Αφού μελετήσουμε τα μονοώνυμα, προχωράμε στα πολυώνυμα. Αυτό το άρθρο θα σας ενημερώσει για όλες τις απαραίτητες πληροφορίες που απαιτούνται για την εκτέλεση ενεργειών σε αυτά. Θα ορίσουμε ένα πολυώνυμο με τους συνοδευτικούς ορισμούς ενός πολυωνυμικού όρου, δηλαδή ελεύθερου και παρόμοιου, θα εξετάσουμε ένα πολυώνυμο τυπικής μορφής, θα εισαγάγουμε ένα πτυχίο και θα μάθουμε πώς να το βρίσκουμε και θα εργαστούμε με τους συντελεστές του.

Το πολυώνυμο και οι όροι του - ορισμοί και παραδείγματα

Ο ορισμός του πολυωνύμου δόθηκε στο 7 τάξη αφού μελετήσει τα μονώνυμα. Ας δούμε τον πλήρη ορισμό του.

Ορισμός 1

ΠολυώνυμοςΤο άθροισμα των μονοωνύμων υπολογίζεται και το ίδιο το μονώνυμο είναι μια ειδική περίπτωση πολυωνύμου.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι τα παραδείγματα πολυωνύμων μπορεί να είναι διαφορετικά: 5 , 0 , − 1 , Χ, 5 α β 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z και ούτω καθεξής. Από τον ορισμό έχουμε ότι 1+x, a 2 + b 2 και η έκφραση x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x είναι πολυώνυμα.

Ας δούμε μερικούς περισσότερους ορισμούς.

Ορισμός 2

Μέλη του πολυωνύμουτα συστατικά του μονώνυμα λέγονται.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα όπου έχουμε ένα πολυώνυμο 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, που αποτελείται από 4 όρους: 3 x 4, − 2 x y, 3 και − y 3. Ένα τέτοιο μονώνυμο μπορεί να θεωρηθεί πολυώνυμο, το οποίο αποτελείται από έναν όρο.

Ορισμός 3

Τα πολυώνυμα που περιέχουν 2, 3 τριώνυμα έχουν το αντίστοιχο όνομα - διωνυμικόςΚαι τριώνυμος.

Από αυτό προκύπτει ότι μια έκφραση της μορφής x+y– είναι διώνυμο και η παράσταση 2 x 3 q − q x x x + 7 b είναι τριώνυμο.

Με σχολικό πρόγραμμα σπουδώνδουλεύεται με ένα γραμμικό δυώνυμο της μορφής a · x + b, όπου a και b είναι κάποιοι αριθμοί και x είναι μια μεταβλητή. Ας εξετάσουμε παραδείγματα γραμμικών διωνύμων της μορφής: x + 1, x · 7, 2 − 4 με παραδείγματα τετράγωνων τριωνύμων x 2 + 3 · x − 5 και 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

Για να μετασχηματίσετε και να λύσετε, είναι απαραίτητο να βρείτε και να φέρετε παρόμοιους όρους. Για παράδειγμα, ένα πολυώνυμο της μορφής 1 + 5 x − 3 + y + 2 x έχει παρόμοιους όρους 1 και - 3, 5 x και 2 x. Χωρίζονται σε μια ειδική ομάδα που ονομάζεται όμοια μέλη του πολυωνύμου.

Ορισμός 4

Παρόμοιοι όροι πολυωνύμουείναι παρόμοιοι όροι που βρίσκονται σε ένα πολυώνυμο.

Στο παραπάνω παράδειγμα, έχουμε ότι 1 και - 3, 5 x και 2 x είναι παρόμοιοι όροι του πολυωνύμου ή παρόμοιοι όροι. Για να απλοποιήσετε την έκφραση, βρείτε και μειώστε παρόμοιους όρους.

Πολυώνυμο τυπικής μορφής

Όλα τα μονοώνυμα και τα πολυώνυμα έχουν τα δικά τους συγκεκριμένα ονόματα.

Ορισμός 5

Πολυώνυμο τυπικής μορφήςείναι ένα πολυώνυμο στο οποίο κάθε όρος που περιλαμβάνεται σε αυτό έχει ένα μονώνυμο τυπικής μορφής και δεν περιέχει παρόμοιους όρους.

Από τον ορισμό είναι σαφές ότι είναι δυνατό να μειωθούν πολυώνυμα της τυπικής μορφής, για παράδειγμα, 3 x 2 − x y + 1 και __formula__, και η καταχώρηση είναι σε τυπική μορφή. Οι παραστάσεις 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z και 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z δεν είναι πολυώνυμα τυπικής μορφής, αφού η πρώτη από αυτές έχει παρόμοιους όρους στο μορφή 3 · x 2 και − x 2, και το δεύτερο περιέχει ένα μονώνυμο της μορφής x · y 3 · x · z 2, το οποίο διαφέρει από το τυπικό πολυώνυμο.

Εάν οι περιστάσεις το απαιτούν, μερικές φορές το πολυώνυμο μειώνεται σε τυπική μορφή. Η έννοια του ελεύθερου όρου ενός πολυωνύμου θεωρείται επίσης πολυώνυμο τυπικής μορφής.

Ορισμός 6

Ελεύθερος όρος πολυωνύμουείναι ένα πολυώνυμο τυπικής μορφής που δεν έχει κυριολεκτικό μέρος.

