Ορισμός

Χώρος πιθανοτήτωνείναι ένα τριπλό (μερικές φορές περικλείεται σε αγκύλες : ), όπου

Σημειώσεις

Χώροι πεπερασμένων πιθανοτήτων

Ένα απλό και συχνά χρησιμοποιούμενο παράδειγμα χώρου πιθανότητας είναι ένας πεπερασμένος χώρος. Έστω ένα πεπερασμένο σύνολο που περιέχει στοιχεία.

Είναι βολικό να ληφθεί μια οικογένεια υποσυνόλων ως σίγμα άλγεβρα. Συχνά χαρακτηρίζεται συμβολικά. Είναι εύκολο να το δείξεις αυτό συνολικός αριθμόςμέλη αυτής της οικογένειας, δηλ. ο αριθμός των διαφορετικών τυχαίων γεγονότων είναι ακριβώς ίσος με , γεγονός που εξηγεί τη σημείωση.

Η πιθανότητα, μιλώντας γενικά, μπορεί να προσδιοριστεί αυθαίρετα. Συχνά, ωστόσο, δεν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα είναι κατά οποιονδήποτε τρόπο προτιμότερο από ένα άλλο. Επειτα με φυσικό τρόποεισάγετε η πιθανότητα είναι:

,

όπου και είναι ο αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτων που ανήκουν σε .

Ειδικότερα, η πιθανότητα οποιουδήποτε στοιχειώδους συμβάντος:

Παράδειγμα

Εξετάστε το πείραμα της ρίψης ενός ισορροπημένου νομίσματος. Θα ήταν φυσικό να ληφθούν δύο γεγονότα: το εθνόσημο () και τα κεφάλια (), δηλαδή, τότε η πιθανότητα μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

Έτσι, ορίζεται ένα τριπλό - ένας πιθανός χώρος μέσα στον οποίο μπορούν να εξεταστούν διάφορα προβλήματα.

Ίδρυμα Wikimedia. 2010.

Δείτε τι είναι ο "Πιθανοτικός χώρος" σε άλλα λεξικά:

Ένα πεδίο πιθανοτήτων, μια συλλογή ενός μη κενού συνόλου, μια κλάση υποσυνόλων του συνόλου Q, που είναι ένα πεδίο Borel (δηλαδή κλειστό κάτω από μετρήσιμες θεωρητικές πράξεις συνόλων) και μια κατανομή (πιθανολογική... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Ο χώρος είναι μια έννοια που χρησιμοποιείται (άμεσα ή ως μέρος σύνθετων όρων) σε φυσικές γλώσσες, καθώς και σε κλάδους γνώσης όπως η φιλοσοφία, τα μαθηματικά, η φυσική κ.λπ. Στο επίπεδο της καθημερινής αντίληψης, ο χώρος είναι διαισθητικός... .. Βικιπαίδεια

Ο χώρος είναι μια έννοια που χρησιμοποιείται (άμεσα ή σε φράσεις) στην καθημερινή ομιλία, καθώς και σε διάφορους κλάδους της γνώσης. Ο χώρος στο επίπεδο της καθημερινής αντίληψης Μαθηματικά Τρισδιάστατος χώρος Affine space Banachow... ... Wikipedia

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Διάστημα. Στα μαθηματικά, η λέξη "χώρος" χρησιμοποιείται σε ένα ευρύ φάσμα πολύπλοκων όρων. Σε γενικές γραμμές, ο χώρος είναι ένα σύνολο με κάποια πρόσθετη δομή. Ανάλογα με... ... Wikipedia

Ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων είναι το σύνολο όλων των διαφορετικών αποτελεσμάτων ενός τυχαίου πειράματος. Ένα στοιχείο αυτού του συνόλου ονομάζεται στοιχειώδες γεγονός ή αποτέλεσμα. Ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων ονομάζεται διακριτός αν ο αριθμός του... ... Wikipedia

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ (ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ)- μία από τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων (βλ.) και της μαθηματικής στατιστικής (βλ.). Με τη σύγχρονη προσέγγιση, ως μαθηματική μοντέλο του τυχαίου φαινομένου που μελετάται, λαμβάνεται ο αντίστοιχος χώρος πιθανοτήτων ( F 1, S, P), όπου Q... ... Ρωσική Κοινωνιολογική Εγκυκλοπαίδεια

Το σύνολο όλων των στοιχειωδών γεγονότων που σχετίζονται με ένα συγκεκριμένο πείραμα και κάθε αδιάσπαστο αποτέλεσμα του πειράματος αντιπροσωπεύεται από ένα και μόνο σημείο του VP (σημείο δείγματος). Το V. p. είναι ένα αφηρημένο σύνολο, στην άλγεβρα... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

Στη λειτουργική ανάλυση και σε συναφείς κλάδους, αυτή είναι μια θεμελιώδης ιδιότητα των χώρων. Περιεχόμενα 1 Διατύπωση 2 Απόδειξη ... Wikipedia

Αυτή είναι η τριγωνική ανισότητα για χώρους συναρτήσεων με ολοκληρωμένο βαθμό. Περιεχόμενα 1 Διατύπωση 2 Απόδειξη ... Wikipedia

Η ανισότητα του Hölder στη συναρτησιακή ανάλυση και σε συναφείς κλάδους είναι μια θεμελιώδης ιδιότητα των χώρων Lp. Περιεχόμενα 1 Διατύπωση 2 Ειδικές περιπτώσεις 2.1 Άνισο ... Wikipedia

Βιβλία

• Θεωρία πιθανοτήτων. Χώρος πιθανοτήτων. Υπό όρους πιθανότητα, Τατιάνα Σαμπούροβα. Σε αυτό εγχειρίδιοδίνεται περίληψηθεωρητικό υλικό για το πρώτο μέρος του μαθήματος «Θεωρία των Πιθανοτήτων», λύσεις που αναλύθηκαν μεγάλη ποσότητα τυπικές εργασίες, δεδομένου...

