Παίξτε επτά πιθανές τιμές μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής. Παίζοντας μια συνεχόμενη τυχαία μεταβλητή. Μέθοδος αντίστροφης συνάρτησης. Διαδικασία πρώτης αναζήτησης πλάτους

Στείλτε την καλή δουλειά σας στη βάση γνώσεων είναι απλή. Χρησιμοποιήστε την παρακάτω φόρμα

Φοιτητές, μεταπτυχιακοί φοιτητές, νέοι επιστήμονες που χρησιμοποιούν τη βάση γνώσεων στις σπουδές και την εργασία τους θα σας είναι πολύ ευγνώμονες.

Δημοσιεύτηκε στο http://www.allbest.ru/

ΜΑΘΗΜΑ 1

Προσομοίωση τυχαίων γεγονότων με δεδομένο νόμο κατανομής

Αναπαραγωγή διακριτική τυχαία μεταβλητή

Ας είναι απαραίτητο να παίξετε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, π.χ. λάβετε μια ακολουθία των πιθανών τιμών του x i (i = 1,2,3,...n), γνωρίζοντας τον νόμο κατανομής του X:

Ας συμβολίσουμε με R μια συνεχή τυχαία μεταβλητή. Η τιμή του R κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα (0,1). Με r j (j = 1,2,...) συμβολίζουμε τις πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής R. Ας διαιρέσουμε το διάστημα 0< R < 1 на оси 0r точками с координатами на n частичных интервалов.

Τότε παίρνουμε:

Φαίνεται ότι το μήκος του μερικού διαστήματος με τον δείκτη i είναι ίσο με την πιθανότητα P με τον ίδιο δείκτη. Μήκος

Έτσι, όταν ένας τυχαίος αριθμός r i εμπίπτει στο διάστημα, η τυχαία μεταβλητή X παίρνει την τιμή x i με πιθανότητα P i .

Υπάρχει το εξής θεώρημα:

Εάν κάθε τυχαίος αριθμός που εμπίπτει στο διάστημα συσχετίζεται με μια πιθανή τιμή x i, τότε η τιμή που παίζεται θα έχει έναν δεδομένο νόμο κατανομής

Αλγόριθμος για την αναπαραγωγή μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής που καθορίζεται από τον νόμο κατανομής

1. Είναι απαραίτητο να διαιρέσετε το διάστημα (0,1) του άξονα 0r σε n επιμέρους διαστήματα:

2. Επιλέξτε (για παράδειγμα, από έναν πίνακα τυχαίων αριθμών ή σε υπολογιστή) έναν τυχαίο αριθμό r j .

Εάν το r j έπεφτε στο διάστημα, τότε η διακριτή τυχαία μεταβλητή που παίζεται πήρε μια πιθανή τιμή x i .

Παίζοντας μια συνεχόμενη τυχαία μεταβλητή

Ας απαιτείται η αναπαραγωγή μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, π.χ. λάβετε μια ακολουθία των πιθανών τιμών x i (i = 1,2,...). Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση κατανομής F(X) είναι γνωστή.

Υπάρχει Επόμενο θεώρημα.

Εάν το r i είναι ένας τυχαίος αριθμός, τότε η πιθανή τιμή x i της παιγμένης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X με γνωστή συνάρτηση κατανομής F(X) που αντιστοιχεί στο r i είναι η ρίζα της εξίσωσης

Αλγόριθμος για την αναπαραγωγή μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής:

1. Πρέπει να επιλέξετε έναν τυχαίο αριθμό r i .

2. Εξισώστε τον επιλεγμένο τυχαίο αριθμό με τη γνωστή συνάρτηση κατανομής F(X) και λάβετε μια εξίσωση.

3. Λύστε αυτήν την εξίσωση για το x i. Η προκύπτουσα τιμή x i αντιστοιχεί ταυτόχρονα στον τυχαίο αριθμό r i. και ο δεδομένος νόμος κατανομής F(X).

Παράδειγμα. Παίξτε 3 πιθανές τιμές μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X, που κατανέμονται ομοιόμορφα στο διάστημα (2; 10).

Η συνάρτηση κατανομής της τιμής X έχει την ακόλουθη μορφή:

Κατά συνθήκη, a = 2, b = 10, επομένως,

Σύμφωνα με τον αλγόριθμο για την αναπαραγωγή μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, εξισώνουμε το F(X) με τον επιλεγμένο τυχαίο αριθμό r i .. Από εδώ παίρνουμε:

Αντικαταστήστε αυτούς τους αριθμούς στην εξίσωση (5.3) Λαμβάνουμε τις αντίστοιχες πιθανές τιμές του x:

Προβλήματα μοντελοποίησης τυχαίων γεγονότων με δεδομένο νόμο κατανομής

1. Απαιτείται η αναπαραγωγή 10 τιμών μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής, π.χ. λάβετε μια ακολουθία των πιθανών τιμών x i (i=1,2,3,…n), γνωρίζοντας τον νόμο κατανομής του X

Ας επιλέξουμε έναν τυχαίο αριθμό r j από τον πίνακα των τυχαίων αριθμών: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,66; 0,99; 0,19; 0,88; 0,59; 0,78

2. Η συχνότητα λήψης αιτημάτων για εξυπηρέτηση υπόκειται στον νόμο της εκθετικής κατανομής (), x, η παράμετρος l είναι γνωστή (εφεξής l = 1/t - η ένταση λήψης αιτημάτων)

l=0,5 αιτήματα/ώρα. Προσδιορίστε τη σειρά τιμών για τη διάρκεια των διαστημάτων μεταξύ των παραλαβών των αιτήσεων. Ο αριθμός των υλοποιήσεων είναι 5. Αριθμός r j: 0,10; 0,12; 0,37; 0,09; 0,65; 0,99;

ΜΑΘΗΜΑ 2

Σύστημα ουράς

Τα συστήματα στα οποία αφενός υπάρχουν μαζικά αιτήματα για την εκτέλεση οποιουδήποτε τύπου υπηρεσίας και αφετέρου αυτά τα αιτήματα ικανοποιούνται, ονομάζονται συστήματα αναμονής. Οποιοδήποτε QS χρησιμεύει για την εκπλήρωση της ροής των αιτημάτων.

Τα QS περιλαμβάνουν: πηγή απαιτήσεων, εισερχόμενη ροή, ουρά, συσκευή εξυπηρέτησης, εξερχόμενη ροή αιτημάτων.

Οι SMO χωρίζονται σε:

QS με απώλειες (αστοχίες)

Ουρά με αναμονή (απεριόριστο μήκος ουράς)

QS με περιορισμένο μήκος ουράς

QS με περιορισμένο χρόνο αναμονής.

Με βάση τον αριθμό των καναλιών ή των συσκευών εξυπηρέτησης, τα συστήματα QS μπορεί να είναι μονοκάναλα ή πολυκάναλα.

Ανά τοποθεσία της πηγής των απαιτήσεων: ανοιχτό και κλειστό.

Με τον αριθμό των στοιχείων υπηρεσίας ανά απαίτηση: μονοφασικό και πολυφασικό.

Μία από τις μορφές ταξινόμησης είναι η ταξινόμηση D. Kendall - A/B/X/Y/Z

A - καθορίζει την κατανομή του χρόνου μεταξύ των αφίξεων.

Β - καθορίζει την κατανομή του χρόνου υπηρεσίας.

X - καθορίζει τον αριθμό των καναλιών υπηρεσίας.

Y - καθορίζει τη χωρητικότητα του συστήματος (μήκος ουράς).

Z - καθορίζει τη σειρά εξυπηρέτησης.

Όταν η χωρητικότητα του συστήματος είναι άπειρη και η ουρά εξυπηρέτησης ακολουθεί την αρχή του πρώτου έρχεται πρώτη εξυπηρέτηση, τα τμήματα Y/Z παραλείπονται. Το πρώτο ψηφίο (Α) χρησιμοποιεί τα ακόλουθα σύμβολα:

Η κατανομή M έχει έναν εκθετικό νόμο,

Ζ-η απουσία υποθέσεων σχετικά με τη διαδικασία εξυπηρέτησης ή ταυτίζεται με το σύμβολο GI, που σημαίνει επαναλαμβανόμενη διαδικασία εξυπηρέτησης,

D- ντετερμινιστικό (σταθερός χρόνος υπηρεσίας),

E n - Erlang nη σειρά,

NM n - υπερ-Erlang nη τάξη.

Το δεύτερο ψηφίο (Β) χρησιμοποιεί τα ίδια σύμβολα.

Το τέταρτο ψηφίο (Y) δείχνει την χωρητικότητα buffer, δηλ. μέγιστος αριθμός θέσεων στην ουρά.

Το πέμπτο ψηφίο (Z) υποδεικνύει τη μέθοδο επιλογής από την ουρά σε ένα σύστημα αναμονής: SP-ίση πιθανότητα, FF-first in-first out, LF-last in-first out, PR-priority.

Για εργασίες:

l είναι ο μέσος αριθμός των αιτήσεων που λαμβάνονται ανά μονάδα χρόνου

μ - μέσος αριθμός εφαρμογών που εξυπηρετήθηκαν ανά μονάδα χρόνου

Συντελεστής φόρτωσης καναλιού 1 ή το ποσοστό του χρόνου που το κανάλι είναι απασχολημένο.

Τα κύρια χαρακτηριστικά:

1) P reject - πιθανότητα αστοχίας - η πιθανότητα να αρνηθεί το σύστημα το σέρβις και να χαθεί η απαίτηση. Αυτό συμβαίνει όταν ένα κανάλι ή όλα τα κανάλια είναι κατειλημμένα (TFoP).

Για ένα πολυκαναλικό QS P open =P n, όπου n είναι ο αριθμός των καναλιών υπηρεσίας.

Για ένα QS με περιορισμένο μήκος ουράς P open =P n + l, όπου l είναι το επιτρεπόμενο μήκος ουράς.

2) Σχετική q και απόλυτη χωρητικότητα συστήματος A

q= 1-P ανοιχτό A=ql

3) Συνολικός αριθμός απαιτήσεων στο σύστημα

L sys = n - για SMO με αποτυχίες, n είναι ο αριθμός των καναλιών που καταλαμβάνονται από το σέρβις.

Για QS με αναμονή και περιορισμένο μήκος ουράς

L sys = n+L ψύχεται

όπου L cool είναι ο μέσος αριθμός αιτημάτων που περιμένουν να ξεκινήσει η υπηρεσία κ.λπ.

Θα εξετάσουμε τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά καθώς επιλύουμε τα προβλήματα.

Μονοκάναλα και πολυκαναλικά συστήματα ουράς. Συστήματα με αστοχίες.

Το απλούστερο μονοκάναλο μοντέλο με πιθανολογική ροή εισόδου και διαδικασία σέρβις είναι ένα μοντέλο που χαρακτηρίζεται από μια εκθετική κατανομή τόσο των διάρκειων των διαστημάτων μεταξύ των λήψεων των απαιτήσεων όσο και των διάρκειων εξυπηρέτησης. Στην περίπτωση αυτή, η πυκνότητα κατανομής της διάρκειας των διαστημάτων μεταξύ των παραλαβών των αιτημάτων έχει τη μορφή

Πυκνότητα κατανομής των διάρκειων υπηρεσιών:

Οι ροές των αιτημάτων και των υπηρεσιών είναι απλές. Αφήστε το σύστημα να λειτουργήσει με αποτυχίες. Αυτός ο τύπος QS μπορεί να χρησιμοποιηθεί κατά τη μοντελοποίηση καναλιών μετάδοσης σε τοπικά δίκτυα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η απόλυτη και σχετική απόδοση του συστήματος. Ας φανταστούμε αυτό το σύστημα ουράς με τη μορφή γραφήματος (Εικόνα 2), το οποίο έχει δύο καταστάσεις:

S 0 - χωρίς κανάλι (αναμονή).

Το κανάλι S 1 - είναι απασχολημένο (το αίτημα εξυπηρετείται).

Εικόνα 2. Γράφημα κατάστασης ενός μονοκαναλικού QS με αστοχίες

Ας υποδηλώσουμε τις πιθανότητες κατάστασης: P 0 (t) - η πιθανότητα της κατάστασης "χωρίς κανάλι". P 1 (t) - πιθανότητα της κατάστασης "κανάλι κατειλημμένο". Χρησιμοποιώντας το σημειωμένο γράφημα κατάστασης, δημιουργούμε ένα σύστημα διαφορικές εξισώσεις Kolmogorov για πιθανότητες κατάστασης:

Το σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων έχει μια λύση λαμβάνοντας υπόψη τη συνθήκη κανονικοποίησης P 0 (t) + P 1 (t) = 1. Η λύση αυτού του συστήματος ονομάζεται ασταθής, καθώς εξαρτάται άμεσα από το t και μοιάζει με αυτό:

P 1 (t) = 1 - P 0 (t) (3.4.3)

Είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι για ένα μονοκάναλο QS με αστοχίες, η πιθανότητα P 0 (t) δεν είναι τίποτα περισσότερο από τη σχετική χωρητικότητα του συστήματος q. Πράγματι, P 0 είναι η πιθανότητα ότι τη στιγμή t το κανάλι είναι ελεύθερο και το αίτημα που φτάνει τη στιγμή t θα εξυπηρετηθεί, και, επομένως, για αυτή τη στιγμήχρόνο t, ο μέσος λόγος του αριθμού των αιτήσεων που εξυπηρετήθηκαν προς τον αριθμό των ληφθέντων είναι επίσης ίσος με P 0 (t), δηλαδή q = P 0 (t).

