Текуща страница: 3 (общата книга има 9 страници) [достъпен откъс за четене: 7 страници]

Шрифт:

100% +

22. Статичен момент на сечение

Изчисленията на якостта показват, че напрежението и деформацията, които възникват в твърдо тяло, зависят от вътрешните силови фактори и геометричните характеристики на напречното сечение. При опън, например, напрежението зависи от площта на напречното сечение и тъй като напрежението в този случай е равномерно разпределено по сечението, не зависи от формата на сечението. При усукване напреженията зависят от размера и формата на сечението поради неравномерното разпределение на напреженията. Формулите за изчисляване на гредата при усукване включват полярен момент на инерция аз стрИ полярен момент на съпротивление У стр- геометрични характеристики на сечението. При изчисляване на якостта на гредата при огъване е необходимо да се знаят инерционните моменти и моментите на съпротивление на сечението спрямо осите, минаващи през центъра на тежестта на гредата. Нека вземем за разглеждане определен участък от лъч с площ Аи ос, минаваща през центъра на тежестта на това тяло. Статичният момент на равнинно сечениеоколо някаква ос хе сумата от произведенията на площите на елементарните площи, съставляващи сечението, от разстоянията на тези площи до оста, минаваща през центъра на тежестта. По същия начин за ос г.

Статичният момент се измерва в кубични метри. Тя може да бъде положителна, отрицателна или нула в зависимост от избраната ос. Ако статичните моменти и площта на напречното сечение са известни, тогава координатите на центъра на тежестта могат да бъдат определени като съотношението на статичния момент към площта на напречното сечение. И обратно, ако са известни координатите на центъра на тежестта на сечението - x c, y c, статичният момент е равен на произведението от площта на напречното сечение и разстоянието от центъра на тежестта до оста.

S x=Ay c

Sy=Брадва c

От получените отношения се вижда, че в случай, че оста минава през центъра на тежестта, статичният момент е нула.

В случая, когато напречното сечение може да се разглежда като н-тият брой съставни части с известни площи А ази координати на центровете на тежестта x i, y аз, позицията на целия център на тежестта може да се определи като сумата от продуктите:

Всеки член в числителя определя статичния момент на това сечение спрямо избраната ос.

23. Инерционен момент на сечението

Аксиален (или екваториален) момент на инерция на равнинно сечениеоколо някаква ос хе сумата от произведенията на площите на елементарните площи, които съставляват напречното сечение, върху квадрата на разстоянието на тези площи до оста, минаваща през центъра на тежестта. По този начин аксиалните моменти са интеграли по цялата площ на сечението.

Полярен момент на инерцияспрямо някаква точка (полюс) е сумата от произведенията на площите на елементарните площи, съставляващи сечението, по квадрата на разстоянието на тези площи до избраната точка.

центробежен момент на инерцияспрямо някои две взаимно перпендикулярни оси е сумата от произведенията на елементарните площи, които съставляват сечението, от разстоянията на тези площи до тези оси.

Инерционните моменти се измерват в m 4 . Аксиалните и полярните моменти на инерция могат да бъдат само положителни, тъй като за всеки знак на координатата квадратът на тази координата се взема във формулата. Центробежният инерционен момент може да бъде положителен, отрицателен или нулев.

Сумата от аксиалните инерционни моменти около две взаимно перпендикулярни оси е равна на полярния инерционен момент около точката, в която тези оси се пресичат.

аз ρ = аз х +аз г

Всъщност ρ е разстоянието от елементарната площ на сечението до някаква точка, тя се определя като хипотенузата на триъгълник със страни хИ г.

ρ 2 = х 2 + г 2

Заместваме тази връзка в израза за полярния момент на инерция и получаваме:

24. Инерционни моменти на прости сечения

Помислете за моментите на инерция на някои прости фигури.

кръг. аз ρ = аз х +аз y .Тъй като кръгът е симетрична фигура, тогава I x = I y. следователно аз p = 2 аз х. Въз основа на определението за полярния инерционен момент и връзката за полярния инерционен момент и аксиалните инерционни моменти в случай на окръжност, имаме:

За пръстенидиаметър ди вътрешен диаметър д 0

Полукръг. Главните централни оси са оста на симетрия на този полукръг и оста, перпендикулярна на него. За полукръг инерционният момент е половината от този на окръжност за същата ос. Ако обозначим х 1 основна ос, тогава

От връзката, свързваща инерционните моменти на успоредни оси, едната от които е централна, и като се знае стойността на ординатата на центъра на тежестта на полукръга г ° С ≈ 0.424rможете да определите инерционните моменти на полукръга:

Правоъгълник. Да дефинираме инерционния момент аз x1, съвпадаща с основата на правоъгълника, и разгледайте сечението Акато сбор от елементарни правоъгълници с ширина bи височина dy 1 , А=bdy 1

За инерционните моменти на успоредни оси, една от които е централна, аз х =I x1 – a 2 A. В този случай разстоянието а=ч/ 2, А=бх, инерционният момент спрямо осите хИ г

