Коя права на равнината се определя от уравнението. Книга: Уравнение на права върху равнина. Ъгъл между прави в равнина

Уравнение на права на равнина

Основни въпроси на лекцията: уравнения на права върху равнина; различни форми на уравнението на права върху равнина; ъгъл между прави линии; условия на успоредност и перпендикулярност на правите; разстояние от точка до права; криви от втори ред: окръжност, елипса, хипербола, парабола, техните уравнения и геометрични свойства; уравнения на равнина и права линия в пространството.

Уравнение от формата се нарича уравнение на права линия в общ изглед.

Ако се изрази в това уравнение, тогава след замяната и получаваме уравнение, наречено уравнение на права линия с фактор на наклона, и , където е ъгълът между правата линия и положителната посока на оста x. Ако в общо уравнениеправа линия за прехвърляне на свободния коефициент в дясната страна и разделяне на него, след което получаваме уравнението в сегменти

Къде и са точките на пресичане на правата съответно с абсцисната и ординатната ос.

Две прави в една равнина се наричат успоредни, ако не се пресичат.

Правите се наричат перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл.

Нека са дадени две прави линии и .

За да се намери пресечната точка на правите (ако се пресичат) е необходимо да се реши системата с тези уравнения. Решението на тази система ще бъде точката на пресичане на линиите. Да намерим условията относителна позициядве прави линии.

защото , тогава ъгълът между тези прави се намира по формулата

От това може да се получи, че за , Правите ще бъдат успоредни, а за , Те ще бъдат перпендикулярни. Ако правите са дадени в общ вид, тогава правите са успоредни при условието и перпендикулярни при условието

Разстоянието от точка до линия може да се намери с помощта на формулата

Нормално уравнение на окръжност:

Елипса е геометричното място на точки в равнина, сборът от разстоянията, от които до две дадени точки, наречена фокуси, е постоянна стойност.

Каноничното уравнение на елипса е:

. Върховете на елипсата са точките , , ,. Ексцентричността на елипса е отношението

Хиперболата е геометричното място на точките в равнина, като модулът на разликата в разстоянията до две дадени точки, наречени фокуси, е постоянна стойност.

Каноничното уравнение на хипербола има формата:

където е голямата полуос, е малката полуос и . Фокусите са в точки . Върховете на хиперболата са точките , . Ексцентричността на хипербола е отношението

Правите се наричат асимптоти на хиперболата. Ако , тогава хиперболата се нарича равнобедрена.

От уравнението получаваме двойка пресичащи се прави и .

Параболата е геометричното място на точки в равнина, от всяка от които разстоянието до дадена точка, наречено фокус, е равно на разстоянието до дадена права, наречено директриса, е постоянна стойност.

Уравнение на канонична парабола

Правата се нарича директриса, а точката се нарича фокус.

Концепцията за функционална зависимост

Основните въпроси на лекцията: множества; основни операции върху множества; дефиниране на функция, нейната област на съществуване, методи за настройка; основни елементарни функции, техните свойства и графики; числови редици и техните граници; граница на функция в точка и в безкрайност; безкрайно малки и безкрайно големи величини и техните свойства; основни теореми за границите; прекрасни граници; непрекъснатост на функция в точка и на интервал; свойства на непрекъснатите функции.

Ако всеки елемент от множеството е свързан с добре дефиниран елемент от множеството, тогава те казват, че дадена функция е дадена на множеството. В този случай тя се нарича независима променлива или аргумент и зависима променлива, а буквата обозначава закона за съответствие.

Множеството се нарича област на дефиниция или съществуване на функцията, а множеството се нарича област на функцията.

Има следните начини за дефиниране на функция

1. Аналитичен метод, ако функцията е дадена с формула на формата

2. Табличният метод е, че функцията е дадена от таблица, съдържаща стойностите на аргумента и съответните стойности на функцията

3. Графичният метод се състои в показване на графиката на функцията - набор от точки в равнината, чиито абсциси са стойностите на аргумента, а ординатите са съответните стойности на функцията

10.1. Основни понятия

Права на равнина се разглежда (даде) като набор от точки, които имат някакво геометрично свойство, присъщо само на тях. Например окръжност с радиус R е множеството от всички точки в равнината, които са на разстояние - R от някаква фиксирана точка O (центъра на окръжността).

Въвеждането на координатна система в равнината ви позволява да определите позицията на точка в равнината, като зададете две числа - нейните координати и определите позицията на правата в равнината с помощта на уравнение (т.е. равенство, свързващо координатите на точките на линията).

Уравнение на линията(или крива) в равнината Oxy е такова уравнение F(x;y) = 0 с две променливи, което е изпълнено от координатите x и y на всяка точка от правата и не е изпълнено от координатите на никоя точка, която не лежи на тази права.

Променливите x и y в уравнението на линията се наричат текущи координати на точките на линията.

Уравнението на линията позволява изучаването на геометричните свойства на линията да бъде заменено с изучаването на нейното уравнение.

Така че, за да се установи дали точката A (x 0; y 0) лежи на дадена линия, достатъчно е да се провери (без да се прибягва до геометрични конструкции) дали координатите на точка A отговарят на уравнението на тази линия в избраната координатна система.

