"Обем на топката" - Обемът на параболичния сегмент. Намерете обема на топка, вписана в правилен тетраедър с ръб 1. Топка е вписана в конус с радиус на основата 1 и образуваща 2. Сечението на топката с равнина, отдалечена от центъра на топката на разстояние 8 см, има радиус 6 см. Обемът на сферичен сегмент с височина h, отрязан от топка с радиус R, се изразява с формулата.

"Обиколка кръг сфера топка" - Колело. Момчета, всички вече ставате членове на Изчислителния център. По аналогия с окръжност обяснете какво е: а) радиус; б) хорда; в) диаметъра на сферата. Намерете повърхността на сфера с радиус 3 m. Диаметър. Центърът на топката (сфера). Топка и сфера. Топка. Спомнете си как се определя кръгът. Опитайте се да дефинирате сфера, като използвате понятията за разстояние между точките.

"Правилни полиедри" - Сумата от равнинните ъгли на икосаедъра във всеки връх е 300?. Правилните полиедри са най-"благоприятните" фигури. Сумата от равнинните ъгли на куб във всеки връх е 270?. Правилен октаедър. Икосаедрично-додекаедрична структура на Земята. Кубът е най-стабилната от фигурите. Правилен додекаедър. Правилни изпъкнали полиедри.

"топка" - Изследователска дейноств извънработно време. Задача номер 1. Конус. Повторение на теоретичните положения. В правилна четириъгълна пирамида е вписана топка. Повърхността на една сфера се нарича сфера. Пирамида. В нашата работа ние: Изследователска практика, процесът на работа по дадена тема. Работа в кръжоци, факультативи.

„Вписана и описана окръжност” – АРХИМЕД (287-212 г. пр.н.е.) – древногръцки математик и механик. описана и вписана окръжност. Можем да отговорим на проблемни въпроси. кръг. С увеличаването на броя на страните на правилен многоъгълник, ъгълът на многоъгълника се увеличава. Древните математици не са познавали понятията математически анализ.

"Сфера и топка" - Участъкът, минаващ през центъра на топката, е голям кръг. (секция с диаметър). Астрономическите наблюдения на небесния свод неизменно предизвикват образа на сфера. Обхватът винаги е бил широко използван в различни области на науката и технологиите. Допирателна равнина към сфера. Общи понятия. На повърхността на сфера са дадени три точки.

Полиедърът се нарича вписан в сфера, ако всичките му върхове принадлежат на тази сфера. Самата сфера се нарича описана близо до полиедъра.

Теорема. Сфера може да бъде описана близо до пирамида тогава и само ако около основата на тази пирамида може да бъде описана окръжност.

Полиедри, вписани в сфера

Теорема. Сфера може да бъде описана около призма тогава и само ако окръжност може да бъде описана близо до основата на тази призма. Центърът му ще бъде точка О, което е средата на сегмента, свързващ центровете на описаните окръжности в близост до основите на призмата. Радиус на сферата Ризчислено по формулата

Където че височината на призмата, rе радиусът на окръжността, описана близо до основата на призмата.

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение 1

Възможно ли е да се опише сфера около правоъгълен паралелепипед?

Отговор: Да. Центърът му е точката на пресичане на диагоналите, а радиусът е равен на половината от диагонала на паралелепипеда

Упражнение 2

Възможно ли е да се опише сфера около наклонен паралелепипед, чиито лица са ромби?

Отговор: Не.

Упражнение 3

Възможно ли е да се опише сфера близо до наклонена призма?

Отговор: Не.

Упражнение 4

Може ли центърът на сфера, описана около призма, да бъде извън призмата?

Отговор: Да, ако основата на призмата е тъп триъгълник.

Упражнение 5

Може ли центърът на сфера, описана около пирамида, да бъде извън тази пирамида?

Отговор: Да.

Сфера, описана около куб

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение 1

Намерете радиуса на сферата, описана около единичния куб.

Упражнение 2

Намерете ръба на куб, вписан в единична сфера.

Упражнение 3

Намерете радиуса на сфера, описана около правоъгълен паралелепипед, чиито ръбове, излизащи от един връх, са равни на 1, 2, 3.

Упражнение 4

Двата ръба на кубоида, излизащи от един и същи връх, са 1 и 2. Радиусът на описаната сфера е 1,5 . Намерете третия ръб, излизащ от същия връх на кутията.

Сфера, описана около тетраедър

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение 1

Намерете радиуса на сфера, описана около единичен тетраедър.

Решение. в тетраедър SABCние имаме:

BE=SE=

В правоъгълен триъгълник OBEние имаме:

Р, намираме

Упражнение 2

Намерете ръба на правилен тетраедър, вписан в единична сфера.

Упражнение 3

Основата на пирамидата е правилен триъгълник, чиято страна е равна на 3. Един от страничните ръбове е равен на 2 и е перпендикулярен на равнината на основата. Намерете радиуса на описаната сфера.

Решение. Позволявам Ое центърът на описаната сфера, Qе центърът на окръжност, описана близо до основата, д- средно SC. четириъгълник главен изпълнителен директоре правоъгълник, в който CE= 1, CQ=следователно R=OC= 2.

