Συνέχεια του θέματος, η εξίσωση ευθείας σε επίπεδο βασίζεται στη μελέτη ευθείας από μαθήματα άλγεβρας. Αυτό το άρθρο παρέχει γενικές πληροφορίες σχετικά με το θέμα της εξίσωσης ευθείας γραμμής με κλίση. Ας εξετάσουμε τους ορισμούς, ας πάρουμε την ίδια την εξίσωση και ας προσδιορίσουμε τη σύνδεση με άλλους τύπους εξισώσεων. Όλα θα συζητηθούν χρησιμοποιώντας παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων.

Πριν γράψουμε μια τέτοια εξίσωση, είναι απαραίτητο να ορίσουμε τη γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα O x με τον γωνιακό συντελεστή τους. Ας υποθέσουμε ότι δίνεται ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων O x στο επίπεδο.

Ορισμός 1

Η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα O x,που βρίσκεται στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων O x y στο επίπεδο, αυτή είναι η γωνία που μετράται από τη θετική κατεύθυνση O x προς την ευθεία αριστερόστροφα.

Όταν η ευθεία είναι παράλληλη προς το O x ή συμπίπτει σε αυτήν, η γωνία κλίσης είναι 0. Τότε η γωνία κλίσης της δεδομένης ευθείας α ορίζεται στο διάστημα [ 0 , π) .

Ορισμός 2

Άμεση κλίσηείναι η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης μιας δεδομένης ευθείας.

Η τυπική ονομασία είναι k. Από τον ορισμό βρίσκουμε ότι k = t g α . Όταν η ευθεία είναι παράλληλη με το Ox, λένε ότι η κλίση δεν υπάρχει, αφού πηγαίνει στο άπειρο.

Η κλίση είναι θετική όταν αυξάνεται το γράφημα της συνάρτησης και αντίστροφα. Το σχήμα δείχνει διάφορες παραλλαγές τοποθεσίας ορθή γωνίασε σχέση με το σύστημα συντεταγμένων με την τιμή του συντελεστή.

Για να βρεθεί αυτή η γωνία, είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο ορισμός του γωνιακού συντελεστή και να υπολογιστεί η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης στο επίπεδο.

Λύση

Από την συνθήκη έχουμε ότι α = 120°. Εξ ορισμού, η κλίση πρέπει να υπολογιστεί. Ας το βρούμε από τον τύπο k = t g α = 120 = - 3.

Απάντηση: k = - 3 .

Εάν ο γωνιακός συντελεστής είναι γνωστός και είναι απαραίτητο να βρεθεί η γωνία κλίσης ως προς τον άξονα της τετμημένης, τότε θα πρέπει να ληφθεί υπόψη η τιμή του γωνιακού συντελεστή. Αν k > 0, τότε η ορθή γωνία είναι οξεία και βρίσκεται με τον τύπο α = a r c t g k. Αν κ< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Παράδειγμα 2

Προσδιορίστε τη γωνία κλίσης της δεδομένης ευθείας προς το Ο x με γωνιακό συντελεστή 3.

Λύση

Από την προϋπόθεση ότι ο γωνιακός συντελεστής είναι θετικός, που σημαίνει ότι η γωνία κλίσης προς το Ο x είναι μικρότερη από 90 μοίρες. Οι υπολογισμοί γίνονται χρησιμοποιώντας τον τύπο α = a r c t g k = a r c t g 3.

Απάντηση: α = a r c t g 3 .

Παράδειγμα 3

Βρείτε τη γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα O x εάν η κλίση = - 1 3.

Λύση

Αν πάρουμε το γράμμα k ως προσδιορισμό του γωνιακού συντελεστή, τότε α είναι η γωνία κλίσης σε μια δεδομένη ευθεία στη θετική κατεύθυνση O x. Επομένως k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Απάντηση: 5 π 6 .

Μια εξίσωση της μορφής y = k x + b, όπου k είναι η κλίση και b είναι κάποιος πραγματικός αριθμός, ονομάζεται εξίσωση μιας ευθείας με κλίση. Η εξίσωση είναι χαρακτηριστική για κάθε ευθεία που δεν είναι παράλληλη προς τον άξονα O y.

