Επιφάνειαστη γεωμετρία λέγεται σύνορο που χωρίζει ένα γεωμετρικό σώμα (κύλινδρος, κώνος, μπάλα κ.λπ.) από το διάστημα . Στα σχέδια (διαγράμματα), απεικονίζονται μόνο σημεία και γραμμές (ευθείες γραμμές ή καμπύλες). Επομένως, η επιφάνεια μπορεί να απεικονιστεί μόνο όταν προβάλλεται σε μια γραμμή ή σε ένα σύνολο γραμμών.

Η επιφάνεια μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο (τελευταίο παπούτσι, μανεκέν, κ.λπ.), χρησιμοποιώντας μια εξίσωση, κινηματικά - ως ίχνος μιας γραμμής που κινείται στο χώρο κ.λπ. Στην περιγραφική γεωμετρία, υιοθετείται μια κινηματική μέθοδος σχηματισμού επιφάνειας. Μπορεί να ειπωθεί ότι επιφάνεια – είναι ένα συνεχές σύνολο διαδοχικών θέσεων μιας ευθείας ή καμπύλης γραμμής που κινείται στο χώρο . Μια γραμμή που σχηματίζει μια επιφάνεια καθώς κινείται ονομάζεται generatrix .

2.4.1. Καθορισμός επιφάνειας χρησιμοποιώντας ορίζοντα. Για να ορίσετε μια επιφάνεια, αρκεί να ορίσετε τη γενεαλογική διάταξη της επιφάνειας και να καθορίσετε τον νόμο με τον οποίο κινείται στο χώρο. Οι νόμοι της κίνησης των γεννητριών μπορούν να καθοριστούν με διάφορους τρόπους:

1) Η γεννήτρια κινείται διασχίζοντας κάποια σταθερή γραμμή, η οποία ονομάζεται οδηγός .

2) Η γεννήτρια κινείται διασχίζοντας δύο ή τρεις κατευθυντήριες γραμμές.

3) Η γεννήτρια κινείται παράλληλα προς τον εαυτό της ή παράλληλα με κάποιο επίπεδο, το οποίο ονομάζεται επίπεδο παραλληλισμού και τα λοιπά.

Η γεννήτρια, μαζί με τα γεωμετρικά σχήματα που καθορίζουν την κίνησή της, καθώς και τον νόμο της κίνησής της, αποτελούν καθοριστικός επιφάνειες. Μπορούμε να πούμε ότι ο προσδιοριστής της επιφάνειας είναι ένα σύνολο ανεξάρτητων παραμέτρων που ορίζουν μοναδικά την επιφάνεια.

Η ορίζουσα αποτελείται από δύο μέρη:

1) γεωμετρικό μέρος - φιγούρες (σημεία, γραμμές, επιφάνειες) κινητές και σταθερές, με τη βοήθεια των οποίων σχηματίζεται επιφάνεια.

2) Αλγοριθμικό μέρος - ο κανόνας της κίνησης (ο νόμος της κίνησης) της γεννήτριας σε σχέση με τα σταθερά σχήματα της ορίζουσας.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η γεννήτρια μπορεί να παραμορφωθεί κατά την κίνησή της, η οποία καθορίζεται επίσης στο αλγοριθμικό τμήμα της ορίζουσας. Η βάση για τη σύνταξη της ορίζουσας είναι η ανάλυση της μεθόδου σχηματισμού της επιφάνειας και των κύριων ιδιοτήτων της. Κάθε επιφάνεια μπορεί να οριστεί από διαφορετικούς καθοριστικούς παράγοντες.

Για παράδειγμα, θεωρήστε την ορίζουσα μιας αυθαίρετης κυλινδρικής επιφάνειας (Εικ. 2.34). Η εγγραφή προσδιορισμού μοιάζει με αυτό:

φά(μεγάλο, ένα) - κυλινδρική επιφάνεια

(γεωμετρικό μέρος) (αλγοριθμικό μέρος)

Αυτή η καταχώρηση δίνεται σε συνδυασμό με το σχέδιο. Στη σημειογραφία του γεωμετρικού μέρους με το γράμμα φάη επιφάνεια συμβολίζεται με το γράμμα μεγάλο- generatrix, γράμμα ΕΝΑ- οδηγός. Το σχήμα και η θέση στο χώρο της γεννήτριας και του οδηγού καθορίζονται από το σχέδιο.

Στην εγγραφή του αλγοριθμικού μέρους δίνεται το όνομα της επιφάνειας. Για μια επιφάνεια με δεδομένο όνομα, είναι ευρέως γνωστό ποια κίνηση είναι μεγάλο, σχηματίζοντας μια επιφάνεια φά. Αλλά είναι επίσης δυνατό να καταγράψουμε λεπτομερώς τη φύση της κίνησης της γεννήτριας. Στην περίπτωσή μας, η γεννήτρια μεγάλοκινείται παράλληλα με τον εαυτό του και διασχίζει τον οδηγό όλη την ώρα ΕΝΑ. Η ορίζουσα καθορίζει πλήρως την επιφάνεια, αφού με τη βοήθειά του είναι δυνατή η κατασκευή των προβολών του.

Στο σχ. 2.35 ΕΝΑκαθορίζεται ένα σύνθετο σχέδιο της ορίζουσας μιας κυλινδρικής επιφάνειας φά(μεγάλο, ένα) και προβολή Α2σημεία ΕΝΑπου ανήκουν στην επιφάνεια. Είναι απαραίτητο να οικοδομήσουμε μια οριζόντια προβολή Α'1σημεία ΕΝΑ.

Γνωρίζοντας το αλγοριθμικό μέρος της ορίζουσας, εκτελούμε τις ακόλουθες κατασκευές (Εικ. 2.35, σι):

1) Μέσω Α2παράλληλο l 2σχεδιάστε και βρείτε την μετωπική προβολή ΣΤΙΣ 2σημεία τομής με Α2(στάδιο 1). Τα βήματα υποδεικνύονται με βέλη.

2) Χρήση του συνδέσμου προβολής στο Α'1εύρημα ΣΕ 1(στάδιο 2).

3) Μέσα από ένα σημείο ΣΕ 1τρέχουν παράλληλα l 1(στάδιο 3).

4) Βασιζόμαστε στη χρήση της γραμμής επικοινωνίας Α'1(στάδιο 4).

2.4.2. Επιφανειακό συρμάτινο πλαίσιο. Εάν κατασκευάσουμε έναν ορισμένο αριθμό γεννητριών σύμφωνα με τη μέθοδο που περιγράφεται στον αλγόριθμο προσδιορισμού, τότε παίρνουμε πλαίσιο ή καθαρά επιφάνειες (Εικ. 2.36).

Εμφανίζεται στο σχ. 2.36 ΕΝΑτο πλαίσιο ονομάζεται μονοπαράμετρος, γιατί αποτελείται από γραμμές που ανήκουν στην ίδια οικογένεια. Αυτό είναι ένα διακριτό πλαίσιο, αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό γραμμών.

Μπορεί επίσης να φανταστεί κανείς ένα συνεχές πλαίσιο γεννητριών. Ένα συνεχές wireframe είναι ένα σύνολο γραμμών που γεμίζουν την επιφάνεια έτσι ώστε μόνο μία γραμμή wireframe να διέρχεται από κάθε σημείο της επιφάνειας.

Στην ίδια επιφάνεια, ανάλογα με την ορίζουσα, μπορεί κανείς να φανταστεί και άλλα πλαίσια. Αν στην ορίζουσα μιας κυλινδρικής επιφάνειας η γεννήτρια και ο οδηγός εναλλάσσονται και υποθέσουμε ότι η καμπύλη ΕΝΑθα είναι μια γεννήτρια που κινείται παράλληλα με τον εαυτό της και τέμνει τον οδηγό όλη την ώρα μεγάλο, τότε θα ληφθεί ένα άλλο πλαίσιο μιας παραμέτρου (Εικ. 2.36, σι).

Εάν χτιστούν δύο πλαίσια στην επιφάνεια, τότε θα ληφθεί ένα πλαίσιο δύο παραμέτρων (Εικ. 2.36, V). Δύο γραμμές πλαισίου διέρχονται από κάθε σημείο της επιφάνειας που ορίζεται από έναν σκελετό δύο παραμέτρων.

2.4.3. Προσδιορισμός επιφάνειας που δεν έχει καθοριστική. Υπάρχουν ακανόνιστες επιφάνειες, οι οποίες περιλαμβάνουν ένα μανεκέν, ένα τελευταίο παπούτσι, αμαξώματα αυτοκινήτων, ατράκτους αεροσκαφών, κύτους πλοίων θάλασσας και ποταμού, ανάγλυφο η επιφάνεια της γηςκλπ. Τέτοιες επιφάνειες ονομάζονται γραφικός και δίνονται από ένα διακριτό πλαίσιο. Τις περισσότερες φορές, οι γραμμές αυτού του πλαισίου είναι επίπεδες καμπύλες παράλληλες με οποιοδήποτε επίπεδο προβολής. Εάν τα επίπεδα των γραμμών πλαισίου είναι παράλληλα με το οριζόντιο επίπεδο προβολής, τότε τέτοιες γραμμές ονομάζονται οριζόντιες.

2.4.4. Περίγραμμα επιφάνειας. Η γραμμή τομής της προεξέχουσας επιφάνειας, που περιβάλλει τη δεδομένη επιφάνεια, με το επίπεδο προβολής ονομάζεται περίγραμμα της επιφάνειας . Στο σχ. Το 2.37 δείχνει την προβολή της σφαίρας Τστο αεροπλάνο Σ 1. Ένα σύνολο από οριζόντια προεξέχουσες ακτίνες που εφάπτονται στην επιφάνεια της σφαίρας σχηματίζουν ένα περίβλημα μιας οριζόντιας προεξέχουσας κυλινδρικής επιφάνειας φά. Γραμμή τομής φάΚαι Σ 1αντιπροσωπεύει ένα οριζόντιο περίγραμμα της επιφάνειας - έναν κύκλο Α'1.

Η γραμμή περιγράμματος μιας επιφάνειας είναι η γραμμή κατά μήκος της οποίας η περιβάλλουσα προεξέχουσα επιφάνεια αγγίζει τη δεδομένη επιφάνεια. Στην περίπτωσή μας, η γραμμή περιγράμματος θα είναι ο μεγάλος κύκλος της σφαίρας ΕΝΑ(ισημερινός).

Οι εικόνες των επιφανειών που δίνονται από την ορίζουσα δεν είναι πάντα οπτικές. Οι εικόνες των επιφανειών είναι πιο οπτικές με τη βοήθεια σκίτσων. Το περίγραμμα μιας επιφάνειας περιλαμβάνει σχεδόν πάντα την ορίζοντή της. Κατά την κατασκευή προβολών ενός σημείου που βρίσκεται σε μια επιφάνεια που απεικονίζεται από ένα σκίτσο, είναι απαραίτητο να επιλέξετε πρώτα τις προβολές της ορίζουσας και στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον ορίζοντα αλγόριθμο, να κατασκευάσετε τις προβολές του σημείου.

Στο σχ. 2.38 ΕΝΑη επιφάνεια ενός κεκλιμένου ελλειπτικού κυλίνδρου δίνεται από μια ορίζουσα και στο σχ. 2.38 σισκίτσο. Ένα οριζόντιο περίγραμμα είναι μια γραμμή που αποτελείται από τμήματα ευθειών γραμμών και καμπυλών. ; το μετωπικό περίγραμμα είναι παραλληλόγραμμο.

Οι γεννήτριες του οριζόντιου περιγράμματος και και οι γεννήτριες του μετωπικού περιγράμματος και δεν συμπίπτουν μεταξύ τους. Από τις προβολές του δοκιμίου μπορεί κανείς να ξεχωρίσει το γεωμετρικό μέρος της ορίζουσας, το οποίο θα αποτελείται από μια έλλειψη και κάποια γενετήσια, για παράδειγμα.

2.4.5. Επίπεδες προβολές. Ένα επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση μιας επιφάνειας. Επίπεδο Σ μπορεί να σχηματιστεί λόγω της κίνησης μιας ευθύγραμμης γεννήτριας μεγάλοπαράλληλη με τον εαυτό της, ενώ η γεννήτρια τέμνει όλα τα σημεία της γραμμής κατεύθυνσης ΕΝΑ(Εικ. 2.39). Η ορίζουσα επιπέδου σε αυτήν την περίπτωση έχει τη μορφή: Σ (ΕΝΑ, μεγάλο).

Είναι γνωστό από τη γεωμετρία ότι τα επίπεδα προσδιορίζονται πλήρως:

1) Τρεις τελείες ΕΝΑ, ΣΕΚαι ΜΕ, όχι σε μια ευθεία γραμμή (Εικ. 2.40, ΕΝΑ).

2) Ευθεία ΕΝΑκαι τελεία ΕΝΑέξω από αυτό (Εικ. 2.40, σι).

3) Δύο παράλληλες ευθείες ΕΝΑΚαι σι(Εικ. 2.40, V).

4) Δύο τεμνόμενες ευθείες ΕΝΑΚαι σι(Εικ. 2.40, σολ).

Καθορισμός επιπέδου με τεμνόμενες γραμμές ΕΝΑΚαι σι(Εικ. 2.40, σολ) μπορεί να θεωρηθεί ως ένας καθολικός τρόπος ορισμού ενός επιπέδου, αφού όλα τα άλλα μπορούν να αναχθούν σε αυτό. Έτσι, για παράδειγμα, εάν το επίπεδο δίνεται από τρεις πόντους ΕΝΑ, ΣΕΚαι ΜΕ(Εικ. 2.40, ΕΝΑ), στη συνέχεια συνδέοντας τις τελείες ΕΝΑΜε ΣΕΚαι ΣΕΜε ΜΕ, παίρνουμε τεμνόμενες γραμμές ΑΒΚαι ήλιος.

2.4.6. Τύποι αεροπλάνων ανάλογα με τη θέση τους στο διάστημα. Ανάλογα με τη θέση σε σχέση με τα επίπεδα προβολής, το επίπεδο μπορεί να χωριστεί σε τρεις τύπους:

1) αεροπλάνο γενική θέση - επίπεδα που δεν είναι παράλληλα και δεν είναι κάθετα στα επίπεδα προβολής.

2) αεροπλάνο προβάλλοντας - επίπεδα κάθετα σε οποιοδήποτε επίπεδο προβολής.

3) αεροπλάνο επίπεδο - επίπεδα παράλληλα προς ένα από τα επίπεδα προβολής και κάθετα στα άλλα δύο.

Εξετάστε μερικά από τα χαρακτηριστικά καθενός από τους αναφερόμενους τύπους αεροπλάνων.

Αεροπλάνα σε γενική θέση. Στο σχ. Εμφανίζονται 2,40 επίπεδα γενικής θέσης. Είναι χαρακτηριστικό για αυτά τα επίπεδα ότι τα στοιχεία που τα ορίζουν (σημεία, ευθείες κ.λπ.) δεν συγχωνεύονται σε ευθεία γραμμή σε καμία προβολή, δηλ. μην ξαπλώνετε στην ίδια γραμμή.

Στο σχ. 2,41 δεδομένο αεροπλάνο Σ () και μία προβολή Α2σημεία ΕΝΑπου ανήκει στο αεροπλάνο Σ . Θα το υποθέσουμε ΕΝΑ- οδηγός, σι- γεννήτρια του αεροπλάνου Σ . Έχοντας υπόψη ότι όλες οι γεννήτριες είναι παράλληλες μεταξύ τους και όλες τέμνονται με τον οδηγό, θα εκτελέσουμε τις ακόλουθες κατασκευές:

1) Μέσα από ένα σημείο Α2ας πραγματοποιήσουμε την προβολή της γεννήτριας m2║β 2και χτίστε ένα σημείο Κ 2διασταυρώσεις m2Με Α2(στάδιο 1).

2) Στη γραμμή επικοινωνίας και επάνω Α'1εύρημα Κ 1(στάδιο 2).

3) Μέσω Κ 1φέρει εις πέρας m 1║β 1(στάδιο 3).

4) Χρήση της γραμμής επικοινωνίας ενεργοποιημένη m 1εύρημα Α'1(στάδιο 4).

Σε αυτή την κατασκευή, η γεννήτρια m 1, ξαπλωμένος στο αεροπλάνο Σ , χτίστηκε σε σημείο και γνωστή κατεύθυνση. Ωστόσο, κατά την κατασκευή ενός σημείου που βρίσκεται σε ένα επίπεδο, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει όχι μόνο τη γεννήτρια που βρίσκεται στο επίπεδο. Στο σχ. 2.42 οριζόντια προβολή σημείου ΕΝΑκατασκευάστηκε χρησιμοποιώντας μια αυθαίρετη γραμμή. Παράλληλα πραγματοποιήθηκαν οι εξής κατασκευές:

1) Μέσα από μια δεδομένη προβολή Α2τραβήξτε μια αυθαίρετη γραμμή m2και λαμβάνοντας υπόψη αυτό Μβρίσκεται στο αεροπλάνο Σ (), σημειώστε τα σημεία τομής του Κ 2Και Μ 2Με Α2Και β 2(στάδιο 1).

