Να υπολογίσετε την ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων. Ορίζουσες τετραγωνικών πινάκων. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Διάλεξη 6

4.6 Ορίζουσα του γινομένου δύο τετραγωνικών πινάκων.

Προϊόν δύο τετραγωνικών πινάκων n-η σειρά ορίζεται πάντα. Σε αυτή την περίπτωση, το ακόλουθο θεώρημα είναι σημαντικό.

Θεώρημα. Η ορίζουσα του γινομένου του πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των οριζόντιων παραγόντων πινάκων:

Απόδειξη.Αφήνω

Και
,

Ας δημιουργήσουμε μια βοηθητική ορίζουσα

Συνεπεία του θεωρήματος του Laplace έχουμε:

Ετσι,
, θα το δείξουμε
. Για να γίνει αυτό, μετασχηματίζουμε την ορίζουσα ως εξής. πρώτοι οι πρώτοι Π
, προσθήκη σε
-η στήλη. Μετά το πρώτο Πστήλες πολλαπλασιαζόμενες επί
, προσθήκη σε
-η στήλη κ.λπ. Στο τελευταίο βήμα για να
θα προστεθεί η πρώτη στήλη Πστήλες πολλαπλασιαζόμενες επί
. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε την ορίζουσα

Επέκταση της ορίζουσας που προκύπτει χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Laplace ως προς την τελευταία Πστήλες, βρίσκουμε:

Άρα, οι ισότητες έχουν αποδειχθεί
Και
, από το οποίο προκύπτει ότι
.

4.7.Αντίστροφος πίνακας

Ορισμός 1 . Ας δοθεί ένας τετραγωνικός πίνακας ΕΝΑ Π-η σειρά. Τετράγωνη μήτρα
ίδιας τάξης λέγονται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗστη μήτρα ΕΝΑ, αν , πού μι-μήτρα ταυτότητας Π-η σειρά.

Δήλωση. Αν υπάρχει αντίστροφος πίνακας του πίνακα ΕΝΑ, τότε ένας τέτοιος πίνακας είναι μοναδικός.

Απόδειξη.Ας υποθέσουμε ότι ο πίνακας
δεν είναι ο μόνος αντίστροφος πίνακας του πίνακα ΕΝΑ. Ας πάρουμε έναν άλλο αντίστροφο πίνακα Β. Τότε οι συνθήκες ικανοποιούνται

Ας δούμε το έργο
. Για αυτόν υπάρχουν ισότητες

από το οποίο προκύπτει ότι
. Έτσι, αποδεικνύεται η μοναδικότητα του αντίστροφου πίνακα.

Όταν αποδεικνύεται το θεώρημα για την ύπαρξη ενός αντίστροφου πίνακα, θα χρειαστούμε την έννοια του «συνημμένου πίνακα».

Ορισμός 2 . Ας δοθεί η μήτρα

των οποίων τα στοιχεία είναι αλγεβρικά συμπληρώματα στοιχεία μήτρες ΕΝΑ, που ονομάζεται προσαρτημένος μήτρα σε μήτρα ΕΝΑ.

Ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι για να κατασκευάσουμε τον συνημμένο πίνακα ΜΕστοιχεία μήτρας ΕΝΑπρέπει να τα αντικαταστήσετε με αλγεβρικές προσθήκες και στη συνέχεια να μεταφέρετε τον προκύπτοντα πίνακα.

Ορισμός 3. Τετράγωνη μήτρα ΕΝΑπου ονομάζεται μη εκφυλισμένος , Αν
.

Θεώρημα. Για το matrix ΕΝΑείχε αντίστροφη μήτρα
, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι ο πίνακας ΕΝΑήταν μη εκφυλισμένος. Σε αυτή την περίπτωση, ο πίνακας
καθορίζεται από τον τύπο

, (1)

Οπου - αλγεβρικές προσθήκες στοιχείων πίνακα ΕΝΑ.

Απόδειξη.Αφήστε τη μήτρα ΕΝΑέχει αντίστροφο πίνακα
. Τότε ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις από τις οποίες προκύπτει. Από την τελευταία ισότητα παίρνουμε ότι οι ορίζουσες
Και
. Αυτοί οι ορίζοντες σχετίζονται με τη σχέση
. Πίνακες ΕΝΑΚαι
μη εκφυλισμένες γιατί οι ορίζουσες τους είναι μη μηδενικές.

Ας αφήσουμε τώρα τη μήτρα ΕΝΑμη εκφυλισμένος. Ας αποδείξουμε ότι η μήτρα ΕΝΑέχει αντίστροφο πίνακα
και προσδιορίζεται από τον τύπο (1). Για να το κάνουμε αυτό, ας δούμε το έργο

μήτρες ΕΝΑκαι τη μήτρα που σχετίζεται με αυτήν ΜΕ.

Σύμφωνα με τον κανόνα πολλαπλασιασμού του πίνακα, το στοιχείο έργα
μήτρες ΕΝΑΚαι ΜΕέχει τη μορφή: . Αφού το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων Εγώτις σειρές σε αλγεβρικά συμπληρώματα των αντίστοιχων στοιχείων ι- η σειρά είναι ίση με μηδέν στο
και η ορίζουσα στο
. Ως εκ τούτου,

Οπου μι- μήτρα ταυτότητας Π-η σειρά. Η ισότητα αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο
. Ετσι,

, το οποίο σημαίνει ότι
και μήτρα είναι το αντίστροφο του πίνακα ΕΝΑ. Επομένως, ο μη ενικός πίνακας ΕΝΑέχει έναν αντίστροφο πίνακα, ο οποίος προσδιορίζεται από τον τύπο (1).

Συμπέρασμα 1 . Ορίζοντες μήτρας ΕΝΑΚαι
που σχετίζονται με τη σχέση
.

Συμπέρασμα 2 . Κύρια ιδιότητα του συνημμένου πίνακα ΜΕστη μήτρα ΕΝΑεκφράζεται

ισότητες
.

Συμπέρασμα 3 . Ορίζουσα μη ενικού πίνακα ΕΝΑκαι τη μήτρα που σχετίζεται με αυτήν

ΜΕδεσμεύεται από ισότητα
.

Το συμπέρασμα 3 προκύπτει από την ισότητα
και ιδιότητες των οριζόντων, σύμφωνα με τις οποίες όταν πολλαπλασιάζονται επί Π-η δύναμη αυτού του αριθμού. Σε αυτήν την περίπτωση

απ' όπου προκύπτει ότι
.

Παράδειγμα. ΕΝΑ:

Λύση.Καθοριστική μήτρα

διαφορετικό από το μηδέν. Επομένως η μήτρα ΕΝΑέχει το αντίθετο. Για να το βρούμε, υπολογίζουμε πρώτα τα αλγεβρικά συμπληρώματα:

,
,
,

,
.

