Ένα πολύεδρο ονομάζεται εγγεγραμμένο σε μια σφαίρα αν όλες οι κορυφές του ανήκουν σε αυτή τη σφαίρα. Η ίδια η σφαίρα ονομάζεται περιγεγραμμένη κοντά στο πολύεδρο.

Θεώρημα. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί κοντά σε μια πυραμίδα εάν και μόνο εάν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί κοντά στη βάση αυτής της πυραμίδας.

Πολύεδρα εγγεγραμμένα σε σφαίρα

Θεώρημα. Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί κοντά σε ένα πρίσμα εάν και μόνο αν ένας κύκλος μπορεί να περιγραφεί κοντά στη βάση αυτού του πρίσματος. Το κέντρο του θα είναι ένα σημείο Ο, που είναι το μέσο του τμήματος που συνδέει τα κέντρα των κύκλων που περιγράφονται κοντά στις βάσεις του πρίσματος. Ακτίνα σφαίρας Rυπολογίζεται με τον τύπο

Οπου ηείναι το ύψος του πρίσματος, rείναι η ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση του πρίσματος.

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση 1

Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο;

Απάντηση: Ναι. Το κέντρο του είναι το σημείο τομής των διαγωνίων και η ακτίνα είναι ίση με το μισό της διαγώνιου του παραλληλεπίπεδου

Άσκηση 2

Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από ένα κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο, του οποίου όλα τα πρόσωπα είναι ρόμβοι;

Απάντηση: Όχι.

Άσκηση 3

Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα κοντά σε ένα κεκλιμένο πρίσμα;

Απάντηση: Όχι.

Άσκηση 4

Μπορεί το κέντρο μιας σφαίρας που περικλείεται κοντά σε ένα πρίσμα να είναι έξω από το πρίσμα;

Απάντηση: Ναι, αν η βάση του πρίσματος είναι αμβλύ τρίγωνο.

Άσκηση 5

Μπορεί το κέντρο μιας σφαίρας που περιβάλλεται κοντά σε μια πυραμίδα να βρίσκεται έξω από αυτήν την πυραμίδα;

Απάντηση: Ναι.

Σφαίρα περιγεγραμμένη γύρω από έναν κύβο

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση 1

Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που περικλείεται στον μοναδιαίο κύβο.

Άσκηση 2

Βρείτε την άκρη ενός κύβου εγγεγραμμένο σε μια μοναδιαία σφαίρα.

Άσκηση 3

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου οι ακμές που εξέρχονται από μια κορυφή είναι ίσες με 1, 2, 3.

Άσκηση 4

Οι δύο ακμές του κυβοειδούς που βγαίνουν από την ίδια κορυφή είναι 1 και 2. Η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας είναι 1,5 . Βρείτε την τρίτη άκρη που βγαίνει από την ίδια κορυφή του πλαισίου.

Σφαίρα που περικλείεται γύρω από ένα τετράεδρο

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση 1

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα μοναδιαίο τετράεδρο.

Λύση. σε ένα τετράεδρο SABCέχουμε:

BE=SE=

Σε ορθογώνιο τρίγωνο OBEέχουμε:

R, βρίσκουμε

Άσκηση 2

Βρείτε την άκρη ενός κανονικού τετραέδρου εγγεγραμμένου σε μια μοναδιαία σφαίρα.

Άσκηση 3

Η βάση της πυραμίδας είναι ένα κανονικό τρίγωνο, η πλευρά του οποίου είναι ίση με 3. Ένα από τα πλευρικά άκρα είναι ίσο με 2 και είναι κάθετο στο επίπεδο της βάσης. Βρείτε την ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας.

Λύση. Αφήνω Οείναι το κέντρο της περιγραφόμενης σφαίρας, Qείναι το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση, μι- Μέσης SC. τετράπλευρο CEOQείναι ένα ορθογώνιο στο οποίο CE= 1, CQ=Ως εκ τούτου, R=OC= 2.

Απάντηση: R = 2.

Άσκηση 4

Το σχήμα δείχνει μια πυραμίδα SABC, για το οποίο η άκρη SCίσο με 2 και κάθετο στο επίπεδο της βάσης αλφάβητο, γωνία ACBίσο με 90 περίπου, AC=BC = 1 . Κατασκευάστε το κέντρο της σφαίρας που περιβάλλεται γύρω από αυτήν την πυραμίδα και βρείτε την ακτίνα της.

Λύση. μέσω της μέσης ρεπαϊδάκια ΑΒσχεδιάστε μια παράλληλη γραμμή SC. μέσω της μέσης μιπαϊδάκια SCσχεδιάστε μια ευθεία παράλληλη CD. Το σημείο τομής τους Οθα είναι το επιθυμητό κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΙΨΔέχουμε:

OD=CD=Με θεώρημα

Πυθαγόρα, βρίσκουμε

Άσκηση 5

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από μια κανονική τριγωνική πυραμίδα της οποίας οι πλευρικές ακμές είναι ίσες με 1 και οι επίπεδες γωνίες στην κορυφή είναι ίσες με 90 o.

Λύση. σε ένα τετράεδρο SABCέχουμε:

ΑΒ=ΑΕ= SE =

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΕέχουμε:

Επίλυση αυτής της εξίσωσης για R, βρίσκουμε

Σφαίρα που περικλείεται γύρω από ένα τριγωνικό πρίσμα

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση 1

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα κανονικό πρίσμα με όλες τις ακμές ίσες με 1.

Λύση. Εχουμε:

AA 1 = 1, AD=OD=

Ως εκ τούτου, R=AO=

Άσκηση 2

Μια σφαίρα ακτίνας 2 περιβάλλεται κοντά σε ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα του οποίου η πλευρά βάσης είναι 1. Βρείτε το ύψος του πρίσματος.