Μετά από ένα μεγάλο χρονικό διάστημα (at), επιτυγχάνεται μια σταθερή (σταθερή) λειτουργία:

Γνωρίζοντας τη σχετική απόδοση, είναι εύκολο να βρεθεί η απόλυτη. Η απόλυτη απόδοση (A) είναι ο μέσος αριθμός αιτημάτων που μπορεί να εξυπηρετήσει ένα σύστημα ουράς ανά μονάδα χρόνου:

Η πιθανότητα άρνησης εξυπηρέτησης ενός αιτήματος θα είναι ίση με την πιθανότητα της κατάστασης "κατειλημμένο κανάλι":

Αυτή η τιμή του P open μπορεί να ερμηνευτεί ως το μέσο μερίδιο των μη εξυπηρετούμενων αιτήσεων μεταξύ αυτών που υποβλήθηκαν.

Στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων, στην πράξη, τα συστήματα ουράς είναι πολυκαναλικά και, ως εκ τούτου, τα μοντέλα με n κανάλια εξυπηρέτησης (όπου n>1) παρουσιάζουν αναμφισβήτητο ενδιαφέρον. Η διαδικασία ουράς που περιγράφεται από αυτό το μοντέλο χαρακτηρίζεται από ένταση ροή εισόδου l, σε αυτήν την περίπτωση δεν μπορούν να εξυπηρετηθούν παράλληλα περισσότεροι από n πελάτες (εφαρμογές). Η μέση διάρκεια εξυπηρέτησης ενός αιτήματος είναι 1/m. Οι ροές εισόδου και εξόδου είναι Poisson. Ο τρόπος λειτουργίας ενός συγκεκριμένου καναλιού εξυπηρέτησης δεν επηρεάζει τον τρόπο λειτουργίας άλλων καναλιών εξυπηρέτησης του συστήματος και η διάρκεια της διαδικασίας εξυπηρέτησης για κάθε κανάλι είναι μια τυχαία μεταβλητή που υπόκειται σε νόμο εκθετικής κατανομής. Ο απώτερος στόχος της χρήσης n παράλληλων συνδεδεμένων καναλιών υπηρεσιών είναι να αυξηθεί (σε σύγκριση με ένα σύστημα μονού καναλιού) η ταχύτητα των αιτημάτων εξυπηρέτησης εξυπηρετώντας n πελάτες ταυτόχρονα. Το γράφημα κατάστασης ενός συστήματος ουράς πολλαπλών καναλιών με αστοχίες έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχήμα 4.

Εικόνα 4. Γράφημα κατάστασης πολυκαναλικού QS με αστοχίες

S 0 - όλα τα κανάλια είναι δωρεάν.

S 1 - ένα κανάλι είναι κατειλημμένο, τα υπόλοιπα είναι δωρεάν.

S k - ακριβώς k κανάλια είναι κατειλημμένα, τα υπόλοιπα είναι δωρεάν.

S n - και τα n κανάλια είναι κατειλημμένα, τα υπόλοιπα είναι δωρεάν.

Οι εξισώσεις του Kolmogorov για τις πιθανότητες των καταστάσεων συστήματος P 0 , ... , P k , ... P n θα έχουν την ακόλουθη μορφή:

Οι αρχικές προϋποθέσεις για την επίλυση του συστήματος είναι:

P 0 (0) = 1, P 1 (0) = P 2 (0) = ... = P k (0) = ... = P 1 (0) = 0.

Η στατική λύση του συστήματος έχει τη μορφή:

Οι τύποι για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων P k (3.5.1) ονομάζονται τύποι Erlang.

Ας προσδιορίσουμε τα πιθανοτικά χαρακτηριστικά της λειτουργίας ενός πολυκαναλικού QS με αστοχίες σε στατική λειτουργία:

1) πιθανότητα αποτυχίας:

αφού ένα αίτημα απορρίπτεται εάν φτάσει σε μια στιγμή που και τα n κανάλια είναι απασχολημένα. Η τιμή P open χαρακτηρίζει την πληρότητα της εξυπηρέτησης της εισερχόμενης ροής.

2) η πιθανότητα να γίνει δεκτό το αίτημα για εξυπηρέτηση (είναι επίσης η σχετική χωρητικότητα του συστήματος q) συμπληρώνει το P ανοιχτό σε ένα:

3) απόλυτη απόδοση

4) ο μέσος αριθμός καναλιών που καταλαμβάνει η υπηρεσία () είναι ο εξής:

Η τιμή χαρακτηρίζει τον βαθμό φόρτωσης του QS.

Καθήκονταγια το μάθημα 2

1. Ένας κλάδος επικοινωνίας με ένα κανάλι λαμβάνει την απλούστερη ροή μηνυμάτων με ένταση l = 0,08 μηνύματα ανά δευτερόλεπτο. Ο χρόνος μετάδοσης κατανέμεται σύμφωνα με τον ισχύοντα νόμο. Η εξυπηρέτηση ενός μηνύματος γίνεται με ένταση μ=0,1. Τα μηνύματα που φτάνουν σε στιγμές που το κανάλι εξυπηρέτησης είναι απασχολημένο με τη μετάδοση ενός προηγουμένως ληφθέντος μηνύματος λαμβάνουν μια αποτυχία μετάδοσης.

Συντ. Σχετικό φορτίο καναλιού (πιθανότητα κατάληψης καναλιού)

P απόρριψη πιθανότητας αποτυχίας λήψης μηνύματος

Q σχετική χωρητικότητα του μεσογονάτικου κλάδου

Και η απόλυτη απόδοση του κλάδου επικοινωνίας.

2. Ο κλάδος επικοινωνίας έχει ένα κανάλι και λαμβάνει μηνύματα κάθε 10 δευτερόλεπτα. Ο χρόνος εξυπηρέτησης για ένα μήνυμα είναι 5 δευτερόλεπτα. Ο χρόνος μετάδοσης του μηνύματος κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο. Τα μηνύματα που φτάνουν ενώ το κανάλι είναι απασχολημένο δεν εξυπηρετούνται.

Καθορίζω

Rzan - πιθανότητα κατάληψης καναλιού επικοινωνίας (σχετικός συντελεστής φορτίου)

Q - σχετική απόδοση

Α - απόλυτη χωρητικότητα του κλάδου επικοινωνίας

4. Ο μεσοκομματικός κλάδος του δευτερεύοντος δικτύου επικοινωνίας έχει n = 4 κανάλια. Η ροή των μηνυμάτων που φθάνουν για μετάδοση μέσω των καναλιών κλάδου επικοινωνίας έχει ένταση = 8 μηνύματα ανά δευτερόλεπτο. Ο μέσος χρόνος μετάδοσης ενός μηνύματος είναι t = 0,1 δευτερόλεπτα. Ένα μήνυμα που φθάνει σε μια στιγμή που και τα n κανάλια είναι απασχολημένα λαμβάνει μια αποτυχία μετάδοσης κατά μήκος του κλάδου επικοινωνίας. Βρείτε τα χαρακτηριστικά του SMO:

ΜΑΘΗΜΑ 3

Σύστημα μονού καναλιού με αναμονή

Ας εξετάσουμε τώρα ένα μονοκάναλο QS με αναμονή. Το σύστημα αναμονής έχει ένα κανάλι. Η εισερχόμενη ροή αιτημάτων υπηρεσίας είναι η απλούστερη ροή με ένταση. Η ένταση της ροής υπηρεσιών είναι ίση (δηλαδή, κατά μέσο όρο, ένα συνεχώς απασχολημένο κανάλι θα εκδώσει αιτήματα εξυπηρέτησης). Η διάρκεια της υπηρεσίας είναι μια τυχαία μεταβλητή που υπόκειται στον νόμο της εκθετικής κατανομής. Η ροή υπηρεσιών είναι η απλούστερη ροή γεγονότων Poisson. Ένα αίτημα που λαμβάνεται όταν το κανάλι είναι απασχολημένο βρίσκεται στην ουρά και αναμένει εξυπηρέτηση. Αυτό το QS είναι το πιο κοινό στη μοντελοποίηση. Με τον ένα ή τον άλλο βαθμό προσέγγισης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την προσομοίωση σχεδόν οποιουδήποτε κόμβου ενός τοπικού δικτύου υπολογιστών (LAN).

Ας υποθέσουμε ότι ανεξάρτητα από το πόσες απαιτήσεις φθάνουν στην είσοδο του συστήματος υπηρεσιών, αυτό το σύστημα(ουρά + πελάτες που εξυπηρετούνται) δεν μπορώικανοποιούν περισσότερες από N-απαιτήσεις (εφαρμογές), δηλαδή οι πελάτες που δεν βρίσκονται σε αναμονή αναγκάζονται να εξυπηρετηθούν αλλού. Σύστημα M/M/1/N. Τέλος, η πηγή που δημιουργεί αιτήματα υπηρεσίας έχει απεριόριστη (απεριόριστα μεγάλη) χωρητικότητα. Το γράφημα κατάστασης του QS σε αυτή την περίπτωση έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχήμα 3

Εικόνα 3. Γράφημα κατάστασης ενός μονοκαναλικού QS με αναμονή (σχήμα θανάτου και αναπαραγωγής)

Οι καταστάσεις QS έχουν την ακόλουθη ερμηνεία:

S 0 - "χωρίς κανάλι";

S 1 - "κανάλι απασχολημένο" (χωρίς ουρά).

S 2 - "κανάλι απασχολημένο" (ένα αίτημα βρίσκεται στην ουρά).

S n - "κανάλι απασχολημένο" (n -1 εφαρμογές βρίσκονται στην ουρά).

S N - "κανάλι απασχολημένο" (N - 1 εφαρμογές βρίσκονται στην ουρά).

Η στατική διαδικασία σε αυτό το σύστημα θα περιγραφεί από το ακόλουθο σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων:

όπου p = συντελεστής φορτίου

n - αριθμός κατάστασης.

Η λύση στο παραπάνω σύστημα εξισώσεων για το δικό μας μοντέλο QS έχει τη μορφή:

Αρχική τιμή πιθανότητας για ένα QS με περιορισμένο μήκος ουράς

Για ένα QS με άπειρη ουρά Н =; :

P 0 =1- s (3.4.7)

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η εκπλήρωση της προϋπόθεσης σταθερότητας για ένα δεδομένο QS δεν είναι απαραίτητη, καθώς ο αριθμός των αιτήσεων που γίνονται δεκτές στο σύστημα εξυπηρέτησης ελέγχεται με την εισαγωγή περιορισμού στο μήκος της ουράς, που δεν μπορεί να υπερβαίνει (N - 1) , και όχι από την αναλογία μεταξύ των εντάσεων της ροής εισόδου, δηλαδή όχι την αναλογία c = l/m.

Σε αντίθεση με το μονοκαναλικό σύστημα, το οποίο εξετάστηκε παραπάνω και με απεριόριστη ουρά, στην περίπτωση αυτή υπάρχει μια σταθερή κατανομή του αριθμού των αιτημάτων για οποιεσδήποτε πεπερασμένες τιμές του συντελεστή φορτίου c.

Ας προσδιορίσουμε τα χαρακτηριστικά ενός QS μονού καναλιού με αναμονή και περιορισμένο μήκος ουράς ίσο με (N - 1) (M/M/1/N), καθώς και για ένα QS μονού καναλιού με buffer απεριόριστης χωρητικότητας (Μ/Μ/1/?). Για ένα QS με άπειρη ουρά, η συνθήκη με<1, т.е., для того, чтобы в системе не накапливалась бесконечная очередь необходимо, чтобы в среднем запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.

1) πιθανότητα άρνησης επίδοσης μιας αίτησης:

Ένα από τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά των συστημάτων στα οποία είναι δυνατή η απώλεια αιτημάτων είναι η πιθανότητα απώλειας P ότι ένα αυθαίρετο αίτημα θα χαθεί. Σε αυτή την περίπτωση, η πιθανότητα απώλειας ενός αυθαίρετου αιτήματος συμπίπτει με την πιθανότητα ότι σε μια αυθαίρετη χρονική στιγμή όλες οι θέσεις αναμονής είναι κατειλημμένες, δηλ. ισχύει ο παρακάτω τύπος: Р από k = Р Н

2) σχετική χωρητικότητα συστήματος:

Για SMO με απεριόρισταη ουρά q =1,επειδή όλα τα αιτήματα θα εξυπηρετηθούν

3) απόλυτη απόδοση:

4) ο μέσος αριθμός αιτήσεων στο σύστημα:

L S με απεριόριστη ουρά

5) μέσος χρόνος παραμονής μιας εφαρμογής στο σύστημα:

Για απεριόριστη ουρά

6) μέση διάρκεια παραμονής πελάτη (αίτηση) στην ουρά:

Με απεριόριστη ουρά

7) μέσος αριθμός εφαρμογών (πελατών) στην ουρά (μήκος ουράς):

με απεριόριστη ουρά

Συγκρίνοντας τις εκφράσεις για τον μέσο χρόνο αναμονής στην ουρά T och και τον τύπο για το μέσο μήκος της ουράς L och, καθώς και τον μέσο χρόνο παραμονής των αιτημάτων στο σύστημα T S και τον μέσο αριθμό αιτημάτων στο σύστημα L S, το βλέπουμε

L och =l*T och L s =l* T s

Σημειώστε ότι αυτοί οι τύποι ισχύουν επίσης για πολλά συστήματα ουράς που είναι πιο γενικά από το υπό εξέταση σύστημα M/M/1 και ονομάζονται τύποι του Little. Η πρακτική σημασία αυτών των τύπων είναι ότι εξαλείφουν την ανάγκη απευθείας υπολογισμού των τιμών των T och και T s με μια γνωστή τιμή των τιμών L och και L s και αντίστροφα.