2) Κτίριο Κ 1Και Μ 1επί Α'1Και β 1χρησιμοποιώντας γραμμές επικοινωνίας (στάδιο 2).

3) Συνδέστε Κ 1Και Μ 1και παρε m 1(στάδιο 3).

4) Ενεργό m 1με τη βοήθεια μιας γραμμής επικοινωνίας βρίσκουμε Α'1(στάδιο 4).

Προφανώς, Για να κατασκευάσετε ένα σημείο σε ένα επίπεδο, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια γραμμή σε αυτό το επίπεδο και στη συνέχεια να πάρετε ένα σημείο στη γραμμή. Εν Μια ευθεία βρίσκεται σε ένα επίπεδο εάν διέρχεται από δύο σημεία του επιπέδου.

Προβολικά αεροπλάνα.Υπάρχουν τρεις τύποι επιπέδων προβολής:

1) Οριζόντια προβολή , κάθετος Σ 1.

2) μπροστινή προβολή , κάθετος Σ 2.

3) Προβολή προφίλ , κάθετος Σ 3.

Όταν απεικονίζονται προβαλλόμενα επίπεδα, πρέπει να έχουμε κατά νου ότι η προβολή με το ίδιο όνομα ενός τέτοιου επιπέδου εκφυλίζεται πάντα σε ευθεία γραμμή, όπως δείχθηκε προηγουμένως. Αυτή η γραμμή ονομάζεται κύρια προβολή ή Επόμενο προεξέχον επίπεδο? αυτή η προβολή ονομάζεται επίσης εκφυλισμένος . Προκειμένου να διακριθεί το προεξέχον επίπεδο από μια ευθεία γραμμή, η κύρια προβολή του προεξέχοντος επιπέδου στο σχέδιο απεικονίζεται συχνά με ένα παχύ άκρο.

Στο σχ. 2.43, ΕΝΑεμφανίζεται μια οπτική εικόνα ενός αυθαίρετου οριζόντια προεξέχοντος επιπέδου Σ (ΕΝΑ║σι) και την κύρια προβολή του Σ 1. Ένα ολοκληρωμένο σχέδιο αυτού του επιπέδου φαίνεται στο Σχ. 2.43, σι. Όλα τα σημεία που βρίσκονται στο επίπεδο προβάλλονται στην κύρια προβολή του επιπέδου.

Μετωπικό επίπεδο προβολής Τ(Με ρε) φαίνεται στο Σχ. 2.44 ΕΝΑ, επίπεδο προβολής προφίλ σολ (μι φά) - στο σχ. 2.44 σικαι επίπεδο προβολής προφίλ R (ΕΝΑ ║ σι) - στο σχ. 2.44 V.

Λόγω της προβολικής ιδιότητας Τα επίπεδα αναφοράς μπορούν να οριστούν από μία από τις κύριες προβολές τους (στη συνέχεια, ένα εκφυλισμένο προβολή). Στο σχ. 2.45 ρυθμίζεται το μπροστινό προεξέχον επίπεδο Σ .

Είναι γνωστό από τη στερεομετρία ότι τα επίπεδα είναι κάθετα αν το ένα διέρχεται από κάθετο στο άλλο. Επομένως, σε κάθε επίπεδο προβολής, είναι δυνατή η κατασκευή μιας ομώνυμης γραμμής προβολής. Στο σχ. 2.43, σιστο αεροπλάνο Σ (ΕΝΑ║σι) κατασκευάζεται μια οριζόντια προεξέχουσα ευθεία Με. Στο σχ. 2.44 ΕΝΑστο αεροπλάνο Τ (Με ρε) κατασκευάζεται μια μετωπική προεξέχουσα ευθεία γραμμή φά .

Σε αεροπλάνα σολ (μι φά) (Εικ. 2.44, σι) Και R (ΕΝΑ ║ σι) (Εικ. 2.44, V) υπάρχουν γραμμές, κάθετες Σ 3. Επομένως, αυτά τα επίπεδα προβάλλουν προφίλ. Έτσι, τα επίπεδα προβολής προφίλ μπορούν να καθοριστούν μόνο με προβολές Σ 1Και Σ 2.

Το ερώτημα εάν ένα σημείο και μια ευθεία ανήκουν σε ένα προεξέχον επίπεδο λύνεται πιο απλά από ότι σε ένα επίπεδο σε γενική θέση. Η προβολή ενός σημείου ή μιας ευθείας βρίσκεται πάντα στην κύρια προβολή ενός επιπέδου που εκφυλίζεται σε ευθεία. Έτσι, στο Σχ. 2.46, ΕΝΑεμφανίζονται σημειακές προβολές ΕΝΑ, και στο σχ. 2.46 β -ευθεία ΕΝΑπου ανήκουν αντίστοιχα στο οριζόντια προεξέχον επίπεδο Σ και μπροστινό προεξέχον επίπεδο Τ.

Επίπεδα αεροπλάνα.Υπάρχουν τρεις τύποι επιπέδων επιπέδου:

1)Οριζόντιος επίπεδο, παράλληλο Σ 1και κάθετη Σ 2Και Σ 3.

2)Μετωπικός επίπεδο, παράλληλο Σ 2και κάθετη Σ 1Και Σ 3.

3)Προφίλ επίπεδο, παράλληλο Σ 3και κάθετη Σ 1Και Σ 2.

Τα επίπεδα επιπέδου μπορούν να κληθούν προβάλλοντας διπλά , αφού το καθένα από αυτά είναι κάθετο σε δύο επίπεδα προβολής.

Από την ιδιότητα προβολής προκύπτει ότι τα επίπεδα επιπέδου προβάλλονται σε γραμμές, το καθένα σε δύο επίπεδα προβολής. Στο σχ. Το 2.47 είναι μια οπτική αναπαράσταση του οριζόντιου επιπέδου επιπέδου Σ . χαρακτηριστικό στοιχείοσχέδια επιπέδων επιπέδων είναι ο παραλληλισμός της κύριας (εκφυλισμένης) προβολής του επιπέδου ενός από τους άξονες του σχεδίου. Στο σχ. 2.47 Σ ║ Σ 1Και Σ Σ 2, Σ Σ 3. Ας το αποδείξουμε Σ 2 ║ x 12.

Είναι γνωστό ότι Αν δύο παράλληλα επίπεδα τέμνονται από ένα τρίτο επίπεδο, τότε σχηματίζονται παράλληλες ευθείες. Κατά τη διέλευση Σ 2Και Σ 1σχηματίζεται ένας άξονας x 12. Κατά τη διέλευση Σ 2Με Σ σχηματίζεται η κύρια προβολή του Σ 2. Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι Σ 3 ║ 3.

οριζόντιο επίπεδο σολ (ΕΝΑ σι) φαίνεται στο Σχ. 2.48 ΕΝΑ, μετωπικό επίπεδο Τ (ΕΝΑ ║ σι) - στο σχ. 2.48 σι, επίπεδο προφίλ Ω (∆ ABC) - στο σχ. 2.48 V.

2.4.7. Παραδείγματα επίπτωσης . Εξετάστε πολλά προβλήματα σχετικά με την αμοιβαία ιδιοκτησία ενός σημείου και μιας ευθείας γραμμής.

1) Μέσα από ένα σημείο ΕΝΑσχεδιάστε ένα γενικό επίπεδο Σ (ΕΝΑ σι), Οπου ΕΝΑ ║ Σ 1Και σι ║ Σ 2(Εικ. 2.49, ΕΝΑ).

Λύση:μέσα από ένα σημείο ΕΝΑ(Α'1, Α2) πραγματοποιούμε οριζόντιες προβολές ΕΝΑ ║ Σ 1και μετωπικά σι ║ Σ 2. Είναι επίσης δυνατές και άλλες επιλογές. Ναι, μέσα από την τελεία ΕΝΑμπορεί κανείς να σχεδιάσει μια οριζόντια ή μετωπική και να την τέμνει με μια γραμμή σε γενική θέση. Είναι επίσης δυνατό μέσω της τελείας ΕΝΑσχεδιάστε δύο ευθείες γραμμές σε γενική θέση. Ωστόσο, σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να ελέγξετε για την απουσία γραμμών προβολής προφίλ στο προκύπτον επίπεδο, η παρουσία των οποίων υποδηλώνει τη λήψη ενός επιπέδου προβολής προφίλ.

2) Συμπληρώστε μια ευθεία γραμμή ΕΝΑ(Α'1, Α2) της γενικής θέσης στο οριζόντια προεξέχον επίπεδο Σ , θέτοντας το ως κύρια προβολή του Σ 1 (Εικ. 2.49, σι).

Λύση:πραγματοποιήστε την κύρια προβολή Σ 1 που συμπίπτει με την οριζόντια προβολή Α'1.

3) Κατασκευάστε μια οριζόντια προβολή μιας ευθείας γραμμής σισε γενική θέση που τέμνεται με ευθεία ΕΝΑώστε και οι δύο γραμμές να ανήκουν στο οριζόντια προεξέχον επίπεδο Τ(Εικ. 2.49, V).

Λύση:πραγματοποιήστε μια μετωπική προβολή μιας ευθείας γραμμής σιέτσι ώστε β 2δεν ήταν παράλληλη ή κάθετη x 12, και την οριζόντια προβολή β 1συνέπεσε με Α'1. Κύρια προβολή Τ 1επίπεδο Τσε αυτή την περίπτωση συμπίπτει με τις οριζόντιες προβολές των τεμνόμενων γραμμών ΕΝΑΚαι σι.

4) Διασχίστε τη γραμμή ΕΝΑάμεση ιδιωτική θέση ρεέτσι ώστε και οι δύο γραμμές να περικλείονται σε ένα οριζόντια προεξέχον επίπεδο σολ(Εικ. 2.49, σολ).

Λύση: απευθείας ΕΝΑτέμνει την οριζόντια προεξέχουσα γραμμή οπουδήποτε ρε. Κύρια προβολή Ζ 1οριζόντια προεξέχον επίπεδο σολσυμπίπτει με οριζόντιες προβολές Α'1Και δ1απευθείας.

5) Συμπληρώστε μια ευθεία γραμμή ΕΝΑστο επίπεδο προβολής προφίλ Ψ (Εικ. 2.50, ΕΝΑ).

Λύση:στην απλούστερη περίπτωση, τέμνουμε την ευθεία ΕΝΑγραμμή προβολής προφίλ σι Σ 3. Δύο τεμνόμενες γραμμές ΕΝΑΚαι σισχηματίζουν ένα επίπεδο προβολής προφίλ Ψ , γιατί αν σε ένα επίπεδο υπάρχει κάθετο σε άλλο επίπεδο, τότε αυτά τα επίπεδα είναι κάθετα μεταξύ τους.

6) Μέσω της τελείας ΕΝΑσχεδιάστε ένα οριζόντιο επίπεδο προβολής Σ (εικ.2.50, σι).

Λύση:μέσα από ένα σημείο Α'1αυθαίρετο, αλλά όχι κάθετο ή παράλληλο x 12πραγματοποιήστε την κύρια προβολή Σ 1επίπεδο Σ.

7) Μέσω της τελείας ΣΕσχεδιάστε ένα οριζόντιο επίπεδο επίπεδο Τ(Εικ. 2.50, V).

Λύση:μέσα από ένα σημείο ΣΤΙΣ 2πραγματοποιήστε την κύρια προβολή Τ 2επίπεδο Τπαράλληλο x 12.

2.4.8. Παραλληλισμός ευθείας και επιπέδου . Μια ευθεία είναι γνωστό ότι είναι παράλληλη σε ένα επίπεδο εάν είναι παράλληλη σε οποιαδήποτε ευθεία σε αυτό το επίπεδο. Ας, για παράδειγμα, μέσω του σημείου Μείναι απαραίτητο να γίνει μια άμεση ρεγενική θέση παράλληλη στο επίπεδο που δίνεται ως τρίγωνο - Σ (αλφάβητο) (Εικ. 2.51).

Λύση : στο αεροπλάνο Σ (αλφάβητο) σχεδιάζουμε μια αυθαίρετη ευθεία σε γενική θέση ED(Ε 1 Δ 1,Ε 2 Δ 2). Περαιτέρω μέσα από το σημείο Μ 1κάντε μια οριζόντια προβολή d 1 ║ E 1 D 1και μπροστινή προβολή d 2 ║E 2 D 2ευθεία ρε.

Αν μέσα από μια τελεία ΠΡΟΣ ΤΗΝπρέπει να είναι οριζόντια σιπαράλληλα με το επίπεδο Σ (ABC),τότε οι κατασκευές θα πρέπει να γίνουν με την ακόλουθη σειρά:

1) Κατασκευάζουμε μετωπική προβολή Α 2 Δ 2οριζόντιος ΕΝΑ Δπαράλληλη προς τον άξονα x 12.

2) Στη σύνδεση προβολής βρίσκουμε την οριζόντια προβολή Α 1 Δ 1.

3) Μέσα από σημεία Κ 1Και Κ 2κάνουν προβολές b 1 ║ A 1 D 1Και b 2 ║ A 2 D 2επιθυμητή οριζόντια σι. Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν είναι καθόλου απαραίτητο να χαράξουμε μια οριζόντια γραμμή μέσα από ένα σημείο ΕΝΑ, το οποίο συνιστούμε στον αναγνώστη να επαληθεύσει.

2.4.9. παράλληλα επίπεδα.Για να κατασκευάσουμε παράλληλα επίπεδα, χρησιμοποιούμε το πρόσημο της παραλληλότητάς τους, γνωστό από τη στερεομετρία: "Τα επίπεδα είναι παράλληλα αν δύο τεμνόμενες ευθείες ενός επιπέδου είναι αντίστοιχα παράλληλες σε δύο τεμνόμενες ευθείες του δεύτερου επιπέδου."

Αφήστε το να απαιτείται μέσω μιας τελείας ΠΡΟΣ ΤΗΝ(Εικ. 2.52) σχεδιάστε ένα επίπεδο Σ (ΕΝΑ σι) παράλληλα με το επίπεδο Τ (Με ρε). Για να λύσετε ένα πρόβλημα μέσα από ένα σημείο ΠΡΟΣ ΤΗΝφέρει εις πέρας ΕΝΑ ║ Μεέτσι ώστε Α'1║ από 1Και Α2║ από 2, Και σι ║ ρε, προς την β 1 ║ δ1Και β 2 ║ δ2.

Στο σχ. 2.53 το πρόβλημα εξετάζεται όταν είναι άμεσο ΕΝΑΚαι σιπερικλείουν σε ένα ζεύγος παράλληλων επιπέδων. Η συνθήκη του προβλήματος δίνεται στο σχ. 2.53, ΕΝΑ. Για να το λύσουμε, παίρνουμε ευθείες γραμμές ΕΝΑΚαι σιαυθαίρετα σημεία ΠΡΟΣ ΤΗΝΚαι Μ(Εικ. 2.53, σι). Περαιτέρω μέσα από το σημείο ΠΡΟΣ ΤΗΝτραβήξτε μια ευθεία γραμμή Με ║ σι, και μέσα από το σημείο Μαπευθείας ρε ║ ΕΝΑ. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε παράλληλα επίπεδα Σ (ΕΝΑ Με) Και Τ (σι ρε), επειδή δύο τεμνόμενες ευθείες ΕΝΑΚαι Μεεπίπεδο Σ είναι αντίστοιχα παράλληλες σε δύο τεμνόμενες ευθείες σιΚαι ρεεπίπεδο Τ.

2.4.10. Κατασκευή επίπεδων προβολών κατά την αντικατάσταση επιπέδων προβολής.Για να δημιουργηθούν προβολές του επιπέδου κατά την αντικατάσταση του επιπέδου προβολής, το επίπεδο πρέπει να ορίζεται από τρία σημεία. Κατά την κατασκευή, κάθε σημείο που ορίζει ένα επίπεδο μετασχηματίζεται παρόμοια με αυτό που εξετάστηκε προηγουμένως κατά την αντικατάσταση των επιπέδων προβολής. Στο σχ. Το 2.54 δείχνει τον μετασχηματισμό του επιπέδου με αυθαίρετη αντικατάσταση του επιπέδου προβολής Σ 2επί Σ 4.

Η πιο σύνθετη θέση ενός επιπέδου στο διάστημα είναι το γενικό επίπεδο, η απλούστερη είναι το προεξέχον επίπεδο και η απλούστερη είναι το επίπεδο επίπεδο. Κατά την επίλυση προβλημάτων, το επίπεδο συνήθως τοποθετείται από μια πιο σύνθετη θέση σε μια πιο απλή. Έτσι, μια σειρά μετασχηματισμών επιπέδου έχει τη μορφή: ένα γενικό επίπεδο → ένα προεξέχον επίπεδο → ένα επίπεδο επίπεδο.

