Ιστορία

Ορισμός 1

Έγινε η ερώτηση στον Λέοναρντ Όιλερ: είναι δυνατόν, περπατώντας γύρω από το Koenigsberg, να παρακάμψετε όλες τις γέφυρες της πόλης χωρίς να περάσετε από καμία από αυτές δύο φορές. Επισυνάπτεται ένα σχέδιο της πόλης με επτά γέφυρες.

Σε ένα γράμμα σε έναν Ιταλό μαθηματικό που γνώριζε, ο Euler έδωσε μια σύντομη και όμορφη λύση στο πρόβλημα των γεφυρών Königsberg: με μια τέτοια διάταξη, το πρόβλημα είναι άλυτο. Παράλληλα, έδειξε ότι η ερώτηση του φαινόταν ενδιαφέρουσα, γιατί. «Ούτε η γεωμετρία ούτε η άλγεβρα αρκούν για τη λύση της...».

Όταν έλυνε πολλά προβλήματα, ο L. Euler απεικόνιζε σύνολα χρησιμοποιώντας κύκλους, γι' αυτό και ονομάστηκαν "Οι κύκλοι του Euler". Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε ακόμη νωρίτερα από τον Γερμανό φιλόσοφο και μαθηματικό Gottfried Leibniz, ο οποίος τη χρησιμοποίησε για να εξηγήσει γεωμετρικά τις λογικές σχέσεις μεταξύ των εννοιών, αλλά πιο συχνά χρησιμοποιούσε γραμμικά διαγράμματα. Ο Euler, από την άλλη, ανέπτυξε τη μέθοδο αρκετά διεξοδικά. Οι γραφικές μέθοδοι έγιναν ιδιαίτερα διάσημες χάρη στον Άγγλο λογικό και φιλόσοφο John Venn, ο οποίος εισήγαγε τα διαγράμματα Venn και παρόμοια σχήματα ονομάζονται συχνά Διαγράμματα Euler-Venn. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς, για παράδειγμα, στη θεωρία συνόλων, τη θεωρία πιθανοτήτων, τη λογική, τη στατιστική και την επιστήμη των υπολογιστών.

Αρχή διαγράμματος

Μέχρι τώρα, τα διαγράμματα Euler-Venn χρησιμοποιούνται ευρέως για να απεικονίσουν σχηματικά όλες τις πιθανές διασταυρώσεις πολλών συνόλων. Τα διαγράμματα δείχνουν όλους τους συνδυασμούς $2^n$ n ιδιοτήτων. Για παράδειγμα, για $n=3$, το διάγραμμα δείχνει τρεις κύκλους με κέντρα στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου και την ίδια ακτίνα, η οποία είναι περίπου ίση με το μήκος της πλευράς του τριγώνου.

Οι λογικές πράξεις ορίζουν πίνακες αλήθειας. Το διάγραμμα δείχνει έναν κύκλο με το όνομα του συνόλου που αντιπροσωπεύει, για παράδειγμα, $A$. Η περιοχή στη μέση του κύκλου $A$ θα εμφανίζει την αλήθεια της έκφρασης $A$ και η περιοχή έξω από τον κύκλο - false. Για να εμφανιστεί μια λογική πράξη, σκιάζονται μόνο εκείνες οι περιοχές στις οποίες οι τιμές της λογικής λειτουργίας για τα σύνολα $A$ και $B$ είναι αληθείς.

Για παράδειγμα, ο συνδυασμός δύο συνόλων $A$ και $B$ είναι αληθής μόνο εάν και τα δύο σύνολα είναι αληθή. Σε αυτήν την περίπτωση, το αποτέλεσμα του συνδυασμού των $A$ και $B$ στο διάγραμμα θα είναι η περιοχή στη μέση των κύκλων, η οποία ανήκει ταυτόχρονα στο σύνολο $A$ και στο σύνολο $B$ (η τομή του σκηνικά).

