Un poliedru se numește înscris într-o sferă dacă toate vârfurile sale aparțin acestei sfere. Sfera însăși se numește circumscrisă lângă poliedru.

Teorema. O sferă poate fi circumscrisă lângă o piramidă dacă și numai dacă un cerc poate fi circumscris lângă baza acestei piramide.

Poliedre înscrise într-o sferă

Teorema. O sferă poate fi circumscrisă lângă o prismă dacă și numai dacă un cerc poate fi circumscris lângă baza acestei prisme. Centrul său va fi un punct O, care este mijlocul segmentului care leagă centrele cercurilor descrise lângă bazele prismei. Raza sferei R calculate prin formula

Unde h este înălțimea prismei, r este raza cercului circumscris lângă baza prismei.

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse

Exercitiul 1

Este posibil să descriem o sferă în jurul unui paralelipiped dreptunghiular?

Răspuns: Da. Centrul său este punctul de intersecție al diagonalelor, iar raza este egală cu jumătate din diagonala paralelipipedului

Exercițiul 2

Este posibil să descriem o sferă în jurul unui paralelipiped înclinat, ale cărui fețe sunt romburi?

Răspuns: Nu.

Exercițiul 3

Este posibil să descrii o sferă lângă o prismă înclinată?

Răspuns: Nu.

Exercițiul 4

Centrul unei sfere circumscrise în apropierea unei prisme poate fi în afara prismei?

Răspuns: Da, dacă baza prismei este un triunghi obtuz.

Exercițiul 5

Centrul unei sfere circumscrise în apropierea unei piramide poate fi în afara acestei piramide?

Răspuns: Da.

Sferă circumscrisă unui cub

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse

Exercitiul 1

Aflați raza sferei circumscrise cubului unității.

Exercițiul 2

Găsiți muchia unui cub înscris într-o sferă unitară.

Exercițiul 3

Aflați raza unei sfere circumscrise în jurul unui paralelipiped dreptunghiular ale cărui muchii care ies dintr-un vârf sunt egale cu 1, 2, 3.

Exercițiul 4

Cele două muchii ale cuboidului care ies din același vârf sunt 1 și 2. Raza sferei circumscrise este 1,5 . Găsiți a treia muchie care iese din același vârf al casetei.

Sferă circumscrisă în jurul unui tetraedru

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse

Exercitiul 1

Aflați raza unei sfere circumscrise unui tetraedru unitar.

Soluţie. într-un tetraedru SABC avem:

BE=SE=

Într-un triunghi dreptunghic O FI avem:

R, găsim

Exercițiul 2

Găsiți muchia unui tetraedru regulat înscris într-o sferă unitară.

Exercițiul 3

Baza piramidei este un triunghi regulat, a cărui latură este egală cu 3. Una dintre marginile laterale este egală cu 2 și este perpendiculară pe planul bazei. Aflați raza sferei circumscrise.

Soluţie. Lăsa O este centrul sferei descrise, Q este centrul unui cerc circumscris lângă bază, E- mijloc SC. patrulater CEOQ este un dreptunghi în care CE= 1, CQ= Prin urmare, R=OC= 2.

Răspuns: R = 2.

Exercițiul 4

Figura prezintă o piramidă SABC, pentru care marginea SC egal cu 2 si perpendicular pe planul bazei ABC, colț ACB egal cu 90 aproximativ, AC=BC = 1 . Construiți centrul sferei circumscrise acestei piramide și găsiți-i raza.

Soluţie. prin mijlocul D coaste AB trage o linie paralelă SC. prin mijlocul E coaste SC trageți o linie dreaptă paralelă CD. Punctul lor de intersecție O va fi centrul dorit al sferei circumscrise. Într-un triunghi dreptunghic TOC avem:

OD=CD= Prin teoremă

Pitagora, găsim

Exercițiul 5

Aflați raza unei sfere circumscrise unei piramide triunghiulare regulate ale cărei margini laterale sunt egale cu 1 și unghiurile plate la vârf sunt egale cu 90 o.