Отговор: Р = 2.

Упражнение 4

Фигурата показва пирамида SABC, за които ръба SCравен на 2 и перпендикулярен на равнината на основата ABC, ъгъл ACBравно на 90 около, AC=BC = 1 . Построете центъра на сферата, описана около тази пирамида, и намерете нейния радиус.

Решение. през средата дребра ABначертайте успоредна линия SC. през средата дребра SCначертайте права линия, успоредна CD. Тяхната пресечна точка Още бъде желаният център на описаната сфера. В правоъгълен триъгълник OCDние имаме:

OD=CD=По теорема

Питагор, намираме

Упражнение 5

Намерете радиуса на сфера, описана около правилна триъгълна пирамида, чиито странични ръбове са 1 и плоски ъглив горната част са 90 o.

Решение. в тетраедър SABCние имаме:

AB=AE= SE =

В правоъгълен триъгълник OAEние имаме:

Решаване на това уравнение за Р, намираме

Сфера, описана около триъгълна призма

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение 1

Намерете радиуса на сфера, описана около правилна призма с всички ръбове, равни на 1.

Решение. Ние имаме:

АА 1 = 1, AD=OD=

следователно R=AO=

Упражнение 2

Сфера с радиус 2 е описана около правилна триъгълна призма, чиято основна страна е 1. Намерете височината на призмата.

Решение. Ние имаме: AO = 2, OD=

следователно h=AA 1 = 2 AO=

Упражнение 3

Сфера с радиус 1 е описана около правилна триъгълна призма, чиято височина е 1. Намерете страната на основата на призмата.

Решение. Ние имаме: AO = 1 , OD=

следователно AD=

означава, AB=

Упражнение 4

Намерете радиуса на сфера, описана около права триъгълна призма, в основата на която има правоъгълен триъгълник с катети, равни на 1, а височината на призмата е 2.

Решение. Радиусът на една сфера е половината от диагонала А 1 ° Справоъгълник ACC 1 А 1 .

Ние имаме: АА 1 = 2, AC=

следователно R=

Сфера, описана около правилна шестоъгълна призма

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около правилна шестоъгълна призма с всички ръбове, равни на 1.

Решение. Ние имаме AG= 1, OG=

следователно R=AO=

Сфера, описана около правилна четириъгълна пирамида

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около правилна четириъгълна пирамида с всички ръбове, равни на 1.

Сфера, описана около правилна шестоъгълна пирамида

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около правилна 6-странна пирамида, чиито основни ръбове са 1, а страничните ръбове са 2.

Решение. Триъгълник ЖАЛКО- равностранен със страна 2. Радиус Рописаната сфера е равна на радиуса на окръжността, описана около триъгълника ЖАЛКО. следователно

Сфера, описана около октаедър

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около единичен октаедър.

Решение. Радиус Рописаната сфера е равна на половината от диагонала на квадрата ABCDсъс страна 1. Следователно,

Сфера, описана около икосаедър

В слайд режим отговорите и решенията се появяват след щракване с мишката

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около единичен икосаедър.

Решение. в правоъгълник ABCD AB=CD= 1, пр.н.еИ AD – диагонали на правилни петоъгълници със страни 1. Следователно,

пр.н.е.=н.е.=

Според Питагоровата теорема AC=

Желаният радиус е равен на половината от този диагонал, т.е.

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около единичен додекаедър.

Решение. А Б В Г Де правилен петоъгълник със страна

в правоъгълник ACGFAF=CG= 1, ACИ FG – диагонали на петоъгълник А Б В Г Ди следователно AC=FG=

Според Питагоровата теорема

FC=Желан радиус

е равно на половината от този диагонал, т.е.

Упражнение

Фигурата показва пресечен тетраедър, получен чрез отрязване на ъглите на правилен тетраедър от триъгълни пирамиди, чиито лица са правилни шестоъгълници и триъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен тетраедър с ръбове, равни на 1.

Упражнение

Фигурата показва пресечен куб, получен чрез изрязване на триъгълни пирамиди от ъглите на куба, чиито лица са правилни осмоъгълници и триъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен куб, чиито ръбове са 1.

Упражнение

Фигурата показва пресечен октаедър, получен чрез изрязване на триъгълни пирамиди от ъглите на октаедъра, чиито лица са правилни шестоъгълници и триъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен октаедър с ръбове, равни на 1.

Упражнение

Фигурата показва пресечен икосаедър, получен чрез изрязване на петоъгълни пирамиди от ъглите на икосаедъра, чиито лица са правилни шестоъгълници и петоъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен икосаедър с ръбове, равни на 1.

Упражнение

Фигурата показва пресечен додекаедър, получен чрез изрязване на триъгълни пирамиди от ъглите на додекаедъра, чиито лица са правилни десетоъгълници и триъгълници. Намерете радиуса на сфера, описана около пресечен додекаедър с ръбове, равни на 1.