Αν εξετάσουμε λεπτομερώς μια ευθεία σε ένα επίπεδο σε ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων, η οποία καθορίζεται από μια εξίσωση με γωνιακό συντελεστή που έχει τη μορφή y = k x + b. Σε αυτή την περίπτωση, σημαίνει ότι η εξίσωση αντιστοιχεί στις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της ευθείας. Αν αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου M, M 1 (x 1, y 1) στην εξίσωση y = k x + b, τότε στην περίπτωση αυτή η ευθεία θα περάσει από αυτό το σημείο, διαφορετικά το σημείο δεν ανήκει στην ευθεία.

Παράδειγμα 4

Δίνεται ευθεία με κλίση y = 1 3 x - 1. Να υπολογίσετε αν τα σημεία M 1 (3, 0) και M 2 (2, - 2) ανήκουν στη δεδομένη ευθεία.

Λύση

Είναι απαραίτητο να αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου M 1 (3, 0) στη δεδομένη εξίσωση, τότε παίρνουμε 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Η ισότητα είναι αληθής, που σημαίνει ότι το σημείο ανήκει στη γραμμή.

Αν αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου M 2 (2, - 2), τότε παίρνουμε μια εσφαλμένη ισότητα της μορφής - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το σημείο Μ 2 δεν ανήκει στην ευθεία.

Απάντηση:Το Μ 1 ανήκει στη γραμμή, αλλά το Μ 2 όχι.

Είναι γνωστό ότι η ευθεία ορίζεται από την εξίσωση y = k · x + b, περνώντας από το M 1 (0, b), κατά την αντικατάσταση λάβαμε μια ισότητα της μορφής b = k · 0 + b ⇔ b = b. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή y = k x + b στο επίπεδο ορίζει μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο 0, β. Σχηματίζει γωνία α με τη θετική φορά του άξονα O x, όπου k = t g α.

Ας εξετάσουμε, ως παράδειγμα, μια ευθεία γραμμή που ορίζεται χρησιμοποιώντας έναν γωνιακό συντελεστή που καθορίζεται με τη μορφή y = 3 x - 1. Λαμβάνουμε ότι η ευθεία θα διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένη 0, - 1 με κλίση α = a r c t g 3 = π 3 ακτίνια στη θετική κατεύθυνση του άξονα O x. Αυτό δείχνει ότι ο συντελεστής είναι 3.

Εξίσωση ευθείας με κλίση που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο

Είναι απαραίτητο να λυθεί ένα πρόβλημα όπου είναι απαραίτητο να ληφθεί η εξίσωση μιας ευθείας με δεδομένη κλίση που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1).

Η ισότητα y 1 = k · x + b μπορεί να θεωρηθεί έγκυρη, αφού η ευθεία διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1). Για να αφαιρέσετε τον αριθμό b, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε την εξίσωση με την κλίση από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Από αυτό προκύπτει ότι y - y 1 = k · (x - x 1) . Αυτή η ισότητα ονομάζεται εξίσωση μιας ευθείας με δεδομένη κλίση k, που διέρχεται από τις συντεταγμένες του σημείου M 1 (x 1, y 1).

Παράδειγμα 5

Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από το σημείο Μ 1 με συντεταγμένες (4, - 1), με γωνιακό συντελεστή ίσο με -2.

Λύση

Με συνθήκη έχουμε ότι x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Από εδώ η εξίσωση της γραμμής θα γραφτεί ως εξής: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Απάντηση: y = - 2 x + 7 .

Παράδειγμα 6

Να γράψετε την εξίσωση ευθείας με γωνιακό συντελεστή που διέρχεται από το σημείο Μ 1 με συντεταγμένες (3, 5), παράλληλη στην ευθεία y = 2 x - 2.

Λύση

Κατά συνθήκη, έχουμε ότι οι παράλληλες γραμμές έχουν ίδιες γωνίες κλίσης, που σημαίνει ότι οι γωνιακοί συντελεστές είναι ίσοι. Για να βρείτε την κλίση από αυτή την εξίσωση, πρέπει να θυμάστε τον βασικό τύπο της y = 2 x - 2, προκύπτει ότι k = 2. Συνθέτουμε μια εξίσωση με τον συντελεστή κλίσης και παίρνουμε:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Απάντηση: y = 2 x - 1 .

Μετάβαση από μια εξίσωση ευθείας γραμμής με κλίση σε άλλους τύπους εξισώσεων ευθείας γραμμής και πίσω

Αυτή η εξίσωση δεν είναι πάντα εφαρμόσιμη για την επίλυση προβλημάτων, καθώς δεν είναι πολύ βολική γραμμένη. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να το παρουσιάσετε σε διαφορετική μορφή. Για παράδειγμα, μια εξίσωση της μορφής y = k x + b δεν μας επιτρέπει να γράψουμε τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής ή τις συντεταγμένες ενός κανονικού διανύσματος. Για να γίνει αυτό, πρέπει να μάθετε να αναπαριστάτε με εξισώσεις διαφορετικού τύπου.

