ΑΣΚΗΣΗ

για μαθήματα στον κλάδο

Αυτοματοποιημένες μέθοδοι επεξεργασίας των αποτελεσμάτων του πειράματος.

Ε&Α: Ανάπτυξη προγράμματος κατασκευής πολυωνυμικού γραφήματος παρεμβολής.

Αναπτύξτε ένα πρόγραμμα γραφικής παράστασης χρησιμοποιώντας τον τύπο παρεμβολής τμηματικής γραμμής πολλών διαστημάτων.

Πίνακας λειτουργιών:

Χ
y	0,23	0,56	0,15	0,1	0,27	0,2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Το σύστημα προγραμματισμού Turbo Pascal είναι μια ενότητα δύο, ως ένα βαθμό, ανεξάρτητων αρχών: ενός μεταγλωττιστή από τη γλώσσα προγραμματισμού Pascal και κάποιου οργανικού κελύφους λογισμικού που βελτιώνει την αποτελεσματικότητα της δημιουργίας προγραμμάτων.

Το περιβάλλον Turbo Pascal είναι το πρώτο πράγμα που συναντά κάθε προγραμματιστής όταν ξεκινά πρακτική δουλειάπρογραμματισμός.

Αυτό θητείαείναι να γράψουμε σε Turbo Pascal ένα πρόγραμμα για τη χάραξη ενός πολυωνυμικού γραφήματος παρεμβολής.

ΚΥΡΙΟ ΜΕΡΟΣ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

πρόβλημα παρεμβολής.

Έστω ένας πίνακας αριθμών (xi , fi), i = 0, 1, ..., N ; x0< x1 < … < xN .

Ορισμός. Οποιαδήποτε συνάρτηση f(x) τέτοια ώστε f(xi) = fi ; = 0, 1, ..., το N ονομάζεται παρεμβολή (interpolation) για τον πίνακα.

Το πρόβλημα της παρεμβολής είναι να βρεθεί (κατασκευάσει) μια συνάρτηση παρεμβολής (δηλαδή, αυτή που δέχεται δεδομένες τιμές fi σε δεδομένους κόμβους παρεμβολής xi) και ανήκει σε μια δεδομένη κατηγορία συναρτήσεων. Φυσικά, το πρόβλημα της παρεμβολής μπορεί να έχει ή να μην έχει λύση (και όχι τη μοναδική), όλα εξαρτώνται από τη «δεδομένη κατηγορία συναρτήσεων». Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συνθήκες κάτω από τις οποίες θα διατυπωθεί ειδικά το πρόβλημα της παρεμβολής. Μία από τις μεθόδους παρεμβολής είναι ότι η συνάρτηση παρεμβολής αναζητείται στη μορφή γραμμικός συνδυασμόςκάποια συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. Μια τέτοια παρεμβολή ονομάζεται γραμμική.

Γραμμική παρεμβολή.

Παρεμβολή τύπου για n = 1, δηλαδή χρησιμοποιώντας τη γραμμική συνάρτηση , ονομάζεται γραμμικό. Κατά την εργασία με τμηματικές πολυωνυμικές συναρτήσεις, καλούνται οι τετμημένες των δεδομένων κόμποι, αρθρώσειςή ορια ΑΝΤΟΧΗΣ. Υπάρχουν τεχνικές διαφορές μεταξύ αυτών των ονομάτων, αλλά και οι τρεις όροι χρησιμοποιούνται συχνά εναλλακτικά. Μια γραμμική τμηματικά πολυωνυμική συνάρτηση L(x) είναι μια συνάρτηση που ορίζεται για όλα τα x που έχει την ιδιότητα ότι η L(x) είναι μια ευθεία γραμμή μεταξύ xi και x i +1 . Ο ορισμός παραδέχεται ότι στα διαστήματα μεταξύ διαφορετικών ζευγών γειτονικών κόμβων, το L(x) μπορεί να συμπίπτει με διαφορετικές γραμμές. Αν εισάγουμε τη σημειογραφία, , τότε ο τύπος γραμμικής παρεμβολής μπορεί να γραφτεί ως εξής: (1)

Η ποσότητα q ονομάζεται φάση παρεμβολής, η οποία ποικίλλει από 0 έως 1 καθώς το x διατρέχει το x 0 έως το x 1.

Γεωμετρικά γραμμική παρεμβολή σημαίνει (Εικ. 1) η αντικατάσταση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα με μια χορδή που συνδέει τα σημεία (x 0, f 0), (x 1, f 1). Εφόσον, σύμφωνα με τον τύπο, έχουμε και, επομένως, , τότε η εκτίμηση του μέγιστου σφάλματος γραμμικής παρεμβολής στο τμήμα σύμφωνα με τον τύπο έχει τη μορφή , (2) όπου .

Συχνά, ένας πίνακας μεγάλου αριθμού τιμών κάποιας συνάρτησης f ορίζεται με σταθερό βήμα h της αλλαγής στο όρισμα. Στη συνέχεια, για ένα δεδομένο x, επιλέγονται δύο κόμβοι που βρίσκονται πιο κοντά σε αυτό. Ο αριστερός κόμβος λαμβάνεται ως x 0 και ο δεξιός κόμβος ως x 1, και η γραμμική παρεμβολή εκτελείται σύμφωνα με τον τύπο (1). Το σφάλμα παρεμβολής εκτιμάται από τον τύπο (2).

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

Αναπτύξτε ένα πρόγραμμα για την κατασκευή ενός πολυωνυμικού γραφήματος παρεμβολής χρησιμοποιώντας τον τύπο γραμμικής παρεμβολής πολλαπλών διαστημάτων.

Πολλοί από εμάς έχουμε συναντήσει ακατανόητους όρους σε διάφορες επιστήμες. Λίγοι όμως είναι εκείνοι που δεν φοβούνται τις ακατανόητες λέξεις, αλλά αντίθετα τους φτιάχνουν το κέφι και τους αναγκάζουν να εμβαθύνουν στο αντικείμενο που μελετάται. Σήμερα θα μιλήσουμε για κάτι τέτοιο όπως η παρεμβολή. Αυτή είναι μια μέθοδος σχεδίασης γραφημάτων χρησιμοποιώντας γνωστά σημεία, η οποία επιτρέπει την πρόβλεψη της συμπεριφοράς της σε συγκεκριμένα τμήματα της καμπύλης με μια ελάχιστη ποσότητα πληροφοριών για τη συνάρτηση.

Πριν προχωρήσουμε στην ουσία του ίδιου του ορισμού και μιλήσουμε για αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες, ας εμβαθύνουμε λίγο στην ιστορία.

Ιστορία

Η παρεμβολή είναι γνωστή από την αρχαιότητα. Ωστόσο, αυτό το φαινόμενο οφείλει την ανάπτυξή του σε αρκετούς από τους πιο εξέχοντες μαθηματικούς του παρελθόντος: τον Newton, τον Leibniz και τον Gregory. Ήταν αυτοί που ανέπτυξαν αυτήν την ιδέα χρησιμοποιώντας τις πιο προηγμένες μαθηματικές μεθόδους που ήταν διαθέσιμες εκείνη την εποχή. Πριν από αυτό, η παρεμβολή, φυσικά, εφαρμόστηκε και χρησιμοποιήθηκε σε υπολογισμούς, αλλά το έκαναν με εντελώς ανακριβείς τρόπους, απαιτώντας ένας μεγάλος αριθμόςδεδομένα για την κατασκευή ενός μοντέλου λίγο πολύ κοντά στην πραγματικότητα.

Σήμερα, μπορούμε ακόμη και να επιλέξουμε ποια από τις μεθόδους παρεμβολής είναι καταλληλότερη. Όλα μεταφράζονται σε μια γλώσσα υπολογιστή που μπορεί να προβλέψει με μεγάλη ακρίβεια τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης σε μια συγκεκριμένη περιοχή, περιορισμένη από γνωστά σημεία.

Η παρεμβολή είναι μια μάλλον στενή έννοια, επομένως η ιστορία της δεν είναι τόσο πλούσια σε γεγονότα. Στην επόμενη ενότητα, θα καταλάβουμε τι είναι στην πραγματικότητα η παρεμβολή και πώς διαφέρει από το αντίθετό της - την παρέκταση.