Εργασίες μονού καναλιού SMOμε προσμονή, Μεαναμονή καιπεριορισμένο μήκος ουράς

1. Δίνεται QS μίας γραμμής με απεριόριστο χώρο αποθήκευσης ουράς. Οι αιτήσεις λαμβάνονται κάθε t = 14 δευτερόλεπτα. Ο μέσος χρόνος μετάδοσης ενός μηνύματος είναι t=10 δευτερόλεπτα. Τα μηνύματα που φτάνουν σε στιγμές που το κανάλι εξυπηρέτησης είναι απασχολημένο, λαμβάνονται στην ουρά χωρίς να το αφήνουν πριν ξεκινήσει η εξυπηρέτηση.

Προσδιορίστε τους ακόλουθους δείκτες απόδοσης:

2. Ο κλάδος επικοινωνίας μεταξύ των κόμβων, ο οποίος έχει ένα κανάλι και μια ουρά αποθήκευσης για m=3 εκκρεμή μηνύματα (N-1=m), λαμβάνει την απλούστερη ροή μηνυμάτων με ένταση l=5 μηνύματα. σε δευτερόλεπτα Ο χρόνος μετάδοσης του μηνύματος κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο. Ο μέσος χρόνος μετάδοσης ενός μηνύματος είναι 0,1 δευτερόλεπτα. Τα μηνύματα που φτάνουν σε στιγμές που το κανάλι εξυπηρέτησης είναι απασχολημένο με τη μετάδοση ενός προηγουμένως ληφθέντος μηνύματος και δεν υπάρχει ελεύθερος χώρος στη μονάδα, απορρίπτονται.

P reject - πιθανότητα αποτυχίας λήψης μηνύματος

Σύστημα L - ο μέσος συνολικός αριθμός μηνυμάτων στην ουρά και που μεταδίδονται κατά μήκος του κλάδου επικοινωνίας

T och - ο μέσος χρόνος που ένα μήνυμα παραμένει στην ουρά πριν ξεκινήσει η μετάδοση

T syst - ο μέσος συνολικός χρόνος που παραμένει ένα μήνυμα στο σύστημα, που αποτελείται από τον μέσο χρόνο αναμονής στην ουρά και τον μέσο χρόνο μετάδοσης

Q - σχετική απόδοση

A - απόλυτη απόδοση

3. Ο διακλαδικός κλάδος του δευτερεύοντος δικτύου επικοινωνίας, ο οποίος έχει ένα κανάλι και αποθήκευση ουράς για m = 4 (N-1=4) μηνύματα σε αναμονή, λαμβάνει την απλούστερη ροή μηνυμάτων με ένταση = 8 μηνύματα ανά δευτερόλεπτο. Ο χρόνος μετάδοσης του μηνύματος κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο. Ο μέσος χρόνος μετάδοσης ενός μηνύματος είναι t = 0,1 δευτερόλεπτο. Τα μηνύματα που φτάνουν σε στιγμές που το κανάλι εξυπηρέτησης είναι απασχολημένο με τη μετάδοση ενός προηγουμένως ληφθέντος μηνύματος και δεν υπάρχει ελεύθερος χώρος στη μονάδα, απορρίπτονται από την ουρά.

P ανοιχτό - πιθανότητα αποτυχίας λήψης μηνύματος για μετάδοση μέσω του καναλιού επικοινωνίας του διακλαδικού κλάδου.

L och - ο μέσος αριθμός μηνυμάτων στην ουρά προς τον κλάδο επικοινωνίας του δευτερεύοντος δικτύου της ουράς.

Σύστημα L - ο μέσος συνολικός αριθμός μηνυμάτων στην ουρά και που μεταδίδονται κατά μήκος του κλάδου επικοινωνίας του δευτερεύοντος δικτύου.

T och - ο μέσος χρόνος που ένα μήνυμα παραμένει στην ουρά πριν ξεκινήσει η μετάδοση.

R zan - πιθανότητα το κανάλι επικοινωνίας να είναι κατειλημμένο (σχετικός συντελεστής φορτίου καναλιού).

Q είναι η σχετική χωρητικότητα του μεσοκομβικού κλάδου.

A είναι η απόλυτη χωρητικότητα του μεσοκομβικού κλάδου.

4. Ο κλάδος επικοινωνίας μεταξύ των κόμβων, ο οποίος έχει ένα κανάλι και μια ουρά αποθήκευσης για m=2 μηνύματα αναμονής, λαμβάνει την απλούστερη ροή μηνυμάτων με ένταση l=4 μηνυμάτων. σε δευτερόλεπτα Ο χρόνος μετάδοσης του μηνύματος κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο. Ο μέσος χρόνος μετάδοσης ενός μηνύματος είναι 0,1 δευτερόλεπτα. Τα μηνύματα που φτάνουν σε στιγμές που το κανάλι εξυπηρέτησης είναι απασχολημένο με τη μετάδοση ενός προηγουμένως ληφθέντος μηνύματος και δεν υπάρχει ελεύθερος χώρος στη μονάδα, απορρίπτονται.

Προσδιορίστε τους ακόλουθους δείκτες απόδοσης του κλάδου επικοινωνίας:

P reject - πιθανότητα αποτυχίας λήψης μηνύματος

L och - μέσος αριθμός μηνυμάτων στην ουρά προς τον κλάδο επικοινωνίας

T och - ο μέσος χρόνος που ένα μήνυμα παραμένει στην ουρά πριν ξεκινήσει η μετάδοση

Rzan - πιθανότητα κατάληψης καναλιού επικοινωνίας (σχετικός συντελεστής φορτίου καναλιού c)

Q - σχετική απόδοση

A - απόλυτη απόδοση

5. Ο διακλαδικός κλάδος του δευτερεύοντος δικτύου επικοινωνίας, ο οποίος έχει ένα κανάλι και μια απεριόριστη ουρά αποθήκευσης όγκου αναμονής μηνυμάτων, λαμβάνει την απλούστερη ροή μηνυμάτων με ένταση l = 0,06 μηνύματα ανά δευτερόλεπτο. Ο μέσος χρόνος μετάδοσης ενός μηνύματος είναι t = 10 δευτερόλεπτα. Τα μηνύματα που φτάνουν σε περιόδους που το κανάλι επικοινωνίας είναι απασχολημένο λαμβάνονται σε μια ουρά και δεν αφήνονται μέχρι να ξεκινήσει η υπηρεσία.

Προσδιορίστε τους ακόλουθους δείκτες απόδοσης του κλάδου επικοινωνίας δευτερεύοντος δικτύου:

L och - ο μέσος αριθμός μηνυμάτων στην ουρά προς τον κλάδο επικοινωνίας.

L syst - ο μέσος συνολικός αριθμός μηνυμάτων στην ουρά και που μεταδίδονται κατά μήκος του κλάδου επικοινωνίας.

T och - ο μέσος χρόνος παραμονής ενός μηνύματος στην ουρά.

T syst είναι ο μέσος συνολικός χρόνος που παραμένει ένα μήνυμα στο σύστημα, που είναι το άθροισμα του μέσου χρόνου αναμονής στην ουρά και του μέσου χρόνου μετάδοσης.

Rzan είναι η πιθανότητα το κανάλι επικοινωνίας να είναι κατειλημμένο (σχετικός συντελεστής φορτίου καναλιού).

Q - σχετική χωρητικότητα του μεσοκομβικού κλάδου.

Α - απόλυτη χωρητικότητα του μεσοκομβικού κλάδου

6. Δίνεται QS μίας γραμμής με απεριόριστο χώρο αποθήκευσης ουρών. Οι αιτήσεις λαμβάνονται κάθε t = 13 δευτερόλεπτα. Μέσος χρόνος μετάδοσης ενός μηνύματος

t=10 δευτερόλεπτα. Τα μηνύματα που φτάνουν σε στιγμές που το κανάλι εξυπηρέτησης είναι απασχολημένο, λαμβάνονται στην ουρά χωρίς να το αφήνουν πριν ξεκινήσει η εξυπηρέτηση.

Προσδιορίστε τους ακόλουθους δείκτες απόδοσης:

L och - μέσος αριθμός μηνυμάτων στην ουρά

T och - ο μέσος χρόνος που ένα μήνυμα παραμένει στην ουρά πριν ξεκινήσει η μετάδοση

Rzan - πιθανότητα κατάληψης (σχετικός συντελεστής φορτίου καναλιού c)

Q - σχετική απόδοση

A - απόλυτη απόδοση

7. Η εξειδικευμένη διαγνωστική θέση είναι μονοκάναλο QS. Ο αριθμός των χώρων στάθμευσης για αυτοκίνητα που αναμένουν διαγνωστικά είναι περιορισμένος και ίσος με 3 [(N - 1) = 3]. Εάν όλα τα πάρκινγκ είναι κατειλημμένα, δηλαδή υπάρχουν ήδη τρία αυτοκίνητα στην ουρά, τότε το επόμενο αυτοκίνητο που φτάνει για διαγνωστικό δεν θα τοποθετηθεί στην ουρά για σέρβις. Η ροή των αυτοκινήτων που φτάνουν για διαγνωστικά κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson και έχει ένταση = 0,85 (αυτοκίνητα ανά ώρα). Ο χρόνος διάγνωσης του οχήματος κατανέμεται σύμφωνα με έναν εκθετικό νόμο και είναι κατά μέσο όρο 1,05 ώρες.

Απαιτείται ο προσδιορισμός των πιθανοτικών χαρακτηριστικών ενός διαγνωστικού σταθμού που λειτουργεί σε σταθερή λειτουργία: P 0 , P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P open, q, A, L och, L sys, T och, T sys

ΜΑΘΗΜΑ 4

Πολυκαναλικό QS με αναμονή, με αναμονή και περιορισμένο μήκος ουράς

Ας εξετάσουμε ένα πολυκαναλικό σύστημα ουράς με αναμονή. Αυτός ο τύπος QS χρησιμοποιείται συχνά κατά τη μοντελοποίηση ομάδων τερματικών συνδρομητών LAN που λειτουργούν σε διαδραστική λειτουργία. Η διαδικασία της ουράς χαρακτηρίζεται από τα εξής: οι ροές εισόδου και εξόδου είναι Poisson με εντάσεις και, αντίστοιχα; όχι περισσότεροι από n πελάτες μπορούν να εξυπηρετηθούν παράλληλα. Το σύστημα έχει n κανάλια εξυπηρέτησης. Η μέση διάρκεια υπηρεσίας για έναν πελάτη είναι 1/m για κάθε κανάλι. Αυτό το σύστημα αναφέρεται επίσης στη διαδικασία του θανάτου και της αναπαραγωγής.

c=l/nm - ο λόγος της έντασης της εισερχόμενης ροής προς τη συνολική ένταση της υπηρεσίας, είναι ο συντελεστής φορτίου συστήματος

(Με<1). Существует стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе. При этом вероятности состояний Р к определяются:

όπου P 0 είναι η πιθανότητα όλα τα κανάλια να είναι ελεύθερα με απεριόριστη ουρά, k είναι ο αριθμός των αιτημάτων.

αν πάρουμε c = l / m, τότε το P 0 μπορεί να προσδιοριστεί για μια απεριόριστη ουρά:

Για περιορισμένη ουρά:

όπου m είναι το μήκος της ουράς

Με απεριόριστη ουρά:

Σχετική χωρητικότητα q=1,

Απόλυτη χωρητικότητα A=l,

Μέσος αριθμός κατειλημμένων καναλιών Z=A/m

Με περιορισμένη ουρά

1 Ο διακλαδικός κλάδος του δευτερεύοντος δικτύου επικοινωνίας έχει n = 4 κανάλια. Η ροή των μηνυμάτων που φθάνουν για μετάδοση μέσω των καναλιών κλάδου επικοινωνίας έχει ένταση = 8 μηνύματα ανά δευτερόλεπτο. Ο μέσος χρόνος t = 0,1 για τη μετάδοση ενός μηνύματος από κάθε κανάλι επικοινωνίας είναι t/n = 0,025 δευτερόλεπτα. Ο χρόνος αναμονής για μηνύματα στην ουρά είναι απεριόριστος. Βρείτε τα χαρακτηριστικά του SMO:

P ανοιχτό - πιθανότητα αποτυχίας μετάδοσης μηνύματος.

Q είναι η σχετική χωρητικότητα του κλάδου επικοινωνίας.

Το A είναι η απόλυτη απόδοση του κλάδου επικοινωνίας.

Z - μέσος αριθμός κατειλημμένων καναλιών.

L och - μέσος αριθμός μηνυμάτων στην ουρά.

T = μέσος χρόνος αναμονής.

T syst - ο μέσος συνολικός χρόνος των μηνυμάτων που παραμένουν στην ουρά και μετάδοση κατά μήκος του κλάδου επικοινωνίας.

