Полиедърът се нарича вписан в сфера, ако всичките му върхове принадлежат на тази сфера. Самата сфера се нарича описана близо до полиедъра.

Теорема. Сфера може да бъде описана близо до пирамида тогава и само ако около основата на тази пирамида може да бъде описана окръжност.

Полиедри, вписани в сфера

Теорема. Сфера може да бъде описана около призма тогава и само ако окръжност може да бъде описана близо до основата на тази призма. Центърът му ще бъде точка О, което е средата на сегмента, свързващ центровете на описаните окръжности в близост до основите на призмата. Радиус на сферата Ризчислено по формулата

Където че височината на призмата, rе радиусът на окръжността, описана близо до основата на призмата.

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение 1

Възможно ли е да се опише сфера около правоъгълен паралелепипед?

Отговор: Да. Центърът му е точката на пресичане на диагоналите, а радиусът е равен на половината от диагонала на паралелепипеда

Упражнение 2

Възможно ли е да се опише сфера около наклонен паралелепипед, чиито лица са ромби?

Отговор: Не.

Упражнение 3

Възможно ли е да се опише сфера близо до наклонена призма?

Отговор: Не.

Упражнение 4

Може ли центърът на сфера, описана около призма, да бъде извън призмата?

Отговор: Да, ако основата на призмата е тъп триъгълник.

Упражнение 5

Може ли центърът на сфера, описана около пирамида, да бъде извън тази пирамида?

Отговор: Да.

Сфера, описана около куб

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение 1

Намерете радиуса на сферата, описана около единичния куб.

Упражнение 2

Намерете ръба на куб, вписан в единична сфера.

Упражнение 3

Намерете радиуса на сфера, описана около правоъгълен паралелепипед, чиито ръбове, излизащи от един връх, са равни на 1, 2, 3.

Упражнение 4

Двата ръба на кубоида, излизащи от един и същи връх, са 1 и 2. Радиусът на описаната сфера е 1,5 . Намерете третия ръб, излизащ от същия връх на кутията.

Сфера, описана около тетраедър

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение 1

Намерете радиуса на сфера, описана около единичен тетраедър.

Решение. в тетраедър SABCние имаме:

BE=SE=

В правоъгълен триъгълник OBEние имаме:

Р, намираме

Упражнение 2

Намерете ръба на правилен тетраедър, вписан в единична сфера.

Упражнение 3

Основата на пирамидата е правилен триъгълник, чиято страна е равна на 3. Един от страничните ръбове е равен на 2 и е перпендикулярен на равнината на основата. Намерете радиуса на описаната сфера.

Решение. Позволявам Ое центърът на описаната сфера, Qе центърът на окръжност, описана близо до основата, д- средно SC. четириъгълник главен изпълнителен директоре правоъгълник, в който CE= 1, CQ=следователно R=OC= 2.

Отговор: Р = 2.

Упражнение 4

Фигурата показва пирамида SABC, за които ръба SCравен на 2 и перпендикулярен на равнината на основата ABC, ъгъл ACBравно на 90 около, AC=BC = 1 . Построете центъра на сферата, описана около тази пирамида, и намерете нейния радиус.

Решение. през средата дребра ABначертайте успоредна линия SC. през средата дребра SCначертайте права линия, успоредна CD. Тяхната пресечна точка Още бъде желаният център на описаната сфера. В правоъгълен триъгълник OCDние имаме:

OD=CD=По теорема

Питагор, намираме

Упражнение 5

Намерете радиуса на сфера, описана около правилна триъгълна пирамида, чиито странични ръбове са равни на 1, а плоските ъгли при върха са равни на 90o.

Решение. в тетраедър SABCние имаме:

AB=AE= SE =

В правоъгълен триъгълник OAEние имаме:

Решаване на това уравнение за Р, намираме

Сфера, описана около триъгълна призма

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение 1

Намерете радиуса на сфера, описана около правилна призма с всички ръбове, равни на 1.

Решение. Ние имаме:

АА 1 = 1, AD=OD=

следователно R=AO=

Упражнение 2

Сфера с радиус 2 е описана около правилна триъгълна призма, чиято основна страна е 1. Намерете височината на призмата.