Εικόνα 1. Σύνδεση συνόλων $A$ και $B$

Χρησιμοποιώντας διαγράμματα Euler-Venn για την απόδειξη λογικών ισοτήτων

Ας εξετάσουμε πώς χρησιμοποιείται η μέθοδος κατασκευής διαγραμμάτων Euler-Venn για την απόδειξη λογικών ισοτήτων.

Ας αποδείξουμε τον νόμο de Morgan, ο οποίος περιγράφεται από την ισότητα:

Απόδειξη:

Εικόνα 4. Αντιστροφή $A$

Εικόνα 5. Αντιστροφή $B$

Εικόνα 6. Σύνδεση των αντιστροφών $A$ και $B$

Αφού συγκρίνουμε το εμβαδόν για την εμφάνιση του αριστερού και του δεξιού μέρους, βλέπουμε ότι είναι ίσα. Από αυτό προκύπτει η εγκυρότητα της λογικής ισότητας. Ο νόμος του De Morgan αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας διαγράμματα Euler-Venn.

Επίλυση του προβλήματος της αναζήτησης πληροφοριών στο Διαδίκτυο με χρήση διαγραμμάτων Euler-Venn

Για να αναζητήσετε πληροφορίες στο Διαδίκτυο, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε ερωτήματα αναζήτησης με λογικές συνδέσεις παρόμοιες σε νόημα με τις ενώσεις "και", "ή" της ρωσικής γλώσσας. Η έννοια των λογικών συνδέσμων γίνεται πιο ξεκάθαρη αν τα απεικονίσουμε με τη βοήθεια των διαγραμμάτων Euler-Venn.

Παράδειγμα 1

Ο πίνακας δείχνει παραδείγματα ερωτημάτων στον διακομιστή αναζήτησης. Κάθε αίτημα έχει τον δικό του κωδικό - ένα γράμμα από $A$ έως $B$. Πρέπει να τακτοποιήσετε τους κωδικούς αιτημάτων σε φθίνουσα σειρά του αριθμού των σελίδων που βρέθηκαν για κάθε αίτημα.

Εικόνα 7

Λύση:

Ας φτιάξουμε ένα διάγραμμα Euler-Venn για κάθε ερώτημα:

Εικόνα 8

Απάντηση: BVA.

Επίλυση ενός λογικού ουσιαστικού προβλήματος χρησιμοποιώντας διαγράμματα Euler-Venn

Παράδειγμα 2

Κατά τη διάρκεια των χειμερινών διακοπών, από τους μαθητές των $36$ στην τάξη των $2$, δεν πήγαν σινεμά, θέατρο ή τσίρκο. $25 $ οι άνθρωποι πήγαν στον κινηματογράφο, $11 $ στο θέατρο, $17 $ στο τσίρκο. τόσο στον κινηματογράφο όσο και στο θέατρο - $6 $. και στον κινηματογράφο και στο τσίρκο - $10 $. και στο θέατρο και στο τσίρκο - 4$.

Πόσα άτομα έχουν επισκεφτεί τον κινηματογράφο, το θέατρο και το τσίρκο;

Λύση:

Ας υποδηλώσουμε τον αριθμό των ανδρών που έχουν πάει στον κινηματογράφο, το θέατρο και το τσίρκο - $x$.

Ας φτιάξουμε ένα διάγραμμα και ας μάθουμε τον αριθμό των ανδρών σε κάθε περιοχή:

Εικόνα 9

Δεν ήταν στο θέατρο, ούτε στον κινηματογράφο, ούτε στο τσίρκο - 2 $ ανά άτομο.

Άρα 36 $ - 2 = 34 $ άτομα. παρακολούθησαν εκδηλώσεις.

$6$ οι άνθρωποι πήγαν στον κινηματογράφο και στο θέατρο, που σημαίνει ότι μόνο ($6 - x)$ οι άνθρωποι πήγαν στον κινηματογράφο και στο θέατρο.