Μπορούμε να λάβουμε την κανονική εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο χρησιμοποιώντας την εξίσωση μιας ευθείας με συντελεστή γωνίας. Παίρνουμε x - x 1 a x = y - y 1 a y . Είναι απαραίτητο να μετακινήσετε τον όρο b στην αριστερή πλευρά και να διαιρέσετε με την έκφραση της προκύπτουσας ανισότητας. Τότε παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Η εξίσωση μιας γραμμής με μια κλίση έχει γίνει η κανονική εξίσωση αυτής της γραμμής.

Παράδειγμα 7

Φέρτε την εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή y = - 3 x + 12 σε κανονική μορφή.

Λύση

Ας το υπολογίσουμε και ας το παρουσιάσουμε με τη μορφή κανονικής εξίσωσης ευθείας γραμμής. Παίρνουμε μια εξίσωση της μορφής:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Απάντηση: x 1 = y - 12 - 3.

Η γενική εξίσωση μιας ευθείας είναι πιο εύκολο να ληφθεί από y = k · x + b, αλλά για αυτό είναι απαραίτητο να γίνουν μετασχηματισμοί: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Γίνεται μια μετάβαση από γενική εξίσωσηευθεία γραμμή σε εξισώσεις άλλου τύπου.

Παράδειγμα 8

Δίνεται ευθύγραμμη εξίσωση της μορφής y = 1 7 x - 2 . Βρείτε αν το διάνυσμα με συντεταγμένες a → = (- 1, 7) είναι κανονικό διάνυσμα γραμμής;

Λύση

Για να λυθεί είναι απαραίτητο να προχωρήσουμε σε άλλη μορφή αυτής της εξίσωσης, για αυτό γράφουμε:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Οι συντελεστές μπροστά από τις μεταβλητές είναι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος της ευθείας. Ας το γράψουμε ως εξής: n → = 1 7, - 1, άρα 1 7 x - y - 2 = 0. Είναι σαφές ότι το διάνυσμα a → = (- 1, 7) είναι συγγραμμικό με το διάνυσμα n → = 1 7, - 1, αφού έχουμε τη δίκαιη σχέση a → = - 7 · n →. Συνεπάγεται ότι το αρχικό διάνυσμα a → = - 1, 7 είναι ένα κανονικό διάνυσμα της ευθείας 1 7 x - y - 2 = 0, που σημαίνει ότι θεωρείται κανονικό διάνυσμα για την ευθεία y = 1 7 x - 2.

Απάντηση:Είναι

Ας λύσουμε το αντίστροφο πρόβλημα αυτού.

Είναι απαραίτητο να μετακινηθούμε από τη γενική μορφή της εξίσωσης A x + B y + C = 0, όπου B ≠ 0, σε μια εξίσωση με γωνιακό συντελεστή. Για να γίνει αυτό, λύνουμε την εξίσωση για το y. Παίρνουμε A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Το αποτέλεσμα είναι μια εξίσωση με κλίση ίση με - A B .

Παράδειγμα 9

Δίνεται ευθύγραμμη εξίσωση της μορφής 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Λάβετε την εξίσωση μιας δεδομένης ευθείας με γωνιακό συντελεστή.

Λύση

Με βάση την συνθήκη, είναι απαραίτητο να λυθεί το y, τότε λαμβάνουμε μια εξίσωση της μορφής:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Απάντηση: y = 1 6 x + 1 4 .

Με παρόμοιο τρόπο λύνεται μια εξίσωση της μορφής x a + y b = 1, η οποία ονομάζεται εξίσωση ευθείας γραμμής σε τμήματα, ή κανονική της μορφής x - x 1 a x = y - y 1 a y. Πρέπει να το λύσουμε για το y, μόνο τότε παίρνουμε μια εξίσωση με την κλίση:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Η κανονική εξίσωση μπορεί να αναχθεί σε μορφή με γωνιακό συντελεστή. Για αυτό:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Παράδειγμα 10

Υπάρχει μια ευθεία γραμμή που δίνεται από την εξίσωση x 2 + y - 3 = 1. Αναγωγή σε μορφή εξίσωσης με γωνιακό συντελεστή.