Ας κάνουμε την πρώτη μεταμόρφωση. Αφήστε ένα επίπεδο να δοθεί σε γενική θέση Σ (αλφάβητο) (Εικ. 2.55), και πρέπει να μετατραπεί σε μπροστινή προβολή. Ένα προεξέχον επίπεδο περιέχει πάντα μια προεξέχουσα γραμμή. Οποιαδήποτε ευθεία γραμμή μπορεί να μετατραπεί σε προεξέχουσα αντικαθιστώντας τα επίπεδα προβολής: μια γραμμή γενικής θέσης - χρησιμοποιώντας δύο μετασχηματισμούς, μια γραμμή επιπέδου - χρησιμοποιώντας έναν μετασχηματισμό.

Για να λύσουμε το πρόβλημα, κάνουμε τον πρώτο μετασχηματισμό. Για αυτό:

1) Σε επίπεδο Σ (αλφάβητο) κατασκευάστε μια οριζόντια ΑΕ (Α 2 Ε 2, Α 1 Ε 1).

2) Βάζουμε ΑΕστη θέση προβολής με αντικατάσταση Σ 2επί Σ 4, και x 14 Α 1 Ε 1.

3) Προβάλετε το τρίγωνο σε νέο επίπεδο Σ 4. Ταυτόχρονα, στο σύστημα Σ 1–Σ 4τρίγωνο αλφάβητο- προβολή. Η νέα του μετωπική προβολή Α 4 Β 4 Γ 4αντιπροσωπεύει μια ευθεία γραμμή.

Ας κάνουμε τον δεύτερο μετασχηματισμό. Στο σύστημα Σ 1–Σ 4(Εικ. 2.53) Σ (αλφάβητο) είναι ένα μπροστινό προεξέχον επίπεδο και πρέπει να μετατραπεί σε επίπεδο επίπεδο. Οποιοδήποτε επίπεδο επίπεδο είναι παράλληλο σε ένα επίπεδο προβολής και κάθετο στα άλλα δύο. Σε αυτήν την περίπτωση Σ (αλφάβητο) Σ 4. Επομένως, αν αντικαταστήσουμε Σ 1επί Σ 5, βάζοντας Σ 5 ║ Σ (αλφάβητο), μετά στο σύστημα Σ 4–Σ 5επίπεδο Σ (αλφάβητο) γίνεται επίπεδο επίπεδο.

Ας κάνουμε κατασκευές. Για αυτό:

1) Ας σχεδιάσουμε έναν άξονα x 45 ║ Σ 4.

2) Στο σύστημα Σ 4–Σ 5κατασκευή προβολών σημείων Α 5, ΣΤΙΣ 5Και Από 5. Τριγωνική προβολή Α 5 Β 5 Γ 5αντιπροσωπεύει το φυσικό του μέγεθος, αφού το επίπεδο Σ (αλφάβητο) ║ Σ 5. Κατά τη μετατροπή ενός γενικού επιπέδου σε μια επίπεδη θέση, πραγματοποιήθηκαν δύο διαδοχικοί μετασχηματισμοί. Πρώτα, ένα επίπεδο προβολής αντικαταστάθηκε και μετά ένα άλλο.

2.4.11. Ταξινόμηση επιφανειών.Θα ταξινομήσουμε τις επιφάνειες σύμφωνα με δύο κριτήρια:

Με τη μορφή της γεννήτριας:

1) Τα επίπεδα, οι πολυεδρικές επιφάνειες και οι κυρτές καμπύλες επιφάνειες έχουν ευθύγραμμη γενετήσια διάταξη.

2) Καμπυλόγραμμη γεννήτρια, αμετάβλητη και μεταβαλλόμενη, - όλες οι άλλες καμπύλες επιφάνειες.

Σύμφωνα με την ικανότητα ανάπτυξης της επιφάνειας στο επίπεδο:

1) Με δυνατότητα ανάπτυξης.

2) Μη αναπτυσσόμενο.

Η ανάπτυξη είναι μια τέτοια ισομετρική παραμόρφωση της επιφάνειας, στην οποία μπορεί να συνδυαστεί με το επίπεδο.

Η ισομετρική παραμόρφωση της επιφάνειας ονομάζεται κάμψη. Κατά την κάμψη, τα γραμμικά τμήματα που βρίσκονται στην επιφάνεια δεν αλλάζουν το μήκος τους. Εάν μια επιφάνεια μπορεί να ευθυγραμμιστεί με ένα επίπεδο χωρίς ζάρες ή σπασίματα, τότε αυτό αναπτύξιμο . Οι περισσότερες επιφάνειες δεν είναι συμβατές με ένα επίπεδο χωρίς πτυχώσεις και σπασίματα και καλούνται μη αναπτυσσόμενο .

Αναπτύξιμες είναι πολυεδρικές επιφάνειες και μέρος των κυβερνημένων - κυλινδρικών, κωνικών και κορμού. Δεν χρειάζεται να μιλήσουμε για την ικανότητα ανάπτυξης του αεροπλάνου - μπορεί να συνδυαστεί με οποιοδήποτε αεροπλάνο.

Εξετάστε τα χαρακτηριστικά της κατασκευής εικόνων ορισμένων τύπων επιφανειών.

2.4.12. Πολυεδρικές επιφάνειες και πολύεδρα . Θεωρείται ότι είναι , Τι Μια πολυεδρική επιφάνεια είναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται από μέρη (κατά διαμερίσματα) τεμνόμενα επίπεδα.

Η επιφάνεια μιας πολυεδρικής γωνίας είναι μια επιφάνεια της οποίας οι ακμές και οι όψεις τέμνονται σε ένα σημείο.(μπλουζα) . Εάν τέμνετε την επιφάνεια μιας πολυεδρικής γωνίας με ένα επίπεδο, τότε σχηματίζεται ένα γεωμετρικό σχήμα - πυραμίδα.

Η επιφάνεια μιας πολυεδρικής γωνίας μπορεί να ληφθεί μετακινώντας μια γεννήτρια που διέρχεται πάντα από την κορυφή της γωνίας και ταυτόχρονα ολισθαίνει κατά μήκος του καθοδηγητικού πολυγώνου.

Αν η κορυφή μιας πολυεδρικής γωνίας φτάσει στο άπειρο, τότε οι ακμές της επιφάνειας γίνονται παράλληλες και πρισματική επιφάνεια .

Εάν περιορίσουμε την πρισματική επιφάνεια σε δύο παράλληλες επίπεδες βάσεις, τότε σχηματίζεται ένα γεωμετρικό σχήμα - πρίσμα .

Ένας προσδιοριστής πολυεδρικής επιφάνειας περιλαμβάνει ένα πολύγωνο οδηγό, μια κορυφή για μια πολυεδρική γωνία και κάποια άκρη για μια πρισματική επιφάνεια.

Στο σχ. Το 2.56 δείχνει την επιφάνεια μιας πολυεδρικής γωνίας φά (Α Β Γ Δ, μικρό) σε χωρική εικόνα με καθοδηγητικό τετράπλευρο Α Β Γ Δκαι κορυφή μικρό. Στο σχ. 2.56 ΕΝΑδίνεται η ορίζουσα της επιφάνειας. Στο σχ. 2.56 σικατασκευάζεται πλαίσιο επιφανείας.

+

Στο σχ. 2.57 ΕΝΑφαίνεται πρισματική επιφάνεια φά (αλφάβητο, μεγάλο) σε χωρική εικόνα με οδηγό τρίγωνο αλφάβητοκαι δημιουργώντας μεγάλο; στο σχ. 2.57 σιπαρουσιάζεται το πρίσμα.

Ο καθοριστικός παράγοντας μιας πυραμίδας μπορεί να είναι η βάση και η κορυφή της. Ο καθοριστικός παράγοντας ενός πρίσματος είναι η βάση του και η μία πλευρική ακμή ή η μία κορυφή της άλλης βάσης.

Όταν απεικονίζουν τα πολύεδρα, προσπαθούν να τα τακτοποιήσουν έτσι ώστε στις προεξοχές να προβάλλονται όσο το δυνατόν περισσότερο χωρίς παραμόρφωση ή με τη μικρότερη παραμόρφωση οι άκρες και οι όψεις τους.

Από όλη την ποικιλία των πολυεδρικών επιφανειών, για παράδειγμα, εξετάστε την ακολουθία κατασκευής μόνο κανονικών τριεδρικών ευθύγραμμων πρισμάτων και πυραμίδων.

Ευθύ τρίεδρο κανονικό πρίσμα.Στο σχ. 2.58 ΕΝΑδεδομένης της γραφικής αποστολής του πρίσματος φά (αλφάβητο, ) από την ορίζουσα του. Για να λάβετε ένα σύνθετο σχέδιο ενός πρίσματος (Εικ. 2.58, σι), είναι απαραίτητο να συμπληρώσετε δύο οριζόντια προεξέχοντα άκρα ΣΕΚαι ΜΕκαι τρεις οριζόντιες άκρες της άνω βάσης και .

Ας αναλύσουμε τα στοιχεία της πλευρικής επιφάνειας του πρίσματος.

Οι πλευρικές νευρώσεις προβάλλουν οριζόντια ευθείες γραμμές. Οι άκρες των βάσεων είναι οριζόντιες, εκ των οποίων οι ακμές ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝκαι - ευθείες γραμμές που προβάλλουν προφίλ.

Οι πλευρικές όψεις είναι οριζόντια προεξέχοντα επίπεδα, εκ των οποίων η όψη είναι το μετωπικό επίπεδο. Οι βάσεις είναι οριζόντια επίπεδα. Σε μια οριζόντια προβολή προβάλλονται σε πλήρες μέγεθος και οι δύο βάσεις και οι άκρες τους. Στην μετωπική προβολή, τα πλαϊνά άκρα και η πίσω μπροστινή όψη προβάλλονται σε πλήρες μέγεθος.

Εξετάστε παραδείγματα επίπτωσης. Αφήστε την προβολή Κ 2σημεία ΠΡΟΣ ΤΗΝ. Εύρημα Κ 1, υποθέτοντας ότι το σημείο βρίσκεται στην ορατή όψη του πρίσματος (Εικ. 2.58, σι).

Στην μετωπική προβολή, τα πρόσωπα και είναι ορατά, το πρόσωπο δεν φαίνεται. Ως εκ τούτου, θεωρούμε ότι το σημείο ΠΡΟΣ ΤΗΝβρίσκεται στο ορατό πρόσωπο και η οριζόντια προβολή του Κ 1πέφτει στην εκφυλισμένη προβολή του προσώπου (το προεξέχον ίχνος του προσώπου).

Αφήστε την προβολή Μ 1σημεία Μ. Εύρημα Μ 2, υποθέτοντας ότι το σημείο βρίσκεται στη φαινομενική βάση του πρίσματος.

Τα εφαπτομενικά επίπεδα χρησιμοποιούνται ευρέως για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων θέσης στην επιφάνεια.

1. Η κατασκευή εφαπτόμενων επιπέδων σε επιφάνειες είναι η βάση της θεωρίας των σκιών. Κατά την κατασκευή σκιών, τα εφαπτόμενα επίπεδα στις επιφάνειες κατασκευάζονται είτε περνώντας από ένα σημείο που βρίσκεται στην επιφάνεια είτε παράλληλα σε μια δεδομένη κατεύθυνση.

2. Τα επίπεδα που εφάπτονται στις επιφάνειες του κώνου και του κυλίνδρου, παράλληλα προς μια δεδομένη διεύθυνση, χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό της γραμμής τομής αυτών των σωμάτων με το επίπεδο της γενικής θέσης, πλησιέστερα και απομακρυσμένα από τα επίπεδα προβολών των σημείων του καμπύλη, χωρίς να κατασκευάζονται αυτές οι καμπύλες (βλ. Bubennshchiv § 68).

3. Τα εφαπτομενικά επίπεδα χρησιμοποιούνται στην κατασκευή συνεχόμενων υπερβολοειδών περιστροφής μιας λωρίδας στη σχεδίαση υπερβολικών γραναζιών. Σε γρανάζια με σταυρωτούς άξονες. (βλ. Ντέφια § 68)

4. Τα εφαπτομενικά επίπεδα χρησιμοποιούνται και στην κατασκευή των περιγραμμάτων των επιφανειών (περιγράμματα).

Ας εξετάσουμε αυτό το πρόβλημα με περισσότερες λεπτομέρειες.

Όπως γνωρίζετε, το περίγραμμα της επιφάνειας (σώματος) λαμβάνεται ως προβολή της γραμμής περιγράμματος στο πίσω επίπεδο προβολής (για παράδειγμα, P 1) (βλ. Εικ. 7.5). Θυμηθείτε ότι η γραμμή περιγράμματος είναι η γραμμή κατά μήκος της οποίας το σύνολο των επιπέδων P, κάθετα στο επίπεδο P 1, αγγίζει το δεδομένο σώμα T (Εικ. 10.13). Το περίβλημα αυτής της οικογένειας εφαπτομένων επιπέδων θα είναι κάποια κυλινδρική επιφάνεια ακτίνων Ф, επίσης κάθετη στο П 1 .

Εικόνα 10.13

Η γραμμή περιγράμματος m χωρίζει το σώμα σε δύο μέρη, ένα από τα οποία είναι ορατό επάνω δεδομένο αεροπλάνοπροβολές P 1 , και το άλλο αόρατο. Σε οποιοδήποτε σημείο της γραμμής του περιγράμματος, και οι δύο επιφάνειες - το σώμα και η κυλινδρική ακτίνα - έχουν ένα κοινό εφαπτόμενο επίπεδο P. Η γραμμή τομής m 1 της κυλινδρικής επιφάνειας ακτίνων Ф με το επίπεδο P 1 και είναι περίγραμμα σώματος. Αν υποθέσουμε ότι η επιφάνεια της κυλινδρικής ακτίνας αποτελείται από ακτίνες φωτός που αγγίζουν ένα αδιαφανές σώμα, τότε το περίγραμμα του σώματος είναι μια γραμμή που περιορίζει τη σκιά του σώματος στο επίπεδο P 1. Αυτή η γραμμή στα επίπεδα προβολής ονομάζεται επίσης γραμμή της όρασης.

Το σχήμα 10.13 δείχνει ότι το περίγραμμα της σφαίρας του επιπέδου P 1 θα είναι η προβολή του ισημερινού m (m 1), που προβάλλεται στο επίπεδο P 2 με τη μορφή μιας ευθείας γραμμής παράλληλης προς τον άξονα OX. Το περίγραμμα της μπάλας στο επίπεδο P 2 θα είναι η προβολή του κύριου μεσημβρινού της.

Στο σχήμα 10.14 θα υπάρχει ένα ορθογώνιο (κύριος μεσημβρινός). Το περίγραμμα στο επίπεδο P 1 προσδιορίζεται από δύο επίπεδα εφαπτομενικής ακτίνας κάθετα στο επίπεδο P 1 . Αυτά τα επίπεδα αγγίζουν τον κύλινδρο κατά μήκος των δύο ακραίων γενεσιουργών AB και CD, οι προεξοχές των οποίων στο επίπεδο P 2 συμπίπτουν. Οι οριζόντιες προεξοχές A 1 B 1 και C 1 D 1 μαζί με τις εξωτερικές επιφάνειες (προεξοχές των κύκλων των βάσεων) καθορίζουν το περίγραμμα του κυλίνδρου στο επίπεδο P 1 .

Εικόνα 10.14

Στη γενική περίπτωση, για να κατασκευάσετε ένα περίγραμμα ενός σώματος στο επίπεδο P 1, πρέπει πρώτα να κατασκευάσετε μια προβολή της γραμμής περιγράμματος στο επίπεδο P 2, κατά μήκος της οποίας το σώμα είναι τυλιγμένο από μια κυλινδρική επιφάνεια ακτίνων και στη συνέχεια να το προβάλετε στο επίπεδο P 1.

Η κατασκευή μιας γραμμής περιγράμματος είναι πιο εύκολο να εφαρμοστεί χρησιμοποιώντας εγγεγραμμένες σφαίρες.

Παράδειγμα 8. Κατασκευάστε σε οριζόντια προβολή ένα περίγραμμα ενός κώνου του οποίου ο άξονας i είναι παράλληλος στο επίπεδο P 2 και κεκλιμένος στο επίπεδο P 1. (Εικ. 10.15)

Λύση. Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι το περίγραμμα του κώνου στο επίπεδο P 2, που περιορίζεται από τον κύριο μεσημβρινό m, καθορίζει πλήρως το σχήμα της επιφάνειας του κώνου.

Εικόνα 10.15

Και για να φτιάξουμε ένα οριζόντιο περίγραμμα από οποιοδήποτε σημείο C (C 2) που βρίσκεται στον άξονα i, σχεδιάζουμε μια σφαίρα που αγγίζει τον κώνο κατά μήκος του κύκλου k (k 2). Η μετωπική του προβολή είναι ευθεία γραμμή κάθετη στον άξονα (i 2), ως ομοαξονικά σώματα.