аз х = bh 3 / 12

аз г = hb 3 / 12

В частния случай на квадрат

аз х =аз y = b 4 / 12

За триъгълникизчислете инерционния момент аз x1, спрямо оста х 1 , съвпадаща с основата, и за това разглеждаме сечението като сума от елементарни правоъгълници с ширина b. След като извършим математически трансформации, намираме стойността аз х = bh 3 / 12. Инерционният момент спрямо централната ос е аз х =Ix1-а 2 б, в такъв случай а=ч/ 3,А= (1 / 2)бх. В резултат на това получаваме:

аз х =бх 3 / 12 – (з/3) 3 (1 / 2)бх= bh 3 / 36

Като цяло, ос хне е основният

аз y= bh 3 / 48

25. Връзка между инерционните моменти спрямо успоредни оси

Нека установим връзката между инерционните моменти спрямо успоредни оси, една от които е централна. За да направите това, помислете за напречно сечение с площ А. (фиг. 10) Да приемем, че са известни координатите на центъра на тежестта на сечението ° Си моменти на инерция аз xc, аз ycспрямо централните оси x c, y ° С. В този случай е възможно да се определят моментите на инерция спрямо осите хИ г, успоредна на централната и отдалечена от централната на разстояние аИ bсъответно. Записваме връзката за координатите на успоредни оси:

х= x c+b

г= yc+а

След това инерционният момент на сечението около оста хще се запише във формата:

В този израз първият член е инерционният момент спрямо оста х ° С, във втория член интегралът представлява статичния момент (и спрямо централната ос статичният момент винаги е нула), третият член е площта на напречното сечение, умножена по квадрата на разстоянието между осите А. По този начин:

аз х = аз xc + а 2 А

аз г = аз yc + b 2 А

Инерционният момент около всяка ос е равен на сумата от инерционния момент около централната ос, успоредна на дадената, и произведението на площта на напречното сечение на фигурата на квадрата на разстоянието. между осите.

Получихме връзка за инерционните моменти относно централните оси при преход към нецентрални, успоредни на тях. Тези отношения се наричат ​​още формули за паралелен трансфер.

От получените формули става ясно, че инерционният момент около централната ос винаги е по-малък от инерционния момент на всяка нецентрална, успоредна на нея.

26. Главни инерционни оси и главни инерционни моменти

Безкраен брой двойки взаимно перпендикулярни оси могат да бъдат начертани през всяка точка от равнината на сечението. Тъй като сумата от два аксиални момента на инерция на сечението е полярен момент и е постоянна стойност, тогава чрез преместване на координатната система можете да изберете такава позиция на осите, в която един от избраните моменти на инерция ще бъде максимален , а вторият - минимум. Помислете за връзката между инерционните моменти спрямо осите x 0, y 0 и инерционни моменти спрямо осите хИ г, завъртяна на ъгъл α спрямо x 0, y 0 . Нека намерим такива стойности на ъгъла α, при които инерционните моменти на перпендикулярните оси ще приемат своите максимални и минимални стойности. За да направим това, намираме първата производна по отношение на ъгъла на завъртане от аз х , аз ги го приравнете към нула ( математическо правилонамиране на екстремуми на функцията).

След трансформации съотношението ще приеме формата:

Получената формула определя положението на две взаимно перпендикулярни оси, инерционният момент спрямо едната от които е максимален, а инерционният момент спрямо другата е минимален. Такива оси се наричат главни инерционни оси. Моментите на инерция около такива оси се наричат основни инерционни моменти. В този случай центробежният момент е нула.

Осите, минаващи през центъра на тежестта на сечението, се наричат ​​централни оси. В практическите изчисления представляват интерес основните моменти на инерция относно централните оси, те се наричат основни централни моменти на инерция, и такива оси главни централни оси. Тъй като само централните оси представляват интерес, те просто се наричат ​​главни оси за краткост, а аксиалните инерционни моменти, изчислени по отношение на такива оси, се наричат ​​просто главни инерционни моменти.

Една от основните оси на инерция е оста, минаваща през центъра на симетрия на равнината на сечението, втората е перпендикулярна на нея. Оста на симетрия и всеки перпендикуляр към нея образуват система от главни оси. Ако сечението има няколко оси на симетрия (например кръг, квадрат, равностранен триъгълник), тогава всички централни оси са главни и всички централни моменти са равни.

27. Изчисляване на инерционните моменти на сложни сечения

Да се ​​намери инерционният момент на сложно сечение с площ Араздел е разделен на прости А 1 , А 2 , … А н, за които се намират инерционните моменти по готови формули или таблици.

Инерционният момент на сложна фигура се намира като сбор от инерционните моменти, които изграждат простите фигури.

аз х = аз х 1 + аз х 2 +… + аз xn

Инерционният момент е интегралът върху площта на напречното сечение,

за интеграла е вярно:

Следователно може да се напише, че:

С други думи, инерционният момент на съставно сечение спрямо някаква ос е сумата от инерционните моменти на компонентите на това сечение спрямо същата ос.

При решаването на задачи от този вид се следва следният алгоритъм. Намерете центъра на тежестта на плосък участък и определете основните централни оси. От таблици или с помощта на готови формули стойностите на инерционните моменти на съставните части се изчисляват спрямо собствените им централни оси, успоредни на главните централни оси на секцията. С помощта на формулите за паралелно прехвърляне се изчисляват стойностите на инерционните моменти на съставните части на секцията спрямо главните оси на секцията. Чрез сумиране се определят стойностите на основните централни моменти на инерция.

