Ποια ευθεία στο επίπεδο καθορίζεται από την εξίσωση. Βιβλίο: Εξίσωση ευθείας σε επίπεδο. Γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών σε επίπεδο
Εξίσωση γραμμής σε επίπεδο
Κύριες ερωτήσεις της διάλεξης: εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο. διάφορες μορφές της εξίσωσης μιας γραμμής σε ένα επίπεδο. γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών? συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας γραμμών. απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή. Καμπύλες δεύτερης τάξης: κύκλος, έλλειψη, υπερβολή, παραβολή, οι εξισώσεις και οι γεωμετρικές τους ιδιότητες. εξισώσεις ενός επιπέδου και μιας ευθείας στο διάστημα.
Μια εξίσωση της φόρμας ονομάζεται εξίσωση μιας γραμμής in γενική εικόνα.
Αν εκφράσουμε σε αυτή την εξίσωση, τότε μετά την αντικατάσταση παίρνουμε μια εξίσωση που ονομάζεται εξίσωση της ευθείας με κλίση, και , όπου είναι η γωνία μεταξύ της ευθείας γραμμής και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα της τετμημένης. Αν μέσα γενική εξίσωσηευθεία γραμμή, μεταφέρουμε τον ελεύθερο συντελεστή στη δεξιά πλευρά και διαιρούμε με αυτόν, λαμβάνουμε μια εξίσωση σε τμήματα
Πού και είναι τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες τετμημένης και τεταγμένης, αντίστοιχα.
Δύο ευθείες σε ένα επίπεδο ονομάζονται παράλληλες αν δεν τέμνονται.
Οι ευθείες ονομάζονται κάθετες αν τέμνονται κάθετες.
Αφήστε δύο γραμμές και να δοθεί.
Για να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών (αν τέμνονται), είναι απαραίτητο να λύσετε το σύστημα με αυτές τις εξισώσεις. Η λύση σε αυτό το σύστημα θα είναι το σημείο τομής των γραμμών. Ας βρούμε τις προϋποθέσεις σχετική θέσηδύο ευθείες γραμμές.
Επειδή 
, τότε η γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών βρίσκεται από τον τύπο
Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι πότε οι ευθείες θα είναι παράλληλες και πότε θα είναι κάθετες. Αν οι ευθείες δίνονται σε γενική μορφή, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες υπό την συνθήκη και κάθετες υπό την συνθήκη
Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο
Κανονική εξίσωση κύκλου:
Η έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων από τις οποίες είναι δύο δοθέντες πόντους, που ονομάζεται εστίες, είναι μια σταθερή ποσότητα.
Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης έχει τη μορφή:
. Οι κορυφές της έλλειψης είναι τα σημεία , , ,. Η εκκεντρότητα μιας έλλειψης είναι η αναλογία
Μια υπερβολή είναι ο τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, ο συντελεστής της διαφοράς αποστάσεων από την οποία σε δύο δεδομένα σημεία, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή.
Η κανονική εξίσωση μιας υπερβολής έχει τη μορφή:
όπου είναι ο ημικύριος άξονας, είναι ο ημικύριος άξονας και . Η εστίαση είναι σε σημεία . Οι κορυφές μιας υπερβολής είναι τα σημεία , . Η εκκεντρότητα μιας υπερβολής είναι ο λόγος
Οι ευθείες ονομάζονται ασύμπτωτες της υπερβολής. Αν , τότε η υπερβολή ονομάζεται ισόπλευρη.
Από την εξίσωση παίρνουμε ένα ζεύγος τεμνόμενων ευθειών και .
Η παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, από καθένα από τα οποία η απόσταση από ένα δεδομένο σημείο, που ονομάζεται εστία, ισούται με την απόσταση από μια δεδομένη ευθεία, που ονομάζεται κατευθυντήρια γραμμή, και είναι μια σταθερή τιμή.
Κανονική εξίσωση παραβολής
Η ευθεία λέγεται ευθεία και το σημείο ονομάζεται εστία.
Η έννοια της λειτουργικής εξάρτησης
Κύρια ερωτήματα της διάλεξης: σύνολα; βασικές λειτουργίες σε σύνολα. ορισμός μιας συνάρτησης, ο τομέας ύπαρξής της, μέθοδοι εκχώρησης· βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, τις ιδιότητες και τα γραφήματα τους. Ακολουθίες αριθμών και τα όριά τους· Όριο συνάρτησης σε ένα σημείο και στο άπειρο. απείρως μικρές και απείρως μεγάλες ποσότητες και οι ιδιότητές τους. βασικά θεωρήματα για τα όρια. υπέροχα όρια? Συνέχεια μιας συνάρτησης σε ένα σημείο και σε ένα διάστημα. ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων.
Εάν κάθε στοιχείο ενός συνόλου συσχετίζεται με ένα εντελώς συγκεκριμένο στοιχείο του συνόλου, τότε λένε ότι ορίζεται μια συνάρτηση στο σύνολο. Σε αυτή την περίπτωση, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή ή όρισμα, και εξαρτημένη μεταβλητή, και το γράμμα υποδηλώνει το νόμο της αντιστοιχίας.
Ένα σύνολο ονομάζεται τομέας ορισμού ή ύπαρξης μιας συνάρτησης και ένα σύνολο ονομάζεται τομέας τιμών μιας συνάρτησης.
Υπάρχουν οι ακόλουθοι τρόποι για να καθορίσετε μια συνάρτηση
1. Αναλυτική μέθοδος, εάν η συνάρτηση δίνεται από τύπο της μορφής
2. Η μέθοδος του πίνακα είναι ότι η συνάρτηση καθορίζεται από έναν πίνακα που περιέχει τις τιμές του ορίσματος και τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης
3. Η γραφική μέθοδος αποτελείται από την απεικόνιση ενός γραφήματος μιας συνάρτησης - ενός συνόλου σημείων στο επίπεδο, τα τετμημένα των οποίων είναι οι τιμές του ορίσματος και οι τεταγμένες είναι οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης
10.1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Μια ευθεία σε ένα επίπεδο θεωρείται (καθορίζεται) ως ένα σύνολο σημείων που έχουν κάποια γεωμετρική ιδιότητα εγγενή μόνο σε αυτά. Για παράδειγμα, ένας κύκλος ακτίνας R είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου που βρίσκονται σε απόσταση - R από κάποιο σταθερό σημείο O (το κέντρο του κύκλου).
Η εισαγωγή ενός συστήματος συντεταγμένων σε ένα επίπεδο επιτρέπει σε κάποιον να προσδιορίσει τη θέση ενός σημείου στο επίπεδο προσδιορίζοντας δύο αριθμούς - τις συντεταγμένες του και τη θέση μιας γραμμής στο επίπεδο που πρόκειται να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας μια εξίσωση (δηλ. μια ισότητα που συνδέει τις συντεταγμένες των σημείων της ευθείας).
Γραμμική εξίσωση(ή καμπύλη) στο επίπεδο Oxy είναι μια τέτοια εξίσωση F(x;y) = 0 με δύο μεταβλητές, η οποία ικανοποιείται από τις συντεταγμένες x και y κάθε σημείου της ευθείας και δεν ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που δεν βρίσκεται σε αυτή τη γραμμή.
Οι μεταβλητές x και y στην εξίσωση μιας ευθείας ονομάζονται τρέχουσες συντεταγμένες των σημείων της ευθείας.
Η εξίσωση μιας ευθείας επιτρέπει την αντικατάσταση της μελέτης των γεωμετρικών ιδιοτήτων μιας γραμμής από τη μελέτη της εξίσωσής της.
Έτσι, για να διαπιστωθεί εάν το σημείο A(x 0 ; y 0) βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, αρκεί να ελέγξουμε (χωρίς να καταφύγουμε σε γεωμετρικές κατασκευές) εάν οι συντεταγμένες του σημείου Α ικανοποιούν την εξίσωση αυτής της ευθείας στην επιλεγμένη συντεταγμένη Σύστημα.