Με άλλα λόγια, όταν ένα πολυώνυμο σε τυπική μορφή έχει αριθμό, ονομάζεται ελεύθερο μέλος. Τότε ο αριθμός 5 είναι ο ελεύθερος όρος του πολυωνύμου x 2 z + 5 και το πολυώνυμο 7 a + 4 a b + b 3 δεν έχει ελεύθερο όρο.

Βαθμός πολυωνύμου - πώς να το βρείτε;

Ο ίδιος ο ορισμός του βαθμού ενός πολυωνύμου βασίζεται στον ορισμό ενός πολυωνύμου τυπικής μορφής και στους βαθμούς των μονοωνύμων που αποτελούν τα συστατικά του.

Ορισμός 7

Βαθμός πολυωνύμου τυπικής μορφήςονομάζεται ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς που περιλαμβάνονται στη σημειογραφία του.

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ο βαθμός του πολυωνύμου 5 x 3 − 4 είναι ίσος με 3, επειδή τα μονώνυμα που περιλαμβάνονται στη σύνθεσή του έχουν βαθμούς 3 και 0 και το μεγαλύτερο από αυτά είναι 3, αντίστοιχα. Ο ορισμός του βαθμού από το πολυώνυμο 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x είναι ίσος με τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς, δηλαδή 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 και 1, που σημαίνει 5 .

Είναι απαραίτητο να μάθετε πώς βρίσκεται το ίδιο το πτυχίο.

Ορισμός 8

Βαθμός πολυωνύμου αυθαίρετου αριθμούείναι ο βαθμός του αντίστοιχου πολυωνύμου σε τυπική μορφή.

Όταν ένα πολυώνυμο δεν γράφεται σε τυπική μορφή, αλλά πρέπει να βρείτε το βαθμό του, πρέπει να το μειώσετε στην τυπική μορφή και μετά να βρείτε τον απαιτούμενο βαθμό.

Παράδειγμα 1

Να βρείτε το βαθμό ενός πολυωνύμου 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Λύση

Αρχικά, ας παρουσιάσουμε το πολυώνυμο σε τυπική μορφή. Παίρνουμε μια έκφραση της φόρμας:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · γ) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Όταν λαμβάνουμε ένα πολυώνυμο τυπικής μορφής, διαπιστώνουμε ότι δύο από αυτά ξεχωρίζουν καθαρά - 2 · a 2 · b 2 · c 2 και y 2 · z 2 . Για να βρούμε τις μοίρες, μετράμε και βρίσκουμε ότι 2 + 2 + 2 = 6 και 2 + 2 = 4. Μπορεί να φανεί ότι το μεγαλύτερο από αυτά είναι 6. Από τον ορισμό προκύπτει ότι το 6 είναι ο βαθμός του πολυωνύμου − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , και επομένως η αρχική τιμή.

Απάντηση: 6 .

Συντελεστές πολυωνυμικών όρων

Ορισμός 9

Όταν όλοι οι όροι ενός πολυωνύμου είναι μονώνυμα της τυπικής μορφής, τότε σε αυτήν την περίπτωση έχουν το όνομα συντελεστές πολυωνυμικών όρων.Με άλλα λόγια, μπορούν να ονομαστούν συντελεστές του πολυωνύμου.

Όταν εξετάζουμε το παράδειγμα, είναι σαφές ότι ένα πολυώνυμο της μορφής 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 περιέχει 4 πολυώνυμα: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x και 7 με τους αντίστοιχους συντελεστές τους 2, − 0, 5, 3 και 7. Αυτό σημαίνει ότι τα 2, − 0, 5, 3 και 7 θεωρούνται συντελεστές όρων ενός δεδομένου πολυωνύμου της μορφής 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Κατά τη μετατροπή, είναι σημαντικό να δίνετε προσοχή στους συντελεστές μπροστά από τις μεταβλητές.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Ορισμός 3.3. Μονώνυμος είναι μια έκφραση που είναι γινόμενο αριθμών, μεταβλητών και δυνάμεων με φυσικό εκθέτη.

Για παράδειγμα, κάθε μία από τις εκφράσεις,
,
είναι μονώνυμο.

Λένε ότι το μονώνυμο έχει τυπική όψη , εάν περιέχει μόνο έναν αριθμητικό παράγοντα στην πρώτη θέση, και κάθε γινόμενο πανομοιότυπων μεταβλητών σε αυτόν αντιπροσωπεύεται από έναν βαθμό. Ο αριθμητικός παράγοντας ενός μονωνύμου γραμμένου σε τυπική μορφή ονομάζεται συντελεστής του μονωνύμου . Με τη δύναμη του μονωνύμου ονομάζεται το άθροισμα των εκθετών όλων των μεταβλητών του.

Ορισμός 3.4. Πολυώνυμος που ονομάζεται άθροισμα μονωνύμων. Τα μονώνυμα από τα οποία αποτελείται ένα πολυώνυμο λέγονταιμέλη του πολυωνύμου .

Παρόμοιοι όροι - μονώνυμα σε πολυώνυμο - ονομάζονται παρόμοιοι όροι του πολυωνύμου .