Soluţie. într-un tetraedru SABC avem:

AB=AE= SE =

Într-un triunghi dreptunghic OAE avem:

Rezolvarea acestei ecuații pentru R, găsim

Sferă circumscrisă unei prisme triunghiulare

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse

Exercitiul 1

Aflați raza unei sfere circumscrise unei prisme regulate cu toate muchiile egale cu 1.

Soluţie. Avem:

AA 1 = 1, AD=OD=

Prin urmare, R=AO=

Exercițiul 2

O sferă cu raza 2 este circumscrisă în apropierea unei prisme triunghiulare regulate a cărei latură de bază este 1. Aflați înălțimea prismei.

Soluţie. Avem: AO = 2, OD=

Prin urmare, h=AA 1 = 2 AO=

Exercițiul 3

O sferă cu raza 1 este circumscrisă în apropierea unei prisme triunghiulare regulate a cărei înălțime este 1. Aflați latura bazei prismei.

Soluţie. Avem: AO = 1 , OD=

Prin urmare, AD=

Mijloace, AB=

Exercițiul 4

Aflați raza unei sfere circumscrise unei prisme triunghiulare dreptunghiulare, la baza căreia se află un triunghi dreptunghic cu catetele egale cu 1, iar înălțimea prismei este 2.

Soluţie. Raza unei sfere este jumătate din diagonală A 1 C dreptunghi ACC 1 A 1 .

Avem: AA 1 = 2, AC=

Prin urmare, R=

Sferă circumscrisă în jurul unei prisme hexagonale regulate

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse

Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise unei prisme hexagonale regulate cu toate muchiile egale cu 1.

Soluţie. Avem AG= 1, OG=

Prin urmare, R=AO=

Sferă circumscrisă unei piramide patruunghiulare regulate

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse

Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise în jurul unei piramide patruunghiulare obișnuite cu toate muchiile egale cu 1.

Sferă circumscrisă unei piramide hexagonale regulate

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse

Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise unei piramide obișnuite cu 6 laturi ale cărei margini ale bazei sunt 1 și marginile laterale sunt 2.

Soluţie. Triunghi TRIST- echilateral cu latura 2. Raza R sfera circumscrisă este egală cu raza cercului circumscris triunghiului TRIST. Prin urmare,

Sferă circumscrisă în jurul unui octaedru

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse

Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise unui octaedru unitar.

Soluţie. Rază R sfera circumscrisă este egală cu jumătate din diagonala pătratului ABCD cu latura 1. Prin urmare,

Sferă circumscrisă în jurul icosaedrului

În modul slide, răspunsurile și soluțiile apar după ce faceți clic pe mouse

Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise unui icosaedru unitar.

Soluţie. într-un dreptunghi ABCD AB=CD= 1, î.HrȘi ANUNȚ – diagonalele pentagoanelor regulate cu laturile 1. Prin urmare,

BC=AD=

Conform teoremei lui Pitagora AC=

Raza dorită este egală cu jumătate din această diagonală, adică.

Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise unui dodecaedru unitar.

Soluţie. ABCDE este un pentagon regulat cu o latură

într-un dreptunghi ACGFAF=CG= 1, ACȘi FG – diagonalele unui pentagon ABCDEși, prin urmare AC=FG=

Conform teoremei lui Pitagora

FC= Raza dorită

este egal cu jumătate din această diagonală, adică

Exercițiu

Figura prezintă un tetraedru trunchiat obținut prin tăierea colțurilor unui tetraedru regulat de piramide triunghiulare, ale căror fețe sunt hexagoane și triunghiuri regulate. Aflați raza unei sfere circumscrise unui tetraedru trunchiat cu muchiile egale cu 1.

Exercițiu

Figura prezintă un cub trunchiat obținut prin tăierea piramidelor triunghiulare din colțurile cubului, ale căror fețe sunt octagoane și triunghiuri regulate. Aflați raza unei sfere circumscrise unui cub trunchiat ale cărui muchii sunt 1.

Exercițiu

Figura prezintă un octaedru trunchiat obținut prin tăierea piramidelor triunghiulare din colțurile octaedrului, ale căror fețe sunt hexagoane și triunghiuri regulate. Aflați raza unei sfere circumscrise unui octaedru trunchiat cu muchii egale cu 1.