Проблемът за намиране на пресечните точки на две линии, дадени от уравненията F 1 (x 1; y 1) = 0 и F 2 (x 2; y) = 0, се свежда до намиране на точки, чиито координати отговарят на уравненията на двете линии, т.е. се свежда до решаване на система от две уравнения с две неизвестни:

Ако тази система няма реални решения, тогава линиите не се пресичат.

По подобен начин се въвежда понятието уравнение на права в полярна координатна система.

Уравнението F(r; φ)=O се нарича уравнение на дадена права в полярната координатна система, ако координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и само те, удовлетворяват това уравнение.

Права в равнина може да се дефинира с помощта на две уравнения:

където x и y са координатите на произволна точка M(x; y), лежаща на дадена права, а t е променлива, наречена параметър; параметърът t определя позицията на точката (x; y) върху равнината.

Например, ако x = t + 1, y = t 2, тогава точката (3; 4) съответства на стойността на параметъра t = 1 в равнината, защото x = 1 + 1 = 3, y = 22 - 4.

Ако параметърът t се промени, тогава точката от равнината се премества, описвайки дадената права. Този начин за дефиниране на линия се нарича параметричени уравнения (10.1) - параметрични уравнениялинии.

За да се премине от параметричните уравнения на линията към уравнение във формата F(x;y) = 0, параметърът t трябва да бъде елиминиран от двете уравнения по някакъв начин.

Например от уравнения чрез заместване на t = x

във второто уравнение е лесно да се получи уравнението y \u003d x 2; или y-x 2 = 0, т.е. във формата F(x; y) = 0. Отбелязваме обаче, че такъв преход не винаги е възможно.

Права в равнина може да бъде определена чрез векторното уравнение r=r(t), където t е параметър на скаларна променлива. Всяка стойност t 0 съответства на определен вектор r=r(t)самолети. Когато параметърът t се промени, краят на вектора r=r(t)описва някаква линия (виж фиг. 31).

Векторно уравнение r=r(t)в координатната система Oxy съответстват две скаларни уравнения (10.1), т.е. уравненията на проекциите върху координатните оси на векторното уравнение на правата са нейните параметрични уравнения. I Векторното уравнение и параметричните уравнения на линията I имат механичен смисъл. Ако точка се движи в равнина, тогава тези уравнения се наричат уравнения на движение, а правата се нарича траектория на точката, докато параметърът t е време. И така, всяка права в равнината съответства на някакво уравнение от вида F(x; y) = 0.

На всяко уравнение под формата F (x; y) \u003d 0, най-общо казано, съответства определена линия, чиито свойства се определят от това уравнение (изразът "най-общо казано" означава, че казаното допуска изключения. Така че уравнението (x-2) 2 + (y-3) 2 \u003d 0 съответства не на линия, а на точка (2; 3); на уравнението x 2 + y 2 + 5 \u003d 0 на равнината не съответства на никакво геометрично изображение).

IN аналитична геометрияв самолета възникват два основни проблема. Първо: познавайки геометричните свойства на кривата, намерете нейното уравнение) второ: познавайки уравнението на кривата, изучавайте нейната форма и свойства.

Фигури 32-40 показват примери за някои криви и техните уравнения.

10.2. Уравнения на права върху равнина

Най-простата от линиите е правата линия. различни начининазначенията на права линия съответстват в правоъгълна координатна система различни видовенеговите уравнения.

Уравнение на линия с наклон

Нека на равнината Oxy е дадена произволна права линия, която не е успоредна на оста Oy. Неговата позиция се определя напълно от ординатата b на пресечната точка N(0; b) с оста Oy и ъгъла a между оста Ox и правата линия (виж фиг. 41).

Под ъгъл a (0

Дефиницията на тангенса на ъгъл предполага равенството

Въвеждаме обозначението tg a=k , получаваме уравнението

(10.2)

което се удовлетворява от координатите на всяка точка M(x; y) от правата. Вижда се, че координатите на всяка точка P (x; y), лежаща извън дадената права, не удовлетворяват уравнение (10.2).

Числото k = tga се нарича наклон на правата, а уравнението (10.2) е уравнението на правата с наклона.

Ако правата минава през началото, тогава b = 0 и следователно уравнението на тази права ще изглежда като y=kx.

Ако линията е успоредна на оста Ox, тогава a \u003d 0, следователно k \u003d tga \u003d 0 и уравнение (10.2) приема формата y \u003d b.

Ако правата линия е успоредна на оста Oy, тогава уравнението (10.2) губи смисъла си, тъй като за него наклонът не съществува.

В този случай уравнението на права линия ще изглежда така

Където а- абсцисата на пресечната точка на правата с оста Ox. Забележете, че уравнения (10.2) и (10.3) са уравнения от първа степен.

Общо уравнение на права линия.

Да разгледаме уравнение от първа степен за x и y в общ вид

(10.4)

където A, B, C са произволни числа, а A и B не са равни на нула едновременно.

Нека покажем, че уравнение (10.4) е уравнение на права линия. Възможни са два случая.

