Είπαμε ότι ορίζεται αλγεβρική καμπύλη δεύτερης τάξης αλγεβρική εξίσωσηδεύτερου βαθμού σχετικά ΧΚαι στο. ΣΕ γενική εικόναμια τέτοια εξίσωση γράφεται έτσι

ΕΝΑ Χ 2 + V xy+ Γ στο 2 +Δ Χ+Ε y+ F = 0, (6)

και A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0 (δηλαδή, οι αριθμοί A, B, C δεν γίνονται ταυτόχρονα στο μηδέν). Συστατικά Α Χ 2, V xy, ΜΕ στο 2 ονομάζονται οι κύριοι όροι της εξίσωσης, ο αριθμός

που ονομάζεται διακριτικήαυτή η εξίσωση. Καλείται η εξίσωση (6). γενική εξίσωσηκαμπύλη δεύτερης τάξης.

Για τις καμπύλες που εξετάστηκαν προηγουμένως έχουμε:

Ελλειψη: Þ A = , B = 0, C = , D = E = 0, F = –1,

κύκλος Χ 2 + στο 2 = ΕΝΑ 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = – ΕΝΑ 2, d = 1>0;

Υπερβολή: Þ A = , B = 0, C = – , D = E = 0, F = –1,

d = – .< 0.

Παραβολή: στο 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 R, E = F = 0, d = 0,

Χ 2 = 2RUÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 R, F = 0, d = 0.

Οι καμπύλες που δίνονται από την εξίσωση (6) λέγονται κεντρικόςκαμπύλες εάν d¹0. Αν d> 0, τότε η καμπύλη ελλειπτικόςτύπος, εάν δ<0, то кривая υπερβολικόςτύπος. Καμπύλες για τις οποίες d = 0 είναι καμπύλες παραβολικόςτύπος.

Έχει αποδειχθεί ότι η γραμμή δεύτερης παραγγελίας σε όποιοςΤο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων δίνεται από μια αλγεβρική εξίσωση δεύτερης τάξης. Μόνο σε ένα σύστημα η εξίσωση έχει σύνθετη μορφή (για παράδειγμα, (6)), και στο άλλο έχει απλούστερη μορφή, για παράδειγμα, (5). Επομένως, είναι βολικό να εξετάσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η υπό μελέτη καμπύλη γράφεται με την απλούστερη (για παράδειγμα, κανονική) εξίσωση. Η μετάβαση από ένα σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο η καμπύλη δίνεται από μια εξίσωση της μορφής (6) σε μια άλλη, όπου η εξίσωσή της έχει απλούστερη μορφή, ονομάζεται μετασχηματισμός συντεταγμένων.

Ας εξετάσουμε τους κύριους τύπους μετασχηματισμών συντεταγμένων.

ΕΓΩ. Μεταφέρετε τη μεταμόρφωσηάξονες συντεταγμένων (με διατήρηση της κατεύθυνσης). Έστω το σημείο M στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων XOU να έχει συντεταγμένες ( Χ, στοΧ¢, στο¢). Από το σχέδιο φαίνεται ότι οι συντεταγμένες του σημείου Μ σε διαφορετικά συστήματα σχετίζονται με τις σχέσεις

(7), ή (8).

Οι τύποι (7) και (8) ονομάζονται τύποι μετασχηματισμού συντεταγμένων.

II. Μετασχηματισμός περιστροφήςάξονες συντεταγμένων κατά γωνία α. Εάν στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων XOU το σημείο M έχει συντεταγμένες ( Χ, στο), και στο νέο σύστημα συντεταγμένων ХО¢У έχει συντεταγμένες ( Χ¢, στο¢). Στη συνέχεια, η σύνδεση μεταξύ αυτών των συντεταγμένων εκφράζεται με τους τύπους

, (9)

ή

Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό συντεταγμένων, η εξίσωση (6) μπορεί να αναχθεί σε ένα από τα ακόλουθα κανονικόςεξισώσεις.

1) – έλλειψη,

2) – υπερβολή,

3) στο 2 = 2px, Χ 2 = 2RU– παραβολή

4) ΕΝΑ 2 Χ 2 – σι 2 y 2 = 0 – ένα ζεύγος τεμνόμενων γραμμών (Εικ. α)

5) y 2 – ένα 2 = 0 – ζεύγος παράλληλων γραμμών (Εικ. β)

6) Χ 2 –ένα 2 = 0 – ένα ζεύγος παράλληλων γραμμών (Εικ. γ)

7) y 2 = 0 - ευθείες που συμπίπτουν (άξονας OX)

8)χ 2 = 0 - ευθείες που συμπίπτουν (άξονας ΟΑ)

9) α 2 Χ 2 + σι 2 y 2 = 0 – βαθμός (0, 0)

10) φανταστική έλλειψη

11)y 2 + ένα 2 = 0 – ζεύγος φανταστικών γραμμών

12) x 2 + ένα 2 = 0 ζεύγος φανταστικών γραμμών.

Κάθε μία από αυτές τις εξισώσεις είναι μια εξίσωση γραμμής δεύτερης τάξης. Οι ευθείες που ορίζονται από τις εξισώσεις 4 – 12 καλούνται εκφυλισμένοςκαμπύλες δεύτερης τάξης.

Ας εξετάσουμε παραδείγματα μετατροπής της γενικής εξίσωσης μιας καμπύλης σε κανονική μορφή.

