Ο πιο συνηθισμένος τύπος μέσου όρου είναι ο αριθμητικός μέσος όρος.

Απλός αριθμητικός μέσος όρος

Ένας απλός αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος όρος, για τον προσδιορισμό του οποίου ο συνολικός όγκος ενός δεδομένου χαρακτηριστικού στα δεδομένα κατανέμεται εξίσου σε όλες τις μονάδες που περιλαμβάνονται στον δεδομένο πληθυσμό. Έτσι, η μέση ετήσια παραγωγή ανά εργαζόμενο είναι η ποσότητα της παραγωγής που θα παρήγαγε κάθε εργαζόμενος εάν ολόκληρος ο όγκος της παραγωγής κατανεμήθηκε εξίσου μεταξύ όλων των εργαζομένων του οργανισμού. Η αριθμητική μέση απλή τιμή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Απλός αριθμητικός μέσος όρος— Ίση με την αναλογία του αθροίσματος των επιμέρους τιμών ενός χαρακτηριστικού προς τον αριθμό των χαρακτηριστικών στο σύνολο

Παράδειγμα 1 . Μια ομάδα 6 εργαζομένων λαμβάνει 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 χιλιάδες ρούβλια το μήνα.

Βρείτε τον μέσο μισθό
Λύση: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 χιλιάδες ρούβλια.

Αριθμητικός μέσος όρος σταθμισμένος

Εάν ο όγκος του συνόλου δεδομένων είναι μεγάλος και αντιπροσωπεύει μια σειρά κατανομής, τότε υπολογίζεται ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος. Έτσι καθορίζεται η μέση σταθμισμένη τιμή ανά μονάδα παραγωγής: το συνολικό κόστος παραγωγής (το άθροισμα των προϊόντων της ποσότητας του με την τιμή μιας μονάδας παραγωγής) διαιρείται με τη συνολική ποσότητα παραγωγής.

Ας το φανταστούμε αυτό με τη μορφή του ακόλουθου τύπου:

Σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος— ίση με την αναλογία (το άθροισμα των γινομένων της τιμής ενός χαρακτηριστικού προς τη συχνότητα επανάληψης αυτού του χαρακτηριστικού) προς (το άθροισμα των συχνοτήτων όλων των χαρακτηριστικών). Χρησιμοποιείται όταν εμφανίζονται παραλλαγές του υπό μελέτη πληθυσμού άνισο αριθμό φορών.

Παράδειγμα 2 . Βρείτε τον μέσο μισθό των εργαζομένων σε συνεργεία ανά μήνα

Ο μέσος μισθός μπορεί να ληφθεί διαιρώντας τον συνολικό μισθό με συνολικός αριθμόςεργαζόμενοι:

Απάντηση: 3,35 χιλιάδες ρούβλια.

Αριθμητικός μέσος όρος για διαστημικές σειρές

Κατά τον υπολογισμό του αριθμητικού μέσου όρου για μια σειρά απόκλισης διαστήματος, προσδιορίστε πρώτα τον μέσο όρο για κάθε διάστημα ως το μισό άθροισμα του άνω και του κατώτερου ορίου και, στη συνέχεια, το μέσο όρο ολόκληρης της σειράς. Στην περίπτωση ανοιχτών διαστημάτων, η τιμή του κατώτερου ή του ανώτερου διαστήματος καθορίζεται από το μέγεθος των διαστημάτων που γειτνιάζουν με αυτά.

Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση.

Παράδειγμα 3. Καθορίζω ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΗΛΙΚΙΑΣαπογευματινοί μαθητές.

Οι μέσοι όροι που υπολογίζονται από τις σειρές διαστημάτων είναι κατά προσέγγιση. Ο βαθμός προσέγγισής τους εξαρτάται από το βαθμό στον οποίο η πραγματική κατανομή των πληθυσμιακών μονάδων εντός του διαστήματος προσεγγίζει την ομοιόμορφη κατανομή.

Κατά τον υπολογισμό των μέσων όρων, όχι μόνο απόλυτες αλλά και σχετικές τιμές (συχνότητα) μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως βάρη:

Ο αριθμητικός μέσος όρος έχει μια σειρά από ιδιότητες που αποκαλύπτουν πληρέστερα την ουσία του και απλοποιούν τους υπολογισμούς:

1. Το γινόμενο του μέσου όρου με το άθροισμα των συχνοτήτων είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των γινομένων της παραλλαγής κατά συχνότητες, δηλ.

2. Ο αριθμητικός μέσος όρος του αθροίσματος των μεταβαλλόμενων μεγεθών είναι ίσος με το άθροισμα των αριθμητικών μέσων αυτών των μεγεθών:

3. Το αλγεβρικό άθροισμα των αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών ενός χαρακτηριστικού από το μέσο όρο είναι ίσο με μηδέν:

4. Το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των επιλογών από τον μέσο όρο είναι μικρότερο από το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων από οποιαδήποτε άλλη αυθαίρετη τιμή, δηλ.

Για να βρείτε τη μέση τιμή στο Excel (ανεξάρτητα από το αν είναι αριθμητική, κείμενο, ποσοστό ή άλλη τιμή), υπάρχουν πολλές συναρτήσεις. Και καθένα από αυτά έχει τα δικά του χαρακτηριστικά και πλεονεκτήματα. Πράγματι, σε αυτήν την εργασία μπορούν να τεθούν ορισμένες προϋποθέσεις.