Για πλήρης περιγραφήΓια τον μηχανισμό του υπό μελέτη τυχαίου πειράματος, δεν αρκεί να προσδιοριστεί μόνο ο χώρος των στοιχειωδών γεγονότων. Προφανώς, μαζί με την απαρίθμηση όλων των πιθανών αποτελεσμάτων του υπό μελέτη τυχαίου πειράματος, πρέπει επίσης να γνωρίζουμε πόσο συχνά σε μια μεγάλη σειρά τέτοιων πειραμάτων μπορούν να συμβούν ορισμένα στοιχειώδη γεγονότα. Πράγματι, επιστρέφοντας, ας πούμε, στα παραδείγματα 4.1-4.7, είναι εύκολο να φανταστεί κανείς ότι στο πλαίσιο καθενός από τους χώρους των στοιχειωδών γεγονότων που περιγράφονται σε αυτά, μπορεί κανείς να εξετάσει αμέτρητα τυχαία πειράματα που διαφέρουν σημαντικά στον μηχανισμό τους.

Έτσι, στα παραδείγματα 4.1-4.3 θα έχουμε σημαντικά διαφορετικές σχετικές συχνότητες εμφάνισης των ίδιων στοιχειωδών αποτελεσμάτων εάν χρησιμοποιήσουμε διαφορετικές ροπές και ζάρια (συμμετρικά, με ελαφρώς μετατοπισμένο κέντρο βάρους, με έντονα μετατοπισμένο κέντρο βάρους κ.λπ.) Στα παραδείγματα 4.4-4.7, η συχνότητα εμφάνισης ελαττωματικών προϊόντων, η φύση της μόλυνσης των επιθεωρημένων παρτίδων με ελαττωματικά προϊόντα και η συχνότητα εμφάνισης ορισμένου αριθμού αστοχιών μηχανών αυτόματης γραμμής θα εξαρτηθεί από το επίπεδο του τεχνολογικού εξοπλισμού της παραγωγής υπό μελέτη: με τον ίδιο χώρο στοιχειωδών γεγονότων, η συχνότητα εμφάνισης «καλών» στοιχειωδών αποτελεσμάτων θα είναι υψηλότερη στην παραγωγή με υψηλότερο επίπεδο τεχνολογίας.

Για να κατασκευαστεί (σε μια διακριτή περίπτωση) μια πλήρης και πλήρης μαθηματική θεωρία ενός τυχαίου πειράματος - μια θεωρία πιθανοτήτων, εκτός από τις ήδη εισαγόμενες αρχικές έννοιες ενός τυχαίου πειράματος, ενός στοιχειώδους αποτελέσματος και ενός τυχαίου γεγονότος, είναι απαραίτητο να γίνει απόθεμα επάνω σε μια ακόμη αρχική υπόθεση (αξίωμα) που υποθέτει την ύπαρξη πιθανοτήτων στοιχειωδών γεγονότων (που ικανοποιούν μια ορισμένη κανονικοποίηση) και καθορίζει την πιθανότητα οποιουδήποτε τυχαίου γεγονότος.

Αξίωμα.

Κάθε στοιχείο του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων αντιστοιχεί σε κάποιο μη αρνητικό αριθμητικό χαρακτηριστικό των πιθανοτήτων εμφάνισής του, που ονομάζεται πιθανότητα γεγονότος, και

(από εδώ, συγκεκριμένα, προκύπτει ότι για όλους ).

Προσδιορισμός της πιθανότητας ενός γεγονότος.

Η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος Α ορίζεται ως το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των στοιχειωδών γεγονότων που συνθέτουν το γεγονός Α, δηλαδή αν χρησιμοποιήσουμε συμβολισμό για να δηλώσουμε την «πιθανότητα του γεγονότος Α», τότε

Από εδώ και από την (4.2) προκύπτει αμέσως ότι η πιθανότητα ενός αξιόπιστου γεγονότος είναι πάντα ίση με ένα και η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι ίση με μηδέν.

Όλες οι άλλες έννοιες και κανόνες για την αντιμετώπιση πιθανοτήτων και γεγονότων θα προκύψουν ήδη από τους τέσσερις αρχικούς ορισμούς που εισήχθησαν παραπάνω (τυχαίο πείραμα, στοιχειώδες αποτέλεσμα, τυχαίο γεγονός και η πιθανότητα του) και ένα αξίωμα.