Σχεδιάζουμε τον ισημερινό q 2 μέσα από το κέντρο της σφαίρας και βρίσκουμε το σημείο A 2 την τομή του με τον κύκλο k 2 . Συνδέοντας τα σημεία S 2 και A 2 παίρνουμε τη γραμμή περιγράμματος. Προβάλλοντας το σημείο A 2 στην οριζόντια προβολή του ισημερινού, παίρνουμε δύο σημεία Α'1, που μαζί με την κορυφή S1και ορίστε το οριζόντιο περίγραμμα του περιγράμματος n 1 . Σημειώστε ότι η μετωπική προβολή n 2 του οριζόντιου περιγράμματος δεν συμπίπτει με την προβολή του άξονα i 2 .

Παράδειγμα 9. Χτίστε σε μια οριζόντια προβολή P 1 Σκίτσο των λεπτομερειών της περιστροφής, ο άξονας I της οποίας είναι παράλληλος στο επίπεδο P 2 και κεκλιμένος στο επίπεδο Σ 1. Η επιφάνεια του τμήματος αποτελείται από έναν κώνο περιστροφής (S, k) και έναν δακτύλιο, η γεννήτρια του οποίου είναι ένα τόξο κύκλου με ακτίνα Rμε κέντρο σε ένα σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ. (Εικ. 10.16)

Εικόνα 10.16

Λύση:

1. Το περίγραμμα της μετωπικής προβολής - αυτός είναι ο κύριος μεσημβρινός - καθορίζει πλήρως το σχήμα του τμήματος.

2. Το περίγραμμα της οριζόντιας προβολής αποτελείται από την έλλειψη της άνω βάσης, τη χωρική καμπύλη και το περίγραμμα του κώνου.

3. Χτίζουμε μια έλλειψη κατά μήκος δύο αξόνων - έναν μικρό 1 1 2 1 και έναν μεγάλο 1 2 2 2 .

4. Κατασκευάζουμε το περίγραμμα του κώνου σύμφωνα με το παράδειγμα 8 (Εικ. 10.15).

6. Για να κατασκευάσουμε μια γραμμή περιγράμματος στην επιφάνεια του δακτύλου, εγγράφουμε μια σειρά από σφαίρες σε αυτόν. Τα κέντρα των σφαιρών C 2 βρίσκονται στα σημεία τομής του άξονα περιστροφής i 2 με την ακτίνα R που σύρεται από το σημείο O 2 προς τον μεσημβρινό. Οι σφαίρες αγγίζουν τον δακτύλιο κατά μήκος των παραλλήλων k 2 .

7. Τα επίπεδα που εφάπτονται στον τόρο εφάπτονται και στις βοηθητικές σφαίρες στα σημεία Α 2 της τομής των ισημερινών q2σφαίρες με παράλληλους k 2 .

8. Οριζόντιες προβολές Ένα 1 από αυτά τα σημεία προσδιορίζονται στη διασταύρωση των γραμμών επικοινωνίας με την οριζόντια προβολή του ισημερινού q1.

9. Ένας αριθμός σημείων εντοπίζεται από παρόμοιες κατασκευές (για παράδειγμα, Β 2). Το σύνολο των σημείων σχηματίζει μια καμπύλη χώρου περιγράμματος l 2 .

10. Η οριζόντια προβολή l 1 θα δώσει το περίγραμμα του τόρου.

11. Άρα, το περίγραμμα της λεπτομέρειας είναι μια σύνθετη επίπεδη καμπύλη από τα περιγράμματα του περιγράμματος n 1, του torus l 1 και της έλλειψης.

Κάθε επιφάνεια μιας από τις πλευρές της μπορεί να κατευθυνθεί προς τον παρατηρητή και τότε αυτή η πλευρά θα είναι ορατή. Διαφορετικά, η πλευρά της επιφάνειας δεν θα είναι ορατή από την οπτική γωνία. Μπορεί να συμβεί ότι μόνο ένα μέρος της πλευράς της επιφάνειας είναι ορατό. Σε αυτή την περίπτωση, μπορεί να σχεδιαστεί μια γραμμή στην επιφάνεια που χωρίζει τις ορατές και αόρατες καθαρές επιφάνειες. Μια γραμμή σκίτσων είναι μια γραμμή σε μια επιφάνεια που χωρίζει το ορατό μέρος της επιφάνειας ή του προσώπου από το αόρατο μέρος της.

Ρύζι. 9.5.1. Επιφανειακές Προβολές Γραμμής Σκίτσου

Ρύζι. 9.5.2. Προβολές πλέγματος πολυγώνων και γραμμών περιγράμματος

Στο σχ. Το 9.5.1 δείχνει τις γραμμές του περιγράμματος της επιφάνειας. Στο σχ. Το 9.5.2 δείχνει τις γραμμές περιγράμματος μαζί με το επιφανειακό πλέγμα.

Κατά τη διέλευση της γραμμής του περιγράμματος, η κανονική επιφάνεια αλλάζει κατεύθυνση σε σχέση με τη γραμμή όρασης. Στα σημεία της γραμμής περιγράμματος, η κανονική επιφάνεια είναι ορθογώνια ως προς τη γραμμή όρασης. Στη γενική περίπτωση, μπορεί να υπάρχουν πολλές γραμμές περιγράμματος κοντά στην επιφάνεια. Κάθε γραμμή του περιγράμματος είναι μια χωρική καμπύλη. Είτε είναι κλειστό είτε καταλήγει στις άκρες της επιφάνειας. Για διαφορετικές κατευθύνσεις θέασης, υπάρχει ένα σύνολο γραμμών περιγράμματος, επομένως, όταν η επιφάνεια περιστρέφεται, οι γραμμές περιγράμματος πρέπει να χτιστούν εκ νέου.

παράλληλες προβολές.

Για ορισμένες επιφάνειες, για παράδειγμα, μια σφαίρα, ένας κύλινδρος, ένας κώνος, οι γραμμές περιγράμματος κατασκευάζονται πολύ απλά. Ας εξετάσουμε τη γενική περίπτωση κατασκευής γραμμών του περιγράμματος μιας επιφάνειας.

Έστω ότι απαιτείται να βρεθούν οι γραμμές περιγράμματος της επιφάνειας που περιγράφονται από το διάνυσμα ακτίνας Κάθε σημείο της γραμμής περιγράμματος για παράλληλη προβολή στο επίπεδο (9.2.1) πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση

όπου είναι η κάθετη προς την επιφάνεια για την οποία κατασκευάζεται η σκιαγραφική γραμμή. Για μια επιφάνεια που περιγράφεται από το διάνυσμα ακτίνας, η κανονική είναι επίσης συνάρτηση των παραμέτρων και . Η βαθμωτή εξίσωση (9.5.1) περιέχει δύο απαιτούμενες παραμέτρους u, v. Εάν ορίσετε μία από τις παραμέτρους, τότε η άλλη μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση (9.5.1), δηλαδή η μία από τις παραμέτρους είναι συνάρτηση της άλλης. Για ισότητα παραμέτρων, μπορούν να αναπαρασταθούν ως συναρτήσεις κάποιας κοινής παραμέτρου

Το αποτέλεσμα της επίλυσης της εξίσωσης (9.5.1) είναι μια δισδιάστατη γραμμή

στην επιφάνεια Αυτή η γραμμή είναι το περίγραμμα της επιφάνειας.

Θα κατασκευάσουμε μια σκιαγραφική γραμμή από ένα διατεταγμένο σύνολο σημείων που ικανοποιούν την εξίσωση (9.5.1). Με τον όρο σημεία εννοούμε ένα ζεύγος επιφανειακών παραμέτρων, που είναι οι συντεταγμένες δισδιάστατων σημείων στο παραμετρικό επίπεδο. Έχοντας ξεχωριστά σημεία της γραμμής περιγράμματος, που βρίσκονται στη σειρά τους και σε μια ορισμένη απόσταση μεταξύ τους, είναι πάντα δυνατό να βρεθεί οποιοδήποτε άλλο σημείο της γραμμής. Για παράδειγμα, για να βρούμε ένα σημείο που βρίσκεται μεταξύ δύο δεδομένων γειτονικών σημείων της γραμμής περιγράμματος, σχεδιάζουμε ένα επίπεδο κάθετο στο τμήμα που συνδέει γειτονικά σημεία και βρίσκουμε ένα κοινό σημείο για την επιφάνεια και το επίπεδο λύνοντας τρεις βαθμωτές εξισώσεις τομής μαζί με εξίσωση ( 9.5.1). Η θέση του επιπέδου στο τμήμα μπορεί να οριστεί από την παράμετρο γραμμής. Από τα ακραία σημεία του τμήματος, προσδιορίζεται η μηδενική προσέγγιση για το επιθυμητό σημείο. Έτσι, το σύνολο των επιμέρους δισδιάστατων σημείων της γραμμής περιγράμματος επιφάνειας χρησιμεύει ως μηδενική προσέγγιση αυτής της γραμμής, με την οποία μία από τις αριθμητικές μεθόδους μπορεί πάντα να βρει την ακριβή θέση του σημείου. Ο αλγόριθμος για την κατασκευή γραμμών περιγράμματος επιφάνειας μπορεί να χωριστεί σε δύο στάδια.

Στο πρώτο στάδιο, βρίσκουμε τουλάχιστον ένα σημείο σε κάθε γραμμή του σκίτσου. Για να γίνει αυτό, περπατώντας κατά μήκος της επιφάνειας και εξετάζοντας το πρόσημο του βαθμωτού γινομένου σε γειτονικά σημεία, βρίσκουμε ζεύγη σημείων στην επιφάνεια στα οποία αλλάζει το πρόσημο. Λαμβάνοντας ως μηδενική προσέγγιση τις μέσες τιμές των παραμέτρων αυτών των σημείων, μία από τις αριθμητικές μεθόδους θα βρει τις παραμέτρους του σημείου της γραμμής περιγράμματος. Ας, για παράδειγμα, όταν μετακινούμαστε από ένα σημείο σε ένα σημείο κοντά του, να αλλάξουμε πρόσημο. Στη συνέχεια, ρύθμιση με τη βοήθεια της επαναληπτικής διαδικασίας της μεθόδου του Νεύτωνα

ή επαναληπτική διαδικασία

βρείτε τις παραμέτρους ενός από τα σημεία της γραμμής περιγράμματος. Τα παράγωγα του κανονικού προσδιορίζονται από τους τύπους Weingarten (1.7.26), (1.7.28). Με αυτόν τον τρόπο, παίρνουμε ένα σύνολο σημείων για τις γραμμές περιγράμματος. Τα σημεία από το σύνολο που λήφθηκαν στο πρώτο στάδιο δεν σχετίζονται μεταξύ τους με κανέναν τρόπο και μπορεί να ανήκουν σε διαφορετικές γραμμές περιγράμματος. Είναι σημαντικό μόνο να υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο από κάθε γραμμή περιγράμματος του σετ.

Στο δεύτερο στάδιο, παίρνουμε οποιοδήποτε σημείο από το υπάρχον σύνολο και, κινούμενοι από αυτό με κάποιο βήμα, πρώτα προς τη μία κατεύθυνση και μετά στην άλλη, βρίσκουμε σημείο προς σημείο το επιθυμητό σύνολο σημείων της γραμμής περιγράμματος. Η κατεύθυνση της κίνησης δίνει το διάνυσμα

όπου - μερικές παράγωγοι των κανονικών - μερικών παραγώγων του διανύσματος ακτίνας της επιφάνειας ως προς τις παραμέτρους .

Το πρόσημο μπροστά από τον όρο συμπίπτει με το πρόσημο του βαθμωτού γινομένου Το βήμα κίνησης υπολογίζεται σύμφωνα με τις καμπυλότητες των επιφανειών στο τρέχον σημείο κατά τύπο (9.4.7) ή με τύπο (9.4.8). Αν

τότε με τον τύπο (9.4.7) δίνουμε μια αύξηση στην παράμετρο u και με τον τύπο (9.5.4) βρίσκουμε την παράμετρο v της επιφάνειας που της αντιστοιχεί. Διαφορετικά, με τον τύπο (9.4.8) θα δώσουμε μια αύξηση στην παράμετρο και και με τον τύπο (9.5.5) θα βρούμε την παράμετρο που αντιστοιχεί σε αυτήν και την επιφάνεια. Θα ολοκληρώσουμε την κίνηση κατά μήκος της καμπύλης όταν φτάσουμε στην άκρη μιας από τις επιφάνειες ή όταν η γραμμή κλείσει (το νέο σημείο θα βρίσκεται στην απόσταση του τρέχοντος βήματος από το σημείο εκκίνησης).

Κατά τη διαδικασία της κίνησης, θα ελέγξουμε εάν τα σημεία από το σετ που λήφθηκαν στο πρώτο στάδιο βρίσκονται κοντά στη διαδρομή. Για να γίνει αυτό, κατά μήκος της διαδρομής, θα υπολογίσουμε την απόσταση από το τρέχον σημείο της καμπύλης περιγράμματος σε κάθε σημείο από το σύνολο που λήφθηκε στο πρώτο στάδιο. Εάν η υπολογισμένη απόσταση σε οποιοδήποτε σημείο του σετ είναι ανάλογη με το τρέχον βήμα κίνησης, τότε αυτό το σημείο θα αφαιρεθεί από το σετ ως πιο περιττό. Έτσι παίρνουμε ένα σύνολο μεμονωμένων σημείων μιας γραμμής του δοκιμίου. Σε αυτήν την περίπτωση, το σύνολο σημείων που λήφθηκε στο πρώτο στάδιο δεν θα περιέχει σημεία αυτής της γραμμής. Εάν απομένουν περισσότερα σημεία στο σετ, τότε η δεδομένη επιφάνεια έχει τουλάχιστον μία ακόμη γραμμή περιγράμματος.

Ρύζι. 9.5.3. γραμμές περιγράμματος σώματος

Ρύζι. 9.5.4. Σώμα περιστροφής

Βρίσκουμε το σύνολο των σημείων του παίρνοντας οποιοδήποτε σημείο από το σύνολο και επαναλαμβάνοντας το δεύτερο στάδιο κατασκευής. Θα ολοκληρώσουμε την κατασκευή των γραμμών όταν δεν έχει μείνει ούτε ένα σημείο στο σετ. Χρησιμοποιώντας την περιγραφόμενη μέθοδο, θα κατασκευάσουμε τις γραμμές περιγράμματος όλων των όψεων του μοντέλου.

Οι γραμμές περιγράμματος των προσώπων είναι οι γραμμές περιγράμματος των επιφανειών τους. Η γραμμή του περιγράμματος του σώματος θα είναι ορατή εάν δεν καλύπτεται από πρόσωπο που βρίσκεται πιο κοντά στην οπτική γωνία. Στο σχ. Το 9.5.3 δείχνει τη γραμμή περιγράμματος του σώματος περιστροφής που φαίνεται στο σχ. 9.5.4. Η προβολή της γραμμής περιγράμματος μπορεί να έχει σπασίματα και ακμές, αλλά η ίδια η γραμμή περιγράμματος είναι ομαλή.

Σημεία διακοπής στην προβολή εμφανίζονται όπου η εφαπτομένη του περιγράμματος είναι συγγραμμική με το διάνυσμα

Για να κατασκευάσουμε την προβολή της γραμμής περιγράμματος, θα κατασκευάσουμε το πολύγωνό της, η προβολή του οποίου θα ληφθεί ως προβολή της γραμμής περιγράμματος.

κεντρικές προβολές.

Οι γραμμές περιγράμματος στις κεντρικές προβολές ικανοποιούν την εξίσωση

(9.5.7)

όπου - επιφάνεια κανονική - ακτίνα-διάνυσμα του σημείου παρατήρησης. Η γραμμή περιγράμματος για την κεντρική προβολή διαφέρει από τη γραμμή περιγράμματος για την παράλληλη προβολή, αν και οι αλγόριθμοι για την κατασκευή τους είναι παρόμοιοι. Αντί για σταθερό διάνυσμα στο (9.5.7) υπάρχει ένα διάνυσμα του οποίου η διεύθυνση εξαρτάται από το προβαλλόμενο σημείο. Η σκιαγραφική γραμμή για την κεντρική προβολή αντιπροσωπεύει επίσης μια ορισμένη καμπύλη στην επιφάνεια, που περιγράφεται από τις εξαρτήσεις (9.5.3) και είναι μια χωρική καμπύλη. Αυτή η γραμμή πρέπει να προβάλλεται στο επίπεδο σύμφωνα με τους κανόνες για την κατασκευή της κεντρικής προβολής μιας χωρικής γραμμής.

Στο σχ. Το 9.5.5 δείχνει μια παράλληλη προβολή των γραμμών περιγράμματος του δακτύλου, και στο σχ. Στο 9.5.6 για σύγκριση, φαίνεται η κεντρική προβολή των γραμμών περιγράμματος του κορμού. Όπως μπορείτε να δείτε, αυτές οι προβολές είναι διαφορετικές.

