2 Schema lui Horner

3 funcții de formă liberă

4 Găsirea rădăcinilor polinoamelor

Lista surselor de informare utilizate

1 Găsirea rădăcinilor ecuațiilor (Ecuația Secțiunea 1)

Una dintre cele mai comune metode de găsire a rădăcinilor ecuațiilor este metoda lui Newton și modificările acesteia. Să fie necesar pentru a rezolva ecuația

. Vom presupune că x este o soluție a ecuației. Să extindem funcția f(x) într-o serie în punctul x0 aproape de punctul x și să ne limităm doar la primii doi termeni ai expansiunii.

Deoarece x este rădăcina ecuației, atunci

. Prin urmare,

Astfel, dacă cunoaștem valoarea aproximativă a rădăcinii ecuației, atunci ecuația rezultată ne permite să o rafinăm. Este clar că procesul de rafinare poate fi repetat de multe ori până când valoarea funcției diferă de zero cu o valoare mai mică decât precizia de căutare specificată. Următorul k-th aproximarea se găsește prin formula

Restricționând expansiunea la numai primii doi termeni, am înlocuit de fapt funcția f(x) cu o linie dreaptă tangentă în punctul x0, așa că metoda lui Newton este numită și metoda tangentelor. Nu este întotdeauna convenabil să găsiți o expresie analitică pentru derivata unei funcții. Cu toate acestea, acest lucru nu este deosebit de necesar: ​​deoarece la fiecare pas obținem o valoare aproximativă a rădăcinii, putem folosi valoarea aproximativă a derivatei pentru a o calcula.

Ca cantitate mică

puteți lua, de exemplu, precizia de calcul dată, apoi formula de calcul va lua forma (1.1)

Pe de altă parte, pentru a calcula derivata, puteți utiliza valorile funcției obținute în cei doi pași anteriori,

(1.2)

În această formă, metoda se numește metoda secantei. În acest caz, însă, există o problemă cu calculul primei aproximări. De obicei se presupune că

, adică primul pas al calculelor se efectuează utilizând formula (1.1), iar toate etapele ulterioare sunt efectuate folosind formula (1.2). Această schemă de calcul este implementată în pachetul Mathcad. Folosind metoda secantei, nu putem garanta că rădăcina se află între ultimele două aproximări. Este posibil, totuși, să se calculeze următoarea aproximare folosind limitele intervalului pe care funcția își schimbă semnul. Această metodă se numește metoda acordurilor (metoda poziției false).

Ideea metodei secantei este dezvoltată în metoda lui Muller. Cu toate acestea, în această metodă, trei puncte anterioare sunt folosite pentru a găsi următoarea aproximare. Cu alte cuvinte, metoda folosește interpolarea funcției nu liniară, ci pătratică. Formulele de calcul ale metodei sunt următoarele:

Se alege semnul dinaintea rădăcinii astfel încât valoarea absolută a numitorului să fie maximă.

Deoarece căutarea rădăcină se termină când condiția este îndeplinită

, atunci pot apărea rădăcini false. De exemplu, pentru o ecuație, va apărea o rădăcină falsă dacă precizia căutării este setată la mai puțin de 0,0001. Prin creșterea preciziei căutării, puteți scăpa de rădăcinile false. Cu toate acestea, această abordare nu funcționează pentru toate ecuațiile. De exemplu, pentru o ecuație care în mod evident nu are rădăcini reale, pentru orice precizie, arbitrar de mică, există o valoare x care satisface criteriul de încheiere a căutării. Exemplele date arată că rezultatele calculelor computerizate trebuie întotdeauna tratate critic și analizate pentru plauzibilitate. Pentru a evita „capcanele” atunci când utilizați orice pachet standard care implementează metode numerice, trebuie să aveți cel puțin o idee minimă despre ce fel de metodă numerică este implementată pentru a rezolva o anumită problemă.

În cazul în care se cunoaște intervalul pe care se află rădăcina, puteți folosi alte metode pentru găsirea unei soluții a ecuației.

În metoda Ridder, valoarea funcției este calculată la mijlocul intervalului

. Apoi caută o funcție exponențială astfel încât apoi să aplice metoda acordurilor, folosind valorile. Următoarea valoare este calculată cu formula (1.5)

Metoda Brent combină viteza metodei Ridder cu convergența garantată a metodei bisecției. Metoda folosește interpolarea pătratică inversă, adică caută x ca funcție pătratică a lui y. La fiecare pas, se verifică localizarea rădăcinii. Formulele metodei sunt destul de greoaie și nu le vom prezenta.