Това правило е валидно и за центробежния инерционен момент.

28. Понятието въртящ момент

Усукването е един от видовете деформация на гредата, при който в напречното сечение на гредата възниква един вътрешен силов фактор, т.нар. въртящ момент Mk. Този вид деформация възниква, когато върху гредата действа двойка сили, т.нар усукващи моменти Мприложен перпендикулярно на надлъжната му ос.

Пръчка, натоварена с въртящи моменти, се нарича вал. Сумата от въртящите моменти, действащи върху вала, е нула, ако валът се върти равномерно. Въртящият момент може да се определи по формулата, при условие че е известна предаваната мощност Пи ъглова скорост w.

При известна честота на въртене на вала, ъгловата скорост може да бъде записана като

Следователно изразът за въртящия момент може да бъде записан като:

При практически изчисления реалният обект се заменя с изчислителна схема. За да се опрости задачата, се приема, че ротационните моменти са концентрирани в средната част на частите, а не са разпределени по повърхността им. В сечението на произволен вал въртящият момент може да се определи с помощта на метода на сеченията, когато валът се нарязва психически от равнина. Една от частите се изхвърля и нейното влияние се заменя с въртящия момент Mk, след което се определя от уравненията за равновесие. Числената стойност на въртящия момент е сумата от въртящите моменти, които са от едната страна на секцията.

В напречните сечения на гредата по време на усукване възникват само тангенциални напрежения, нормалните сили са успоредни на надлъжната ос на гредата и техните моменти са равни на нула. Следователно определението за въртящ момент може да се формулира по следния начин: въртящият момент е резултатният момент от вътрешни тангенциални сили, възникващи в напречното сечение на гредата спрямо нейната надлъжна ос.

При изчисляване на якостта в случай на усукване на гредата е необходимо да се намери опасното сечение на гредата. Ако размерите на напречното сечение по оста на гредата са непроменени, тогава секциите с максимален въртящ момент се считат за опасни. За намиране на опасни участъци се изграждат диаграми на въртящия момент (графики на промените на въртящия момент по дължината на гредата). При конструирането на диаграми е обичайно да се приема, че въртящият момент е положителен, ако посоката му съвпада с посоката на часовниковата стрелка, ако погледнете начертаната секция. Това предположение е произволно, тъй като знакът на въртящия момент няма физическо значение.

29. Определяне на напреженията при усукване на кръгъл вал

При изследване на усукването на валове се правят следните предположения:

– хипотезата на плоските сечения: плоските напречни сечения на гредата след деформация също остават плоски и насочени по нормалата към нейната ос, завъртайки се под някакъв ъгъл спрямо тази ос;

- радиусите на напречните сечения не са извити, а дължината им остава постоянна;

- по оста на гредата разстоянията между напречните сечения остават постоянни.

Въз основа на горните предположения, усукването на кръгъл вал може да се счита за чисто срязване. Получените на базата на тези предположения формули се потвърждават експериментално.

Помислете за усукване на сечение от кръгла греда с радиус rдължина дз. Един от краищата ще се счита за фиксиран.

Когато се завърти под ъгъл a в напречното сечение, ъгълът на срязване, лежащ върху повърхността на такъв вал, се определя по формулата:

Съотношението на общия ъгъл на усукване на секцията на вала към неговата дължина се нарича относителен ъгъл на усукване.

Нека мислено да отделим цилиндър с радиус ρ в разглеждания участък на вала, ъгълът на срязване за повърхността на този цилиндър се определя по подобен начин:

Според закона на Хук, в случай на срязване, напреженията на срязване са равни на:

Така по време на усукване напреженията на срязване са право пропорционални на разстоянието от центъра на тежестта на сечението, а в центъра на тежестта напреженията на срязване са равни на нула. Приближавайки се до повърхността на вала, те вземат своите максимални стойности.

30. Изчисляване на моментите, предавани на вала

Помислете за усукване на част от кръгъл вал с диаметър rи дължина дз. В него отделяме цилиндър с диаметър ρ. Тъй като усукването е чисто срязване, нормалните напрежения са нула, а напреженията на срязване при завъртане под ъгъл α се разпределят, както следва:

Въртящият момент се определя като:

А- площ на напречното сечение. Заместване на напрежението на срязване в този израз и като се вземе предвид, че интегралът на радиуса върху площта на сечението е полярният момент на инерция на сечението , получаваме:

Замествайки този израз във формулата за напрежения на срязване, получаваме:

По този начин напреженията на срязване се определят като произведението на въртящия момент и радиуса, разделено на полярния момент на сечението. Ясно е, че за точки на еднакви разстояния от оста, напреженията на срязване са равни, максималните стойности на напрежението са в точки, разположени на повърхността на вала.

Тук е полярният усукващ момент на съпротивление.

За кръгло сечение

Условието за якост на усукване е както следва:

[τ] е максимално допустимото напрежение на срязване.

Тази формула също ви позволява да определите допустимия въртящ момент или да изберете допустимия диаметър на вала.