Έτσι, για μια εξαντλητική περιγραφή του μηχανισμού του υπό μελέτη τυχαίου πειράματος (σε μια διακριτή περίπτωση), είναι απαραίτητο να καθοριστεί ένα πεπερασμένο ή μετρήσιμο σύνολο όλων των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων και να εκχωρηθεί σε κάθε στοιχειώδες αποτέλεσμα κάποια μη αρνητικά (που δεν υπερβαίνουν ένα) αριθμητικό χαρακτηριστικό που ερμηνεύεται ως η πιθανότητα εμφάνισης του αποτελέσματος, με καθορισμένη αντιστοιχία του τύπου πρέπει να ικανοποιεί την απαίτηση κανονικοποίησης (4.2).

Ο χώρος πιθανοτήτων είναι ακριβώς η έννοια που επισημοποιεί μια τέτοια περιγραφή του μηχανισμού ενός τυχαίου πειράματος. Ο ορισμός ενός χώρου πιθανότητας σημαίνει να ορίζεις τον χώρο των στοιχειωδών γεγονότων Q και να ορίζεις την παραπάνω αντιστοιχία τύπου σε αυτόν

Προφανώς μπορεί να δοθεί αντιστοιχία τύπου (4.4). διαφορετικοί τρόποι: χρησιμοποιώντας πίνακες, γραφήματα, αναλυτικούς τύπους και τέλος αλγοριθμικά.

Πώς να κατασκευάσετε έναν πιθανό χώρο που αντιστοιχεί στο πραγματικό σύνολο των υπό μελέτη συνθηκών; Κατά κανόνα, δεν υπάρχουν δυσκολίες στην πλήρωση των εννοιών ενός τυχαίου πειράματος, ενός στοιχειώδους γεγονότος, του χώρου των στοιχειωδών γεγονότων και σε μια διακριτή περίπτωση με οποιοδήποτε αποσυνθέσιμο τυχαίο συμβάν με συγκεκριμένο περιεχόμενο. Αλλά ο προσδιορισμός των πιθανοτήτων μεμονωμένων στοιχειωδών γεγονότων από τις συγκεκριμένες συνθήκες του προβλήματος που επιλύεται δεν είναι τόσο εύκολος! Για το σκοπό αυτό, χρησιμοποιείται μία από τις ακόλουθες τρεις προσεγγίσεις.

Η a priori προσέγγιση για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων αποτελείται από μια θεωρητική, κερδοσκοπική ανάλυση των ειδικών συνθηκών ενός δεδομένου συγκεκριμένου τυχαίου πειράματος (πριν από τη διεξαγωγή του ίδιου του πειράματος). Σε ορισμένες περιπτώσεις, αυτή η προκαταρκτική ανάλυση καθιστά δυνατή τη θεωρητική τεκμηρίωση της μεθόδου για τον προσδιορισμό των επιθυμητών πιθανοτήτων.

Για παράδειγμα, μια περίπτωση είναι δυνατή όταν ο χώρος όλων των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό N στοιχείων και οι συνθήκες για την παραγωγή του τυχαίου πειράματος υπό μελέτη είναι τέτοιες ώστε οι πιθανότητες καθενός από αυτά τα N στοιχειώδη αποτελέσματα να φαίνονται ίσες σε εμάς (ακριβώς αυτή είναι η κατάσταση στην οποία βρισκόμαστε όταν πετάμε ένα συμμετρικό νόμισμα, ρίχνοντας το σωστό ζάρια, τυχαία εξαγωγή παιγνιόχαρτοαπό ένα καλά ανακατεμένο κατάστρωμα κ.λπ.). Δυνάμει του αξιώματος (4.2), η πιθανότητα κάθε στοιχειώδους γεγονότος είναι ίση με MN σε αυτή την περίπτωση. Αυτό μας επιτρέπει να λάβουμε μια απλή συνταγή για τον υπολογισμό της πιθανότητας οποιουδήποτε γεγονότος: εάν το γεγονός Α περιέχει στοιχειώδη γεγονότα NA, τότε σύμφωνα με τον ορισμό (4.3)

Η έννοια του τύπου (4.3) είναι ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος σε μια δεδομένη κατηγορία καταστάσεων μπορεί να οριστεί ως ο λόγος του αριθμού των ευνοϊκών αποτελεσμάτων (δηλαδή, των στοιχειωδών αποτελεσμάτων που περιλαμβάνονται σε αυτό το γεγονός) προς τον αριθμό όλων των πιθανών αποτελεσμάτων ( ο λεγόμενος κλασικός ορισμός της πιθανότητας). Στη σύγχρονη ερμηνεία του, ο τύπος (4.3) δεν είναι ορισμός της πιθανότητας: εφαρμόζεται μόνο στη συγκεκριμένη περίπτωση όπου όλα τα στοιχειώδη αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά.

Η προσέγγιση μεταγενέστερης συχνότητας για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων βασίζεται ουσιαστικά στον ορισμό της πιθανότητας που υιοθετείται από τη λεγόμενη έννοια της συχνότητας της πιθανότητας (για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με αυτήν την έννοια, βλ., για παράδειγμα, στο). Σύμφωνα με αυτή την έννοια, η πιθανότητα ορίζεται ως το όριο της σχετικής συχνότητας εμφάνισης ενός αποτελέσματος κατά τη διάρκεια μιας απεριόριστης αύξησης του συνολικού αριθμού τυχαίων πειραμάτων, δηλ.

