Το υλικό που παρουσιάζεται παρακάτω είναι μια λογική συνέχεια της θεωρίας από το άρθρο κάτω από την επικεφαλίδα LCM - ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, ορισμός, παραδείγματα, σχέση μεταξύ LCM και GCD. Εδώ θα μιλήσουμε για βρίσκοντας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM), και δώστε ιδιαίτερη προσοχή στην επίλυση παραδειγμάτων. Ας δείξουμε πρώτα πώς υπολογίζεται το LCM δύο αριθμών ως προς το GCD αυτών των αριθμών. Στη συνέχεια, εξετάστε το ενδεχόμενο να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο παραγοντοποιώντας τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες. Μετά από αυτό, θα επικεντρωθούμε στην εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών και επίσης θα δώσουμε προσοχή στον υπολογισμό του LCM των αρνητικών αριθμών.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω gcd

Ένας τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στη σχέση μεταξύ LCM και GCD. Η υπάρχουσα σχέση μεταξύ LCM και GCD σάς επιτρέπει να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο θετικών ακεραίων μέσω του γνωστού μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη. Ο αντίστοιχος τύπος έχει τη μορφή LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Εξετάστε παραδείγματα εύρεσης του LCM σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δύο αριθμών 126 και 70 .

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα a=126 , b=70 . Ας χρησιμοποιήσουμε τη σχέση μεταξύ LCM και GCD που εκφράζεται με τον τύπο LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Δηλαδή, πρώτα πρέπει να βρούμε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη των αριθμών 70 και 126, μετά τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε το LCM αυτών των αριθμών σύμφωνα με τον γραπτό τύπο.

Βρείτε το gcd(126, 70) χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Ευκλείδη: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , άρα gcd(126, 70)=14 .

Τώρα βρίσκουμε το απαιτούμενο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .

Απάντηση:

LCM(126, 70)=630.

Παράδειγμα.

Τι είναι το LCM(68, 34) ;

Λύση.

Επειδή Το 68 διαιρείται ομοιόμορφα με το 34, τότε το gcd(68, 34)=34. Τώρα υπολογίζουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .

Απάντηση:

LCM(68, 34)=68.

Σημειώστε ότι το προηγούμενο παράδειγμα ταιριάζει με τον ακόλουθο κανόνα για την εύρεση του LCM για θετικούς ακέραιους αριθμούς a και b: εάν ο αριθμός a διαιρείται με το b, τότε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το a.

Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Ένας άλλος τρόπος για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βασίζεται στην παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες. Εάν κάνουμε ένα γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων αυτών των αριθμών, μετά το οποίο εξαιρέσουμε από αυτό το γινόμενο όλους τους κοινούς πρώτους παράγοντες που υπάρχουν στις επεκτάσεις αυτών των αριθμών, τότε το γινόμενο που προκύπτει θα είναι ίσο με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Ο ανακοινωμένος κανόνας για την εύρεση του LCM προκύπτει από την ισότητα LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Πράγματι, το γινόμενο των αριθμών a και b είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στις επεκτάσεις των αριθμών a και b. Με τη σειρά του, το gcd(a, b) είναι ίσο με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που υπάρχουν ταυτόχρονα στις επεκτάσεις των αριθμών a και b (που περιγράφεται στην ενότητα για την εύρεση του gcd χρησιμοποιώντας την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες ).

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Ας ξέρουμε ότι 75=3 5 5 και 210=2 3 5 7 . Να συνθέσετε το γινόμενο όλων των παραγόντων αυτών των επεκτάσεων: 2 3 3 5 5 5 7 . Τώρα αποκλείουμε από αυτό το προϊόν όλους τους παράγοντες που υπάρχουν τόσο στην επέκταση του αριθμού 75 όσο και στην επέκταση του αριθμού 210 (τέτοιοι παράγοντες είναι 3 και 5), τότε το γινόμενο θα πάρει τη μορφή 2 3 5 5 7 . Η τιμή αυτού του γινόμενου είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 75 και 210, δηλαδή LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Παράδειγμα.

