Намерете дефиницията на всяка матрица 2x2.Всеки елемент от всяка матрица, включително транспонираната, е свързан със съответна матрица 2x2. За да намерите матрица 2x2, която съответства на определен елемент, зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент, тоест трябва да зачеркнете пет елемента от оригиналната матрица 3x3. Четири елемента, които са елементи на съответната матрица 2x2, ще останат незадраскани.

• Например, за да намерите матрицата 2x2 за елемента, който се намира в пресечната точка на втория ред и първата колона, зачеркнете петте елемента, които са във втория ред и първата колона. Останалите четири елемента са елементи от съответната матрица 2x2.
• Намерете детерминантата на всяка матрица 2x2. За да направите това, извадете произведението на елементите на вторичния диагонал от продукта на елементите на главния диагонал (вижте фигурата).
• Подробна информация за матрици 2x2, съответстващи на определени елементи от матрица 3x3, можете да намерите в Интернет.

Създайте матрица от кофактори.Запишете резултатите, получени по-рано, под формата на нова матрица от кофактори. За да направите това, запишете намерената детерминанта на всяка матрица 2x2, където се намира съответният елемент от матрицата 3x3. Например, ако за елемента (1,1) се разглежда матрица 2x2, запишете нейния детерминант в позиция (1,1). След това сменете знаците на съответните елементи според определен модел, който е показан на фигурата.

• Схема за промяна на знака: знакът на първия елемент от първия ред не се променя; знакът на втория елемент от първия ред е обърнат; знакът на третия елемент от първия ред не се променя и така нататък ред по ред. Моля, обърнете внимание, че знаците "+" и "-", които са показани на диаграмата (виж фигурата), не показват, че съответният елемент ще бъде положителен или отрицателен. В този случай знакът "+" показва, че знакът на елемента не се променя, а знакът "-" показва, че знакът на елемента се е променил.
• Подробна информация за кофакторните матрици може да се намери в Интернет.
• Ето как намирате асоциираната матрица на оригиналната матрица. Понякога се нарича комплексно спрегната матрица. Такава матрица се обозначава като adj(M).

Разделете всеки елемент от присъединената матрица на детерминантата.Детерминантата на матрицата M беше изчислена в самото начало, за да се провери съществуването на обратната матрица. Сега разделете всеки елемент от присъединената матрица на този детерминант. Запишете резултата от всяка операция на деление, където се намира съответният елемент. Така че ще намерите матрицата, обратната на оригинала.

• Детерминантата на матрицата, показана на фигурата, е 1. По този начин тук свързаната матрица е обратната матрица (тъй като разделянето на произволно число на 1 не го променя).
• В някои източници операцията деление се заменя с операцията умножение с 1/det(M). В този случай крайният резултат не се променя.

Запишете обратната матрица.Запишете елементите, разположени в дясната половина на голямата матрица, като отделна матрица, която е обратна матрица.

С помощта на калкулатор

Изберете калкулатор, който работи с матрици.Обикновените калкулатори не могат да намерят обратната матрица, но това може да се направи с добър графичен калкулатор като Texas Instruments TI-83 или TI-86.

Въведете оригиналната матрица в паметта на калкулатора.За да направите това, щракнете върху бутона Матрица, ако е наличен. За калкулатор на Texas Instruments може да се наложи да натиснете бутоните 2nd и Matrix.

Изберете менюто Редактиране.Направете това, като използвате бутоните със стрелки или съответния функционален бутон, разположен в горната част на клавиатурата на калкулатора (местоположението на бутона зависи от модела на калкулатора).

Въведете обозначението на матрицата.Повечето графични калкулатори могат да работят с 3-10 матрици, които могат да бъдат обозначени букви A-J. Като общо правило просто изберете [A], за да обозначите оригиналната матрица. След това натиснете бутона Enter.

Въведете размера на матрицата.Тази статия говори за 3x3 матрици. Но графичните калкулатори могат да работят с големи матрици. Въведете броя на редовете, натиснете бутона Enter, след това въведете броя на колоните и натиснете отново бутона Enter.

Въведете всеки елемент от матрицата.На екрана на калкулатора ще се покаже матрица. Ако дадена матрица вече е въведена в калкулатора, тя ще се появи на екрана. Курсорът ще маркира първия елемент от матрицата. Въведете стойността на първия елемент и натиснете Enter. Курсорът автоматично ще се премести към следващия елемент от матрицата.