Για παράδειγμα, οι μέσες τιμές μιας σειράς αριθμών στο Excel υπολογίζονται χρησιμοποιώντας στατιστικές συναρτήσεις. Μπορείτε επίσης να εισαγάγετε χειροκίνητα τον δικό σας τύπο. Ας εξετάσουμε διάφορες επιλογές.

Πώς να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών;

Για να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο, πρέπει να αθροίσετε όλους τους αριθμούς στο σύνολο και να διαιρέσετε το άθροισμα με την ποσότητα. Για παράδειγμα, οι βαθμοί ενός μαθητή στην επιστήμη των υπολογιστών: 3, 4, 3, 5, 5. Τι περιλαμβάνεται στο τρίμηνο: 4. Βρήκαμε τον αριθμητικό μέσο όρο χρησιμοποιώντας τον τύπο: =(3+4+3+5+5) /5.

Πώς να το κάνετε γρήγορα χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις του Excel; Ας πάρουμε για παράδειγμα μια σειρά τυχαίων αριθμών σε μια συμβολοσειρά:

Ή: δημιουργήστε το ενεργό κελί και απλώς εισαγάγετε τον τύπο με μη αυτόματο τρόπο: =AVERAGE(A1:A8).

Τώρα ας δούμε τι άλλο μπορεί να κάνει η συνάρτηση AVERAGE.

Ας βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο πρώτων και τριών τελευταίων αριθμών. Τύπος: =AVERAGE(A1:B1,F1:H1). Αποτέλεσμα:



Κατάσταση μέτρια

Η προϋπόθεση για την εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου μπορεί να είναι ένα αριθμητικό κριτήριο ή ένα κριτήριο κειμένου. Θα χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση: =AVERAGEIF().

Να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο αριθμών που είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 10.

Συνάρτηση: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Το αποτέλεσμα της χρήσης της συνάρτησης AVERAGEIF υπό την προϋπόθεση ">=10":

Το τρίτο όρισμα - "Εύρος μέσου όρου" - παραλείπεται. Πρώτα απ 'όλα, δεν απαιτείται. Δεύτερον, το εύρος που αναλύεται από το πρόγραμμα περιέχει ΜΟΝΟ αριθμητικές τιμές. Τα κελιά που καθορίζονται στο πρώτο όρισμα θα αναζητηθούν σύμφωνα με τη συνθήκη που καθορίζεται στο δεύτερο όρισμα.

Προσοχή! Το κριτήριο αναζήτησης μπορεί να καθοριστεί στο κελί. Και κάντε έναν σύνδεσμο προς αυτό στον τύπο.

Ας βρούμε τη μέση τιμή των αριθμών χρησιμοποιώντας το κριτήριο του κειμένου. Για παράδειγμα, οι μέσες πωλήσεις του προϊόντος «πίνακες».

Η συνάρτηση θα μοιάζει με αυτό: =AVERAGEIF($A$2:$A$12,A7,$B$2:$B$12). Εύρος – μια στήλη με ονόματα προϊόντων. Το κριτήριο αναζήτησης είναι ένας σύνδεσμος προς ένα κελί με τη λέξη "πίνακες" (μπορείτε να εισαγάγετε τη λέξη "πίνακες" αντί για τον σύνδεσμο A7). Εύρος μέσου όρου – τα κελιά από τα οποία θα ληφθούν δεδομένα για τον υπολογισμό της μέσης τιμής.

Ως αποτέλεσμα του υπολογισμού της συνάρτησης, λαμβάνουμε την ακόλουθη τιμή:

Προσοχή! Για ένα κριτήριο κειμένου (συνθήκη), πρέπει να καθοριστεί το μέσο εύρος τιμών.

Πώς να υπολογίσετε τη σταθμισμένη μέση τιμή στο Excel;

Πώς μάθαμε τη σταθμισμένη μέση τιμή;

Τύπος: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

Χρησιμοποιώντας τον τύπο SUMPRODUCT, ανακαλύπτουμε τα συνολικά έσοδα μετά την πώληση ολόκληρης της ποσότητας των αγαθών. Και η συνάρτηση SUM συνοψίζει την ποσότητα των αγαθών. Διαιρώντας τα συνολικά έσοδα από την πώληση αγαθών με τον συνολικό αριθμό μονάδων αγαθών, βρήκαμε τη μέση σταθμισμένη τιμή. Αυτός ο δείκτης λαμβάνει υπόψη το «βάρος» κάθε τιμής. Το μερίδιό του στη συνολική μάζα των αξιών.

Τυπική απόκλιση: τύπος στο Excel

Υπάρχουν τυπικές αποκλίσεις για τον γενικό πληθυσμό και για το δείγμα. Στην πρώτη περίπτωση, αυτή είναι η ρίζα της γενικής διακύμανσης. Στη δεύτερη, από τη διακύμανση του δείγματος.

Για τον υπολογισμό αυτού του στατιστικού δείκτη, συντάσσεται ένας τύπος διασποράς. Η ρίζα εξάγεται από αυτό. Αλλά στο Excel υπάρχει μια έτοιμη συνάρτηση για την εύρεση της τυπικής απόκλισης.