2. Μηχανολογικό συνεργείο του εργοστασίου με τρεις στύλους (κανάλια) πραγματοποιεί επισκευές μικρής μηχανοποίησης. Η ροή των ελαττωματικών μηχανισμών που φτάνουν στο συνεργείο είναι Poisson και έχει ένταση = 2,5 μηχανισμούς την ημέρα, ο μέσος χρόνος επισκευής για έναν μηχανισμό κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο και είναι ίσος με = 0,5 ημέρες. Ας υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει άλλο συνεργείο στο εργοστάσιο και, επομένως, η ουρά των μηχανισμών μπροστά από το συνεργείο μπορεί να μεγαλώσει σχεδόν απεριόριστα. Απαιτείται να υπολογιστούν οι ακόλουθες οριακές τιμές των πιθανοτικών χαρακτηριστικών του συστήματος:

Πιθανότητες καταστάσεων συστήματος;

Μέσος αριθμός εφαρμογών στην ουρά για εξυπηρέτηση.

Μέσος αριθμός εφαρμογών στο σύστημα.

Μέσο χρονικό διάστημα που μια εφαρμογή μένει στην ουρά.

Η μέση διάρκεια παραμονής μιας αίτησης στο σύστημα.

3. Ο μεσοκομματικός κλάδος του δευτερεύοντος δικτύου επικοινωνίας έχει n=3 κανάλια. Η ροή των μηνυμάτων που φθάνουν για μετάδοση μέσω των καναλιών κλάδου επικοινωνίας έχει ένταση l = 5 μηνύματα ανά δευτερόλεπτο. Ο μέσος χρόνος μετάδοσης ενός μηνύματος είναι t=0,1, t/n=0,033 δευτ. Η αποθήκευση στην ουρά των μηνυμάτων που αναμένουν μετάδοση μπορεί να περιέχει έως και m= 2 μηνύματα. Ένα μήνυμα που φθάνει σε μια στιγμή που όλες οι θέσεις στην ουρά είναι κατειλημμένες λαμβάνει μια αποτυχία μετάδοσης κατά μήκος του κλάδου επικοινωνίας. Βρείτε τα χαρακτηριστικά του QS: P ανοιχτό - πιθανότητα αποτυχίας μετάδοσης μηνύματος, Q - σχετική απόδοση, A - απόλυτη απόδοση, Z - μέσος αριθμός κατειλημμένων καναλιών, L och - μέσος αριθμός μηνυμάτων στην ουρά, T άρα - μέση αναμονή time, T system - ο μέσος συνολικός χρόνος που ένα μήνυμα παραμένει στην ουρά και μεταδίδεται κατά μήκος του κλάδου επικοινωνίας.

ΜΑΘΗΜΑ 5

Κλειστό QS

Ας εξετάσουμε ένα μοντέλο εξυπηρέτησης στόλου μηχανών, το οποίο είναι ένα μοντέλο κλειστού συστήματος αναμονής. Μέχρι τώρα, έχουμε εξετάσει μόνο συστήματα ουράς για τα οποία η ένταση της εισερχόμενης ροής αιτημάτων δεν εξαρτάται από την κατάσταση του συστήματος. Σε αυτήν την περίπτωση, η πηγή των αιτημάτων είναι εξωτερική του QS και δημιουργεί μια απεριόριστη ροή αιτημάτων. Ας εξετάσουμε τα συστήματα ουράς για τα οποία εξαρτάται από την κατάσταση του συστήματος και η πηγή των απαιτήσεων είναι εσωτερική και δημιουργεί περιορισμένη ροή αιτημάτων. Για παράδειγμα, ένα πάρκο μηχανών που αποτελείται από N μηχανήματα εξυπηρετείται από μια ομάδα μηχανικών R (N > R) και κάθε μηχανή μπορεί να εξυπηρετηθεί μόνο από έναν μηχανικό. Εδώ, οι μηχανές είναι πηγές απαιτήσεων (αιτήματα για σέρβις) και οι μηχανικοί είναι κανάλια εξυπηρέτησης. Ένα ελαττωματικό μηχάνημα, μετά το σέρβις, χρησιμοποιείται για τον προορισμό του και γίνεται πιθανή πηγή απαιτήσεων σέρβις. Προφανώς, η ένταση εξαρτάται από το πόσα μηχανήματα λειτουργούν αυτήν τη στιγμή (N - k) και πόσα μηχανήματα συντηρούνται ή στέκονται στην ουρά περιμένοντας το service (k). Στο υπό εξέταση μοντέλο, η χωρητικότητα της πηγής απαιτήσεων θα πρέπει να θεωρείται περιορισμένη. Η εισερχόμενη ροή των απαιτήσεων προέρχεται από έναν περιορισμένο αριθμό μηχανημάτων λειτουργίας (N - k), τα οποία σε τυχαίους χρόνους καταστρέφονται και απαιτούν συντήρηση. Επιπλέον, κάθε μηχανή από το (N - k) είναι σε λειτουργία. Δημιουργεί μια ροή απαιτήσεων Poisson με ένταση Χ ανεξάρτητα από άλλα αντικείμενα, η συνολική (συνολική) εισερχόμενη ροή έχει ένταση. Ένα αίτημα που εισέρχεται στο σύστημα όταν τουλάχιστον ένα κανάλι είναι ελεύθερο επεξεργάζεται αμέσως. Εάν ένα αίτημα βρει όλα τα κανάλια απασχολημένα με την εξυπηρέτηση άλλων αιτημάτων, τότε δεν φεύγει από το σύστημα, αλλά μπαίνει σε μια ουρά και περιμένει έως ότου ένα από τα κανάλια γίνει ελεύθερο. Έτσι, σε ένα κλειστό σύστημα αναμονής, η εισερχόμενη ροή απαιτήσεων διαμορφώνεται από την εξερχόμενη. Η κατάσταση συστήματος S k χαρακτηρίζεται από τον συνολικό αριθμό των αιτημάτων που εξυπηρετούνται και σε ουρά ίση με k. Για το υπό εξέταση κλειστό σύστημα, προφανώς, k = 0, 1, 2, ... , N. Επιπλέον, εάν το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση S k, τότε ο αριθμός των αντικειμένων σε λειτουργία είναι ίσος με (N - k) . Αν είναι η ένταση της ροής των απαιτήσεων ανά μηχανή, τότε:

Το σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων που περιγράφει τη λειτουργία ενός QS κλειστού βρόχου σε σταθερή λειτουργία είναι το εξής:

Επιλύοντας αυτό το σύστημα, βρίσκουμε την πιθανότητα της kth κατάστασης:

Η τιμή του P 0 προσδιορίζεται από την συνθήκη κανονικοποίησης των αποτελεσμάτων που λαμβάνονται χρησιμοποιώντας τους τύπους για P k , k = 0, 1, 2, ... , N. Ας προσδιορίσουμε τα ακόλουθα πιθανολογικά χαρακτηριστικά του συστήματος:

Μέσος αριθμός αιτημάτων στην ουρά για εξυπηρέτηση:

Μέσος αριθμός αιτημάτων στο σύστημα (εξυπηρέτηση και ουρά)

μέσος αριθμός μηχανικών (καναλιών) "αδρανής" λόγω έλλειψης εργασίας

Λόγος αδράνειας του εξυπηρετούμενου αντικειμένου (μηχανής) στην ουρά

Ποσοστό αξιοποίησης εγκαταστάσεων (μηχανήματα)

Αναλογία χρόνου διακοπής λειτουργίας των καναλιών εξυπηρέτησης (μηχανική)

Μέσος χρόνος αναμονής για σέρβις (χρόνος αναμονής για υπηρεσία στην ουρά)

Κλειστό πρόβλημα QS

1. Αφήστε δύο μηχανικούς ίσης παραγωγικότητας να διατεθούν για την εξυπηρέτηση δέκα προσωπικών υπολογιστών (PC). Η ροή αστοχιών (δυσλειτουργιών) ενός υπολογιστή είναι Poisson με ένταση = 0,2. Ο χρόνος συντήρησης του υπολογιστή υπακούει στον εκθετικό νόμο. Ο μέσος χρόνος για την εξυπηρέτηση ενός Η/Υ από έναν μηχανικό είναι: = 1,25 ώρες. Είναι δυνατές οι ακόλουθες επιλογές οργάνωσης υπηρεσιών:

Και οι δύο μηχανικοί συντηρούν και τους δέκα υπολογιστές, επομένως εάν ένας υπολογιστής αποτύχει, εξυπηρετείται από έναν από τους δωρεάν μηχανικούς, σε αυτήν την περίπτωση R = 2, N = 10;

Καθένας από τους δύο μηχανικούς διατηρεί πέντε Η/Υ που του έχουν ανατεθεί. Σε αυτή την περίπτωση R = 1, N = 5.

Είναι απαραίτητο να επιλέξετε την καλύτερη επιλογή για την οργάνωση συντήρησης υπολογιστή.

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν όλες οι πιθανότητες των καταστάσεων P k: P 1 - P 10, λαμβάνοντας υπόψη ότι χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του υπολογισμού P k, υπολογίζουμε P 0

ΜΑΘΗΜΑ 6

Υπολογισμός κίνησης.

Η θεωρία της τηλεδιακίνησης είναι ένα τμήμα της θεωρίας της ουράς. Τα θεμέλια της θεωρίας της τηλεκίνησης έθεσε ο Δανός επιστήμονας A.K. Erlang. Τα έργα του εκδόθηκαν το 1909-1928. Ας δώσουμε σημαντικούς ορισμούς που χρησιμοποιούνται στη θεωρία της τηλεκίνησης (TT). Ο όρος «κυκλοφορία» αντιστοιχεί στον όρο «τηλεφωνικός φόρτος». Αυτό αναφέρεται στο φορτίο που δημιουργείται από τη ροή των κλήσεων, των απαιτήσεων και των μηνυμάτων που φτάνουν στις εισόδους του QS. Ο όγκος της επισκεψιμότητας είναι το ποσό του συνολικού, ενιαίου χρονικού διαστήματος που χάθηκε από έναν ή τον άλλο πόρο κατά τη διάρκεια του οποίου αυτός ο πόρος καταλήφθηκε κατά τη διάρκεια της αναλυόμενης χρονικής περιόδου. Μια μονάδα εργασίας μπορεί να θεωρηθεί ως δεύτερη ενασχόληση ενός πόρου. Μερικές φορές μπορείτε να διαβάσετε περίπου μια ώρα εργασίας και μερικές φορές μόνο δευτερόλεπτα ή ώρες. Ωστόσο, οι συστάσεις της ITU δίνουν τη διάσταση του όγκου της κυκλοφορίας σε erlango-ώρες. Για να κατανοήσουμε την έννοια μιας τέτοιας μονάδας μέτρησης, πρέπει να εξετάσουμε μια άλλη παράμετρο κυκλοφορίας - την ένταση της κυκλοφορίας. Σε αυτήν την περίπτωση, συχνά μιλούν για τη μέση ένταση της κίνησης (φορτίο) σε μια συγκεκριμένη ομάδα (σύνολο) πόρων. Εάν σε κάθε στιγμή του χρόνου t από ένα δεδομένο διάστημα (t 1, t 2) ο αριθμός των πόρων από ένα δεδομένο σύνολο που καταλαμβάνει η κίνηση εξυπηρέτησης είναι ίσος με A(t), τότε η μέση ένταση κυκλοφορίας θα είναι

Η τιμή της έντασης κίνησης χαρακτηρίζεται ως ο μέσος αριθμός πόρων που καταλαμβάνονται από την εξυπηρέτηση της κίνησης σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα. Η μονάδα μέτρησης της έντασης του φορτίου είναι ένα Erlang (1 Erl, 1 E), δηλ. 1 Erlang είναι μια τέτοια ένταση κίνησης που απαιτεί την πλήρη χρήση ενός πόρου, ή, με άλλα λόγια, στην οποία ο πόρος εκτελεί εργασία αξίας ενός δευτερολέπτου απασχόλησης σε ένα δευτερόλεπτο. Στην αμερικανική βιβλιογραφία, μερικές φορές μπορείτε να βρείτε μια άλλη μονάδα μέτρησης που ονομάζεται CCS-Centrum (ή εκατό) Calls Second. Ο αριθμός CCS αντικατοπτρίζει τον χρόνο κατάληψης του διακομιστή σε διαστήματα 100 δευτερολέπτων ανά ώρα. Η ένταση που μετράται σε CCS μπορεί να μετατραπεί σε Erlang χρησιμοποιώντας τον τύπο 36CCS=1 Erl.

Η κίνηση που δημιουργείται από μία πηγή και εκφράζεται σε ώρες καταλήψεις είναι ίση με το γινόμενο του αριθμού προσπαθειών κλήσης c για ένα ορισμένο χρονικό διάστημα T και της μέσης διάρκειας μιας προσπάθειας t: y = c t (h-z). Η κίνηση μπορεί να υπολογιστεί με τρεις διαφορετικούς τρόπους:

1) ας είναι ο αριθμός των κλήσεων c ανά ώρα 1800 και η μέση διάρκεια της συνεδρίας t = 3 λεπτά, τότε Υ = 1800 κλήσεις. /h. 0,05 h = 90 Earl;

2) αφήστε τις διάρκειες t i όλων των n καταλήψεων των εξόδων μιας συγκεκριμένης δέσμης να καθοριστούν κατά τη διάρκεια του χρόνου T, τότε η κίνηση καθορίζεται ως εξής:

3) αφήστε τον αριθμό των ταυτόχρονα κατειλημμένων εξόδων μιας συγκεκριμένης δέσμης να παρακολουθείται σε ίσα διαστήματα κατά τη διάρκεια του χρόνου T· με βάση τα αποτελέσματα της παρατήρησης, κατασκευάζεται μια συνάρτηση βήματος του χρόνου x(t) (Εικόνα 8).

