"Όγκος μιας μπάλας" - Όγκος ενός παραβολικού τμήματος. Βρείτε τον όγκο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα κανονικό τετράεδρο με ακμή 1. Μια μπάλα εγγράφεται σε έναν κώνο του οποίου η ακτίνα βάσης είναι 1 και η γεννήτρια είναι 2. Ένα τμήμα μιας μπάλας από ένα επίπεδο που βρίσκεται σε απόσταση 8 cm από το κέντρο της μπάλας έχει ακτίνα 6 cm. Ο όγκος ενός σφαιρικού τμήματος ύψους h αποκομμένου από μια μπάλα ακτίνας R εκφράζεται με τον τύπο .

"Σφαίρα κυκλικού κύκλου" - Τροχός. Παιδιά, γίνεστε όλοι τώρα μέλη του κέντρου υπολογιστών. Κατ' αναλογία με κύκλο, εξηγήστε τι είναι: α) ακτίνα; β) συγχορδία? γ) διάμετρος της σφαίρας. Βρείτε το εμβαδόν επιφάνειας μιας σφαίρας με ακτίνα 3 m. Διάμετρος. Κέντρο της μπάλας (σφαίρα). Μπάλα και σφαίρα. Μπάλα. Θυμηθείτε πώς ορίζεται ένας κύκλος. Προσπαθήστε να ορίσετε μια σφαίρα χρησιμοποιώντας τις έννοιες της απόστασης μεταξύ των σημείων.

"Κανονικά πολύεδρα" - Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών του εικοσάεδρου σε κάθε κορυφή είναι 300;. Τα κανονικά πολύεδρα είναι τα πιο «κερδοφόρα» στοιχεία. Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών του κύβου σε κάθε κορυφή είναι 270?. Κανονικό οκτάεδρο. Εικοσάεδρο-δωδεκάεδρο δομή της Γης. Ο κύβος είναι το πιο σταθερό από τα σχήματα. Κανονικό δωδεκάεδρο. Κανονικά κυρτά πολύεδρα.

"Μπάλα" - Ερευνητικές δραστηριότητεςεκτός σχολικού ωραρίου. Εργασία Νο. 1. Κώνος. Επανάληψη θεωρητικών αρχών. Μια μπάλα είναι εγγεγραμμένη σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα. Η επιφάνεια μιας μπάλας ονομάζεται σφαίρα. Πυραμίδα. Στην εργασία μας: Ερευνητική πρακτική, η διαδικασία εργασίας πάνω στο θέμα. Εργασία σε συλλόγους και μαθήματα επιλογής.

«Εγγεγραμμένος και περιγεγραμμένος κύκλος» - ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ (287-212 π.Χ.) - αρχαίος Έλληνας μαθηματικός και μηχανικός. Περιγεγραμμένοι και εγγεγραμμένοι κύκλοι. Μπορούμε να απαντήσουμε σε προβληματικές ερωτήσεις. Κύκλος. Καθώς ο αριθμός των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου αυξάνεται, η γωνία του πολυγώνου αυξάνεται. Οι αρχαίοι μαθηματικοί δεν γνώριζαν τις έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης.

«Σφαίρα και μπάλα» - Το τμήμα που διέρχεται από το κέντρο της μπάλας είναι ένας μεγάλος κύκλος. (διαμετρική τομή). Οι αστρονομικές παρατηρήσεις του στερεώματος προκαλούσαν πάντα την εικόνα μιας σφαίρας. Η σφαίρα χρησιμοποιήθηκε πάντα ευρέως σε διάφορους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας. Εφαπτόμενο επίπεδο σε μια σφαίρα. Γενικές έννοιες. Υπάρχουν τρεις πόντοι στην επιφάνεια της μπάλας.

Ένα πολύεδρο λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένο σε μια σφαίρα αν όλες οι κορυφές του ανήκουν σε αυτή τη σφαίρα. Η ίδια η σφαίρα λέγεται ότι περικλείεται γύρω από το πολύεδρο.

Θεώρημα. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα αν και μόνο αν μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση αυτής της πυραμίδας.

Πολύεδρα εγγεγραμμένα σε σφαίρα

Θεώρημα. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί κοντά σε ένα πρίσμα αν και μόνο αν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί κοντά στη βάση αυτού του πρίσματος. Το κέντρο του θα είναι ένα σημείο Ο, που είναι το μέσο του τμήματος που συνδέει τα κέντρα των κύκλων που περιγράφονται γύρω από τις βάσεις του πρίσματος. Ακτίνα σφαίρας Rυπολογίζεται με τον τύπο

Οπου η– ύψος πρίσματος, r– ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από τη βάση του πρίσματος.

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση 1

Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο;

Απάντηση: Ναι. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των διαγωνίων και η ακτίνα είναι ίση με το μισό της διαγώνιου του παραλληλεπίπεδου

Άσκηση 2

Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από ένα κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο, του οποίου όλα τα πρόσωπα είναι ρόμβοι;

Απάντηση: Όχι.

Άσκηση 3

Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από ένα κεκλιμένο πρίσμα;

Απάντηση: Όχι.

Άσκηση 4

Μπορεί το κέντρο μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από ένα πρίσμα να βρίσκεται έξω από το πρίσμα;

Απάντηση: Ναι, αν η βάση του πρίσματος είναι αμβλύ τρίγωνο.

Άσκηση 5

Μπορεί το κέντρο μιας σφαίρας που περιγράφεται κοντά σε μια πυραμίδα να βρίσκεται έξω από αυτήν την πυραμίδα;

Απάντηση: Ναι.

Σφαίρα περιγεγραμμένη γύρω από έναν κύβο

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση 1

Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που περικλείεται στον μοναδιαίο κύβο.

Άσκηση 2

Βρείτε την άκρη ενός κύβου που είναι εγγεγραμμένος στη μοναδιαία σφαίρα.

Άσκηση 3

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου οι ακμές που εκτείνονται από μια κορυφή είναι ίσες με 1, 2, 3.

Άσκηση 4

Οι δύο άκρες ενός κυβοειδούς που εκτείνονται από την ίδια κορυφή είναι 1 και 2. Η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας είναι 1,5. Βρείτε την τρίτη ακμή που αναδύεται από την ίδια κορυφή του παραλληλεπιπέδου.

Σφαίρα που περικλείεται γύρω από ένα τετράεδρο

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση 1

Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που περικλείεται στο μοναδιαίο τετράεδρο.

Λύση. Σε ένα τετράεδρο SABCέχουμε:

BE=SE=

Σε ορθογώνιο τρίγωνο OBEέχουμε:

R, βρίσκουμε

Άσκηση 2

Βρείτε την άκρη ενός κανονικού τετραέδρου που είναι εγγεγραμμένο στη μοναδιαία σφαίρα.

Άσκηση 3

Η βάση της πυραμίδας είναι ένα κανονικό τρίγωνο, η πλευρά του οποίου είναι ίση με 3. Ένα από τα πλευρικά άκρα είναι ίσο με 2 και είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης. Βρείτε την ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας.

Λύση. Αφήνω Ο– το κέντρο της περιγραφόμενης σφαίρας, Q– το κέντρο ενός κύκλου που περιγράφεται γύρω από τη βάση, μι- Μέσης S.C.. Τετράπλευρο CEOQ- ένα ορθογώνιο στο οποίο CE= 1, CQ=Ως εκ τούτου, R=OC= 2.