Τι είναι η παρεμβολή;

Όπως έχουμε ήδη πει, αυτό είναι το γενικό όνομα για τις μεθόδους που σας επιτρέπουν να σχεδιάσετε ένα γράφημα ανά σημεία. Στο σχολείο, αυτό γίνεται κυρίως με τη σύνταξη ενός πίνακα, τον εντοπισμό σημείων σε ένα γράφημα και τη χονδρική κατασκευή γραμμών που τα συνδέουν. Η τελευταία ενέργεια γίνεται με βάση τις εκτιμήσεις της ομοιότητας της υπό μελέτη συνάρτησης με άλλες, τον τύπο των γραφημάτων των οποίων γνωρίζουμε.

Ωστόσο, υπάρχουν άλλοι, πιο περίπλοκοι και ακριβείς τρόποι για να ολοκληρώσετε το έργο της γραφικής παράστασης σημείο προς σημείο. Έτσι, η παρεμβολή είναι στην πραγματικότητα μια «πρόβλεψη» της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης σε μια συγκεκριμένη περιοχή, που περιορίζεται από γνωστά σημεία.

Υπάρχει μια παρόμοια έννοια που σχετίζεται με την ίδια περιοχή - παρέκταση. Είναι επίσης μια πρόβλεψη του γραφήματος μιας συνάρτησης, αλλά πέρα ​​από τα γνωστά σημεία του γραφήματος. Με αυτή τη μέθοδο, γίνεται μια πρόβλεψη με βάση τη συμπεριφορά μιας συνάρτησης σε ένα γνωστό διάστημα και στη συνέχεια αυτή η συνάρτηση εφαρμόζεται και σε ένα άγνωστο διάστημα. Αυτή η μέθοδος είναι πολύ βολική για πρακτική εφαρμογή και χρησιμοποιείται ενεργά, για παράδειγμα, στην οικονομία για να προβλέψει τα σκαμπανεβάσματα στην αγορά και να προβλέψει τη δημογραφική κατάσταση στη χώρα.

Όμως έχουμε παρεκκλίνει από το κύριο θέμα. Στην επόμενη ενότητα, θα καταλάβουμε τι είναι η παρεμβολή και ποιοι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εκτέλεση αυτής της λειτουργίας.

Τύποι παρεμβολής

Ο απλούστερος τύπος είναι η παρεμβολή πλησιέστερου γείτονα. Με αυτή τη μέθοδο, παίρνουμε ένα πολύ κατά προσέγγιση οικόπεδο που αποτελείται από ορθογώνια. Εάν έχετε δει τουλάχιστον μία φορά μια εξήγηση της γεωμετρικής σημασίας του ολοκληρώματος σε ένα γράφημα, τότε θα καταλάβετε για τι είδους γραφική μορφή μιλάμε.

Επιπλέον, υπάρχουν και άλλες μέθοδοι παρεμβολής. Τα πιο διάσημα και δημοφιλή συνδέονται με πολυώνυμα. Είναι πιο ακριβείς και επιτρέπουν την πρόβλεψη της συμπεριφοράς μιας συνάρτησης με ένα μάλλον πενιχρό σύνολο τιμών. Η πρώτη μέθοδος παρεμβολής που θα εξετάσουμε είναι η γραμμική πολυωνυμική παρεμβολή. Αυτή είναι η πιο εύκολη μέθοδος από αυτήν την κατηγορία, και σίγουρα ο καθένας από εσάς τη χρησιμοποιούσε στο σχολείο. Η ουσία του έγκειται στην κατασκευή ευθειών μεταξύ γνωστών σημείων. Όπως γνωρίζετε, μια ενιαία ευθεία διέρχεται από δύο σημεία του επιπέδου, η εξίσωση των οποίων μπορεί να βρεθεί με βάση τις συντεταγμένες αυτών των σημείων. Έχοντας δημιουργήσει αυτές τις ευθείες γραμμές, παίρνουμε ένα σπασμένο γράφημα, το οποίο, τουλάχιστον, αντανακλά κατά προσέγγιση τιμέςλειτουργίες και σε γενικούς όρουςταιριάζει με την πραγματικότητα. Έτσι λειτουργεί η γραμμική παρεμβολή.

Πολύπλοκοι τύποι παρεμβολής

Υπάρχει ένας πιο ενδιαφέρον, αλλά ταυτόχρονα πιο σύνθετος τρόπος παρεμβολής. Εφευρέθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό Joseph Louis Lagrange. Γι' αυτό ο υπολογισμός της παρεμβολής με αυτή τη μέθοδο πήρε το όνομά του: παρεμβολή με τη μέθοδο Lagrange. Το κόλπο εδώ είναι το εξής: εάν η μέθοδος που περιγράφεται στην προηγούμενη παράγραφο χρησιμοποιεί μόνο μια γραμμική συνάρτηση για τον υπολογισμό, τότε η επέκταση Lagrange περιλαμβάνει επίσης τη χρήση πολυωνύμων υψηλότερων βαθμών. Αλλά δεν είναι τόσο εύκολο να βρούμε τους ίδιους τους τύπους παρεμβολής για διαφορετικές συναρτήσεις. Και όσο περισσότερα σημεία είναι γνωστά, τόσο πιο ακριβής είναι ο τύπος παρεμβολής. Υπάρχουν όμως και πολλές άλλες μέθοδοι.

Υπάρχει επίσης μια πιο τέλεια και πιο κοντά στην πραγματικότητα μέθοδος υπολογισμού. Ο τύπος παρεμβολής που χρησιμοποιείται σε αυτό είναι μια συλλογή πολυωνύμων, η εφαρμογή καθενός από τα οποία εξαρτάται από το τμήμα της συνάρτησης. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται συνάρτηση spline. Επιπλέον, υπάρχουν επίσης τρόποι να γίνει κάτι τέτοιο όπως η παρεμβολή συναρτήσεων δύο μεταβλητών. Υπάρχουν μόνο δύο μέθοδοι εδώ. Μεταξύ αυτών είναι η διγραμμική ή διπλή παρεμβολή. Αυτή η μέθοδος σας επιτρέπει να δημιουργήσετε εύκολα ένα γράφημα ανά σημεία σε τρισδιάστατο χώρο. Άλλες μέθοδοι δεν θα επηρεαστούν. Γενικά, η παρεμβολή είναι μια καθολική ονομασία για όλες αυτές τις μεθόδους σχεδίασης γραφημάτων, αλλά η ποικιλία των τρόπων με τους οποίους μπορεί να εκτελεστεί αυτή η ενέργεια τις αναγκάζει να χωριστούν σε ομάδες ανάλογα με τον τύπο της συνάρτησης που υπόκειται σε αυτήν την ενέργεια. Δηλαδή, η παρεμβολή, ένα παράδειγμα της οποίας εξετάσαμε παραπάνω, αναφέρεται σε άμεσες μεθόδους. Υπάρχει επίσης αντίστροφη παρεμβολή, η οποία διαφέρει στο ότι σας επιτρέπει να υπολογίσετε όχι μια άμεση, αλλά μια αντίστροφη συνάρτηση (δηλαδή, x από το y). Δεν θα εξετάσουμε τις τελευταίες επιλογές, καθώς είναι αρκετά δύσκολο και απαιτεί μια καλή βάση μαθηματικών γνώσεων.

Ας περάσουμε ίσως σε μια από τις πιο σημαντικές ενότητες. Από αυτό μαθαίνουμε πώς και πού εφαρμόζεται στη ζωή το σύνολο των μεθόδων που συζητάμε.