Λύση.

Με βάση την συνθήκη, είναι απαραίτητος ο μετασχηματισμός, τότε λαμβάνουμε μια εξίσωση της μορφής _τύπος_. Και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πρέπει να πολλαπλασιαστούν με - 3 για να ληφθεί η απαιτούμενη εξίσωση κλίσης. Μεταμορφώνοντας, παίρνουμε:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Απάντηση: y = 3 2 x - 3 .

Παράδειγμα 11

Μειώστε την ευθύγραμμη εξίσωση της μορφής x - 2 2 = y + 1 5 σε μορφή με γωνιακό συντελεστή.

Λύση

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η έκφραση x - 2 2 = y + 1 5 ως αναλογία. Παίρνουμε ότι 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Τώρα πρέπει να το ενεργοποιήσετε πλήρως, για να το κάνετε αυτό:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Απάντηση: y = 5 2 x - 6 .

Για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, οι παραμετρικές εξισώσεις της γραμμής της μορφής x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ πρέπει να μειωθούν στην κανονική εξίσωση της γραμμής, μόνο μετά από αυτό μπορεί κανείς να προχωρήσει στην εξίσωση με ο συντελεστής κλίσης.

Παράδειγμα 12

Βρείτε την κλίση της ευθείας αν είναι δεδομένη παραμετρικές εξισώσεις x = λ y = - 1 + 2 · λ .

Λύση

Πρέπει να κάνετε εναλλαγή από παραμετρικός τύποςπρος την πλαγιά. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε την κανονική εξίσωση από τη δεδομένη παραμετρική:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Τώρα είναι απαραίτητο να επιλυθεί αυτή η ισότητα ως προς το y για να ληφθεί η εξίσωση μιας ευθείας με γωνιακό συντελεστή. Για να γίνει αυτό, ας το γράψουμε ως εξής:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Από αυτό προκύπτει ότι η κλίση της γραμμής είναι 2. Αυτό γράφεται ως k = 2.

Απάντηση: k = 2.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Στις καρτεσιανές συντεταγμένες, κάθε ευθεία καθορίζεται από μια εξίσωση του πρώτου βαθμού και, αντιστρόφως, κάθε εξίσωση του πρώτου βαθμού καθορίζει μια ευθεία γραμμή.

Εξίσωση της φόρμας

ονομάζεται γενική εξίσωση μιας ευθείας.

Η γωνία που προσδιορίζεται όπως φαίνεται στο σχήμα ονομάζεται γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox. Η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας στον άξονα Ox ονομάζεται γωνιακός συντελεστής της ευθείας. συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα k:

Η εξίσωση ονομάζεται εξίσωση ευθείας με κλίση. k είναι ο γωνιακός συντελεστής, b είναι η τιμή του τμήματος που κόβεται από την ευθεία στον άξονα Oy, μετρώντας από την αρχή.

Αν μια ευθεία δίνεται από τη γενική εξίσωση

,

τότε ο γωνιακός του συντελεστής προσδιορίζεται από τον τύπο

Η εξίσωση είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο (, ) και έχει γωνιακό συντελεστή k.

Εάν μια ευθεία διέρχεται από σημεία (, ), (, ), τότε η κλίση της καθορίζεται από τον τύπο

Η εξίσωση

είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία (, ) και (, ).

Εάν οι γωνιακοί συντελεστές δύο ευθειών είναι γνωστοί, τότε μία από τις γωνίες μεταξύ αυτών των ευθειών καθορίζεται από τον τύπο

.

Σημάδι παραλληλισμού δύο ευθειών είναι η ισότητα των γωνιακών συντελεστών τους:.

Ένα σημάδι της καθετότητας δύο ευθειών είναι ο λόγος, ή.

Με άλλα λόγια, οι γωνιακοί συντελεστές των κάθετων ευθειών είναι αντίστροφοι σε απόλυτη τιμή και αντίθετοι σε πρόσημο.

4. Γενική εξίσωση ευθείας

Η εξίσωση

Ah+Bu+C=0

(Οπου Α, Β, Γμπορεί να έχει οποιεσδήποτε τιμές, όσο οι συντελεστές Α, Βδεν ήταν και τα δύο μηδενικά ταυτόχρονα) αντιπροσωπεύει ευθεία. Οποιαδήποτε ευθεία μπορεί να αναπαρασταθεί με μια εξίσωση αυτού του τύπου. Γι' αυτό τον φωνάζουν γενική εξίσωση της γραμμής.