Απάντηση: R = 2.

Άσκηση 4

Η εικόνα δείχνει μια πυραμίδα SABC, για το οποίο η άκρη S.C.ίσο με 2 και κάθετο στο επίπεδο της βάσης αλφάβητο, γωνία ACBίσο με 90 o, AC = π.Χ = 1 . Κατασκευάστε το κέντρο μιας σφαίρας που περιβάλλεται γύρω από αυτήν την πυραμίδα και βρείτε την ακτίνα της.

Λύση. Μέσα από τη μέση ρεπαϊδάκια ΑΒας τραβήξουμε μια ευθεία παράλληλη S.C.. Μέσα από τη μέση μιπαϊδάκια S.C.ας τραβήξουμε μια ευθεία παράλληλη CD. Το σημείο τομής τους Οθα είναι το επιθυμητό κέντρο της περιγραφόμενης σφαίρας. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΙΨΔέχουμε:

OD=CD=Με θεώρημα

Πυθαγόρα, βρίσκουμε

Άσκηση 5

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από μια κανονική τριγωνική πυραμίδα της οποίας οι πλευρικές ακμές είναι ίσες με 1, και επίπεδες γωνίεςστην κορυφή είναι ίσες με 90°.

Λύση. Σε ένα τετράεδρο SABCέχουμε:

ΑΒ=ΑΕ= SE =

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΕέχουμε:

Επίλυση αυτής της εξίσωσης για R, βρίσκουμε

Σφαίρα που περικλείεται γύρω από ένα τριγωνικό πρίσμα

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση 1

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από ένα κανονικό πρίσμα, του οποίου όλες οι ακμές είναι ίσες με 1.

Λύση. Εχουμε:

Α.Α. 1 = 1, AD=OD=

Ως εκ τούτου, R=AO=

Άσκηση 2

Μια σφαίρα ακτίνας 2 περιβάλλεται γύρω από ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα, η πλευρά του οποίου είναι ίση με 1. Βρείτε το ύψος του πρίσματος.

Λύση. Εχουμε: Ο Α.Ο. = 2, OD=

Ως εκ τούτου, h = AA 1 = 2 ΑΟ=

Άσκηση 3

Μια σφαίρα ακτίνας 1 περιβάλλεται γύρω από ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα του οποίου το ύψος είναι 1. Βρείτε την πλευρά της βάσης του πρίσματος.

Λύση. Εχουμε: Ο Α.Ο. = 1 , OD=

Ως εκ τούτου, μ.Χ.=

Που σημαίνει, ΑΒ =

Άσκηση 4

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από ένα ορθογώνιο τριγωνικό πρίσμα, η βάση του οποίου είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη ίσα με 1 και το ύψος του πρίσματος ίσο με 2.

Λύση. Η ακτίνα της σφαίρας είναι ίση με το μισό της διαγωνίου ΕΝΑ 1 ντοορθογώνιο παραλληλόγραμμο ACC 1 ΕΝΑ 1 .

Εχουμε: Α.Α. 1 = 2, AC =

Ως εκ τούτου, R=

Μια σφαίρα που περικλείεται γύρω από ένα κανονικό εξαγωνικό πρίσμα

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα κανονικό εξαγωνικό πρίσμα, του οποίου όλες οι ακμές είναι ίσες με 1.

Λύση. Εχουμε ΑΓ = 1, ΟΓ=

Ως εκ τούτου, R=AO=

Μια σφαίρα που περικλείεται γύρω από μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, της οποίας όλες οι ακμές είναι ίσες με 1.

Μια σφαίρα που περικλείεται γύρω από μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από μια κανονική 6-γωνική πυραμίδα της οποίας οι ακμές βάσης είναι ίσες με 1 και της οποίας οι πλευρικές ακμές είναι ίσες με 2.

Λύση. Τρίγωνο ΛΥΠΗΜΕΝΟΣ.– ισόπλευρο με πλευρά 2. Ακτίνα Rη περιγεγραμμένη σφαίρα είναι ίση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ΛΥΠΗΜΕΝΟΣ.. Ως εκ τούτου,

Σφαίρα περιγεγραμμένη σε ένα οκτάεδρο

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που περικλείεται στο μοναδιαίο οκτάεδρο.

Λύση. Ακτίνα κύκλου Rη περιγεγραμμένη σφαίρα είναι ίση με τη μισή διαγώνιο του τετραγώνου Α Β Γ Δμε την πλευρά 1. Επομένως,

Σφαίρα περιγεγραμμένη γύρω από το εικοσάεδρο

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που περικλείεται στο μοναδιαίο εικοσάεδρο.

Λύση. Σε ένα ορθογώνιο ABCD AB = CD = 1, ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ.Και ΕΝΑ Δ – διαγώνιοι κανονικών πενταγώνων με πλευρές 1. Επομένως,

π.Χ.=μ.Χ.=

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα AC =

Η απαιτούμενη ακτίνα είναι ίση με το μισό αυτής της διαγωνίου, δηλ.

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που περικλείεται στο μοναδιαίο δωδεκάεδρο.

Λύση. ABCDE- κανονικό πεντάγωνο με πλευρά

Σε ένα ορθογώνιο ACGF AF=CG= 1, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.Και FG – διαγώνιες πενταγώνου ABCDEκαι ως εκ τούτου AC=FG=

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα

FC=Απαιτούμενη ακτίνα

ίσο με το ήμισυ αυτής της διαγώνιου, δηλ.

Ασκηση

Το σχήμα δείχνει ένα κολοβό τετράεδρο που λαμβάνεται με την αποκοπή των γωνιών ενός κανονικού τετραέδρου τριγωνικών πυραμίδων, οι όψεις των οποίων είναι κανονικά εξάγωνα και τρίγωνα. Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από ένα κολοβωμένο τετράεδρο του οποίου οι ακμές είναι ίσες με 1.

Ασκηση

Το σχήμα δείχνει έναν κολοβωμένο κύβο που λαμβάνεται με την αποκοπή τριγωνικών πυραμίδων από τις γωνίες του κύβου, οι όψεις των οποίων είναι κανονικά οκτάγωνα και τρίγωνα. Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από έναν κολοβωμένο κύβο του οποίου οι ακμές είναι ίσες με 1.

Ασκηση

Το σχήμα δείχνει ένα κολοβωμένο οκτάεδρο που λαμβάνεται με την αποκοπή τριγωνικών πυραμίδων από τις γωνίες του οκτάεδρου, οι όψεις των οποίων είναι κανονικά εξάγωνα και τρίγωνα. Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα κόλουρο οκτάεδρο του οποίου οι ακμές είναι ίσες με 1.

Ασκηση

Το σχήμα δείχνει ένα κολοβό εικοσάεδρο που λαμβάνεται με την αποκοπή των γωνιών του εικοσάεδρου των πενταγωνικών πυραμίδων, οι όψεις των οποίων είναι κανονικά εξάγωνα και πεντάγωνα. Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα κόλουρο εικοσάεδρο του οποίου οι ακμές είναι ίσες με 1.

Ασκηση

Το σχήμα δείχνει ένα κολοβωμένο δωδεκάεδρο που λαμβάνεται με την αποκοπή τριγωνικών πυραμίδων από τις γωνίες του δωδεκάεδρου, οι όψεις των οποίων είναι κανονικά δεκάγωνα και τρίγωνα. Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα κόλουρο δωδεκάεδρο του οποίου οι ακμές είναι ίσες με 1.