Упражнение

Намерете радиуса на сфера, описана около единичен кубоктаедър

Решение. Припомнете си, че кубоктаедърът се получава от куб чрез отрязване на правилни триъгълни пирамиди с върхове във върховете на куба и странични ръбове, равни на половината от ръба на куба. Ако ръбът на октаедъра е равен на 1, то ръбът на съответния куб е равен на Радиусът на описаната сфера е равен на разстоянието от центъра на куба до средата на ръба му, т.е. е равно на 1.

Отговор: Р = 1.

Тип урок:Въведение в новия материал.

Цели на урока:

Въведете понятието сфера, вписана в полиедър; сфера, описана около полиедъра.

Сравнете описаната окръжност и описаната сфера, вписаната окръжност и вписаната сфера.

Анализирайте условията за съществуване на вписаната сфера и описаната сфера.

Развийте умения за решаване на проблеми.

Развитието на уменията на учениците за самостоятелна работа.

Развитие на логическо мислене, алгоритмична култура, пространствено въображение, развитие на математическо мислене и интуиция, креативностна нивото, необходимо за продължаване на обучението и за самостоятелна работа в областта на математиката и нейните приложения в бъдещи професионални дейности.

Изтегли:

Преглед:

описана окръжност.

определение: Ако всички върхове на многоъгълник лежат на окръжност, тогава окръжността се наричаописан около многоъгълник, и многоъгълникавписан в кръг.

Теорема. В близост до всеки триъгълник е възможно да се очертае окръжност и освен това само една.

За разлика от триъгълника, не винаги е възможно да се опише окръжност около четириъгълник. Например: ромб.

Теорема. Във всеки вписан четириъгълник сборът от противоположните ъгли е 180 0 .

Ако сборът от противоположните ъгли на четириъгълник е 180 0 , то около него може да се опише кръг.

За да бъде четириъгълникът ABCD вписан, е необходимо и достатъчно да е изпълнено някое от следните условия:

• ABCD е изпъкнал четириъгълник и ∟ABD=∟ACD;
• Сборът от два срещуположни ъгъла на четириъгълник е 180 0 .

Центърът на окръжността е на еднакво разстояние от всеки от нейните върхове и следователно съвпада с пресечната точка на средните перпендикуляри към страните на многоъгълника, а радиусът е равен на разстоянието от центъра до върховете.

За триъгълник:За правилен многоъгълник:

Вписан кръг.

определение: Ако всички страни на многоъгълник са допирателни към окръжност, тогава окръжността се наричавписан в многоъгълники многоъгълникаописано около този кръг.

Теорема. Във всеки триъгълник можете да впишете кръг и освен това само един.

Не всеки четириъгълник може да бъде вписан в окръжност. Например: правоъгълник, който не е квадрат.

Теорема. Във всеки описан четириъгълник сумите от дължините на срещуположните страни са равни.

Ако сумите от дължините на противоположните страни на изпъкнал четириъгълник са равни, тогава в него може да се впише окръжност.

За да бъде описан изпъкнал четириъгълник ABCD е необходимо и достатъчно да е изпълнено условието AB+DC=BC+AD (сборите от дължините на срещуположните страни са равни).

Центърът на окръжността е на еднакво разстояние от страните на многоъгълника, което означава, че съвпада с пресечната точка на ъглополовящите на ъглите на многоъгълника (свойство на ъглополовящата). Радиусът е равен на разстоянието от центъра на окръжността до страните на многоъгълника.

За триъгълник:За правото

Многоъгълник:

Преглед:

вписана сфера.

определение: Сферата се наричанадписан в многостен, ако докосва всички лица на многостена. Полиедърът в този случай се наричаописани около сферата.

Центърът на вписаната сфера е пресечната точка на ъглополовящите равнини на всички двустенни ъгли.

Казва се, че една сфера е вписана в двустенен ъгъл, ако докосва лицата му. Центърът на сфера, вписана в двустенен ъгъл, лежи върху ъглополовящата равнина на този двустенен ъгъл. Казва се, че една сфера е вписана в многостенен ъгъл, ако докосва всички страни на многостенния ъгъл.

Не всеки полиедър може да бъде вписан в сфера. Например: сфера не може да бъде вписана в правоъгълен паралелепипед, който не е куб.

Теорема. Всяка триъгълна пирамида може да бъде вписана със сфера и освен това само една.

Доказателство. Да разгледаме триъгълната пирамида CABD. Нека начертаем ъглополовящите на неговите двустенни ъгли с ръбове AC и BC. Те се пресичат по права линия, която пресича равнината на ъглополовящата на двустенния ъгъл с ръба AB. Така равнините на ъглополовящите на двустенните ъгли с ръбове AB, AC и BC имат една обща точка. Нека го означим като Q. Точката Q е на еднакво разстояние от всички лица на пирамидата. Следователно сферата със съответния радиус с център в точката Q е вписана в пирамидата CABD.

Нека докажем неговата уникалност. Центърът на всяка сфера, вписана в пирамидата CABD, е на еднакво разстояние от нейните лица, което означава, че принадлежи към ъглополовящите равнини на двустенните ъгли. Следователно центърът на сферата съвпада с точката Q. Какво трябваше да се докаже.

Теорема. В пирамида, чиято основа може да бъде вписана с кръг, чийто център служи като основа на височината на пирамидата, може да бъде вписана сфера.

Последица. Сфера може да бъде вписана във всяка правилна пирамида.

Докажете, че центърът на сфера, вписана в правилна пирамида, се намира на височината на тази пирамида (докажете го сами).

Центърът на сфера, вписана в правилна пирамида, е пресечната точка на височината на пирамидата с ъглополовящата на ъгъла, образуван от апотемата и нейната проекция върху основата.

Задача. a , височината е h.

Реши задачата.

Задача. 0

Преглед:

Описана област.

Определение. Сферата се нарича описана близо до полиедъра, ако _______________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________. Полиедърът се нарича _____________________________.

Какво свойство притежава центърът на описаната сфера?

Определение. Геометричното място на точките в пространството, еднакво отдалечени от краищата на определена отсечка, е ______________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________________.

Дайте пример за многостен, около който е невъзможно да се опише сфера: ________________________ _________________________________________________________________________________________________________________ .

В близост до коя пирамида може да се опише сфера?

Теорема. ___________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________.

Доказателство. Да разгледаме триъгълната пирамида ABCD. Нека построим равнини, перпендикулярни съответно на ръбовете AB, AC и AD и минаващи през техните среди. Означаваме с O пресечната точка на тези равнини. Такава точка съществува и тя е уникална. Нека го докажем. Вземете първите два самолета. Те се пресичат, защото са перпендикулярни на неуспоредни прави. Нека означим правата, по която се пресичат първите две равнини катол Тази линия l перпендикулярна на равнината ABC. Равнината, перпендикулярна на AD, не е успореднал и не го съдържа, тъй като в противен случай правата AD е перпендикулярна нал , т.е. лежи в равнината ABC. Точка O е на еднакво разстояние от точки A и B, A и C, A и D, което означава, че е на еднакво разстояние от всички върхове на пирамидата ABCD, т.е. сфера с център O на съответния радиус е описаната сфера за пирамида.

Нека докажем неговата уникалност. Центърът на всяка сфера, минаваща през върховете на пирамидата, е на еднакво разстояние от тези върхове, което означава, че принадлежи на равнини, които са перпендикулярни на ръбовете на пирамидата и минават през средните точки на тези ръбове. Следователно центърът на такава сфера съвпада с точката O. Теоремата е доказана.

В близост до коя друга пирамида може да се опише сфера?

Теорема. _____________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________.

Центърът на сферата, описана близо до пирамидата, съвпада с пресечната точка на права линия, перпендикулярна на основата на пирамидата, минаваща през центъра на окръжността, описана близо до основата, и равнина, перпендикулярна на всеки страничен ръб, прекарана през средата на този ръб.

За да бъде описана сфера в близост до полиедър, е необходимо, _____________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________.

В този случай центърът на описаната сфера може да лежи _________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ и се проектира в центъра на описаната близо до всяко лице на кръга; перпендикулярът, пуснат от центъра на сферата, описана близо до полиедъра до ръба на полиедъра, разполовява този ръб.

Последица. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ .

Центърът на сферата, описана в близост до правилната пирамида, се намира ________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________.

Анализирайте решението на проблема.

Задача. В правилната четириъгълна пирамида страната на основата е равна на a , височината е h. Намерете радиуса на сферата, описана около пирамидата.

Реши задачата.

Задача. 0

Преглед:

Публичен урокпо темата "Вписани и описани полиедри"

Тема на урока: Сфера, вписана в пирамида. Сферата, описана около пирамидата.

Тип урок: Въведение в новия материал.

Цели на урока:

• Развитието на уменията на учениците за самостоятелна работа.
• развитие логическо мислене, алгоритмична култура, пространствено въображение, развитие на математическото мислене и интуиция, творчески способности на ниво, необходимо за продължаване на обучението и за самостоятелна работа в областта на математиката и нейните приложения в бъдещата професионална дейност;

Оборудване:

• интерактивна дъска
• Презентация "Вписана и описана сфера"
• Условия на проблеми в чертежите на дъската.
• Раздавателни материали (подкрепящи бележки).

1. Планиметрия. Вписана и описана окръжност.
2. Стереометрия. вписана сфера
3. Стереометрия. Описана сфера

Структура на урока:

• Поставяне на цели за урока (2 минути).
• Подготовка за изучаване на нов материал чрез повторение (фронтално проучване) (6 минути).
• Обяснение на нов материал (15 минути)
• Разбиране на темата при самостоятелна подготовка на резюме по темата „Стереометрия. Описана сфера” и приложението на темата при решаване на задачи (15 минути).
• Обобщаване на урока чрез проверка на знанията и разбирането на изучаваната тема (фронтално проучване). Оценка на отговорите на учениците (5 минути).
• постановка домашна работа(2 минути).
• Резервни задачи.

По време на часовете

1. Поставяне на целите на урока.