1. Намерете детерминантата на оригиналната матрица. Ако , тогава матрицата е изродена и няма обратна матрица. Ако, тогава матрицата е неособена и обратната матрица съществува.

2. Намерете матрицата, транспонирана към.

3. Намираме алгебричните допълнения на елементите и от тях съставяме съпроводената матрица.

4. Съставяме обратната матрица по формулата.

5. Проверяваме правилността на изчислението на обратната матрица , въз основа на нейната дефиниция:.

Пример.Намерете матрицата, обратна на дадената: .

Решение.

1) Матрична детерминанта

.

2) Намираме алгебричните допълнения на матричните елементи и съставяме присъединената матрица от тях:

3) Изчислете обратната матрица:

,

4) Проверете:

№4Ранг на матрицата. Линейна независимост на редовете на матрицата

За решаване и изучаване на редица математически и приложни задачиконцепцията за ранга на матрицата е важна.

В матрица с размер, чрез изтриване на всички редове и колони, могат да се изолират квадратни подматрици от ти ред, където. Детерминантите на такива подматрици се наричат минори от -ти порядък на матрицата .

Например, подматрици от ред 1, 2 и 3 могат да бъдат получени от матрици.

Определение.Рангът на матрица е най-високият порядък на ненулевите второстепенни на тази матрица. Обозначение: или.

От определението следва:

1) Рангът на една матрица не надвишава най-малкия от нейните размери, т.е.

2) тогава и само ако всички елементи на матрицата са равни на нула, т.е.

3) За квадратна матрица n-ти ред, ако и само ако матрицата е неособена.

Тъй като директното изброяване на всички възможни минори на матрицата, като се започне от най-големия размер, е трудно (отнема много време), се използват елементарни трансформации на матрицата, които запазват ранга на матрицата.

Елементарни матрични трансформации:

1) Отхвърляне на нулевия ред (колона).

2) Умножаване на всички елементи на ред (колона) с число.

3) Промяна на реда на редовете (колоните) на матрицата.

4) Добавяне към всеки елемент от един ред (колона) на съответните елементи от друг ред (колона), умножени по произволно число.

5) Транспониране на матрица.

Определение.Матрица, получена от матрица с помощта на елементарни трансформации, се нарича еквивалентна и се обозначава А IN.

Теорема.Рангът на матрицата не се променя при елементарни матрични трансформации.

С помощта на елементарни трансформации може да се доведе матрицата до така наречената стъпкова форма, когато изчисляването на нейния ранг не е трудно.

Матрицата се нарича стъпкова матрица, ако има формата:

Очевидно рангът на стъпковата матрица е равен на броя на ненулевите редове, тъй като има второстепенен ред, не равен на нула:

.

Пример.Определете ранга на матрица с помощта на елементарни трансформации.

Рангът на матрицата е равен на броя на ненулевите редове, т.е. .

№5Линейна независимост на редовете на матрицата

Дадена е матрица на размера

Означаваме редовете на матрицата, както следва:

Двете линии се наричат равен ако съответните им елементи са равни. .

Въвеждаме операциите за умножаване на низ по число и добавяне на низове като операции, извършвани елемент по елемент:

Определение.Редът се нарича линейна комбинация от матрични редове, ако е равен на сумата от произведенията на тези редове с произволни реални числа (всякакви числа):

Определение.Редовете на матрицата се наричат линейно зависими , ако има такива числа, които не са едновременно равни на нула, така че линейната комбинация от матрични редове е равна на нулевия ред:

Където . (1.1)

Линейната зависимост на редовете на матрицата означава, че поне 1 ред от матрицата е линейна комбинация от останалите.

Определение.Ако линейна комбинацияредове (1.1) е нула тогава и само ако всички коефициенти , тогава редовете се извикват линейно независими .

Теорема за ранга на матрицата . Рангът на матрицата е равен на максималния брой нейни линейно независими редове или колони, чрез които всички други редове (колони) са линейно изразени.

Теоремата играе фундаментална роля в матричния анализ, по-специално в изследването на системи от линейни уравнения.

№6Решаване на система от линейни уравнения с неизвестни

Системите от линейни уравнения се използват широко в икономиката.

Системата от линейни уравнения с променливи има формата:

,

където () са извиквани произволни числа коефициенти за променливи И безплатни термини на уравнения , съответно.

Кратък запис: ().