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που περικλείεται στο μοναδιαίο κυβοκτάεδρο

Λύση. Θυμηθείτε ότι ένα κυβοκτάεδρο λαμβάνεται από έναν κύβο κόβοντας κανονικές τριγωνικές πυραμίδες με κορυφές στις κορυφές του κύβου και πλευρικές άκρες ίσες με το μισό της άκρης του κύβου. Αν η άκρη του οκταέδρου είναι ίση με 1, τότε η ακμή του αντίστοιχου κύβου είναι ίση με Η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας ισούται με την απόσταση από το κέντρο του κύβου μέχρι το μέσο της άκρης του, δηλ. ισούται με 1.

Απάντηση: R = 1.

Τύπος μαθήματος:Μάθημα για την εισαγωγή νέου υλικού.

Στόχοι μαθήματος:

Εισαγάγετε την έννοια μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα πολύεδρο. σφαίρα περιγεγραμμένη γύρω από το πολύεδρο.

Συγκρίνετε τον περιγεγραμμένο κύκλο και την περιγεγραμμένη σφαίρα, τον εγγεγραμμένο κύκλο και την εγγεγραμμένη σφαίρα.

Να αναλύσετε τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη εγγεγραμμένης σφαίρας και περιγεγραμμένης σφαίρας.

Αναπτύξτε δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων σχετικά με το θέμα.

Ανάπτυξη δεξιοτήτων ανεξάρτητης εργασίας των μαθητών.

Ανάπτυξη λογικής σκέψης, αλγοριθμική κουλτούρα, χωρική φαντασία, ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης και διαίσθησης, δημιουργικότηταστο επίπεδο που είναι απαραίτητο για τη συνεχιζόμενη εκπαίδευση και για την ανεξάρτητη δραστηριότητα στον τομέα των μαθηματικών και τις εφαρμογές τους σε μελλοντικές επαγγελματικές δραστηριότητες.

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Περιγεγραμμένος κύκλος.

Ορισμός: Αν όλες οι κορυφές ενός πολυγώνου βρίσκονται σε έναν κύκλο, τότε ο κύκλος ονομάζεταιπεριγράφεται για ένα πολύγωνο, και το πολύγωνο είναιεγγεγραμμένο σε κύκλο.

Θεώρημα. Γύρω από οποιοδήποτε τρίγωνο μπορείτε να περιγράψετε έναν κύκλο, και μόνο ένα.

Σε αντίθεση με ένα τρίγωνο, δεν είναι πάντα δυνατό να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από ένα τετράπλευρο. Για παράδειγμα: ρόμβος.

Θεώρημα. Σε κάθε κυκλικό τετράπλευρο, το άθροισμα των απέναντι γωνιών είναι 180 0 .

Αν το άθροισμα των απέναντι γωνιών ενός τετράπλευρου είναι 180 0 , τότε μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω του.

Για να εγγραφεί το τετράπλευρο ABCD είναι απαραίτητο και αρκετό να πληρούται οποιαδήποτε από τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

• Το ABCD είναι ένα κυρτό τετράπλευρο και ∟ABD=∟ACD;
• Το άθροισμα δύο απέναντι γωνιών ενός τετράπλευρου είναι 180 0 .

Το κέντρο του κύκλου απέχει από κάθε κορυφή του και επομένως συμπίπτει με το σημείο τομής των κάθετων διχοτόμων στις πλευρές του πολυγώνου και η ακτίνα είναι ίση με την απόσταση από το κέντρο προς τις κορυφές.

Για τρίγωνο:Για κανονικό πολύγωνο:

Εγγεγραμμένος κύκλος.

Ορισμός: Εάν όλες οι πλευρές ενός πολυγώνου αγγίζουν έναν κύκλο, τότε ο κύκλος ονομάζεταιεγγεγραμμένο σε πολύγωνο,και το πολύγωνο είναιπεριγράφεται γύρω από αυτόν τον κύκλο.

Θεώρημα. Μπορείτε να εγγράψετε έναν κύκλο σε οποιοδήποτε τρίγωνο και μόνο ένα.

Δεν χωράει κάθε τετράπλευρο κύκλο. Για παράδειγμα: ένα ορθογώνιο που δεν είναι τετράγωνο.

Θεώρημα. Σε κάθε περιγεγραμμένο τετράπλευρο, τα αθροίσματα των μηκών των απέναντι πλευρών είναι ίσα.

Εάν τα άθροισμα των μηκών των απέναντι πλευρών ενός κυρτού τετράπλευρου είναι ίσα, τότε ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε αυτό.

Για να περιγραφεί ένα κυρτό τετράπλευρο ABCD είναι απαραίτητο και αρκετό να ικανοποιείται η συνθήκη AB+DC=BC+AD (τα αθροίσματα των μηκών των απέναντι πλευρών είναι ίσα).

Το κέντρο του κύκλου απέχει ίσα από τις πλευρές του πολυγώνου, που σημαίνει ότι συμπίπτει με το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του πολυγώνου (ιδιότητα διχοτόμου γωνίας). Η ακτίνα είναι ίση με την απόσταση από το κέντρο του κύκλου στις πλευρές του πολυγώνου.

Για τρίγωνο:Για το δεξί

Πολύγωνο:

Προεπισκόπηση:

Ενεπίγραφη σφαίρα.

Ορισμός: Η σφαίρα λέγεταιεγγεγραμμένος σε ένα πολύεδρο εάν αγγίζει όλες τις όψεις του πολύεδρου. Το πολύεδρο σε αυτή την περίπτωση ονομάζεταιπεριγράφεται για τη σφαίρα.

Το κέντρο της εγγεγραμμένης σφαίρας είναι το σημείο τομής των επιπέδων διχοτόμων όλων των διεδρικών γωνιών.

Μια σφαίρα λέγεται ότι εγγράφεται σε δίεδρη γωνία αν αγγίζει τις όψεις της. Το κέντρο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε διεδρική γωνία βρίσκεται στο επίπεδο διχοτόμου αυτής της διεδρικής γωνίας. Μια σφαίρα λέγεται ότι εγγράφεται σε πολυεδρική γωνία εάν αγγίζει όλες τις όψεις της πολυεδρικής γωνίας.

Δεν μπορεί κάθε πολύεδρο να φιλοξενήσει μια σφαίρα. Για παράδειγμα: μια σφαίρα δεν μπορεί να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο που δεν είναι κύβος.

Θεώρημα. Μπορείτε να χωρέσετε μια σφαίρα σε οποιαδήποτε τριγωνική πυραμίδα και μόνο μία.

Απόδειξη. Σκεφτείτε την τριγωνική πυραμίδα CABD. Ας σχεδιάσουμε επίπεδα διχοτόμου των διεδρικών γωνιών του με ακμές AC και BC. Τέμνονται κατά μήκος μιας ευθείας που τέμνει το επίπεδο διχοτόμου της διεδρικής γωνίας με την ακμή ΑΒ. Έτσι, τα επίπεδα διχοτόμων των διεδρικών γωνιών με ακμές AB, AC και BC έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Ας το συμβολίσουμε Q. Το σημείο Q είναι ίση απόσταση από όλες τις όψεις της πυραμίδας. Κατά συνέπεια, μια σφαίρα της κατάλληλης ακτίνας με κέντρο στο σημείο Q εγγράφεται στην πυραμίδα CABD.