Ρύζι. 9.5.5. Παράλληλη προβολή γραμμών περιγράμματος του τόρου

Ρύζι. 9.5.6. Κεντρική προβολή γραμμών περιγράμματος του τόρου

Ο αλγόριθμος για την κατασκευή γραμμών περιγράμματος για την κεντρική προβολή μιας επιφάνειας που περιγράφεται από ένα διάνυσμα ακτίνας διαφέρει από τον αλγόριθμο για την κατασκευή γραμμών περιγράμματος για παράλληλη προβολή αυτής της επιφάνειας στο ότι στο πρώτο στάδιο θα αναζητήσουμε σημεία επιφάνειας στα οποία το βαθμωτό γινόμενο αλλάζει σημάδι. Για να προσδιορίσετε αυτά τα σημεία, αντί για τους τύπους (9.5.4) και (9.5.5), θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους τύπους

και φόρμουλες

αντίστοιχα. Διαφορετικά, ο αλγόριθμος για την κατασκευή γραμμών περιγράμματος για την προβολή της κεντρικής επιφάνειας δεν διαφέρει από τον αλγόριθμο για την κατασκευή γραμμών περιγράμματος για παράλληλη προβολή.

Στο σχ. Το 354 δείχνει έναν ευθύ κυκλικό κώνο, ο άξονας του οποίου είναι παράλληλος στο τετράγωνο. π 2 και κλίση προς το τετράγωνο. π 1 Δίνεται το περίγραμμα της μετωπικής του προβολής: είναι ισοσκελές τρίγωνο S"D"E. Απαιτείται να κατασκευαστεί περίγραμμα της οριζόντιας προβολής.

Το επιθυμητό περίγραμμα αποτελείται από ένα τμήμα μιας έλλειψης και δύο ευθείες γραμμές που εφάπτονται σε αυτό. Πράγματι, ο κώνος στη δεδομένη θέση του προβάλλεται στο τετράγωνο. π 1 χρησιμοποιώντας την επιφάνεια ενός ελλειπτικού κυλίνδρου, οι γεννήτριες του οποίου διέρχονται από τα σημεία της περιφέρειας της βάσης του κώνου και χρησιμοποιώντας δύο επίπεδα εφαπτομένα στην επιφάνεια του κώνου.

Μια έλλειψη σε μια οριζόντια προβολή μπορεί να κατασκευαστεί κατά μήκος των δύο αξόνων της: ένα μικρό D "E" και ένα μεγάλο, ίσο σε μέγεθος με το D "E" (η διάμετρος της περιφέρειας της βάσης του κώνου). Οι ευθείες S "B" και S "F" λαμβάνονται με τη σχεδίαση εφαπτομένων στην έλλειψη από το σημείο S ". Η κατασκευή αυτών των γραμμών συνίσταται στην εύρεση των προεξοχών εκείνων των γεννητριών του κώνου κατά μήκος των οποίων ο κώνος και τα επίπεδα που αναφέρονται παραπάνω Για αυτό, μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε κώνο Δεδομένου ότι το επίπεδο που προεξέχει στο π 1 αγγίζει ταυτόχρονα τον κώνο και τη σφαίρα, είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη από το σημείο S στον κύκλο - την προβολή του ισημερινού του σφαίρα - και πάρτε αυτήν την εφαπτομένη ως την προβολή της επιθυμητής γεννήτριας. Η κατασκευή μπορεί να ξεκινήσει βρίσκοντας το σημείο Α "- την μετωπική προβολή ενός από τα σημεία της επιθυμητής γεννήτριας. Το σημείο Α" προκύπτει στη διασταύρωση των μετωπικών προεξοχών: 1) ο κύκλος επαφής μεταξύ του κώνου και της σφαίρας ( γραμμή Μ "Ν") και 2) τον ισημερινό της σφαίρας (γραμμή Κ "Λ"). Τώρα μπορείτε να βρείτε την προβολή Α "στην οριζόντια προβολή του ισημερινού και μέσω των σημείων S" και Α "σχεδιάστε μια γραμμή - την οριζόντια προβολή της επιθυμητής γεννήτριας. Το σημείο Β προσδιορίζεται επίσης σε αυτή τη γραμμή, η οριζόντια προβολή της οποίας (σημείο Β") είναι το σημείο επαφής της ευθείας με την έλλειψη.

Με την κατασκευή περιγραμμάτων των προεξοχών του κώνου περιστροφής, συναντάμε, για παράδειγμα, σε αυτή την περίπτωση: λαμβάνοντας υπόψη τις προεξοχές της κορυφής του κώνου (S", S "), την κατεύθυνση του άξονά του (SK), οι διαστάσεις του ύψους και της διαμέτρου της βάσης. κατασκευάστε προβολές του κώνου. Στο σχ. 355 αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας πρόσθετα επίπεδα προβολής.

Έτσι, για να κατασκευαστεί μια μετωπική προβολή, πλ. π 3 κάθετο στο π 2 και παράλληλο στην ευθεία ΣΚ, που καθορίζει την κατεύθυνση του άξονα του κώνου. Στην προβολή S""K"" απεικονίζεται το τμήμα S""C"", ίσο με το δεδομένο ύψος του κώνου. Στο σημείο C"" σχεδιάζεται μια κάθετη στο S""C"" και ένα τμήμα C""B"" σχεδιάζεται πάνω του, ίσο με την ακτίνα της βάσης του κώνου. Με τα σημεία C"" και B"" λαμβάνονται τα σημεία C" και B" και έτσι προκύπτει ο δευτερεύων ημιάξονας C"B" της έλλειψης-μετωπιαίας προβολής της βάσης του κώνου. Το τμήμα C"A" ίσο με C""B"" αντιπροσωπεύει τον ημι-κύριο άξονα αυτής της έλλειψης. Έχοντας τους άξονες της έλλειψης, είναι δυνατή η κατασκευή της όπως φαίνεται στο Σχ. 147.

Για την κατασκευή οριζόντιας προβολής εισάγεται το επίπεδο προβολής π 4, το οποίο είναι κάθετο στο π 1 και παράλληλο στο ΣΚ. Η πρόοδος κατασκευής είναι παρόμοια με αυτή που περιγράφεται για την μετωπική προβολή.

Πώς να φτιάξετε σκίτσα προβολής; Στο σχ. Το 356 δείχνει διαφορετικό από αυτό στο σχ. 354, η μέθοδος σχεδίασης μιας εφαπτομένης σε μια έλλειψη - χωρίς σφαίρα εγγεγραμμένη σε κώνο.

Αρχικά, με ακτίνα ίση με τον μικρό ημιάξονα της έλλειψης, σχεδιάστηκε ένα τόξο από το κέντρο της (στο Σχ. 356 αυτό είναι ένα τέταρτο του κύκλου). Προσδιορίζεται το σημείο 2 της τομής αυτού του τόξου με κύκλο διαμέτρου S"C". Μια ευθεία γραμμή σχεδιάζεται από το σημείο 2 παράλληλη προς τον κύριο άξονα της έλλειψης. Αυτό

η ευθεία τέμνει την έλλειψη στα σημεία K "1 και K 2. Τώρα απομένει να σχεδιάσουμε ευθείες γραμμές S "K" 1 και S "K" 2, εφάπτονται στην έλλειψη και περιλαμβάνονται στο περίγραμμα της μετωπικής προβολής του ο κώνος.

Στο σχ. Το 357 δείχνει ένα σώμα περιστροφής με κεκλιμένο άξονα παράλληλο προς το τετράγωνο. π 2. Το σώμα αυτό οριοθετείται από μια συνδυασμένη επιφάνεια που αποτελείται από δύο κυλίνδρους, την επιφάνεια ενός κυκλικού δακτυλίου και δύο επίπεδα. Το σκίτσο της μετωπικής προβολής αυτού του σώματος είναι ο κύριος μεσημβρινός του.

Το περίγραμμα της οριζόντιας προβολής του άνω κυλινδρικού μέρους ενός δεδομένου σώματος αποτελείται από μια έλλειψη και δύο ευθείες γραμμές που εφάπτονται σε αυτό. Η ευθεία γραμμή Α"Β" είναι μια οριζόντια προβολή της γεννήτριας του κυλίνδρου, κατά μήκος της οποίας το επίπεδο που προεξέχει στο π 1 αγγίζει την επιφάνεια του κυλίνδρου. Το ίδιο ισχύει και για το σκίτσο της προβολής του κάτω κυλίνδρου (στο Σχ. 357 αυτό το σκίτσο δεν φαίνεται ολόκληρο).

Ας περάσουμε στο πιο δύσκολο κομμάτι του δοκιμίου - το ενδιάμεσο. Πρέπει να κατασκευάσουμε μια οριζόντια προβολή αυτής της γραμμής χωρικής καμπύλης, στα σημεία της οποίας διέρχονται οι προεξέχουσες γραμμές, εφαπτομένη στην επιφάνεια του κυκλικού δακτυλίου και κάθετη στο τετράγωνο. πι 1 . Η μετωπική προβολή κάθε σημείου μιας τέτοιας καμπύλης κατασκευάζεται με τον ίδιο τρόπο που έγινε για το σημείο Α στο Σχ. 354, χρησιμοποιώντας εγγεγραμμένες σφαίρες. Οι οριζόντιες προβολές των σημείων καθορίζονται στην προβολή του ισημερινού της αντίστοιχης σφαίρας Για παράδειγμα, σημείο D 1 (D" 1 , D" 1).

Τα σημεία K "1 και K" 2 λαμβάνονται από το σημείο K "1 (γνωστός και ως K" 2) στον ισημερινό της σφαίρας με κέντρο Ο, και αυτό το σημείο K "1 (K" 2) προκύπτει με τη χάραξη μιας γραμμής επικοινωνίας εφαπτομένη στην κατασκευασμένη καμπύλη B "D" 1 C".

Άρα, η καμπύλη B"D" 1 K" 1 περιέχει μετωπικές προβολές σημείων των οποίων οι οριζόντιες προβολές B", D" 1 , K" 1 περιλαμβάνονται στο περίγραμμα της οριζόντιας προβολής του υπό εξέταση σώματος.

Ερωτήσεις προς §§ 53-54

1. Τι ονομάζεται επίπεδο που εφάπτεται σε μια καμπύλη επιφάνεια σε ένα δεδομένο σημείο αυτής της επιφάνειας;
2. Τι ονομάζεται συνηθισμένο (ή κανονικό) σημείο σε μια επιφάνεια;
3. Πώς να κατασκευάσετε ένα επίπεδο που εφάπτεται σε μια καμπύλη επιφάνεια σε κάποιο σημείο της;
4. Ποια είναι η κανονική επιφάνεια;
5. Πώς να κατασκευάσετε ένα επίπεδο που εφάπτεται στη σφαίρα σε κάποιο σημείο της σφαίρας;
6. Πότε μια καμπύλη επιφάνεια ταξινομείται ως κυρτή;
7. Μπορεί ένα επίπεδο που εφάπτεται σε μια καμπύλη επιφάνεια σε οποιοδήποτε σημείο αυτής της επιφάνειας να τέμνει το τελευταίο; Δώστε ένα παράδειγμα τομής κατά μήκος δύο ευθειών.
8. Πώς χρησιμοποιούνται οι σφαίρες εγγεγραμμένες σε μια επιφάνεια περιστροφής, της οποίας ο άξονας είναι παράλληλος στο τετράγωνο; π 2 , να κατασκευάσουμε ένα περίγραμμα της προβολής αυτής της επιφάνειας στο τετράγωνο. π 1 ως προς το οποίο ο άξονας της επιφάνειας περιστροφής είναι κεκλιμένος υπό οξεία γωνία;
9. Πώς να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε μια έλλειψη από ένα σημείο που βρίσκεται στη συνέχεια του δευτερεύοντος άξονά της;
10. Σε ποια περίπτωση τα περιγράμματα των προβολών του κυλίνδρου της περιστροφής και του κώνου της περιστροφής θα είναι ακριβώς τα ίδια στο τετράγωνο. π 1 , και πληθ. p2;

Υπουργείο Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας

Κρατικό Τεχνικό Πανεπιστήμιο του Σαράτοφ

ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ

Οδηγίες για την ολοκλήρωση της εργασίας 2

για φοιτητές ειδικοτήτων
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Εγκρίθηκε

συντακτικό και εκδοτικό συμβούλιο

Πολιτεία Σαράτοφ

πολυτεχνείο

Σαράτοφ 2003

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στην πρακτική της μηχανολογίας, είναι ευρέως διαδεδομένα μέρη με κυλινδρικές, κωνικές, σφαιρικές, τορικές και ελικοειδείς επιφάνειες. Οι τεχνικές μορφές προϊόντων είναι συχνά ένας συνδυασμός επιφανειών περιστροφής με άξονες που συμπίπτουν, τέμνονται και διασταυρώνονται. Όταν κάνετε σχέδια τέτοιων προϊόντων, καθίσταται απαραίτητο να απεικονίζονται γραμμές τομής επιφανειών, που ονομάζονται επίσης γραμμές μετάβασης.

Ένας συνηθισμένος τρόπος κατασκευής γραμμών τομής είναι η εύρεση των σημείων αυτής της γραμμής χρησιμοποιώντας κάποια βοηθητικά επίπεδα ή επιφάνειες κοπής, που μερικές φορές ονομάζονται "μεσολαβητές".

Σε αυτές τις κατευθυντήριες γραμμές εξετάζονται γενικές και ειδικές περιπτώσεις κατασκευής γραμμών τομής δύο επιφανειών και μέθοδοι κατασκευής σαρώσεων επιφανειών.

1. ΚΥΡΙΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ.

Στην περιγραφική γεωμετρία, μια επιφάνεια θεωρείται ως ένα σύνολο διαδοχικών θέσεων μιας γραμμής που κινείται στο χώρο, που ονομάζεται γεννήτρια.

Εάν ληφθεί ως οδηγός μία από τις επιφανειακές γραμμές qκαι κινήστε κατά μήκος του σύμφωνα με έναν ορισμένο νόμο τη γεννήτρια μεγάλο, λαμβάνουμε μια οικογένεια γεννητριών επιφάνειας που ορίζουν την επιφάνεια (Εικ. 1).

Για τον ορισμό μιας επιφάνειας σε ένα σχέδιο, έχει εισαχθεί η έννοια του καθοριστικού παράγοντα επιφάνειας.

Ο καθοριστικός παράγοντας είναι ένα σύνολο συνθηκών απαραίτητων και επαρκών για τον μοναδικό ορισμό μιας επιφάνειας.

Η ορίζουσα αποτελείται από ένα γεωμετρικό τμήμα που περιέχει γεωμετρικά σχήματα και το νόμο του σχηματισμού επιφάνειας. Για παράδειγμα, το γεωμετρικό μέρος της ορίζουσας σχήματος ένα(μεγάλο,ιζ)στο Σχ. 1 είναι γεννήτριες μεγάλοκαι οδηγός q, η θέση του οποίου δίνεται στο σχέδιο. Δίκαιο της εκπαίδευσης: άμεσο μεγάλο, κινείται στο διάστημα, πάντα αγγίζει qπαραμένοντας παράλληλα με την κατεύθυνση μικρό. Αυτές οι συνθήκες καθορίζουν μοναδικά μια κυλινδρική επιφάνεια. Για οποιοδήποτε σημείο του χώρου, είναι δυνατό να λυθεί το πρόβλημα του ανήκειν στην επιφάνειά του (ΕΝΑÎ α, σεÏ ένα).

Γεωμετρικό τμήμα της ορίζουσας κωνικής επιφάνειας σι(q,ΜΙΚΡΟ)αποτελείται από οδηγό qκαι κορυφές μικρό(Εικ. 2). Ο νόμος σχηματισμού κωνικής επιφάνειας: ευθεία γραμμή γεννήτριας μεγάλο q, περνά πάντα από την κορυφή μικρό, σχηματίζοντας ένα συνεχές σύνολο ευθειών γραμμών της κωνικής επιφάνειας.

Οι επιφάνειες που λαμβάνονται με συνεχή κίνηση ονομάζονται κινηματικές. Τέτοιες επιφάνειες είναι ακριβείς, κανονικές, σε αντίθεση με τις ακανόνιστες ή τυχαίες.

Οι επιφάνειες που σχηματίζονται από την κίνηση μιας ευθείας γραμμής ονομάζονται κυβερνώμενες, μια καμπύλη γραμμή ονομάζεται μη γραμμική.

Σύμφωνα με το νόμο της κίνησης της γεννήτριας, διακρίνονται επιφάνειες με μεταφορική κίνηση της γεννήτριας, με περιστροφική κίνηση της γεννήτριας - επιφάνειες περιστροφής, με ελικοειδή κίνηση της γεννήτριας - ελικοειδείς επιφάνειες.

Οι επιφάνειες μπορούν να οριστούν από ένα συρμάτινο πλαίσιο. Ένα συρμάτινο πλαίσιο είναι μια επιφάνεια που ορίζεται από έναν ορισμένο αριθμό γραμμών που ανήκουν σε μια τέτοια επιφάνεια (Εικ. 3).

Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες των σημείων τομής των γραμμών, είναι δυνατό να σχεδιάσουμε ένα σχέδιο της επιφάνειας του καλωδίου.