1) 9Χ 2 + 4στο 2 – 54Χ + 8στο+ 49 = 0 Þ (9 Χ 2 – 54Χ) + (4στο 2 + 8στο) + 49 = 0 Þ

9(Χ 2 – 6Χ+ 9) + 4(στο 2 + 2στο+ 1) – 81 – 4 + 49 = 0 Þ 9( Χ –3) 2 + 4(στο+ 1) = 36, Þ

.

Ας βάλουμε Χ¢ = Χ – 3, στο¢ = στο+ 1, παίρνουμε κανονική εξίσωσηέλλειψη . Ισότητες Χ¢ = Χ – 3, στο¢ = στο+ 1 καθορίζουν τον μετασχηματισμό της μεταφοράς του συστήματος συντεταγμένων στο σημείο (3, –1). Έχοντας κατασκευάσει το παλιό και το νέο σύστημα συντεταγμένων, δεν είναι δύσκολο να απεικονιστεί αυτή η έλλειψη.

2) 3στο 2 +4Χ– 12στο+8 = 0. Μετασχηματισμός:

(3στο 2 – 12στο)+ 4 Χ+8 = 0

3(στο 2 – 4στο+4) – 12 + 4 Χ +8 = 0

3(y – 2) 2 + 4(Χ –1) = 0

(στο – 2) 2 = – (Χ – 1) .

Ας βάλουμε Χ¢ = Χ – 1, στο¢ = στο– 2, παίρνουμε την εξίσωση της παραβολής στο¢ 2 = - Χ¢. Η επιλεγμένη αντικατάσταση αντιστοιχεί στη μεταφορά του συστήματος συντεταγμένων στο σημείο O¢(1,2).

Ιδιότητες ευθείας στην Ευκλείδεια γεωμετρία.

Ένας άπειρος αριθμός ευθειών μπορεί να σχεδιαστεί σε οποιοδήποτε σημείο.

Μέσω οποιωνδήποτε δύο σημείων που δεν συμπίπτουν μπορεί να σχεδιαστεί μια ευθεία γραμμή.

Δύο αποκλίνουσες ευθείες σε ένα επίπεδο είτε τέμνονται σε ένα μόνο σημείο είτε είναι

παράλληλη (ακολουθεί από την προηγούμενη).

Στον τρισδιάστατο χώρο, υπάρχουν τρεις επιλογές για τη σχετική θέση δύο γραμμών:

• γραμμές τέμνονται?

• οι γραμμές είναι παράλληλες.

• ευθείες γραμμές τέμνονται.

Ευθεία γραμμή— αλγεβρική καμπύλη πρώτης τάξης: ευθεία γραμμή στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

δίνεται στο επίπεδο από εξίσωση πρώτου βαθμού (γραμμική εξίσωση).

Γενική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Ορισμός. Οποιαδήποτε ευθεία γραμμή στο επίπεδο μπορεί να προσδιοριστεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης

Ax + Wu + C = 0,

και σταθερό Α, Βδεν είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται γενικός

εξίσωση ευθείας γραμμής.Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών Α, ΒΚαι ΜΕΕίναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- μια ευθεία διέρχεται από την αρχή

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Ω

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ευθεία παράλληλη προς τον άξονα OU

. B = C = 0, A ≠0- η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα OU

. A = C = 0, B ≠0- η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ω

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να παρουσιαστεί με διαφορετικές μορφές ανάλογα με κάθε δεδομένο

αρχικές συνθήκες.

Εξίσωση ευθείας από σημείο και κανονικό διάνυσμα.

Ορισμός. Σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένα διάνυσμα με συνιστώσες (Α, Β)

κάθετη στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση

Ax + Wu + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο A(1, 2)κάθετο στο διάνυσμα (3, -1).

Λύση. Με A = 3 και B = -1, ας συνθέσουμε την εξίσωση της ευθείας: 3x - y + C = 0. Για να βρούμε τον συντελεστή C

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου Α στην παράσταση που προκύπτει. Παίρνουμε: 3 - 2 + C = 0, επομένως

C = -1. Σύνολο: η απαιτούμενη εξίσωση: 3x - y - 1 = 0.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.

Αφήστε δύο σημεία να δίνονται στο διάστημα M 1 (x 1 , y 1 , z 1)Και M2 (x 2, y 2, z 2),Επειτα εξίσωση μιας γραμμής,

περνώντας από αυτά τα σημεία:

Εάν κάποιος από τους παρονομαστές είναι μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να ισούται με μηδέν. Επί

επίπεδο, η εξίσωση της ευθείας που γράφτηκε παραπάνω απλοποιείται:

Αν x 1 ≠ x 2Και x = x 1, Αν x 1 = x 2 .

Κλάσμα = κπου ονομάζεται κλίση ευθεία.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A(1, 2) και B(3, 4).

Λύση. Εφαρμόζοντας τον τύπο που γράφτηκε παραπάνω, παίρνουμε:

Εξίσωση ευθείας με χρήση σημείου και κλίσης.

Αν η γενική εξίσωση της ευθείας Ax + Wu + C = 0οδηγεί σε:

και ορίζουν , τότε καλείται η εξίσωση που προκύπτει

εξίσωση ευθείας με κλίση k.