Ας αποδείξουμε τη μοναδικότητά του. Το κέντρο οποιασδήποτε σφαίρας εγγεγραμμένης στην πυραμίδα CABD απέχει ίση από τις όψεις της, πράγμα που σημαίνει ότι ανήκει στα διχοτομικά επίπεδα των διεδρικών γωνιών. Επομένως, το κέντρο της σφαίρας συμπίπτει με το σημείο Q. Τι έπρεπε να αποδειχθεί.

Θεώρημα. Σε μια πυραμίδα στην οποία μπορεί να εγγραφεί ένας κύκλος στη βάση, το κέντρο της οποίας χρησιμεύει ως βάση του ύψους της πυραμίδας, μπορεί να εγγραφεί μια σφαίρα.

Συνέπεια. Μπορείτε να χωρέσετε μια σφαίρα σε οποιαδήποτε κανονική πυραμίδα.

Αποδείξτε ότι το κέντρο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε μια κανονική πυραμίδα βρίσκεται στο ύψος αυτής της πυραμίδας (αποδείξτε το μόνοι σας).

Το κέντρο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε μια κανονική πυραμίδα είναι το σημείο τομής του ύψους της πυραμίδας με τη διχοτόμο της γωνίας που σχηματίζεται από το απόθεμα και την προβολή της στη βάση.

Εργο. α, το ύψος είναι h.

Λύσε το πρόβλημα.

Εργο. 0

Προεπισκόπηση:

Περιγραφόμενη σφαίρα.

Ορισμός. Η σφαίρα ονομάζεται περιγεγραμμένη κοντά σε πολύεδρο αν________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________. Το πολύεδρο ονομάζεται ______________________________________.

Τι ιδιότητα έχει το κέντρο της περιγραφόμενης σφαίρας;

Ορισμός. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων στο χώρο που ισαπέχουν από τα άκρα ενός συγκεκριμένου τμήματος είναι _________________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________.

Δώστε ένα παράδειγμα πολυέδρου γύρω από το οποίο είναι αδύνατο να περιγραφεί μια σφαίρα: _________________________ ________________________________________________________________________________________________________________ .

Γύρω από ποια πυραμίδα μπορεί να περιγραφεί μια σφαίρα;

Θεώρημα. ________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________.

Απόδειξη. Θεωρήστε την τριγωνική πυραμίδα ABCD. Ας κατασκευάσουμε επίπεδα κάθετα στις ακμές AB, AC και AD, αντίστοιχα, και που διέρχονται από τα μέσα τους. Ας υποδηλώσουμε με Ο το σημείο τομής αυτών των επιπέδων. Τέτοιο σημείο υπάρχει, και είναι το μόνο. Ας το αποδείξουμε. Ας πάρουμε τα δύο πρώτα αεροπλάνα. Τέμνονται επειδή είναι κάθετες σε μη παράλληλες ευθείες. Ας υποδηλώσουμε την ευθεία κατά την οποία τέμνονται τα δύο πρώτα επίπεδαμεγάλο. Αυτή η ευθεία γραμμή κάθετο στο επίπεδο ABC. Ένα επίπεδο κάθετο στη AD δεν είναι παράλληλομεγάλο και δεν το περιέχει, αφού διαφορετικά η ευθεία ΑΔ είναι κάθετημεγάλο , δηλ. βρίσκεται στο αεροπλάνο ABC. Το σημείο Ο έχει ίση απόσταση από τα σημεία Α και Β, Α και Γ, Α και Δ, που σημαίνει ότι απέχει από όλες τις κορυφές της πυραμίδας ABCD, δηλαδή μια σφαίρα με κέντρο στο Ο της αντίστοιχης ακτίνας είναι μια περιγεγραμμένη σφαίρα για η πυραμίδα.

Ας αποδείξουμε τη μοναδικότητά του. Το κέντρο οποιασδήποτε σφαίρας που διέρχεται από τις κορυφές της πυραμίδας απέχει από αυτές τις κορυφές, πράγμα που σημαίνει ότι ανήκει σε επίπεδα που είναι κάθετα στα άκρα της πυραμίδας και διέρχονται από τα μέσα αυτών των άκρων. Κατά συνέπεια, το κέντρο μιας τέτοιας σφαίρας συμπίπτει με το σημείο Ο. Το θεώρημα αποδεικνύεται.

Γύρω από ποια άλλη πυραμίδα μπορεί να περιγραφεί μια σφαίρα;

Θεώρημα. ________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________.

Το κέντρο της σφαίρας που περικλείεται γύρω από την πυραμίδα συμπίπτει με το σημείο τομής μιας ευθείας γραμμής κάθετης στη βάση της πυραμίδας που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από τη βάση και ενός επιπέδου κάθετου σε οποιοδήποτε πλευρικό άκρο που τραβιέται από το μέσο αυτού άκρη.

Για να μπορέσουμε να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από ένα πολύεδρο, είναι απαραίτητο να _________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________.

Σε αυτή την περίπτωση, το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας μπορεί να βρίσκεται _________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________ και προβάλλεται στο κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου για οποιαδήποτε όψη. μια κάθετη που πέφτει από το κέντρο μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από ένα πολύεδρο σε μια άκρη του πολύεδρου χωρίζει αυτή την άκρη στη μέση.

Συνέπεια. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ .

Το κέντρο της σφαίρας που περιγράφεται για την κανονική πυραμίδα βρίσκεται ________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________________________.

Αναλύστε τη λύση του προβλήματος.

Εργο. Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι ίση μεα, το ύψος είναι h. Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που περικλείεται γύρω από την πυραμίδα.

Λύσε το πρόβλημα.

Εργο. 0

Προεπισκόπηση:

Δημόσιο μάθημαμε θέμα «Εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύεδρα»

Θέμα μαθήματος: Μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε μια πυραμίδα. Μια σφαίρα που περιγράφεται κοντά σε μια πυραμίδα.

Τύπος μαθήματος: Μάθημα για την εισαγωγή νέου υλικού.

Στόχοι μαθήματος:

• Ανάπτυξη δεξιοτήτων ανεξάρτητης εργασίας των μαθητών.
• Ανάπτυξη λογική σκέψη, αλγοριθμική κουλτούρα, χωρική φαντασία, ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης και διαίσθησης, δημιουργικές ικανότητες στο επίπεδο που απαιτείται για τη συνεχή εκπαίδευση και για ανεξάρτητη δραστηριότητα στον τομέα των μαθηματικών και τις εφαρμογές τους σε μελλοντικές επαγγελματικές δραστηριότητες.

Εξοπλισμός:

• διαδραστικός πίνακας
• Παρουσίαση «Εγγεγραμμένη και περιγραφόμενη σφαίρα»
• Προϋποθέσεις των προβλημάτων στα σχέδια στον πίνακα.
• Φυλλάδια (υποστηρικτικές σημειώσεις).

1. Πλανομετρία. Εγγεγραμμένος και περιγεγραμμένος κύκλος.
2. Στερεομετρία. Ενεπίγραφη σφαίρα
3. Στερεομετρία. Περιγραφόμενη σφαίρα

Δομή μαθήματος:

• Ορισμός στόχων μαθήματος (2 λεπτά).
• Προετοιμασία για εκμάθηση νέου υλικού με επανάληψη (μετωπική έρευνα) (6 λεπτά).
• Επεξήγηση νέου υλικού (15 λεπτά)
• Κατανόηση του θέματος κατά την ανεξάρτητη σύνταξη σημειώσεων για το θέμα «Στερεομετρία. Περιγραφόμενη περιοχή» και εφαρμογή του θέματος στην επίλυση προβλημάτων (15 λεπτά).
• Συνοψίζοντας το μάθημα ελέγχοντας τη γνώση και την κατανόηση του θέματος που μελετήθηκε (μετωπική έρευνα). Αξιολόγηση των απαντήσεων των μαθητών (5 λεπτά).
• Σκαλωσιά εργασία για το σπίτι(2 λεπτά).
• Κάντε κράτηση για θέσεις εργασίας.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Ορισμός στόχων μαθήματος.

