3z+4=0 και 2 Χ+3y+z+8=0.

Συνθήκη παραλληλισμού δύο επιπέδων.

Δύο επίπεδα α 1 και α 2 είναι παράλληλα αν και μόνο αν τα κανονικά τους διανύσματα και είναι παράλληλα, και ως εκ τούτου .

Άρα, δύο επίπεδα είναι παράλληλα μεταξύ τους αν και μόνο αν οι συντελεστές στις αντίστοιχες συντεταγμένες είναι ανάλογοι:

ή

Συνθήκη καθετότητας επιπέδων.

Είναι σαφές ότι δύο επίπεδα είναι κάθετα εάν και μόνο εάν τα κανονικά τους διανύσματα είναι κάθετα, και επομένως, ή .

Ετσι, .

Παραδείγματα.

ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΜΕΣΗ.

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΜΕΣΗ

Η θέση μιας ευθείας γραμμής στο χώρο καθορίζεται πλήρως καθορίζοντας οποιοδήποτε από τα σταθερά σημεία της Μ 1 και ένα διάνυσμα παράλληλο σε αυτή τη γραμμή.

Ένα διάνυσμα παράλληλο σε μια ευθεία ονομάζεται καθοδηγώνταςτο διάνυσμα αυτής της γραμμής.

Αφήστε λοιπόν την ευθεία μεγάλοδιέρχεται από ένα σημείο Μ 1 (Χ 1 , y 1 , z 1) που βρίσκεται σε ευθεία παράλληλη προς το διάνυσμα .

Σκεφτείτε ένα αυθαίρετο σημείο M(x,y,z)σε ευθεία γραμμή. Από το σχήμα φαίνεται ότι .

Τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, οπότε υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός t, τι , πού είναι ο πολλαπλασιαστής tμπορεί να πάρει οποιαδήποτε αριθμητική τιμή ανάλογα με τη θέση του σημείου Μσε ευθεία γραμμή. Παράγοντας tονομάζεται παράμετρος. Δηλώνοντας τα διανύσματα ακτίνας των σημείων Μ 1 και Μαντίστοιχα, μέσω και , λαμβάνουμε . Αυτή η εξίσωση ονομάζεται διάνυσμαευθύγραμμη εξίσωση. Δείχνει ότι κάθε τιμή παραμέτρου tαντιστοιχεί στο διάνυσμα ακτίνας κάποιου σημείου Μξαπλωμένος σε ευθεία γραμμή.

Γράφουμε αυτή την εξίσωση σε μορφή συντεταγμένων. Σημειώσε ότι , και από εδώ

Οι εξισώσεις που προκύπτουν καλούνται παραμετρικήευθύγραμμες εξισώσεις.

Κατά την αλλαγή της παραμέτρου tοι συντεταγμένες αλλάζουν Χ, yΚαι zκαι τελεία Μκινείται σε ευθεία γραμμή.

ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΜΕΣΗ

Αφήνω Μ 1 (Χ 1 , y 1 , z 1) - ένα σημείο που βρίσκεται σε ευθεία γραμμή μεγάλο, Και είναι το διάνυσμα κατεύθυνσής του. Και πάλι, πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο σε μια ευθεία γραμμή M(x,y,z)και λάβετε υπόψη το διάνυσμα.

Είναι σαφές ότι τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, επομένως οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους πρέπει να είναι ανάλογες, επομένως

– κανονικόςευθύγραμμες εξισώσεις.

Παρατήρηση 1.Σημειώστε ότι οι κανονικές εξισώσεις της γραμμής θα μπορούσαν να ληφθούν από τις παραμετρικές εξισώσεις εξαλείφοντας την παράμετρο t. Πράγματι, από τις παραμετρικές εξισώσεις παίρνουμε ή .

Παράδειγμα.Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με παραμετρικό τρόπο.