Exercițiu

Figura prezintă un icosaedru trunchiat obținut prin tăierea piramidelor pentagonale din colțurile icosaedrului, ale căror fețe sunt hexagoane și pentagoane regulate. Aflați raza unei sfere circumscrise unui icosaedru trunchiat cu muchiile egale cu 1.

Exercițiu

Figura prezintă un dodecaedru trunchiat obținut prin tăierea piramidelor triunghiulare din colțurile dodecaedrului, ale căror fețe sunt decagoane și triunghiuri regulate. Aflați raza unei sfere circumscrise unui dodecaedru trunchiat cu muchiile egale cu 1.

Exercițiu

Aflați raza unei sfere circumscrise unui cuboctaedru unitar

Soluţie. Amintiți-vă că un cuboctaedru se obține dintr-un cub prin tăierea piramidelor triunghiulare regulate cu vârfuri la vârfurile cubului și marginile laterale egale cu jumătate din muchia cubului. Dacă muchia octaedrului este egală cu 1, atunci muchia cubului corespunzător este egală cu Raza sferei circumscrise este egală cu distanța de la centrul cubului până la mijlocul muchiei acestuia, adică. este egal cu 1.

Răspuns: R = 1.

Lecție publică pe tema „Poliedre înscrise și circumscrise”

Tema lecției: O sferă înscrisă într-o piramidă. Sfera circumscrisă lângă piramidă.

Tip de lecție: Introducere în material nou. Obiectivele lecției:

Introduceți conceptul de sferă înscrisă într-un poliedru; sferă circumscrisă poliedrului. Comparați cercul circumscris și sfera circumscrisă, cercul înscris și sfera înscrisă. Analizați condițiile de existență a sferei înscrise și a sferei circumscrise. Dezvoltați abilitățile de rezolvare a problemelor. Dezvoltarea abilităților elevilor muncă independentă.

Dezvoltarea gândirii logice, a culturii algoritmice, a imaginației spațiale, a gândirii matematice și a intuiției, creativitate la nivelul necesar pentru formarea continua si pentru activitati independente in domeniul matematicii si aplicatiile acesteia in activitati profesionale viitoare;

Echipament:

tabla interactiva

Prezentare „Sfera înscrisă și circumscrisă”

Condiții de probleme în desenele de pe tablă. Fișe (note justificative).

Planimetrie. Cerc înscris și circumscris. Stereometrie. Sfera înscrisă Stereometrie. Sfera descrisă

Structura lecției:

Stabilirea obiectivelor pentru lecție (2 minute). Pregătire pentru studiul de material nou prin repetare (studiu frontal) (6 minute). Explicarea materialului nou (15 minute) Înțelegerea temei în timpul elaborării unui rezumat pe tema „Stereometrie. Sfera descrisă” și aplicarea temei în rezolvarea problemelor (15 minute). Rezumarea lecției prin verificarea cunoștințelor și înțelegerii temei studiate (sondaj frontal). Evaluarea răspunsurilor elevilor (5 minute). punerea în scenă teme pentru acasă(2 minute). Rezervă sarcini.

În timpul orelor 1. Stabilirea scopurilor lecției.

Introduceți conceptul de sferă înscrisă într-un poliedru; sferă circumscrisă poliedrului. Comparați cercul circumscris și sfera circumscrisă, cercul înscris și sfera înscrisă. Analizați condițiile de existență a sferei înscrise și a sferei circumscrise. Dezvoltați abilitățile de rezolvare a problemelor.

2. Pregătirea pentru studiul de material nou prin repetare (levée frontală).Un cerc înscris într-un poligon.

Ce cerc se numește înscris într-un poligon? Cum se numește poligonul în care este înscris cercul? În ce punct este centrul cercului înscris în poligon? Ce proprietate are centrul unui cerc înscris într-un poligon? Unde este centrul unui cerc înscris într-un poligon? Ce poligon poate fi circumscris unui cerc, în ce condiții?