$10 $ άνθρωποι πήγαν στον κινηματογράφο και στο τσίρκο, έτσι μόνο στον κινηματογράφο και στο τσίρκο ($10 - x $) άνθρωποι.

$4$ οι άνθρωποι πήγαιναν στο θέατρο και στο τσίρκο, που σημαίνει ότι μόνο το θέατρο και το τσίρκο ($4 - x$) πήγαιναν στο θέατρο και στο τσίρκο.

$25$ οι άνθρωποι πήγαν στον κινηματογράφο, που σημαίνει ότι μόνο $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ πήγαν στον κινηματογράφο.

Ομοίως, μόνο ($1+x$) άτομα πήγαν στο θέατρο.

Μόνο (3$+x$) άτομα πήγαν στο τσίρκο.

Έτσι, πήγαμε στο θέατρο, τον κινηματογράφο και το τσίρκο:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;

Εκείνοι. μόνο ένα άτομο πήγε στο θέατρο, στον κινηματογράφο και στο τσίρκο.

Ιστορία

Ορισμός 1

Έγινε η ερώτηση στον Λέοναρντ Όιλερ: είναι δυνατόν, περπατώντας γύρω από το Koenigsberg, να παρακάμψετε όλες τις γέφυρες της πόλης χωρίς να περάσετε από καμία από αυτές δύο φορές. Επισυνάπτεται ένα σχέδιο της πόλης με επτά γέφυρες.

Σε ένα γράμμα σε έναν Ιταλό μαθηματικό που γνώριζε, ο Euler έδωσε μια σύντομη και όμορφη λύση στο πρόβλημα των γεφυρών Königsberg: με μια τέτοια διάταξη, το πρόβλημα είναι άλυτο. Παράλληλα, έδειξε ότι η ερώτηση του φαινόταν ενδιαφέρουσα, γιατί. «Ούτε η γεωμετρία ούτε η άλγεβρα αρκούν για τη λύση της...».

Όταν έλυνε πολλά προβλήματα, ο L. Euler απεικόνιζε σύνολα χρησιμοποιώντας κύκλους, γι' αυτό και ονομάστηκαν "Οι κύκλοι του Euler". Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε ακόμη νωρίτερα από τον Γερμανό φιλόσοφο και μαθηματικό Gottfried Leibniz, ο οποίος τη χρησιμοποίησε για να εξηγήσει γεωμετρικά τις λογικές σχέσεις μεταξύ των εννοιών, αλλά πιο συχνά χρησιμοποιούσε γραμμικά διαγράμματα. Ο Euler, από την άλλη, ανέπτυξε τη μέθοδο αρκετά διεξοδικά. Οι γραφικές μέθοδοι έγιναν ιδιαίτερα διάσημες χάρη στον Άγγλο λογικό και φιλόσοφο John Venn, ο οποίος εισήγαγε τα διαγράμματα Venn και παρόμοια σχήματα ονομάζονται συχνά Διαγράμματα Euler-Venn. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς, για παράδειγμα, στη θεωρία συνόλων, τη θεωρία πιθανοτήτων, τη λογική, τη στατιστική και την επιστήμη των υπολογιστών.

Αρχή διαγράμματος

Μέχρι τώρα, τα διαγράμματα Euler-Venn χρησιμοποιούνται ευρέως για να απεικονίσουν σχηματικά όλες τις πιθανές διασταυρώσεις πολλών συνόλων. Τα διαγράμματα δείχνουν όλους τους συνδυασμούς $2^n$ n ιδιοτήτων. Για παράδειγμα, για $n=3$, το διάγραμμα δείχνει τρεις κύκλους με κέντρα στις κορυφές ενός ισόπλευρου τριγώνου και την ίδια ακτίνα, η οποία είναι περίπου ίση με το μήκος της πλευράς του τριγώνου.