31, Деформация на усукване. Потенциална енергия

В процеса на усукване въртящите моменти се въртят заедно с напречното сечение под някакъв ъгъл и в същото време извършват работа, която, както при други видове деформация, се изразходва за създаване на определен запас от потенциална енергия в тялото, което се подлага деформация и се определя по формулата:

Това съотношение следва от линейна зависимоствъртящ момент М Да сеот ъгъла на завъртане φ.

Когато се прилага натоварване, въртящият момент постепенно се увеличава, докато в съответствие със закона на Хук ъгълът на въртене се увеличава пропорционално. Работата, извършена от въртящия момент, е равна на потенциалната енергия на деформация съгласно закона за запазване на енергията, следователно,

Ако заместим известната формула за ъгъла на усукване в полученото съотношение, тогава изразът ще приеме формата:

При стъпкова промяна на въртящия момент или напречното сечение на гредата, потенциалната енергия е сумата от:

Ако въртящият момент или полярните моменти (или и двете едновременно) се променят непрекъснато по дължината на секциите на гредата, тогава потенциалната енергия е интегрална по дължината

32. Изчисляване на винтови пружини

В машиностроенето и уредостроенето широко се използват спиралните пружини, които могат да бъдат цилиндрични, конусовидни или профилирани. Най-често използваните пружини са цилиндрични, изработени от тел с кръгло напречно сечение: пружини за разтягане (изработени без пролуки между намотките) и пружини за натиск (с пролука). За да опростим изчислението на пружините за твърдост и якост, ще приемем, че ъгълът на наклона на намотките е толкова малък, че може да бъде пренебрегнат и сечението по оста на пружината се счита за напречно за намотката. От условията на равновесие за отсечената част на пружината е ясно, че в сечението възникват два фактора на вътрешна сила: напречната сила Q г = Еи въртящ момент М Да се = FD / 2, т.е. в сечението на бобината възникват само тангенциални напрежения. Ще приемем, че срязващите напрежения, свързани с напречната сила, са равномерно разпределени по сечението, а срязващите сили, свързани с наличието на въртящ момент, са разпределени по линеен закон и достигат максималните си стойности в крайните точки на раздел. Най-близката до оста на пружината точка ще бъде най-напрегната, напрежението за нея е равно на:

Съотношението на диаметъра на пружината към диаметъра на телта се нарича индекс на пружината,

° С н =D/d

Получената формула е приблизителна поради пренебрегването на влиянието на напречната сила и поради факта, че не е взета предвид кривината на намотките. Нека въведем корекционен фактор ДА СЕ, в зависимост от индекса на пружината и ъгъла на наклона на намотките. Тогава условието за якост приема формата:

Когато се приложи натоварване, пружината променя дължината си. Тази промяна се нарича пролетно течениеλ. Нека определим на какво е равно тягата, ако намотките изпитват само усукване. Според формулата на Клапейрон работата на външните статични сили е:

Потенциална енергия на деформация

В такъв случай

Където л- дължината на разглеждания участък на пружината;

н- брой завъртания.

След като извършим заместването и математическите трансформации, получаваме, че:

33. Премествания и напрежения в винтови пружини

Спиралните пружини се използват широко в машиностроенето като устройства за абсорбиране на удари или устройства за обратно подаване. Изчисляването на спиралните пружини показва добре метода за определяне на преместванията. Спиралните пружини се разделят на пружини на опън, натиск и усукване. Пружините за опън и компресия се натоварват от сили, действащи по оста на пружината, торсионните пружини се натоварват от моменти, разположени в равнина, перпендикулярна на оста на пружината.

Усуканата пружина може да се разглежда като пространствено огънат прът със спирална ос. Формата на пружината се характеризира със следните параметри: диаметър на пружината д, брой завъртания н, ъгъл на повдигане θ и пружинен терен сдефиниран по формулата:

с= π dtgθ

Обикновено стъпката на пружината е много по-малка от π д, ъгълът θ е доста малък (по-малко от 5°).

Помислете за пружина за натиск и натиск. Под въздействието на външно натоварване Рвъв всяко напречно сечение, в резултат вътрешна сила Ри момент М=PD / 2, лежащ в равнината на действие на силите Р. На фиг. 13 показва силите, действащи в напречното сечение на пружината.

Проекциите на общата сила и момент спрямо координатната система, свързана със сечението, се описват със следните отношения:

М Да се = (PD/ 2) × cosθ,

М аут= (PD / 2) × sinθ,

Q=П× cosθ,

н=П× sinθ.

Да приемем силата Ре равно на 1, тогава съотношенията на силите и моментите ще приемат формата:

М k1 = (д/ 2) × cosθ,

М изг1 = (д/ 2) × sinθ,

Q 1 = cosθ,

н 1 = sinθ.

Нека намерим аксиалното изместване в пружината с помощта на интеграла на Мор. Като се има предвид малките премествания, причинени от нормални и напречни сили, както и аксиално изместване, в този случай интегралът на Мор се записва, както следва:

където произведението в знаменателя е якостта на усукване на пружината;

l е дължината на работната част на пружината;

л≈ π Dn

Поради малкия ъгъл на наклона на завоите θ приемаме, че cos θ = 1, тогава

Напреженията в спиралните пружини, работещи при натиск-опън или усукване, се определят, както следва.

http//:www.svkspb.nm.ru

Геометрични характеристики на плоски сечения

Квадрат: , dF - елементарна площ.

