Цели на урока

• Образователни - повторение, обобщение и проверка на знанията по темата: „Допирателна към окръжност”; развитие на основни умения.
• Развиване - развиване на вниманието на учениците, постоянство, постоянство, логическо мислене, математическа реч.
• Образователни - чрез урок, да се култивира внимателно отношение един към друг, да се внуши способността да се слушат другари, взаимопомощ, независимост.
• Въведете понятието допирателна, допирна точка.
• Разгледайте свойството на тангентата и нейния знак и покажете приложението им при решаване на задачи в природата и техниката.

Цели на урока

• Да се ​​формират умения за изграждане на допирателни с помощта на мащабна линийка, транспортир и чертожен триъгълник.
• Проверете способността на учениците да решават проблеми.
• Осигурете владеене на основните алгоритмични техники за построяване на допирателна към окръжност.
• Изградете умения за прилагане теоретични знаниякъм решаване на проблеми.
• Развиване на мисленето и речта на учениците.
• Работете върху формирането на умения за наблюдение, забелязване на модели, обобщаване, разсъждение по аналогия.
• Култивирайте интерес към математиката.

План на урока

1. Появата на понятието допирателна.
2. Историята на появата на допирателната.
3. Геометрични определения.
4. Основни теореми.
5. Построяване на допирателна към окръжност.
6. Консолидация.

Появата на понятието допирателна

Концепцията за тангенс е една от най-старите в математиката. В геометрията допирателната към окръжност се определя като права линия, която има точно една пресечна точка с тази окръжност. Древните, с помощта на пергел и линейка, са можели да начертаят допирателни към окръжност, а по-късно и към конични сечения: елипси, хиперболи и параболи.

Историята на появата на допирателната

Интересът към тангентите се възражда в съвремието. Тогава бяха открити криви, които не бяха известни на учените от древността. Например Галилей въвежда циклоидата, а Декарт и Ферма построяват допирателна към нея. През първата третина на XVII век. Те започнаха да разбират, че допирателната е права линия, „най-близка“ до крива в малък квартал на дадена точка. Лесно е да си представим ситуация, при която е невъзможно да се построи допирателна към крива в дадена точка (фигура).

Геометрични определения

кръг- геометричното място на точки от равнината, равноотдалечени от дадена точка, наречени неин център.

кръг.

Свързани определения

• Отсечката, свързваща центъра на окръжността с която и да е точка от нея (а също и дължината на тази отсечка), се нарича радиускръгове.
• Частта от равнината, ограничена от окръжност, се нарича наоколо.
• Отсечка, която свързва две точки от окръжност, се нарича акорд. Хордата, минаваща през центъра на окръжността, се нарича диаметър.
• Всякакви две несъвпадащи точки от окръжността я разделят на две части. Всяка от тези части се нарича дъгакръгове. Мярката на дъга може да бъде мярката на съответния централен ъгъл. Дъгата се нарича полукръг, ако сегментът, свързващ краищата й, е диаметър.
• Права, която има точно една обща точка с окръжност, се нарича допирателнакъм окръжността, а общата им точка се нарича допирна точка на правата и окръжността.
• Нарича се права, минаваща през две точки от окръжност секуща.
• Централен ъгъл в кръг е плосък ъгъл с връх в центъра му.
• Ъгъл, чийто връх лежи върху окръжност и чиито страни пресичат окръжността, се нарича вписан ъгъл.
• Две окръжности, които имат общ център, се наричат концентричен.

Допирателна права- права линия, минаваща през точка от кривата и съвпадаща с нея в тази точка до първи ред.

Допирателна към окръжностПрава, която има една обща точка с окръжност, се нарича.

Права линия, минаваща през точка от окръжност в същата равнина, перпендикулярна на радиуса, начертан до тази точка, наречена допирателна. В този случай тази точка от окръжността се нарича точка на контакт.

Когато в нашия случай "а" е права линия, която е допирателна към дадената окръжност, точката "А" е допирната точка. В този случай a ⊥ OA (правата a е перпендикулярна на радиуса OA).