Η τυπική απόκλιση συνδέεται με την κλίμακα των δεδομένων πηγής. Αυτό δεν αρκεί για μια εικονική αναπαράσταση της διακύμανσης του αναλυόμενου εύρους. Για να ληφθεί το σχετικό επίπεδο διασποράς δεδομένων, υπολογίζεται ο συντελεστής διακύμανσης:

τυπική απόκλιση / αριθμητικός μέσος όρος

Ο τύπος στο Excel μοιάζει με αυτό:

STDEV (εύρος τιμών) / AVERAGE (εύρος τιμών).

Ο συντελεστής διακύμανσης υπολογίζεται ως ποσοστό. Επομένως, ορίζουμε τη μορφή ποσοστού στο κελί.

) και δείγματος μέσος όρος.

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

• 1 / 5

  Ας υποδηλώσουμε το σύνολο των δεδομένων Χ = (Χ 1 , Χ 2 , …, Χ n), τότε ο μέσος όρος του δείγματος υποδεικνύεται συνήθως με μια οριζόντια γραμμή πάνω από τη μεταβλητή (προφέρεται " Χμε γραμμή").

  Το ελληνικό γράμμα μ χρησιμοποιείται για να δηλώσει τον αριθμητικό μέσο όρο ολόκληρου του πληθυσμού. Για μια τυχαία μεταβλητή για την οποία προσδιορίζεται η μέση τιμή, το μ είναι πιθανολογικός μέσος όροςή μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής. Αν το σετ Χείναι μια συλλογή τυχαίων αριθμών με πιθανό μέσο μ, τότε για οποιοδήποτε δείγμα Χ Εγώαπό αυτό το σύνολο μ = E( Χ Εγώ) είναι η μαθηματική προσδοκία αυτού του δείγματος.

  Στην πράξη, η διαφορά μεταξύ μ και x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))είναι ότι το μ είναι μια τυπική μεταβλητή επειδή μπορείτε να δείτε ένα δείγμα και όχι ολόκληρο τον πληθυσμό. Επομένως, εάν το δείγμα είναι τυχαίο (από την άποψη της θεωρίας πιθανοτήτων), τότε x ¯ (\displaystyle (\bar (x)))(αλλά όχι το μ) μπορεί να αντιμετωπιστεί ως τυχαία μεταβλητή που έχει κατανομή πιθανότητας στο δείγμα (κατανομή πιθανότητας του μέσου όρου).

  Και οι δύο αυτές ποσότητες υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

  Παραδείγματα

  • Για τρεις αριθμούς, πρέπει να τους προσθέσετε και να διαιρέσετε με το 3:
  x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)
  • Για τέσσερις αριθμούς, πρέπει να τους προσθέσετε και να διαιρέσετε με το 4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

  Ή πιο απλά 5+5=10, 10:2. Επειδή προσθέταμε 2 αριθμούς, που σημαίνει πόσους αριθμούς προσθέτουμε, διαιρούμε με τόσους πολλούς.

  Συνεχής τυχαία μεταβλητή

  f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

  Μερικά προβλήματα χρήσης του μέσου όρου

  Έλλειψη στιβαρότητας

  Αν και οι αριθμητικοί μέσοι χρησιμοποιούνται συχνά ως μέσοι όροι ή κεντρικές τάσεις, αυτή η έννοια δεν είναι μια ισχυρή στατιστική, που σημαίνει ότι ο αριθμητικός μέσος όρος επηρεάζεται σε μεγάλο βαθμό από "μεγάλες αποκλίσεις". Αξίζει να σημειωθεί ότι για κατανομές με μεγάλο συντελεστή λοξότητας, ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να μην αντιστοιχεί στην έννοια του "μέσου" και οι τιμές του μέσου όρου από ισχυρές στατιστικές (για παράδειγμα, η διάμεσος) μπορεί να περιγράφουν καλύτερα την κεντρική τάση.

  Ένα κλασικό παράδειγμα είναι ο υπολογισμός του μέσου εισοδήματος. Ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να παρερμηνευτεί ως διάμεσος, γεγονός που μπορεί να οδηγήσει στο συμπέρασμα ότι υπάρχουν περισσότερα άτομα με υψηλότερα εισοδήματα από αυτά που υπάρχουν στην πραγματικότητα. Το «μέσο» εισόδημα ερμηνεύεται ότι σημαίνει ότι οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν εισοδήματα γύρω από αυτόν τον αριθμό. Αυτό το «μέσο» (με την έννοια του αριθμητικού μέσου όρου) εισόδημα είναι υψηλότερο από τα εισοδήματα των περισσότερων ανθρώπων, καθώς ένα υψηλό εισόδημα με μεγάλη απόκλιση από τον μέσο όρο κάνει τον αριθμητικό μέσο όρο πολύ λοξό (αντίθετα, το μέσο εισόδημα στο διάμεσο «αντιστέκεται» σε τέτοια λοξή). Ωστόσο, αυτό το «μέσο» εισόδημα δεν λέει τίποτα για τον αριθμό των ατόμων κοντά στο διάμεσο εισόδημα (και δεν λέει τίποτα για τον αριθμό των ατόμων κοντά στο τροπικό εισόδημα). Ωστόσο, αν λάβετε ελαφρά τις έννοιες «μέσος όρος» και «περισσότεροι άνθρωποι», μπορείτε να βγάλετε το εσφαλμένο συμπέρασμα ότι οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν εισοδήματα υψηλότερα από αυτά που είναι στην πραγματικότητα. Για παράδειγμα, μια αναφορά του «μέσου» καθαρού εισοδήματος στη Μεδίνα της Ουάσιγκτον, που υπολογίζεται ως ο αριθμητικός μέσος όρος όλων των ετήσιων καθαρών εισοδημάτων των κατοίκων, θα απέδιδε έναν εκπληκτικά μεγάλο αριθμό λόγω του Bill Gates. Εξετάστε το δείγμα (1, 2, 2, 2, 3, 9). Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι 3,17, αλλά πέντε στις έξι τιμές είναι κάτω από αυτόν τον μέσο όρο.