Τώρα, χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), γράφουμε τον αντίστροφο πίνακα

4.8. Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί σε πίνακες. Αλγόριθμος Gauss.

Ορισμός 1. Κάτω από στοιχειώδεις μεταμορφώσεις πάνω από τη μήτρα μεγέθους

κατανοήσετε τα παρακάτω βήματα.

Πολλαπλασιασμός οποιασδήποτε γραμμής (στήλης) ενός πίνακα με οποιονδήποτε μη μηδενικό αριθμό.

Προσθήκη σε οποιαδήποτε Εγώη σειρά του πίνακα οποιουδήποτε από τα ι- η συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με έναν αυθαίρετο αριθμό.

Προσθήκη σε οποιαδήποτε Εγώη στήλη του πίνακα οποιουδήποτε από τους ι- η στήλη πολλαπλασιάζεται με έναν αυθαίρετο αριθμό.

Αναδιάταξη των σειρών (στήλων) ενός πίνακα.

Ορισμός 2. Πίνακες ΕΝΑΚαι ΣΕθα καλέσουμε ισοδύναμος , αν ένα από αυτά μπορεί να μετατραπεί σε άλλο χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Θα γράψω
.

Η ισοδυναμία πίνακα έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Ορισμός 3 . Βηματίστηκε ονομάζεται μήτρα ΕΝΑέχοντας τις ακόλουθες ιδιότητες:

1) εάν Εγώ-η γραμμή είναι μηδέν, δηλ. αποτελείται από όλα τα μηδενικά, λοιπόν
-η γραμμή είναι επίσης μηδέν.

2) εάν τα πρώτα μη μηδενικά στοιχεία Εγώου και
Οι σειρές βρίσκονται σε στήλες με αριθμούς κΚαι μεγάλο, Οτι
.

Παράδειγμα.Πίνακες

Και

είναι σταδιακά και ο πίνακας

δεν είναι κλιμακωτή.

Ας δείξουμε πώς, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, μπορούμε να μειώσουμε τον πίνακα ΕΝΑσε μια κλιμακωτή θέα.

Gaussian αλγόριθμος . Εξετάστε τη μήτρα ΕΝΑΜέγεθος
. Χωρίς απώλεια γενικότητας μπορούμε να το υποθέσουμε
. (Εάν είναι στη μήτρα ΕΝΑΕάν υπάρχει τουλάχιστον ένα μη μηδενικό στοιχείο, τότε αναδιατάσσοντας τις σειρές και μετά τις στήλες, μπορούμε να διασφαλίσουμε ότι αυτό το στοιχείο πέφτει στην τομή της πρώτης σειράς και της πρώτης στήλης.) Προσθήκη στη δεύτερη σειρά του πίνακα ΕΝΑπολλαπλασιάζεται πρώτα επί , στην τρίτη γραμμή – η πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη επί και τα λοιπά.

Ως αποτέλεσμα το παίρνουμε αυτό

Στοιχεία στα νεότερα
Οι γραμμές καθορίζονται από τους τύπους:

,
,
.

Εξετάστε τη μήτρα

Αν όλα τα στοιχεία του πίνακα είναι ίσα με μηδέν, λοιπόν

και ο ισοδύναμος πίνακας είναι σταδιακά. Αν μεταξύ των στοιχείων του πίνακα τουλάχιστον το ένα είναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς απώλεια γενικότητας ότι
(αυτό μπορεί να επιτευχθεί με την αναδιάταξη των γραμμών και των στηλών του πίνακα ). Σε αυτή την περίπτωση, μετασχηματισμός του πίνακα ακριβώς όπως μια μήτρα ΕΝΑ, παίρνουμε

αντίστοιχα,

Εδώ
,
,
.

και
,
, … ,
. Στη μήτρα ΕΝΑ Τγραμμές και για να το φέρετε σε σταδιακή μορφή με τον υποδεικνυόμενο τρόπο, δεν θα χρειαστείτε περισσότερα Τβήματα. Τότε η διαδικασία μπορεί να τελειώσει στις κ-ο βήμα αν και μόνο αν όλα τα στοιχεία του πίνακα

είναι ίσα με μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση

και
,
, … ,
.

4.9. Εύρεση του αντίστροφου πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

Για έναν μεγάλο πίνακα, είναι βολικό να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς σε πίνακες. Αυτή η μέθοδος είναι η εξής. Γράψτε τον σύνθετο πίνακα
και σύμφωνα με το σχήμα της μεθόδου Gauss, εκτελούνται στις σειρές αυτού του πίνακα (δηλ. ταυτόχρονα στον πίνακα ΕΝΑκαι στο matrix μι) στοιχειώδεις μετασχηματισμοί. Ως αποτέλεσμα, η μήτρα ΕΝΑμετατρέπεται στον πίνακα ταυτότητας, και ο πίνακας μι– στη μήτρα
.

Παράδειγμα.Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα ενός πίνακα

Λύση.Ας γράψουμε τον σύνθετο πίνακα
και να το μετατρέψουμε χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς χορδών σύμφωνα με τη μέθοδο Gauss. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

Από αυτούς τους μετασχηματισμούς συμπεραίνουμε ότι

4.10 Κατάταξη Matrix.

Ορισμός. Ακέραιος αριθμός rπου ονομάζεται τάξη μήτρες ΕΝΑ, εάν έχει δευτερεύουσα παραγγελία r, μη μηδενικά, και όλα τα δευτερεύοντα είναι κατά σειρά υψηλότερα rείναι ίσα με μηδέν. Η κατάταξη του πίνακα θα υποδηλωθεί με το σύμβολο
.

Η κατάταξη του πίνακα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο συνορεύουν ανήλικοι .

Παράδειγμα.Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο οριοθέτησης ανηλίκων, υπολογίστε την κατάταξη του πίνακα

Λύση.

Η παραπάνω μέθοδος δεν είναι πάντα βολική, γιατί... σχετίζεται με τον υπολογισμό των μεγάλων

αριθμός καθοριστικών παραγόντων.

Δήλωση. Η κατάταξη ενός πίνακα δεν αλλάζει κατά τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των γραμμών και στηλών του.

Η δηλωμένη δήλωση υποδεικνύει τον δεύτερο τρόπο υπολογισμού της κατάταξης ενός πίνακα. Ονομάζεται με τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών . Για να βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο Gaussian για να τον μειώσετε σε σταδιακή μορφή και, στη συνέχεια, να επιλέξετε το μέγιστο μη μηδενικό δευτερεύον. Ας το εξηγήσουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, υπολογίστε την κατάταξη του πίνακα

Λύση.Ας εκτελέσουμε μια αλυσίδα στοιχειωδών μετασχηματισμών σύμφωνα με τη μέθοδο Gauss. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια αλυσίδα ισοδύναμων πινάκων.