Казват, че два кръга се докосватако имат една обща точка. Тази точка се нарича допирателна точка на окръжности. Чрез допирателна точка може да се начертае допирателна към една от окръжностите, която също е допирателна към другата окръжност. Допирането на окръжностите е вътрешно и външно.

Допирателната се нарича вътрешна, ако центровете на окръжностите лежат от една и съща страна на допирателната.

Допирателната се нарича външна, ако центровете на окръжностите лежат на противоположните страни на допирателната

a е обща допирателна към две окръжности, K е допирна точка.

Основни теореми

Теоремаза тангенса и секанса

Ако допирателната и секущата са изтеглени от точка, разположена извън окръжността, тогава квадратът на дължината на допирателната е равен на произведението на секущата и нейната външна част: MC 2 = MA MB.

Теорема.Радиусът, начертан към допирателната точка на окръжността, е перпендикулярен на допирателната.

Теорема.Ако радиусът е перпендикулярен на линията в пресечната точка на окръжността, тогава тази линия е допирателна към тази окръжност.

Доказателство.

За да докажем тези теореми, трябва да си спомним какво е перпендикуляр от точка към права. Това е най-късото разстояние от тази точка до тази линия. Нека приемем, че OA не е перпендикулярна на допирателната, но има права линия OC, перпендикулярна на допирателната. Дължината на ОС включва дължината на радиуса и определен сегмент BC, който със сигурност е по-голям от радиуса. Така може да се докаже за всяка линия. Заключаваме, че радиусът, радиусът, прекаран до точката на контакт, е най-късото разстояние до допирателната от точката O, т.е. OS е перпендикулярна на допирателната. При доказателството на обратната теорема ще изхождаме от факта, че допирателната има само една обща точка с окръжността. Нека дадената права има още една обща точка B с окръжността. Триъгълникът AOB е правоъгълен и двете му страни са равни като радиуси, което не може да бъде. Така получаваме, че дадената права няма повече общи точки с окръжността освен точката A, т.е. е допирателна.

Теорема.Сегментите на допирателните, изтеглени от една точка към окръжността, са равни, а правата линия, свързваща тази точка с центъра на окръжността, разделя ъгъла между допирателните на хитове.

Доказателство.

Доказателството е много просто. Използвайки предишната теорема, ние твърдим, че OB е перпендикулярна на AB, а OS е перпендикулярна на AC. Правоъгълните триъгълници ABO и ACO са равни по катет и хипотенуза (OB = OS - радиуси, AO - общо). Следователно техните катети AB = AC и ъглите OAC и OAB също са равни.

Теорема.Стойността на ъгъла, образуван от допирателна и хорда с обща точка върху окръжност, е равна на половината от ъгловата стойност на дъгата, затворена между нейните страни.

Доказателство.

Помислете за ъгъла NAB, образуван от допирателната и хордата. Начертайте диаметъра AC. Допирателната е перпендикулярна на диаметъра, прекаран до точката на контакт, следователно ∠CAN=90 o. Познавайки теоремата, виждаме, че ъгълът алфа (a) е равен на половината от ъгловата величина на дъгата BC или половината от ъгъла BOC. ∠NAB=90 o -a, следователно получаваме ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB или = половината от ъгловата стойност на дъгата BA. h.t.d.

Теорема.Ако допирателната и секущата са начертани от точка към окръжност, тогава квадратът на сегмента на допирателната от дадената точка до точката на допиране е равен на произведението на дължините на сегментите на секущата от дадената посочете точките на пресичането му с окръжността.

Доказателство.

На фигурата тази теорема изглежда така: MA 2 \u003d MV * MS. Нека го докажем. Според предишната теорема ъгълът MAC е равен на половината от ъгловия размер на дъгата AC, но също така ъгълът ABC е равен на половината от ъгловия размер на дъгата AC, съгласно теоремата, следователно тези ъгли са равни на взаимно. Като вземем предвид факта, че триъгълниците AMC и VMA имат общ ъгъл при върха M, заявяваме сходството на тези триъгълници в два ъгъла (вторият знак). От приликата имаме: MA / MB = MC / MA, от което получаваме MA 2 \u003d MB * MC

Построяване на допирателни към окръжност

А сега нека се опитаме да го разберем и да разберем какво трябва да се направи, за да се изгради допирателна към окръжност.