Λύση. Εχουμε: ΑΟ = 2, OD=

Ως εκ τούτου, h=AA 1 = 2 ΑΟ=

Άσκηση 3

Μια σφαίρα ακτίνας 1 περικλείεται κοντά σε ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα του οποίου το ύψος είναι 1. Βρείτε την πλευρά της βάσης του πρίσματος.

Λύση. Εχουμε: ΑΟ = 1 , OD=

Ως εκ τούτου, μ.Χ.=

Που σημαίνει, ΑΒ=

Άσκηση 4

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από ένα ορθογώνιο τριγωνικό πρίσμα, στη βάση του οποίου είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη ίσα με 1 και το ύψος του πρίσματος είναι 2.

Λύση. Η ακτίνα μιας σφαίρας είναι η μισή διαγώνιος ΕΝΑ 1 ντοορθογώνιο παραλληλόγραμμο ACC 1 ΕΝΑ 1 .

Εχουμε: AA 1 = 2, AC=

Ως εκ τούτου, R=

Σφαίρα περιγεγραμμένη σε κανονικό εξαγωνικό πρίσμα

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα κανονικό εξαγωνικό πρίσμα με όλες τις ακμές ίσες με 1.

Λύση. Εχουμε ΑΓ= 1, ΟΓ=

Ως εκ τούτου, R=AO=

Σφαίρα που περικλείεται γύρω από μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα με όλες τις ακμές ίσες με 1.

Σφαίρα που περικλείεται γύρω από μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από μια κανονική 6πλευρη πυραμίδα της οποίας οι ακμές βάσης είναι 1 και οι πλευρικές ακμές είναι 2.

Λύση. Τρίγωνο ΛΥΠΗΜΕΝΟΣ- ισόπλευρο με πλευρά 2. Ακτίνα Rη περιγεγραμμένη σφαίρα είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από το τρίγωνο ΛΥΠΗΜΕΝΟΣ. Ως εκ τούτου,

Σφαίρα περιγεγραμμένη σε ένα οκτάεδρο

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε μια μονάδα οκταέδρου.

Λύση. Ακτίνα κύκλου Rη περιγεγραμμένη σφαίρα είναι ίση με τη μισή διαγώνιο του τετραγώνου Α Β Γ Δμε την πλευρά 1. Επομένως,

Σφαίρα περιγεγραμμένη γύρω από εικοσάεδρο

Στη λειτουργία διαφάνειας, οι απαντήσεις και οι λύσεις εμφανίζονται αφού κάνετε κλικ με το ποντίκι

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα μοναδιαίο εικοσάεδρο.

Λύση. σε ένα ορθογώνιο ABCD AB=CD= 1, προ ΧΡΙΣΤΟΥΚαι ΕΝΑ Δ – διαγώνιοι κανονικών πενταγώνων με πλευρές 1. Επομένως,

π.Χ.=μ.Χ.=

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα AC=

Η επιθυμητή ακτίνα είναι ίση με το μισό αυτής της διαγωνίου, δηλ.

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε μια μονάδα δωδεκάεδρου.

Λύση. ABCDEείναι ένα κανονικό πεντάγωνο με μια πλευρά

σε ένα ορθογώνιο ACGFAF=CG= 1, ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝΚαι FG – διαγώνιες ενός πενταγώνου ABCDEκαι ως εκ τούτου AC=FG=

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα

FC=Επιθυμητή ακτίνα

ισούται με το ήμισυ αυτής της διαγωνίου, δηλ.

Ασκηση

Το σχήμα δείχνει ένα κολοβό τετράεδρο που λαμβάνεται με την αποκοπή των γωνιών ενός κανονικού τετραέδρου τριγωνικών πυραμίδων, οι όψεις των οποίων είναι κανονικά εξάγωνα και τρίγωνα. Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από ένα κόλουρο τετράεδρο με ακμές ίσες με 1.

Ασκηση

Το σχήμα δείχνει έναν κολοβωμένο κύβο που λαμβάνεται με την αποκοπή τριγωνικών πυραμίδων από τις γωνίες του κύβου, οι όψεις των οποίων είναι κανονικά οκτάγωνα και τρίγωνα. Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από έναν κολοβωμένο κύβο του οποίου οι ακμές είναι 1.

Ασκηση

Το σχήμα δείχνει ένα κολοβωμένο οκτάεδρο που λαμβάνεται με την αποκοπή τριγωνικών πυραμίδων από τις γωνίες του οκτάεδρου, οι όψεις των οποίων είναι κανονικά εξάγωνα και τρίγωνα. Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από ένα κόλουρο οκτάεδρο με ακμές ίσες με 1.

Ασκηση

Το σχήμα δείχνει ένα κολοβό εικοσάεδρο που λαμβάνεται με την αποκοπή πενταγωνικών πυραμίδων από τις γωνίες του εικοσάεδρου, οι όψεις των οποίων είναι κανονικά εξάγωνα και πεντάγωνα. Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα κόλουρο εικοσάεδρο με ακμές ίσες με 1.

Ασκηση

Το σχήμα δείχνει ένα κολοβωμένο δωδεκάεδρο που λαμβάνεται με την αποκοπή τριγωνικών πυραμίδων από τις γωνίες του δωδεκάεδρου, οι όψεις των οποίων είναι κανονικά δεκάγωνα και τρίγωνα. Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται γύρω από ένα κόλουρο δωδεκάεδρο με ακμές ίσες με 1.

