След като изучаваме мономи, се обръщаме към полиноми. Тази статия ще ви разкаже за цялата необходима информация, необходима за извършване на действия върху тях. Ще дефинираме полином със съпътстващи дефиниции на член на полином, тоест свободен и подобен, ще разгледаме полином от стандартна форма, ще въведем степен и ще се научим как да го намираме, ще работим с неговите коефициенти.

Полином и неговите членове - определения и примери

Дефиницията на полином е дадена в 7 клас след изучаване на мономи. Нека да разгледаме пълното му определение.

Определение 1

полиномсе разглежда сумата от мономи, а самият моном е частен случай на полином.

От дефиницията следва, че примерите за полиноми могат да бъдат различни: 5 , 0 , − 1 , х, 5 a b 3, x 2 0 , 6 x (− 2) y 12 , - 2 13 x y 2 3 2 3 x x 3 y z и така нататък. От дефиницията имаме това 1+x, a 2 + b 2 и изразът x 2 - 2 · x · y + 2 5 · x 2 + y 2 + 5 , 2 · y · x са полиноми.

Нека да разгледаме още някои определения.

Определение 2

Членовете на полиномасъставните му мономи се наричат.

Разгледайте този пример, където имаме полином 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 , състоящ се от 4 члена: 3 x 4 , − 2 x y , 3 и − y 3. Такъв моном може да се счита за полином, който се състои от един член.

Определение 3

Полиномите, които имат 2, 3 тринома в състава си, имат съответното име - биномИ тричлен.

От това следва, че израз на формата x+y– е бином, а изразът 2 x 3 q − q x x + 7 b е тричлен.

от училищна програмаработи с линеен бином от формата a x + b, където a и b са някои числа, а x е променлива. Разгледайте примери за линейни биноми от вида: x + 1 , x · 7 , 2 − 4 с примери за квадратни триноми x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 - 3 x + 11 .

За трансформация и решение е необходимо да се намерят и въведат подобни условия. Например полином от формата 1 + 5 x − 3 + y + 2 x има подобни членове 1 и - 3, 5 x и 2 x. Те се подразделят на специална група, наречена подобни членове на полинома.

Определение 4

Подобни членове на полиномса като членове в полинома.

В примера по-горе имаме, че 1 и - 3, 5 x и 2 x са подобни членове на полинома или подобни членове. За да опростите израза, намерете и редуцирайте подобни членове.

Полином със стандартна форма

Всички мономи и полиноми имат свои специфични имена.

Определение 5

Полином със стандартна формаПолином се нарича, в който всеки негов член има моном от стандартната форма и не съдържа подобни членове.

От дефиницията се вижда, че е възможно да се редуцират полиноми със стандартна форма, например 3 x 2 − x y + 1 и __формула__, а записът е в стандартна форма. Изразите 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z и 5 + 3 x 2 − x 2 + 2 x z не са полиноми от стандартната форма, тъй като първият от тях има подобни членове във формата 3 x 2 и − x2, а вторият съдържа моном от вида x · y 3 · x · z 2 , който се различава от стандартния полином.

Ако обстоятелствата го изискват, понякога полиномът се редуцира до стандартна форма. Концепцията за свободен член на полином също се счита за полином със стандартна форма.

Определение 6

Свободен член на полиномае полином със стандартна форма без буквена част.

С други думи, когато записът на полином в стандартна форма има число, той се нарича свободен член. Тогава числото 5 е свободен член на многочлена x 2 · z + 5 , а многочленът 7 · a + 4 · a · b + b 3 няма свободен член.

Степента на полином - как да я намерим?

Дефиницията на степента на полином се основава на дефиницията на полином със стандартна форма и на степени на мономи, които са негови компоненти.

Определение 7

Степента на полином със стандартна форманазовете най-голямата от мощностите, включени в неговата нотация.

Нека разгледаме един пример. Степента на многочлена 5 x 3 − 4 е равна на 3, тъй като мономите, включени в неговия състав, имат степени 3 и 0, а най-големият от тях е съответно 3. Определението на степента от полинома 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x е равно на най-голямото от числата, тоест 2 + 3 = 5 , 4 + 1 = 5 и 1 , така че 5 .

