Τι είναι η πιθανότητα;

Την πρώτη φορά που συνάντησα αυτόν τον όρο, δεν θα είχα καταλάβει τι ήταν. Ως εκ τούτου, θα προσπαθήσω να εξηγήσω με σαφήνεια.

Πιθανότητα είναι η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός που θέλουμε.

Για παράδειγμα, αποφασίσατε να πάτε στο σπίτι ενός φίλου, θυμάστε την είσοδο και ακόμη και τον όροφο στον οποίο μένει. Αλλά ξέχασα τον αριθμό και την τοποθεσία του διαμερίσματος. Και τώρα στέκεστε στη σκάλα, και μπροστά σας υπάρχουν πόρτες για να διαλέξετε.

Ποια είναι η πιθανότητα (πιθανότητα) αν χτυπήσεις το πρώτο κουδούνι, ο φίλος σου να σου απαντήσει; Υπάρχουν μόνο διαμερίσματα και ένας φίλος μένει μόνο πίσω από ένα από αυτά. Με ίσες πιθανότητες μπορούμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε πόρτα.

Ποια είναι όμως αυτή η ευκαιρία;

Η πόρτα, η σωστή πόρτα. Πιθανότητα να μαντέψετε χτυπώντας το πρώτο κουδούνι: . Δηλαδή, μια φορά στις τρεις θα μαντέψεις με ακρίβεια.

Θέλουμε να μάθουμε, αφού τηλεφωνήσουμε μια φορά, πόσο συχνά θα μαντέψουμε την πόρτα; Ας δούμε όλες τις επιλογές:

1. Εσυ καλεσες 1οςθύρα
2. Εσυ καλεσες 2οθύρα
3. Εσυ καλεσες 3ηθύρα

Τώρα ας δούμε όλες τις επιλογές όπου θα μπορούσε να είναι ένας φίλος:

ΕΝΑ. Πίσω 1οςη ΠΟΡΤΑ
σι. Πίσω 2οη ΠΟΡΤΑ
V. Πίσω 3ηη ΠΟΡΤΑ

Ας συγκρίνουμε όλες τις επιλογές σε μορφή πίνακα. Ένα σημάδι επιλογής υποδεικνύει επιλογές όταν η επιλογή σας συμπίπτει με την τοποθεσία ενός φίλου, ένα σταυρό - όταν δεν συμπίπτει.

Πώς τα βλέπεις όλα Μπορεί επιλογέςτην τοποθεσία του φίλου σας και την επιλογή σας για την πόρτα που θα χτυπήσετε.

ΕΝΑ ευνοϊκά αποτελέσματα όλων . Δηλαδή, θα μαντέψετε μια φορά χτυπώντας μια φορά το κουδούνι, δηλ. .

Αυτή είναι η πιθανότητα - η αναλογία ενός ευνοϊκού αποτελέσματος (όταν η επιλογή σας συμπίπτει με την τοποθεσία του φίλου σας) προς τον αριθμό των πιθανών γεγονότων.

Ο ορισμός είναι ο τύπος. Η πιθανότητα συνήθως συμβολίζεται με p, επομένως:

Δεν είναι πολύ βολικό να γράψουμε έναν τέτοιο τύπο, επομένως θα λάβουμε - τον αριθμό των ευνοϊκών αποτελεσμάτων και για - τον συνολικό αριθμό των αποτελεσμάτων.

Η πιθανότητα μπορεί να γραφτεί ως ποσοστό· για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το αποτέλεσμα που προκύπτει με:

Η λέξη «αποτελέσματα» μάλλον τράβηξε την προσοχή σας. Δεδομένου ότι οι μαθηματικοί αποκαλούν διάφορες ενέργειες (στην περίπτωσή μας, μια τέτοια ενέργεια είναι ένα κουδούνι) πειράματα, το αποτέλεσμα τέτοιων πειραμάτων συνήθως ονομάζεται αποτέλεσμα.

Λοιπόν, υπάρχουν ευνοϊκά και δυσμενή αποτελέσματα.

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας. Ας πούμε ότι χτυπήσαμε μια από τις πόρτες, αλλά μας άνοιξαν ξένος. Δεν μαντέψαμε σωστά. Ποια είναι η πιθανότητα αν χτυπήσουμε μια από τις πόρτες που έχουν απομείνει, ο φίλος μας να μας την ανοίξει;

Αν το σκεφτήκατε, τότε αυτό είναι λάθος. Ας το καταλάβουμε.

Μας απομένουν δύο πόρτες. Έχουμε λοιπόν πιθανά βήματα:

1) Καλέστε 1οςθύρα
2) Καλέστε 2οθύρα

Ο φίλος, παρ' όλα αυτά, είναι σίγουρα πίσω από ένα από αυτά (εξάλλου, δεν ήταν πίσω από αυτόν που καλέσαμε):

α) Φίλος για 1οςη ΠΟΡΤΑ
β) Φίλος για 2οη ΠΟΡΤΑ

Ας σχεδιάσουμε ξανά τον πίνακα:

Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν μόνο επιλογές, εκ των οποίων είναι ευνοϊκές. Δηλαδή η πιθανότητα είναι ίση.

Γιατί όχι?

Η κατάσταση που εξετάσαμε είναι παράδειγμα εξαρτημένων γεγονότων.Το πρώτο γεγονός είναι το πρώτο κουδούνι, το δεύτερο γεγονός είναι το δεύτερο κουδούνι.

Και ονομάζονται εξαρτημένα γιατί επηρεάζουν τις παρακάτω ενέργειες. Άλλωστε, αν μετά το πρώτο χτύπημα το κουδούνι απαντούσε ένας φίλος, ποια θα ήταν η πιθανότητα να βρισκόταν πίσω από έναν από τους άλλους δύο; Σωστά, .

Αν όμως υπάρχουν εξαρτημένα γεγονότα, τότε πρέπει να υπάρχουν και αυτά ανεξάρτητος? Σωστά, συμβαίνουν.

Ένα παράδειγμα σχολικού βιβλίου είναι η ρίψη ενός νομίσματος.

1. Πέτα ένα νόμισμα μια φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει κεφάλια, για παράδειγμα; Αυτό είναι σωστό - γιατί υπάρχουν όλες οι επιλογές (είτε κεφάλια είτε ουρές, θα παραμελήσουμε την πιθανότητα το κέρμα να προσγειωθεί στην άκρη του), αλλά μας ταιριάζει μόνο.
2. Αλλά ήρθε στο μυαλό. Εντάξει, ας το ξαναρίξουμε. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει κεφάλια τώρα; Τίποτα δεν έχει αλλάξει, όλα είναι ίδια. Πόσες επιλογές; Δύο. Με πόσους είμαστε ευχαριστημένοι; Ενας.

Και αφήστε το να ανεβαίνει τουλάχιστον χίλιες φορές στη σειρά. Η πιθανότητα να πάρεις κεφάλια ταυτόχρονα θα είναι η ίδια. Υπάρχουν πάντα επιλογές και ευνοϊκές.

Είναι εύκολο να διακρίνουμε εξαρτημένα γεγονότα από ανεξάρτητα:

1. Εάν το πείραμα πραγματοποιηθεί μία φορά (πετάνε ένα νόμισμα μία φορά, χτυπούν το κουδούνι μία φορά κ.λπ.), τότε τα γεγονότα είναι πάντα ανεξάρτητα.
2. Εάν ένα πείραμα πραγματοποιηθεί πολλές φορές (ένα κέρμα ρίχνεται μία φορά, το κουδούνι χτυπάει πολλές φορές), τότε το πρώτο γεγονός είναι πάντα ανεξάρτητο. Και τότε, αν αλλάξει ο αριθμός των ευνοϊκών ή ο αριθμός όλων των αποτελεσμάτων, τότε τα γεγονότα εξαρτώνται, και αν όχι, είναι ανεξάρτητα.

Ας εξασκηθούμε λίγο στον προσδιορισμό της πιθανότητας.

Παράδειγμα 1.

Το κέρμα πετιέται δύο φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει κεφάλια δύο φορές στη σειρά;

Λύση:

Ας εξετάσουμε όλες τις πιθανές επιλογές:

1. Αετός-αετός
2. Κεφάλια-ουρές
3. Ουρές-Κεφάλια
4. Ουρές-ουρές

Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχουν μόνο επιλογές. Από αυτά, είμαστε μόνο ικανοποιημένοι. Δηλαδή η πιθανότητα:

Εάν η συνθήκη ζητά απλώς να βρει την πιθανότητα, τότε η απάντηση θα πρέπει να δοθεί στη φόρμα δεκαδικός. Εάν προσδιοριζόταν ότι η απάντηση πρέπει να δίνεται ως ποσοστό, τότε θα πολλαπλασιάζαμε επί.

Απάντηση:

Παράδειγμα 2.

Σε ένα κουτί σοκολατάκια, όλες οι σοκολάτες συσκευάζονται στο ίδιο περιτύλιγμα. Ωστόσο, από γλυκά - με ξηρούς καρπούς, με κονιάκ, με κεράσια, με καραμέλα και με μαντολάτο.

Ποια είναι η πιθανότητα να πάρετε μια καραμέλα και να πάρετε μια καραμέλα με ξηρούς καρπούς; Δώστε την απάντησή σας ως ποσοστό.

Λύση:

Πόσα πιθανά αποτελέσματα υπάρχουν; .

Δηλαδή, αν πάρετε μια καραμέλα, θα είναι μια από αυτές που υπάρχουν στο κουτί.

Πόσα ευνοϊκά αποτελέσματα;

Γιατί το κουτί περιέχει μόνο σοκολάτες με ξηρούς καρπούς.

Απάντηση:

Παράδειγμα 3.

Σε ένα κουτί με μπαλόνια. εκ των οποίων είναι άσπρο και μαύρο.

1. Ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιάσετε μια λευκή μπάλα;
2. Προσθέσαμε περισσότερες μαύρες μπάλες στο κουτί. Ποια είναι τώρα η πιθανότητα να σχεδιάσετε μια λευκή μπάλα;

Λύση:

α) Υπάρχουν μόνο μπάλες στο κουτί. Από αυτά είναι λευκά.

Η πιθανότητα είναι:

β) Τώρα υπάρχουν περισσότερες μπάλες στο κουτί. Και έχουν μείνει εξίσου πολλοί λευκοί - .

Απάντηση:

Συνολική πιθανότητα

Η πιθανότητα όλων των πιθανών γεγονότων είναι ίση με ().

Ας πούμε ότι υπάρχουν κόκκινες και πράσινες μπάλες σε ένα κουτί. Ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιάσετε μια κόκκινη μπάλα; Πράσινη μπάλα; Κόκκινη ή πράσινη μπάλα;

Πιθανότητα να σχεδιάσετε μια κόκκινη μπάλα

Πράσινη μπάλα:

Κόκκινη ή πράσινη μπάλα:

Όπως μπορείτε να δείτε, το άθροισμα όλων των πιθανών γεγονότων είναι ίσο με (). Η κατανόηση αυτού του σημείου θα σας βοηθήσει να λύσετε πολλά προβλήματα.

Παράδειγμα 4.

Υπάρχουν δείκτες στο κουτί: πράσινο, κόκκινο, μπλε, κίτρινο, μαύρο.

Ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιάσετε ΟΧΙ κόκκινο μαρκαδόρο;

Λύση:

Ας μετρήσουμε τον αριθμό ευνοϊκά αποτελέσματα.

ΟΧΙ κόκκινο μαρκαδόρο, που σημαίνει πράσινο, μπλε, κίτρινο ή μαύρο.

Πιθανότητα όλων των γεγονότων. Και η πιθανότητα γεγονότων που θεωρούμε δυσμενή (όταν βγάζουμε κόκκινο μαρκαδόρο) είναι .

Έτσι, η πιθανότητα να τραβήξετε ένα ΟΧΙ κόκκινο μαρκαδόρο είναι .

Απάντηση:

Η πιθανότητα να μην συμβεί ένα συμβάν είναι ίση με μείον την πιθανότητα να συμβεί το γεγονός.

Κανόνας πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων

Γνωρίζετε ήδη τι είναι ανεξάρτητες εκδηλώσεις.

Τι γίνεται αν χρειαστεί να βρείτε την πιθανότητα να συμβούν δύο (ή περισσότερα) ανεξάρτητα γεγονότα στη σειρά;

Ας πούμε ότι θέλουμε να μάθουμε ποια είναι η πιθανότητα ότι αν γυρίσουμε ένα νόμισμα μια φορά, θα δούμε κεφάλια δύο φορές;

Έχουμε ήδη σκεφτεί - .

Κι αν πετάξουμε ένα νόμισμα μια φορά; Ποια είναι η πιθανότητα να δείτε έναν αετό δύο φορές στη σειρά;

Συνολικές πιθανές επιλογές:

1. Αετός-αετός-αετός
2. Κεφάλια-κεφάλια-ουρές
3. Κεφάλια-ουρές-κεφάλια
4. Κεφάλια-ουρές-ουρές
5. Ουρές-κεφάλια-κεφάλια
6. Ουρές-κεφαλές-ουρές
7. Ουρές-ουρές-κεφάλια
8. Ουρές-ουρές-ουρές

Δεν ξέρω για εσάς, αλλά έκανα λάθη αρκετές φορές κατά τη σύνταξη αυτής της λίστας. Ουάου! Και η μόνη επιλογή (η πρώτη) μας ταιριάζει.

Για 5 βολές, μπορείτε να κάνετε μόνοι σας μια λίστα με πιθανά αποτελέσματα. Αλλά οι μαθηματικοί δεν είναι τόσο εργατικοί όσο εσείς.

Επομένως, πρώτα παρατήρησαν και μετά απέδειξαν ότι η πιθανότητα μιας συγκεκριμένης ακολουθίας ανεξάρτητων γεγονότων κάθε φορά μειώνεται κατά την πιθανότητα ενός γεγονότος.

Με άλλα λόγια,

Ας δούμε το παράδειγμα του ίδιου δύσμοιρου νομίσματος.

Πιθανότητα να πάρει κεφάλια σε μια πρόκληση; . Τώρα γυρίζουμε το κέρμα μια φορά.

Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει κεφάλια στη σειρά;

Αυτός ο κανόνας δεν λειτουργεί μόνο εάν μας ζητηθεί να βρούμε την πιθανότητα να συμβεί το ίδιο γεγονός πολλές φορές στη σειρά.

Αν θέλαμε να βρούμε την ακολουθία ΟΥΡΕΣ-ΚΕΦΑΛΙΑ-ΟΥΡΕΣ για διαδοχικές ρίψεις, θα κάναμε το ίδιο.

Η πιθανότητα να πάρεις ουρές είναι , κεφάλια - .

Πιθανότητα λήψης της ακολουθίας ΟΥΡΕΣ-ΚΕΦΑΛΙΑ-ΟΥΡΕΣ-ΟΥΡΕΣ:

Μπορείτε να το ελέγξετε μόνοι σας φτιάχνοντας έναν πίνακα.

Ο κανόνας για την πρόσθεση των πιθανοτήτων ασυμβίβαστων γεγονότων.

Σταμάτα λοιπόν! Νέος ορισμός.

Ας το καταλάβουμε. Ας πάρουμε το φθαρμένο μας κέρμα και ας το πετάξουμε μια φορά.
Πιθανές επιλογές:

1. Αετός-αετός-αετός
2. Κεφάλια-κεφάλια-ουρές
3. Κεφάλια-ουρές-κεφάλια
4. Κεφάλια-ουρές-ουρές
5. Ουρές-κεφάλια-κεφάλια
6. Ουρές-κεφαλές-ουρές
7. Ουρές-ουρές-κεφάλια
8. Ουρές-ουρές-ουρές

Άρα, τα ασύμβατα γεγονότα είναι μια ορισμένη, δεδομένη ακολουθία γεγονότων. - αυτά είναι ασύμβατα γεγονότα.

Αν θέλουμε να προσδιορίσουμε ποια είναι η πιθανότητα δύο (ή περισσότερων) ασυμβίβαστων γεγονότων, τότε προσθέτουμε τις πιθανότητες αυτών των γεγονότων.

