Για μια βαθύτερη κατανόηση του τι συμβαίνει σε αυτό το άρθρο, μπορείτε να διαβάσετε.

Θεωρήστε ένα ομοιογενές σύστημα διαφορικών εξισώσεων τρίτης τάξης

Εδώ x(t), y(t), z(t) είναι οι επιθυμητές συναρτήσεις στο διάστημα (a, b), a ij (i, j =1, 2, 3) είναι πραγματικοί αριθμοί.

Γράφουμε το αρχικό σύστημα σε μορφή μήτρας
,
Οπου

Θα αναζητήσουμε τη λύση του αρχικού συστήματος στη μορφή
,
Οπου , C 1 , C 2 , C 3 είναι αυθαίρετες σταθερές.

Για να βρεθεί το θεμελιώδες σύστημα λύσεων, είναι απαραίτητο να λυθεί η λεγόμενη χαρακτηριστική εξίσωση

Αυτή η εξίσωση είναι αλγεβρική εξίσωσητρίτης τάξης, άρα έχει 3 ρίζες. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι δυνατές οι ακόλουθες περιπτώσεις:

1. Οι ρίζες (ιδιοτιμές) είναι πραγματικές και διακριτές.

2. Μεταξύ των ριζών (ιδιοτιμών) υπάρχουν σύνθετα συζυγή, ας
- πραγματική ρίζα
=

3. Οι ρίζες (ιδιοτιμές) είναι πραγματικές. Μία από τις ρίζες είναι πολλαπλή.

Για να καταλάβουμε πώς να ενεργήσουμε σε καθεμία από αυτές τις περιπτώσεις, χρειαζόμαστε:
Θεώρημα 1.
Έστω κατά ζεύγη διακριτές ιδιοτιμές του πίνακα Α και τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε αυτές. Επειτα

σχηματίζουν ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων στο αρχικό σύστημα.

Σχόλιο .
Έστω - η πραγματική ιδιοτιμή του πίνακα A (η πραγματική ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης), - το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα.
= - μιγαδικές ιδιοτιμές του πίνακα A, - αντίστοιχο - ιδιοδιάνυσμα. Επειτα

(Re - πραγματικό μέρος, Im - imaginary)
σχηματίζουν ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων στο αρχικό σύστημα. (δηλαδή και = θεωρούνται μαζί)

Θεώρημα 3.
Έστω η ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της πολλαπλότητας 2. Τότε το αρχικό σύστημα έχει 2 γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της μορφής
,
όπου , - διανυσματικές σταθερές. Αν οι πολλαπλότητες είναι 3, τότε υπάρχουν 3 γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της μορφής
.
Τα διανύσματα βρίσκονται αντικαθιστώντας τις λύσεις (*) και (**) στο αρχικό σύστημα.
Για να κατανοήσετε καλύτερα τη μέθοδο εύρεσης λύσεων της μορφής (*) και (**), δείτε τα χαρακτηριστικά παραδείγματα που συζητούνται παρακάτω.

Τώρα ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε καθεμία από τις παραπάνω περιπτώσεις.

1. Αλγόριθμος επίλυσης ομοιογενών συστημάτων διαφορικών εξισώσεων τρίτης τάξης στην περίπτωση διαφορετικών πραγματικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης.
Δεδομένο σύστημα

1) Να συνθέσετε τη χαρακτηριστική εξίσωση

είναι πραγματικές και διακριτές ιδιοτιμές (οι ρίζες αυτής της εξίσωσης).
2) Χτίζουμε που

3) Χτίζουμε που
- ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A που αντιστοιχεί σε , δηλ. - οποιαδήποτε λύση συστήματος

4) Χτίζουμε που
- ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A που αντιστοιχεί σε , δηλ. - οποιαδήποτε λύση συστήματος

5)

αποτελούν το θεμελιώδες σύστημα αποφάσεων. Στη συνέχεια, γράφουμε τη γενική λύση του αρχικού συστήματος στη φόρμα
,
εδώ τα C 1 , C 2 , C 3 είναι αυθαίρετες σταθερές,
,
ή σε συντεταγμένη μορφή

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:
Παράδειγμα 1




2) Βρείτε


3) Βρείτε


4) Διανυσματικές συναρτήσεις



ή σε σημειογραφία συντεταγμένων

Παράδειγμα 2

1) Συνθέτουμε και λύνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:

2) Βρείτε


3) Βρείτε


4) Βρείτε


5) Διανυσματικές συναρτήσεις

σχηματίζουν ένα θεμελιώδες σύστημα. Η γενική λύση έχει τη μορφή

ή σε σημειογραφία συντεταγμένων

2. Αλγόριθμος επίλυσης ομοιογενών συστημάτων διαφορικών εξισώσεων τρίτης τάξης στην περίπτωση μιγαδικών συζυγών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης.