Необходимо е да се разбере как се намира самата степен.

Определение 8

Степен на полином от произволно числое степента на съответния полином в стандартна форма.

Когато полиномът не е записан в стандартната форма, но трябва да намерите степента му, трябва да го намалите до стандартната форма и след това да намерите необходимата степен.

Пример 1

Намерете степента на полином 3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Решение

Първо представяме полинома в стандартна форма. Получаваме израз като:

3 a 12 − 2 a b c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 (a a) (b b) (c c) + y 2 z 2 = = − 2 a 2 b 2 c 2 + y 2 z 2

При получаване на полином от стандартната форма откриваме, че два от тях са ясно разграничени - 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . За да намерим градусите, пресмятаме и получаваме, че 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4 . Вижда се, че най-големият от тях е равен на 6. От дефиницията следва, че точно 6 е степента на полинома − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, следователно първоначалната стойност.

Отговор: 6 .

Коефициентите на членовете на полинома

Определение 9

Когато всички членове на полином са мономи от стандартната форма, тогава в този случай те имат името коефициенти на членовете на полинома.С други думи, те могат да бъдат наречени коефициенти на полином.

При разглеждане на примера се вижда, че полиномът от формата 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 има 4 полинома в своя състав: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x и 7 със съответните им коефициенти 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 . Следователно, 2 , − 0 , 5 , 3 и 7 се считат за коефициенти на членовете на дадения полином от вида 2 · x − 0 , 5 · x · y + 3 · x + 7 . Когато конвертирате, е важно да обърнете внимание на коефициентите пред променливите.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Определение 3.3. моном нарича израз, който е произведение на числа, променливи и степени с естествен показател.

Например всеки от изразите
,
е моном.

Казват, че мономът има стандартен изглед , ако съдържа само един числов фактор на първо място и всяко произведение на еднакви променливи в него е представено със степен. Числовият фактор на моном, записан в стандартна форма, се нарича мономиален коефициент . Степен на монома е сумата от показателите на всички негови променливи.

Определение 3.4. полином се нарича сбор от мономи. Мономите, които съставляват полинома, се наричатчленове на полинома .

Подобни членове - мономи в полином - се наричат подобни членове на полинома .

Определение 3.5. Полином със стандартна форма се нарича полином, в който всички членове са записани в стандартна форма и са дадени подобни членове.Степента на полином със стандартна форма назовете най-голямата от степените на неговите мономи.

Например, е полином от стандартната форма на четвърта степен.

Действия върху мономи и полиноми

Сумата и разликата на полиномите могат да бъдат преобразувани в полином със стандартна форма. При събиране на два полинома се изписват всичките им членове и се дават подобни членове. При изваждане знаците на всички членове на полинома, който трябва да се извади, се обръщат.

Например:

Членовете на полином могат да бъдат разделени на групи и оградени в скоби. Тъй като това е идентична трансформация, обратна на разгъването на скоби, се установява следното: правило за скоби: ако пред скобите е поставен знак плюс, тогава всички термини, поставени в скоби, се изписват със знаците си; ако пред скобите е поставен знак минус, тогава всички термини, затворени в скоби, се записват с противоположни знаци.

Например,

Правило за умножение на многочлен по многочлен: за да умножите полином по полином, е достатъчно да умножите всеки член на един полином по всеки член на другия полином и да добавите получените продукти.

Например,

Определение 3.6. Полином в една променлива степени се нарича израз на формата

Където
- всички номера, които се обаждат полиномни коефициенти , и
,е неотрицателно цяло число.

Ако
, тогава коефициентът Наречен водещият коефициент на полинома
, моном
- неговият старши член , коеф – безплатен член .

Ако вместо променлива в полином
заменете реално число , тогава резултатът е реално число
, което се нарича полиномна стойност
при
.

Определение 3.7. Номер Нареченполином корен
, Ако
.