Πρέπει να καταλάβετε ότι τα κεφάλια ή οι ουρές είναι δύο ανεξάρτητα γεγονότα.

Αν θέλουμε να προσδιορίσουμε την πιθανότητα να συμβεί μια ακολουθία (ή οποιαδήποτε άλλη), τότε χρησιμοποιούμε τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων.
Ποια είναι η πιθανότητα να έχετε κεφάλια στην πρώτη ρίψη και ουρές στη δεύτερη και τρίτη ρίψη;

Αλλά αν θέλουμε να μάθουμε ποια είναι η πιθανότητα να λάβουμε μία από τις πολλές ακολουθίες, για παράδειγμα, όταν οι κεφαλές εμφανίζονται ακριβώς μία φορά, π.χ. επιλογές και, τότε πρέπει να προσθέσουμε τις πιθανότητες αυτών των ακολουθιών.

Οι συνολικές επιλογές μας ταιριάζουν.

Μπορούμε να πάρουμε το ίδιο πράγμα αθροίζοντας τις πιθανότητες εμφάνισης κάθε ακολουθίας:

Έτσι, προσθέτουμε πιθανότητες όταν θέλουμε να προσδιορίσουμε την πιθανότητα ορισμένων, ασυνεπών, ακολουθιών γεγονότων.

Υπάρχει ένας καλός κανόνας που θα σας βοηθήσει να αποφύγετε τη σύγχυση πότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε και πότε να προσθέσετε:

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα όπου πετάξαμε ένα νόμισμα μια φορά και θέλαμε να μάθουμε την πιθανότητα να δούμε κεφάλια μια φορά.
Τι πρόκειται να συμβεί?

Πρέπει να πέσει έξω:
(κεφαλές ΚΑΙ ουρές ΚΑΙ ουρές) Ή (ουρές ΚΑΙ κεφαλές ΚΑΙ ουρές) Ή (ουρές ΚΑΙ ουρές ΚΑΙ κεφαλές).
Έτσι αποδεικνύεται:

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 5.

Υπάρχουν μολύβια στο κουτί. κόκκινο, πράσινο, πορτοκαλί και κίτρινο και μαύρο. Ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιάσετε κόκκινα ή πράσινα μολύβια;

Λύση:

Τι πρόκειται να συμβεί? Πρέπει να τραβήξουμε (κόκκινο Ή πράσινο).

Τώρα είναι σαφές, ας προσθέσουμε τις πιθανότητες αυτών των γεγονότων:

Απάντηση:

Παράδειγμα 6.

Αν ένα ζάρι πεταχτεί δύο φορές, ποια είναι η πιθανότητα να πάρει συνολικά 8;

Λύση.

Πώς μπορούμε να πάρουμε βαθμούς;

(και) ή (και) ή (και) ή (και) ή (και).

Η πιθανότητα να αποκτήσετε ένα (οποιοδήποτε) πρόσωπο είναι .

Υπολογίζουμε την πιθανότητα:

Απάντηση:

Εκπαίδευση.

Νομίζω ότι τώρα καταλαβαίνετε πότε πρέπει να υπολογίσετε τις πιθανότητες, πότε να τις προσθέσετε και πότε να τις πολλαπλασιάσετε. Δεν είναι? Ας εξασκηθούμε λίγο.

Καθήκοντα:

Ας πάρουμε μια τράπουλα που περιέχει κάρτες με μπαστούνια, καρδιές, 13 μπαστούνια και 13 διαμάντια. Από τον Άσο του κάθε χρώματος.

1. Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξουμε ρόπαλα στη σειρά (βάζουμε το πρώτο φύλλο που τραβήχτηκε πίσω στην τράπουλα και το ανακατεύουμε);
2. Ποια είναι η πιθανότητα να τραβήξετε ένα μαύρο φύλλο (μπαστούνια ή μπαστούνια);
3. Ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιάσετε μια εικόνα (τζακ, βασίλισσα, βασιλιάς ή άσος);
4. Ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιάσουμε δύο εικόνες στη σειρά (αφαιρούμε το πρώτο φύλλο που τραβήχτηκε από την τράπουλα);
5. Ποια είναι η πιθανότητα, παίρνοντας δύο φύλλα, να μαζέψεις έναν συνδυασμό - (τζακ, βασίλισσα ή βασιλιά) και έναν άσο; Η σειρά με την οποία κληρώνονται τα φύλλα δεν έχει σημασία.

Απαντήσεις:

1. Σε μια τράπουλα κάθε αξίας, σημαίνει:
2. Τα γεγονότα εξαρτώνται, αφού μετά την αφαίρεση του πρώτου φύλλου, ο αριθμός των φύλλων στην τράπουλα μειώθηκε (όπως και ο αριθμός των «εικόνων»). Στην τράπουλα αρχικά υπάρχουν συνολικά βαλέδες, βασίλισσες, βασιλιάδες και άσοι, που σημαίνει την πιθανότητα να τραβήξετε μια «εικόνα» με το πρώτο φύλλο:

   Εφόσον αφαιρούμε το πρώτο φύλλο από την τράπουλα, σημαίνει ότι έχουν απομείνει ήδη φύλλα στην τράπουλα, συμπεριλαμβανομένων των εικόνων. Πιθανότητα να σχεδιάσετε μια εικόνα με τη δεύτερη κάρτα:

   Εφόσον μας ενδιαφέρει η κατάσταση όταν βγάζουμε μια «εικόνα» ΚΑΙ μια «εικόνα» από το κατάστρωμα, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τις πιθανότητες:

   Απάντηση:

3. Αφού τραβήξετε το πρώτο φύλλο, ο αριθμός των φύλλων στην τράπουλα θα μειωθεί. Έτσι, μας ταιριάζουν δύο επιλογές:
   1) Το πρώτο φύλλο είναι Άσσος, το δεύτερο είναι Τζακ, Βασίλισσα ή Βασιλιάς
   2) Βγάζουμε βαλέ, βασίλισσα ή βασιλιά με το πρώτο φύλλο και άσο με το δεύτερο. (άσος και (τζακ ή βασίλισσα ή βασιλιάς)) ή ((τζακ ή βασίλισσα ή βασιλιάς) και άσος). Μην ξεχάσετε να μειώσετε τον αριθμό των φύλλων στην τράπουλα!

Αν μπορέσατε να λύσετε όλα τα προβλήματα μόνοι σας, τότε είστε υπέροχοι! Τώρα θα σπάσεις τα προβλήματα θεωρίας πιθανοτήτων στην Ενιαία Κρατική Εξέταση σαν καρύδια!

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Ας δούμε ένα παράδειγμα. Ας πούμε ότι ρίχνουμε ένα ζάρι. Τι κόκκαλο είναι αυτό, ξέρεις; Αυτό αποκαλούν έναν κύβο με αριθμούς στις όψεις του. Πόσα πρόσωπα, τόσοι αριθμοί: από έως πόσους; Πριν.

Ρίχνουμε λοιπόν τα ζάρια και θέλουμε να ανέβει ή. Και το καταλαβαίνουμε.

Στη θεωρία πιθανοτήτων λένε τι έγινε ευοίωνο γεγονός(να μην συγχέεται με την ευημερία).

Εάν συνέβαινε, η εκδήλωση θα ήταν επίσης ευνοϊκή. Συνολικά, μόνο δύο ευνοϊκά γεγονότα μπορούν να συμβούν.

Πόσοι είναι δυσμενείς; Εφόσον υπάρχουν συνολικά πιθανά γεγονότα, σημαίνει ότι τα δυσμενή είναι γεγονότα (αυτό είναι εάν ή πέφτει έξω).

Ορισμός:

Η πιθανότητα είναι ο λόγος του αριθμού των ευνοϊκών γεγονότων προς τον αριθμό όλων των πιθανών γεγονότων. Δηλαδή, η πιθανότητα δείχνει ποια αναλογία όλων των πιθανών γεγονότων είναι ευνοϊκά.

Η πιθανότητα υποδηλώνεται με λατινικό γράμμα (προφανώς από Αγγλική λέξηπιθανότητα - πιθανότητα).

Συνηθίζεται η μέτρηση της πιθανότητας ως ποσοστό (βλ. θέματα και). Για να γίνει αυτό, η τιμή πιθανότητας πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί. Στο παράδειγμα με ζάριαπιθανότητα.

Και σε ποσοστό: .

Παραδείγματα (αποφασίστε μόνοι σας):

1. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει κεφάλια όταν πετάει ένα κέρμα; Ποια είναι η πιθανότητα προσγείωσης κεφαλών;
2. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε ζυγό αριθμό όταν πετάμε ένα ζάρι; Ποιο είναι περίεργο;
3. Σε ένα κουτί με απλά, μπλε και κόκκινα μολύβια. Σχεδιάζουμε ένα μολύβι τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα να αποκτήσετε ένα απλό;

Λύσεις:

1. Πόσες επιλογές υπάρχουν; Κεφάλια και ουρές - μόνο δύο. Πόσα από αυτά είναι ευνοϊκά; Μόνο ένας είναι αετός. Άρα η πιθανότητα

   Το ίδιο συμβαίνει και με τις ουρές: .

2. Σύνολο επιλογών: (πόσες πλευρές έχει ο κύβος, τόσες διαφορετικές επιλογές). Ευνοϊκοί: (όλα αυτά είναι ζυγοί αριθμοί:).
   Πιθανότητα. Φυσικά, το ίδιο συμβαίνει και με τους περιττούς αριθμούς.
3. Σύνολο: . Ευνοϊκός: . Πιθανότητα: .

Συνολική πιθανότητα

Όλα τα μολύβια στο κουτί είναι πράσινα. Ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα κόκκινο μολύβι; Δεν υπάρχουν πιθανότητες: πιθανότητα (εξάλλου, ευνοϊκά γεγονότα -).

Ένα τέτοιο γεγονός ονομάζεται αδύνατο.

Ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα πράσινο μολύβι; Υπάρχει ακριβώς ο ίδιος αριθμός ευνοϊκών γεγονότων με τα συνολικά γεγονότα (όλα τα γεγονότα είναι ευνοϊκά). Άρα η πιθανότητα είναι ίση με ή.

Ένα τέτοιο γεγονός ονομάζεται αξιόπιστο.

Εάν ένα κουτί περιέχει πράσινα και κόκκινα μολύβια, ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιάσετε πράσινο ή κόκκινο; Για άλλη μία φορά. Ας σημειώσουμε αυτό: η πιθανότητα να βγάλουμε πράσινο είναι ίση και το κόκκινο είναι ίση.

Συνολικά, αυτές οι πιθανότητες είναι ακριβώς ίσες. Αυτό είναι, το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των πιθανών γεγονότων είναι ίσο με ή.

Παράδειγμα:

Σε ένα κουτί μολύβια, ανάμεσά τους είναι μπλε, κόκκινο, πράσινο, απλό, κίτρινο και τα υπόλοιπα είναι πορτοκαλί. Ποια είναι η πιθανότητα να μην σχεδιάσετε πράσινο;

Λύση:

Θυμόμαστε ότι όλες οι πιθανότητες αθροίζονται. Και η πιθανότητα να πάρει πράσινο είναι ίση. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να μην σχεδιάσετε πράσινο είναι ίση.

Θυμηθείτε αυτό το κόλπο:Η πιθανότητα να μην συμβεί ένα συμβάν είναι ίση με μείον την πιθανότητα να συμβεί το γεγονός.

Ανεξάρτητα γεγονότα και ο κανόνας του πολλαπλασιασμού

Γυρίζεις ένα νόμισμα μία φορά και θέλεις να ανεβαίνει και τις δύο φορές. Ποια είναι η πιθανότητα για αυτό;

Ας δούμε όλες τις πιθανές επιλογές και ας προσδιορίσουμε πόσες υπάρχουν:

Heads-Heads, Tails-Heads, Heads-Tails, Tails-Tails. Τι άλλο?

Συνολικές επιλογές. Από αυτά μόνο ένα μας ταιριάζει: Eagle-Eagle. Συνολικά, η πιθανότητα είναι ίση.

Πρόστιμο. Τώρα ας γυρίσουμε ένα νόμισμα μια φορά. Κάντε τα μαθηματικά μόνοι σας. Συνέβη; (απάντηση).

Ίσως έχετε παρατηρήσει ότι με την προσθήκη κάθε επόμενης ρίψης, η πιθανότητα μειώνεται στο μισό. Ο γενικός κανόνας λέγεται κανόνας πολλαπλασιασμού:

Οι πιθανότητες ανεξάρτητων γεγονότων αλλάζουν.

Τι είναι οι ανεξάρτητες εκδηλώσεις; Όλα είναι λογικά: αυτά είναι εκείνα που δεν εξαρτώνται το ένα από το άλλο. Για παράδειγμα, όταν ρίχνουμε ένα νόμισμα πολλές φορές, κάθε φορά γίνεται μια νέα ρίψη, το αποτέλεσμα της οποίας δεν εξαρτάται από όλες τις προηγούμενες ρίψεις. Μπορούμε εξίσου εύκολα να ρίξουμε δύο διαφορετικά νομίσματα ταυτόχρονα.

Περισσότερα παραδείγματα:

1. Τα ζάρια ρίχνονται δύο φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να το πάρεις και τις δύο φορές;
2. Το κέρμα πετιέται μια φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να ανέβει τα κεφάλια την πρώτη φορά και στη συνέχεια να χτυπήσει δύο φορές;
3. Ο παίκτης ρίχνει δύο ζάρια. Ποια είναι η πιθανότητα το άθροισμα των αριθμών πάνω τους να είναι ίσο;

Απαντήσεις:

1. Τα συμβάντα είναι ανεξάρτητα, πράγμα που σημαίνει ότι ο κανόνας πολλαπλασιασμού λειτουργεί: .
2. Η πιθανότητα κεφαλιών είναι ίση. Η πιθανότητα ουρών είναι η ίδια. Πολλαπλασιάζω:
3. Το 12 μπορεί να ληφθεί μόνο εάν κυληθούν δύο -ki: .

Ασυμβίβαστα συμβάντα και ο κανόνας της προσθήκης

Τα γεγονότα που αλληλοσυμπληρώνονται σε σημείο πλήρους πιθανότητας ονομάζονται ασυμβίβαστα. Όπως υποδηλώνει το όνομα, δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα. Για παράδειγμα, αν γυρίσουμε ένα νόμισμα, μπορεί να βγει είτε στο κεφάλι είτε στην ουρά.

Παράδειγμα.

Σε ένα κουτί μολύβια, ανάμεσά τους είναι μπλε, κόκκινο, πράσινο, απλό, κίτρινο και τα υπόλοιπα είναι πορτοκαλί. Ποια είναι η πιθανότητα να σχεδιάσετε πράσινο ή κόκκινο;

Λύση .

Η πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα πράσινο μολύβι είναι ίση. Το κόκκινο - .

Ευνοϊκές εκδηλώσεις σε όλα: πράσινο + κόκκινο. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να σχεδιάσετε πράσινο ή κόκκινο είναι ίση.

Η ίδια πιθανότητα μπορεί να αναπαρασταθεί με αυτή τη μορφή: .

Αυτός είναι ο κανόνας προσθήκης:αθροίζονται οι πιθανότητες ασυμβίβαστων γεγονότων.

Προβλήματα μικτού τύπου

Παράδειγμα.

Το κέρμα πετιέται δύο φορές. Ποια είναι η πιθανότητα τα αποτελέσματα των κυλίνδρων να είναι διαφορετικά;

Λύση .

Αυτό σημαίνει ότι αν το πρώτο αποτέλεσμα είναι κεφάλια, το δεύτερο πρέπει να είναι ουρές και το αντίστροφο. Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν δύο ζεύγη ανεξάρτητων γεγονότων και αυτά τα ζεύγη είναι ασύμβατα μεταξύ τους. Πώς να μην μπερδεύεστε για το πού να πολλαπλασιάσετε και πού να προσθέσετε.

Υπάρχει ένας απλός κανόνας για τέτοιες καταστάσεις. Προσπαθήστε να περιγράψετε τι πρόκειται να συμβεί χρησιμοποιώντας τους συνδέσμους "AND" ή "OR". Για παράδειγμα, σε αυτή την περίπτωση:

Θα πρέπει να ανέβει (κεφάλια και ουρές) ή (ουρές και κεφάλια).

Όπου υπάρχει σύνδεσμος "και" θα υπάρχει πολλαπλασιασμός, και όπου υπάρχει "ή" θα υπάρχει πρόσθεση:

Δοκιμάστε το μόνοι σας:

1. Ποια είναι η πιθανότητα ότι εάν ένα νόμισμα πεταχτεί δύο φορές, το νόμισμα θα πέσει στην ίδια πλευρά και τις δύο φορές;
2. Τα ζάρια ρίχνονται δύο φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις ένα σύνολο πόντων;

Λύσεις:

1. (Κεφάλια έπεσαν και έπεσαν ουρές) ή (έπεσαν ουρές και έπεσαν ουρές): .
2. Ποιες είναι οι επιλογές? Και. Επειτα:
   Έπεσε (και) ή (και) ή (και): .

Ενα άλλο παράδειγμα:

Πέτα ένα νόμισμα μια φορά. Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν κεφαλές τουλάχιστον μία φορά;

Λύση:

Α, πόσο δεν θέλω να περάσω από τις επιλογές... Κεφάλια-ουρές-ουρές, Αετοκεφαλές-ουρές,... Αλλά δεν χρειάζεται! Ας θυμηθούμε τη συνολική πιθανότητα. Θυμάσαι? Ποια είναι η πιθανότητα ότι ο αετός δεν θα πέσει ποτέ έξω? Είναι απλό: τα κεφάλια πετούν συνέχεια, γι' αυτό.

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Η πιθανότητα είναι ο λόγος του αριθμού των ευνοϊκών γεγονότων προς τον αριθμό όλων των πιθανών γεγονότων.

Ανεξάρτητες εκδηλώσεις

Δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα εάν η εμφάνιση του ενός δεν αλλάζει την πιθανότητα να συμβεί το άλλο.

Συνολική πιθανότητα

Η πιθανότητα όλων των πιθανών γεγονότων είναι ίση με ().

Η πιθανότητα να μην συμβεί ένα συμβάν είναι ίση με μείον την πιθανότητα να συμβεί το γεγονός.

Κανόνας πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων

Η πιθανότητα μιας ορισμένης ακολουθίας ανεξάρτητων γεγονότων είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων κάθε γεγονότος

Ασυμβίβαστα συμβάντα

Μη συμβατά συμβάντα είναι εκείνα που δεν μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα ως αποτέλεσμα ενός πειράματος. Δημιουργείται μια σειρά ασυμβίβαστων γεγονότων πλήρης ομάδαεκδηλώσεις.

Οι πιθανότητες ασυμβίβαστων γεγονότων αθροίζονται.

Αφού περιγράψαμε τι πρέπει να συμβεί, χρησιμοποιώντας τους συνδέσμους "AND" ή "OR", αντί για "AND" βάζουμε ένα σύμβολο πολλαπλασιασμού και αντί για "OR" βάζουμε ένα πρόσθετο πρόσημο.

Γίνε μαθητής του YouClever,

Προετοιμαστείτε για την Ενιαία Κρατική Εξέταση ή την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά,

Επίσης, αποκτήστε πρόσβαση στο εγχειρίδιο YouClever χωρίς περιορισμούς...

Το βράδυ σταδιακά τύλιξε το μαγευτικό κάστρο Zmiulan. Σταδιακά στους διαδρόμους άναψαν δάδες και οι μαθητές έσπευσαν να πάνε στα δωμάτιά τους. Κι έτσι, όταν οι διάδρομοι ήταν ήδη άδειοι, ένας άντρας βγήκε από τη γωνία: ένα ακριβό μαύρο κοστούμι ταίριαζε τέλεια στη φιγούρα του, τα καστανά μαλλιά ήταν χτενισμένα προς τα πίσω, τα μάτια στο χρώμα του φιστικιού κοιτούσαν μόνο μπροστά με ένα αδιάφορο βλέμμα. Ο Norton Ognev, και ήταν αυτός, πλησίασε το γραφείο του Great Spirit Ostala. Αφού χτύπησε και πήρε την άδεια, ο άνδρας μπήκε στο δωμάτιο. -Λοιπόν, γιατί ήρθες, Νόρτον; - Ο ίδιος ο ιδιοκτήτης του κάστρου στάθηκε με την πλάτη στον πατέρα της Βασιλίσας, κοιτάζοντας έξω από το παράθυρο. Η αδιαφορία δεν εξαφανίστηκε από το πρόσωπο του Ognev, αλλά τεντώθηκε εσωτερικά. «Κύριε Αστραγκόρ, πρέπει να πάω στο Τσέρνοβοντ για λίγες μέρες», γύρισε ο επικεφαλής του Ντραγκότσιεφ. -Όπως κατάλαβα δεν θα πας μόνος; - Ο Norton Sr. έγνεψε αργά: - Ναι, κύριε Astragor. Αν δεν σε πειράζει, θα πάρω μαζί μου την κόρη μου, τη Φας και τη Ζαχάρρα. - Γιατί, Νόρτον, παίρνεις μαζί σου τους ανιψιούς μου; - ο επικεφαλής των Ντραγκότσι κοίταξε τον Όγκνιεφ με κάποιο ενδιαφέρον. «Ρώτησε η Βασιλίσα», απάντησε σαν απρόθυμα ο Νόρτον ο πρεσβύτερος. Ο Αστραγόρ κοίταξε σκεφτικός τις φλόγες στο τζάκι. Ο Όγκνιεφ περίμενε υπομονετικά μια απάντηση... *** Η νύχτα τύλιξε το μεγαλοπρεπές κάστρο σε έναν καμβά με αστέρια. Ένα ελαφρύ αεράκι θρόιζε τα φύλλα του κήπου. Στο Green Room, η Βασιλίσα ετοιμαζόταν ήδη για ύπνο. «Ω, έχει περάσει τόσος καιρός από τότε που είμαι εδώ…» είπε η κοπέλα κοιτάζοντας γύρω από το δωμάτιο. Δεν θυμόταν καν την τελευταία φορά που ήταν εδώ, αλλά είδε ότι όλα ήταν στη θέση τους. Ξαφνικά ένας τύπος πέταξε από το ανοιχτό παράθυρο. Ο Όγκνεβα κοίταξε έκπληκτος τον απρόσμενο επισκέπτη. Κρύβοντας τα μαύρα φτερά του, ο μελαχρινός άντρας χαμογέλασε στον ιδιοκτήτη του δωματίου: «Γεια σας κουκουβάγιες!» -Με τρόμαξες! - αναφώνησε η κοπέλα κοιτάζοντας τον τύπο εκνευρισμένη. «Ω, έλα», γέλασε ο καλεσμένος. - Νομίζω ότι θα με φοβάσαι πάντα. -Μην είσαι ανόητος! «Θα φοβάμαι έναν τόσο αλαζονικό τύπο σαν εσένα», είπε η Βασιλίσα εκνευρισμένη. - Παρεμπιπτόντως, Φας, γιατί έφτασες, ειδικά τόσο αργά; Δεν μπορείτε να κοιμηθείτε ξανά; «Ναι», έγνεψε καταφατικά ο Ντράγκοτσι. - Αποφάσισα να κάνω μια περιήγηση στο Τσέρνοβοντ... Αλλά το περπάτημα μόνος δεν είναι πολύ διασκεδαστικό και είναι επικίνδυνο. Είναι ένα άγνωστο κάστρο, τελικά», τα μάτια του Φες έλαμψαν πονηρά. -Σου προτείνεις να κάνω μια ξενάγηση; - Η Βασιλίσα κοίταξε σαστισμένη τη φίλη της. -Γιατί όχι? Τα ξέρεις όλα εδώ, σωστά; - Η μελαχρινή ανασήκωσε ένα φρύδι ερωτηματικά. «Σχεδόν», απάντησε διστακτικά η κοκκινομάλλα κοπέλα. «Λοιπόν, αυτό είναι καλό», ο Ντραγκότσι κατευθύνθηκε προς την πόρτα. Ο Ognevoy δεν είχε άλλη επιλογή από το να τον ακολουθήσει. Τα παιδιά περπατούσαν στους σκοτεινούς διαδρόμους, ανάβοντας τις λάμπες. Η Βασιλίσα είπε στον Φας τι θυμάται σε αυτό το κάστρο. Την άκουγε προσεκτικά, μερικές φορές διακόπτοντας ή σαρκάζοντας σε αυτή ή εκείνη την πρόταση. Σύντομα βαρέθηκε απλώς να περπατά και να ακούει φλυαρίες και, θυμούμενος κάτι, έκανε μια ερώτηση: «Παρεμπιπτόντως, ποιος είναι αυτός ο πύργος που είδαμε όταν καβαλούσαμε στην άμαξα;» -Ποιο εννοείς; - ρώτησε σκεφτική ο Όγκνεβα. «Φαίνεται δυτικό», είπε ο Ντραγκότσι. «Ω, αυτό», συνειδητοποίησε αμέσως το κοκκινομάλλης κορίτσι. - Το λέμε Lonely, εκεί κρατούσαν κάποτε κρατούμενους. -Ας ρίξουμε μια ματιά εκεί; - Ο ενθουσιασμός άστραψε στα γαλάζια μάτια της μελαχρινής. «Λοιπόν, δεν ξέρω...» τράβηξε διστακτικά η Βασιλίσα. -Φοβάστε? - Ο Ντραγκότσι χαμογέλασε. Όπως περίμενε ο Φας, κατάφεραν να την πάρουν ελαφρά: το πρόσωπο της κοπέλας κοκκίνισε και έσφιξε τις γροθιές της: «Πάμε», και η Βασιλίσα οδήγησε την ευτυχισμένη μελαχρινή που χαμογελούσε σε αυτόν τον πύργο. Έχοντας ανοίξει την πόρτα χωρίς εμπόδια, τα παιδιά μπήκαν στο δωμάτιο. Η πόρτα έκλεισε σύντομα. Ο Φας πλησίασε το ορθάνοιχτο παράθυρο και πήδηξε στο περβάζι, εισπνέοντας την αναζωογονητική μυρωδιά της θάλασσας: «Ε, καλά...» και μετά γύρισε στο κοκκινομάλλη κορίτσι. «Έλα, κάτσε» και χτύπησε με την παλάμη του το μέρος δίπλα του. Το κορίτσι κάθισε αμέσως δίπλα του. Πανσέληνοςτα φώτα ήταν ψηλά και η θάλασσα από κάτω ταράχτηκε. Κύμα μετά το κύμα κυλούσε μέσα, χτυπώντας στα βράχια. «Τι λαμπερό φεγγάρι», η Βασιλίσα κοίταξε ξανά τον ουρανό. -Και έχω ένα τραγούδι για το φεγγάρι. «Το συνέθεσα πριν από πολύ καιρό», είπε ξαφνικά ο Φας. -Δηλαδή μπορείς να τραγουδήσεις; - Η κοκκινομάλλα κοίταξε τον Dragotius έκπληκτη. Έγνεψε σιωπηλά. -Τι, δεν το πιστεύεις; - Η μελαχρινή πλησίασε το πρόσωπο της Ognevaya, κοιτάζοντας στα μάτια του συνομιλητή της με ένα χαμόγελο. Παρατήρησα ότι τα μάγουλά της έγιναν ροζ και το χαμόγελό της έγινε πιο πλατύ. «Όχι, απλά…» τραυλίζει η κοκκινισμένη Βασιλίσα κοιτώντας μακριά από τα γαλάζια μάτια της, που αντανακλούσαν το φως του φεγγαριού. «Απλώς δεν υπήρχε τρόπος να επιβεβαιωθούν τα λόγια σου», κοίταξε ξανά στα μάτια. Ο Φας άρχισε να γέρνει αργά προς την κοκκινομάλλα. Πήγε να τον συναντήσει στα μισά του δρόμου. Υπάρχουν μόνο λίγα χιλιοστά μεταξύ των προσώπων τους. Η Όγκνεβα ένιωσε ήδη το ελαφρύ αεράκι των εκπνοών στα χείλη της. Τα χείλη τους σχεδόν ακούμπησαν, και... -Ω, τι χαριτωμένο που είναι! - Η Βασιλίσα απομακρύνθηκε αμέσως από τον Ντραγκότσι και κοκκίνισε χειρότερα από πριν. Το φλας γύρισε. Πριν εμφανιστούν τα καθαρά του μάτια... -Ζαχάρρα;! - αναφώνησαν έκπληκτα δύο περιστέρια. -Τι κάνεις εδώ? - Η μελαχρινή κοίταξε εκνευρισμένη την αδερφή του. - Ναι, σε είδα να πετάς κάπου, αποφάσισα να το μάθω. Βγήκα και σε είδα να περπατάς και να κουβεντιάζεις. Το κύριο πράγμα είναι ότι δεν με προσέχεις. Λοιπόν, σε ακολούθησα», ο μπομπτέιλ έδειξε τα πάντα. - Podlyuchaya εγγενές αίμα... - μουρμούρισε ο Φας, κατέβηκε από το περβάζι και πήγε στο δωμάτιό του. Η Βασιλίσα ακολούθησε το παράδειγμά του. Η Zaharra γλίστρησε αμέσως στο διάδρομο πίσω από την Ognevaya και επίσης επέστρεψε στο δωμάτιό της...

Για να δημιουργήσετε ένα δέντρο πιθανοτήτων, πρέπει πρώτα να σχεδιάσετε το ίδιο το δέντρο, στη συνέχεια να σημειώσετε στο σχέδιο όλες τις πληροφορίες που είναι γνωστές για αυτό το πρόβλημα και, τέλος, να χρησιμοποιήσετε τους βασικούς κανόνες για να υπολογίσετε τους αριθμούς που λείπουν και να συμπληρώσετε το δέντρο.

1. Οι πιθανότητες υποδεικνύονται σε κάθε τελικό σημείο και κυκλώνονται. Σε κάθε επίπεδο του δέντρου, το άθροισμα αυτών των πιθανοτήτων πρέπει να ισούται με 1 (ή 100%). Έτσι, για παράδειγμα, στο Σχ. 6.5.1 το άθροισμα των πιθανοτήτων στο πρώτο επίπεδο είναι 0,20 + 0,80 = 1,00 και στο δεύτερο επίπεδο - 0,03 + 0,17 + 0,56 + 0,24 = 1,00. Αυτός ο κανόνας βοηθά να γεμίσει ένας κενός κύκλος σε μια στήλη εάν είναι γνωστές οι τιμές όλων των άλλων πιθανοτήτων σε αυτό το επίπεδο.

Ρύζι. 6.5.1

2. Οι πιθανότητες υπό όρους υποδεικνύονται δίπλα σε κάθε κλάδο (εκτός
πιθανώς υποκαταστήματα πρώτου επιπέδου). Για κάθε ομάδα κλάδων που αναδύεται από ένα σημείο, το άθροισμα αυτών των πιθανοτήτων είναι επίσης ίσο με 1 (ή 100%).
Για παράδειγμα, στο Σχ. 6.5.1 για την πρώτη ομάδα κλάδων παίρνουμε 0,15 + 0,85 =
1,00 και για τη δεύτερη ομάδα - 0,70 + 0,30 = 1,00. Αυτός ο κανόνας επιτρέπει
να υπολογίσετε μια άγνωστη υπό όρους τιμή πιθανότητας σε μια ομάδα διακλαδώσεων που προέρχονται από ένα σημείο.

3. Η πιθανότητα που κυκλώθηκε στην αρχή του κλάδου, πολλαπλασιαζόμενη με την υπό όρους
η πιθανότητα δίπλα σε αυτόν τον κλάδο δίνει την πιθανότητα γραμμένη σε κύκλο in
τέλος του κλάδου. Για παράδειγμα, στο Σχ. 6.5.1 για τον επάνω κλάδο που οδηγεί προς τα δεξιά
έχουμε 0,20 x 0,15 = 0,03, για τον επόμενο κλάδο - 0,20 x 0,85 = 0,17. παρόμοιες σχέσεις ισχύουν και για τους άλλους δύο κλάδους. Αυτός ο κανόνας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό μιας άγνωστης τιμής
πιθανότητες από τις τρεις που αντιστοιχούν σε κάποιο κλάδο.