Αφού συνυπολογίσετε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες, βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών.

Λύση.

Ας αποσυνθέσουμε τους αριθμούς 441 και 700 σε πρώτους παράγοντες:

Παίρνουμε 441=3 3 7 7 και 700=2 2 5 5 7 .

Ας κάνουμε τώρα ένα γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στις επεκτάσεις αυτών των αριθμών: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Ας εξαιρέσουμε από αυτό το προϊόν όλους τους παράγοντες που υπάρχουν ταυτόχρονα και στις δύο επεκτάσεις (υπάρχει μόνο ένας τέτοιος παράγοντας - αυτός είναι ο αριθμός 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Ετσι, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Απάντηση:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Ο κανόνας για την εύρεση του LCM χρησιμοποιώντας την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες μπορεί να διατυπωθεί λίγο διαφορετικά. Αν προσθέσουμε τους συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του αριθμού b στους συντελεστές από τη διεύρυνση του αριθμού a, τότε η τιμή του γινόμενου που προκύπτει θα είναι ίση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών a και b.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε όλους τους ίδιους αριθμούς 75 και 210, οι επεκτάσεις τους σε πρώτους παράγοντες είναι οι εξής: 75=3 5 5 και 210=2 3 5 7 . Στους παράγοντες 3, 5 και 5 από την αποσύνθεση του αριθμού 75, προσθέτουμε τους συντελεστές 2 και 7 που λείπουν από την αποσύνθεση του αριθμού 210, παίρνουμε το γινόμενο 2 3 5 5 7 , η τιμή του οποίου είναι LCM(75 , 210).

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.

Λύση.

Λαμβάνουμε πρώτα την αποσύνθεση των αριθμών 84 και 648 σε πρώτους παράγοντες. Μοιάζουν με 84=2 2 3 7 και 648=2 2 2 3 3 3 3 . Στους παράγοντες 2 , 2 , 3 και 7 από την αποσύνθεση του αριθμού 84 προσθέτουμε τους συντελεστές 2 , 3 , 3 και 3 που λείπουν από την αποσύνθεση του αριθμού 648 , παίρνουμε το γινόμενο 2 2 2 3 3 3 3 7 , που ισούται με 4 536 . Έτσι, το επιθυμητό ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 84 και 648 είναι 4.536.

Απάντηση:

LCM(84, 648)=4 536.

Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών μπορεί να βρεθεί βρίσκοντας διαδοχικά το LCM δύο αριθμών. Θυμηθείτε το αντίστοιχο θεώρημα, το οποίο δίνει έναν τρόπο να βρείτε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών.

Θεώρημα.

Έστω θετικοί ακέραιοι a 1 , a 2 , …, a k, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο m k αυτών των αριθμών βρίσκεται στον διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Εξετάστε την εφαρμογή αυτού του θεωρήματος στο παράδειγμα της εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου τεσσάρων αριθμών.

Παράδειγμα.

Βρείτε το LCM των τεσσάρων αριθμών 140 , 9 , 54 και 250 .

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Πρώτα βρίσκουμε m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Ευκλείδη, προσδιορίζουμε gcd(140, 9) , έχουμε 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , επομένως, gcd( 140, 9)=1, από όπου LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Δηλαδή m 2 =1 260 .

Τώρα βρίσκουμε m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Ας το υπολογίσουμε μέσω του gcd(1 260, 54) , το οποίο προσδιορίζεται επίσης από τον αλγόριθμο του Ευκλείδη: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Τότε gcd(1 260, 54)=18 , από όπου LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Δηλαδή, m 3 \u003d 3 780.

Έμεινε για να βρεις m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε το GCD(3 780, 250) χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Ευκλείδη: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Επομένως, gcd(3 780, 250)=10, από όπου gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Δηλαδή, m 4 \u003d 94 500.

Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αρχικών τεσσάρων αριθμών είναι το 94.500.