  Ανατοκισμός

  Αν οι αριθμοί πολλαπλασιάζω, αλλά όχι πτυχή, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον γεωμετρικό μέσο όρο, όχι τον αριθμητικό μέσο όρο. Τις περισσότερες φορές αυτό το περιστατικό συμβαίνει κατά τον υπολογισμό της απόδοσης της επένδυσης στη χρηματοδότηση.

  Για παράδειγμα, εάν μια μετοχή έπεσε 10% το πρώτο έτος και αυξήθηκε 30% το δεύτερο, τότε είναι λάθος να υπολογιστεί η «μέση» αύξηση κατά τη διάρκεια αυτών των δύο ετών ως αριθμητικός μέσος όρος (−10% + 30%) / 2 = 10%; Ο σωστός μέσος όρος σε αυτή την περίπτωση δίνεται από τον σύνθετο ετήσιο ρυθμό ανάπτυξης, ο οποίος δίνει έναν ετήσιο ρυθμό αύξησης μόνο περίπου 8,16653826392% ≈ 8,2%.

  Ο λόγος για αυτό είναι ότι τα ποσοστά έχουν ένα νέο σημείο εκκίνησης κάθε φορά: 30% είναι 30% από έναν αριθμό μικρότερο από την τιμή στην αρχή του πρώτου έτους:εάν μια μετοχή ξεκίνησε από 30 $ και έπεσε 10%, αξίζει 27 $ στην αρχή του δεύτερου έτους. Εάν η μετοχή αυξηθεί κατά 30%, θα άξιζε 35,1 $ στο τέλος του δεύτερου έτους. Ο αριθμητικός μέσος όρος αυτής της αύξησης είναι 10%, αλλά δεδομένου ότι η μετοχή έχει αυξηθεί μόνο κατά 5,1 $ σε 2 χρόνια, η μέση αύξηση 8,2% δίνει ένα τελικό αποτέλεσμα 35,1 $:

  [30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Αν χρησιμοποιήσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο του 10% με τον ίδιο τρόπο, δεν θα λάβουμε την πραγματική τιμή: [30$ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

  Ανατοκισμένοι τόκοι στο τέλος 2 ετών: 90% * 130% = 117%, δηλαδή η συνολική αύξηση είναι 17%, και ο μέσος ετήσιος ανατοκισμός 117% ≈ 108,2% (\displaystyle (\sqrt (117\%))\περίπου 108,2\%), δηλαδή μέση ετήσια αύξηση 8,2% Ο αριθμός αυτός είναι λανθασμένος για δύο λόγους.

  Η μέση τιμή για μια κυκλική μεταβλητή που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο θα μετατοπιστεί τεχνητά σε σχέση με τον πραγματικό μέσο όρο προς τη μέση του αριθμητικού εύρους. Εξαιτίας αυτού, ο μέσος όρος υπολογίζεται με διαφορετικό τρόπο, δηλαδή, ο αριθμός με τη μικρότερη απόκλιση (το κεντρικό σημείο) επιλέγεται ως μέση τιμή. Επίσης, αντί για αφαίρεση χρησιμοποιείται η αρθρωτή απόσταση (δηλαδή η περιφερειακή απόσταση). Για παράδειγμα, η αρθρωτή απόσταση μεταξύ 1° και 359° είναι 2°, όχι 358° (στον κύκλο μεταξύ 359° και 360°==0° - μία μοίρα, μεταξύ 0° και 1° - επίσης 1°, συνολικά - 2 °).

  Τι είναι ο αριθμητικός μέσος όρος;

