Нека е дадена таблицата със стойностите на функциите y iна възли х 0 < х 1 < ... < х п .Означаваме h i \u003d x i - x i -1 , аз= 1, 2, ... , П.

Сплайне гладка крива, минаваща през дадени точки ( x i, y i), аз = 0, 1, ... , П. Сплайн интерполация се крие във факта, че на всеки сегмент [ x i -1 , x i]използва се полином от определена степен. Най-често използваният полином е от трета степен, по-рядко от втора или четвърта. В този случай за определяне на коефициентите на полиномите се използват условията за непрекъснатост на производните в интерполационните възли.

Интерполация чрез кубични сплайнипредставлява локална интерполация, когато на всеки сегмент [ x i -1 , x i], аз = 1, 2, ... , Пизползва се кубична крива, която удовлетворява определени условия за гладкост, а именно непрекъснатостта на самата функция и нейните първа и втора производни в възловите точки. Използването на кубичната функция се дължи на следните съображения. Ако приемем, че интерполационната крива съответства на еластична линийка, фиксирана в точки ( x i, y i), тогава от курса на якост на материалите е известно, че тази крива се определя като решение диференциално уравнение f(iv) ( х) = 0 на сегмента [ x i -1 , x i] (за простота на представянето не разглеждаме въпроси, свързани с физическите измерения). Общото решение на такова уравнение е полином от 3-та степен с произволни коефициенти, който удобно се записва като
Si(х) = a i + b i(х - x i -1) +с i(х - x i -1) 2 + d i(х - x i -1) 3 ,
x i-1 £ х £ x i, аз = 1, 2, ... , П.(4.32)

Функционални коефициенти Si(х) се определят от условията за непрекъснатост на функцията и нейните първи и втори производни във вътрешни възли x i,аз= 1, 2,..., П - 1.

От формули (4.32) с х = x i-1 получаваме

Si(x i- 1) = y i -1 = a i, аз = 1, 2,..., П,(4.33)

и при х = x i

Si(x i) = a i + b i h i +с i h i 2 + d i h i 3 ,(4.34)

аз= 1, 2,..., н.

Условията за непрекъснатост на интерполационната функция се записват като Si(x i) = Si -1 (x i), аз= 1, 2, ... , н- 1 и от условия (4.33) и (4.34) следва, че те са изпълними.

Нека намерим производни на функции Si(х):

S"i(х) =b i + 2с i(х - x i -1) + 3ди(х – x i -1) 2 ,

S"i(х) = 2c i + 6d i(x - x i -1).

При х = x i-1, имаме S"i(x i -1) = b i, С" (x i -1) = 2с i, и когато х = x iполучаваме

S"i(x i) = b i+ 2с i h i+ 3дих аз 2 , С" (x i) = 2с i + 6d i h i.

Условията за непрекъснатост на производните водят до уравненията

S"i(x i) =S" i +1 (x i) Þ b i+ 2с i h i+ 3дих аз 2 = b i +1 ,

аз= l, 2,... , П - 1. (4.35)

S"i (x i) = S"i +1 (x i) Þ 2 с i + 6d i h i= 2c i +1 ,

аз=l, 2,..., н- 1. (4.36)

Общо имаме 4 н– 2 уравнения за определяне на 4 ннеизвестен. За да се получат още две уравнения, се използват допълнителни гранични условия, например изискването за нулева кривина на интерполационната крива в крайните точки, т.е. равенството на втората производна на нула в краищата на сегмента [ А, b]А = х 0 , b= x n:

С" 1 (х 0) = 2° С 1 = 0 с 1 = 0,

S"n(x n) = 2с n + 6d n h n = 0 Þ с n + 3d n h n = 0. (4.37)

Системата от уравнения (4.33)–(4.37) може да бъде опростена и могат да бъдат получени рекурсивни формули за изчисляване на коефициентите на сплайн.

От условие (4.33) имаме изрични формули за изчисляване на коефициентите a i:

a i = y i -1 , i= 1,..., н. (4.38)

Експрес d iпрез c iизползвайки (4.36), (4.37):

; аз = 1, 2,...,н; .

Да сложим с n+1 = 0, след това за d iполучаваме една формула:

, аз = 1, 2,...,н. (4.39)

Заменяме изрази за a iИ d iв равенство (4.34):

, аз= 1, 2,..., н.

и експрес b i, през с i:

, аз= 1, 2,..., н. (4.40)

Нека изключим от уравненията (4.35) коефициентите b iИ d iизползвайки (4.39) и (4.40):

аз= 1, 2,..., н -1.

От тук получаваме система от уравнения за определяне с i:

Системата от уравнения (4.41) може да бъде пренаписана като

Тук въведохме нотацията

, аз =1, 2,..., н- 1.

Решаваме системата от уравнения (4.42) чрез метода на почистване. От първото уравнение изразяваме с 2 чрез с 3:

° С 2 = a2 ° С 3 + b2 , , . (4,43)

Заместваме (4.43) във второто уравнение (4.42):

ч 2 (а 2 ° С 3 + b 2) + 2( ч 2 + ч 3)° С 3 +ч 3 ° С 4 = ж 2 ,

и експрес с 3 чрез с 4:

с 3 = 3 с 4 + b 3 , (4,44)

Ако приемем, че с i-1 = а аз -1 c i+б аз-1 от азто уравнение (4.42), което получаваме

c i= а аз с аз+1+б аз

, аз = 3,..., н– 1, а н= 0, (4.45) c n +1 = 0,

c i= а аз с аз+1+б аз, аз= н, н -1,..., 2, (4.48)

° С 1 = 0.

3. Изчисляване на коефициенти a i, b i,d i:

a i = y i -1 ,

аз= 1, 2,..., н.

4. Изчисляване на стойността на функцията с помощта на сплайн. За да направите това, намерете такава стойност азче дадената стойност на променливата хпринадлежи към сегмента [ x i -1 , x i] и изчислете

Si(х) = a i + b i(х - x i -1) +с i(х - x i -1) 2 + d i(х - x i -1) 3 . (4.50)

Интерполационни формули на Лагранж, Нютон и Стърлинг и др. при използване на голям брой интерполационни възли на целия сегмент [ а, b] често водят до лошо приближение поради натрупването на грешки в процеса на изчисление. Освен това, поради разминаването на процеса на интерполация, увеличаването на броя на възлите не води непременно до повишаване на точността. За да намалите грешките, целият сегмент [ а, b] се разделя на частични сегменти и на всеки от тях функцията се замества с приближен полином от ниска степен. Нарича се частична полиномна интерполация.

Един от методите за интерполация върху целия сегмент [ а, b] е сплайн интерполация.

Сплайнсе нарича частична полиномиална функция, дефинирана на сегмента [ а, b] и имащ определен брой непрекъснати производни на този сегмент. Предимствата на сплайн интерполацията пред конвенционалните методи за интерполация са в конвергенцията и стабилността на изчислителния процес.