(4.5)

όπου είναι ο αριθμός των τυχαίων πειραμάτων (από τον συνολικό αριθμό των τυχαίων πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν) στα οποία καταγράφηκε η εμφάνιση ενός στοιχειώδους γεγονότος Αντίστοιχα, για έναν πρακτικό (κατά προσέγγιση) προσδιορισμό των πιθανοτήτων, προτείνεται να ληφθούν οι σχετικές συχνότητες των η εμφάνιση ενός γεγονότος σε μια αρκετά μεγάλη σειρά τυχαίων πειραμάτων

Αυτή η μέθοδος υπολογισμού των πιθανοτήτων δεν έρχεται σε αντίθεση με τη σύγχρονη (αξιωματική) έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων, καθώς η τελευταία είναι κατασκευασμένη με τέτοιο τρόπο ώστε το εμπειρικό (ή επιλεκτικό) ανάλογο της αντικειμενικά υπάρχουσας πιθανότητας οποιουδήποτε γεγονότος Α είναι η σχετική συχνότητα εμφάνισης αυτής της εκδήλωσης σε μια σειρά ανεξάρτητων δοκιμών. Οι ορισμοί της πιθανότητας σε αυτές τις δύο έννοιες είναι διαφορετικοί: σύμφωνα με την έννοια της συχνότητας, η πιθανότητα δεν είναι μια αντικειμενική ιδιότητα του υπό μελέτη φαινομένου που υπάρχει πριν από την εμπειρία, αλλά εμφανίζεται μόνο σε σχέση με ένα πείραμα ή παρατήρηση. Αυτό οδηγεί σε ένα μείγμα θεωρητικών (αληθών, που εξαρτώνται από το πραγματικό σύμπλεγμα συνθηκών για την «ύπαρξη» του υπό μελέτη φαινομένου) πιθανοτικών χαρακτηριστικών και των εμπειρικών (επιλεκτικών) αναλόγων τους. Όπως γράφει ο G. Kramer, «ο καθορισμένος ορισμός της πιθανότητας μπορεί να συγκριθεί, για παράδειγμα, με τον ορισμό ενός γεωμετρικού σημείου ως το όριο των κηλίδων κιμωλίας απεριόριστα μειούμενων μεγεθών, αλλά η σύγχρονη αξιωματική γεωμετρία δεν εισάγει έναν τέτοιο ορισμό» () . Δεν θα σταθούμε εδώ στα μαθηματικά ελαττώματα της έννοιας της συχνότητας της πιθανότητας. Ας σημειώσουμε μόνο τις θεμελιώδεις δυσκολίες εφαρμογής μιας υπολογιστικής τεχνικής για τη λήψη κατά προσέγγιση τιμών χρησιμοποιώντας σχετικές συχνότητες. Πρώτον, η διατήρηση αμετάβλητων των συνθηκών ενός τυχαίου πειράματος (δηλαδή η διατήρηση των συνθηκών ενός στατιστικού συνόλου), σύμφωνα με το οποίο η υπόθεση σχετικά με την τάση των σχετικών συχνοτήτων να ομαδοποιούνται γύρω από μια σταθερή τιμή αποδεικνύεται έγκυρη, δεν μπορεί να διατηρηθεί επ' αόριστον και με υψηλή ακρίβεια. Επομένως, για να εκτιμηθούν οι πιθανότητες χρησιμοποιώντας σχετικές συχνότητες, δεν έχει νόημα να παίρνουμε πολύ μεγάλες σειρές (δηλαδή πολύ μεγάλες) και επομένως, παρεμπιπτόντως, μια ακριβής μετάβαση στο όριο (4.5) δεν μπορεί να έχει πραγματικό νόημα.

Δεύτερον, σε καταστάσεις όπου έχουμε έναν αρκετά μεγάλο αριθμό πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων (και μπορούν να σχηματίσουν ένα άπειρο σύνολο, ακόμη και, όπως σημειώνεται στην § 4.1, ένα σύνολο συνεχών), ακόμη και σε μια αυθαίρετα μεγάλη σειρά τυχαίων πειραμάτων θα έχουμε πιθανά αποτελέσματα που δεν πραγματοποιήθηκαν ποτέ κατά τη διάρκεια του πειράματός μας. και για τα υπόλοιπα πιθανά αποτελέσματαΟι κατά προσέγγιση τιμές πιθανότητας που λαμβάνονται χρησιμοποιώντας σχετικές συχνότητες θα είναι εξαιρετικά αναξιόπιστες υπό αυτές τις συνθήκες.