Ορισμός 3.5. Πολυώνυμο τυπικής μορφής ονομάζεται πολυώνυμο στο οποίο όλοι οι όροι γράφονται σε τυπική μορφή και δίνονται παρόμοιοι όροι.Βαθμός πολυωνύμου τυπικής μορφής ονομάζεται η μεγαλύτερη από τις δυνάμεις των μονωνύμων που περιλαμβάνονται σε αυτό.

Για παράδειγμα, είναι ένα πολυώνυμο τυπικής μορφής τέταρτου βαθμού.

Δράσεις σε μονοώνυμα και πολυώνυμα

Το άθροισμα και η διαφορά των πολυωνύμων μπορούν να μετατραπούν σε πολυώνυμο τυπικής μορφής. Όταν προσθέτουμε δύο πολυώνυμα, καταγράφονται όλοι οι όροι τους και δίνονται παρόμοιοι όροι. Κατά την αφαίρεση, τα πρόσημα όλων των όρων του πολυωνύμου που αφαιρούνται αντιστρέφονται.

Για παράδειγμα:

Οι όροι ενός πολυωνύμου μπορούν να χωριστούν σε ομάδες και να περικλείονται σε παρενθέσεις. Εφόσον πρόκειται για πανομοιότυπο μετασχηματισμό αντίστροφο με το άνοιγμα των παρενθέσεων, καθορίζεται το ακόλουθο κανόνας bracketing: αν τοποθετηθεί ένα σύμβολο συν πριν από τις αγκύλες, τότε όλοι οι όροι που περικλείονται σε αγκύλες γράφονται με τα σημάδια τους. Εάν τοποθετηθεί ένα σύμβολο μείον πριν από τις αγκύλες, τότε όλοι οι όροι που περικλείονται σε αγκύλες γράφονται με αντίθετα πρόσημα.

Για παράδειγμα,

Κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός πολυωνύμου με ένα πολυώνυμο: Για να πολλαπλασιάσουμε ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο ενός πολυωνύμου με κάθε όρο ενός άλλου πολυωνύμου και να προσθέσουμε τα γινόμενα που προκύπτουν.

Για παράδειγμα,

Ορισμός 3.6. Πολυώνυμο σε μία μεταβλητή βαθμούς ονομάζεται έκφραση της μορφής

Οπου
- τυχόν αριθμοί που καλούνται πολυωνυμικών συντελεστών , και
,– μη αρνητικός ακέραιος.

Αν
, τότε ο συντελεστής που ονομάζεται οδηγός συντελεστής του πολυωνύμου
, μονώνυμο
- του Επίτιμο μέλος , συντελεστής – ελεύθερο μέλος .

Αν αντί για μεταβλητή σε ένα πολυώνυμο
αντικαταστήστε τον πραγματικό αριθμό , τότε το αποτέλεσμα θα είναι πραγματικός αριθμός
η οποία ονομάζεται την τιμή του πολυωνύμου
στο
.

Ορισμός 3.7. Αριθμός που ονομάζεταιρίζα του πολυωνύμου
, Αν
.

Σκεφτείτε να διαιρέσετε ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο, όπου
Και - ακέραιοι αριθμοί. Η διαίρεση είναι δυνατή εάν ο βαθμός του πολυωνυμικού μερίσματος είναι
όχι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη πολυωνύμου
, αυτό είναι
.

Διαιρέστε ένα πολυώνυμο
σε πολυώνυμο
,
, σημαίνει την εύρεση δύο τέτοιων πολυωνύμων
Και
, προς την

Στην περίπτωση αυτή, το πολυώνυμο
βαθμούς
που ονομάζεται πολυώνυμο-πηλίκο ,
– το υπόλοιπο ,
.

Παρατήρηση 3.2. Αν ο διαιρέτης
–δεν είναι μηδενικό πολυώνυμο, τότε διαίρεση
επί
,
, είναι πάντα εφικτό και το πηλίκο και το υπόλοιπο καθορίζονται μοναδικά.

Παρατήρηση 3.3. Σε περίπτωση
μπροστά σε όλους , αυτό είναι

λένε ότι είναι πολυώνυμο
εντελώς διαιρεμένο(ή μετοχές)σε ένα πολυώνυμο
.

Η διαίρεση των πολυωνύμων πραγματοποιείται παρόμοια με τη διαίρεση πολυψήφιων αριθμών: πρώτα, ο πρώτος όρος του πολυωνύμου μερίσματος διαιρείται με τον πρώτο όρο του πολυωνύμου διαιρέτη και, στη συνέχεια, το πηλίκο από τη διαίρεση αυτών των όρων, το οποίο θα είναι ο κύριος όρος του πολυωνύμου πηλίκου, πολλαπλασιάζεται με το διαιρετικό πολυώνυμο και το γινόμενο που προκύπτει αφαιρείται από το πολυώνυμο μερίσματος . Ως αποτέλεσμα, προκύπτει ένα πολυώνυμο - το πρώτο υπόλοιπο, το οποίο διαιρείται με το διαιρετικό πολυώνυμο με παρόμοιο τρόπο και βρίσκεται ο δεύτερος όρος του πολυωνύμου πηλίκου. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου ληφθεί ένα μηδενικό υπόλοιπο ή ο βαθμός του υπολοίπου πολυωνύμου είναι μικρότερος από τον βαθμό του πολυωνύμου διαιρέτη.

Όταν διαιρείτε ένα πολυώνυμο με ένα διώνυμο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το σχήμα του Horner.