Помислете за разделянето на полином на полином, където
И - цели числа. Делението е възможно, ако степента на делимия полином
не по-малко от степента на полинома на делителя
, това е
.

Разделете полином
към полином
,
, означава да се намерят два такива полинома
И
, да се

В същото време полиномът
степени
Наречен частен полином ,
– остатък ,
.

Забележка 3.2. Ако делител
–не е нулев полином, тогава деление
На
,
, винаги е осъществимо, а частното и остатъкът са еднозначно определени.

Забележка 3.3. В случай, когато
за всички , това е

кажете, че е полином
напълно разделени(или споделете)към полином
.

Разделянето на полиноми се извършва подобно на деленето на многозначни числа: първо старшият член на делимия полином се дели на старшия член на делителя на полинома, след това частното от делението на тези членове, което ще бъде старши член на частния полином, се умножава по полинома на делителя и полученият продукт се изважда от делимия полином. В резултат на това се получава полином - първият остатък, който се дели на полинома на делителя по същия начин и се намира вторият член на частния полином. Този процес продължава, докато се получи нулев остатък или степента на полинома на остатъка е по-малка от степента на полинома на делителя.

Когато разделяте полином на бином, можете да използвате схемата на Хорнер.

Схема на Хорнер

Нека се изисква да се раздели полинома

в бином
. Означете частното от делението като полином

а остатъкът е . Значение , коефициенти на полиноми
,
и остатъка пишем в следната форма:

В тази схема всеки от коефициентите
,
,
, …,се получава от предишното число на долния ред чрез умножаване по числото и добавяне към получения резултат на съответното число от горната линия над желания коефициент. Ако има някаква степен липсва в полинома, тогава съответният коефициент е равен на нула. След като определихме коефициентите съгласно горната схема, записваме коефициента

и резултатът от делението, ако
,

или ,

Ако
,

Теорема 3.1. За да има несъкратима дроб (

,

)беше коренът на полинома
с цели коефициенти е необходимо числото беше делител на свободния член , и числото - делител на най-високия коефициент .

Теорема 3.2. (Теорема на Безу ) остатък от деление на полином
в бином
равна на стойността на полинома
при
, това е
.

При деление на многочлен
в бином
имаме равенството

Вярно е по-специално за
, това е
.

Пример 3.2.Разделете на
.

Решение.Нека приложим схемата на Хорнер:

следователно

Пример 3.3.Разделете на
.

Решение.Нека приложим схемата на Хорнер:

следователно

,

Пример 3.4.Разделете на
.

Решение.

В резултат на това получаваме

Пример 3.5.Разделям
На
.

Решение.Нека извършим разделянето на полиномите по колона:

Тогава получаваме

.

Понякога е полезно да се представи полином като равно произведение на два или повече полинома. Такава тъждествена трансформация се нарича факторизиране на полином . Нека разгледаме основните начини за такова разлагане.

Изваждане на общия множител извън скоби. За да се факторизира полином чрез изваждане на общия множител извън скоби, е необходимо:

1) намерете общия множител. За да направите това, ако всички коефициенти на полинома са цели числа, най-големият модулен общ делител на всички коефициенти на полинома се счита за коефициент на общия фактор и всяка променлива, включена във всички членове на полинома, се взема с най-високият показател, който има в този полином;

2) намерете частното от разделянето на даден полином на общ множител;

3) запишете произведението на общия множител и полученото частно.

групиране на членове. При разлагане на полином на множители по метода на групиране, членовете му се разделят на две или повече групи по такъв начин, че всяка от тях да може да бъде преобразувана в продукт, а получените продукти да имат общ фактор. След това се прилага методът на поставяне в скоби на общия множител на новопреобразуваните членове.

Приложение на формули за съкратено умножение. В случаите, когато полиномът, който трябва да се разложи разложена на множители, има формата на дясната страна на всяка формула за съкратено умножение, нейното разлагане на множители се постига чрез използване на съответната формула, написана в различен ред.

Позволявам

, то следните са верни. формули за съкратено умножение:

За :
Ако странно ( ):
Бином на Нютон: Където - броят на комбинациите от от .