4. Η τιμή πιθανότητας που γράφεται στον κύκλο είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων που έχουν κυκλωθεί στα άκρα όλων των κλάδων που βγαίνουν από αυτόν τον κύκλο
δεξιά. Έτσι, για παράδειγμα, για το Σχ. 6.5.1 βγαίνουν από τον κύκλο με τιμή 0.20
δύο κλάδοι, στα άκρα των οποίων υπάρχουν κυκλωμένες πιθανότητες των οποίων το άθροισμα είναι ίσο με αυτή την τιμή: 0,03 + 0,17 = 0,20. Αυτός ο κανόνας σάς επιτρέπει να βρείτε μια άγνωστη τιμή πιθανότητας σε μια ομάδα,
συμπεριλαμβανομένης αυτής της πιθανότητας και όλων των πιθανοτήτων στα άκρα των κλαδιών του δέντρου,
αφήνοντας τον αντίστοιχο κύκλο.

Χρησιμοποιώντας αυτούς τους κανόνες, μπορείτε, γνωρίζοντας τα πάντα εκτός από μία τιμή πιθανότητας για κάποιο κλάδο ή σε κάποιο επίπεδο, να βρείτε αυτήν την άγνωστη τιμή.

37. Τι είδους δείγμα ονομάζεται αντιπροσωπευτικό; Πώς μπορεί να ληφθεί ένα αντιπροσωπευτικό δείγμα;

Αντιπροσωπευτικότηταείναι η ικανότητα ενός δείγματος να αντιπροσωπεύει τον πληθυσμό που μελετάται. Όσο ακριβέστερα αντιπροσωπεύει η σύνθεση του δείγματος τον πληθυσμό στα υπό μελέτη θέματα, τόσο μεγαλύτερη είναι η αντιπροσωπευτικότητά του.

Η αντιπροσωπευτική δειγματοληψία είναι μία από τις βασικές έννοιες στην ανάλυση δεδομένων. Αντιπροσωπευτικό δείγμα είναι ένα δείγμα από έναν πληθυσμό με κατανομή φά(Χ), που αντιπροσωπεύει τα κύρια χαρακτηριστικά του πληθυσμού. Για παράδειγμα, εάν μια πόλη έχει 100.000 ανθρώπους, εκ των οποίων οι μισοί είναι άνδρες και οι μισοί είναι γυναίκες, τότε ένα δείγμα 1.000 ανθρώπων από τα οποία οι 10 είναι άνδρες και οι 990 είναι γυναίκες σίγουρα δεν θα είναι αντιπροσωπευτικό. Μια δημοσκόπηση που θα βασίζεται σε αυτήν, φυσικά, θα περιέχει μεροληπτικές εκτιμήσεις και θα οδηγήσει σε παραποίηση των αποτελεσμάτων.

Απαραίτητη προϋπόθεση για την κατασκευή ενός αντιπροσωπευτικού δείγματος είναι η ίση πιθανότητα να συμπεριληφθεί κάθε στοιχείο του γενικού πληθυσμού.

Η συνάρτηση κατανομής δείγματος (εμπειρική) δίνει μια αρκετά καλή ιδέα για τη συνάρτηση διανομής με μεγάλο μέγεθος δείγματος φά(Χ) του αρχικού πληθυσμού.

Η κύρια αρχή που διέπει αυτή τη διαδικασία είναι η αρχή της τυχαιοποίησης, της τύχης. Ένα δείγμα ονομάζεται τυχαίο (μερικές φορές θα πούμε απλό τυχαίο ή καθαρό τυχαίο δείγμα) εάν πληρούνται δύο προϋποθέσεις. Πρώτον, το δείγμα πρέπει να σχεδιαστεί έτσι ώστε κάθε άτομο ή οντότητα εντός του πληθυσμού να έχει ίσες ευκαιρίες να επιλεγεί για ανάλυση. Δεύτερον, το δείγμα πρέπει να επιλεγεί έτσι ώστε οποιοσδήποτε συνδυασμός n αντικειμένων (όπου n είναι απλώς ο αριθμός των αντικειμένων ή οι περιπτώσεις στο δείγμα) να έχει ίσες πιθανότητες να επιλεγεί για ανάλυση.

Κατά τη μελέτη πληθυσμών που είναι πολύ μεγάλοι για να υποστηρίξουν μια αληθινή λαχειοφόρο αγορά, χρησιμοποιούνται συχνά απλά τυχαία δείγματα. Το να γράψετε τα ονόματα πολλών εκατοντάδων χιλιάδων αντικειμένων, να τα βάλετε σε ένα τύμπανο και να επιλέξετε αρκετές χιλιάδες δεν είναι ακόμα εύκολη δουλειά. Σε τέτοιες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται μια διαφορετική, αλλά εξίσου αξιόπιστη μέθοδος. Σε κάθε αντικείμενο εκχωρείται συλλογικά ένας αριθμός. Συνήθως δίνεται η ακολουθία των αριθμών σε τέτοιους πίνακες πρόγραμμα υπολογιστή, που ονομάζεται γεννήτρια τυχαίων αριθμών, η οποία ουσιαστικά τοποθετεί α ένας μεγάλος αριθμός απόαριθμούς, τους βγάζει τυχαία και τους εκτυπώνει με τη σειρά που έλαβαν. Με άλλα λόγια, λαμβάνει χώρα η ίδια διαδικασία που χαρακτηρίζει μια λαχειοφόρο αγορά, αλλά ο υπολογιστής, χρησιμοποιώντας όχι ονόματα, αλλά αριθμούς, κάνει μια καθολική επιλογή. Αυτή η επιλογή μπορεί να χρησιμοποιηθεί αναθέτοντας απλώς έναν αριθμό σε κάθε αντικείμενο μας.

Ο πίνακας τυχαίων αριθμών όπως αυτός, μπορεί να χρησιμοποιηθεί από πολλούς διαφορετικοί τρόποι, και σε κάθε περίπτωση πρέπει να ληφθούν τρεις Αποφάσεις. Πρώτον, είναι απαραίτητο να αποφασίσουμε πόσα ψηφία θα χρησιμοποιήσουμε· δεύτερον, είναι απαραίτητο να αναπτυχθεί ένας κανόνας απόφασης για τη χρήση τους. Τρίτον, πρέπει να επιλέξετε ένα σημείο εκκίνησης και μια μέθοδο διέλευσης από τον πίνακα.

Μόλις γίνει αυτό, πρέπει να αναπτύξουμε έναν κανόνα που θα συσχετίζει τους αριθμούς στον πίνακα με τους αριθμούς των αντικειμένων μας. Εδώ υπάρχουν δύο πιθανότητες. Ο απλούστερος τρόπος (αν και όχι απαραίτητα ο πιο σωστός) είναι να χρησιμοποιήσουμε μόνο αυτούς τους αριθμούς που εμπίπτουν στον αριθμό των αριθμών που έχουν εκχωρηθεί στα αντικείμενά μας. Έτσι, εάν έχουμε πληθυσμό 250 αντικειμένων (και επομένως χρησιμοποιούμε τριψήφιους αριθμούς) και αποφασίσουμε να ξεκινήσουμε από την επάνω αριστερή γωνία του πίνακα και να επεξεργαστούμε τις στήλες, θα συμπεριλάβουμε αντικείμενα με αριθμούς 100, 084 και 128 στο δείγμα μας , και ας παραλείψουμε τους αριθμούς 375 και 990, που δεν αντιστοιχούν στα αντικείμενά μας. Αυτή η διαδικασία θα συνεχιστεί μέχρι να καθοριστεί ο αριθμός των αντικειμένων που χρειάζονται για το δείγμα μας.

Μια πιο εντατική, αλλά μεθοδολογικά πιο σωστή διαδικασία βασίζεται στη θέση ότι για να διατηρηθεί το χαρακτηριστικό τυχαίας του πίνακα, πρέπει να χρησιμοποιείται κάθε αριθμός μιας δεδομένης διάστασης (για παράδειγμα, κάθε τριψήφιος αριθμός). Ακολουθώντας αυτή τη λογική και ασχολούμενοι πάλι με πληθυσμό 250 αντικειμένων, πρέπει να διαιρέσουμε την περιοχή των τριψήφιων αριθμών από το 000 έως το 999 σε 250 ίσα διαστήματα. Εφόσον υπάρχουν 1000 τέτοιοι αριθμοί, διαιρούμε το 1000 με το 250 και βρίσκουμε ότι κάθε μέρος περιέχει τέσσερις αριθμούς. Έτσι, οι αριθμοί του πίνακα από το 000 έως το 003 θα αντιστοιχούν στο αντικείμενο από το 004 έως το 007 - αντικείμενο 2 κ.λπ. Τώρα, για να προσδιορίσετε ποιος αριθμός αντικειμένου αντιστοιχεί στον αριθμό του πίνακα, θα πρέπει να διαιρέσετε τον τριψήφιο αριθμό από τον πίνακα και να στρογγυλοποιήσετε στον πλησιέστερο ακέραιο αριθμό.

Τέλος, πρέπει να επιλέξουμε το σημείο εκκίνησης και τη διαδρομή από τον πίνακα. Το σημείο εκκίνησης μπορεί να είναι η επάνω αριστερή γωνία (όπως στο προηγούμενο παράδειγμα), η κάτω δεξιά γωνία, η αριστερή άκρη της δεύτερης γραμμής ή οποιαδήποτε άλλη θέση. Αυτή η επιλογή είναι εντελώς αυθαίρετη. Ωστόσο, όταν εργαζόμαστε με ένα τραπέζι, πρέπει να ενεργούμε συστηματικά. Θα μπορούσαμε να πάρουμε τους τρεις πρώτους χαρακτήρες κάθε πενταψήφιας ακολουθίας, τους τρεις μεσαίους χαρακτήρες, τους τρεις τελευταίους χαρακτήρες ή ακόμα και τον πρώτο, τον δεύτερο και τον τέταρτο χαρακτήρες. (Από την πρώτη πενταψήφια ακολουθία, αυτές οι διαφορετικές διαδικασίες αποδίδουν, αντίστοιχα, τους αριθμούς 100, 009, 097 και 109.) Θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε αυτές τις διαδικασίες σε μια κατεύθυνση από τα δεξιά προς τα αριστερά, δίνοντας 790, 900, 001 και 791. Θα μπορούσαμε να κατεβάσουμε τις σειρές , λαμβάνοντας υπόψη κάθε επόμενο ψηφίο με τη σειρά και αγνοώντας τη διαίρεση σε πέντε (για την πρώτη σειρά θα ληφθούν οι αριθμοί 100, 973, 253, 376 και 520). Θα μπορούσαμε να ασχοληθούμε μόνο με κάθε τρίτη ομάδα αριθμών (για παράδειγμα, 10097, 99019, 04805, 99970). Υπάρχουν πολλές διαφορετικές δυνατότητες και κάθε επόμενη δεν είναι χειρότερη από την προηγούμενη. Ωστόσο, από τη στιγμή που έχουμε αποφασίσει για έναν συγκεκριμένο τρόπο εργασίας, πρέπει να τον ακολουθούμε συστηματικά για να σεβόμαστε την τυχαιότητα των στοιχείων του πίνακα στο μέγιστο δυνατό βαθμό.

38. Ποιο διάστημα ονομάζουμε διάστημα εμπιστοσύνης;

Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι η επιτρεπόμενη απόκλιση των παρατηρούμενων τιμών από τις πραγματικές τιμές. Το μέγεθος αυτής της υπόθεσης καθορίζεται από τον ερευνητή, λαμβάνοντας υπόψη τις απαιτήσεις για την ακρίβεια των πληροφοριών. Εάν το περιθώριο σφάλματος αυξηθεί, το μέγεθος του δείγματος μειώνεται, ακόμη και αν το επίπεδο εμπιστοσύνης παραμένει στο 95%.

Το διάστημα εμπιστοσύνης δείχνει σε ποιο εύρος θα βρίσκονται τα αποτελέσματα των δειγματοληπτικών παρατηρήσεων (έρευνες). Εάν διεξάγουμε 100 πανομοιότυπες έρευνες σε πανομοιότυπα δείγματα από έναν μόνο πληθυσμό (για παράδειγμα, 100 δείγματα 1000 ατόμων το καθένα σε μια πόλη με πληθυσμό 5 εκατομμυρίων κατοίκων), τότε σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95%, 95 από τα 100 αποτελέσματα θα εμπίπτουν το διάστημα εμπιστοσύνης (για παράδειγμα, από 28% έως 32% με πραγματική τιμή 30%).

Για παράδειγμα, ο πραγματικός αριθμός των κατοίκων της πόλης που καπνίζουν είναι 30%. Εάν δειγματίσουμε 1000 άτομα 100 συνεχόμενες φορές και θέσουμε την ερώτηση «Καπνίζεις;» σε αυτά τα δείγματα, σε 95 από αυτά τα 100 δείγματα, με διάστημα εμπιστοσύνης 2%, η τιμή θα είναι από 28% έως 32%.

39 Τι ονομάζεται επίπεδο εμπιστοσύνης;

Το επίπεδο εμπιστοσύνης αντικατοπτρίζει τον όγκο των στοιχείων που απαιτούνται για να πει ο αξιολογητής ότι το υπό αξιολόγηση πρόγραμμα έχει το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα. Στις κοινωνικές επιστήμες χρησιμοποιείται παραδοσιακά ένα επίπεδο εμπιστοσύνης 95%. Ωστόσο, για τα περισσότερα δημόσια προγράμματα, ένα επίπεδο 95% είναι υπερβολικό. Ένα επίπεδο εμπιστοσύνης στο εύρος 80-90% είναι αρκετό για μια επαρκή αξιολόγηση του προγράμματος. Με αυτόν τον τρόπο, το μέγεθος της αντιπροσωπευτικής ομάδας μπορεί να μειωθεί, μειώνοντας έτσι το κόστος διεξαγωγής της αξιολόγησης.

Η διαδικασία στατιστικής αξιολόγησης ελέγχει τη μηδενική υπόθεση, η οποία είναι ότι το πρόγραμμα δεν είχε το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα. Εάν τα αποτελέσματα που προέκυψαν διαφέρουν σημαντικά από τις αρχικές παραδοχές σχετικά με την ορθότητα της μηδενικής υπόθεσης, τότε η τελευταία απορρίπτεται.

40. Ποιο από τα δύο διαστήματα εμπιστοσύνης είναι μεγαλύτερο: διπλής όψης 99% ή διπλής όψης 95%; Εξηγώ.

Το αμφίπλευρο διάστημα εμπιστοσύνης 99% είναι μεγαλύτερο από 95% επειδή εμπίπτουν περισσότερες τιμές σε αυτό. Εγγραφο:

Χρησιμοποιώντας τις βαθμολογίες z, μπορείτε να υπολογίσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια το διάστημα εμπιστοσύνης και να προσδιορίσετε το γενικό σχήμα του διαστήματος εμπιστοσύνης. Η ακριβής διατύπωση του διαστήματος εμπιστοσύνης για τον μέσο όρο του δείγματος έχει ως εξής:

Έτσι, για ένα τυχαίο δείγμα 25 παρατηρήσεων ικανοποιητικό κανονική κατανομή, με το διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου δείγματος να έχει την ακόλουθη μορφή:

Έτσι, μπορείτε να είστε 95% σίγουροι ότι η τιμή είναι εντός ±1,568 μονάδων του μέσου όρου του δείγματος. Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, μπορείτε να προσδιορίσετε ότι το διάστημα εμπιστοσύνης 99% βρίσκεται εντός ±2,0608 μονάδων του μέσου όρου του δείγματος

που σημαίνει Έτσι, έχουμε και από εδώ, Ομοίως λαμβάνουμε κατώτερο όριο, που είναι ίσο

Σύμφωνα με την ερμηνεία των πολλών κόσμων της κβαντικής φυσικής, ζούμε σε ένα άπειρο δίκτυο από εναλλακτικά σύμπαντα. Πρόκειται για μια σοβαρή δήλωση που έχει συγκεκριμένες και εξαιρετικά σοβαρές επιστημονικές, φιλοσοφικές και υπαρξιακές προεκτάσεις. Ας δούμε δέκα από αυτά.