Εξίσωση ευθείας από σημείο και διάνυσμα κατεύθυνσης.

Κατ' αναλογία με το σημείο που εξετάζει την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω του κανονικού διανύσματος, μπορείτε να εισαγάγετε την εργασία

μια ευθεία γραμμή μέσα από ένα σημείο και ένα κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής.

Ορισμός. Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα (α 1 , α 2), τα συστατικά του οποίου ικανοποιούν την προϋπόθεση

Αα 1 + Βα 2 = 0που ονομάζεται κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής.

Ax + Wu + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης (1, -1) και που διέρχεται από το σημείο Α(1, 2).

Λύση. Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της επιθυμητής γραμμής με τη μορφή: Ax + By + C = 0.Σύμφωνα με τον ορισμό,

Οι συντελεστές πρέπει να πληρούν τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

1 * A + (-1) * B = 0, δηλ. Α = Β.

Τότε η εξίσωση της ευθείας έχει τη μορφή: Ax + Ay + C = 0,ή x + y + C / A = 0.

στο x = 1, y = 2παίρνουμε C/A = -3, δηλ. απαιτούμενη εξίσωση:

x + y - 3 = 0

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Αх + Ву + С = 0 С≠0, τότε, διαιρώντας με -С, παίρνουμε:

ή πού

Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών είναι ότι ο συντελεστής a είναι η συντεταγμένη του σημείου τομής

ευθεία με άξονα Ω,ΕΝΑ σι- συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα OU.

Παράδειγμα. Δίνεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας x - y + 1 = 0.Βρείτε την εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Κανονική εξίσωση μιας γραμμής.

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης Ax + Wu + C = 0διαιρέστε με αριθμό η οποία ονομάζεται

κανονικοποιητικό παράγοντα, τότε παίρνουμε

xcosφ + ysinφ - p = 0 -κανονική εξίσωση μιας γραμμής.

Το πρόσημο ± του κανονικοποιητικού παράγοντα πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε μ*C< 0.

R- το μήκος της καθέτου που έπεσε από την αρχή στην ευθεία,

ΕΝΑ φ - τη γωνία που σχηματίζει αυτή η κάθετη με τη θετική φορά του άξονα Ω.

Παράδειγμα. Δίνεται η γενική εξίσωση της ευθείας 12x - 5y - 65 = 0. Απαιτείται για τη σύνταξη διαφορετικών τύπων εξισώσεων

αυτή η ευθεία γραμμή.

Η εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα:

Η εξίσωση αυτής της ευθείας με την κλίση: (διαιρέστε με 5)

Εξίσωση μιας ευθείας:

cos φ = 12/13; αμαρτία φ= -5/13; p = 5.

Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε ευθεία με μια εξίσωση σε τμήματα, για παράδειγμα, ευθείες,

παράλληλα με τους άξονες ή περνώντας από την αρχή.

Η γωνία μεταξύ ευθειών σε ένα επίπεδο.

Ορισμός. Αν δίνονται δύο γραμμές y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών

θα οριστεί ως

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2. Δύο ευθείες είναι κάθετες

Αν k 1 = -1 / k 2 .

Θεώρημα.

Απευθείας Ax + Wu + C = 0Και A 1 x + B 1 y + C 1 = 0παράλληλη όταν οι συντελεστές είναι ανάλογοι

A 1 = λA, B 1 = λB. Αν επίσης С 1 = λС, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών

βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των γραμμών.

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.

Ορισμός. Γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο M 1 (x 1, y 1)και κάθετα στη γραμμή y = kx + b

παριστάνεται από την εξίσωση:

Απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.

Θεώρημα. Αν δοθεί ένας βαθμός M(x 0, y 0),τότε η απόσταση από την ευθεία Ax + Wu + C = 0οριζεται ως:

Απόδειξη. Αφήστε το θέμα M 1 (x 1, y 1)- η βάση μιας καθέτου έπεσε από ένα σημείο Μγια ένα δεδομένο

απευθείας. Στη συνέχεια η απόσταση μεταξύ των σημείων ΜΚαι Μ 1:

(1)

Συντεταγμένες x 1Και στο 1μπορεί να βρεθεί ως λύση στο σύστημα εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετα

δεδομένη ευθεία γραμμή. Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Εάν το PDCS εισάγεται στο επίπεδο, τότε οποιαδήποτε εξίσωση πρώτου βαθμού σε σχέση με τις τρέχουσες συντεταγμένες και

, (5)

Οπου Και δεν είναι ίσα με μηδέν ταυτόχρονα, ορίζει μια ευθεία γραμμή.

Η αντίστροφη πρόταση είναι επίσης αληθής: στο PDSC, οποιαδήποτε ευθεία μπορεί να προσδιοριστεί με μια εξίσωση πρώτου βαθμού της μορφής (5).

Καλείται εξίσωση της μορφής (5). γενική εξίσωση της γραμμής .

Ειδικές περιπτώσεις της εξίσωσης (5) δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

	Η τιμή των συντελεστών	Εξίσωση γραμμής	Ευθεία θέση
			Η ευθεία διέρχεται από την αρχή
			Ευθεία παράλληλη προς τον άξονα
			Ευθεία παράλληλη προς τον άξονα
			Η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα
			Η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα

Εξίσωση ευθείας με κλίση και αρχική τεταγμένη.

