μηχανικό σύστημαονομάζεται ένα τέτοιο σύνολο υλικών σημείων ή σωμάτων στο οποίο η θέση ή η κίνηση κάθε σημείου ή σώματος εξαρτάται από τη θέση και την κίνηση όλων των άλλων. Έτσι, για παράδειγμα, όταν μελετάμε την κίνηση της Γης και της Σελήνης σε σχέση με τον Ήλιο, ο συνδυασμός της Γης και της Σελήνης είναι ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από δύο υλικά σημεία· όταν ένα βλήμα σπάει σε θραύσματα, θεωρούμε τα θραύσματα ως ένα μηχανικό σύστημα. Μηχανικό σύστημα είναι οποιοσδήποτε μηχανισμός ή μηχανή.

Εάν οι αποστάσεις μεταξύ των σημείων ενός μηχανικού συστήματος δεν αλλάζουν όταν το σύστημα βρίσκεται σε κίνηση ή ηρεμία, τότε ένα τέτοιο μηχανικό σύστημα ονομάζεται αμετάβλητος.

Η έννοια ενός αμετάβλητου μηχανικού συστήματος καθιστά δυνατή τη μελέτη της αυθαίρετης κίνησης των άκαμπτων σωμάτων στη δυναμική. Στην περίπτωση αυτή, όπως στη στατική και την κινηματική, με τον όρο στερεό σώμα εννοούμε ένα τέτοιο υλικό σώμα, στο οποίο η απόσταση μεταξύ κάθε δύο σημείων δεν αλλάζει όταν το σώμα κινείται ή βρίσκεται σε ηρεμία. Οποιοδήποτε στερεό σώμα μπορεί να χωριστεί διανοητικά σε έναν αρκετά μεγάλο αριθμό επαρκώς μικρών μερών, το σύνολο των οποίων μπορεί να θεωρηθεί περίπου ως ένα μηχανικό σύστημα. Δεδομένου ότι ένα στερεό σώμα σχηματίζει μια συνεχή προέκταση, προκειμένου να καθοριστούν οι ακριβείς (και όχι κατά προσέγγιση) ιδιότητές του, είναι απαραίτητο να γίνει μια οριακή μετάβαση, ένας οριακός κατακερματισμός του σώματος, όταν οι διαστάσεις των θεωρούμενων μερών του σώματος τείνουν ταυτόχρονα στο μηδέν.

Έτσι, η γνώση των νόμων κίνησης των μηχανικών συστημάτων καθιστά δυνατή τη μελέτη των νόμων των αυθαίρετων κινήσεων των στερεών σωμάτων.

Όλες οι δυνάμεις που δρουν στα σημεία ενός μηχανικού συστήματος χωρίζονται σε εξωτερικές και εσωτερικές δυνάμεις.

Οι εξωτερικές δυνάμεις σε σχέση με ένα δεδομένο μηχανικό σύστημα είναι δυνάμεις που δρουν στα σημεία αυτού του συστήματος από υλικά σημεία ή σώματα που δεν περιλαμβάνονται στο σύστημα.Ονομασίες: -εξωτερική δύναμη που εφαρμόζεται στο -ο σημείο. - ο κύριος φορέας των εξωτερικών δυνάμεων. - η κύρια ροπή των εξωτερικών δυνάμεων σε σχέση με τον πόλο.

Οι εσωτερικές δυνάμεις είναι οι δυνάμεις με τις οποίες τα υλικά σημεία ή σώματα που περιλαμβάνονται σε ένα δεδομένο μηχανικό σύστημα δρουν σε σημεία ή σώματα του ίδιου συστήματος.Με άλλα λόγια, οι εσωτερικές δυνάμεις είναι δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ σημείων ή σωμάτων ενός δεδομένου μηχανικού συστήματος. Ονομασίες: - εσωτερική δύναμη που εφαρμόζεται στο -ο σημείο. -διάνυσμα κεφαλής εσωτερικές δυνάμεις; - η κύρια στιγμή των εσωτερικών δυνάμεων σε σχέση με τον πόλο.

3.2 Ιδιότητες των εσωτερικών δυνάμεων.

Πρώτη ιδιοκτησία.Το κύριο διάνυσμα όλων των εσωτερικών δυνάμεων του μηχανικού συστήματος είναι ίσο με μηδέν, δηλ.