Αν ΕΝΑΧ, τότε αντιπροσωπεύει μια ευθεία γραμμή, παράλληλα με τον άξονα OX.

Αν ΣΕ=0, δηλαδή η εξίσωση δεν περιέχει στο, τότε αντιπροσωπεύει μια ευθεία γραμμή, παράλληλα με τον άξονα OY.

Κόγκλα ΣΕδεν είναι ίση με μηδέν, τότε η γενική εξίσωση μιας ευθείας μπορεί να είναι επιλύουν σε σχέση με τεταγμένηστο , στη συνέχεια μετατρέπεται στη φόρμα

(Οπου α=-Α/Β; b=-C/B).

Ομοίως, όταν ΕΝΑμη μηδενικό, η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να επιλυθεί σε σχέση με Χ.

Αν ΜΕ=0, δηλαδή, η γενική εξίσωση μιας γραμμής δεν περιέχει έναν ελεύθερο όρο, τότε αντιπροσωπεύει μια γραμμή που διέρχεται από την αρχή

5. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο με δεδομένη κλίση

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) σε μια δεδομένη κατεύθυνση, που καθορίζεται από την κλίση κ,

y - y 1 = κ(Χ - Χ 1). (1)

Αυτή η εξίσωση ορίζει ένα μολύβι γραμμών που διέρχονται από ένα σημείο ΕΝΑ(Χ 1 , y 1), το οποίο ονομάζεται κέντρο δέσμης.

6. εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.

. Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία: ΕΝΑ(Χ 1 , y 1) και σι(Χ 2 , y 2), γράφεται ως εξής:

Ο γωνιακός συντελεστής μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία καθορίζεται από τον τύπο

7. Εξίσωση ευθείας σε τμήματα

Αν στη γενική εξίσωση μιας ευθείας , τότε διαιρώντας το (1) με , προκύπτει η εξίσωση της ευθείας σε τμήματα

Οπου , . Η ευθεία τέμνει τον άξονα στο σημείο , ο άξονας στο σημείο .

8. Τύπος: Γωνία μεταξύ ευθειών σε ένα επίπεδο

U Στόχος α μεταξύ δύο ευθειών που δίνονται από τις εξισώσεις: y=k 1 x+b 1 (πρώτη γραμμή) και y=k 2 x+b 2 (δεύτερη ευθεία), μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο (η γωνία μετριέται από την 1η ευθεία έως τη 2η αριστερόστροφα ):

ταν(α)=(κ 2 -κ 1 )/(1+k 1 κ 2 )

9. Η σχετική θέση δύο ευθειών σε ένα επίπεδο.

Αφήστε και τα δύο τώρα εξισώσειςαπευθείας γραμμένο γενική εικόνα.

Θεώρημα. Αφήνω

- είναι κοινά εξισώσειςδύο ευθείες γραμμές συντεταγμένηΟξυ αεροπλάνο. Επειτα

1) αν , τότε ευθείακαι συμπίπτουν?

2) αν , τότε ευθεία και

παράλληλο;

3) αν , τότε ευθείαδιατέμνω.

Απόδειξη. Η κατάσταση είναι ισοδύναμη με συγγραμμικότητα του φυσιολογικού φορείςάμεσα δεδομένα:

Επομένως, εάν , τότε ευθείαδιατέμνω.

Αν , τότε , , και την εξίσωση ευθείαπαίρνει τη μορφή:

Ή , δηλ. ευθείαταιριάξει. Σημειώστε ότι ο συντελεστής αναλογικότητας, αλλιώς όλοι οι συντελεστές της γενικής εξισώσειςθα ήταν ίσο με μηδέν, κάτι που είναι αδύνατο.

Αν ευθείαδεν συμπίπτουν και δεν τέμνονται, τότε παραμένει η περίπτωση, δηλ. ευθείαπαράλληλο.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Στο προηγούμενο κεφάλαιο δείχθηκε ότι, επιλέγοντας ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο, μπορούμε να εκφράσουμε τις γεωμετρικές ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τα σημεία της υπό εξέταση ευθείας αναλυτικά με μια εξίσωση μεταξύ των τρεχουσών συντεταγμένων. Έτσι παίρνουμε την εξίσωση της ευθείας. Αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσει τις ευθείες εξισώσεις.