Помислете за един от най-често срещаните случаи в практиката - интерполация на функцията кубичен сплайн.
Нека на интервала [ а, b] е непрекъсната функция. Нека въведем разделяне на сегмента:

и обозначават, .

Сплайн, съответстващ на дадена функция и интерполационни възли (6), е функция, която отговаря на следните условия:

1) на всеки сегмент функцията е кубичен полином;

2) функцията , както и нейните първа и втора производни са непрекъснати на сегмента [ а, b] ;

Третото условие се нарича условие за интерполация. Извиква се сплайн, определен от условия 1) - 3). интерполиращ кубичен сплайн.

Помислете за метод за конструиране на кубичен сплайн.

На всеки от сегментите, ще търсим сплайн функция под формата на полином от трета степен:

(7)

Където желани коефициенти.

Диференцираме (7) три пъти по отношение на х:

откъдето следва

От условието за интерполация 3) получаваме:

Това следва от условията за непрекъснатост на функцията.

Кривите и повърхнините, срещани при практически задачи, често са доста сложна форма , което не позволява универсална аналитична дефиниция като цяло с помощта на елементарни функции. Следователно те се сглобяват от сравнително прости гладки фрагменти - сегменти (криви) или разрези (повърхности), всеки от които може да бъде доста задоволително описан с помощта на елементарни функции на една или две променливи. В този случай е съвсем естествено да се изисква гладките функции, които се използват за конструиране на частични криви или повърхности, да имат подобна природа, например да бъдат полиноми от същата степен. И за да бъде получената крива или повърхност достатъчно гладка, е необходимо да бъдете особено внимателни на кръстовищата на съответните фрагменти. Степента на полиномите се избира от прости геометрични съображения и като правило е малка. За плавна промяна на допирателната по цялата съставна крива е достатъчно свързващите криви да се опишат с помощта на полиноми от трета степен, кубични полиноми. Коефициентите на такива полиноми винаги могат да бъдат избрани така, че кривината на съответната съставна крива да е непрекъсната. Кубичните сплайни, които възникват при решаването на едномерни проблеми, могат да бъдат адаптирани към оформянето на фрагменти от съставни повърхности. И тук съвсем естествено се появяват бикубични сплайни, описани с полиноми от трета степен по всяка от двете променливи. Работата с такива сплайнове изисква много повече изчисления. Но правилно организираният процес ще позволи да се вземат предвид непрекъснато нарастващите възможности на компютърните технологии в максимална степен. Сплайн функции Нека върху сегмента , т.е. Забележка. Индексът (t) на числата a^ показва, че. че наборът от коефициенти, чрез които функцията S(x) се определя на всеки частичен сегмент D, е собствен. На всяка от отсечките D1 сплайнът 5(x) е полином от степен p и се определя на тази отсечка от p + 1 коефициент. Общо частични сегменти - тогава. Следователно, за да се определи напълно сплайнът, е необходимо да се намерят (p + 1), след това числа. Условие) означава непрекъснатостта на функцията S(x) и нейните производни във всички вътрешни възли на мрежата w. Броят на тези възли е m - 1. По този начин, за да се намерят коефициентите на всички полиноми, се получават p(m - 1) условия (уравнения). За пълна дефиниция на сплайна няма достатъчно (условия (уравнения). Изборът на допълнителни условия се определя от естеството на разглеждания проблем, а понякога просто от желанието на потребителя. ТЕОРИЯ НА СПЛАЙН примери за решения на равнина При проблеми с интерполация се изисква сплайн графиката да минава през точки, което налага m + 1 допълнителни условия (уравнения) върху нейните коефициенти. Останалите p - 1 условия (уравнения) за уникалната конструкция на сплайн най-често се задават под формата на стойности на долните производни на сплайн в краищата на разглеждания сегмент [a, 6] - граница ( гранични условия. Възможността да избирате различни гранични условия ви позволява да изграждате сплайнове с различни свойства. При проблеми с изглаждане сплайнът се изгражда така, че неговата графика да минава близо до точките (i "" Y "), * = 0, 1, ..., m, а не през тях. Мярката за тази близост може да бъде определена по различни начини, което води до значително разнообразие от изглаждащи сплайнове. Описаните възможности за избор при конструиране на сплайн функции далеч не изчерпват разнообразието им. И ако първоначално се разглеждаха само частични полиномиални сплайн функции, то с разширяването на обхвата на техните приложения започнаха да се появяват сплайнове, „слепени“ и от други елементарни функции. Интерполационни кубични сплайни Постановка на проблема с интерполацията Нека мрежата w е дадена на интервала [a, 6) Разгледайте набор от числа Проблем. Конструирайте функция, която е гладка на сегмента (a, 6] и приема дадените стойности във възлите на мрежата o, т.е. налагане на конструираната функция допълнителни условия , е възможно да се постигне необходимата еднозначност. В приложенията често става необходимо да се приближи функция, дадена аналитично чрез функция с предписани достатъчно добри свойства. Например, в случаите, когато изчисляването на стойностите на дадена функция f(x) в точки от сегмента [a, 6] е свързано със значителни трудности и/или дадената функция f(x) няма изискваната гладкост, удобно е да се използва друга функция, която апроксимира достатъчно добре дадена функция и би била лишена от отбелязаните недостатъци. Проблем с интерполация на функция. Да се ​​построи върху интервала [a, 6] гладка функция a(x), съвпадаща във възлите на мрежата w с дадената функция f(x). Дефиниция на интерполиращ кубичен сплайн Интерполиращ кубичен сплайн S(x) върху мрежа w е функция, която 1) във всеки от сегментите е полином от трета степен, 2) е два пъти непрекъснато диференцируема в сегмента [a, b ], тоест принадлежи към класа C2[ a, 6] и 3) удовлетворява условията На всеки от сегментите сплайнът S(x) е полином от трета степен и се определя на този сегмент от четири коефициента. Общият брой на сегментите е m. Това означава, че за да се определи напълно сплайнът, е необходимо да се намерят 4m числа. Условието означава непрекъснатост на функцията S (x) и нейните производни S "(x) и 5" (x) във всички вътрешни възли на мрежата w. Броят на тези възли е m - 1. Така, за да се намерят коефициентите на всички полиноми, се получават още 3 (m - 1) условия (уравнения). Заедно с условията (2) се получават условия (уравнения). Гранични (гранични) условия Две липсващи условия са посочени като ограничения върху стойностите на сплайн и/или неговите производни в краищата на интервала [a, 6]. При конструирането на интерполиращ кубичен сплайн най-често се използват граничните условия на следните четири типа. А. Гранични състояния от 1-ви тип. - в края на интервала [a, b] се дават стойностите на първата производна на желаната функция. Б. Гранични условия от 2-ри тип. - в края на интервала (a, 6) се задават стойностите на втората производна на желаната функция. Б. Гранични състояния от 3-ти тип. се наричат ​​периодични. Естествено е да се изисква изпълнението на тези условия в случаите, когато интерполираната функция е периодична с период T = b-a. D. Гранични състояния от 4-ти тип. изискват специален коментар. Коментар. Във вътрешните сепси възли третата производна на функцията S(x) е, най-общо казано, прекъсната. Въпреки това, броят на прекъсванията на третата производна може да бъде намален чрез използване на условия от 4-ти тип. В този случай построеният сплайн ще бъде непрекъснато диференцируем три пъти на интервали Построяване на интерполиращ кубичен сплайн Нека опишем метод за изчисляване на коефициентите на кубичен сплайн, при който броят на определяните величини е равен. На всеки от интервалите се търси интерполационната сплайн функция в следния вид алгебрични уравнения , чиято форма зависи от вида на граничните условия. За гранични условия от 1-ви и 2-ри тип тази система има следната форма, където коефициентите зависят от избора на гранични условия. Гранични условия от 1-ви тип: Гранични условия от 2-ри тип: При гранични условия от 3-ти тип системата за определяне на числата се записва по следния начин. За гранични условия от 4-ти тип системата за определяне на числата има формата Матриците и на трите линейни алгебрични системи са матрици с диагонална доминантност. Тези матрици не са изродени и следователно всяка от тези системи има уникално решение. Теорема. Интерполационен кубичен сплайн, който отговаря на условия (2) и гранично условие от един от изброените четири типа, съществува и е уникален. По този начин, да се конструира интерполиращ кубичен сплайн означава да се намерят коефициентите му.