Θεώρημα. Έστω Α και Β δύο τετράγωνοι πίνακες τάξης n. Τότε η ορίζουσα του γινομένου τους ισούται με το γινόμενο των οριζουσών, δηλ.

| ΑΒ | = | Α| | Β|.

< Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n

(δ) (2n) = | A | | Β | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | A | | Β|.

Αν δείξουμε ότι η ορίζουσα (d) (2n) είναι ίση με την ορίζουσα του πίνακα C=AB, τότε το θεώρημα θα αποδειχθεί.

Στο (d) (2n) εκτελούμε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: στη γραμμή 1 προσθέτουμε (n+1) γραμμή πολλαπλασιασμένη με a11. (n+2) συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη με a12, κ.λπ. (2n) συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη επί (a) (1n) . Στην ορίζουσα που προκύπτει, τα πρώτα n στοιχεία της πρώτης σειράς θα είναι μηδενικά και τα άλλα n στοιχεία θα είναι ως εξής:

a11* b11 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (1n) = c11 ;

a11* b12 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (2n) = c12 ;

a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (a) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n) .

Ομοίως, λαμβάνουμε μηδενικά σε 2, ..., n σειρές της ορίζουσας (d) (2n), και τα τελευταία n στοιχεία σε κάθε μία από αυτές τις σειρές θα γίνουν τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα C. Ως αποτέλεσμα, η ορίζουσα ( δ) Το (2n) μετατρέπεται σε ίση ορίζουσα:

(δ) (2n) = | C | (-1))(^1+...+n+...+2n) = |AB|. >

Συνέπεια. Η ορίζουσα του γινομένου ενός πεπερασμένου αριθμού τετραγωνικών πινάκων είναι ίση με το γινόμενο των οριζόντιών τους.

< Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.>

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΜΗΤΡΑ.

Έστω A = (aij) (n x n) ένας τετράγωνος πίνακας πάνω από το πεδίο P.

Ορισμός 1. Ο πίνακας Α θα ονομάζεται ενικός εάν η ορίζοντή του είναι ίση με 0. Ο πίνακας Α θα λέγεται μη ενικός διαφορετικά.

Ορισμός 2. Έστω A О Pn. Θα ονομάσουμε τον πίνακα B Î Pn αντίστροφο του A εάν AB = BA=E.

Θεώρημα (κριτήριο αντιστρεψιμότητας πίνακα) Ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος εάν και μόνο αν είναι μη ενικός.

< Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0.

Άσε, πίσω, | A | ¹ 0. Είναι απαραίτητο να δείξουμε ότι υπάρχει ένας πίνακας B τέτοιος ώστε AB = BA = E. Ως B παίρνουμε τον ακόλουθο πίνακα:

όπου A ij είναι το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου a ij. Επειτα

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι το αποτέλεσμα θα είναι ένας πίνακας ταυτότητας (αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τα συμπεράσματα 1 και 2 από το θεώρημα του Laplace), δηλ. ΑΒ = Ε. Ομοίως, φαίνεται ότι ΒΑ = Ε. >

Παράδειγμα. Για τον πίνακα Α, βρείτε τον αντίστροφο πίνακα ή αποδείξτε ότι δεν υπάρχει.

det A = -3 Þ υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας. Τώρα υπολογίζουμε τις αλγεβρικές προσθήκες.

A 11 = -3 A 21 = 0 A 31 = 6

A 12 = 0 A 22 = 0 A 32 = -3

Α 13 = 1 Α 23 = -1 Α 33 = -1

Έτσι, ο αντίστροφος πίνακας μοιάζει με: B = =

Αλγόριθμος για την εύρεση του αντιστρόφου ενός πίνακα

1. Υπολογίστε το det A.

2. Αν είναι 0, τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει. Αν το det A δεν είναι ίσο

0, θεωρούμε αλγεβρικές προσθήκες.

3. Βάζουμε αλγεβρικές προσθήκες στα κατάλληλα σημεία.

4. Διαιρέστε όλα τα στοιχεία του πίνακα που προκύπτει με το det A.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.

Ορισμός 1. Εξίσωση της μορφής a1x1+ ....+an xn=b, όπου a, ... ,an είναι αριθμοί; x1, ... ,xn είναι άγνωστα, ονομάζονται γραμμική εξίσωση με nάγνωστος.

μικρόεξισώσεις με nάγνωστο ονομάζεται σύστημα μικρό γραμμικές εξισώσειςΜε nάγνωστο, δηλ.

(1)
Ο πίνακας Α, που αποτελείται από συντελεστές για τους αγνώστους του συστήματος (1), ονομάζεται πίνακας του συστήματος (1). .

Αν προσθέσουμε μια στήλη ελεύθερων όρων στον πίνακα Α, θα έχουμε έναν εκτεταμένο πίνακα του συστήματος (1).

X = - στήλη αγνώστων. - στήλη ελεύθερων μελών.

Σε μορφή μήτρας, το σύστημα μοιάζει με: AX=B (2).

Μια λύση στο σύστημα (1) είναι ένα διατεταγμένο σύνολο nαριθμοί (α1,…, αn) τέτοιοι ώστε αν κάνουμε αντικατάσταση σε (1) x1 = α1, x2 = α2,…, xn = αn, τότε λαμβάνουμε αριθμητικές ταυτότητες.

Ορισμός 2. Το σύστημα (1) λέγεται συνεπές εάν έχει λύσεις, και ασυνεπές διαφορετικά.

Ορισμός 3. Δύο συστήματα ονομάζονται ισοδύναμα εάν τα σύνολα λύσεών τους συμπίπτουν.

Υπάρχει ένας καθολικός τρόπος επίλυσης του συστήματος (1) - η μέθοδος Gauss (μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων)

Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα την περίπτωση όταν s = n. Υπάρχει η μέθοδος του Cramer για την επίλυση τέτοιων συστημάτων.

Έστω d = det,

dj είναι η ορίζουσα του d, στην οποία η jη στήλη αντικαθίσταται από μια στήλη ελεύθερων όρων.

ΚΑΝΟΝΑΣ ΚΡΑΜΕΡ

Θεώρημα (κανόνας Cramer). Εάν η ορίζουσα του συστήματος d ¹ 0, τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, που προκύπτει από τους τύπους:

x1 = d1 / d …xn = dn / d

<Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим

και θεωρήστε την εξίσωση AX = B (2) με έναν άγνωστο πίνακα στήλης X. Επειδή τα A, X, B είναι πίνακες μεγέθους n x n, n x 1, n x 1Αντίστοιχα, το γινόμενο των ορθογώνιων πινάκων ΑΧ ορίζεται και έχει τις ίδιες διαστάσεις με τον πίνακα Β. Έτσι, η εξίσωση (2) έχει νόημα.