Εφαρμογή

Τα μαθηματικά, όπως γνωρίζετε, είναι η βασίλισσα των επιστημών. Επομένως, ακόμα κι αν στην αρχή δεν βλέπετε το νόημα σε ορισμένες λειτουργίες, αυτό δεν σημαίνει ότι είναι άχρηστες. Για παράδειγμα, φαίνεται ότι η παρεμβολή είναι ένα άχρηστο πράγμα, με τη βοήθεια του οποίου μπορούν να κατασκευαστούν μόνο γραφήματα, τα οποία λίγοι άνθρωποι χρειάζονται τώρα. Ωστόσο, σε οποιουσδήποτε υπολογισμούς στη μηχανική, τη φυσική και πολλές άλλες επιστήμες (για παράδειγμα, τη βιολογία), είναι εξαιρετικά σημαντικό να παρουσιάζουμε μια αρκετά πλήρη εικόνα του φαινομένου, ενώ έχουμε ένα συγκεκριμένο σύνολο τιμών. Οι ίδιες οι τιμές, διάσπαρτες στο γράφημα, δεν δίνουν πάντα μια σαφή ιδέα για τη συμπεριφορά της συνάρτησης σε μια συγκεκριμένη περιοχή, τις τιμές των παραγώγων της και τα σημεία τομής με τους άξονες. Και αυτό είναι πολύ σημαντικό για πολλούς τομείς της ζωής μας.

Και πώς θα είναι χρήσιμο στη ζωή;

Μπορεί να είναι πολύ δύσκολο να απαντήσετε σε μια τέτοια ερώτηση. Αλλά η απάντηση είναι απλή: δεν υπάρχει τρόπος. Αυτή η γνώση δεν σας χρησιμεύει. Αλλά αν κατανοήσετε αυτό το υλικό και τις μεθόδους με τις οποίες πραγματοποιούνται αυτές οι ενέργειες, θα εκπαιδεύσετε τη λογική σας, η οποία θα είναι πολύ χρήσιμη στη ζωή. Το κύριο πράγμα δεν είναι η ίδια η γνώση, αλλά οι δεξιότητες που αποκτά ένα άτομο στη διαδικασία της μελέτης. Εξάλλου, δεν είναι τυχαίο ότι υπάρχει ένα ρητό: "Ζήστε για έναν αιώνα - μάθετε για έναν αιώνα".

Σχετικές έννοιες

Μπορείτε να καταλάβετε μόνοι σας πόσο σημαντικός ήταν αυτός ο τομέας των μαθηματικών (και εξακολουθεί να είναι) εξετάζοντας την ποικιλία άλλων εννοιών που σχετίζονται με αυτό. Έχουμε ήδη μιλήσει για παρέκταση, αλλά υπάρχει και μια προσέγγιση. Ίσως έχετε ξανακούσει αυτή τη λέξη. Σε κάθε περίπτωση, αναλύσαμε και τι σημαίνει σε αυτό το άρθρο. Η προσέγγιση, όπως και η παρεμβολή, είναι έννοιες που σχετίζονται με τη γραφική παράσταση γραφημάτων συναρτήσεων. Αλλά η διαφορά μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου είναι ότι είναι μια κατά προσέγγιση κατασκευή ενός γραφήματος που βασίζεται σε παρόμοια γνωστά γραφήματα. Αυτές οι δύο έννοιες μοιάζουν πολύ μεταξύ τους και όσο πιο ενδιαφέρον είναι να μελετήσουμε την καθεμία από αυτές.

συμπέρασμα

Τα μαθηματικά δεν είναι τόσο δύσκολη επιστήμη όσο φαίνεται με την πρώτη ματιά. Είναι μάλλον ενδιαφέρουσα. Και σε αυτό το άρθρο προσπαθήσαμε να σας το αποδείξουμε. Εξετάσαμε τις έννοιες που σχετίζονται με τη δημιουργία γραφημάτων, μάθαμε τι είναι η διπλή παρεμβολή και αναλύσαμε με παραδείγματα όπου χρησιμοποιείται.

Στις οποίες άλλες λαμβανόμενες τιμές θα μπορούσαν να πέσουν με υψηλή ακρίβεια. Μια τέτοια εργασία ονομάζεται προσέγγιση. Η παρεμβολή είναι ένας τύπος προσέγγισης στον οποίο η καμπύλη της κατασκευασμένης συνάρτησης διέρχεται ακριβώς από τα διαθέσιμα σημεία δεδομένων.

Υπάρχει επίσης ένα πρόβλημα κοντά στην παρεμβολή, το οποίο συνίσταται στην προσέγγιση κάποιας σύνθετης συνάρτησης από μια άλλη, απλούστερη συνάρτηση. Εάν μια συγκεκριμένη συνάρτηση είναι πολύ περίπλοκη για παραγωγικούς υπολογισμούς, μπορείτε να προσπαθήσετε να υπολογίσετε την τιμή της σε πολλά σημεία και να δημιουργήσετε, δηλαδή να παρεμβάλετε, μια απλούστερη συνάρτηση από αυτά. Φυσικά, η χρήση μιας απλοποιημένης συνάρτησης δεν σας επιτρέπει να έχετε τα ίδια ακριβή αποτελέσματα που θα έδινε η αρχική συνάρτηση. Αλλά σε ορισμένες κατηγορίες προβλημάτων, το κέρδος στην απλότητα και την ταχύτητα των υπολογισμών μπορεί να αντισταθμίσει το προκύπτον σφάλμα στα αποτελέσματα.

Θα πρέπει επίσης να αναφέρουμε ένα εντελώς διαφορετικό είδος μαθηματικής παρεμβολής, που είναι γνωστό ως «παρεμβολή τελεστών». Τα κλασικά έργα για την παρεμβολή τελεστών περιλαμβάνουν το θεώρημα Riesz-Thorin και το θεώρημα Marcinkiewicz, τα οποία αποτελούν τη βάση για πολλές άλλες εργασίες.

Ορισμοί

Σκεφτείτε ένα σύστημα μη συμπίπτων σημείων () από κάποια περιοχή. Αφήστε τις τιμές της συνάρτησης να είναι γνωστές μόνο σε αυτά τα σημεία:

Το πρόβλημα της παρεμβολής είναι να βρεθεί μια τέτοια συνάρτηση από μια δεδομένη κατηγορία συναρτήσεων που

Παράδειγμα

1. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση πίνακα, όπως αυτή που περιγράφεται παρακάτω, η οποία, για πολλές τιμές, καθορίζει τις αντίστοιχες τιμές:

0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Η παρεμβολή μας βοηθά να βρούμε ποια τιμή μπορεί να έχει μια τέτοια συνάρτηση σε ένα σημείο διαφορετικό από αυτά που καθορίζονται (για παράδειγμα, όταν Χ = 2,5).

Μέχρι σήμερα είναι πολλά διάφορους τρόπουςπαρεμβολή. Η επιλογή του καταλληλότερου αλγορίθμου εξαρτάται από τις απαντήσεις στις ερωτήσεις: πόσο ακριβής είναι η επιλεγμένη μέθοδος, ποιο είναι το κόστος χρήσης της, πόσο ομαλή είναι η συνάρτηση παρεμβολής, πόσα σημεία δεδομένων απαιτεί κ.λπ.

2. Βρείτε μια ενδιάμεση τιμή (με γραμμική παρεμβολή).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

Μέθοδοι παρεμβολής

Παρεμβολή πλησιέστερου γείτονα

Η απλούστερη μέθοδος παρεμβολής είναι η παρεμβολή του πλησιέστερου γείτονα.

Παρεμβολή με πολυώνυμα

Στην πράξη, η παρεμβολή με πολυώνυμα χρησιμοποιείται συχνότερα. Αυτό οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι τα πολυώνυμα είναι εύκολο να υπολογιστούν, είναι εύκολο να βρεθούν αναλυτικά οι παράγωγοί τους και το σύνολο των πολυωνύμων είναι πυκνό στο χώρο των συνεχών συναρτήσεων (θεώρημα Weierstrass).