Ако B = 0, тогава уравнението (10.4) има формата Ax + C = O, и A ¹ 0, т.е. Това е уравнението на права линия, успоредна на оста Oy и минаваща през точката

Ако B ¹ 0, тогава от уравнение (10.4) получаваме . Това е уравнението на права линия с наклон |.

И така, уравнение (10.4) е уравнение на права линия, така се нарича общото уравнение на права линия.

Някои специални случаи на общото уравнение на права линия:

1) ако A = 0, тогава уравнението се редуцира до формата. Това е уравнението на права линия, успоредна на оста x;

2) ако B \u003d 0, тогава правата линия е успоредна на оста Oy;

3) ако С = 0, тогава получаваме . Уравнението се удовлетворява от координатите на точката O(0;0), правата минава през началото.

Уравнение на права, минаваща през дадена точка в дадена посока

Нека права линия минава през точка и нейната посока се определя от наклона k. Уравнението на тази права линия може да бъде записано като , където b е неизвестна величина. Тъй като правата минава през точката, тогава координатите на точката отговарят на уравнението на правата:. Оттук. Замествайки стойността на b в уравнението, получаваме желаното уравнение на правата: , т.е.

(10.5)

Уравнение (10.5) с различни стойности на k също се нарича уравнения на молив от прави линии, центрирани в точка. От този молив е невъзможно да се определи само права линия, успоредна на оста Oy.

Уравнение на права, минаваща през две точки

Нека правата минава през точките и . Уравнението на права линия, минаваща през точката M 1, има формата

(10.6)

където k е все още неизвестен коефициент.

Тъй като правата минава през точката , то координатите на тази точка трябва да отговарят на уравнение (10.6): . Тук намираме. Замествайки намерената стойност на k в уравнение (10.6), получаваме уравнението на права линия, минаваща през точките М1 и М2.

(10.7)

Приема се, че в това уравнение

Ако x 2 \u003d x 1 е права линия, минаваща през точките и успоредна на оста y. Неговото уравнение е .

Ако y 2 = y 1, тогава уравнението на права линия може да бъде написано като , права линия М1 М2успоредна на оста x.

Уравнение на права линия в отсечки

Нека правата пресича оста Ox в точка и оста Oy в точка (виж Фиг. 42). В този случай уравнението (10.7) приема формата

Това уравнение се нарича уравнение на права линия в сегменти, тъй като числата α и b показват кои сегменти отсича правата върху координатните оси.

Уравнение на права линия, минаваща през дадена точка перпендикулярно на даден вектор

Нека намерим уравнението на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден ненулев вектор.

Нека вземем произволна точка M(x; y) на правата и да разгледаме вектор (виж Фиг. 43). Тъй като векторите и са перпендикулярни, тяхното скаларно произведение е равно на нула: т.е

Уравнение (10.8) се нарича уравнението на права линия, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на даден вектор.

Вектор, перпендикулярен на права, се нарича нормален вектор на тази права. Уравнение (10.8) може да бъде пренаписано като

(10.9)

където A и B са координатите на нормалния вектор, е свободният член. Уравнение (10.9) е общото уравнение на права линия (виж (10.4)).

Полярно уравнение на права линия

Нека намерим уравнението на права линия в полярни координати. Неговата позиция може да се определи чрез посочване на разстоянието ρ от полюса O до дадената права линия и ъгъла α между полярната ос Op и оста лминаваща през полюса O перпендикулярно на дадената права (виж фиг. 44).

За всяка точка на тази линия имаме:

От друга страна,

следователно

(10.10)

Полученото уравнение (10.10) е уравнението на права линия в полярни координати.

Нормално уравнение на права линия

Нека линията се определи чрез задаване на p и α (виж Фиг. 45). Помислете за правоъгълна координатна система. Въвеждаме полярната система, като вземем полюса и полярната ос. Уравнението на права линия може да бъде написано като

Но поради формулите, свързващи правоъгълни и полярни координати, имаме: , . Следователно уравнението (10.10) на права линия в правоъгълна координатна система приема формата

(10.11)

Уравнение (10.11) се нарича нормално уравнение на права линия.

Нека покажем как да доведем уравнение (10.4) направо до формата (10.11).

Умножаваме всички членове на уравнение (10.4) по някакъв коефициент. Получаваме . Това уравнение трябва да се превърне в уравнение (10.11). Следователно трябва да са изпълнени равенствата: , , . От първите две равенства намираме д. . Факторът λ се нарича нормализиращ фактор. Съгласно третото равенство знакът на нормиращия фактор е противоположен на знака на свободния член C на общото уравнение на правата.

Уравнение на права на равнина.

Както е известно, всяка точка от равнината се определя от две координати в някаква координатна система. Координатните системи могат да бъдат различни в зависимост от избора на основа и произход.

Определение.Уравнение на линиятасе нарича отношение y=f(x ) между координатите на точките, изграждащи тази линия.

Имайте предвид, че уравнението на линията може да бъде изразено по параметричен начин, т.е. всяка координата на всяка точка се изразява чрез някакъв независим параметърT.

Типичен пример е траекторията на движеща се точка. В този случай времето играе ролята на параметър.

Уравнение на права на равнина.