Η εκ των υστέρων προσέγγιση του μοντέλου για τον καθορισμό πιθανοτήτων που αντιστοιχούν στο συγκεκριμένο πραγματικό σύνολο συνθηκών που μελετάται είναι σήμερα ίσως η πιο διαδεδομένη και πιο πρακτικά βολική. Η λογική αυτής της προσέγγισης είναι η εξής. Αφενός, στο πλαίσιο μιας a priori προσέγγισης, δηλαδή στο πλαίσιο μιας θεωρητικής, κερδοσκοπικής ανάλυσης πιθανών επιλογών για τις ιδιαιτερότητες των υποθετικών πραγματικών συνόλων συνθηκών, ένα σύνολο χώρων πιθανοτήτων μοντέλων (διωνυμικό, Poisson, κανονικό, εκθετική, κ.λπ., βλ. § 6.1). Από την άλλη πλευρά, ο ερευνητής έχει τα αποτελέσματα ενός περιορισμένου αριθμού τυχαίων πειραμάτων. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας ειδικές μαθηματικές και στατιστικές τεχνικές (με βάση μεθόδους στατιστικής εκτίμησης άγνωστων παραμέτρων και στατιστικό έλεγχο υποθέσεων, βλ. Κεφάλαια 8 και 9), ο ερευνητής, όπως ήταν, «προσαρμόζει» υποθετικά μοντέλα χώρων πιθανότητας στα αποτελέσματα παρατήρησης έχει (αντανακλώντας τις ιδιαιτερότητες του πραγματικού κόσμου που μελετάται). πραγματικότητα) και αφήνει για περαιτέρω χρήση μόνο εκείνο το μοντέλο ή εκείνα τα μοντέλα που δεν έρχονται σε αντίθεση με αυτά τα αποτελέσματα και, κατά μία έννοια, ανταποκρίνονται καλύτερα σε αυτά.

Ας περιγράψουμε τώρα τους βασικούς κανόνες για την αντιμετώπιση των πιθανοτήτων γεγονότων, οι οποίες είναι συνέπειες των ορισμών και των αξιωμάτων που υιοθετήθηκαν παραπάνω.

Πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων (θεώρημα πρόσθεσης πιθανότητας).

Ας διατυπώσουμε και αποδείξουμε τον κανόνα για τον υπολογισμό της πιθανότητας του αθροίσματος δύο γεγονότων.

Για να γίνει αυτό, χωρίζουμε καθένα από τα σύνολα στοιχειωδών γεγονότων που αποτελούν τα γεγονότα σε δύο μέρη:

όπου ενώνει όλα τα στοιχειώδη συμβάντα με αυτά που περιλαμβάνονται αλλά δεν περιλαμβάνονται σε αποτελείται από όλα εκείνα τα στοιχειώδη συμβάντα που περιλαμβάνονται ταυτόχρονα στον ορισμό Χρήσης (4.3) και στον ορισμό ενός προϊόντος γεγονότων έχουμε:

Ταυτόχρονα, σύμφωνα με τον ορισμό του αθροίσματος των γεγονότων και με την (4.3), έχουμε

Από τα (4.6), (4.7) και (4.8) παίρνουμε τον τύπο για την πρόσθεση πιθανοτήτων (για δύο γεγονότα):

Ο τύπος (4.9) για την προσθήκη πιθανοτήτων μπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση ενός αυθαίρετου αριθμού όρων (βλ., για παράδειγμα,):

όπου οι «προσθήκες» υπολογίζονται με τη μορφή αθροίσματος πιθανοτήτων της μορφής

Επιπλέον, η άθροιση στη δεξιά πλευρά πραγματοποιείται, προφανώς, υπό την προϋπόθεση ότι όλα είναι διαφορετικά, ένα .

Στη συγκεκριμένη περίπτωση, όταν το σύστημα που μας ενδιαφέρει αποτελείται μόνο από ασύμβατα γεγονότα, όλα τα προϊόντα της φόρμας θα είναι κενά (ή αδύνατα) γεγονότα και, κατά συνέπεια, ο τύπος (4.9) δίνει

Πιθανότητα γινομένου γεγονότων (θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων). Υπό όρους πιθανότητα.

Ας εξετάσουμε καταστάσεις όπου μια προκαθορισμένη συνθήκη ή η καθήλωση κάποιου γεγονότος που έχει ήδη συμβεί εξαιρεί από τη λίστα των πιθανών μερικά από τα στοιχειώδη γεγονότα του αναλυόμενου πιθανολογικού χώρου. Έτσι, αναλύοντας ένα σύνολο Ν προϊόντων μαζικής παραγωγής που περιέχουν προϊόντα της πρώτης, - δεύτερης, - τρίτης και - τέταρτης τάξης, θεωρούμε έναν πιθανό χώρο με στοιχειώδη αποτελέσματα και τις πιθανότητές τους - αντίστοιχα (εδώ σημαίνει το γεγονός ότι ένα προϊόν είναι τυχαία που εξήχθη από το αδρανή αποδείχθηκε ποικιλία). Ας υποθέσουμε ότι οι συνθήκες για τη διαλογή των προϊόντων είναι τέτοιες που σε κάποιο στάδιο τα προϊόντα της πρώτης τάξης διαχωρίζονται από τον γενικό πληθυσμό και όλα τα πιθανολογικά συμπεράσματα, ειδικότερα, για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων διαφόρων γεγονότων), πρέπει να χτίσουμε σε σχέση με ένας απογυμνωμένος πληθυσμός που αποτελείται μόνο από προϊόντα της δεύτερης, τρίτης και τέταρτης τάξης. Σε τέτοιες περιπτώσεις, συνηθίζεται να μιλάμε για πιθανότητες υπό όρους, δηλ. για πιθανότητες που υπολογίζονται δεδομένης της συνθήκης ότι κάποιο γεγονός έχει ήδη συμβεί. Σε αυτήν την περίπτωση, ένα τέτοιο ολοκληρωμένο συμβάν είναι ένα συμβάν, δηλ. ένα συμβάν που περιλαμβάνει οποιοδήποτε προϊόν που εξάγεται τυχαία είναι είτε δεύτερης, τρίτης ή τέταρτης τάξης. Επομένως, εάν μας ενδιαφέρει να υπολογίσουμε την υπό όρους πιθανότητα του γεγονότος Α (υπό την προϋπόθεση ότι το γεγονός Β έχει ήδη λάβει χώρα), η οποία συνίσταται, για παράδειγμα, στο γεγονός ότι ένα προϊόν που κληρώθηκε τυχαία αποδεικνύεται ότι είναι της δεύτερης ή τρίτης τάξης , τότε, προφανώς, αυτή η υπό όρους πιθανότητα (τη συμβολίζουμε) μπορεί να προσδιοριστεί από την ακόλουθη σχέση:

Όπως γίνεται εύκολα κατανοητό από αυτό το παράδειγμα, ο υπολογισμός των πιθανοτήτων υπό όρους είναι, στην ουσία, μια μετάβαση σε έναν άλλο χώρο στοιχειωδών γεγονότων, που περικόπτεται από μια δεδομένη συνθήκη, όταν ο λόγος των πιθανοτήτων των στοιχειωδών γεγονότων στον περικομμένο χώρο παραμένει ο ίδιος όπως στον αρχική (ευρύτερη), αλλά όλες κανονικοποιούνται (διαιρούνται με ) έτσι ώστε η απαίτηση κανονικοποίησης (4.2) να ικανοποιείται και στο νέο χώρο πιθανοτήτων. Φυσικά, θα ήταν δυνατό να μην εισαχθεί ορολογία με πιθανότητες υπό όρους, αλλά απλώς να χρησιμοποιηθεί η συσκευή των συνηθισμένων («άνευ όρων») πιθανοτήτων στον νέο χώρο. Η γραφή με όρους πιθανοτήτων του «παλαιού» χώρου είναι χρήσιμη σε περιπτώσεις όπου, σύμφωνα με τις συνθήκες ενός συγκεκριμένου προβλήματος, πρέπει πάντα να θυμόμαστε την ύπαρξη του αρχικού, ευρύτερου χώρου στοιχειωδών γεγονότων.

Ας πάρουμε τον τύπο πιθανοτήτων υπό όρους στη γενική περίπτωση. Έστω Β ένα γεγονός (μη κενό) που θεωρείται ότι έχει ήδη λάβει χώρα («συνθήκη») και Α είναι ένα γεγονός του οποίου η υπό όρους πιθανότητα P(A|B) πρέπει να υπολογιστεί. Ο νέος (μειωμένος) χώρος των στοιχειωδών γεγονότων αποτελείται μόνο από στοιχειώδη γεγονότα που περιλαμβάνονται στο Β και, επομένως, οι πιθανότητες τους (με την συνθήκη κανονικοποίησης (4.2)) καθορίζονται από τις σχέσεις

Εξ ορισμού, η πιθανότητα P(A|B) είναι η πιθανότητα του γεγονότος Α στο χώρο "μειωμένης" πιθανότητας και, επομένως, σύμφωνα με τις (4.3) και (4.10)

ή, τι είναι το ίδιο,

Οι ισοδύναμοι τύποι (4.11) και (4.11") ονομάζονται συνήθως τύπος πιθανότητας υπό όρους και κανόνας πολλαπλασιασμού πιθανότητας, αντίστοιχα.

Ας τονίσουμε για άλλη μια φορά ότι η εξέταση των υπό όρους πιθανοτήτων διαφόρων γεγονότων υπό την ίδια συνθήκη Β ισοδυναμεί με την εξέταση συνηθισμένων πιθανοτήτων σε έναν άλλο (μειωμένο) χώρο στοιχειωδών γεγονότων, υπολογίζοντας εκ νέου τις αντίστοιχες πιθανότητες στοιχειωδών γεγονότων χρησιμοποιώντας τον τύπο (4.10). Επομένως, όλα τα γενικά θεωρήματα και οι κανόνες για τη λειτουργία με πιθανότητες παραμένουν σε ισχύ για τις υπό όρους πιθανότητες, εάν αυτές οι πιθανότητες υπό όρους λαμβάνονται υπό την ίδια συνθήκη.

Ανεξαρτησία των γεγονότων. Δύο γεγονότα Α και Β ονομάζονται ανεξάρτητα αν

Για να εξηγήσουμε τη φυσικότητα αυτού του ορισμού, ας επιστρέψουμε. Ας στραφούμε στο θεώρημα πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων (4.11) και ας δούμε σε ποιες καταστάσεις (4.12) προκύπτει από αυτό. Προφανώς, αυτό μπορεί να συμβαίνει όταν η υπό όρους πιθανότητα είναι ίση με την αντίστοιχη άνευ όρων πιθανότητα, δηλαδή, σε γενικές γραμμές, όταν η γνώση ότι έχει συμβεί ένα γεγονός δεν επηρεάζει με κανένα τρόπο την εκτίμηση των πιθανοτήτων εμφάνισης του συμβάντος Α.