• IMN-1 και IMN-2
• Πολυώνυμο Lagrange (πολυώνυμο παρεμβολής)
• Το σχήμα του Aitken

Αντίστροφη παρεμβολή (υπολογίζοντας το x δεδομένο y)

• Αντίστροφη παρεμβολή με τον τύπο του Νεύτωνα

Παρεμβολή πολλαπλών μεταβλητών συναρτήσεων

Άλλες μέθοδοι παρεμβολής

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Συνώνυμα:

Δείτε τι είναι το "Interpolation" σε άλλα λεξικά:

1) ένας τρόπος προσδιορισμού, από μια σειρά δεδομένων τιμών οποιασδήποτε μαθηματικής έκφρασης, των ενδιάμεσων τιμών της. έτσι, για παράδειγμα, σύμφωνα με το εύρος της βολίδας σε γωνία ανύψωσης του άξονα του καναλιού του καναλιού 1 °, 2 °, 3 °, 4 °, κ.λπ., μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας ... ... Λεξικό ξένες λέξειςρωσική γλώσσα

Εισαγωγή, παρεμβολή, συμπερίληψη, αναζήτηση Λεξικό ρωσικών συνωνύμων. παρεμβολή βλέπε ένθετο Λεξικό συνωνύμων της ρωσικής γλώσσας. Πρακτικός οδηγός. Μ.: Ρωσική γλώσσα. Ζ. Ε. Αλεξάνδροβα. 2… Συνώνυμο λεξικό

παρεμβολή- Υπολογισμός ενδιάμεσων τιμών μεταξύ δύο γνωστών σημείων. Για παράδειγμα: γραμμική γραμμική παρεμβολή εκθετική εκθετική παρεμβολή Η διαδικασία εξόδου μιας έγχρωμης εικόνας όταν τα pixel που ανήκουν στην περιοχή μεταξύ δύο χρωμάτων ... ... Εγχειρίδιο Τεχνικού Μεταφραστή

- (παρεμβολή) Εκτίμηση της τιμής μιας άγνωστης τιμής μεταξύ δύο σημείων μιας σειράς γνωστών τιμών. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας τους δείκτες του πληθυσμού της χώρας, που ελήφθησαν κατά την απογραφή, που διεξάγεται σε διαστήματα 10 ετών, μπορείτε ... ... Γλωσσάρι επιχειρησιακών όρων

Από τα λατινικά στην πραγματικότητα "ψεύτικο". Αυτό είναι το όνομα που δίνεται σε λανθασμένες διορθώσεις ή μεταγενέστερες παρεμβολές σε χειρόγραφα που έγιναν από γραφείς ή αναγνώστες. Ιδιαίτερα συχνά αυτός ο όρος χρησιμοποιείται στην κριτική των χειρογράφων των αρχαίων συγγραφέων. Σε αυτά τα χειρόγραφα... Λογοτεχνική Εγκυκλοπαίδεια

Εύρεση ενδιάμεσων τιμών κάποιας κανονικότητας (συνάρτησης) από έναν αριθμό γνωστών τιμών του. Στα Αγγλικά: Interpolation Δείτε επίσης: Μετασχηματισμοί δεδομένων Finam Financial Dictionary ... Οικονομικό λεξιλόγιο

παρεμβολή- και καλά. παρεμβολή f. λατ. αλλαγή παρεμβολής? αλλοίωση, παραμόρφωση. 1. Ένθετο μεταγενέστερης προέλευσης στο οποίο λ. κείμενο που δεν ανήκει στο πρωτότυπο. ALS 1. Υπάρχουν πολλές παρεμβολές που έγιναν από γραφείς σε αρχαία χειρόγραφα. Ush. 1934. 2 ... Ιστορικό Λεξικό Γαλλισμών της Ρωσικής Γλώσσας

ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ- (interpolatio), ολοκλήρωση empyrich. μια σειρά από τιμές οποιασδήποτε ποσότητας από τις ενδιάμεσες τιμές που λείπουν. Η παρεμβολή μπορεί να γίνει με τρεις τρόπους: μαθηματικούς, γραφικούς. και λογικό. Βασίζονται στη γενική υπόθεση ότι... Μεγάλη Ιατρική Εγκυκλοπαίδεια

- (από το λατινικό interpolatio αλλαγή, αλλοίωση), η αναζήτηση ενδιάμεσων τιμών μιας ποσότητας σύμφωνα με ορισμένες από τις γνωστές της τιμές. Για παράδειγμα, η εύρεση των τιμών της συνάρτησης y = f(x) στα σημεία x που βρίσκονται μεταξύ των σημείων x0 και xn, x0 ... Σύγχρονη Εγκυκλοπαίδεια

- (από το λατ. interpolatio αλλαγή αλλαγής), στα μαθηματικά και τη στατιστική, η αναζήτηση ενδιάμεσων τιμών μιας ποσότητας σύμφωνα με ορισμένες από τις γνωστές τιμές της. Για παράδειγμα, εύρεση των τιμών της συνάρτησης f (x) σε σημεία x που βρίσκονται μεταξύ των σημείων xo x1 ... xn, σύμφωνα με ... ... Μεγάλο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Το πρόγραμμα ελέγχου για την επεξεργασία του εξαρτήματος είναι η τροχιά της κίνησης του κέντρου του κόφτη. Η τροχιά της κίνησης αποτελείται από ξεχωριστά τμήματα που συνδέονται μεταξύ τους, γραμμικόςή τόξο. Τα σημεία που ορίζουν την τροχιά ονομάζονται υποστηρίζοντας. Στην πραγματικότητα, το πρόγραμμα ελέγχου είναι ένα διαδοχικό σύνολο σημείων αναφοράς. Τα GCP μπορούν να βρίσκονται σε ένα επίπεδο· δύο συντεταγμένες χρησιμοποιούνται για τον καθορισμό τους ( δύο συντεταγμένεςεπεξεργασία) ή στο διάστημα ( ογκομετρική τρισυντεταγμένηθεραπεία).

Στην πράξη, για να μετακινήσετε το εργαλείο, το σύστημα CNC δεν χρειάζεται μόνο σημεία αναφοράς, χρειάζεται μια πιο λεπτομερή αναπαράσταση. Για τον υπολογισμό των ενδιάμεσων σημείων και την έκδοση εντολών για κίνηση κατά μήκος γραμμικών αξόνων, χρησιμοποιείται μια ειδική υπολογιστική συσκευή - νοθευτής.

Οι παρεμβολείς χωρίζονται σε γραμμικόςΚαι εγκύκλιος. Ο γραμμικός παρεμβολέας χρησιμοποιείται για την επεξεργασία της ευθύγραμμης κίνησης του εργαλείου. Στην είσοδο, ο παρεμβολέας λαμβάνει πληροφορίες σχετικά με τις συντεταγμένες των σημείων αναφοράς, στην έξοδο, για κάθε συντεταγμένη, σχηματίζεται μια ακολουθία παλμών που είναι απαραίτητες για την επεξεργασία της δεδομένης γεωμετρίας. Ο γραμμικός παρεμβολέας σάς επιτρέπει να εργάζεστε μόνο ευθύγραμμοκίνηση. Ωστόσο, εξασφαλίστε ακριβήςη αντιστοιχία της μετατόπισης κατά μήκος μιας δεδομένης ευθείας είναι αρκετά δύσκολη. Η τελική τροχιά κίνησης μοιάζει περίπου με διακεκομμένη γραμμή (σχήμα παρακάτω).

Στη διαδικασία επεξεργασίας, ο άμεσος παρεμβολέας ελέγχει εναλλάξ την ενεργοποίηση των μονάδων δίσκου, στη συνέχεια Άξονας Χ, μετά από Άξονας Υ(εάν η γραμμή βρίσκεται στο επίπεδο XY), στέλνοντας τον απαιτούμενο αριθμό παλμών στη μονάδα. Στο παραπάνω σχήμα, για την επεξεργασία μιας ευθείας γραμμής, ένας παλμός αποστέλλεται στον άξονα Υ και δύο παλμοί στον άξονα Χ. Εννοια ρεορίζει την απόκλιση από τη δεδομένη γεωμετρία. Επειδή Η ανάλυση σάς επιτρέπει να ρυθμίσετε έναν παλμό για να κινηθεί 0.001 mm, τότε μπορεί να ληφθεί υπόψη η τελική σπασμένη καμπύλη λείος.

Έτσι, ο γραμμικός παρεμβολέας υπολογίζει τον απαιτούμενο αριθμό παλμών κατά μήκος του ενός ή του άλλου άξονα και τους εξάγει στους οδηγούς.

Γραμμικός προγραμματισμός

Για να χρησιμοποιήσετε τη γραμμική παρεμβολή (για τον προγραμματισμό γραμμικών κινήσεων), χρησιμοποιήστε την προπαρασκευαστική συνάρτηση G01και να υποδείξετε τις συντεταγμένες του τελικού σημείου κίνησης με δεδομένη ταχύτητα.