В този случай по правило в задачата са дадени кръг и точка. И ти и аз трябва да построим допирателна към окръжността, така че тази допирателна да минава през дадена точка.

В случай, че не знаем местоположението на точката, тогава нека разгледаме случаите на възможното местоположение на точките.

Първо, точката може да бъде вътре в кръг, който е ограничен от дадения кръг. В този случай не е възможно да се построи допирателна през тази окръжност.

Във втория случай точката е върху окръжност и можем да изградим допирателна, като начертаем перпендикуляр на радиуса, който е начертан до известната ни точка.

Трето, нека приемем, че точката е извън окръжността, която е ограничена от окръжност. В този случай, преди да се построи допирателната, е необходимо да се намери точка на окръжността, през която трябва да премине допирателната.

С първия случай, надявам се, че разбирате всичко, но за да решим втория вариант, трябва да изградим отсечка на правата линия, върху която лежи радиусът. Този сегмент трябва да е равен на радиуса и сегмента, който лежи върху окръжността, от противоположната страна.

Тук виждаме, че точка от окръжност е средата на сегмент, който е равен на два пъти радиуса. Следващата стъпка е да нарисувате два кръга. Радиусите на тези кръгове ще бъдат равни на два пъти радиуса на оригиналния кръг, с центрове в краищата на сегмента, който е равен на два пъти радиуса. Сега можем да начертаем права линия през всяка пресечна точка на тези окръжности и дадена точка. Такава права линия е медианата, перпендикулярна на радиуса на окръжността, която е начертана в началото. Така виждаме, че тази права е перпендикулярна на окръжността и от това следва, че тя е допирателна към окръжността.

В третия вариант имаме точка, лежаща извън окръжността, която е ограничена от окръжност. В този случай първо конструираме отсечка, която ще свързва центъра на предоставената окръжност и дадената точка. И тогава намираме средата му. Но за това трябва да построите перпендикулярна ъглополовяща. И вече знаете как да го изградите. След това трябва да начертаем кръг или поне част от него. Сега виждаме, че пресечната точка на дадената окръжност и новопостроената е точката, през която минава допирателната. Той също минава през точката, която е зададена от условието на проблема. И накрая, през двете точки, които вече познавате, можете да начертаете допирателна.

И накрая, за да докажем, че правата, която построихме, е допирателна, трябва да обърнете внимание на ъгъла, който е образуван от радиуса на окръжността и отсечката, известна от условието и свързваща пресечната точка на кръгове с точката, дадена от условието на задачата. Сега виждаме, че полученият ъгъл лежи върху полукръг. И от това следва, че този ъгъл е прав. Следователно радиусът ще бъде перпендикулярен на новопостроената права, а тази права е допирателната.

Построяване на допирателна.

Конструирането на допирателни е един от онези проблеми, довели до раждането на диференциалното смятане. Първата публикувана работа, свързана с диференциалното смятане, написана от Лайбниц, е озаглавена „Нов метод на максимуми и минимуми, както и допирателни, за които нито дробни, нито ирационални количества са пречка, и специален вид смятане за това.“

Геометричните знания на древните египтяни.

Ако не вземем предвид много скромния принос на древните жители на долината между Тигър и Ефрат и Мала Азия, тогава геометрията произхожда от древен Египет преди 1700 г. пр.н.е. По време на сезона на тропическите дъждове Нил попълни запасите си от вода и се наводни. Водата покри петна от обработваема земя и за данъчни цели беше необходимо да се установи колко земя е загубена. Геодезистите използваха плътно опънато въже като инструмент за измерване. Друг стимул за натрупването на геометрични знания от египтяните са техните дейности като изграждането на пирамиди и изобразителното изкуство.

Нивото на геометрични познания може да се съди по древни ръкописи, които са специално посветени на математиката и са нещо като учебници или по-скоро задачи, където се дават решения на различни практически задачи.

Най-старият математически ръкопис на египтяните е копиран от определен ученик между 1800 - 1600 г. пр.н.е. от по-стар текст. Папирусът е открит от руския египтолог Владимир Семенович Голенишчев. Съхранява се в Москва – в Музея изящни изкуствакръстен на A.S. Пушкин и се нарича Московски папирус.

Друг математически папирус, написан двеста-триста години по-късно от Москва, се пази в Лондон. Нарича се: „Инструкция как да се постигне знание за всички тъмни неща, всички тайни, които крият неща в себе си ... Според старите паметници, писарят Ахмес е написал това.“ и купи този папирус в Египет. Папирусът на Амес дава решението на 84 задачи за различни изчисления, които може да са необходими на практика.

Трансекти, тангенти - всичко това може да се чуе стотици пъти в уроците по геометрия. Но завършването на училище свърши, годините минават и всички тези знания се забравят. Какво трябва да се помни?

Същност

Терминът "допирателна към окръжност" вероятно е познат на всички. Но е малко вероятно всеки да може бързо да формулира определението му. Междувременно допирателната е такава права линия, лежаща в една и съща равнина с окръжност, която я пресича само в една точка. Може да има огромно разнообразие от тях, но всички те имат едни и същи свойства, които ще бъдат обсъдени по-долу. Както може би се досещате, точката на контакт е мястото, където се пресичат кръгът и линията. Във всеки конкретен случайтя е една, но ако са повече от тях, тогава ще бъде секанс.

История на откритието и изследването

Концепцията за тангенс се появява в древността. Изграждането на тези прави линии, първо до кръг, а след това до елипси, параболи и хиперболи с помощта на линийка и компас, се извършва още в началните етапи от развитието на геометрията. Разбира се, историята не е запазила името на откривателя, но е очевидно, че дори по това време хората са били доста наясно със свойствата на допирателната към окръжност.

В днешно време интересът към този феномен отново се разпали - започна нов кръг от изучаване на тази концепция, съчетан с откриването на нови криви. И така, Галилей въвежда концепцията за циклоида, а Ферма и Декарт построяват допирателна към нея. Що се отнася до кръговете, изглежда, че не са останали тайни за древните в тази област.

Имоти

Радиусът, начертан до точката на пресичане, ще бъде

основното, но не единственото свойство, което има допирателната към окръжност. Друга важна характеристика включва вече две прави линии. Така че през една точка, лежаща извън кръга, могат да се начертаят две допирателни, докато техните сегменти ще бъдат равни. Има още една теорема по тази тема, но тя рядко се пропуска в рамките на стандарта училищен курс, въпреки че е изключително удобен за решаване на някои проблеми. Звучи така. От една точка, разположена извън окръжността, към нея се провеждат допирателна и секанс. Образуват се отсечки AB, AC и AD. A е пресечната точка на линиите, B е точката на контакт, C и D са пресечните точки. В този случай ще бъде валидно следното равенство: дължината на допирателната към окръжността в квадрат ще бъде равна на произведението на сегментите AC и AD.

Има важна последица от горното. За всяка точка от окръжността можете да построите допирателна, но само една. Доказателството за това е съвсем просто: теоретично пускайки перпендикуляр от радиуса върху него, откриваме, че образуваният триъгълник не може да съществува. И това означава, че допирателната е уникална.

Сграда

Сред другите задачи по геометрия има специална категория, като правило не

предпочитан от ученици и студенти. За решаване на задачи от тази категория ви трябват само пергел и линийка. Това са строителни задачи. Съществуват и методи за конструиране на допирателна.

И така, дадена е окръжност и точка, лежаща извън нейните граници. И е необходимо да се направи допирателна през тях. Как да го направим? На първо място, трябва да начертаете сегмент между центъра на кръга O и дадена точка. След това с компас го разделете наполовина. За да направите това, трябва да зададете радиуса - малко повече от половината от разстоянието между центъра на оригиналния кръг и дадената точка. След това трябва да изградите две пресичащи се дъги. Освен това радиусът на компаса не трябва да се променя и центърът на всяка част от кръга ще бъде съответно началната точка и O. Пресечните точки на дъгите трябва да бъдат свързани, което ще раздели сегмента наполовина. Задайте радиус на компаса, равен на това разстояние. След това, с центъра в пресечната точка, нарисувайте друг кръг. Върху нея ще лежи както началната точка, така и О. В този случай ще има още две пресечни точки с окръжността, дадена в задачата. Те ще бъдат допирните точки за първоначално зададената точка.