Σύμφωνα με την υπόθεση του δημιουργού της κβαντικής μηχανικής, Χιου Έβερετ, ζούμε σε ένα Σύμπαν, πιο συγκεκριμένα σε ένα πολυσύμπαν, στο οποίο γεννιούνται και διακλαδίζονται συνεχώς πολλοί διαδοχικοί κόσμοι, ο καθένας από τους οποίους περιέχει μια διαφορετική εκδοχή σας.

Οι κβαντικοί φυσικοί χρησιμοποίησαν την ερμηνεία των πολλών κόσμων για να ξεπεράσουν ένα απογοητευτικό ελάττωμα στην ερμηνεία της Κοπεγχάγης, δηλαδή τον ισχυρισμό ότι ένα μη παρατηρήσιμο φαινόμενο θα μπορούσε να υπάρχει σε δύο καταστάσεις. Δηλαδή, αντί να πει ότι είναι και ζωντανό και νεκρό, η ερμηνεία των πολλών κόσμων λέει ότι η γάτα απλώς «κλάδωσε» σε διαφορετικούς κόσμους: στο ένα είναι ζωντανό, στο άλλο είναι νεκρό.

60 χρόνια μετά την εισαγωγή του, η ερμηνεία των πολλών κόσμων παραμένει αρκετά επίμαχο θέμα. Σε μια έρευνα του 2013 με κβαντικούς φυσικούς, μόνο το ένα πέμπτο ανέφερε ότι ευνοούσε την ερμηνεία των πολλών κόσμων (συγκριτικά, το 42% των φυσικών υποστήριξε την ερμηνεία της Κοπεγχάγης). Παρ 'όλα αυτά, μεταξύ των υποστηρικτών του πολυσύμπαντος υπάρχουν πολύ διαπρεπείς επιστήμονες από τον τομέα της κβαντικής φυσικής - David Deutsch, Scott Aaronson, Sean Carroll.

Ανεξάρτητα από την κατάσταση αυτής της θεωρίας, είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον να σκεφτούμε τις επιπτώσεις της.

Ζούμε σε ένα πολυσύμπαν γιγαντιαίων διαστάσεων

Οι κοσμολόγοι θεωρούν δεδομένο το γεγονός ότι ο κόσμος που παρατηρούμε είναι ένας. Οι εικασίες για ένα πολυσύμπαν θεωρούνταν από καιρό επιστημονική αίρεση, αλλά η πιθανότητα να είναι αλήθεια αυξάνεται όλο και περισσότερο. Φυσικοί και μεταφυσικοί, κοσμολόγοι, ανθρωπολόγοι, κβαντικοί φανατικοί - όλοι αρχίζουν να το σκέφτονται.

Ο κεντρικός ισχυρισμός της ερμηνείας των πολλών κόσμων είναι ότι οτιδήποτε υπάρχει αποτελείται από μια κβαντική υπέρθεση ενός αφάνταστα μεγάλου —ή άπειρου— αριθμού συμπάντων. Εάν αυτή η ερμηνεία είναι σωστή, πρέπει να υπάρχει ένας απολύτως εκπληκτικός αριθμός εναλλακτικών κόσμων.

Η ακεραιότητα της ζωής σας είναι μια ψευδαίσθηση

Το MMI διαταράσσει επίσης την αντίληψη της προσωπικότητας μας. Όλοι βιώνουμε τη ζωή μας ως ένα ενιαίο, απρόσκοπτο ταξίδι στο χώρο και το χρόνο. Στην πραγματικότητα, είμαστε μια εκθετικά αυξανόμενη συλλογή γεγονότων που διακλαδίζονται από στιγμή σε στιγμή. Ως αποτέλεσμα, πρέπει να σκεφτόμαστε τους εαυτούς μας όχι ως άτομα, αλλά ως κλάσματα.

Ο λόγος για αυτήν την ψευδαίσθηση είναι ότι είναι αδύνατο να έχουμε πολλαπλές εμπειρίες, οπότε μας μένει η επίγνωση ότι είμαστε ένα άτομο. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι η εμπειρία μας για την πραγματικότητα είναι γνήσια ή πραγματική. Πρέπει να αποδεχτούμε - μέσω του MMI - ότι οι ζωές μας δεν είναι ακριβώς αυτό που φαίνονται.

Υπάρχουν πολλές εκδοχές σου

Εάν το MWI είναι αληθινό, υπάρχει (ή υπάρχει) ένας άπειρος αριθμός εκδοχών σας, καθεμία από τις οποίες βιώνει τον κόσμο ως ξεχωριστό άτομο και δεν γνωρίζει την ύπαρξη άλλων εκδόσεων. Κατά συνέπεια, ο τεράστιος όγκος των εναλλακτικών μονοπατιών ζωής είναι εξαιρετικά μεγάλος. Από τη γέννηση, εσείς - ή αυτό που νομίζετε ότι είστε - έχετε διακλαδιστεί σε διαφορετικούς κόσμους. Το πλήρες σύνολο από εσάς είναι ένα τεράστιο ριζικό σύστημα που αναπτύσσεται εκθετικά, με κάθε ρίζα να αντιπροσωπεύει νέα ζωή.

Δεδομένου ότι το MWI συνεπάγεται σταθερή μεταβλητότητα, εξάρτηση από πιθανότητες, κάθε νέα παρουσία σας πρέπει να είναι διαφορετική, παρατηρώντας έναν κόσμο στον οποίο συνέβη μια εναλλακτική έκβαση των γεγονότων της ζωής σας. Κατά συνέπεια, υπάρχουν κόσμοι στους οποίους εξακολουθείτε να ζείτε με τον πρώην σας, να είστε περισσότερο ή λιγότερο επιτυχημένοι, έχετε ήδη πεθάνει ή έχετε βιώσει τον θάνατο αγαπημένων προσώπων που ζουν στον παρόντα κόσμο. Μπορεί να υπάρχουν ακόμη και κακές εκδοχές σας όπου είστε τρομοκράτες ή δολοφόνοι. Οι δυνατότητες είναι ουσιαστικά απεριόριστες εφόσον δεν παραβιάζεται η βασική φυσική.

Έχετε ακόμα ελεύθερη βούληση

Δεδομένου ότι όλες οι πιθανές αποφάσεις θα ληφθούν από διαφορετικές εκδοχές σας, το MWI είναι αρκετά δύσκολο να εξηγήσει το ζήτημα της ελεύθερης βούλησης. Εάν όλες οι επιλογές έχουν ήδη γίνει σε εναλλακτικούς κόσμους, τότε γιατί να περνάτε όλη την ταλαιπωρία να ζυγίζετε τα υπέρ και τα κατά κατά τη λήψη αποφάσεων; Η συλλογική μοίρα των alter ego σας είναι ήδη προκαθορισμένη, η επιλογή γίνεται για εσάς.

Ο ειδικός του MMI, Michael Clive-Price, επισημαίνει ότι ενώ όλες οι αποφάσεις έχουν ήδη ληφθεί, ορισμένες λαμβάνονται πιο συχνά από άλλες. Με άλλα λόγια, κάθε κλάδος της λύσης έχει το δικό του «βάρος», το οποίο επηρεάζει τους συνήθεις νόμους της κβαντικής στατιστικής.

Επιπλέον, το MMI θα συνεπαγόταν μια ορισμένη απροσδιοριστία της ύπαρξης, αν και με έναν μη διαισθητικό τρόπο. Κάθε φορά που κάνουμε την ερώτηση: «Θα μπορούσα να είχα πάρει διαφορετική απόφαση ή να ενεργούσα διαφορετικά;», η MMI απαντά ότι ναι, φυσικά. Και όχι μόνο εσύ, αλλά και εναλλακτική έκδοσηκι εσύ θα μπορούσες. Αλλά γιατί επιλέξατε αυτή την επιλογή, επιτύχατε ορισμένα αποτελέσματα, όλα σχετίζονται με την επιρροή των κβαντικών γεγονότων σε κλασικά αντικείμενα - συμπεριλαμβανομένων των σκέψεων στο κεφάλι σας.

Εξαιρετικά περίεργοι κόσμοι μπορεί να υπάρχουν κάπου εκεί έξω.

Το MMI οδηγεί αναγκαστικά σε μερικές πολύ περίεργες πιθανότητες. Και πάλι, όλα τα σημεία διακλάδωσης είναι δυνατά, αρκεί να μην παραβιάζετε τους νόμους της φυσικής. Είναι σημαντικό να σημειωθεί, ωστόσο, ότι δεδομένου του όγκου των πιθανών κόσμων, είναι πιο πιθανό να καταλήξετε στον πιο δυνατό και ορθολογικό κόσμο, αφού προκύπτουν με υψηλή συχνότητα.

Υπάρχουν όμως και κόσμοι στους οποίους συμβαίνουν εξαιρετικά περίεργα πράγματα. Για παράδειγμα, κάποιος πετάει ένα νόμισμα 1000 φορές και μαζί με αυτό δημιουργείται ένας κόσμος στον οποίο γυρίζει κεφάλια 1000 φορές στη σειρά.

Υπάρχουν επίσης κόσμοι στους οποίους κάποιος θα μαντέψει απολύτως κάθε πρόβλεψη αθλητικού αγώνα. Κόσμοι στους οποίους ένας άνθρωπος χωρίς μουσική παιδεία, βλέποντας για πρώτη φορά πιάνο, θα παίξει το 3ο Κοντσέρτο για πιάνο του Ραχμάνινοφ, όπως θα έπαιζε ο ίδιος ο μαέστρος. Οι πιθανότητες, ωστόσο, για ένα τέτοιο γεγονός είναι αμελητέες και ξεπερνούν τις αστρονομικές πιθανότητες, αν και, φυσικά, υπάρχουν άπειρες πιθανές επιλογές.

Ωστόσο, είναι ακριβώς αυτό το σημείο που οι σκεπτικιστές τονίζουν ως το πιο οξύ, μειώνοντας στο ελάχιστο τον ορθολογισμό του MMI.

Είσαι αθάνατος κατά κάποιο τρόπο

Αυτό το πείραμα σκέψης ονομάζεται «κβαντική αυτοκτονία». Φανταστείτε μια κατάσταση στην οποία ένα άτομο παίζει ρώσικη ρουλέτα, στην οποία το μισό τύμπανο του περίστροφου είναι γεμάτο με σφαίρες. Σε μια τέτοια υπέρθεση, κάθε στροφή του τυμπάνου θα επαναφέρει τις πιθανότητες αυτοκτονίας ενός ατόμου στο 50/50. Αλλά το MMI μας λέει ότι πρέπει να υπάρχει ένας κόσμος στον οποίο ένα άτομο δεν θα αυτοπυροβοληθεί ποτέ ακόμα και μετά από 50 στροφές του τυμπάνου. Αν και οι πιθανότητες να συμβεί αυτό είναι κοντά στο μηδέν, κάπου πρέπει να συμβεί.

Είναι ενδιαφέρον ότι ο φυσικός Max Tegmark λέει ότι αυτό το πείραμα θα μπορούσε να χρησιμεύσει ως απόδειξη του MMI, αλλά θα απαιτούσε τον θάνατο πολλών ανθρώπων πριν ένας τυχερός φτάσει στη γραμμή τερματισμού.

Μια άλλη άποψη της κβαντικής αθανασίας υποστηρίζει ότι μια εκδοχή του εαυτού μας πρέπει πάντα να υπάρχει για να παρατηρήσουμε το σύμπαν. Ο Paul Halpern, συγγραφέας του Schrödinger's Cat, το έθεσε ως εξής:

«Τι είναι η ανθρώπινη επιβίωση; Είμαστε όλοι μια συλλογή σωματιδίων, που ορίζονται από κβαντικούς κανόνες βαθύτερο επίπεδο. Εάν κάθε φορά που συμβαίνει μια κβαντική μετάβαση, το σώμα και το μυαλό μας χωρίζονται, θα υπήρχαν αντίγραφα που θα έχουν κάθε πιθανό αποτέλεσμα, συμπεριλαμβανομένου αυτού που καθορίζει αν ζούμε ή πεθαίνουμε. Ας υποθέσουμε ότι σε μια περίπτωση, ένα συγκεκριμένο σύνολο κβαντικών μεταβάσεων οδηγεί σε ανώμαλη κατανομή των κυττάρων και προκαλεί μια θανατηφόρα μορφή καρκίνου. Για κάθε μετάβαση θα υπάρχει πάντα μια εναλλακτική που δεν οδηγεί σε καρκίνο. Αποδεικνύεται ότι πάντα θα υπάρχουν υποκαταστήματα με επιζώντες. Προσθέστε σε αυτό την υπόθεση ότι η συνείδησή μας θα κατοικεί πάντα μόνο σε ζωντανά αντίγραφα, και μπορούμε να επιβιώσουμε οποιονδήποτε αριθμό δυνητικά επικίνδυνων γεγονότων που σχετίζονται με κβαντικές μεταβάσεις».

Η επικοινωνία μεταξύ παράλληλων κόσμων μπορεί να είναι δυνατή

Το 1995, ο κβαντικός φυσικός Rainer Plaga πρότεινε την πειραματική δοκιμή του MMI, περιγράφοντας τη διαδικασία για την «διακοσμική» ανταλλαγή πληροφοριών και ενέργειας μέσω «ασθενούς σύζευξης».

Χρησιμοποιώντας τυπικό κβαντικό οπτικό εξοπλισμό, ένα μεμονωμένο ιόν μπορεί να απομονωθεί από το περιβάλλον του σε μια παγίδα ιόντων. Μια κβαντομηχανική μέτρηση μπορεί στη συνέχεια να πραγματοποιηθεί με δύο ξεχωριστά αποτελέσματα σε ένα διαφορετικό σύστημα, δημιουργώντας έτσι δύο παράλληλους κόσμους. Ανάλογα με το αποτέλεσμα, το ιόν θα διεγερθεί μόνο σε έναν από αυτούς τους παράλληλους κόσμους προτού συμβεί αποσυνοχή του ιόντος κατά τη διάρκεια της αλληλεπίδρασης περιβάλλον. Η Plaga υποστηρίζει ότι θα μπορούσαμε να ανιχνεύσουμε αυτή τη διέγερση σε έναν άλλο παράλληλο κόσμο, ο οποίος θα παρείχε στο MMI στοιχεία - και θα παρείχε πιθανός τρόποςστείλτε ένα μήνυμα σε μια παράλληλη πραγματικότητα.

Χωρίς παράδοξα ταξιδιού στο χρόνο

Είναι απλό: η παρουσία εναλλακτικών κόσμων θα σημαίνει την απουσία μιας ενιαίας χρονικής κλίμακας κατά μήκος της οποίας μπορείτε να κινηθείτε.

Αν κάποιος ταξίδευε πίσω στο χρόνο, θα σήμαινε ότι θα μεταβεί σε εντελώς νέα χρονικά παραδείγματα. Αντίστοιχα, παράδοξα όπως η επιστροφή στο παρελθόν και η δολοφονία του παππού απλά δεν έχουν θέση στο MMI.

Όλα έχουν ξαναγίνει και θα ξαναγίνουν

Η πιο ενδιαφέρουσα συνέπεια του άπειρου αριθμού κόσμων είναι ότι όλα έχουν ήδη συμβεί. Επιπλέον, θα συμβεί άπειρες φορές.

Με βάση τα υλικάΙΟ9

1. Ω = (11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66),

2. Ω = (2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12)

3. ● A = (16,61,34, 43, 25, 52);

● B = (11,12, 21,13,31,14, 41,15, 51,16, 61)

● C = (12, 21,36,63,45, 54,33,15, 51, 24,42,66).