Решение. Ние имаме: AO = 2, OD=

следователно h=AA 1 = 2 AO=

Упражнение 3

Сфера с радиус 1 е описана около правилна триъгълна призма, чиято височина е 1. Намерете страната на основата на призмата.

Решение. Ние имаме: AO = 1 , OD=

следователно AD=

означава, AB=

Упражнение 4

Намерете радиуса на сфера, описана около права триъгълна призма, в основата на която има правоъгълен триъгълник с катети, равни на 1, а височината на призмата е 2.

Решение. Радиусът на една сфера е половината от диагонала А 1 ° Справоъгълник ACC 1 А 1 .

Ние имаме: АА 1 = 2, AC=

следователно R=

Сфера, описана около правилна шестоъгълна призма

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около правилна шестоъгълна призма с всички ръбове, равни на 1.

Решение. Ние имаме AG= 1, OG=

следователно R=AO=

Сфера, описана около правилна четириъгълна пирамида

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около правилна четириъгълна пирамида с всички ръбове, равни на 1.

Сфера, описана около правилна шестоъгълна пирамида

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около правилна 6-странна пирамида, чиито основни ръбове са 1, а страничните ръбове са 2.

Решение. Триъгълник ЖАЛКО- равностранен със страна 2. Радиус Рописаната сфера е равна на радиуса на окръжността, описана около триъгълника ЖАЛКО. следователно

Сфера, описана около октаедър

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около единичен октаедър.

Решение. Радиус Рописаната сфера е равна на половината от диагонала на квадрата ABCDсъс страна 1. Следователно,

Сфера, описана около икосаедър

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около единичен икосаедър.

Решение. в правоъгълник ABCD AB=CD= 1, пр.н.еИ AD – диагонали на правилни петоъгълници със страни 1. Следователно,

пр.н.е.=н.е.=

Според Питагоровата теорема AC=

Желаният радиус е равен на половината от този диагонал, т.е.

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около единичен додекаедър.

Решение. А Б В Г Де правилен петоъгълник със страна

в правоъгълник ACGFAF=CG= 1, ACИ FG – диагонали на петоъгълник А Б В Г Ди следователно AC=FG=

Според Питагоровата теорема

FC=Желан радиус

е равно на половината от този диагонал, т.е.

Упражнение

Фигурата показва пресечен тетраедър, получен чрез отрязване на ъглите на правилен тетраедър от триъгълни пирамиди, чиито лица са правилни шестоъгълници и триъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен тетраедър с ръбове, равни на 1.

Упражнение

Фигурата показва пресечен куб, получен чрез изрязване на триъгълни пирамиди от ъглите на куба, чиито лица са правилни осмоъгълници и триъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен куб, чиито ръбове са 1.

Упражнение

Фигурата показва пресечен октаедър, получен чрез изрязване на триъгълни пирамиди от ъглите на октаедъра, чиито лица са правилни шестоъгълници и триъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен октаедър с ръбове, равни на 1.

Упражнение

Фигурата показва пресечен икосаедър, получен чрез изрязване на петоъгълни пирамиди от ъглите на икосаедъра, чиито лица са правилни шестоъгълници и петоъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен икосаедър с ръбове, равни на 1.

Упражнение

Фигурата показва пресечен додекаедър, получен чрез изрязване на триъгълни пирамиди от ъглите на додекаедъра, чиито лица са правилни десетоъгълници и триъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен додекаедър с ръбове, равни на 1.

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около единичен кубоктаедър

Решение. Припомнете си, че кубоктаедърът се получава от куб чрез отрязване на правилни триъгълни пирамиди с върхове във върховете на куба и странични ръбове, равни на половината от ръба на куба. Ако ръбът на октаедъра е равен на 1, то ръбът на съответния куб е равен на Радиусът на описаната сфера е равен на разстоянието от центъра на куба до средата на ръба му, т.е. е равно на 1.

Отговор: Р = 1.

Публичен урокпо темата "Вписани и описани полиедри"

Тема на урока: Сфера, вписана в пирамида. Сферата, описана около пирамидата.