Определение. Всяка права в равнината може да бъде дадена чрез уравнение от първи ред

Ah + Wu + C = 0,

освен това константите A, B не са равни на нула едновременно, т.е. A 2 + B 2¹ 0. Това уравнение от първи ред се нарича общото уравнение на права линия.

В зависимост от стойностите на константите A, B и C са възможни следните специални случаи:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 - линията минава през началото

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 ( Чрез + C \u003d 0) - права линия е успоредна на оста Ox

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 ( Ax + C = 0) - права линия, успоредна на оста Oy

B \u003d C \u003d 0, A ¹ 0 - линията съвпада с оста Oy

A = C = 0, B ¹ 0 - линията съвпада с оста Ox

Уравнението на права линия може да бъде представено в различни форми в зависимост от дадени начални условия.

Разстоянието от точка до права.

Теорема. Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Vy + C \u003d 0 се определя като

Доказателство. Нека точката M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, пуснат от точката M към дадената права. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

(1)

Координати х 1 и y 1 може да се намери като решение на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права линия, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярна на дадена права линия.

Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Пример.Определете ъгъла между линиите: y=-3x+7; y = 2 x + 1.

K 1 \u003d -3; k 2 = 2tg j = ; j = p /4.

Пример.Покажете, че правите 3x - 5y + 7 = 0 и 10x + 6y - 3 = 0 са перпендикулярни.

Намерете: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, следователно линиите са перпендикулярни.

Пример.Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B(6;5), C (12; -1). Намерете уравнението за височината, изтеглена от върха C.

Тази статия е продължение на линията на равнинния участък. Тук се обръщаме към алгебричното описание на права линия, използвайки уравнението на права линия.

Материалът на тази статия е отговорът на въпросите: „Какво уравнение се нарича уравнение на права линия и каква форма има уравнението на права линия в равнина“?

Навигация в страницата.

Уравнение на права върху равнина - определение.

Нека Oxy е фиксиран върху равнината и в нея е дадена права линия.

Правата линия, както всяка друга геометрична фигура, се състои от точки. Във фиксирана правоъгълна координатна система всяка точка от правата има свои координати - абсциса и ордината. Така че връзката между абсцисата и ординатата на всяка точка от права линия във фиксирана координатна система може да бъде дадена чрез уравнение, което се нарича уравнение на права линия в равнина.

С други думи, уравнение на права линия в равнинав правоъгълната координатна система Oxy има някакво уравнение с две променливи x и y, което се превръща в идентичност, когато координатите на която и да е точка от тази права се заменят в него.

Остава да се справим с въпроса каква форма има уравнението на права линия в равнина. Отговорът на него се съдържа в следващия параграф на статията. Поглеждайки напред, отбелязваме, че има различни форми на писане на уравнението на права линия, което се обяснява със спецификата на решаваните задачи и метода за задаване на права линия в равнина. И така, нека започнем преглед на основните видове уравнение на права линия в равнина.

Общо уравнение на права линия.

Видът на уравнението на права линия в правоъгълната координатна система Oxy върху равнината се дава от следната теорема.

Теорема.

Всяко уравнение от първа степен с две променливи x и y от формата , където A , B и C са някои реални числа и A и B не са равни на нула едновременно, определя права линия в правоъгълната координатна система Oxy на равнината и всяка права линия на равнината се дава от уравнение от формата .

Уравнението Наречен общото уравнение на права линияна повърхността.

Нека обясним значението на теоремата.

Дадено е уравнение от формата съответства на права линия на равнина в дадена координатна система, а права линия на равнина в дадена координатна система съответства на уравнение на права линия от формата .

Вижте чертежа.

От една страна, можем да кажем, че тази линия се определя от общото уравнение на права линия на формата , тъй като координатите на всяка точка от изобразената линия удовлетворяват това уравнение. От друга страна, множеството точки в равнината, дефинирана от уравнението , дайте ни права линия, показана на чертежа.

Общото уравнение на права линия се нарича пълен, ако всички числа A, B и C са различни от нула, в противен случай общото уравнение на права линия се нарича непълна. Непълно уравнение на права линия дефинира права линия, минаваща през началото. Когато A=0, уравнението задава права, успоредна на абсцисната ос Ox , а при B=0 - успоредна на ординатната ос Oy .

Така всяка права линия на равнина в дадена правоъгълна координатна система Oxy може да бъде описана с помощта на общото уравнение на права линия за определен набор от стойности на числата A, B и C.

Нормален вектор на права линия, даден от общо уравнение на права линия от формата , има координати .

Всички уравнения на линии, които са дадени в следващите параграфи на тази статия, могат да бъдат получени от общото уравнение на линия и могат също да бъдат редуцирани обратно до общото уравнение на линия.

Препоръчваме допълнително проучване на статията. Там е доказана теоремата, формулирана в началото на този параграф на статията, дадени са графични илюстрации, подробно са анализирани решения на примери за съставяне на общо уравнение на права линия, показан е преходът от общото уравнение на права линия към уравнения от друг тип и обратно, както и са разгледани други характерни проблеми.

Уравнение на права линия в отсечки.