Απάντηση:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

Σε πολλές περιπτώσεις, το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών βρίσκεται εύκολα με χρήση πρώτων παραγοντοποιήσεων δεδομένων αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να ακολουθηθεί ο ακόλουθος κανόνας. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο, το οποίο αποτελείται ως εξής: οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού προστίθενται σε όλους τους παράγοντες από την επέκταση του πρώτου αριθμού, οι συντελεστές που λείπουν από την επέκταση του ο τρίτος αριθμός προστίθεται στους ληφθέντες συντελεστές και ούτω καθεξής.

Εξετάστε ένα παράδειγμα εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου χρησιμοποιώντας την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Παράδειγμα.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πέντε αριθμών 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Λύση.

Αρχικά, λαμβάνουμε τις επεκτάσεις αυτών των αριθμών σε πρώτους παράγοντες: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 πρώτους παράγοντες) και 143=11 13 .

Για να βρείτε το LCM αυτών των αριθμών, στους συντελεστές του πρώτου αριθμού 84 (είναι 2 , 2 , 3 και 7 ) πρέπει να προσθέσετε τους παράγοντες που λείπουν από την επέκταση του δεύτερου αριθμού 6 . Η επέκταση του αριθμού 6 δεν περιέχει παράγοντες που λείπουν, αφού και το 2 και το 3 είναι ήδη παρόντα στην επέκταση του πρώτου αριθμού 84 . Πέρα από τους παράγοντες 2 , 2 , 3 και 7 προσθέτουμε τους παράγοντες 2 και 2 που λείπουν από την επέκταση του τρίτου αριθμού 48 , παίρνουμε ένα σύνολο παραγόντων 2 , 2 , 2 , 2 , 3 και 7 . Δεν χρειάζεται να προσθέσετε παράγοντες σε αυτό το σύνολο στο επόμενο βήμα, καθώς το 7 περιέχεται ήδη σε αυτό. Τέλος, στους παράγοντες 2 , 2 , 2 , 2 , 3 και 7 προσθέτουμε τους συντελεστές 11 και 13 που λείπουν από την επέκταση του αριθμού 143 . Παίρνουμε το γινόμενο 2 2 2 2 3 7 11 13 , το οποίο ισούται με 48 048 .

Εξετάστε τρεις τρόπους για να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

Εύρεση μέσω Factoring

Ο πρώτος τρόπος είναι να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο παραγοντώντας τους δεδομένους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε το LCM των αριθμών: 99, 30 και 28. Για να γίνει αυτό, αποσυνθέτουμε κάθε έναν από αυτούς τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες:

Για να διαιρείται ο επιθυμητός αριθμός με το 99, το 30 και το 28, είναι απαραίτητο και αρκετό να περιλαμβάνει όλους τους πρώτους παράγοντες αυτών των διαιρετών. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πάρουμε όλους τους πρώτους παράγοντες αυτών των αριθμών στην υψηλότερη ισχύ και να τους πολλαπλασιάσουμε μαζί:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Άρα LCM (99, 30, 28) = 13.860. Κανένας άλλος αριθμός μικρότερος του 13.860 δεν διαιρείται ομοιόμορφα με το 99, το 30 ή το 28.

Για να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δεδομένων αριθμών, πρέπει να τους συνυπολογίσετε σε πρώτους παράγοντες, στη συνέχεια να πάρετε κάθε πρώτο παράγοντα με τον μεγαλύτερο εκθέτη με τον οποίο εμφανίζεται και να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους παράγοντες μαζί.

Εφόσον οι συμπρώτοι αριθμοί δεν έχουν κοινούς πρώτους παράγοντες, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των αριθμών. Για παράδειγμα, τρεις αριθμοί: 20, 49 και 33 είναι συμπρώτοι. Να γιατί

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Το ίδιο πρέπει να γίνει όταν ψάχνουμε για το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο διαφόρων πρώτων. Για παράδειγμα, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Εύρεση με επιλογή

Ο δεύτερος τρόπος είναι να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο με προσαρμογή.