1.2. Επιφάνειες επανάστασης.

Μεταξύ των καμπύλων επιφανειών, οι επιφάνειες περιστροφής είναι ευρέως διαδεδομένες. Μια επιφάνεια περιστροφής είναι μια επιφάνεια που λαμβάνεται περιστρέφοντας μια γεννήτρια γύρω από μια σταθερή ευθεία - τον άξονα της επιφάνειας.

Μια επιφάνεια περιστροφής μπορεί να σχηματιστεί περιστρέφοντας μια καμπύλη γραμμή (σφαίρα, τόρος, παραβολοειδές, ελλειψοειδές, υπερβολοειδές κ.λπ.) και περιστρέφοντας μια ευθεία γραμμή (κύλινδρος περιστροφής, κώνος περιστροφής, υπερβολοειδές περιστροφής ενός φύλλου).

Από τον ορισμό μιας επιφάνειας περιστροφής προκύπτει ότι το γεωμετρικό μέρος της ορίζουσας ένα(Εγώ,μεγάλο)επιφάνειες της επανάστασης έναπρέπει να αποτελείται από έναν άξονα περιστροφής Εγώκαι δημιουργώντας μεγάλο. Νόμος σχηματισμού επιφανειών, περιστροφή μεγάλοπερίπου Εγώσας επιτρέπει να δημιουργήσετε ένα συνεχές σύνολο διαδοχικών θέσεων της γεννήτριας της επιφάνειας της περιστροφής.

Από τις πολλές γραμμές που μπορούν να σχεδιαστούν σε επιφάνειες περιστροφής, οι παράλληλοι (ισημερινός) και οι μεσημβρινοί (κύριος μεσημβρινός) κατέχουν ιδιαίτερη θέση. Η χρήση αυτών των γραμμών απλοποιεί σημαντικά την επίλυση προβλημάτων θέσης. Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτές τις γραμμές.

Κάθε σημείο της γεννήτριας μεγάλο(Εικ. 4) περιγράφει γύρω από τον άξονα Εγώκύκλος που βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής. Αυτός ο κύκλος μπορεί να αναπαρασταθεί ως γραμμή τομής της επιφάνειας με κάποιο επίπεδο (σι)κάθετα στον άξονα της επιφάνειας περιστροφής. Τέτοιοι κύκλοι ονομάζονται παράλληλοι. (R). Το μεγαλύτερο από τα παράλληλα ονομάζεται ισημερινός, το μικρότερο - ο λαιμός.

Ρύζι. 5 Εικ. 6

Στο σχ. 5 παράλληλα RAσημεία ΕΝΑισημερινός, παράλληλος RVσημεία Rεπιφανειακό λαιμό.

Αν ο άξονας της επιφάνειας Εγώείναι κάθετη στο επίπεδο των προβολών, τότε η παράλληλη προβάλλεται σε αυτό το επίπεδο από έναν κύκλο στην πραγματική τιμή (P1A), και στο επίπεδο προβολής παράλληλο με τον άξονα - μια ευθεία γραμμή (P2A)ίση με τη διάμετρο του παραλλήλου. Σε αυτή την περίπτωση, η λύση των προβλημάτων θέσης απλοποιείται. Σύνδεση οποιουδήποτε σημείου της επιφάνειας (για παράδειγμα ΜΕ) με μια παράλληλη, μπορείτε εύκολα να βρείτε τη θέση των προβολών της παραλληλίας και ένα σημείο πάνω της. Στο σχ. 5 με προβολή Γ2σημεία ΜΕπου ανήκουν στην επιφάνεια ένα, με τη βοήθεια του παράλληλου Rsβρέθηκε οριζόντια προβολή Γ1.

Το επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα περιστροφής ονομάζεται μεσημβρινό. Στο σχ. Το 4 είναι επίπεδο σολ. Η γραμμή τομής της επιφάνειας περιστροφής από το μεσημβρινό επίπεδο ονομάζεται μεσημβρινός της επιφάνειας. Ένας μεσημβρινός που βρίσκεται σε ένα επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο των προβολών ονομάζεται κύριος μεσημβρινός ( m0στο σχ. 4.5). Σε αυτή τη θέση, ο μεσημβρινός προβάλλεται στο επίπεδο P2χωρίς παραμόρφωση, αλλά P1- ευθύς παράλληλος άξονας Χ12. Για έναν κύλινδρο και έναν κώνο, οι μεσημβρινοί είναι ευθείες γραμμές.

Ισημερινός R2(Εικ. 6) και οι κύριοι μεσημβρινοί (Μ)οριοθετήστε την επιφάνεια σε ορατά και αόρατα μέρη.

Στο σχ. 6 επιφανειακός ισημερινός έναπου λαμβάνεται ως αποτέλεσμα μιας τομής της επιφάνειας από ένα επίπεδο d(P=α∩ρε), και ο κύριος μεσημβρινός είναι ένα επίπεδο σολ(m=α∩σολ).

1.3. Περίγραμμα επιφάνειας.

Η επιφάνεια προβολής, που περικλείει τη δεδομένη, τέμνει το επίπεδο προβολής κατά μήκος μιας γραμμής που ονομάζεται περίγραμμα της επιφανειακής προβολής. Με άλλα λόγια, ένα περίγραμμα επιφάνειας είναι μια γραμμή που οριοθετεί την προβολή μιας φιγούρας από τον υπόλοιπο χώρο σχεδίασης. Για να κατασκευαστεί ένα δοκίμιο, είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν γεννήτριες σκίτσων ακραίων ορίων. Οι γεννήτριες περιγράμματος βρίσκονται σε ένα επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο των προβολών.

Οποιοσδήποτε μεσημβρινός της επιφάνειας της επανάστασης μπορεί να ληφθεί ως γεννήτριά του. Η κατασκευή του δοκιμίου θα απλοποιηθεί αν πάρουμε τον κύριο μεσημβρινό ως γενεσιουργό, αφού ο κύριος μεσημβρινός είναι μια επίπεδη καμπύλη (ευθεία γραμμή) παράλληλη προς το επίπεδο προβολής και προβάλλεται σε αυτό χωρίς παραμόρφωση.

Παράδειγμα 1. Κύλινδρος ένα ένα(Εγώ,μεγάλο). Κατασκευάστε ένα περίγραμμα της επιφάνειας (Εικ. 7).

Με αυτή τη διάταξη του άξονα Εγώτο οριζόντιο περίγραμμα είναι ένας κύκλος ακτίνας R(R=i1l1). Περάστε από τον άξονα Εγώμεσημβρινό αεροπλάνο β||Ρ2. Για να φτιάξουμε ένα μετωπικό περίγραμμα, βρίσκουμε τις οριζόντιες προεξοχές των περιγραμμάτων των γεννητριών που βρίσκονται στο επίπεδο του κύριου μεσημβρινού (l1',l1”)και προσδιορίστε τις μετωπικές προεξοχές από αυτές l2'Και l2".

Μετωπική προβολή του κύριου μεσημβρινού των γεννητριών περιγράμματος κυλίνδρου l2'Και l2". Το ορθογώνιο είναι το μετωπικό περίγραμμα της επιφάνειας.

Παράδειγμα 2. Κώνος έναδίνεται από το γεωμετρικό μέρος της ορίζουσας ένα(Εγώ,μεγάλο). Κατασκευάστε ένα περίγραμμα της επιφάνειας (Εικ. 8).

https://pandia.ru/text/78/241/images/image008_8.gif" width="612" height="400">

Εκτός θέσης γεωμετρικά σχήματα μεγάλο, Εγώστο σχ. Το 9 δείχνει ότι η δεδομένη επιφάνεια είναι ένα υπερβολοειδές περιστροφής ενός φύλλου. Κάθε σημείο της γεννήτριας (Α, Β, Γκαι τα λοιπά. ) όταν περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα Εγώπεριγράφει έναν κύκλο (παράλληλο). Στο Εγώ ^ P1στο αεροπλάνο P1οι παράλληλοι προβάλλονται από κύκλους με ακτίνα ίση με την πραγματική τιμή της ακτίνας της παραλλήλου. Τελεία ΜΕστη γεννήτρια μεγάλοπεριγράφει τον μικρότερο παράλληλο, τον παράλληλο του λαιμού. Αυτή είναι η μικρότερη απόσταση μεταξύ του άξονα περιστροφής και της γεννήτριας μεγάλο. Για εύρεση Rcσχεδιάστε μια κάθετη από ΕγώΠρος την l1. i1C1=Rcείναι η ακτίνα του λαιμού της επιφάνειας.

Η οριζόντια προβολή του υπερβολοειδούς θα είναι τρεις ομόκεντροι κύκλοι.

Το μετωπικό περίγραμμα της επιφάνειας θα πρέπει να έχει το περίγραμμα του κύριου μεσημβρινού της.

Περάστε από τον άξονα Εγώκύριο μεσημβρινό επίπεδο σικαι να κατασκευάσετε τις οριζόντιες προβολές των παραλλήλων των σημείων Α, Β, Γ. Οι παράλληλοι τέμνονται με ένα επίπεδο σιστα σημεία А′, В′, С′ που ανήκουν στον κύριο μεσημβρινό της επιφάνειας. Ένα συνεχές σύνολο αυτών των παραλλήλων σχηματίζει τον σκελετό της επιφάνειας και τα σημεία τομής με το επίπεδο σι- πρώτος μεσημβρινός m0επιφάνειες. Ο κύριος μεσημβρινός μπορεί να κατασκευαστεί ως παράκαμψη των σημείων τομής των παραλλήλων με το επίπεδο σι. Το σχήμα δείχνει την κατασκευή ενός σημείου ΜΕΚαι ρε.

Παράδειγμα 4. Κατασκευάστε ένα περίγραμμα ενός κεκλιμένου κυλίνδρου ένα(μεγάλο,Μ). Γεννήτρια κυλίνδρου μεγάλο, κινούμενος κατά μήκος του οδηγού Μ, παραμένει παράλληλη με τον εαυτό της. Το περίγραμμα της επιφάνειας είναι χτισμένο στο Σχ. 10. Οποιοδήποτε σημείο στην επιφάνεια του κυλίνδρου προσδιορίζεται με τη χάραξη μιας γεννήτριας μέσω αυτής («συνδέοντας» το σημείο με τη γεννήτρια). Στο σχ. 10α σύμφωνα με την μετωπική προβολή του σημείου Α2που ανήκει στην επιφάνεια, βρίσκεται η οριζόντια προβολή του Α'1.

1.4. Καθορισμένες επιφάνειες, με επίπεδο παραλληλισμού.

Οι κυβερνώμενες επιφάνειες με επίπεδο παραλληλισμού σχηματίζονται μετακινώντας μια ευθύγραμμη γεννήτρια κατά μήκος δύο οδηγών. Σε αυτή την περίπτωση, η γεννήτρια σε όλες τις θέσεις της διατηρεί τον παραλληλισμό κάποιου δεδομένου επιπέδου, που ονομάζεται επίπεδο παραλληλισμού.

Γεωμετρικό μέρος της ορίζουσας ένα(Μ,n,σι)μια τέτοια επιφάνεια έναπεριέχει δύο οδηγούς και ένα επίπεδο παραλληλισμού. Ανάλογα με το σχήμα των οδηγών, αυτές οι επιφάνειες χωρίζονται σε: κυλινδροειδή - και οι δύο καμπύλες οδηγοί. κωνοειδή - ένας οδηγός - μια ευθεία γραμμή, ένα - μια καμπύλη. λοξό επίπεδο - και οι δύο οδηγοί είναι ίσιοι.

Παράδειγμα: κατασκευάστε ένα συρμάτινο πλαίσιο επιφάνειας ένα(Μ,n,σι)(Εικ. 10β).

Στην περίπτωση αυτή, το οριζόντιο επίπεδο των προβολών λαμβάνεται ως επίπεδο παραλληλισμού. Γραμμή δημιουργίας, αποκοπή καμπύλης Μκαι άμεση n, σε οποιαδήποτε θέση παραμένει παράλληλη με το επίπεδο P1.

Οποιοδήποτε επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο παραλληλισμού τέμνει αυτές τις επιφάνειες σε ευθεία γραμμή. Ως εκ τούτου, εάν απαιτείται η κατασκευή οποιασδήποτε γενεσιουργίας της επιφάνειας, είναι απαραίτητο να κοπεί η επιφάνεια με ένα επίπεδο (π.χ. σι) παράλληλα με το επίπεδο παραλληλισμού, να βρείτε τα σημεία τομής των κατευθυντήριων γραμμών της επιφάνειας με αυτό το επίπεδο (β∩n=1;β∩m=2;ρύζι. 10β) και τραβήξτε μια ευθεία γραμμή μέσα από αυτά τα σημεία.

Για να κατασκευάσετε το κωνοειδή στο Σχ. 10b, μπορείτε να κάνετε χωρίς βοηθητικά επίπεδα κοπής, καθώς οι μετωπικές προεξοχές των γεννητριών πρέπει να είναι παράλληλες με τον άξονα Χ12. Η πυκνότητα των γραμμών πλαισίου στην μετωπική προβολή ρυθμίζεται αυθαίρετα. Κατασκευάζουμε οριζόντιες προβολές των δεδομένων γεννητριών κατά μήκος της γραμμής σύνδεσης χρησιμοποιώντας την ιδιότητα μέλους.

Εάν πρέπει να βρείτε την προβολή ενός σημείου ΕΝΑ, που δίνεται από την προβολή Α2, είναι απαραίτητο να κόψετε την επιφάνεια με ένα αεροπλάνο σολπερνώντας από το σημείο ΕΝΑκαι παράλληλα με το επίπεδο παραλληλισμού (στο Σχ. 10β g//P1), βρείτε τη γεννήτρια ως γραμμή τομής του επιπέδου σολμε επιφάνεια ένα(α∩g=3, 4),σύμφωνα με την μετωπική προβολή 32, 42 βρείτε την οριζόντια 31, 41 και προσδιορίστε σε αυτήν Α'1.

1.5. Κατασκευή του σημείου συνάντησης της γραμμής με την επιφάνεια.

Βρείτε το σημείο συνάντησης της καμπύλης μεγάλομε επιφάνεια a(P,ΜΙΚΡΟ).

Λύση 1. Περικλείστε την καμπύλη μεγάλο(Εικ. 11) στη βοηθητική επιφάνεια προβολής σι^P1. Προβολή β1συμπίπτει με την προβολή l1. 2. Χτίζουμε τη γραμμή τομής ΕΝΑεπιφάνειες α με επιφάνεια β′, (αÇ β=ε). Οριζόντια προβολή αυτής της γραμμής Α'1γνωστό, ταιριάζει β1. Κάτοψη Α'1κατασκευή μιας μετωπικής προβολής Α2(Εικ. 1 Καθορίζουμε το επιθυμητό σημείο στην τομή της καμπύλης μεγάλομε επιφάνεια α.. Κ=μεγάλοÇ έναυπάρχει σημείο συνάντησης μεγάλοΚαι ένα. Από τη μια πλευρά μεγάλοΚαι ΕΝΑανήκω σιΚαι μεγάλοÇ a=k. Με άλλον ΕΝΑÌ ένα,ως εκ τούτου Προς τηνÌ α , αυτό είναι Προς τηνυπάρχουν σημεία συνάντησης μεγάλομε επιφάνεια α .

https://pandia.ru/text/78/241/images/image011_6.gif" width="607" height="242">

1.6. Κατασκευή γραμμής τομής επιφανειών.

Κατά την επίλυση του προβλήματος της κατασκευής μιας γραμμής τομής μιας επιφάνειας με μια άλλη, χρησιμοποιείται η μέθοδος των τομών - η κύρια μέθοδος για την επίλυση προβλημάτων θέσης. Σε αυτήν την περίπτωση, οι δεδομένες επιφάνειες κόβονται με βοηθητικά επίπεδα ή καμπύλες επιφάνειες (για παράδειγμα, σφαίρες).

Οι βοηθητικές επιφάνειες κοπής μερικές φορές ονομάζονται "μεσολαβητές".

1.5.1. Γενική περίπτωση.

Στη γενική περίπτωση, για να λύσετε το πρόβλημα του προσδιορισμού της γραμμής τομής δύο επιφανειών, μπορείτε να καθορίσετε μια οικογένεια γεννητριών σε μία από τις επιφάνειες (Εικ. 12), να βρείτε το σημείο συνάντησης αυτών των γεννητριών με τη δεύτερη επιφάνεια χρησιμοποιώντας το αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος στο Σχ. 11 και, στη συνέχεια, περιγράψτε τα σημεία συνάντησης.

Χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο για να κατασκευάσουμε γραμμές τομής δύο καμπυλωτών επιφανειών, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε βοηθητικά επίπεδα ή καμπύλες επιφάνειες ως «ενδιάμεσους» τομής.

Εάν είναι δυνατόν, θα πρέπει να επιλέξετε τέτοιες βοηθητικές επιφάνειες που, σε διασταύρωση με τις δεδομένες, δίνουν απλές γραμμές για την κατασκευή γραμμών (ευθείες γραμμές ή κύκλοι).