Статичен момент на елемент площdFоколо оста 0x
- произведение на елемента площ по разстоянието "y" от оста 0x: dS x = ydF

Сумирайки (интегрирайки) такива продукти по цялата площ на фигурата, получаваме статични моментиотносно осите y и x:
;
[cm 3, m 3 и т.н.].

Координати на центъра на тежестта:
. Статични моменти спрямо централни оси(оси, минаващи през центъра на тежестта на сечението) са равни на нула. При изчисляване на статичните моменти на сложна фигура, тя се разделя на прости части, с известни области F i и координати на центровете на тежестта x i, y i. Статичният момент на площта на цялата фигура \u003d сумата на статичните моменти на всяка негова част:
.

Координатите на центъра на тежестта на сложна фигура:

М
инерционни моменти на сечението

Аксиален(екваториален) инерционен момент на сечението- сумата от произведенията на елементарните площи dF по квадратите на техните разстояния до оста.

;
[cm 4, m 4 и т.н.].

Полярният инерционен момент на участък спрямо определена точка (полюс) е сумата от произведенията на елементарните площи по квадратите на техните разстояния от тази точка.
; [cm 4, m 4 и т.н.]. J y + J x = J p .

Центробежен инерционен момент на сечението- сумата от произведенията на елементарните площи на техните разстояния от две взаимно перпендикулярни оси.
.

Центробежният инерционен момент на сечението около осите, едната или двете от които съвпадат с осите на симетрия, е равен на нула.

Аксиалните и полярните моменти на инерция винаги са положителни, центробежните моменти на инерция могат да бъдат положителни, отрицателни или нулеви.

Инерционният момент на сложна фигура е равен на сумата от инерционните моменти на съставните й части.

Инерционни моменти на сечения с проста форма

П
правоъгълно сечение Кръг

ДА СЕ


пръстен

T
правоъгълник

Р
автофеморален

Правоъгълна

T
правоъгълник

з четвърт кръг

J y \u003d J x \u003d 0,055R 4

Jxy =0,0165R 4

на фиг. (-)

Полукръг

М

инерционните моменти на стандартните профили се намират от асортиментните таблици:

д
vutaur Канал ъгъл

М

инерционни моменти спрямо успоредни оси:

Дж x1 = J x + a 2 F;

J y1 = J y + b 2 F;

инерционният момент около всяка ос е равен на инерционния момент около централната ос, успоредна на дадената, плюс произведението на площта на фигурата и квадрата на разстоянието между осите. J y1x1 = J yx + abF; ("a" и "b" се заместват във формулата, като се вземе предвид техният знак).

Връзка между инерционни моменти при завъртане на осите:

Дж x1 \u003d J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 \u003d J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Ъгъл >0, ако преходът от старата координатна система към новата става обратно на часовниковата стрелка. J y1 + J x1 = J y + J x

Наричат ​​се екстремни (максимални и минимални) стойности на инерционните моменти основни инерционни моменти. Наричат ​​се осите, по отношение на които аксиалните моменти на инерция имат екстремни стойности главни инерционни оси. Главните инерционни оси са взаимно перпендикулярни. Центробежни инерционни моменти около главните оси = 0, т.е. главни инерционни оси - оси, по отношение на които центробежният инерционен момент = 0. Ако една от осите съвпада или и двете съвпадат с оста на симетрия, тогава те са главни. Ъгъл, определящ позицията на главните оси:
, ако  0 >0  осите се въртят обратно на часовниковата стрелка. Оста на максимума винаги сключва по-малък ъгъл с този на осите, спрямо които инерционният момент има по-голяма стойност. Наричат ​​се главни оси, минаващи през центъра на тежестта главни централни инерционни оси. Инерционни моменти около тези оси:

J max + J min = J x + J y. Центробежният инерционен момент около главните централни оси на инерция е 0. Ако основните инерционни моменти са известни, тогава формулите за преход към въртящи се оси са:

J x1 \u003d J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 \u003d J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min) sin2;

Крайната цел на изчисляването на геометричните характеристики на сечението е да се определят основните централни инерционни моменти и положението на главните централни инерционни оси. Р радиус на инерция -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Ако J x и J y са основните инерционни моменти, тогава i x и i y - главни радиуси на въртене. Нарича се елипса, построена върху главните радиуси на инерция като върху полуоси елипса на инерцията. Използвайки елипсата на инерцията, можете графично да намерите радиуса на въртене i x1 за всяка ос x 1. За да направите това, начертайте допирателна към елипсата, успоредна на оста x 1, и измерете разстоянието от тази ос до допирателната. Познавайки радиуса на въртене, можете да намерите инерционния момент на сечението около оста x 1:
. За сечения с повече от две оси на симетрия (например: кръг, квадрат, пръстен и т.н.), аксиалните инерционни моменти около всички централни оси са равни един на друг, J xy \u003d 0, елипсата на инерцията се превръща в кръг на инерцията.

моменти на съпротива.

Аксиален момент на съпротивление- отношението на инерционния момент около оста към разстоянието от нея до най-отдалечената точка на сечението.
[cm 3, m 3]

Особено важни са моментите на съпротивление спрямо главните централни оси:

правоъгълник:
; кръг: Wx=Wy=
,

тръбна секция (пръстен): W x =W y =
, където = d H /d B .