Η επέκταση του ορισμού της ανεξαρτησίας σε ένα σύστημα περισσότερων από δύο γεγονότων έχει ως εξής. Τα γεγονότα ονομάζονται αμοιβαία ανεξάρτητα εάν για οποιαδήποτε ζευγάρια, τρίδυμα, τετράπτυχα κ.λπ. των γεγονότων που επιλέχθηκαν από αυτό το σύνολο γεγονότων, ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες πολλαπλασιασμού:

Προφανώς, η πρώτη γραμμή υπονοεί

(ο αριθμός των συνδυασμών των κ δύο) εξισώσεων, στη δεύτερη - κ.λπ. Συνολικά, λοιπόν, το (4.13) συνδυάζει τις συνθήκες. Ταυτόχρονα, οι συνθήκες της πρώτης γραμμής είναι επαρκείς για να διασφαλίσουν την ανεξαρτησία κατά ζεύγη αυτών των γεγονότων. Και παρόλο που η κατά ζεύγη και η αμοιβαία ανεξαρτησία ενός συστήματος γεγονότων, αυστηρά μιλώντας, δεν είναι το ίδιο πράγμα, η διαφορά τους είναι θεωρητικού παρά πρακτικού ενδιαφέροντος: πρακτικά σημαντικά παραδείγματα ανεξάρτητων γεγονότων κατά ζεύγη που δεν είναι αμοιβαία ανεξάρτητα, προφανώς δεν υπάρχουν.

Ο χώρος πιθανοτήτων είναι μαθηματικό μοντέλοτυχαίο πείραμα (εμπειρία) στην αξιωματική του A. N. Kolmogorov. Ο χώρος πιθανοτήτων περιέχει όλες τις πληροφορίες σχετικά με τις ιδιότητες ενός τυχαίου πειράματος που είναι απαραίτητες για τη μαθηματική του ανάλυση χρησιμοποιώντας τα μέσα της θεωρίας πιθανοτήτων. Οποιοδήποτε πρόβλημα στη θεωρία πιθανοτήτων επιλύεται μέσα στο πλαίσιο ενός συγκεκριμένου χώρου πιθανοτήτων, πλήρως καθορισμένου αρχικά. Προβλήματα στα οποία ο χώρος πιθανοτήτων δεν προσδιορίζεται πλήρως και οι πληροφορίες που λείπουν πρέπει να λαμβάνονται από αποτελέσματα παρατήρησης, ανήκουν στο πεδίο της μαθηματικής στατιστικής.

Ορισμός

Χώρος πιθανοτήτωνείναι ένα τριπλό, όπου:

Σημειώστε ότι η τελευταία ιδιότητα της σίγμα-προσθετικότητας ενός μέτρου είναι ισοδύναμη (υπόκειται σε όλες τις άλλες ιδιότητες, συμπεριλαμβανομένης της πεπερασμένης προσθετικότητας) με οποιαδήποτε από τις ακόλουθες ιδιότητες συνέχεια του μέτρου:

Παραδείγματα των πιο συχνά χρησιμοποιούμενων χώρων πιθανοτήτων

Διακεκριμένοι χώροι πιθανοτήτων

Εάν το σύνολο των στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι πεπερασμένο ή μετρήσιμο: , τότε ο αντίστοιχος χώρος πιθανοτήτων καλείται διακεκριμένος. Στην περίπτωση διακριτών χώρων πιθανοτήτων, τα γεγονότα συνήθως θεωρούνται όλα τα πιθανά υποσύνολα. Σε αυτήν την περίπτωση, για να ορίσετε την πιθανότητα, είναι απαραίτητο και αρκετό να εκχωρήσετε έναν αριθμό σε κάθε στοιχειώδες αποτέλεσμα, έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με 1. Τότε η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος προσδιορίζεται ως εξής:

Μια σημαντική ειδική περίπτωση ενός τέτοιου χώρου είναι κλασικός τρόπος προσδιορισμού πιθανοτήτων, όταν ο αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτων είναι πεπερασμένος και όλα έχουν την ίδια πιθανότητα. Τότε η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος ορίζεται ως ο λόγος της ισχύος του (δηλ. ο αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτων, ευνοϊκόςδεδομένο γεγονός) στον συνολικό αριθμό των στοιχειωδών αποτελεσμάτων:

.

Ωστόσο, πρέπει πάντα να θυμόμαστε ότι για να το χρησιμοποιήσετε αυτή τη μέθοδο, είναι απαραίτητο να βεβαιωθείτε ότι τα στοιχειώδη αποτελέσματα είναι πράγματι εξίσου πιθανά. Αυτό πρέπει είτε να διατυπωθεί ως αρχική προϋπόθεση, είτε αυτό το γεγονός πρέπει να συνάγεται αυστηρά από τις υπάρχουσες αρχικές συνθήκες.