Παράδειγμα 1. Όταν ο μεγαλύτερος από τους δεδομένους αριθμούς διαιρείται ομοιόμορφα με άλλους δεδομένους αριθμούς, τότε το LCM αυτών των αριθμών είναι ίσο με τον μεγαλύτερο από αυτούς. Για παράδειγμα, δίνονται τέσσερις αριθμοί: 60, 30, 10 και 6. Καθένας από αυτούς διαιρείται με το 60, επομένως:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Σε άλλες περιπτώσεις, για να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, χρησιμοποιείται η ακόλουθη διαδικασία:

1. Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο αριθμό από τους δεδομένους αριθμούς.
2. Στη συνέχεια, βρίσκουμε αριθμούς που είναι πολλαπλάσια του μεγαλύτερου αριθμού, πολλαπλασιάζοντάς τον με φυσικούς αριθμούς σε αύξουσα σειρά και ελέγχοντας εάν οι υπόλοιποι αριθμοί που δίνονται διαιρούνται με το γινόμενο που προκύπτει.

Παράδειγμα 2. Δίνονται τρεις αριθμοί 24, 3 και 18. Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο από αυτούς - αυτός είναι ο αριθμός 24. Στη συνέχεια, βρείτε τα πολλαπλάσια του 24, ελέγχοντας αν καθένας από αυτούς διαιρείται με το 18 και με το 3:

24 1 = 24 διαιρείται με το 3 αλλά δεν διαιρείται με το 18.

24 2 = 48 - διαιρείται με 3 αλλά δεν διαιρείται με 18.

24 3 \u003d 72 - διαιρείται με το 3 και το 18.

Άρα LCM(24, 3, 18) = 72.

Εύρεση με διαδοχική εύρεση LCM

Ο τρίτος τρόπος είναι να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο βρίσκοντας διαδοχικά το LCM.

Το LCM δύο δεδομένων αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο αυτών των αριθμών διαιρούμενο με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους.

Παράδειγμα 1. Βρείτε το LCM δύο δεδομένων αριθμών: 12 και 8. Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους: GCD (12, 8) = 4. Πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς:

Χωρίζουμε το προϊόν στο GCD τους:

Άρα LCM(12, 8) = 24.

Για να βρείτε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών, χρησιμοποιείται η ακόλουθη διαδικασία:

1. Αρχικά, βρίσκεται το LCM οποιωνδήποτε δύο από τους δεδομένους αριθμούς.
2. Στη συνέχεια, το LCM του ευρεθέντος ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και του τρίτου δεδομένου αριθμού.
3. Στη συνέχεια, το LCM του προκύπτοντος ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και του τέταρτου αριθμού, και ούτω καθεξής.
4. Έτσι η αναζήτηση LCM συνεχίζεται όσο υπάρχουν αριθμοί.

Παράδειγμα 2. Ας βρούμε το LCM τριών δεδομένων αριθμών: 12, 8 και 9. Έχουμε ήδη βρει το LCM των αριθμών 12 και 8 στο προηγούμενο παράδειγμα (αυτός είναι ο αριθμός 24). Απομένει να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 24 και τον τρίτο δεδομένο αριθμό - 9. Προσδιορίστε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη τους: gcd (24, 9) = 3. Πολλαπλασιάστε το LCM με τον αριθμό 9:

Χωρίζουμε το προϊόν στο GCD τους:

Άρα LCM(12, 8, 9) = 72.

Για να κατανοήσετε πώς να υπολογίσετε το LCM, θα πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε την έννοια του όρου "πολλαπλά".

Πολλαπλάσιο του Α είναι ένας φυσικός αριθμός που διαιρείται με τον Α χωρίς υπόλοιπο. Έτσι, τα 15, 20, 25 και ούτω καθεξής μπορούν να θεωρηθούν πολλαπλάσια του 5.

Μπορεί να υπάρχει περιορισμένος αριθμός διαιρετών ενός συγκεκριμένου αριθμού, αλλά υπάρχει ένας άπειρος αριθμός πολλαπλασίων.