Sunt folosite metode speciale pentru a găsi rădăcinile unui polinom. În acest caz, toate rădăcinile pot fi găsite. După ce se găsește una dintre rădăcinile polinomului, se poate scădea gradul polinomului, după care se repetă căutarea rădăcinii.

Metoda Lobachevsky, metoda soluției aproximative (numerice). ecuații algebrice, găsit independent de matematicianul belgian J. Dandelin, de matematicianul rus N. I. Lobachevsky (în 1834 în cea mai perfectă formă) și de matematicianul elvețian K. Greffe. Esența lui L. m. este de a construi ecuația f1(x) = 0, ale cărei rădăcini sunt pătratele rădăcinilor ecuației inițiale f(x) = 0. Atunci ecuația f2(x) = 0 este construite, ale căror rădăcini sunt pătratele rădăcinilor ecuației f1(x) = 0. Repetând acest proces de mai multe ori, se obține o ecuație ale cărei rădăcini sunt puternic separate. Dacă toate rădăcinile ecuației inițiale sunt reale și diferite în valoare absolută, există scheme simple de calcul de metri liniari pentru a găsi valori aproximative ale rădăcinilor. În cazul egalității în valoare absolută a rădăcinilor, precum și rădăcini complexe Schemele de calcul ale lui L. m. sunt foarte complexe.

Metoda lui Laguerre se bazează pe următoarele relații pentru polinoame

Semnul din fața rădăcinii este ales în așa fel încât să obțină cea mai mare valoare numitor.

O altă metodă care este folosită pentru a găsi rădăcinile polinoamelor este metoda matricei însoțitoare. Se poate arăta că matricea

numită matrice însoțitoare pentru polinom

, are valori proprii egale cu rădăcinile polinomului. Reamintim că valorile proprii ale unei matrice sunt acele numere  pentru care egalitatea sau este adevărată. Sunt foarte metode eficiente căutați valori proprii, dintre care unele le vom discuta mai jos. Astfel, problema găsirii rădăcinilor unui polinom poate fi redusă la problema găsirii valorilor proprii ale matricei însoțitoare.

2 Schema lui Horner

Calculul conform schemei Horner se dovedește a fi mai eficient și nu devine foarte complicat. Această schemă se bazează pe următoarea reprezentare polinomială:

p(x) = ((... ((anx + an-1)x + an-2)x + ... + a2)x + a1)x + a0.

Să luăm un polinom general de forma:

p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Vom presupune că toți coeficienții an, ..., a0 sunt cunoscuți, constanti și stocați într-o matrice. Aceasta înseamnă că singura intrare pentru a evalua polinomul este valoarea lui x, iar rezultatul programului trebuie să fie valoarea polinomului la x.

Proprietăți

unde - (în cazul general, complexe) rădăcini ale polinomului, eventual cu repetări, în timp ce dacă printre rădăcinile polinomului sunt egale, atunci valoarea lor comună se numește rădăcină multiplă.

Găsirea rădăcinilor

Metoda de găsire a rădăcinilor polinoamelor liniare și pătratice, adică metoda de rezolvare a ecuațiilor liniare și pătratice, era deja cunoscută în lumea antica. Căutarea unei formule pentru soluția exactă a ecuației generale de gradul al treilea a continuat multă vreme (trebuie să menționăm metoda propusă de Omar Khayyam), până când au avut succes în prima jumătate a secolului al XVI-lea în lucrările de Scipio del Ferro, Niccolo Tartaglia și Gerolamo Cardano. Formulele pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice și cubice au făcut relativ ușor obținerea de formule pentru rădăcinile unei ecuații de gradul al patrulea.

Că rădăcinile ecuație generală gradul cinci și mai sus nu sunt exprimate folosind funcții raționale, iar radicalii coeficienților a fost dovedit de matematicianul norvegian Niels Abel în 1826. Acest lucru nu înseamnă deloc că rădăcinile unei astfel de ecuații nu pot fi găsite. În primul rând, în cazuri particulare, cu unele combinații de coeficienți, rădăcinile ecuației pot fi determinate cu o oarecare ingeniozitate. În al doilea rând, există formule pentru rădăcinile ecuațiilor de gradul 5 și mai sus, care, totuși, folosesc funcții speciale - eliptice sau hipergeometrice (vezi, de exemplu, rădăcina Bring).