Un cerc circumscris unui poligon.

Ce cerc se numește circumscris unui poligon? Cum se numește poligonul în jurul căruia este circumscris cercul? În ce punct este centrul cercului circumscris poligonului? Ce proprietate are centrul unui cerc circumscris unui poligon? Unde poate fi situat centrul unui cerc circumscris unui poligon? Ce poligon poate fi înscris într-un cerc și în ce condiții?

3. Explicarea materialului nou. A . Prin analogie, elevii formulează noi definiții și răspund la întrebările puse.O sferă înscrisă într-un poliedru.

Formulați definiția unei sfere înscrise într-un poliedru. Cum se numește un poliedru în care poate fi înscrisă o sferă? Ce proprietate are centrul unei sfere înscrise într-un poliedru? Care este mulțimea de puncte din spațiu echidistante de fețele unui unghi diedru? (a unui unghi triedric?) În ce punct este centrul unei sfere înscris într-un poliedru? În ce poliedru poate fi înscrisă o sferă, în ce condiții?

ÎN . Elevii demonstrează teorema. O sferă poate fi înscrisă în orice piramidă triunghiulară.În procesul de lucru în lecție, elevii folosesc note de referință. Elevii analizează soluția problemei.

Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, latura bazei este egală cu A, înălțimea este h. Aflați raza sferei înscrise în piramidă.

D. Elevii rezolvă problema.

Sarcină.Într-o piramidă triunghiulară regulată, latura bazei este 4, fețele laterale sunt înclinate față de bază la un unghi de 60 0 . Aflați raza sferei înscrise în această piramidă.

4. Înțelegerea subiectului în autocompilarea unui rezumat despre „Sferă circumscrisă unui poliedru» și aplicare în rezolvarea problemelor.

A. U elevii completează în mod independent un rezumat pe tema „Sferă descrisă lângă un poliedru”. Răspunde la următoarele întrebări:

Formulați definiția unei sfere circumscrise lângă un poliedru.

Cum se numește poliedrul în jurul căruia poate fi descrisă o sferă?

Ce proprietate are centrul unei sfere circumscrise unui poliedru?

Care este mulțimea de puncte din spațiu echidistante de două puncte?

În ce punct este centrul sferei circumscris poliedrului?

Unde poate fi situat centrul sferei descrise lângă piramidă? (poliedru?)

Despre ce poliedru poate fi descrisă o sferă?

ÎN. Elevii rezolvă singuri problema.

Sarcină.Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, latura bazei este 3, iar marginile laterale sunt înclinate față de bază la un unghi de 60 0 . Aflați raza sferei circumscrise lângă piramidă.

CU. Verificarea conturului și analiza soluției problemei.

5. Rezumarea lecției prin verificarea cunoștințelor și înțelegerii temei studiate (sondaj frontal). Evaluarea răspunsurilor elevilor.

A. Elevii rezumă singuri lecția.

ÎN. Răspunde la întrebări suplimentare.

Este posibil să descriem o sferă în jurul unei piramide patrulatere, la baza căreia se află un romb care nu este un pătrat?

Este posibil să descriem o sferă în jurul unui paralelipiped dreptunghiular? Dacă da, unde este centrul său?

Unde în viață se aplică teoria studiată la lecție (arhitectură, telefon mobil, sateliți geostaționari, sistem de detectare GPS).

6. Declarație de teme.

A. Realizați un rezumat pe tema „Sfera descrisă lângă prismă. O sferă înscrisă într-o prismă. (Luați în considerare sarcinile din manual: nr. 632.637.638)

B. Rezolvați problema nr. 640 din manual.

C. Din manualul de instruire al lui B.G. Ziv „Materiale didactice despre geometrie Nota 10” pentru rezolvarea problemelor: Opțiunea nr. 3 C12 (1), Opțiunea nr. 4 C12 (1).

D. Sarcină suplimentară: Opțiunea nr. 5 C12 (1).

7. Rezervă sarcini.

Din manualul de instruire B.G. Ziv „Materiale didactice despre geometrie Clasa 10” pentru rezolvarea problemelor: Opțiunea nr. 3 C12 (1), Opțiunea nr. 4 C12 (1).