• Въведете понятието сфера, вписана в полиедър; сфера, описана около полиедъра.
• Сравнете описаната окръжност и описаната сфера, вписаната окръжност и вписаната сфера.
• Анализирайте условията за съществуване на вписаната сфера и описаната сфера.
• Развийте умения за решаване на проблеми.

2. Подготовка за изучаване на нов материал чрез повторение (фронтално проучване).

Окръжност, вписана в многоъгълник.

• Каква окръжност се нарича вписана в многоъгълник?
• Как се казва многоъгълникът, в който е вписан кръгът?
• Коя точка е центърът на окръжността, вписана в многоъгълника?
• Какво свойство има центърът на окръжност, вписана в многоъгълник?
• Къде е центърът на окръжност, вписана в многоъгълник?
• Какъв многоъгълник може да бъде описан около окръжност, при какви условия?

Окръжност, описана около многоъгълник.

• Каква окръжност се нарича описана около многоъгълник?
• Как се казва многоъгълникът, около който е описана окръжността?
• Коя точка е центърът на окръжността, описана около многоъгълника?
• Какво свойство притежава центърът на окръжност, описана около многоъгълник?
• Къде може да се намира центърът на окръжност, описана около многоъгълник?
• Кой многоъгълник може да се впише в окръжност и при какви условия?

3. Обяснение на нов материал.

А . По аналогия учениците формулират нови определения и отговарят на поставените въпроси.

Сфера, вписана в полиедър.

• Формулирайте дефиницията на сфера, вписана в полиедър.
• Как се нарича полиедър, в който може да се впише сфера?
• Какво свойство притежава центърът на сфера, вписана в многостен?
• Кое е множеството точки в пространството, еднакво отдалечени от лицата на двустенния ъгъл? (тристенен ъгъл?)
• Коя точка е центърът на сферата, вписана в многостена?
• В кой полиедър може да бъде вписана сфера, при какви условия?

IN . Учениците доказват теоремата.

Сфера може да бъде вписана във всяка триъгълна пирамида.

В процеса на работа в урока учениците използват опорните бележки.

СЪС. Учениците анализират решението на проблема.

В правилната четириъгълна пирамида страната на основата е равна на a , височината е h. Намерете радиуса на сферата, вписана в пирамидата.

Д. Учениците решават задачата.

Задача. В правилна триъгълна пирамида страната на основата е 4, страничните стени са наклонени към основата под ъгъл 60 0 . Намерете радиуса на сферата, вписана в тази пирамида.

4. Разбиране на темата при самостоятелното съставяне на конспект на "Сфера, описана около многостен» и приложение при решаване на проблеми.

А. У учениците самостоятелно попълват резюме по темата „Сфера, описана близо до полиедър“. Отговори на следните въпроси:

• Формулирайте дефиницията на сфера, описана около полиедър.
• Как се нарича многостен, около който може да се опише сфера?
• Какво свойство притежава центърът на сфера, описана около полиедър?
• Какво е множеството точки в пространството, еднакво отдалечени от две точки?
• Коя точка е центърът на сферата, описана около полиедъра?
• Къде може да се намира центърът на сферата, описана в близост до пирамидата? (многостен?)
• За какъв полиедър може да се опише сфера?

IN. Учениците решават задачата самостоятелно.

Задача. В правилна триъгълна пирамида страната на основата е 3, а страничните ръбове са наклонени към основата под ъгъл 60 0 . Намерете радиуса на сферата, описана около пирамидата.

СЪС. Проверка на схемата и анализ на решението на проблема.

5. Обобщаване на урока чрез проверка на знанията и разбирането на изучаваната тема (фронтално проучване). Оценка на отговорите на учениците.

А. Учениците сами обобщават урока.

IN. Отговорете на допълнителни въпроси.

• Възможно ли е да се опише сфера около четириъгълна пирамида, в основата на която лежи ромб, който не е квадрат?
• Възможно ли е да се опише сфера около правоъгълен паралелепипед? Ако е така, къде е центърът му?
• Къде в живота се прилага теорията, изучавана в урока (архитектура, клетъчен телефон, геостационарни спътници, GPS система за откриване).

6. Изложение на домашната работа.

А. Направете обобщение по темата „Сферата, описана в близост до призмата. Сфера, вписана в призма. (Разгледайте задачи от учебника: № 632,637,638)

Б. Решете задача No 640 от учебника.

В. От ръководството за обучение на Б.Г. Ziv "Дидактически материали по геометрия 10 клас" за решаване на проблемите: Вариант № 3 C12 (1), Вариант № 4 C12 (1).

Д. Допълнителна задача: Опция № 5 C12 (1).

7. Резервни задачи.

От ръководството за обучение B.G. Ziv "Дидактически материали по геометрия 10 клас" за решаване на задачи: Вариант № 3 С12 (1), Вариант № 4 С12 (1).

Учебно-методически комплект

1. Геометрия, 10-11: Учебник за учебни заведения. Основни и профилни нива / L.S. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др., Москва: Образование, 2010 г
2. Б.Г. Зив "Дидактически материали по геометрия 10 клас", М.: Просвещение.

