Βρείτε τον ορισμό κάθε πίνακα 2x2.Κάθε στοιχείο οποιουδήποτε πίνακα, συμπεριλαμβανομένου ενός μεταφερόμενου, σχετίζεται με έναν αντίστοιχο πίνακα 2x2. Για να βρείτε έναν πίνακα 2x2 που αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο στοιχείο, διαγράψτε τη γραμμή και τη στήλη στην οποία βρίσκεται το δεδομένο στοιχείο, δηλαδή, πρέπει να διαγράψετε πέντε στοιχεία του αρχικού πίνακα 3x3. Τέσσερα στοιχεία θα παραμείνουν χωρίς διασταύρωση, τα οποία είναι στοιχεία του αντίστοιχου πίνακα 2x2.

• Για παράδειγμα, για να βρείτε έναν πίνακα 2x2 για το στοιχείο που βρίσκεται στη διασταύρωση της δεύτερης σειράς και της πρώτης στήλης, διαγράψτε τα πέντε στοιχεία που βρίσκονται στη δεύτερη σειρά και στην πρώτη στήλη. Τα υπόλοιπα τέσσερα στοιχεία είναι στοιχεία του αντίστοιχου πίνακα 2x2.
• Βρείτε την ορίζουσα κάθε πίνακα 2x2. Για να γίνει αυτό, αφαιρέστε το γινόμενο των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου από το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου (βλ. σχήμα).
• Λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με πίνακες 2x2 που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένα στοιχεία μιας μήτρας 3x3 μπορούν να βρεθούν στο Διαδίκτυο.

Δημιουργήστε μια μήτρα συμπαράγοντα.Γράψτε τα αποτελέσματα που λήφθηκαν νωρίτερα με τη μορφή ενός νέου πίνακα συμπαράγοντα. Για να γίνει αυτό, γράψτε την ευρεθείσα ορίζουσα κάθε πίνακα 2x2 όπου βρισκόταν το αντίστοιχο στοιχείο του πίνακα 3x3. Για παράδειγμα, εάν σκέφτεστε έναν πίνακα 2x2 για το στοιχείο (1,1), γράψτε την ορίζοντή του στη θέση (1,1). Στη συνέχεια, αλλάξτε τα σημάδια των αντίστοιχων στοιχείων σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο σχήμα, το οποίο φαίνεται στο σχήμα.

• Σχέδιο αλλαγής πινακίδων: το πρόσημο του πρώτου στοιχείου της πρώτης γραμμής δεν αλλάζει. το πρόσημο του δεύτερου στοιχείου της πρώτης γραμμής αντιστρέφεται. το πρόσημο του τρίτου στοιχείου της πρώτης γραμμής δεν αλλάζει, και ούτω καθεξής γραμμή προς γραμμή. Λάβετε υπόψη ότι τα σημάδια «+» και «-» που φαίνονται στο διάγραμμα (βλ. σχήμα) δεν υποδεικνύουν ότι το αντίστοιχο στοιχείο θα είναι θετικό ή αρνητικό. Σε αυτήν την περίπτωση, το σύμβολο «+» υποδηλώνει ότι το πρόσημο του στοιχείου δεν αλλάζει και το σύμβολο «-» υποδηλώνει αλλαγή στο πρόσημο του στοιχείου.
• Λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με τους πίνακες συμπαράγοντα μπορούν να βρεθούν στο Διαδίκτυο.
• Με αυτόν τον τρόπο θα βρείτε τον συνημμένο πίνακα του αρχικού πίνακα. Μερικές φορές ονομάζεται σύνθετος συζευγμένος πίνακας. Ένας τέτοιος πίνακας συμβολίζεται ως adj(M).

Διαιρέστε κάθε στοιχείο του παρακείμενου πίνακα με την ορίζουσα του.Η ορίζουσα του πίνακα M υπολογίστηκε στην αρχή για να ελεγχθεί ότι υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας. Τώρα διαιρέστε κάθε στοιχείο του πρόσθετου πίνακα με αυτήν την ορίζουσα. Γράψτε το αποτέλεσμα κάθε πράξης διαίρεσης όπου βρίσκεται το αντίστοιχο στοιχείο. Με αυτόν τον τρόπο θα βρείτε τη μήτρα αντίστροφη από την αρχική.