U αίγλη κλίσης της ευθείας προς τον άξονα
ονομάζεται η μικρότερη γωνία
, με το οποίο πρέπει να περιστρέψετε τον άξονα της τετμημένης αριστερόστροφα μέχρι να συμπέσει με αυτήν την ευθεία (Εικ. 6). Η κατεύθυνση οποιασδήποτε ευθείας γραμμής χαρακτηρίζεται από αυτήν κλίση , που ορίζεται ως η εφαπτομένη της γωνίας κλίσης
αυτή η ευθεία, δηλ.

.

Η μόνη εξαίρεση είναι μια ευθεία κάθετη στον άξονα
, που δεν έχει κλίση.

Εξίσωση ευθείας με κλίση και τέμνοντας τον άξονα
σε σημείο του οποίου η τεταγμένη είναι ίση με (αρχική τεταγμένη) , γράφεται στη μορφή

.

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα ονομάζεται εξίσωση της μορφής

, (6)

Οπου Και
αντίστοιχα, τα μήκη των τμημάτων που κόβονται από την ευθεία στους άξονες συντεταγμένων, που λαμβάνονται με ορισμένα πρόσημα.

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη κατεύθυνση. Μάτσο ευθείες γραμμές

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο
και έχοντας κλίση γραμμένο στη μορφή

. (7)

Ένα σωρό ευθείες γραμμές είναι μια συλλογή ευθειών σε ένα επίπεδο που διέρχεται από ένα σημείο
κέντρο δοκού. Εάν οι συντεταγμένες του κέντρου της δέσμης είναι γνωστές, τότε η εξίσωση (8) μπορεί να θεωρηθεί ως εξίσωση δέσμης, καθώς οποιαδήποτε ευθεία γραμμή της δέσμης μπορεί να ληφθεί από την εξίσωση (8) με την κατάλληλη τιμή του γωνιακού συντελεστή (η εξαίρεση είναι μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη προς τον άξονα
την εξίσωσή της
).

Αν είναι γνωστές οι γενικές εξισώσεις δύο γραμμών που ανήκουν στο μολύβι
και (γεννήτριες της δέσμης), τότε η εξίσωση οποιασδήποτε γραμμής από αυτή τη δέσμη μπορεί να γραφτεί με τη μορφή

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία
Και
, έχει τη μορφή

.

Αν πόντοι
Και
καθορίστε μια ευθεία παράλληλη προς τον άξονα

ή τσεκούρια

, τότε η εξίσωση μιας τέτοιας γραμμής γράφεται ανάλογα στη μορφή

ή
.

Η σχετική θέση δύο ευθειών. Γωνία μεταξύ ευθειών. Παράλληλη κατάσταση. Συνθήκη καθετότητας

Η σχετική θέση δύο ευθειών που δίνονται από γενικές εξισώσεις

Και ,

παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.

Κάτω από γωνία μεταξύ δύο ευθειών αναφέρεται σε μία από τις παρακείμενες γωνίες που σχηματίζονται όταν τέμνονται. Οξεία γωνία μεταξύ ευθειών
Μ
, καθορίζεται από τον τύπο

.

Σημειώστε ότι εάν τουλάχιστον μία από αυτές τις ευθείες είναι παράλληλη προς τον άξονα
, τότε ο τύπος (11) δεν έχει νόημα, οπότε θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές εξισώσεις των ευθειών

Και .

ο τύπος (11) θα λάβει τη μορφή

.

Παράλληλη κατάσταση:

ή
.

Συνθήκη καθετότητας:

ή
.

Κανονική εξίσωση μιας γραμμής. Απόσταση σημείου από ευθεία. Διχοτόμους εξισώσεις

Κανονική εξίσωση μιας γραμμής μοιάζει με

Οπου
το μήκος της κάθετης (κανονικής) που χαμηλώνει από την αρχή στην ευθεία,
η γωνία κλίσης αυτής της κάθετης προς τον άξονα
. Να δώσετε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας
σε κανονική μορφή, πρέπει να πολλαπλασιάσετε και τις δύο πλευρές της ισότητας (12) επί κανονικοποιητικό παράγοντα
, που λαμβάνεται με το πρόσημο απέναντι από το πρόσημο του ελεύθερου όρου .

Απόσταση σημεία
από την ευθεία βρείτε το χρησιμοποιώντας τύπους

. (9)

Εξίσωση διχοτόμων γωνιών μεταξύ ευθειών
Και :

.

Πρόβλημα 16.Δίνεται ευθεία γραμμή
. Να γράψετε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο
παράλληλα με αυτή τη γραμμή.

Λύση.Σύμφωνα με την συνθήκη των παράλληλων ευθειών
. Για να λύσουμε το πρόβλημα θα χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο
προς αυτή την κατεύθυνση (8):

.

Ας βρούμε την κλίση αυτής της γραμμής. Για να γίνει αυτό, μετακινούμαστε από τη γενική εξίσωση της ευθείας (5) στην εξίσωση με τον γωνιακό συντελεστή (6) (εκφράζουμε διά μέσου ):

Ως εκ τούτου,
.

Πρόβλημα 17. Βρείτε ένα σημείο
, συμμετρικά ως προς το σημείο
, σχετικά ίσιο
.