Когато коефициентите на сплайна бъдат намерени, стойността на сплайн S(x) в произволна точка от сегмента [a, b] може да бъде намерена с помощта на формулата ( 3). За практически изчисления обаче следният алгоритъм за намиране на величината S(x) е по-подходящ. Нека x 6 [x", Първо, стойностите A и B се изчисляват съгласно формулите и след това се намира стойността 5(x): Използването на този алгоритъм значително намалява изчислителните разходи за определяне на стойността. Съвети към потребител Изборът на гранични (гранични) условия и интерполационни възли позволява до известна степен да се контролират свойствата на интерполационните сплайнове. А. Избор на гранични (гранични) условия. Изборът на гранични условия е един от централните проблеми при интерполацията на функции. Той придобива особено значение в случаите, когато е необходимо да се осигури висока точност на апроксимацията на функцията f(x) от сплайн 5(g) в близост до краищата на сегмента [a, 6]. Граничните стойности имат забележим ефект върху поведението на сплайн 5(g) близо до точките a и b и този ефект бързо отслабва, когато се отдалечаваме от тях. Изборът на гранични условия често се определя от наличието на допълнителна информация за поведението на апроксимираната функция f(x). Ако стойностите на първата производна f "(x) са известни в краищата на сегмента (a, 6), тогава е естествено да се използват граничните условия от 1-ви тип. Ако стойностите на втория производни f "(x) са известни в краищата на сегмента [a, 6], тогава това е естествено използване на гранични условия от 2-ри тип. Ако е възможно да се избира между граничните условия от 1-ви и 2-ри тип, тогава трябва да се даде предимство на условията от 1-ви тип. Ако f(x) е периодична функция, тогава трябва да се спрем на граничните условия от 3-ти тип. Ако няма допълнителна информация за поведението на апроксимираната функция, често се използват така наречените естествени гранични условия.Трябва обаче да се има предвид, че при такъв избор на гранични условия точността на апроксимацията на функцията f (x) от сплайн S (x) близо до краищата на сегмента (a, ft] рязко намалява. Понякога се използват гранични условия от 1-ви или 2-ри тип, но не с точните стойности на съответните производни, но с техните различни апроксимации. Точността на този подход е ниска. Практическият опит от изчисленията показва, че в разглежданата ситуация най-подходящият избор са гранични условия от тип 4. B. Избор на интерполационни възли. Ако третата производна f " " (x) на функцията е прекъсната в някои точки на сегмента [a, b], тогава за подобряване на качеството на приближението, тези точки трябва да бъдат включени в броя на интерполационните възли. второ производно / "(x), тогава, за да се избегне колебание на сплайн близо до точките на прекъсване, трябва да се вземат специални мерки. Обикновено възлите на интерполация се избират така, че точките на прекъсване на втората производна да попадат вътре в интервала \xif), така че. Стойността на a може да бъде избрана чрез числен експеримент (често е достатъчно да се зададе a = 0,01). Има набор от рецепти за преодоляване на трудностите, които възникват, когато първата производна f "(x) е прекъсната. Като една от най-простите, можем да предложим това: разделете апроксимационния сегмент на интервали, където производната е непрекъсната, и изградете a сплайн на всеки от тези интервали. свойствата на интерполационния полином на Лагранж от две противоположни позиции, като се обсъждат основните предимства отделно от недостатъците -тият подход: 1) графиката на интерполационния полином на Лагранж минава през всяка точка от масива, 2) конструираната функция се описва лесно ( броят на коефициентите на интерполационния полином на Лагранж върху мрежата u, който трябва да се определи, е равен на m + 1), 3) конструираната функция има непрекъснати производни от всякакъв ред, 4) даден масив, интерполационният полином е еднозначно дефиниран. Основните недостатъци на първия подход: 1) степента на интерполационния полином на Лагранж зависи от броя на възлите на мрежата и колкото по-голям е този брой, толкова по-висока е степента на интерполационния полином и следователно, толкова повече изчисления са необходими, 2 ) промяната на поне една точка в масива изисква пълно преизчисляване на коефициентите на интерполационния полином на Лагранж, 3) добавянето на нова точка към масива увеличава степента на интерполационния полином на Лагранж с единица и дори води до пълно преизчисляване на неговите коефициенти , 4) с неограничено усъвършенстване на мрежата, степента на интерполационния полином на Лагранж нараства неограничено. Поведението на интерполационния полином на Лагранж при неограничено прецизиране на мрежата обикновено изисква специално внимание. Коментари A. Апроксимация на непрекъсната функция с полином. Известно е (Weierstrass, 1885), че всяка непрекъсната (и още повече гладка) функция на интервал може да бъде апроксимирана, както и желано, на този интервал чрез полином. Нека опишем този факт на езика на формулите. Нека f(x) е функция, непрекъсната на отсечката [a, 6]. Тогава за всяко e > 0 съществува полином Рn(x) такъв, че за всяко x от интервала [a, 6] неравенството ще бъде изпълнено (фиг. 4) , безкрайно много са. На отсечката [a, 6] построяваме мрежа w. Ясно е, че неговите възли, най-общо казано, не съвпадат с пресечните точки на графиките на полинома Pn(x) и функцията f(x) (фиг. 5). Следователно, за взетата мрежа, полиномът Pn(x) не е интерполационен полином. Когато една непрекъсната функция се апроксимира чрез интерполационен полином на Jla-grajj, нейната графика не само не трябва да е близо до графиката на функцията f(x) във всяка точка от интервала [a, b), но може да се отклонява от тази функция колкото желаете. Нека дадем два примера. Пример 1 (Rung, 1901). При неограничено нарастване на броя на възлите за функция на интервала [-1, 1] се изпълнява граничното равенство (фиг. 6) Пример 2 (Berichtein, 1912). Последователност от интерполационни полиноми на Лагранж, конструирани върху равномерни мрежи nm за непрекъсната функция /(x) = |x| на сегмента с нарастващ брой възли m не клони към функцията f(x) (фиг. 7). Подход 2-ри. Частично линейна интерполация Ако гладкостта на интерполираната функция бъде изоставена, съотношението между броя на предимствата и броя на недостатъците може да се промени значително в посока на първото. Конструираме линейна функция на части от серийна връзкаточки (xit y,) чрез прави сегменти (фиг. 8). Основните предимства на втория подход: 1) графиката на частично линейна функция минава през всяка точка от масива, 2) построената функция се описва лесно (броят на коефициентите на съответните линейни функции за мрежа (1) е равна на 2m), 3) функцията, конструирана от даден масив, е уникално определена, 4) степента на полиномите, използвани за описание на интерполационната функция, не зависи от броя на възлите на мрежата (равен на 1) , 5) промяната на една точка в масива изисква изчисляване на четири числа (коефициенти на две прави връзки, произтичащи от нова точка), 6) добавянето на допълнителна точка към масива изисква изчисляване на четири коефициента. Частично линейната функция се държи доста добре при прецизиране на мрежата. i Основният недостатък на втория подход е, че апроксимиращата частично линейна функция не е гладка: първите производни страдат от прекъсване във възлите на мрежата (интерполационни уши). Подход 3-ти. Сплайн интерполация Предложените подходи могат да се комбинират, така че броят на изброените предимства на двата подхода да се запази, като същевременно се намали броят на недостатъците. Това може да се направи чрез конструиране на гладка интерполираща сплайн функция със степен p. Основните предимства на третия подход: 1) графиката на построената функция минава през всяка точка от масива, 2) построената функция е сравнително лесна за описание (броят на коефициентите на съответните полиноми, които трябва да бъдат определени за мрежата ( 1) е 3) построената функция е уникално определена от даден масив, 4) полиномите на степента не зависят от броя на възлите на мрежата и следователно не се променят с увеличаването му, 5) построената функция има непрекъснати производни нагоре до ред p - 1 включително, 6) построената функция има добри апроксимационни свойства. Кратка справка. Предложеното наименование - сплайн - не е случайно - въведените от нас гладки частично-полиномиални функции и чертането на сплайнове са тясно свързани. Помислете за гъвкава, идеално тънка линийка, минаваща през референтните точки на масива, разположени в равнината (x, y). Според закона на Бернули-Ойлер линеаризираното уравнение на крива линийка има формата Функцията S(x), която описва линеалите, е полином от трета степен между всяка и две съседни точки от масива (опори) и е два пъти непрекъснато диференцируема на целия интервал (a, 6). Коментар. 