Ασκηση

Βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα μοναδιαίο κυβοκτάεδρο

Λύση. Θυμηθείτε ότι ένα κυβοκτάεδρο λαμβάνεται από έναν κύβο κόβοντας κανονικές τριγωνικές πυραμίδες με κορυφές στις κορυφές του κύβου και πλευρικές άκρες ίσες με το μισό της άκρης του κύβου. Αν η άκρη του οκταέδρου είναι ίση με 1, τότε η ακμή του αντίστοιχου κύβου είναι ίση με Η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας ισούται με την απόσταση από το κέντρο του κύβου μέχρι το μέσο της άκρης του, δηλ. ισούται με 1.

Απάντηση: R = 1.

Δημόσιο μάθημαμε θέμα "Εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύεδρα"

Θέμα μαθήματος: Μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε μια πυραμίδα. Η σφαίρα που περικλείεται κοντά στην πυραμίδα.

Τύπος μαθήματος:Εισαγωγή στο νέο υλικό. Στόχοι μαθήματος:

Εισαγάγετε την έννοια μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα πολύεδρο. σφαίρα περιγεγραμμένη γύρω από το πολύεδρο. Συγκρίνετε τον περιγεγραμμένο κύκλο και την περιγεγραμμένη σφαίρα, τον εγγεγραμμένο κύκλο και την εγγεγραμμένη σφαίρα. Να αναλύσετε τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη της εγγεγραμμένης σφαίρας και της περιγεγραμμένης σφαίρας. Αναπτύξτε δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων. Ανάπτυξη δεξιοτήτων των μαθητών ανεξάρτητη εργασία.

Ανάπτυξη λογικής σκέψης, αλγοριθμική κουλτούρα, χωρική φαντασία, ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης και διαίσθησης, δημιουργικότηταστο επίπεδο που είναι απαραίτητο για τη συνεχιζόμενη εκπαίδευση και για ανεξάρτητες δραστηριότητες στον τομέα των μαθηματικών και τις εφαρμογές τους σε μελλοντικές επαγγελματικές δραστηριότητες·

Εξοπλισμός:

διαδραστικός πίνακας

Παρουσίαση "Εγγεγραμμένη και περιγεγραμμένη σφαίρα"

Συνθήκες προβλημάτων στα σχέδια στον πίνακα. Φυλλάδια (υποστηρικτικές σημειώσεις).

Πλανομετρία. Εγγεγραμμένος και περιγεγραμμένος κύκλος. Στερεομετρία. Στερεομετρία εγγεγραμμένης σφαίρας. Περιγραφόμενη σφαίρα

Δομή μαθήματος:

Ορισμός στόχων για το μάθημα (2 λεπτά). Προετοιμασία για τη μελέτη νέου υλικού με επανάληψη (μετωπική έρευνα) (6 λεπτά). Επεξήγηση νέου υλικού (15 λεπτά) Κατανόηση του θέματος κατά τη σύνταξη περίληψης με θέμα «Στερεομετρία. Περιγραφόμενη σφαίρα» και η εφαρμογή του θέματος στην επίλυση προβλημάτων (15 λεπτά). Συνοψίζοντας το μάθημα ελέγχοντας τη γνώση και την κατανόηση του θέματος που μελετήθηκε (μετωπική έρευνα). Αξιολόγηση των απαντήσεων των μαθητών (5 λεπτά). σκαλωσιά εργασία για το σπίτι(2 λεπτά). Κάντε κράτηση για εργασίες.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων 1. Καθορισμός των στόχων του μαθήματος.

Εισαγάγετε την έννοια μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα πολύεδρο. σφαίρα περιγεγραμμένη γύρω από το πολύεδρο. Συγκρίνετε τον περιγεγραμμένο κύκλο και την περιγεγραμμένη σφαίρα, τον εγγεγραμμένο κύκλο και την εγγεγραμμένη σφαίρα. Να αναλύσετε τις προϋποθέσεις για την ύπαρξη της εγγεγραμμένης σφαίρας και της περιγεγραμμένης σφαίρας. Αναπτύξτε δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων.

2. Προετοιμασία για τη μελέτη νέου υλικού με επανάληψη (μετωπική έρευνα).Ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε ένα πολύγωνο.

Ποιος κύκλος λέγεται εγγεγραμμένος σε πολύγωνο; Πώς ονομάζεται το πολύγωνο στο οποίο είναι εγγεγραμμένος ο κύκλος; Ποιο σημείο είναι το κέντρο του κύκλου εγγεγραμμένο στο πολύγωνο; Τι ιδιότητα έχει το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα πολύγωνο; Πού βρίσκεται το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα πολύγωνο; Ποιο πολύγωνο μπορεί να περιγραφεί σε έναν κύκλο, υπό ποιες συνθήκες;

Ένας κύκλος περιγεγραμμένος γύρω από ένα πολύγωνο.

Ποιος κύκλος ονομάζεται περιγεγραμμένος σε ένα πολύγωνο; Πώς ονομάζεται το πολύγωνο γύρω από το οποίο περιγράφεται ο κύκλος; Ποιο σημείο είναι το κέντρο του κύκλου που περικλείεται στο πολύγωνο; Τι ιδιότητα έχει το κέντρο ενός κύκλου που περικλείεται σε ένα πολύγωνο; Πού μπορεί να βρίσκεται το κέντρο ενός κύκλου που περικλείεται σε ένα πολύγωνο; Ποιο πολύγωνο μπορεί να εγγραφεί σε κύκλο και υπό ποιες συνθήκες;

3. Επεξήγηση νέου υλικού.ΕΝΑ . Κατ' αναλογία, οι μαθητές διατυπώνουν νέους ορισμούς και απαντούν στις ερωτήσεις που τίθενται.Μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε ένα πολύεδρο.

Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα πολύεδρο. Πώς λέγεται ένα πολύεδρο στο οποίο μπορεί να εγγραφεί μια σφαίρα; Τι ιδιότητα έχει το κέντρο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα πολύεδρο; Ποιο είναι το σύνολο των σημείων στο χώρο που ισαπέχουν από τις όψεις μιας διεδρικής γωνίας; (τριεδρικής γωνίας;) Ποιο σημείο είναι το κέντρο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα πολύεδρο; Σε ποιο πολύεδρο μπορεί να εγγραφεί μια σφαίρα, υπό ποιες συνθήκες;

ΣΕ . Οι μαθητές αποδεικνύουν το θεώρημα.Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε οποιαδήποτε τριγωνική πυραμίδα.Στη διαδικασία της εργασίας στο μάθημα, οι μαθητές χρησιμοποιούν σημειώσεις αναφοράς. Οι μαθητές αναλύουν τη λύση του προβλήματος.

Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι ίση με ΕΝΑ, το ύψος είναι η. Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που είναι εγγεγραμμένη στην πυραμίδα.

ΡΕ. Οι μαθητές λύνουν το πρόβλημα.

Εργο.Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι 4, οι πλευρικές όψεις έχουν κλίση προς τη βάση υπό γωνία 60 0 . Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που είναι εγγεγραμμένη σε αυτή την πυραμίδα.

4. Κατανόηση του θέματος στην αυτο-σύνταξη περίληψης με θέμα "Σφαίρα που περικλείεται γύρω από ένα πολύεδρο» και εφαρμογή στην επίλυση προβλημάτων.

A. U Οι μαθητές συμπληρώνουν ανεξάρτητα μια περίληψη με θέμα «Η σφαίρα που περιγράφεται κοντά σε ένα πολύεδρο». Απάντησε τις παρακάτω ερωτήσεις:

Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας σφαίρας που περικλείεται κοντά σε ένα πολύεδρο.

Πώς ονομάζεται ένα πολύεδρο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί μια σφαίρα;

Τι ιδιότητα έχει το κέντρο μιας σφαίρας που περικλείεται σε ένα πολύεδρο;

Ποιο είναι το σύνολο των σημείων στο χώρο που ισαπέχουν από δύο σημεία;

Ποιο σημείο είναι το κέντρο της σφαίρας που περικλείεται γύρω από το πολύεδρο;

Πού μπορεί να βρίσκεται το κέντρο της σφαίρας που περιγράφεται κοντά στην πυραμίδα; (πολύεδρο;)

Για ποιο πολύεδρο μπορεί να περιγραφεί μια σφαίρα;

ΣΕ. Οι μαθητές λύνουν το πρόβλημα μόνοι τους.

Εργο.Σε μια κανονική τριγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι 3 και οι πλευρικές ακμές έχουν κλίση προς τη βάση υπό γωνία 60 0 . Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που περικλείεται κοντά στην πυραμίδα.

ΜΕ. Έλεγχος του περιγράμματος και ανάλυση της λύσης του προβλήματος.

5. Συνοψίζοντας το μάθημα ελέγχοντας τη γνώση και την κατανόηση του θέματος που μελετήθηκε (μετωπική έρευνα). Αξιολόγηση των απαντήσεων των μαθητών.

ΕΝΑ. Οι μαθητές συνοψίζουν το μάθημα μόνοι τους.

ΣΕ. Απαντήστε σε επιπλέον ερωτήσεις.

Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από μια τετράγωνη πυραμίδα, στη βάση της οποίας βρίσκεται ένας ρόμβος που δεν είναι τετράγωνο;

Είναι δυνατόν να περιγράψουμε μια σφαίρα γύρω από ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο; Αν ναι, πού είναι το κέντρο του;

Όπου στη ζωή εφαρμόζεται η θεωρία που μελετάται στο μάθημα (αρχιτεκτονική, κινητό τηλέφωνο, γεωστατικοί δορυφόροι, σύστημα ανίχνευσης GPS).

6. Δήλωση εργασίας για το σπίτι.

Α. Κάντε μια περίληψη για το θέμα «Η σφαίρα που περιγράφεται κοντά στο πρίσμα. Μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε ένα πρίσμα. (Σκεφτείτε εργασίες από το σχολικό βιβλίο: Νο. 632,637,638)

Β. Λύστε το πρόβλημα Νο 640 από το σχολικό βιβλίο.

Γ. Από το εκπαιδευτικό εγχειρίδιο του Β.Γ. Ziv "Διδακτικά υλικά για τη γεωμετρία Βαθμός 10" για την επίλυση των προβλημάτων: Επιλογή No. 3 C12 (1), Επιλογή No. 4 C12 (1).

ΡΕ. Πρόσθετη εργασία: Επιλογή No. 5 C12 (1).

7. Κάντε κράτηση εργασιών.

Από το εκπαιδευτικό εγχειρίδιο B.G. Ziv "Διδακτικά υλικά για τη γεωμετρία Βαθμός 10" για την επίλυση προβλημάτων: Επιλογή No. 3 C12 (1), Επιλογή No. 4 C12 (1).

Εκπαιδευτικό και μεθοδικό σύνολο

Γεωμετρία, 10-11: Σχολικό βιβλίο για Εκπαιδευτικά ιδρύματα. Βασικά επίπεδα και προφίλ / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., Μόσχα: Εκπαίδευση, 2010

B.G. Ziv «Διδακτικά υλικά για τη γεωμετρία 10η τάξη», Μ.: Διαφωτισμός.

Δάσκαλος μαθηματικών

Οικοτροφείο Λυκείου GBOU "DPC"

Νίζνι Νόβγκοροντ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Ενότητα II. ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ

§23. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ.

5. Πολύεδρο εγγεγραμμένο σε μπάλα.

Ένα πολύεδρο ονομάζεται εγγεγραμμένο σε μια μπάλα εάν όλες οι κορυφές του βρίσκονται στην επιφάνεια της σφαίρας.

Σε αυτή την περίπτωση, η μπάλα ονομάζεται περιγραφόμενη γύρω από το πολύεδρο.

Οι κύριες ιδιότητες ενός πρίσματος που εγγράφεται σε μια μπάλα είναι οι εξής (Εικ. 511):

1) Μια σφαίρα μπορεί να περιγραφεί γύρω από ένα ευθύ πρίσμα εάν η βάση της είναι ένα πολύγωνο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος.

2) Το κέντρο της μπάλας είναι το μέσο του ύψους του πρίσματος που συνδέει τα κέντρα των κύκλων που περιγράφονται γύρω από τα πολύγωνα των βάσεων του πρίσματος.

3) Οι βάσεις του πρίσματος εγγράφονται στα επίπεδα παράλληλα τμήματα της μπάλας.

Παράδειγμα 1. Περιγράφεται μια σφαίρα γύρω από ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα, του οποίου η πλευρά βάσης είναι 5 cm. Η ακτίνα της σφαίρας είναι 13 εκ. Να βρείτε το ύψος του πρίσματος.

Λύσεις. 1) Αφήστε μια μπάλα να περιγραφεί γύρω από ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα ABCA ΚΑΙ B 1 C 1 (Εικ. 511).

2) QB = R ABC - ακτίνα του κύκλου που περικλείεται γύρω∆ ABC. Οπου a \u003d 5 cm - πλευρά της βάσης του ορθογωνίου τριγώνου ABC.

Επειτα

3) V ∆ OQB: RH = R \u003d 13 cm - ακτίνα της μπάλας, OQB = 90°.

Εχουμε

4) Αφού το σημείο Ο είναι το μέσο του ύψους του πρίσματος QQ 1 μετά QQ 1 = 2 ∙ 12 = 24 (cm).

Οι κύριες ιδιότητες της πυραμίδας, που είναι εγγεγραμμένη στη σφαίρα, είναι οι εξής (Εικ. 512).

1) Μια μπάλα μπορεί να περιγραφεί γύρω από μια πυραμίδα εάν η βάση της είναι ένα πολύγωνο γύρω από το οποίο μπορεί να περιγραφεί ένας κύκλος. Το κέντρο της σφαίρας που περιβάλλεται γύρω από την πυραμίδα βρίσκεται στην κάθετη στο επίπεδο της βάσης, που τραβιέται μέσα από το κέντρο του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από τη βάση.

2) Το κέντρο μιας σφαίρας που περιβάλλεται γύρω από μια κανονική πυραμίδα βρίσκεται σε μια ευθεία γραμμή που περιέχει το ύψος της πυραμίδας.

3) Το κέντρο μιας μπάλας που περιβάλλεται γύρω από μια κανονική πυραμίδα συμπίπτει με το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ισοσκελές τρίγωνο, η πλευρά του οποίου είναι το πλευρικό άκρο της πυραμίδας και το ύψος είναι το ύψος της πυραμίδας. Η ακτίνα της σφαίρας είναι ίση με την ακτίνα αυτού του κύκλου.

Σημειώστε ότι το κέντρο της περιγραφόμενης μπάλας μπορεί να ανήκει στο ύψος της πυραμίδας ή να βρίσκεται στη συνέχειά της (δηλαδή να βρίσκεται είτε μέσα στην πυραμίδα είτε έξω από αυτήν). Κατά την επίλυση προβλημάτων με τον τρόπο που προτείνεται παρακάτω, δεν χρειάζεται να ληφθούν υπόψη δύο περιπτώσεις. Με την επιλεγμένη μέθοδο αποδέσμευσης, η θέση του κέντρου της μπάλας (μέσα ή έξω από την πυραμίδα) δεν λαμβάνεται υπόψη.

Παράδειγμα 2. Να αποδείξετε ότι η ακτίνα της μπάλας R , περιγράφεται γύρω από το σωστόοι πυραμίδες μπορούν να βρεθούν από τον τύποόπου H είναι το ύψος της πυραμίδας, r - την ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από τη βάση της πυραμίδας.

Λύσεις. 1) Έστω το σημείο O το κέντρο της μπάλας που περιγράφεται σωστά: πυραμίδες με ύψος Q K (Εικ. 512). Με συνθήκη Q K = I, KA = r - την ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται γύρω από τη βάση.

2) Συνεχίστε Q στη δεύτερη διασταύρωση με τη σφαίρα στο σημείο Q1. Τότε QQ 1 = 2 R - διάμετρος κύκλου, έτσι Q A Q 1 = 90° και QQ 1 - υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου Q A Q 1 .

4) Με την ιδιότητα του σκέλους ορθογωνίου τριγώνου μέσα∆ Q A Q 1 παίρνουμε A Q 2 = QQ 1 ∙ Q K, δηλ. A Q 2 \u003d 2 R ∙ H.

5) Άρα, A Q 2 \u003d H 2 + g 2 και A Q 2 \u003d 2 R H. Ως εκ τούτου H 2 + r 2 \u003d 2 R H; R \u003d (r 2 + H 2) / 2 H , που έπρεπε να αποδειχτεί.

Πολύεδρα εγγεγραμμένα σε σφαίρα Ένα κυρτό πολύεδρο λέγεται ότι εγγράφεται αν όλες οι κορυφές του βρίσκονται σε κάποια σφαίρα. Αυτή η σφαίρα ονομάζεται περιγεγραμμένη για το δεδομένο πολύεδρο. Το κέντρο αυτής της σφαίρας βρίσκεται σε ίση απόσταση από τις κορυφές του πολύεδρου. Είναι το σημείο τομής των επιπέδων, καθένα από τα οποία διέρχεται από το μέσο του κάθετου σε αυτό άκρου του πολυέδρου.

Ο τύπος για την εύρεση της ακτίνας της περιγεγραμμένης σφαίρας Έστω SABC μια πυραμίδα με ίσες πλευρικές ακμές, h είναι το ύψος της, R είναι η ακτίνα του κύκλου που περιβάλλεται κοντά στη βάση. Βρείτε την ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας. Σημειώστε την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων SKO1 και SAO. Τότε SO 1 /SA = KS/SO; R 1 \u003d KS SA / SO Αλλά KS \u003d SA / 2. Τότε R1 = SA 2 /(2SO); R1 \u003d (h 2 + R 2) / (2h); R 1 = b 2 /(2h), όπου b είναι η πλευρική ακμή.

Παραλληλεπίπεδο εγγεγραμμένο σε μπάλα .

Εργασία 1 Να βρείτε την ακτίνα μιας σφαίρας που περιβάλλεται από ένα κανονικό τετράεδρο με ακμή α. Λύση: SO 1 = SA 2 /(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 / (2 a) = a / 4. Απάντηση: SO 1 = a / 4. Προκαταρκτικά, κατασκευάζουμε στην εικόνα του κανονικού τετραέδρου SABC την εικόνα του κέντρου της περιγραφόμενης μπάλας. Ας σχεδιάσουμε τα αποθέματα SD και AD (SD = AD). Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ASD, κάθε σημείο του διάμεσου DN έχει ίση απόσταση από τα άκρα του τμήματος AS. Επομένως, το σημείο O 1 είναι η τομή του υψομέτρου SO και του τμήματος DN. Χρησιμοποιώντας τον τύπο από το R 1 = b 2 / (2h), παίρνουμε:

Πρόβλημα 2 Λύση: Χρησιμοποιώντας τον τύπο R 1 =b 2 /(2h) για να βρούμε την ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας, βρίσκουμε SC και SO. SC = a/(2sin(α/2)); SO 2 = (a / (2sin(α / 2)) 2 - (a / 2) 2 = = a 2 / (4sin 2 (α / 2)) - 2a 2 / 4 = = a 2 / (4sin 2 ( α / 2)) (1 - 2sin 2 (α / 2)) \u003d \u003d a 2 / (4sin 2 (α / 2)) cos α Σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι a, a επίπεδη γωνίαστην κορυφή ισούται με α. Βρείτε την ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας. R1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) 1/(2a/(2sin(α /2))) =a/(4sin(α /2)). Απάντηση: R 1 = a/(4sin(α /2) ).

Πολύεδρα περιγεγραμμένα κοντά σε σφαίρα Ένα κυρτό πολύεδρο λέγεται ότι περιγράφεται εάν όλες οι όψεις του αγγίζουν κάποια σφαίρα. Αυτή η σφαίρα ονομάζεται εγγεγραμμένη για το δεδομένο πολύεδρο. Το κέντρο μιας εγγεγραμμένης σφαίρας βρίσκεται σε ίση απόσταση από όλες τις όψεις του πολυέδρου.

Η θέση του κέντρου της εγγεγραμμένης σφαίρας Η έννοια του επιπέδου διχοτόμου της διεδρικής γωνίας. Το επίπεδο διχοτόμου είναι ένα επίπεδο που διαιρεί μια διεδρική γωνία σε δύο ίσες διεδρικές γωνίες. Κάθε σημείο αυτού του επιπέδου έχει ίση απόσταση από τις όψεις της διεδρικής γωνίας. Στη γενική περίπτωση, το κέντρο μιας σφαίρας εγγεγραμμένης σε ένα πολύεδρο είναι το σημείο τομής των επιπέδων διχοτόμων όλων των διεδρικών γωνιών του πολυέδρου. Βρίσκεται πάντα μέσα στο πολύεδρο.

Πυραμίδα περιγεγραμμένη κοντά σε μπάλα Μια μπάλα ονομάζεται εγγεγραμμένη σε μια (αυθαίρετη) πυραμίδα εάν αγγίζει όλες τις όψεις της πυραμίδας (τόσο στην πλευρά όσο και στη βάση). Θεώρημα: Εάν οι πλευρικές όψεις είναι εξίσου κεκλιμένες προς τη βάση, τότε μια μπάλα μπορεί να εγγραφεί σε μια τέτοια πυραμίδα. Δεδομένου ότι οι δίεδρες γωνίες στη βάση είναι ίσες, τα μισά τους είναι επίσης ίσα διχοτόμοι που τέμνονται σε ένα σημείο στο ύψος της πυραμίδας. Αυτό το σημείο ανήκει σε όλα τα επίπεδα διχοτόμου στη βάση της πυραμίδας και απέχει ίση από όλες τις όψεις της πυραμίδας - το κέντρο της εγγεγραμμένης μπάλας.

Τύπος για την εύρεση της ακτίνας μιας εγγεγραμμένης σφαίρας Έστω η SABC μια πυραμίδα με ίσες πλευρικές ακμές, h είναι το ύψος της, r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Βρείτε την ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας. Έστω SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Τότε, με την ιδιότητα της διχοτόμου της εσωτερικής γωνίας του τριγώνου, O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h - r 1) / ; r 1 = rh - rr 1 ; r 1 (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Απάντηση: r 1 = rh/(+ r).