Οι λογικές πράξεις ορίζουν πίνακες αλήθειας. Το διάγραμμα δείχνει έναν κύκλο με το όνομα του συνόλου που αντιπροσωπεύει, για παράδειγμα, $A$. Η περιοχή στη μέση του κύκλου $A$ θα εμφανίζει την αλήθεια της έκφρασης $A$ και η περιοχή έξω από τον κύκλο - false. Για να εμφανιστεί μια λογική πράξη, σκιάζονται μόνο εκείνες οι περιοχές στις οποίες οι τιμές της λογικής λειτουργίας για τα σύνολα $A$ και $B$ είναι αληθείς.

Για παράδειγμα, ο συνδυασμός δύο συνόλων $A$ και $B$ είναι αληθής μόνο εάν και τα δύο σύνολα είναι αληθή. Σε αυτήν την περίπτωση, το αποτέλεσμα του συνδυασμού των $A$ και $B$ στο διάγραμμα θα είναι η περιοχή στη μέση των κύκλων, η οποία ανήκει ταυτόχρονα στο σύνολο $A$ και στο σύνολο $B$ (η τομή του σκηνικά).

Εικόνα 1. Σύνδεση συνόλων $A$ και $B$

Χρησιμοποιώντας διαγράμματα Euler-Venn για την απόδειξη λογικών ισοτήτων

Ας εξετάσουμε πώς χρησιμοποιείται η μέθοδος κατασκευής διαγραμμάτων Euler-Venn για την απόδειξη λογικών ισοτήτων.

Ας αποδείξουμε τον νόμο de Morgan, ο οποίος περιγράφεται από την ισότητα:

Απόδειξη:

Εικόνα 4. Αντιστροφή $A$

Εικόνα 5. Αντιστροφή $B$

Εικόνα 6. Σύνδεση των αντιστροφών $A$ και $B$

Αφού συγκρίνουμε το εμβαδόν για την εμφάνιση του αριστερού και του δεξιού μέρους, βλέπουμε ότι είναι ίσα. Από αυτό προκύπτει η εγκυρότητα της λογικής ισότητας. Ο νόμος του De Morgan αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας διαγράμματα Euler-Venn.

Επίλυση του προβλήματος της αναζήτησης πληροφοριών στο Διαδίκτυο με χρήση διαγραμμάτων Euler-Venn

Για να αναζητήσετε πληροφορίες στο Διαδίκτυο, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε ερωτήματα αναζήτησης με λογικές συνδέσεις παρόμοιες σε νόημα με τις ενώσεις "και", "ή" της ρωσικής γλώσσας. Η έννοια των λογικών συνδέσμων γίνεται πιο ξεκάθαρη αν τα απεικονίσουμε με τη βοήθεια των διαγραμμάτων Euler-Venn.

Παράδειγμα 1

Ο πίνακας δείχνει παραδείγματα ερωτημάτων στον διακομιστή αναζήτησης. Κάθε αίτημα έχει τον δικό του κωδικό - ένα γράμμα από $A$ έως $B$. Πρέπει να τακτοποιήσετε τους κωδικούς αιτημάτων σε φθίνουσα σειρά του αριθμού των σελίδων που βρέθηκαν για κάθε αίτημα.

Εικόνα 7

Λύση:

Ας φτιάξουμε ένα διάγραμμα Euler-Venn για κάθε ερώτημα:

Εικόνα 8

Απάντηση: BVA.

Επίλυση ενός λογικού ουσιαστικού προβλήματος χρησιμοποιώντας διαγράμματα Euler-Venn

Παράδειγμα 2

Κατά τη διάρκεια των χειμερινών διακοπών, από τους μαθητές των $36$ στην τάξη των $2$, δεν πήγαν σινεμά, θέατρο ή τσίρκο. $25 $ οι άνθρωποι πήγαν στον κινηματογράφο, $11 $ στο θέατρο, $17 $ στο τσίρκο. τόσο στον κινηματογράφο όσο και στο θέατρο - $6 $. και στον κινηματογράφο και στο τσίρκο - $10 $. και στο θέατρο και στο τσίρκο - 4$.