06 Интерполация на непрекъсната функция За разлика от интерполационните полиноми на Лагранж, последователност от интерполационни кубични сплайнове върху равномерна решетка винаги се сближава към интерполирана непрекъсната функция и с подобряването на диференциалните свойства на тази функция скоростта на сходимост се увеличава. Пример. За функция кубичен сплайн върху решетка с брой възли m = 6 дава апроксимационна грешка от същия ред като интерполационния полином Ls(z), а върху решетка с брой възли m = 21 тази грешка е толкова малък, че в мащаба на обикновена книжна рисунка просто не може да бъде показан (фиг. 10) (интерполационният полином 1>2o(r) дава в този случай грешка от около 10 000 W). Свойства на интерполиран кубичен сплайн A. Апроксимационни свойства на кубичен сплайн. Апроксимационните свойства на интерполиращия сплайн зависят от гладкостта на функцията f(x) - колкото по-висока е гладкостта на интерполираната функция, толкова по-висок е редът на апроксимация, а когато мрежата е прецизирана, толкова по-висока е скоростта на конвергенция. Ако интерполираната функция f(x) е непрекъсната в интервала. Ако интерполираната функция f(x) има непрекъсната първа производна в интервала [a, 6], т.е. интерполационен сплайн, който удовлетворява граничните условия на 1-ви или 3-ти тип, тогава за h имаме В този случай не само сплайнът се сближава към интерполираната функция, но и производната на сплайна се сближава с производната на тази функция. Ако сплайнът S(x) апроксимира функцията f(x) на отсечката [a, b], а първата и втората му производна апроксимират съответно функцията B. Екстремално свойство на кубичен сплайн. Интерполационният кубичен сплайн има още един полезно свойство . Помислете за следния пример. пример. Конструирайте функция /(x), минимизираща функционала върху класа функции от пространството C2, чиито графики минават през точките на масива x), който удовлетворява граничните условия, доставя екстремум (минимум) на функционала. Забележка 2. Интересно е да се отбележи, че интерполиращият кубичен сплайн има екстремното свойство, описано по-горе, върху много широк клас функции, а именно, върху класа |0, 5]. 1.2. Изглаждане на кубични сплайни Относно формулирането на задачата за изглаждане Нека са дадени мрежа и набор от числа. Всъщност това означава, че за всеки е определен интервал и всяко число от този интервал може да се приеме като стойност на y, . Удобно е да се интерпретират стойностите на y, например, като резултати от измервания на някаква функция y(x) за дадени стойности на променливата x, съдържаща случайна грешка. Когато решавате проблема с възстановяването на функция от такива "експериментални" стойности, едва ли е препоръчително да използвате интерполация, тъй като интерполационната функция послушно ще възпроизведе странни колебания, причинени от случаен компонент в масива (y,). По-естественият подход се основава на процедура за изглаждане, предназначена да намали по някакъв начин елемента на произволност в резултат на измерванията. Обикновено при такива задачи се изисква да се намери функция, чиито стойности за x = x, * = 0, 1, .... m, биха попаднали в съответните интервали и които освен това биха имали достатъчно добри свойства. Например, той ще има непрекъснати първа и втора производни или графиката му няма да е твърде силно извита, тоест няма да има силни колебания. Проблем от този вид възниква и когато по даден (точно) масив се изисква да се конструира функция, която да минава през недадени точки, но близо до тях и освен това да се променя доста плавно. С други думи, желаната функция изглади дадения масив, така да се каже, и не го интерполира. Нека са дадени решетка w и два набора от числа.СПЛАЙНОВА ТЕОРИЯ примери за решения Проблем. Конструирайте гладка функция на сегмента [a, A], чиито стойности във възлите на мрежата и се различават от числата y с дадените стойности. Формулираният проблем за изглаждане евъзстановяване гладка функция, дадена в таблица. Ясно е, че такъв проблем има много различни решения. Чрез налагане на допълнителни условия на конструираната функция можем да постигнем необходимата уникалност. Дефиниция на изглаждащ кубичен сплайн Изглаждащ кубичен сплайн S(x) върху мрежа w е функция, която 1) във всеки от сегментите е полином от трета степен, 2) е два пъти непрекъснато диференцируема в сегмента [a, 6 ], т.е. принадлежи към клас C2 [a, b], 3) доставя минимум на функционала, където са дадени числа, 4) удовлетворява граничните условия на един от трите вида, посочени по-долу. Гранични (гранични) условия Граничните условия са посочени като ограничения върху стойностите на сплайн и неговите производни в граничните възли на мрежата w. А. Гранични състояния от 1-ви тип. - в края на интервала [a, b) са дадени стойностите на първата производна на желаната функция. Гранични условия от 2-ри тип. - вторите производни на търсената функция в краищата на интервала (a, b] са равни на нула. B. Граничните условия от 3-ти тип се наричат ​​периодични. Теорема. Кубичен сплайн S (x), минимизирайки функционала (4 ) и отговарящ на граничните условия на един от трите посочени типа е еднозначно дефиниран Определение Кубичен сплайн, който минимизира функционала J(f) и удовлетворява граничните условия на i-типа, се нарича изглаждащ сплайн от i-тип , този сегмент с четири коефициента.Общо сегменти - m.Така че, за да дефинирате напълно сплайна, трябва да намерите 4m числа.Условието означава непрекъснатост на функцията 5(ar) и всички производни във всички вътрешни възли на grid o. "Броят на тези възли е m - 1 По този начин, за намиране на коефициентите на всички полиноми, се получават 3 (m - 1) условия (уравнения). Конструкция на изглаждащ кубичен сплайн Нека опишем метод за изчисляване на коефициенти на кубичен сплайн, в който броят на величините за определяне е равен на 2m + 2. На всеки от интервалите, изглаждащият сплайн функцията се търси в следния вид Тук, а числата и са решение на a система от линейни алгебрични уравнения, чиято форма зависи от вида на граничните условия. Нека първо опишем как се намират количествата n*. За гранични условия от 1-ви и 2-ри тип системата линейни уравнения за определяне на стойностите на Hi се записва в следната форма, където са известни числа). Коефициентите зависят от избора на гранични условия. Гранични условия от 1-ви тип: Гранични условия от 2-ри тип: В случай на гранични условия от 3-ти тип системата за определяне на числата е записана по следния начин: освен това всички коефициенти се изчисляват по формули (5) (количествата с индексите k и m + k се считат за равни на: Важна * забележка. Матриците на системите не са изродени и следователно всяка от тези системи има уникално решение. Ако числата n,- са намерени, тогава количествата се определят лесно от формулите, където В случай на периодични гранични условия във функционала (4), вие позволявате до известна степен да контролирате свойствата на изглаждащите сплайнове.Ако всичко и изглаждащият сплайн се окаже интерполационен.Това, в по-специално означава, че колкото по-точно са дадени стойностите, толкова по-малки са съответните тегловни коефициенти. Ако е необходимо сплайнът да минава през точката (x^, yk), тогава коефициентът на тегло p \ съответстващ на него y трябва да да бъде зададена равна на 0. При практическите изчисления най-важното е изборът на стойности pi-Нека D е грешката на измерване на стойността y,. Тогава е естествено да се изисква изглаждащият сплайн да отговаря на условието или, което е същото.