Полярен момент на съпротивление - съотношението на полярния момент на инерция към разстоянието от полюса до най-отдалечената точка на сечението:
.

За кръг W p =
.

Ако m = 1, n = 1, тогава получаваме характеристиката

което се нарича центробежен момент на инерция.

центробежен момент на инерцияспрямо координатните оси - сумата от произведенията на елементарните площи dAна разстоянията им до тези оси, взети по цялата площ на напречното сечение А.

Ако поне една от осите гили zе оста на симетрия на сечението, центробежният инерционен момент на такова сечение по отношение на тези оси е равен на нула (тъй като в този случай всяка положителна стойност z y dAможем да съпоставим точно същото, но отрицателно, от другата страна на оста на симетрия на сечението, вижте фигурата).

Нека разгледаме допълнителни геометрични характеристики, които могат да бъдат получени от изброените основни и също често се използват при изчисления на якост и твърдост.

Полярен момент на инерция

Полярен момент на инерция Jpобадете се на характеристиката

От друга страна,

Полярен момент на инерция(по отношение на дадена точка) е сумата от произведенията на елементарните площи dAдо квадратите на техните разстояния до тази точка, взети върху цялата площ на напречното сечение А.

Размерът на инерционните моменти е m 4 в SI.

Момент на съпротива

Момент на съпротиваспрямо някаква ос - стойност, равна на инерционния момент спрямо същата ос, разделена на разстоянието ( ymaxили zmax) до точката, която е най-отдалечена от тази ос

Размерът на моментите на съпротивление е m 3 в SI.

Радиус на инерция

Радиус на инерциясечение по отношение на някаква ос, се нарича стойността, определена от връзката:

Радиусите на въртене се изразяват в m в системата SI.

коментар:секциите на елементите на съвременните конструкции често представляват определен състав от материали с различна устойчивост на еластична деформация, характеризиращ се, както е известно от курса на физиката, модул на Юнг д. В най-общия случай на нееднородно сечение модулът на Юнг е непрекъсната функция от координатите на точките на сечението, т.е. E = E(z, y). Следователно твърдостта на нехомогенно по отношение на еластичните свойства сечение се характеризира с по-сложни характеристики от геометричните характеристики на хомогенно сечение, а именно еластично-геометричен тип

2.2. Изчисляване на геометричните характеристики на прости фигури

Правоъгълно сечение

Определете аксиалния инерционен момент на правоъгълника спрямо оста z. Разделяме площта на правоъгълника на елементарни области с размери b(ширина) и dy(височина). Тогава площта на такъв елементарен правоъгълник (защрихована) е равна на dA = b dy. Заместваща стойност dAв първата формула, получаваме

По аналогия записваме аксиалния момент спрямо оста при:

Аксиални моменти на съпротивление на правоъгълника:

;

По подобен начин могат да се получат геометрични характеристики и за други прости фигури.

кръгло сечение

Първо е удобно да се намери полярен инерционен момент J p .

След това, като вземем предвид това за кръг Jz = Jy, А J p = J z + J y, намирам Джей Зи =Джи = Jp / 2.

Нека разделим кръга на безкрайно малки пръстени с дебелина dρи радиус ρ ; площта на такъв пръстен dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ. Заместване на израза за dAв израза за Jpи интегрирайки, получаваме

2.3. Изчисляване на инерционните моменти относно успоредни оси

zИ г:

Необходимо е да се определят инерционните моменти на тази секция спрямо "новите" оси z1И y 1, успоредни на централните и отдалечени от тях на разстояние аИ bсъответно:

Координати на всяка точка от "новата" координатна система z 1 0 1 y 1може да се изрази чрез координати в "старите" оси zИ гТака:

Тъй като брадвите zИ г– централен, след това статичният момент Sz = 0.

И накрая, можем да запишем формулите за "преход" за паралелното преместване на осите:

Имайте предвид, че координатите аИ bтрябва да бъдат заменени, като се вземе предвид техният знак (в координатната система z 1 0 1 y 1).

2.4. Изчисляване на инерционните моменти при въртене на координатни оси

Нека са известни инерционните моменти на произволно сечение около централните оси z, y:

; ;

Нека завъртим осите z, гна ъгъла α обратно на часовниковата стрелка, като ъгълът на въртене на осите в тази посока се счита за положителен.

Необходимо е да се определят инерционните моменти спрямо "новите" (завъртяни) оси z1И y 1:

Елементарни координати на сайта dAв "новата" координатна система z 1 0y 1може да се изрази чрез координати в "старите" оси, както следва:

Заменяме тези стойности във формулите за моментите на инерция в "новите" оси и интегрираме термин по термин:

След като извършихме подобни трансформации с останалите изрази, най-накрая ще запишем формулите за „преход“, когато координатните оси се завъртат:

Обърнете внимание, че ако добавим първите две уравнения, получаваме

т.е. полярният инерционен момент е количеството инвариант(с други думи, непроменени, когато координатните оси се завъртат).