Σχέδιο Horner

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο

κατά διώνυμο
. Ας υποδηλώσουμε το πηλίκο της διαίρεσης ως πολυώνυμο

και το υπόλοιπο - . Εννοια , πολυωνυμικοί συντελεστές
,
και το υπόλοιπο Ας το γράψουμε με την εξής μορφή:

Σε αυτό το σχήμα, καθένας από τους συντελεστές
,
,
, …,που προκύπτει από τον προηγούμενο αριθμό στην κάτω γραμμή πολλαπλασιάζοντας με τον αριθμό και προσθέτοντας στο αποτέλεσμα που προκύπτει τον αντίστοιχο αριθμό στην επάνω γραμμή πάνω από τον επιθυμητό συντελεστή. Εάν υπάρχει πτυχίο απουσιάζει στο πολυώνυμο, τότε ο αντίστοιχος συντελεστής είναι μηδέν. Έχοντας καθορίσει τους συντελεστές σύμφωνα με το δεδομένο σχήμα, γράφουμε το πηλίκο

και το αποτέλεσμα της διαίρεσης αν
,

ή ,

Αν
,

Θεώρημα 3.1. Προκειμένου για ένα μη αναγώγιμο κλάσμα (

,

)ήταν η ρίζα του πολυωνύμου
με ακέραιους συντελεστές, είναι απαραίτητο ο αριθμός ήταν διαιρέτης του ελεύθερου όρου και τον αριθμό - διαιρέτης του προπορευόμενου συντελεστή .

Θεώρημα 3.2. (Το θεώρημα του Bezout ) Υπόλοιπο από τη διαίρεση ενός πολυωνύμου
κατά διώνυμο
ίση με την τιμή του πολυωνύμου
στο
, αυτό είναι
.

Κατά τη διαίρεση ενός πολυωνύμου
κατά διώνυμο
έχουμε ισότητα

Αυτό ισχύει, ειδικότερα, όταν
, αυτό είναι
.

Παράδειγμα 3.2.Διαιρέστε με
.

Λύση.Ας εφαρμόσουμε το σχήμα του Horner:

Ως εκ τούτου,

Παράδειγμα 3.3.Διαιρέστε με
.

Λύση.Ας εφαρμόσουμε το σχήμα του Horner:

Ως εκ τούτου,

,

Παράδειγμα 3.4.Διαιρέστε με
.

Λύση.

Ως αποτέλεσμα παίρνουμε

Παράδειγμα 3.5.διαιρέστε
επί
.

Λύση.Ας διαιρέσουμε τα πολυώνυμα ανά στήλη:

Μετά παίρνουμε

.

Μερικές φορές είναι χρήσιμο να αναπαραστήσουμε ένα πολυώνυμο ως ίσο γινόμενο δύο ή περισσότερων πολυωνύμων. Ένας τέτοιος μετασχηματισμός ταυτότητας ονομάζεται παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου . Ας εξετάσουμε τις κύριες μεθόδους μιας τέτοιας αποσύνθεσης.

Βγάζοντας τον κοινό παράγοντα εκτός παρενθέσεων. Για να συνυπολογίσετε ένα πολυώνυμο αφαιρώντας τον κοινό παράγοντα από αγκύλες, πρέπει:

1) βρείτε τον κοινό παράγοντα. Για να γίνει αυτό, εάν όλοι οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι ακέραιοι, ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης όλων των συντελεστών του πολυωνύμου θεωρείται ως ο συντελεστής του κοινού παράγοντα και κάθε μεταβλητή που περιλαμβάνεται σε όλους τους όρους του πολυωνύμου λαμβάνεται με το μεγαλύτερο εκθέτης που έχει σε αυτό το πολυώνυμο.

2) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης ενός δεδομένου πολυωνύμου με έναν κοινό παράγοντα.

3) Καταγράψτε το γινόμενο του γενικού παράγοντα και του πηλίκου που προκύπτει.

Ομαδοποίηση μελών. Κατά την παραγοντοποίηση ενός πολυωνύμου χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ομαδοποίησης, οι όροι του χωρίζονται σε δύο ή περισσότερες ομάδες έτσι ώστε καθεμία από αυτές να μπορεί να μετατραπεί σε προϊόν και τα προκύπτοντα γινόμενα θα έχουν έναν κοινό παράγοντα. Μετά από αυτό, χρησιμοποιείται η μέθοδος bracketing του κοινού παράγοντα των νεομετασχηματισμένων όρων.

Εφαρμογή συντομευμένων τύπων πολλαπλασιασμού. Σε περιπτώσεις όπου το πολυώνυμο προς επέκταση σε παράγοντες, έχει τη μορφή της δεξιάς πλευράς οποιουδήποτε συντετμημένου τύπου πολλαπλασιασμού· η παραγοντοποίησή του επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τον αντίστοιχο τύπο γραμμένο με διαφορετική σειρά.

Αφήνω

, τότε ισχύουν τα ακόλουθα συντομευμένοι τύποι πολλαπλασιασμού:

Για :
Αν Περιττός ( ):
Διώνυμο του Νεύτωνα: Οπου – αριθμός συνδυασμών των Με .