Κοινό πολλαπλάσιο φυσικών αριθμών είναι ένας αριθμός που διαιρείται με αυτούς χωρίς υπόλοιπο.

Πώς να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) αριθμών (δύο, τρεις ή περισσότεροι) είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται ομοιόμορφα με όλους αυτούς τους αριθμούς.

Για να βρείτε το NOC, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διάφορες μεθόδους.

Για μικρούς αριθμούς, είναι βολικό να γράψετε σε μια γραμμή όλα τα πολλαπλάσια αυτών των αριθμών μέχρι να βρεθεί ένας κοινός μεταξύ τους. Τα πολλαπλάσια υποδηλώνουν στην εγγραφή κεφαλαίο γράμμαΠΡΟΣ ΤΗΝ.

Για παράδειγμα, πολλαπλάσια του 4 μπορούν να γραφτούν ως εξής:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Έτσι, μπορείτε να δείτε ότι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 4 και 6 είναι ο αριθμός 24. Αυτή η καταχώρηση εκτελείται ως εξής:

LCM(4, 6) = 24

Εάν οι αριθμοί είναι μεγάλοι, βρείτε το κοινό πολλαπλάσιο τριών ή περισσότερων αριθμών, τότε είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε έναν άλλο τρόπο για τον υπολογισμό του LCM.

Για να ολοκληρώσετε την εργασία, είναι απαραίτητο να αποσυνθέσετε τους προτεινόμενους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Πρώτα πρέπει να γράψετε την επέκταση του μεγαλύτερου από τους αριθμούς σε μια γραμμή και κάτω από αυτήν - τους υπόλοιπους.

Στην επέκταση κάθε αριθμού, μπορεί να υπάρχει διαφορετικός αριθμός παραγόντων.

Για παράδειγμα, ας παραγοντοποιήσουμε τους αριθμούς 50 και 20 σε πρώτους παράγοντες.

Στην επέκταση του μικρότερου αριθμού θα πρέπει να υπογραμμιστούν οι παράγοντες που λείπουν στην επέκταση του πρώτου μεγαλύτερου αριθμού και στη συνέχεια να τους προσθέσουμε σε αυτόν. Στο παράδειγμα που παρουσιάζεται, λείπει ένα δυάρι.

Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 20 και του 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Έτσι, το γινόμενο των πρώτων παραγόντων του μεγαλύτερου αριθμού και των παραγόντων του δεύτερου αριθμού, που δεν περιλαμβάνονται στην αποσύνθεση του μεγαλύτερου αριθμού, θα είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Για να βρείτε το LCM τριών ή περισσότερων αριθμών, όλοι αυτοί θα πρέπει να αποσυντεθούν σε πρώτους παράγοντες, όπως στην προηγούμενη περίπτωση.

Για παράδειγμα, μπορείτε να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Έτσι, μόνο δύο δυάδες από την αποσύνθεση του δεκαέξι δεν συμπεριλήφθηκαν στην παραγοντοποίηση ενός μεγαλύτερου αριθμού (το ένα είναι στην αποσύνθεση των είκοσι τεσσάρων).

Έτσι, πρέπει να προστεθούν στην αποσύνθεση ενός μεγαλύτερου αριθμού.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις προσδιορισμού του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου. Έτσι, εάν ένας από τους αριθμούς μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με έναν άλλο, τότε ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο.

Για παράδειγμα, οι NOC των δώδεκα και είκοσι τεσσάρων θα ήταν είκοσι τέσσερις.

Εάν είναι απαραίτητο να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο συμπρώτων αριθμών που δεν έχουν τους ίδιους διαιρέτες, τότε το LCM τους θα είναι ίσο με το γινόμενο τους.

Για παράδειγμα, LCM(10, 11) = 110.