Πόσα άτομα έχουν επισκεφτεί τον κινηματογράφο, το θέατρο και το τσίρκο;

Λύση:

Ας υποδηλώσουμε τον αριθμό των ανδρών που έχουν πάει στον κινηματογράφο, το θέατρο και το τσίρκο - $x$.

Ας φτιάξουμε ένα διάγραμμα και ας μάθουμε τον αριθμό των ανδρών σε κάθε περιοχή:

Εικόνα 9

Δεν ήταν στο θέατρο, ούτε στον κινηματογράφο, ούτε στο τσίρκο - 2 $ ανά άτομο.

Άρα 36 $ - 2 = 34 $ άτομα. παρακολούθησαν εκδηλώσεις.

$6$ οι άνθρωποι πήγαν στον κινηματογράφο και στο θέατρο, που σημαίνει ότι μόνο ($6 - x)$ οι άνθρωποι πήγαν στον κινηματογράφο και στο θέατρο.

$10 $ άνθρωποι πήγαν στον κινηματογράφο και στο τσίρκο, έτσι μόνο στον κινηματογράφο και στο τσίρκο ($10 - x $) άνθρωποι.

$4$ οι άνθρωποι πήγαιναν στο θέατρο και στο τσίρκο, που σημαίνει ότι μόνο το θέατρο και το τσίρκο ($4 - x$) πήγαιναν στο θέατρο και στο τσίρκο.

$25$ οι άνθρωποι πήγαν στον κινηματογράφο, που σημαίνει ότι μόνο $25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9+x)$ πήγαν στον κινηματογράφο.

Ομοίως, μόνο ($1+x$) άτομα πήγαν στο θέατρο.

Μόνο (3$+x$) άτομα πήγαν στο τσίρκο.

Έτσι, πήγαμε στο θέατρο, τον κινηματογράφο και το τσίρκο:

$(9+x)+(1+x)+(3+x)+(10-x)+(6-x)+(4-x)+x = 34$;

Εκείνοι. μόνο ένα άτομο πήγε στο θέατρο, στον κινηματογράφο και στο τσίρκο.

Μερικά προβλήματα μπορούν να λυθούν εύκολα και οπτικά χρησιμοποιώντας διαγράμματα Euler-Venn. Για παράδειγμα, εργασίες σε σετ. Εάν δεν γνωρίζετε τι είναι τα διαγράμματα Euler-Venn και πώς να τα δημιουργήσετε, τότε διαβάστε πρώτα.

Τώρα ας αναλύσουμε τυπικές εργασίεςσχετικά με τα σύνολα.

Εργασία 1.

Διεξήχθη έρευνα σε 100 μαθητές σε σχολείο με εις βάθος μελέτη ξένων γλωσσών. Έγινε η ερώτηση στους μαθητές: Τι ξένες γλώσσεςσπουδάζεις;". Αποδείχθηκε ότι 48 μαθητές σπουδάζουν αγγλικά, 26 - γαλλικά, 28 - γερμανικά. 8 μαθητές σπουδάζουν αγγλικά και γερμανικά, 8 - αγγλικά και γαλλικά, 13 - γαλλικά και γερμανικά. 24 μαθητές δεν σπουδάζουν ούτε αγγλικά ούτε γαλλικά, ούτε Γερμανικά Πόσοι μαθητές στην έρευνα μαθαίνουν τρεις γλώσσες ταυτόχρονα: Αγγλικά, Γαλλικά και Γερμανικά;

Απάντηση: 3.

Λύση:

• πολλοί μαθητές μαθαίνουν αγγλικά ("A").
• πολλοί μαθητές μαθαίνουν γαλλικά ("F").
• πολλοί μαθητές μαθαίνουν γερμανικά («Ν»).