Το πρόβλημα της εύρεσης των σημείων τομής δύο ευθειών, που δίνονται από τις εξισώσεις F 1 (x 1 ;y 1) = 0 και F 2 (x 2 ;y) = 0, ανάγεται στην εύρεση σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν τις εξισώσεις και των δύο γραμμές, δηλ. ανάγεται στην επίλυση ενός συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους:
Εάν αυτό το σύστημα δεν έχει πραγματικές λύσεις, τότε οι γραμμές δεν τέμνονται.
Η έννοια της εξίσωσης μιας ευθείας σε ένα σύστημα πολικών συντεταγμένων εισάγεται με παρόμοιο τρόπο.
Η εξίσωση F(r; φ)=O ονομάζεται εξίσωση μιας δεδομένης ευθείας στο σύστημα πολικών συντεταγμένων εάν οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που βρίσκεται σε αυτήν την ευθεία, και μόνο αυτές, ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση.
Μια γραμμή σε ένα επίπεδο μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας δύο εξισώσεις:
όπου x και y είναι οι συντεταγμένες ενός αυθαίρετου σημείου M(x; y) που βρίσκεται σε μια δεδομένη γραμμή και t είναι μια μεταβλητή που ονομάζεται παράμετρος. η παράμετρος t καθορίζει τη θέση του σημείου (x; y) στο επίπεδο.
Για παράδειγμα, αν x = t + 1, y = t 2, τότε η τιμή της παραμέτρου t = 1 αντιστοιχεί στο σημείο (3; 4) στο επίπεδο, αφού x = 1 + 1 = 3, y = 22 - 4.
Εάν η παράμετρος t αλλάξει, τότε το σημείο στο επίπεδο μετακινείται, περιγράφοντας αυτή τη γραμμή. Αυτή η μέθοδος ορισμού μιας γραμμής ονομάζεται παραμετρικήκαι οι εξισώσεις (10.1) - παραμετρικές εξισώσειςγραμμές.
Για να μετακινηθείτε από τις παραμετρικές εξισώσεις μιας γραμμής σε μια εξίσωση της μορφής F(x;y) = 0, είναι απαραίτητο να εξαλειφθεί με κάποιο τρόπο η παράμετρος t από τις δύο εξισώσεις.
Για παράδειγμα, από τις εξισώσεις αντικαθιστώντας t = x
στη δεύτερη εξίσωση, είναι εύκολο να ληφθεί η εξίσωση y = x 2 ; ή y-x 2 = 0, δηλ. της μορφής F(x; y) = 0. Ωστόσο, σημειώστε ότι μια τέτοια μετάβαση δεν είναι πάντα δυνατό.
Μια γραμμή σε ένα επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί με μια διανυσματική εξίσωση r =r(t), όπου t είναι μια βαθμωτή μεταβλητή παράμετρος. Κάθε τιμή t 0 αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο διάνυσμα r =r(t)επίπεδο. Όταν αλλάξει η παράμετρος t, το τέλος του διανύσματος r =r(t)θα περιγράψει μια συγκεκριμένη γραμμή (βλ. Εικ. 31).
Διάνυσμα εξίσωση γραμμής r =r(t)στο σύστημα συντεταγμένων Oxy αντιστοιχούν δύο βαθμωτές εξισώσεις (10.1), δηλαδή οι εξισώσεις των προβολών στους άξονες συντεταγμένων της διανυσματικής εξίσωσης της ευθείας είναι της παραμετρικές εξισώσεις. I Η διανυσματική εξίσωση και οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας I έχουν μηχανική σημασία. Εάν ένα σημείο κινείται σε ένα επίπεδο, τότε οι υποδεικνυόμενες εξισώσεις ονομάζονται εξισώσεις κίνησης και η ευθεία ονομάζεται τροχιά του σημείου· η παράμετρος t είναι ο χρόνος. Άρα, οποιαδήποτε γραμμή στο επίπεδο αντιστοιχεί σε κάποια εξίσωση της μορφής F(x; y) = 0.
Σε οποιαδήποτε εξίσωση της μορφής F(x; y) = 0 αντιστοιχεί, γενικά, μια συγκεκριμένη γραμμή, οι ιδιότητες της οποίας καθορίζονται από αυτή την εξίσωση (η έκφραση «γενικά μιλώντας» σημαίνει ότι τα παραπάνω επιτρέπουν εξαιρέσεις. Έτσι, η η εξίσωση (x-2) 2 + (y- 3) 2 =0 αντιστοιχεί όχι σε μια ευθεία, αλλά σε ένα σημείο (2; 3)· η εξίσωση x 2 + y 2 + 5 = 0 στο επίπεδο δεν αντιστοιχεί σε οποιαδήποτε γεωμετρική εικόνα).
ΣΕ αναλυτική γεωμετρίαΔύο βασικά προβλήματα προκύπτουν στο αεροπλάνο. Πρώτον: γνωρίζοντας τις γεωμετρικές ιδιότητες της καμπύλης, βρείτε την εξίσωσή της) δεύτερον: γνωρίζοντας την εξίσωση της καμπύλης, μελετήστε το σχήμα και τις ιδιότητές της.
Τα σχήματα 32-40 δείχνουν παραδείγματα κάποιων καμπυλών και τις εξισώσεις τους.
10.2. Εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο
Η απλούστερη από τις γραμμές είναι η ευθεία γραμμή. Με διαφορετικούς τρόπουςΟι αναθέσεις ευθείας γραμμής αντιστοιχούν σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙτις εξισώσεις της.
Εξίσωση ευθείας με κλίση
Ας δοθεί μια αυθαίρετη ευθεία στο επίπεδο Oxy, όχι παράλληλη στον άξονα Oy. Η θέση του καθορίζεται πλήρως από την τεταγμένη b του σημείου N(0; b) τομής με τον άξονα Oy και τη γωνία a μεταξύ του άξονα Ox και της ευθείας (βλ. Εικ. 41).