Ας συνεχίσουμε τη συζήτηση για το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο που ξεκινήσαμε στην ενότητα LCM - Least Common Multiple, Definition, Examples. Σε αυτό το θέμα, θα εξετάσουμε τρόπους εύρεσης του LCM για τρεις ή περισσότερους αριθμούς, θα αναλύσουμε το ερώτημα πώς να βρείτε το LCM ενός αρνητικού αριθμού.

Υπολογισμός του ελάχιστου κοινού πολλαπλού (LCM) μέσω gcd

Έχουμε ήδη καθορίσει τη σχέση μεταξύ του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου και του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη. Τώρα ας μάθουμε πώς να ορίζουμε το LCM μέσω του GCD. Αρχικά, ας καταλάβουμε πώς να το κάνουμε αυτό για θετικούς αριθμούς.

Ορισμός 1

Μπορείτε να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο μέσω του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη χρησιμοποιώντας τον τύπο LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Παράδειγμα 1

Είναι απαραίτητο να βρείτε το LCM των αριθμών 126 και 70.

Λύση

Ας πάρουμε a = 126 , b = 70 . Αντικαταστήστε τις τιμές στον τύπο για τον υπολογισμό του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου μέσω του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Βρίσκει το GCD των αριθμών 70 και 126. Για αυτό χρειαζόμαστε τον αλγόριθμο Ευκλείδη: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , άρα gcd (126 , 70) = 14 .

Ας υπολογίσουμε το LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Απάντηση: LCM (126, 70) = 630.

Παράδειγμα 2

Βρείτε το nok των αριθμών 68 και 34.

Λύση

Το GCD σε αυτή την περίπτωση είναι εύκολο να βρεθεί, αφού το 68 διαιρείται με το 34. Υπολογίστε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο χρησιμοποιώντας τον τύπο: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Απάντηση: LCM(68, 34) = 68.

Σε αυτό το παράδειγμα, χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα για την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου των θετικών ακεραίων a και b: εάν ο πρώτος αριθμός διαιρείται με τον δεύτερο, τότε το LCM αυτών των αριθμών θα είναι ίσο με τον πρώτο αριθμό.

Εύρεση του LCM με παραγοντοποίηση αριθμών σε πρώτους παράγοντες

Ας δούμε τώρα έναν τρόπο εύρεσης του LCM, ο οποίος βασίζεται στην αποσύνθεση των αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Ορισμός 2

Για να βρούμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, πρέπει να εκτελέσουμε μια σειρά από απλά βήματα:

• Συνθέτουμε το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων αριθμών για τους οποίους πρέπει να βρούμε το LCM.
• Εξαιρούμε όλους τους κύριους παράγοντες από τα προϊόντα που λαμβάνονται.
• το γινόμενο που προκύπτει μετά την εξάλειψη των κοινών πρώτων παραγόντων θα είναι ίσο με το LCM των δεδομένων αριθμών.

Αυτός ο τρόπος εύρεσης του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου βασίζεται στην ισότητα LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Αν κοιτάξετε τον τύπο, θα γίνει σαφές: το γινόμενο των αριθμών a και b είναι ίσο με το γινόμενο όλων των παραγόντων που εμπλέκονται στην επέκταση αυτών των δύο αριθμών. Στην περίπτωση αυτή, το GCD δύο αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων που υπάρχουν ταυτόχρονα στις παραγοντοποιήσεις αυτών των δύο αριθμών.

Παράδειγμα 3

Έχουμε δύο αριθμούς 75 και 210 . Μπορούμε να τα υπολογίσουμε ως εξής: 75 = 3 5 5Και 210 = 2 3 5 7. Εάν κάνετε το γινόμενο όλων των παραγόντων των δύο αρχικών αριθμών, θα λάβετε: 2 3 3 5 5 5 7.

Αν εξαιρέσουμε τους κοινούς παράγοντες και στους δύο αριθμούς 3 και 5, παίρνουμε ένα γινόμενο της ακόλουθης μορφής: 2 3 5 5 7 = 1050. Αυτό το προϊόν θα είναι το LCM μας για τους αριθμούς 75 και 210.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το LCM των αριθμών 441 Και 700 , αποσυνθέτοντας και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες.