G01 X n.n Yn.n Z n.n Fn.n, όπου

Χ, Υ, Ζ– διευθύνσεις γραμμικών αξόνων.

φά- ταχύτητα κίνησης;

Για παράδειγμα, για να προγραμματίσετε μια ευθεία κίνηση από ένα σημείο ΕΝΑακριβώς σιμε ταχύτητα 1000 mm/minείναι απαραίτητο να σχηματιστεί το επόμενο πλαίσιο στο UE.

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Interpolation. Σχετικά με τη συνάρτηση, βλέπε: Interpolant.

Παρεμβολή, παρεμβολή (απόλατ. ιντερπολις - « εξομαλύνθηκε, ανανεώθηκε, ανανεώθηκε. έχει μετατραπεί"") - στα υπολογιστικά μαθηματικά, μια μέθοδος εύρεσης ενδιάμεσων τιμών μιας ποσότητας από ένα υπάρχον διακριτό σύνολο γνωστών τιμών. Ο όρος «interpolation» χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον John Vallis στην πραγματεία του The Arithmetic of the Infinite (1656).

Στη συναρτησιακή ανάλυση, η παρεμβολή γραμμικών τελεστών είναι ένα τμήμα που θεωρεί τους χώρους Banach ως στοιχεία μιας συγκεκριμένης κατηγορίας.

Πολλοί από αυτούς που ασχολούνται με επιστημονικούς και μηχανικούς υπολογισμούς πρέπει συχνά να εργαστούν με σύνολα τιμών που λαμβάνονται εμπειρικά ή με τυχαία δειγματοληψία. Κατά κανόνα, με βάση αυτά τα σύνολα, απαιτείται η κατασκευή μιας συνάρτησης στην οποία θα μπορούσαν να πέσουν άλλες λαμβανόμενες τιμές με υψηλή ακρίβεια. Μια τέτοια εργασία ονομάζεται προσέγγιση. Η παρεμβολή είναι ένας τύπος προσέγγισης στον οποίο η καμπύλη της κατασκευασμένης συνάρτησης διέρχεται ακριβώς από τα διαθέσιμα σημεία δεδομένων.

Υπάρχει επίσης ένα πρόβλημα κοντά στην παρεμβολή, το οποίο συνίσταται στην προσέγγιση κάποιας σύνθετης συνάρτησης από μια άλλη, απλούστερη συνάρτηση. Εάν μια συγκεκριμένη συνάρτηση είναι πολύ περίπλοκη για παραγωγικούς υπολογισμούς, μπορείτε να προσπαθήσετε να υπολογίσετε την τιμή της σε πολλά σημεία και να δημιουργήσετε, δηλαδή να παρεμβάλετε, μια απλούστερη συνάρτηση από αυτά. Φυσικά, η χρήση μιας απλοποιημένης συνάρτησης δεν σας επιτρέπει να έχετε τα ίδια ακριβή αποτελέσματα που θα έδινε η αρχική συνάρτηση. Αλλά σε ορισμένες κατηγορίες προβλημάτων, το κέρδος στην απλότητα και την ταχύτητα των υπολογισμών μπορεί να αντισταθμίσει το προκύπτον σφάλμα στα αποτελέσματα.

Θα πρέπει επίσης να αναφέρουμε ένα εντελώς διαφορετικό είδος μαθηματικής παρεμβολής, που είναι γνωστό ως «παρεμβολή τελεστών». Τα κλασικά έργα για την παρεμβολή τελεστών περιλαμβάνουν το θεώρημα Riesz-Thorin και το θεώρημα Marcinkiewicz, τα οποία αποτελούν τη βάση για πολλές άλλες εργασίες.

Ορισμοί

Θεωρήστε ένα σύστημα μη συμπίπτων σημείων x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) από κάποιο τομέα D ( \displaystyle Δ) . Αφήστε τις τιμές της συνάρτησης f (\displaystyle f) να είναι γνωστές μόνο σε αυτά τα σημεία:

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Το πρόβλημα της παρεμβολής είναι να βρεθεί μια συνάρτηση F (\displaystyle F) από μια δεδομένη κατηγορία συναρτήσεων έτσι ώστε

F (x i) = y i , i = 1 , … , N . (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• Τα σημεία x i (\displaystyle x_(i)) καλούνται κόμβοι παρεμβολής, και η ολότητά τους είναι πλέγμα παρεμβολής.
• Τα ζεύγη (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) ονομάζονται σημεία δεδομένωνή σημεία βάσης.
• Διαφορά μεταξύ "γειτονικών" τιμών · Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - βήμα πλέγματος παρεμβολής. Μπορεί να είναι και μεταβλητό και σταθερό.
• Συνάρτηση F (x) (\displaystyle F(x)) - συνάρτηση παρεμβολήςή παρεμβολή.

Παράδειγμα

1. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση πίνακα όπως η παρακάτω που, για πολλαπλές τιμές του x (\displaystyle x), καθορίζει τις αντίστοιχες τιμές του f (\displaystyle f) :

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Η παρεμβολή μας βοηθά να γνωρίζουμε ποια τιμή μπορεί να έχει μια τέτοια συνάρτηση σε ένα σημείο διαφορετικό από τα καθορισμένα σημεία (για παράδειγμα, όταν Χ = 2,5).

Μέχρι σήμερα, υπάρχουν πολλές διαφορετικές μέθοδοι παρεμβολής. Η επιλογή του καταλληλότερου αλγορίθμου εξαρτάται από τις απαντήσεις στις ερωτήσεις: πόσο ακριβής είναι η επιλεγμένη μέθοδος, ποιο είναι το κόστος χρήσης της, πόσο ομαλή είναι η συνάρτηση παρεμβολής, πόσα σημεία δεδομένων απαιτεί κ.λπ.

2. Βρείτε μια ενδιάμεση τιμή (με γραμμική παρεμβολή).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000))(8000-15,5)(8000-1993)(8000-6000)(8000-10)*6 (8000-6000)(8. 15.5))(1))=16.1993)

Σε γλώσσες προγραμματισμού

Παράδειγμα γραμμικής παρεμβολής για τη συνάρτηση y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Ο χρήστης μπορεί να εισάγει έναν αριθμό μεταξύ 1 και 10.

Fortran

πρόγραμμα interpol ακέραιος i πραγματικός x, y, xv, yv, yv2 διάσταση x(10) διάσταση y(10) κλήση prisv(x, i) κλήση func(x, y, i) γράψε(*,*) "εισαγωγή αριθμού: " read(*,*) xv if ((xv >= 1).and.(xv xv)) τότε yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) Υπορουτίνα / (x(i+1) - x(i))) + y(i) end if end do end

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); double ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpolate X1 - X2"); system("echo Enter αριθμός: "); cin >> ob; system("echo Για παράδειγμα 62, C1 = 60, L1 = 1,31, C2 = 80, L2 = 1,29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2, p1 = y1 - x1, p2 = y2 - x2, pi = p2 / p1, skolko = ob - x1, κατάσταση = x2 + (pi * skolko), cout

Μέθοδοι παρεμβολής

Παρεμβολή πλησιέστερου γείτονα

Η απλούστερη μέθοδος παρεμβολής είναι η παρεμβολή του πλησιέστερου γείτονα.

Παρεμβολή με πολυώνυμα

Στην πράξη, η παρεμβολή με πολυώνυμα χρησιμοποιείται συχνότερα. Αυτό οφείλεται κυρίως στο γεγονός ότι τα πολυώνυμα είναι εύκολο να υπολογιστούν, είναι εύκολο να βρεθούν αναλυτικά οι παράγωγοί τους και το σύνολο των πολυωνύμων είναι πυκνό στο χώρο των συνεχών συναρτήσεων (θεώρημα Weierstrass).