Въвеждане на нови спомагателни членове. Този метод се състои в това, че полиномът се заменя с друг полином, идентично равен на него, но съдържащ различен брой членове, чрез въвеждане на два противоположни члена или заместване на който и да е член със сбора от подобни мономи, идентично равни на него. Замяната се извършва по такъв начин, че методът на групиране на членове да може да се приложи към получения полином.

Пример 3.6..

Решение.Всички членове на полинома съдържат общ множител
. Следователно,.

Отговор: .

Пример 3.7.

Решение.Групираме отделно членовете, съдържащи коефициента , и членове, съдържащи . Като поставим в скоби общите множители на групите, получаваме:

.

Отговор:
.

Пример 3.8.Факторизиране на полином
.

Решение.Използвайки подходящата формула за съкратено умножение, получаваме:

Отговор: .

Пример 3.9.Факторизиране на полином
.

Решение.Използвайки метода на групиране и съответната формула за съкратено умножение, получаваме:

.

Отговор: .

Пример 3.10.Факторизиране на полином
.

Решение.Да заменим На
, групирайте членовете, приложете формулите за съкратено умножение:

.

Отговор:
.

Пример 3.11.Факторизиране на полином

Решение.защото,
,
, Че

- полиноми. В тази статия ще представим цялата първоначална и необходима информация за полиномите. Те включват, първо, дефиницията на полином със съпътстващи дефиниции на членовете на полинома, по-специално свободния член и подобни термини. Второ, ние се спираме на полиномите на стандартната форма, даваме съответната дефиниция и даваме примери за тях. Накрая въвеждаме определението за степен на полином, разбираме как да го намерим и говорим за коефициентите на членовете на полинома.

Навигация в страницата.

Полином и неговите членове - определения и примери

В 7 клас полиномите се изучават веднага след мономи, това е разбираемо, тъй като дефиниция на полиномсе дава от гледна точка на мономи. Нека дадем това определение, обясняващо какво е полином.

Определение.

Полиноме сумата от мономи; мономът се счита за специален случай на полином.

Писмената дефиниция ви позволява да дадете колкото искате примери за полиноми. Всеки от мономите 5 , 0 , −1 , x , 5 a b 3 , x 2 0,6 x (−2) y 12 и т.н. е полином. Също по дефиниция 1+x , a 2 +b 2 и са полиноми.

За удобство при описване на полиноми е въведена дефиницията на термин на полином.

Определение.

Полиномиални терминиса мономи, които съставляват полинома.

Например полиномът 3 x 4 −2 x y+3−y 3 има четири члена: 3 x 4 , −2 x y , 3 и −y 3 . Моном се счита за полином, състоящ се от един член.

Определение.

Полиноми, които се състоят от два и три члена, имат специални имена - биномИ тричленсъответно.

Така че x+y е бином, а 2·x 3 ·q−q·x·x+7·b е тричлен.

В училище най-често трябва да работите с линеен бином a x+b, където a и b са някои числа и x е променлива, и с квадратен тричлен a x 2 +b x+c , където a , b и c са някои числа и x е променлива. Ето примери за линейни биноми: x+1, x 7,2−4 и ето примери за квадратни триноми: x 2 +3 x−5 и .

Полиномите в тяхното обозначение могат да имат подобни членове. Например, в полинома 1+5 x−3+y+2 x подобни членове са 1 и −3, както и 5 x и 2 x. Те имат свое специално име - подобни членове на полином.

Определение.

Подобни членове на полиномаподобни членове в полином се наричат.

В предишния пример, 1 и −3, както и двойката 5 x и 2 x, са като членове на полинома. В полиноми с подобни членове е възможно да се извърши редукция на подобни членове, за да се опрости формата им.

Полином със стандартна форма

За полиномите, както и за мономите, има така наречената стандартна форма. Нека звучим съответното определение.