Ας απεικονίσουμε με τη βοήθεια του διαγράμματος Euler-Venn τι μας δίνεται κατά συνθήκη.

Ας συμβολίσουμε την επιθυμητή περιοχή A=1, F=1, H=1 ως «x» (στον παρακάτω πίνακα, περιοχή Νο. 7). Εκφράζουμε τις υπόλοιπες περιοχές ως x.

0) Περιοχή Α=0, ΣΤ=0, Η=0: 24 μαθητές – δίνονται ανάλογα με την συνθήκη του προβλήματος.

1) Περιοχή Α=0, ΣΤ=0, Η=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x μαθητές.

2) Περιοχή Α=0, ΣΤ=1, Η=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x μαθητές.

3) Περιοχή Α=0, ΣΤ=1, Η=1: 13 μαθητές.

4) Περιοχή Α=1, ΣΤ=0, Η=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x μαθητές.

5) Περιοχή Α=1, ΣΤ=0, Η=1: 8 μαθητές.

6) Περιοχή Α=1, ΣΤ=1, Η=0: 8 μαθητές.

№ περιοχές	ΕΝΑ	φά	H	Ποσότητα μαθητές
0	0	0	0	24
1	0	0	1	7+x
2	0	1	0	5+x
3	0	1	1	13η
4	1	0	0	32+x
5	1	0	1	8'
6	1	1	0	8'
7	1	1	1	Χ

Ας ορίσουμε το x:

24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.

x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Αποδείχθηκε ότι 3 μαθητές σπουδάζουν τρεις γλώσσες ταυτόχρονα: αγγλικά, γαλλικά και γερμανικά.

Έτσι θα μοιάζει το διάγραμμα Euler-Venn με γνωστό x:

Εργασία 2.

Στην Ολυμπιάδα των Μαθηματικών, ζητήθηκε από τους μαθητές να λύσουν τρία προβλήματα: ένα στην άλγεβρα, ένα στη γεωμετρία και ένα στην τριγωνομετρία. Στην Ολυμπιάδα συμμετείχαν 1000 μαθητές. Τα αποτελέσματα της Ολυμπιάδας ήταν τα εξής: 800 συμμετέχοντες έλυσαν το πρόβλημα στην άλγεβρα, 700 στη γεωμετρία, 600 στην τριγωνομετρία. 600 μαθητές έλυσαν προβλήματα άλγεβρας και γεωμετρίας, 500 στην άλγεβρα και τριγωνομετρία, 400 στη γεωμετρία και στο τρίγωνο. 300 άτομα έλυσαν προβλήματα άλγεβρας, γεωμετρίας και τριγωνομετρίας. Πόσοι μαθητές δεν έλυσαν κανένα πρόβλημα;

Απάντηση: 100.

Λύση:

Αρχικά, ορίζουμε σύνολα και εισάγουμε σημειογραφία. Υπάρχουν τρία από αυτά:

• ένα σύνολο προβλημάτων στην άλγεβρα ("A").
• ένα σύνολο προβλημάτων στη γεωμετρία ("G").
• σύνολο προβλημάτων στην τριγωνομετρία ("Τ").

Ας απεικονίσουμε αυτό που πρέπει να βρούμε:

Ας προσδιορίσουμε τον αριθμό των μαθητών για όλες τις πιθανές περιοχές.

Ας συμβολίσουμε την επιθυμητή περιοχή A=0, G=0, T=0 ως "x" (στον παρακάτω πίνακα, περιοχή No. 0).

Ας βρούμε τις υπόλοιπες περιοχές:

1) Περιοχή Α=0, Δ=0, Τ=1: δεν υπάρχουν μαθητές.

2) Περιοχή Α=0, Δ=1, Τ=0: όχι μαθητές.

3) Περιφέρεια Α=0, Δ=1, Τ=1: 100 μαθητές.