  1. Ο αριθμητικός μέσος όρος μιας σειράς αριθμών είναι το πηλίκο της διαίρεσης του αθροίσματος αυτών των αριθμών με τον αριθμό των όρων
  2. διαιρέστε
  3. Αριθμός Μέσος (Μέσος), Αριθμητικός Μέσος (Αριθμητικός Μέσος) - μια μέση τιμή που χαρακτηρίζει μια ομάδα παρατηρήσεων. υπολογίζεται προσθέτοντας τους αριθμούς από αυτή τη σειρά και στη συνέχεια διαιρώντας το άθροισμα που προκύπτει με τον αριθμό των αθροισμένων αριθμών. Εάν ένας ή περισσότεροι αριθμοί σε μια ομάδα διαφέρουν σημαντικά από τους υπόλοιπους, αυτό μπορεί να παραμορφώσει τον αριθμητικό μέσο όρο που προκύπτει. Επομένως, σε αυτήν την περίπτωση, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιηθεί ο γεωμετρικός μέσος όρος (υπολογίζεται με παρόμοιο τρόπο, αλλά εδώ καθορίζεται ο αριθμητικός μέσος όρος των λογαρίθμων των τιμών παρατήρησης και στη συνέχεια βρίσκεται ο αντιλογάριθμός του) ή - το οποίο χρησιμοποιείται πιο συχνά - για την εύρεση της μέσης τιμής (διάμεσος).από μια σειρά μεγεθών ταξινομημένων σε αύξουσα σειρά). Μια άλλη μέθοδος για τη λήψη της μέσης τιμής οποιασδήποτε τιμής από μια ομάδα παρατηρήσεων είναι ο προσδιορισμός του τρόπου λειτουργίας (τρόπος λειτουργίας) - ένας δείκτης (ή σύνολο δεικτών) που αξιολογεί τις πιο συχνές εκδηλώσεις οποιασδήποτε μεταβλητής. Συχνότερα, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της μέσης τιμής σε πολλές σειρές πειραμάτων.
     Για παράδειγμα: αριθμοί 1 και 99, προσθέστε και διαιρέστε με δύο:
     (1+99)/2=50 - αριθμητικός μέσος όρος
     Εάν πάρετε τους αριθμούς (1,2,3,15,59)/5=16 - ο αριθμητικός μέσος όρος, κ.λπ., κ.λπ.
  4. Ο αριθμητικός μέσος όρος (στα μαθηματικά και η στατιστική) είναι ένα από τα πιο κοινά μέτρα κεντρικής τάσης, που αντιπροσωπεύει το άθροισμα όλων των καταγεγραμμένων τιμών διαιρεμένο με τον αριθμό τους.
     Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε μέση σημασία.
     Ο αριθμητικός μέσος όρος (στα μαθηματικά και η στατιστική) είναι ένα από τα πιο κοινά μέτρα κεντρικής τάσης, που αντιπροσωπεύει το άθροισμα όλων των καταγεγραμμένων τιμών διαιρεμένο με τον αριθμό τους.

     Προτάθηκε (μαζί με τον γεωμετρικό μέσο και τον αρμονικό μέσο όρο) από τους Πυθαγόρειους 1.

     Ειδικές περιπτώσεις του αριθμητικού μέσου όρου είναι ο μέσος όρος (γενικός πληθυσμός) και ο μέσος όρος του δείγματος (δείγμα).

     Ένα ελληνικό γράμμα χρησιμοποιείται για να δηλώσει τον αριθμητικό μέσο όρο ολόκληρου του πληθυσμού. Για μια τυχαία μεταβλητή για την οποία προσδιορίζεται η μέση τιμή, υπάρχει ένας πιθανός μέσος όρος ή μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής. Εάν το σύνολο X είναι μια συλλογή τυχαίων αριθμών με πιθανολογικό μέσο όρο, τότε για οποιοδήποτε δείγμα xi από αυτόν τον πληθυσμό = E(xi) είναι η μαθηματική προσδοκία αυτού του δείγματος.

     Στην πράξη, η διαφορά μεταξύ και του bar(x) είναι ότι είναι μια τυπική μεταβλητή, επειδή μπορείτε να δείτε ένα δείγμα και όχι ολόκληρο τον πληθυσμό. Επομένως, εάν το δείγμα αναπαρίσταται τυχαία (από την άποψη της θεωρίας πιθανοτήτων), τότε το bar(x) , (αλλά όχι) μπορεί να αντιμετωπιστεί ως τυχαία μεταβλητή που έχει κατανομή πιθανότητας στο δείγμα (κατανομή πιθανότητας του μέσου όρου).

     Και οι δύο αυτές ποσότητες υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο:

     bar(x) = frac(1)(n)sum_(i=1)^n x_i = frac(1)(n) (x_1+cdots+x_n).
     Εάν το X είναι μια τυχαία μεταβλητή, τότε η αναμενόμενη τιμή του X μπορεί να θεωρηθεί ως ο αριθμητικός μέσος όρος των επαναλαμβανόμενων μετρήσεων του X. Αυτή είναι μια εκδήλωση του νόμου των μεγάλων αριθμών. Επομένως, ο μέσος όρος του δείγματος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της άγνωστης αναμενόμενης τιμής.

     Στη στοιχειώδη άλγεβρα, αποδεικνύεται ότι ο μέσος όρος των n + 1 αριθμών είναι μεγαλύτερος από τον μέσο όρο των n αριθμών εάν και μόνο εάν ο νέος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον παλιό μέσο όρο, μικρότερος εάν και μόνο εάν ο νέος αριθμός είναι μικρότερος από τον μέσο όρο , και δεν αλλάζει εάν και μόνο αν ο νέος ο αριθμός είναι ίσος με τον μέσο όρο. Όσο μεγαλύτερο το n, τόσο μικρότερη είναι η διαφορά μεταξύ του νέου και του παλιού μέσου όρου.

     Σημειώστε ότι υπάρχουν αρκετοί άλλοι μέσοι όροι, συμπεριλαμβανομένου του μέσου όρου ισχύος, του μέσου όρου Kolmogorov, του αρμονικού μέσου όρου, του αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου όρου και διάφορων σταθμικών μέσων.