В най-простия случай тегловните коефициенти pi могат да бъдат дадени например във формата - където c е някаква достатъчно малка константа. Въпреки това, такъв избор на тегла p, не позволява използването на "коридора" поради грешки в стойностите на y, -. По-рационален, но и по-отнемащ време алгоритъм за определяне на стойностите на p, - може да изглежда по следния начин. Ако стойностите са намерени на fc-тата итерация, тогава се приема, че e е малко число, което се избира експериментално, като се вземат предвид битовата мрежа на компютъра, стойностите на D и точността на решаване на система от линейни алгебрични уравнения. Ако при fc-тата итерация в точка i условието (6) е нарушено, тогава последната формула ще осигури намаляване на съответния коефициент на тежест p,. Ако след това, при следващата итерация, увеличаването на p води до по-пълно използване на "коридора" (6) и в крайна сметка до по-плавно променящ се сплайн. Малко теория А. Обосноваване на формули за изчисляване на коефициентите на интерполационния кубичен сплайн. Въвеждаме обозначението, където m са неизвестни величини. Техният брой е равен на m + 1. Сплайнът, записан във вида, в който отговаря на условията за интерполация и е непрекъснат на целия интервал [a, b\: въвеждайки формулата, получаваме респ. Освен това има непрекъсната първа производна на интервала [a, 6]: диференцираща връзка (7) и настройка, получаваме съответния. всъщност. Нека покажем, че числата m могат да бъдат избрани така, че сплайн функцията (7) да има непрекъсната втора производна на интервала [a, 6]. Изчислете втората производна на сплайна на интервала: В точката x, - 0 (при t = 1) имаме Изчислете втората производна на сплайна на интервала В точката имаме От условието за непрекъснатост на втората производна във вътрешните възли на мрежата a; получаваме връзката m - 1, където Добавяйки към тези m - 1 уравнения още две, произтичащи от и от граничните условия, получаваме система от m + 1 линейни алгебрични уравнения с m + I неизвестно miy i = 0, 1. . .. , м. Системата от уравнения за изчисляване на стойностите на gw в случай на гранични условия от 1-ви и 2-ри тип има формата където (гранични условия от 1-ви тип), (гранични условия от 2-ри тип). За периодични гранични условия (гранични условия от 3-ти тип), мрежата o; удължете с още един възел и приемете, че тогава системата за определяне на стойностите на r* ще има формата непрекъснатост във втория и (th - !) th възли на мрежата. Имаме От последните две отношения получаваме липсващите две уравнения, които съответстват на граничните условия от 4-ти тип: Изключвайки неизвестното r0 от уравненията и неизвестното pc от уравненията, в резултат получаваме система от уравнения Обърнете внимание, че броят на неизвестните в тази система е равен на r - I. 6. Обосновка на формулите за изчисляване на ефективността на изглаждащ субичен сплайн. Въвеждаме обозначението, където Zi и nj са все още неизвестни величини. Техният брой е равен на 2m + 2. Сплайн функцията, записана във формата, е непрекъсната на целия интервал (a, 6]: поставяйки тази формула, получаваме съответно. Нека покажем, че числата z и n могат да бъде избран така, че сплайнът, записан във формата (8), да има непрекъсната първа производна на интервала [a, 6] Изчислете първата производна на сплайна S(x) на интервала: В дадена точка имаме От условие за непрекъснатост на първата производна на сплайна във вътрешните възли на мрежата и --> получаваме връзка m - 1. Удобно е да напишем тази връзка в матрична форма. връзка (8) и настройка, получаваме, съответно матричното отношение Йеше олю се получава от условието за минимум на функционала (4). Имаме Последните две матрични равенства могат да се разглеждат като линейна система от 2m + 2 линейни алгебрични уравнения в 2m + 2 неизвестни. Заменяйки колоната r в първото равенство с нейния израз, получен от съотношението (9), стигаме до матричното уравнение СПЛАЙНОВА ТЕОРИЯ примери за решения за определяне на колона М. Това уравнение има уникално решение поради факта, че матрицата A + 6HRH7 винаги е неизроден. Намирайки го, ние лесно идентифицираме г-н Имшайн. Елементите на триъгълните маголални матрици A и H определят n само от параметрите на мрежата u (със стъпки hi) и не зависят от стойностите yj. Линейно пространство на кубични сплайн функции линейно пространство с измерение m + 3: 1) сумата от два кубични сплайна, изградени върху мрежата u> и произведението на кубичен сплайн, изграден върху мрежата u> с произволен брой са по-тайно кубични сплайни, изградени върху тази мрежа, 2) всякакви кубичен сплайн, изграден върху мрежа и от възел, се определя изцяло от m + 1 стойности на стойностите на y" в тези възли и две гранични условия - общо m + 3 параметъра. Избирайки в това пространство основа, състояща се от m + 3 линейно независими сплайна, можем да запишем произволен кубичен сплайн a(x) като линейна комбинация от тях по уникален начин. Коментирайте. Такава спецификация на сплайн се използва широко в изчислителната практика. Особено удобна е основата, състояща се от така наречените кубични B-сплайнове (основни или фундаментални сплайнове). Използването на D-сплайнове може значително да намали изискванията за компютърна памет. L-сплайнове. B -сплайн от нулева степен, изграден върху числова права по мрежата w, е функцията на вилицата B -сплайн от степен k ^ I, построен върху числова права по мрежата u, се определя от рекурсивната формула, втора в \7\x) степени са показани съответно на фиг. 11 и 12. B-сплайн с произволна степен k може да бъде различен от нула само на определен сегмент (дефиниран от k + 2 възли). По-удобно е да се номерират кубични B -сплайни, така че сплайнът B,-3* (n) да е различен от нула на сегмента ir,-+2]. Нека дадем формула за кубичен сплайн от трета степен за случая на равномерна мрежа (с стъпка A). ​​Имаме в други случаи. Типична графика на кубичен B-сплайн е представена на фиг. 13. Функцията a) е два пъти непрекъснато диференцируема на сегмент, тоест принадлежи към класа C2 [a, "), c) е различна от нула само на четири последователни сегмента разширена мрежа w*, може да се конструира семейство от m + 3 кубични B-сплайна: Това семейство формира основа в пространството на кубичните сплайнове на сегмента (a , b]. По този начин, произволен кубичен сплайн S(z), конструиран върху сегмента |s, 6] на мрежата o; от +1 възли, могат да бъдат представени на този сегмент като линейна комбинация.Коефициентите ft на това разширение се определят еднозначно от условията на проблема. ... В случая, когато стойностите на функцията във възлите на мрежата и стойностите на първата производна на функцията в краищата на мрежата "(интерполационен проблем с граница условия от първи вид), тези коефициенти се изчисляват от системата от следния вид стойности b-iи &m+i, получаваме линейна система с неизвестни 5q, ... , bm и тридиюнална матрица. Условието осигурява диагонално господство и следователно възможността за прилагане на метода на почистване за разрешаването му. 3MMCHMYU 1. Линейни системи с подобна форма възникват и при разглеждане на други проблеми на интерполацията. Zmmchm* 2. В сравнение с алгоритмите, описани в раздел 1.1, използването на R-сплайн в * интерполационни проблеми позволява * да се намали количеството на съхранената информация, т.е. значително да се намалят изискванията за компютърна памет, въпреки че води до увеличаване на броя на операциите. Конструиране на сплайнови криви с помощта на сплайнови функции По-горе бяха разгледани масиви, чиито точки бяха номерирани така, че техните абсцисни форми образуваха строго нарастваща последователност. Например случаят, изобразен на фиг. 14, когато различни точки от масива имат една и съща абциса, не се допуска. Това обстоятелство определя както избора на клас апроксимиращи криви (трафик на функции), така и метода за тяхното конструиране. Предложеният по-горе метод обаче дава възможност за доста успешно конструиране на интерполационна крива в по-общ случай, когато номерирането на точките на масива и тяхното местоположение в равнината, като правило, не са свързани (фиг. 15). Освен това, когато поставяме задачата за изграждане на интерполационна крива, можем да считаме дадения масив за непланарен, т.е. ясно е, че за да се реши този общ проблем, е необходимо значително да се разшири класът на допустимите криви, в т.ч. както затворени криви, така и криви със самопресечни точки и пространствени криви. Такива криви могат да бъдат удобно описани с помощта на параметрични уравненияДа поискаме. освен това, така че функциите да имат достатъчна гладкост, например, те принадлежат към класа C1 [a, /0] или към класа За да намерите параметричните уравнения на крива, минаваща последователно през всички точки на масива, процедирайте по следния начин. 1-ва стъпка. На произволно взет сегмент се начертава по трите най-близки точки.