Παραλληλεπίπεδο και κύβος που περιγράφονται κοντά στη σφαίρα Θεώρημα: Μια σφαίρα μπορεί να εγγραφεί σε ένα παραλληλεπίπεδο εάν και μόνο εάν το παραλληλεπίπεδο είναι ευθεία γραμμή και η βάση του είναι ρόμβος και το ύψος αυτού του ρόμβου είναι η διάμετρος της εγγεγραμμένης σφαίρας, η οποία με τη σειρά του, είναι ίσο με το ύψος του παραλληλεπίπεδου. (Από όλα τα παραλληλόγραμμα, μόνο ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ρόμβο) Θεώρημα: Μια σφαίρα μπορεί πάντα να εγγραφεί σε έναν κύβο. Το κέντρο αυτής της σφαίρας είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του κύβου και η ακτίνα είναι ίση με το ήμισυ του μήκους της άκρης του κύβου.

Συνδυασμοί σχημάτων Εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πρίσματα Ένα πρίσμα που περιγράφεται κοντά σε έναν κύλινδρο είναι ένα πρίσμα του οποίου τα επίπεδα βάσης είναι τα επίπεδα των βάσεων του κυλίνδρου και οι πλευρικές όψεις αγγίζουν τον κύλινδρο. Ένα πρίσμα εγγεγραμμένο σε έναν κύλινδρο είναι ένα πρίσμα στο οποίο τα επίπεδα των βάσεων είναι τα επίπεδα των βάσεων του κυλίνδρου και οι πλευρικές ακμές είναι οι γεννήτριες του κυλίνδρου. Το επίπεδο που εφάπτεται στον κύλινδρο είναι το επίπεδο που διέρχεται από τη γεννήτρια του κυλίνδρου και κάθετο στο επίπεδοαξονικό τμήμα που περιέχει αυτή τη γεννήτρια.

Εγγεγραμμένες και περιγεγραμμένες πυραμίδες Μια πυραμίδα εγγεγραμμένη σε κώνο είναι μια πυραμίδα της οποίας η βάση είναι ένα πολύγωνο εγγεγραμμένο στον κύκλο της βάσης του κώνου και της οποίας η κορυφή είναι η κορυφή του κώνου. Οι πλευρικές ακμές μιας πυραμίδας εγγεγραμμένες σε κώνο είναι γεννήτριες κώνων. Μια πυραμίδα που περιβάλλεται κοντά σε έναν κώνο είναι μια πυραμίδα της οποίας η βάση είναι ένα πολύγωνο που περιβάλλεται κοντά στη βάση του κώνου και της οποίας η κορυφή συμπίπτει με την κορυφή του κώνου. Τα επίπεδα των πλευρικών όψεων της περιγεγραμμένης πυραμίδας είναι τα εφαπτόμενα επίπεδα του κώνου. Το εφαπτόμενο επίπεδο στον κώνο είναι ένα επίπεδο που διέρχεται από τη γεννήτρια και είναι κάθετο στο επίπεδο της αξονικής τομής που περιέχει αυτή τη γεννήτρια.

Άλλοι τύποι διαμορφώσεων Ένας κύλινδρος εγγράφεται σε μια πυραμίδα εάν η περιφέρεια μιας από τις βάσεις του αγγίζει όλες τις πλευρικές όψεις της πυραμίδας και η άλλη βάση του βρίσκεται στη βάση της πυραμίδας. Ένας κώνος εγγράφεται σε ένα πρίσμα εάν η κορυφή του βρίσκεται στην επάνω βάση του πρίσματος και η βάση του είναι ένας κύκλος εγγεγραμμένος σε ένα πολύγωνο - κάτω βάσηπρίσματα. Ένα πρίσμα εγγράφεται σε έναν κώνο εάν όλες οι κορυφές της άνω βάσης του πρίσματος βρίσκονται στην πλευρική επιφάνεια του κώνου και η κάτω βάση του πρίσματος βρίσκεται στη βάση του κώνου.

Πρόβλημα 1 Σε μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα, η πλευρά της βάσης είναι ίση με a και η επίπεδη γωνία στην κορυφή είναι ίση με α. Βρείτε την ακτίνα της σφαίρας που είναι εγγεγραμμένη στην πυραμίδα. Λύση: Εκφράζουμε τις πλευρές του ΣΟΚ σε α και α. ΟΚ = α/2. SK = KC ctg(α /2); SK = (a ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Χρησιμοποιώντας τον τύπο r 1 = rh/(+ r), βρίσκουμε την ακτίνα της εγγεγραμμένης μπάλας: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) (a/2) /((a/2) ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1 ) = (a/2)= = (a/2) Απάντηση: r 1 = (a/2)