Set educativ și metodic

Geometrie, 10-11: Manual pentru institutii de invatamant. Niveluri de bază și de profil / L.S. Atanasyan, V.F. Butozov, S.B. Kadomtsev et al., Moscova: Educație, 2010

B.G. Ziv „Materiale didactice despre geometrie Clasa 10”, M.: Iluminism.

Profesor de matematică

internatul liceului GBOU „DPC”

Nijni Novgorod

GEOMETRIE

Secțiunea II. STEREOMETRIE

§23. COMBINAȚII DE CORPURI GEOMETRICE.

5. Un poliedru înscris într-o minge.

Un poliedru se numește înscris într-o bilă dacă toate vârfurile sale se află pe suprafața bilei.

În acest caz, mingea se numește descrisă în jurul poliedrului.

Principalele proprietăți ale unei prisme înscrise într-o bilă sunt următoarele (Fig. 511):

1) O sferă poate fi circumscrisă în jurul unei prisme drepte dacă baza ei este un poligon în jurul căruia poate fi circumscris un cerc.

2) Centrul bilei este punctul de mijloc al înălțimii prismei care leagă centrele cercurilor descrise în jurul poligoanelor bazelor prismei.

3) Bazele prismei sunt înscrise în secțiunile paralele de nivel ale bilei.

Exemplul 1. O sferă este descrisă în jurul unei prisme triunghiulare regulate, a cărei latură de bază este de 5 cm. Raza sferei este de 13 cm.Aflați înălțimea prismei.

Soluții. 1) Să fie descrisă o bilă în jurul unei prisme triunghiulare regulate ABCA ȘI B 1 C 1 (Fig. 511).

2) QB = R ABC - raza cercului circumscris în jur∆ ABC. Unde a \u003d 5 cm - latura bazei triunghiului dreptunghic ABC.

Apoi

3) V ∆ OQB: RH = R \u003d 13 cm - raza mingii, OQB = 90°.

Avem

4) Deoarece punctul O este mijlocul înălțimii prismei QQ 1 apoi QQ 1 = 2 ∙ 12 = 24 (cm).

Principalele proprietăți ale piramidei, înscrise în bilă, sunt următoarele (Fig. 512).

1) O minge poate fi circumscrisă în jurul unei piramide dacă baza ei este un poligon în jurul căruia poate fi circumscris un cerc. Centrul sferei circumscris piramidei se află pe perpendicular pe planul bazei, trasat prin centrul cercului circumscris bazei.

2) Centrul unei sfere circumscrise în jurul unei piramide regulate se află pe o linie dreaptă care conține înălțimea piramidei.

3) Centrul unei bile circumscrise în jurul unei piramide regulate coincide cu centrul unui cerc circumscris în jurul unui triunghi isoscel, a cărui latură este marginea laterală a piramidei, iar înălțimea este înălțimea piramidei. Raza sferei este egală cu raza acestui cerc.

Rețineți că centrul mingii descrise poate aparține înălțimii piramidei sau se află pe continuarea acesteia (adică este situat fie în interiorul piramidei, fie în afara acesteia). Când rezolvați probleme în modul sugerat mai jos, nu este nevoie să luați în considerare două cazuri. Cu metoda aleasă de dezlegare, nu se ia în considerare locația centrului mingii (în interiorul sau în afara piramidei).

Exemplul 2. Demonstrați că raza bilei R , descris în jurul corectpiramidele pot fi găsite prin formulaunde H este înălțimea piramidei, r - raza cercului descris în jurul bazei piramidei.

Soluții. 1) Fie punctul O centrul mingii descrise corect în jur: piramide cu înălțime Q K (Fig. 512). Prin condiția Q K = I, KA = r - raza cercului circumscris bazei.

2) Continuați Q până la a doua intersecție cu glonțul în punctÎ1. Atunci QQ 1 = 2 R - diametrul cercului, deci Q A Q 1 = 90° și QQ 1 - ipotenuza unui triunghi dreptunghic Q A Q 1 .