Кубична сплайн интерполация

През последните години интензивно се развива нов клон на съвременната изчислителна математика - теорията шлици.Сплайновете позволяват ефективно решаване на проблемите с обработката на експериментални зависимости между параметри, които имат доста сложна структура.

Методите за локална интерполация, обсъдени по-горе, са по същество най-простият сплайн от първа степен (за линейна интерполация) и втора степен (за квадратична интерполация).

Кубичните сплайни са намерили най-широко практическо приложение поради тяхната простота. Основните идеи на теорията на кубичните сплайни се формират в резултат на опитите за математическо описание на гъвкави релси, изработени от еластичен материал (механични сплайни), които отдавна се използват от чертожниците в случаите, когато е необходимо да се изчертаят дадени точкисравнително гладка крива. Известно е, че релса, изработена от еластичен материал, фиксирана в определени точки и намираща се в равновесно положение, приема форма, при която нейната енергия е минимална. Това фундаментално свойство прави възможно ефективното използване на сплайни при решаване на практически проблеми за обработка на експериментална информация.

Общо взето за функция y=f(х) се изисква да се намери приближение y=j(х) По начина, по който f(x i)= j(x i) в точки х = х i, a в други точки на отсечката [ а, б] стойности

функции f(х) И й(х) бяха близо един до друг. С малък брой експериментални точки (например 6-8) един от методите за конструиране на интерполационни полиноми може да се използва за решаване на проблема с интерполацията. Въпреки това, с голям брой възли, интерполационните полиноми стават практически неизползваеми. Това се дължи на факта, че степента на интерполационния полином е само една по-малка от броя на експерименталните стойности на функциите. Възможно е, разбира се, да се раздели сегментът, на който е дефинирана функцията, на сегменти, съдържащи малък брой експериментални точки, и за всяка от тях да се конструират интерполационни полиноми. В този случай обаче апроксимиращата функция ще има точки, в които производната не е непрекъсната, т.е. графиката на функцията ще съдържа точки на „прекъсване“.