     Παραδείγματα επεξεργασίας επεξεργασίας κειμένου wiki
     Για τρεις αριθμούς πρέπει να τους προσθέσετε και να διαιρέσετε με το 3:
     frac(x_1 + x_2 + x_3)(3).
     Για τέσσερις αριθμούς, πρέπει να τους προσθέσετε και να διαιρέσετε με το 4:
     frac(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) (4).
     Ή πιο απλά 5+5=10, 10:2. Επειδή προσθέταμε 2 αριθμούς, που σημαίνει πόσους αριθμούς προσθέτουμε, διαιρούμε με τόσους πολλούς.

     Συνεχής τυχαία τιμήεπεξεργασία επεξεργασία κειμένου wiki
     Για μια συνεχώς κατανεμημένη ποσότητα f(x), ο αριθμητικός μέσος όρος στο τμήμα a;b προσδιορίζεται μέσω ενός ορισμένου ολοκληρώματος: Μερικά προβλήματα χρήσης του μέσου όρου Έλλειψη ευρωστίας Επεξεργασία Κύριο άρθρο: Ευρωστία στη στατιστική Αν και ο αριθμητικός μέσος όρος χρησιμοποιείται συχνά ως μέσες τιμές ή κεντρικές τάσεις, αυτή η έννοια δεν ισχύει για τις στατιστικές Robust, πράγμα που σημαίνει ότι ο αριθμητικός μέσος όρος επηρεάζεται έντονα από μεγάλες αποκλίσεις. Αξιοσημείωτο είναι ότι για κατανομές με μεγάλο συντελεστή λοξότητας, ο αριθμητικός μέσος όρος

  5. Αυτό είναι το άθροισμα των αριθμών και η διαίρεση τους, πόσοι ήταν έτσι 33+66+99= άθροιση 33+66+99= 198 και διαίρεση πόσοι διαβάστηκαν, έχουμε 3 αριθμούς που είναι το 33 66 και το 99 και εμείς πρέπει να διαιρέσουμε αυτό που πήραμε ως εξής: 33+ 66+99=198:3=66 είναι η μέση ορθολογική
  6. Λοιπόν είναι σαν 2+8=10 και ο μέσος όρος είναι 5
  7. Ο αριθμητικός μέσος όρος ενός συνόλου αριθμών ορίζεται ως το άθροισμά τους διαιρούμενο με τον αριθμό τους. Δηλαδή, το άθροισμα όλων των αριθμών σε ένα σύνολο διαιρείται με τον αριθμό των αριθμών αυτού του συνόλου.

     Η απλούστερη περίπτωση είναι να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο δύο αριθμών x1 και x2. Τότε ο αριθμητικός τους μέσος όρος είναι X = (x1+x2)/2. Για παράδειγμα, X = (6+2)/2 = 4 είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών 6 και 2.
     2
     Ο γενικός τύπος για την εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου n αριθμών θα μοιάζει με αυτό: X = (x1+x2+...+xn)/n. Μπορεί επίσης να γραφτεί με τη μορφή: X = (1/n)xi, όπου η άθροιση πραγματοποιείται στον δείκτη i από i = 1 έως i = n.

     Για παράδειγμα, ο αριθμητικός μέσος όρος τριών αριθμών X = (x1+x2+x3)/3, πέντε αριθμών - (x1+x2+x3+x4+x5)/5.
     3
     Η κατάσταση ενδιαφέροντος είναι όταν ένα σύνολο αριθμών αντιπροσωπεύει μέλη μιας αριθμητικής προόδου. Όπως είναι γνωστό, οι όροι μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσοι με a1+(n-1)d, όπου d είναι το βήμα της προόδου και n είναι ο αριθμός του όρου προόδου.

     Έστω a1, a1+d, a1+2d,...a1+(n-1)d όροι αριθμητικής προόδου. Ο αριθμητικός τους μέσος όρος είναι ίσος με S = (a1+a1+d+a1+2d+...+a1+(n-1)d)/n = (na1+d+2d+...+(n-1)d) /n = a1+(d+2d+...+(n-2)d+(n-1)d)/n = a1+(d+2d+...+dn-d+dn-2d)/n = a1+( n* d*(n-1)/2)/n = a1+dn/2 = (2a1+d(n-1))/2 = (a1+an)/2. Έτσι, ο αριθμητικός μέσος όρος των μελών μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των πρώτων και τελευταίων μελών της.
     4
     Η ιδιότητα είναι επίσης αληθής ότι κάθε μέλος μιας αριθμητικής προόδου είναι ίσο με τον αριθμητικό μέσο όρο των προηγούμενων και των επόμενων μελών της προόδου: an = (a(n-1)+a(n+1))/2, όπου a (n-1), an, a(n+1) είναι διαδοχικά μέλη της ακολουθίας.

  8. Διαιρέστε το άθροισμα των αριθμών με τον αριθμό τους
  9. αυτό είναι όταν προσθέτετε τα πάντα και τα διαιρείτε
  10. Αν δεν κάνω λάθος, αυτό είναι όταν αθροίζεις το άθροισμα των αριθμών και διαιρείς με τον αριθμό των ίδιων των αριθμών...
  11. αυτό είναι όταν έχετε πολλούς αριθμούς, τους αθροίζετε και μετά διαιρείτε με τον αριθμό τους! Ας πούμε 25 24 65 76, προσθέστε: 25+24+65+76:4=αριθμητικός μέσος όρος!
  12. Ο Vyachaslav Bogdanov απάντησε λάθος!!! !
      Με δικά σου λόγια!
      Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι η μέση τιμή μεταξύ δύο τιμών.... Βρίσκεται ως το άθροισμα των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό... Ή απλά, εάν δύο αριθμοί είναι γύρω από τον αριθμό κάποιου (ή μάλλον, υπάρχει ένας αριθμός στη σειρά μεταξύ τους), τότε αυτός ο αριθμός θα είναι ο μέσος όρος. αρ. !