1.5.2. Οι άξονες των επιφανειών της επανάστασης συμπίπτουν
(ομοαξονικές επιφάνειες).

Στο σχ. 13 επιφάνειες έναΚαι σιδίνεται από έναν κοινό άξονα Εγώκαι κύριους μεσημβρινούς m0m0'.

Οι κύριοι μεσημβρινοί τέμνονται σε ένα σημείο Α(Β). Τελεία Α(Β)διασταυρώσεις μεσημβρινών κατά την περιστροφή γύρω από τον άξονα θα περιγράφουν έναν παράλληλο R, που θα ανήκει και στις δύο επιφάνειες, επομένως, θα είναι η γραμμή τομής τους.

Έτσι, δύο ομοαξονικές επιφάνειες περιστροφής τέμνονται κατά μήκος παραλλήλων που περιγράφουν τα σημεία τομής των μεσημβρινών τους. Στο σχ. 13 άξονες επιφανειών είναι παράλληλοι P2. Στο επίπεδο των προεξοχών με το οποίο είναι παράλληλοι οι άξονες των επιφανειών, η γραμμή τομής R2προβάλλεται μια ευθεία, η θέση της οποίας καθορίζεται από τα σημεία τομής των κύριων μεσημβρινών ΕΝΑΚαι ΣΕ.

1.5.3. Μέθοδος επιπέδου κοπής.

Στην περίπτωση που οι άξονες των επιφανειών περιστροφής είναι παράλληλοι, οι απλούστερες κατασκευές επιτυγχάνονται με τη χρήση επιπέδων κοπής ως μεσολαβητές. Σε αυτή την περίπτωση, τα βοηθητικά επίπεδα κοπής επιλέγονται έτσι ώστε να τέμνουν και τις δύο επιφάνειες σε κύκλους.

Στο σχ. 14 περιγράφει τις προβολές δύο επιφανειών περιστροφής α Και σι, τα τσεκούρια τους ΕγώΚαι ιείναι παράλληλες. Σε αυτή την περίπτωση, η χρήση επιπέδων κοπής κάθετα στους άξονες των επιφανειών δίνει μια απλή λύση στο πρόβλημα. Οι προκύπτουσες γραμμές τομής των επιφανειών θα είναι παράλληλες, οι μετωπικές προεξοχές των οποίων είναι ευθείες γραμμές ίσες με τη διάμετρο της παράλληλης και οι οριζόντιες προεξοχές είναι κύκλοι σε φυσικό μέγεθος.

Κατά την κατασκευή σημείων γραμμών τομής, πρέπει πρώτα να βρείτε τα σημεία αναφοράς και τα χαρακτηριστικά σημεία. Σημεία αναφοράς είναι εκείνα που βρίσκονται στον κύριο μεσημβρινό (3) και στον ισημερινό (4, 5). Η εύρεση αυτών των σημείων δεν σχετίζεται με πρόσθετες κατασκευές και βασίζεται στη χρήση ιδιοτήτων μέλους.

Δίνεται στο Σχ. 14 επιφάνειες έχουν κοινό επίπεδο του κύριου μεσημβρινού, τους άξονές τους ^ P1, οι βάσεις βρίσκονται στο αεροπλάνο P1. Τα σημεία αναφοράς της γραμμής τομής είναι το σημείο 3 της τομής των κύριων μεσημβρινών και τα σημεία 4 και 5 της τομής των παραλλήλων των βάσεων των επιφανειών. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες μέλους, από τις γνωστές προβολές 32, 41 και 51 βρίσκουμε τις 31, 42 και 52.

Τα υπόλοιπα σημεία τομής βρίσκονται χρησιμοποιώντας βοηθητικά επίπεδα κοπής. Ας τεμαχίσουμε την επιφάνεια α Και σιοριζόντιο επίπεδο σολ. Επειδή σολ^ τσεκούρια ΕγώΚαι ι, μετά τις επιφάνειες α Και σιτέμνει το επίπεδο σολ, παράλληλα RaΚαι Rσι. Και αφού τα τσεκούρια ΕγώΚαι ι^P1, τότε αυτές οι παράλληλες προβάλλονται επάνω P1κύκλους Ra, Rσισε πραγματικό μέγεθος, αλλά P2απευθείας P2a, R2σιίση με τη διάμετρο του παραλλήλου.

Τα σημεία τομής των παραλλήλων 1 και 2 είναι τα επιθυμητά. Πράγματι, στη μία πλευρά του παραλλήλου RaΚαι Rσιανήκουν στο ίδιο επίπεδο σολκαι τέμνονται στα σημεία 2 και 1. Από την άλλη πλευρά, RaΚαι Rσιανήκω διαφορετικές επιφάνειες α Και σι. Επομένως, τα σημεία 2 και 1 ανήκουν ταυτόχρονα στις επιφάνειες ΕΝΑΚαι σι, δηλαδή είναι τα σημεία της ευθείας τομής των επιφανειών. Οι οριζόντιες προεξοχές 21 και 11 από αυτά τα σημεία βρίσκονται στη διασταύρωση P1a, P1σι, και κατασκευάζουμε τα μπροστινά χρησιμοποιώντας την ιδιότητα μέλους.

Επαναλαμβάνοντας την υποδεικνυόμενη μέθοδο, λαμβάνουμε τον απαιτούμενο αριθμό πόντων. Τα επίπεδα τομής κατανέμονται ομοιόμορφα στο διάστημα από το σημείο της υψηλότερης ανόδου της καμπύλης 32 έως το κύριο σχήμα.

Ο αριθμός των σημείων της γραμμής τομής, και συνεπώς των επιπέδων κοπής, καθορίζεται από την απαιτούμενη ακρίβεια των γραφικών κατασκευών. Οι προεξοχές της γραμμής τομής κατασκευάζονται ως τα περιγράμματα των προβολών των σημείων της. Στο σχ. Γραμμή 14 στα σημεία 4, 1, 3, 2, 5.

Το εξεταζόμενο παράδειγμα επίλυσης προβλημάτων ονομάζεται μέθοδος κοπής επιπέδων.

1.5.4. Μέθοδος σφαίρας.

Αυτή η τεχνική χρησιμοποιείται όταν οι άξονες των επιφανειών της περιστροφής τέμνονται. Βασίζεται σε αυτό που φαίνεται στο Σχ. 13 περίπτωση τομής ομοαξονικών επιφανειών.

Στο σχ. Το σχήμα 15 δείχνει έναν κώνο και έναν κύλινδρο με τεμνόμενους άξονες ΕγώΚαι ι. Οι άξονές τους είναι παράλληλοι με το επίπεδο P2. Το επίπεδο του κύριου μεσημβρινού είναι κοινό και για τις δύο επιφάνειες.

) . Η κατασκευή απλοποιείται λόγω του ότι το επίπεδο του κύριου μεσημβρινού είναι κοινό. Οι κύκλοι κατά μήκος των οποίων η σφαίρα τέμνει δύο επιφάνειες ταυτόχρονα ( Ρα, Ρβ Rσι") προβάλλεται στο αεροπλάνο P2με τη μορφή ευθειών γραμμών ( R2a, R2β, Ρ2σι") ίσες με τις διαμέτρους των παραλλήλων.

Στη διασταύρωση αυτών των κύκλων, λαμβάνονται σημεία (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82), κοινά και στις δύο επιφάνειες και, επομένως, ανήκουν στη γραμμή τομής. Πραγματικά παράλληλοι Ρα, Ρβ, Πσι", αφενός, ανήκουν στην ίδια επιφάνεια - τη σφαίρα και έχουν κοινά σημεία (5, 6, 7, 8), από την άλλη - ανήκουν σε διαφορετικές επιφάνειες ΕΝΑΚαι σι. Δηλαδή τα σημεία 5, 6, 7, 8 ανήκουν και στις δύο επιφάνειες ή στη γραμμή τομής των επιφανειών.

Για να λάβετε αρκετούς πόντους για να σχεδιάσετε την επιθυμητή γραμμή τομής, σχεδιάζονται πολλές σφαίρες.

Η ακτίνα της μεγαλύτερης σφαίρας ( Rmax) ισούται με την απόσταση από το κέντρο Ο2στο πιο απομακρυσμένο σημείο τομής της γεννήτριας περιγράμματος (στην περίπτωση αυτή, σημεία 32 και 42, Rmax= 0232=0242. Σε αυτή την περίπτωση, και οι δύο γραμμές τομής των επιφανειών με μια σφαίρα ( RaΚαι Rσι) τέμνονται μεταξύ τους στα σημεία 3 και 4 με μεγαλύτερη ακτίνα της σφαίρας δεν θα υπάρχει τομή.

Η ακτίνα της μικρότερης σφαίρας ( Rmin) ισούται με την απόσταση από το κέντρο 02 στην πιο μακρινή γενιά σκίτσων ( Rmin=02Α2). Σε αυτή την περίπτωση, η σφαίρα θα αγγίξει τον κώνο κατά μήκος του κύκλου και ο κύλινδρος θα διασταυρωθεί δύο φορές και θα δώσει σημεία 5, 6, 7, 8. Με μικρότερη ακτίνα της σφαίρας, δεν θα υπάρχει τομή με τον κώνο.

Τώρα απομένει να σχεδιάσουμε καμπύλες γραμμές τομής επιφανειών μέσω των σημείων 1, 5, 4, 6, 1 και 2, 7, 3, 8, 2.

Στο σχ. 15, όλες οι κατασκευές γίνονται στην ίδια προβολή. Αριθμός τμηματικών σφαιρών, με ακτίνες που κυμαίνονται από Rmaxπριν Rmin, εξαρτάται από την απαιτούμενη ακρίβεια κατασκευής. Η κατασκευή μιας οριζόντιας προβολής της γραμμής τομής πραγματοποιείται κατά μήκος των μετωπικών 1, 5, 4, 6, 1 και 2, 7, 3, 8, 2 χρησιμοποιώντας την ιδιότητα μέλους.

1.5.5. Εφαρμογή της μεθόδου του επιπέδου κοπής
σε περιπτώσεις κανονιζόμενων επιφανειών με επίπεδο παραλληλισμού.

Δύο επιφάνειες δίνονται από το γεωμετρικό μέρος της ορίζουσας: ένα(μεγάλο,Εγώ)Και σι(Μ,n, P1). Είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν σκίτσα επιφανειών και να βρεθεί η γραμμή τομής τους (Εικ. 16).

Λύση: 1. Χτίζουμε ένα περίγραμμα της επιφάνειας ένα, n του γεωμετρικού μέρους της ορίζουσας, φαίνεται ότι η επιφάνεια ένα- σφαίρα. Τα οριζόντια και μετωπικά του περιγράμματα είναι κύκλοι ακτίνας R. 2. Κατασκευάζουμε το σκελετό της επιφάνειας που χάραξε. Αφού το επίπεδο είναι παράλληλο P1, τότε οι μετωπικές προεξοχές των γεννητριών είναι παράλληλες προς τον άξονα Χ12. Έχοντας τοποθετήσει το πλαίσιο ενός συγκεκριμένου επιπέδου γραμμών στην μετωπική προβολή (τέσσερις γραμμές στο Σχ. 16), κατασκευάζουμε οριζόντιες προβολές αυτών των γεννητριών. 3. Για να κατασκευάσουμε μια γραμμή τομής επιφανειών, χρησιμοποιούμε επίπεδα τομής ως ενδιάμεσους. Η θέση των επιπέδων τομής πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε να τέμνουν τις δεδομένες επιφάνειες κατά μήκος γραμμών που είναι εύκολο να κατασκευαστούν (ευθείες γραμμές ή κύκλοι). Αυτή η συνθήκη ικανοποιείται από οριζόντια επίπεδα. Τα οριζόντια επίπεδα είναι παράλληλα με το επίπεδο παραλληλισμού του κωνοειδούς ( P1), οπότε θα τέμνουν το κωνοειδή σε ευθείες γραμμές. Τέτοια επίπεδα τέμνουν τη σφαίρα κατά μήκος παραλλήλων.

,ΕΝΑ"σφαίρα κατά μήκος ενός παραλλήλου Rένα. μετωπική προβολή του παραλλήλου ( R2ένα) είναι μια ευθεία γραμμή ίση με τη διάμετρο της παράλληλης, και η οριζόντια προβολή ( P1ένα) είναι ένας κύκλος. Σε οριζόντια προβολή στη διασταύρωση της παράλληλης P1ένακαι η γεννήτρια 1, 11 "καθορίζεται από την προβολή δύο σημείων της γραμμής τομής της επιφάνειας ΕΝΑΚαι σι. Με οριζόντιες προβολές σημείων Α'1Και ΣΕ 1χτίζουμε τις μετωπικές προβολές τους. Επαναλαμβάνοντας την πράξη, παίρνουμε μια σειρά σημείων της γραμμής τομής, το περίγραμμα των οποίων θα δώσει τη γραμμή τομής.

Ο ισημερινός και ο πρώτος μεσημβρινός της σφαίρας οριοθετούν τη γραμμή σε ορατά και μη ορατά μέρη.

1.6 Κατασκευή σκουπιδιών.

Μια ανεπτυγμένη επιφάνεια είναι μια εικόνα που λαμβάνεται συνδυάζοντας την ανεπτυγμένη επιφάνεια με ένα επίπεδο.

Οι επιφάνειες που μπορούν να αναπτυχθούν είναι επιφάνειες που είναι ευθυγραμμισμένες με το επίπεδο χωρίς σπασίματα ή πτυχώσεις.

Οι επιφάνειες που μπορούν να αναπτυχθούν περιλαμβάνουν επιφάνειες με πολύπλευρες επιφάνειες και οι καμπυλόγραμμες επιφάνειες περιλαμβάνουν μόνο κυλινδρικές, κωνικές και επιφάνειες κορμού.

Οι εξελίξεις χωρίζονται σε ακριβείς (ανάπτυξη πολυεπίπεδων επιφανειών), κατά προσέγγιση (ανάπτυξη κυλίνδρου, κώνου, κορμού) και υπό όρους (ανάπτυξη σφαίρας και άλλες μη αναπτυσσόμενες επιφάνειες).

1.6.1. Εξαρτήματα πολυεπίπεδων επιφανειών.

Ξεδιπλώστε την πυραμίδα που δίνουν οι προεξοχές στο Σχ.17.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image017_5.gif" width="588" height="370">

Η μέθοδος κύλισης εφαρμόζεται εάν οι άκρες του πρίσματος είναι παράλληλες με το επίπεδο των προεξοχών και είναι γνωστή η πραγματική τιμή των άκρων μιας από τις βάσεις (Εικ. 18).

Το ξεδίπλωμα μιας φιγούρας αντιπροσωπεύει τη διαδικασία συνδυασμού των όψεων ενός πρίσματος με ένα επίπεδο, στο οποίο αληθινή άποψηκάθε όψη λαμβάνεται με περιστροφή γύρω από την άκρη της.

Τα σημεία A, B, C κατά την κύλιση κινούνται κατά μήκος τόξων κύκλων, τα οποία απεικονίζονται στο επίπεδο P2 ως ευθείες γραμμές κάθετες στις προεξοχές των άκρων του πρίσματος. Οι κορυφές σάρωσης χτίζονται ως εξής: από το σημείο Α2 με ακτίνα R1=A1B1 (πραγματικό μήκος ΑΒ) κάνουμε μια εγκοπή στην ευθεία Β2Β0 κάθετη στη Β2Β2¢. Από το κατασκευασμένο σημείο Β0 με ακτίνα R2=B1C1 γίνεται εγκοπή στην ευθεία C2C0^C2C2¢. Στη συνέχεια μια εγκοπή από το σημείο C0 με ακτίνα R3=A1C1 στην ευθεία A2A0^A2A2¢. Παίρνουμε το σημείο Α0. Τα σημεία A2B0C0A0 συνδέονται με ευθείες γραμμές. Από τα σημεία A0B0C0 σχεδιάζουμε γραμμές παράλληλες προς τις άκρες (A2 A2¢), βάζουμε πάνω τους τις πραγματικές τιμές των πλευρικών άκρων A2A¢, B2B¢, C2C¢. Συνδέουμε τα σημεία A¢B¢C¢A¢ με ευθύγραμμα τμήματα.

1.6.2. Ανάπτυξη καμπύλων επιφανειών.

Θεωρητικά, είναι δυνατό να επιτευχθεί μια ακριβής ανάπτυξη, δηλαδή μια ανάπτυξη που επαναλαμβάνει ακριβώς τις διαστάσεις της επιφάνειας που αναπτύσσεται. Στην πράξη, όταν φτιάχνουμε σχέδια, πρέπει να αντιμετωπίσουμε μια κατά προσέγγιση λύση του προβλήματος, υποθέτοντας ότι μεμονωμένα στοιχεία της επιφάνειας προσεγγίζονται με επίπεδα τμήματα. Κάτω από τέτοιες συνθήκες, η υλοποίηση κατά προσέγγιση εξελίξεων ενός κυλίνδρου και ενός κώνου περιορίζεται στην κατασκευή αναπτύξεων πρισμάτων και πυραμίδων που είναι εγγεγραμμένες σε αυτά (ή περιγράφονται).