● ρε= (Αθροισμα ΠΟΝΤΩΝ ΕΙΝΑΙ 2 Ή 3).

● μι= (Αθροισμα ΠΟΝΤΩΝ ΕΙΝΑΙ 10).

Περιγράψτε το γεγονός: ΜΕ= (ΚΥΚΛΩΜΑ ΚΛΕΙΣΤΟ) για κάθε περίπτωση.

Λύση.Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό: συμβάν ΕΝΑ- η επαφή 1 είναι κλειστή. Εκδήλωση ΣΕ- η επαφή 2 είναι κλειστή. Εκδήλωση ΜΕ- το κύκλωμα είναι κλειστό, το φως είναι αναμμένο.

1. Για παράλληλη σύνδεση, το κύκλωμα κλείνει όταν τουλάχιστον μία από τις επαφές είναι κλειστή, άρα Γ = Α + Β;

2. Για σύνδεση σε σειρά, το κύκλωμα είναι πλήρες όταν και οι δύο επαφές είναι κλειστές, άρα Γ = Α Β.

Εργο. 1.1.4Έχουν συνταχθεί δύο ηλεκτρικά διαγράμματα:

Γεγονός Α - το κύκλωμα είναι κλειστό, γεγονός Α i - Εγώ-η επαφή είναι κλειστή. Για ποιο από αυτά ισχύει η σχέση;

A1 · (A2 + A3 · A4) · A5 = A?

Λύση. Για το πρώτο κύκλωμα, A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), καθώς μια παράλληλη σύνδεση αντιστοιχεί στο άθροισμα των γεγονότων και σειριακή σύνδεση- προϊόν γεγονότων. Για το δεύτερο σχήμα ΕΝΑ = ΕΝΑ1 (Α2+Α3 Α4 Α5). Επομένως, αυτή η σχέση ισχύει για το δεύτερο σχήμα.

Εργο. 1.1.5Απλοποιήστε την έκφραση (A + B) (B + C) (C+ A).

Λύση. Ας χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες των πράξεων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού γεγονότων.

(ΕΝΑ+ Β)(Β + Γ)(Α + Γ) =

(ΑΒ+ AC + B B + BC)(A + C) =

= (AB+ AC + B + BC)(A + C) =

(AB + AC + B) (A + C) = (B + AC) (A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = B A + BC + AC.

Εργο. 1.1.6Να αποδείξετε ότι τα γεγονότα Α, ΑΒ καιΑ+Β Σχηματίστε μια πλήρη ομάδα.

Λύση. Κατά την επίλυση του προβλήματος, θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες των πράξεων σε συμβάντα. Πρώτον, θα δείξουμε ότι αυτά τα συμβάντα είναι ασύμβατα κατά ζεύγη.

Τώρα θα δείξουμε ότι το άθροισμα αυτών των γεγονότων δίνει το χώρο των στοιχειωδών γεγονότων.

Εργο. 1.1.7Χρησιμοποιώντας το διάγραμμα Euler–Venn, ελέγξτε τον κανόνα de Morgan:

Α) Το συμβάν ΑΒ είναι σκιασμένο.

Β) Γεγονός Α - κατακόρυφη εκκόλαψη. γεγονός Β - οριζόντια εκκόλαψη. Εκδήλωση

(A+B) - σκιασμένη περιοχή.

Από τη σύγκριση των σχημάτων α) και γ) προκύπτει:

Εργο. 1.2.1Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 8 άτομα;

1. Σε μια σειρά;

2. Πίσω στρογγυλό τραπέζι?

Λύση.

1. Ο απαιτούμενος αριθμός τρόπων είναι ίσος με τον αριθμό των μεταθέσεων από 8, δηλ.

P8 = 8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320

2. Δεδομένου ότι σε ένα στρογγυλό τραπέζι η επιλογή του πρώτου προσώπου δεν επηρεάζει την εναλλαγή των στοιχείων, τότε μπορεί να ληφθεί πρώτος οποιοσδήποτε και τα υπόλοιπα θα παραγγελθούν σε σχέση με το επιλεγμένο. Αυτή η ενέργεια μπορεί να εκτελεστεί με 8!/8 = 5040 τρόπους.

Εργο. 1.2.2Το μάθημα καλύπτει 5 θέματα. Με πόσους τρόπους μπορείτε να δημιουργήσετε ένα πρόγραμμα για το Σάββατο εάν υπάρχουν δύο διαφορετικά ζευγάρια εκείνη την ημέρα;

Λύση. Ο απαιτούμενος αριθμός τρόπων είναι ο αριθμός των τοποθετήσεων

Από 5 έως 2, αφού πρέπει να λάβετε υπόψη τη σειρά των ζευγών:

Εργο. 1.2.3Πόσες εξεταστικές επιτροπές αποτελούμενες από 7 άτομα μπορούν να αποτελούνται από 15 καθηγητές;

Λύση. Ο απαιτούμενος αριθμός προμηθειών (χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η παραγγελία) είναι ο αριθμός των συνδυασμών από 15 έως 7:

Εργο. 1.2.4Από ένα καλάθι που περιέχει είκοσι αριθμημένες μπάλες, επιλέγονται 5 μπάλες για τύχη. Προσδιορίστε τον αριθμό των στοιχείων του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων αυτού του πειράματος εάν:

Οι μπάλες επιλέγονται διαδοχικά η μία μετά την άλλη, επιστρέφοντας μετά από κάθε κλήρωση.

Οι μπάλες επιλέγονται μία προς μία χωρίς να επιστραφούν.

Επιλέξτε 5 μπάλες ταυτόχρονα.

Λύση.

Ο αριθμός των τρόπων αφαίρεσης της πρώτης μπάλας από το καλάθι είναι 20. Εφόσον η μπάλα που βγήκε επέστρεψε στο καλάθι, ο αριθμός των τρόπων αφαίρεσης της δεύτερης μπάλας είναι επίσης 20, κ.λπ. Στη συνέχεια, ο αριθμός των τρόπων για να αφαιρέσετε 5 μπάλες σε αυτό Η περίπτωση είναι 20 20 20 20 20 = 3200000.

Ο αριθμός των τρόπων αφαίρεσης της πρώτης μπάλας από το καλάθι είναι 20. Εφόσον η μπάλα που αφαιρέθηκε δεν επέστρεψε στο καλάθι μετά την αφαίρεση, ο αριθμός των τρόπων αφαίρεσης της δεύτερης μπάλας έγινε 19, κ.λπ. Στη συνέχεια, ο αριθμός των τρόπων αφαίρεσης 5 μπάλες χωρίς επιστροφή είναι 20 19 18 17 16 = A52 0

Ο αριθμός των τρόπων για να εξαγάγετε 5 μπάλες από το καλάθι είναι αμέσως ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών 20 επί 5:

Εργο. 1.2.5Ρίχνονται δύο ζάρια. Βρείτε την πιθανότητα του συμβάντος Α να εμφανιστεί τουλάχιστον ένα.

Λύση.Κάθε ζάρι μπορεί να ρίξει οποιονδήποτε αριθμό σημείων από 1 έως 6. Επομένως, ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων περιέχει 36 εξίσου πιθανά αποτελέσματα. Το γεγονός Α ευνοείται από 11 αποτελέσματα: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (1 ,5), (5,1), (1,6), (6,1), επομένως

Εργο. 1.2.6Τα γράμματα u, i, i, k, c, f, n γράφονται στις κόκκινες κάρτες, τα γράμματα a, a, o, t, t, s, h στις μπλε κάρτες. Μετά από προσεκτική ανάμειξη, η οποία είναι πιο πιθανό: από την πρώτη φορά από τα γράμματα για να χρησιμοποιήσετε τις κόκκινες κάρτες για να δημιουργήσετε τη λέξη «συνάρτηση» ή τα γράμματα στις μπλε κάρτες για να σχηματίσετε τη λέξη «συχνότητα»;

Λύση.Έστω γεγονός Α η λέξη «συνάρτηση» που αποτελείται τυχαία από 7 γράμματα και γεγονός Β η λέξη «συχνότητα» που αποτελείται τυχαία από 7 γράμματα. Εφόσον ταξινομούνται δύο σετ των 7 γραμμάτων, ο αριθμός όλων των αποτελεσμάτων για τα γεγονότα Α και Β είναι n = 7!. Το γεγονός Α ευνοείται από ένα αποτέλεσμα m = 1, αφού όλα τα γράμματα στις κόκκινες κάρτες είναι διαφορετικά. Το γεγονός Β ευνοείται από m = 2! · 2! αποτελέσματα, αφού τα γράμματα «α» και «τ» εμφανίζονται δύο φορές. Τότε P(A) = 1/7! , P(B) = 2! 2! /7! , Ρ(Β) > Ρ(Α).

Εργο. 1.2.7Κατά τη διάρκεια της εξέτασης, προσφέρονται στον μαθητή 30 εισιτήρια. Κάθε εισιτήριο περιέχει δύο ερωτήσεις. Από τις 60 ερωτήσεις που περιλαμβάνονται στα εισιτήρια, ο μαθητής γνωρίζει μόνο 40. Βρείτε την πιθανότητα το εισιτήριο που θα πάρει ο μαθητής να αποτελείται από

1. από θέματα που του είναι γνωστά·

2. από ερωτήσεις άγνωστες σε αυτόν.

3. από μια γνωστή και μια άγνωστη ερώτηση.

Λύση.Έστω Α το γεγονός που ο μαθητής γνωρίζει την απάντηση και στις δύο ερωτήσεις. Β - δεν γνωρίζει την απάντηση και στις δύο ερωτήσεις. Γ - γνωρίζει την απάντηση σε μια ερώτηση, δεν γνωρίζει την απάντηση σε μια άλλη. Η επιλογή δύο ερωτήσεων από τις 60 μπορεί να γίνει με n = C260 = 60 2·59 = 1770 τρόπους.

1. Υπάρχουν m = C240 ​​= 40 2·39 = 780 δυνατότητες επιλογής ερωτήσεων που είναι γνωστές στον μαθητή. Τότε P(A) = M N = 17 78 70 0 = 0,44

2. Η επιλογή δύο άγνωστων ερωτήσεων από τις 20 μπορεί να γίνει με m = C220 = 20 2·19 = 190 τρόπους. Σε αυτήν την περίπτωση

Ρ(Β) = Μ Ν = 11 79 70 0 = 0,11

3. Υπάρχουν m = C14 0 ·C21 0 = 40·20 = 800 τρόποι για να επιλέξετε ένα εισιτήριο με μία γνωστή και μία άγνωστη ερώτηση. Τότε P(C) = 18 70 70 0 = 0,45.

Εργο. 1.2.8Ορισμένες πληροφορίες στάλθηκαν μέσω τριών καναλιών. Τα κανάλια λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Βρείτε την πιθανότητα οι πληροφορίες να φτάσουν στον στόχο

1. Μόνο σε ένα κανάλι.

2. Τουλάχιστον σε ένα κανάλι.

Λύση. Έστω Α το γεγονός που οι πληροφορίες φτάνουν στον στόχο μέσω ενός μόνο καναλιού. Β - τουλάχιστον ένα κανάλι. Η εμπειρία είναι η μεταφορά πληροφοριών μέσω τριών καναλιών. Το αποτέλεσμα της εμπειρίας είναι ότι οι πληροφορίες έχουν φτάσει στον στόχο τους. Ας υποδηλώσουμε το Ai - οι πληροφορίες φτάνουν στον στόχο μέσω του i-ου καναλιού. Ο χώρος των στοιχειωδών εκδηλώσεων έχει τη μορφή:

Το συμβάν Β ευνοείται από 7 αποτελέσματα: όλα τα αποτελέσματα εκτός από Τότε n = 8; mA = 3; mB = 7; Ρ(Α) = 3 8; P(B) = 7 8.

Εργο. 1.2.9Ένα σημείο εμφανίζεται τυχαία σε ένα τμήμα μοναδιαίου μήκους. Να βρείτε την πιθανότητα η απόσταση από το σημείο μέχρι τα άκρα του τμήματος να είναι μεγαλύτερη από 1/8.

Λύση. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, το απαιτούμενο γεγονός ικανοποιείται από όλα τα σημεία που εμφανίζονται στο διάστημα (α; β).

Δεδομένου ότι το μήκος του είναι s = 1 - 1 8 + 1 8 = 3 4, και το μήκος ολόκληρου του τμήματος είναι S = 1, τότε η απαιτούμενη πιθανότητα είναι P = s/S = 3/14 = 0,75.

Εργο. 1.2.10Στο πάρτι απόΝπροϊόντακτα προϊόντα είναι ελαττωματικά. m προϊόντα επιλέγονται για έλεγχο. Βρείτε την πιθανότητα ότι απόΜ Προϊόνταμεγάλο Θα αποδειχθούν ελαττωματικά (γεγονός Α).

Λύση. Η επιλογή των m προϊόντων από το n μπορεί να γίνει με τρόπους, και η επιλογή μεγάλοελαττωματικό από κ ελαττωματικό - με τρόπους. Μετά την επιλογή μεγάλοελαττωματικά προϊόντα θα παραμείνουν (m - μεγάλο) κατάλληλο, που βρίσκεται μεταξύ (n - k) προϊόντων. Τότε ο αριθμός των αποτελεσμάτων που ευνοούν το γεγονός Α είναι ίσος με

Και η επιθυμητή πιθανότητα

Εργο. 1.3.1σιΥπάρχουν 30 μπάλες στη λάρνακα: 15 κόκκινες, 10 μπλε και 5 λευκές. Βρείτε την πιθανότητα μια μπάλα που σχεδιάστηκε τυχαία να είναι χρωματισμένη.

Λύση. Έστω γεγονός Α - σχεδιάζεται μια κόκκινη μπάλα, γεγονός Β - σχεδιάζεται μια μπλε μπάλα. Στη συνέχεια συμβάντα (Α + Β) - σχεδιάζεται μια έγχρωμη μπάλα. Έχουμε P(A) = 1 3 5 0 = 1 2 , P(B) = 1 3 0 0 = 1 3. Αφού

Τα συμβάντα Α και Β είναι ασύμβατα, τότε P(A + B) = P(A) + P(B) = 1 2 + 1 3 = 5 6 = 0,83.

Εργο. 1.3.2Πιθανότητα να πέσει χιόνι (συμβάνΕΝΑ ), είναι ίσο με 0.6, Και το γεγονός ότι θα βρέξει (εκδήλωσησι ), είναι ίσο με 0.45. Βρείτε την πιθανότητα κακοκαιρίας εάν η πιθανότητα βροχής και χιονιού (συμβάνΑΒ ) είναι ίσο με 0.25.

Λύση. Τα συμβάντα Α και Β είναι ταυτόχρονα, άρα P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,6 + 0,45 - 0,25 = 0,8

Εργο. 1.3.3σιΤο πρώτο κουτί περιέχει 2 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες, το δεύτερο κουτί περιέχει 3 άσπρες και 9 μαύρες μπάλες και το τρίτο κουτί περιέχει 6 άσπρες και 6 μαύρες μπάλες. Από κάθε κουτί πάρθηκε μια μπάλα. Βρείτε την πιθανότητα όλες οι συρόμενες μπάλες να είναι λευκές.

Λύση. Γεγονός Α - μια λευκή μπάλα τραβιέται από το πρώτο πλαίσιο, Β - από το δεύτερο πλαίσιο, Γ - από το τρίτο. Τότε P(A) = 12 2 = 1 6; P(B) = 13 2 = 1 4; P(C) = 16 2 = 1 2. Γεγονός ABC - όλα αφαιρέθηκαν

Οι μπάλες είναι λευκές. Επομένως, τα γεγονότα Α, Β, Γ είναι ανεξάρτητα

P(ABC) = P(A) Π(ΣΙ)· Π(C) = 1 6 1 4 1 2 = 41 8 = 0,02

Εργο. 1.3.4σιηλεκτρικό κύκλωμα συνδεδεμένο σε σειρά 5 Στοιχεία που λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Οι πιθανότητες αστοχιών του πρώτου, δεύτερου, τρίτου, τέταρτου, πέμπτου στοιχείου είναι αντίστοιχα ίσες 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Βρείτε την πιθανότητα να μην υπάρχει ρεύμα στο κύκλωμα (γεγονόςΕΝΑ ).