- πραγματική ρίζα

2) Χτίζουμε που

3) Κτίριο

- ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A που αντιστοιχεί σε , δηλ. ικανοποιεί το σύστημα

Εδώ το Re είναι το πραγματικό μέρος
Το Im είναι το φανταστικό μέρος
4) αποτελούν το θεμελιώδες σύστημα λύσεων. Στη συνέχεια, γράφουμε τη γενική λύση του αρχικού συστήματος:
, Οπου
С 1 , С 2 , С 3 είναι αυθαίρετες σταθερές.

Παράδειγμα 1

1) Συνθέτουμε και λύνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση

2) Κτίριο

3) Κτίριο
, Οπου

Μειώνουμε την πρώτη εξίσωση κατά 2. Στη συνέχεια προσθέτουμε την πρώτη εξίσωση πολλαπλασιασμένη επί 2i στη δεύτερη εξίσωση και αφαιρούμε το στυλό πολλαπλασιασμένο επί 2 από την τρίτη εξίσωση.

Περαιτέρω

Ως εκ τούτου,

4) - θεμελιώδες σύστημα λύσεων. Γράφουμε τη γενική λύση του αρχικού συστήματος:

Παράδειγμα 2

1) Συνθέτουμε και λύνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση


2) Κτίριο

(δηλαδή και θεωρούνται μαζί), όπου

Πολλαπλασιάστε τη δεύτερη εξίσωση με (1-i) και μειώστε κατά 2.


Ως εκ τούτου,

3)
Γενική λύση του αρχικού συστήματος

ή

2. Αλγόριθμος επίλυσης ομοιογενών συστημάτων διαφορικών εξισώσεων τρίτης τάξης στην περίπτωση πολλαπλών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης.
Να συνθέσετε και να λύσετε τη χαρακτηριστική εξίσωση

Δύο περιπτώσεις είναι δυνατές:

Εξετάστε την περίπτωση α) 1) , όπου

- ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A που αντιστοιχεί στο , δηλ. ικανοποιεί το σύστημα

2) Ας αναφερθούμε στο Θεώρημα 3, από το οποίο προκύπτει ότι υπάρχουν δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της μορφής
,
όπου , είναι σταθερά διανύσματα. Ας τα πάρουμε.
3) - θεμελιώδες σύστημα λύσεων. Στη συνέχεια, γράφουμε τη γενική λύση του αρχικού συστήματος:

Εξετάστε την περίπτωση β):
1) Ας αναφερθούμε στο Θεώρημα 3, από το οποίο προκύπτει ότι υπάρχουν τρεις γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της μορφής
,
όπου , , είναι σταθερά διανύσματα. Ας τα πάρουμε.
2) - θεμελιώδες σύστημα λύσεων. Στη συνέχεια, γράφουμε τη γενική λύση του αρχικού συστήματος.

Για να κατανοήσετε καλύτερα πώς να βρείτε λύσεις της μορφής (*), εξετάστε μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Συνθέτουμε και λύνουμε τη χαρακτηριστική εξίσωση:

Έχουμε περίπτωση α)
1) Κτίριο
, Οπου

Αφαιρέστε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη εξίσωση:

? Η τρίτη γραμμή είναι παρόμοια με τη δεύτερη, τη διασχίζουμε. Αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη εξίσωση:

2) = 1 (πολλαπλασιασμός 2)
Σύμφωνα με το T.3, αυτή η ρίζα πρέπει να αντιστοιχεί σε δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της μορφής .
Ας προσπαθήσουμε να βρούμε όλες τις γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις για τις οποίες , π.χ. λύσεις της μορφής
.
Ένα τέτοιο διάνυσμα θα είναι λύση εάν και μόνο αν είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σε =1, δηλ.
, ή
, η δεύτερη και η τρίτη γραμμή είναι παρόμοια με την πρώτη, τα πετάμε έξω.

Το σύστημα μειώθηκε σε μία εξίσωση. Επομένως, υπάρχουν δύο ελεύθερα άγνωστα, για παράδειγμα, και . Ας τους δώσουμε πρώτα τις τιμές 1, 0. τότε οι τιμές 0, 1. Λαμβάνουμε τις ακόλουθες λύσεις:
.
Ως εκ τούτου, .
3) - θεμελιώδες σύστημα λύσεων. Απομένει να γράψουμε τη γενική λύση του αρχικού συστήματος:
. .. Έτσι, υπάρχει μόνο μία λύση της μορφής Αντικατάσταση X 3 σε αυτό το σύστημα: Διαγράψτε την τρίτη γραμμή (είναι παρόμοια με τη δεύτερη). Το σύστημα είναι συνεπές (έχει λύση) για οποιαδήποτε s. Έστω c=1.
ή

Για αυτή την εξίσωση έχουμε:

; (5.22)

. (5.23)

Η τελευταία ορίζουσα δίνει τη συνθήκη 3 > 0. Η συνθήκη Δ 2 > 0, όταν ένα 0 > 0, ένα 1 > 0 και ένα 3 > 0, μπορεί να ικανοποιηθεί μόνο όταν ένα 2 > 0.