Λύση

Ας βρούμε όλους τους πρώτους παράγοντες των αριθμών που δίνονται στην συνθήκη:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Παίρνουμε δύο αλυσίδες αριθμών: 441 = 3 3 7 7 και 700 = 2 2 5 5 7 .

Το γινόμενο όλων των παραγόντων που συμμετείχαν στην επέκταση αυτών των αριθμών θα μοιάζει με: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ας βρούμε τους κοινούς παράγοντες. Αυτός ο αριθμός είναι 7. Ας το εξαιρέσουμε από κοινό προϊόν: 2 2 3 3 5 5 7 7. Αποδεικνύεται ότι ο ΝΟΚ (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Απάντηση: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Ας δώσουμε μια ακόμη διατύπωση της μεθόδου για την εύρεση του LCM με την αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες.

Ορισμός 3

Προηγουμένως, εξαιρέσαμε από τον συνολικό αριθμό των κοινών παραγόντων και στους δύο αριθμούς. Τώρα θα το κάνουμε διαφορετικά:

• Ας αποσυνθέσουμε και τους δύο αριθμούς σε πρώτους παράγοντες:
• προσθέστε στο γινόμενο των πρώτων παραγόντων του πρώτου αριθμού τους συντελεστές που λείπουν από τον δεύτερο αριθμό.
• παίρνουμε το γινόμενο, το οποίο θα είναι το επιθυμητό LCM δύο αριθμών.

Παράδειγμα 5

Ας επιστρέψουμε στους αριθμούς 75 και 210 , για τους οποίους ήδη αναζητήσαμε το LCM σε ένα από τα προηγούμενα παραδείγματα. Ας τα αναλύσουμε σε απλούς παράγοντες: 75 = 3 5 5Και 210 = 2 3 5 7. Στο γινόμενο των παραγόντων 3, 5 και 5 αριθμός 75 προσθέστε τους παράγοντες που λείπουν 2 Και 7 αριθμοί 210 . Παίρνουμε: 2 3 5 5 7 .Αυτό είναι το LCM των αριθμών 75 και 210.

Παράδειγμα 6

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το LCM των αριθμών 84 και 648.

Λύση

Ας αποσυνθέσουμε τους αριθμούς από την συνθήκη σε πρώτους παράγοντες: 84 = 2 2 3 7Και 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Προσθέστε στο γινόμενο των παραγόντων 2 , 2 , 3 και 7 αριθμοί 84 που λείπουν παράγοντες 2 , 3 , 3 και
3 αριθμοί 648 . Παίρνουμε το προϊόν 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .Αυτό είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 84 και του 648.

Απάντηση: LCM (84, 648) = 4536.

Εύρεση του LCM τριών ή περισσότερων αριθμών

Ανεξάρτητα από το πόσους αριθμούς έχουμε να κάνουμε, ο αλγόριθμος των ενεργειών μας θα είναι πάντα ο ίδιος: θα βρίσκουμε με συνέπεια το LCM δύο αριθμών. Υπάρχει ένα θεώρημα για αυτή την περίπτωση.

Θεώρημα 1

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ακέραιους αριθμούς a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kαπό αυτούς τους αριθμούς βρίσκεται στον διαδοχικό υπολογισμό m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Τώρα ας δούμε πώς μπορεί να εφαρμοστεί το θεώρημα σε συγκεκριμένα προβλήματα.

Παράδειγμα 7

Πρέπει να υπολογίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τεσσάρων αριθμών 140 , 9 , 54 και 250 .

Λύση

Ας εισάγουμε τη σημείωση: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Ας χρησιμοποιήσουμε τον Ευκλείδειο αλγόριθμο για να υπολογίσουμε το GCD των αριθμών 140 και 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Παίρνουμε: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Επομένως, m 2 = 1 260 .

Τώρα ας υπολογίσουμε σύμφωνα με τον ίδιο αλγόριθμο m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Κατά τη διάρκεια των υπολογισμών, παίρνουμε m 3 = 3 780.