2.5. Главни оси и главни инерционни моменти

Досега се разглеждаха геометричните характеристики на сеченията в произволна координатна система, но от най-голям практически интерес е координатната система, в която сечението се описва с най-малък брой геометрични характеристики. Такава "специална" координатна система се дава от положението на главните оси на сечението. Нека представим понятията: главни осиИ основни инерционни моменти.

Главни оси- две взаимно перпендикулярни оси, спрямо които центробежният момент на инерция е равен на нула, докато аксиалните моменти на инерция приемат екстремни стойности (максимум и минимум).

Наричат ​​се главни оси, минаващи през центъра на тежестта на сечението главни централни оси.

Инерционните моменти около главните оси се наричат главни инерционни моменти.

Главните централни оси обикновено се означават с букви uИ v; основни инерционни моменти J uИ J v(a-приори J uv = 0).

Извеждаме изрази, които ни позволяват да намерим положението на главните оси и големината на главните инерционни моменти. Знаейки това J uv= 0, използваме уравнение (2.3):

Ъгъл α 0 определя позицията на главните оси спрямо всяка централна ос zИ г. Ъгъл α 0 отложени между оста zи ос uи се счита за положителен в посока обратна на часовниковата стрелка.

Обърнете внимание, че ако сечението има ос на симетрия, тогава, в съответствие със свойството на центробежния момент на инерция (вижте раздел 2.1, точка 4), такава ос винаги ще бъде главната ос на сечението.

с изключение на ъгъла α в изрази (2.1) и (2.2), използвайки (2.4), получаваме формули за определяне на основните аксиални моменти на инерция:

Нека напишем правилото: максималната ос винаги сключва по-малък ъгъл с този на осите (z или y), спрямо които инерционният момент има по-голяма стойност.

2.6. Рационални форми на напречните сечения

Нормалните напрежения в произволна точка от напречното сечение на гредата при директно огъване се определят по формулата:

, (2.5)

Където Ме моментът на огъване в разглежданото напречно сечение; прие разстоянието от разглежданата точка до главната централна ос, перпендикулярна на равнинатадействие на огъващ момент; J xе основният централен инерционен момент на сечението.

Най-големите нормални напрежения на опън и натиск в дадено напречно сечение възникват в точките, които са най-отдалечени от неутралната ос. Те се определят по формулите:

; ,

Където 1И на 2- разстояния от главната централна ос хкъм най-външните разтегнати и компресирани влакна.

За греди, изработени от пластмасови материали, когато [σ p ] = [σ c ] ([σ p ], [σ c ] са допустимите напрежения за материала на гредата съответно при опън и натиск), се използват сечения, които са симетрични относно централната ос. В този случай условието за якост има формата:

≤ [σ], (2.6)

Където W x = J x / y макс- момент на съпротивление на площта на напречното сечение на гредата спрямо главната централна ос; ymax = з/2(ч– височина на секцията); M макс- най-голямата абсолютна стойност на огъващия момент; [σ] – допустимо напрежение на огъване на материала.

Освен условието за якост, гредата трябва да отговаря и на условието за икономичност. Най-икономични са тези форми на напречно сечение, за които с най-малък разход на материал (или с най-малка площ на напречното сечение) се получава най-голяма стойност на съпротивителния момент. За да бъде формата на сечението рационална, е необходимо, ако е възможно, сечението да се разпредели далеч от главната централна ос.

Например стандартната I-греда е около седем пъти по-здрава и тридесет пъти по-твърда от греда с квадратно напречно сечение със същата площ, направена от същия материал.

Трябва да се има предвид, че когато положението на сечението се промени по отношение на действащото натоварване, силата на гредата се променя значително, въпреки че площта на сечението остава непроменена. Следователно сечението трябва да бъде разположено така, че силовата линия да съвпада с тази на главните оси, спрямо които инерционният момент е минимален. Трябва да се стреми да огъне гредата в равнината на най-голямата си твърдост.

Нека въведем декартова правоъгълна координатна система O xy . Да разгледаме произволно сечение (затворена област) с площ А в координатната равнина (фиг. 1).

статични моменти

Точка C с координати (x C, y C)

Наречен център на тежестта на секцията.

Ако координатните оси минават през центъра на тежестта на сечението, тогава статичните моменти на сечението са равни на нула:

Аксиални моменти на инерциясечения по отношение на осите x и y се наричат ​​интеграли от вида:

Полярен момент на инерциясечение по отношение на произхода се нарича интеграл от формата:

центробежен момент на инерцияраздел се нарича интеграл от формата:

Главни инерционни оси на сечениетосе наричат ​​две взаимно перпендикулярни оси, спрямо които I xy =0. Ако една от взаимно перпендикулярните оси е оста на симетрия на сечението, тогава I xy \u003d 0 и следователно тези оси са основните. Наричат ​​се главни оси, минаващи през центъра на тежестта на сечението главни централни инерционни оси на сечението

2. Теоремата на Щайнер-Хюйгенс за паралелно преместване на оси

Теоремата на Щайнер-Хюйгенс (теоремата на Щайнер).
Аксиалният инерционен момент на сечението I спрямо произволна фиксирана ос x е равен на сумата от аксиалния инерционен момент на този участък I с относителната ос x *, успоредна на него, минаваща през центъра на масата на сечението , и произведението на площта на сечението A и квадрата на разстоянието d между двете оси.