Η σύνδεση μεταξύ του συστήματος (1) και της εξίσωσης (2) είναι ότι ποια είναι η λύση ενός δεδομένου συστήματος εάν και μόνο εάν

η στήλη είναι η λύση της εξίσωσης (2).

Πράγματι, αυτή η δήλωση σημαίνει την ισότητα

Η τελευταία ισότητα, ως ισότητα πινάκων, είναι ισοδύναμη με το σύστημα των ισοτήτων

που σημαίνει ότι είναι μια λύση στο σύστημα (1).

Έτσι, η επίλυση του συστήματος (1) ανάγεται στην επίλυση της εξίσωσης μήτρας (2). Εφόσον η ορίζουσα d του πίνακα Α είναι μη μηδενική, έχει αντίστροφο πίνακα A -1. Τότε AX = B Þ A(^-1)(AX) = A(^-1)B Þ (A(^-1)A)X = A(^-1)B Þ EX = A(^-1) B Þ X = A(^-1)B (3). Συνεπώς, αν η εξίσωση (2) έχει λύση, τότε αυτή δίνεται από τον τύπο (3). Από την άλλη πλευρά, A(A(^-1)B) = (A A(^-1))B = EB = B.

Επομένως X = A(^-1)B είναι η μόνη λύση της εξίσωσης (2).

Επειδή ,

όπου A ij είναι το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου a ij στην ορίζουσα d, τότε

από όπου (4).

Στην ισότητα (4) σε παρένθεση γράφεται η επέκταση σε στοιχεία της j-ης στήλης της ορίζουσας dj, η οποία προκύπτει από την ορίζουσα d μετά την αντικατάστασή της.

η jη στήλη είναι η στήλη των ελεύθερων όρων. Να γιατί, xj = dj/ d.>

Συνέπεια. Αν ένα ομοιογενές σύστημα n γραμμικών εξισώσεων από nτων αγνώστων έχει μια μη μηδενική λύση, τότε η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι ίση με μηδέν.

Ορισμός.Προϊόν δύο πινάκων ΕΝΑΚαι ΣΕονομάζεται μήτρα ΜΕ, το στοιχείο του οποίου βρίσκεται στη διασταύρωση Εγώη γραμμή και ιη στήλη, ίσο με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων Εγώη σειρά του πίνακα ΕΝΑστα αντίστοιχα (κατά σειρά) στοιχεία ιη στήλη μήτρας ΣΕ.

Από αυτόν τον ορισμό ακολουθεί ο τύπος του στοιχείου μήτρας ντο:

Προϊόν μήτρας ΕΝΑστη μήτρα ΣΕσυμβολίζεται με ΑΒ.

Παράδειγμα 1.Βρείτε το γινόμενο δύο πινάκων ΕΝΑΚαι σι, Αν

Λύση. Είναι βολικό να βρείτε το γινόμενο δύο πινάκων ΕΝΑΚαι ΣΕγράψτε όπως στο Σχ. 2:

Στο διάγραμμα, τα γκρι βέλη υποδεικνύουν ποιες σειρές του πίνακα είναι στοιχεία ΕΝΑστα στοιχεία ποιας στήλης του πίνακα ΣΕπρέπει να πολλαπλασιαστεί για να ληφθούν στοιχεία μήτρας ΜΕ, και οι γραμμές είναι τα χρώματα του στοιχείου μήτρας ντοσυνδέονται τα αντίστοιχα στοιχεία μήτρας ΕΝΑΚαι σι, τα προϊόντα του οποίου προστίθενται για να ληφθεί ένα στοιχείο μήτρας ντο.

Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε τα στοιχεία του προϊόντος μήτρας:

Τώρα έχουμε τα πάντα για να γράψουμε το γινόμενο δύο πινάκων:

Προϊόν δύο πινάκων ΑΒέχει νόημα μόνο εάν ο αριθμός των στηλών του πίνακα ΕΝΑσυμπίπτει με τον αριθμό των σειρών του πίνακα ΣΕ.

Αυτή η σημαντική λειτουργία θα είναι πιο εύκολο να θυμάστε εάν χρησιμοποιείτε πιο συχνά τις ακόλουθες υπενθυμίσεις:

Υπάρχει ένα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό του γινομένου των πινάκων σε σχέση με τον αριθμό των γραμμών και στηλών:

Στο γινόμενο πινάκων ΑΒο αριθμός των σειρών είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών του πίνακα ΕΝΑ, και ο αριθμός των στηλών είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών μήτρας ΣΕ .

Παράδειγμα 2.Βρείτε τον αριθμό των γραμμών και στηλών ενός πίνακα ντο, που είναι το γινόμενο δύο πινάκων ΕΝΑΚαι σιοι ακόλουθες διαστάσεις:

α) 2 Χ 10 και 10 Χ 5.

β) 10 Χ 2 και 2 Χ 5;

Παράδειγμα 3.Βρείτε το γινόμενο των πινάκων ΕΝΑΚαι σι, Αν:

ΕΝΑ σι- 2. Επομένως, η διάσταση του πίνακα ντο = ΑΒ- 2 Χ 2.

Υπολογισμός στοιχείων μήτρας ντο = ΑΒ.

Το ευρεθέν γινόμενο των πινάκων: .

Μπορείτε να ελέγξετε τη λύση σε αυτό και άλλα παρόμοια προβλήματα στη διεύθυνση ηλεκτρονικός υπολογιστής προϊόντων matrix .

Παράδειγμα 5.Βρείτε το γινόμενο των πινάκων ΕΝΑΚαι σι, Αν:

Λύση. Αριθμός σειρών στον πίνακα ΕΝΑ- 2, αριθμός στηλών στον πίνακα σι ντο = ΑΒ- 2 Χ 1.

Υπολογισμός στοιχείων μήτρας ντο = ΑΒ.

Το γινόμενο των πινάκων θα γραφεί ως πίνακας στήλης: .

Παράδειγμα 6.Βρείτε το γινόμενο των πινάκων ΕΝΑΚαι σι, Αν:

Λύση. Αριθμός σειρών στον πίνακα ΕΝΑ- 3, αριθμός στηλών στον πίνακα σι- 3. Επομένως, η διάσταση του πίνακα ντο = ΑΒ- 3 Χ 3.

Υπολογισμός στοιχείων μήτρας ντο = ΑΒ.

Το ευρεθέν γινόμενο των πινάκων: .

Παράδειγμα 7.Βρείτε το γινόμενο των πινάκων ΕΝΑΚαι σι, Αν:

Λύση. Αριθμός σειρών στον πίνακα ΕΝΑ- 1, αριθμός στηλών στον πίνακα σι- 1. Επομένως, η διάσταση του πίνακα ντο = ΑΒ- 1 Χ 1.

Υπολογισμός του στοιχείου μήτρας ντο = ΑΒ.

Το γινόμενο των πινάκων είναι ένας πίνακας ενός στοιχείου: .

Η εφαρμογή λογισμικού του γινομένου δύο πινάκων σε C++ συζητείται στο αντίστοιχο άρθρο στο μπλοκ «Υπολογιστές και προγραμματισμός».

Εκτίμηση μήτρας

Η αύξηση ενός πίνακα σε μια ισχύ ορίζεται ως ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με τον ίδιο πίνακα. Δεδομένου ότι ένα γινόμενο πινάκων υπάρχει μόνο όταν ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα συμπίπτει με τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου πίνακα, μόνο οι τετράγωνοι πίνακες μπορούν να αυξηθούν σε ισχύ. nη δύναμη ενός πίνακα πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα με τον εαυτό του nμια φορά:

Παράδειγμα 8.Δίνεται μια μήτρα. Εύρημα ΕΝΑ² και ΕΝΑ³ .

Βρείτε μόνοι σας το προϊόν μήτρας και μετά δείτε τη λύση

Παράδειγμα 9.Δίνεται μια μήτρα

Να βρείτε το γινόμενο του δεδομένου πίνακα και του μετατιθέμενου πίνακα, το γινόμενο του μετατιθέμενου πίνακα και του δεδομένου πίνακα.

Ιδιότητες του γινομένου δύο πινάκων

Ιδιοκτησία 1. Το γινόμενο οποιουδήποτε πίνακα Α και του πίνακα ταυτότητας Ε της αντίστοιχης σειράς, τόσο στα δεξιά όσο και στα αριστερά, συμπίπτει με τον πίνακα Α, δηλ. ΑΕ = ΕΑ = Α.

Με άλλα λόγια, ο ρόλος μήτρα ταυτότηταςκατά τον πολλαπλασιασμό πινάκων, το ίδιο με τις μονάδες κατά τον πολλαπλασιασμό των αριθμών.

Παράδειγμα 10.Βεβαιωθείτε ότι η ιδιότητα 1 είναι αληθής βρίσκοντας τα προϊόντα του πίνακα

στον πίνακα ταυτότητας δεξιά και αριστερά.

Λύση. Από τη μήτρα ΕΝΑπεριέχει τρεις στήλες, τότε πρέπει να βρείτε το προϊόν ΑΕ, Οπου

-
μήτρα ταυτότητας τρίτης τάξης. Ας βρούμε τα στοιχεία του έργου ΜΕ = ΑΕ :

Τελικά φαίνεται πως ΑΕ = ΕΝΑ .

Τώρα ας βρούμε το προϊόν EA, Οπου μιείναι ένας πίνακας ταυτότητας δεύτερης τάξης, αφού ο πίνακας Α περιέχει δύο σειρές. Ας βρούμε τα στοιχεία του έργου ΜΕ = EA :

Θεώρημα.Έστω Α και Β δύο τετράγωνοι πίνακες τάξης n. Τότε η ορίζουσα του γινομένου τους ισούται με το γινόμενο των οριζουσών, δηλ.

| ΑΒ | = | Α| | Β|.

¢ Έστω A = (a ij) n x n , B = (b ij) n x n . Θεωρήστε την ορίζουσα d 2 n τάξης 2n

d2n = | A | | Β | (-1) 1 + ... + n + 1 + ... + n = | A | | Β|.

Αν δείξουμε ότι η ορίζουσα του d 2 n είναι ίση με την ορίζουσα του πίνακα C=AB, τότε το θεώρημα θα αποδειχθεί.

Στο d 2 n θα κάνουμε τους εξής μετασχηματισμούς: σε 1 γραμμή προσθέτουμε (n+1) γραμμή πολλαπλασιαζόμενη επί 11. (n+2) συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη επί 12, κ.λπ. (2n) συμβολοσειρά πολλαπλασιασμένη επί 1 n . Στην ορίζουσα που προκύπτει, τα πρώτα n στοιχεία της πρώτης σειράς θα είναι μηδενικά και τα άλλα n στοιχεία θα είναι ως εξής:

a 11 b 11 + a 12 b 21 + ... + a 1n b n1 = c 11;

a 11 b 12 + a 12 b 22 + ... + a 1n b n2 = c 12;

a 11 b 1n + a 12 b 2n + ... + a 1n b nn = c 1n.

Ομοίως, λαμβάνουμε μηδενικά σε 2, ..., n σειρές της ορίζουσας d 2 n, και τα τελευταία n στοιχεία σε κάθε μία από αυτές τις σειρές θα γίνουν τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα C. Ως αποτέλεσμα, η ορίζουσα d 2 n είναι μετατρέπεται σε ίσο ορίζοντα:

d2n = | C | (-1) 1 + ... + n + ... + 2n = |AB|. £

Συνέπεια.Η ορίζουσα του γινομένου ενός πεπερασμένου αριθμού τετραγωνικών πινάκων είναι ίση με το γινόμενο των οριζόντιών τους.

¢ Η απόδειξη πραγματοποιείται επαγωγικά: | A 1 ... A i +1 | = | Α 1 ... Α ι | | A i +1 | = ... = = | A 1 | ... | A i +1 | . Αυτή η αλυσίδα ισοτήτων είναι σωστή σύμφωνα με το θεώρημα. £

Αντίστροφος πίνακας.

Έστω A = (a ij) n x n τετραγωνικός πίνακας πάνω από το πεδίο P.

Ορισμός 1.Ο πίνακας Α θα ονομάζεται ενικός εάν η ορίζοντή του είναι ίση με 0. Ο πίνακας Α θα ονομάζεται μη ενικός διαφορετικά.

Ορισμός 2.Έστω A Î P n . Θα ονομάσουμε τον πίνακα B Î P n αντίστροφο του A εάν AB = BA=E.

Θεώρημα (κριτήριο αντιστρεψιμότητας πίνακα).Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος εάν και μόνο αν είναι μη ενικός.

¢ Έστω το A να έχει αντίστροφο πίνακα. Τότε AA -1 = E και, εφαρμόζοντας το θεώρημα για τον πολλαπλασιασμό των οριζουσών, παίρνουμε | A | | Α -1 | = | E | ή | A | | Α -1 | = 1. Επομένως, | A | Νο. 0.

όπου A ij είναι το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου a ij. Επειτα

Πρέπει να σημειωθεί ότι το αποτέλεσμα θα είναι ένας πίνακας ταυτότητας (αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τα συμπεράσματα 1 και 2 από το θεώρημα του Laplace § 6), δηλ. ΑΒ = Ε. Ομοίως, φαίνεται ότι ΒΑ = Ε. £

Παράδειγμα.Για τον πίνακα Α, βρείτε τον αντίστροφο πίνακα ή αποδείξτε ότι δεν υπάρχει.

det A = -3 υπάρχει αντίστροφος πίνακας. Τώρα υπολογίζουμε τις αλγεβρικές προσθήκες.