• Εισαγάγετε την έννοια μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα πολύεδρο. σφαίρα περιγεγραμμένη γύρω από το πολύεδρο.
• Συγκρίνετε τον περιγεγραμμένο κύκλο και την περιγεγραμμένη σφαίρα, τον εγγεγραμμένο κύκλο και την εγγεγραμμένη σφαίρα.
• Να αναλύσετε τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη εγγεγραμμένης σφαίρας και περιγεγραμμένης σφαίρας.
• Αναπτύξτε δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων σχετικά με το θέμα.

2. Προετοιμασία για εκμάθηση νέου υλικού με επανάληψη (μετωπική έρευνα).

Ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε ένα πολύγωνο.

• Ποιος κύκλος λέγεται εγγεγραμμένος σε πολύγωνο;
• Πώς ονομάζεται το πολύγωνο στο οποίο είναι εγγεγραμμένος ένας κύκλος;
• Ποιο σημείο είναι το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα πολύγωνο;
• Τι ιδιότητα έχει το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα πολύγωνο;
• Πού βρίσκεται το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα πολύγωνο;
• Ποιο πολύγωνο μπορεί να περιγραφεί γύρω από έναν κύκλο, υπό ποιες συνθήκες;

Ένας κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από ένα πολύγωνο.

• Ποιος κύκλος ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλος πολυγώνου;
• Πώς ονομάζεται το πολύγωνο γύρω από το οποίο περιγράφεται ο κύκλος;
• Ποιο σημείο είναι το κέντρο του κύκλου που περικλείεται στο πολύγωνο;
• Τι ιδιότητα έχει το κέντρο ενός κύκλου που περικλείεται σε ένα πολύγωνο;
• Πού μπορεί να βρίσκεται το κέντρο ενός κύκλου που περικλείεται σε ένα πολύγωνο;
• Ποιο πολύγωνο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο και υπό ποιες συνθήκες;

3. Επεξήγηση νέου υλικού.

ΕΝΑ . Κατ' αναλογία, οι μαθητές διατυπώνουν νέους ορισμούς και απαντούν στις ερωτήσεις που τίθενται.

Μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε ένα πολύεδρο.

• Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα πολύεδρο.
• Πώς ονομάζεται ένα πολύεδρο στο οποίο μπορεί να εγγραφεί μια σφαίρα;
• Τι ιδιότητα έχει το κέντρο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα πολύεδρο;
• Τι αντιπροσωπεύει το σύνολο των σημείων στο χώρο σε ίση απόσταση από τις όψεις μιας διεδρικής γωνίας; (τριεδρική γωνία;)
• Ποιο σημείο είναι το κέντρο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα πολύεδρο;
• Σε ποιο πολύεδρο μπορεί να εγγραφεί μια σφαίρα, υπό ποιες συνθήκες;

ΣΕ . Οι μαθητές αποδεικνύουν το θεώρημα.

Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε οποιαδήποτε τριγωνική πυραμίδα.

Ενώ εργάζονται στην τάξη, οι μαθητές χρησιμοποιούν υποστηρικτικές σημειώσεις.

ΜΕ. Οι μαθητές αναλύουν τη λύση του προβλήματος.

Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι ίση μεα, το ύψος είναι h. Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που είναι εγγεγραμμένη στην πυραμίδα.

ΡΕ. Οι μαθητές λύνουν το πρόβλημα.

Εργο. Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι 4, οι πλευρικές όψεις είναι κεκλιμένες προς τη βάση υπό γωνία 60 0 . Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που είναι εγγεγραμμένη σε αυτή την πυραμίδα.

4. Κατανόηση του θέματος κατά την ανεξάρτητη σύνταξη σημειώσεων για «Σφαίρα που περικλείεται γύρω από ένα πολύεδρο«και εφαρμογή στην επίλυση προβλημάτων.

A. U Οι μαθητές συμπληρώνουν ανεξάρτητα σημειώσεις σχετικά με το θέμα «Μια σφαίρα που περιγράφεται γύρω από ένα πολύεδρο». Απάντησε τις παρακάτω ερωτήσεις:

• Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από ένα πολύεδρο.
• Πώς ονομάζεται το πολύεδρο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί μια σφαίρα;
• Τι ιδιότητα έχει το κέντρο μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα πολύεδρο;
• Ποιο είναι το σύνολο των σημείων στο χώρο που απέχουν ίσα από δύο σημεία;
• Ποιο σημείο είναι το κέντρο της σφαίρας που περικλείεται γύρω από το πολύεδρο;
• Πού μπορεί να βρίσκεται το κέντρο της σφαίρας που περιγράφεται γύρω από την πυραμίδα; (πολύεδρο;)
• Γύρω από ποιο πολύεδρο μπορεί να περιγραφεί μια σφαίρα;

ΣΕ. Οι μαθητές λύνουν το πρόβλημα ανεξάρτητα.

Εργο. Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι 3 και οι πλευρικές νευρώσεις έχουν κλίση προς τη βάση υπό γωνία 60 0 . Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που περικλείεται γύρω από την πυραμίδα.

ΜΕ. Έλεγχος του καταρτισμένου περιγράμματος και ανάλυση της λύσης του προβλήματος.

5. Συνοψίζοντας το μάθημα ελέγχοντας τη γνώση και την κατανόηση του θέματος που μελετήθηκε (μετωπική έρευνα). Αξιολόγηση των απαντήσεων των μαθητών.

ΕΝΑ. Οι μαθητές συνοψίζουν ανεξάρτητα το μάθημα.

ΣΕ. Απαντήστε σε επιπλέον ερωτήσεις.

• Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από μια τετράγωνη πυραμίδα, στη βάση της οποίας βρίσκεται ένας ρόμβος που δεν είναι τετράγωνο;
• Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο; Αν ναι, πού είναι το κέντρο του;
• Όπου η θεωρία που μαθαίνεται στην τάξη εφαρμόζεται στην πραγματική ζωή (αρχιτεκτονική, κινητή τηλεφωνία, γεωστατικοί δορυφόροι, σύστημα ανίχνευσης GPS).

6. Ρύθμιση εργασιών για το σπίτι.

Α. Σημειώστε το θέμα «Μια σφαίρα που περιγράφεται γύρω από ένα πρίσμα. Μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε ένα πρίσμα». (Δείτε προβλήματα στο σχολικό βιβλίο: Νο. 632.637.638)

Β. Λύστε το πρόβλημα Νο 640 από το σχολικό βιβλίο.

Σ. Από το εγχειρίδιο του Β.Γ. Ziv «Διδακτικά υλικά για τη γεωμετρία βαθμού 10» επιλύει προβλήματα: Επιλογή Αρ. 3 C12 (1), Επιλογή Αρ. 4 Γ12 (1).

ΡΕ. Πρόσθετη εργασία: Επιλογή No. 5 C12 (1).

7. Κάντε κράτηση εργασιών.