Кубичните сплайни нямат този недостатък. Изследванията на теорията на лъча показват, че гъвкав тънък лъч между два възела се описва доста добре от кубичен полином и тъй като той не се свива, апроксимиращата функция трябва да бъде поне непрекъснато диференцируема. Това означава, че функциите й(х), j'(х), j"(х) трябва да бъде непрекъснат на сегмента [ а, б].

Кубичен интерполационен сплайн , подходящи за тази функция f(х) и дадени възли x i ,наречена функция г(х), отговарящи на следните условия:

1. на всеки сегмент [ x i — 1 , x i], i = 1, 2, ..., нфункция г(х) е полином от трета степен,

функция г(х), и също нейните първа и втора производни са непрекъснати на интервала [ а,б],

кубичен сплайнсе слепва от полиноми от трета степен, които за азраздел са написани, както следва:

За целия интервал, респ Пкубични полиноми, различни по коефициенти Ааз, b i, c i, d i. Най-често възлите по време на сплайн интерполация са равномерно разположени, т.е. хаз +1 -Хаз = конст = ч (въпреки че това не е задължително).

Необходимо е да се намерят четири коефициента при условие, че всеки полином минава през две точки (x аз,г аз) и (x аз +1 ,г аз +1 ) , което води до следните очевидни уравнения:

Първото условие съответства на преминаването на полинома през началната точка, второто - през крайната точка. Невъзможно е да се намерят всички коефициенти от тези уравнения, тъй като има по-малко условия от необходимите параметри. Следователно тези условия се допълват от условията за гладкост на функцията (т.е. непрекъснатост на първата производна) и гладкост на първата производна (т.е. непрекъснатост на втората производна) в интерполационните възли. Математически тези условия се записват като равенства съответно на първата и втората производни в края азта и в началото ( аз+1 )-ти парцели.

Тъй като и , Че

(г’ (x i +1 ) накрая аз-та секция е равна на ти(хаз +1 ) първо ( аз+1 )-та),

(при"(хаз +1 ) накрая аз-та секция е равна на y" (xаз +1 ) първо ( аз+1)-та).

Резултатът е система от линейни уравнения (за всички секции), съдържаща 4n - 2 уравнения с 4n неизвестни (неизвестни a 1 , a 2 ,…, a n , b 1 ,…, d n - коефициенти на сплайн). За решаване на системата се добавят две гранични условия от един от следните типове (1 се използва по-често):

Съвместното решение на 4n уравнения позволява намирането на всички 4n коефициенти.

За да се възстановят производните, може да се диференцира съответният кубичен полином на всяка секция. Ако е необходимо да се определят производните във възлите, има специални техники, които свеждат дефиницията на производните до решаване на по-проста система от уравнения по отношение на желаните производни от втори или първи ред. Важно предимство на кубичната сплайн интерполация е получаването на функция, която има минималната възможна кривина. Недостатъците на сплайн интерполацията включват необходимостта от получаване на относително голям брой параметри.

Нека решим проблема с интерполацията с помощта на програмата MathCAD. За целта използваме вградената функция интерп(VS,x,y,z) . Променливи х И г задайте координатите на възловите точки, z е аргумент на функция, СРЕЩУ определя типа

гранични условия в краищата на интервала.

Дефинираме интерполационни функции за три типа кубичен сплайн

Тук cspline (VX , VY) връща вектор СРЕЩУвтори производни при приближаване в референтни точки до кубичен полином;

pspline(VX, VY) връща вектор СРЕЩУвтори производни при приближаване на референтните точки към параболичната крива;

lspline(VX, VY) връща вектор СРЕЩУвтори производни при приближаване до референтните точки на правата линия;

интерп(СРЕЩУ, VX, VY, х) връща стойност г(х) за дадени вектори СРЕЩУ, VX, VYи зададена стойност х.

Ние изчисляваме стойностите на интерполационните функции в дадени точки и сравняваме резултатите с точните стойности

Имайте предвид, че резултатите от интерполацията от различни видове кубични сплайни са практически еднакви във вътрешните точки на интервала и съвпадат с точните стойности на функцията. В близост до краищата на интервала разликата става по-забележима и когато се екстраполира извън дадения интервал, различните видове сплайнове дават значително различни резултати. За по-голяма яснота представяме резултатите на графиката (фиг. 3.5)

Ориз. 3.5 Кубична сплайн интерполация

Ако функцията е посочена дискретно, тогава за интерполация се посочват матрици с данни.

При глобалната интерполация най-често се използва полиномна интерполация нстепен или интерполация на Лагранж.

Класическият подход се основава на изискването за строго съответствие на стойностите f(х) И й(х) в точки x i(аз = 0, 1, 2, … н).

Ще търсим интерполационната функция й(х) като полином на степен н.

Този полином има n+ 1 коефициент. Естествено е да се предположи, че n+ 1 условия

й(х 0) = г 0 , й(х 1) = г 1 , . . ., й(x n) = y n (3.4)

насложен върху полинома

дават възможност за еднозначно определяне на неговите коефициенти. Наистина, изискващи й(х) изпълнение на условията (3.4) , получаваме системата n+ 1 уравнения с n+ 1 неизвестен:

(3.6)

Решаване на тази система за неизвестните а 0 , а 1 , …, анполучаваме аналитичен израз за полинома (3.5). Система (3.6) винаги има уникално решение , защото неговата детерминанта

известен в алгебрата като детерминант Вандермонд,различен от нула . това предполага , какво е интерполационният полином й(х) за функцията f(х), дадено в таблица, съществува и е уникално.

Полученото уравнение на кривата минава точно през дадените точки. Извън възлите на интерполация математическият модел може да има значителна грешка

Интерполационна формула на Лагранж

Нека стойностите на някаква функция са известни f(Х) V n+ 1 различни произволни точки y i = f(x i) , аз = 0,…, П.За интерполиране (възстановяване) на функция в даден момент Х,принадлежащ на сегмента [ x 0, x p], необходимо е да се построи интерполационен полином от n-ти ред, който в метода на Лагранж се представя по следния начин:

И това е лесно да се види Qj(x i) = 0, Ако аз¹ й, И Qj(x i) =1, Ако аз= й. Ако разширим произведението на всички скоби в числителя (в знаменателя всички скоби са числа), тогава получаваме полином от n-ти ред от Х,тъй като числителят съдържа n фактора от първи ред. Следователно интерполационният полином на Лагранж не е нищо повече от обикновен полином от n-ти ред, въпреки специфичното обозначение.