Λύση.Για να βρείτε ένα σημείο συμμετρικό σε ένα σημείο σχετικά ευθεία (Εικ.7) είναι απαραίτητο:

1) χαμηλότερα από το σημείο κατευθείαν κάθετος,

2) βρείτε τη βάση αυτής της καθέτου
σημείο ,

3) στη συνέχεια της καθέτου, αφήστε στην άκρη ένα τμήμα
.

Ας γράψουμε λοιπόν την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο κάθετη σε αυτή τη γραμμή. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο σε μια δεδομένη κατεύθυνση (8):

.

Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου
:

. (11)

Βρίσκουμε τον γωνιακό συντελεστή από την συνθήκη της καθετότητας των ευθειών:

.

Η κλίση αυτής της γραμμής

,

επομένως η κλίση της κάθετης ευθείας

.

Ας το αντικαταστήσουμε με την εξίσωση (11):

Στη συνέχεια, ας βρούμε το νόημα
το σημείο τομής μιας δεδομένης ευθείας και μιας ευθείας κάθετης σε αυτήν. Από το σημείο ανήκει και στις δύο ευθείες, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν τις εξισώσεις τους. Αυτό σημαίνει ότι για να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου τομής, είναι απαραίτητο να λυθεί ένα σύστημα εξισώσεων που αποτελείται από τις εξισώσεις αυτών των ευθειών:

Λύση συστήματος
,
, δηλ.
.

Τελεία είναι το μέσο του τμήματος
, στη συνέχεια από τους τύπους (4):

,
,

βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου
:

Έτσι, το επιθυμητό σημείο
.

Πρόβλημα 18.Να φτιάξετε μια εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο
και κόβει ένα τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με 150 τετραγωνικά μονάδες από τη γωνία συντεταγμένων. (Εικ.8).

Λύση. Για να λύσουμε το πρόβλημα, θα χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση της ευθείας «σε τμήματα» (7):

. (12)

Από το σημείο
βρίσκεται στην επιθυμητή γραμμή, τότε οι συντεταγμένες της πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση αυτής της γραμμής:

.

Το εμβαδόν ενός τριγώνου που αποκόπτεται από μια ευθεία γραμμή από μια γωνία συντεταγμένων υπολογίζεται από τον τύπο:

(η ενότητα είναι γραμμένη επειδή Και μπορεί να είναι αρνητικό).

Έτσι, έχουμε αποκτήσει ένα σύστημα εύρεσης παραμέτρων Και :

Αυτό το σύστημα είναι ισοδύναμο με δύο συστήματα:

Λύση του πρώτου συστήματος
,
Και
,
.

Λύση του δεύτερου συστήματος
,
Και
,
.

Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρέθηκαν στην εξίσωση (12):

,
,
,
.

Ας γράψουμε τις γενικές εξισώσεις αυτών των γραμμών:

,
,
,
.

Πρόβλημα 19. Υπολογίστε την απόσταση μεταξύ παράλληλων ευθειών
Και
.

Λύση.Η απόσταση μεταξύ των παράλληλων γραμμών είναι ίση με την απόσταση ενός αυθαίρετου σημείου σε μια ευθεία από τη δεύτερη ευθεία.

Ας επιλέξουμε σε ευθεία γραμμή σημείο
αυθαίρετα, επομένως, μπορείτε να καθορίσετε μία συντεταγμένη, π.χ
, Επειτα
.

Τώρα ας βρούμε την απόσταση του σημείου σε ευθεία γραμμή σύμφωνα με τον τύπο (10):

.

Έτσι, η απόσταση μεταξύ αυτών των παράλληλων ευθειών είναι ίση.

Πρόβλημα 20.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών
Και
(μη εύρεση του σημείου τομής) και

Λύση. 1) Ας γράψουμε την εξίσωση ενός μολυβιού γραμμών με γνωστές γεννήτριες (9):

Τότε η επιθυμητή ευθεία έχει την εξίσωση

Απαιτείται η εύρεση τέτοιων τιμών
Και , για την οποία η ευθεία της δοκού θα περάσει από το σημείο
, δηλαδή οι συντεταγμένες του πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση (13):

Ας αντικαταστήσουμε αυτό που βρήκαμε
στην εξίσωση (13) και μετά από απλοποίηση παίρνουμε την επιθυμητή ευθεία:

.

.

Ας χρησιμοποιήσουμε την συνθήκη των παράλληλων ευθειών:
. Ας βρούμε τις κλίσεις των γραμμών Και . Το έχουμε αυτό
,
.

Ως εκ τούτου,

Ας αντικαταστήσουμε την τιμή που βρέθηκε
στην εξίσωση (13) και απλοποιώντας, λαμβάνουμε την εξίσωση της επιθυμητής ευθείας
.

Προβλήματα για ανεξάρτητη λύση.

Πρόβλημα 21.Γράψτε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία
Και
: 1) με γωνιακό συντελεστή. 2) γενική? 3) "σε τμήματα".

Πρόβλημα 22.Να γράψετε μια εξίσωση για μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο και σχηματίζει με τον άξονα
γωνία
, αν 1)
,
; 2)
,
.

Πρόβλημα 23.Γράψτε εξισώσεις για τις πλευρές ενός ρόμβου με διαγώνιους 10 cm και 6 cm, λαμβάνοντας ως άξονα την κύρια διαγώνιο
, και λιγότερα
ανά άξονα
.