Απομένει να υπολογίσουμε m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Ενεργούμε σύμφωνα με τον ίδιο αλγόριθμο. Λαμβάνουμε m 4 \u003d 94 500.

Το LCM των τεσσάρων αριθμών από την συνθήκη του παραδείγματος είναι 94500.

Απάντηση: LCM (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι υπολογισμοί είναι απλοί, αλλά αρκετά επίπονοι. Για να εξοικονομήσετε χρόνο, μπορείτε να πάτε από την άλλη.

Ορισμός 4

Σας προσφέρουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο ενεργειών:

• Αποσύνθεση όλων των αριθμών σε πρώτους παράγοντες.
• στο γινόμενο των παραγόντων του πρώτου αριθμού, προσθέστε τους συντελεστές που λείπουν από το γινόμενο του δεύτερου αριθμού.
• προσθέστε τους συντελεστές που λείπουν του τρίτου αριθμού στο γινόμενο που λήφθηκε στο προηγούμενο στάδιο κ.λπ.
• το γινόμενο που προκύπτει θα είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο όλων των αριθμών από τη συνθήκη.

Παράδειγμα 8

Είναι απαραίτητο να βρείτε το LCM πέντε αριθμών 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Λύση

Ας αποσυνθέσουμε και τους πέντε αριθμούς σε πρώτους παράγοντες: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Οι πρώτοι αριθμοί, που είναι ο αριθμός 7, δεν μπορούν να συνυπολογιστούν σε πρώτους παράγοντες. Τέτοιοι αριθμοί συμπίπτουν με την αποσύνθεσή τους σε πρώτους παράγοντες.

Ας πάρουμε τώρα το γινόμενο των πρώτων παραγόντων 2, 2, 3 και 7 του αριθμού 84 και ας προσθέσουμε σε αυτούς τους συντελεστές που λείπουν από τον δεύτερο αριθμό. Διασπάσαμε τον αριθμό 6 σε 2 και 3. Αυτοί οι παράγοντες είναι ήδη στο γινόμενο του πρώτου αριθμού. Επομένως, τα παραλείπουμε.

Συνεχίζουμε να προσθέτουμε τους πολλαπλασιαστές που λείπουν. Γυρίζουμε στον αριθμό 48, από το γινόμενο των πρώτων παραγόντων του οποίου παίρνουμε το 2 και το 2. Στη συνέχεια προσθέτουμε έναν απλό παράγοντα 7 από τον τέταρτο αριθμό και συντελεστές του 11 και 13 του πέμπτου. Παίρνουμε: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Αυτό είναι το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των πέντε αρχικών αριθμών.

Απάντηση: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου αρνητικών αριθμών

Για να βρεθεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των αρνητικών αριθμών, αυτοί οι αριθμοί πρέπει πρώτα να αντικατασταθούν από αριθμούς με το αντίθετο πρόσημο και στη συνέχεια να γίνουν οι υπολογισμοί σύμφωνα με τους παραπάνω αλγόριθμους.

Παράδειγμα 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) και LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Τέτοιες ενέργειες είναι επιτρεπτές λόγω του γεγονότος ότι εάν γίνει δεκτό ότι έναΚαι − α- αντίθετοι αριθμοί
τότε το σύνολο των πολλαπλασίων ένασυμπίπτει με το σύνολο των πολλαπλασίων ενός αριθμού − α.

Παράδειγμα 10

Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το LCM των αρνητικών αριθμών − 145 Και − 45 .

Λύση

Ας αλλάξουμε τους αριθμούς − 145 Και − 45 στους αντίθετους αριθμούς τους 145 Και 45 . Τώρα, χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο, υπολογίζουμε το LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, έχοντας προηγουμένως καθορίσει το GCD χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο του Ευκλείδη.

Παίρνουμε ότι το LCM των αριθμών − 145 και − 45 ισοδυναμεί 1 305 .

Απάντηση: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter