Lecție de geometrie. Subiectul lecției: „Minge. Poliedre înscrise și circumscrise. Lecție deschisă de geometrie

„Volumul mingii” - Volumul segmentului parabolic. Aflați volumul unei bile înscrise într-un tetraedru regulat cu muchia 1. O bilă este înscrisă într-un con cu raza bazei 1 și generatria 2. Secțiunea bilei printr-un plan distanțat de centrul bilei la o distanță de 8 cm are o rază de 6 cm. Volumul unui segment sferic de înălțime h, tăiat dintr-o bilă cu raza R, se exprimă prin formula.

„Minge sferă cerc de circumferință” - Roată. Băieți, acum deveniți membri ai Centrului de calcul. Prin analogie cu un cerc, explicați ce este: a) raza; b) coarda; c) diametrul sferei. Aflați aria suprafeței unei sfere cu o rază de 3 m. Diametru. Centrul mingii (sferei). Minge și sferă. Minge. Amintiți-vă cum este definit un cerc. Încercați să definiți o sferă folosind conceptele de distanță dintre puncte.

„Poliedre regulate” - Suma unghiurilor plane ale icosaedrului la fiecare vârf este 300?. Poliedrele regulate sunt cele mai „favorabile” figuri. Suma unghiurilor plane ale unui cub la fiecare vârf este 270?. Octaedru regulat. Structura icosaedrică-dodecaedrică a Pământului. Cubul este cea mai stabilă dintre figuri. Dodecaedrul corect. Poliedre convexe regulate.

"Minge" - Activitati de cercetareîn timpul orelor libere. Sarcina numărul 1. Con. Repetarea prevederilor teoretice. O minge este înscrisă într-o piramidă patruunghiulară obișnuită. Suprafața unei sfere se numește sferă. Piramidă. În munca noastră: Practica de cercetare, procesul de lucru asupra unui subiect. Lucrați în cercuri, la opțiuni.

„Cercul înscris și circumscris” - ARHIMEDE (287-212 î.Hr.) - matematician și mecanic grec antic. cercuri circumscrise și înscrise. Putem răspunde la întrebările problematice. Cerc. Pe măsură ce numărul de laturi ale unui poligon obișnuit crește, unghiul poligonului crește. Matematicienii antici nu cunoșteau conceptele analizei matematice.

„Sferă și minge” - Secțiunea care trece prin centrul mingii este un cerc mare. (secțiunea de diametru). Observațiile astronomice ale firmamentului evocă invariabil imaginea unei sfere. Scopul a fost întotdeauna utilizat pe scară largă în diverse domenii ale științei și tehnologiei. Plan tangent la sferă. Concepte generale. Pe suprafața unei sfere sunt date trei puncte.

Un poliedru se numește înscris într-o sferă dacă toate vârfurile sale aparțin acestei sfere. Sfera însăși se numește circumscrisă lângă poliedru.

Teorema. O sferă poate fi circumscrisă lângă o piramidă dacă și numai dacă un cerc poate fi circumscris lângă baza acestei piramide.


Poliedre înscrise într-o sferă

Teorema. O sferă poate fi circumscrisă lângă o prismă dacă și numai dacă un cerc poate fi circumscris lângă baza acestei prisme. Centrul său va fi un punct O, care este mijlocul segmentului care leagă centrele cercurilor descrise lângă bazele prismei. Raza sferei R calculate prin formula

Unde h este înălțimea prismei, r este raza cercului circumscris lângă baza prismei.

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse


Exercitiul 1

Este posibil să descriem o sferă în jurul unui paralelipiped dreptunghiular?

Răspuns: Da. Centrul său este punctul de intersecție al diagonalelor, iar raza este egală cu jumătate din diagonala paralelipipedului


Exercițiul 2

Este posibil să descriem o sferă în jurul unui paralelipiped înclinat, ale cărui fețe sunt romburi?

Răspuns: Nu.


Exercițiul 3

Este posibil să descriem o sferă lângă o prismă înclinată?

Răspuns: Nu.


Exercițiul 4

Centrul unei sfere circumscrise în apropierea unei prisme poate fi în afara prismei?

Răspuns: Da, dacă baza prismei este un triunghi obtuz.


Exercițiul 5

Centrul unei sfere circumscrise în apropierea unei piramide poate fi în afara acestei piramide?

Răspuns: Da.


Sferă circumscrisă unui cub

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse


Exercitiul 1

Aflați raza sferei circumscrise cubului unității.


Exercițiul 2

Găsiți muchia unui cub înscris într-o sferă unitară.


Exercițiul 3

Aflați raza unei sfere circumscrise în jurul unui paralelipiped dreptunghiular ale cărui muchii care ies dintr-un vârf sunt egale cu 1, 2, 3.


Exercițiul 4

Cele două muchii ale cuboidului care ies din același vârf sunt 1 și 2. Raza sferei circumscrise este 1,5 . Găsiți a treia muchie care iese din același vârf al casetei.


Sferă circumscrisă în jurul unui tetraedru

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse


Exercitiul 1

Aflați raza unei sfere circumscrise unui tetraedru unitar.

Soluţie. într-un tetraedru SABC avem:

BE=SE=

Într-un triunghi dreptunghic O FI avem:

R, găsim


Exercițiul 2

Găsiți muchia unui tetraedru regulat înscris într-o sferă unitară.


Exercițiul 3

Baza piramidei este un triunghi regulat, a cărui latură este egală cu 3. Una dintre marginile laterale este egală cu 2 și este perpendiculară pe planul bazei. Aflați raza sferei circumscrise.

Soluţie. Lăsa O este centrul sferei descrise, Q este centrul unui cerc circumscris lângă bază, E- mijloc SC. patrulater CEOQ este un dreptunghi în care CE= 1, CQ= Prin urmare, R=OC= 2.

Răspuns: R = 2.


Exercițiul 4

Figura prezintă o piramidă SABC, pentru care marginea SC egal cu 2 si perpendicular pe planul bazei ABC, colț ACB egal cu 90 aproximativ, AC=BC = 1 . Construiți centrul sferei circumscrise acestei piramide și găsiți-i raza.

Soluţie. prin mijlocul D coaste AB trage o linie paralelă SC. prin mijlocul E coaste SC trageți o linie dreaptă paralelă CD. Punctul lor de intersecție O va fi centrul dorit al sferei circumscrise. Într-un triunghi dreptunghic TOC avem:

OD=CD= Prin teoremă

Pitagora, găsim


Exercițiul 5

Aflați raza unei sfere circumscrise în jurul unei piramide triunghiulare regulate ale cărei margini laterale sunt 1 și colțuri plateîn vârf sunt 90 o.

Soluţie. într-un tetraedru SABC avem:

AB=AE= SE =

Într-un triunghi dreptunghic OAE avem:

Rezolvarea acestei ecuații pentru R, găsim


Sferă circumscrisă unei prisme triunghiulare

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse


Exercitiul 1

Aflați raza unei sfere circumscrise unei prisme regulate cu toate muchiile egale cu 1.

Soluţie. Avem:

AA 1 = 1, AD=OD=

Prin urmare, R=AO=


Exercițiul 2

O sferă cu raza 2 este circumscrisă în apropierea unei prisme triunghiulare regulate a cărei latură de bază este 1. Aflați înălțimea prismei.

Soluţie. Avem: AO = 2, OD=

Prin urmare, h=AA 1 = 2 AO=


Exercițiul 3

O sferă cu raza 1 este circumscrisă în apropierea unei prisme triunghiulare regulate a cărei înălțime este 1. Aflați latura bazei prismei.

Soluţie. Avem: AO = 1 , OD=

Prin urmare, AD=

Mijloace, AB=


Exercițiul 4

Aflați raza unei sfere circumscrise unei prisme triunghiulare dreptunghiulare, la baza căreia se află un triunghi dreptunghic cu catetele egale cu 1, iar înălțimea prismei este 2.

Soluţie. Raza unei sfere este jumătate din diagonală A 1 C dreptunghi ACC 1 A 1 .

Avem: AA 1 = 2, AC=

Prin urmare, R=


Sferă circumscrisă în jurul unei prisme hexagonale regulate

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse


Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise unei prisme hexagonale regulate cu toate muchiile egale cu 1.

Soluţie. Avem AG= 1, OG=

Prin urmare, R=AO=


Sferă circumscrisă unei piramide patruunghiulare regulate

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse


Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise în jurul unei piramide patruunghiulare obișnuite cu toate muchiile egale cu 1.


Sferă circumscrisă unei piramide hexagonale regulate

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse


Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise unei piramide obișnuite cu 6 laturi ale cărei margini ale bazei sunt 1 și marginile laterale sunt 2.

Soluţie. Triunghi TRIST- echilateral cu latura 2. Raza R sfera circumscrisă este egală cu raza cercului circumscris triunghiului TRIST. Prin urmare,


Sferă circumscrisă în jurul unui octaedru

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse


Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise unui octaedru unitar.

Soluţie. Rază R sfera circumscrisă este egală cu jumătate din diagonala pătratului ABCD cu latura 1. Prin urmare,


Sferă circumscrisă în jurul icosaedrului

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse


Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise unui icosaedru unitar.

Soluţie. într-un dreptunghi ABCD AB=CD= 1, î.HrȘi ANUNȚ – diagonalele pentagoanelor regulate cu laturile 1. Prin urmare,

BC=AD=

Conform teoremei lui Pitagora AC=

Raza dorită este egală cu jumătate din această diagonală, adică.



Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise unui dodecaedru unitar.

Soluţie. ABCDE este un pentagon regulat cu o latură

într-un dreptunghi ACGFAF=CG= 1, ACȘi FG – diagonalele unui pentagon ABCDEși, prin urmare AC=FG=

Conform teoremei lui Pitagora

FC= Raza dorită

este egal cu jumătate din această diagonală, adică



Exercițiu

Figura prezintă un tetraedru trunchiat obținut prin tăierea colțurilor unui tetraedru regulat de piramide triunghiulare, ale căror fețe sunt hexagoane și triunghiuri regulate. Aflați raza unei sfere circumscrise unui tetraedru trunchiat cu muchiile egale cu 1.



Exercițiu

Figura prezintă un cub trunchiat obținut prin tăierea piramidelor triunghiulare din colțurile cubului, ale căror fețe sunt octagoane și triunghiuri regulate. Aflați raza unei sfere circumscrise unui cub trunchiat ale cărui muchii sunt 1.



Exercițiu

Figura prezintă un octaedru trunchiat obținut prin tăierea piramidelor triunghiulare din colțurile octaedrului, ale căror fețe sunt hexagoane și triunghiuri regulate. Aflați raza unei sfere circumscrise unui octaedru trunchiat cu muchii egale cu 1.



Exercițiu

Figura prezintă un icosaedru trunchiat obținut prin tăierea piramidelor pentagonale din colțurile icosaedrului, ale căror fețe sunt hexagoane și pentagoane regulate. Aflați raza unei sfere circumscrise unui icosaedru trunchiat cu muchiile egale cu 1.