A 11 = -3 A 21 = 0 A 31 = 6

A 12 = 0 A 22 = 0 A 32 = -3

Α 13 = 1 Α 23 = -1 Α 33 = -1

Έτσι, ο αντίστροφος πίνακας μοιάζει με: B = =

Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα για τον πίνακα Α.

1. Υπολογίστε το det A.

2. Αν είναι 0, τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει. Αν το det A δεν είναι ίσο με 0, υπολογίζουμε αλγεβρικές προσθήκες.

3. Βάζουμε αλγεβρικές προσθήκες στα κατάλληλα σημεία.

4. Διαιρέστε όλα τα στοιχεία του πίνακα που προκύπτει με το det A.

Ασκηση 1.Μάθετε εάν ο αντίστροφος πίνακας είναι μοναδικός.

Άσκηση 2.Έστω ότι τα στοιχεία του πίνακα Α είναι ορθολογικοί ακέραιοι. Τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα θα είναι ορθολογικοί ακέραιοι;

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

Ορισμός 1.Μια εξίσωση της μορφής a 1 x 1 + ....+a n x n =b, όπου a, ...,a n είναι αριθμοί. x 1 , ... , x n - άγνωστοι, που ονομάζεται γραμμική εξίσωση με nάγνωστος.

μικρόεξισώσεις με nάγνωστο ονομάζεται σύστημα μικρόγραμμικές εξισώσεις με nάγνωστο, δηλ.

Ο πίνακας Α, που αποτελείται από συντελεστές για τους αγνώστους του συστήματος (1), ονομάζεται πίνακας του συστήματος (1).

Αν προσθέσουμε μια στήλη ελεύθερων όρων στον πίνακα Α, θα έχουμε έναν εκτεταμένο πίνακα του συστήματος (1).

X = - στήλη αγνώστων.

Στήλη ελεύθερων μελών.

Σε μορφή μήτρας, το σύστημα μοιάζει με: AX=B (2).

Μια λύση στο σύστημα (1) είναι ένα διατεταγμένο σύνολο nαριθμοί (α 1 ,…, α n) τέτοιοι ώστε αν κάνουμε αντικατάσταση σε (1) x 1 = α 1 , x 2 = α 2 ,…, x n = α n , τότε παίρνουμε αριθμητικές ταυτότητες.

Ορισμός 2.Το σύστημα (1) ονομάζεται συνεπές εάν έχει λύσεις και ασυνεπές διαφορετικά.

Ορισμός 3.Δύο συστήματα ονομάζονται ισοδύναμα εάν τα σύνολα λύσεών τους συμπίπτουν.

Υπάρχει ένας καθολικός τρόπος επίλυσης του συστήματος (1) - η μέθοδος Gauss (μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων), βλέπε, σελίδα 15.

Έστω d = det,

d j είναι η ορίζουσα του d, στην οποία η jη στήλη αντικαθίσταται από μια στήλη ελεύθερων όρων.

Θεώρημα (κανόνας Cramer). Εάν η ορίζουσα του συστήματος d ¹ 0, τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, που προκύπτει από τους τύπους:

x 1 = d 1 / d …x n = d n / d

¢Η ιδέα της απόδειξης είναι να ξαναγράψουμε το σύστημα (1) με τη μορφή εξίσωσης μήτρας. Ας βάλουμε

η στήλη είναι η λύση της εξίσωσης (2).

Πράγματι, αυτή η δήλωση σημαίνει την ισότητα

Επειδή ,

όπου A ij είναι το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου a ij στην ορίζουσα d, τότε

= ,

από όπου (4).

Στην ισότητα (4) σε αγκύλες γράφεται η επέκταση σε στοιχεία της jης στήλης της ορίζουσας d j , η οποία προκύπτει από την ορίζουσα d μετά την αντικατάστασή της

η jη στήλη είναι η στήλη των ελεύθερων όρων. Να γιατί, x j = d j / d.£

Συνέπεια.Αν ένα ομοιογενές σύστημα n γραμμικών εξισώσεων από nτων αγνώστων έχει μια μη μηδενική λύση, τότε η ορίζουσα αυτού του συστήματος είναι ίση με μηδέν.

ΘΕΜΑ 3.Πολυώνυμα σε μία μεταβλητή.

Η ορίζουσα ενός πίνακα είναι ένας αριθμός που χαρακτηρίζει έναν τετράγωνο πίνακα Α και σχετίζεται στενά με την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Η ορίζουσα του πίνακα Α συμβολίζεται με ή. Οποιοσδήποτε τετράγωνος πίνακας Α τάξης n συσχετίζεται, σύμφωνα με έναν ορισμένο νόμο, με έναν υπολογισμένο αριθμό, που ονομάζεται ορίζουσα, ή ορίζουσα, της νης τάξης αυτού του πίνακα. Ας εξετάσουμε καθοριστικούς παράγοντες της δεύτερης και τρίτης τάξης.

Ας δοθεί η μήτρα

τότε η ορίζουσα δεύτερης τάξης του υπολογίζεται με τον τύπο

Παράδειγμα.Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα Α:

Απάντηση: -10.

Η ορίζουσα τρίτης τάξης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

Παράδειγμα.Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα Β

Απάντηση: 83.

Η ορίζουσα νης τάξης υπολογίζεται με βάση τις ιδιότητες της ορίζουσας και το ακόλουθο θεώρημα Laplace: η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων οποιασδήποτε σειράς (στήλης) του πίνακα και των αλγεβρικών συμπληρωμάτων τους:

Αλγεβρικό συμπλήρωμαστοιχείο ίσον , όπου είναι η ελάσσονα του στοιχείου, που προκύπτει διαγράφοντας την i-η σειρά και την j-η στήλη στην ορίζουσα.

ΑνήλικοςΗ τάξη ενός στοιχείου του πίνακα Α είναι η ορίζουσα ενός πίνακα (n-1) ης τάξης που λαμβάνεται από τον πίνακα Α με τη διαγραφή της i-ης σειράς και της j-ης στήλης.

Παράδειγμα. Βρείτε αλγεβρικά συμπληρώματα όλων των στοιχείων του πίνακα Α:

Απάντηση: .

Παράδειγμα. Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα ενός τριγωνικού πίνακα:

Απάντηση: -15.

Ιδιότητες προσδιοριστικών παραγόντων:

1. Εάν οποιαδήποτε σειρά (στήλη) του πίνακα αποτελείται μόνο από μηδενικά, τότε ο προσδιοριστής της είναι 0.

2. Αν όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής (στήλης) του πίνακα πολλαπλασιαστούν με τον αριθμό , τότε η ορίζοντή του θα πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον αριθμό.