Σε γωνία α (0 Από τον ορισμό της εφαπτομένης μιας γωνίας προκύπτει ότι Ας εισάγουμε τον συμβολισμό tg a=k , λαμβάνουμε την εξίσωση που ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου M(x;y) της ευθείας. Μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου P(x;y) που βρίσκεται εκτός αυτής της ευθείας δεν ικανοποιούν την εξίσωση (10.2). Ο αριθμός k = tga ονομάζεται κλίση της ευθείας και η εξίσωση (10.2) είναι η εξίσωση της ευθείας με την κλίση. Εάν μια ευθεία διέρχεται από την αρχή, τότε b = 0 και, επομένως, η εξίσωση αυτής της ευθείας θα έχει τη μορφή y=kx. Αν η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα Ox, τότε a = 0, επομένως, k = tga = 0 και η εξίσωση (10.2) παίρνει τη μορφή y = b. Αν η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα Oy, τότε η εξίσωση (10.2) χάνει τη σημασία της, αφού για αυτήν ο γωνιακός συντελεστής Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση της ευθείας θα έχει τη μορφή Οπου ένα- τετμημένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα Ox. Σημειώστε ότι οι εξισώσεις (10.2) και (10.3) είναι εξισώσεις πρώτου βαθμού. Γενική εξίσωση ευθείας γραμμής. Ας εξετάσουμε μια εξίσωση πρώτου βαθμού για τα x και y σε γενική μορφή όπου οι Α, Β, Γ είναι αυθαίρετοι αριθμοί και οι Α και Β δεν είναι ίσοι με μηδέν ταυτόχρονα. Ας δείξουμε ότι η εξίσωση (10.4) είναι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής. Υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις. Αν B = 0, τότε η εξίσωση (10.4) έχει τη μορφή Ax + C = O, και A 1 0 δηλ. Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής παράλληλης προς τον άξονα Oy και που διέρχεται από το σημείο Αν B 1 0, τότε από την εξίσωση (10.4) προκύπτει Άρα, η εξίσωση (10.4) είναι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, λέγεται γενική εξίσωση της γραμμής. Μερικές ειδικές περιπτώσεις της γενικής εξίσωσης μιας γραμμής: 1) εάν A = 0, τότε η εξίσωση ανάγεται στη μορφή. Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής παράλληλης προς τον άξονα Ox. 2) εάν B = 0, τότε η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα Oy. 3) αν C = 0, τότε παίρνουμε . Η εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες του σημείου O(0;0), η ευθεία διέρχεται από την αρχή. Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη κατεύθυνση Έστω μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο και η διεύθυνση της καθορίζεται από την κλίση k. Η εξίσωση αυτής της γραμμής μπορεί να γραφτεί με τη μορφή , όπου το b είναι μια άγνωστη προς το παρόν ποσότητα. Εφόσον η ευθεία διέρχεται από το σημείο, οι συντεταγμένες του σημείου ικανοποιούν την εξίσωση της ευθείας:. Από εδώ. Αντικαθιστώντας την τιμή του b στην εξίσωση, λαμβάνουμε την επιθυμητή εξίσωση της ευθείας: , δηλ. Η εξίσωση (10.5) με διαφορετικές τιμές k λέγεται και εξισώσεις ενός μολυβιού γραμμών με κέντρο στο σημείο. Από αυτό το μολύβι είναι αδύνατο να προσδιοριστεί μόνο μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oy. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία Αφήστε τη γραμμή να περάσει από τα σημεία και . Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 1 έχει τη μορφή όπου k είναι ένας ακόμη άγνωστος συντελεστής. Εφόσον η ευθεία διέρχεται από το σημείο, οι συντεταγμένες αυτού του σημείου πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση (10.6): . Εδώ το βρίσκουμε. Αντικαθιστώντας την ευρεθείσα τιμή του k στην εξίσωση (10.6), παίρνουμε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Μ 1 και Μ 2. Υποτίθεται ότι σε αυτή την εξίσωση Αν x 2 = x 1 είναι μια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία και είναι παράλληλη προς την τεταγμένη. Η εξίσωσή του μοιάζει με . Αν y 2 = y 1 τότε η εξίσωση της γραμμής μπορεί να γραφτεί με τη μορφή, γραμμή Μ 1 Μ 2παράλληλα με τον άξονα x. Εξίσωση ευθείας σε τμήματα Αυτή η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση ευθείας σε τμήματα, αφού οι αριθμοί α και β δείχνουν ποια τμήματα αποκόπτει η ευθεία στους άξονες συντεταγμένων. Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα Ας βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο μη μηδενικό διάνυσμα. Καλείται η εξίσωση (10.8). εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο διάνυσμα. Ένα διάνυσμα κάθετο σε μια ευθεία ονομάζεται κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας. Η εξίσωση (10.8) μπορεί να ξαναγραφτεί ως όπου Α και Β είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος και είναι ο ελεύθερος όρος. Η εξίσωση (10.9) είναι η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής (βλ. (10.4)). Πολική εξίσωση μιας ευθείας Για οποιοδήποτε σημείο σε μια δεδομένη ευθεία έχουμε: Στην άλλη πλευρά, Ως εκ τούτου, Η εξίσωση (10.10) που προκύπτει είναι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε πολικές συντεταγμένες. Κανονική εξίσωση μιας γραμμής Αφήστε την ευθεία να καθοριστεί προσδιορίζοντας τα p και α (βλ. Εικ. 45). Θεωρήστε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Ας παρουσιάσουμε το πολικό σύστημα, παίρνοντας τον πόλο και τον πολικό άξονα. Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να γραφτεί ως Όμως, λόγω των τύπων που συνδέουν ορθογώνιες και πολικές συντεταγμένες, έχουμε: , . Κατά συνέπεια, η εξίσωση (10.10) μιας ευθείας γραμμής σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων παίρνει τη μορφή Καλείται η εξίσωση (10.11). κανονική εξίσωση μιας γραμμής. Ας πολλαπλασιάσουμε όλους τους όρους της εξίσωσης (10.4) με κάποιον παράγοντα. Θα το πάρουμε. Αυτή η εξίσωση πρέπει να μετατραπεί σε εξίσωση (10.11). Επομένως, πρέπει να ικανοποιούνται οι ισότητες: , , . Από τις δύο πρώτες ισότητες βρίσκουμε, δηλ. μι. Εξίσωση γραμμής σε επίπεδο.
Όπως είναι γνωστό, οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο καθορίζεται από δύο συντεταγμένες σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων. Τα συστήματα συντεταγμένων μπορεί να είναι διαφορετικά ανάλογα με την επιλογή βάσης και προέλευσης. Ορισμός.Γραμμική εξίσωσηονομάζεται αναλογία y = f(x ) μεταξύ των συντεταγμένων των σημείων που απαρτίζουν αυτή την ευθεία. Σημειώστε ότι η εξίσωση μιας ευθείας μπορεί να εκφραστεί παραμετρικά, δηλαδή, κάθε συντεταγμένη κάθε σημείου εκφράζεται μέσω κάποιας ανεξάρτητης παραμέτρουt.
Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η τροχιά ενός κινούμενου σημείου. Σε αυτή την περίπτωση, ο ρόλος της παραμέτρου παίζει ο χρόνος. Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.
Ορισμός.
Οποιαδήποτε ευθεία γραμμή στο επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης Ax + Wu + C = 0, Επιπλέον, οι σταθερές Α και Β δεν είναι ίσες με μηδέν ταυτόχρονα, δηλ. Α 2 + Β 2¹
0. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται γενική εξίσωση ευθείας γραμμής.
Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών A, B και C, είναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις: C = 0, A10, B1 0 – η ευθεία διέρχεται από την αρχή A = 0, B 1 0, C 1 0 ( Κατά + C = 0) - ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα Ox B = 0, A 1 0, C 1 0 ( Ax + C = 0) – ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oy B = C = 0, A1 0 – η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Oy Α = C = 0, Β1 0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ox Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να παρουσιαστεί με διαφορετικές μορφές ανάλογα με τις δεδομένες αρχικές συνθήκες. Απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.
Θεώρημα.
Εάν δοθεί ένα σημείο M(x 0, y 0), τότε η απόσταση από την ευθεία Ax + Bу + C = 0 προσδιορίζεται ως
Απόδειξη.
Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M σε μια δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων M και M 1: (1)
Συντεταγμένες x 1 και το y 1 μπορεί να βρεθεί ως λύση στο σύστημα των εξισώσεων: Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή: A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0, τότε, λύνοντας, παίρνουμε:
Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε: Το θεώρημα έχει αποδειχθεί. Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1. K1 = -3; k 2 = 2 tg j = ; j = p /4. Παράδειγμα.Δείξτε ότι οι ευθείες 3x – 5y + 7 = 0 και 10x + 6y – 3 = 0 είναι κάθετες. Βρίσκουμε: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, επομένως, οι ευθείες είναι κάθετες. Παράδειγμα.Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1),Β (6; 5), Γ (12; -1). Βρείτε την εξίσωση του ύψους που αντλείται από την κορυφή Γ. Αυτό το άρθρο είναι μια συνέχεια της ενότητας για τις ευθείες γραμμές σε ένα επίπεδο. Εδώ προχωράμε στην αλγεβρική περιγραφή μιας ευθείας χρησιμοποιώντας την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής. Το υλικό σε αυτό το άρθρο είναι μια απάντηση στις ερωτήσεις: "Ποια εξίσωση ονομάζεται εξίσωση μιας ευθείας και τι μορφή έχει η εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο;" Πλοήγηση στη σελίδα. Αφήστε το Oxy να είναι σταθερό στο επίπεδο και να καθοριστεί μια ευθεία γραμμή σε αυτό. Μια ευθεία γραμμή, όπως κάθε άλλο γεωμετρικό σχήμα, αποτελείται από σημεία. Σε ένα σταθερό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, κάθε σημείο σε μια ευθεία έχει τις δικές του συντεταγμένες - τετμημένη και τεταγμένη. Έτσι, η σχέση μεταξύ της τετμημένης και της τεταγμένης κάθε σημείου μιας ευθείας σε ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων μπορεί να δοθεί από μια εξίσωση, η οποία ονομάζεται εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο. Με άλλα λόγια, εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδοστο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy υπάρχει κάποια εξίσωση με δύο μεταβλητές x και y, η οποία γίνεται ταυτότητα όταν οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου αυτής της ευθείας αντικατασταθούν σε αυτό. Μένει να ασχοληθούμε με το ερώτημα ποια μορφή έχει η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο. Η απάντηση σε αυτό περιέχεται στην επόμενη παράγραφο του άρθρου. Κοιτάζοντας μπροστά, σημειώνουμε ότι υπάρχουν διάφορες μορφές γραφής της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής, η οποία εξηγείται από τις ιδιαιτερότητες των προβλημάτων που επιλύονται και τη μέθοδο ορισμού μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο. Λοιπόν, ας ξεκινήσουμε με μια ανασκόπηση των κύριων τύπων εξισώσεων μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο. Η μορφή της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy στο επίπεδο δίνεται από το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα. Οποιαδήποτε εξίσωση πρώτου βαθμού με δύο μεταβλητές x και y της μορφής, όπου τα Α, Β και Γ είναι μερικοί πραγματικοί αριθμοί και τα Α και Β δεν είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα, ορίζει μια ευθεία γραμμή στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Οξύ στο επίπεδο, και κάθε ευθεία γραμμή στο επίπεδο δίνεται από το είδος της εξίσωσης Η εξίσωση Ας εξηγήσουμε την έννοια του θεωρήματος. Δίνεται μια εξίσωση της μορφής Δείτε το σχέδιο. Από τη μία πλευρά, μπορούμε να πούμε ότι αυτή η γραμμή καθορίζεται από τη γενική εξίσωση της γραμμής της φόρμας Η γενική εξίσωση μιας ευθείας ονομάζεται πλήρης, αν όλοι οι αριθμοί Α, Β και Γ είναι διαφορετικοί από το μηδέν, αλλιώς η γενική εξίσωση μιας ευθείας ονομάζεται ατελής. Μια ημιτελής εξίσωση μιας γραμμής της μορφής καθορίζει μια γραμμή που διέρχεται από την αρχή των συντεταγμένων. Όταν Α=0 η εξίσωση Έτσι, οποιαδήποτε ευθεία σε ένα επίπεδο σε ένα δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής για ένα ορισμένο σύνολο τιμών των αριθμών A, B και C. Κανονικό διάνυσμα μιας γραμμής που δίνεται από μια γενική εξίσωση της γραμμής της φόρμας Όλες οι εξισώσεις ευθειών, οι οποίες δίνονται στις ακόλουθες παραγράφους αυτού του άρθρου, μπορούν να ληφθούν από τη γενική εξίσωση μιας γραμμής και μπορούν επίσης να αναχθούν στη γενική εξίσωση μιας γραμμής. Συνιστούμε αυτό το άρθρο για περαιτέρω μελέτη. Εκεί, αποδεικνύεται το θεώρημα που διατυπώθηκε στην αρχή αυτής της παραγράφου του άρθρου, δίνονται γραφικές απεικονίσεις, αναλύονται λεπτομερώς λύσεις σε παραδείγματα για τη σύνταξη μιας γενικής εξίσωσης μιας γραμμής, η μετάβαση από μια γενική εξίσωση μιας γραμμής σε εξισώσεις εμφανίζεται ένας άλλος τύπος και πλάτη και εξετάζονται και άλλα χαρακτηριστικά προβλήματα. Μια ευθύγραμμη εξίσωση της μορφής , όπου a και b είναι κάποιοι πραγματικοί αριθμοί εκτός από το μηδέν, ονομάζεται εξίσωση ευθείας σε τμήματα. Αυτό το όνομα δεν είναι τυχαίο, καθώς οι απόλυτες τιμές των αριθμών a και b είναι ίσες με τα μήκη των τμημάτων που κόβει η ευθεία γραμμή στους άξονες συντεταγμένων Ox και Oy, αντίστοιχα (τα τμήματα μετρώνται από την αρχή) . Έτσι, η εξίσωση μιας γραμμής σε τμήματα διευκολύνει την κατασκευή αυτής της γραμμής σε ένα σχέδιο. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να σημειώσετε τα σημεία με συντεταγμένες και σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και να χρησιμοποιήσετε έναν χάρακα για να τα συνδέσετε με μια ευθεία γραμμή. Για παράδειγμα, ας κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή που δίνεται από μια εξίσωση σε τμήματα της μορφής . Επισήμανση των σημείων Μπορείτε να λάβετε λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με αυτόν τον τύπο εξίσωσης μιας γραμμής σε ένα επίπεδο στο άρθρο. Μια ευθύγραμμη εξίσωση της μορφής, όπου x και y είναι μεταβλητές, και k και b είναι μερικοί πραγματικοί αριθμοί, ονομάζεται εξίσωση ευθείας με κλίση(k είναι η κλίση). Γνωρίζουμε καλά τις εξισώσεις ευθείας με γωνιακό συντελεστή από μάθημα άλγεβρας γυμνασίου. Αυτός ο τύπος εξίσωσης γραμμής είναι πολύ βολικός για έρευνα, καθώς η μεταβλητή y είναι μια ρητή συνάρτηση του ορίσματος x. Ο ορισμός του γωνιακού συντελεστή μιας ευθείας γραμμής δίνεται με τον προσδιορισμό της γωνίας κλίσης της ευθείας προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox. Ορισμός.
Η γωνία κλίσης της ευθείας προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα της τετμημένηςΣε ένα δεδομένο ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, Oxy είναι η γωνία που μετράται από τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox στη δεδομένη ευθεία αριστερόστροφα. Αν η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα x ή συμπίπτει με αυτόν, τότε η γωνία κλίσης της θεωρείται ίση με μηδέν. Ορισμός.