Dacă toți coeficienții unui polinom sunt raționali, atunci găsirea rădăcinilor sale duce la găsirea rădăcinilor unui polinom cu coeficienți întregi. Pentru rădăcinile raționale ale unor astfel de polinoame, există algoritmi pentru găsirea candidaților prin enumerare folosind schema lui Horner, iar la găsirea rădăcinilor întregi, enumerarea poate fi redusă semnificativ prin curățarea rădăcinilor. De asemenea, în acest caz, puteți utiliza algoritmul polinomial LLL.

Pentru a aproxima (cu orice precizie necesară) rădăcinile reale ale unui polinom cu coeficienți reali, se folosesc metode iterative, de exemplu, metoda secantei, metoda bisecției, metoda lui Newton. Numărul de rădăcini reale ale unui polinom într-un interval poate fi estimat folosind teorema lui Sturm.

Vezi si

Note

Fundația Wikimedia. 2010 .

• Canalizare
• Glosar de termeni de vexilologie

Vedeți ce este „Rădăcina polinomului” în alte dicționare:

Rădăcina unei ecuații algebrice

Rădăcina ecuației- Rădăcina polinomului peste câmpul k este un element care, după înlocuirea lui x, transformă ecuația într-o identitate. Proprietăți Dacă c este o rădăcină a polinomului p(x ... Wikipedia

Bringa Root- Verificați informațiile. Este necesar să se verifice acuratețea faptelor și fiabilitatea informațiilor prezentate în acest articol. Ar trebui să existe explicații pe pagina de discuție. În algebră, rădăcina Bring sau ultraradical este o funcție analitică astfel încât pentru ... ... Wikipedia

Rădăcină (dezambiguizare)- Rădăcină: Wikționarul are o intrare pentru „rădăcină” Rădăcină (în botanică) un organ subteran vegetativ axial al unei plante care are o sp ... Wikipedia

Rădăcină (la matematică)- Rădăcina în matematică, 1) K. gradul n din numărul a ≈ numărul x (notat), al cărui grad al n-lea este egal cu a (adică xn \u003d a). Acțiunea de a găsi K. se numește extragerea rădăcinii. Pentru un ¹ 0, există n valori diferite ale lui K. (în general vorbind, ......

Rădăcină- I Rădăcina (radix) este unul dintre principalele organe vegetative ale plantelor cu frunze (cu excepția mușchilor), care servește la fixarea de substrat, absorbția apei din acesta și nutrienți, transformarea primară a unui număr de substanțe absorbite, ...... Marea Enciclopedie Sovietică

RĂDĂCINĂ- 1) K. de gradul n de la numărul un număr n i gradul x n la rogo este egal cu a. 2) K. a unei ecuații algebrice peste un câmp K, elementul k, după ce îl înlocuiește în locul lui x, transformă ecuația într-o identitate. K. din această ecuaţie se numeşte. de asemenea K. a polinomului If este ...... Enciclopedie matematică

rădăcină multiplă- polinomul f (x) = a0xn + a1xn ​​​​1 +... + an, un număr c astfel încât f (x) să fie divizibil fără rest cu puterea a doua sau mai mare a binomului (x c). În acest caz, c se numește rădăcina multiplicității dacă f (x) este divizibil cu (x c) k, dar nu ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

rădăcină conjugată- Dacă se dă un polinom ireductibil peste un inel și se alege o parte din rădăcina acestuia în extensie, atunci rădăcina conjugată pentru o rădăcină polinom dată este orice rădăcină polinomală ... Wikipedia

Rădăcina pătrată a lui 2- egală cu lungimea ipotenuzei dintr-un triunghi dreptunghic cu catete lungime 1. Rădăcina pătrată a lui 2 este pozitivă ... Wikipedia

K este un element c ∈ K (\displaystyle c\în K)(sau un element al extensiei de câmp K) astfel încât să fie îndeplinite următoarele două condiții echivalente: a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n = 0 (\displaystyle a_(0)+a_(1)x+\dots +a_(n)x^(n)=0)

Echivalența celor două formulări rezultă din teorema lui Bézout. ÎN diverse surse fie una dintre cele două formulări este aleasă ca definiție și cealaltă este dedusă ca teoremă.