   Повторение Окръжност, описана около многоъгълник Каква окръжност се нарича описана около многоъгълник? Какъв е центърът на окръжността, описана около многоъгълника? Какво свойство притежава центърът на окръжност, описана около многоъгълник? Къде се намира центърът на окръжността, описана около многоъгълника? Кой многоъгълник може да се впише в окръжност и при какви условия?

   Повторение Окръжност, вписана в многоъгълник Каква окръжност се нарича вписана в многоъгълник? Какъв е центърът на окръжност, вписана в многоъгълник? Какво свойство има центърът на окръжност, вписана в многоъгълник? Къде е центърът на окръжност, вписана в многоъгълник? Какъв многоъгълник може да бъде описан около окръжност, при какви условия?

   Сфера, вписана в многостен. Формулирайте дефиницията на сфера, вписана в многостен. Какво е името на полиедъра? Какво свойство притежава центърът на вписана сфера? Къде се намира множеството точки в пространството, еднакво отдалечени от лицата на двустенния ъгъл? (тристенен ъгъл)? В кой полиедър може да бъде вписана сфера?

   Сфера, вписана в пирамида

   Сфера, описана около многостен. Формулирайте дефиницията на сфера, описана около многостен. Какво е името на полиедъра? Какво свойство притежава центърът на описаната сфера? Къде се намира множеството точки в пространството, които са на еднакво разстояние от две точки? Къде се намира центърът на сферата, описана в близост до пирамидата? (на многостен?) Близо до кой многостен може да се опише сфера?

   Сфера, описана около пирамидата

   Обобщаване на урока. Възможно ли е да се опише сфера около четириъгълна пирамида, в основата на която лежи ромб, който не е квадрат? Възможно ли е да се опише сфера около правоъгълен паралелепипед? Ако е така, къде е центърът му?

   Домашна работа. Направете обобщение по темата „Сферата, описана близо до призмата. Сфера, вписана в призма. (Разгледайте задачи от учебника: No 632,637,638) Решете задача No 640 от учебника Решете задачи от помагалото: Вариант No 3 C12 (1), Вариант No 4 C12 (1).

   
   

   ГЕОМЕТРИЯ

   Раздел II. СТЕРЕОМЕТРИЯ

   §23. КОМБИНАЦИИ ОТ ГЕОМЕТРИЧНИ ТЕЛА.

   5. Многостен, вписан в топка.

   Полиедър се нарича вписан в топка, ако всичките му върхове лежат на повърхността на топката.

   В този случай топката се нарича описана около полиедъра.

   Основните свойства на призмата, вписана в топка, са следните (фиг. 511):

   1) Сфера може да бъде описана около права призма, ако нейната основа е многоъгълник, около който може да бъде описана окръжност.

   2) Центърът на топката е средата на височината на призмата, свързваща центровете на окръжностите, описани около многоъгълниците на основите на призмата.

   3) Основите на призмата са вписани в равните успоредни сечения на топката.

   Пример 1. Около правилна триъгълна призма, чиято основна страна е 5 cm, е описана сфера. Радиусът на сферата е 13 см. Намерете височината на призмата.

   Решения. 1) Нека около правилна триъгълна призма ABCA И B 1 C 1 е описана топка (фиг. 511).

   2) QB = R ABC - радиус на описаната около него окръжност∆ ABC. Където a \u003d 5 cm - страна на основата на правоъгълния триъгълник ABC.

   Тогава

   3) V ∆ OQB: RH = R \u003d 13 см - радиус на топката, OQB = 90°.

   Ние имаме

   4) Тъй като точката O е средата на височината на призмата QQ 1 след това QQ 1 = 2 ∙ 12 = 24 (cm).

   Основните свойства на пирамидата, вписана в топката, са следните (фиг. 512).

   

   1) Топка може да бъде описана около пирамида, ако нейната основа е многоъгълник, около който може да бъде описана окръжност. Центърът на сферата, описана около пирамидата, лежи върху перпендикуляра към равнината на основата, прекаран през центъра на окръжността, описана около основата.

   2) Центърът на сфера, описана около правилна пирамида, лежи на права линия, съдържаща височината на пирамидата.

   3) Центърът на топка, описана около правилна пирамида, съвпада с центъра на окръжност, описана около равнобедрен триъгълник, чиято страна е страничният ръб на пирамидата, а височината е височината на пирамидата. Радиусът на сферата е равен на радиуса на тази окръжност.

   Обърнете внимание, че центърът на описаната топка може да принадлежи на височината на пирамидата или да лежи върху нейното продължение (тоест да се намира или вътре в пирамидата, или извън нея). Когато решавате задачи по описания по-долу начин, не е необходимо да разглеждате два случая. При избрания метод на развързване местоположението на центъра на топката (вътре или извън пирамидата) не се взема предвид.

   Пример 2. Докажете, че радиусът на топкатаР , описан около правилнияпирамидите могат да бъдат намерени по формулатакъдето H е височината на пирамидата, r - радиусът на окръжността, описана около основата на пирамидата.