Λύση. Δεδομένου ότι τα στοιχεία είναι συνδεδεμένα σε σειρά, δεν θα υπάρχει ρεύμα στο κύκλωμα εάν τουλάχιστον ένα στοιχείο αποτύχει. Συμβάν Ai(i =1...5) - αποτυγχάνει Εγώ- το στοιχείο. Εκδηλώσεις

Εργο. 1.3.5Το κύκλωμα αποτελείται από ανεξάρτητα μπλοκ συνδεδεμένα σε ένα σύστημα με μία είσοδο και μία έξοδο.

Η αστοχία διαφόρων στοιχείων κυκλώματος μέσα σε ένα χρόνο T είναι ανεξάρτητα γεγονότα με τις ακόλουθες πιθανότητεςΠ 1 = 0,1; Π 2 = 0,2; Π 3 = 0,3; Π 4 = 0,4. Η αστοχία οποιουδήποτε από τα στοιχεία οδηγεί σε διακοπή του σήματος στον κλάδο του κυκλώματος όπου βρίσκεται αυτό το στοιχείο. Βρείτε την αξιοπιστία του συστήματος.

Λύση. Εάν το συμβάν A - (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΙΝΑΙ ΑΞΙΟΠΙΣΤΟ), το Ai - (i - το ΜΠΛΟΚ ΛΕΙΤΟΥΡΓΕΙ ΑΠΑΝΤΩΣ), τότε A = (A1 + A2)(A3 + A4). Τα γεγονότα Α1+Α2, Α3+Α4 είναι ανεξάρτητα, τα αγωνίσματα Α1 και Α2, Α3 και Α4 είναι κοινά. Χρησιμοποιώντας τους τύπους για τον πολλαπλασιασμό και την πρόσθεση πιθανοτήτων

Εργο. 1.3.6Ένας εργάτης χειρίζεται 3 μηχανές. Η πιθανότητα το μηχάνημα να μην απαιτήσει την προσοχή του εργάτη μέσα σε μια ώρα είναι ίση με 0,9 για το πρώτο μηχάνημα, 0,8 για το δεύτερο μηχάνημα και 0,7 για το τρίτο μηχάνημα.

Βρείτε την πιθανότητα ότι κατά τη διάρκεια κάποιας ώρας

1. Το δεύτερο μηχάνημα θα απαιτήσει προσοχή.

2. Δύο μηχανές θα απαιτήσουν προσοχή.

3. Τουλάχιστον δύο μηχανές θα απαιτήσουν προσοχή.

Λύση. Ας είναι το Ai η i-η μηχανή που απαιτεί την προσοχή ενός εργάτη· η i-η μηχανή δεν θα απαιτεί την προσοχή ενός εργάτη. Επειτα

Χώρος στοιχειωδών εκδηλώσεων:

1. Γεγονός Α - το δεύτερο μηχάνημα θα απαιτήσει προσοχή: Στη συνέχεια

Αφού τα γεγονότα είναι ασύμβατα και ανεξάρτητα. P(A) = 0,9 0,8 0,7 + 0,1 0,8 0,7 + 0,9 0,8 0,3 + 0,1 0,8 0,3 = 0,8

2. Γεγονός Β - δύο μηχανές θα απαιτήσουν προσοχή:

3. Γεγονός Γ - τουλάχιστον δύο στάδια θα απαιτήσουν προσοχή
kov:

Εργο. 1.3.7σιεισήχθη η μηχανή «Εξεταστής». 50 Ερωτήσεις. Ο μαθητής προσφέρεται 5 Ερωτήσεις και βαθμολογείται «άριστα» εάν όλες οι ερωτήσεις απαντηθούν σωστά. Βρείτε την πιθανότητα να γίνετε «άριστοι» εάν ο μαθητής ήταν προετοιμασμένος μόνο 40 Ερωτήσεις.

Λύση. A - (ΒΑΘΜΟΣ «ΑΡΙΣΤΑ» ΛΑΒΗΚΕ), Ai - (ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΤΗΝ i -η ΕΡΩΤΗΣΗ). Τότε A = A1A2A3A4A5, έχουμε:

Ή, με άλλο τρόπο - χρησιμοποιώντας τον κλασικό τύπο πιθανότητας: ΚΑΙ

Εργο. 1.3.8Η πιθανότητα να είναι μέσα το εξάρτημα που χρειάζεται ο συναρμολογητήςΕγώ, II, III, IVκουτί είναι αντίστοιχα ίσα 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο συλλέκτης θα πρέπει να τσεκάρει και τα 4 πλαίσια (συμβάνΕΝΑ).

Λύση. Αφήστε Ai - (Το εξάρτημα που χρειάζεται ο συναρμολογητής είναι μέσα i-ο κουτί.) Επειτα

Αφού τα γεγονότα είναι ασύμβατα και ανεξάρτητα, λοιπόν

Εργο. 1.4.1Εξετάστηκε μια ομάδα 10.000 ατόμων άνω των 60 ετών. Αποδείχθηκε ότι 4.000 άνθρωποι καπνίζουν τακτικά. 1.800 καπνιστές παρουσίασαν σοβαρές αλλαγές στους πνεύμονές τους. Μεταξύ των μη καπνιστών, 1.500 άτομα παρουσίασαν αλλαγές στους πνεύμονές τους. Ποια είναι η πιθανότητα ένα άτομο που εξετάζεται τυχαία με αλλαγές στους πνεύμονες να είναι καπνιστής;

Λύση.Ας εισαγάγουμε τις υποθέσεις: H1 - το άτομο που εξετάζεται είναι σταθερά καπνιστής, H2 - είναι μη καπνιστής. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος

P(H1)= ------- =0,4, P(H2)=---------- =0,6

Ας υποδηλώσουμε με Α το γεγονός ότι το εξεταζόμενο άτομο έχει αλλαγές στους πνεύμονες. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.15) βρίσκουμε

Η επιθυμητή πιθανότητα ο εξεταζόμενος να είναι καπνιστής, σύμφωνα με τον τύπο Bayes, ισούται με

Εργο. 1.4.2Πωλούνται τηλεοράσεις από τρία εργοστάσια: 30% από το πρώτο εργοστάσιο, 20% από το δεύτερο, 50% από το τρίτο. Τα προϊόντα του πρώτου εργοστασίου περιέχουν το 20% των τηλεοράσεων με κρυφά ελαττώματα, το δεύτερο - 10%, και το τρίτο - 5%. Ποια είναι η πιθανότητα να αγοράσετε μια τηλεόραση που λειτουργεί;

Λύση. Ας εξετάσουμε τα γεγονότα: A - αγοράστηκε μια λειτουργική τηλεόραση. υποθέσεις H1, H2, H3 - η τηλεόραση βγήκε στην πώληση από το πρώτο, δεύτερο, τρίτο εργοστάσιο, αντίστοιχα. Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.15) βρίσκουμε

Εργο. 1.4.3Υπάρχουν τρία πανομοιότυπα κουτιά. Το πρώτο έχει 20 άσπρες μπάλες, το δεύτερο έχει 10 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες, το τρίτο έχει 20 μαύρες μπάλες. Μια λευκή μπάλα σχεδιάζεται από ένα τυχαία επιλεγμένο πλαίσιο. Βρείτε την πιθανότητα αυτή η μπάλα να είναι από το δεύτερο κουτί.

Λύση. Έστω γεγονός Α - η λευκή μπάλα αφαιρείται, υποθέσεις Η1, Η2, Η3 - η μπάλα βγαίνει από το πρώτο, δεύτερο, τρίτο κουτί, αντίστοιχα. Από τις προβληματικές συνθήκες βρίσκουμε

Επειτα
Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.15) βρίσκουμε

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.16) βρίσκουμε

Εργο. 1.4.4Ένα τηλεγραφικό μήνυμα αποτελείται από τα σήματα κουκκίδας και παύλας. Οι στατιστικές ιδιότητες του θορύβου είναι τέτοιες που παραμορφώνονται κατά μέσο όρο 2/5 Μηνύματα "κουκκίδα" και 1/3 Μηνύματα "παύλα". Είναι γνωστό ότι μεταξύ των μεταδιδόμενων σημάτων η «κουκκίδα» και η «παύλα» εμφανίζονται στην αναλογία 5: 3. Προσδιορίστε την πιθανότητα να ληφθεί το μεταδιδόμενο σήμα εάν:

Α) Λαμβάνεται το σήμα «κουκκίδας».

ΣΙ)Λήφθηκε το σήμα "παύλα".

Λύση. Έστω ότι το συμβάν Α σημαίνει ότι λαμβάνεται ένα σήμα "κουκκίδας" και το γεγονός Β σημαίνει ότι λαμβάνεται ένα σήμα "παύλα".

Μπορούν να γίνουν δύο υποθέσεις: H1 - μεταδίδεται το σήμα "dot", H2 - μεταδίδεται το σήμα "παύλα". Κατά συνθήκη Ρ(Η1) : Ρ(Η2) =5: 3. Επιπλέον, Ρ(Η1 ) + P(H2)= 1. Επομένως Π( H1 ) = 5/8, P(H2 ) = 3/8. Είναι γνωστό ότι

Πιθανότητες γεγονότων ΕΝΑΚΑΙ σιΒρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο συνολικής πιθανότητας:

Οι απαιτούμενες πιθανότητες θα είναι:

Εργο. 1.4.5Από τα 10 ραδιοφωνικά κανάλια, τα 6 προστατεύονται από παρεμβολές. Η πιθανότητα ότι ένα ασφαλές κανάλι με την πάροδο του χρόνουΤδεν θα αποτύχει, είναι ίσο με 0,95, για ένα μη προστατευμένο κανάλι - 0,8. Βρείτε την πιθανότητα δύο τυχαία επιλεγμένα κανάλια να μην αποτύχουν με την πάροδο του χρόνουΤ, και τα δύο κανάλια δεν προστατεύονται από παρεμβολές.

Λύση. Αφήστε το συμβάν Α - και τα δύο κανάλια να μην αποτυγχάνουν κατά τη διάρκεια του χρόνου t, συμβάντος Α'1 -Επιλέχθηκε προστατευμένο κανάλι Α2 -Έχει επιλεγεί ένα μη προστατευμένο κανάλι.

Ας γράψουμε τον χώρο των στοιχειωδών γεγονότων για το πείραμα - (επιλέγονται δύο κανάλια):

Ω = (A1A1, A1A2, A2A1, A2A2)

Υποθέσεις:

H1 - και τα δύο κανάλια προστατεύονται από παρεμβολές.

H2 - το πρώτο επιλεγμένο κανάλι προστατεύεται, το δεύτερο επιλεγμένο κανάλι δεν προστατεύεται από παρεμβολές.

H3 - το πρώτο επιλεγμένο κανάλι δεν προστατεύεται, το δεύτερο επιλεγμένο κανάλι προστατεύεται από παρεμβολές.

H4 - και τα δύο επιλεγμένα κανάλια δεν προστατεύονται από παρεμβολές. Επειτα

ΚΑΙ

Εργο. 1.5.1Το κανάλι επικοινωνίας εκπέμπει 6 Μηνύματα. Κάθε μήνυμα μπορεί να παραμορφωθεί από παρεμβολές σε μια πιθανότητα 0.2 Ανεξάρτητα από τους άλλους. Βρείτε την πιθανότητα ότι

1. 4 στα 6 μηνύματα δεν παραμορφώνονται.

2. Τουλάχιστον 3 από τα 6 μεταδόθηκαν παραμορφωμένα.

3. Τουλάχιστον ένα μήνυμα από τα 6 είναι παραμορφωμένο.

4. Όχι περισσότερα από 2 στα 6 δεν είναι παραμορφωμένα.

5. Όλα τα μηνύματα μεταδίδονται χωρίς παραμόρφωση.

Λύση. Δεδομένου ότι η πιθανότητα παραμόρφωσης είναι 0,2, η πιθανότητα μετάδοσης ενός μηνύματος χωρίς παρεμβολές είναι 0,8.

1. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli (1.17), βρίσκουμε την πιθανότητα
δυνατότητα μετάδοσης 4 μηνυμάτων από τα 6 χωρίς παρεμβολές:

2. τουλάχιστον 3 στα 6 μεταδίδονται παραμορφωμένα:

3. τουλάχιστον ένα μήνυμα στα 6 είναι παραμορφωμένο:

4. τουλάχιστον ένα από τα 6 μηνύματα είναι παραμορφωμένο:

5. όλα τα μηνύματα μεταδίδονται χωρίς παραμόρφωση:

Εργο. 1.5.2Η πιθανότητα μια μέρα να είναι καθαρή το καλοκαίρι είναι 0,42. η πιθανότητα μιας συννεφιασμένης ημέρας είναι 0,36 και μερικώς συννεφιασμένης είναι 0,22. Πόσες ημέρες από τις 59 μπορείτε να περιμένετε καθαρό και συννεφιασμένο;

Λύση. Από τις συνθήκες του προβλήματος είναι σαφές ότι πρέπει να αναζητήσουμε τον πιο πιθανό αριθμό σαφών και συννεφιασμένες μέρες.

Για καθαρές μέρες Π= 0.42, Ν= 59. Συνθέτουμε ανισώσεις (1,20):

59 0.42 + 0.42 - 1 < m0 < 59 0.42 + 0.42.

24.2 ≤ Μο≤ 25.2 → Μο= 25.

Για συννεφιασμένες μέρες P= 0.36, Ν= 59 και

0.36 59 + 0.36 - 1 ≤ Μ0 ≤ 0.36 59 + 0.36;

Επομένως 20,16 ≤ Μ0 ≤ 21.60; → Μ0 = 21.

Έτσι, ο πιο πιθανός αριθμός καθαρών ημερών Μο=25, συννεφιασμένες μέρες - M0 = 21. Στη συνέχεια το καλοκαίρι μπορείτε να περιμένετε Μο+ M0 =46 μέρες καθαρό και συννεφιασμένο.

Εργο. 1.5.3Τη διάλεξη για τη θεωρία πιθανοτήτων παρακολουθούν 110 φοιτητές. Βρείτε την πιθανότητα ότι

1. k μαθητές (k = 0,1,2) από τους παρόντες γεννήθηκαν την πρώτη Σεπτεμβρίου.

2. τουλάχιστον ένας σπουδαστής του μαθήματος γεννήθηκε την πρώτη Σεπτεμβρίου.

Ρ =1/365είναι πολύ μικρό, επομένως χρησιμοποιούμε τον τύπο του Poisson (1.22). Ας βρούμε την παράμετρο Poisson. Επειδή

Ν= 110, τότε λ = np = 110 1 /365 = 0,3.

Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον τύπο Poisson

Εργο. 1.5.4Η πιθανότητα το εξάρτημα να μην είναι στάνταρ ισούται με 0.1. Πόσα μέρη πρέπει να επιλεγούν έτσι ώστε με πιθανότητα P = 0.964228 Θα μπορούσε να υποστηριχθεί ότι η σχετική συχνότητα εμφάνισης μη τυπικών εξαρτημάτων αποκλίνει από μια σταθερή πιθανότητα p = 0.1 Σε απόλυτη τιμή όχι περισσότερο από 0.01 ?

Λύση.

Απαιτούμενος αριθμός ΝΑς το βρούμε χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.25). Εχουμε:

P = 1,1; q = 0,9; P= 0,96428. Ας αντικαταστήσουμε τα δεδομένα στον τύπο:

Από πού το βρίσκουμε;

Σύμφωνα με τον πίνακα τιμών συνάρτησης Φ( Χ) το βρίσκουμε

Εργο. 1.5.5Η πιθανότητα αστοχίας ενός πυκνωτή κατά τη διάρκεια του χρόνου T είναι 0,2. Προσδιορίστε την πιθανότητα ότι κατά τη διάρκεια του χρόνου οι πυκνωτές T 100 θα αποτύχουν

1. Ακριβώς 10 πυκνωτές?