Ei spun că rădăcina c (\displaystyle c) Are multiplicitate m (\displaystyle m) dacă polinomul considerat este divizibil cu (x - c) m (\displaystyle (x-c)^(m))și nu este divizibil cu (x − c) m + 1 . (\displaystyle (x-c)^(m+1).) De exemplu, polinom x 2 − 2 x + 1 (\displaystyle x^(2)-2x+1) are o singură rădăcină egală cu 1 , (\displaystyle 1,) multiplicitate 2. Expresia „rădăcină multiplă” înseamnă că multiplicitatea rădăcinii este mai mare decât unu.

Proprietăți

P (x) = a n (x - c 1) (x - c 2) … (x - c n) , (\displaystyle p(x)=a_(n)(x-c_(1))(x-c_( 2))\ldots (x-c_(n)),) unde - (în general complexe) rădăcini ale polinomului, eventual cu repetări, în timp ce dacă printre rădăcini c 1 , c 2 , … , c n (\displaystyle c_(1),c_(2),\ldots ,c_(n)) polinom p (x) (\displaystyle p(x)) sunt egale, valoarea lor comună se numește rădăcină multiplă.

Găsirea rădăcinilor

Metoda de a găsi rădăcinile polinoamelor liniare și pătratice, adică metoda de rezolvare a ecuațiilor liniare și pătratice, era cunoscută în lumea antică. Căutarea unei formule pentru soluția exactă a ecuației generale de gradul al treilea a continuat multă vreme (trebuie să menționăm metoda propusă de Omar Khayyam), până când au avut succes în prima jumătate a secolului al XVI-lea în lucrările de Scipio del Ferro, Niccolo Tartaglia și Gerolamo Cardano. Formulele pentru rădăcinile ecuațiilor pătratice și cubice au făcut relativ ușor obținerea de formule pentru rădăcinile unei ecuații de gradul al patrulea.

Că rădăcinile sunt comune ecuații de gradul cinciși mai sus nu sunt exprimate folosind funcții raționale și radicali ai coeficienților, a fost dovedit de un matematician norvegian

Obiectivele lecției:

• învață elevii să rezolve ecuații de grade superioare folosind schema lui Horner;
• dezvoltarea capacității de a lucra în perechi;
• să creeze, împreună cu secțiunile principale ale cursului, o bază pentru dezvoltarea abilităților studenților;
• ajuta elevul să-și evalueze potențialul, să-și dezvolte interesul pentru matematică, capacitatea de a gândi, de a vorbi pe subiect.

Echipament: cartonașe pentru lucrul în grup, un afiș cu schema lui Horner.

Metoda de predare: prelegere, poveste, explicație, efectuarea exercițiilor de antrenament.

Forma de control: verificarea problemelor de rezolvare independentă, muncă independentă.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric

2. Actualizarea cunoștințelor elevilor

Ce teoremă vă permite să determinați dacă numărul este rădăcina unei ecuații date (pentru a formula o teoremă)?

teorema lui Bezout. Restul împărțirii polinomului P(x) la binom x-c este egal P(c), numărul c se numește rădăcina polinomului P(x) dacă P(c)=0. Teorema permite, fără a efectua operația de împărțire, să se determine dacă un anumit număr este o rădăcină a unui polinom.

Care afirmații fac mai ușor să găsiți rădăcini?

a) Dacă coeficientul conducător al polinomului este egal cu unu, atunci rădăcinile polinomului trebuie căutate printre divizorii termenului liber.

b) Dacă suma coeficienților unui polinom este 0, atunci una dintre rădăcini este 1.

c) Dacă suma coeficienților din locurile pare este egală cu suma coeficienților din locurile impare, atunci una dintre rădăcini este egală cu -1.

d) Dacă toți coeficienții sunt pozitivi, atunci rădăcinile polinomului sunt numere negative.

e) Un polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină reală.