Това беше изграждането на допирателни към кръга, което доведе до раждането

диференциално смятане. Първият труд на тази тема е публикуван от известния немски математик Лайбниц. Той предвиди възможността за намиране на максимуми, минимуми и допирателни, независимо от дробни и ирационални стойности. Е, сега се използва и за много други изчисления.

Освен това допирателната към окръжността е свързана с геометричния смисъл на допирателната. Оттам идва и името му. В превод от латински tangens означава „допирателна“. Така тази концепция е свързана не само с геометрията и диференциалното смятане, но и с тригонометрията.

Два кръга

Допирателната не винаги засяга само една фигура. Ако огромен брой прави линии могат да бъдат начертани в един кръг, тогава защо не и обратното? Мога. Но задачата в този случай е сериозно усложнена, тъй като допирателната към две окръжности може да не минава през никакви точки и взаимното разположение на всички тези фигури може да бъде много

различен.

Видове и разновидности

Когато става въпрос за две окръжности и една или повече прави линии, дори да се знае, че това са допирателни, не става веднага ясно как са разположени всички тези фигури една спрямо друга. Въз основа на това има няколко разновидности. И така, окръжностите могат да имат една или две общи точки или изобщо да ги нямат. В първия случай те ще се пресичат, а във втория ще се докоснат. И тук има две разновидности. Ако един кръг е, така да се каже, вграден във втория, тогава докосването се нарича вътрешно, ако не, тогава външно. Можете да разберете относителното положение на фигурите не само въз основа на чертежа, но и като имате информация за сумата от техните радиуси и разстоянието между техните центрове. Ако тези две количества са равни, тогава кръговете се докосват. Ако първият е по-голям, те се пресичат, а ако е по-малък, тогава нямат общи точки.

Същото и с правите линии. За всеки две окръжности, които нямат общи точки, може

изградете четири допирателни. Две от тях ще се пресичат между фигурите, те се наричат ​​вътрешни. Няколко други са външни.

Ако говорим за кръгове, които имат една обща точка, тогава задачата е значително опростена. Въпросът е, че за всяка относителна позицияв този случай те ще имат само една допирателна. И ще премине през точката на тяхното пресичане. Така че изграждането на трудността няма да причини.

Ако фигурите имат две точки на пресичане, тогава за тях може да се построи права линия, допирателна към окръжността, както едната, така и втората, но само външната. Решението на този проблем е подобно на това, което ще бъде обсъдено по-долу.

Разрешаване на проблем

Както вътрешните, така и външните допирателни към две окръжности не са толкова прости в конструкцията, въпреки че този проблем може да бъде решен. Факт е, че за това се използва спомагателна фигура, така че помислете сами за този метод

доста проблематично. И така, дадени са две окръжности с различни радиуси и центрове O1 и O2. За тях трябва да изградите две двойки допирателни.

На първо място, близо до центъра на по-големия кръг, трябва да изградите спомагателен. В този случай разликата между радиусите на двете начални фигури трябва да се установи на компаса. От центъра на по-малката окръжност се изграждат допирателни към спомагателната окръжност. След това от O1 и O2 се изчертават перпендикуляри към тези линии, докато се пресекат с оригиналните фигури. Както следва от основното свойство на допирателната, желаните точки на двете окръжности са намерени. Проблемът е решен поне първата му част.

За да се построят вътрешните допирателни, трябва да се реши практически

подобна задача. Отново е необходима спомагателна фигура, но този път нейният радиус ще бъде равен на сумата от първоначалните. Към него са построени допирателни от центъра на една от дадените окръжности. По-нататъшният ход на решението може да се разбере от предишния пример.

Допирателната към окръжност или дори две или повече не е толкова трудна задача. Разбира се, математиците отдавна са престанали да решават подобни проблеми ръчно и се доверяват на изчисленията специални програми. Но не мислете, че сега не е необходимо да можете да го направите сами, защото за да формулирате правилно задача за компютър, трябва да направите и разберете много. За съжаление има опасения, че след окончателното преминаване към тестовата форма на контрол на знанията задачите за конструиране ще създават все повече трудности на учениците.