Извиква се уравнение на права линия, където a и b са някои ненулеви реални числа уравнение на права линия в сегменти. Това име не е случайно, тъй като абсолютните стойности на числата a и b са равни на дължините на сегментите, които правата линия отрязва съответно на координатните оси Ox и Oy (сегментите се измерват от началото). По този начин уравнението на права линия в сегменти улеснява изграждането на тази права линия в чертеж. За да направите това, маркирайте точки с координати и в правоъгълна координатна система върху равнината и използвайте линийка, за да ги свържете с права линия.

Например, нека изградим права линия, дадена от уравнение в сегменти от формата . Маркиране на точките и ги свържете.

Можете да получите подробна информация за този тип уравнение на права линия в равнина в статията.

Уравнение на права с наклон.

Праволинейно уравнение, където x и y са променливи, а k и b са някои реални числа, се нарича уравнение на права линия с наклон(k е факторът на наклона). Уравненията на права линия с наклон са ни добре познати от курса по алгебра в гимназията. Този вид уравнение на права линия е много удобно за изследване, тъй като променливата y е явна функция на аргумента x.

Дефиницията на наклона на правата се дава чрез дефиницията на ъгъла на наклона на правата към положителната посока на оста Ox.

Определение.

Ъгълът на наклона на правата спрямо положителната посока на оста xв дадена правоъгълна декартова координатна система Oxy е ъгълът, измерен от положителната посока на оста Ox към дадената права линия обратно на часовниковата стрелка.

Ако правата линия е успоредна на абсцисната ос или съвпада с нея, тогава ъгълът на нейния наклон се счита за равен на нула.

Определение.

Наклон на права линияе тангенса на наклона на тази права линия, т.е.

Ако правата е успоредна на оста y, тогава наклонът отива до безкрайност (в този случай също се казва, че наклонът не съществува). С други думи, не можем да напишем уравнението на права с наклон за права, успоредна или съвпадаща с оста Oy.

Обърнете внимание, че правата линия, определена от уравнението, минава през точка на оста y.

По този начин уравнението на права линия с наклон определя права линия в равнина, която минава през точка и образува ъгъл с положителната посока на абсцисната ос и .

Като пример, нека начертаем права линия, определена от уравнение от формата . Тази линия минава през точката и има наклон радиани (60 градуса) спрямо положителната посока на оста Ox. Наклонът му е .

Имайте предвид, че е много удобно да търсите под формата на уравнение на права линия с наклон.

Канонично уравнение на права върху равнина.

Канонично уравнение на права в равнинав правоъгълна декартова координатна система Oxy има формата , където и са някои реални числа и и не са равни на нула едновременно.

Очевидно е, че правата, определена от каноничното уравнение на правата, минава през точката. От своя страна числата и , стоящи в знаменателите на дробите, са координатите на насочващия вектор на тази линия. По този начин каноничното уравнение на права линия в правоъгълната координатна система Oxy в равнината съответства на права линия, минаваща през точка и имаща насочващ вектор.

Например, нека начертаем права линия в равнината, съответстваща на каноничното уравнение на правата линия на формата . Очевидно е, че точката принадлежи на правата, а векторът е насочващият вектор на тази права.

Каноничното уравнение на права линия се използва дори когато едно от числата или е равно на нула. В този случай записът се счита за условен (тъй като знаменателят съдържа нула) и трябва да се разбира като . Ако , тогава каноничното уравнение приема формата и определя права, успоредна на оста y (или съвпадаща с нея). Ако , тогава каноничното уравнение на правата приема формата и определя права линия, успоредна на оста x (или съвпадаща с нея).

В статията са събрани подробна информация за уравнението на права линия в канонична форма, както и подробни решения на типични примери и задачи.

Параметрични уравнения на права върху равнина.

Параметрични уравнения на права върху равнинаизглежда като , където и са някои реални числа и и не са равни на нула едновременно и е параметър, който приема всякакви реални стойности.

Параметричните уравнения на права линия установяват имплицитна връзка между абсцисите и ординатите на точките на права линия с помощта на параметър (оттук и името на този тип уравнения на права линия).

Двойка числа , които се изчисляват от параметричните уравнения на правата линия за някаква реална стойност на параметъра , е координатите на някаква точка от правата линия. Например, когато имаме , тоест точката с координати лежи на права линия.

Трябва да се отбележи, че коефициентите и при параметъра в параметричните уравнения на правата линия са координатите на насочващия вектор на тази права линия.

Уравнение на права на равнина

Уравнение на вида се нарича уравнение на права линия в общ вид.

Ако изразим в това уравнение , тогава след заместване и получаваме уравнението , наречено уравнение на права линия с наклон, и , където е ъгълът между правата линия и положителната посока на оста x. Ако в общото уравнение на права линия прехвърлим свободния коефициент в дясната страна и разделим на него, тогава получаваме уравнението в сегменти

Къде и са точките на пресичане на правата съответно с абсцисната и ординатната ос.

Две прави в една равнина се наричат успоредни, ако не се пресичат.

Правите се наричат перпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл.

Нека са дадени две прави линии и .

За да се намери пресечната точка на правите (ако се пресичат) е необходимо да се реши системата с тези уравнения. Решението на тази система ще бъде точката на пресичане на линиите. Нека намерим условията за взаимното разположение на две линии.