. (3.1)

Δεύτερη ιδιοκτησία.Η κύρια ροπή όλων των εσωτερικών δυνάμεων ενός μηχανικού συστήματος σε σχέση με οποιονδήποτε πόλο ή άξονα είναι μηδέν, δηλαδή

, . (3.2)

Εικ.17

Για να αποδείξουμε αυτές τις ιδιότητες, σημειώνουμε ότι, εφόσον οι εσωτερικές δυνάμεις είναι οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης των υλικών σημείων που περιλαμβάνονται στο σύστημα, τότε, σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα, οποιαδήποτε δύο σημεία του συστήματος (Εικ. 17) δρουν μεταξύ τους με δυνάμεις και ίσα σε απόλυτη τιμή και αντίθετα προς.

Έτσι, για κάθε εσωτερική δύναμη υπάρχει μια άμεσα αντίθετη εσωτερική δύναμη και, κατά συνέπεια, οι εσωτερικές δυνάμεις σχηματίζουν ένα ορισμένο σύνολο ζευγών αντίθετων δυνάμεων. Αλλά το γεωμετρικό άθροισμα δύο αντίθετων δυνάμεων είναι μηδέν, άρα

.

Όπως φαίνεται στη στατική, το γεωμετρικό άθροισμα των ροπών δύο αντίθετων δυνάμεων περίπου στον ίδιο πόλο είναι μηδέν.

.

Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα προκύπτει κατά τον υπολογισμό της κύριας ροπής γύρω από τον άξονα

.

3.3 Διαφορικές εξισώσεις κίνησης μηχανικού συστήματος.

Σκεφτείτε ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από υλικά σημεία των οποίων οι μάζες είναι . Για κάθε σημείο, εφαρμόζουμε τη βασική εξίσωση της δυναμικής των σημείων

, ,

, (3.3)

Το de είναι το αποτέλεσμα των εξωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο -ο σημείο και είναι το αποτέλεσμα των εσωτερικών δυνάμεων.

Σύστημα διαφορικές εξισώσεις(3.3) ονομάζεται διαφορικές εξισώσεις κίνησης ενός μηχανικού συστήματος σε διανυσματική μορφή.

Προβάλλοντας τις διανυσματικές εξισώσεις (3.3) σε ορθογώνιους καρτεσιανούς άξονες συντεταγμένων, λαμβάνουμε διαφορικές εξισώσεις κίνησης ενός μηχανικού συστήματος σε μορφή συντεταγμένων:

,

, (3.4)

,

.

Αυτές οι εξισώσεις είναι ένα σύστημα συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης. Επομένως, για να βρεθεί η κίνηση ενός μηχανικού συστήματος σύμφωνα με δεδομένες δυνάμεις και αρχικές συνθήκες για κάθε σημείο αυτού του συστήματος, είναι απαραίτητο να ενσωματωθεί ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Η ολοκλήρωση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων (3.4), σε γενικές γραμμές, συνεπάγεται σημαντικές, συχνά ανυπέρβλητες μαθηματικές δυσκολίες. Ωστόσο, σε θεωρητική μηχανικήέχουν αναπτυχθεί μέθοδοι που καθιστούν δυνατή την παράκαμψη των κύριων δυσκολιών που προκύπτουν κατά τη χρήση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης ενός μηχανικού συστήματος με τη μορφή (3.3) ή (3.4). Αυτές περιλαμβάνουν μεθόδους που δίνουν γενικά θεωρήματα της δυναμικής ενός μηχανικού συστήματος που καθορίζουν τους νόμους της αλλαγής ορισμένων συνολικών (ολοκληρωτικών) χαρακτηριστικών του συστήματος στο σύνολό του και όχι τους νόμους κίνησης των επιμέρους στοιχείων του. Αυτά είναι τα λεγόμενα μέτρα κίνησης - το κύριο διάνυσμα της ορμής. κύρια στιγμή ορμής. κινητική ενέργεια. Γνωρίζοντας τη φύση της αλλαγής σε αυτές τις ποσότητες, είναι δυνατό να σχηματιστεί μια μερική, και μερικές φορές πλήρης, ιδέα της κίνησης ενός μηχανικού συστήματος.

IV. ΒΑΣΙΚΑ (ΓΕΝΙΚΑ) ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

4.1 Το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας.

4.1.1 Κέντρο μάζας του μηχανικού συστήματος.

Σκεφτείτε ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από υλικά σημεία των οποίων οι μάζες είναι .