Що се отнася до намирането на общи допирателни за повече окръжности, това не винаги е възможно, дори и да лежат в една равнина. Но в някои случаи е възможно да се намери такава линия.

Примери от реалния живот

В практиката често се среща обща допирателна към две окръжности, въпреки че това не винаги се забелязва. Конвейери, блокови системи, ролкови предавателни ремъци, обтягане на конци шевна машина, и дори само верига за велосипеди - всичко това са примери от живота. Така че не си мислете, че геометричните задачи остават само на теория: в инженерството, физиката, строителството и много други области те намират практическо приложение.

точки $x\_0\backslash in\; \backslash mathbb(R)$, и е диференцируем в него: $f\; \backslash in\; \backslash mathcal(D)(x\_0)$. Тангента към графиката на функция $f$в точката $x\_0$се нарича графика на линейна функция, дадена от уравнението $y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0),\backslash quad\; x\backslash in\; \backslash mathbb(R)$.

Ако функцията $f$има в точката $x\_0$безкрайна производна $f"(x\_0)\; =\; \backslash pm\backslash infty,$тогава допирателната в тази точка е вертикалната линия, дадена от уравнението $x\; =\; x\_0.$

Коментирайте

Пряко от определението следва, че графиката на допирателната минава през точката $(x\_0,f(x\_0))$. Ъгъл $\backslash алфа$между допирателната към кривата и оста x удовлетворява уравнението

$\backslash име\; на\; оператора(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0)=k,$

Където $\backslash име\; на\; оператора(tg)$означава допирателна и $име\; на\; оператор\; (k)$- коефициент на наклона на тангентата. Производна в точка $x\_0$е равно на ъглов коефициентдопирателна към графиката на функцията $y\; =\; f(x)$в този момент.

Тангенса като гранично положение на секанс

Позволявам $f\backslash колон\; U(x\_0)\; \backslash до\; \backslash R$И $x\_1\backslash in\; U(x\_0).$След това права линия, минаваща през точките $(x\_0,f(x\_0))$И $(x\_1,f(x\_1))$дадено от уравнението

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0)(x-x\_0).$

Тази права минава през точката $(x\_0,f(x\_0))$за всеки $x\_1\backslash in\; U(x\_0),$и неговия ъгъл на наклон $\backslash alpha(x\_1)$удовлетворява уравнението

$\backslash име\; на\; оператор(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0).$

Поради наличието на производна на функцията $f$в точката $x\_0,$преминавайки до границата при $x\_1\backslash до\; x\_0,$разбираме, че има ограничение

$\backslash lim\backslash limits\_(x\_1\; \backslash to\; x\_0)\; \backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; f"(x\_0),$

и поради непрекъснатостта на аркутангенса и граничния ъгъл

$\backslash алфа\; =\; \backslash име\; на\; оператор(arctg)\backslash ,f"(x\_0).$

Права, минаваща през точка $(x\_0,f(x\_0))$и имащ граничен ъгъл на наклон, който удовлетворява $\backslash име\; на\; оператор(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0),$се дава от уравнението на допирателната:

$y\; \backslash u003d\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "(x\_0)\; (x-x\_0).$

Допирателна към окръжност

Права, която има една обща точка с окръжност и лежи в една равнина с нея, се нарича допирателна към окръжността.

Имоти

1. Допирателната към окръжността е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на контакт.
2. Отсечките от допирателните към окръжността, изтеглени от една точка, са равни и сключват равни ъгли с правата, минаваща през тази точка, и центъра на окръжността.
3. Дължината на отсечката от допирателната, начертана към окръжност с единичен радиус, взета между точката на допирателна и точката на пресичане на допирателната с лъча, изтеглен от центъра на окръжността, е тангенса на ъгъла между този лъч и посоката от центъра на окръжността до точката на допир. "Tangens" от лат. допирателни- "тангента".