Για να δημιουργήσετε μια εξίσωση για μια ευθεία γραμμή σε καρτεσιανές συντεταγμένες, πρέπει να ορίσετε με κάποιο τρόπο τις συνθήκες που καθορίζουν τη θέση της σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων.

Αρχικά, θα εισαγάγουμε την έννοια του γωνιακού συντελεστή μιας ευθείας, που είναι ένα από τα μεγέθη που χαρακτηρίζουν τη θέση μιας ευθείας σε ένα επίπεδο.

Ας ονομάσουμε γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox τη γωνία κατά την οποία πρέπει να περιστραφεί ο άξονας Ox ώστε να συμπίπτει με τη δεδομένη ευθεία (ή να είναι παράλληλη με αυτήν). Ως συνήθως, θα εξετάσουμε τη γωνία λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο (το πρόσημο καθορίζεται από την κατεύθυνση περιστροφής: αριστερόστροφα ή δεξιόστροφα). Δεδομένου ότι μια πρόσθετη περιστροφή του άξονα Ox μέσω γωνίας 180° θα τον ευθυγραμμίσει και πάλι με την ευθεία γραμμή, η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα δεν μπορεί να επιλεγεί με σαφήνεια (σε έναν όρο, πολλαπλάσιο του ).

Η εφαπτομένη αυτής της γωνίας καθορίζεται μοναδικά (αφού η αλλαγή της γωνίας δεν αλλάζει την εφαπτομένη της).

Η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης της ευθείας στον άξονα Ox ονομάζεται γωνιακός συντελεστής της ευθείας.

Ο γωνιακός συντελεστής χαρακτηρίζει την κατεύθυνση της ευθείας (δεν διακρίνουμε εδώ δύο αμοιβαία αντίθετες κατευθύνσεις της ευθείας). Αν η κλίση μιας ευθείας είναι μηδέν, τότε η ευθεία είναι παράλληλη προς τον άξονα x. Με θετικό γωνιακό συντελεστή, η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox θα είναι οξεία (θεωρούμε εδώ τη μικρότερη θετική αξίαγωνία κλίσης) (Εικ. 39). Επιπλέον, όσο μεγαλύτερος είναι ο γωνιακός συντελεστής, τόσο μεγαλύτερη είναι η γωνία κλίσης του προς τον άξονα Ox. Εάν ο γωνιακός συντελεστής είναι αρνητικός, τότε η γωνία κλίσης της ευθείας προς τον άξονα Ox θα είναι αμβλεία (Εικ. 40). Σημειώστε ότι μια ευθεία κάθετη στον άξονα Ox δεν έχει γωνιακό συντελεστή (η εφαπτομένη της γωνίας δεν υπάρχει).

Μάθετε να παίρνετε παραγώγους συναρτήσεων.Η παράγωγος χαρακτηρίζει τον ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης σε ένα ορισμένο σημείο που βρίσκεται στο γράφημα αυτής της συνάρτησης. Σε αυτή την περίπτωση, το γράφημα μπορεί να είναι είτε ευθεία είτε καμπύλη γραμμή. Δηλαδή, η παράγωγος χαρακτηρίζει το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Θυμηθείτε τους γενικούς κανόνες με τους οποίους λαμβάνονται τα παράγωγα και μόνο τότε προχωρήστε στο επόμενο βήμα.

• Διάβασε το άρθρο.
• Πώς να πάρετε τα πιο απλά παράγωγα, για παράδειγμα, παράγωγο εκθετική εξίσωση, περιγράφεται. Οι υπολογισμοί που παρουσιάζονται στα ακόλουθα βήματα θα βασιστούν στις μεθόδους που περιγράφονται εκεί.

Μάθετε να διακρίνετε προβλήματα στα οποία η κλίση πρέπει να υπολογίζεται μέσω της παραγώγου μιας συνάρτησης.Τα προβλήματα δεν σας ζητούν πάντα να βρείτε την κλίση ή την παράγωγο μιας συνάρτησης. Για παράδειγμα, μπορεί να σας ζητηθεί να βρείτε το ρυθμό μεταβολής μιας συνάρτησης στο σημείο A(x,y). Μπορεί επίσης να σας ζητηθεί να βρείτε την κλίση της εφαπτομένης στο σημείο A(x,y). Και στις δύο περιπτώσεις είναι απαραίτητο να ληφθεί η παράγωγος της συνάρτησης.