3. Învățarea de material nou

Când rezolvați ecuații algebrice întregi, trebuie să găsiți valorile rădăcinilor polinoamelor. Această operație poate fi mult simplificată dacă calculele sunt efectuate conform unui algoritm special numit schema lui Horner. Această schemă poartă numele savantului englez William George Horner. Schema lui Horner este un algoritm pentru calcularea coeficientului și a restului împărțirii unui polinom P(x) la x-c. Pe scurt, cum funcționează.

Fie dat un polinom arbitrar P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. Împărțirea acestui polinom la x-c este reprezentarea lui în forma P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Privat g (x) \u003d la 0 x n-1 + la n x n-2 + ... + la n-2 x + la n-1, unde la 0 \u003d a 0, la n \u003d sv n- 1 + a n , n=1,2,3,…n-1. Restul r (x) \u003d St n-1 + a n. Această metodă de calcul se numește schema Horner. Cuvântul „schemă” din denumirea algoritmului se datorează faptului că de obicei execuția acestuia este formalizată astfel. Mai întâi extrageți masa 2 (n+2). Numărul c este scris în celula din stânga jos, iar coeficienții polinomului P (x) sunt scrieți în linia de sus. În acest caz, celula din stânga sus este lăsată goală.

	la 0 = a 0	în 1 \u003d sv 1 + a 1	în 2 \u003d sv 1 + A 2		în n-1 \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=sv n-1 +a n

Numărul, care după executarea algoritmului se dovedește a fi scris în celula din dreapta jos, este restul împărțirii polinomului P(x) la x-c. Celelalte numere de la 0 , la 1 , la 2 ,... din rândul de jos sunt coeficienții coeficientului.

De exemplu: Împărțiți polinomul P (x) \u003d x 3 -2x + 3 la x-2.

Obținem că x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Consolidarea materialului studiat

Exemplul 1: Factorizează polinomul P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 cu coeficienți întregi.

Căutăm rădăcini întregi printre divizorii termenului liber -1: 1; -1. Să facem un tabel:

X \u003d -1 - rădăcină

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Să verificăm 1/2.

					X=1/2 - rădăcină

Prin urmare, polinomul P(x) poate fi reprezentat ca

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Exemplul 2: Rezolvați ecuația 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Deoarece suma coeficienților polinomului scris în partea stângă a ecuației este egală cu zero, atunci una dintre rădăcini este 1. Să folosim schema lui Horner:

						X=1 - rădăcină

Obținem P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Vom căuta rădăcini printre divizorii termenului liber 2.

Am aflat că nu mai există rădăcini întregi. Să verificăm 1/2; -1/2.

					X \u003d -1/2 - rădăcină

Raspunsul 1; -1/2.

Exemplul 3: Rezolvați ecuația 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Vom căuta rădăcinile acestei ecuații printre divizorii termenului liber 5: 1; -1; 5; -5. x=1 este rădăcina ecuației, deoarece suma coeficienților este zero. Să folosim schema lui Horner:

reprezentăm ecuația ca un produs al trei factori: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Hotărând ecuație pătratică 5x 2 -7x+5=0, a primit D=49-100=-51, fără rădăcini.

Cardul 1

1. Factorizați polinomul: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Rezolvați ecuația: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Cardul 2

1. Factorizați polinomul: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Rezolvați ecuația: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Cardul 3

1. Factorizare: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Rezolvați ecuația: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Cardul 4

1. Factorizare: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Rezolvați ecuația: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Rezumând

Testarea cunoștințelor la rezolvarea în perechi se realizează în lecție prin recunoașterea metodei de acțiune și a numelui răspunsului.

Teme pentru acasă:

Rezolvați ecuațiile:

a) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

b) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

c) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

d) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

Literatură

1. N.Da. Vilenkin et al., Algebra și începuturile analizei Clasa 10 (studiu aprofundat al matematicii): Enlightenment, 2005.
2. U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare: Volgograd, 2007.
3. S.B. Gashkov Sisteme numerice și aplicarea acestora.

Dacă funcția f(x) este un polinom, atunci toate rădăcinile sale pot fi determinate folosind funcția încorporată

unde v este un vector compus din coeficienții polinomului.