   Решения. 1) Нека точката O е центърът на топката, описана около правилно: пирамиди с височина Q K (фиг. 512). По условие Q K = I, KA = r - радиусът на окръжността, описана около основата.

   2) Продължете Q до второто пресичане с куршума в точката Q1. Тогава QQ 1 = 2 R - диаметър на кръга, т.н Q A Q 1 = 90° и QQ 1 - хипотенуза на правоъгълен триъгълник Q A Q 1.

   4) По свойството на катета на правоъгълен триъгълник в∆ Q A Q 1 получаваме A Q 2 = QQ 1 ∙ Q K, т.е. A Q 2 \u003d 2 R ∙ H.

   5) И така, A Q 2 \u003d H 2 + g 2 и A Q 2 \u003d 2 R H. Следователно H 2 + r 2 = 2 R H; R \u003d (r 2 + H 2) / 2 H , което трябваше да се докаже.

   
   

   Описание на презентацията на отделни слайдове:

   1 слайд

   Описание на слайда:

   общински автономен образователна институциясредно училище No45 Инструментариумза ученици от 11 клас Съставено от учителя по математика от най-висока категория Гавинская Елена Вячеславовна. Калининград 2016-2017 академична година

   2 слайд
   

   Описание на слайда:

   Полиедри, вписани в сфера. Темата е подобна на темата от курса по планиметрия, където се каза, че около триъгълници и правилни n-ъгълници могат да се описват окръжности. Аналог на кръг в пространството е сфера, многоъгълник е полиедър. В този случай аналогът на триъгълника е триъгълна призма, а аналогът на правилните многоъгълници са правилните полиедри. Определение. Полиедърът се нарича вписан в сфера, ако всичките му върхове принадлежат на тази сфера. За самата сфера се казва, че е вписана близо до полиедъра.

   3 слайд
   

   Описание на слайда:

   „Сфера може да бъде описана близо до права призма тогава и само ако кръг може да бъде описан близо до основата на тази призма.“ Доказателство Ако една сфера е описана близо до права призма, тогава всички върхове на основата на призмата принадлежат на сферата и, следователно, на окръжността, която е пресечната линия на сферата и равнината на основата. Обратно, нека около основата на права призма е описана окръжност с център в точка O1 и радиус r. Тогава около втората основа на призмата може да се опише и окръжност с център в точка O2 и със същия радиус. Нека О1О2=d, О е средата на O1O2. Тогава сферата с център O и радиус R= ще бъде желаната описана сфера. Теорема 1.

   4 слайд
   

   Описание на слайда:

   „В близост до всяка триъгълна пирамида може да се опише сфера и то само една.“ Доказателство. Нека се обърнем към доказателството, подобно на курса на планиметрията. Първо, трябва да намерите геометричното място на точките, еднакво отдалечени от два върха на триъгълника. Например A и B. Такова геометрично място е ъглополовящата, прекарана към сегмента AB. След това намираме геометричното място на точките, еднакво отдалечени от A и C. Това е ъглополовящата на отсечката AC. Пресечната точка на тези средни перпендикуляри ще бъде желаният център O на описаната окръжност около триъгълника ABC. Теорема 2.

   5 слайд
   

   Описание на слайда:

   Сега помислете за пространствената ситуация и направете подобни конструкции. Нека е дадена триъгълна пирамида DABC и точките A, B и C определят равнината α. Геометричното място на точките, еднакво отдалечени от точки A, B и C, е правата a, перпендикулярна на равнинатаα и минаваща през центъра O1 на окръжността, описана около триъгълника ABC. Геометричното място на точките, равноотдалечени от точките A и D, е равнината β, перпендикулярна на отсечката AD и минаваща през нейния връх – точка E. Равнината β и правата a се пресичат в точка O, която ще бъде търсеният център на сферата, описана около триъгълната пирамида DABC. Наистина, по силата на конструкцията точка O е еднакво отдалечена от всички върхове на пирамидата DABC. Освен това такава точка ще бъде единствената, тъй като пресичащата се линия и равнината имат една обща точка.

   6 слайд
   

   Описание на слайда:

   Топка, описана около правилна пирамида. Топката може да бъде описана близо до всяка правилна пирамида. Центърът на топката лежи на права линия, минаваща през височината на пирамидата, и съвпада с центъра на окръжността, описана около равнобедрен триъгълник, чиято страна е страничният ръб на пирамидата, а височината е височината на пирамидата. Радиусът на сферата е равен на радиуса на тази окръжност. Радиусът на топката R, височината на пирамидата H и радиусът на окръжността r, описана близо до основата на пирамидата, са свързани с връзката: R2=(H-R)2+r2 Тази връзка е валидна и в случая, когато з< R.

   7 слайд
   

   Описание на слайда:

   Задача за топка, описана около правилна пирамида. „В близост до правилната пирамида RABC е описана сфера с център в точка O и радиус 9√3m. Правата RO, съдържаща височината на пирамидата, пресича основата на пирамидата в точка H, така че PH:OH=2:1. Намерете обема на пирамидата, ако всеки от нейните странични ръбове сключва ъгъл 45 градуса с равнината на основата.