• Γραμμική παρεμβολή
• Ο τύπος παρεμβολής του Νεύτωνα
• Μέθοδος πεπερασμένων διαφορών
• IMN-1 και IMN-2
• Πολυώνυμο Lagrange (πολυώνυμο παρεμβολής)
• Το σχήμα του Aitken
• λειτουργία spline
• κυβικός σφήνας

Αντίστροφη παρεμβολή (υπολογίζοντας το x δεδομένο y)

• Πολυώνυμο Lagrange
• Αντίστροφη παρεμβολή με τον τύπο του Νεύτωνα
• Αντίστροφη παρεμβολή Gauss

Παρεμβολή πολλαπλών μεταβλητών συναρτήσεων

• Διγραμμική παρεμβολή
• Δικυβική παρεμβολή

Άλλες μέθοδοι παρεμβολής

• Ορθολογική παρεμβολή
• Τριγωνομετρική παρεμβολή

Σχετικές έννοιες

• Παρέκταση - μέθοδοι εύρεσης σημείων εκτός ενός δεδομένου διαστήματος (επέκταση καμπύλης)
• Προσέγγιση - μέθοδοι κατασκευής κατά προσέγγιση καμπυλών

Αντίστροφη παρεμβολή

στην κλάση των συναρτήσεων από το χώρο C2 των οποίων οι γραφικές παραστάσεις διέρχονται από τα σημεία του πίνακα (xi, yi), i = 0, 1, . . . , Μ.

Λύση. Μεταξύ όλων των συναρτήσεων που διέρχονται από τα σημεία αναφοράς (xi, f(xi)) και ανήκουν στον αναφερόμενο χώρο, δηλαδή κυβικός σφήναςΤο S(x) που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες S00(a) = S00(b) = 0 παρέχει ένα άκρο (ελάχιστο) του συναρτητικού I(f).

Συχνά στην πράξη υπάρχει πρόβλημα αναζήτησης της δεδομένης τιμής της συνάρτησης της τιμής του ορίσματος. Αυτό το πρόβλημα επιλύεται με μεθόδους αντίστροφης παρεμβολής. Εάν η δεδομένη συνάρτηση είναι μονότονη, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να εκτελέσετε ανάδρομη παρεμβολή είναι να αντικαταστήσετε τη συνάρτηση με ένα όρισμα και το αντίστροφο και στη συνέχεια να παρεμβάλετε. Εάν η δεδομένη συνάρτηση δεν είναι μονότονη, τότε αυτή η τεχνική δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Στη συνέχεια, χωρίς να αλλάξουμε τους ρόλους της συνάρτησης και του ορίσματος, γράφουμε αυτόν ή τον τύπο παρεμβολής. χρησιμοποιώντας τις γνωστές τιμές του ορίσματος και, υποθέτοντας ότι η συνάρτηση είναι γνωστή, λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει ως προς το όρισμα.

Η εκτίμηση του υπολοίπου όρου κατά τη χρήση του πρώτου τέχνασμα θα είναι η ίδια όπως και με την άμεση παρεμβολή, μόνο οι παράγωγοι της άμεσης συνάρτησης πρέπει να αντικατασταθούν από παράγωγους του αντίστροφη συνάρτηση. Ας εκτιμήσουμε το σφάλμα της δεύτερης μεθόδου. Αν μας δοθεί μια συνάρτηση f(x) και η Ln (x) είναι το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange που κατασκευάστηκε για αυτή τη συνάρτηση στους κόμβους x0, x1, x2, . . . , xn, τότε

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x − x0) . . . (x − xn) .

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε μια τιμή x¯ τέτοια ώστε f (¯x) = y¯ (δίδεται y¯). Θα λύσουμε την εξίσωση Ln (x) = y¯ . Ας πάρουμε κάποια τιμή x¯. Αντικαθιστώντας την προηγούμενη εξίσωση, παίρνουμε:

Mn+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Εφαρμόζοντας τον τύπο Langrange, παίρνουμε
(x¯ − x¯) f0 (η) =
όπου η είναι μεταξύ x¯ και x¯. Αν είναι ένα διάστημα που περιέχει x¯ και x¯ και min

από την τελευταία έκφραση προκύπτει:

|x¯ − x¯| 6m1(n + 1)! |$n (x¯)| .

Στην περίπτωση αυτή, φυσικά, υποτίθεται ότι έχουμε λύσει την εξίσωση Ln (x) = y¯ ακριβώς.

Χρήση παρεμβολής για πίνακα

Η θεωρία της παρεμβολής έχει εφαρμογές στη σύνταξη πινάκων συναρτήσεων. Έχοντας λάβει ένα τέτοιο πρόβλημα, ο μαθηματικός πρέπει να λύσει μια σειρά από ερωτήσεις πριν ξεκινήσει τους υπολογισμούς. Πρέπει να επιλεγεί ο τύπος με τον οποίο θα πραγματοποιηθούν οι υπολογισμοί. Αυτός ο τύπος μπορεί να διαφέρει από ιστότοπο σε ιστότοπο. Συνήθως, οι τύποι για τον υπολογισμό των τιμών των συναρτήσεων είναι περίπλοκοι και ως εκ τούτου χρησιμοποιούνται για τη λήψη ορισμένων τιμών αναφοράς και στη συνέχεια, με υποπίνακα, πυκνώνουν τον πίνακα. Ο τύπος που δίνει τις τιμές αναφοράς της συνάρτησης πρέπει να παρέχει την απαιτούμενη ακρίβεια των πινάκων, λαμβάνοντας υπόψη τον ακόλουθο υποπίνακα. Εάν θέλετε να συντάξετε πίνακες με σταθερό βήμα, τότε πρέπει πρώτα να προσδιορίσετε το βήμα του.

Πίσω Πρώτη Προηγούμενη Επόμενη Τελευταία Παράλειψη Ευρετήριο

Τις περισσότερες φορές, οι πίνακες συναρτήσεων συντάσσονται έτσι ώστε να είναι δυνατή η γραμμική παρεμβολή (δηλαδή η παρεμβολή χρησιμοποιώντας τους δύο πρώτους όρους του τύπου Taylor). Σε αυτήν την περίπτωση, ο υπόλοιπος όρος θα μοιάζει

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Εδώ το ξ ανήκει στο διάστημα μεταξύ δύο γειτονικών πινακικών τιμών του ορίσματος στο οποίο βρίσκεται το x, και το t είναι μεταξύ 0 και 1. Το γινόμενο t(t − 1) παίρνει το μεγαλύτερο modulo

τιμή στο t = 12. Αυτή η τιμή είναι ίση με 14. Ετσι,

Πρέπει να θυμόμαστε ότι δίπλα σε αυτό το σφάλμα - το σφάλμα της μεθόδου, στον πρακτικό υπολογισμό των ενδιάμεσων τιμών, θα εξακολουθεί να υπάρχει ένα μη αναστρέψιμο σφάλμα και σφάλμα στρογγυλοποίησης. Όπως είδαμε νωρίτερα, το μοιραίο σφάλμα στη γραμμική παρεμβολή θα είναι ίσο με το σφάλμα των πινακοποιημένων τιμών της συνάρτησης. Το σφάλμα στρογγυλοποίησης θα εξαρτηθεί από τα μέσα υπολογισμού και από το πρόγραμμα υπολογισμού.

Πίσω Πρώτη Προηγούμενη Επόμενη Τελευταία Παράλειψη Ευρετήριο

Ευρετήριο θεμάτων

διαιρούμενες διαφορές δεύτερης τάξης, 8 πρώτης τάξης, 8

σφήνα, 15

κόμβοι παρεμβολής, 4

Πίσω Πρώτη Προηγούμενη Επόμενη Τελευταία Παράλειψη Ευρετήριο

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Πώς να κάνετε παρεμβολή

Τύπος παρεμβολής δεδομένων σε πίνακα

Χρησιμοποιείται στο 2ο βήμα, όταν η ποσότητα NXR (Q, t) από την κατάσταση είναι ενδιάμεσο μεταξύ 100 t και 300 t.

(Εξαίρεση:εάν το Q είναι ίσο με 100 ή 300 κατά συνθήκη, τότε δεν χρειάζεται παρεμβολή).

y ο- Η αρχική σας ποσότητα NHR από την κατάσταση, σε τόνους

(αντιστοιχεί στο γράμμα Q)

y 1 – μικρότερος

(από τους πίνακες 11-16, συνήθως 100).

y 2 – περισσότερο πλησιέστερη στην αξία σας για την ποσότητα NCR, σε τόνους

(από τους πίνακες 11-16, συνήθως 300).

Χ 1 y 1 (Χ 1 που βρίσκεται απέναντι y 1 ), χλμ.