Κατά συνέπεια, για μια εξίσωση τρίτης τάξης, δεν αρκεί πλέον όλοι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης να είναι θετικοί. Απαιτείται επίσης να πληρούται μια ορισμένη αναλογία μεταξύ των συντελεστών a 1 a 2 > a 0 a 3 .

4. Εξίσωση τέταρτης τάξης

Ομοίως με ό,τι έγινε παραπάνω, μπορεί να ληφθεί ότι για μια εξίσωση τέταρτης τάξης, εκτός από τη θετικότητα όλων των συντελεστών, πρέπει να ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη

Ένα σημαντικό μειονέκτημα των αλγεβρικών κριτηρίων, συμπεριλαμβανομένων των κριτηρίων Hurwitz, είναι επίσης ότι για εξισώσεις υψηλής τάξης, στην καλύτερη περίπτωση, μπορείτε να λάβετε μια απάντηση σχετικά με το εάν το σύστημα αυτόματου ελέγχου είναι σταθερό ή όχι. Ταυτόχρονα, στην περίπτωση ενός ασταθούς συστήματος, το κριτήριο δεν δίνει απάντηση στο πώς πρέπει να αλλάξουν οι παράμετροι του συστήματος για να γίνει σταθερό. Αυτή η περίσταση οδήγησε στην αναζήτηση άλλων κριτηρίων που θα ήταν πιο βολικά στην πρακτική της μηχανικής.

5.3. Κριτήριο σταθερότητας Mikhailov

Θεωρήστε χωριστά την αριστερή πλευρά της χαρακτηριστικής εξίσωσης (5.7), που είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

Ας αντικαταστήσουμε σε αυτό το πολυώνυμο την καθαρά φανταστική τιμή p = j, όπου  είναι η γωνιακή συχνότητα των ταλαντώσεων που αντιστοιχεί στην καθαρά φανταστική ρίζα της χαρακτηριστικής λύσης. Σε αυτή την περίπτωση, λαμβάνουμε το χαρακτηριστικό σύμπλεγμα

όπου το πραγματικό μέρος θα περιέχει ίσες δυνάμεις συχνότητας

και φανταστικές - περιττές δυνάμεις συχνότητας

μι

Ρύζι. 5.4. Οδόγραφο του Μιχαήλοφ

Εάν δοθούν όλοι οι συντελεστές και μια ορισμένη τιμή της συχνότητας , τότε η τιμή D(j) θα εμφανιστεί στο μιγαδικό επίπεδο ως σημείο με συντεταγμένες U και V ή ως διάνυσμα που συνδέει αυτό το σημείο με την αρχή. Εάν η τιμή της συχνότητας  αλλάζει συνεχώς από το μηδέν στο άπειρο, τότε το διάνυσμα θα αλλάξει σε μέγεθος και κατεύθυνση, περιγράφοντας με το άκρο του μια ορισμένη καμπύλη (οδόγραφο), η οποία ονομάζεται Καμπύλη Mikhailov (Εικ. 5.4).

Στην πράξη, η καμπύλη Mikhailov κατασκευάζεται σημείο προς σημείο και καθορίζονται διαφορετικές τιμές της συχνότητας  και υπολογίζονται οι U() και V() χρησιμοποιώντας τους τύπους (5.28), (5.29). Τα αποτελέσματα των υπολογισμών συνοψίζονται στον Πίνακα. 5.1.

Πίνακας 5.1

Κατασκευή της καμπύλης Mikhailov

Σύμφωνα με αυτόν τον πίνακα, είναι κατασκευασμένη η ίδια η καμπύλη (Εικ. 5.4).

Ας προσδιορίσουμε με ποια γωνία περιστροφής  του διανύσματος D(j) πρέπει να είναι ίση όταν η συχνότητα  αλλάζει από το μηδέν στο άπειρο. Για να γίνει αυτό, γράφουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ως γινόμενο παραγόντων

όπου  1 – n είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης.

Το χαρακτηριστικό διάνυσμα μπορεί στη συνέχεια να αναπαρασταθεί με την ακόλουθη μορφή:

Κάθε μία από τις αγκύλες είναι ένας μιγαδικός αριθμός. Επομένως, το D(j) είναι το γινόμενο n μιγαδικών αριθμών. Κατά τον πολλαπλασιασμό, προστίθενται τα ορίσματα των μιγαδικών αριθμών. Επομένως, η προκύπτουσα γωνία περιστροφής του διανύσματος D(j) θα είναι ίση με το άθροισμα των γωνιών περιστροφής των επιμέρους παραγόντων (5.31) όταν η συχνότητα  μεταβάλλεται από το μηδέν στο άπειρο

Ας ορίσουμε κάθε όρο στο (5.31) ξεχωριστά. Για να γενικεύσετε το πρόβλημα, σκεφτείτε διαφορετικά είδηρίζες.