Εικόνα 8. Δείγματα εξόδων δέσμης ταυτόχρονα κατειλημμένων

Η κίνηση κατά τη διάρκεια του χρόνου T μπορεί να εκτιμηθεί ως η μέση τιμή του x(t) κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου:

όπου n είναι ο αριθμός των δειγμάτων των ταυτόχρονα κατειλημμένων εξόδων. Η τιμή Y είναι ο μέσος αριθμός των εξόδων δέσμης που καταλαμβάνονται ταυτόχρονα κατά τη διάρκεια του χρόνου T.

Κυκλοφοριακές διακυμάνσεις. Η κίνηση στα δευτερεύοντα τηλεφωνικά δίκτυα παρουσιάζει σημαντικές διακυμάνσεις με την πάροδο του χρόνου. Κατά τη διάρκεια της εργάσιμης ημέρας, η καμπύλη κυκλοφορίας έχει δύο ή και τρεις κορυφές (Εικόνα 9).

Εικόνα 9. Κυκλοφοριακές διακυμάνσεις κατά τη διάρκεια της ημέρας

Η ώρα της ημέρας κατά την οποία η κίνηση που παρατηρείται για μεγάλο χρονικό διάστημα είναι πιο σημαντική ονομάζεται ώρα με τη μεγαλύτερη κίνηση (BHH). Η γνώση της κίνησης στο CNN είναι θεμελιωδώς σημαντική, καθώς καθορίζει τον αριθμό των καναλιών (γραμμών), τον όγκο του εξοπλισμού των σταθμών και των κόμβων. Η κίνηση την ίδια ημέρα της εβδομάδας έχει εποχιακές διακυμάνσεις. Εάν η ημέρα της εβδομάδας είναι προαργία, τότε το NNN αυτής της ημέρας είναι υψηλότερο από την επόμενη ημέρα της αργίας. Καθώς αυξάνεται ο αριθμός των υπηρεσιών που υποστηρίζονται από το δίκτυο, αυξάνεται και η κίνηση. Ως εκ τούτου, είναι προβληματική η πρόβλεψη με αρκετή σιγουριά για την εμφάνιση αιχμών κυκλοφορίας. Η κίνηση παρακολουθείται στενά από οργανισμούς διαχείρισης και σχεδιασμού δικτύου. Οι κανόνες μέτρησης της κυκλοφορίας αναπτύχθηκαν από την ITU-T και χρησιμοποιούνται από τις εθνικές διοικήσεις δικτύων για την κάλυψη των απαιτήσεων ποιότητας υπηρεσιών τόσο για τους συνδρομητές του δικτύου τους όσο και για τους συνδρομητές άλλων δικτύων που είναι συνδεδεμένα σε αυτό. Η θεωρία της τηλεκίνησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για πρακτικούς υπολογισμούς των απωλειών ή του όγκου του εξοπλισμού του σταθμού (κόμβου) μόνο εάν η κίνηση είναι ακίνητη (στατιστικά σταθερή). Αυτή η προϋπόθεση ικανοποιείται περίπου από την κίνηση στο CHNN. Η ποσότητα φορτίου που εισέρχεται στο αυτόματο τηλεφωνικό κέντρο ανά ημέρα επηρεάζει την πρόληψη και την επισκευή του εξοπλισμού. Η ανομοιομορφία του φορτίου που εισέρχεται στο σταθμό κατά τη διάρκεια της ημέρας καθορίζεται από τον συντελεστή συγκέντρωσης

Ένας πιο αυστηρός ορισμός του NNN γίνεται ως εξής. Η Σύσταση E.500 της ITU απαιτεί την ανάλυση δεδομένων έντασης 12 μηνών, την επιλογή των 30 ημερών με τη μεγαλύτερη κίνηση, την εύρεση των ωρών με τη μεγαλύτερη κίνηση εκείνες τις ημέρες και τον μέσο όρο των μετρήσεων έντασης σε αυτά τα διαστήματα. Αυτός ο υπολογισμός της έντασης κυκλοφορίας (φορτίο) ονομάζεται κανονική εκτίμηση της έντασης κυκλοφορίας στο CHN ή στο επίπεδο Α. Μπορεί να υπολογιστεί ο μέσος όρος μιας πιο αυστηρής εκτίμησης για τις 5 ημέρες με τη μεγαλύτερη κίνηση της επιλεγμένης περιόδου 30 ημερών. Αυτός ο βαθμός ονομάζεται αυξημένος βαθμός ή βαθμός στο επίπεδο Β.

Η διαδικασία δημιουργίας κίνησης. Όπως γνωρίζει κάθε χρήστης του τηλεφωνικού δικτύου, δεν είναι επιτυχείς όλες οι προσπάθειες δημιουργίας σύνδεσης με τον καλούμενο συνδρομητή. Μερικές φορές πρέπει να κάνετε πολλές ανεπιτυχείς προσπάθειες πριν δημιουργηθεί η επιθυμητή σύνδεση.

Εικόνα 10. Διάγραμμα συμβάντων κατά τη δημιουργία σύνδεσης μεταξύ συνδρομητών

Ας εξετάσουμε πιθανά γεγονότα κατά την προσομοίωση της δημιουργίας μιας σύνδεσης μεταξύ των συνδρομητών Α και Β (Εικόνα 10). Τα στατιστικά στοιχεία για τις κλήσεις σε τηλεφωνικά δίκτυα έχουν ως εξής: το ποσοστό των ολοκληρωμένων συνομιλιών είναι 70-50%, το ποσοστό των αποτυχημένων κλήσεων είναι 30-50%. Οποιαδήποτε προσπάθεια από τον συνδρομητή λαμβάνει την είσοδο QS. Με επιτυχημένες προσπάθειες (όταν έχει πραγματοποιηθεί η συνομιλία), ο χρόνος κατάληψης των συσκευών μεταγωγής που δημιουργούν συνδέσεις μεταξύ εισόδων και εξόδων είναι μεγαλύτερος από ό,τι με ανεπιτυχείς προσπάθειες. Ο συνδρομητής μπορεί να διακόψει τις προσπάθειες δημιουργίας σύνδεσης ανά πάσα στιγμή. Οι επαναλήψεις μπορεί να προκληθούν από τους ακόλουθους λόγους:

Ο αριθμός κλήθηκε λανθασμένα.

Υπόθεση σφάλματος στο δίκτυο.

Ο βαθμός επείγοντος της συνομιλίας.

Αποτυχημένες προηγούμενες προσπάθειες.

Γνωρίζοντας τις συνήθειες του συνδρομητή Β.

Αμφιβολία για τη σωστή κλήση του αριθμού.

Μπορεί να γίνει επανάληψη ανάλογα με τις ακόλουθες συνθήκες:

Βαθμοί επείγοντος;

Αξιολόγηση των λόγων αποτυχίας.

Αξιολόγηση της σκοπιμότητας επαναλαμβανόμενων προσπαθειών,

Εκτιμήσεις αποδεκτού μεσοδιαστήματος μεταξύ των προσπαθειών.

Η αποτυχία επανάληψης μπορεί να οφείλεται σε χαμηλό επείγοντα χαρακτήρα. Υπάρχουν διάφοροι τύποι επισκεψιμότητας που δημιουργούνται από κλήσεις: εισερχόμενες (προτεινόμενες) Y n και αναπάντητες Y n. Η επισκεψιμότητα Y n περιλαμβάνει όλες τις επιτυχημένες και ανεπιτυχείς προσπάθειες, η επισκεψιμότητα Y n, η οποία αποτελεί μέρος του Y n, περιλαμβάνει επιτυχημένες και μερικές ανεπιτυχείς προσπάθειες:

Y pr = Y r + Y np,

όπου το Y p είναι η κίνηση συνομιλίας (χρήσιμη) και η Y np η κίνηση που δημιουργείται από ανεπιτυχείς προσπάθειες. Η ισότητα Y p = Y p είναι δυνατή μόνο στην ιδανική περίπτωση εάν δεν υπάρχουν απώλειες, σφάλματα από τους καλούντες συνδρομητές και δεν υπάρχουν απαντήσεις από τους καλούμενους συνδρομητές.

Η διαφορά μεταξύ των εισερχόμενων και των μεταδιδόμενων φορτίων για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο θα είναι το χαμένο φορτίο.

Πρόβλεψη κίνησης. Οι περιορισμένοι πόροι οδηγούν στην ανάγκη για σταδιακή επέκταση του σταθμού και του δικτύου. Η διοίκηση του δικτύου προβλέπει αύξηση της κίνησης κατά τη φάση ανάπτυξης, λαμβάνοντας υπόψη ότι:

Το εισόδημα καθορίζεται από το μέρος της μεταδιδόμενης κίνησης Y p, - το κόστος καθορίζεται από την ποιότητα της υπηρεσίας με την υψηλότερη επισκεψιμότητα.

Ένα μεγάλο ποσοστό απωλειών (χαμηλής ποιότητας) συμβαίνει σε σπάνιες περιπτώσεις και είναι χαρακτηριστικό για το τέλος της περιόδου ανάπτυξης.

Ο μεγαλύτερος όγκος χαμένης κίνησης εμφανίζεται σε περιόδους που πρακτικά δεν υπάρχουν απώλειες - εάν οι απώλειες είναι μικρότερες από 10%, τότε οι συνδρομητές δεν ανταποκρίνονται σε αυτές. Κατά τον σχεδιασμό της ανάπτυξης των σταθμών και του δικτύου, ο μελετητής πρέπει να απαντήσει στο ερώτημα ποιες είναι οι απαιτήσεις για την ποιότητα της παροχής υπηρεσιών (απώλειες). Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να μετρηθούν οι απώλειες κυκλοφορίας σύμφωνα με τους κανόνες που έχουν θεσπιστεί στη χώρα.

Παράδειγμα μέτρησης κυκλοφορίας.

Αρχικά, ας δούμε πώς μπορείτε να εμφανίσετε τη λειτουργία ενός QS που έχει πολλούς πόρους που εξυπηρετούν ταυτόχρονα κάποια κίνηση. Θα μιλήσουμε περαιτέρω για πόρους όπως διακομιστές που εξυπηρετούν τη ροή εφαρμογών ή απαιτήσεων. Ένας από τους πιο οπτικούς και συχνά χρησιμοποιούμενους τρόπους για την απεικόνιση της διαδικασίας των αιτημάτων εξυπηρέτησης από μια ομάδα διακομιστών είναι ένα γράφημα Gantt. Αυτό το διάγραμμα είναι ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με τον άξονα x να απεικονίζει τον χρόνο και τον άξονα y να επισημαίνει διακριτά σημεία που αντιστοιχούν στους διακομιστές συγκέντρωσης. Το Σχήμα 11 δείχνει ένα γράφημα Gantt για ένα σύστημα τριών διακομιστών.

Στα τρία πρώτα χρονικά διαστήματα (τα μετράμε ως δεύτερο), ο πρώτος και ο τρίτος διακομιστής είναι απασχολημένος, τα επόμενα δύο δευτερόλεπτα - μόνο ο τρίτος, μετά ο δεύτερος λειτουργεί για ένα δευτερόλεπτο, μετά ο δεύτερος και ο πρώτος για δύο δευτερόλεπτα , και τα τελευταία δύο δευτερόλεπτα - μόνο το πρώτο.

Το κατασκευασμένο διάγραμμα σας επιτρέπει να υπολογίσετε τον όγκο της κίνησης και την έντασή της. Το διάγραμμα αντικατοπτρίζει μόνο την επισκεψιμότητα ή την επισκεψιμότητα, καθώς δεν αναφέρει τίποτα σχετικά με το αν μπήκαν στο σύστημα αιτήματα που δεν μπορούσαν να εξυπηρετηθούν από τους διακομιστές.

Ο όγκος της περασμένης επισκεψιμότητας υπολογίζεται ως το συνολικό μήκος όλων των τμημάτων του γραφήματος Gantt. Ένταση σε 10 δευτερόλεπτα:

Συσχετίζουμε με κάθε χρονικό διάστημα, που απεικονίζεται στην τετμημένη, έναν ακέραιο αριθμό ίσο με τον αριθμό των διακομιστών που καταλαμβάνονται σε αυτό το μοναδιαίο διάστημα. Αυτή η τιμή A(t) είναι η στιγμιαία ένταση. Για το παράδειγμά μας

A(t)= (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1)

Ας βρούμε τώρα τη μέση ένταση κυκλοφορίας σε διάστημα 10 δευτερολέπτων

Έτσι, η μέση ένταση κίνησης που περνά από το σύστημα των τριών διακομιστών που εξετάζουμε είναι 1,5 Erl.

Βασικές παράμετροι φορτίου

Οι τηλεφωνικές επικοινωνίες χρησιμοποιούνται από διάφορες κατηγορίες συνδρομητών, οι οποίοι χαρακτηρίζονται από:

αριθμός πηγών φορτίου - N,

μέσος αριθμός κλήσεων από μία πηγή σε συγκεκριμένο χρονικό διάστημα (συνήθως NNN) - γ,

η μέση διάρκεια μιας συνεδρίας του συστήματος μεταγωγής κατά την εξυπηρέτηση μιας κλήσης είναι t.

Η ένταση του φορτίου θα είναι

Ας εντοπίσουμε διαφορετικές πηγές κλήσεων. Για παράδειγμα,

Μέσος αριθμός κλήσεων προς CHN από ένα τηλέφωνο γραφείου.

Μέσος αριθμός κλήσεων από ένα μεμονωμένο τηλέφωνο διαμερίσματος. Τηλεκυκλοφορία μαζικής υπηρεσίας τυχαίων συμβάντων

με μέτρηση - το ίδιο από τη συσκευή για συλλογική χρήση.