Вариации и обобщения

Едностранни полудопирателни

• Ако има дясна производна Че дясна полудопирателнакъм графиката на функцията $f$в точката $x\_0$наречен лъч

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_+(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash geqslant\; x\_0.$

• Ако има лява производна Че лява полудопирателнакъм графиката на функцията $f$в точката $x\_0$наречен лъч

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_-(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash leqslant\; x\_0.$

• Ако има безкрайна дясна производна $f"\_+(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ $f$в точката $x\_0$наречен лъч

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash geqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash leqslant\; f(x\_0)).$

• Ако има безкрайна лява производна $f"\_-(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$след това дясната полудопирателна към графиката на функцията $f$в точката $x\_0$наречен лъч

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash leqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash geqslant\; f(x\_0)).$

Вижте също

• Нормално, бинормално

Напишете отзив за статията "Допирателна линия"

Литература

• Топоногов В. А.Диференциална геометрия на криви и повърхнини. - Физматкнига, 2012. - ISBN 9785891552135.
• // Енциклопедичен речник на Брокхаус и Ефрон: в 86 тома (82 тома и 4 допълнителни). - Санкт Петербург. , 1890-1907.

Откъс, характеризиращ допирателната

- На места! - извика млад офицер към войниците, събрани около Пиер. Този млад офицер, очевидно, изпълняваше длъжността си за първи или втори път и затова се отнасяше както към войниците, така и към командира с особена отчетливост и еднообразие.
Непостоянната стрелба на оръдия и пушки се засили по цялото поле, особено отляво, където бяха светкавиците на Багратион, но поради дима от изстрели от мястото, където беше Пиер, беше почти невъзможно да се види нищо. Освен това наблюденията за това как семеен (отделен от всички останали) кръг от хора, които са били на батерията, поглъщат цялото внимание на Пиер. Първото му несъзнателно радостно вълнение, породено от гледката и звуците на бойното поле, сега беше заменено, особено след вида на този самотен войник, лежащ на поляната, от друго чувство. Седнал сега на склона на рова, той наблюдаваше лицата около себе си.
До десет часа двадесет души вече бяха отнесени от батареята; две оръдия бяха счупени, нови и нови снаряди удряха батареята и летяха, бръмчейки и свистейки, далекобойни куршуми. Но хората, които бяха на батерията, изглежда не забелязаха това; от всички страни се чуваше весел разговор и шеги.
- Чиненко! - извика войникът на приближаващата, свистяща граната. - Не тук! Към пехотата! - добави през смях друг, като забеляза, че гранатата прелетя и удари редиците на прикритието.
- Какъв приятел? - засмя се друг войник на приклекналия селянин под летящото гюле.
Няколко войници се събраха на крепостната стена, гледайки какво става отпред.
„И те свалиха веригата, виждате ли, върнаха се обратно“, казаха те, сочейки над вала.
„Гледайте си работата“, извика им старият подофицер. - Те се върнаха, което означава, че има работа обратно. - И подофицерът, като хвана един от войниците за рамото, го блъсна с коляно. Чу се смях.
- Прехвърлете се до петия пистолет! — извика от една страна.
„Заедно, по-приятелски, по бурлашки“, чуха се веселите викове на сменилите оръжието.
„Да, почти съборих шапката на господаря ни“, засмя се червеноликият шегаджия на Пиер, показвайки зъбите си. „О, тромаво“, добави той укорително към топката, попаднала в колелото и крака на човек.
- Е, лисици! друг се смееше на гърчещите се милиционери, които влизаха в батареята за ранените.
- Ал не е ли вкусна каша? Ах, гарвани, залюляха се! - викаха те на опълченците, които се колебаеха пред войник с отрязан крак.
„Нещо такова, малкия“, имитираха селяните. - Те не обичат страстта.
Пиер забеляза как след всеки удар, след всяка загуба, все повече и повече пламваше общо оживление.
Като от настъпващ гръмотевичен облак, все по-ярко и по-ярко проблясваха по лицата на всички тези хора (сякаш в отблъскване на случващото се) мълнии от скрит, пламнал огън.
Пиер не гледаше напред на бойното поле и не се интересуваше какво се случва там: той беше напълно погълнат от съзерцаването на този все по-разгарящ се огън, който по същия начин (почувства) пламна в душата му.
В десет часа пехотните войници, които бяха пред батареята в храстите и покрай река Каменка, отстъпиха. От батареята се виждаше как те тичаха назад покрай нея, носейки ранените на оръжията си. Някакъв генерал със свитата си влезе в могилата и след разговор с полковника, гледайки гневно Пиер, слезе отново, като нареди на пехотното прикритие, което стоеше зад батареята, да легне, за да бъде по-малко изложено на изстрели. След това в редиците на пехотата, вдясно от батареята, се чу барабан, командни викове и от батареята ясно се разбра как редиците на пехотата се придвижват напред.
Пиер погледна над шахтата. Едно лице особено привлече вниманието му. Беше офицер, който с бледо младо лице вървеше назад, носеше спуснат меч и се оглеждаше неспокойно.
Редиците на пехотните войници изчезнаха в дима, чуха се протяжните им викове и честите гърмежи. Няколко минути по-късно оттам минаха тълпи от ранени и носилки. Снарядите започнаха да удрят батерията още по-често. Няколко души лежаха непочистени. В близост до оръдията войниците се движеха по-оживени и оживени. Никой вече не обръщаше внимание на Пиер. Веднъж или два пъти му се развикаха ядосано, че е на пътя. Старшият офицер, с намръщено лице, се придвижваше с големи, бързи стъпки от един пистолет към друг. Младият офицер, почервенял още повече, командваше още по-усърдно войниците. Войниците стреляха, обръщаха, зареждаха и вършеха работата си с интензивна размах. Подскачаха по пътя, като на пружини.