1. Έστω οποιαδήποτε ρίζα, για παράδειγμα  1, να είναι πραγματικό και αρνητικό , δηλαδή  1 = – 1 . Ο παράγοντας στην έκφραση (5.31), που καθορίζεται από αυτή τη ρίζα, θα μοιάζει με ( 1 + j). Ας φτιάξουμε ένα οδόγραμμα αυτού του διανύσματος στο μιγαδικό επίπεδο όταν η συχνότητα  αλλάζει από το μηδέν στο άπειρο (Εικ. 5.5, ΕΝΑ). Όταν = 0, το πραγματικό μέρος είναι U= 1, και το φανταστικό μέρος είναι V= 0. Αυτό αντιστοιχεί στο σημείο Α, που βρίσκεται στον πραγματικό άξονα. Στο 0, το διάνυσμα θα αλλάξει με τέτοιο τρόπο που το πραγματικό του μέρος θα εξακολουθεί να είναι ίσο με , και το φανταστικό V = (σημείο Β στη γραφική παράσταση). Καθώς η συχνότητα αυξάνεται στο άπειρο, το διάνυσμα πηγαίνει στο άπειρο και το άκρο του διανύσματος παραμένει πάντα σε μια κατακόρυφη γραμμή που διέρχεται από το σημείο Α και το διάνυσμα περιστρέφεται αριστερόστροφα.

Ρύζι. 5.5. Πραγματικές ρίζες

Η προκύπτουσα γωνία περιστροφής του διανύσματος  1 = +( / 2).

2. Τώρα ας είναι η ρίζα  1 αληθινό και θετικό , δηλαδή 1 = + 1. Τότε ο παράγοντας στο (5.31) που καθορίζεται από αυτή τη ρίζα θα μοιάζει με (- 1 + j). Παρόμοιες κατασκευές (Εικ. 5.5, σι) να δείξετε ότι η προκύπτουσα γωνία περιστροφής θα είναι  1 = –( / 2). Το σύμβολο μείον υποδεικνύει ότι το διάνυσμα περιστρέφεται δεξιόστροφα.

3. Έστω δύο συζευγμένες ρίζες, για παράδειγμα  2 και  3, σύνθετο με αρνητικό πραγματικό μέρος , δηλαδή  2;3 = –±j. Ομοίως, οι παράγοντες στην έκφραση (5.31), που προσδιορίζονται από αυτές τις ρίζες, θα έχουν τη μορφή (–j + j)( + j + j).

Όταν = 0, οι αρχικές θέσεις των δύο διανυσμάτων καθορίζονται από τα σημεία A 1 και A 2 (Εικ. 5.6, ΕΝΑ). Το πρώτο διάνυσμα περιστρέφεται δεξιόστροφα γύρω από τον πραγματικό άξονα κατά γωνία ίση με το arctg( / ) και το δεύτερο διάνυσμα περιστρέφεται αριστερόστροφα κατά την ίδια γωνία. Με μια σταδιακή αύξηση του  από το μηδέν στο άπειρο, τα άκρα και των δύο διανυσμάτων ανεβαίνουν στο άπειρο και τα δύο διανύσματα συγχωνεύονται με τον νοητό άξονα στο όριο.

Η προκύπτουσα γωνία περιστροφής του πρώτου διανύσματος  2 = ( / 2) + . Η προκύπτουσα γωνία περιστροφής του δεύτερου διανύσματος  3 = ( / 2) –. Το διάνυσμα που αντιστοιχεί στο γινόμενο (–j + j)( + j + j) θα περιστρέφεται κατά τη γωνία 2 +  3 = 2 / 2 =.

Ρύζι. 5.6. Σύνθετες ρίζες

4. Αφήστε το ίδιο Οι σύνθετες ρίζες έχουν θετικό πραγματικό μέρος , δηλαδή  2;3 = +±j.

Εκτέλεση της κατασκευής με τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση που εξετάστηκε προηγουμένως (Εικόνα 5.6, σι), παίρνουμε τη γωνία περιστροφής που προκύπτει  2 +  3 = –2 / 2 = –.

Έτσι, εάν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει f ρίζες με θετικό πραγματικό μέρος, τότε όποιες κι αν είναι αυτές οι ρίζες (πραγματικές ή μιγαδικές), θα αντιστοιχούν στο άθροισμα των γωνιών περιστροφής ίσο με –f ( / 2). Όλες οι άλλες (n - f) ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, που έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη, θα αντιστοιχούν στο άθροισμα των γωνιών περιστροφής ίσες με + (n - f) ( / 2). Ως αποτέλεσμα, η συνολική γωνία περιστροφής του διανύσματος D(j) όταν η συχνότητα  αλλάζει από το μηδέν στο άπειρο σύμφωνα με τον τύπο (5.32) θα μοιάζει με

 = (n - f)( / 2) -f( / 2) = n ( / 2) -f . (5.33)

Αυτή η έκφραση καθορίζει την επιθυμητή σύνδεση μεταξύ του σχήματος της καμπύλης Mikhailov και των σημείων των πραγματικών τμημάτων των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Το 1936 ο A.V. Ο Mikhailov διατύπωσε το ακόλουθο κριτήριο σταθερότητας για γραμμικά συστήματαοποιαδήποτε παραγγελία.