Exercițiu

Figura prezintă un dodecaedru trunchiat obținut prin tăierea piramidelor triunghiulare din colțurile dodecaedrului, ale căror fețe sunt decagoane și triunghiuri regulate. Aflați raza unei sfere circumscrise unui dodecaedru trunchiat cu muchiile egale cu 1.



Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise unui cuboctaedru unitar

Soluţie. Amintiți-vă că un cuboctaedru se obține dintr-un cub prin tăierea piramidelor triunghiulare regulate cu vârfuri la vârfurile cubului și marginile laterale egale cu jumătate din muchia cubului. Dacă muchia octaedrului este egală cu 1, atunci muchia cubului corespunzător este egală cu Raza sferei circumscrise este egală cu distanța de la centrul cubului până la mijlocul muchiei acestuia, adică. este egal cu 1.

Răspuns: R = 1.








Tip de lecție: Introducere în material nou.

Obiectivele lecției:

    Introduceți conceptul de sferă înscrisă într-un poliedru; sferă circumscrisă poliedrului.

    Comparați cercul circumscris și sfera circumscrisă, cercul înscris și sfera înscrisă.

    Analizați condițiile de existență a sferei înscrise și a sferei circumscrise.

    Dezvoltați abilitățile de rezolvare a problemelor.

    Dezvoltarea abilităților elevilor de muncă independentă.

    Dezvoltarea gândirii logice, a culturii algoritmice, a imaginației spațiale, a gândirii matematice și a intuiției, creativitate la nivelul necesar pentru formarea continuă și pentru munca independentă în domeniul matematicii și aplicațiile acesteia în activități profesionale viitoare.

Descarca:


Previzualizare:

cerc circumscris.

Definiție: Dacă toate vârfurile unui poligon se află pe un cerc, atunci cercul se numeștecircumscris unui poligon, și poligonulînscris într-un cerc.

Teorema. În apropierea oricărui triunghi este posibil să se circumscrie un cerc și, în plus, doar unul.

Spre deosebire de un triunghi, nu este întotdeauna posibil să circumscrieți un cerc în jurul unui patrulater. De exemplu: romb.

Teorema. În orice patrulater înscris, suma unghiurilor opuse este 180 0 .

Dacă suma unghiurilor opuse ale unui patrulater este 180 0 , apoi un cerc poate fi descris în jurul lui.

Pentru ca patrulaterul ABCD să fie înscris, este necesar și suficient ca oricare dintre următoarele condiții să fie îndeplinită:

  • ABCD este un patrulater convex și ∟ABD=∟ACD;
  • Suma a două unghiuri opuse ale unui patrulater este 180 0 .

Centrul cercului este echidistant de fiecare dintre vârfurile sale și, prin urmare, coincide cu punctul de intersecție al perpendicularelor medii cu laturile poligonului, iar raza este egală cu distanța de la centru la vârfuri.

Pentru un triunghi:Pentru un poligon obișnuit:

Cerc înscris.

Definiție: Dacă toate laturile unui poligon sunt tangente la un cerc, atunci cercul se numeșteînscris într-un poligonși poligonul descris în jurul acestui cerc.

Teorema. În orice triunghi, puteți înscrie un cerc și, în plus, doar unul.

Nu orice patrulater poate fi înscris într-un cerc. De exemplu: un dreptunghi care nu este un pătrat.

Teorema. În orice patrulater circumscris, sumele lungimilor laturilor opuse sunt egale.

Dacă sumele lungimilor laturilor opuse ale unui patrulater convex sunt egale, atunci poate fi înscris un cerc în el.

Pentru ca un patrulater convex ABCD să fie circumscris, este necesar și suficient ca condiția AB+DC=BC+AD să fie îndeplinită (sumele lungimilor laturilor opuse sunt egale).

Centrul cercului este echidistant de laturile poligonului, ceea ce înseamnă că coincide cu punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor poligonului (proprietatea bisectoarei unghiului). Raza este egală cu distanța de la centrul cercului la laturile poligonului.

Pentru un triunghi:Pentru dreapta

Poligon:

Previzualizare:

sferă înscrisă.

Definiție: Sfera se numeșteînscrisă într-un poliedru dacă atinge toate fețele poliedrului. Poliedrul în acest caz se numește descrise în jurul sferei.

Centrul sferei înscrise este punctul de intersecție al planurilor bisectoare ale tuturor unghiurilor diedrice.

Se spune că o sferă este înscrisă într-un unghi diedru dacă își atinge fețele. Centrul unei sfere înscris într-un unghi diedru se află pe planul bisectoar al acestui unghi diedru. Se spune că o sferă este înscrisă într-un unghi poliedric dacă atinge toate fețele unghiului poliedric.

Nu orice poliedru poate fi înscris într-o sferă. De exemplu: o sferă nu poate fi înscrisă într-un paralelipiped dreptunghic care nu este un cub.

Teorema. Orice piramidă triunghiulară poate fi înscrisă cu o sferă și, în plus, doar una.

Dovada. Luați în considerare piramida triunghiulară CABD. Să desenăm planele bisectoare ale unghiurilor sale diedrice cu muchiile AC și BC. Ele se intersectează într-o linie dreaptă care intersectează planul bisectoare al unghiului diedric cu muchia AB. Astfel, planele bisectoare ale unghiurilor diedrice cu muchiile AB, AC și BC au un singur punct comun. Să-l notăm Q. Punctul Q este echidistant de toate fețele piramidei. Prin urmare, sfera razei corespunzătoare centrată în punctul Q este înscrisă în piramida CABD.

Să-i dovedim unicitatea. Centrul oricărei sfere înscrise în piramida CABD este echidistant de fețele sale, ceea ce înseamnă că aparține planurilor bisectoare ale unghiurilor diedrice. Prin urmare, centrul sferei coincide cu punctul Q. Ce s-a cerut să fie demonstrat.

Teorema. Într-o piramidă a cărei bază poate fi înscrisă cu un cerc al cărui centru servește drept bază pentru înălțimea piramidei, poate fi înscrisă o sferă.

Consecinţă. O sferă poate fi înscrisă în orice piramidă obișnuită.

Demonstrați că centrul unei sfere înscrise într-o piramidă obișnuită se află la înălțimea acestei piramide (demonstrați-o singur).

Centrul unei sfere înscris într-o piramidă regulată este punctul de intersecție al înălțimii piramidei cu bisectoarea unghiului format de apotem și proiecția acesteia pe bază.

Sarcină. a , înălțimea este h.

Rezolva problema.

Sarcină. 0

Previzualizare:

Zona descrisă.

Definiție. Sfera se numește circumscrisă în apropierea poliedrului, dacă ________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________. Poliedrul se numește ______________________________.

Ce proprietate are centrul sferei circumscrise?

Definiție. Locul punctelor din spațiu echidistant de capetele unui anumit segment este ________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________.

Dați un exemplu de poliedru în jurul căruia este imposibil să descrieți o sferă: ________________________ __________________________________________________________________________________________________________ .

Lângă care piramidă poate fi descrisă o sferă?

Teorema. ________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________.

Dovada. Luați în considerare piramida triunghiulară ABCD. Să construim plane perpendiculare pe muchiile AB, AC și, respectiv, AD și care trec prin punctele lor medii. Notați cu O punctul de intersecție al acestor plane. Un astfel de punct există și este unic. Să demonstrăm. Luați primele două avioane. Se intersectează pentru că sunt perpendiculare pe liniile neparalele. Să notăm dreapta de-a lungul căreia se intersectează primele două plane ca l Această linie l perpendicular pe planul ABC. Planul perpendicular pe AD nu este paralel l și nu îl conține, deoarece în caz contrar linia AD este perpendiculară pe l , adică se află în planul ABC. Punctul O este echidistant de punctele A și B, A și C, A și D, ceea ce înseamnă că este echidistant de toate vârfurile piramidei ABCD, adică o sferă centrată pe O a razei corespunzătoare este sfera circumscrisă piramidei.

Să-i dovedim unicitatea. Centrul oricărei sfere care trece prin vârfurile piramidei este echidistant de aceste vârfuri, ceea ce înseamnă că aparține unor planuri care sunt perpendiculare pe marginile piramidei și trec prin punctele mijlocii ale acestor muchii. Prin urmare, centrul unei astfel de sfere coincide cu punctul O. Se demonstrează teorema.

Lângă ce altă piramidă poate fi descrisă o sferă?

Teorema. ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________.

Centrul sferei circumscris lângă piramidă coincide cu punctul de intersecție al unei drepte perpendiculare pe baza piramidei, care trece prin centrul cercului circumscris lângă bază și un plan perpendicular pe orice margine laterală trasă prin mijlocul acestei muchii.

Pentru ca o sferă să fie descrisă în apropierea unui poliedru, este necesar, __________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

În acest caz, centrul sferei circumscrise poate fi situat _________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ și este proiectat în centrul sferei circumscrise în apropierea oricărei fețe a cercului; perpendiculara coborâtă din centrul sferei circumscrise în apropierea poliedrului până la marginea poliedrului traversează această muchie.

Consecinţă. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ .

Centrul sferei descrise în apropierea piramidei regulate se află ________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

Analizați soluția problemei.

Sarcină. Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, latura bazei este egală cu a , înălțimea este h. Aflați raza sferei circumscrise piramidei.

Rezolva problema.

Sarcină. 0

Previzualizare:

Lecție publică pe tema „Poliedre înscrise și circumscrise”

Tema lecției: O sferă înscrisă într-o piramidă. Sfera circumscrisă lângă piramidă.

Tip de lecție: Introducere în material nou.

Obiectivele lecției:

  • Dezvoltarea abilităților elevilor de muncă independentă.
  • Dezvoltare gândire logică, cultură algoritmică, imaginație spațială, dezvoltarea gândirii și intuiției matematice, abilități creative la nivelul necesar pentru formarea continuă și pentru munca independentă în domeniul matematicii și aplicațiile acesteia în activități profesionale viitoare;

Echipament:

  • tabla interactiva
  • Prezentare „Sfera înscrisă și circumscrisă”
  • Condiții de probleme în desenele de pe tablă.
  • Fișe (note justificative).
  1. Planimetrie. Cerc înscris și circumscris.
  2. Stereometrie. sferă înscrisă
  3. Stereometrie. Sfera descrisă

Structura lecției:

  • Stabilirea obiectivelor pentru lecție (2 minute).
  • Pregătire pentru studiul de material nou prin repetare (studiu frontal) (6 minute).
  • Explicarea materialului nou (15 minute)
  • Înțelegerea temei în pregătirea independentă a unui rezumat pe tema „Stereometrie. Sfera descrisă” și aplicarea temei în rezolvarea problemelor (15 minute).
  • Rezumarea lecției prin verificarea cunoștințelor și înțelegerii temei studiate (sondaj frontal). Evaluarea răspunsurilor elevilor (5 minute).
  • punerea în scenă teme pentru acasă(2 minute).
  • Rezervă sarcini.