Δείχνω , ως εκ τούτου Χ = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Παρατήρηση 2.Έστω η ευθεία κάθετη σε έναν από τους άξονες συντεταγμένων, για παράδειγμα, τον άξονα Βόδι. Τότε το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας είναι κάθετο Βόδι, ως εκ τούτου, Μ=0. Κατά συνέπεια, οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας παίρνουν τη μορφή

Εξάλειψη της παραμέτρου από τις εξισώσεις t, λαμβάνουμε τις εξισώσεις της ευθείας στη μορφή

Ωστόσο, και σε αυτήν την περίπτωση, συμφωνούμε να γράψουμε επίσημα τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας γραμμής στη μορφή . Έτσι, εάν ο παρονομαστής ενός από τα κλάσματα είναι μηδέν, τότε αυτό σημαίνει ότι η ευθεία είναι κάθετη στον αντίστοιχο άξονα συντεταγμένων.

Ομοίως, οι κανονικές εξισώσεις αντιστοιχεί σε μια ευθεία κάθετη στους άξονες ΒόδιΚαι Oyή παράλληλου άξονα Οζ.

Παραδείγματα.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ ΓΡΑΜΜΗ ΩΣ ΓΡΑΜΜΗ ΑΝΑΚΟΠΗΣΗΣ ΔΥΟ ΕΠΙΠΕΔΩΝ

Μέσα από κάθε ευθεία στον χώρο περνά άπειρος αριθμός επιπέδων. Οποιαδήποτε δύο από αυτά, που τέμνονται, το ορίζουν στο χώρο. Επομένως, οι εξισώσεις οποιωνδήποτε δύο τέτοιων επιπέδων, θεωρούμενων μαζί, είναι οι εξισώσεις αυτής της ευθείας.

Γενικά, οποιαδήποτε δύο μη παράλληλα επίπεδα δίνονται από τις γενικές εξισώσεις

καθορίσει τη γραμμή τομής τους. Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται γενικές εξισώσειςευθεία.

Παραδείγματα.

Κατασκευάστε μια ευθεία γραμμή που δίνεται από εξισώσεις

Για να κατασκευάσουμε μια γραμμή, αρκεί να βρούμε οποιαδήποτε δύο σημεία της. Ο ευκολότερος τρόπος είναι να επιλέξετε τα σημεία τομής της ευθείας με τα επίπεδα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, το σημείο τομής με το επίπεδο xOyλαμβάνουμε από τις εξισώσεις μιας ευθείας, υποθέτοντας z= 0:

Λύνοντας αυτό το σύστημα, βρίσκουμε το νόημα Μ 1 (1;2;0).

Ομοίως, υποθέτοντας y= 0, παίρνουμε το σημείο τομής της ευθείας με το επίπεδο xOz:

Από τις γενικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής μπορεί κανείς να προχωρήσει στις κανονικές ή παραμετρικές της εξισώσεις. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να βρείτε κάποιο σημείο Μ 1 στη γραμμή και το διάνυσμα κατεύθυνσης της γραμμής.

Συντεταγμένες σημείων Μ 1 λαμβάνουμε από αυτό το σύστημα εξισώσεων, δίνοντας σε μία από τις συντεταγμένες μια αυθαίρετη τιμή. Για να βρείτε το διάνυσμα κατεύθυνσης, σημειώστε ότι αυτό το διάνυσμα πρέπει να είναι κάθετο και στα δύο κανονικά διανύσματα Και . Επομένως, για το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας μεγάλομπορείς να πάρεις διανυσματικό προϊόνκανονικοί φορείς:

.

Παράδειγμα.Οδηγω γενικές εξισώσειςευθεία στην κανονική μορφή.

Βρείτε ένα σημείο σε ευθεία γραμμή. Για να γίνει αυτό, επιλέγουμε αυθαίρετα μία από τις συντεταγμένες, για παράδειγμα, y= 0 και λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων:

Τα κανονικά διανύσματα των επιπέδων που ορίζουν τη γραμμή έχουν συντεταγμένες Επομένως, το διάνυσμα κατεύθυνσης θα είναι ευθύ

. Ως εκ τούτου, μεγάλο: .

ΓΩΝΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ

γωνίαμεταξύ ευθειών στο χώρο θα ονομάσουμε οποιαδήποτε από τις γειτονικές γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες γραμμές που χαράσσονται μέσω ενός αυθαίρετου σημείου παράλληλου στα δεδομένα.

Ας δίνονται δύο ευθείες στο διάστημα:

Προφανώς, η γωνία φ μεταξύ των γραμμών μπορεί να ληφθεί ως η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσής τους και . Αφού , τότε σύμφωνα με τον τύπο για το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων παίρνουμε