Για τη σταθερότητα του συστήματος nης τάξης είναι απαραίτητο και επαρκές το διάνυσμα D(j  ), που περιγράφει την καμπύλη Mikhailov, με μια αλλαγή  από το μηδέν στο άπειρο είχε γωνία περιστροφής  = n (  / 2).

Αυτή η διατύπωση προκύπτει απευθείας από το (5.33). Για τη σταθερότητα του συστήματος, είναι απαραίτητο όλες οι ρίζες να βρίσκονται στο αριστερό μισό επίπεδο. Από εδώ προσδιορίζεται η απαιτούμενη γωνία περιστροφής του διανύσματος που προκύπτει.

Το κριτήριο σταθερότητας Mikhailov διατυπώνεται ως εξής: για τη σταθερότητα ενός γραμμικού ACS, είναι απαραίτητο και επαρκές το οδόγραφο Mikhailov, όταν η συχνότητα αλλάζει από το μηδέν στο άπειρο, ξεκινώντας από το θετικό μισό επίπεδο και δεν διασχίζει την αρχή, να διασχίζει διαδοχικά τόσα τεταρτημόρια του μιγαδικού επιπέδου. τη σειρά του πολυωνύμου της χαρακτηριστικής εξίσωσης του συστήματος.

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ

Ρύζι. 5.7. Ανθεκτικό ATS

Φαίνεται ότι η καμπύλη Mikhailov για σταθερά συστήματα έχει πάντα ένα ομαλό σπειροειδές σχήμα και το τέλος της πηγαίνει στο άπειρο σε εκείνο το τεταρτημόριο του μιγαδικού επιπέδου, ο αριθμός του οποίου είναι ίσος με το βαθμό της χαρακτηριστικής εξίσωσης (Εικ. 5.7). Περισσότερο από n στον αριθμό των τεταρτημορίων, η καμπύλη Mikhailov δεν μπορεί να περάσει καθόλου. Επομένως, η αστάθεια του συστήματος συνδέεται πάντα με το γεγονός ότι η ακολουθία διέλευσης των τεταρτημορίων παραβιάζεται στην καμπύλη Mikhailov, ως αποτέλεσμα της οποίας η γωνία περιστροφής του διανύσματος D (j) αποδεικνύεται μικρότερη από n ( / 2) (Εικ. 5.8).

Για ένα σταθερό σύστημα, η καμπύλη Mikhailov διέρχεται διαδοχικά n τεταρτημόρια του μιγαδικού επιπέδου.

Η παρουσία του ορίου σταθερότητας και των τριών τύπων μπορεί να προσδιοριστεί από την καμπύλη Mikhailov ως εξής.

Εάν υπάρχει όριο σταθερότητας πρώτου τύπου (μηδενική ρίζα) δεν υπάρχει ελεύθερος όρος του χαρακτηριστικού πολυωνύμου a n = 0 και η καμπύλη Mikhailov φεύγει από την αρχή (Εικ. 5.9, καμπύλη 1)

Ρύζι. 5.8. Μη βιώσιμο ATS

Ρύζι. 5.9. Όρια σταθερότητας

Στο όριο σταθερότητας δεύτερου τύπου (όριο σταθερότητας ταλάντωσης) η αριστερή πλευρά της χαρακτηριστικής εξίσωσης, δηλαδή το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, εξαφανίζεται όταν αντικατασταθεί το p = j 0

D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5,34)

Από όπου ακολουθούν δύο ισότητες: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. Αυτό σημαίνει ότι το σημείο  =  0 στην καμπύλη Mikhailov πέφτει στην αρχή (Εικ. 5.9, καμπύλη 2). Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή  0 είναι η συχνότητα των ταλαντώσεων του συστήματος χωρίς απόσβεση.

Για το όριο σταθερότητας τρίτου τύπου (άπειρη ρίζα) το άκρο της καμπύλης Mikhailov ρίχνεται (Εικ. 5.9, καμπύλη 3) από το ένα τεταρτημόριο στο άλλο μέσω του άπειρου. Σε αυτή την περίπτωση, ο συντελεστής a 0 του χαρακτηριστικού πολυωνύμου (5.7) θα περάσει από τη μηδενική τιμή, αλλάζοντας πρόσημο από συν σε μείον.

Συνήθης διαφορική εξίσωση ονομάζεται εξίσωση που συνδέει μια ανεξάρτητη μεταβλητή, μια άγνωστη συνάρτηση αυτής της μεταβλητής και των παραγώγων της (ή διαφορικών) διαφόρων τάξεων.

Σειρά διαφορική εξίσωση είναι η τάξη της υψηλότερης παραγώγου που περιέχεται σε αυτήν.