με ma - το ίδιο από ένα μηχάνημα νομισμάτων.

με sl - το ίδιο από μία γραμμή σύνδεσης.

Στη συνέχεια, ο μέσος αριθμός κλήσεων από μία πηγή:

Υπάρχουν κατά προσέγγιση δεδομένα για τον μέσο αριθμό κλήσεων από μία πηγή της αντίστοιχης κατηγορίας:

3,5 - 5, =0,5 - 1, με μέτρηση = 1,5 - 2, με ma =15 - 30, με sl =10 - 30.

Υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι συνδέσεων, οι οποίοι, ανάλογα με το αποτέλεσμα της σύνδεσης, δημιουργούν διαφορετικά φορτία τηλεφώνου στο σταθμό:

k р - συντελεστής που δείχνει το ποσοστό των συνδέσεων που έληξαν σε συνομιλία.

k ζ - συνδέσεις που δεν κατέληξαν σε συνομιλία λόγω της απασχολημένης δραστηριότητας του καλούμενου συνδρομητή.

k αλλά - συντελεστής που εκφράζει το ποσοστό των συνδέσεων που δεν κατέληξαν σε συνομιλία λόγω μη ανταπόκρισης του καλούμενου συνδρομητή.

k osh - συνδέσεις που δεν κατέληξαν σε συνομιλία λόγω σφαλμάτων του καλούντος.

κ εκείνες - κλήσεις που δεν κατέληξαν σε συνομιλία για τεχνικούς λόγους.

Κατά την κανονική λειτουργία του δικτύου, οι τιμές αυτών των συντελεστών είναι ίσες με:

k p = 0,60-0,75; k z =0,12-0,15; k αλλά =0,08-0,12; k osh =0,02-0,05; κ αυτά =0,005-0,01.

Η μέση διάρκεια μιας συνεδρίας εξαρτάται από τους τύπους των συνδέσεων. Για παράδειγμα, εάν η σύνδεση τελείωσε με μια συνομιλία, η μέση διάρκεια της κατάστασης κατοχής της συσκευής θα είναι ίση με

πού είναι η διάρκεια της εγκατάστασης σύνδεσης;

t συγκρ. - μια συνομιλία που έγινε.

t in - η διάρκεια της αποστολής κλήσης στο τηλέφωνο του καλούμενου συνδρομητή.

t r - διάρκεια συνομιλίας

όπου t co είναι το σήμα απάντησης του σταθμού.

1,5n - χρόνος για να καλέσετε τον αριθμό του καλούμενου συνδρομητή (n - αριθμός χαρακτήρων στον αριθμό).

t s είναι ο χρόνος που απαιτείται για τη δημιουργία μιας σύνδεσης με εναλλαγή μηχανισμών και την αποσύνδεση της σύνδεσης μετά το τέλος της συνομιλίας. Κατά προσέγγιση τιμές των εξεταζόμενων ποσοτήτων:

t co = 3 sec., t c = 1-2,5 sec., t b = 8-10 sec., t p = 90-130 sec.

Οι κλήσεις που δεν τελειώνουν σε συνομιλία δημιουργούν επίσης τηλεφωνική φόρτωση.

Ο μέσος χρόνος κατάληψης συσκευών όταν ο καλούμενος συνδρομητής είναι απασχολημένος είναι

όπου t σύνδεση εγκατάστασης καθορίζεται από (4.2.3)

t зз - χρόνος ακρόασης του πολυάσχολου βομβητή, t зз =6 δευτ.

Η μέση διάρκεια κατάληψης της συσκευής όταν ο καλούμενος συνδρομητής δεν απαντά είναι

όπου t pv - χρόνος ακρόασης του σήματος επιστροφής κλήσης, t pv = 20 sec.

Εάν δεν υπήρξε συνομιλία λόγω σφαλμάτων συνδρομητή, τότε κατά μέσο όρο t osh = 30 δευτερόλεπτα.

Η διάρκεια των μαθημάτων που δεν κατέληξαν σε συνομιλία για τεχνικούς λόγους δεν καθορίζεται, αφού το ποσοστό τέτοιων μαθημάτων είναι μικρό.

Από όλα τα παραπάνω προκύπτει ότι το συνολικό φορτίο που δημιουργείται από μια ομάδα πηγών πίσω από το CNN είναι ίσο με το άθροισμα των φορτίων των επιμέρους τύπων δραστηριοτήτων.

όπου είναι ένας συντελεστής που λαμβάνει υπόψη τους όρους ως μετοχές

Σε τηλεφωνικό δίκτυο με επταψήφια αρίθμηση έχει σχεδιαστεί αυτόματο τηλεφωνικό κέντρο, η δομική σύνθεση του οποίου οι συνδρομητές έχουν ως εξής:

N λογαριασμός = 4000, N ind = 1000, N count = 2000, N ma = 400, N sl = 400.

Ο μέσος αριθμός κλήσεων που λαμβάνονται από μία πηγή στο CHNN είναι ίσος με

Χρησιμοποιώντας τους τύπους (4.2.3) και (4.2.6) βρίσκουμε το φορτίο

1.10.62826767 δευτ. = 785.2 hz.

Μέση διάρκεια μαθήματος t από τον τύπο Y=Nct

t= Y/Nc= 2826767/7800*3,8=95,4 sec.

Φόρτωση εργασίας

1. Σε τηλεφωνικό δίκτυο με επταψήφια αρίθμηση σχεδιάζεται αυτόματο τηλεφωνικό κέντρο, η δομική σύνθεση των συνδρομητών του οποίου έχει ως εξής:

N uchr =5000, Nind=1500, N count =3000, N ma =500, N sl =500.

Προσδιορίστε το φορτίο που φτάνει στο σταθμό - Y, τη μέση διάρκεια κατοχής t, εάν είναι γνωστό ότι

με ind =4, με ind =1, με μέτρηση =2, με ma =10, με sl =12, t r =120 sec., t in =10 sec., k r =0,6, t s =1 sec., =1,1 .

Δημοσιεύτηκε στο Allbest.ru

Παρόμοια έγγραφα

Η έννοια μιας ομοιόμορφα κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής. Πολλαπλασιαστική σύμφωνη μέθοδος. Μοντελοποίηση συνεχών τυχαίων μεταβλητών και διακριτών κατανομών. Αλγόριθμος για την προσομοίωση των οικονομικών σχέσεων μεταξύ δανειστή και δανειολήπτη.

εργασία μαθήματος, προστέθηκε 01/03/2011

Γενικές έννοιες της θεωρίας αναμονής. Χαρακτηριστικά μοντελοποίησης συστημάτων ουράς. Κατάσταση γραφημάτων συστημάτων QS, εξισώσεις που τα περιγράφουν. Γενικά χαρακτηριστικά τύπων μοντέλων. Ανάλυση συστήματος αναμονής σούπερ μάρκετ.

εργασία μαθήματος, προστέθηκε 17/11/2009

Στοιχεία θεωρίας ουρών. Μαθηματική μοντελοποίηση συστημάτων ουράς, ταξινόμηση τους. Μοντελοποίηση προσομοίωσης συστημάτων ουράς. Πρακτική εφαρμογή της θεωρίας, επίλυση προβλημάτων με χρήση μαθηματικών μεθόδων.

εργασία μαθήματος, προστέθηκε 05/04/2011

Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας. Προβλήματα της θεωρίας της ουράς. Ταξινόμηση συστημάτων αναμονής (QS). Πιθανολογικό μαθηματικό μοντέλο. Η επίδραση τυχαίων παραγόντων στη συμπεριφορά ενός αντικειμένου. Μονοκάναλο και πολυκάναλο QS με αναμονή.

εργασία μαθήματος, προστέθηκε 25/09/2014

Μελέτη των θεωρητικών πτυχών της αποτελεσματικής κατασκευής και λειτουργίας ενός συστήματος αναμονής, των βασικών στοιχείων, της ταξινόμησης, των χαρακτηριστικών και της λειτουργικής αποτελεσματικότητας. Μοντελοποίηση συστήματος ουράς με χρήση της γλώσσας GPSS.

εργασία μαθήματος, προστέθηκε 24/09/2010

Ανάπτυξη της θεωρίας του δυναμικού προγραμματισμού, σχεδιασμού δικτύου και διαχείρισης κατασκευής προϊόντων. Συνιστώσες της θεωρίας παιγνίων σε προβλήματα μοντελοποίησης οικονομικών διαδικασιών. Στοιχεία πρακτικής εφαρμογής της θεωρίας αναμονής.

πρακτική εργασία, προστέθηκε 01/08/2011

Στοιχειώδεις έννοιες για τυχαία γεγονότα, ποσότητες και συναρτήσεις. Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών. Τύποι ασυμμετρίας κατανομής. Στατιστική αξιολόγηση της κατανομής των τυχαίων μεταβλητών. Επίλυση προβλημάτων δομικής-παραμετρικής αναγνώρισης.

εργασία μαθήματος, προστέθηκε 03/06/2012

Μοντελοποίηση της διαδικασίας ουράς. Διαφορετικοί τύποι καναλιών ουράς. Λύση μοντέλου ουράς μονού καναλιού με αστοχίες. Πυκνότητα κατανομής των διάρκειων υπηρεσιών. Προσδιορισμός απόλυτης απόδοσης.

δοκιμή, προστέθηκε στις 15/03/2016

Λειτουργικά χαρακτηριστικά του συστήματος αναμονής στον τομέα των οδικών μεταφορών, η δομή και τα κύρια στοιχεία του. Ποσοτικοί δείκτες της ποιότητας λειτουργίας του συστήματος αναμονής, η σειρά και τα κύρια στάδια προσδιορισμού τους.

εργαστηριακές εργασίες, προστέθηκε 03/11/2011

Θέτοντας το στόχο του μόντελινγκ. Αναγνώριση πραγματικών αντικειμένων. Επιλογή τύπου μοντέλων και μαθηματικού σχήματος. Κατασκευή συνεχούς-στοχαστικού μοντέλου. Βασικές έννοιες της θεωρίας ουρών. Ορισμός της ροής των γεγονότων. Ρύθμιση αλγορίθμων.

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΜ-03

ΠΑΙΖΟΝΤΑΣ ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ SV

Σκοπός της εργασίας: μελέτη και εφαρμογή λογισμικού μεθόδων αναπαραγωγής διακριτών και συνεχών SV

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΜΕΛΕΤΗ ΑΠΟ ΤΙΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ:

1. Διακριτές τυχαίες μεταβλητές και τα χαρακτηριστικά τους.

2. Παίζοντας μια πλήρη ομάδα τυχαίων συμβάντων.

3. Αναπαραγωγή μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αντίστροφης συνάρτησης.

4. Επιλογή τυχαίας κατεύθυνσης στο χώρο.

5. Τυπική κανονική κατανομή και επανυπολογισμός της για δεδομένες παραμέτρους.

6. Μέθοδος πολικών συντεταγμένων για την αναπαραγωγή της κανονικής κατανομής.

ΕΡΓΟ 1. Διατυπώστε (γραπτά) τον κανόνα για την αναπαραγωγή των τιμών ενός διακριτού SV, ο νόμος κατανομής του οποίου δίνεται με τη μορφή πίνακα. Δημιουργήστε μια υπορουτίνα-συνάρτηση για την αναπαραγωγή των τιμών του SV χρησιμοποιώντας το BSV που λαμβάνεται από την υπορουτίνα RNG. Παίξτε 50 τιμές CB και εμφανίστε τις στην οθόνη.

Όπου N είναι ο αριθμός επιλογής.

ΕΡΓΑΣΙΑ 2.Δίνεται η συνάρτηση πυκνότητας κατανομής f(x) μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ.

Στην αναφορά, σημειώστε τους τύπους και τους υπολογισμούς των ακόλουθων ποσοτήτων:

Α) σταθερά κανονικοποίησης.

Β) συνάρτηση κατανομής F(x);

Β) μαθηματική προσδοκία M(X);

Δ) διακύμανση D(X);

Δ) έναν τύπο για την αναπαραγωγή των τιμών του SV χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αντίστροφης συνάρτησης.

Δημιουργήστε μια υπορουτίνα-συνάρτηση για την αναπαραγωγή ενός δεδομένου SV και λάβετε 1000 τιμές αυτού του SV.

Κατασκευάστε ένα ιστόγραμμα της κατανομής των ληφθέντων αριθμών σε 20 τμήματα.

ΕΡΓΑΣΙΑ 3.Δημιουργήστε μια διαδικασία που σας επιτρέπει να αναπαράγετε τις παραμέτρους μιας τυχαίας κατεύθυνσης στο χώρο. Παίξτε 100 τυχαίες οδηγίες στο διάστημα.

Χρησιμοποιήστε τον ενσωματωμένο αισθητήρα ψευδοτυχαίων αριθμών.

Η γραπτή έκθεση εργαστηρίου πρέπει να περιέχει:

1) Το όνομα και ο σκοπός της εργασίας, η ομάδα, το επώνυμο και ο αριθμός της επιλογής του μαθητή.

2) Για κάθε εργασία: -συνθήκη, -απαραίτητοι τύποι και μαθηματικοί μετασχηματισμοί, -όνομα του αρχείου προγράμματος που υλοποιεί τον αλγόριθμο που χρησιμοποιείται, -αποτελέσματα υπολογισμού.