Тип урок:Въведение в новия материал. Цели на урока:

Въведете понятието сфера, вписана в полиедър; сфера, описана около полиедъра. Сравнете описаната окръжност и описаната сфера, вписаната окръжност и вписаната сфера. Анализирайте условията за съществуване на вписаната сфера и описаната сфера. Развийте умения за решаване на проблеми. Развиване на уменията на ученика самостоятелна работа.

Развитие на логическо мислене, алгоритмична култура, пространствено въображение, развитие на математическо мислене и интуиция, креативностна нивото, необходимо за продължаване на обучението и за самостоятелна дейност в областта на математиката и нейните приложения в бъдещи професионални дейности;

Оборудване:

интерактивна дъска

Презентация "Вписана и описана сфера"

Условия на проблеми в чертежите на дъската. Раздавателни материали (подкрепящи бележки).

Планиметрия. Вписана и описана окръжност. Стереометрия. Стереометрия с вписана сфера. Описана сфера

Структура на урока:

Поставяне на цели за урока (2 минути). Подготовка за изучаване на нов материал чрез повторение (фронтално проучване) (6 минути). Обяснение на нов материал (15 минути) Разбиране на темата при съставяне на резюме по темата „Стереометрия. Описана сфера” и приложението на темата при решаване на задачи (15 минути). Обобщаване на урока чрез проверка на знанията и разбирането на изучаваната тема (фронтално проучване). Оценка на отговорите на учениците (5 минути). постановка домашна работа(2 минути). Резервни задачи.

По време на часовете 1. Поставяне на целите на урока.

Въведете понятието сфера, вписана в полиедър; сфера, описана около полиедъра. Сравнете описаната окръжност и описаната сфера, вписаната окръжност и вписаната сфера. Анализирайте условията за съществуване на вписаната сфера и описаната сфера. Развийте умения за решаване на проблеми.

2. Подготовка за изучаване на нов материал чрез повторение (фронтално проучване).Окръжност, вписана в многоъгълник.

Каква окръжност се нарича вписана в многоъгълник? Как се казва многоъгълникът, в който е вписан кръгът? Коя точка е центърът на окръжността, вписана в многоъгълника? Какво свойство има центърът на окръжност, вписана в многоъгълник? Къде е центърът на окръжност, вписана в многоъгълник? Какъв многоъгълник може да бъде описан около окръжност, при какви условия?

Окръжност, описана около многоъгълник.

Каква окръжност се нарича описана около многоъгълник? Как се казва многоъгълникът, около който е описана окръжността? Коя точка е центърът на окръжността, описана около многоъгълника? Какво свойство притежава центърът на окръжност, описана около многоъгълник? Къде може да се намира центърът на окръжност, описана около многоъгълник? Кой многоъгълник може да се впише в окръжност и при какви условия?

3. Обяснение на нов материал.А . По аналогия учениците формулират нови определения и отговарят на поставените въпроси.Сфера, вписана в полиедър.

Формулирайте дефиницията на сфера, вписана в полиедър. Как се нарича полиедър, в който може да се впише сфера? Какво свойство притежава центърът на сфера, вписана в многостен? Кое е множеството точки в пространството, еднакво отдалечени от лицата на двустенния ъгъл? (на тристенен ъгъл?) Коя точка е центърът на сфера, вписана в многостен? В кой полиедър може да бъде вписана сфера, при какви условия?

IN . Учениците доказват теоремата.Във всяка триъгълна пирамида може да се впише сфера В процеса на работа в урока учениците използват справочни бележки. Учениците анализират решението на проблема.

В правилната четириъгълна пирамида страната на основата е равна на А, височината е ч. Намерете радиуса на сферата, вписана в пирамидата.

Д. Учениците решават задачата.

Задача.В правилна триъгълна пирамида страната на основата е 4, страничните стени са наклонени към основата под ъгъл 60 0 . Намерете радиуса на сферата, вписана в тази пирамида.

4. Разбиране на темата при самостоятелното съставяне на конспект на "Сфера, описана около многостен» и приложение при решаване на проблеми.

А. У учениците самостоятелно попълват резюме по темата „Сфера, описана близо до полиедър“. Отговори на следните въпроси:

Формулирайте дефиницията на сфера, описана около полиедър.

Как се нарича многостен, около който може да се опише сфера?

Какво свойство притежава центърът на сфера, описана около полиедър?