3. Κατά τη μεταφορά ενός πίνακα, η ορίζοντή του δεν θα αλλάξει.

4. Κατά την αναδιάταξη δύο σειρών (στήλων) ενός πίνακα, ο προσδιοριστής του αλλάζει πρόσημο στο αντίθετο.

5. Αν ένας τετράγωνος πίνακας περιέχει δύο ίδιες σειρές (στήλες), τότε η ορίζοντή του είναι 0.

6. Αν τα στοιχεία δύο σειρών (στήλων) ενός πίνακα είναι ανάλογα, τότε η ορίζουσα του είναι 0.

7. Το άθροισμα του γινόμενου των στοιχείων οποιασδήποτε σειράς (στήλης) ενός πίνακα από τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων μιας άλλης σειράς (στήλης) αυτού του πίνακα είναι ίσο με 0.

8. Η ορίζουσα του πίνακα δεν θα αλλάξει εάν στα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς (στήλης) του πίνακα προστεθούν στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης), πολλαπλασιασμένα προηγουμένως με τον ίδιο αριθμό.

9. Το άθροισμα των γινομένων των αυθαίρετων αριθμών από τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων οποιασδήποτε σειράς (στήλης) είναι ίσο με την ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από αυτό αντικαθιστώντας τα στοιχεία αυτής της σειράς (στήλης) με αριθμούς.

10. Η ορίζουσα του γινομένου δύο τετραγωνικών πινάκων ισούται με το γινόμενο των οριζόντιών τους.

Αντίστροφος πίνακας.

Ορισμός.Ένας πίνακας ονομάζεται αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα A εάν, όταν πολλαπλασιαστεί με αυτόν τον πίνακα με τον δεδομένο πίνακα, τόσο στα δεξιά όσο και στα αριστερά, προκύπτει ο πίνακας ταυτότητας:

Από τον ορισμό προκύπτει ότι μόνο ένας τετραγωνικός πίνακας έχει αντίστροφο. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αντίστροφος πίνακας είναι επίσης τετράγωνος της ίδιας τάξης. Εάν η ορίζουσα ενός πίνακα είναι μη μηδενική, τότε ένας τέτοιος τετράγωνος πίνακας ονομάζεται μη ενικός.

Απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για την ύπαρξη αντίστροφου πίνακα: Ένας αντίστροφος πίνακας υπάρχει (και είναι μοναδικός) εάν και μόνο εάν ο αρχικός πίνακας δεν είναι μοναδικός.

Ο πρώτος αλγόριθμος για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα:

1. Βρείτε την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Εάν η ορίζουσα δεν είναι ίση με μηδέν, τότε ο αρχικός πίνακας είναι μη ενικός και υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας.

2. Βρείτε τον πίνακα που μετατίθεται στο Α.

3. Βρείτε τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του μετατιθέμενου πίνακα και συνθέστε τον παρακείμενο πίνακα από αυτά.

4. Υπολογίστε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο: .

5. Ελέγχουμε την ορθότητα του υπολογισμού του αντίστροφου πίνακα με βάση τον ορισμό του .

Παράδειγμα.

Απάντηση: .

Ο δεύτερος αλγόριθμος για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα:

Ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να υπολογιστεί με βάση τους ακόλουθους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στις σειρές του πίνακα:

Ανταλλάξτε δύο γραμμές.

Πολλαπλασιασμός μιας σειράς πίνακα με οποιονδήποτε αριθμό εκτός από το μηδέν.

Προσθέτοντας σε μια σειρά ενός πίνακα μια άλλη σειρά πολλαπλασιαζόμενη με οποιονδήποτε αριθμό εκτός από το μηδέν.

Για να υπολογιστεί ο αντίστροφος πίνακας για τον πίνακα Α, είναι απαραίτητο να συνθέσουμε τον πίνακα και, στη συνέχεια, μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών, να φέρουμε τον πίνακα Α στη μορφή του πίνακα ταυτότητας Ε και στη συνέχεια στη θέση του πίνακα ταυτότητας λαμβάνουμε τον πίνακα.

Παράδειγμα.Υπολογίστε τον αντίστροφο πίνακα για τον πίνακα Α:

Συνθέτουμε τον πίνακα Β της μορφής:

Στοιχείο = 1 και η πρώτη γραμμή που περιέχει αυτό το στοιχείο θα ονομάζεται οδηγοί. Ας πραγματοποιήσουμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, με αποτέλεσμα η πρώτη στήλη να μετατραπεί σε στήλη μονάδας με μία στην πρώτη σειρά. Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε την πρώτη γραμμή στη δεύτερη και τρίτη γραμμή, πολλαπλασιαζόμενες επί 1 και -2, αντίστοιχα. Ως αποτέλεσμα αυτών των μετασχηματισμών παίρνουμε:

Τελικά παίρνουμε

Οπου .

Κατάταξη μήτρας.Η κατάταξη ενός πίνακα Α είναι η υψηλότερη τάξη από τα μη μηδενικά δευτερεύοντα στοιχεία αυτού του πίνακα. Η κατάταξη ενός πίνακα Α συμβολίζεται με το rang(A) ή r(A).

Από τον ορισμό προκύπτει: α) η κατάταξη του πίνακα δεν υπερβαίνει τη μικρότερη των διαστάσεων του, δηλ. Το r(A) είναι μικρότερο ή ίσο με το ελάχιστο των m ή n. β) r(A)=0 εάν και μόνο εάν όλα τα στοιχεία του πίνακα Α είναι ίσα με μηδέν. γ) για τετραγωνικό πίνακα νης τάξης r(A)=n αν και μόνο αν ο πίνακας Α είναι μη ενικός.

Παράδειγμα: υπολογίστε τις τάξεις των πινάκων:

Απάντηση: r(A)=1. Απάντηση: r(A)=2.

Ας ονομάσουμε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα:

1) Απόρριψη της μηδενικής σειράς (στήλης).

2) Πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων μιας γραμμής (στήλης) ενός πίνακα με έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με μηδέν.

3) Αλλαγή της σειράς των γραμμών (στηλών) του πίνακα.

4) Προσθέτοντας σε κάθε στοιχείο μιας σειράς (στήλης) τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης), πολλαπλασιαζόμενα με οποιοδήποτε αριθμό.

5) Μεταφορά μήτρας.

Η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει κατά τους μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα.

Παραδείγματα: Υπολογίστε τον πίνακα όπου

; ;

Απάντηση: .

Παράδειγμα: Υπολογισμός πίνακα , Οπου

; ; ; Ε είναι η μήτρα ταυτότητας.

Απάντηση: .

Παράδειγμα: Υπολογίστε την ορίζουσα ενός πίνακα

Απάντηση: 160.