În timpul orelor

1. Stabilirea scopurilor lecției.

  • Introduceți conceptul de sferă înscrisă într-un poliedru; sferă circumscrisă poliedrului.
  • Comparați cercul circumscris și sfera circumscrisă, cercul înscris și sfera înscrisă.
  • Analizați condițiile de existență a sferei înscrise și a sferei circumscrise.
  • Dezvoltați abilitățile de rezolvare a problemelor.

2. Pregătirea pentru studiul de material nou prin repetare (levée frontală).

Un cerc înscris într-un poligon.

  • Ce cerc se numește înscris într-un poligon?
  • Cum se numește poligonul în care este înscris cercul?
  • În ce punct este centrul cercului înscris în poligon?
  • Ce proprietate are centrul unui cerc înscris într-un poligon?
  • Unde este centrul unui cerc înscris într-un poligon?
  • Ce poligon poate fi circumscris unui cerc, în ce condiții?

Un cerc circumscris unui poligon.

  • Ce cerc se numește circumscris unui poligon?
  • Cum se numește poligonul în jurul căruia este circumscris cercul?
  • În ce punct este centrul cercului circumscris poligonului?
  • Ce proprietate are centrul unui cerc circumscris unui poligon?
  • Unde poate fi situat centrul unui cerc circumscris unui poligon?
  • Ce poligon poate fi înscris într-un cerc și în ce condiții?

3. Explicarea materialului nou.

A . Prin analogie, elevii formulează noi definiții și răspund la întrebările puse.

O sferă înscrisă într-un poliedru.

  • Formulați definiția unei sfere înscrise într-un poliedru.
  • Cum se numește un poliedru în care poate fi înscrisă o sferă?
  • Ce proprietate are centrul unei sfere înscrise într-un poliedru?
  • Care este mulțimea de puncte din spațiu echidistante de fețele unui unghi diedru? (unghi triedric?)
  • În ce punct este centrul sferei înscris în poliedru?
  • În ce poliedru poate fi înscrisă o sferă, în ce condiții?

ÎN . Elevii demonstrează teorema.

O sferă poate fi înscrisă în orice piramidă triunghiulară.

În procesul de lucru în lecție, elevii folosesc notele suport.

CU. Elevii analizează soluția problemei.

Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, latura bazei este egală cu a , înălțimea este h. Aflați raza sferei înscrise în piramidă.

D. Elevii rezolvă problema.

Sarcină. Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, latura bazei este 4, fețele laterale sunt înclinate față de bază la un unghi de 60 0 . Aflați raza sferei înscrise în această piramidă.

4. Înțelegerea subiectului în autocompilarea unui rezumat despre „Sferă circumscrisă unui poliedru» și aplicare în rezolvarea problemelor.

A. U elevii completează în mod independent un rezumat pe tema „Sferă descrisă lângă un poliedru”. Răspunde la următoarele întrebări:

  • Formulați definiția unei sfere circumscrise lângă un poliedru.
  • Cum se numește poliedrul în jurul căruia poate fi descrisă o sferă?
  • Ce proprietate are centrul unei sfere circumscrise unui poliedru?
  • Care este mulțimea de puncte din spațiu echidistante de două puncte?
  • În ce punct este centrul sferei circumscris poliedrului?
  • Unde poate fi situat centrul sferei descrise lângă piramidă? (poliedru?)
  • Despre ce poliedru poate fi descrisă o sferă?

ÎN. Elevii rezolvă singuri problema.

Sarcină. Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, latura bazei este 3, iar marginile laterale sunt înclinate față de bază la un unghi de 60 0 . Aflați raza sferei circumscrise lângă piramidă.

CU. Verificarea conturului și analiza soluției problemei.

5. Rezumarea lecției prin verificarea cunoștințelor și înțelegerii temei studiate (sondaj frontal). Evaluarea răspunsurilor elevilor.

A. Elevii rezumă singuri lecția.

ÎN. Răspunde la întrebări suplimentare.

  • Este posibil să descriem o sferă în jurul unei piramide patrulatere, la baza căreia se află un romb care nu este un pătrat?
  • Este posibil să descriem o sferă în jurul unui paralelipiped dreptunghiular? Dacă da, unde este centrul său?
  • Unde în viață se aplică teoria studiată la lecție (arhitectură, telefon mobil, sateliți geostaționari, sistem de detectare GPS).

6. Declarație de teme.

A. Realizați un rezumat pe tema „Sfera descrisă lângă prismă. O sferă înscrisă într-o prismă. (Luați în considerare sarcinile din manual: nr. 632.637.638)

B. Rezolvați problema nr. 640 din manual.

C. Din manualul de instruire al lui B.G. Ziv „Materiale didactice despre geometrie Nota 10” pentru rezolvarea problemelor: Opțiunea nr. 3 C12 (1), Opțiunea nr. 4 C12 (1).

D. Sarcină suplimentară: Opțiunea nr. 5 C12 (1).

7. Rezervă sarcini.

Din manualul de instruire B.G. Ziv „Materiale didactice despre geometrie Clasa 10” pentru rezolvarea problemelor: Opțiunea nr. 3 C12 (1), Opțiunea nr. 4 C12 (1).

Set educativ și metodic

  1. Geometrie, 10-11: Manual pentru instituțiile de învățământ. Niveluri de bază și de profil / L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev et al., Moscova: Educație, 2010
  2. B.G. Ziv „Materiale didactice despre geometrie Clasa 10”, M.: Iluminism.