Χ 2 - πίνακας του βάθους διάδοσης ενός νέφους μολυσμένου αέρα (G t), αντίστοιχα y 2 (Χ 2 που βρίσκεται απέναντι y 2 ), χλμ.

Χ 0 - επιθυμητή τιμή σολ Ταντίστοιχος y ο(σύμφωνα με τον τύπο).

Παράδειγμα.

NCR - χλώριο; Q = 120 t;

Τύπος SVSP (βαθμός κάθετης αντίστασης αέρα) - αναστροφή.

Εύρημα σολ Τ- πίνακας τιμής του βάθους εξάπλωσης του νέφους μολυσμένου αέρα.

Εξετάζουμε τους πίνακες 11-16 και βρίσκουμε δεδομένα που ταιριάζουν με την κατάστασή σας (χλώριο, αναστροφή).

Κατάλληλος πίνακας 11.

Επιλογή αξιών y 1 , y 2, Χ 1 , Χ 2 . Σπουδαίος - παίρνουμε την ταχύτητα του ανέμου 1 m / s., παίρνουμε τη θερμοκρασία - 20 ° C.

Αντικαταστήστε τις επιλεγμένες τιμές στον τύπο και βρείτε Χ 0 .

Σπουδαίος - ο υπολογισμός είναι σωστός αν Χ 0 θα έχει μια τιμή κάπου ανάμεσα Χ 1 , Χ 2 .

1.4. Τύπος παρεμβολής Lagrange

Ο αλγόριθμος που προτείνει ο Lagrange για την κατασκευή παρεμβολής

συναρτήσεις σύμφωνα με τους πίνακες (1) προβλέπει την κατασκευή του πολυωνύμου παρεμβολής Ln(x) στη μορφή

Προφανώς, η εκπλήρωση των προϋποθέσεων (11) για το (10) καθορίζει την εκπλήρωση των προϋποθέσεων (2) της δήλωσης του προβλήματος παρεμβολής.

Τα πολυώνυμα li(x) γράφονται ως εξής

Σημειώστε ότι κανένας παράγοντας στον παρονομαστή του τύπου (14) δεν είναι ίσος με μηδέν. Έχοντας υπολογίσει τις τιμές των σταθερών ci, μπορείτε να τις χρησιμοποιήσετε για να υπολογίσετε τις τιμές της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης σε δεδομένα σημεία.

Ο πολυωνυμικός τύπος παρεμβολής Lagrange (11), λαμβάνοντας υπόψη τους τύπους (13) και (14), μπορεί να γραφτεί ως

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Οργάνωση χειροκίνητων υπολογισμών σύμφωνα με τον τύπο Lagrange

Η άμεση εφαρμογή του τύπου Lagrange οδηγεί σε μεγάλο αριθμό υπολογισμών του ίδιου τύπου. Για πίνακες μικρών διαστάσεων, αυτοί οι υπολογισμοί μπορούν να πραγματοποιηθούν τόσο χειροκίνητα όσο και σε περιβάλλον λογισμικού.

Στο πρώτο στάδιο, εξετάζουμε τον αλγόριθμο των υπολογισμών που εκτελούνται χειροκίνητα. Στο μέλλον, οι ίδιοι υπολογισμοί θα πρέπει να επαναληφθούν στο περιβάλλον

Microsoft Excel ή OpenOffice.org Υπολογ.

Στο σχ. Το σχήμα 6 δείχνει ένα παράδειγμα του πίνακα πηγής μιας παρεμβαλλόμενης συνάρτησης που ορίζεται από τέσσερις κόμβους.

Εικ.6. Πίνακας που περιέχει τα αρχικά δεδομένα για τους τέσσερις κόμβους της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης

Στην τρίτη στήλη του πίνακα, γράφουμε τις τιμές των συντελεστών qi που υπολογίζονται με τους τύπους (14). Παρακάτω υπάρχει μια εγγραφή αυτών των τύπων για n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Το επόμενο βήμα στην υλοποίηση των μη αυτόματων υπολογισμών είναι ο υπολογισμός των τιμών li(x) (j=0,1,2,3), που εκτελούνται από τους τύπους (13).

Ας γράψουμε αυτούς τους τύπους για την έκδοση του πίνακα που εξετάζουμε με τέσσερις κόμβους:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

Ας υπολογίσουμε τις τιμές των πολυωνύμων li(xj) (j=0,1,2,3) και ας τις γράψουμε στα κελιά του πίνακα. Οι τιμές της συνάρτησης Ycalc(x), σύμφωνα με τον τύπο (11), θα ληφθούν ως αποτέλεσμα της άθροισης των τιμών του li(xj) σε σειρές.

Η μορφή του πίνακα, ο οποίος περιλαμβάνει στήλες με υπολογισμένες τιμές li(xj) και μια στήλη τιμών Ycalc(x), φαίνεται στο Σχ.8.

Ρύζι. 8. Πίνακας με τα αποτελέσματα των μη αυτόματων υπολογισμών που εκτελούνται από τους τύπους (16), (17) και (11) για όλες τις τιμές του ορίσματος xi

Έχοντας ολοκληρώσει τη διαμόρφωση του πίνακα που φαίνεται στο Σχ. 8, με τους τύπους (17) και (11) είναι δυνατός ο υπολογισμός της τιμής της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης για οποιαδήποτε τιμή του ορίσματος X. Για παράδειγμα, για X=1 υπολογίζουμε τις τιμές li(1) (i= 0,1,2,3):

l0(1)=0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)=0,2966.

Συνοψίζοντας τις τιμές του li(1) παίρνουμε την τιμή Yinterp(1)=3,1463.

1.4.2. Υλοποίηση του αλγορίθμου παρεμβολής από τύπους Lagrange στο περιβάλλον του προγράμματος Microsoft Excel

Η εφαρμογή του αλγορίθμου παρεμβολής ξεκινά, όπως και στους χειροκίνητους υπολογισμούς, γράφοντας τύπους για τον υπολογισμό των συντελεστών qi. Το 9 δείχνει τις στήλες του πίνακα με τις δεδομένες τιμές του ορίσματος, την παρεμβαλλόμενη συνάρτηση και τους συντελεστές qi. Στα δεξιά αυτού του πίνακα βρίσκονται οι τύποι που είναι γραμμένοι στα κελιά της στήλης C για τον υπολογισμό των τιμών των συντελεστών qi.

ВС2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vС5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

Ρύζι. 9 Πίνακας συντελεστών qi και τύποι υπολογισμού

Αφού εισαγάγετε τον τύπο q0 στο κελί C2, τραβιέται μέσα από κελιά από το C3 στο C5. Μετά από αυτό, οι τύποι σε αυτά τα κελιά διορθώνονται σύμφωνα με το (16) στη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 9.

Ycalc(xi),

Υλοποιώντας τους τύπους (17), γράφουμε τύπους για τον υπολογισμό των τιμών li(x) (i=0,1,2,3) στα κελιά των στηλών D, E, F και G. Στο κελί D2 για τον υπολογισμό της τιμής l0(x0), γράφουμε τον τύπο:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

παίρνουμε τις τιμές l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Η μορφή συνδέσμου $A2 σάς επιτρέπει να τεντώσετε τον τύπο κατά μήκος των στηλών E, F, G για να σχηματίσετε υπολογιστικούς τύπους για τον υπολογισμό του li(x0) (i=1,2,3). Η μεταφορά ενός τύπου σε μια γραμμή δεν αλλάζει το ευρετήριο στήλης των ορισμάτων. Για τον υπολογισμό του li(x0) (i=1,2,3) μετά τη σχεδίαση του τύπου l0(x0) είναι απαραίτητο να διορθωθούν σύμφωνα με τους τύπους (17).

Στη στήλη Η βάζουμε τους τύπους του Excel για άθροιση li(x) σύμφωνα με τον τύπο

(11) αλγόριθμος.

Στο σχ. Το 10 δείχνει έναν πίνακα που υλοποιείται στο περιβάλλον προγράμματος Microsoft Excel. Ένα σημάδι της ορθότητας των τύπων που γράφτηκαν στα κελιά του πίνακα και των υπολογιστικών πράξεων που εκτελούνται είναι ο προκύπτων διαγώνιος πίνακας li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), επαναλαμβάνοντας τα αποτελέσματα που φαίνονται στο Σχ. 8, και μια στήλη τιμών που ταιριάζουν με τις τιμές της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης στους κόμβους του αρχικού πίνακα.