Πάρτε την παράγωγο της συνάρτησης που σας δίνεται.Δεν χρειάζεται να δημιουργήσετε ένα γράφημα εδώ - χρειάζεστε μόνο την εξίσωση της συνάρτησης. Στο παράδειγμά μας, πάρτε την παράγωγο της συνάρτησης f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Πάρτε την παράγωγο σύμφωνα με τις μεθόδους που περιγράφονται στο άρθρο που αναφέρεται παραπάνω:

Αντικαταστήστε τις συντεταγμένες του σημείου που σας δίνεται με την ευρεθείσα παράγωγο για να υπολογίσετε την κλίση.Η παράγωγος μιας συνάρτησης είναι ίση με την κλίση σε ένα ορισμένο σημείο. Με άλλα λόγια, η f"(x) είναι η κλίση της συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο (x,f(x)). Στο παράδειγμά μας:

Εάν είναι δυνατόν, ελέγξτε την απάντησή σας σε ένα γράφημα.Θυμηθείτε ότι η κλίση δεν μπορεί να υπολογιστεί σε κάθε σημείο. Ο διαφορικός λογισμός ασχολείται με σύνθετες συναρτήσεις και σύνθετα γραφήματα όπου η κλίση δεν μπορεί να υπολογιστεί σε κάθε σημείο και σε ορισμένες περιπτώσεις τα σημεία δεν βρίσκονται καθόλου στα γραφήματα. Εάν είναι δυνατόν, χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή γραφικών για να ελέγξετε ότι η κλίση της συνάρτησης που σας δίνεται είναι σωστή. Διαφορετικά, σχεδιάστε μια εφαπτομένη στο γράφημα στο σημείο που σας δίνεται και σκεφτείτε αν η τιμή κλίσης που βρήκατε ταιριάζει με αυτό που βλέπετε στο γράφημα.

• Η εφαπτομένη θα έχει την ίδια κλίση με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα ορισμένο σημείο. Για να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε ένα δεδομένο σημείο, μετακινηθείτε αριστερά/δεξιά στον άξονα Χ (στο παράδειγμά μας, 22 τιμές προς τα δεξιά) και στη συνέχεια προς τα επάνω μία στον άξονα Υ. Σημειώστε το σημείο και, στη συνέχεια, συνδέστε το στο σημείο που σας δόθηκε. Στο παράδειγμά μας, συνδέστε τα σημεία με τις συντεταγμένες (4,2) και (26,3).

Στα μαθηματικά, μια από τις παραμέτρους που περιγράφει τη θέση μιας ευθείας στο καρτεσιανό επίπεδο συντεταγμένων είναι ο γωνιακός συντελεστής αυτής της ευθείας. Αυτή η παράμετρος χαρακτηρίζει την κλίση της ευθείας προς τον άξονα της τετμημένης. Για να κατανοήσετε πώς να βρείτε την κλίση, θυμηθείτε πρώτα τη γενική μορφή της εξίσωσης μιας ευθείας γραμμής στο σύστημα συντεταγμένων XY.

Γενικά, οποιαδήποτε γραμμή μπορεί να αναπαρασταθεί με την παράσταση ax+by=c, όπου τα a, b και c είναι αυθαίρετοι πραγματικοί αριθμοί, αλλά a 2 + b 2 ≠ 0.

Χρησιμοποιώντας απλούς μετασχηματισμούς, μια τέτοια εξίσωση μπορεί να φέρει τη μορφή y=kx+d, στην οποία οι k και d είναι πραγματικοί αριθμοί. Ο αριθμός k είναι η κλίση και η εξίσωση μιας ευθείας αυτού του τύπου ονομάζεται εξίσωση με κλίση. Αποδεικνύεται ότι για να βρείτε την κλίση, πρέπει απλώς να μειώσετε την αρχική εξίσωση στη μορφή που υποδεικνύεται παραπάνω. Για πληρέστερη κατανόηση, εξετάστε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:

Πρόβλημα: Βρείτε την κλίση της ευθείας που δίνεται από την εξίσωση 36x - 18y = 108

Λύση: Ας μετατρέψουμε την αρχική εξίσωση.

Απάντηση: Η απαιτούμενη κλίση αυτής της γραμμής είναι 2.

Αν κατά τον μετασχηματισμό της εξίσωσης λάβαμε μια παράσταση σαν x = const και ως αποτέλεσμα δεν μπορούμε να αναπαραστήσουμε το y ως συνάρτηση του x, τότε έχουμε να κάνουμε με μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Χ. Ο γωνιακός συντελεστής τέτοιου μια ευθεία είναι ίση με το άπειρο.