Deoarece polinomul de gradul al n-lea are exact n rădăcini (unele dintre ele pot fi multipli), vectorul v trebuie să aibă n+1 elemente. Rezultatul funcției polyroots() este un vector compus din n rădăcini ale polinomului considerat. În acest caz, nu este nevoie să introduceți nicio aproximare inițială, ca pentru funcția rădăcină (). Un exemplu de căutare a rădăcinilor unui polinom de gradul al patrulea este prezentat în Fig. 4.6:

Orez. 4.6. Găsirea rădăcinii unui polinom

Coeficienții polinomului considerat în exemplu se scriu ca un vector coloană începând de la termenul liber și terminând cu coeficientul de gradul cel mai înalt x n .

Pentru funcția polyroots(), puteți alege una dintre cele două metode numerice - metoda polinomului Lugger (este instalată implicit) sau metoda matricei perechi. Pentru a schimba metoda, trebuie să apelați meniul contextual făcând clic dreapta pe cuvântul polyroots și selectați fie LaGuerre (Lagger) fie Companion Matrix (Matrice pereche) în partea de sus a meniului contextual. Apoi trebuie să faceți clic în afara acțiunii funcției polyroots - și dacă modul de calcul automat este activat, rădăcinile polinomiale vor fi recalculate în conformitate cu metoda nou selectată.

Pentru a lăsa alegerea metodei de soluție la Mathcad, trebuie să bifați caseta de selectare AutoSelect selectând elementul cu același nume în același meniu contextual.

Rezolvarea sistemelor de ecuații neliniare

Se consideră soluția sistemului n ecuații neliniare cu m necunoscute

f 1 (x 1,..., x m) = 0,

f n (x 1 ,..., x m) = 0,

Aici f 1 (x 1 ,... ,х m) , ..., f n (x 1 ,... ,х m) sunt câteva funcții scalare ale variabilelor scalare x 1 ,... ,х m și eventual , din orice alte variabile. Ecuațiile pot fi mai mari sau mai mici decât numărul de variabile. Rețineți că sistemul de mai sus poate fi rescris oficial ca

unde x este un vector compus din variabile x 1 ,..., x m , iar f (x) este funcția vectorială corespunzătoare.

Pentru a rezolva sisteme, există o unitate de calcul specială, constând din trei părți, care merg secvențial una după alta:

dat- cuvânt cheie;

Un sistem scris folosind operatori booleeni ca egalități și posibil inegalități;

Find(x 1 ,... ,x m) este o funcție încorporată pentru rezolvarea sistemului în raport cu variabilele x 1 ,... ,x m .

Blocul Given/Find folosește metode iterative pentru a găsi o soluție, astfel încât, ca și pentru funcția root(), este necesar să se specifice valorile inițiale pentru toate x 1 ,..., x m . Acest lucru trebuie făcut înainte de a scrie cuvântul cheie dat. Valoarea funcției Găsiți este un vector format din soluția pentru fiecare variabilă. Astfel, numărul de elemente vectoriale este egal cu numărul de argumente Find.

Luați în considerare un exemplu. Rezolvați un sistem de două ecuații cu două necunoscute:

cu o precizie de 0,01. Separați grafic rădăcinile.

Să reprezentăm ecuațiile sistemului sub forma următoarelor funcții ale unei variabile:

Să alegem valori discrete variabile:

Să găsim rădăcinile ecuației folosind blocul Given - Find():

Pe fig. 4.7 arată un alt exemplu de rezolvare a unui sistem de două ecuații:

Orez. 4.7. Rezolvarea unui sistem de ecuații

La început fig. 4.7, sunt introduse funcții care definesc un sistem de ecuații. Apoi variabilelor x și y, în raport cu care se va decide, li se atribuie valori inițiale. Acesta este urmat de cuvântul cheie dat și doi operatori de egalitate booleenă care exprimă sistemul de ecuații în cauză. Blocul de calcul este terminat de funcția Find, a cărei valoare este atribuită vectorului v. După aceea, se imprimă conținutul vectorului v, adică soluția sistemului. Primul element al vectorului este primul argument al funcției Găsiți, al doilea element este al doilea argument al acestuia. La final s-a verificat corectitudinea soluționării ecuațiilor. Rețineți că ecuațiile pot fi definite direct în blocul de calcul.