Ако са известни моментите на инерция I x и I y спрямо осите x и y, тогава спрямо осите ν и u, завъртяни на ъгъл α, аксиалните и центробежните моменти на инерция се изчисляват по формулите:

От горните формули се вижда, че

Тези. сумата от аксиалните инерционни моменти не се променя при завъртане на взаимно перпендикулярните оси, т.е. осите u и v, спрямо които центробежният инерционен момент на сечението е нула, а аксиалните инерционни моменти І u и I v имат екстремни стойности max или min, се наричат ​​главни оси на секцията. Наричат ​​се главни оси, минаващи през центъра на тежестта на сечението основните централни оси на сечението. За симетричните сечения техните оси на симетрия винаги са главните централни оси. Положението на главните оси на сечението спрямо другите оси се определя с помощта на съотношението:

където α 0 е ъгълът, с който трябва да се завъртят осите x и y, така че да станат основните (обичайно е да се отделя положителен ъгъл обратно на часовниковата стрелка, отрицателен - по часовниковата стрелка). Аксиалните моменти на инерция около главните оси се наричат основни инерционни моменти:

знакът плюс пред втория член се отнася за максималния инерционен момент, знакът минус за минималния.

Често чуваме изрази: „инертен е“, „движи се по инерция“, „инерционен момент“. IN преносен смисълдумата "инерция" може да се тълкува като липса на инициатива и действие. Интересуваме се от прякото значение.

Какво е инерция

По дефиниция инерциявъв физиката това е способността на телата да поддържат състояние на покой или движение при липса на външни сили.

Ако всичко е ясно със самата концепция за инерция на интуитивно ниво, тогава момент на инерция- отделен въпрос. Съгласете се, трудно е да си представите какво е това. В тази статия ще научите как да решавате основни задачи по темата "Момент на инерция".

Определяне на инерционния момент

от училищен курсизвестно е, че масата е мярка за инерцията на тялото. Ако бутаме две колички с различни маси, тогава ще бъде по-трудно да спрем тази, която е по-тежка. Тоест, колкото по-голяма е масата, толкова по-голямо външно влияние е необходимо за промяна на движението на тялото. Разгледаното се отнася за транслационното движение, когато количката от примера се движи по права линия.

По аналогия с масовото и транслационното движение, инерционният момент е мярка за инерцията на тялото по време на въртеливо движение около ос.

Момент на инерция- скаларни физическо количество, мярка за инерцията на тялото, докато се върти около ос. Означава се с буква Дж и в системата SI измерено в килограми, умножени по квадратен метър.

Как да изчислим инерционния момент? Във физиката има обща формула, по която се изчислява инерционният момент на всяко тяло. Ако тялото се натроши на безкрайно малки парчета маса дм , тогава инерционният момент ще бъде равен на сумата от продуктите на тези елементарни маси и квадрата на разстоянието до оста на въртене.

Това е общата формула за инерционния момент във физиката. За материална точка от маса м , въртящи се около ос на разстояние r от него тази формула приема формата:

Теорема на Щайнер

От какво зависи инерционният момент? От масата, положението на оста на въртене, формата и размера на тялото.

Теоремата на Хюйгенс-Щайнер е много важна теорема, която често се използва при решаване на проблеми.

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от всякакъв вид работа

Теоремата на Хюйгенс-Щайнер гласи:

Инерционният момент на тяло спрямо произволна ос е равен на сбора от инерционния момент на тялото около ос, минаваща през центъра на масата, успоредна на произволна ос, и произведението на масата на тялото по квадрата на разстояние между осите.

За тези, които не искат постоянно да се интегрират, когато решават задачи за намиране на инерционния момент, ето фигура, показваща инерционните моменти на някои еднородни тела, които често се срещат в задачи:

Пример за решаване на задачата за намиране на инерционния момент

Нека разгледаме два примера. Първата задача е да се намери инерционният момент. Втората задача е да се използва теоремата на Хюйгенс-Щайнер.

Задача 1. Намерете инерционния момент на хомогенен диск с маса m и радиус R. Оста на въртене минава през центъра на диска.

Решение:

Нека разделим диска на безкрайно тънки пръстени, чийто радиус варира от 0 преди Ри помислете за един такъв пръстен. Нека неговият радиус е r, и масата дм. Тогава инерционният момент на пръстена:

Масата на пръстена може да бъде представена като:

Тук дзе височината на пръстена. Заместете масата във формулата за инерционния момент и интегрирайте:

Резултатът беше формула за инерционния момент на абсолютно тънък диск или цилиндър.

Задача 2. Нека отново има диск с маса m и радиус R. Сега трябва да намерим инерционния момент на диска спрямо оста, минаваща през средата на един от неговите радиуси.

Решение:

Инерционният момент на диска спрямо оста, минаваща през центъра на масата, е известен от предишната задача. Прилагаме теоремата на Щайнер и намираме:

Между другото, в нашия блог можете да намерите други полезни материали по физика и решаване на проблеми.

Надяваме се, че ще намерите нещо полезно в статията. Ако има трудности в процеса на изчисляване на тензора на инерцията, не забравяйте за студентската служба. Нашите експерти ще ви посъветват по всеки въпрос и ще помогнат за решаването на проблема за няколко минути.