защото , тогава ъгълът между тези прави се намира по формулата

Разстоянието от точка до линия може да се намери с помощта на формулата

Нормално уравнение на окръжност:

Елипса е геометричното място на точки в равнина, сборът от разстоянията, от които до две дадени точки, наречени фокуси, е постоянна стойност.

Каноничното уравнение на елипса е:

. Върховете на елипсата са точките , , ,. Ексцентричността на елипса е отношението

Каноничното уравнение на хипербола има формата:

Правите се наричат асимптоти на хиперболата. Ако , тогава хиперболата се нарича равнобедрена.

От уравнението получаваме двойка пресичащи се прави и .

Уравнение на канонична парабола

Правата се нарича директриса, а точката се нарича фокус.

Концепцията за функционална зависимост

Има следните начини за дефиниране на функция

1. Аналитичен метод, ако функцията е дадена с формула на формата

4. Вербален метод, ако функцията е описана от правилото за нейното компилиране.

Основни свойства на функцията

1. Четни и нечетни. Функция се извиква даже ако за всички стойности от домейна на дефиницията и нечетно ако . В противен случай функцията се нарича генерична функция.

2. Монотонност. Функция се нарича нарастваща (намаляваща) на интервала, ако по-голямата стойност на аргумента от този интервал съответства на по-голямата (по-малката) стойност на функцията.

3. Ограничен. Функция се нарича ограничена на интервал, ако съществува положително число, такова че за всяко . В противен случай функцията се нарича неограничена.

4. Периодичност. Функция се нарича периодична с период ако за която и да е област на функцията .

Класификация на функциите.

1. Обратна функция. Нека има функция на независима променлива, дефинирана в набор с диапазон от стойности. Нека присвоим на всеки уникална стойност, за която . Тогава получената функция, дефинирана върху множеството с диапазон, се нарича обратна.

2. Комплексна функция. Нека функцията е функция на променлива, дефинирана в набор с диапазон от стойности, а променливата от своя страна е функция.

Следните функции са най-често използвани в икономиката.

1. Функцията на полезността и функцията на предпочитанието - в широкия смисъл на зависимостта на полезността, т.е. резултатът, ефектът от някакво действие от нивото на интензивност на това действие.

2. Производствена функция - зависимостта на резултата от производствената дейност от факторите, които са я причинили.

3. Функцията на изхода (особен вид производствена функция) е зависимостта на обема на производството от началото или потреблението на ресурси.

4. Функция на разходите (особен вид производствена функция) - зависимостта на производствените разходи от обема на производството.

5. Функции на търсенето, потреблението и предлагането – зависимостта на обема на търсенето, потреблението или предлагането за отделни стоки или услуги от различни фактори.

Ако според някакъв закон на всяко естествено число се присвои точно определено число, тогава казват, че е дадена числова редица.

Числата се наричат членове на редицата, а числото е общ член на редицата.

Числото се нарича граница на числова последователност, ако за всяко малко число има такова число (в зависимост от), че равенството е вярно за всички членове на редицата с числа , Означава се границата на числова последователност.

Редица, която има граница, се нарича конвергентна, в противен случай е дивергентна.

Число се нарича граница на функцията, ако за всяко малко число има толкова положително число, че за всички такива, че неравенството е вярно.

Граница на функция в точка. Нека функцията е дадена в някаква околност на точката , освен, може би, самата точка. Числото се нарича граница на функцията при , ако за всяко, дори произволно малко, има такова положително число (в зависимост от ), че за всички и отговарящи на условието неравенството е вярно. Тази граница се обозначава с .

Една функция се нарича безкрайно малка стойност при , ако нейната граница е нула.

Свойства на безкрайно малките

1. Алгебричната сума на краен брой безкрайно малки величини е безкрайно малка величина.

2. Произведението на безкрайно малка стойност от ограничена функция е безкрайно малко количество

3. Частното от разделянето на безкрайно малко количество на функция, чиято граница е различна от нула, е безкрайно малко количество.

Понятие за производна и диференциал на функция

Основни въпроси на лекцията: проблеми, водещи до понятието производна; дефиниция на производна; геометричен и физически смисъл на производната; понятието диференцируема функция; основни правила за диференциране; производни на основни елементарни функции; производна на комплексна и обратна функция; производни от по-високи порядъци, основни теореми на диференциалното смятане; теорема на L'Hopital; разкриване на несигурности; нарастващи и намаляващи функции; функция екстремум; изпъкналост и вдлъбнатост на графиката на функцията; аналитични признаци на изпъкналост и вдлъбнатост; точки на инфлексия; вертикална и наклонена асимптота на графиката на функцията; общата схема за изследване на функцията и изграждането на нейната графика, дефинирането на функция на няколко променливи; граница и непрекъснатост; частни производни и диференциални функции; производна по посока, градиент; екстремум на функция на няколко променливи; най-големите и най-малките стойности на функцията; условен екстремум, метод на Лагранж.

Производната на функция е границата на отношението на нарастването на функцията към нарастването на независимата променлива, когато последната клони към нула (ако тази граница съществува)

Ако функция в точка има крайна производна, тогава се казва, че функцията е диференцируема в тази точка. Функция, която е диференцируема във всяка точка от интервала, се нарича диференцируема на този интервал.