4) Περιοχή Α=1, Δ=0, Τ=0: όχι μαθητές.

5) Περιφέρεια Α=1, Δ=0, Τ=1: 200 μαθητές.

6) Περιφέρεια Α=1, Δ=1, Τ=0: 300 μαθητές.

7) Περιφέρεια Α=1, Δ=1, Τ=1: 300 μαθητές.

Ας γράψουμε τις τιμές των περιοχών στον πίνακα:

№ περιοχές	ΕΝΑ	σολ	Τ	Ποσότητα μαθητές
0	0	0	0	Χ
1	0	0	1	0
2	0	1	0	0
3	0	1	1	100
4	1	0	0	0
5	1	0	1	200
6	1	1	0	300
7	1	1	1	300

Ας σχεδιάσουμε τις τιμές για όλες τις περιοχές χρησιμοποιώντας ένα γράφημα:

Ας ορίσουμε το x:

x=U-(A V G V T), όπου U είναι το σύμπαν.

A V G V T \u003d 0 + 0 + 0 + 300 + 300 + 200 + 100 \u003d 900.

Καταλάβαμε ότι 100 μαθητές δεν έλυσαν ούτε ένα πρόβλημα.

Εργασία 3.

Στην Ολυμπιάδα Φυσικής, οι μαθητές κλήθηκαν να λύσουν τρία προβλήματα: ένα στην κινηματική, ένα στη θερμοδυναμική και ένα στην οπτική. Τα αποτελέσματα της Ολυμπιάδας ήταν τα εξής: 400 συμμετέχοντες έλυσαν το πρόβλημα στην κινηματική, 350 στη θερμοδυναμική, 300 στην οπτική. 300 μαθητές έλυσαν προβλήματα κινηματικής και θερμοδυναμικής, 200 στην κινηματική και οπτική, 150 στη θερμοδυναμική και την οπτική. 100 άτομα έλυσαν προβλήματα κινηματικής, θερμοδυναμικής και οπτικής. Πόσοι μαθητές έλυσαν δύο προβλήματα;

Απάντηση: 350.

Λύση:

Αρχικά, ορίζουμε σύνολα και εισάγουμε σημειογραφία. Υπάρχουν τρία από αυτά:

• ένα σύνολο εργασιών στην κινηματική ("K").
• ένα σύνολο προβλημάτων στη θερμοδυναμική ("T").
• σύνολο προβλημάτων στην οπτική ("O").

Ας απεικονίσουμε χρησιμοποιώντας το διάγραμμα Euler-Venn τι μας δίνεται από την προϋπόθεση:

Ας απεικονίσουμε αυτό που πρέπει να βρούμε:

Ας προσδιορίσουμε τον αριθμό των μαθητών για όλες τις πιθανές περιοχές:

0) Περιοχή K=0, T=0, O=0 : δεν ορίζεται.

1) Περιοχή Κ=0, Τ=0, Ο=1: 50 μαθητές.

2) Περιοχή Κ=0, Τ=1, Ο=0: όχι μαθητές.

3) Περιοχή Κ=0, Τ=1, Ο=1: 50 μαθητές.

4) Περιφέρεια Κ=1, Τ=0, Ο=0: όχι μαθητές.

5) Περιφέρεια Κ=1, Τ=0, Ο=1: 100 μαθητές.

6) Περιφέρεια Κ=1, Τ=1, Ο=0: 200 μαθητές.

7) Περιφέρεια Κ=1, Τ=1, Ο=1: 100 μαθητές.

Ας γράψουμε τις τιμές των περιοχών στον πίνακα:

№ περιοχές	ΠΡΟΣ ΤΗΝ	Τ	ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ	Ποσότητα μαθητές
0	0	0	0	-
1	0	0	1	50
2	0	1	0	0
3	0	1	1	50
4	1	0	0	0
5	1	0	1	100
6	1	1	0	200
7	1	1	1	100

Ας σχεδιάσουμε τις τιμές για όλες τις περιοχές χρησιμοποιώντας ένα γράφημα:

Ας ορίσουμε το x.

x=200+100+50=350.