Какво е множеството точки в пространството, еднакво отдалечени от две точки?

Коя точка е центърът на сферата, описана около полиедъра?

Къде може да се намира центърът на сферата, описана в близост до пирамидата? (многостен?)

За какъв полиедър може да се опише сфера?

IN. Учениците решават задачата самостоятелно.

Задача.В правилната триъгълна пирамида страната на основата е 3, а страничните ръбове са наклонени към основата под ъгъл 60 0 . Намерете радиуса на сферата, описана около пирамидата.

СЪС. Проверка на схемата и анализ на решението на проблема.

5. Обобщаване на урока чрез проверка на знанията и разбирането на изучаваната тема (фронтално проучване). Оценка на отговорите на учениците.

А. Учениците сами обобщават урока.

IN. Отговорете на допълнителни въпроси.

Възможно ли е да се опише сфера около четириъгълна пирамида, в основата на която лежи ромб, който не е квадрат?

Възможно ли е да се опише сфера около правоъгълен паралелепипед? Ако е така, къде е центърът му?

Къде в живота се прилага теорията, изучавана в урока (архитектура, клетъчен телефон, геостационарни спътници, GPS система за откриване).

6. Изложение на домашната работа.

А. Направете обобщение по темата „Сферата, описана в близост до призмата. Сфера, вписана в призма. (Разгледайте задачи от учебника: № 632,637,638)

Б. Решете задача No 640 от учебника.

В. От ръководството за обучение на Б.Г. Ziv "Дидактически материали по геометрия 10 клас" за решаване на проблемите: Вариант № 3 C12 (1), Вариант № 4 C12 (1).

Д. Допълнителна задача: Опция № 5 C12 (1).

7. Резервни задачи.

От ръководството за обучение B.G. Ziv "Дидактически материали по геометрия 10 клас" за решаване на задачи: Вариант № 3 С12 (1), Вариант № 4 С12 (1).

Учебно-методически комплект

Геометрия, 10-11: Учебник за образователни институции. Основни и профилни нива / L.S. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др., Москва: Образование, 2010 г

Б.Г. Зив "Дидактически материали по геометрия 10 клас", М.: Просвещение.

Учител по математика

ГБОУ лицей интернат "DPC"

Нижни Новгород

ГЕОМЕТРИЯ

Раздел II. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§23. КОМБИНАЦИИ ОТ ГЕОМЕТРИЧНИ ТЕЛА.

5. Многостен, вписан в топка.

Полиедър се нарича вписан в топка, ако всичките му върхове лежат на повърхността на топката.

В този случай топката се нарича описана около полиедъра.

Основните свойства на призмата, вписана в топка, са следните (фиг. 511):

1) Сфера може да бъде описана около права призма, ако нейната основа е многоъгълник, около който може да бъде описана окръжност.

2) Центърът на топката е средата на височината на призмата, свързваща центровете на окръжностите, описани около многоъгълниците на основите на призмата.

3) Основите на призмата са вписани в равните успоредни сечения на топката.

Пример 1. Около правилна триъгълна призма, чиято основна страна е 5 cm, е описана сфера. Радиусът на сферата е 13 см. Намерете височината на призмата.

Решения. 1) Нека около правилна триъгълна призма ABCA И B 1 C 1 е описана топка (фиг. 511).

2) QB = R ABC - радиус на описаната около него окръжност∆ ABC. Където a \u003d 5 cm - страна на основата на правоъгълния триъгълник ABC.

Тогава

3) V ∆ OQB: RH = R \u003d 13 см - радиус на топката, OQB = 90°.

Ние имаме

4) Тъй като точката O е средата на височината на призмата QQ 1 след това QQ 1 = 2 ∙ 12 = 24 (cm).

Основните свойства на пирамидата, вписана в топката, са следните (фиг. 512).

1) Топка може да бъде описана около пирамида, ако нейната основа е многоъгълник, около който може да бъде описана окръжност. Центърът на сферата, описана около пирамидата, лежи върху перпендикуляра към равнината на основата, прекаран през центъра на окръжността, описана около основата.

2) Центърът на сфера, описана около правилна пирамида, лежи на права линия, съдържаща височината на пирамидата.