Геометричното значение на производната: производната е наклонът (тангенсът на ъгъла на наклона) на допирателната, намален към кривата в точката.

Тогава уравнението на допирателната към кривата в точката приема формата

Механичното значение на производната: производната на пътя по отношение на времето е скоростта на точка в даден момент от време:

Икономическият смисъл на производната: производната на обема на продукцията спрямо времето е производителността на труда в момента

Теорема. Ако една функция е диференцируема в точка, тогава тя е непрекъсната в тази точка.

Производната на функция може да се намери по следния начин

1. Нека увеличим аргумента и намерим увеличената стойност на функцията .

2. Намерете нарастването на функцията.

3. Правим съотношението.

4. Намираме границата на това отношение при, т.е. (ако тази граница съществува).

Правила за диференциране

1. Производната на константа е нула, т.е.

2. Производната на аргумента е 1, т.е.

3. Производната на алгебричната сума на краен брой диференцируеми функции е равна на същата сума от производните на тези функции, т.е.

4. Производната на произведението на две диференцируеми функции е равно на произведението на производната на първия фактор по втория плюс произведението на първия фактор по производната на втория, т.е.

5. Производната на частното на две диференцируеми функции може да се намери по формулата:

Теорема. Ако и са диференцируеми функции на техните променливи, тогава производната на комплексната функция съществува и е равна на производната на дадената функция по отношение на междинния аргумент и умножена по производната на самия междинен аргумент по отношение на независимата променлива, т.е.

Теорема. За диференцируема функция с производна, която не е равна на нула, производната на обратната функция е равна на реципрочната стойност на производната на тази функция, т.е.

Еластичността на функция е границата на съотношението на относителното нарастване на функцията към относителното увеличение на променливата при:

Еластичността на функция показва приблизително колко процента ще се промени функцията, когато независимата променлива се промени с един процент.

Геометрично това означава, че еластичността на функцията (по абсолютна стойност) е равна на отношението на тангенциалните разстояния от дадена точка на графиката на функцията до точките на нейното пресичане с осите и .

Основните свойства на функцията на еластичност:

1. Еластичността на функция е равна на произведението на независимата променлива и скоростта на промяна на функцията , това е .

2. Еластичността на произведението (частното) на две функции е равна на сумата (разликата) на еластичностите на тези функции:

, .

3. Еластичност на взаимно обратни функции - взаимно обратни величини:

Еластичността на функция се използва при анализа на търсенето и потреблението.

Теорема на Ферма. Ако функция, диференцируема на интервал, достигне своята максимална или минимална стойност във вътрешна точка на този интервал, тогава производната на функцията в тази точка е равна на нула, т.е.

Теорема на Рол. Нека функцията удовлетворява следните условия:

1) е непрекъснат на сегмента;

2) диференцируеми на интервала ;

3) в краищата на сегмента приема равни стойности, т.е.

Тогава вътре в сегмента има поне една такава точка, в която производната на функцията е равна на нула: .

Теорема на Лагранж. Нека функцията удовлетворява следните условия

1. Непрекъснато на отсечката .

2. Диференцируеми на интервала ;

Тогава вътре в сегмента има поне една такава точка, в която производната е равна на увеличението на функцията, разделено на увеличението на аргумента на този сегмент, т.е. .

Теорема. Границата на съотношението на две безкрайно малки или безкрайно големи функции е равна на границата на съотношението на техните производни (крайни или безкрайни), ако последните съществуват в посочения смисъл. Така че, ако има несигурност на формата или , тогава

Теорема (достатъчно условие за нарастване на функцията)

Ако производната на диференцируема функция е положителна в някакъв интервал X, тогава тя нараства на този интервал.

Теорема (достатъчно условие за намаляване на функция), Ако производната на диференцируема функция е отрицателна в някакъв интервал, тогава тя намалява в този интервал.

Точка се нарича максимална точка на функция, ако неравенството е вярно в някаква околност на точката.

Точка се нарича минимална точка на функция, ако неравенството е вярно в някаква околност на точката.

Стойностите на функцията в точките и се наричат съответно максимум и минимум на функцията. Максимумът и минимумът на функцията се комбинират с общото наименование на екстремума на функцията.

За да има функция екстремум в дадена точка, нейната производна в тази точка трябва да е равна на нула или да не съществува.

Първото достатъчно условие за екстремум. Теорема.

Ако при преминаване през точка производната на диференцируема функция промени знака си от плюс на минус, тогава точката е максималната точка на функцията, а ако от минус на плюс, тогава минималната точка.

Схема за изследване на функция за екстремум.

1. Намерете производната.

2. Намерете критичните точки на функцията, в които производната или не съществува.

3. Разгледайте знака на производната отляво и отдясно на всяка критична точка и направете извод за наличието на екстремуми на функцията.

4. Намерете екстремуми (крайни стойности) на функцията.

Второто достатъчно условие за екстремум. Теорема.

Ако първата производна на два пъти диференцируема функция е равна на нула в дадена точка, а втората производна в тази точка е положителна, т.е. минималната точка на функцията, ако е отрицателна, тогава максималната точка.