Определение.Решението на системата е такъв набор от стойности, при заместването на които всяко уравнение на системата се превръща в истинско равенство.

1) Системата от уравнения се нарича става ако има поне едно решение и несъвместимиако няма решения.

2) Съвместната система от уравнения се нарича определени ако има уникално решение и несигурен ако има повече от едно решение.

3) Извикват се две системи уравнения еквивалентен (еквивалентен ) , ако имат еднакъв набор от решения (например едно решение).

Методи за намиране на обратната матрица. Помислете за квадратна матрица

Означаваме Δ = detA.

Квадратната матрица A се нарича неизроден,или неспециалниако неговата детерминанта е различна от нула, и изроден,или специален, АкоΔ = 0.

Квадратна матрица B съществува за квадратна матрица A от същия ред, ако техният продукт A B = B A = E, където E е матрицата на идентичност от същия ред като матриците A и B.

Теорема . За да има матрицата A обратна матрица, е необходимо и достатъчно нейната детерминанта да е различна от нула.

Обратна матрица към матрица A, означена с A- 1, така че B = A - 1 и се изчислява по формулата

, (1)

където А i j - алгебрични добавки на елементите a i j на матрицата A..

Изчисляването на A -1 по формула (1) за матрици от висок ред е много трудоемко, така че на практика е удобно да се намери A -1 с помощта на метода на елементарните трансформации (EP). Всяка неособена матрица A може да бъде намалена чрез EP само на колони (или само редове) към матрицата за идентичност E. Ако EP, изпълнени върху матрицата A, се прилагат в същия ред към матрицата за идентичност E, тогава резултатът е обратна матрица. Удобно е да се извърши EP върху матриците A и E едновременно, като се изпишат двете матрици една до друга през линията. Още веднъж отбелязваме, че когато търсите каноничната форма на матрица, за да я намерите, можете да използвате трансформации на редове и колони. Ако трябва да намерите обратната матрица, трябва да използвате само редове или само колони в процеса на трансформация.

Пример 1. За матрица намерете A -1 .

Решение.Първо намираме детерминантата на матрицата A
така че обратната матрица съществува и можем да я намерим по формулата: , където A i j (i,j=1,2,3) - алгебрични допълнения на елементи a i j от оригиналната матрица.

Където .

Пример 2. Използвайки метода на елементарните трансформации, намерете A -1 за матрицата: A=.

Решение.Присвояваме идентична матрица от същия ред на оригиналната матрица вдясно: . С помощта на елементарни трансформации на колони ние редуцираме лявата „половина“ до идентичността, като едновременно с това извършваме точно такива трансформации на дясната матрица.
За да направите това, разменете първата и втората колона: ~ . Добавяме първата към третата колона и първата, умножена по -2, към втората: . От първата колона изваждаме удвоената секунда, а от третата - втората, умножена по 6; . Нека добавим третата колона към първата и втората: . Умножете последната колона по -1: . Квадратната матрица, получена вдясно от вертикалната лента, е обратната матрица на дадената матрица A. И така,
.

Определение 1:Една матрица се нарича изродена, ако нейният детерминант е нула.

Определение 2:Матрицата се нарича неособена, ако нейният детерминант не е равен на нула.

Матрица "А" се нарича обратна матрица, ако е изпълнено условието A*A-1 = A-1 *A = E (матрица на идентичност).

Квадратната матрица е обратима само ако е неособена.

Схема за изчисляване на обратната матрица:

1) Изчислете детерминантата на матрицата "A", ако ∆ A = 0, тогава обратната матрица не съществува.

2) Намерете всички алгебрични допълнения на матрицата "A".

3) Съставете матрица от алгебрични добавки (Aij )

4) Транспонирайте матрицата на алгебричните допълнения (Aij )T

5) Умножете транспонираната матрица по реципрочната стойност на детерминантата на тази матрица.

6) Изпълнете проверка:

На пръв поглед може да изглежда, че е трудно, но всъщност всичко е много просто. Всички решения се основават на прости аритметични операции, основното при решаването е да не се бъркате със знаците "-" и "+" и да не ги губите.

Сега нека решим заедно практическа задача, изчисляване на обратната матрица.

Задача: намерете обратната матрица "A", показана на снимката по-долу:

1. Първото нещо, което трябва да направите, е да намерите детерминантата на матрицата "A":

Обяснение:

Опростихме нашия детерминант, като използвахме основните му функции. Първо добавихме към 2-ри и 3-ти ред елементите от първия ред, умножени по едно число.