Η μάζα του μηχανικού συστήματος,που αποτελείται από υλικά σημεία, θα ονομάσουμε το άθροισμα των μαζών των σημείων του συστήματος:

Ορισμός.Το κέντρο μάζας ενός μηχανικού συστήματος είναι ένα γεωμετρικό σημείο, το διάνυσμα της ακτίνας του οποίου καθορίζεται από τον τύπο:

πού είναι το διάνυσμα ακτίνας του κέντρου μάζας; -ακτίνα-διανύσματα σημείων συστήματος. -τις μάζες τους (Εικ. 18).

; ; . (4.1")

Το κέντρο μάζας δεν είναι υλικό σημείο, αλλά γεωμετρικός. Μπορεί να μην συμπίπτει με οποιοδήποτε υλικό σημείο του μηχανικού συστήματος. Σε ένα ομοιόμορφο πεδίο βαρύτητας, το κέντρο μάζας συμπίπτει με το κέντρο βάρους. Αυτό, ωστόσο, δεν σημαίνει ότι οι έννοιες του κέντρου μάζας και του κέντρου βάρους είναι ίδιες. Η έννοια του κέντρου μάζας είναι εφαρμόσιμη σε οποιαδήποτε μηχανικά συστήματα και η έννοια του κέντρου βάρους ισχύει μόνο για μηχανικά συστήματα που βρίσκονται υπό τη δράση της βαρύτητας (δηλαδή, έλξη προς τη Γη). Έτσι, για παράδειγμα, στην ουράνια μηχανική, όταν εξετάζουμε το πρόβλημα της κίνησης δύο σωμάτων, για παράδειγμα, της Γης και της Σελήνης, μπορεί κανείς να εξετάσει το κέντρο μάζας αυτού του συστήματος, αλλά δεν μπορεί να εξετάσει το κέντρο βάρους.

Έτσι, η έννοια του κέντρου μάζας είναι ευρύτερη από την έννοια του κέντρου βάρους.

4.1.2. Το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας ενός μηχανικού συστήματος.

Θεώρημα. Το κέντρο μάζας ενός μηχανικού συστήματος κινείται ως υλικό σημείο, του οποίου η μάζα είναι ίση με τη μάζα ολόκληρου του συστήματος και στο οποίο ασκούνται όλες οι εξωτερικές δυνάμεις που δρουν στο σύστημα, δηλαδή

. (4.2)

Εδώ είναι ο κύριος φορέας των εξωτερικών δυνάμεων.

Απόδειξη. Σκεφτείτε ένα μηχανικό σύστημα, τα υλικά σημεία του οποίου κινούνται υπό τη δράση εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων. είναι το αποτέλεσμα των εξωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο -ο σημείο και είναι το αποτέλεσμα των εσωτερικών δυνάμεων. Σύμφωνα με την (3.3), η εξίσωση κίνησης του -ου σημείου έχει τη μορφή

, .

Προσθέτοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά αυτών των εξισώσεων, παίρνουμε

.

Εφόσον το κύριο διάνυσμα των εσωτερικών δυνάμεων είναι ίσο με μηδέν (ενότητα 3.2, πρώτη ιδιότητα), τότε

.

Ας μεταμορφώσουμε την αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας. Από τον τύπο (4.1), που καθορίζει το διάνυσμα ακτίνας του κέντρου μάζας, προκύπτει:

.

Παντού παρακάτω, θα υποθέσουμε ότι λαμβάνονται υπόψη μόνο μηχανικά συστήματα σταθερής σύνθεσης, δηλαδή και . Ας πάρουμε τη δεύτερη παράγωγο σε σχέση με το χρόνο και από τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας

Επειδή , - επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος, στη συνέχεια, τελικά,

.

Προβάλλοντας και τα δύο μέρη αυτής της ισότητας του διανύσματος στους άξονες συντεταγμένων, παίρνουμε:

,

, (4.3)

,

όπου , , είναι προβολές δύναμης ;

Προβολές του κύριου διανύσματος εξωτερικών δυνάμεων στους άξονες συντεταγμένων.

Εξισώσεις (4.3) - διαφορικές εξισώσεις κίνησης του κέντρου μάζας ενός μηχανικού συστήματος σε προβολές στους καρτεσιανούς άξονες συντεταγμένων.