За да намерим най-големите и най-малките стойности на сегмента, използваме следната схема.

1. Намерете производната.

2. Намерете критичните точки на функцията, в които или не съществува.

3. Намерете стойностите на функцията в критичните точки и в краищата на сегмента и изберете най-голямата и най-малката от тях.

Една функция се нарича изпъкнала нагоре в интервала X, ако сегментът, свързващ произволни две точки от графиката, лежи под графиката на функцията.

Една функция се нарича изпъкнала надолу в интервала X, ако сегментът, свързващ произволни две точки от графиката, лежи над графиката на функцията.

Теорема. Една функция е изпъкнала надолу (нагоре) в интервала X тогава и само ако нейната първа производна в този интервал е монотонно нарастваща (намаляваща).

Теорема. Ако втората производна на два пъти диференцируема функция е положителна (отрицателна) в някакъв интервал X, тогава функцията е изпъкнала надолу (нагоре) в този интервал.

Инфлексната точка на графиката на непрекъсната функция е точката, която разделя интервалите, в които функцията е изпъкнала надолу и нагоре.

Теорема (необходимо условие за инфлексия). Втората производна на два пъти диференцируема функция в инфлексната точка е равна на нула, т.е.

Теорема (достатъчно условие за инфлексия). Ако втората производна на два пъти диференцируема функция промени знака при преминаване през определена точка, тогава има инфлексна точка на нейната графика.

Схема за изследване на функцията за изпъкналост и точки на инфлексия:

1. Намерете втората производна на функцията.

2. Намерете точки, в които втората производна или не съществува.

3. Разгледайте знака на втората производна отляво и отдясно на намерените точки и направете заключение за интервалите на изпъкналост и наличието на точки на инфлексия.

4. Намерете стойностите на функцията в точките на инфлексия.

Когато разглеждате функция за начертаване на техните графики, се препоръчва да използвате следната схема:

1. Намерете домейна на функцията.

2. Изследване на функцията за четност - нечетност.

3. Намерете вертикални асимптоти

4. Изследвайте поведението на функцията в безкрайност, намерете хоризонтални или наклонени асимптоти.

5. Намерете екстремуми и интервали на монотонност на функцията.

6. Намерете интервалите на изпъкналост на функцията и инфлексните точки.

7. Намерете точки на пресичане с координатните оси и, евентуално, някои допълнителни точки, които прецизират графиката.

Диференциалът на функция е основният, линеен по отношение на част от нарастването на функцията, равен на произведението на производната и увеличението на независимата променлива.

Нека има променливи и всеки набор от техните стойности от някакъв набор X съответства на една добре дефинирана стойност на променливата. Тогава казваме, че е дадена функция на няколко променливи .

Променливите се наричат независими променливи или аргументи, - зависима променлива. Множеството X се нарича домейн на функцията.

Многомерният аналог на функцията за полезност е функцията , което изразява зависимостта от закупената стока.

Също така, за случая на променливи се обобщава концепцията за производствена функция, изразяваща резултата от производствената дейност от факторите, които са я причинили. по-малко от по дефиниция и са непрекъснати в самата точка. След това частните производни. и намерете критичните точки на функцията.

3. Намерете частични производни от втори ред, изчислете техните стойности във всяка критична точка и, като използвате достатъчно условие, направете заключение за наличието на екстремуми.

Намерете екстремуми (крайни стойности) на функцията.

Литература

1. Висша математика за икономисти: Учебник за ВУЗ / Изд. Н.Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ, 2003.

2.E.S. Кочетков, С.О. Смерчинская теория на вероятностите в задачи и упражнения / М. ИНФРА-М 2005 г.

3. Висша математика за икономисти: Семинар / Изд. Н.Ш. Кремер. - М .: UNITI, 2004. Част 1, 2

4. Гмурман В.Е. Ръководство за решаване на задачи по теория на вероятностите и математическа статистика. М., Висше училище, 1977

5. Гмурман В.Е. Теория на вероятностите и математическа статистика. М., Висше училище, 1977

6. М.С. Крас Математика за икономически специалности: Учебник / М. ИНФРА-М 1998.

7. Vygodsky M.Ya. Наръчник по висша математика. - М., 2000.

8. Берман Г.Н. Сборник задачи по курса на математическия анализ. – М.: Наука, 1971.

9.A.K. Казашев Сборник задачи по висша математика за икономисти - Алмати - 2002 г.

10. Пискунов Н.С. Диференциално и интегрално смятане. - М .: Наука, 1985, Т. 1.2.

11.P.E. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников Висша математика в упражнения и задачи / М. ОНИКС-2005.

12.I.A. Зайцев Висша математика / М. Висше училище-1991

13. Головина Л.И. Линейна алгебра и някои нейни приложения. – М.: Наука, 1985.

14. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемних Ю.Н. Математически методи на икономически анализ. – М.: ДИС, 1997.

15. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савелиева Т.И. Курс по висша математика за икономическите университети. - М .: Висше училище, 1982 - Гл. 1, 2.

16. Колесников A.N. Кратък курс по математика за икономисти. – М.: Инфра-М, 1997.

17.V.S. Шипацев Задачна тетрадка по висша математика-М. Гимназия, 2005г