Άμεση κλίσηείναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης αυτής της ευθείας, δηλαδή . Αν η ευθεία είναι παράλληλη με τον άξονα των τεταγμένων, τότε η κλίση πηγαίνει στο άπειρο (σε αυτή την περίπτωση λένε επίσης ότι η κλίση δεν υπάρχει). Με άλλα λόγια, δεν μπορούμε να γράψουμε μια εξίσωση μιας ευθείας με κλίση για μια ευθεία παράλληλη ή που συμπίπτει με τον άξονα Oy. Σημειώστε ότι η ευθεία που ορίζεται από την εξίσωση διέρχεται από ένα σημείο στον άξονα των τεταγμένων. Έτσι, η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής με έναν γωνιακό συντελεστή ορίζει στο επίπεδο μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο και σχηματίζει μια γωνία με τη θετική κατεύθυνση του άξονα x, και . Για παράδειγμα, ας απεικονίσουμε μια ευθεία γραμμή που ορίζεται από μια εξίσωση της μορφής . Αυτή η γραμμή διέρχεται από ένα σημείο και έχει κλίση Σημειώστε ότι είναι πολύ βολικό να κάνετε αναζήτηση με ακρίβεια με τη μορφή εξίσωσης ευθείας γραμμής με γωνιακό συντελεστή. Κανονική εξίσωση γραμμής σε επίπεδοσε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων το Oxy έχει τη μορφή Προφανώς, η ευθεία που ορίζεται από την κανονική εξίσωση της ευθείας διέρχεται από το σημείο. Με τη σειρά τους, οι αριθμοί και στους παρονομαστές των κλασμάτων αντιπροσωπεύουν τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης αυτής της ευθείας. Έτσι, η κανονική εξίσωση μιας ευθείας στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy στο επίπεδο αντιστοιχεί σε μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο και έχει ένα διάνυσμα κατεύθυνσης. Για παράδειγμα, ας σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο που αντιστοιχεί στην κανονική ευθεία εξίσωση της φόρμας Η κανονική ευθύγραμμη εξίσωση χρησιμοποιείται ακόμα και όταν ένας από τους αριθμούς ή είναι ίσος με μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, η καταχώριση θεωρείται υπό όρους (καθώς περιέχει ένα μηδέν στον παρονομαστή) και θα πρέπει να κατανοηθεί ως Λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε κανονική μορφή, καθώς και λεπτομερείς λύσεις σε τυπικά παραδείγματα και προβλήματα, συλλέγονται στο άρθρο. Παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδομοιάζει Οι εξισώσεις παραμετρικών γραμμών καθορίζουν μια άρρητη σχέση μεταξύ των τετμημάτων και των τεταγμένων σημείων σε μια ευθεία γραμμή χρησιμοποιώντας μια παράμετρο (εξ ου και το όνομα αυτού του τύπου εξίσωσης γραμμής). Ένα ζεύγος αριθμών που υπολογίζονται από τις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας για κάποια πραγματική τιμή της παραμέτρου αντιπροσωπεύουν τις συντεταγμένες ενός συγκεκριμένου σημείου της ευθείας. Για παράδειγμα, όταν έχουμε Πρέπει να σημειωθεί ότι οι συντελεστές και για την παράμετρο στις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης αυτής της ευθείας. Εξίσωση γραμμής σε επίπεδο Κύριες ερωτήσεις της διάλεξης: εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο. διάφορες μορφές της εξίσωσης μιας γραμμής σε ένα επίπεδο. γωνία μεταξύ ευθειών γραμμών? συνθήκες παραλληλισμού και καθετότητας γραμμών. απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή. Καμπύλες δεύτερης τάξης: κύκλος, έλλειψη, υπερβολή, παραβολή, οι εξισώσεις και οι γεωμετρικές τους ιδιότητες. εξισώσεις ενός επιπέδου και μιας ευθείας στο διάστημα. Μια εξίσωση της μορφής ονομάζεται εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε γενική μορφή. Αν εκφράσουμε σε αυτή την εξίσωση, τότε μετά την αντικατάσταση παίρνουμε μια εξίσωση που ονομάζεται εξίσωση ευθείας γραμμής με γωνιακό συντελεστή και πού είναι η γωνία μεταξύ της ευθείας και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα της τετμημένης. Αν στη γενική εξίσωση μιας ευθείας μεταφέρουμε τον ελεύθερο συντελεστή στη δεξιά πλευρά και διαιρέσουμε με αυτόν, προκύπτει μια εξίσωση σε τμήματα Πού και είναι τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες τετμημένης και τεταγμένης, αντίστοιχα. Δύο ευθείες σε ένα επίπεδο ονομάζονται παράλληλες αν δεν τέμνονται. Οι ευθείες ονομάζονται κάθετες αν τέμνονται κάθετες. Αφήστε δύο γραμμές και να δοθεί. Για να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών (αν τέμνονται), είναι απαραίτητο να λύσετε το σύστημα με αυτές τις εξισώσεις. Η λύση σε αυτό το σύστημα θα είναι το σημείο τομής των γραμμών. Ας βρούμε τις προϋποθέσεις για τη σχετική θέση δύο γραμμών. Επειδή Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι πότε οι ευθείες θα είναι παράλληλες και πότε θα είναι κάθετες. Αν οι ευθείες δίνονται σε γενική μορφή, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες υπό την συνθήκη και κάθετες υπό την συνθήκη Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Κανονική εξίσωση κύκλου: Μια έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, το άθροισμα των αποστάσεων από τις οποίες σε δύο δεδομένα σημεία, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή. Η κανονική εξίσωση μιας έλλειψης έχει τη μορφή: Μια υπερβολή είναι ο τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, ο συντελεστής της διαφοράς αποστάσεων από την οποία σε δύο δεδομένα σημεία, που ονομάζονται εστίες, είναι μια σταθερή τιμή. Η κανονική εξίσωση μιας υπερβολής έχει τη μορφή: όπου είναι ο ημικύριος άξονας, είναι ο ημικύριος άξονας και . Η εστίαση είναι σε σημεία Οι ευθείες ονομάζονται ασύμπτωτες της υπερβολής. Αν , τότε η υπερβολή ονομάζεται ισόπλευρη. Από την εξίσωση παίρνουμε ένα ζεύγος τεμνόμενων ευθειών και . Η παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο, από καθένα από τα οποία η απόσταση από ένα δεδομένο σημείο, που ονομάζεται εστία, ισούται με την απόσταση από μια δεδομένη ευθεία, που ονομάζεται κατευθυντήρια γραμμή, και είναι μια σταθερή τιμή. Κανονική εξίσωση παραβολής Η ευθεία λέγεται ευθεία και το σημείο ονομάζεται εστία. Η έννοια της λειτουργικής εξάρτησης Κύρια ερωτήματα της διάλεξης: σύνολα; βασικές λειτουργίες σε σύνολα. ορισμός μιας συνάρτησης, ο τομέας ύπαρξής της, μέθοδοι εκχώρησης· βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις, τις ιδιότητες και τα γραφήματα τους. Ακολουθίες αριθμών και τα όριά τους· Όριο συνάρτησης σε ένα σημείο και στο άπειρο. απείρως μικρές και απείρως μεγάλες ποσότητες και οι ιδιότητές τους. βασικά θεωρήματα για τα όρια. υπέροχα όρια? Συνέχεια μιας συνάρτησης σε ένα σημείο και σε ένα διάστημα. ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων. Εάν κάθε στοιχείο ενός συνόλου συσχετίζεται με ένα εντελώς συγκεκριμένο στοιχείο του συνόλου, τότε λένε ότι ορίζεται μια συνάρτηση στο σύνολο. Σε αυτή την περίπτωση, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή ή όρισμα, και εξαρτημένη μεταβλητή, και το γράμμα υποδηλώνει το νόμο της αντιστοιχίας. Ένα σύνολο ονομάζεται τομέας ορισμού ή ύπαρξης μιας συνάρτησης και ένα σύνολο ονομάζεται τομέας τιμών μιας συνάρτησης. Υπάρχουν οι ακόλουθοι τρόποι για να καθορίσετε μια συνάρτηση 1. Αναλυτική μέθοδος, εάν η συνάρτηση δίνεται από τύπο της μορφής 2. Η μέθοδος του πίνακα είναι ότι η συνάρτηση καθορίζεται από έναν πίνακα που περιέχει τις τιμές του ορίσματος και τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης 3. Η γραφική μέθοδος αποτελείται από την απεικόνιση ενός γραφήματος μιας συνάρτησης - ενός συνόλου σημείων στο επίπεδο, τα τετμημένα των οποίων είναι οι τιμές του ορίσματος και οι τεταγμένες είναι οι αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης 4. Λεκτική μέθοδος, εάν η λειτουργία περιγράφεται από τον κανόνα για τη σύνθεσή της. Βασικές ιδιότητες μιας συνάρτησης 1. Ζυγός και περιττός. Μια συνάρτηση καλείται έστω και αν για όλες τις τιμές από τον τομέα ορισμού και περιττό αν 2. Μονοτονία. Μια συνάρτηση λέγεται ότι αυξάνεται (μειώνεται) στο διάστημα εάν μια μεγαλύτερη τιμή του ορίσματος από αυτό το διάστημα αντιστοιχεί σε μια μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης. 3. Περιορισμένη. Μια συνάρτηση λέγεται ότι οριοθετείται σε ένα διάστημα εάν υπάρχει ένας θετικός αριθμός τέτοιος ώστε για οποιοδήποτε . Διαφορετικά η συνάρτηση ονομάζεται αδέσμευτη. 