Οι εξισώσεις (4.2) και (4.3) υποδηλώνουν ότι Είναι αδύνατο να αλλάξει η φύση της κίνησης του κέντρου μάζας ενός μηχανικού συστήματος μόνο με εσωτερικές δυνάμεις.Οι εσωτερικές δυνάμεις μπορούν να έχουν έμμεση επίδραση στην κίνηση του κέντρου μάζας μόνο μέσω εξωτερικών δυνάμεων. Για παράδειγμα, σε ένα αυτοκίνητο, οι εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται από τον κινητήρα επηρεάζουν την κίνηση του κέντρου μάζας μέσω των δυνάμεων τριβής μεταξύ των τροχών και του δρόμου.

4.1.3. Νόμοι διατήρησης της κίνησης του κέντρου μάζας

(συνέπειες από το θεώρημα).

Τα ακόλουθα συμπεράσματα μπορούν να ληφθούν από το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας.

Συνέπεια 1.Εάν το κύριο διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο σύστημα είναι ίσο με μηδέν, τότε το κέντρο μάζας του βρίσκεται σε ηρεμία ή κινείται ευθύγραμμα και ομοιόμορφα.

Πράγματι, αν το κύριο διάνυσμα των εξωτερικών δυνάμεων , τότε από την εξίσωση (4.2):

Εάν, ειδικότερα, ταχύτητα εκκίνησηςκέντρο μάζας, τότε το κέντρο μάζας βρίσκεται σε ηρεμία. Αν η αρχική ταχύτητα , τότε το κέντρο μάζας κινείται ευθύγραμμα και ομοιόμορφα.

Συνέπεια 2.Εάν η προβολή του κύριου διανύσματος των εξωτερικών δυνάμεων σε οποιονδήποτε σταθερό άξονα είναι ίση με μηδέν, τότε η προβολή της ταχύτητας του κέντρου μάζας του μηχανικού συστήματος σε αυτόν τον άξονα δεν αλλάζει.

Αυτό το συμπέρασμα προκύπτει από τις εξισώσεις (4.3). Ας, για παράδειγμα, τότε

,

από εδώ. Αν την ίδια στιγμή την αρχική στιγμή, τότε:

δηλαδή η προβολή του κέντρου μάζας του μηχανικού συστήματος στον άξονα σε αυτή την περίπτωση δεν θα κινείται κατά μήκος του άξονα. Αν , τότε η προβολή του κέντρου μάζας στον άξονα κινείται ομοιόμορφα.

4.2 Η ορμή ενός σημείου και συστήματος.

Θεώρημα για την αλλαγή της ορμής.

4.2.1. Το μέγεθος της κίνησης του σημείου και του συστήματος.

Ορισμός.Η ορμή ενός υλικού σημείου είναι ένα διάνυσμα ίσο με το γινόμενο της μάζας του σημείου και της ταχύτητάς του, δηλαδή

. (4.5)

Διάνυσμα συγγραμμική προς το διάνυσμα και κατευθυνόμενη εφαπτομενικά στην τροχιά του υλικού σημείου (Εικ. 19).

Η ορμή ενός σημείου στη φυσική ονομάζεται συχνά ορμή ενός υλικού σημείου.

Η μονάδα ορμής είναι σε SI-kg m/s ή N s.

Ορισμός.Η ορμή ενός μηχανικού συστήματος ονομάζεται διάνυσμα ίσο με το διανυσματικό άθροισμα των αριθμών των κινήσεων (το κύριο διάνυσμα των αριθμών των κινήσεων) των επιμέρους σημείων που περιλαμβάνονται στο σύστημα, δηλαδή

(4.6)

Προβολές ορμής σε ορθογώνιους καρτεσιανούς άξονες συντεταγμένων:

Διάνυσμα ορμής συστήματος Σε αντίθεση με το διάνυσμα ορμής, ένα σημείο δεν έχει σημείο εφαρμογής. Το διάνυσμα ορμής ενός σημείου εφαρμόζεται στο ίδιο το κινούμενο σημείο και στο διάνυσμα είναι ένα ελεύθερο διάνυσμα.

Λήμμα ορμής.Η ορμή ενός μηχανικού συστήματος είναι ίση με τη μάζα ολόκληρου του συστήματος πολλαπλασιαζόμενη με την ταχύτητα του κέντρου μάζας του, δηλ.

Απόδειξη. Από τον τύπο (4.1), που καθορίζει το διάνυσμα ακτίνας του κέντρου μάζας, προκύπτει:

.

Πάρτε τη χρονική παράγωγο και των δύο πλευρών

, ή .

Από εδώ παίρνουμε , που έπρεπε να αποδειχτεί.

Από τον τύπο (4.8) φαίνεται ότι εάν το σώμα κινείται με τέτοιο τρόπο ώστε το κέντρο μάζας του να παραμένει ακίνητο, τότε η ορμή του σώματος είναι μηδέν. Για παράδειγμα, η ορμή ενός σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του (Εικ. 20),

, επειδή

Εάν η κίνηση του σώματος είναι επίπεδο-παράλληλη, τότε το μέγεθος της κίνησης δεν θα χαρακτηρίζει το περιστροφικό τμήμα της κίνησης γύρω από το κέντρο μάζας. Για παράδειγμα, για έναν τροχό που κυλάει (Εικ. 21), ανεξάρτητα από το πώς περιστρέφεται ο τροχός γύρω από το κέντρο μάζας. Το μέγεθος της κίνησης χαρακτηρίζει μόνο το μεταφορικό μέρος της κίνησης μαζί με το κέντρο μάζας.

4.2.2. Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος

σε διαφορική μορφή.

Θεώρημα.Η χρονική παράγωγος της ορμής ενός μηχανικού συστήματος είναι ίση με το γεωμετρικό άθροισμα (κύριο διάνυσμα) των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν σε αυτό το σύστημα, δηλ.

. (4.9)

Απόδειξη. Σκεφτείτε ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από υλικά σημεία των οποίων οι μάζες είναι ? είναι το αποτέλεσμα των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο i-ο σημείο. Σύμφωνα με το λήμμα ορμής, τύπος (4.8):

Πάρτε τη χρονική παράγωγο και των δύο πλευρών αυτής της ισότητας

.

Το δεξί μέρος αυτής της ισότητας από το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου είναι ο τύπος μάζας (4.2):

.

Τελικά:

και το θεώρημα αποδεικνύεται .

Σε προβολές σε ορθογώνιους καρτεσιανούς άξονες συντεταγμένων:

; ; , (4.10)

αυτό είναι η χρονική παράγωγος της προβολής της ορμής ενός μηχανικού συστήματος σε οποιονδήποτε άξονα συντεταγμένων είναι ίση με το άθροισμα των προβολών (προβολών του κύριου διανύσματος) όλων των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος στον ίδιο άξονα.

4.2.3. Νόμοι διατήρησης της ορμής

(συνέπειες από το θεώρημα)

Συμπέρασμα 1.Αν το κύριο διάνυσμα όλων των εξωτερικών δυνάμεων ενός μηχανικού συστήματος είναι ίσο με μηδέν, τότε η ορμή του συστήματος είναι σταθερή ως προς το μέγεθος και την κατεύθυνση.

Πράγματι, αν , τότε από το θεώρημα μεταβολής της ορμής, δηλ. από την ισότητα (4.9), προκύπτει ότι

Συνέπεια 2.Εάν η προβολή του κύριου διανύσματος όλων των εξωτερικών δυνάμεων ενός μηχανικού συστήματος σε έναν συγκεκριμένο σταθερό άξονα είναι ίση με μηδέν, τότε η προβολή της ορμής του συστήματος σε αυτόν τον άξονα παραμένει σταθερή.

Έστω η προβολή του κύριου διανύσματος όλων των εξωτερικών δυνάμεων στον άξονα ίση με μηδέν: . Τότε από την πρώτη ισοπαλία (4.10):

4.2.4. Θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος

σε ενιαία μορφή.

Μια στοιχειώδης ώθηση δύναμηςονομάζεται διανυσματική ποσότητα ίση με το γινόμενο του διανύσματος δύναμης κατά ένα στοιχειώδες χρονικό διάστημα

. (4.11)

Η κατεύθυνση της στοιχειώδους ώθησης συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος δύναμης.

Παρόρμηση δύναμης σε μια πεπερασμένη χρονική περίοδοισούται με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα της στοιχειώδους ορμής

. (4.12)

Εάν η δύναμη είναι σταθερή σε μέγεθος και κατεύθυνση (), τότε η ορμή της με την πάροδο του χρόνου ισούται με:

Προβολές της ώθησης δύναμης στους άξονες συντεταγμένων:

Ας αποδείξουμε το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος σε ολοκληρωμένη μορφή.

Θεώρημα.Η μεταβολή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος σε μια ορισμένη χρονική περίοδο είναι ίση με το γεωμετρικό άθροισμα των παλμών των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος κατά την ίδια χρονική περίοδο, δηλ.