Базиран това определение, можем да дадем примери за полиноми от стандартната форма. Така че полиномите 3 x 2 −x y+1 и написани в стандартна форма. А изразите 5+3 x 2 −x 2 +2 x z и x+x y 3 x z 2 +3 z не са полиноми от стандартната форма, тъй като първият от тях съдържа подобни членове 3 x 2 и −x 2 , а в вторият, мономът x · y 3 · x · z 2 , чиято форма е различна от стандартната.

Имайте предвид, че ако е необходимо, винаги можете да приведете полинома в стандартната форма.

Към полиномите от стандартната форма принадлежи още едно понятие - понятието свободен член на полином.

Определение.

Свободен член на полиноманаричаме член на полином със стандартна форма без буквена част.

С други думи, ако има число в стандартната форма на полином, тогава то се нарича свободен член. Например, 5 е свободен член на полинома x 2 z+5, докато полиномът 7 a+4 a b+b 3 няма свободен член.

Степента на полином - как да я намерим?

Друго важно свързано определение е определението за степен на полином. Първо, дефинираме степента на полином от стандартната форма, тази дефиниция се основава на степените на мономите, които са в неговия състав.

Определение.

Степен на полином със стандартна формае най-голямата от степените на мономите, включени в неговото обозначение.

Да дадем примери. Степента на полинома 5 x 3 −4 е равна на 3, тъй като включените в него мономи 5 x 3 и −4 имат степени съответно 3 и 0, най-голямото от тези числа е 3, което е степента на полинома по дефиниция. И степента на полинома 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 xе равно на най-голямото от числата 2+3=5 , 4+1=5 и 1 , тоест 5 .

Сега нека разберем как да намерим степента на полином от произволна форма.

Определение.

Степента на полином от произволна формае степента на съответния полином на стандартната форма.

Така че, ако полиномът не е написан в стандартна форма и искате да намерите степента му, тогава трябва да приведете оригиналния полином в стандартната форма и да намерите степента на получения полином - това ще бъде желаната. Нека разгледаме примерно решение.

Пример.

Намерете степента на полином 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Решение.

Първо трябва да представите полинома в стандартната форма:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2 (a a) (b b) (c c)+y 2 z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Полученият полином на стандартната форма включва два монома −2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . Нека намерим техните степени: 2+2+2=6 и 2+2=4 . Очевидно най-голямата от тези степени е 6, което по дефиниция е степента на полином от стандартната форма −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, а оттам и степента на първоначалния полином., 3 x и 7 от полинома 2 x−0,5 x y+3 x+7 .

Библиография.

• Алгебра:учебник за 7 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М. : Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 14 ч. Част 1. Учебна тетрадка образователни институции/ А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебраи началото на математическия анализ. 10 клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М.: Просвещение, 2010.- 368 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Например изрази:

а - b + ° С, х 2 - г 2 , 5х - 3г - z- полиноми.

Мономите, които съставляват полинома, се наричат членове на полинома. Помислете за полином:

7а + 2b - 3° С - 11

изрази: 7 а, 2b, -3° Си -11 са членове на полинома. Забележете члена -11. Не съдържа променлива. Такива членове, състоящи се само от число, се наричат Безплатно.

Общоприето е, че всеки моном е частен случай на полином, състоящ се от един член. В този случай мономът е името на полином с един член. За полиноми, състоящи се от два и три члена, има и специални имена - съответно бином и тричлен:

7а- мономиални

7а + 2b- бином

7а + 2b - 3° С- тристранни

Подобни членове

Подобни членове- мономи, включени в полинома, които се различават един от друг само с коефициента, знака или изобщо не се различават (противоположните мономи също могат да се нарекат подобни). Например в полином:

3а 2 b

+

5абв 2

+

2а 2 b

-

7абв 2

-

2а 2 b

членове 3 а 2 b, 2а 2 bи 2 а 2 b, както и членове 5 абв 2 и -7 абв 2 са подобни членове.