Πρόβλημα 24.Ισόπλευρο τρίγωνο
με πλευρά ίση με 2 μονάδες, που βρίσκεται όπως φαίνεται στο σχήμα 9. Γράψτε τις εξισώσεις των πλευρών του.

Πρόβλημα 25. Μέσα από το σημείο
σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή αποκόπτοντας ίσα τμήματα στους θετικούς ημιάξονες των συντεταγμένων.

Πρόβλημα 26. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που αποκόπτεται από μια ευθεία γραμμή από τη γωνία συντεταγμένων:

1)
; 2)
.

Πρόβλημα 27.Γράψτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και η περιοχή που αποκόπτει το τρίγωνο από τη γωνία συντεταγμένων είναι ίση με , Αν

1)
,
πλ. μονάδες? 2)
,
πλ. μονάδες

Πρόβλημα 28.Δίνονται οι κορυφές ενός τριγώνου
. Να βρείτε την εξίσωση της μέσης γραμμής παράλληλης προς την πλευρά
, Αν

Η γενική εξίσωση μιας καμπύλης δεύτερης τάξης σε ένα επίπεδο έχει τη μορφή:

Τσεκούρι 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + φά = 0, (39)

Οπου ΕΝΑ 2 + σι 2 + ντο 2 0, (ΕΝΑ, σι, ντο, ρε, μι, φά) R. Ορίζει όλες τις πιθανές κωνικές τομές που βρίσκονται αυθαίρετα στο επίπεδο.

Από τους συντελεστές της εξίσωσης (39) συνθέτουμε δύο ορίζοντες:

Που ονομάζεται διάκριση της εξίσωσης(39) και - διακρίνοντας τους κύριους όρους της εξίσωσης.Στο 0, η εξίσωση (39) προσδιορίζει: > 0 - έλλειψη.< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

Από τη γενική εξίσωση (39) μπορούμε να πάμε στην κανονική εξίσωση αν εξαλείψουμε τους γραμμικούς και σταυρούς όρους πηγαίνοντας στο νέο σύστημασυντεταγμένες που συμπίπτουν με τους άξονες συμμετρίας του σχήματος. Ας αντικαταστήσουμε το (39) Χεπί Χ + έναΚαι yεπί y + σι, Οπου ένα, σικάποιες σταθερές. Ας γράψουμε τους ληφθέντες συντελεστές για ΧΚαι yκαι εξισώστε τα με 0

(Αα + ΒΒ + ρε)Χ = 0, (Cb + Ba + μι)y = 0. (41)

Ως αποτέλεσμα, η εξίσωση (39) θα πάρει τη μορφή:

ΕΝΑ(Χ) 2 + 2σι(Χ)(y) + ντο(y) 2 + φά = 0, (42)

που είναι οι συντελεστές ΕΝΑ, σι, ντοδεν έχουν αλλάξει, αλλά φά= / . Η λύση του συστήματος των εξισώσεων (41) θα καθορίσει τις συντεταγμένες του κέντρου συμμετρίας του σχήματος:

Αν σι= 0, λοιπόν ένα = -ρε/ΕΝΑ, σι = -μι/ντοκαι είναι βολικό να εξαλειφθούν οι γραμμικοί όροι στο (39) με τη μέθοδο της αναγωγής σε τέλειο τετράγωνο:

Τσεκούρι 2 + 2Dx = ΕΝΑ(Χ 2 + 2XD/ΕΝΑ + (ρε/ΕΝΑ) 2 - (ρε/ΕΝΑ) 2) = ΕΝΑ(Χ + ρε/ΕΝΑ) 2 - ρε 2 /ΕΝΑ.

Στην εξίσωση (42) περιστρέφουμε τις συντεταγμένες κατά γωνία α (38). Ας γράψουμε τον συντελεστή που προκύπτει για τον σταυρό Χyκαι ορίστε το ίσο με 0

xy = 0. (44)

Η συνθήκη (44) καθορίζει την απαιτούμενη γωνία περιστροφής των αξόνων συντεταγμένων μέχρι να συμπίπτουν με τους άξονες συμμετρίας του σχήματος και παίρνει τη μορφή:

Η εξίσωση (42) έχει τη μορφή:

ΕΝΑ+X2+ ντο + Υ 2 + φά = 0 (46)

από την οποία είναι εύκολο να πάμε στην κανονική εξίσωση της καμπύλης:

Πιθανότητα ΕΝΑ + , ντοΤο + , υπό την συνθήκη (45), μπορεί να αναπαρασταθεί ως οι ρίζες μιας βοηθητικής τετραγωνικής εξίσωσης:

t 2 - (ΕΝΑ + ντο)t + = 0. (48)

Ως αποτέλεσμα, καθορίζεται η θέση και η κατεύθυνση των αξόνων συμμετρίας του σχήματος, του ημιάξονά του:

και μπορεί να κατασκευαστεί γεωμετρικά.

Στην περίπτωση = 0 έχουμε παραβολή. Αν ο άξονας συμμετρίας του είναι παράλληλος προς τον άξονα Ω, τότε η εξίσωση μειώνεται σε:

αν όχι, τότε κοιτάξτε:

όπου οι εκφράσεις σε αγκύλες, ίσες με 0, ορίζουν τις γραμμές των νέων αξόνων συντεταγμένων: , .