Interpretarea grafică a sistemului considerat este prezentată în fig. 4.8. Fiecare dintre ecuații este prezentată pe planul xy printr-un grafic. Prima ecuație este prezentată ca o curbă, a doua ca o linie continuă. Două puncte de intersecție ale curbelor corespund îndeplinirii simultane a ambelor ecuații, adică rădăcinilor reale dorite ale sistemului. După cum este ușor de observat, în fig. 4.7, se găsește doar una dintre cele două soluții - situată în partea dreaptă jos a graficului. Pentru a găsi a doua soluție, ar trebui să repetați calculele, schimbând valorile inițiale, astfel încât acestea să fie mai aproape de un alt punct de intersecție al graficele, de exemplu x=-1, y=-1.

Orez. 4.8. Rezolvarea grafică a unui sistem de două ecuații

S-a luat în considerare un exemplu de sistem de două ecuații și același număr de necunoscute, care apare cel mai des. Cu toate acestea, există cazuri în care numărul de ecuații și necunoscute poate să nu coincidă. Mai mult decât atât, la blocul de calcul pot fi adăugate condiții suplimentare sub formă de inegalități. De exemplu, introducerea unei restricții de căutare numai a valorilor negative ale lui x în exemplul de mai sus va duce la găsirea unei alte soluții, așa cum se arată în Fig. 4.9:

Orez. 4.9. Rezolvarea unui sistem de ecuații și inegalități

În ciuda acelorași valori inițiale ca în Fig. 4.8, în fig. 4.9 se obține o altă rădăcină. Acest lucru s-a întâmplat tocmai datorită introducerii unei inegalități suplimentare, care este definită în Dat (x< 0).

Dacă se încearcă rezolvarea unui sistem incompatibil, Mathcad va da un mesaj de eroare că nu a fost găsită nicio soluție și trebuie să încercați să modificați valorile inițiale sau valoarea erorii.

Unitatea de calcul folosește constanta CTOL ca estimare a erorii în rezolvarea ecuațiilor introduse după cuvântul cheie dat. De exemplu, dacă CTOL=0,001, atunci ecuația x=10 va fi considerată îndeplinită atât la x=10,001, cât și la x=9,999. O altă constantă TOL definește condiția pentru terminarea iterațiilor prin algoritmul numeric. Valoarea CTOL poate fi setată de utilizator în același mod ca TOL, de exemplu, CTOL:=0,01. Valoarea implicită este CTOL=TOL=0,001, dar le puteți suprascrie dacă doriți.

O atenție deosebită trebuie acordată la rezolvarea sistemelor cu mai multe necunoscute decât numărul de ecuații. De exemplu, una dintre cele două ecuații poate fi eliminată din fig. 4.7 încercând să rezolvăm singura ecuație g(x, y)=0 cu două necunoscute x și y. În această formulare, problema are un număr infinit de rădăcini: pentru orice x și, în consecință, y \u003d -x / 2, condiția care determină ecuația unică este îndeplinită. Totuși, chiar dacă există infinit de rădăcini, metoda numerică va efectua calcule doar până când expresiile logice din blocul de calcul sunt îndeplinite (în marja de eroare). După aceea, iterațiile vor fi oprite și va fi emisă o soluție. Ca rezultat, va fi găsită o singură pereche de valori (x, y), care a fost găsită prima.

Unitatea de calcul cu funcția Găsește poate găsi și rădăcina unei ecuații cu o necunoscută. Acțiunea Găsiți în acest caz este exact aceeași cu exemplele deja discutate în această secțiune. Problema găsirii rădăcinii este considerată ca o soluție a unui sistem format dintr-o ecuație. Singura diferență va fi mai degrabă scalarul decât tipul vectorial al numărului returnat de funcția Find(). Un exemplu de rezolvare a ecuației din secțiunea anterioară este prezentat în fig. 4.10.

Orez. 4.10. Găsirea rădăcinii unei ecuații cu o necunoscută folosind funcția Find().

Mathcad oferă trei tipuri diferite de metode de gradient pentru rezolvarea unui sistem de ecuații neliniare folosind blocul Given – Find(). Pentru a schimba metoda numerică, trebuie să:

Faceți clic dreapta pe numele funcției Găsiți;

Selectați elementul Neliniar (Neliniar) din meniul contextual care apare;

Alegeți una dintre cele trei metode: Gradient de conjugare (Gradienți de conjugare, instalat implicit), Quasi-Newton (Cvasi-Newton) sau Levenberg-Marquardt (Levenberg).