Για ευθείες που εκφράζονται με μια εξίσωση όπως y = const, η κλίση είναι μηδέν. Αυτό είναι χαρακτηριστικό για ευθείες γραμμές παράλληλες προς τον άξονα της τετμημένης. Για παράδειγμα:

Πρόβλημα: Βρείτε την κλίση της ευθείας που δίνεται από την εξίσωση 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Λύση: Ας φέρουμε την αρχική εξίσωση στη γενική της μορφή

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Είναι αδύνατο να εκφράσουμε το y από την προκύπτουσα έκφραση, επομένως ο γωνιακός συντελεστής αυτής της ευθείας είναι ίσος με το άπειρο και η ίδια η ευθεία θα είναι παράλληλη προς τον άξονα Υ.

Γεωμετρική σημασία

Για καλύτερη κατανόηση, ας δούμε την εικόνα:

Στο σχήμα βλέπουμε μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης όπως y = kx. Για απλοποίηση, ας πάρουμε τον συντελεστή c = 0. Στο τρίγωνο ΟΑΒ, ο λόγος της πλευράς ΒΑ προς ΑΟ θα είναι ίσος με τον γωνιακό συντελεστή k. Ταυτόχρονα, ο λόγος ΒΑ/ΑΟ είναι η εφαπτομένη της οξείας γωνίας α στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ. Αποδεικνύεται ότι ο γωνιακός συντελεστής της ευθείας είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας που κάνει αυτή η ευθεία με τον άξονα της τετμημένης του πλέγματος συντεταγμένων.

Επιλύοντας το πρόβλημα του τρόπου εύρεσης του γωνιακού συντελεστή μιας ευθείας γραμμής, βρίσκουμε την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ αυτής και του άξονα Χ του πλέγματος συντεταγμένων. Οριακές περιπτώσεις, όταν η εν λόγω ευθεία είναι παράλληλη με τους άξονες συντεταγμένων, επιβεβαιώστε τα παραπάνω. Πράγματι, για μια ευθεία που περιγράφεται από την εξίσωση y=const, η γωνία μεταξύ αυτής και του άξονα της τετμημένης είναι μηδέν. Η εφαπτομένη της μηδενικής γωνίας είναι επίσης μηδέν και η κλίση είναι επίσης μηδέν.

Για ευθείες γραμμές που είναι κάθετες στον άξονα x και περιγράφονται με την εξίσωση x=const, η γωνία μεταξύ αυτών και του άξονα Χ είναι 90 μοίρες. Η εφαπτομένη μιας ορθής γωνίας είναι ίση με το άπειρο και ο γωνιακός συντελεστής όμοιων ευθειών είναι επίσης ίσος με το άπειρο, γεγονός που επιβεβαιώνει αυτό που γράφτηκε παραπάνω.

Εφαπτομένη κλίση

Μια κοινή εργασία που συναντάται συχνά στην πράξη είναι επίσης να βρεθεί η κλίση μιας εφαπτομένης στο γράφημα μιας συνάρτησης σε ένα ορισμένο σημείο. Μια εφαπτομένη είναι μια ευθεία γραμμή, επομένως η έννοια της κλίσης είναι επίσης εφαρμόσιμη σε αυτήν.

Για να καταλάβουμε πώς να βρούμε την κλίση μιας εφαπτομένης, θα χρειαστεί να θυμηθούμε την έννοια της παραγώγου. Η παράγωγος οποιασδήποτε συνάρτησης σε ένα ορισμένο σημείο είναι μια σταθερά αριθμητικά ίση με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ της εφαπτομένης στο καθορισμένο σημείο στη γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης και του άξονα της τετμημένης. Αποδεικνύεται ότι για να προσδιορίσουμε τον γωνιακό συντελεστή της εφαπτομένης στο σημείο x 0, πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της παραγώγου της αρχικής συνάρτησης σε αυτό το σημείο k = f"(x 0). Ας δούμε το παράδειγμα:

Πρόβλημα: Βρείτε την κλίση της ευθείας που εφάπτεται στη συνάρτηση y = 12x 2 + 2xe x στο x = 0,1.

Λύση: Να βρείτε την παράγωγο της αρχικής συνάρτησης σε γενική μορφή

y"(0,1) = 24. 0,1 + 2. 0,1. e 0,1 + 2. e 0,1

Απάντηση: Η απαιτούμενη κλίση στο σημείο x = 0,1 είναι 4,831