Εκτός από τις συνηθισμένες, μελετώνται και μερικές διαφορικές εξισώσεις. Πρόκειται για εξισώσεις που σχετίζονται με ανεξάρτητες μεταβλητές, μια άγνωστη συνάρτηση αυτών των μεταβλητών και των μερικών παραγώγων της σε σχέση με τις ίδιες μεταβλητές. Αλλά θα εξετάσουμε μόνο συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις και ως εκ τούτου θα παραλείψουμε τη λέξη «συνήθης» για συντομία.

Παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Η εξίσωση (1) είναι τέταρτης τάξης, η εξίσωση (2) είναι τρίτης τάξης, οι εξισώσεις (3) και (4) είναι δεύτερης τάξης, η εξίσωση (5) είναι πρώτης τάξης.

Διαφορική εξίσωση nΗ σειρά δεν χρειάζεται να περιέχει ρητά μια συνάρτηση, όλες τις παράγωγές της από την πρώτη έως nης τάξης και μια ανεξάρτητη μεταβλητή. Μπορεί να μην περιέχει ρητά παράγωγα ορισμένων εντολών, μια συνάρτηση, μια ανεξάρτητη μεταβλητή.

Για παράδειγμα, στην εξίσωση (1) δεν υπάρχουν σαφώς παράγωγοι τρίτης και δεύτερης τάξης, καθώς και συναρτήσεις. στην εξίσωση (2) - παράγωγος και συνάρτηση δεύτερης τάξης. στην εξίσωση (4) - ανεξάρτητη μεταβλητή. στην εξίσωση (5) - συναρτήσεις. Μόνο η εξίσωση (3) περιέχει ρητά όλες τις παραγώγους, τη συνάρτηση και την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Με την επίλυση της διαφορικής εξίσωσης καλείται οποιαδήποτε συνάρτηση y = f(x), αντικαθιστώντας το οποίο στην εξίσωση, μετατρέπεται σε ταυτότητα.

Η διαδικασία εύρεσης λύσης σε μια διαφορική εξίσωση ονομάζεται της ενσωμάτωση.

Παράδειγμα 1Βρείτε λύση στη διαφορική εξίσωση.

Λύση. Γράφουμε αυτή την εξίσωση με τη μορφή . Η λύση είναι να βρεθεί η συνάρτηση από την παράγωγό της. Η αρχική συνάρτηση, όπως είναι γνωστό από τον ολοκληρωτικό λογισμό, είναι το αντιπαράγωγο για, δηλ.

Αυτό είναι λύση της δεδομένης διαφορικής εξίσωσης . αλλάζοντας σε αυτό ντο, θα λάβουμε διαφορετικές λύσεις. Ανακαλύψαμε ότι υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων σε μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης.

Γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης nΗ τάξη είναι η λύση της που εκφράζεται ρητά σε σχέση με την άγνωστη συνάρτηση και περιέχει nανεξάρτητες αυθαίρετες σταθερές, δηλ.

Η λύση της διαφορικής εξίσωσης στο παράδειγμα 1 είναι γενική.

Μερική λύση της διαφορικής εξίσωσης καλείται η λύση του, στην οποία εκχωρούνται συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές σε αυθαίρετες σταθερές.

Παράδειγμα 2Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης και μια συγκεκριμένη λύση για .

Λύση. Ενσωματώνουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης τόσες φορές ώστε η σειρά της διαφορικής εξίσωσης να είναι ίση.

,

.

Ως αποτέλεσμα, πήραμε τη γενική λύση -

δίνεται διαφορική εξίσωση τρίτης τάξης.

Τώρα ας βρούμε μια συγκεκριμένη λύση υπό τις καθορισμένες συνθήκες. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε τις τιμές τους αντί για αυθαίρετους συντελεστές και λαμβάνουμε

.

Εάν, εκτός από τη διαφορική εξίσωση, η αρχική συνθήκη δίνεται με τη μορφή , τότε ένα τέτοιο πρόβλημα ονομάζεται Πρόβλημα Cauchy . Οι τιμές και αντικαθίστανται στη γενική λύση της εξίσωσης και βρίσκεται η τιμή μιας αυθαίρετης σταθεράς ντο, και στη συνέχεια μια συγκεκριμένη λύση της εξίσωσης για την τιμή που βρέθηκε ντο. Αυτή είναι η λύση στο πρόβλημα Cauchy.

Παράδειγμα 3Λύστε το πρόβλημα Cauchy για τη διαφορική εξίσωση από το Παράδειγμα 1 υπό την συνθήκη .

Λύση. Αντικαθιστούμε στη γενική λύση τις τιμές από την αρχική κατάσταση y = 3, Χ= 1. Παίρνουμε

Καταγράφουμε τη λύση του προβλήματος Cauchy για τη δεδομένη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης:

Όταν λύνουμε διαφορικές εξισώσεις, ακόμα και τις πιο απλές, καλές δεξιότητεςολοκλήρωση και λήψη παραγώγων, συμπεριλαμβανομένων σύνθετων συναρτήσεων. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα.