2. Τουλάχιστον 20 πυκνωτές.

3. Λιγότεροι από 28 πυκνωτές.

4. Από 14 έως 26 πυκνωτές.

Λύση. Εχουμε P = 100, P= 0.2, Q = 1 - P= 0.8.

1. Ακριβώς 10 πυκνωτές.

Επειδή ΠΩραία, ας χρησιμοποιήσουμε το τοπικό θεώρημα Moivre - Laplace:

Ας υπολογίσουμε

Από τη λειτουργία φ(x)- ζυγός, τότε φ(-2,5) = φ(2,50) = 0,0175 (βρίσκουμε από τον πίνακα τιμών συνάρτησης φ(x).Απαιτούμενη πιθανότητα

2. Τουλάχιστον 20 πυκνωτές.

Η απαίτηση ότι από τους 100 πυκνωτές τουλάχιστον 20 αποτυγχάνουν σημαίνει ότι είτε 20, είτε 21, ... είτε 100 θα αποτύχουν. T1 = 20, Τ 2 = 100. Επειτα

Σύμφωνα με τον πίνακα τιμών συναρτήσεων Φ(x)Ας βρούμε Φ(x1) = Φ(0) = 0, Φ(x2) = Φ(20) = 0,5. Απαιτούμενη πιθανότητα:

3. Λιγότεροι από 28 πυκνωτές.

(εδώ λήφθηκε υπόψη ότι η συνάρτηση Laplace Ф(x) είναι περιττή).

4. Από 14 έως 26 πυκνωτές. Κατά συνθήκη M1= 14, m2 = 26.
Ας υπολογίσουμε x 1,x2:

Εργο. 1.5.6Η πιθανότητα εμφάνισης κάποιου γεγονότος σε ένα πείραμα είναι 0,6. Ποια είναι η πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός στην πλειοψηφία των 60 πειραμάτων;

Λύση. Ποσότητα ΜΗ εμφάνιση ενός συμβάντος σε μια δοκιμαστική σειρά είναι μεταξύ . «Στα περισσότερα πειράματα» σημαίνει αυτό ΜΑνήκει στο διάστημα Κατά συνθήκη Ν= 60, P= 0.6, Q = 0.4, Μ1 = 30, m2 = 60. Ας υπολογίσουμε τα x1 και x2:

Τυχαίες μεταβλητές και οι κατανομές τους

Εργο. 2.1.1Δίνεται ένας πίνακας όπου φαίνεται η πάνω γραμμή πιθανές τιμέςτυχαία μεταβλητήΧ , και στο κάτω μέρος - οι πιθανότητές τους.

Μπορεί αυτός ο πίνακας να είναι μια γραμμή διανομήςΧ ?

Απάντηση: Ναι, αφού p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

Εργο. 2.1.2Απελευθερώθηκε 500 Λαχεία και 40 Τα εισιτήρια θα φέρουν κέρδη στους κατόχους τους 10000 Τρίψιμο., 20 Εισιτήρια - ανά 50000 Τρίψιμο., 10 Εισιτήρια - ανά 100000 Τρίψιμο., 5 Εισιτήρια - ανά 200000 Τρίψιμο., 1 εισιτήριο - 500000 Τρίψτε, τα υπόλοιπα - χωρίς κέρδη. Βρείτε το νόμο της διανομής των κερδών για τον κάτοχο ενός δελτίου.

Λύση.

Πιθανές τιμές για X: x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0. Οι πιθανότητες αυτών των πιθανών τιμών είναι:

Ο απαιτούμενος νόμος διανομής:

Εργο. 2.1.3Σκοπευτής έχοντας 5 Φυσίγγια, βολές μέχρι το πρώτο χτύπημα στο στόχο. Η πιθανότητα να χτυπήσετε με κάθε βολή είναι 0.7. Κατασκευάστε έναν νόμο διανομής για τον αριθμό των κασετών που χρησιμοποιούνται, βρείτε τη συνάρτηση διανομήςφά(Χ) και φτιάξτε το γράφημά του, βρείτε το P(2< x < 5).

Λύση.

Χώρος στοιχειωδών γεγονότων εμπειρίας

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

Όπου το συμβάν (1) - χτύπησε το στόχο, το συμβάν (0) - δεν πέτυχε το στόχο. Οι ακόλουθες τιμές της τυχαίας μεταβλητής του αριθμού των φυσιγγίων που χρησιμοποιούνται αντιστοιχούν σε στοιχειώδη αποτελέσματα: 1, 2, 3, 4, 5. Δεδομένου ότι το αποτέλεσμα κάθε επόμενης βολής δεν εξαρτάται από την προηγούμενη, οι πιθανότητες των πιθανών οι τιμές είναι:

P1 = P(x1= 1) = P(1)= 0.7; P2 = P(x2= 2) = P(01)= 0,3 · 0,7 = 0,21;

P3 = P(x3= 3) = P(001) = 0,32 · 0,7 = 0,063;

P4 = P(x4= 4) = P(0001) = 0,33 · 0,7 = 0,0189;

P5 = P(x5= 5) = P(00001 + 00000) = 0,34 · 0,7 + 0,35 = 0,0081.

Ο απαιτούμενος νόμος διανομής:

Ας βρούμε τη συνάρτηση διανομής φά(Χ), Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.5)

Χ≤1, F(x)= P(X< x) = 0

1 < x ≤2, F(x)= P(X< x) = P1(Χ1 = 1) = 0.7

2 < x ≤ 3, F(x) = P1(Χ= 1) + P2(x = 2) = 0,91

3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +

+ P4(x = 4) = 0,973 + 0,0189 = 0,9919

Χ>5.ΣΤ(x) = 1

Ας βρούμε το P(2< x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < Χ< 5) = F(5) - φά(2) = 0.9919 - 0.91 = 0.0819

Εργο. 2.1.4Ντάναφά(Χ) κάποιας τυχαίας μεταβλητής:

Καταγράψτε τη σειρά διανομής για το X.

Λύση.

Από ακίνητα φά(Χ) Από αυτό προκύπτει ότι οι πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χ - Σημεία διακοπής συναρτήσεων φά(Χ), Και οι αντίστοιχες πιθανότητες είναι άλματα συναρτήσεων φά(Χ). Βρίσκουμε πιθανές τιμές της τυχαίας μεταβλητής X=(0,1,2,3,4).

Εργο. 2.1.5Ορίστε ποια λειτουργία

Είναι η συνάρτηση κατανομής κάποιας τυχαίας μεταβλητής.

Εάν η απάντηση είναι ναι, βρείτε την πιθανότητα ότι η αντίστοιχη τυχαία τιμήπαίρνει αξίες[-3,2].

Λύση. Ας σχεδιάσουμε τις συναρτήσεις F1(x) και F2(x):

Η συνάρτηση F2(x) δεν είναι συνάρτηση κατανομής, αφού δεν είναι μη φθίνουσα. Η συνάρτηση F1(x) είναι

Η συνάρτηση κατανομής κάποιας τυχαίας μεταβλητής, αφού είναι μη φθίνουσα και ικανοποιεί την συνθήκη (2.3). Ας βρούμε την πιθανότητα να πέσουμε στο διάστημα:

Εργο. 2.1.6Δεδομένης της πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητήςΧ :

Εύρημα:

1. Συντελεστήςντο ;

2. Λειτουργία διανομής F(x) ;

3. Πιθανότητα να πέσει μια τυχαία μεταβλητή στο διάστημα(1, 3).

Λύση. Από την συνθήκη κανονικοποίησης (2.9) βρίσκουμε

Ως εκ τούτου,

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.10) βρίσκουμε:

Ετσι,

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.4) βρίσκουμε

Εργο. 2.1.7Ο τυχαίος χρόνος διακοπής λειτουργίας του ηλεκτρονικού εξοπλισμού σε ορισμένες περιπτώσεις έχει μια πυκνότητα πιθανότητας

Οπου M = lge = 0,4343...

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής F(x) .

Λύση. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.10) βρίσκουμε

Οπου

Εργο. 2.2.1Δίνεται μια σειρά διανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςΧ :

Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία, διακύμανση, τυπική απόκλιση,Μ, Δ[-3Χ + 2].

Λύση.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.12) βρίσκουμε τη μαθηματική προσδοκία:

M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 0,2 + 20 0,15 + 30 0,25 + 40 0,4 = 28,5

M = 2M[X] + M = 2M[X] + 5 = 2 28,5 + 5 = 62. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.19) βρίσκουμε τη διακύμανση:

Εργο. 2.2.2Βρείτε την προσδοκία, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητήςΧ , της οποίας η συνάρτηση διανομής

.

Λύση. Ας βρούμε την πυκνότητα πιθανότητας:

Βρίσκουμε τη μαθηματική προσδοκία χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.13):

Βρίσκουμε τη διακύμανση χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.19):

Ας βρούμε πρώτα τη μαθηματική προσδοκία του τετραγώνου της τυχαίας μεταβλητής:

Τυπική απόκλιση

Εργο. 2.2.3Χέχει μια σειρά διανομής:

Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητήςΥ = ΠΡΩΗΝ .

Λύση. Μ[ Υ] = Μ[ΠΡΩΗΝ ] = ε-- 1 · 0,2 + e0 · 0,3 + e1 · 0,4 + e2 · 0,1 =

0,2 · 0,3679 + 1 · 0,3 + 2,71828 · 0,4 + 7,389 · 0,1 = 2,2.

D[Y] = D = M[(eX)2 - Μ2[μιΧ] =

[(e-1)2 0,2 ​​+ (e0)2 0,3 + (e1)2 0,4 + (e2)2 0,1] - (2,2)2 =

= (e--2 0,2 ​​+ 0,3 + e2 0,4 + e4 0,1) - 4,84 = 8,741 - 4,84 = 3,9.

Εργο. 2.2.4Διακριτή τυχαία μεταβλητήΧ Μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμέςΧ1 ΚΑΙ X2 , καιΧ1< x2. Γνωστή πιθανότητα P1 = 0,2 Πιθανό νόημαΧ1 , αναμενόμενη αξία M[X] = 3,8 Και διακύμανση D[X] = 0,16. Να βρείτε τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.

Λύση. Δεδομένου ότι η τυχαία μεταβλητή X παίρνει μόνο δύο τιμές x1 και x2, τότε η πιθανότητα p2 = P(X = x2) = 1 - p1 = 1 - 0,2 = 0,8.

Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος έχουμε:

M[X] = x1p1 + x2p2 = 0,2x1 + 0,8x2 = 3,8;

D[X] = (x21p1 + x22p2) - M2[X] = (0,2x21 + 0,8x22) - (0,38)2 = 0,16.

Έτσι, αποκτήσαμε ένα σύστημα εξισώσεων:

Κατάσταση x1

Εργο. 2.2.5Η τυχαία μεταβλητή Χ υπόκειται σε νόμο κατανομής, το γράφημα πυκνότητας του οποίου έχει τη μορφή:

Βρείτε την αναμενόμενη τιμή, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση.

Λύση. Ας βρούμε τη συνάρτηση διαφορικής κατανομής f(x). Έξω από το διάστημα (0, 3) f(x) = 0. Στο διάστημα (0, 3) το γράφημα πυκνότητας είναι μια ευθεία γραμμή με κλίση k = 2/9 που διέρχεται από την αρχή. Ετσι,

Αναμενόμενη αξία:

Ας βρούμε τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση:

Εργο. 2.2.6Βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση του αθροίσματος των πόντων που εμφανίζονται σε τέσσερα ζάρια σε μία ρίψη.

Λύση. Ας συμβολίσουμε Α - τον αριθμό των πόντων σε ένα ζάρι σε μια ρίψη, Β - τον αριθμό των πόντων στο δεύτερο ζάρι, Γ - στον τρίτο ζάρι, D - στον τέταρτο ζάρι. Για τις τυχαίες μεταβλητές A, B, C, D, ο νόμος κατανομής ένας.

Τότε M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3,5

Εργο. 2.3.1Η πιθανότητα ότι ένα σωματίδιο που εκπέμπεται από μια ραδιενεργή πηγή θα καταγραφεί από έναν μετρητή είναι ίση με 0.0001. Κατά τη διάρκεια της περιόδου παρατήρησης, πέταξε έξω από την πηγή 30000 Σωματίδια Βρείτε την πιθανότητα να καταχωρήσει ο μετρητής:

1. Ακριβώς 3 σωματίδια?

2. Ούτε ένα σωματίδιο.

3. Τουλάχιστον 10 σωματίδια.

Λύση. Κατά συνθήκη Π= 30000, Π= 0,0001. Τα γεγονότα που αποτελούνται από σωματίδια που εκπέμπονται από μια ραδιενεργή πηγή που ανιχνεύεται είναι ανεξάρτητα. αριθμός ΠΥπέροχο, αλλά η πιθανότητα ΠΜικρό, επομένως χρησιμοποιούμε την κατανομή Poisson: Ας βρούμε το λ: λ = nΠ = 30000 0,0001 = 3 = M[X]. Πιθανότητες αναζήτησης:

Εργο. 2.3.2Η παρτίδα περιέχει 5% μη τυποποιημένα εξαρτήματα. Επιλέχθηκαν τυχαία 5 μέρη. Να γράψετε τον νόμο κατανομής μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητήςΧ - αριθμός μη τυποποιημένων εξαρτημάτων μεταξύ των πέντε επιλεγμένων. βρείτε τη μαθηματική προσδοκία και τη διακύμανση.

Λύση. Η διακριτή τυχαία μεταβλητή X - ο αριθμός των μη τυπικών τμημάτων - έχει διωνυμική κατανομή και μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5. Η πιθανότητα ενός μη τυποποιημένου εξαρτήματος σε μια παρτίδα είναι p = 5 /100 = 0,05. Ας βρούμε τις πιθανότητες αυτών των πιθανών τιμών:

Ας γράψουμε τον απαιτούμενο νόμο διανομής:

Ας βρούμε τα αριθμητικά χαρακτηριστικά:

0 0.7737809 + 1 0.2036267 + 2 0.0214343+

3 0.0011281 + 4 0.0000297 + 5 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

M[X] = Np= 5 0.05 = 0.25.

D[X] = M– Μ2 [Χ]= 02 0.7737809 + 12 0.2036267+

22 0.0214343 + 32 0.0011281 + 42 0.0000297 + 52 0.0000003- 0.0625 =

0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

Ή ρε[ Χ] = n p (1 - Ρ) = 5 0.05 0.95 = 0.2375.

Εργο. 2.3.3Ο χρόνος ανίχνευσης ενός στόχου από ένα ραντάρ κατανέμεται σύμφωνα με τον εκθετικό νόμο

Οπου1/ λ = 10 Sec. - μέσος χρόνος ανίχνευσης στόχου. Βρείτε την πιθανότητα ότι ο στόχος θα εντοπιστεί εγκαίρως από5 Πριν15 Sec. μετά την έναρξη της αναζήτησης.

Λύση. Πιθανότητα να χτυπήσετε μια τυχαία μεταβλητή Χ Στο μεσοδιάστημα (5, 15) Ας βρούμε χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.8):

Στο Παίρνουμε

0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 0.6321 = 0.3834

Εργο. 2.3.4Τα τυχαία σφάλματα μέτρησης υπόκεινται στον κανονικό νόμο με παραμέτρους a = 0, σ = 20 μμ. Γράψτε τη συνάρτηση διαφορικής κατανομήςφά(Χ) και βρείτε την πιθανότητα ότι υπήρξε σφάλμα στη μέτρηση στο εύρος από 5 Πριν 10 μμ.

Λύση. Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές των παραμέτρων a και σ στη συνάρτηση διαφορικής κατανομής (2.35):

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (2.42), βρίσκουμε την πιθανότητα να χτυπήσουμε μια τυχαία μεταβλητή Χ Στο μεσοδιάστημα, δηλ. Α= 0, Β= 0.1. Στη συνέχεια η συνάρτηση διαφορικής κατανομής F(x)Θα μοιάζει