4. Συχνότητα. Μια συνάρτηση ονομάζεται περιοδική με περίοδο εάν για οποιοδήποτε από τα πεδία ορισμού της συνάρτησης Ταξινόμηση συναρτήσεων. 1. Αντίστροφη συνάρτηση. Ας υπάρχει μια συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής που ορίζεται σε ένα σύνολο με ένα εύρος τιμών. Ας συσχετίσουμε το καθένα με μια τιμή στην οποία . Στη συνέχεια, η συνάρτηση που προκύπτει που ορίζεται σε ένα σύνολο με ένα εύρος τιμών ονομάζεται αντίστροφη. 2. Σύνθετη λειτουργία. Έστω μια συνάρτηση μια συνάρτηση μιας μεταβλητής που ορίζεται σε ένα σύνολο με ένα εύρος τιμών, και η μεταβλητή με τη σειρά της είναι μια συνάρτηση. Οι παρακάτω συναρτήσεις χρησιμοποιούνται συχνότερα στα οικονομικά. 1. Λειτουργία χρησιμότητας και συνάρτηση προτίμησης - με ευρεία έννοια, η εξάρτηση της χρησιμότητας, δηλαδή το αποτέλεσμα, η επίδραση κάποιας ενέργειας στο επίπεδο της έντασης αυτής της ενέργειας. 2. Συνάρτηση παραγωγής - η εξάρτηση του αποτελέσματος της παραγωγικής δραστηριότητας από τους παράγοντες που το καθόρισαν. 3. Συνάρτηση παραγωγής (ένας συγκεκριμένος τύπος συνάρτησης παραγωγής) – η εξάρτηση του όγκου παραγωγής από την έναρξη ή την κατανάλωση πόρων. 4. Συνάρτηση κόστους (ένας συγκεκριμένος τύπος συνάρτησης παραγωγής) – η εξάρτηση του κόστους παραγωγής από τον όγκο παραγωγής. 5. Λειτουργίες ζήτησης, κατανάλωσης και προσφοράς - η εξάρτηση του όγκου ζήτησης, κατανάλωσης ή προσφοράς για μεμονωμένα αγαθά ή υπηρεσίες από διάφορους παράγοντες. Αν, σύμφωνα με κάποιο νόμο, κάθε φυσικός αριθμός συνδέεται με έναν πολύ συγκεκριμένο αριθμό, τότε λένε ότι δίνεται μια αριθμητική ακολουθία. Οι αριθμοί ονομάζονται μέλη μιας ακολουθίας και ένας αριθμός είναι κοινό μέλος της ακολουθίας. Αριθμός λέγεται όριο μιας αριθμητικής ακολουθίας εάν για κάθε μικρό αριθμό υπάρχει ένας αριθμός (ανάλογα με) τέτοιος ώστε η ισότητα να ισχύει για όλα τα μέλη της ακολουθίας με αριθμούς.Το όριο μιας αριθμητικής ακολουθίας συμβολίζεται με . Μια ακολουθία που έχει ένα όριο ονομάζεται συγκλίνουσα, διαφορετικά ονομάζεται αποκλίνουσα. Ένας αριθμός ονομάζεται όριο μιας συνάρτησης στο αν για οποιονδήποτε μικρό αριθμό υπάρχει ένας θετικός αριθμός τέτοιος ώστε για όλους αυτούς τους αριθμούς η ανίσωση να είναι αληθής. Όριο συνάρτησης σε σημείο. Αφήστε τη συνάρτηση να δοθεί σε κάποια γειτονιά του σημείου, εκτός ίσως από το ίδιο το σημείο. Ένας αριθμός ονομάζεται όριο μιας συνάρτησης στο , εάν για οποιαδήποτε, έστω και αυθαίρετα μικρό, υπάρχει ένας θετικός αριθμός (ανάλογα με ) τέτοιος ώστε για όλους και ικανοποιώντας τη συνθήκη η ανισότητα . Αυτό το όριο έχει καθοριστεί. Μια συνάρτηση ονομάζεται απειροελάχιστη αν το όριό της είναι μηδέν. Ιδιότητες απειροελάχιστων μεγεθών 1. Το αλγεβρικό άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού απειροελάχιστων μεγεθών είναι ένα απειροελάχιστο μέγεθος. 2. Το γινόμενο μιας απειροελάχιστης ποσότητας και μιας περιορισμένης συνάρτησης είναι μια απειροελάχιστη ποσότητα 3. Το πηλίκο της διαίρεσης ενός απειροελάχιστου μεγέθους με μια συνάρτηση της οποίας το όριο είναι μη μηδενικό είναι απειροελάχιστο μέγεθος. Η έννοια της παραγώγου και του διαφορικού μιας συνάρτησης Οι κύριες ερωτήσεις της διάλεξης: προβλήματα που οδηγούν στην έννοια της παραγώγου. ορισμός παραγώγου· γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου. έννοια της διαφοροποιήσιμης συνάρτησης. βασικοί κανόνες διαφοροποίησης· παράγωγα βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. παράγωγο μιγαδικής και αντίστροφης συνάρτησης. παράγωγα υψηλότερων τάξεων, βασικά θεωρήματα διαφορικού λογισμού. Το θεώρημα του L'Hopital; αποκάλυψη αβεβαιοτήτων· συνάρτηση αύξησης και μείωσης. άκρο μιας συνάρτησης? κυρτότητα και κοιλότητα της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. αναλυτικά σημάδια κυρτότητας και κοιλότητας. σημεία καμπής? κάθετες και πλάγιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. γενικό σχήμα για τη μελέτη μιας συνάρτησης και την κατασκευή του γραφήματος της, ορίζοντας μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών. όριο και συνέχεια· Μερικές παράγωγοι και διαφορικές συναρτήσεις. κατευθυντική παράγωγος, κλίση; άκρο μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών. οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης. υπό όρους ακραίο, μέθοδος Lagrange. Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση της ανεξάρτητης μεταβλητής καθώς η τελευταία τείνει στο μηδέν (αν υπάρχει αυτό το όριο) Εάν μια συνάρτηση σε ένα σημείο έχει μια πεπερασμένη παράγωγο, τότε η συνάρτηση λέγεται ότι είναι διαφορίσιμη σε αυτό το σημείο. Μια συνάρτηση που είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του διαστήματος ονομάζεται διαφοροποιήσιμη σε αυτό το διάστημα. Γεωμετρική σημασία της παραγώγου: η παράγωγος είναι η κλίση (εφαπτομένη της γωνίας κλίσης) της εφαπτομένης μειωμένης στην καμπύλη στο σημείο. Τότε η εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο παίρνει τη μορφή Μηχανική έννοια της παραγώγου: η παράγωγος μιας διαδρομής σε σχέση με το χρόνο είναι η ταχύτητα ενός σημείου σε μια χρονική στιγμή: Η οικονομική έννοια του παραγώγου: το παράγωγο του όγκου παραγωγής σε σχέση με το χρόνο είναι η παραγωγικότητα της εργασίας αυτή τη στιγμή Θεώρημα. Αν μια συνάρτηση είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο, τότε είναι συνεχής σε αυτό το σημείο. Η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το ακόλουθο σχήμα 1. Δώστε στο όρισμα μια αύξηση και βρείτε την αυξανόμενη τιμή της συνάρτησης 2. Βρείτε την αύξηση της συνάρτησης. 3. Δημιουργούμε μια σχέση. 4. Βρείτε το όριο αυτής της αναλογίας στο, δηλαδή (αν υπάρχει αυτό το όριο). Κανόνες διαφοροποίησης 1. Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι μηδέν, δηλαδή. 2. Η παράγωγος του ορίσματος είναι ίση με 1, δηλαδή. 3. Η παράγωγος ενός αλγεβρικού αθροίσματος πεπερασμένου αριθμού διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι ίση με το ίδιο άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων, δηλαδή. 4. Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου του πρώτου παράγοντα κατά τον δεύτερο συν το γινόμενο του πρώτου παράγοντα από την παράγωγο του δεύτερου, δηλαδή 5. Η παράγωγος του πηλίκου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο: Θεώρημα. Εάν και είναι διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις των μεταβλητών τους, τότε η παράγωγος μιας σύνθετης συνάρτησης υπάρχει και είναι ίση με την παράγωγο αυτής της συνάρτησης ως προς το ενδιάμεσο όρισμα και πολλαπλασιαζόμενη με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή, ότι είναι Θεώρημα. Για μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση με παράγωγο όχι ίση με μηδέν, η παράγωγος της αντίστροφης συνάρτησης είναι ίση με την αντίστροφη της παραγώγου αυτής της συνάρτησης, δηλαδή. Η ελαστικότητα μιας συνάρτησης είναι το όριο του λόγου της σχετικής αύξησης μιας συνάρτησης προς τη σχετική αύξηση μιας μεταβλητής στο: Η ελαστικότητα μιας συνάρτησης δείχνει περίπου πόσο τοις εκατό θα αλλάξει η συνάρτηση όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή αλλάξει κατά ένα τοις εκατό. Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι η ελαστικότητα μιας συνάρτησης (σε απόλυτη τιμή) είναι ίση με τον λόγο των εφαπτομενικών αποστάσεων από ένα δεδομένο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης προς τα σημεία τομής της με τους άξονες και. Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης ελαστικότητας: 1. Η ελαστικότητα μιας συνάρτησης ισούται με το γινόμενο της ανεξάρτητης μεταβλητής και το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης 2. Η ελαστικότητα του γινομένου (πηλίκου) δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα (διαφορά) των ελαστικοτήτων αυτών των συναρτήσεων: , 3. Ελαστικότητα αμοιβαίων συναρτήσεων – αντίστροφα μεγέθη: Η συνάρτηση ελαστικότητας χρησιμοποιείται στην ανάλυση της ζήτησης και της κατανάλωσης. Θεώρημα Fermat. Εάν μια συνάρτηση διαφοροποιήσιμη σε ένα διάστημα φτάσει τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή της σε ένα εσωτερικό σημείο αυτού του διαστήματος, τότε η παράγωγος της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι ίση με μηδέν, δηλαδή. Θεώρημα Rolle. Αφήστε τη συνάρτηση να πληροί τις ακόλουθες συνθήκες: 1) συνεχής στο τμήμα. 2) διαφοροποιήσιμο στο διάστημα ? 3) στα άκρα του τμήματος παίρνει ίσες τιμές, δηλαδή. Τότε μέσα στο τμήμα υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο στο οποίο η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση με μηδέν: . Θεώρημα Lagrange. Αφήστε τη συνάρτηση να πληροί τις ακόλουθες συνθήκες 1. Συνεχής στο τμήμα. 2. Διαφοροποιήσιμο στο διάστημα ; Τότε μέσα στο τμήμα υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο σημείο στο οποίο η παράγωγος είναι ίση με το πηλίκο της διαίρεσης της αύξησης της συνάρτησης με την αύξηση του ορίσματος σε αυτό το τμήμα, δηλαδή Θεώρημα. Το όριο του λόγου δύο απειροελάχιστων ή απείρως μεγάλων συναρτήσεων είναι ίσο με το όριο του λόγου των παραγώγων τους (πεπερασμένες ή άπειρες), εάν η τελευταία υπάρχει με την υποδεικνυόμενη έννοια. Έτσι, εάν υπάρχει αβεβαιότητα για τη μορφή ή , τότε Θεώρημα (επαρκής συνθήκη για να αυξηθεί η συνάρτηση) Εάν η παράγωγος μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης είναι θετική μέσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα Χ, τότε αυξάνεται σε αυτό το διάστημα. Θεώρημα (αρκετή συνθήκη για να μειωθεί μια συνάρτηση), Εάν η παράγωγος μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης είναι αρνητική μέσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, τότε μειώνεται σε αυτό το διάστημα. Ένα σημείο ονομάζεται μέγιστο σημείο μιας συνάρτησης αν η ανισότητα ισχύει σε κάποια γειτονιά του σημείου. Ένα σημείο ονομάζεται ελάχιστο σημείο μιας συνάρτησης αν η ανισότητα ισχύει σε κάποια γειτονιά του σημείου. Οι τιμές της συνάρτησης στα σημεία και ονομάζονται το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης, αντίστοιχα. Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης ενώνονται με το κοινό όνομα του άκρου της συνάρτησης. Για να έχει μια συνάρτηση ακρότατο σε ένα σημείο, η παράγωγός της σε αυτό το σημείο πρέπει να είναι ίση με μηδέν ή να μην υπάρχει. Η πρώτη επαρκής προϋπόθεση για ένα εξτρέμ. Θεώρημα. Εάν, όταν διέρχεται από ένα σημείο, η παράγωγος της διαφοροποιήσιμης συνάρτησης αλλάζει πρόσημο από συν σε μείον, τότε το σημείο είναι το μέγιστο σημείο της συνάρτησης και αν από μείον στο συν, τότε το ελάχιστο σημείο. Σχέδιο για τη μελέτη μιας συνάρτησης σε ένα άκρο. 1. Βρείτε την παράγωγο. 2. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης στα οποία η παράγωγος ή δεν υπάρχει. 3. Διερευνήστε το πρόσημο της παραγώγου αριστερά και δεξιά κάθε κρίσιμου σημείου και βγάλτε συμπέρασμα για την ύπαρξη άκρων της συνάρτησης. 4. Βρείτε τα άκρα (ακραίες τιμές) της συνάρτησης. Η δεύτερη επαρκής προϋπόθεση για ένα ακραίο. Θεώρημα. Αν η πρώτη παράγωγος μιας δύο φορές διαφοροποιήσιμης συνάρτησης είναι ίση με μηδέν σε κάποιο σημείο και η δεύτερη παράγωγος σε αυτό το σημείο είναι θετική, δηλαδή το ελάχιστο σημείο της συνάρτησης· αν είναι αρνητική, τότε είναι το μέγιστο σημείο. Για να βρούμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές σε ένα τμήμα, χρησιμοποιούμε το ακόλουθο σχήμα. 1. Βρείτε την παράγωγο. 2. Βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης στα οποία υπάρχει ή δεν υπάρχει. 3. Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμα σημεία και στα άκρα του τμήματος και επιλέξτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη από αυτές. Μια συνάρτηση λέγεται ότι είναι κυρτή προς τα πάνω στο διάστημα X εάν το τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία του γραφήματος βρίσκεται κάτω από το γράφημα της συνάρτησης. Μια συνάρτηση ονομάζεται κυρτή προς τα κάτω στο διάστημα X εάν το τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία του γραφήματος βρίσκεται πάνω από το γράφημα της συνάρτησης. Θεώρημα. Μια συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω (προς τα πάνω) στο διάστημα X αν και μόνο αν η πρώτη της παράγωγος αυξάνεται μονότονα (μειώνεται) σε αυτό το διάστημα. Θεώρημα. Εάν η δεύτερη παράγωγος μιας δύο φορές διαφοροποιήσιμης συνάρτησης είναι θετική (αρνητική) μέσα σε κάποιο διάστημα Χ, τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω (προς τα πάνω) σε αυτό το διάστημα. Το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης μιας συνεχούς συνάρτησης είναι το σημείο που χωρίζει τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω και προς τα πάνω. Θεώρημα (απαραίτητη προϋπόθεση για κλίση). Η δεύτερη παράγωγος μιας δύο φορές διαφοροποιήσιμης συνάρτησης στο σημείο καμπής είναι ίση με μηδέν, δηλαδή. Θεώρημα (επαρκής συνθήκη για καμπή). Εάν η δεύτερη παράγωγος μιας δύο φορές διαφοροποιήσιμης συνάρτησης αλλάξει πρόσημο όταν διέρχεται από ένα ορισμένο σημείο, τότε υπάρχει ένα σημείο καμπής στη γραφική της παράσταση. Σχέδιο για τη μελέτη μιας συνάρτησης για σημεία κυρτότητας και καμπής: 1. Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης. 2. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η δεύτερη παράγωγος ή δεν υπάρχει. 3. Διερευνήστε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου αριστερά και δεξιά των σημείων που βρέθηκαν και βγάλτε συμπέρασμα για τα διαστήματα κυρτότητας και την παρουσία σημείων καμπής. 4. Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία καμπής. Κατά τη μελέτη συναρτήσεων για την κατασκευή των γραφημάτων τους, συνιστάται η χρήση του ακόλουθου σχήματος: 1. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. 