Τα αρχεία προγράμματος που έχουν εντοπιστεί σφαλμάτων υποβάλλονται μαζί με μια γραπτή αναφορά.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Παραλλαγές πυκνότητας κατανομής συνεχούς ΝΔ

Var-t	Πυκνότητα κατανομής ΝΔ	Var-t	Πυκνότητα κατανομής ΝΔ

Ορισμός 24.1.Τυχαίοι αριθμοίονομάστε πιθανές τιμές rσυνεχής τυχαία μεταβλητή R, κατανεμημένη ομοιόμορφα στο διάστημα (0; 1).

1. Παίζοντας μια διακριτή τυχαία μεταβλητή.

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να παίξουμε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ, δηλαδή, λάβετε μια ακολουθία των πιθανών τιμών του, γνωρίζοντας τον νόμο κατανομής Χ:

X x 1 Χ 2 … x n

r r 1 R 2 … r p .

Θεωρήστε μια τυχαία μεταβλητή ομοιόμορφα κατανεμημένη σε (0, 1) Rκαι διαιρέστε το διάστημα (0, 1) με σημεία με συντεταγμένες R 1, R 1 + R 2 , …, R 1 + R 2 +… +r p-1 επάνω Πεπιμέρους διαστήματα των οποίων τα μήκη είναι ίσα με τις πιθανότητες με τους ίδιους δείκτες.

Θεώρημα 24.1.Εάν σε κάθε τυχαίο αριθμό που εμπίπτει στο διάστημα εκχωρηθεί μια πιθανή τιμή, τότε η τιμή που παίζεται θα έχει έναν δεδομένο νόμο κατανομής:

X x 1 Χ 2 … x n

r r 1 R 2 … r p .

Απόδειξη.

Οι πιθανές τιμές της προκύπτουσας τυχαίας μεταβλητής συμπίπτουν με το σύνολο Χ 1 , Χ 2 ,… x n, αφού ο αριθμός των διαστημάτων είναι ίσος Π, και όταν χτυπηθεί r jσε ένα διάστημα, μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει μόνο μία από τις τιμές Χ 1 , Χ 2 ,… x n.

Επειδή Rκατανέμεται ομοιόμορφα, τότε η πιθανότητα να πέσει σε κάθε διάστημα είναι ίση με το μήκος του, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε τιμή αντιστοιχεί στην πιθανότητα πι. Έτσι, η τυχαία μεταβλητή που παίζεται έχει έναν δεδομένο νόμο κατανομής.

Παράδειγμα. Παίξτε 10 τιμές μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ, ο νόμος κατανομής του οποίου έχει τη μορφή: Χ 2 3 6 8

R 0,1 0,3 0,5 0,1

Λύση. Ας διαιρέσουμε το διάστημα (0, 1) σε μερικά διαστήματα: D 1 - (0; 0.1), D 2 - (0.1; 0.4), D 3 - (0.4; 0.9), D 4 – (0.9; 1). Ας γράψουμε 10 αριθμούς από τον πίνακα τυχαίων αριθμών: 0,09; 0,73; 0,25; 0,33; 0,76; 0,52; 0,01; 0,35; 0,86; 0,34. Ο πρώτος και ο έβδομος αριθμός βρίσκονται στο διάστημα D 1, επομένως, σε αυτές τις περιπτώσεις, η τυχαία μεταβλητή που παίχτηκε πήρε την τιμή Χ 1 = 2; ο τρίτος, ο τέταρτος, ο όγδοος και ο δέκατος αριθμός έπεσαν στο διάστημα D 2, το οποίο αντιστοιχεί σε Χ 2 = 3; ο δεύτερος, ο πέμπτος, ο έκτος και ο ένατος αριθμός ήταν στο διάστημα D 3 - σε αυτήν την περίπτωση X = x 3 = 6; Δεν υπήρχαν αριθμοί στο τελευταίο διάστημα. Έτσι, οι πιθανές τιμές παίχτηκαν Χείναι: 2, 6, 3, 3, 6, 6, 2, 3, 6, 3.

2. Ενεργοποίηση αντίθετων γεγονότων.

Ας χρειαστεί να παίξει δοκιμές, σε κάθε ένα από τα οποία ένα γεγονός ΕΝΑεμφανίζεται με γνωστή πιθανότητα R. Θεωρήστε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χ, λαμβάνοντας την τιμή 1 (αν το συμβάν ΕΝΑσυνέβη) με πιθανότητα Rκαι 0 (αν ΕΝΑδεν συνέβη) με πιθανότητα q = 1 – Π. Στη συνέχεια, θα παίξουμε αυτήν την τυχαία μεταβλητή όπως προτείνεται στην προηγούμενη παράγραφο.

Παράδειγμα. Παίξτε 10 προκλήσεις, η καθεμία με ένα γεγονός ΕΝΑεμφανίζεται με πιθανότητα 0,3.

Λύση. Για μια τυχαία μεταβλητή Χμε το νόμο της διανομής Χ 1 0

R 0,3 0,7

λαμβάνουμε τα διαστήματα D 1 – (0; 0,3) και D 2 – (0,3; 1). Χρησιμοποιούμε το ίδιο δείγμα τυχαίων αριθμών όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, για το οποίο οι αριθμοί Νο. 1, 3 και 7 εμπίπτουν στο διάστημα D 1 και οι υπόλοιποι - στο διάστημα D 2. Επομένως, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το γεγονός ΕΝΑσυνέβη στην πρώτη, τρίτη και έβδομη δοκιμή, αλλά δεν συνέβη στις υπόλοιπες δοκιμές.

3. Παίζοντας μια πλήρη ομάδα γεγονότων.

Αν τα γεγονότα ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , …, Μια σελ, των οποίων οι πιθανότητες είναι ίσες R 1 , R 2 ,… r p, σχηματίστε μια πλήρη ομάδα και, στη συνέχεια, για παιχνίδι (δηλαδή, μοντελοποίηση της ακολουθίας των εμφανίσεών τους σε μια σειρά δοκιμών), μπορείτε να παίξετε μια διακριτή τυχαία μεταβλητή Χμε το νόμο της διανομής Χ 1 2 … Π,έχοντας κάνει αυτό με τον ίδιο τρόπο όπως στο σημείο 1. Ταυτόχρονα, πιστεύουμε ότι

r r 1 R 2 … r p

Αν Χπαίρνει την αξία x i = i, τότε σε αυτήν τη δοκιμή συνέβη το συμβάν A i.

4. Παίζοντας μια συνεχόμενη τυχαία μεταβλητή.

α) Μέθοδος αντίστροφων συναρτήσεων.

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να παίξουμε μια συνεχή τυχαία μεταβλητή Χ, δηλαδή, πάρτε μια ακολουθία των πιθανών τιμών του x i (Εγώ = 1, 2, …, n), γνωρίζοντας τη συνάρτηση κατανομής φά(Χ).

Θεώρημα 24.2.Αν r iείναι ένας τυχαίος αριθμός, τότε η πιθανή τιμή x iέπαιξε συνεχής τυχαία μεταβλητή Χμε μια δεδομένη συνάρτηση κατανομής φά(Χ), αντίστοιχος r i, είναι η ρίζα της εξίσωσης

φά(x i) = r i. (24.1)

Απόδειξη.

Επειδή φά(Χ) αυξάνεται μονοτονικά στο διάστημα από το 0 στο 1, τότε υπάρχει μια (και μοναδική) τιμή του ορίσματος x i, στο οποίο η συνάρτηση διανομής παίρνει την τιμή r i. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση (24.1) έχει μια μοναδική λύση: x i= φά -1 (r i), Οπου φά-1 - συνάρτηση αντίστροφη προς φά. Ας αποδείξουμε ότι η ρίζα της εξίσωσης (24.1) είναι μια πιθανή τιμή της τυχαίας μεταβλητής που εξετάζουμε Χ.Ας υποθέσουμε πρώτα ότι x iείναι η πιθανή τιμή κάποιας τυχαίας μεταβλητής x, και αποδεικνύουμε ότι η πιθανότητα το x να πέσει στο διάστημα ( s, d) είναι ίσο με φά(ρε) – φά(ντο). Πράγματι, λόγω μονοτονίας φά(Χ) και αυτό φά(x i) = r i. Επειτα

Επομένως, Άρα, η πιθανότητα το x να πέσει στο διάστημα ( γ, δ) ισούται με την αύξηση της συνάρτησης κατανομής φά(Χ) σε αυτό το διάστημα, επομένως, x = Χ.

Παίξτε 3 πιθανές τιμές μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, κατανεμημένη ομοιόμορφα στο διάστημα (5; 8).

φά(Χ) = , δηλαδή είναι απαραίτητο να λυθεί η εξίσωση Ας επιλέξουμε 3 τυχαίους αριθμούς: 0,23; 0,09 και 0,56 και αντικαταστήστε τα σε αυτή την εξίσωση. Ας πάρουμε τις αντίστοιχες πιθανές τιμές Χ:

β) Μέθοδος υπέρθεσης.

Εάν η συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής που παίζεται μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός δύο συναρτήσεων κατανομής:

τότε, από πότε Χ®¥ φά(Χ) ® 1.

Ας εισαγάγουμε μια βοηθητική διακριτή τυχαία μεταβλητή Ζμε το νόμο της διανομής

Ζ 12 . Ας επιλέξουμε 2 ανεξάρτητους τυχαίους αριθμούς r 1 και r 2 και παίξτε το δυνατό

σελ Γ 1 ντο 2

έννοια Ζκατά αριθμό r 1 (βλ. σημείο 1). Αν Ζ= 1, τότε αναζητούμε την επιθυμητή δυνατή τιμή Χαπό την εξίσωση και αν Ζ= 2, τότε λύνουμε την εξίσωση .

Μπορεί να αποδειχθεί ότι σε αυτή την περίπτωση η συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής που παίζεται είναι ίση με τη δεδομένη συνάρτηση κατανομής.

γ) Κατά προσέγγιση αναπαραγωγή μιας κανονικής τυχαίας μεταβλητής.

Αφού για R, ομοιόμορφα κατανεμημένο στο (0, 1), μετά για το άθροισμα Πανεξάρτητες, ομοιόμορφα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές στο διάστημα (0,1). Στη συνέχεια, δυνάμει του κεντρικού οριακού θεωρήματος, η κανονικοποιημένη τυχαία μεταβλητή at ΠΤο ® ¥ θα έχει κατανομή κοντά στο κανονικό, με τις παραμέτρους ΕΝΑ= 0 και s =1. Συγκεκριμένα, μια αρκετά καλή προσέγγιση προκύπτει όταν Π = 12:

Έτσι, για να παίξουμε την πιθανή τιμή της κανονικοποιημένης κανονικής τυχαίας μεταβλητής Χ, πρέπει να προσθέσετε 12 ανεξάρτητους τυχαίους αριθμούς και να αφαιρέσετε 6 από το άθροισμα.

Από όλες τις τυχαίες μεταβλητές, η πιο εύκολη στην αναπαραγωγή (μοντέλο) είναι μια ομοιόμορφα κατανεμημένη μεταβλητή. Ας δούμε πώς γίνεται αυτό.

Ας πάρουμε κάποια συσκευή, η έξοδος της οποίας είναι πιθανό να περιέχει τους αριθμούς 0 ή 1. η εμφάνιση ενός ή άλλου αριθμού πρέπει να είναι τυχαία. Μια τέτοια συσκευή μπορεί να είναι ένα πεταμένο νόμισμα, ένα ζάρι (ζυγό - 0, περιττό - 1) ή μια ειδική γεννήτρια που βασίζεται στην καταμέτρηση του αριθμού των ραδιενεργών διασπάσεων ή των εκρήξεων ραδιοφωνικού θορύβου για ένα ορισμένο χρονικό διάστημα (ζυγό ή μονό).

Ας γράψουμε το y ως δυαδικό κλάσμα και ας αντικαταστήσουμε τα διαδοχικά ψηφία με τους αριθμούς που παράγει η γεννήτρια: για παράδειγμα, . Δεδομένου ότι το πρώτο ψηφίο μπορεί να περιέχει 0 ή 1 με ίση πιθανότητα, αυτός ο αριθμός είναι εξίσου πιθανό να βρίσκεται στο αριστερό ή στο δεξί μισό του τμήματος. Δεδομένου ότι στο δεύτερο ψηφίο το 0 και το 1 είναι επίσης εξίσου πιθανά, ο αριθμός βρίσκεται με ίση πιθανότητα σε κάθε μισό από αυτά τα μισά, κ.λπ. Αυτό σημαίνει ότι ένα δυαδικό κλάσμα με τυχαία ψηφία πραγματικά παίρνει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα με ίση πιθανότητα

Αυστηρά μιλώντας, μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός ψηφίων k μπορεί να αναπαραχθεί. Επομένως, η διανομή δεν θα απαιτείται εξ ολοκλήρου. η μαθηματική προσδοκία θα είναι μικρότερη από το 1/2 της τιμής (γιατί η τιμή είναι δυνατή, αλλά η τιμή είναι αδύνατη). Για να αποτρέψετε αυτόν τον παράγοντα να σας επηρεάσει, θα πρέπει να πάρετε πολυψήφιους αριθμούς. Είναι αλήθεια ότι στη μέθοδο του στατιστικού ελέγχου, η ακρίβεια της απάντησης συνήθως δεν υπερβαίνει το 0,1% -103, και η συνθήκη δίνει ότι στους σύγχρονους υπολογιστές ξεπερνιέται με μεγάλο περιθώριο.