Από το εγχειρίδιο του B.G. Ziv «Διδακτικά υλικά για τη γεωμετρία βαθμού 10» επιλύει προβλήματα: Επιλογή Αρ. 3 C12 (1), Επιλογή Αρ. 4 Γ12 (1).

Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό κιτ

1. Γεωμετρία, 10-11: Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα. Βασικά επίπεδα και προφίλ / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., M.: Εκπαίδευση, 2010.
2. B.G. Ziv «Διδακτικό υλικό για τη γεωμετρία τάξη 10», Μ.: Εκπαίδευση.

   Επανάληψη Περιγεγραμμένος κύκλος γύρω από ένα πολύγωνο Ποιος κύκλος περιγράφεται ως περιγεγραμμένος γύρω από ένα πολύγωνο; Ποιο είναι το κέντρο του κύκλου που περιβάλλει το πολύγωνο; Τι ιδιότητα έχει το κέντρο ενός κύκλου που περικλείεται σε ένα πολύγωνο; Πού είναι το κέντρο του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το πολύγωνο; Ποιο πολύγωνο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο και υπό ποιες συνθήκες;

   Επανάληψη Κύκλος εγγεγραμμένος σε πολύγωνο Ποιος κύκλος λέγεται εγγεγραμμένος σε πολύγωνο; Ποιο είναι το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα πολύγωνο; Τι ιδιότητα έχει το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα πολύγωνο; Πού βρίσκεται το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα πολύγωνο; Ποιο πολύγωνο μπορεί να περιγραφεί γύρω από έναν κύκλο, υπό ποιες συνθήκες;

   Μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε ένα πολύεδρο Διατυπώστε τον ορισμό μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα πολύεδρο. Πώς λέγεται ένα πολύεδρο; Τι ιδιότητα έχει το κέντρο μιας εγγεγραμμένης σφαίρας; Πού είναι το σύνολο των σημείων στο χώρο που ισαπέχουν από τις όψεις μιας διεδρικής γωνίας; (τριεδρική γωνία); Σε ποιο πολύεδρο μπορεί να εγγραφεί μια σφαίρα;

   Σφαίρα εγγεγραμμένη σε μια πυραμίδα

   Σφαίρα περιγεγραμμένη γύρω από ένα πολύεδρο Διατυπώστε τον ορισμό μιας σφαίρας που περιβάλλεται από ένα πολύεδρο. Πώς λέγεται ένα πολύεδρο; Τι ιδιότητα έχει το κέντρο της περιγραφόμενης σφαίρας; Πού βρίσκεται το σύνολο των σημείων στο χώρο που απέχουν ίσα από δύο σημεία; Πού είναι το κέντρο της σφαίρας που περιγράφεται γύρω από την πυραμίδα; (πολύεδρο;) Γύρω από ποιο πολύεδρο μπορεί να περιγραφεί μια σφαίρα;

   Σφαίρα που περιγράφεται κοντά σε μια πυραμίδα

   Συνοψίζοντας το μάθημα. Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από μια τετράγωνη πυραμίδα, στη βάση της οποίας βρίσκεται ένας ρόμβος που δεν είναι τετράγωνο; Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο; Αν ναι, πού είναι το κέντρο του;

   Εργασία για το σπίτι. Σημειώστε το θέμα «Μια σφαίρα που περιγράφεται γύρω από ένα πρίσμα. Μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε ένα πρίσμα». (Δείτε προβλήματα από το σχολικό βιβλίο: Αρ. 632.637.638) Λύστε το πρόβλημα Νο. 640 από το σχολικό βιβλίο. Λύστε προβλήματα από το εγχειρίδιο: Επιλογή Νο. 3 Γ12 (1), Επιλογή Αρ. 4 Γ12 (1).

   
   

   ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

   Ενότητα II. ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ

   §23. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ.

   5. Πολύεδρο εγγεγραμμένο σε σφαίρα.

   Ένα πολύεδρο λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένο σε μια μπάλα εάν όλες οι κορυφές του βρίσκονται στην επιφάνεια της σφαίρας.

   Σε αυτή την περίπτωση, η μπάλα ονομάζεται περιγεγραμμένη γύρω από το πολύεδρο.

   Οι κύριες ιδιότητες ενός πρίσματος που εγγράφεται σε μια μπάλα είναι οι εξής (Εικ. 511):

   1) Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα ευθύ πρίσμα εάν η βάση της είναι ένα πολύγωνο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος.

   2) Το κέντρο της μπάλας είναι το μέσο του ύψους του πρίσματος που συνδέει τα κέντρα των κύκλων που περιγράφονται γύρω από τα πολύγωνα των βάσεων του πρίσματος.

   3) Οι βάσεις του πρίσματος εγγράφονται στο επίπεδο των παράλληλων τμημάτων της μπάλας.

   Παράδειγμα 1. Περιγράφεται μια σφαίρα γύρω από ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα, η πλευρά του οποίου είναι 5 cm. Η ακτίνα της σφαίρας είναι 13 εκ. Να βρείτε το ύψος του πρίσματος.

   Λύσεις. 1) Ας περιγραφεί μια σφαίρα γύρω από ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα ABCA I B 1 C 1 (Εικ. 511).

   2) QB = R ABC - ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω∆ ABC. Οπου a = 5 cm - πλευρά της βάσης κανονικού τριγώνου ABC.

   Επειτα

   3) Στο ∆ OQB: OB = R = 13 cm - ακτίνα της μπάλας, OQB = 90°.

   Εχουμε

   4) Επειδή το σημείο Ο είναι το μέσο ύψος του πρίσματος QQ 1 μετά QQ 1 = 2 ∙ 12 = 24 (cm).

   Οι κύριες ιδιότητες μιας πυραμίδας εγγεγραμμένης σε μια μπάλα είναι οι εξής (Εικ. 512).

   

   1) Μια μπάλα μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα αν η βάση της είναι ένα πολύγωνο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος. Το κέντρο της σφαίρας που περιβάλλεται γύρω από την πυραμίδα βρίσκεται σε μια κάθετη προς το επίπεδο της βάσης που διασχίζεται από το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από τη βάση.

   2) Το κέντρο μιας μπάλας που περιβάλλεται γύρω από μια κανονική πυραμίδα βρίσκεται σε μια γραμμή που περιέχει το ύψος της πυραμίδας.

   3) Το κέντρο μιας σφαίρας που περιβάλλεται γύρω από μια κανονική πυραμίδα συμπίπτει με το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ισοσκελές τρίγωνο, η πλευρά του οποίου είναι το πλάγιο άκρο της πυραμίδας και το ύψος είναι το ύψος της πυραμίδας. Η ακτίνα της μπάλας είναι ίση με την ακτίνα αυτού του κύκλου.

   Σημειώστε ότι το κέντρο της περιγεγραμμένης μπάλας μπορεί να ανήκει στο ύψος της πυραμίδας ή να βρίσκεται στην προέκτασή της (δηλαδή να βρίσκεται είτε μέσα στην πυραμίδα είτε έξω από αυτήν). Κατά την επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που προτείνεται παρακάτω, δεν χρειάζεται να ληφθούν υπόψη δύο περιπτώσεις. Με την επιλεγμένη μέθοδο αποδέσμευσης, δεν λαμβάνεται υπόψη η θέση του κέντρου της μπάλας (μέσα ή έξω από την πυραμίδα).