4) După proprietatea catetei unui triunghi dreptunghic în∆ Q A Q 1 obținem A Q 2 = QQ 1 ∙ Q K, adică. A Q 2 \u003d 2 R ∙ H.

5) Deci, A Q 2 \u003d H 2 + g 2 și A Q 2 \u003d 2 R H. Prin urmare, H 2 + r 2 \u003d 2 R H; R \u003d (r 2 + H 2) / 2 H , ceea ce urma să fie dovedit.

Poliedre înscrise într-o bilă Se spune că un poliedru convex este înscris dacă toate vârfurile sale se află pe o sferă. Această sferă se numește circumscrisă pentru poliedrul dat. Centrul acestei sfere este la un punct echidistant de vârfurile poliedrului. Este punctul de intersecție al planelor, fiecare dintre acestea trecând prin punctul de mijloc al muchiei poliedrului perpendicular pe acesta.

Formula pentru aflarea razei sferei circumscrise Fie SABC o piramidă cu marginile laterale egale, h este înălțimea sa, R este raza cercului circumscris lângă bază. Aflați raza sferei circumscrise. Observați asemănarea triunghiurilor dreptunghiulare SKO1 și SAO. Atunci SO 1 /SA = KS/SO; R 1 \u003d KS SA / SO Dar KS \u003d SA / 2. Atunci R1 = SA2/(2SO); R 1 \u003d (h 2 + R 2) / (2h); R 1 = b 2 /(2h), unde b este muchia laterală.

Paralelepiped înscris într-o minge .

Sarcina 1 Aflați raza unei sfere circumscrise unui tetraedru regulat cu muchia a. Rezolvare: SO 1 = SA 2 /(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 / (2 a) = a / 4. Răspuns: SO 1 = a / 4. În mod preliminar, construim pe imaginea tetraedrului regulat SABC imaginea centrului bilei descrise. Să desenăm apotemele SD și AD (SD = AD). Într-un triunghi isoscel ASD, fiecare punct al medianei DN este echidistant de capetele segmentului AS. Prin urmare, punctul O 1 este intersecția altitudinii SO și a segmentului DN. Folosind formula de la R 1 = b 2 /(2h), obținem:

Problema 2 Rezolvare: Folosind formula R 1 =b 2 /(2h) pentru a găsi raza bilei circumscrise, găsim SC și SO. SC = a/(2sin(α /2)); SO 2 = (a / (2sin(α / 2)) 2 - (a / 2) 2 = = a 2 / (4sin 2 (α / 2)) - 2a 2 / 4 = = a 2 / (4sin 2 ( α / 2)) (1 - 2sin 2 (α / 2)) \u003d \u003d a 2 / (4sin 2 (α / 2)) cos α Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, latura bazei este a, a colț plat la vârf este egală cu α. Aflați raza sferei circumscrise. R1 = a2/(4sin2 (a/2)) 1/(2a/(2sin(a/2))) =a/(4sin(a/2)). Răspuns: R 1 = a/(4sin(α /2) ).

Poliedre circumscrise lângă o minge Se spune că un poliedru convex este circumscris dacă toate fețele sale ating o sferă. Această sferă se numește înscrisă pentru poliedrul dat. Centrul unei sfere înscrise este un punct echidistant de toate fețele poliedrului.

Poziția centrului sferei înscrise Conceptul de plan bisectoar al unghiului diedric. Un plan bisectoar este un plan care împarte un unghi diedru în două unghiuri diedrice egale. Fiecare punct al acestui plan este echidistant de fețele unghiului diedric. În cazul general, centrul unei sfere înscrise într-un poliedru este punctul de intersecție al planurilor bisectoare ale tuturor unghiurilor diedrice ale poliedrului. Întotdeauna se află în interiorul poliedrului.