Оценете грешката на интерполация в точка хот [ х 0, хн] (т.е. решете второто

интерполационен проблем) може да се даде с формулата

Във формулата - максималната стойност на (n+1)-та производна на оригиналната функция f(Х)на сегмента [ х 0, хн]. Следователно, за да се оцени грешката на интерполацията, е необходима допълнителна информация за оригиналната функция (това трябва да е ясно, тъй като през дадените начални точки могат да преминат безкраен брой различни функции, за които грешката ще бъде различна). Такава информация е производната на n + 1 ред, която не е толкова лесна за намиране. По-долу ще бъде показано как да излезете от тази ситуация. Също така отбелязваме, че прилагането на формулата за грешка е възможно само ако функцията е диференцируема n + 1 пъти.

За изграждане Интерполационна формула на Лагранжв MathCAD е удобно да се използва функцията ако.

ако (условие, x, y)

Връща стойността на x, ако cond не е 0 (true). Връща y, ако cond е 0 (false) (фигура 3.6).

2.2 Интерполация с помощта на кубичен сплайн

Кубичен интерполационен сплайн, съответстващ на дадена функция f(x) и дадени възли x i, е функция S(x), която отговаря на следните условия:

1. На всеки сегмент, i = 1, 2, ..., N, функцията S(x) е полином от трета степен,

2. Функцията S(x), както и нейните първа и втора производни, са непрекъснати на отсечката ,

3. S(x i) = f(x i), i = 0, 1, ..., N.

На всяка от отсечките , i = 1, 2, ..., N, ще търсим функцията S(x) = S i (x) под формата на полином от трета степен:

S i (x) \u003d a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3,

x i - 1 Ј x Ј x i ,

където a i , b i , c i , d i - коефициенти за определяне на всички n елементарни сегмента. За да има решение система от алгебрични уравнения, броят на уравненията трябва да е точно равен на броя на неизвестните. Така че трябва да получим 4n уравнения.

Първите 2n уравнения ще получим от условието, че графиката на функцията S(x) трябва да минава през дадените точки, т.е.

S i (x i - 1) = y i - 1, S i (x i) = y i.

Тези условия могат да бъдат записани като:

S i (x i - 1) = a i = y i - 1,

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n.

Следните 2n - 2 уравнения следват от условието за непрекъснатост на първата и втората производни в интерполационните възли, т.е. условието, че кривата е гладка във всички точки.

S i + 1 (x i) = S i (x i), i = 1, ..., n - 1,

S i (x) \u003d b i + 2 c i (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

Приравнявайки във всеки вътрешен възел x = x i стойностите на тези производни, изчислени в интервалите отляво и отдясно на възела, получаваме (като вземем предвид h i = x i - x i - 1):

b i + 1 = b i + 2 h i c i + 3h d i , i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i),

ако x = x i

c i + 1 = c i + 3 h i d i , i = 1,2, ..., n - 1.

На този етап имаме 4n неизвестни и 4n - 2 уравнения. Следователно трябва да се намерят още две уравнения.

При свободно фиксиране на краищата, кривината на линията в тези точки може да бъде приравнена на нула. От условията на нулева кривина в краищата следва, че вторите производни са равни на нула в тези точки:

S 1 (x 0) = 0 и S n (x n) = 0,

c i = 0 и 2 c n + 6 d n h n = 0.

Уравненията образуват система от линейни алгебрични уравнения за определяне на 4n коефициенти: a i , b i , c i , d i (i = 1, 2, . . ., n).

Тази система може да бъде намалена до по-удобна форма. От условието можете веднага да намерите всички коефициенти a i .

i = 1, 2, ..., n - 1,

Замествайки, получаваме:

b i = - (c i + 1 + 2c i) , i = 1,2, ..., n - 1,

b n = - (h n c n)

Елиминирайте коефициентите b i и d i от уравнението. Накрая получаваме следната система от уравнения само за коефициенти с i:

c 1 = 0 и c n + 1 = 0:

h i - 1 c i - 1 + 2 (h i - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3 ,

i = 2, 3, ..., n.

Въз основа на намерените коефициенти с i е лесно да се изчисли d i ,b i .

Изчисляване на интеграли по метода Монте Карло

Този софтуерен продукт реализира възможност за задаване на допълнителни ограничения върху областта на интегриране чрез две двумерни сплайн повърхности (за интегранд с размерност 3)...

Функционална интерполация

Нека е дадена таблицата със стойности на функцията f(xi) = yi (), в която те са подредени във възходящ ред на стойностите на аргумента: x0< x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3...

Сплайн интерполация

Сплайн интерполация

Сплайн интерполация

Нека се запознаем с алгоритъма на програмата. 1. Изчисляваме стойностите и 2. Въз основа на тези стойности изчисляваме коефициентите на почистване и o. 3. Въз основа на получените данни изчисляваме коефициентите 4...

Математическо моделиране на технически обекти

Вградените функции на MathCAD позволяват интерполация за изчертаване на криви с различна степен на сложност през експерименталните точки. Линейна интерполация...

Методи за апроксимация на функции

Във всеки сегмент интерполационният полином е равен на константа, а именно лявата или дясната стойност на функцията. За лява частично линейна интерполация F(x)= fi-1, ако xi-1 ?x

Методи за апроксимация на функции

На всеки интервал функцията е линейна Fi(x)=kix+li. Стойностите на коефициентите се намират от изпълнението на условията за интерполация в краищата на сегмента: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi . Получаваме системата от уравнения: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi , от която намираме ki=li= fi- kixi...

Методи за решаване на система от линейни уравнения. Интерполация

Постановка на проблема с интерполацията. На интервала система от точки (интерполационни възли) xi, i=0,1,…,N; а? xi? b, и стойностите на неизвестната функция в тези възли fn i=0,1,2,…,N. Могат да се поставят следните задачи: 1) Да се ​​построи функцията F (x)...

Построяване на математически модел, описващ процеса на решаване на диференциално уравнение

3.1 Конструкция на интерполационния полином на Лагранж и кондензация на стойности Очевиден начин за решаване на този проблем е да се изчислят стойностите на ѓ(x), като се използват аналитичните стойности на функцията ѓ. За това - по първоначална информация ...

Ако те са степени (1, x, x2, ..., xn), тогава те говорят за алгебрична интерполация и функцията се нарича интерполационен полином и се обозначава като: (4) Ако () (5), тогава тя е възможно да се конструира интерполационен полином от степен n и освен това един...

Практическо приложение на интерполация на гладки функции

Разгледайте пример за интерполация за елементи от набор. За простота и краткост нека вземем =[-1;1], . Нека точките и са различни една от друга. Поставяме следната задача: (12) конструирайте полином, който отговаря на дадените условия...

Приложение на числени методи за решаване на математически задачи

Числени методи

И така, както бе споменато по-горе, задачата на интерполацията е да се намери такъв полином, чиято графика минава през дадените точки. Нека функцията y=f(x) е дадена с помощта на таблицата (Таблица 1)...

Числени методи за решаване на математически задачи