Кастинг като членове

Ако полиномът съдържа подобни членове, тогава той може да бъде намален до по-проста форма чрез комбиниране на подобни членове в едно. Такова действие се нарича намаляване на подобни условия. На първо място, поставяме в скоби отделно всички такива членове:

(3а 2 b + 2а 2 b - 2а 2 b) + (5абв 2 - 7абв 2)

За да комбинирате няколко подобни мономи в един, трябва да добавите техните коефициенти и да оставите буквалните множители непроменени:

((3 + 2 - 2)а 2 b) + ((5 - 7)абв 2) = (3а 2 b) + (-2абв 2) = 3а 2 b - 2абв 2

Редуцирането на подобни членове е операция за заместване на алгебричната сума на няколко подобни мономи с един моном.

Полином със стандартна форма

Полином със стандартна формае полином, всички членове на който са мономи от стандартната форма, сред които няма подобни членове.

За да приведете полином в стандартната форма, достатъчно е да направите подобни членове. Например, представете израза като полином от стандартната форма:

3xy + х 3 - 2xy - г + 2х 3

Нека първо намерим подобни термини:

Ако всички членове на полином от стандартната форма съдържат една и съща променлива, тогава неговите членове обикновено се подреждат от по-висока към по-малка степен. Свободният член на полинома, ако има такъв, се поставя на последно място - вдясно.

Например полином

3х + х 3 - 2х 2 - 7

трябва да се напише така:

х 3 - 2х 2 + 3х - 7

Странно е, че се прави равенство между многочлен и многочлен. Макар че доколкото си спомням са различни неща. Полиномът е това, за което пишат тук. Полиномът е отношението на 2 полинома. Потърсих превода в речника английски думиполиномът видя, че се превежда като многочлен, което беше доста изненадано .... Те дори не виждат разликата. Относно първия пример... Всичко е добре, но има ли начин за директно преобразуване, без да въвеждате неизвестни коефициенти? Този метод е твърде претенциозен ... За полиномите може да се каже много. Това далеч надхвърля обхвата на училището. Проучванията все още продължават! Тези. темата за полиномите не е завършена. Мога да отговоря на въпроса за корените в радикалите. В общия случай е доказано, че полиноми със степен по-голяма от 4 нямат решения в радикали. И те като цяло не се решават аналитично. Въпреки че някои видове са доста решени. Но не всички... Уравнението от 3-та степен има решение на Cardano. Уравнението от 4-та степен има 2 вида формули. Те са доста сложни и като цяло не е ясно предварително дали има реални решения, може всички да са сложни. Полином с нечетна степен винаги има поне 1 реален корен. На теория формулите за решаване на уравнения дори от 3-та или 4-та степен не са получили голямо разпространение поради тяхната сложност. И възниква въпросът кой от корените да се вземе предвид. В крайна сметка уравнението от n-та степен има точно n корена, като се вземе предвид тяхната кратност. Тук например можете да решите уравнението числено по метода на Нютон. Там всичко е просто. Пише се итеративна формула и няма проблеми. линейно приближение. Правата се пресича с оста OX само в 1-ва точка. Може да не се пресичат, тогава коренът е сложен. Но и 1-ви. Е, ясно е, че ако полином с реални коефициенти има сложен корен, тогава той също има комплексно спрегнат. Но вече при квадратичното приближение (този метод се нарича метод на параболите и други варианти на този метод на Мюлер за 2 предходни точки и т.н.) възникват проблеми. Първо, има 2 корена (mb, ако дискриминантът > 0) кой да избера? Въпреки че уравнението е квадратно. Можете да отидете по-далеч, за да вземете кубичното приближение (4-ти член в редицата на Тейлър, за квадрат се приема 3) И дори приближението на 4-та степен, като вземете 5 члена от редицата на Тейлър. Конвергенцията ще бъде супер бърза. Аналитично всичко се решава! Но не съм виждал такива методи никъде в математическата литература. Като правило те използват метода на Нютон, защото е безпроблемен! И навсякъде, където на теория има куб или уравнения от 4-та степен, това е мястото. Искате да опитате сами! Не мисля, че ще бъдете щастливи. Въпреки че повтарям всичко се решава аналитично. Просто формулите ще са много сложни. Но не това е важното. Има много други проблеми, които не са свързани със сложността.