    Repetiție Cerc circumscris unui poligon Ce cerc se numește circumscris unui poligon? Care este centrul cercului circumscris poligonului? Ce proprietate are centrul unui cerc circumscris unui poligon? Unde este situat centrul cercului circumscris poligonului? Ce poligon poate fi înscris într-un cerc și în ce condiții?

    Repetiție Cerc înscris într-un poligon Ce cerc se numește înscris într-un poligon? Care este centrul unui cerc înscris într-un poligon? Ce proprietate are centrul unui cerc înscris într-un poligon? Unde este centrul unui cerc înscris într-un poligon? Ce poligon poate fi circumscris unui cerc, în ce condiții?

    Sferă înscrisă într-un poliedru Formulați definiția unei sfere înscrise într-un poliedru. Care este numele poliedrului? Ce proprietate are centrul unei sfere înscrise? Unde este setul de puncte din spațiu echidistant de fețele unui unghi diedru? (unghi triedric)? În ce poliedru poate fi înscrisă o sferă?

    Sferă înscrisă într-o piramidă

    Sferă circumscrisă lângă un poliedru Formulați definiția unei sfere circumscrise lângă un poliedru. Care este numele poliedrului? Ce proprietate are centrul sferei circumscrise? Unde se află mulțimea de puncte din spațiu care sunt echidistante de două puncte? Unde este situat centrul sferei descrise lângă piramidă? (a unui poliedru?) În apropierea cărui poliedru poate fi descrisă o sferă?

    Sferă circumscrisă lângă piramidă

    Rezumând lecția. Este posibil să descriem o sferă în jurul unei piramide patrulatere, la baza căreia se află un romb care nu este un pătrat? Este posibil să descriem o sferă în jurul unui paralelipiped dreptunghiular? Dacă da, unde este centrul său?

    Teme pentru acasă. Faceți un rezumat pe tema „Sfera descrisă lângă prismă. O sferă înscrisă într-o prismă. (Luați în considerare sarcinile din manual: Nr. 632.637.638) Rezolvați problema Nr. 640 din manual Rezolvați problemele din manual: Opțiunea Nr. 3 C12 (1), Opțiunea Nr. 4 C12 (1).


    GEOMETRIE

    Secțiunea II. STEREOMETRIE

    §23. COMBINAȚII DE CORPURI GEOMETRICE.

    5. Un poliedru înscris într-o minge.

    Un poliedru se numește înscris într-o bilă dacă toate vârfurile sale se află pe suprafața bilei.

    În acest caz, mingea se numește descrisă în jurul poliedrului.

    Principalele proprietăți ale unei prisme înscrise într-o bilă sunt următoarele (Fig. 511):

    1) O sferă poate fi circumscrisă în jurul unei prisme drepte dacă baza ei este un poligon în jurul căruia poate fi circumscris un cerc.

    2) Centrul bilei este punctul de mijloc al înălțimii prismei care leagă centrele cercurilor descrise în jurul poligoanelor bazelor prismei.

    3) Bazele prismei sunt înscrise în secțiunile paralele de nivel ale bilei.

    Exemplul 1. O sferă este descrisă în jurul unei prisme triunghiulare regulate, a cărei latură de bază este de 5 cm. Raza sferei este de 13 cm.Aflați înălțimea prismei.

    Soluții. 1) Să fie descrisă o bilă în jurul unei prisme triunghiulare regulate ABCA ȘI B 1 C 1 (Fig. 511).

    2) QB = R ABC - raza cercului circumscris în jur∆ ABC. Unde a \u003d 5 cm - latura bazei triunghiului dreptunghic ABC.

    Apoi

    3) V ∆ OQB: RH = R \u003d 13 cm - raza mingii, OQB = 90°.

    Avem

    4) Deoarece punctul O este mijlocul înălțimii prismei QQ 1 apoi QQ 1 = 2 ∙ 12 = 24 (cm).

    Principalele proprietăți ale piramidei, înscrise în bilă, sunt următoarele (Fig. 512).

    1) O minge poate fi circumscrisă în jurul unei piramide dacă baza ei este un poligon în jurul căruia poate fi circumscris un cerc. Centrul sferei circumscris piramidei se află pe perpendicular pe planul bazei, trasat prin centrul cercului circumscris bazei.

    2) Centrul unei sfere circumscrise în jurul unei piramide regulate se află pe o linie dreaptă care conține înălțimea piramidei.

    3) Centrul unei bile circumscrise în jurul unei piramide regulate coincide cu centrul unui cerc circumscris în jurul unui triunghi isoscel, a cărui latură este marginea laterală a piramidei, iar înălțimea este înălțimea piramidei. Raza sferei este egală cu raza acestui cerc.

    Rețineți că centrul mingii descrise poate aparține înălțimii piramidei sau se află pe continuarea acesteia (adică este situat fie în interiorul piramidei, fie în afara acesteia). Când rezolvați probleme în modul sugerat mai jos, nu este nevoie să luați în considerare două cazuri. Cu metoda aleasă de dezlegare, nu se ia în considerare locația centrului mingii (în interiorul sau în afara piramidei).

    Exemplul 2. Demonstrați că raza bilei R , descris în jurul corectpiramidele pot fi găsite prin formulaunde H este înălțimea piramidei, r - raza cercului descris în jurul bazei piramidei.

    Soluții. 1) Fie punctul O centrul mingii descrise corect în jur: piramide cu înălțime Q K (Fig. 512). Prin condiția Q K = I, KA = r - raza cercului circumscris bazei.