Επίλυση κοινών προβλημάτων

Παράδειγμα 15.Δώστε την εξίσωση 2 Χ 2 + 3y 2 - 4Χ + 6y- 7 = 0 σε κανονική μορφή και κατασκευή καμπύλης.

Λύση. σι= 0, = -72 0, = 6 > 0 έλλειψη.

Ας κάνουμε μια αναγωγή σε τέλειο τετράγωνο:

2(Χ - 1) 2 + 3(y + 1) 2 - 12 = 0.

Συντεταγμένες του κέντρου συμμετρίας (1; -1), γραμμικός μετασχηματισμός Χ = Χ - 1, Υ = y+ 1 φέρνει την εξίσωση σε κανονική μορφή.

Παράδειγμα 16.Δώστε την εξίσωση 2 xy = ένα 2 σε κανονική μορφή και κατασκευή καμπύλης.

Λύση. σι = 1, = ένα 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Το κέντρο του συστήματος συντεταγμένων βρίσκεται στο κέντρο συμμετρίας της καμπύλης, επειδή δεν υπάρχουν γραμμικοί όροι στην εξίσωση. Ας περιστρέψουμε τους άξονες κατά γωνία α. Σύμφωνα με τον τύπο (45) έχουμε tan2a = σι/(ΕΝΑ - ντο) = , δηλ. a = 45°. Συντελεστές της κανονικής εξίσωσης (46) ΕΝΑ + , ντοΤα + καθορίζονται από την εξίσωση (48): t 2 = 1 ή t 1,2 = 1 ΕΝΑ + = 1, ντο+ = -1, δηλ.
Χ 2 - Υ 2 = ένα 2 ή . Άρα η εξίσωση 2 xy = ΕΝΑΤο 2 περιγράφει μια υπερβολή με κέντρο συμμετρίας στο (0; 0). Οι άξονες συμμετρίας βρίσκονται κατά μήκος των διχοτόμων των γωνιών συντεταγμένων, οι άξονες συντεταγμένων χρησιμεύουν ως ασύμπτωτες, οι ημιάξονες της υπερβολής είναι ίσοι ΕΝΑ.y - 9 =0;

9Χ 2 + y 2 - 18Χ + 2y + 1 = 0;

2Χ 2 + 4Χ + y - 2 = 0;

3Χ 2 - 6Χ - y + 2 = 0;

-Χ 2 + 4y 2 - 8Χ - 9y + 16 = 0;

4Χ 2 + 8Χ - y - 5 = 0;

9Χ 2 - y 2 + 18Χ + 2y - 1 = 0;

9Χ 2 - 4y 2 + 36Χ + 16y - 16 = 0.

Σε αυτό το άρθρο θα εξετάσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε ένα επίπεδο. Ας δώσουμε παραδείγματα κατασκευής μιας γενικής εξίσωσης μιας ευθείας εάν δύο σημεία αυτής της ευθείας είναι γνωστά ή εάν ένα σημείο και το κανονικό διάνυσμα αυτής της ευθείας είναι γνωστά. Ας παρουσιάσουμε μεθόδους για τη μετατροπή μιας εξίσωσης σε γενική μορφή σε κανονικές και παραμετρικές μορφές.

Ας δοθεί ένα αυθαίρετο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxy. Θεωρήστε την εξίσωση του πρώτου βαθμού ή γραμμική εξίσωση:

Ax+By+C=0,

(1)

Οπου Α, Β, Γ− μερικές σταθερές και τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία ΕΝΑΚαι σιδιαφορετικό από το μηδέν.

Θα δείξουμε ότι μια γραμμική εξίσωση σε ένα επίπεδο ορίζει μια ευθεία γραμμή. Ας αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα 1. Σε ένα αυθαίρετο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο, κάθε ευθεία μπορεί να προσδιοριστεί με μια γραμμική εξίσωση. Αντίστροφα, κάθε γραμμική εξίσωση (1) σε ένα αυθαίρετο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο ορίζει μια ευθεία γραμμή.

Απόδειξη. Αρκεί να αποδείξουμε ότι η ευθεία μεγάλοκαθορίζεται από μια γραμμική εξίσωση για οποιοδήποτε καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, αφού τότε θα προσδιοριστεί από μια γραμμική εξίσωση για οποιαδήποτε επιλογή καρτεσιανού ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων.

Αφήστε μια ευθεία γραμμή να δοθεί στο επίπεδο μεγάλο. Ας επιλέξουμε ένα σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε ο άξονας Βόδισυνέπεσε με μια ευθεία γραμμή μεγάλο, και τον άξονα Oyήταν κάθετη σε αυτό. Στη συνέχεια η εξίσωση της ευθείας μεγάλοθα λάβει την εξής μορφή:

y=0.

(2)

Όλα τα σημεία σε μια γραμμή μεγάλοθα ικανοποιεί τη γραμμική εξίσωση (2) και όλα τα σημεία εκτός αυτής της γραμμής δεν θα ικανοποιούν την εξίσωση (2). Το πρώτο μέρος του θεωρήματος έχει αποδειχθεί.