Ψευδοτυχαίοι αριθμοί. Οι γεννήτριες πραγματικών τυχαίων αριθμών δεν είναι απαλλαγμένες από συστηματικά σφάλματα: ασυμμετρία νομισμάτων, μηδενική μετατόπιση κ.λπ. Επομένως, η ποιότητα των αριθμών που παράγουν ελέγχεται με ειδικές δοκιμές. Η απλούστερη δοκιμή είναι ο υπολογισμός της συχνότητας εμφάνισης ενός μηδενός για κάθε ψηφίο. εάν η συχνότητα είναι αισθητά διαφορετική από το 1/2, τότε υπάρχει ένα συστηματικό σφάλμα και αν είναι πολύ κοντά στο 1/2, τότε οι αριθμοί δεν είναι τυχαίοι - υπάρχει κάποιο είδος σχεδίου. Πιο πολύπλοκα τεστ υπολογίζουν συντελεστές συσχέτισης διαδοχικών αριθμών

ή ομάδες ψηφίων μέσα σε έναν αριθμό. αυτοί οι συντελεστές πρέπει να είναι κοντά στο μηδέν.

Εάν μια ακολουθία αριθμών ικανοποιεί αυτές τις δοκιμές, τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας τη μέθοδο στατιστικής δοκιμής, χωρίς να ενδιαφέρεται για την προέλευσή της.

Έχουν αναπτυχθεί αλγόριθμοι για την κατασκευή τέτοιων ακολουθιών. γράφονται συμβολικά με επαναλαμβανόμενους τύπους

Τέτοιοι αριθμοί ονομάζονται ψευδοτυχαίοι και υπολογίζονται σε υπολογιστή. Αυτό είναι συνήθως πιο βολικό από τη χρήση ειδικών γεννητριών. Αλλά κάθε αλγόριθμος έχει τον δικό του περιοριστικό αριθμό όρων ακολουθίας που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε υπολογισμούς. με μεγαλύτερο αριθμό όρων, χάνεται η τυχαία φύση των αριθμών, για παράδειγμα, αποκαλύπτεται η περιοδικότητα.

Ο πρώτος αλγόριθμος για τη λήψη ψευδοτυχαίων αριθμών προτάθηκε από τον Neumann. Ας πάρουμε έναν αριθμό από τα ψηφία (για να είμαστε συγκεκριμένοι, δεκαδικός) και ας τον τετραγωνίσουμε. Θα αφήσουμε τα μεσαία ψηφία του τετραγώνου, απορρίπτοντας το τελευταίο και (ή) το πρώτο. Τετραγωνίζουμε ξανά τον αριθμό που προκύπτει κ.λπ. Οι τιμές προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας αυτούς τους αριθμούς επί Για παράδειγμα, ας ορίσουμε και ας επιλέξουμε τον αρχικό αριθμό 46. τότε παίρνουμε

Αλλά η κατανομή των αριθμών Neumann δεν είναι αρκετά ομοιόμορφη (οι τιμές κυριαρχούν, κάτι που φαίνεται ξεκάθαρα στο παράδειγμα που δίνεται), και τώρα χρησιμοποιούνται σπάνια.

Ο πιο συχνά χρησιμοποιούμενος αλγόριθμος τώρα είναι ένας απλός και καλός αλγόριθμος που σχετίζεται με την επιλογή του κλασματικού μέρους του προϊόντος

όπου το Α είναι μια πολύ μεγάλη σταθερά (το σγουρό στήριγμα δηλώνει το κλασματικό μέρος του αριθμού). Η ποιότητα των ψευδοτυχαίων αριθμών εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την επιλογή της τιμής του Α: αυτός ο αριθμός στη δυαδική σημείωση πρέπει να είναι αρκετά «τυχαίος», αν και το τελευταίο του ψηφίο θα πρέπει να λαμβάνεται ως ένα. Η τιμή έχει μικρή επίδραση στην ποιότητα της ακολουθίας, αλλά έχει σημειωθεί ότι ορισμένες τιμές αποτυγχάνουν.

Χρησιμοποιώντας πειράματα και θεωρητική ανάλυση, έχουν μελετηθεί και συνιστάται οι ακόλουθες τιμές: για BESM-4. για BESM-6. Για ορισμένους αμερικανικούς υπολογιστές, αυτοί οι αριθμοί συνιστώνται και σχετίζονται με τον αριθμό των ψηφίων στη μάντισσα και τη σειρά του αριθμού, επομένως είναι διαφορετικοί για κάθε τύπο υπολογιστή.

Παρατήρηση 1. Καταρχήν, τύποι όπως ο (54) μπορούν να δώσουν πολύ μεγάλες καλές ακολουθίες εάν είναι γραμμένες σε μη επαναλαμβανόμενη μορφή και όλοι οι πολλαπλασιασμοί εκτελούνται χωρίς στρογγυλοποίηση. Η συμβατική στρογγυλοποίηση σε έναν υπολογιστή υποβαθμίζει την ποιότητα των ψευδοτυχαίων αριθμών, αλλά παρόλα αυτά, τα μέλη της ακολουθίας είναι συνήθως κατάλληλα.

Παρατήρηση 2. Η ποιότητα της ακολουθίας βελτιώνεται εάν εισαχθούν μικρές τυχαίες διαταραχές στον αλγόριθμο (54). για παράδειγμα, μετά την κανονικοποίηση ενός αριθμού, είναι χρήσιμο να στείλετε τη δυαδική σειρά του αριθμού στα τελευταία δυαδικά ψηφία της μάντισσας του

Αυστηρά μιλώντας, το μοτίβο των ψευδοτυχαίων αριθμών θα πρέπει να είναι αόρατο σε σχέση με την απαιτούμενη συγκεκριμένη εφαρμογή. Επομένως, σε απλά ή καλά διατυπωμένα προβλήματα, μπορούν να χρησιμοποιηθούν ακολουθίες όχι πολύ καλής ποιότητας, αλλά απαιτούνται ειδικοί έλεγχοι.

Τυχαία κατανομή. Για να παίξετε μια τυχαία μεταβλητή με ανομοιόμορφη κατανομή, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο (52). Ας παίξουμε το y και ας προσδιορίσουμε από την ισότητα

Εάν το ολοκλήρωμα ληφθεί στην τελική του μορφή και ο τύπος είναι απλός, τότε αυτός είναι ο πιο βολικός τρόπος. Για ορισμένες σημαντικές διανομές - Gaussian, Poisson - δεν λαμβάνονται τα αντίστοιχα ολοκληρώματα και έχουν αναπτυχθεί ειδικές μέθοδοι παιχνιδιού.

Ας απαιτείται η αναπαραγωγή μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, π.χ. λάβετε μια ακολουθία των πιθανών τιμών του (i=1, 2, ..., n), γνωρίζοντας τη συνάρτηση κατανομής F(x).

Θεώρημα. Εάν είναι ένας τυχαίος αριθμός, τότε η πιθανή τιμή της παιγμένης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X με μια δεδομένη συνάρτηση κατανομής F (x), που αντιστοιχεί στο , είναι η ρίζα της εξίσωσης.

Κανόνας 1. Για να βρείτε την πιθανή τιμή, μια συνεχής τυχαία μεταβλητή X, γνωρίζοντας τη συνάρτηση κατανομής της F (x), πρέπει να επιλέξετε έναν τυχαίο αριθμό, να εξισώσετε τη συνάρτηση κατανομής της και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει.

Σημείωση 1. Εάν δεν είναι δυνατό να λυθεί ρητά αυτή η εξίσωση, τότε καταφύγετε σε γραφικές ή αριθμητικές μεθόδους.

Παράδειγμα 1. Παίξτε 3 πιθανές τιμές μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X, που κατανέμονται ομοιόμορφα στο διάστημα (2, 10).

Λύση: Ας γράψουμε τη συνάρτηση κατανομής της τιμής X, κατανεμημένη ομοιόμορφα στο διάστημα (a, b): .

Σύμφωνα με την συνθήκη, a=2, b=10, επομένως, .

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα 1, θα γράψουμε μια εξίσωση για να βρούμε πιθανές τιμές, για τις οποίες εξισώνουμε τη συνάρτηση κατανομής με έναν τυχαίο αριθμό:

Από εδώ .

Ας επιλέξουμε 3 τυχαίους αριθμούς, για παράδειγμα, . Ας αντικαταστήσουμε αυτούς τους αριθμούς στην εξίσωση που επιλύεται ως προς το ; Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε τις αντίστοιχες πιθανές τιμές του X: ; ; .

Παράδειγμα 2. Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή Χ κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο που καθορίζεται από τη συνάρτηση κατανομής (η παράμετρος είναι γνωστή) (x > 0). Πρέπει να βρούμε μια σαφή φόρμουλα για να παίξουμε τις πιθανές τιμές του X.

Λύση: Χρησιμοποιώντας τον κανόνα γράφουμε την εξίσωση.

Ας λύσουμε αυτήν την εξίσωση για: , ή .

Ο τυχαίος αριθμός περιέχεται στο διάστημα (0, 1). Επομένως, ο αριθμός είναι επίσης τυχαίος και ανήκει στο διάστημα (0,1). Με άλλα λόγια, οι τιμές των R και 1-R κατανέμονται εξίσου. Επομένως, για να το βρείτε, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν απλούστερο τύπο.

Σημείωση 2.Είναι γνωστό ότι .

Συγκεκριμένα, .

Συνεπάγεται ότι αν η πυκνότητα πιθανότητας είναι γνωστή, τότε για να παίξουμε Χ, αντί για εξισώσεις, μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση .

Κανόνας 2. Για να βρεθεί η πιθανή τιμή μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, γνωρίζοντας την πυκνότητα πιθανοτήτων, είναι απαραίτητο να επιλέξετε έναν τυχαίο αριθμό και να λύσετε γι' αυτόν την εξίσωση ή την εξίσωση , όπου a είναι η μικρότερη τελική δυνατή τιμή του Χ.

Παράδειγμα 3. Δίνεται η πυκνότητα πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής X στο διάστημα. έξω από αυτό το διάστημα. Πρέπει να βρούμε μια σαφή φόρμουλα για να παίξουμε τις πιθανές τιμές του X.

Λύση: Ας γράψουμε την εξίσωση σύμφωνα με τον κανόνα 2.

Μετά την εκτέλεση της ολοκλήρωσης και την επίλυση του αποτελέσματος τετραγωνική εξίσωσησχετικά , θα το πάρουμε επιτέλους.

18.7 Κατά προσέγγιση αναπαραγωγή μιας κανονικής τυχαίας μεταβλητής

Ας θυμηθούμε πρώτα ότι εάν μια τυχαία μεταβλητή R κατανέμεται ομοιόμορφα στο διάστημα (0, 1), τότε η μαθηματική προσδοκία και η διακύμανσή της είναι αντίστοιχα ίσες: M(R)=1/2, D(R)=1/12.

Ας συντάξουμε το άθροισμα n ανεξάρτητων, ομοιόμορφα κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών στο διάστημα (0, 1): .

Για να ομαλοποιήσουμε αυτό το άθροισμα, βρίσκουμε πρώτα τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανσή του.

Είναι γνωστό ότι η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών των όρων. Το άθροισμα περιέχει n όρους, η μαθηματική προσδοκία καθενός από τους οποίους, λόγω M(R) = 1/2, είναι ίση με 1/2. επομένως, η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος

Είναι γνωστό ότι η διακύμανση του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων των όρων. Το άθροισμα περιέχει n ανεξάρτητους όρους, η διακύμανση καθενός από τους οποίους, λόγω D(R) = 1/12, είναι ίση με 1/12. επομένως, η διακύμανση του αθροίσματος

Εξ ου και η τυπική απόκλιση του αθροίσματος

Ας κανονικοποιήσουμε το ποσό που εξετάζουμε, για το οποίο αφαιρούμε τη μαθηματική προσδοκία και διαιρούμε το αποτέλεσμα με την τυπική απόκλιση: .

Δυνάμει του κεντρικού οριακού θεωρήματος, η κατανομή αυτής της κανονικοποιημένης τυχαίας μεταβλητής τείνει στην κανονική με τις παραμέτρους a = 0 και . Για πεπερασμένο n, η κατανομή είναι περίπου κανονική. Συγκεκριμένα, για n=12 προκύπτει μια αρκετά καλή και βολική προσέγγιση για τους υπολογισμούς.

Οι εκτιμήσεις είναι ικανοποιητικές: κοντά στο μηδέν, ελάχιστα διαφορετικές από το ένα.

Κατάλογος πηγών που χρησιμοποιήθηκαν

1. Gmurman V.E. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική. – Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 2001.

2. Kalinina V.N., Pankin V.F. Στατιστικά μαθηματικών. – Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 2001.

3. Gmurman V.E. Ένας οδηγός για την επίλυση προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική. – Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 2001.

4. Kochetkov E.S., Smerchinskaya S.O., Sokolov V.V. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική. – M.:FORUM:INFRA-M, 2003.

5. Agapov G.I. Βιβλίο προβλημάτων για τη θεωρία πιθανοτήτων. – Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 1994.

6. Kolemaev V.A., Kalinina V.N. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική. – Μ.: INFRA-M, 2001.

7. Βέντσελ Ε.Σ. Θεωρία πιθανοτήτων. – Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 2001.

Στείλτε την καλή δουλειά σας στη βάση γνώσεων είναι απλή. Χρησιμοποιήστε την παρακάτω φόρμα

Υπολογισμός κίνησης.

Παρόμοια έγγραφα

Var-t

Var-t