   Παράδειγμα 2. Να αποδείξετε ότι η ακτίνα της μπάλας R , περιγράφεται γύρω από το σωστόοι πυραμίδες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον τύποόπου H είναι το ύψος της πυραμίδας, r - την ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από τη βάση της πυραμίδας.

   Λύσεις. 1) Έστω το σημείο Ο το κέντρο μιας σφαίρας που περιγράφεται σωστά: μια πυραμίδα με ύψος Q K (Εικ. 512). Με συνθήκη Q K = I, KA = r - την ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από τη βάση.

   2) Συνεχίστε Q στη δεύτερη διασταύρωση με τη σφαίρα στο σημείοΕ 1. Τότε QQ 1 = 2 R - διάμετρος του κύκλου, και ως εκ τούτου Q A Q 1 = 90° και QQ 1 - υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου Q A Q 1.

   4) Με την ιδιότητα του σκέλους ορθογωνίου τριγώνου μέσα∆ Q A Q 1 παίρνουμε A Q 2 = QQ 1 ∙ Q K, δηλ. A Q 2 = 2 R ∙ N.

   5) Άρα, A Q 2 = H 2 + r 2 και A Q 2 = 2 R H. Επομένως, H 2 + r 2 = 2 R H; R = (r 2 + H 2 )/2 H , που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

   
   

   Περιγραφή της παρουσίασης ανά μεμονωμένες διαφάνειες:

   1 διαφάνεια

   Περιγραφή διαφάνειας:

   δημοτική αυτόνομη εκπαιδευτικό ίδρυμαΛύκειο Νο 45 Εργαλειοθήκηγια μαθητές της 11ης τάξης Συντάχθηκε από μια δασκάλα μαθηματικών της υψηλότερης κατηγορίας, την Elena Vyacheslavovna Gavinskaya. Καλίνινγκραντ 2016-2017 ακαδημαϊκό έτος

   2 διαφάνεια
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   Πολύεδρα εγγεγραμμένα σε σφαίρα. Το θέμα είναι παρόμοιο με αυτό του μαθήματος της επιπεδομετρίας, όπου ειπώθηκε ότι οι κύκλοι μπορούν να περιγραφούν γύρω από τρίγωνα και κανονικά n-gons. Το ανάλογο ενός κύκλου στο διάστημα είναι μια σφαίρα και ένα πολύγωνο είναι ένα πολύεδρο. Στην περίπτωση αυτή, το ανάλογο ενός τριγώνου είναι ένα τριγωνικό πρίσμα και το ανάλογο των κανονικών πολυγώνων είναι τα κανονικά πολύεδρα. Ορισμός. Ένα πολύεδρο λέγεται ότι είναι εγγεγραμμένο σε μια σφαίρα αν όλες οι κορυφές του ανήκουν σε αυτή τη σφαίρα. Η ίδια η σφαίρα λέγεται ότι περικλείεται γύρω από το πολύεδρο.

   3 διαφάνεια
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   «Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα ευθύ πρίσμα αν και μόνο αν μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος γύρω από τη βάση αυτού του πρίσματος». Απόδειξη: Αν μια σφαίρα είναι περιγεγραμμένη γύρω από ένα ευθύ πρίσμα, τότε όλες οι κορυφές της βάσης του πρίσματος ανήκουν στη σφαίρα και, επομένως, στον κύκλο, που είναι η γραμμή τομής της σφαίρας και του επιπέδου της βάσης. Αντίστροφα, ας περιγραφεί ένας κύκλος με κέντρο στο σημείο O1 και ακτίνα r κοντά στη βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος. Στη συνέχεια, γύρω από τη δεύτερη βάση του πρίσματος, μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος με κέντρο στο σημείο Ο2 και την ίδια ακτίνα. Έστω O1O2=d, O – το μέσο του O1O2. Τότε η σφαίρα με κέντρο Ο και ακτίνα R= θα είναι η επιθυμητή περιγεγραμμένη σφαίρα. Θεώρημα 1.

   4 διαφάνεια
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   «Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από οποιαδήποτε τριγωνική πυραμίδα και μόνο μία». Απόδειξη. Ας στραφούμε σε μια απόδειξη παρόμοια με αυτή από το μάθημα της επιπεδομετρίας. Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να βρούμε τον τόπο των σημείων που ισαπέχουν από τις δύο κορυφές του τριγώνου. Για παράδειγμα, Α και Β. Μια τέτοια γεωμετρική θέση είναι η κάθετη διχοτόμος που σχεδιάζεται στο τμήμα ΑΒ. Τότε βρίσκουμε τον γεωμετρικό τόπο σημείων που ισαπέχουν από τα Α και Γ. Αυτή είναι η μεσοκάθετος στο τμήμα AC. Το σημείο τομής αυτών των διτομικών καθέτων θα είναι το επιθυμητό κέντρο Ο του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το τρίγωνο ABC. Θεώρημα 2.

   5 διαφάνεια
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   Ας εξετάσουμε τώρα τη χωρική κατάσταση και ας κάνουμε παρόμοιες κατασκευές. Έστω μια τριγωνική πυραμίδα DABC και τα σημεία Α, Β και Γ ορίζουν το επίπεδο α. Ο τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα σημεία Α, Β και Γ είναι η ευθεία α, κάθετο στο επίπεδοα και περνώντας από το κέντρο Ο1 του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το τρίγωνο ΑΒΓ. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα σημεία Α και Δ είναι το επίπεδο β, κάθετο στο τμήμα AD και που διέρχεται από την κορυφή του - σημείο Ε. Το επίπεδο β και η ευθεία α τέμνονται στο σημείο Ο, το οποίο θα είναι το επιθυμητό κέντρο του σφαίρα περιγεγραμμένη γύρω από την τριγωνική πυραμίδα DABC. Πράγματι, λόγω της κατασκευής, το σημείο Ο απέχει εξίσου από όλες τις κορυφές της πυραμίδας DABC. Επιπλέον, ένα τέτοιο σημείο θα είναι μοναδικό, αφού η τέμνουσα ευθεία και το επίπεδο έχουν ένα ενιαίο κοινό σημείο.

   6 διαφάνεια
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   Μια μπάλα περιγεγραμμένη γύρω από μια κανονική πυραμίδα. Η μπάλα μπορεί να περιγραφεί γύρω από οποιαδήποτε κανονική πυραμίδα. Το κέντρο της μπάλας βρίσκεται σε μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το ύψος της πυραμίδας και συμπίπτει με το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ισοσκελές τρίγωνο, η πλευρά του οποίου είναι το πλάγιο άκρο της πυραμίδας και το ύψος είναι το ύψος του η πυραμίδα. Η ακτίνα της μπάλας είναι ίση με την ακτίνα αυτού του κύκλου. Η ακτίνα της μπάλας R, το ύψος της πυραμίδας H και η ακτίνα του κύκλου r που περιγράφεται κοντά στη βάση της πυραμίδας σχετίζονται με τη σχέση: R2=(H-R)2+r2 Αυτή η σχέση ισχύει και στην περίπτωση που H< R.

   7 διαφάνεια
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   Το πρόβλημα αφορά μια μπάλα που περικλείεται γύρω από μια κανονική πυραμίδα. «Μια σφαίρα με κέντρο στο σημείο Ο και ακτίνα 9√3 m περιγράφεται κοντά στην κανονική πυραμίδα PABC. Η ευθεία PO, που περιέχει το ύψος της πυραμίδας, τέμνει τη βάση της πυραμίδας στο σημείο Η έτσι ώστε PH:OH = 2:1. Βρείτε τον όγκο της πυραμίδας αν κάθε μία από τις πλευρικές της ακμές σχηματίζει γωνία 45 μοιρών με το επίπεδο της βάσης.