Εισαγωγή νέων επικουρικών μελών. Αυτή η μέθοδος συνίσταται στην αντικατάσταση ενός πολυωνύμου με ένα άλλο πολυώνυμο που είναι πανομοιότυπα ίσο με αυτό, αλλά περιέχει διαφορετικό αριθμό όρων, εισάγοντας δύο αντίθετους όρους ή αντικαθιστώντας οποιονδήποτε όρο με ένα πανομοιότυπα ίσο άθροισμα παρόμοιων μονοωνύμων. Η αντικατάσταση γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η μέθοδος ομαδοποίησης όρων να μπορεί να εφαρμοστεί στο πολυώνυμο που προκύπτει.

Παράδειγμα 3.6..

Λύση.Όλοι οι όροι ενός πολυωνύμου περιέχουν έναν κοινό παράγοντα
. Ως εκ τούτου,.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 3.7.

Λύση.Ομαδοποιούμε χωριστά τους όρους που περιέχουν τον συντελεστή και όροι που περιέχουν . Βγάζοντας τους κοινούς παράγοντες των ομάδων εκτός παρενθέσεων, παίρνουμε:

.

Απάντηση:
.

Παράδειγμα 3.8.Συντελεστής πολυώνυμο
.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού, παίρνουμε:

Απάντηση: .

Παράδειγμα 3.9.Συντελεστής πολυώνυμο
.

Λύση.Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ομαδοποίησης και τον αντίστοιχο συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού, λαμβάνουμε:

.

Απάντηση: .

Παράδειγμα 3.10.Συντελεστής πολυώνυμο
.

Λύση.Θα αντικαταστήσουμε επί
, ομαδοποιήστε τους όρους, εφαρμόστε τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού:

.

Απάντηση:
.

Παράδειγμα 3.11.Συντελεστής πολυώνυμο

Λύση.Επειδή ,
,
, Οτι

- πολυώνυμα. Σε αυτό το άρθρο θα περιγράψουμε όλες τις αρχικές και απαραίτητες πληροφορίες για τα πολυώνυμα. Αυτά περιλαμβάνουν, πρώτον, τον ορισμό ενός πολυωνύμου με συνοδευτικούς ορισμούς των όρων του πολυωνύμου, ειδικότερα, τον ελεύθερο όρο και παρόμοιους όρους. Δεύτερον, θα σταθούμε σε πολυώνυμα της τυπικής μορφής, θα δώσουμε τον κατάλληλο ορισμό και θα δώσουμε παραδείγματα. Τέλος, θα εισαγάγουμε τον ορισμό του βαθμού ενός πολυωνύμου, θα καταλάβουμε πώς να το βρούμε και θα μιλήσουμε για τους συντελεστές των όρων του πολυωνύμου.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Το πολυώνυμο και οι όροι του - ορισμοί και παραδείγματα

Στην τάξη 7, τα πολυώνυμα μελετώνται αμέσως μετά τα μονώνυμα, αυτό είναι κατανοητό, αφού πολυωνυμικός ορισμόςδίνεται μέσω μονωνύμων. Ας δώσουμε αυτόν τον ορισμό για να εξηγήσουμε τι είναι πολυώνυμο.

Ορισμός.

Πολυώνυμοςείναι το άθροισμα των μονωνύμων. Ένα μονώνυμο θεωρείται ειδική περίπτωση πολυωνύμου.

Ο γραπτός ορισμός σας επιτρέπει να δώσετε όσα παραδείγματα πολυωνύμων θέλετε. Οποιοδήποτε από τα μονώνυμα 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12, κ.λπ. είναι πολυώνυμο. Επίσης, εξ ορισμού, 1+x, a 2 +b 2 και είναι πολυώνυμα.

Για τη διευκόλυνση της περιγραφής πολυωνύμων, εισάγεται ένας ορισμός ενός πολυωνυμικού όρου.

Ορισμός.

Πολυωνυμικοί όροιείναι τα συστατικά μονώνυμα ενός πολυωνύμου.

Για παράδειγμα, το πολυώνυμο 3 x 4 −2 x y+3−y 3 αποτελείται από τέσσερις όρους: 3 x 4 , −2 x y , 3 και −y 3 . Ένα μονώνυμο θεωρείται ένα πολυώνυμο που αποτελείται από έναν όρο.

Ορισμός.

Τα πολυώνυμα που αποτελούνται από δύο και τρεις όρους έχουν ειδικά ονόματα - διωνυμικόςΚαι τριώνυμοςαντίστοιχα.

Άρα το x+y είναι διώνυμο και το 2 x 3 q−q x x x+7 b είναι τριώνυμο.

Στο σχολείο, τις περισσότερες φορές πρέπει να συνεργαστούμε γραμμικό διώνυμο a x+b , όπου a και b είναι κάποιοι αριθμοί, και x είναι μια μεταβλητή, καθώς και c τετραγωνικό τριώνυμο a·x 2 +b·x+c, όπου a, b και c είναι ορισμένοι αριθμοί και x είναι μια μεταβλητή. Ακολουθούν παραδείγματα γραμμικών διωνύμων: x+1, x 7,2−4, και εδώ είναι παραδείγματα τετραγωνικών τριωνύμων: x 2 +3 x−5 και .

Τα πολυώνυμα στη σημειογραφία τους μπορεί να έχουν παρόμοιους όρους. Για παράδειγμα, στο πολυώνυμο 1+5 x−3+y+2 x οι όμοιοι όροι είναι 1 και −3, καθώς και 5 x και 2 x. Έχουν το δικό τους ειδικό όνομα - παρόμοιους όρους ενός πολυωνύμου.

Ορισμός.

Παρόμοιοι όροι πολυωνύμουονομάζονται παρόμοιοι όροι σε ένα πολυώνυμο.

Στο προηγούμενο παράδειγμα, το 1 και το −3, καθώς και το ζεύγος 5 x και 2 x, είναι παρόμοιοι όροι του πολυωνύμου. Σε πολυώνυμα που έχουν παρόμοιους όρους, μπορείτε να μειώσετε παρόμοιους όρους για να απλοποιήσετε τη μορφή τους.

Πολυώνυμο τυπικής μορφής

Για τα πολυώνυμα, όπως και για τα μονώνυμα, υπάρχει η λεγόμενη τυπική μορφή. Ας εκφράσουμε τον αντίστοιχο ορισμό.

Με βάση αυτόν τον ορισμό, μπορούμε να δώσουμε παραδείγματα πολυωνύμων τυπικής μορφής. Άρα τα πολυώνυμα 3 x 2 −x y+1 και γραμμένο σε τυπική μορφή. Και οι παραστάσεις 5+3 x 2 −x 2 +2 x z και x+x y 3 x z 2 +3 z δεν είναι πολυώνυμα της τυπικής μορφής, αφού η πρώτη από αυτές περιέχει παρόμοιους όρους 3 x 2 και −x 2 , και σε το δεύτερο – ένα μονώνυμο x·y 3 ·x·z 2 , του οποίου η μορφή είναι διαφορετική από την τυπική.

Σημειώστε ότι, εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε πάντα να μειώσετε το πολυώνυμο σε τυπική μορφή.

Μια άλλη έννοια που σχετίζεται με πολυώνυμα της τυπικής μορφής είναι η έννοια του ελεύθερου όρου ενός πολυωνύμου.

Ορισμός.

Ελεύθερος όρος πολυωνύμουείναι μέλος πολυωνύμου τυπικής μορφής χωρίς γράμμα.

Με άλλα λόγια, εάν ένα πολυώνυμο τυπικής μορφής περιέχει έναν αριθμό, τότε ονομάζεται ελεύθερο μέλος. Για παράδειγμα, το 5 είναι ο ελεύθερος όρος του πολυωνύμου x 2 z+5, αλλά το πολυώνυμο 7 a+4 a b+b 3 δεν έχει ελεύθερο όρο.

Βαθμός πολυωνύμου - πώς να το βρείτε;

Ένας άλλος σημαντικός σχετικός ορισμός είναι ο ορισμός του βαθμού ενός πολυωνύμου. Πρώτον, ορίζουμε το βαθμό ενός πολυωνύμου της τυπικής μορφής· αυτός ο ορισμός βασίζεται στους βαθμούς των μονοωνύμων που βρίσκονται στη σύνθεσή του.

Ορισμός.

Βαθμός πολυωνύμου τυπικής μορφήςείναι η μεγαλύτερη από τις δυνάμεις των μονωνύμων που περιλαμβάνονται στη σημειογραφία του.

Ας δώσουμε παραδείγματα. Ο βαθμός του πολυωνύμου 5 x 3 −4 είναι ίσος με 3, αφού τα μονώνυμα 5 x 3 και −4 που περιλαμβάνονται σε αυτό έχουν βαθμούς 3 και 0, αντίστοιχα, ο μεγαλύτερος από αυτούς τους αριθμούς είναι ο 3, που είναι ο βαθμός του πολυωνύμου εξ ορισμού. Και ο βαθμός του πολυωνύμου 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 xίσος με τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς 2+3=5, 4+1=5 και 1, δηλαδή 5.

Τώρα ας μάθουμε πώς να βρούμε τον βαθμό ενός πολυωνύμου οποιασδήποτε μορφής.

Ορισμός.

Ο βαθμός πολυωνύμου αυθαίρετης μορφήςκαλούμε το βαθμό του αντίστοιχου πολυωνύμου τυπικής μορφής.

Έτσι, εάν ένα πολυώνυμο δεν είναι γραμμένο σε τυπική μορφή και πρέπει να βρείτε τον βαθμό του, τότε πρέπει να μειώσετε το αρχικό πολυώνυμο σε τυπική μορφή και να βρείτε τον βαθμό του προκύπτοντος πολυωνύμου - θα είναι ο απαιτούμενος. Ας δούμε το παράδειγμα λύσης.

Παράδειγμα.

Να βρείτε το βαθμό του πολυωνύμου 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Λύση.

Πρώτα πρέπει να αναπαραστήσετε το πολυώνυμο σε τυπική μορφή:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Το προκύπτον πολυώνυμο τυπικής μορφής περιλαμβάνει δύο μονώνυμα −2·a 2 ·b 2 ·c 2 και y 2 ·z 2 . Ας βρούμε τις δυνάμεις τους: 2+2+2=6 και 2+2=4. Προφανώς, η μεγαλύτερη από αυτές τις δυνάμεις είναι η 6, η οποία εξ ορισμού είναι η ισχύς ενός πολυωνύμου της τυπικής μορφής −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, και επομένως ο βαθμός του αρχικού πολυωνύμου., 3 x και 7 του πολυωνύμου 2 x−0,5 x y+3 x+7 .

Βιβλιογραφία.

• Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 7η τάξη γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 17η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 240 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G.Αλγεβρα. 7η τάξη. Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές Εκπαιδευτικά ιδρύματα/ A. G. Mordkovich. - 17η έκδ., πρόσθ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2013. - 175 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Αλγεβρακαι η αρχή της μαθηματικής ανάλυσης. 10η τάξη: σχολικό βιβλίο. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα: βασικά και προφίλ. επίπεδα / [Γιού. Μ. Kolyagin, Μ. V. Tkacheva, Ν. Ε. Fedorova, Μ. Ι. Shabunin]; επεξεργάστηκε από A. B. Zhizhchenko. - 3η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.- 368 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους εισέρχονται σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

Για παράδειγμα, εκφράσεις:

ένα - σι + ντο, Χ 2 - y 2 , 5Χ - 3y - z- πολυώνυμα.

Τα μονώνυμα που αποτελούν ένα πολυώνυμο λέγονται μέλη του πολυωνύμου. Εξετάστε το πολυώνυμο:

7ένα + 2σι - 3ντο - 11

εκφράσεις: 7 ένα, 2σι, -3ντοκαι -11 είναι οι όροι του πολυωνύμου. Παρατηρήστε τον όρο -11. Δεν περιέχει μεταβλητή. Τέτοια μέλη που αποτελούνται μόνο από αριθμούς καλούνται Ελεύθερος.

Είναι γενικά αποδεκτό ότι οποιοδήποτε μονώνυμο είναι μια ειδική περίπτωση πολυωνύμου, που αποτελείται από έναν όρο. Σε αυτή την περίπτωση, ένα μονώνυμο είναι το όνομα ενός πολυωνύμου με έναν όρο. Για πολυώνυμα που αποτελούνται από δύο και τρεις όρους, υπάρχουν επίσης ειδικά ονόματα - διώνυμα και τριώνυμα, αντίστοιχα:

7ένα- μονώνυμο

7ένα + 2σι- διωνυμικό

7ένα + 2σι - 3ντο- τριώνυμο

Παρόμοια μέλη

Παρόμοια μέλη- μονώνυμα που περιλαμβάνονται σε ένα πολυώνυμο που διαφέρουν μεταξύ τους μόνο κατά συντελεστή, πρόσημο ή δεν διαφέρουν καθόλου (τα αντίθετα μονώνυμα μπορούν επίσης να ονομαστούν παρόμοια). Για παράδειγμα, σε ένα πολυώνυμο:

3ένα 2 σι

+

5αλφάβητο 2

+

2ένα 2 σι

-

7αλφάβητο 2

-

2ένα 2 σι

μέλη 3 ένα 2 σι, 2ένα 2 σικαι 2 ένα 2 σι, καθώς και τα μέλη 5 αλφάβητο 2 και -7 αλφάβητο 2 είναι παρόμοιοι όροι.

Φέρνοντας παρόμοια μέλη

Εάν ένα πολυώνυμο περιέχει παρόμοιους όρους, τότε μπορεί να αναχθεί σε απλούστερη μορφή συνδυάζοντας παρόμοιους όρους σε έναν. Αυτή η ενέργεια ονομάζεται φέρνοντας παρόμοια μέλη. Πρώτα απ 'όλα, ας βάλουμε όλους αυτούς τους όρους χωριστά σε αγκύλες:

(3ένα 2 σι + 2ένα 2 σι - 2ένα 2 σι) + (5αλφάβητο 2 - 7αλφάβητο 2)

Για να συνδυάσετε πολλά παρόμοια μονώνυμα σε ένα, πρέπει να προσθέσετε τους συντελεστές τους και να αφήσετε τους συντελεστές γραμμάτων αμετάβλητους:

((3 + 2 - 2)ένα 2 σι) + ((5 - 7)αλφάβητο 2) = (3ένα 2 σι) + (-2αλφάβητο 2) = 3ένα 2 σι - 2αλφάβητο 2

Η αναγωγή παρόμοιων όρων είναι η πράξη αντικατάστασης του αλγεβρικού αθροίσματος πολλών όμοιων μονωνύμων με ένα μονώνυμα.

Πολυώνυμο τυπικής μορφής

Πολυώνυμο τυπικής μορφήςείναι ένα πολυώνυμο που όλοι οι όροι του είναι μονώνυμα τυπικής μορφής, μεταξύ των οποίων δεν υπάρχουν παρόμοιοι όροι.

Για να φέρουμε ένα πολυώνυμο σε τυπική μορφή, αρκεί να μειώσουμε παρόμοιους όρους. Για παράδειγμα, αντιπροσωπεύστε την έκφραση ως πολυώνυμο της τυπικής μορφής:

3xy + Χ 3 - 2xy - y + 2Χ 3

Αρχικά, ας βρούμε παρόμοιους όρους:

Εάν όλα τα μέλη ενός πολυωνύμου τυπικής μορφής περιέχουν την ίδια μεταβλητή, τότε τα μέλη του είναι συνήθως διατεταγμένα από τον μεγαλύτερο στον ελάχιστο βαθμό. Ο ελεύθερος όρος του πολυωνύμου, αν υπάρχει, τοποθετείται στην τελευταία θέση - στα δεξιά.

Για παράδειγμα, ένα πολυώνυμο

3Χ + Χ 3 - 2Χ 2 - 7

πρέπει να γραφτεί ως εξής:

Χ 3 - 2Χ 2 + 3Χ - 7

Είναι περίεργο να γίνεται ισότητα μεταξύ πολυωνύμου και πολυωνύμου. Αν και από όσο θυμάμαι αυτά είναι διαφορετικά πράγματα. Πολυώνυμο είναι αυτό που γράφουν εδώ. Πολυώνυμο είναι ο λόγος 2 πολυωνύμων. Αναζήτησα τη μετάφραση στο λεξικό αγγλικές λέξειςΕίδα ένα πολυώνυμο που μεταφράστηκε ως πολυώνυμο και έμεινα πολύ έκπληκτος... Αποδεικνύεται ότι δεν βλέπουν καν τη διαφορά. Σχετικά με το 1ο παράδειγμα... Καλά όλα αυτά, αλλά υπάρχει τρόπος απευθείας μετατροπής χωρίς να εισάγεις άγνωστους συντελεστές; Αυτή η μέθοδος είναι πολύ προσχηματική... Υπάρχουν πολλά να ειπωθούν για τα πολυώνυμα. Αυτό υπερβαίνει κατά πολύ το πεδίο εφαρμογής του σχολείου. Η έρευνα είναι ακόμα σε εξέλιξη! Εκείνοι. Το θέμα των πολυωνύμων δεν έχει ολοκληρωθεί. Μπορώ να απαντήσω στην ερώτηση σχετικά με τις ρίζες στους ριζοσπάστες. Γενικά, έχει αποδειχθεί ότι πολυώνυμα βαθμού πάνω από 4 δεν έχουν λύσεις σε ρίζες. Και δεν μπορούν να λυθούν καθόλου αναλυτικά. Αν και ορισμένοι τύποι είναι αρκετά επιλύσιμοι. Όχι όμως όλα... Η εξίσωση 3ου βαθμού έχει λύση Cardano. Μια εξίσωση 4ου βαθμού έχει 2 τύπους τύπων. Είναι αρκετά περίπλοκα και γενικά δεν είναι ξεκάθαρο εκ των προτέρων αν υπάρχουν έγκυρες λύσεις· μπορεί να είναι όλες πολύπλοκες. Ένα πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει πάντα τουλάχιστον 1 πραγματική ρίζα. Θεωρητικά, οι τύποι επίλυσης εξισώσεων ακόμη και 3ου ή 4ου βαθμού δεν είναι ιδιαίτερα διαδεδομένοι λόγω της πολυπλοκότητάς τους. Και τίθεται το ερώτημα ποιες ρίζες να εξετάσουμε. Άλλωστε, μια εξίσωση nου βαθμού έχει ακριβώς n ρίζες, λαμβάνοντας υπόψη την πολλαπλότητά τους. Για παράδειγμα, μπορείτε να λύσετε μια εξίσωση αριθμητικά χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Newton. Όλα είναι απλά εκεί. Γράφεται ένας τύπος επανάληψης και δεν υπάρχουν προβλήματα. Γραμμική προσέγγιση. Η ευθεία τέμνεται με τον άξονα ΟΧ μόνο στο 1ο σημείο. Μπορεί να μην τέμνονται, τότε η ρίζα είναι σύνθετη. Αλλά και 1ος. Λοιπόν, είναι σαφές ότι εάν ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές έχει σύνθετη ρίζα, τότε έχει και σύνθετο συζυγές. Ωστόσο, ήδη στην τετραγωνική προσέγγιση (αυτή η μέθοδος ονομάζεται μέθοδος παραβολής και άλλες παραλλαγές αυτής της μεθόδου Muller με βάση τα 2 προηγούμενα σημεία κ.λπ.) προκύπτουν προβλήματα. Πρώτον, υπάρχουν 2 ρίζες (ΜΒ αν το διακριτικό > 0) ποια να επιλέξω; Αν και η εξίσωση είναι τετραγωνική. Μπορείτε να πάτε παραπέρα, να πάρετε την κυβική προσέγγιση (ο 4ος όρος στη σειρά Taylor, για q παίρνουμε 3) και ακόμη και την προσέγγιση 4ου βαθμού παίρνοντας 5 όρους της σειράς Taylor. Η σύγκλιση θα είναι εξαιρετικά γρήγορη. Όλα μπορούν να λυθούν αναλυτικά! Αλλά δεν έχω ξαναδεί τέτοιες μεθόδους πουθενά στη μαθηματική βιβλιογραφία. Κατά κανόνα χρησιμοποιούν τη μέθοδο του Νεύτωνα γιατί είναι χωρίς προβλήματα! Και όπου υπάρχουν κυβικές ή τέταρτου βαθμού εξισώσεις θεωρητικά, αυτό συμβαίνει. Αν θέλετε δοκιμάστε το μόνοι σας! Δεν νομίζω ότι θα ενθουσιαστείτε. Αν και επαναλαμβάνω, όλα λύνονται αναλυτικά. Οι τύποι θα είναι απλώς πολύ περίπλοκοι. Αλλά δεν είναι αυτό το θέμα. Προκύπτουν πολλά άλλα προβλήματα που δεν σχετίζονται με την πολυπλοκότητα.