• Η ορίζουσα του πίνακα που φαίνεται στο σχήμα είναι 1. Έτσι, εδώ ο πρόσθετος πίνακας είναι ο αντίστροφος πίνακας (γιατί όταν οποιοσδήποτε αριθμός διαιρείται με το 1, δεν αλλάζει).
• Σε ορισμένες πηγές, η λειτουργία διαίρεσης αντικαθίσταται από την πράξη πολλαπλασιασμού με 1/det(M). Ωστόσο, το τελικό αποτέλεσμα δεν αλλάζει.

Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα.Γράψτε τα στοιχεία που βρίσκονται στο δεξί μισό του μεγάλου πίνακα ως ξεχωριστό πίνακα, ο οποίος είναι ο αντίστροφος πίνακας.

Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή

Επιλέξτε μια αριθμομηχανή που λειτουργεί με πίνακες.Δεν είναι δυνατό να βρεθεί το αντίστροφο μιας μήτρας χρησιμοποιώντας απλές αριθμομηχανές, αλλά μπορεί να γίνει σε μια καλή αριθμομηχανή γραφικών όπως το Texas Instruments TI-83 ή TI-86.

Εισαγάγετε τον αρχικό πίνακα στη μνήμη της αριθμομηχανής.Για να το κάνετε αυτό, κάντε κλικ στο κουμπί Matrix, εάν είναι διαθέσιμο. Για μια αριθμομηχανή Texas Instruments, ίσως χρειαστεί να πατήσετε τα κουμπιά 2nd και Matrix.

Επιλέξτε το μενού Επεξεργασία.Κάντε αυτό χρησιμοποιώντας τα κουμπιά βέλους ή το κατάλληλο κουμπί λειτουργίας που βρίσκεται στο επάνω μέρος του πληκτρολογίου της αριθμομηχανής (η θέση του κουμπιού ποικίλλει ανάλογα με το μοντέλο της αριθμομηχανής).

Εισαγάγετε τη σημείωση του πίνακα.Οι περισσότεροι αριθμομηχανές γραφικών μπορούν να λειτουργήσουν με 3-10 πίνακες, οι οποίοι μπορούν να οριστούν γράμματα A-J. Συνήθως, απλώς επιλέξτε [A] για να ορίσετε τον αρχικό πίνακα. Στη συνέχεια, πατήστε το κουμπί Enter.

Εισαγάγετε το μέγεθος του πίνακα.Αυτό το άρθρο μιλά για πίνακες 3x3. Αλλά οι αριθμομηχανές γραφικών μπορούν να λειτουργήσουν με μεγάλους πίνακες. Εισαγάγετε τον αριθμό των σειρών, πατήστε Enter, μετά πληκτρολογήστε τον αριθμό των στηλών και πατήστε ξανά Enter.

Εισαγάγετε κάθε στοιχείο μήτρας.Στην οθόνη της αριθμομηχανής θα εμφανιστεί ένας πίνακας. Εάν έχετε εισαγάγει προηγουμένως μια μήτρα στην αριθμομηχανή, θα εμφανιστεί στην οθόνη. Ο κέρσορας θα επισημάνει το πρώτο στοιχείο του πίνακα. Εισαγάγετε την τιμή για το πρώτο στοιχείο και πατήστε Enter. Ο κέρσορας θα μετακινηθεί αυτόματα στο επόμενο στοιχείο μήτρας.

1. Βρείτε την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Αν , τότε ο πίνακας είναι ενικός και δεν υπάρχει αντίστροφος πίνακας. Αν, τότε υπάρχει ένας μη εκφυλισμένος και αντίστροφος πίνακας.

2. Βρείτε τον πίνακα που μετατίθεται.

3. Να βρείτε τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων και να συνθέσετε από αυτά τον παρακείμενο πίνακα.

4. Συνθέτουμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο.

5. Ελέγχουμε την ορθότητα του υπολογισμού του αντίστροφου πίνακα, με βάση τον ορισμό του:.

Παράδειγμα.Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα αυτού: .

Λύση.

1) Ορίζουσα μήτρας

.

2) Βρείτε τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του πίνακα και συνθέστε από αυτά τον παρακείμενο πίνακα:

3) Υπολογίστε τον αντίστροφο πίνακα:

,

4) Ελέγξτε:

№4Κατάταξη μήτρας. Γραμμική ανεξαρτησία σειρών μήτρας

Να λύσει και να μελετήσει πλήθος μαθηματικών και εφαρμοσμένα προβλήματαΗ έννοια της κατάταξης μήτρας είναι σημαντική.

Σε έναν πίνακα μεγέθους, διαγράφοντας οποιεσδήποτε σειρές και στήλες, μπορείτε να απομονώσετε τετράγωνους υπομήτρες ης τάξης, όπου. Οι ορίζουσες τέτοιων υποπίνακες ονομάζονται ανήλικοι της σειράς matrix .

Για παράδειγμα, από πίνακες μπορείτε να αποκτήσετε υποπίνακες 1ης, 2ης και 3ης τάξης.

Ορισμός.Η κατάταξη ενός πίνακα είναι η υψηλότερη τάξη από τα μη μηδενικά δευτερεύοντα στοιχεία αυτού του πίνακα. Ονομασία: ή.

Από τον ορισμό προκύπτει:

1) Η κατάταξη του πίνακα δεν υπερβαίνει τη μικρότερη από τις διαστάσεις του, δηλ.

2) εάν και μόνο εάν όλα τα στοιχεία του πίνακα είναι ίσα με μηδέν, δηλ.

3) Για τετράγωνη μήτραντη σειρά εάν και μόνο εάν ο πίνακας δεν είναι ενικός.

Δεδομένου ότι η απευθείας απαρίθμηση όλων των πιθανών δευτερευόντων του πίνακα, ξεκινώντας από το μεγαλύτερο μέγεθος, είναι δύσκολη (χρονοβόρος), χρησιμοποιούν στοιχειώδεις μετασχηματισμούς πίνακα που διατηρούν την κατάταξη του πίνακα.

Μετασχηματισμοί στοιχειώδους πίνακα:

1) Απόρριψη της μηδενικής σειράς (στήλης).

2) Πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων μιας σειράς (στήλης) με έναν αριθμό.

3) Αλλαγή της σειράς των γραμμών (στηλών) του πίνακα.

4) Προσθέτοντας σε κάθε στοιχείο μιας σειράς (στήλης) τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης), πολλαπλασιαζόμενα με οποιοδήποτε αριθμό.

5) Μεταφορά μήτρας.

Ορισμός.Ένας πίνακας που λαμβάνεται από έναν πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς ονομάζεται ισοδύναμος και συμβολίζεται ΕΝΑ ΣΕ.

Θεώρημα.Η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει κατά τους μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα.

Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, μπορείτε να μειώσετε τον πίνακα στη λεγόμενη φόρμα βήματος, όταν ο υπολογισμός της κατάταξής του δεν είναι δύσκολος.

Ένας πίνακας ονομάζεται κλιμάκιο εάν έχει τη μορφή:

Προφανώς, η κατάταξη ενός πίνακα βήματος είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών σειρών, αφού υπάρχει μια δευτερεύουσα σειρά που δεν είναι ίση με μηδέν:

.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε την κατάταξη ενός πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

Η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών σειρών, δηλ. .

№5Γραμμική ανεξαρτησία σειρών μήτρας

Δίνεται ένας πίνακας μεγεθών

Ας συμβολίσουμε τις σειρές του πίνακα ως εξής:

Οι δύο γραμμές λέγονται ίσος , αν τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα. .

Ας εισαγάγουμε τις πράξεις του πολλαπλασιασμού μιας συμβολοσειράς με έναν αριθμό και της προσθήκης συμβολοσειρών ως πράξεις που εκτελούνται στοιχείο προς στοιχείο:

Ορισμός.Μια σειρά ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός σειρών ενός πίνακα εάν είναι ίσος με το άθροισμα των γινομένων αυτών των σειρών με αυθαίρετους πραγματικούς αριθμούς (οποιοιδήποτε αριθμοί):

Ορισμός.Οι σειρές του πίνακα καλούνται γραμμικά εξαρτώμενη , εάν υπάρχουν αριθμοί που δεν είναι ταυτόχρονα ίσοι με μηδέν, έτσι ώστε ένας γραμμικός συνδυασμός σειρών μήτρας να είναι ίσος με τη μηδενική σειρά:

Οπου . (1.1)

Η γραμμική εξάρτηση των σειρών μήτρας σημαίνει ότι τουλάχιστον 1 σειρά του πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.

Ορισμός.Αν γραμμικός συνδυασμόςοι σειρές (1.1) είναι ίσες με μηδέν αν και μόνο αν όλοι οι συντελεστές , τότε οι σειρές καλούνται γραμμικά ανεξάρτητη .

Θεώρημα κατάταξης πίνακα . Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον μέγιστο αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων σειρών ή στηλών του μέσω των οποίων εκφράζονται γραμμικά όλες οι άλλες σειρές (στήλες).

Το θεώρημα παίζει θεμελιώδη ρόλο στην ανάλυση πινάκων, ιδιαίτερα στη μελέτη συστημάτων γραμμικών εξισώσεων.

№6Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους

Τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται ευρέως στα οικονομικά.

Το σύστημα γραμμικών εξισώσεων με μεταβλητές έχει τη μορφή:

,

όπου () καλούνται αυθαίρετοι αριθμοί συντελεστές για μεταβλητές Και ελεύθεροι όροι των εξισώσεων , αντίστοιχα.

Σύντομη καταχώρηση: ().

Ορισμός.Η λύση του συστήματος είναι ένα τέτοιο σύνολο τιμών, με την αντικατάσταση του οποίου κάθε εξίσωση του συστήματος μετατρέπεται σε πραγματική ισότητα.

1) Το σύστημα των εξισώσεων λέγεται άρθρωση , εάν έχει τουλάχιστον μία λύση, και μη άρθρωση, αν δεν έχει λύσεις.

2) Το ταυτόχρονο σύστημα εξισώσεων λέγεται βέβαιος , εάν έχει μια μοναδική λύση, και αβέβαιος , εάν έχει περισσότερες από μία λύσεις.

3) Λέγονται δύο συστήματα εξισώσεων ισοδύναμος (ισοδύναμος ) , εάν έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων (για παράδειγμα, μία λύση).

Μέθοδοι εύρεσης του αντίστροφου πίνακα. Θεωρήστε έναν τετράγωνο πίνακα

Ας συμβολίσουμε Δ = det A.

Ο τετραγωνικός πίνακας Α ονομάζεται μη εκφυλισμένος,ή όχι ιδιαίτερο, αν η ορίζουσα του είναι μη μηδενική, και εκφυλισμένος,ή ειδικός, ΑνΔ = 0.

Ένας τετραγωνικός πίνακας Β είναι για έναν τετράγωνο πίνακα Α ίδιας τάξης εάν το γινόμενο του είναι A B = B A = E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας της ίδιας τάξης με τους πίνακες A και B.

Θεώρημα . Για να έχει ο πίνακας Α αντίστροφο πίνακα, είναι απαραίτητο και αρκετό η ορίζοντή του να είναι διαφορετική από το μηδέν.

Ο αντίστροφος πίνακας του πίνακα Α, που συμβολίζεται με Α- 1, άρα B = A - 1 και υπολογίζεται με τον τύπο

, (1)

όπου A i j είναι αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων a i j του πίνακα A..

Ο υπολογισμός του A-1 χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) για πίνακες υψηλής τάξης είναι πολύ εντατικός, επομένως στην πράξη είναι βολικό να βρεθεί ο A-1 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών (ET). Οποιοσδήποτε μη μοναδικός πίνακας Α μπορεί να αναχθεί στον πίνακα ταυτότητας Ε εφαρμόζοντας μόνο τις στήλες (ή μόνο τις σειρές) στον πίνακα ταυτότητας. Εάν οι τέλειοι μετασχηματισμοί πάνω από τον πίνακα Α εφαρμοστούν με την ίδια σειρά στον πίνακα ταυτότητας Ε, το αποτέλεσμα θα είναι ένας αντίστροφος πίνακας. Είναι βολικό να εκτελείτε EP στους πίνακες Α και Ε ταυτόχρονα, γράφοντας και τους δύο πίνακες δίπλα-δίπλα μέσω μιας γραμμής. Ας σημειώσουμε για άλλη μια φορά ότι κατά την αναζήτηση της κανονικής μορφής ενός πίνακα, για να τον βρείτε, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μετασχηματισμούς σειρών και στηλών. Εάν χρειάζεται να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μόνο γραμμές ή μόνο στήλες κατά τη διαδικασία μετασχηματισμού.

Παράδειγμα 1. Για μήτρα βρείτε το Α -1.

Λύση.Πρώτα βρίσκουμε την ορίζουσα του πίνακα Α
Αυτό σημαίνει ότι ο αντίστροφος πίνακας υπάρχει και μπορούμε να τον βρούμε χρησιμοποιώντας τον τύπο: , όπου A i j (i,j=1,2,3) είναι αλγεβρικές προσθήκες στοιχείων a i j του αρχικού πίνακα.

Οπου .

Παράδειγμα 2. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών, βρείτε το A -1 για τον πίνακα: A = .

Λύση.Αντιστοιχίζουμε στον αρχικό πίνακα στα δεξιά έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας σειράς: . Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών, θα μειώσουμε το αριστερό «μισό» στο ταυτιστικό, εκτελώντας ταυτόχρονα ακριβώς τους ίδιους μετασχηματισμούς στον δεξιό πίνακα.
Για να το κάνετε αυτό, αλλάξτε την πρώτη και τη δεύτερη στήλη: ~ . Στην τρίτη στήλη προσθέτουμε την πρώτη και στη δεύτερη - την πρώτη, πολλαπλασιασμένη με -2: . Από την πρώτη στήλη αφαιρούμε τη δεύτερη διπλασιασμένη και από την τρίτη - τη δεύτερη πολλαπλασιασμένη με 6. . Ας προσθέσουμε την τρίτη στήλη στην πρώτη και τη δεύτερη: . Πολλαπλασιάστε την τελευταία στήλη με -1: . Ο τετραγωνικός πίνακας που λαμβάνεται στα δεξιά της κατακόρυφης ράβδου είναι ο αντίστροφος πίνακας του δεδομένου πίνακα Α. Άρα,
.

Ορισμός 1:ένας πίνακας λέγεται ενικός αν η ορίζουσα του είναι μηδέν.

Ορισμός 2:ένας πίνακας ονομάζεται μη ενικός εάν η ορίζοντή του δεν είναι ίση με μηδέν.

Ο πίνακας "Α" ονομάζεται αντίστροφη μήτρα, εάν η συνθήκη A*A-1 = A-1 *A = E (μονάδα πίνακα) ικανοποιείται.

Ένας τετράγωνος πίνακας είναι αντιστρέψιμος μόνο αν είναι μη ενικός.

Σχέδιο για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα:

1) Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα "Α" αν ∆ A = 0, τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει.

2) Βρείτε όλα τα αλγεβρικά συμπληρώματα του πίνακα "Α".

3) Δημιουργήστε έναν πίνακα αλγεβρικών προσθηκών (Aij)

4) Μεταθέστε τον πίνακα των αλγεβρικών συμπληρωμάτων (Aij )T

5) Πολλαπλασιάστε τον μετατιθέμενο πίνακα με το αντίστροφο της ορίζουσας αυτού του πίνακα.

6) Εκτελέστε έλεγχο:

Με την πρώτη ματιά μπορεί να φαίνεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα όλα είναι πολύ απλά. Όλες οι λύσεις βασίζονται σε απλές αριθμητικές πράξεις, το κύριο πράγμα κατά την επίλυση είναι να μην μπερδεύεστε με τα σημάδια "-" και "+" και να μην τα χάσετε.

Τώρα ας αποφασίσουμε μαζί πρακτική εργασία, υπολογίζοντας τον αντίστροφο πίνακα.

Εργασία: βρείτε τον αντίστροφο πίνακα "A" που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:

1. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να βρείτε την ορίζουσα του πίνακα "A":

Εξήγηση:

Απλοποιήσαμε την ορίζοντή μας χρησιμοποιώντας τις βασικές της συναρτήσεις. Αρχικά, προσθέσαμε στη 2η και 3η γραμμή τα στοιχεία της πρώτης γραμμής, πολλαπλασιασμένα με έναν αριθμό.

Δεύτερον, αλλάξαμε τη 2η και την 3η στήλη της ορίζουσας και σύμφωνα με τις ιδιότητές της, αλλάξαμε το πρόσημο μπροστά της.

Τρίτον, βγάλαμε τον κοινό παράγοντα (-1) της δεύτερης γραμμής, αλλάζοντας ξανά το πρόσημο και έγινε θετικός. Απλοποιήσαμε επίσης τη γραμμή 3 με τον ίδιο τρόπο όπως στην αρχή του παραδείγματος.

Έχουμε μια τριγωνική ορίζουσα της οποίας τα στοιχεία κάτω από τη διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν και με την ιδιότητα 7 ισούται με το γινόμενο των διαγώνιων στοιχείων. Στο τέλος πήραμε ∆ A = 26, επομένως υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Το επόμενο βήμα είναι η σύνταξη ενός πίνακα από τις προσθήκες που προκύπτουν:

5. Πολλαπλασιάστε αυτόν τον πίνακα με το αντίστροφο της ορίζουσας, δηλαδή με το 1/26:

6. Τώρα πρέπει απλώς να ελέγξουμε:

Κατά τη διάρκεια της δοκιμής, λάβαμε μια μήτρα ταυτότητας, επομένως, η λύση εκτελέστηκε απολύτως σωστά.

2 τρόπος υπολογισμού του αντίστροφου πίνακα.

1. Μετασχηματισμός στοιχειώδους πίνακα

2. Αντίστροφος πίνακας μέσω στοιχειώδους μετατροπέα.

Ο μετασχηματισμός στοιχειώδους πίνακα περιλαμβάνει:

1. Πολλαπλασιασμός μιας συμβολοσειράς με έναν αριθμό που δεν είναι ίσος με το μηδέν.

2. Προσθήκη σε οποιαδήποτε γραμμή άλλης γραμμής πολλαπλασιασμένης με έναν αριθμό.

3. Αλλάξτε τις σειρές του πίνακα.

4. Εφαρμόζοντας μια αλυσίδα στοιχειωδών μετασχηματισμών, παίρνουμε έναν άλλο πίνακα.

ΕΝΑ -1 = ?

1. (Α|Ε) ~ (Ε|Α -1 )

2.Α -1 * A = E

Ας το δούμε αυτό χρησιμοποιώντας ένα πρακτικό παράδειγμα με πραγματικούς αριθμούς.

Ασκηση:Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.

Λύση:

Ας ελέγξουμε:

Μια μικρή διευκρίνηση για τη λύση:

Αρχικά, αναδιατάξαμε τις σειρές 1 και 2 του πίνακα και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάσαμε την πρώτη σειρά με (-1).

Μετά από αυτό, πολλαπλασιάσαμε την πρώτη σειρά με (-2) και την προσθέσαμε με τη δεύτερη σειρά του πίνακα. Στη συνέχεια πολλαπλασιάσαμε τη γραμμή 2 επί 1/4.