3) Центърът на топка, описана около правилна пирамида, съвпада с центъра на окръжност, описана около равнобедрен триъгълник, чиято страна е страничният ръб на пирамидата, а височината е височината на пирамидата. Радиусът на сферата е равен на радиуса на тази окръжност.

Обърнете внимание, че центърът на описаната топка може да принадлежи на височината на пирамидата или да лежи върху нейното продължение (тоест да се намира или вътре в пирамидата, или извън нея). Когато решавате задачи по описания по-долу начин, не е необходимо да разглеждате два случая. При избрания метод на развързване местоположението на центъра на топката (вътре или извън пирамидата) не се взема предвид.

Пример 2. Докажете, че радиусът на топкатаР , описан около правилнияпирамидите могат да бъдат намерени по формулатакъдето H е височината на пирамидата, r - радиусът на окръжността, описана около основата на пирамидата.

Решения. 1) Нека точката O е центърът на топката, описана около правилно: пирамиди с височина Q K (фиг. 512). По условие Q K = I, KA = r - радиусът на окръжността, описана около основата.

2) Продължете Q до второто пресичане с куршума в точката Q1. Тогава QQ 1 = 2 R - диаметър на кръга, т.н Q A Q 1 = 90° и QQ 1 - хипотенуза на правоъгълен триъгълник Q A Q 1.

4) По свойството на катета на правоъгълен триъгълник в∆ Q A Q 1 получаваме A Q 2 = QQ 1 ∙ Q K, т.е. A Q 2 \u003d 2 R ∙ H.

5) И така, A Q 2 \u003d H 2 + g 2 и A Q 2 \u003d 2 R H. Следователно H 2 + r 2 = 2 R H; R \u003d (r 2 + H 2) / 2 H , което трябваше да се докаже.

Полиедри, вписани в топка. Изпъкналият многостен се нарича вписан, ако всичките му върхове лежат на някаква сфера. Тази сфера се нарича описана за дадения многостен. Центърът на тази сфера е точка, еднакво отдалечена от върховете на многостена. Това е пресечната точка на равнините, всяка от които минава през средата на перпендикулярния на нея ръб на полиедъра.

Формулата за намиране на радиуса на описаната сфера. Нека SABC е пирамида с равни странични ръбове, h е нейната височина, R е радиусът на окръжността, описана близо до основата. Намерете радиуса на описаната сфера. Обърнете внимание на сходството на правоъгълните триъгълници SKO1 и SAO. Тогава SO 1 /SA = KS/SO; R 1 \u003d KS SA / SO Но KS \u003d SA / 2. Тогава R1 = SA2/(2SO); R1 \u003d (h 2 + R 2) / (2h); R 1 = b 2 /(2h), където b е страничният ръб.

Паралелепипед, вписан в топка.

Задача 1 Намерете радиуса на сфера, описана около правилен тетраедър с ръб a. Решение: SO 1 = SA 2 /(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 / (2 a) = a / 4. Отговор: SO 1 = a / 4. Предварително по образа на правилния тетраедър SABC изграждаме образа на центъра на описаната топка. Нека начертаем апотемите SD и AD (SD = AD). В равнобедрен триъгълник ASD всяка точка от медианата DN е на еднакво разстояние от краищата на отсечката AS. Следователно точката O 1 е пресечната точка на надморската височина SO и отсечката DN. Използвайки формулата от R 1 = b 2 /(2h), получаваме:

Решение на задача 2: Използвайки формулата R 1 =b 2 /(2h), за да намерим радиуса на описаната топка, намираме SC и SO. SC = a/(2sin(α /2)); SO 2 = (a / (2sin(α / 2)) 2 - (a / 2) 2 = = a 2 / (4sin 2 (α / 2)) - 2a 2 / 4 = = a 2 / (4sin 2 ( α / 2)) (1 - 2sin 2 (α / 2)) \u003d \u003d a 2 / (4sin 2 (α / 2)) cos α В правилна четириъгълна пирамида основната страна е a, a плосък ъгълна върха е равно на α. Намерете радиуса на описаната сфера. R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) 1/(2a/(2sin(α /2))) =a/(4sin(α /2) ). Отговор: R 1 = a/(4sin(α /2)).