Συμπέρασμα Το θέμα "Πολύεδρα" μελετάται από τους μαθητές της 10ης και 11ης τάξης, αλλά υπάρχει πολύ λίγο υλικό στο πρόγραμμα σπουδών για το θέμα "Εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύεδρα", αν και έχει μεγάλο ενδιαφέρον για τους μαθητές, καθώς η μελέτη των ιδιοτήτων των πολύεδρων συμβάλλει στην ανάπτυξη της αφηρημένης και λογικής σκέψης, η οποία αργότερα θα μας φανεί χρήσιμη στη μελέτη, την εργασία, τη ζωή. Δουλεύοντας σε αυτό το δοκίμιο, μελετήσαμε όλο το θεωρητικό υλικό για το θέμα "Εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα πολύεδρα", εξετάσαμε πιθανούς συνδυασμούς μορφών και μάθαμε πώς να εφαρμόζουμε όλο το μελετημένο υλικό στην πράξη. Εργασίες για συνδυασμό σωμάτων είναι η πιο δύσκολη ερώτηση του μαθήματος στερεομετρίας της 11ης τάξης. Τώρα όμως μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι δεν θα έχουμε προβλήματα στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων, αφού στην πορεία μας ερευνητικό έργοέχουμε καθιερώσει και αποδείξει τις ιδιότητες των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων πολύεδρων. Πολύ συχνά, οι μαθητές δυσκολεύονται να κατασκευάσουν ένα σχέδιο για μια εργασία σε ένα δεδομένο θέμα. Αλλά, έχοντας μάθει ότι για την επίλυση προβλημάτων στο συνδυασμό μιας μπάλας με ένα πολύεδρο, η εικόνα της μπάλας είναι περιττή και αρκεί να υποδείξουμε το κέντρο και την ακτίνα της, μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι δεν θα έχουμε αυτές τις δυσκολίες. Χάρη σε αυτό το δοκίμιο, μπορέσαμε να κατανοήσουμε αυτό το δύσκολο, αλλά πολύ συναρπαστικό θέμα. Ελπίζουμε ότι τώρα δεν θα έχουμε δυσκολίες στην εφαρμογή του μελετημένου υλικού στην πράξη.

Πολύεδρα εγγεγραμμένα σε σφαίρα. Βασικοί ορισμοί και θεωρήματα. Ορισμός. Μια σφαίρα λέγεται ότι περιβάλλεται κοντά σε ένα πολύεδρο (ή ένα πολύεδρο εγγεγραμμένο σε μια σφαίρα) εάν όλες οι κορυφές του πολύεδρου βρίσκονται σε αυτή τη σφαίρα.

Διαφάνεια 8από την παρουσίαση ""Προβλήματα στη γεωμετρία" τάξη 11". Το μέγεθος του αρχείου με την παρουσίαση είναι 1032 KB.

Γεωμετρία τάξη 11

περίληψηάλλες παρουσιάσεις

"Όγκοι γεωμετρικών σωμάτων" - Όγκοι πολύεδρων. Η έννοια του όγκου. όγκος της πυραμίδας. Κώνος σε πακέτο. Ο όγκος ενός ευθύγραμμου πρίσματος. Απάντηση. Οι επιστήμες τείνουν προς τα μαθηματικά. Επιτυχία στην εκμάθηση του υλικού. Ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου. Σχέδια και σχέδια. Ο όγκος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας. Ιδιότητες περιοχής. Τετράγωνο. Η άκρη ενός κύβου. Η έννοια του όγκου των σωμάτων. Τετράγωνο. Όγκος κυλίνδρου. Κώνος. Πολύγωνο. Γεωμετρικά σχήματα. Τρεις ορειχάλκινοι κύβοι.

"Διανύσματα στο διάστημα" - Διανυσματικές συντεταγμένες. Διαφορές. Διανύσματα στο διάστημα. Διαφορά δύο διανυσμάτων. Πολλαπλασιασμός δύο διανυσμάτων. Δράσεις με διανύσματα. Ο μόνος φορέας. Ικανότητα ανάληψης δράσης. κανόνας πολυγώνου. Διανύσματα συμφώνων. Ορισμός φορέα. Δράση με διανύσματα. Τα διανύσματα είναι μη ομοεπίπεδα. Λύση.

"Γεωμετρικά προβλήματα στην εξέταση" - Η επιφάνεια του πολυεδρικού. Βρείτε την εφαπτομένη της εξωτερικής γωνίας. Συμμετείχε στη δημιουργία της παρουσίασης. Επιλογές εργασιών. Εμβαδόν τριγώνου. Η περιοχή του τραπεζοειδούς. Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου. Το εμβαδόν τμήματος κύκλου. Βασικό υλικό αναφοράς. Πλανομετρία. Τυπικά λάθη. Βασικές αρχές της γεωμετρίας. προφορικές ασκήσεις. Πιθανές εργασίες. Μάθετε πώς να ενεργείτε με γεωμετρικά σχήματα. Βρείτε τον όγκο του πολυέδρου.

"Υπολογίστε τον όγκο ενός σώματος της επανάστασης" - Κώνος. Βρείτε τον τόμο. Μπάλα. Κύλινδρος και κώνος. Κύλινδρος. Όγκος κώνου. Σφαίρα. Τύποι σωμάτων της επανάστασης. Εικόνα. Ο όγκος του κώνου V. Ορισμός κώνου. Κυλινδρικό δοχείο. Ορισμός κυλίνδρου. Κύλινδροι γύρω μας. Τόμοι των φορέων της επανάστασης. κύβος. Radii.

«Συντεταγμένες ενός διανύσματος στο χώρο» - Σχολικό βιβλίο. Λύση. Απόλυτη τιμή. Άθροισμα διανυσμάτων. Διαφορά διανυσμάτων. Γενική εκκίνηση. Συντεταγμένη. Σχέδιο. Το μέγεθος και η κατεύθυνση του διανύσματος. Διανυσματικό προϊόν. Μήκος κοπής. Δράσεις σε διανύσματα στο χώρο. Αεροπλάνα. Απόδειξη. Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων. Διανύσματα στο διάστημα.

""Κίνηση" Βαθμός 11" - Συμμετρία στην αρχιτεκτονική. Αξονική συμμετρία. Παράλληλη μεταφορά. Κίνηση. Συμμετρία στα φυτά. Συρόμενη συμμετρία. Συμμετρία στον κόσμο των ζώων. Εισαγωγή. Στροφή. κεντρική συμμετρία. Κίνηση. Συμμετρία καθρέφτη.