   8 слайд
   

   Описание на слайда:

   Дадено е: RABC е правилна пирамида; близо до пирамидата е описана топка (O;R=9√3 m); RO∩(ABC)=H; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45о. Намерете: Впир. Решение: Тъй като PH:OH=2:1 (по условие), тогава PH:OR=2:3 PH:9√3 =2:3 PH=6√3 (m) 2. PH _ (ABC) (като височина на пирамидата) => => RN _ AN (по дефиниция) => RAS - правоъгълен. 3. В RAS:

   9 слайд
   

   Описание на слайда:

   4. Тъй като според условието RABC е правилна пирамида и PH е нейната височина, то по дефиниция ABC е правилна; H е центърът на описаната окръжност около ABC, което означава 5. Отговор: 486 m3.

   10 слайд
   

   Описание на слайда:

   Сфера, описана около призма. Сфера може да бъде описана около призма, ако тя е права и нейните основи са многоъгълници, вписани в окръжност. Центърът на топката лежи в средата на височината на призмата, свързвайки центровете на кръговете, описани близо до основите на призмата. Радиусът на топката R, височината на призмата H и радиусът на окръжността r, описана близо до основата на призмата, са свързани по следния начин:

   11 слайд
   

   Описание на слайда:

   Задача за сфера, описана около призма. „Правилната призма ABCDA1B1C1D1 с височина 6 см е вписана в топка (така че; R = 5 см). Намерете площта на напречното сечение на призмата с равнина, успоредна на равнините на основата и минаваща през точката O - центъра на топката.

   12 слайд
   

   Описание на слайда:

   Дадено е: ABCDA1B1C1D1 е правилна призма; близо до призма е описана топка (O; R=5 cm); височината на призмата h е 6 cm; α║(ABC); O с α. Намерете: Ssec α, Решение: Тъй като по условие призмата е вписана в топката, тогава (r е радиусът на окръжността, описана близо до основата на призмата) Но по условие е дадена правилната призма, което означава

   13 слайд
   

   Описание на слайда:

   а) (АВВ1) ║(СС1D1) (по свойството на права призма) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (по свойството на успоредни равнини) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (по свойството на права призма) => KM = HP (по свойството на успоредни равнини). Следователно KMNR е успоредник (по характеристика) => MN=KR и MN ║ KR b) α ║ (ABC) (по конструкция) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (според свойството на успоредни равнини) 2. 3. Тъй като според условието ABCDA1B1C1D1 е правилна призма, а сечението с равнината α е успоредно на основите, фигурата, образувана от сечението е квадрат. Нека го докажем: => => =>

   14 слайд
   

   Описание на слайда:

   KMH= ABC=90o (като ъгли със съответно еднакво насочени страни) Следователно, KMNR ромбът е квадрат (по дефиниция), което трябваше да се докаже. Освен това квадратите KMNR и ABCD са равни. Следователно по свойство повърхнините им са равни и следователно Ssec α.=SABCD=32 (cm2) Отговор: 32 cm2. в) KM ║ AB (доказано) (BCC1) ║(ADD1) (по свойството на права призма) => KM=AB=4√2 cm (по свойството на успоредни равнини). г) По същия начин се доказва, че MH ║ BC и MH=BC=4√2 см. Следователно MH=KM => успоредник MNRK е ромб (по дефиниция). д) MN ║ BC (доказано) KM ║ AB (доказано) => =>

   15 слайд
   

   Описание на слайда:

   Цилиндър, описан около призма. Може да се опише цилиндър близо до права призма, ако основата му е многоъгълник, вписан в окръжност. Радиусът на цилиндъра R е равен на радиуса на тази окръжност. Оста на цилиндъра лежи на една и съща права линия с височината Н на призмата, свързваща центровете на окръжностите, описани в близост до основите на призмата. В случай на четириъгълна призма (ако основата е правоъгълник), оста на цилиндъра минава през точката на пресичане на диагоналите на основите на призмата.

   16 слайд
   

   Описание на слайда:

   Задача за цилиндър, описан около призма. Правата призма ABCD1B1C1D1, чиято основа е правоъгълник, е вписана в цилиндър, чиято образуваща е 7 см, а радиусът е 3 см. Намерете лицето на страничната повърхност на призмата, ако ъгълът между диагоналите ABCD са 60 градуса. OO1 е оста на цилиндъра.

   17 слайд
   

   Описание на слайда:

   Дадено е: ABCDA1B1C1D1 - права призма; цилиндърът е описан близо до призмата; образуваща на цилиндър AA1=7 cm; радиусът на основата на цилиндъра е 3 cm; ъгълът между диагоналите ABCD е 60o; OO1 е оста на цилиндъра. Намерете: Sside.призма. Решение: Тъй като по условието четириъгълна призма, в основата на която е вписан правоъгълник в топка, то по свойството AC∩BD=O. Така че AOB=60o и AO=OB=3cm. 2. В AOB по косинусовата теорема.