      6 + 8... αβ αρ = 7

  13. διαιρέτης gygygygygyggy
  14. Ο μέσος όρος μεταξύ μέγιστου και ελάχιστου (όλοι οι αριθμητικοί δείκτες προστίθενται και διαιρούνται με τον αριθμό τους
      )
  15. αυτό συμβαίνει όταν αθροίζετε αριθμούς και διαιρείτε με τον αριθμό των αριθμών

  Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι το άθροισμα των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό αυτών των ίδιων αριθμών. Και η εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου είναι πολύ απλή.

  Όπως προκύπτει από τον ορισμό, πρέπει να πάρουμε τους αριθμούς, να τους προσθέσουμε και να διαιρέσουμε με τον αριθμό τους.

  Ας δώσουμε ένα παράδειγμα: μας δίνονται οι αριθμοί 1, 3, 5, 7 και πρέπει να βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο αυτών των αριθμών.

  • Πρώτα προσθέστε αυτούς τους αριθμούς (1+3+5+7) και λάβετε 16
  • Πρέπει να διαιρέσουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει με το 4 (ποσότητα): 16/4 και να πάρουμε το αποτέλεσμα 4.

  Άρα, ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών 1, 3, 5 και 7 είναι 4.

  Αριθμητικός μέσος όρος - η μέση τιμή μεταξύ των δεδομένων δεικτών.

  Βρίσκεται διαιρώντας το άθροισμα όλων των δεικτών με τον αριθμό τους.

  Για παράδειγμα, έχω 5 μήλα βάρους 200, 250, 180, 220 και 230 γραμμαρίων.

  Βρίσκουμε το μέσο βάρος 1 μήλου ως εξής:

  • αναζητούμε το συνολικό βάρος όλων των μήλων (το άθροισμα όλων των δεικτών) - είναι ίσο με 1080 γραμμάρια,
  • διαιρέστε το συνολικό βάρος με τον αριθμό των μήλων 1080:5 = 216 γραμμάρια. Αυτός είναι ο αριθμητικός μέσος όρος.

  Αυτός είναι ο πιο συχνά χρησιμοποιούμενος δείκτης στα στατιστικά στοιχεία.

  Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι αριθμοί που προστίθενται και διαιρούνται με τον αριθμό τους, η απάντηση που προκύπτει είναι ο αριθμητικός μέσος όρος.

  Για παράδειγμα: Η Κάτια έβαλε 50 ρούβλια στον κουμπαρά, ο Μαξίμ 100 ρούβλια και η Σάσα έβαλε 150 ρούβλια στον κουμπαρά. 50 + 100 + 150 = 300 ρούβλια στον κουμπαρά, τώρα διαιρούμε αυτό το ποσό με τρία (τρία άτομα βάζουν χρήματα). Άρα 300: 3 = 100 ρούβλια. Αυτά τα 100 ρούβλια θα είναι ο αριθμητικός μέσος όρος, καθένα από αυτά μπαίνει στον κουμπαρά.

  Υπάρχει ένα τόσο απλό παράδειγμα: ένα άτομο τρώει κρέας, ένα άλλο άτομο τρώει λάχανο και ο αριθμητικός μέσος όρος και οι δύο τρώνε ρολά λάχανου.

  Ο μέσος μισθός υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο...

  Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι το άθροισμα όλων των τιμών και διαιρούμενο με τον αριθμό τους.

  Για παράδειγμα οι αριθμοί 2, 3, 5, 6. Πρέπει να τα αθροίσετε 2+ 3+ 5 + 6 = 16

  Διαιρούμε το 16 με το 4 και παίρνουμε την απάντηση 4.

  Το 4 είναι ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των αριθμών.

  Ο αριθμητικός μέσος όρος πολλών αριθμών είναι το άθροισμα αυτών των αριθμών διαιρούμενο με τον αριθμό τους.

  x μέσος αριθμητικός μέσος όρος

  S άθροισμα αριθμών

  n αριθμός αριθμών.

  Για παράδειγμα, πρέπει να βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών 3, 4, 5 και 6.

  Για να γίνει αυτό, πρέπει να τα αθροίσουμε και να διαιρέσουμε το άθροισμα που προκύπτει με το 4:

  (3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

  Θυμάμαι ότι έκανα το τελευταίο τεστ στα μαθηματικά

  Εκεί λοιπόν ήταν απαραίτητο να βρεθεί ο αριθμητικός μέσος όρος.

  Καλό αυτό καλοί άνθρωποιΜου είπαν τι να κάνω, αλλιώς θα υπήρχε πρόβλημα.

  Για παράδειγμα, έχουμε 4 αριθμούς.

  Προσθέστε τους αριθμούς και διαιρέστε με τον αριθμό τους (στην περίπτωση αυτή 4)

  Για παράδειγμα οι αριθμοί 2,6,1,1. Προσθέστε 2+6+1+1 και διαιρέστε με το 4 = 2,5

  Όπως μπορείτε να δείτε, τίποτα περίπλοκο. Άρα ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος όρος όλων των αριθμών.