Второ, сменихме 2-ра и 3-та колона на детерминантата и според нейните свойства сменихме знака пред нея.

Трето, извадихме общия множител (-1) на втория ред, като по този начин отново променихме знака и той стана положителен. Също така опростихме ред 3 по същия начин, както в самото начало на примера.

Имаме триъгълен детерминант, в който елементите под диагонала са равни на нула, а по свойство 7 той е равен на произведението на елементите на диагонала. В резултат на това получихме ∆ A = 26, следователно съществува обратната матрица.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Следващата стъпка е да се състави матрица от получените добавки:

5. Умножаваме тази матрица по реципрочната стойност на детерминантата, т.е. по 1/26:

6. Е, сега просто трябва да проверим:

По време на проверката получихме идентификационна матрица, следователно решението беше взето абсолютно правилно.

2 начин за изчисляване на обратната матрица.

1. Елементарно преобразуване на матрици

2. Обратна матрица чрез елементарен преобразувател.

Елементарната матрична трансформация включва:

1. Умножаване на низ с различно от нула число.

2. Добавяне към всеки ред на друг ред, умножен по число.

3. Размяна на редовете на матрицата.

4. Прилагайки верига от елементарни трансформации, получаваме друга матрица.

А -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. А -1*A=E

Нека да разгледаме това в практически пример с реални числа.

Упражнение:Намерете обратната матрица.

Решение:

Да проверим:

Малко пояснение за решението:

Първо разменихме редове 1 и 2 на матрицата, след което умножихме първия ред по (-1).

След това първият ред беше умножен по (-2) и добавен към втория ред на матрицата. След това умножихме втория ред по 1/4.

финален етаптрансформациите бяха умножението на втория ред по 2 и събирането от първия. В резултат на това имаме матрица за идентичност отляво, следователно обратната матрица е матрицата отдясно.

След проверка се убедихме в правилността на решението.

Както можете да видите, изчисляването на обратната матрица е много просто.

В заключение на тази лекция бих искал да отделя малко време и на свойствата на такава матрица.

Матрица A -1 се нарича обратна матрица по отношение на матрица A, ако A * A -1 \u003d E, където E е матрицата на идентичност от n-ти ред. Обратната матрица може да съществува само за квадратни матрици.

Сервизно задание. Използвайки тази услуга онлайн, можете да намерите алгебрични добавки, транспонирана матрица A T, обединителна матрица и обратна матрица. Решението се извършва директно на сайта (онлайн) и е безплатно. Резултатите от изчислението се представят в отчет във формат Word и във формат Excel (тоест е възможно да се провери решението). вижте примерен дизайн.

Инструкция. За да получите решение, трябва да посочите размера на матрицата. След това в новия диалогов прозорец попълнете матрицата A .

Вижте също обратна матрица по метода на Йордан-Гаус

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

1. Намиране на транспонираната матрица A T .
2. Дефиниция на алгебрични добавки. Заменете всеки елемент от матрицата с нейното алгебрично допълнение.
3. Компилация на обратна матрица от алгебрични добавки: всеки елемент от получената матрица се разделя на детерминантата на оригиналната матрица. Получената матрица е обратната на оригиналната матрица.

1. Определете дали матрицата е квадратна. Ако не, тогава няма обратна матрица за него.
2. Изчисляване на детерминантата на матрицата A . Ако не е равно на нула, продължаваме решението, в противен случай обратната матрица не съществува.
3. Дефиниция на алгебрични добавки.
4. Попълване на обединителната (взаимна, съпътстваща) матрица C .
5. Компилация на обратната матрица от алгебрични добавки: всеки елемент от присъединената матрица C се разделя на детерминантата на оригиналната матрица. Получената матрица е обратната на оригиналната матрица.
6. Направете проверка: умножете оригиналната и получената матрица. Резултатът трябва да бъде матрица за идентичност.

Пример #1. Записваме матрицата във формата:

Друг алгоритъм за намиране на обратната матрица

1. Намерете детерминантата на дадената квадратна матрица A .
2. Намираме алгебрични добавки към всички елементи на матрицата A .
3. Записваме алгебричните допълнения на елементите на редовете в колоните (транспониране).
4. Разделяме всеки елемент от получената матрица на детерминантата на матрицата A .

Специален случай: Обратната по отношение на матрицата на идентичност E е матрицата на идентичност E .