Λαμβάνοντας, 350 μαθητές έλυσαν δύο προβλήματα.

Εργασία 4.

Μεταξύ των περαστικών διενήργησε έρευνα. Έγινε η ερώτηση: «Τι είδους κατοικίδιο έχετε;». Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της έρευνας, αποδείχθηκε ότι 150 άτομα έχουν γάτα, 130 σκύλο και 50 πουλί. 60 άτομα έχουν μια γάτα και ένα σκύλο, 20 έχουν μια γάτα και ένα πουλί, 30 έχουν ένα σκύλο και ένα πουλί. 70 άτομα δεν έχουν καθόλου κατοικίδιο. 10 άτομα έχουν μια γάτα, έναν σκύλο και ένα πουλί. Πόσοι περαστικοί συμμετείχαν στην έρευνα;

Απάντηση: 300.

Λύση:

Αρχικά, ορίζουμε σύνολα και εισάγουμε σημειογραφία. Υπάρχουν τρία από αυτά:

• πολλοί άνθρωποι που έχουν γάτα ("K").
• πολλοί άνθρωποι που έχουν σκύλο ("C").
• πολλοί άνθρωποι που έχουν πουλί ("P").

Ας απεικονίσουμε χρησιμοποιώντας το διάγραμμα Euler-Venn τι μας δίνεται από την προϋπόθεση:

Ας απεικονίσουμε αυτό που πρέπει να βρούμε:

Ας προσδιορίσουμε τον αριθμό των ατόμων για όλες τις πιθανές περιοχές:

0) Περιοχή K=0, S=0, P=0: 70 άτομα.

1) Περιοχή K=0, S=0, P=1: 10 άτομα.

2) Περιοχή K=0, S=1, P=0: 50 άτομα.

3) Περιοχή K=0, S=1, P=1: 20 άτομα.

4) Περιοχή K=1, S=0, P=0: 80 άτομα.

5) Περιοχή Κ=1, Τ=0, Ο=1: 10 άτομα.

6) Περιοχή Κ=1, Τ=1, Ο=0: 50 άτομα.

7) Περιοχή Κ=1, Τ=1, Ο=1: 10 άτομα.

Ας γράψουμε τις τιμές των περιοχών στον πίνακα:

№ περιοχές	ΠΡΟΣ ΤΗΝ	ντο	Π	Ποσότητα Ο άνθρωπος
0	0	0	0	70
1	0	0	1	10
2	0	1	0	50
3	0	1	1	20
4	1	0	0	80
5	1	0	1	10
6	1	1	0	50
7	1	1	1	10

Ας σχεδιάσουμε τις τιμές για όλες τις περιοχές χρησιμοποιώντας ένα γράφημα:

Ας ορίσουμε το x:

x=U (σύμπαν)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Έλαβε ότι 300 άτομα συμμετείχαν στην έρευνα.

Εργασία 5.

120 άτομα μπήκαν σε μία ειδικότητα σε ένα από τα πανεπιστήμια. Οι υποψήφιοι έδωσαν τρεις εξετάσεις: στα μαθηματικά, στην επιστήμη των υπολογιστών και στη ρωσική γλώσσα. Τα μαθηματικά πέρασαν από 60 άτομα, η επιστήμη των υπολογιστών - 40. 30 υποψήφιοι πέρασαν μαθηματικά και πληροφορική, 30 - μαθηματικά και ρωσικά, 25 - επιστήμη υπολογιστών και ρωσικά. 20 άτομα πέρασαν και τις τρεις εξετάσεις, και 50 άτομα απέτυχαν. Πόσοι υποψήφιοι έχουν περάσει τη ρωσική γλώσσα;