Το Σχήμα 19 δείχνει ένα παράδειγμα σάρωσης κώνου.

Εγγράφουμε μια πολύπλευρη πυραμίδα στον κώνο. Από το σημείο S σχεδιάζουμε ένα τόξο με ακτίνα ίση με την πραγματική τιμή της γεννήτριας του κώνου (S212) και αφήνουμε στην άκρη τις χορδές 1121 στο τόξο. 2, αντικαθιστώντας τα τόξα 1121;2

Για να βρείτε οποιοδήποτε σημείο στην ανάπτυξη, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια γεννήτρια μέσω ενός δεδομένου σημείου (Α), να βρείτε τη θέση αυτής της γεννήτριας στην ανάπτυξη (2B=21B1), να προσδιορίσετε την πραγματική τιμή του τμήματος SA ή AB και να βάλετε το στο generatrix για την ανάπτυξη. Οποιαδήποτε γραμμή στην επιφάνεια αποτελείται από ένα συνεχές σύνολο σημείων. Έχοντας βρει τον απαιτούμενο αριθμό σημείων στην ανάπτυξη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που περιγράφεται για το σημείο Α και ανιχνεύοντας αυτά τα σημεία, θα πάρουμε μια γραμμή στην ανάπτυξη. Κατά την κατασκευή εξελίξεων κεκλιμένων κυλινδρικών επιφανειών, εφαρμόζονται οι μέθοδοι κανονικής τομής και έλασης.

Οποιαδήποτε μη αναπτυσσόμενη επιφάνεια μπορεί επίσης να προσεγγιστεί με μια πολυεδρική επιφάνεια με οποιαδήποτε δεδομένη ακρίβεια. Αλλά η ανάπτυξη μιας τέτοιας επιφάνειας δεν θα είναι μια συνεχής επίπεδη φιγούρα, αφού αυτές οι επιφάνειες δεν αναπτύσσονται χωρίς σπασίματα και πτυχώσεις.

1.6.3. Κατασκευή αεροπλάνου, εφαπτομένη
στην επιφάνεια σε εκείνο το σημείο.

Για να κατασκευαστεί ένα εφαπτομενικό επίπεδο στην επιφάνεια σε ένα δεδομένο σημείο (σημείο Α στο Σχ. 20), είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε δύο αυθαίρετες καμπύλες a και b στην επιφάνεια μέσω του σημείου Α, και στη συνέχεια στο σημείο Α να κατασκευαστούν δύο εφαπτομένες t και t¢ στις καμπύλες α και β. Οι εφαπτομένες θα καθορίσουν τη θέση του εφαπτομένου επιπέδου α στην επιφάνεια b.

Το σχήμα 21 δείχνει μια επιφάνεια περιστροφής α. Απαιτείται η σχεδίαση εφαπτομενικού επιπέδου στο σημείο Α που ανήκει στο α.

Για να λύσουμε το πρόβλημα μέσω του σημείου Α, σχεδιάζουμε μια παράλληλη a και κατασκευάζουμε μια εφαπτομένη t σε αυτήν στο σημείο Α (t1;t2).

Ας πάρουμε τον μεσημβρινό ως τη δεύτερη καμπύλη που διέρχεται από το σημείο Α. Δεν φαίνεται στο Σχ. 21. Η λύση θα απλοποιηθεί εάν ο μεσημβρινός μαζί με το σημείο Α περιστραφεί γύρω από τον άξονα μέχρι να συμπέσει με τον κύριο μεσημβρινό. Σε αυτή την περίπτωση, το σημείο Α θα πάρει τη θέση Α¢. Στη συνέχεια σχεδιάστε μια εφαπτομένη t¢¢ στον κύριο μεσημβρινό μέσω του σημείου A¢ έως ότου τέμνεται με τον άξονα στο σημείο B. Επιστρέφοντας τον μεσημβρινό στην προηγούμενη θέση του, σχεδιάστε μια εφαπτομένη t¢ σε αυτόν τον μεσημβρινό μέσω του σημείου A και ένα σταθερό σημείο B στο ο άξονας περιστροφής (t1¢;t2 ¢). Οι εφαπτομένες t και t¢ θα ορίσουν το επίπεδο εφαπτομένης.

Όταν σχεδιάζουμε ένα εφαπτομενικό επίπεδο σε μια επιφανειακή επιφάνεια, μια από τις εφαπτομένες που ορίζουν το επίπεδο εφαπτομένης μπορεί να ληφθεί ως η γεννήτρια t της επιφάνειας (Εικ. 22). Ως δεύτερο, μπορεί κανείς να πάρει την εφαπτομένη t¢ στην παράλληλο (αν είναι κύλινδρος ή κώνος) ή την εφαπτομένη σε οποιαδήποτε καμπύλη που σύρεται μέσα από ένα δεδομένο σημείο ενός κωνοειδούς, κυλινδρικού, λοξού επιπέδου. Είναι εύκολο να κατασκευαστεί μια καμπύλη κόβοντας την επιφάνεια με ένα προεξέχον επίπεδο που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο.

2.1. Στόχος της εργασίας:

Εμπεδώστε την ύλη του προγράμματος στις ενότητες «Επιφάνεια» και «Εξελίξεις» και αποκτήστε δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων κατασκευής δοκιμίων, γραμμών τομής και αναπτύξεων επιφανειών.

2.2. Ασκηση:

Το σχέδιο περιέχει δύο τεμνόμενες επιφάνειες. Οι επιφάνειες δίνονται με συντονισμένες προβολές του γεωμετρικού τμήματος της ορίζουσας.

Απαραίτητη:

Χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες του γεωμετρικού τμήματος της ορίζουσας, εφαρμόστε τις προβολές της ορίζουσας στο σχέδιο, συνδέστε τα απαραίτητα σημεία για να λάβετε τα γεωμετρικά σχήματα της ορίζουσας.

Κατασκευάστε Δοκίμια δεδομένες επιφάνειεςμε προβολές του γεωμετρικού μέρους της ορίζουσας.

Κατασκευάστε μια γραμμή τομής επιφανειών.

Κατασκευάστε μια ανάπτυξη μιας από τις επιφάνειες με το σχέδιο μιας γραμμής τομής (όπως καθοδηγείται από τον δάσκαλο).

Σχεδιάστε ένα εφαπτόμενο επίπεδο σε μια από τις επιφάνειες στο σημείο που υποδεικνύει ο δάσκαλος.

Κάντε μια διάταξη των τεμνόμενων επιφανειών.

Η εργασία γίνεται πρώτα σε γραφικό χαρτί Α2 και μετά σε χαρτί Whatman σε μορφή Α2. Το σχέδιο πρέπει να καταρτιστεί σύμφωνα με το GOST ESKD. Η κύρια επιγραφή γίνεται σύμφωνα με το έντυπο 1.

Κατά την εκτέλεση της εργασίας, χρησιμοποιούνται διαλέξεις, πρακτικό εκπαιδευτικό υλικό και συνιστώμενη βιβλιογραφία.

Οι επιλογές εργασιών δίνονται στο παράρτημα.

2.3. Η σειρά της εργασίας.

Ο μαθητής λαμβάνει μια έκδοση της εργασίας που αντιστοιχεί στον αριθμό στη λίστα στο ημερολόγιο της ομάδας και εργάζεται στην εργασία για τέσσερις εβδομάδες.

Μία εβδομάδα μετά την παραλαβή της εργασίας, ο μαθητής παρουσιάζει στον δάσκαλο τις κατασκευές του γεωμετρικού μέρους των οριζόντων και τα σκίτσα των δεδομένων επιφανειών, φτιαγμένα σε γραφικό χαρτί Α2.

Δύο εβδομάδες αργότερα παρουσιάζεται ένα σχέδιο που συμπληρώνεται από την κατασκευή της γραμμής τομής των επιφανειών και του εφαπτομενικού επιπέδου.

Κατά τη διάρκεια της τρίτης εβδομάδας, η εργασία σε γραφικό χαρτί Α4 τελειώνει με την κατασκευή μιας ανάπτυξης μιας από τις επιφάνειες με σχεδίαση πάνω της τη γραμμή τομής των επιφανειών.

Κατά την τέταρτη εβδομάδα, πραγματοποιείται διάταξη των τεμνόμενων επιφανειών.

Η ολοκληρωμένη εργασία παρουσιάζεται στον καθηγητή που οδηγεί το πρακτικό μάθημα. Σύμφωνα με την ολοκληρωμένη κατασκευή σε γραφικό χαρτί, ελέγχεται η αφομοίωση της μελέτης της ύλης από τον μαθητή.

Κατά την επίλυση του προβλήματος θέσης της κατασκευής μιας γραμμής τομής επιφανειών, χρησιμοποιείται η μέθοδος τομής. Ως «ενδιάμεσοι» επιλέγετε διατομικά επίπεδα ή σφαίρες. Πρέπει να δοθεί προσοχή στις συγκεκριμένες περιπτώσεις που εξετάστηκαν παραπάνω (η μέθοδος κοπής των επιπέδων και η μέθοδος των σφαιρών), που δίνουν την απλούστερη λύση στο πρόβλημα. Εάν είναι απαραίτητο, καταφύγετε σε συνδυασμό αυτών των μεθόδων.

Κατά την εκτέλεση μιας σάρωσης επιφάνειας, είναι απαραίτητο να μελετηθούν οι κατασκευές που εκτελούνται με τη μέθοδο της κανονικής τομής και τη μέθοδο κύλισης, καθώς και οι μέθοδοι για την κατασκευή κατά προσέγγιση και υπό όρους σκούπισμα και η χρήση του πιο ορθολογικού τρόπου στην εργασία.

Όταν σχεδιάζετε ένα εφαπτόμενο επίπεδο σε μια επιφάνεια σε ένα δεδομένο σημείο, αρκεί να σχεδιάσετε δύο καμπύλες γραμμές στην επιφάνεια που διέρχεται από ένα σημείο και να σχεδιάσετε εφαπτόμενες σε αυτές τις ευθείες σε ένα δεδομένο σημείο, έχοντας υπόψη ότι μια εφαπτομένη σε μια επίπεδη καμπύλη γραμμή είναι προβάλλεται από μια εφαπτομένη στην προβολή του.

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.

1. Γεωμετρία Vinitsky. Μόσχα: Ανώτερο σχολείο, 1975.

2. Γεωμετρία Γκόρντον. Μόσχα: Nauka, 1975.

3. Επιφάνειες. Μεθοδικές οδηγίες. / Σύνταξη, / Saratov, SGTU, 1990.

ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

επιλογή	Ορισμός σημείων	Συντεταγμένες σημείων	προφορικές πληροφορίες
					1. Υπερβολικό παραβολοειδές Κατευθυντήριες γραμμές - ΑΒ και CD Επίπεδο παραλληλισμού - P2 2. Μπροστινός προεξέχων κύλινδρος: Άξονας περιστροφής - I I¢ Δημιουργία - MN
					Κορυφή - S Βάση - ΑΒ 2. Περικομμένος κώνος: Κάτω βάση - CF 3. Πάνω βάση - ΔΕ
					Άξονας περιστροφής t ^ P1 Δημιουργία - CD 2. Υπερβολοειδές: Άξονας περιστροφής i ^ P1 Γεννήτρια - ΑΒ
					1. Επιφάνεια περιστροφής: Άξονας περιστροφής-KK¢ Γεννητικό - μετωπικό τόξο (Ο - κέντρο περιστροφής ΟΑ - ακτίνα) 2. Κύλινδρος: Άξονας περιστροφής-MM¢ Γεννήτρια - LL¢

					1. Κύλινδρος: Άξονας περιστροφής - I I¢ Γεννήτρια - ΕΦ 2. Πυραμίδα: Κορυφές της πυραμίδας - A, B, C, D
					1. Υπερβολικό παραβολοειδές Ράγες οδηγών AB, CD Επίπεδο παραλληλισμού. – P2 2. Ημισφαίριο: Κέντρο - Ο Ακτίνα - ΟΚ
	Α 1.5.6				1. Μέρος της σφαίρας (από R έως R¢) Κέντρο - Ο Ακτίνα - OR = OR¢ 2. Κωνοειδής: κατευθυνόμενη ευθεία - ΟΑ, BC-κατευθυντική καμπύλη προβολής της οποίας: στο P2- ευθεία, στο τόξο P1 (κέντρο - Ο, ακτίνα - OB).P1-επίπεδο παραλληλισμός.
					1. Πυραμίδα: Κορυφές - S, A, B, C. 2. Κονοειδής: Οδηγός ευθεία - EF Οδηγός καμπύλης - RR¢, προβολές των οποίων: στο τόξο P2 (κέντρο O¢, O¢R =O¢R¢-ακτίνα), στο τόξο P1 (O - κέντρο, OR \u003d OR¢- ακτίνα), P1-επίπεδο παραλληλισμού.
	Α 1.5.7				1. Κύλινδρος: Δημιουργία - CD 2. Κονοειδής: Προπορευόμενη ευθεία - ΑΒ Οδηγός κύκλος ανήκει στο επίπεδο P1. O - κέντρο, OE - ακτίνα, P2 - επίπεδο παραλληλισμού.
					1. Επιφάνεια Torus: Δημιουργία κύκλου ανήκει στην πλ. P1. O - κέντρο, OS - ακτίνα. 2. Κυβερνούμενη επιφάνεια: Γεννήτρια - MM¢ Οδηγός τόξο-KDM (O¢-κέντρο, O¢D-ακτίνα)
					1. Υπερβολοειδές: Άξονας περιστροφής - I I¢ Δημιουργία - ΑΒ 2. Κύλινδρος: Δημιουργία - NM Οδηγός κύκλος μετωπική (O-center, ON - ακτίνα).
	Α 1.5.8 Β 1.5.9				1. Κύλινδρος: Δημιουργία - CD Άξονας περιστροφής t ^ P1 2. Υπερβολοειδές: Άξονας περιστροφής i ^ P1 Δημιουργία - ΑΒ
	Α 1.5.10				1. Κύλινδρος: Άξονας περιστροφής - I I¢ Δημιουργία - ΑΒ Άξονας περιστροφής - TT¢ Δημιουργία κύκλου ανήκει στο επίπεδο P1 (O - κέντρο, OS - ακτίνα)
	Περίπου 1.5.11				1. Ημισφαίριο: (O-center, OK-radius) 2. Κονοειδής: Οδηγός ευθεία - LM Οδηγός κύκλος ανήκει στην πλ. P1 (Ο - κέντρο, ΟΚ - ακτίνα) P2 - επίπεδο παραλληλισμού

					1. Πρίσμα: ¢ - άκρες. Άξονας περιστροφής - I I¢ Δημιουργία τόξου κύκλου (Κέντρο - O2,
					1. Υπερβολοειδές: Άξονας περιστροφής - I I¢ Δημιουργία - ΑΒ Άξονας περιστροφής - Λ.Σ Base Radius - OS
					1. Υπερβολικό παραβολοειδές Οδηγοί - AB και CD P1 - επίπεδο παραλληλισμού Άξονας περιστροφής - SI Δημιουργία - ΝΑ
					1. Κονοειδής: Οδηγός ευθεία - ΑΒ Οδηγός κύκλος ανήκει στην πλ. P1 Κέντρο - Ο, ακτίνα - OS P2 - επίπεδο παραλληλισμού 2. Ημισφαίριο: Κέντρο - Ο, ακτίνα - OS
					1. Κύλινδρος: Οδηγός κύκλος ανήκει στην πλ. P2 (Κέντρο - Ο, ακτίνα - ΟΑ), Διαμόρφωση - ΟΑ Άξονας περιστροφής - CD Δημιουργία - CB
					1. Πρίσμα: Β¢- νευρώσεις Άξονας περιστροφής - EF Δημιουργία - ΕΔ
					1. Κονοειδής: Οδηγός ευθεία - ΑΒ τόξο οδηγού, που ανήκει στην Π1- ΜΝ Κέντρο - Ο. Ακτίνα - ΟΜ P2 - επίπεδο παραλληλισμού 2. Ημικύλινδρος: Δημιουργία - CD
					1. Κονοειδής: Οδηγός ευθεία - ΑΒ τόξο οδηγού, ιδιοκτησίας P1- CD (κέντρο - O, ακτίνα - OS) E2F2 - ίχνη αεροπλάνου συγχρονισμός 2. Κύλινδρος: Άξονας περιστροφής - I I¢ Δημιουργία - MN
					(Κέντρο - O, ακτίνα - OR) Άξονας περιστροφής - VK Δημιουργία - ΑΒ
					OS - άξονας περιστροφής, AS - generatrix Άξονας περιστροφής - CD Δημιουργία - ΒΑ
					1. Ημισφαίριο: Radius - OS 2. Υπερβολοειδές: Άξονας περιστροφής - I I¢ Δημιουργία - ΑΒ