Piramidă circumscrisă lângă o minge O minge se numește înscrisă într-o piramidă (arbitrară) dacă atinge toate fețele piramidei (atât lateral, cât și baza). Teoremă: Dacă fețele laterale sunt înclinate în mod egal față de bază, atunci o bilă poate fi înscrisă într-o astfel de piramidă. Deoarece unghiurile diedrice de la bază sunt egale, jumătățile lor sunt, de asemenea, bisectoare egale care se intersectează într-un punct la înălțimea piramidei. Acest punct aparține tuturor planurilor bisectoare de la baza piramidei și este echidistant de toate fețele piramidei - centrul bilei înscrise.

Formula pentru aflarea razei unei sfere înscrise Fie SABC o piramidă cu marginile laterale egale, h este înălțimea sa, r este raza cercului înscris. Aflați raza sferei circumscrise. Fie SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Atunci, prin proprietatea bisectoarei unghiului interior al triunghiului, O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h - r 1) / ; r 1 = rh - rr 1 ; r 1 (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Răspuns: r 1 = rh/(+ r).

Paralelepiped și cub descrise lângă minge Teorema: O sferă poate fi înscrisă într-un paralelipiped dacă și numai dacă paralelipipedul este o linie dreaptă și baza lui este un romb, iar înălțimea acestui romb este diametrul sferei înscrise, care, la rândul său, este egală cu înălțimea paralelipipedului. (Din toate paralelogramele, doar un cerc poate fi înscris într-un romb) Teoremă: O sferă poate fi întotdeauna înscrisă într-un cub. Centrul acestei sfere este punctul de intersecție al diagonalelor cubului, iar raza este egală cu jumătate din lungimea muchiei cubului.

Combinații de figuri Prisme înscrise și circumscrise O prismă circumscrisă lângă un cilindru este o prismă ale cărei planuri de bază sunt planele bazelor cilindrului, iar fețele laterale ating cilindrul. O prismă înscrisă într-un cilindru este o prismă în care planurile bazelor sunt planele bazelor cilindrului, iar marginile laterale sunt generatoarele cilindrului. Planul tangent la cilindru este planul care trece prin generatria cilindrului și perpendicular pe plan secţiunea axială care conţine această generatoare.

Piramide înscrise și circumscrise O piramidă înscrisă într-un con este o piramidă a cărei bază este un poligon înscris în cercul bazei conului și al cărui vârf este vârful conului. Marginile laterale ale unei piramide înscrise într-un con sunt generatoare de conuri. O piramidă circumscrisă lângă un con este o piramidă a cărei bază este un poligon circumscris lângă baza conului și al cărei vârf coincide cu vârful conului. Planurile fețelor laterale ale piramidei circumscrise sunt planele tangente ale conului. Planul tangent la con este un plan care trece prin generatoare și perpendicular pe planul secțiunii axiale care conține această generatrică.

Alte tipuri de configurații Un cilindru este înscris într-o piramidă dacă circumferința uneia dintre bazele sale atinge toate fețele laterale ale piramidei, iar cealaltă bază a acestuia se află pe baza piramidei. Un con este înscris într-o prismă dacă vârful său se află pe baza superioară a prismei, iar baza lui este un cerc înscris într-un poligon - baza de jos prisme. O prismă este înscrisă într-un con dacă toate vârfurile bazei superioare a prismei se află pe suprafața laterală a conului, iar baza inferioară a prismei se află pe baza conului.

Problema 1 Într-o piramidă patruunghiulară obișnuită, latura bazei este egală cu a, iar unghiul plat din vârf este egal cu α. Aflați raza sferei înscrise în piramidă. Rezolvare: Exprimăm laturile lui SOK în termeni de a și α. OK = a/2. SK = KC ctg(α /2); SK = (a ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Folosind formula r 1 = rh/(+ r), găsim raza bilei înscrise: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) (a/2) /((a/2) ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1 ) = (a/2)= = (a/2) Răspuns: r 1 = (a/2)