Определение. Допирателна към окръжност е права линия в равнината, която има точно една обща точка с окръжността.

Ето няколко примера:

Кръг с център Одокосва права линия лв точката А Отвсякъде МИзвън окръжността могат да бъдат начертани точно две допирателни разлика между тангенс л, секанс пр.н.еи директно м, която няма общи точки с окръжността

Това може да е краят, но практиката показва, че не е достатъчно само да запомните определението - трябва да се научите да виждате допирателните в чертежите, да знаете техните свойства и освен това как да практикувате използването на тези свойства при решаване на реални задачи . С всичко това ще се занимаваме днес.

Основни свойства на тангентите

За да разрешите всякакви проблеми, трябва да знаете четири ключови свойства. Два от тях са описани във всеки справочник / учебник, но последните два са някак си забравени, но напразно.

1. Отсечките на допирателните, прекарани от една точка, са равни

Малко по-нагоре вече говорихме за две допирателни, изтеглени от една точка М. И така:

Отсечките на допирателните към окръжността, прекарани от една точка, са равни.

Сегменти сутринтаИ BMравен

2. Допирателната е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на контакт

Нека погледнем отново снимката по-горе. Нека начертаем радиусите ОАИ ОВ, след което установяваме, че ъглите OAMИ OBM- прав.

Радиусът, начертан към допирателната, е перпендикулярен на допирателната.

Този факт може да се използва без доказателство при всеки проблем:

Радиусите, начертани към допирателната точка, са перпендикулярни на допирателните

Между другото, забележете: ако нарисувате сегмент ОМ, тогава получаваме два равни триъгълника: OAMИ OBM.

3. Връзка между тангенс и секанс

Но това е по-сериозен факт и повечето ученици не го знаят. Помислете за допирателна и секанс, които минават през една и съща обща точка М. Естествено, секансът ще ни даде два сегмента: вътре в кръга (сегмент пр.н.е- нарича се още акорд) и отвън (така се нарича - външната част MC).

Произведението на целия секанс от външната му част е равно на квадрата на допирателната отсечка

Връзка между секанс и тангенс

4. Ъгъл между допирателната и хордата

Още по-напреднал факт, който често се използва за решаване на сложни проблеми. Силно препоръчвам да го вземете на борда.

Ъгълът между допирателна и хорда е равен на вписания ъгъл върху тази хорда.

Откъде идва точката б? При реални проблеми обикновено "изскача" някъде в условието. Ето защо е важно да се научите да разпознавате тази конфигурация в чертежите.

Понякога все още важи :)

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост – по закон, по съдебен ред, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.