Παράδειγμα: Προσδιορίστε εάν ο πίνακας Α έχει αντίστροφο και αν ναι, τότε υπολογίστε τον:

Απάντηση: .

Παράδειγμα: Βρείτε την κατάταξη ενός πίνακα

Απάντηση: 2.

2.4.2. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

Ένα σύστημα m γραμμικών εξισώσεων με n μεταβλητές έχει τη μορφή:

όπου , είναι αυθαίρετοι αριθμοί, που ονομάζονται, αντίστοιχα, συντελεστές μεταβλητών και ελεύθεροι όροι εξισώσεων. Η λύση σε ένα σύστημα εξισώσεων είναι ένα σύνολο n αριθμών (), με την αντικατάσταση των οποίων κάθε εξίσωση του συστήματος μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα.

Ένα σύστημα εξισώσεων ονομάζεται συνεπές εάν έχει τουλάχιστον μία λύση και ασυνεπές εάν δεν έχει λύσεις. Ένα ταυτόχρονο σύστημα εξισώσεων λέγεται οριστικό εάν έχει μια μοναδική λύση και αόριστο εάν έχει περισσότερες από μία λύσεις.

Θεώρημα Cramer:Έστω η ορίζουσα του πίνακα Α, που αποτελείται από τους συντελεστές των μεταβλητών «x», και έστω η ορίζουσα του πίνακα που λαμβάνεται από τον πίνακα Α αντικαθιστώντας την j-η στήλη αυτού του πίνακα με μια στήλη ελεύθερων όρων. Τότε, εάν , τότε το σύστημα έχει μια μοναδική λύση, που καθορίζεται από τους τύπους: (j=1, 2, …, n). Αυτές οι εξισώσεις ονομάζονται τύποι του Cramer.

Παράδειγμα.Λύστε συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τύπους Cramer:

Απαντήσεις: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)

Μέθοδος Gauss– η μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης των μεταβλητών είναι ότι, με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών, το σύστημα εξισώσεων ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα βηματικής (ή τριγωνικής) μορφής, από το οποίο βρίσκονται όλες οι άλλες μεταβλητές διαδοχικά, ξεκινώντας από την τελευταία μεταβλητές κατά αριθμό.

Παράδειγμα: Λύστε συστήματα εξισώσεων με τη μέθοδο Gaussian.

Απαντήσεις: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).

Για ταυτόχρονα συστήματα γραμμικών εξισώσεων, ισχύουν οι ακόλουθες προτάσεις:

· εάν η κατάταξη του πίνακα του κοινού συστήματος είναι ίση με τον αριθμό των μεταβλητών, δηλ. r = n, τότε το σύστημα των εξισώσεων έχει μια μοναδική λύση.

· εάν η κατάταξη της μήτρας του συστήματος άρθρωσης μικρότερος αριθμόςμεταβλητές, δηλ. r

2.4.3. Τεχνολογία για την εκτέλεση πράξεων σε πίνακες στο EXCEL.

Ας εξετάσουμε ορισμένες πτυχές της εργασίας με τον επεξεργαστή υπολογιστικών φύλλων Excel, οι οποίες καθιστούν δυνατή την απλοποίηση των υπολογισμών που είναι απαραίτητοι για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης. Ο επεξεργαστής πίνακα είναι ένα προϊόν λογισμικού που έχει σχεδιαστεί για να αυτοματοποιεί την επεξεργασία δεδομένων σε πίνακα.

Εργασία με τύπους.Τα προγράμματα υπολογιστικών φύλλων χρησιμοποιούν τύπους για να εκτελέσουν πολλούς διαφορετικούς υπολογισμούς. Χρησιμοποιώντας το Excel, μπορείτε να δημιουργήσετε γρήγορα έναν τύπο. Ο τύπος αποτελείται από τρία κύρια μέρη:

Σήμα ίσου.

χειριστές.

Χρήση συναρτήσεων σε τύπους. Για να διευκολύνετε την εισαγωγή τύπων, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε συναρτήσεις Excel. Οι συναρτήσεις είναι τύποι ενσωματωμένοι στο Excel. Για να ενεργοποιήσετε έναν συγκεκριμένο τύπο, κάντε κλικ στα κουμπιά Εισάγετε, Λειτουργίες.Στο παράθυρο που εμφανίζεται Οδηγός λειτουργιώνΗ αριστερή πλευρά περιέχει μια λίστα τύπων συναρτήσεων. Αφού επιλέξετε έναν τύπο, μια λίστα με τις ίδιες τις λειτουργίες θα τοποθετηθεί στα δεξιά. Η επιλογή των λειτουργιών πραγματοποιείται κάνοντας κλικ στο κουμπί του ποντικιού στο αντίστοιχο όνομα.

Κατά την εκτέλεση πράξεων σε πίνακες, την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων και την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις ακόλουθες συναρτήσεις του Excel:

MUMULT - πολλαπλασιασμός πίνακα.

TRANSPOSE - μεταφορά μήτρας;

MOPRED - υπολογισμός της ορίζουσας μήτρας.

MOBR - υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα.

Το κουμπί βρίσκεται στη γραμμή εργαλείων. Οι συναρτήσεις για την εκτέλεση λειτουργιών μήτρας ανήκουν στην κατηγορία Μαθηματικός.

Πολλαπλασιασμός πίνακα με χρήση συνάρτησης MUMNIFE . Η συνάρτηση MULTIPLE επιστρέφει το γινόμενο των πινάκων (οι πίνακες αποθηκεύονται στους πίνακες 1 και 2). Το αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας με τον ίδιο αριθμό σειρών με τον πίνακα 1 και τον ίδιο αριθμό στηλών με τον πίνακα 2.

Παράδειγμα.Βρείτε το γινόμενο δύο πινάκων Α και Β στο Excel (βλ. Εικόνα 2.9):

; .

Εισαγάγετε τους πίνακες A στα κελιά A2:C3 και B στα κελιά E2:F4.

Επιλέξτε το εύρος των κελιών για το αποτέλεσμα πολλαπλασιασμού – H2:I2.

Εισαγάγετε τον τύπο πολλαπλασιασμού του πίνακα =MULTIPLE(A2:C3, E2:F4).

Πατήστε CTRL+SHIFT+ENTER.

Πίνακας αντίστροφων υπολογισμών χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση MOBR.

Η συνάρτηση MOBR επιστρέφει τον αντίστροφο πίνακα ενός πίνακα που είναι αποθηκευμένος σε έναν πίνακα. Σύνταξη: MOBR(πίνακας). Στο Σχ. Το 2.10 δείχνει τη λύση στο παράδειγμα στο Excel.

Παράδειγμα.Βρείτε τον πίνακα αντίστροφο του δεδομένου:

Εικόνα 2.9. Εισαγωγή δεδομένων για πολλαπλασιασμό πίνακα.