2. Διερευνήστε τη συνάρτηση ομοιότητας - περιττότητας. 3. Βρείτε κάθετες ασύμπτωτες 4. Διερευνήστε τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης στο άπειρο, βρείτε οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες. 5. Να βρείτε άκρα και διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης. 6. Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας της συνάρτησης και των σημείων καμπής. 7. Βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων και, ενδεχομένως, κάποια επιπλέον σημεία που διευκρινίζουν τη γραφική παράσταση. Το διαφορικό μιας συνάρτησης είναι το κύριο, σχετικά γραμμικό μέρος της αύξησης μιας συνάρτησης, ίσο με το γινόμενο της παραγώγου με την αύξηση της ανεξάρτητης μεταβλητής. Ας υπάρχουν μεταβλητές ποσότητες και κάθε σύνολο τιμών τους από ένα συγκεκριμένο σύνολο X αντιστοιχεί σε μια καλά καθορισμένη τιμή της μεταβλητής. Τότε λέμε ότι δίνεται μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών Οι μεταβλητές ονομάζονται ανεξάρτητες μεταβλητές ή ορίσματα - εξαρτημένη μεταβλητή. Το σύνολο Χ ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Ένα πολυδιάστατο ανάλογο της συνάρτησης χρησιμότητας είναι η συνάρτηση Επίσης, στην περίπτωση των μεταβλητών γενικεύεται η έννοια της συνάρτησης παραγωγής, εκφράζοντας το αποτέλεσμα της παραγωγικής δραστηριότητας από τους παράγοντες που την καθόρισαν. λιγότερο από ό,τι εξ ορισμού και συνεχές στο ίδιο το σημείο. Στη συνέχεια μερικές παράγωγοι και βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης. 3. Βρείτε μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης, υπολογίστε τις τιμές τους σε κάθε κρίσιμο σημείο και, χρησιμοποιώντας μια επαρκή συνθήκη, βγάλτε ένα συμπέρασμα για την παρουσία ακρών. Βρείτε τα άκρα (ακραίες τιμές) της συνάρτησης. Βιβλιογραφία 1. Ανώτερα μαθηματικά για οικονομολόγους: Εγχειρίδιο για πανεπιστήμια / Εκδ. N.Sh. Κρέμερ. – Μ.: ΕΝΟΤΗΤΑ, 2003. 2.Ε.Σ. Kochetkov, S.O. Smerchinskaya Θεωρία πιθανοτήτων σε προβλήματα και ασκήσεις / M. INFRA-M 2005. 3. Ανώτερα μαθηματικά για οικονομολόγους: Εργαστήριο / Εκδ. N.Sh. Κρέμερ. – Μ.: ΕΝΟΤΗΤΑ, 2004. Μέρη 1, 2 4. Gmurman V.E. Ένας οδηγός για την επίλυση προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική. Μ., Ανώτατο Σχολείο, 1977 5. Gmurman V.E. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική. Μ., Ανώτατο Σχολείο, 1977 6. Μ.Σ. Crass Mathematics για οικονομικές ειδικότητες: Textbook / M. INFRA-M 1998. 7. Vygodsky M.Ya. Εγχειρίδιο ανώτερων μαθηματικών. – Μ., 2000. 8.Berman Γ.Ν. Συλλογή προβλημάτων για το μάθημα της μαθηματικής ανάλυσης. – Μ.: Nauka, 1971. 9.Α.Κ. Kazashev Συλλογή προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά για οικονομολόγους - Αλμάτι - 2002. 10. Piskunov N.S. Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός. – Μ.: Nauka, 1985, Τ. 1,2. 11.Π.Ε. Danko, A.G. Popov, T.Ya. Kozhevnikov Ανώτερα μαθηματικά σε ασκήσεις και προβλήματα / M. ONICS-2005. 12.Ι.Α. Zaitsev Higher Mathematics / M. Higher School - 1991 13. Golovina L.I. Γραμμική άλγεβρα και μερικές από τις εφαρμογές της. – Μ.: Nauka, 1985. 14. Zamkov O.O., Tolstopyatenko A.V., Cheremnykh Yu.N. Μαθηματικές μέθοδοι οικονομικής ανάλυσης. – Μ.: ΔΙΣ, 1997. 15. Karasev A.I., Aksyutina Z.M., Savelyeva T.I. Μάθημα ανώτερων μαθηματικών για οικονομικά πανεπιστήμια. – Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 1982 – Μέρος 1, 2. 16. Kolesnikov A.N. Ένα σύντομο μάθημα στα μαθηματικά για οικονομολόγους. – Μ.: Infra-M, 1997. 17.V.S. Βιβλίο Προβλημάτων Shipatsev στα ανώτερα μαθηματικά-Μ. Γυμνάσιο, 2005
(10.2)
δεν υπάρχει.
(10.4)
. Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή 
|.
(10.5)
(10.6)
(10.7)
Αφήστε την ευθεία να τέμνει τον άξονα Ox στο σημείο και τον άξονα Oy στο σημείο (βλ. Εικ. 42). Σε αυτήν την περίπτωση, η εξίσωση (10.7) θα λάβει τη μορφή
Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο M(x;y) στη γραμμή και ας θεωρήσουμε το διάνυσμα (βλ. Εικ. 43). Δεδομένου ότι τα διανύσματα και είναι κάθετα, το βαθμωτό γινόμενο τους είναι ίσο με μηδέν: , δηλαδή
(10.9)
Ας βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας σε πολικές συντεταγμένες. Η θέση του μπορεί να προσδιοριστεί υποδεικνύοντας την απόσταση ρ από τον πόλο Ο σε μια δεδομένη ευθεία γραμμή και τη γωνία α μεταξύ του πολικού άξονα OP και του άξονα μεγάλο, περνώντας από τον κάθετο σε αυτήν την ευθεία πόλο Ο (βλ. Εικ. 44).
(10.10)
(10.11)
Ας δείξουμε πώς να ανάγεται η εξίσωση (10.4) μιας ευθείας γραμμής στη μορφή (10.11).
. Ο παράγοντας λ ονομάζεται κανονικοποιητικό παράγοντα. Σύμφωνα με την τρίτη ισότητα, το πρόσημο του παράγοντα κανονικοποίησης είναι αντίθετο με το πρόσημο του ελεύθερου όρου C της γενικής εξίσωσης της ευθείας.
.
.
Εξίσωση ευθείας σε επίπεδο - ορισμός.
Γενική εξίσωση ευθείας γραμμής.
.
που ονομάζεται γενική εξίσωση της γραμμήςστην επιφάνεια.αντιστοιχεί σε μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο σε ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων και μια ευθεία σε ένα επίπεδο σε ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων αντιστοιχεί σε μια ευθεία εξίσωση της μορφής .
, αφού οι συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στην εικονιζόμενη ευθεία ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση. Από την άλλη πλευρά, το σύνολο των σημείων στο επίπεδο που ορίζεται από την εξίσωση , δώστε μας την ευθεία που φαίνεται στο σχέδιο.καθορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης Ox, και όταν B=0 – παράλληλη προς τον άξονα τεταγμένης Oy., έχει συντεταγμένες .Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.
και συνδέστε τα.
Εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή.
ακτίνια (60 μοίρες) προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox. Η κλίση του είναι ίση με .
Κανονική εξίσωση γραμμής σε επίπεδο.
, όπου και είναι κάποιοι πραγματικοί αριθμοί, και ταυτόχρονα δεν είναι ίσοι με το μηδέν.
. Προφανώς, το σημείο ανήκει στη γραμμή και το διάνυσμα είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης αυτής της ευθείας.
. Αν , τότε η κανονική εξίσωση παίρνει τη μορφή 
και ορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα τεταγμένων (ή που συμπίπτει με αυτόν). Αν , τότε η κανονική εξίσωση της γραμμής παίρνει τη μορφή 
και ορίζει μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα x (ή που συμπίπτει με αυτόν).Παραμετρικές εξισώσεις ευθείας σε επίπεδο.
, όπου και είναι κάποιοι πραγματικοί αριθμοί, και ταυτόχρονα δεν είναι ίσοι με μηδέν, και είναι μια παράμετρος που παίρνει οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές.
, δηλαδή το σημείο με συντεταγμένες βρίσκεται σε ευθεία γραμμή.
, τότε η γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών βρίσκεται από τον τύπο
. Οι κορυφές της έλλειψης είναι τα σημεία , , ,. Η εκκεντρότητα μιας έλλειψης είναι η αναλογία. Οι κορυφές μιας υπερβολής είναι τα σημεία , . Η εκκεντρότητα μιας υπερβολής είναι ο λόγος
. Διαφορετικά, η συνάρτηση ονομάζεται γενική συνάρτηση.
.
:
.
.
.
, αυτό είναι .
.
.
., εκφράζοντας την εξάρτηση από τα αγορασμένα αγαθά.