    2) Continuați Q până la a doua intersecție cu glonțul în punctÎ1. Atunci QQ 1 = 2 R - diametrul cercului, deci Q A Q 1 = 90° și QQ 1 - ipotenuza unui triunghi dreptunghic Q A Q 1 .

    4) După proprietatea catetei unui triunghi dreptunghic în∆ Q A Q 1 obținem A Q 2 = QQ 1 ∙ Q K, adică. A Q 2 \u003d 2 R ∙ H.

    5) Deci, A Q 2 \u003d H 2 + g 2 și A Q 2 \u003d 2 R H. Prin urmare, H 2 + r 2 \u003d 2 R H; R \u003d (r 2 + H 2) / 2 H , ceea ce urma să fie dovedit.


    Descrierea prezentării pe diapozitive individuale:

    1 tobogan

    Descrierea diapozitivului:

    autonom municipal instituție educațională gimnaziu nr 45 Trusa de instrumente pentru elevii de clasa a XI-a Întocmit de profesorul de matematică de cea mai înaltă categorie Gavinskaya Elena Vyacheslavovna. Kaliningrad 2016-2017 an academic

    2 tobogan

    Descrierea diapozitivului:

    Poliedre înscrise într-o sferă. Tema este similară cu tema cursului de planimetrie, unde se spunea că cercuri pot fi descrise în jurul triunghiurilor și n-gonurilor regulate. Un analog al unui cerc în spațiu este o sferă, un poligon este un poliedru. În acest caz, analogul unui triunghi este o prismă triunghiulară, iar analogul poligoanelor regulate este poliedre regulate. Definiție. Un poliedru se numește înscris într-o sferă dacă toate vârfurile sale aparțin acestei sfere. Se spune că sfera în sine este înscrisă lângă poliedru.

    3 slide

    Descrierea diapozitivului:

    „O sferă poate fi descrisă lângă o prismă dreaptă dacă și numai dacă un cerc poate fi descris lângă baza acestei prisme.” Dovada Dacă o sferă este circumscrisă în apropierea unei prisme drepte, atunci toate vârfurile bazei prismei aparțin sferei și, în consecință, cercului, care este linia de intersecție a sferei și planul bazei. În schimb, să fie circumscris un cerc lângă baza unei prisme drepte cu centrul în punctul O1 și raza r. Apoi, în jurul celei de-a doua baze a prismei, se poate descrie și un cerc centrat în punctul O2 și cu aceeași rază. Fie О1О2=d, О este mijlocul lui O1O2. Atunci sfera cu centrul O și raza R= va fi sfera circumscrisă dorită. Teorema 1.

    4 slide

    Descrierea diapozitivului:

    „Lângă orice piramidă triunghiulară, se poate descrie o sferă și doar una.” Dovada. Să trecem la demonstrație, similară cursului planimetriei. În primul rând, trebuie să găsiți locul punctelor echidistant de două vârfuri ale triunghiului. De exemplu, A și B. Un astfel de loc geometric este bisectoarea perpendiculară trasată pe segmentul AB. Apoi găsim locul punctelor echidistante de A și C. Aceasta este bisectoarea perpendiculară pe segmentul AC. Punctul de intersecție al acestor perpendiculare medii va fi centrul dorit O al cercului circumscris în jurul triunghiului ABC. Teorema 2.

    5 slide

    Descrierea diapozitivului:

    Acum luați în considerare situația spațială și faceți construcții similare. Să fie dată o piramidă triunghiulară DABC, iar punctele A, B și C definesc planul α. Locul punctelor echidistante de punctele A, B și C este dreapta a, perpendicular pe planα și trecând prin centrul O1 al cercului circumscris triunghiului ABC. Locul punctelor echidistant de punctele A și D este planul β, perpendicular pe segmentul AD și care trece prin vârful acestuia - punctul E. Planul β și dreapta a se intersectează în punctul O, care va fi centrul dorit al sferei circumscrise în apropierea piramidei triunghiulare DABC. Într-adevăr, în virtutea construcției, punctul O este îndepărtat în mod egal din toate vârfurile piramidei DABC. Mai mult, un astfel de punct va fi singurul, deoarece linia de intersectare și planul au un singur punct comun.

    6 diapozitiv

    Descrierea diapozitivului:

    O minge circumscrisă lângă o piramidă obișnuită. Mingea poate fi descrisă lângă orice piramidă obișnuită. Centrul mingii se află pe o linie dreaptă care trece prin înălțimea piramidei și coincide cu centrul cercului circumscris unui triunghi isoscel, a cărui latură este marginea laterală a piramidei, iar înălțimea este înălțimea piramidei. Raza sferei este egală cu raza acestui cerc. Raza bilei R, înălțimea piramidei H și raza cercului r circumscris la baza piramidei sunt legate prin relația: R2=(H-R)2+r2 Această relație este valabilă și în cazul în care H.< R.

    7 slide

    Descrierea diapozitivului:

    O problemă legată de o minge circumscrisă în apropierea unei piramide obișnuite. „Lângă piramida obișnuită RABC, este descrisă o sferă cu un centru în punctul O și o rază de 9√3m. Linia dreaptă RO, care conține înălțimea piramidei, traversează baza piramidei în punctul H astfel încât PH:OH=2:1. Aflați volumul piramidei dacă fiecare dintre marginile sale laterale formează un unghi de 45 de grade cu planul bazei.