Το τελικό στάδιοΟι μετασχηματισμοί ήταν πολλαπλασιασμός της δεύτερης γραμμής επί 2 και πρόσθεση από την πρώτη. Ως αποτέλεσμα, έχουμε τον πίνακα ταυτότητας στα αριστερά, επομένως, ο αντίστροφος πίνακας είναι ο πίνακας στα δεξιά.

Μετά από έλεγχο, πειστήκαμε ότι η απόφαση ήταν σωστή.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα είναι πολύ απλός.

Στο τέλος αυτής της διάλεξης, θα ήθελα επίσης να αφιερώσω λίγο χρόνο στις ιδιότητες μιας τέτοιας μήτρας.

Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφος πίνακας σε σχέση με τον πίνακα A εάν A*A -1 = E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας της νης τάξης. Ένας αντίστροφος πίνακας μπορεί να υπάρχει μόνο για τετράγωνους πίνακες.

Σκοπός της υπηρεσίας. Χρησιμοποιώντας αυτήν την υπηρεσία online μπορείτε να βρείτε αλγεβρικά συμπληρώματα, μετατιθέμενο πίνακα A T, συμμαχικό πίνακα και αντίστροφο πίνακα. Η απόφαση πραγματοποιείται απευθείας στον ιστότοπο (διαδικτυακά) και είναι δωρεάν. Τα αποτελέσματα υπολογισμού παρουσιάζονται σε μια αναφορά σε μορφή Word και Excel (δηλαδή, είναι δυνατός ο έλεγχος της λύσης). δείτε το παράδειγμα σχεδίασης.

Οδηγίες. Για να ληφθεί μια λύση, είναι απαραίτητο να καθοριστεί η διάσταση του πίνακα. Στη συνέχεια, συμπληρώστε τον πίνακα A στο νέο πλαίσιο διαλόγου.

Δείτε επίσης Αντίστροφη μήτρα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Jordano-Gauss

Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

1. Εύρεση του μετατιθέμενου πίνακα A T .
2. Ορισμός αλγεβρικών συμπληρωμάτων. Αντικαταστήστε κάθε στοιχείο του πίνακα με το αλγεβρικό του συμπλήρωμα.
3. Σύνταξη ενός αντίστροφου πίνακα από αλγεβρικές προσθήκες: κάθε στοιχείο του πίνακα που προκύπτει διαιρείται με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Ο προκύπτων πίνακας είναι το αντίστροφο του αρχικού πίνακα.

1. Προσδιορίστε εάν ο πίνακας είναι τετράγωνος. Εάν όχι, τότε δεν υπάρχει αντίστροφος πίνακας για αυτό.
2. Υπολογισμός της ορίζουσας του πίνακα Α. Αν δεν ισούται με μηδέν, συνεχίζουμε τη λύση, διαφορετικά δεν υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας.
3. Ορισμός αλγεβρικών συμπληρωμάτων.
4. Συμπλήρωση της ένωσης (αμοιβαία, πρόσθετη) μήτρα C .
5. Σύνταξη ενός αντίστροφου πίνακα από αλγεβρικές προσθήκες: κάθε στοιχείο του παρακείμενου πίνακα C διαιρείται με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Ο προκύπτων πίνακας είναι το αντίστροφο του αρχικού πίνακα.
6. Κάνουν έναν έλεγχο: πολλαπλασιάζουν τον αρχικό και τους πίνακες που προκύπτουν. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένας πίνακας ταυτότητας.

Παράδειγμα Νο. 1. Ας γράψουμε τον πίνακα με τη μορφή:

Ένας άλλος αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

1. Να βρείτε την ορίζουσα ενός δεδομένου τετραγωνικού πίνακα Α.
2. Βρίσκουμε αλγεβρικά συμπληρώματα σε όλα τα στοιχεία του πίνακα Α.
3. Γράφουμε αλγεβρικές προσθήκες στοιχείων γραμμής σε στήλες (μεταφορά).
4. Διαιρούμε κάθε στοιχείο του πίνακα που προκύπτει με την ορίζουσα του πίνακα Α.

Ιδιαίτερη περίπτωση: Το αντίστροφο του πίνακα ταυτότητας Ε είναι ο πίνακας ταυτότητας Ε.