Έστω ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και ας δοθεί μια γραμμική εξίσωση (1), όπου τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία ΕΝΑΚαι σιδιαφορετικό από το μηδέν. Ας βρούμε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση (1). Δεδομένου ότι τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές ΕΝΑΚαι σιείναι διαφορετική από το μηδέν, τότε η εξίσωση (1) έχει τουλάχιστον μία λύση Μ(Χ 0 ,y 0). (Για παράδειγμα, πότε ΕΝΑ≠0, σημείο Μ 0 (−C/A, 0) ανήκει στον δεδομένο γεωμετρικό τόπο σημείων). Αντικαθιστώντας αυτές τις συντεταγμένες σε (1) παίρνουμε την ταυτότητα

Τσεκούρι 0 +Με 0 +ντο=0.

(3)

Ας αφαιρέσουμε την ταυτότητα (3) από το (1):

ΕΝΑ(Χ−Χ 0)+σι(y−y 0)=0.

(4)

Προφανώς, η εξίσωση (4) είναι ισοδύναμη με την εξίσωση (1). Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι το (4) ορίζει μια συγκεκριμένη γραμμή.

Εφόσον εξετάζουμε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, από την ισότητα (4) προκύπτει ότι το διάνυσμα με συνιστώσες ( x−x 0 , y−y 0 ) ορθογώνια ως προς το διάνυσμα nμε συντεταγμένες ( Α, Β}.

Ας εξετάσουμε μια ευθεία γραμμή μεγάλο, περνώντας από το σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0) και κάθετα στο διάνυσμα n(Εικ.1). Αφήστε το θέμα Μ(Χ,y) ανήκει στη γραμμή μεγάλο. Στη συνέχεια το διάνυσμα με συντεταγμένες x−x 0 , y−y 0 κάθετη nκαι η εξίσωση (4) ικανοποιείται (βαθμωτό γινόμενο διανυσμάτων nκαι ίσο με μηδέν). Αντίθετα, αν σημείο Μ(Χ,y) δεν βρίσκεται σε μια γραμμή μεγάλο, μετά το διάνυσμα με συντεταγμένες x−x 0 , y−yΤο 0 δεν είναι ορθογώνιο στο διάνυσμα nκαι η εξίσωση (4) δεν ικανοποιείται. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Απόδειξη. Εφόσον οι γραμμές (5) και (6) ορίζουν την ίδια ευθεία, τότε τα κανονικά διανύσματα n 1 ={ΕΝΑ 1 ,σι 1) και n 2 ={ΕΝΑ 2 ,σι 2) συγγραμμικό. Δεδομένου ότι οι φορείς n 1 ≠0, n 2 ≠0, τότε υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός λ , Τι n 2 =n 1 λ . Από εδώ έχουμε: ΕΝΑ 2 =ΕΝΑ 1 λ , σι 2 =σι 1 λ . Ας το αποδείξουμε ντο 2 =ντο 1 λ . Προφανώς, οι γραμμές που συμπίπτουν έχουν ένα κοινό σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0). Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (5) επί λ και αφαιρώντας την εξίσωση (6) από αυτήν παίρνουμε:

Αφού οι δύο πρώτες ισότητες από τις εκφράσεις (7) ικανοποιούνται, τότε ντο 1 λ −ντο 2 =0. Εκείνοι. ντο 2 =ντο 1 λ . Η παρατήρηση έχει αποδειχθεί.

Σημειώστε ότι η εξίσωση (4) ορίζει την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0) και έχοντας ένα κανονικό διάνυσμα n={Α, Β). Επομένως, εάν το κανονικό διάνυσμα μιας ευθείας και το σημείο που ανήκει σε αυτή τη γραμμή είναι γνωστά, τότε η γενική εξίσωση της ευθείας μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας την εξίσωση (4).

Παράδειγμα 1. Μια ευθεία διέρχεται από ένα σημείο Μ=(4,−1) και έχει κανονικό διάνυσμα n=(3, 5). Κατασκευάστε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας.

Λύση. Εχουμε: Χ 0 =4, y 0 =−1, ΕΝΑ=3, σι=5. Για να κατασκευάσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στην εξίσωση (4):

Απάντηση:

Το διάνυσμα είναι παράλληλο με την ευθεία μεγάλοκαι, επομένως, κάθετα στο κανονικό διάνυσμα της ευθείας μεγάλο. Ας κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα κανονικής γραμμής μεγάλο, λαμβάνοντας υπόψη ότι το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων nκαι ίσο με μηδέν. Μπορούμε να γράψουμε, για παράδειγμα, n={1,−3}.

Για να κατασκευάσουμε τη γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, χρησιμοποιούμε τον τύπο (4). Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες του σημείου σε (4) Μ 1 (μπορούμε να πάρουμε και τις συντεταγμένες του σημείου Μ 2) και κανονικό διάνυσμα n:

Αντικατάσταση των συντεταγμένων των σημείων Μ 1 και Μ 2 στο (9) μπορούμε να βεβαιωθούμε ότι η ευθεία δίνεται από την εξίσωσηΤο (9) διέρχεται από αυτά τα σημεία.

Απάντηση:

Αφαιρέστε το (10) από το (1):

Λάβαμε την κανονική εξίσωση της γραμμής. Διάνυσμα q={−σι, ΕΝΑ) είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας (12).

Δείτε την αντίστροφη μετατροπή.

Παράδειγμα 3. Μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο αντιπροσωπεύεται από την ακόλουθη γενική εξίσωση:

Ας μετακινήσουμε τον δεύτερο όρο προς τα δεξιά και ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 2,5.