Παράδειγμα 4Να βρείτε τη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης.

Λύση. Η εξίσωση είναι γραμμένη με τέτοια μορφή ώστε και οι δύο πλευρές να μπορούν να ενσωματωθούν αμέσως.

.

Εφαρμόζουμε τη μέθοδο της ολοκλήρωσης αλλάζοντας τη μεταβλητή (υποκατάσταση). Αφήστε, λοιπόν.

Απαιτείται να ληφθεί dxκαι τώρα - προσοχή - το κάνουμε σύμφωνα με τους κανόνες διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης, αφού Χκαι υπάρχει μια σύνθετη συνάρτηση ("μήλο" - εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας ή, που είναι το ίδιο - αύξηση στην ισχύ "ένα δευτερόλεπτο", και "κιμάς" - η ίδια η έκφραση κάτω από τη ρίζα):

Βρίσκουμε το ολοκλήρωμα:

Επιστρέφοντας στη μεταβλητή Χ, παίρνουμε:

.

Αυτή είναι η γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης πρώτου βαθμού.

Για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων θα απαιτηθούν όχι μόνο δεξιότητες από τις προηγούμενες ενότητες των ανώτερων μαθηματικών, αλλά και δεξιότητες από τα μαθηματικά του δημοτικού, δηλαδή τα σχολικά. Όπως ήδη αναφέρθηκε, σε μια διαφορική εξίσωση οποιασδήποτε τάξης μπορεί να μην υπάρχει μια ανεξάρτητη μεταβλητή, δηλαδή μια μεταβλητή Χ. Οι γνώσεις για τις αναλογίες που δεν έχουν ξεχαστεί (όμως, κανείς το έχει) από το σχολικό παγκάκι θα βοηθήσει στην επίλυση αυτού του προβλήματος. Αυτό είναι το επόμενο παράδειγμα.

Παρατίθενται οι κύριοι τύποι συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων (DE) υψηλότερων τάξεων που μπορούν να επιλυθούν. Οι μέθοδοι για την επίλυσή τους περιγράφονται εν συντομία. Παρέχονται σύνδεσμοι σε σελίδες Λεπτομερής περιγραφήμέθοδοι λύσης και παραδείγματα.

Περιεχόμενο

Δείτε επίσης: Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης
Γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης

Διαφορικές εξισώσεις υψηλότερης τάξης που επιτρέπουν τη μείωση της τάξης

Εξισώσεις που λύνονται με άμεση ολοκλήρωση

Θεωρήστε μια διαφορική εξίσωση της ακόλουθης μορφής:
.
Ενσωματώνουμε n φορές.
;
;
και ούτω καθεξής. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τον τύπο:
.
Δείτε Άμεσα Λυμένες Διαφορικές Εξισώσεις ενσωμάτωση > > >

Εξισώσεις που δεν περιέχουν ρητά την εξαρτημένη μεταβλητή y

Η αντικατάσταση οδηγεί σε μείωση της σειράς της εξίσωσης κατά ένα. Εδώ είναι μια συνάρτηση του .
Δείτε διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης που δεν περιέχουν ρητή συνάρτηση > > >

Εξισώσεις που δεν περιέχουν ρητά την ανεξάρτητη μεταβλητή x

.
Υποθέτουμε ότι είναι συνάρτηση του . Επειτα
.
Ομοίως για άλλα παράγωγα. Ως αποτέλεσμα, η σειρά της εξίσωσης μειώνεται κατά ένα.
Δείτε διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης που δεν περιέχουν ρητή μεταβλητή > > >

Εξισώσεις ομοιογενείς ως προς y, y′, y′′, ...

Για να λύσουμε αυτή την εξίσωση, κάνουμε μια αντικατάσταση
,
όπου είναι συνάρτηση του . Επειτα
.
Ομοίως μετασχηματίζουμε τα παράγωγα κ.λπ. Ως αποτέλεσμα, η σειρά της εξίσωσης μειώνεται κατά ένα.
Δείτε διαφορικές εξισώσεις ανώτερης τάξης ομοιογενείς ως προς μια συνάρτηση και τις παραγώγους της > > >

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις υψηλότερων τάξεων

Σκεφτείτε γραμμική ομοιογενής διαφορική εξίσωση νης τάξης:
(1) ,
όπου είναι συναρτήσεις της ανεξάρτητης μεταβλητής . Έστω n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις αυτής της εξίσωσης. Τότε η γενική λύση της εξίσωσης (1) έχει τη μορφή:
(2) ,
όπου είναι αυθαίρετες σταθερές. Οι ίδιες οι συναρτήσεις αποτελούν ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων.
Σύστημα θεμελιωδών αποφάσεωνγραμμική ομοιογενής εξίσωση νης τάξης είναι n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις αυτής της εξίσωσης.