Полиедри, описани около топка. Изпъкналият многостен се нарича описан, ако всичките му лица докосват някаква сфера. Тази сфера се нарича вписана за дадения многостен. Центърът на вписана сфера е точка, еднакво отдалечена от всички страни на многостена.

Положението на центъра на вписаната сфера Понятие за симетрална равнина на двустенния ъгъл. Симетрална равнина е равнина, която разделя двустенен ъгъл на два равни двустенни ъгъла. Всяка точка от тази равнина е на еднакво разстояние от лицата на двустенния ъгъл. В общия случай центърът на сфера, вписана в многостен, е пресечната точка на ъглополовящите равнини на всички двустенни ъгли на многостена. Винаги се намира вътре в полиедъра.

Пирамида, описана близо до топка Топката се нарича вписана в (произволна) пирамида, ако докосва всички лица на пирамидата (както страната, така и основата). Теорема: Ако страничните стени са еднакво наклонени спрямо основата, тогава в такава пирамида може да се впише топка. Тъй като двустенните ъгли в основата са равни, техните половини също са равни ъглополовящи, пресичащи се в една точка на височината на пирамидата. Тази точка принадлежи на всички ъглополовящи равнини в основата на пирамидата и е на еднакво разстояние от всички лица на пирамидата - центъра на вписаната топка.

Формула за намиране на радиуса на вписана сфера Нека SABC е пирамида с равни странични ръбове, h е нейната височина, r е радиусът на вписаната окръжност. Намерете радиуса на описаната сфера. Нека SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Тогава, по свойството на ъглополовящата на вътрешния ъгъл на триъгълника, O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h - r 1) / ; r 1 = rh - rr 1; r 1 (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Отговор: r 1 = rh/(+ r).

Паралелепипед и куб, описани близо до топката Теорема: Сфера може да бъде вписана в паралелепипед тогава и само ако паралелепипедът е права линия и основата му е ромб, а височината на този ромб е диаметърът на вписаната сфера, която, на свой ред е равна на височината на паралелепипеда. (От всички успоредници само окръжност може да бъде вписана в ромб) Теорема: Сфера винаги може да бъде вписана в куб. Центърът на тази сфера е пресечната точка на диагоналите на куба, а радиусът е равен на половината от дължината на ръба на куба.

Комбинации от фигури Вписани и описани призми Призма, описана близо до цилиндър, е призма, чиито базови равнини са равнините на основите на цилиндъра, а страничните повърхности се допират до цилиндъра. Призма, вписана в цилиндър, е призма, в която равнините на основите са равнините на основите на цилиндъра, а страничните ръбове са генераторите на цилиндъра. Допирателната равнина към цилиндъра е равнината, минаваща през образуващата на цилиндъра и перпендикулярна на равнинатааксиално сечение, съдържащо тази образуваща.

Вписани и описани пирамиди Вписана в конус пирамида е пирамида, чиято основа е многоъгълник, вписан в окръжността на основата на конуса, и чийто връх е върхът на конуса. Страничните ръбове на пирамида, вписана в конус, са образуващи конус. Пирамида, описана близо до конуса, е пирамида, чиято основа е многоъгълник, описан близо до основата на конуса, и чийто връх съвпада с върха на конуса. Равнините на страничните стени на описаната пирамида са допирателните равнини на конуса. Допирателната равнина към конуса е равнина, минаваща през образуващата и перпендикулярна на равнината на аксиалното сечение, съдържащо тази образуваща.

Други видове конфигурации Цилиндърът е вписан в пирамида, ако обиколката на едната му основа докосва всички странични стени на пирамидата, а другата му основа лежи върху основата на пирамидата. Конусът е вписан в призма, ако неговият връх лежи върху горната основа на призмата, а основата му е окръжност, вписана в многоъгълник - долна основапризми. Призма е вписана в конус, ако всички върхове на горната основа на призмата лежат на страничната повърхност на конуса, а долната основа на призмата лежи върху основата на конуса.

Задача 1 В правилна четириъгълна пирамида страната на основата е равна на a, а плоският ъгъл при върха е равен на α. Намерете радиуса на сферата, вписана в пирамидата. Решение: Изразяваме страните на SOK чрез a и α. OK = a/2. SK = KC ctg(α /2); SK = (a ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Използвайки формулата r 1 = rh/(+ r), намираме радиуса на вписаната топка: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) (a/2) /((a/2) ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1 ) = (a/2)= = (a/2) Отговор: r 1 = (a/2)

Заключение Темата "Многогранници" се изучава от ученици в 10 и 11 клас, но в учебната програма има много малко материали по темата "Вписани и описани полиедри", въпреки че е от голям интерес за учениците, тъй като изучаването на свойствата на полиедрите допринася за развитието на абстрактно и логическо мислене, което по-късно ще ни бъде полезно в обучението, работата, живота. Работейки върху това есе, ние проучихме целия теоретичен материал по темата „Вписани и описани полиедри“, разгледахме възможните комбинации от фигури и се научихме как да приложим целия изучен материал на практика. Задачи за комбинацията от тела е най-трудният въпрос от курса по стереометрия за 11 клас. Но сега можем да кажем с увереност, че няма да имаме проблеми при решаването на такива проблеми, тъй като в хода на изследователска работаустановихме и доказахме свойствата на вписани и описани полиедри. Много често учениците се затрудняват при конструирането на чертеж към задача по дадена тема. Но след като научихме, че за решаване на задачи за комбинацията от топка с многостен, изображението на топката е излишно и е достатъчно да посочим центъра и радиуса, можем да сме сигурни, че няма да имаме тези трудности. Благодарение на това есе успяхме да разберем тази трудна, но много вълнуваща тема. Надяваме се, че сега няма да имаме затруднения при прилагането на изучения материал на практика.

Полиедри, вписани в сфера. Основни определения и теореми. Определение. Казва се, че една сфера е описана близо до многостен (или многостен, вписан в сфера), ако всички върхове на многостена лежат на тази сфера.

Слайд 8от презентацията ""Задачи по геометрия" 11 клас". Размерът на архива с презентацията е 1032 KB.

Геометрия 11 клас

резюмедруги презентации

„Обеми на геометрични тела” – Обеми на многостени. Понятието обем. обем на пирамидата. Конус за вкъщи. Обемът на права призма. Отговор. Науките клонят към математиката. Успех в усвояването на материала. Обемът на правоъгълен паралелепипед. Чертежи и рисунки. Обемът на правилна четириъгълна пирамида. Имоти на площта. Квадрат. Ръб на куб. Концепцията за обема на телата. Квадрат. Обем на цилиндъра. Конус. Многоъгълник. Геометрични фигури. Три месингови кубчета.

"Вектори в пространството" - векторни координати. Разлики. Вектори в космоса. Разлика на два вектора. Умножение на два вектора. Действия с вектори. Единственият вектор. Способност за действие. правило на многоъгълника. Консонантни вектори. Определение на вектор. Действие с вектори. Векторите са некомпланарни. Решение.

"Геометрични задачи в изпита" - Площта на многостена. Намерете тангентата на външния ъгъл. Участва в създаването на презентацията. Варианти на задачите. Площ на триъгълник. Площта на трапеца. Намерете площта на триъгълника. Площта на част от кръг. Основен справочен материал. Планиметрия. Типични грешки. Основи на геометрията. устни упражнения. Възможни задачи. Знайте как да действате с геометрични форми. Намерете обема на многостена.

"Изчисляване на обема на въртеливо тяло" - Конус. Намерете обема. Топка. Цилиндър и конус. Цилиндър. Конусен обем. Сфера. Видове тела на въртене. Фигура. Обемът на V конуса. Дефиниция на конус. Цилиндричен съд. Дефиниция на цилиндър. Цилиндрите около нас. Обем на телата на въртене. куб. Радиуси.

„Координати на вектор в пространството” – Учебник. Решение. Абсолютна стойност. Сума от вектори. Разлика на векторите. Общ старт. Координирайте. рисуване. Големината и посоката на вектора. Векторен продукт. Дължина на рязане. Действия върху вектори в пространството. Самолети. Доказателство. Скаларно произведение на вектори. Вектори в космоса.

""Движение" 11 клас" - Симетрия в архитектурата. Аксиална симетрия. Паралелен трансфер. Движение. Симетрия в растенията. Плъзгаща се симетрия. Симетрия в животинския свят. Въведение. Завъртете. централна симетрия. Движение. Огледална симетрия.