    8 slide

    Descrierea diapozitivului:

    Având în vedere: RABC este o piramidă obișnuită; în apropierea piramidei este descrisă o minge (O;R=9√3 m); RO∩(ABC)=H; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45о. Găsiți: Vpir. Rezolvare: Deoarece PH:OH=2:1 (după condiție), atunci PH:OR=2:3 PH:9√3 =2:3 PH=6√3 (m) 2. PH _ (ABC) (ca înălțime a piramidei) => => PH _ AH (prin definiție) => RAS - dreptunghiular. 3. În RAS:

    9 slide

    Descrierea diapozitivului:

    4. Întrucât, conform condiției, RABC este o piramidă obișnuită și PH este înălțimea acesteia, atunci, prin definiție, ABC este corectă; H este centrul cercului circumscris în jurul lui ABC, ceea ce înseamnă 5. Răspuns: 486 m3.

    10 diapozitive

    Descrierea diapozitivului:

    O sferă circumscrisă unei prisme. O sferă poate fi circumscrisă unei prisme dacă este dreaptă și bazele sale sunt poligoane înscrise într-un cerc. Centrul bilei se află la mijlocul înălțimii prismei, conectând centrele cercurilor descrise lângă bazele prismei. Raza bilei R, înălțimea prismei H și raza cercului r circumscris la baza prismei sunt legate prin:

    11 diapozitiv

    Descrierea diapozitivului:

    Problemă despre o sferă circumscrisă în apropierea unei prisme. „Prisma corectă ABCDA1B1C1D1 cu o înălțime de 6 cm este înscrisă într-o bilă (deci; R = 5 cm). Găsiți aria secțiunii transversale a prismei printr-un plan paralel cu planurile bazei și care trece prin punctul O - centrul mingii.

    12 slide

    Descrierea diapozitivului:

    Având în vedere: ABCDA1B1C1D1 este o prismă regulată; o bilă (O; R=5 cm) este descrisă lângă o prismă; înălțimea prismei h este de 6 cm; α║(ABC); O cu α. Aflați: Ssec α, Rezolvare: Întrucât, prin condiție, prisma este înscrisă în bilă, atunci (r este raza cercului circumscris lângă baza prismei) Dar prin condiție se dă prisma corectă, ceea ce înseamnă

    13 slide

    Descrierea diapozitivului:

    a) (АВВ1) ║(СС1D1) (prin proprietatea unei prisme drepte) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (prin proprietatea planelor paralele) Ho (BCC1 = proprietatea directă a prismei)AD1)║ Р (prin proprietatea planelor paralele). Prin urmare, KMNR este un paralelogram (prin trăsătură) => MN=KR și MN ║ KR b) α ║ (ABC) (prin construcție) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (prin proprietatea planelor paralele) Deoarece secțiunea regulată a planurilor paralele este 2.C 3, prisma DAB, prin condiția 2.C 3 1 D1. planul α este paralel cu bazele, atunci figura formată din secțiune este un pătrat. Să demonstrăm: => => =>

    14 slide

    Descrierea diapozitivului:

    KMH= ABC=90o (ca unghiuri cu laturile respectiv co-dirijate) Prin urmare, rombul KMNR este un pătrat (prin definiție), care trebuia să fie demonstrat. Mai mult, pătratele KMNR și ABCD sunt egale. Prin urmare, prin proprietate, ariile lor sunt egale și, deci, Ssec α.=SABCD=32 (cm2) Răspuns: 32 cm2. c) KM ║ AB (demonstrat) (BCC1) ║(ADD1) (prin proprietatea unei prisme drepte) => KM=AB=4√2 cm (prin proprietatea planelor paralele). d) În mod similar, se demonstrează că MH ║ BC și MH=BC=4√2 cm.Deci, MH=KM => paralelogramul MNRK este un romb (prin definiție). e) MN ║ BC (demonstrat) KM ║ AB (demonstrat) => =>

    15 slide

    Descrierea diapozitivului:

    Un cilindru circumscris lângă o prismă. Un cilindru poate fi descris lângă o prismă dreaptă dacă baza lui este un poligon înscris într-un cerc. Raza cilindrului R este egală cu raza acestui cerc. Axa cilindrului se află pe aceeași linie dreaptă cu înălțimea H a prismei, conectând centrele cercurilor descrise lângă bazele prismei. În cazul unei prisme patrulatere (dacă baza este dreptunghi), axa cilindrului trece prin punctul de intersecție al diagonalelor bazelor prismei.

    16 slide

    Descrierea diapozitivului:

    Problemă cu un cilindru circumscris lângă o prismă. Prisma dreaptă ABCD1B1C1D1, a cărei bază este un dreptunghi, este înscrisă într-un cilindru, a cărui generatoare este de 7 cm, iar raza este de 3 cm. Aflați ​​​​suprafața laterală a prismei dacă unghiul dintre diagonalele ABCD este de 60 de grade. OO1 este axa cilindrului.

    17 slide

    Descrierea diapozitivului:

    Dat: ABCDA1B1C1D1 - prismă dreaptă; cilindrul este descris lângă prismă; generatoarea cilindrului AA1=7 cm; raza bazei cilindrului este de 3 cm; unghiul dintre diagonalele ABCD este de 60o; OO1 este axa cilindrului. Găsiți: Sside.prism. Rezolvare: Deoarece, prin conditie, o prisma patruunghiulara, la baza careia este inscris un dreptunghi intr-o bila, atunci dupa proprietatea AC∩BD=O. Deci AOB=60o și AO=OB=3cm. 2. În AOB prin teorema cosinusului.