  Αυτό το ξέρουμε από το σχολείο. Όποιος είχε καλό δάσκαλο μαθηματικών μπορούσε να θυμηθεί αυτή την απλή ενέργεια την πρώτη φορά.

  Όταν βρίσκετε τον αριθμητικό μέσο όρο, πρέπει να αθροίσετε όλους τους διαθέσιμους αριθμούς και να διαιρέσετε με τον αριθμό τους.

  Για παράδειγμα, αγόρασα στο κατάστημα 1 κιλό μήλα, 2 κιλά μπανάνες, 3 κιλά πορτοκάλια και 1 κιλό ακτινίδιο. Πόσα κιλά φρούτα αγόρασα κατά μέσο όρο;

  7/4= 1,8 κιλά. Αυτός θα είναι ο αριθμητικός μέσος όρος.

  Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος αριθμός μεταξύ πολλών αριθμών.

  Για παράδειγμα, μεταξύ των αριθμών 2 και 4, ο μεσαίος αριθμός είναι 3.

  Ο τύπος για την εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου είναι:

  Πρέπει να αθροίσετε όλους τους αριθμούς και να διαιρέσετε με τον αριθμό αυτών των αριθμών:

  Για παράδειγμα, έχουμε 3 αριθμούς: 2, 5 και 8.

  Εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου:

  Χ=(2+5+8)/3=15/3=5

  Το πεδίο εφαρμογής του αριθμητικού μέσου όρου είναι αρκετά ευρύ.

  Για παράδειγμα, γνωρίζοντας τις συντεταγμένες δύο σημείων σε ένα τμήμα, μπορείτε να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου αυτού του τμήματος.

  Για παράδειγμα, οι συντεταγμένες του τμήματος: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).

  Ας υποδηλώσουμε το μέσο αυτού του τμήματος με τις συντεταγμένες X3,Y3,Z3.

  Βρίσκουμε χωριστά το μέσο για κάθε συντεταγμένη:

  Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι ο μέσος όρος του δεδομένου...

  Εκείνοι. απλά έχουμε τον αριθμό των ραβδιών διαφορετικά μήκηκαι θέλουμε να μάθουμε τη μέση τιμή τους..

  Είναι λογικό ότι για αυτό τα συγκεντρώνουμε, παίρνοντας ένα μακρύ ραβδί και μετά το χωρίζουμε στον απαιτούμενο αριθμό εξαρτημάτων..

  Εδώ έρχεται ο αριθμητικός μέσος όρος...

  Έτσι προκύπτει ο τύπος: Sa=(S(1)+..S(n))/n..

  Η αριθμητική θεωρείται ο πιο στοιχειώδης κλάδος των μαθηματικών και μελετά απλές πράξεις με αριθμούς. Επομένως, ο αριθμητικός μέσος όρος είναι επίσης πολύ εύκολος να βρεθεί. Ας ξεκινήσουμε με έναν ορισμό. Ο αριθμητικός μέσος όρος είναι μια τιμή που δείχνει ποιος αριθμός είναι πιο κοντά στην αλήθεια μετά από πολλές διαδοχικές πράξεις του ίδιου τύπου. Για παράδειγμα, όταν τρέχει εκατό μέτρα, ένα άτομο δείχνει διαφορετικό χρόνο κάθε φορά, αλλά η μέση τιμή θα είναι, για παράδειγμα, εντός 12 δευτερολέπτων. Η εύρεση του αριθμητικού μέσου όρου με αυτόν τον τρόπο καταλήγει στη διαδοχική άθροιση όλων των αριθμών σε μια συγκεκριμένη σειρά (αποτελέσματα κούρσας) και στη διαίρεση αυτού του αθροίσματος με τον αριθμό αυτών των φυλών (προσπάθειες, αριθμοί). Σε μορφή τύπου μοιάζει με αυτό:

  Sarif = (Х1+Х2+..+Хn)/n

  Ως μαθηματικός, με ενδιαφέρουν ερωτήσεις σχετικά με αυτό το θέμα.

  Θα ξεκινήσω με το ιστορικό του ζητήματος. Οι μέσες τιμές θεωρούνταν από την αρχαιότητα. Αριθμητικός μέσος, γεωμετρικός μέσος, αρμονικός μέσος όρος. Αυτές οι έννοιες προτείνονται στο αρχαία ΕλλάδαΠυθαγόρειοι.

  Και τώρα το ερώτημα που μας ενδιαφέρει. Τι σημαίνει αριθμητικός μέσος όρος πολλών αριθμών:

  Έτσι, για να βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών, πρέπει να προσθέσετε όλους τους αριθμούς και να διαιρέσετε το άθροισμα που προκύπτει με τον αριθμό των όρων.

  Ο τύπος είναι:

  

  Παράδειγμα.Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών: 100, 175, 325.

  Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο τριών αριθμών (δηλαδή, αντί για n θα υπάρχει 3, πρέπει να αθροίσετε και τους 3 αριθμούς και να διαιρέσετε το άθροισμα που προκύπτει με τον αριθμό τους, δηλαδή με το 3). Έχουμε: x=(100+175+325)/3=600/3=200.