Ρύζι. 10. Πίνακας τιμών li(xj) (j=0,1,2,3) και Ycalc(xj)

Για να υπολογίσετε τις τιμές σε ορισμένα ενδιάμεσα σημεία, αρκεί

Στα κελιά της στήλης Α, ξεκινώντας από το κελί A6, εισαγάγετε τις τιμές του ορίσματος X για το οποίο θέλετε να προσδιορίσετε τις τιμές της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης. Αποκορύφωμα

στην τελευταία (5η) γραμμή του πίνακα κελιών από l0(xn) έως Ycalc(xn) και τεντώστε τους τύπους που είναι γραμμένοι στα επιλεγμένα κελιά στη γραμμή που περιέχει το τελευταίο

τη δεδομένη τιμή του ορίσματος x.

Στο σχ. Το 11 δείχνει έναν πίνακα στον οποίο ο υπολογισμός της τιμής της συνάρτησης σε τρία σημεία: x=1, x=2 και x=3. Μια πρόσθετη στήλη με αριθμούς σειρών του πίνακα δεδομένων προέλευσης έχει εισαχθεί στον πίνακα.

Ρύζι. 11. Υπολογισμός των τιμών των παρεμβαλλόμενων συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τύπους Lagrange

Για μεγαλύτερη σαφήνεια εμφάνισης των αποτελεσμάτων παρεμβολής, θα κατασκευάσουμε έναν πίνακα που περιλαμβάνει μια στήλη τιμών του ορίσματος Χ σε αύξουσα σειρά, μια στήλη αρχικών τιμών της συνάρτησης Y(X) και μια στήλη

Πείτε μου πώς να χρησιμοποιήσω τον τύπο παρεμβολής και ποιον στην επίλυση προβλημάτων στη θερμοδυναμική (θερμική μηχανική)

Ιβάν Σεστάκοβιτς

Η απλούστερη, αλλά συχνά όχι επαρκώς ακριβής παρεμβολή είναι γραμμική. Όταν έχετε ήδη δύο γνωστά σημεία (X1 Y1) και (X2 Y2) και πρέπει να βρείτε τις τιμές Y της ημέρας κάποιου X που είναι μεταξύ X1 και X2. Τότε ο τύπος είναι απλός.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Παρεμπιπτόντως, αυτός ο τύπος λειτουργεί επίσης για τιμές X εκτός του διαστήματος X1..X2, αλλά αυτό ονομάζεται ήδη εξώθηση και, σε σημαντική απόσταση από αυτό το διάστημα, δίνει ένα πολύ μεγάλο σφάλμα.
Υπάρχουν πολλά άλλα χαλάκια. μέθοδοι παρεμβολής - Σας συμβουλεύω να διαβάσετε το σχολικό βιβλίο ή να ψάξετε στο διαδίκτυο.
Η μέθοδος της γραφικής παρεμβολής δεν αποκλείεται επίσης - σχεδιάστε χειροκίνητα ένα γράφημα μέσω γνωστών σημείων και βρείτε το Y από το γράφημα για το απαιτούμενο X. ;)

Μυθιστόρημα

Έχεις δύο έννοιες. Και περίπου η εξάρτηση (γραμμική, τετραγωνική, ..)
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης διέρχεται από τα δύο σημεία σας. Χρειάζεστε μια τιμή κάπου στη μέση. Λοιπόν, εξέφρασε!
Για παράδειγμα. Στον πίνακα, σε θερμοκρασία 22 βαθμών, η πίεση κορεσμένων ατμών είναι 120.000 Pa και στους 26, 124.000 Pa. Στη συνέχεια σε θερμοκρασία 23 βαθμών 121000 Pa.

Παρεμβολή (συντεταγμένες)

Υπάρχει ένα πλέγμα συντεταγμένων στον χάρτη (εικόνα).
Έχει μερικά γνωστά σημεία αναφοράς (n>3) με δύο τιμές x,y- συντεταγμένες σε pixel και συντεταγμένες σε μέτρα.
Είναι απαραίτητο να βρούμε ενδιάμεσες τιμές συντεταγμένων σε μέτρα, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες σε pixel.
Η γραμμική παρεμβολή δεν είναι κατάλληλη - πάρα πολλά σφάλματα εκτός γραμμής.
Ως εξής: (Xc - συντεταγμένες σε μέτρα επί x, Xp - συντεταγμένες σε pixel κατά x, Xc3 - επιθυμητή τιμή κατά x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Πώς να βρείτε τον ίδιο τύπο για την εύρεση Xc και Yc, με δεδομένο όχι δύο (όπως εδώ), αλλά N γνωστά σημεία αναφοράς;

Η φτέρη της Τζόκα χαμήλωσε

Κρίνοντας από τους γραπτούς τύπους συμπίπτουν οι άξονες των συστημάτων συντεταγμένων σε pixel και μέτρα;
Δηλαδή, Xp -> Xc παρεμβάλλεται ανεξάρτητα και Yp -> Yc παρεμβάλλεται ανεξάρτητα. Εάν όχι, τότε πρέπει να χρησιμοποιήσετε δισδιάστατη παρεμβολή Xp,Yp->Xc και Xp,Yp->Yc, η οποία περιπλέκει κάπως την εργασία.
Επιπλέον, υποτίθεται ότι οι συντεταγμένες Xp και Xc σχετίζονται με κάποια εξάρτηση.
Εάν η φύση της εξάρτησης είναι γνωστή (ή υποτίθεται, για παράδειγμα, υποθέτουμε ότι Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), τότε είναι δυνατό να ληφθούν οι παράμετροι αυτής της εξάρτησης (για το δεδομένο εξάρτηση α, β, γ) με χρήση ανάλυσης παλινδρόμησης (ελάχιστα τετράγωνα της μεθόδου). Σε αυτή τη μέθοδο, εάν καθορίσετε μια συγκεκριμένη εξάρτηση Xc(Xp), μπορείτε να λάβετε έναν τύπο για τις παραμέτρους της εξάρτησης από τα δεδομένα αναφοράς. Αυτή η μέθοδος επιτρέπει, συγκεκριμένα, να βρεθεί μια γραμμική σχέση που ταιριάζει καλύτερα σε ένα δεδομένο σύνολο δεδομένων.
Μειονέκτημα: Σε αυτή τη μέθοδο, οι συντεταγμένες Xc που λαμβάνονται από τα δεδομένα των σημείων ελέγχου Xp ενδέχεται να διαφέρουν από τις δεδομένες. Όπως για παράδειγμα, η ευθεία προσέγγισης που χαράσσεται μέσα από τα πειραματικά σημεία δεν διέρχεται ακριβώς από αυτά τα ίδια τα σημεία.
Εάν απαιτείται ακριβής αντιστοίχιση και η φύση της εξάρτησης είναι άγνωστη, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν μέθοδοι παρεμβολής. Το απλούστερο μαθηματικά είναι το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange, που διέρχεται ακριβώς από τα σημεία αναφοράς. Ωστόσο, λόγω του υψηλού βαθμού αυτού του πολυωνύμου με μεγάλο αριθμό σημείων ελέγχου και κακής ποιότητας παρεμβολής, είναι καλύτερα να μην το χρησιμοποιήσετε. Το πλεονέκτημα είναι η σχετικά απλή φόρμουλα.
Είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείτε παρεμβολή spline. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι σε κάθε τμήμα μεταξύ δύο γειτονικών σημείων, η εξάρτηση υπό μελέτη παρεμβάλλεται από ένα πολυώνυμο και οι συνθήκες ομαλότητας γράφονται στα σημεία σύνδεσης δύο διαστημάτων. Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι η ποιότητα της παρεμβολής. Μειονεκτήματα - είναι σχεδόν αδύνατο να εξαχθεί ένας γενικός τύπος, πρέπει να βρείτε τους συντελεστές του πολυωνύμου σε κάθε τμήμα αλγοριθμικά. Ένα άλλο μειονέκτημα είναι η δυσκολία γενίκευσης σε 2D παρεμβολή.