Concluzie Tema „Poliedre” este studiată de elevii din clasele a 10-a și a 11-a, dar există foarte puțin material în programa pe tema „Poliedre înscrise și circumscrise”, deși prezintă un mare interes pentru elevi, deoarece studiul proprietăților. de poliedre contribuie la dezvoltarea gândirii abstracte și logice, care ulterior ne va fi de folos în studiu, muncă, viață. Lucrând la acest eseu, am studiat tot materialul teoretic pe tema „Poliedre înscrise și circumscrise”, am considerat posibile combinații de figuri și am învățat cum să aplicăm în practică tot materialul studiat. Sarcini pentru combinarea corpurilor este cea mai dificilă întrebare a cursului de stereometrie de clasa a XI-a. Dar acum putem spune cu încredere că nu vom avea probleme în rezolvarea unor astfel de probleme, deoarece în cursul nostru muncă de cercetare am stabilit şi dovedit proprietăţile poliedrelor înscrise şi circumscrise. Foarte des, elevii au dificultăți în a construi un desen pentru o sarcină pe o anumită temă. Dar, după ce am învățat că pentru rezolvarea problemelor la combinația unei mingi cu un poliedru, imaginea mingii este redundantă și este suficient să-i indice centrul și raza, putem fi siguri că nu vom avea aceste dificultăți. Datorită acestui eseu, am putut înțelege acest subiect dificil, dar foarte interesant. Sperăm că acum nu vom avea dificultăți în aplicarea în practică a materialului studiat.

Poliedre înscrise într-o sferă. Definiții și teoreme de bază. Definiție. Se spune că o sferă este circumscrisă lângă un poliedru (sau un poliedru înscris într-o sferă) dacă toate vârfurile poliedrului se află pe această sferă.

Slide 8 din prezentare „Probleme de geometrie” clasa a 11-a”. Dimensiunea arhivei cu prezentarea este de 1032 KB.

Geometrie clasa a 11-a

rezumat alte prezentări

„Volumele corpurilor geometrice” – Volumele de poliedre. Conceptul de volum. volumul piramidei. Con de la pachet. Volumul unei prisme drepte. Răspuns. Științele tind spre matematică. Succes în învățarea materialului. Volumul unui paralelipiped dreptunghiular. Desene și desene. Volumul unei piramide patruunghiulare regulate. Proprietăți de zonă. Pătrat. Marginea unui cub. Conceptul de volum al corpurilor. Pătrat. Volumul cilindrului. Con. Poligon. Figuri geometrice. Trei cuburi de alamă.

„Vectorii în spațiu” - Coordonate vectoriale. Diferențele. Vectori în spațiu. Diferența a doi vectori. Înmulțirea a doi vectori. Acțiuni cu vectori. Singurul vector. Capacitatea de a acționa. regula poligonului. Vectori consoane. Definiție vectorială. Acțiune cu vectori. Vectorii sunt necoplanari. Soluţie.

„Probleme geometrice la examen” - Suprafața poliedrului. Găsiți tangenta colțului exterior. A participat la realizarea prezentării. Opțiuni de sarcină. Aria unui triunghi. Zona trapezului. Găsiți aria triunghiului. Aria unei părți a unui cerc. Material de referință de bază. Planimetrie. Greșeli tipice. Fundamentele geometriei. exerciții orale. Sarcini posibile. Să știi cum să acționezi cu forme geometrice. Aflați volumul poliedrului.

„Calculează volumul unui corp de revoluție” - Con. Găsiți volumul. Minge. Cilindru și con. Cilindru. Volumul conului. Sferă. Tipuri de corpuri de revoluție. Figura. Volumul conului V. Definiţia a cone. Vas cilindric. Definiția unui cilindru. Cilindri în jurul nostru. Volumele corpurilor de revoluție. cub. Razele.

„Coordonatele unui vector în spațiu” - Manual. Soluţie. Valoare absolută. Suma vectorilor. Diferența de vectori. Pornire generală. Coordona. Desen. Mărimea și direcția vectorului. Produs vectorial. Lungimea tăiată. Acțiuni asupra vectorilor din spațiu. Avioane. Dovada. Produsul scalar al vectorilor. Vectori în spațiu.

„„Mișcarea” Clasa 11” - Simetrie în arhitectură. Simetrie axială. Transfer paralel. Circulaţie. Simetria la plante. Simetrie de alunecare. Simetria în lumea animală. Introducere. Întoarce-te. simetria centrală. Circulaţie. Simetria oglinzii.