Σκεφτείτε γραμμική ανομοιογενής διαφορική εξίσωση νης τάξης:
.
Έστω μια συγκεκριμένη (οποιαδήποτε) λύση αυτής της εξίσωσης. Τότε η γενική λύση μοιάζει με:
,
πού είναι η γενική λύση της ομογενούς εξίσωσης (1).

Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές και μειώσεις τους

Γραμμικές ομοιογενείς εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές

Αυτές είναι οι εξισώσεις της μορφής:
(3) .
Εδώ είναι πραγματικοί αριθμοί. Για να βρούμε μια γενική λύση σε αυτήν την εξίσωση, πρέπει να βρούμε n γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις που σχηματίζουν ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων. Στη συνέχεια, η γενική λύση προσδιορίζεται από τον τύπο (2):
(2) .

Ψάχνετε για λύση στη μορφή . Παίρνουμε χαρακτηριστική εξίσωση:
(4) .

Αν αυτή η εξίσωση έχει διάφορες ρίζες, τότε το θεμελιώδες σύστημα λύσεων έχει τη μορφή:
.

Εάν είναι διαθέσιμο σύνθετη ρίζα
,
τότε υπάρχει και σύνθετη συζυγής ρίζα . Αυτές οι δύο ρίζες αντιστοιχούν σε λύσεις και , τις οποίες συμπεριλαμβάνουμε στο θεμελιώδες σύστημα αντί για σύνθετες λύσεις και .

Πολλαπλές ρίζεςοι πολλαπλότητες αντιστοιχούν σε γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις: .

Πολλαπλούς σύνθετες ρίζες Οι πολλαπλότητες και οι σύνθετες συζευγμένες τιμές τους αντιστοιχούν σε γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις:
.

Γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις με ειδικό ανομοιογενές τμήμα

Σκεφτείτε εξίσωση της μορφής
,
όπου είναι πολυώνυμα βαθμών s 1 και s 2 ; - μόνιμη.

Αρχικά, αναζητούμε μια γενική λύση για την ομοιογενή εξίσωση (3). Αν η χαρακτηριστική εξίσωση (4) δεν περιέχει ρίζα, τότε αναζητούμε μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή:
,
Οπου
;
;
s - μεγαλύτερο από s 1 και s 2 .

Αν η χαρακτηριστική εξίσωση (4) έχει ρίζαπολλαπλότητα , τότε αναζητούμε μια συγκεκριμένη λύση με τη μορφή:
.

Μετά από αυτό, παίρνουμε τη γενική λύση:
.

Γραμμικές ανομοιογενείς εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές

Υπάρχουν τρεις πιθανές λύσεις εδώ.

1) Μέθοδος Bernoulli.
Πρώτον, βρίσκουμε οποιαδήποτε μη μηδενική λύση της ομογενούς εξίσωσης
.
Στη συνέχεια κάνουμε αντικατάσταση
,
όπου είναι συνάρτηση της μεταβλητής x. Παίρνουμε μια διαφορική εξίσωση για το u που περιέχει μόνο παραγώγους του u ως προς το x. Αντικαθιστώντας το , παίρνουμε την εξίσωση n - 1 -η σειρά.

2) Μέθοδος γραμμικής αντικατάστασης.
Ας κάνουμε μια αντικατάσταση
,
όπου είναι μία από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης (4). Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση με συντελεστές σταθερής τάξης. Εφαρμόζοντας με συνέπεια αυτή την αντικατάσταση, ανάγουμε την αρχική εξίσωση σε εξίσωση πρώτης τάξης.

3) Μέθοδος Μεταβολής Σταθερών Lagrange.
Σε αυτή τη μέθοδο, λύνουμε πρώτα την ομογενή εξίσωση (3). Η λύση του μοιάζει με:
(2) .
Στη συνέχεια, υποθέτουμε ότι οι σταθερές είναι συναρτήσεις της μεταβλητής x. Τότε η λύση της αρχικής εξίσωσης έχει τη μορφή:
,
όπου είναι άγνωστες συναρτήσεις. Αντικαθιστώντας την αρχική εξίσωση και επιβάλλοντας κάποιους περιορισμούς, λαμβάνουμε εξισώσεις από τις οποίες μπορούμε να βρούμε τη μορφή των συναρτήσεων.

Εξίσωση Euler

Ανάγεται σε γραμμική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές με αντικατάσταση:
.
Ωστόσο, για να λυθεί η εξίσωση Euler, δεν χρειάζεται να γίνει μια τέτοια αντικατάσταση. Μπορεί κανείς να αναζητήσει αμέσως μια λύση μιας ομοιογενούς εξίσωσης στη μορφή
.
Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε τους ίδιους κανόνες όπως για μια εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, στην οποία αντί για μια μεταβλητή πρέπει να αντικαταστήσουμε την .

Βιβλιογραφικές αναφορές:
V.V. Stepanov, Course of Differential Equations, LKI, 2015.
Ν.Μ. Gunther, R.O. Kuzmin, Συλλογή προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά, Lan, 2003.

Δείτε επίσης: