Ο Άνταμς ήταν Άγγλος αστρονόμος και μαθηματικός του 19ου αιώνα που έκανε πολλή δουλειά στην ουράνια μηχανική. Όταν μελετούσε τις τροχιές των πλανητών, έπρεπε συνεχώς να ενσωματώνει αριθμητικά τις εξισώσεις της κίνησής τους. Θέλοντας να ελαχιστοποιήσει τον υπολογισμό, ο Adams ανέπτυξε μια από τις πιο οικονομικές μεθόδους για την αριθμητική επίλυση διαφορικών εξισώσεων, στην οποία στραφούμε τώρα.

Έστω λύση διαφορικής εξίσωσης. Η παράγωγος αυτής της συνάρτησης ικανοποιεί την ισότητα

Ενσωματώνοντάς το μεταξύ δύο σημείων πλέγματος, λαμβάνουμε τη σχέση

.

Δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη σχέση απευθείας για τη μετάβαση στη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος από -ο σημείο πλέγματος προς
-όπα, γιατί η συνάρτηση
δεν ξέρουμε. Για να κάνουμε το επόμενο βήμα, πρέπει να αντικαταστήσουμε κατά προσέγγιση αυτή τη συνάρτηση με μια συνάρτηση που μπορεί να υπολογιστεί. Ας περιγράψουμε πώς επιλύεται αυτό το πρόβλημα στη μέθοδο Adams.

Ας, στη διαδικασία της αριθμητικής επίλυσης του προβλήματος, φέρνουμε τον υπολογισμό στο σημείο . Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, ανακαλύψαμε τις γνωστές τιμές Και
,
. Πάρτε κάποιο σταθερό ακέραιο
και να κατασκευάσετε ένα πολυώνυμο παρεμβολής
-ου βαθμού, αποδοχή στα σημεία ,
αξίες

,
.

Μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Lagrange

,

Οπου
ειδικά πολυώνυμα της μορφής

που έχουμε ήδη συζητήσει στο τρίτο κεφάλαιο.

Η κύρια ιδέα της μεθόδου Adams είναι ο υπολογισμός
χρησιμοποιήστε έναν τύπο τύπου, αντικαθιστώντας περίπου τη συνάρτηση σε αυτόν
στο πολυώνυμο παρεμβολής
, που καταρτίζεται σύμφωνα με τα αποτελέσματα προηγούμενων υπολογισμών. Αυτό οδηγεί στον αναδρομικό τύπο

,

.

Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα αυτό το σχήμα για την αριθμητική λύση του προβλήματος Cauchy στις απλούστερες περιπτώσεις
Και
όταν οι τεχνικές δυσκολίες δεν κλείνουν τη διαφανή ιδέα της μεθόδου. Στο
για να προσεγγίσετε τη συνάρτηση
χρησιμοποιείται ένα πολυώνυμο βαθμού μηδέν, δηλαδή μια σταθερά

.

Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος μπαίνει στον επαναλαμβανόμενο τύπο της μεθόδου Euler

,

παρέχοντας ακρίβεια πρώτης τάξης. Αυτό το αποτέλεσμα είναι ασήμαντο από μόνο του. Το συμπεριλάβαμε μόνο για να δείξουμε ότι για τη μέθοδο Adams, καθώς και για τη μέθοδο Runge-Kutta, το σημείο εκκίνησης είναι το σχήμα Euler.

Ας προχωρήσουμε στην εξερεύνηση της επιλογής
. Σε αυτήν την περίπτωση, για να προσεγγίσετε τη συνάρτηση
χρησιμοποιείται ένα πολυώνυμο πρώτου βαθμού, που βασίζεται στις τιμές της συνάρτησης σε δύο σημεία
Και
:

Αντικαθιστώντας το στον τύπο και ενσωματώνοντας, παίρνουμε

.

Σημειώστε το ακόλουθο χαρακτηριστικό του επαναλαμβανόμενου τύπου. Για να υπολογίσετε την επόμενη τιμή της συνάρτησης πλέγματος
πρέπει να γνωρίζετε τις τιμές του στα δύο προηγούμενα σημεία Και
. Έτσι, ο τύπος αρχίζει να λειτουργεί μόνο από το δεύτερο σημείο. Υπολογίστε σε αυτό ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟ. Αυτή η τιμή της λύσης του προβλήματος διαφοράς πρέπει να υπολογιστεί με κάποια άλλη μέθοδο, για παράδειγμα, τη μέθοδο Runge-Kutta.

Ο επαναλαμβανόμενος τύπος μπορεί να γραφτεί ως εξίσωση διαφοράς

.

Ας υπολογίσουμε για αυτό το σφάλμα προσέγγισης της διαφορικής εξίσωσης

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση
έχει συνεχή δεύτερα παράγωγα στην περιοχή που μας ενδιαφέρει, ώστε η λύση του προβλήματος
είναι τρεις φορές συνεχώς διαφοροποιήσιμο. Ας γράψουμε τις επεκτάσεις Taylor

Αντικαθιστώντας τα στον τύπο, παίρνουμε

.

Από εδώ μπορεί κανείς να γράψει μια εκτίμηση

,

Οπου
είναι μια σταθερά μείζονα την τρίτη παράγωγο της συνάρτησης
:

,
.

Βλέπουμε ότι η εξίσωση διαφοράς της μεθόδου Adams αντιστοιχεί στην περίπτωση
, προσεγγίζει τη διαφορική εξίσωση με τη δεύτερη τάξη ακρίβειας ως προς . Όπως και στην περίπτωση της μεθόδου Runge-Kutta, αυτή παρέχει μια δεύτερη τάξη ακρίβειας για το σφάλμα λύσης
με την υπόθεση ότι η αξία , το οποίο υπολογίζεται ως μη τυπικό, υπολογίζεται με τη δεύτερη τάξη ακρίβειας.

Η διαδικασία κατασκευής πιο ακριβών κυκλωμάτων μπορεί να συνεχιστεί αυξάνοντας
. Στο
λαμβάνεται ένα σχήμα τρίτης τάξης ακρίβειας, με
- τέταρτο, κλπ. Το σχήμα τέταρτης τάξης, όπως και στη μέθοδο Runge-Kutta, είναι το πιο συχνά χρησιμοποιούμενο, επομένως θα σταθούμε εν συντομία στην παραγωγή και τη συζήτησή του.

Αν γράψουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής τρίτου βαθμού
σε ένα πλέγμα τεσσάρων σημείων ,
,
,
και πραγματοποιήστε την ολοκλήρωση, τότε ο αναδρομικός τύπος θα πάρει τη μορφή:

Ας δώσουμε μια άλλη μορφή γραφής αυτού του τύπου όσον αφορά τις λεγόμενες πεπερασμένες διαφορές

Η πρώτη, η δεύτερη και η τρίτη διαφορά αντιστοιχούν περίπου στην πρώτη, δεύτερη και τρίτη παράγωγο της συνάρτησης
. Η ισοδυναμία των τύπων και είναι εύκολο να ελεγχθεί άμεσα. Ο τύπος μερικές φορές είναι πιο βολικός για την οργάνωση της υπολογιστικής διαδικασίας και τον έλεγχο της ακρίβειας.

Η ιδιαιτερότητα της μεθόδου Adams εκδηλώνεται στον τύπο ακόμη πιο έντονα από ό,τι στον τύπο. Εδώ, για να υπολογίσετε την επόμενη τιμή
πρέπει να γνωρίζουν το νόημα στα τέσσερα προηγούμενα σημεία - ,
,
,
. Έτσι, ο τύπος αρχίζει να λειτουργεί μόνο από το τέταρτο σημείο. Υπολογίστε σε αυτό ,,ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟ. Αυτές οι τιμές της λύσης του προβλήματος διαφοράς πρέπει να υπολογιστούν με μια άλλη μέθοδο, για παράδειγμα, τη μέθοδο Runge-Kutta.

Ας προχωρήσουμε στη συζήτηση για την ακρίβεια του σχήματος. Εάν η συνάρτηση
έχει συνεχή τέταρτη παράγωγο ως προς τα επιχειρήματά του στην περιοχή που μας ενδιαφέρει, έτσι ώστε η λύση του προβλήματος
πέντε φορές συνεχώς διαφοροποιήσιμο, τότε η εξίσωση διαφοράς προσεγγίζει τη διαφορική εξίσωση με την τέταρτη τάξη ακρίβειας σε σχέση με . Η απόδειξη αυτής της δήλωσης πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως και για το σχήμα δεύτερης τάξης, μόνο που τώρα πρέπει να διατηρηθούν περισσότεροι όροι στις επεκτάσεις τύπου. Η τέταρτη τάξη ακρίβειας στην προσέγγιση της εξίσωσης παρέχει την τέταρτη τάξη ακρίβειας για το σφάλμα της λύσης
με την υπόθεση ότι οι αρχικές τιμές για τη μέθοδο Adams ,,υπολογίζεται με την ίδια ακρίβεια. Υπολογίζονται ανεξάρτητα και είναι σημαντικό το αρχικό στάδιο της υπολογιστικής διαδικασίας να μην εισάγει τέτοιο σφάλμα που θα παραμορφώσει όλα τα επόμενα αποτελέσματα.

Εργασία 5.

Κατασκευάστε μια λύση στο πρόβλημα Cauchy, στο τμήμα
βήμα βήμα
σύμφωνα με το σχήμα του Adams II και τέταρτο Σειρά. Συγκρίνετε τα αποτελέσματα των υπολογισμών μεταξύ τους, με τα αποτελέσματα των υπολογισμών σύμφωνα με το σχήμα Runge-Kutta και με την αναλυτική λύση του προβλήματος.

Τα αποτελέσματα υπολογισμού εμφανίζονται στην τέταρτη και πέμπτη στήλη του Πίνακα 2. Σύμφωνα με την εργασία, πρέπει να συγκρίνετε την τέταρτη στήλη με τη δεύτερη και την έκτη και την πέμπτη με την τρίτη και την έκτη. Θυμηθείτε ότι η έκτη στήλη περιέχει την αναλυτική λύση (53) του υπό εξέταση προβλήματος, έτσι ώστε η σύγκριση με αυτήν μας επιτρέπει να κρίνουμε την ακρίβεια της κατά προσέγγιση λύσης χρησιμοποιώντας το σχήμα Runge-Kutta και το σχήμα Adams.

Ο υπολογισμός σύμφωνα με το σχήμα Adams της δεύτερης τάξης ακρίβειας ξεκινά με , τέταρτο - από . Εννοια στην τέταρτη στήλη ,,στην πέμπτη στήλη υπολογίστηκαν σύμφωνα με το σχήμα Runge-Kutta της αντίστοιχης σειράς, επομένως στον πίνακα είναι ίδια με τα αντίστοιχα δεδομένα της δεύτερης και της τρίτης στήλης. Η σύγκριση των αποτελεσμάτων των υπολογισμών που πραγματοποιήθηκαν με δύο μεθόδους με την αναλυτική λύση του προβλήματος δείχνει ότι η ακρίβειά τους είναι περίπου η ίδια.

Ας συγκρίνουμε τα σχήματα της τέταρτης τάξης ακρίβειας στη μέθοδο Runge-Kutta και τον Adams από την άποψη της οργάνωσης της υπολογιστικής διαδικασίας. Για να κάνετε ένα βήμα σύμφωνα με τη μέθοδο Runge-Kutta, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τη συνάρτηση
τέσσερις φορές, ενώ στη μέθοδο Adams μόνο μία φορά. Στα τρία προηγούμενα σημεία, η συνάρτηση
έχει ήδη υπολογιστεί στα προηγούμενα βήματα και δεν χρειάζεται να το υπολογίσετε ξανά. Αυτό είναι το κύριο πλεονέκτημα της μεθόδου Adams, η οποία εκτιμήθηκε ιδιαίτερα στην εποχή πριν από τους υπολογιστές.

Έχουμε ήδη σημειώσει το κύριο μειονέκτημα της μεθόδου Adams: κατά την εφαρμογή της, τα πρώτα βήματα πρέπει να γίνουν χρησιμοποιώντας μια άλλη μέθοδο, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Runge-Kutta, και μόνο μετά από αυτό μπορείτε να μεταβείτε στον υπολογισμό σύμφωνα με Σχέδιο Adams. Έτσι, το πρόγραμμα για την επίλυση του προβλήματος Cauchy με τη μέθοδο Adams θα πρέπει να περιλαμβάνει ως στοιχείο το πρόγραμμα της μεθόδου Runge-Kutta για τον υπολογισμό του αρχικού σταδίου της υπολογιστικής διαδικασίας.

Υπάρχει ένα άλλο πρόβλημα με αυτό το χαρακτηριστικό της μεθόδου Adams. Όταν ολοκληρώνουμε μια διαφορική εξίσωση αριθμητικά, είναι συχνά απαραίτητο να αλλάξουμε το βήμα . Στη μέθοδο Runge-Kutta αυτό δεν είναι δύσκολο, αφού κάθε βήμα γίνεται ανεξάρτητα από το προηγούμενο. Στη μέθοδο Adams, η κατάσταση είναι διαφορετική. Εδώ είναι απαραίτητο είτε να προγραμματίσετε αρχικά πολύ σύνθετους τύπους υπολογισμού με ένα μεταβλητό βήμα, είτε μετά από κάθε αλλαγή βήματος, να υπολογίσετε εκ νέου τα τρία πρώτα σημεία χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Runge-Kutta. Μόνο μετά από αυτό μπορείτε να μεταβείτε στον τυπικό λογαριασμό χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Adams. Αυτές οι ελλείψεις οδηγούν στο γεγονός ότι σήμερα, στους υπολογισμούς υπολογιστών, προτιμάται συχνά η πιο βολική μέθοδος Runge-Kutta.

Μέθοδος Adams

Αφήστε για το πρόβλημα Cauchy να βρεθεί με κάποιο τρόπο (για παράδειγμα, με τη μέθοδο Euler ή Runge-Kutta) τρεις διαδοχικές τιμές της επιθυμητής συνάρτησης

Ας υπολογίσουμε τις τιμές, .

Η μέθοδος Adams σας επιτρέπει να βρείτε μια λύση στο πρόβλημα - μια συνάρτηση - με τη μορφή πίνακα συναρτήσεων. Η συνέχεια του προκύπτοντος πίνακα των τεσσάρων σημείων πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο παρέκτασης Adams:

Στη συνέχεια, η τελειοποίηση πραγματοποιείται σύμφωνα με τον τύπο παρεμβολής Adams:

Η μέθοδος Adams μπορεί εύκολα να επεκταθεί σε συστήματα διαφορικές εξισώσεις. Το σφάλμα της μεθόδου Adams είναι της ίδιας τάξης με τη μέθοδο Runge-Kutta.

Εφαρμογή διαφορικών εξισώσεων με μικρή παράμετρο για επίλυση μη γραμμικών υπερβατικών και αλγεβρικές εξισώσεις

Ας δοθεί κάποια συνεχώς διαφοροποιήσιμη συνάρτηση. Απαιτείται η επίλυση μιας μη γραμμικής ή υπερβατικής εξίσωσης της μορφής

Οι εξισώσεις που συναντώνται στην πράξη δεν μπορούν να λυθούν με άμεσες μεθόδους· επομένως, χρησιμοποιούνται επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυσή τους. Όλες οι επαναληπτικές μέθοδοι για την επίλυση υπερβατικών και αλγεβρικών εξισώσεων της μορφής (31) μπορούν να χωριστούν σε δύο ομάδες:

σχήματα διακριτών λύσεων.

σχέδια συνεχούς λύσης.

Σχέδια διακριτών λύσεων συζητήθηκαν παραπάνω. Σημειώστε ότι τα κύρια μειονεκτήματα των παραπάνω μεθόδων είναι:

εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες ή από το διάστημα εύρεσης της ρίζας.

σχετικά χαμηλό ποσοστό σύγκλισης·

Δεν λέγεται τίποτα για τους κανόνες μετάβασης από τη ρίζα στη ρίζα της εξίσωσης (31) εάν υπάρχουν αρκετοί από αυτούς.

Κατά την εφαρμογή συνεχών σχημάτων για την επίλυση της εξίσωσης (31), η διαδικασία εύρεσης των ριζών πραγματοποιείται με την επίλυση της αντίστοιχης συνήθους διαφορικής εξίσωσης

Έστω ορισμένη και μονότονη στο και ας υπάρχει μια πεπερασμένη παράγωγος. Το πρόβλημα της εύρεσης των ριζών της εξίσωσης (31), που είναι ένα συνεχές ανάλογο της μεθόδου των απλών επαναλήψεων, μπορεί να θεωρηθεί ως όριο στην επίλυση του προβλήματος Cauchy.

αν υπάρχει αυτό το όριο. Σημειώστε με τη λύση του προβλήματος Cauchy (33), - την επιθυμητή λύση της εξίσωσης (31). Τότε πρέπει να υπάρχει ταυτότητα. Εισάγοντας τον συμβολισμό για την απόκλιση και αφαιρώντας από την (33) την τελευταία εξίσωση, έχουμε

Επεκτείνοντας σε μια σειρά Taylor στην περιοχή του σημείου με διατήρηση γραμμικών όρων και αντικαθιστώντας την έκφραση που προκύπτει σε (34), λαμβάνουμε μια διαφορική εξίσωση σε αποκλίσεις, η λύση της οποίας έχει τη μορφή

Βλέπουμε ότι η προϋπόθεση για τη σύγκλιση στη ρίζα είναι η απαίτηση, αφού σε αυτή την περίπτωση στο, και, επομένως. Υποθέτοντας ότι είναι μονότονο στο , η τελευταία εξίσωση μπορεί να επεκταθεί σε ολόκληρη την περιοχή που εξετάστηκε παραπάνω. Έτσι, η προϋπόθεση για την εφαρμογή του συνεχούς σχήματος της μεθόδου των απλών επαναλήψεων (33) είναι

Τα σχήματα συνεχών λύσεων έχουν υψηλότερο ποσοστό σύγκλισης και μεγαλύτερη ακρίβεια λύσης από τα αντίστοιχα. διακριτά κυκλώματα. Όμως το πρόβλημα της εξάρτησης από τις αρχικές συνθήκες και η απουσία κανόνων για τη μετάβαση από τη ρίζα στη ρίζα στην περίπτωση που η εξίσωση (31) έχει περισσότερες από μία λύσεις παραμένει ανοιχτό.

Όπως φαίνεται από τη διαφορική εξίσωση (33) και την εξίσωση (31), η αριστερή πλευρά της τελευταίας αντικαθίσταται από την παράγωγο. Αυτή η αντικατάσταση είναι μια κατά προσέγγιση προσέγγιση της λύσης του προβλήματος (33) στη λύση του προβλήματος (31). Αυτό συνεπάγεται όχι μόνο μεγάλο σφάλμα στους υπολογισμούς, αλλά και μείωση της ταχύτητας των υπολογισμών.

Ας ξαναγράψουμε την εξίσωση (31) στη μορφή

όπου είναι μια μικρή παράμετρος, .

Η μετάβαση από το πρόβλημα (31) στο πρόβλημα (37) είναι θεωρητικά δικαιολογημένη, αφού οι ολοκληρωτικές καμπύλες, που είναι η λύση της εξίσωσης με μια μικρή παράμετρο (37), διέρχονται από όλες τις λύσεις της εξίσωσης (31). Το πρόβλημα της εύρεσης των ριζών αυτής της εξίσωσης με ένα συνεχές ενικό ανάλογο της μεθόδου των απλών επαναλήψεων μπορεί να θεωρηθεί ως το όριο για και της λύσης του προβλήματος Cauchy της μορφής

αν υπάρχει αυτό το όριο.

Εκτελώντας συλλογισμό παρόμοιο με τον συλλογισμό που δόθηκε παραπάνω, παίρνουμε ότι η λύση της εξίσωσης (37) σε ένα σημείο θα έχει τη μορφή:

Στην περίπτωση αυτή, δεδομένου ότι η συνθήκη σύγκλισης (36) παραμένει η ίδια.

Η προκύπτουσα τροποποίηση των κλασικών σχημάτων λύσεων δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες και έχει μεγαλύτερη ακρίβεια λύσης. Για να αποδείξουμε ταχύτερο ρυθμό σύγκλισης, υποθέτουμε ότι η εφαρμογή επαναληπτικών μεθόδων δεν δίνει ποτέ μια ακριβή λύση και εισάγουμε την ακρίβεια της λύσης. Οι στιγμές εύρεσης λύσεων με ακρίβεια με κλασικές και τροποποιημένες μεθόδους θα δηλώνονται ως και. Χρησιμοποιώντας τις λύσεις (35) και (39), γράφουμε ανισώσεις της μορφής

Από τις σχέσεις φαίνεται ότι Συγκρίνοντας τις λαμβανόμενες τιμές και, βλέπουμε ότι, δηλ. ο ρυθμός σύγκλισης στην επίλυση του προβλήματος με τροποποιημένες μεθόδους είναι αρκετές φορές υψηλότερος από ό,τι με τις κλασικές.

Επί του παρόντος, οι μέθοδοι Adams είναι μια από τις πολλά υποσχόμενες αριθμητικές μεθόδους ολοκλήρωσης για την επίλυση του προβλήματος Cauchy. Αποδεικνύεται ότι όταν χρησιμοποιούνται οι αριθμητικές μέθοδοι πολλαπλών βημάτων του Adams για την επίλυση του προβλήματος Cauchy μέχρι την 12η τάξη, η περιοχή σταθερότητας μειώνεται. Με περαιτέρω αύξηση της παραγγελίας, αυξάνεται η περιοχή σταθερότητας, καθώς και η ακρίβεια της μεθόδου. Επιπλέον, με την ίδια ακρίβεια, οι μέθοδοι πολλαπλών βημάτων απαιτούν λιγότερο υπολογισμό των δεξιών πλευρών των διαφορικών εξισώσεων σε ένα βήμα ολοκλήρωσης από ό,τι στις μεθόδους Runge-Kutta. Τα πλεονεκτήματα των μεθόδων Adams περιλαμβάνουν το γεγονός ότι αλλάζουν εύκολα το βήμα ολοκλήρωσης και τη σειρά της μεθόδου.

Στην πράξη, δύο τύποι μεθόδων Adams χρησιμοποιούνται ευρέως - ρητές και σιωπηρές. Οι ρητές μέθοδοι είναι γνωστές ως μέθοδοι Adams-Bashforth, οι σιωπηρές μέθοδοι είναι γνωστές ως μέθοδοι Adams-Multon.

Εξετάστε την εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση του προβλήματος Cauchy

Κατά την επίλυση του προβλήματος (2. 1) χρησιμοποιώντας μεθόδους ενός βήματος, η τιμή του yn+1 εξαρτάται μόνο από τις πληροφορίες στο προηγούμενο σημείο xn. Μπορεί να υποτεθεί ότι μπορείτε να επιτύχετε μεγαλύτερη ακρίβεια εάν χρησιμοποιήσετε πληροφορίες σχετικά με πολλά προηγούμενα σημεία xn, xn-1 ... xn-k. Σε αυτή την ιδέα βασίζονται οι μέθοδοι πολλαπλών βημάτων.

Οι περισσότερες από τις μεθόδους πολλαπλών βημάτων προκύπτουν με βάση την ακόλουθη προσέγγιση. Αν αντικαταστήσουμε την ακριβή λύση y (x) στην εξίσωση (2. 1) και ενσωματώσουμε την εξίσωση στο τμήμα , παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας τη συνάρτηση f (x, y (x)) στον τύπο (2. 2) με το πολυώνυμο παρεμβολής P (x), λαμβάνουμε μια κατά προσέγγιση μέθοδο

Για να κατασκευάσουμε ένα πολυώνυμο P (x), ας υποθέσουμε ότι τα yn, yn-1... yn-k είναι προσεγγίσεις της λύσης στα σημεία xn, xn-1... xn-k. Υποθέτουμε ότι οι κόμβοι xi έχουν ομοιόμορφη απόσταση με το βήμα h. Τότε fi=f (xi, yi), (i=n, n-1.. n-k) είναι προσεγγίσεις στο f (x, y (x)) στα σημεία xn, xn-1... xn-k.

Για το P (x) παίρνουμε ένα πολυώνυμο παρεμβολής βαθμού k που ικανοποιεί τις συνθήκες

Αν ενσωματώσουμε αυτό το πολυώνυμο ρητά, έχουμε την ακόλουθη μέθοδο:

Όταν k=0, το πολυώνυμο P (x) είναι σταθερά ίση με fn και ο τύπος (2. 4) μετατρέπεται στη συνήθη μέθοδο Euler.

Για k=1, το πολυώνυμο P (x) είναι μια γραμμική συνάρτηση που διέρχεται από τα σημεία (xn-1, fn-1) και (xn, fn), δηλ.

Ενσωματώνοντας αυτό το πολυώνυμο από το xn στο xn+1, λαμβάνουμε μια μέθοδο δύο σταδίων

που χρησιμοποιεί πληροφορίες σε δύο σημεία xn και xn+1.

Αν k=2, τότε το P(x) είναι ένα τετραγωνικό πολυώνυμο παρεμβολή δεδομένων (xn-2, fn-2), (xn-1, fn-1) και (xn, fn). Μπορεί να φανεί ότι η αντίστοιχη μέθοδος έχει τη μορφή

Αν k=3, τότε η αντίστοιχη μέθοδος καθορίζεται από τον τύπο

Για k=4 έχουμε

Σημειώστε ότι η μέθοδος (2.7) είναι τριών βημάτων, (2.8) τεσσάρων βημάτων και (2.9) πέντε βημάτων. Οι τύποι (2.6) - (2.9) είναι γνωστοί ως μέθοδοι Adams-Bashforth. Η μέθοδος (2.6) έχει τη δεύτερη τάξη ακρίβειας, επομένως ονομάζεται μέθοδος Adams-Bashforth δεύτερης τάξης. Ομοίως, οι μέθοδοι (2.7), (2.8) και (2.9) ονομάζονται μέθοδοι Adams-Bashforth τρίτης, τέταρτης και πέμπτης τάξης, αντίστοιχα.

Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, χρησιμοποιώντας έναν αυξανόμενο αριθμό προηγούμενων σημείων, καθώς και ένα πολυώνυμο παρεμβολής υψηλότερου βαθμού, λαμβάνουμε μεθόδους Adams-Bashforth αυθαίρετα υψηλής τάξης.

Οι μέθοδοι πολλαπλών βημάτων δημιουργούν δυσκολίες που δεν προκύπτουν όταν χρησιμοποιούνται μέθοδοι ενός σταδίου. Αυτές οι δυσκολίες γίνονται σαφείς αν, για παράδειγμα, στραφούμε στις μεθόδους Adams-Bashforth της πέμπτης τάξης (2. 9).

Στο πρόβλημα (2. 1), ορίζεται η αρχική τιμή y0, αλλά όταν n=0, για τον υπολογισμό σύμφωνα με τον τύπο (2. 9), απαιτούνται πληροφορίες στα σημεία x-1, x-2, x-3 , x-4, που φυσικά απουσιάζει. Η συνήθης διέξοδος από αυτήν την κατάσταση είναι να χρησιμοποιήσετε κάποια μέθοδο ενός βήματος της ίδιας τάξης ακρίβειας, όπως η μέθοδος Runge-Kutta, έως ότου ληφθούν αρκετές τιμές για να λειτουργήσει η μέθοδος πολλαπλών βημάτων. Ή, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο ενός βήματος στο πρώτο βήμα, τη μέθοδο δύο βημάτων στο δεύτερο και ούτω καθεξής, μέχρι να ληφθούν όλες οι αρχικές τιμές. Είναι σημαντικό αυτές οι αρχικές τιμές να υπολογίζονται με τον ίδιο βαθμό ακρίβειας που θα λειτουργήσει η τελική μέθοδος. Δεδομένου ότι οι μέθοδοι εκκίνησης έχουν χαμηλότερη τάξη ακρίβειας, πρέπει να μετράτε με μικρότερο βήμα στην αρχή και να χρησιμοποιείτε περισσότερα ενδιάμεσα σημεία.

Η παραγωγή των μεθόδων (2. 6) - (2. 9) βασίζεται στην αντικατάσταση της συνάρτησης f (x, y) με ένα πολυώνυμο παρεμβολής P (x). Είναι γνωστό ότι υπάρχει ένα θεώρημα που αποδεικνύει την ύπαρξη και τη μοναδικότητα του πολυωνύμου παρεμβολής. Εάν οι κόμβοι x0, x1… xn είναι διαφορετικοί, τότε για κάθε f0, f1… fn υπάρχει ένα μοναδικό πολυώνυμο P (x) βαθμού το πολύ n τέτοιο ώστε P (xi) =fi, i=0, 1,.. n.

Αν και το πολυώνυμο παρεμβολής είναι μοναδικό, υπάρχουν διάφοροι τρόποι να αναπαραστήσουμε αυτό το πολυώνυμο. Τα πολυώνυμα Lagrange χρησιμοποιούνται συχνότερα, αλλά αποδεικνύονται επίσης άβολα εάν ένας κόμβος πρέπει να προστεθεί (ή να αφαιρεθεί από) ένα σύνολο δεδομένων. Σε αυτή την περίπτωση, υπάρχει μια άλλη αναπαράσταση του πολυωνύμου παρεμβολής. Αυτή είναι η αναπαράσταση του Νεύτωνα

Το πολυώνυμο Pn+1 (x) μπορεί να γραφτεί ως

Η αναπαράσταση του πολυωνύμου παρεμβολής στη μορφή (2. 11) σε πολλές περιπτώσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για πρακτική.

Οι μέθοδοι Adams-Bashforth χρησιμοποιούν ήδη γνωστές τιμές στα σημεία xn, xn-1... xn-k. Κατά την κατασκευή ενός πολυωνύμου παρεμβολής, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τα σημεία xn, xn, xn-1... xn-k. Αυτό οδηγεί σε μια κατηγορία σιωπηρών μεθόδων μ-βήματος γνωστές ως μέθοδοι Adams-Multon.

Αν k=0, τότε P (x) - γραμμική συνάρτησηπερνώντας από τα σημεία (xn, fn) και (xn+1, fn+1) και την αντίστοιχη μέθοδο

είναι η δεύτερης τάξης μέθοδος Adams-Multon.

Για k=1, 2, 3 λαμβάνουμε τις αντίστοιχες μεθόδους

τρίτη, τέταρτη και πέμπτη σειρά προσέγγισης. Οι σχέσεις (2. 12) - (2. 15) περιέχουν σιωπηρά τις επιθυμητές τιμές yn+1, επομένως πρέπει να χρησιμοποιηθούν επαναληπτικές μέθοδοι για την υλοποίησή τους.

Στην πράξη, συνήθως δεν λύνουν άμεσα τις εξισώσεις (2. 12) - (2. 15), αλλά χρησιμοποιούν τη ρητή και την άρρητη μορφή μαζί, γεγονός που οδηγεί στη μέθοδο πρόβλεψης και διόρθωσης.

Για παράδειγμα, για τη μέθοδο Adams δεύτερης τάξης, χρησιμοποιώντας τη σημείωση, όπου r είναι ο αριθμός επανάληψης, έχουμε το ακόλουθο σχήμα υπολογισμού για r = 1:

Αυτή η διαδικασία ονομάζεται μέθοδος PECE (P σημαίνει εφαρμογή του προγνωστικού τύπου, C - εφαρμογή του διορθωτικού τύπου, E - υπολογισμός της συνάρτησης f). Μπορείτε να συντομεύσετε τη διαδικασία υπολογισμού αφήνοντας τον τελευταίο τύπο. Αυτό οδηγεί στη λεγόμενη μέθοδο PEC.

Εξετάστε τη δεύτερη μέθοδο για την επίλυση των εξισώσεων (2. 12) - (2. 15). Οι τύποι (2. 12) - (2. 15) μπορούν να ξαναγραφούν ως

όπου το gn περιέχει γνωστές ποσότητες. Αποδεικνύεται ότι εάν, όπου L είναι η σταθερά Lipschitz, τότε υπάρχει μια μοναδική λύση στην εξίσωση (2. 17), η οποία μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας την επαναληπτική διαδικασία

όπου είναι αυθαίρετο.

Οι επαναλήψεις στην έκφραση (2. 18) συνεχίζονται μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός των υπολογισμών της συνάρτησης f ποικίλλει από σημείο σε σημείο και μπορεί να είναι αρκετά μεγάλος.

Από την άλλη πλευρά, εάν η τιμή του h μειωθεί, τότε η σύγκλιση μπορεί να επιτευχθεί σε έναν σταθερό αριθμό επαναλήψεων. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται διόρθωση σε σύγκλιση.

Με την πρώτη ματιά, μπορεί να φαίνεται ότι η ρητή μέθοδος πολλαπλών βημάτων είναι η απλούστερη μέθοδος από την άποψη του υπολογισμού. Ωστόσο, σαφείς μέθοδοι χρησιμοποιούνται σπάνια στην πράξη. Η σιωπηρή μέθοδος Adams-Multon είναι πιο ακριβής από τη ρητή μέθοδο Adams-Bashforth. Για παράδειγμα, το υπολογιστικό σχήμα για τη μέθοδο Adams-Multon 5ης τάξης έχει ως εξής:

Οι μέθοδοι Adams μέχρι την πέμπτη τάξη συμπεριλαμβανομένων μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επίλυση συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων που δεν απαιτούν υψηλό βαθμό ακρίβειας.

Όπως και στην περίπτωση της μεθόδου Adams-Bashforth, όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος Adams-Multon σημαντικό θέμαείναι το ζήτημα της επιλογής της βέλτιστης αναλογίας του βήματος ολοκλήρωσης και της σειράς της μεθόδου. Πρέπει να σημειωθεί ότι κατά τη δημιουργία αποδοτικών αλγορίθμων και προγραμμάτων, προτιμάται περισσότερο η αύξηση της σειράς μεθόδων από τη μείωση του βήματος ολοκλήρωσης.

Για την επίλυση πιο σύνθετων προβλημάτων, είναι απαραίτητο να εφαρμοστούν μέθοδοι Adams υψηλότερης τάξης. Ο Πίνακας 2.1 δείχνει τις τιμές των συντελεστών για τις μεθόδους Adams. Η πρώτη γραμμή καθορίζει τη σειρά της μεθόδου. στο δεύτερο - οι τιμές των συντελεστών Ck για την αντίστοιχη τάξη k. στις επόμενες γραμμές - ζεύγη συντελεστών Bkj και Mkj για τις μεθόδους Adams-Bashforth και Adams-Multon, αντίστοιχα. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη τα δεδομένα του Πίνακα 2. 14, οι συντελεστές σε j στην έκφραση

για τη μέθοδο Adams-Bashfort της kth τάξης μπορεί να βρεθεί από τη σχέση

και για τη μέθοδο Adams-Multon της kth τάξης, χρησιμοποιώντας παρόμοιο τύπο

Οι τύποι για τις προγνωστικές-διορθωτικές μεθόδους Adams από την 6η έως την 14η τάξη είναι οι εξής:

• 6 παραγγελία:
• 7 παραγγελία:
• 8 παραγγελία:
• 9 παραγγελία:
• 10 παραγγελία:
• 11 παραγγελία:
• 12 παραγγελία:
• 13 παραγγελία:
• 14 παραγγελία:
• 15 παραγγελία:
• 16 παραγγελία:

Οι τύποι που δίνονται παραπάνω χρησιμοποιούνται κατά προτίμηση για πρακτική εφαρμογή της επίλυσης συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων ή συστημάτων διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης με σταθερό βήμα ολοκλήρωσης. Εάν στη διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης το βήμα ολοκλήρωσης είναι μεταβλητό, τότε για τις μεθόδους Adams υπάρχουν ειδικά κόλπαγια την προσθήκη νέων αρχικών δεδομένων κατά την αλλαγή του βήματος ενσωμάτωσης.

Μπροστά μας είναι το ίδιο πρόβλημα Cauchy

φά (1) (t)=φά(t, φά(t)), ένα£ t£ σι, φά(ένα)=στ α.

Σε μεθόδους ενός βήματος, η τιμή φά(t k+1) καθορίστηκε μόνο από τις πληροφορίες στο προηγούμενο σημείο t k. Είναι δυνατό να βελτιωθεί η ακρίβεια της λύσης χρησιμοποιώντας τις πληροφορίες σε πολλά προηγούμενα σημεία, εάν είναι διαθέσιμες. Αυτό γίνεται σε μεθόδους που ονομάζονται multi-step. Από την πρώτη ματιά στη δήλωση προβλήματος, γίνεται προφανές ότι τη στιγμή της εκτόξευσης t=ταυπάρχει μόνο μία αρχική συνθήκη και αν πρόκειται να δουλέψουμε με δύο, τρία ή τέσσερα προηγούμενα σημεία, τότε δεν είναι σαφές πώς να αποκτήσουμε τη δεύτερη, εκτός από τη χρήση μεθόδων ενός βήματος. Αυτό κάνουν? Ένας αλγόριθμος "σύνθετης" λύσης μπορεί να μοιάζει με αυτό:

το πρώτο βήμα λαμβάνει τον δεύτερο βαθμό χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ενός βήματος, το δεύτερο λαμβάνει τον τρίτο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των δύο βημάτων, το τρίτο αποκτά τον τέταρτο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τριών βημάτων και ούτω καθεξής, έως ότου υπάρχουν αρκετά προηγούμενα σημεία για το κύρια μέθοδος που θα χρησιμοποιηθεί.

Μια άλλη επιλογή είναι ότι ολόκληρο το αρχικό σύνολο πόντων λαμβάνεται χρησιμοποιώντας μια μέθοδο ενός βήματος, για παράδειγμα, Runge-Kutta τέταρτης τάξης. Δεδομένου ότι οι μέθοδοι πολλαπλών βημάτων θεωρείται ότι είναι πιο ακριβείς, ένας μεγαλύτερος αριθμός ενδιάμεσων σημείων χρησιμοποιείται συνήθως για την αρχική μέθοδο ενός βήματος, δηλ. εργαστείτε με μικρότερα βήματα.

Μπορούν να δημιουργηθούν αλγόριθμοι πολλαπλών βημάτων με αυτόν τον τρόπο. Δεδομένου ότι

φά(t k +1)=φά(t k)+ ,

μπορεί κανείς να ενσωματώσει αριθμητικά τη δεξιά πλευρά του ODE κάτω από το ολοκλήρωμα. Αν χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο των ορθογωνίων (το πολυώνυμο παρεμβολής για την ολοκληρωτή συνάρτηση είναι μια σταθερά), παίρνουμε τη συνήθη μέθοδο Euler. Αν χρησιμοποιήσουμε 2 σημεία και ένα πολυώνυμο παρεμβολής πρώτης τάξης

Π(Χ)= ,

στη συνέχεια ενσωμάτωση με την τραπεζοειδή μέθοδο από t kπριν t kΤο +1 θα δώσει τον ακόλουθο αλγόριθμο:

φά(t k +1)=φά(t k)+0.5η(3F k-F k -1).

Ομοίως, για τρία σημεία θα έχουμε ένα τετραγωνικό παρεμβαλλόμενο πολυώνυμο στα δεδομένα ( t k -2 , F k -2), (t k -1 , F k -1), (t k, F k) και η ολοκλήρωση με τη μέθοδο Simpson θα δώσει τον αλγόριθμο:

φά(t k +1)=φά(t k)+ (23F k–16F k -1 +5F k -2).

Για 4 σημεία, το πολυώνυμο θα είναι κυβικό και η ολοκλήρωσή του θα δώσει:

φά(t k +1)=φά(t k)+ (55F k–59F k -1 +37F k -2 –9F k -3).

Καταρχήν, θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε έτσι για όσο διάστημα θέλουμε.

Οι παραπάνω αλγόριθμοι ονομάζονται μέθοδοι Adams-Bashforth δεύτερης, τρίτης και τέταρτης τάξης.

Τυπικά, κατά την κατασκευή ενός πολυωνύμου παρεμβολής, επιπλέον του Νέχουν ήδη υπολογιστεί πόντους για χρήση και πολλά άλλα Rμελλοντικός t k +1 , t k+2 ; στην απλούστερη περίπτωση το σετ

t k +1 , t k, t k -1 ,…, t k -Ν .

Αυτό δημιουργεί μια κατηγορία αποκαλούμενων μεθόδων Adams-Moulton. Στην έκδοση τεσσάρων βημάτων, λειτουργεί με δεδομένα ( t k +1 , F k +1), (t k, F k), (t k -1 , F k -1), (t k -2 , F k-2) και ο αλγόριθμός του:

φά(t k +1)=φά(t k)+ (9F k +1 +19F k–5F k -1 +F k -2).

Είναι αδύνατο, φυσικά, να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας δεδομένα που λείπουν, επομένως οι αλγόριθμοι Adams συνδυάζονται σε μια ακολουθία αλγορίθμων Adams-Bashforth και Adams-Moulton, ενώ λαμβάνονται οι λεγόμενες μέθοδοι πρόβλεψης και διόρθωσης. Για παράδειγμα, η μέθοδος πρόβλεψης και διόρθωσης τέταρτης τάξης μοιάζει με αυτό: πρώτα, προβλέπουμε χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Adams-Bashforth χρησιμοποιώντας σημεία "προηγούμενα"

φά(t k +1)=φά(t k)+ (55F k–59F k -1 +37F k -2 –9F k -3).

Στη συνέχεια υπολογίζουμε την κατά προσέγγιση τιμή της δεξιάς πλευράς της εξίσωσης

F k +1 =φά(t k +1 , φά(t k +1).

Και τελικά διορθώνουμε φά(t k+1) χρησιμοποιώντας τη δική του κατά προσέγγιση τιμή

φά(t k +1)=φά(t k)+ (9F k +1 +19F k–5F k -1 +F k -2).

Τα πιο αποτελεσματικά διαθέσιμα προγράμματα υπολογιστή, που επιτρέπουν στον χρήστη να αλλάξει το μέγεθος βημάτων και τη σειρά μεθόδων, βασίζονται στις μεθόδους Adams υψηλής τάξης (πάνω από 10). Η εμπειρία από τη λειτουργία αυτών των προγραμμάτων δείχνει ότι οι διαφορές στην εφαρμογή τους μπορεί να έχουν σημαντικότερο αντίκτυπο στην ακρίβεια από τις διαφορές στις εσωτερικές ιδιότητες των ίδιων των μεθόδων.