Διαστήματα πιθανοτήτων στη γραμμή

Τα κενά πιθανότητας στη γραμμή () προκύπτουν φυσικά στη μελέτη τυχαίων μεταβλητών. Σε αυτήν την περίπτωση, στη γενική περίπτωση, δεν είναι πλέον δυνατό να θεωρηθούν υποσύνολα της γραμμής ως γεγονότα, αφού σε μια τόσο ευρεία κατηγορία είναι συνήθως αδύνατο να προσδιοριστεί ένα μέτρο πιθανότητας που να ικανοποιεί τα απαραίτητα αξιώματα. Μια καθολική άλγεβρα σίγμα γεγονότων επαρκής για να λειτουργήσει είναι η σίγμα άλγεβρα των συνόλων Borel: η μικρότερη άλγεβρα σίγμα που περιέχει όλα τα ανοιχτά σύνολα. Ο ισοδύναμος ορισμός είναι η μικρότερη σίγμα άλγεβρα που περιέχει όλα τα διαστήματα. Ένας καθολικός τρόπος για τον καθορισμό ενός μέτρου πιθανότητας σε μια δεδομένη άλγεβρα σίγμα είναι μέσω της συνάρτησης κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής.

Χώροι πιθανοτήτων σε χώρο πεπερασμένων διαστάσεων

Οι χώροι πιθανοτήτων με πολλά στοιχειώδη αποτελέσματα προκύπτουν φυσικά από τη μελέτη τυχαίων διανυσμάτων. Σε αυτή την περίπτωση, η καθολική άλγεβρα σίγμα των γεγονότων είναι επίσης η άλγεβρα σίγμα Borel που δημιουργείται από όλα τα ανοιχτά σύνολα. Βασικά, αυτή η περίπτωση δεν διαφέρει πολύ από την περίπτωση μιας ευθείας γραμμής.

Ως αυστηρός μαθηματικός κλάδος.

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

• 1 / 5

  Χώρος πιθανοτήτωνείναι τριπλό (μερικές φορές περιβάλλεται από γωνιακές αγκύλες: ⟨ , ⟩ (\displaystyle \langle,\rangle)), Οπου

  Σημειώσεις

  Χώροι πεπερασμένων πιθανοτήτων

  Ένα απλό και συχνά χρησιμοποιούμενο παράδειγμα χώρου πιθανότητας είναι ένας πεπερασμένος χώρος. Έστω ένα πεπερασμένο σύνολο που περιέχει | Ω | = n (\displaystyle \vert \Omega \vert =n)στοιχεία.

  Ως άλγεβρα σίγμα, είναι βολικό να ληφθεί μια οικογένεια υποσυνόλων Ω (\displaystyle \Omega). Συχνά δηλώνεται συμβολικά 2 Ω (\displaystyle 2^(\Omega )). Είναι εύκολο να δείξουμε ότι ο συνολικός αριθμός των μελών αυτής της οικογένειας, δηλαδή ο αριθμός των διαφορετικών τυχαίων γεγονότων, είναι ακριβώς ίσος με 2 | Ω | (\displaystyle 2^(\vert \Omega \vert )), που εξηγεί τη σημειογραφία.

  Η πιθανότητα, σε γενικές γραμμές, μπορεί να προσδιοριστεί αυθαίρετα. Ωστόσο, σε διακριτά μοντέλα συχνά δεν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα είναι κατά οποιονδήποτε τρόπο προτιμότερο από ένα άλλο. Σε αυτή την περίπτωση, ένας φυσικός τρόπος εισαγωγής της πιθανότητας είναι:

  P (A) = n A n (\displaystyle \mathbb (P) (A)=(\frac (n_(A))(n))),

  Οπου A ⊂ Ω (\displaystyle A\subset \Omega), Και | A | = n A (\displaystyle \vert A\vert =n_(A))- αριθμός στοιχειωδών αποτελεσμάτων που ανήκουν σε A (\displaystyle A). Ειδικότερα, η πιθανότητα οποιουδήποτε στοιχειώδους συμβάντος:

  P (( ω )) = 1 n , ∀ ω ∈ Ω . (\displaystyle \mathbb (P) (\(\omega \))=(\frac (1)(n)),\;\forall \omega \σε \Omega .)

  Παράδειγμα

  Εξετάστε το πείραμα της ρίψης ενός ισορροπημένου νομίσματος. Θα ήταν φυσικό να γίνουν δύο γεγονότα: η απώλεια ενός θυρεού ( Γ (\displaystyle \Gamma )) και κεφαλές προσγείωσης ( P (\displaystyle \mathrm (P) )), αυτό είναι Ω = (Γ, Ρ). (\displaystyle \Omega =\(\Gamma,\mathrm (P)\).)Επειτα A = ( ( Γ ) , ( P ) , ( Γ , P ) , ∅ ) , (\displaystyle (\mathfrak (A))=\(\(\Gamma \),\(\mathrm (P)\), \(\Gamma,\mathrm (P) \),\varnothing \),)και η πιθανότητα μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

  P (( Γ )) = 1 2 , P (( P )) = 1 2 , P (( Γ , P )) = 1 , P (∅) = 0. (\displaystyle \mathbb (P) (\(\ Γάμμα \))=(\frac (1)(2)),\;\mathbb (P) (\(\mathrm (P) \))=(\frac (1)(2)),\;\mathbb (P) (\(\Gamma ,\mathrm (P) \))=1,\;\mathbb (P) (\varnothing)=0.)

  Έτσι ορίζεται το τριπλό (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))- ένας πιθανός χώρος μέσα στον οποίο μπορούν να εξεταστούν διάφορα προβλήματα.