   8 διαφάνεια
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   Δίνεται: PABC – κανονική πυραμίδα. η μπάλα (O;R=9√3 m) περιγράφεται κοντά στην πυραμίδα. RO∩(ABC)=N; ΡΗ:ΟΗ=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. Εύρεση: Vpir. Λύση: Αφού RN:OH=2:1 (κατά συνθήκη), τότε RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (ως ύψος της πυραμίδας) => => RN _ AN (εξ ορισμού) => RAS - ορθογώνιο. 3. ΣΤΟ RAS:

   Διαφάνεια 9
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   4. Εφόσον από συνθήκη το RABC είναι μια κανονική πυραμίδα και το PH το ύψος της, τότε εξ ορισμού το ABC είναι σωστό. H είναι το κέντρο ενός κύκλου που περιγράφεται γύρω από το ABC, που σημαίνει 5. Απάντηση: 486 m3.

   10 διαφάνεια
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   Μια σφαίρα περιγεγραμμένη γύρω από ένα πρίσμα. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα πρίσμα αν είναι ευθύγραμμη και οι βάσεις της είναι πολύγωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο. Το κέντρο της μπάλας βρίσκεται στο μέσο του ύψους του πρίσματος που συνδέει τα κέντρα των κύκλων που περιγράφονται γύρω από τις βάσεις του πρίσματος. Η ακτίνα της μπάλας R, το ύψος του πρίσματος H και η ακτίνα του κύκλου r που περιγράφονται γύρω από τη βάση του πρίσματος σχετίζονται με τη σχέση:

   11 διαφάνεια
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   Το πρόβλημα αφορά μια σφαίρα που περιβάλλεται γύρω από ένα πρίσμα. «Ένα κανονικό πρίσμα ABCDA1B1C1D1 με ύψος 6 cm είναι εγγεγραμμένο σε μια σφαίρα (άρα; R = 5 cm). Βρείτε την περιοχή διατομής του πρίσματος με ένα επίπεδο παράλληλο με τα επίπεδα της βάσης και που διέρχεται από το σημείο Ο - το κέντρο της μπάλας."

   12 διαφάνεια
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   Δίνεται: ABCDA1B1C1D1 – κανονικό πρίσμα. μια μπάλα (O;R=5 cm) περιγράφεται γύρω από ένα πρίσμα. το ύψος του πρίσματος h είναι 6 cm. α║(ABC); O με α. Βρείτε: Ssec α, Λύση: Εφόσον, κατά συνθήκη, το πρίσμα είναι εγγεγραμμένο σε μια μπάλα, τότε (r είναι η ακτίνα του κύκλου που περικλείεται γύρω από τη βάση του πρίσματος) Αλλά από συνθήκη δίνεται ένα κανονικό πρίσμα, που σημαίνει

   Διαφάνεια 13
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   α) (АВВ1) ║(СС1D1) (από την ιδιότητα ευθύγραμμου πρίσματος) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (από την ιδιότητα των παράλληλων επιπέδων) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (κατά ιδιότητα ευθύγραμμου πρίσματος) => KM=NR (από την ιδιότητα των παράλληλων επιπέδων). Αυτό σημαίνει ότι το KMNR είναι παραλληλόγραμμο (κατά χαρακτηριστικό) => MN=KR και MN ║ KR β) α ║ (ABC) (κατά κατασκευή) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (σύμφωνα με την ιδιότητα των παράλληλων επιπέδων) 2. 3. Εφόσον σύμφωνα με τη συνθήκη ABCDA1B1C1D1 είναι κανονικό πρίσμα, και η τομή κατά επίπεδο α είναι παράλληλη προς τις βάσεις, τότε το σχήμα που σχηματίζεται από την τομή είναι τετράγωνο. Ας το αποδείξουμε: => => =>

   Διαφάνεια 14
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   KMH= ABC=90o (ως γωνίες με αντίστοιχα ευθυγραμμισμένες πλευρές) Αυτό σημαίνει ότι ο ρόμβος KMNR είναι τετράγωνο (εξ ορισμού), το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί. Επιπλέον, τα τετράγωνα KMNR και ABCD είναι ίσα. Επομένως, κατά ιδιότητα τα εμβαδά τους είναι ίσα, και, επομένως, Τομή α.=SABCD=32 (cm2) Απάντηση: 32 cm2. γ) KM ║ AB (αποδεικνύεται) (BCC1) ║(ADD1) (από την ιδιότητα ευθύγραμμου πρίσματος) => KM=AB=4√2 cm (από την ιδιότητα των παράλληλων επιπέδων). δ) Ομοίως, αποδεικνύεται ότι MN ║ BC και MN = BC = 4√2 εκ. Αυτό σημαίνει ότι MN = KM => παραλληλόγραμμο MNRK είναι ρόμβος (εξ ορισμού). ε) MN ║ BC (αποδεδειγμένα) KM ║ AB (αποδεδειγμένα) => =>

   15 διαφάνεια
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   Ένας κύλινδρος περιγεγραμμένος γύρω από ένα πρίσμα. Ένας κύλινδρος μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα ευθύ πρίσμα εάν η βάση του είναι ένα πολύγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Η ακτίνα του κυλίνδρου R είναι ίση με την ακτίνα αυτού του κύκλου. Ο άξονας του κυλίνδρου βρίσκεται στην ίδια ευθεία με το ύψος H του πρίσματος, συνδέοντας τα κέντρα των κύκλων που περιγράφονται κοντά στις βάσεις του πρίσματος. Στην περίπτωση τετράγωνου πρίσματος (αν η βάση είναι ορθογώνιο), ο άξονας του κυλίνδρου διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων των βάσεων του πρίσματος.

   16 διαφάνεια
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   Το πρόβλημα αφορά έναν κύλινδρο που περιβάλλεται γύρω από ένα πρίσμα. Ευθύ πρίσμα ABCDA1B1C1D1, η βάση του οποίου είναι ορθογώνιο, είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύλινδρο, του οποίου η γενεαλογία είναι 7 cm και η ακτίνα είναι 3 cm. Βρείτε το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του πρίσματος εάν η γωνία μεταξύ των διαγωνίων Το ABCD είναι 60 μοίρες. ОО1 – άξονας κυλίνδρου.

   Διαφάνεια 17
   

   Περιγραφή διαφάνειας:

   Δίνεται: ABCDA1B1C1D1 – ευθύ πρίσμα. ο κύλινδρος περιγράφεται κοντά στο πρίσμα. γεννήτρια του κυλίνδρου AA1=7 cm; η ακτίνα της βάσης του κυλίνδρου είναι 3 cm. η γωνία μεταξύ των διαγωνίων ABCD είναι 60°. ОО1 – άξονας κυλίνδρου. Εύρεση: Πλαϊνό πρίσμα. Λύση: Εφόσον, σύμφωνα με την συνθήκη, ένα τετράπλευρο πρίσμα, στη βάση του οποίου είναι ένα ορθογώνιο, είναι εγγεγραμμένο σε μια μπάλα, τότε σύμφωνα με την ιδιότητα AC∩ВD=O. Αυτό σημαίνει AOB=60o και AO=OB=3cm. 2. Στο ΑΟΒ με χρήση του συνημιτόνου.