(4.14)

Απόδειξη. Έστω τη στιγμή του χρόνου το μέγεθος της κίνησης του μηχανικού συστήματος , και τη στιγμή του χρόνου - ; είναι η ορμή της εξωτερικής δύναμης που ενεργεί στο οο χρονικό σημείο .

Χρησιμοποιούμε το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής σε διαφορική μορφή - ισότητα (4.9):

.

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη αυτής της ισότητας με και ενσωματώνοντας εντός των ορίων από έως , παίρνουμε

, , .

Το θεώρημα για τη μεταβολή της ορμής σε ακέραια μορφή είναι αποδεδειγμένο.

Στις προβολές στους άξονες συντεταγμένων, σύμφωνα με το (4.14):

,

, (4.15)

.

4.3. Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ροπής.

4.3.1. Κινητική ροπή σημείου και συστήματος.

Στη στατική, οι έννοιες των ροπών δύναμης σε σχέση με τον πόλο και τον άξονα εισήχθησαν και χρησιμοποιήθηκαν ευρέως. Εφόσον η ορμή ενός υλικού σημείου είναι διάνυσμα, είναι δυνατό να προσδιοριστούν οι ροπές του σε σχέση με τον πόλο και τον άξονα με τον ίδιο τρόπο που προσδιορίζονται οι ροπές δύναμης.

Ορισμός. σε σχέση με τον πόλο ονομάζεται ροπή του διανύσματος ορμής του σε σχέση με τον ίδιο πόλο, δηλ.

. (4.16)

Η γωνιακή ορμή ενός υλικού σημείου σε σχέση με τον πόλο είναι ένα διάνυσμα (Εικ. 22) που κατευθύνεται κάθετα στο επίπεδο που περιέχει το διάνυσμα και τον πόλο προς την κατεύθυνση από την οποία το διάνυσμα είναι σε σχέση με τον πόλο παρατηρείται αριστερόστροφη περιστροφή. Διανυσματικό μέτρο

ίσο με το γινόμενο της μονάδας και του βραχίονα - το μήκος της κάθετης που έπεσε από τον πόλο στη γραμμή δράσης του διανύσματος:

Η ορμή σε σχέση με τον πόλο μπορεί να αναπαρασταθεί ως διανυσματικό γινόμενο: η κινητική ροπή ενός υλικού σημείου σε σχέση με τον πόλο είναι ίση με το διανυσματικό γινόμενο της ακτίνας του διανύσματος που σύρεται από τον πόλο στο σημείο από το διάνυσμα της ορμής:

(4.17)

Ορισμός.Η κινητική ροπή ενός υλικού σημείουσχετικά άξονας ονομάζεται η ροπή του διανύσματος ορμής του σε σχέση με τον ίδιο άξονα, δηλ.

. (4.18)

Η γωνιακή ορμή ενός υλικού σημείου γύρω από τον άξονα (Εικ. 23) είναι ίσο με το γινόμενο της διανυσματικής προβολής στο επίπεδο που είναι κάθετο στον άξονα, λαμβανόμενο με πρόσημο συν ή πλην , στον ώμο αυτής της προβολής:

όπου ο ώμος είναι το μήκος της καθέτου που έπεσε από το σημείο διασταύρωση άξονα με το επίπεδο στη γραμμή δράσης της προβολής, ενώ, αν, κοιτάζοντας προς τον άξονα , μπορείτε να δείτε την προβολή για το σημείο αριστερόστροφη κατεύθυνση και διαφορετικά.

Η μονάδα της γωνιακής ορμής είναι σε SI-kg m 2 /s, ή N m s.

Ορισμός.Η γωνιακή ορμή ή η κύρια ροπή ορμής ενός μηχανικού συστήματος σε σχέση με έναν πόλο είναι ένα διάνυσμα ίσο με το γεωμετρικό άθροισμα της γωνιακής ορμής όλων των υλικών σημείων του συστήματος σε σχέση με αυτόν τον πόλο:

. (4.19)

Ορισμός.Η γωνιακή ορμή ή η κύρια ροπή της ορμής ενός μηχανικού συστήματος σε σχέση με έναν άξονα είναι το αλγεβρικό άθροισμα των κινητικών ροπών όλων των υλικών σημείων του συστήματος σε σχέση με αυτόν τον άξονα:

. (4.20)

Οι κινητικές ροπές του μηχανικού συστήματος σε σχέση με τον πόλο και τον άξονα που διέρχεται από αυτόν τον πόλο συνδέονται με την ίδια εξάρτηση με τις κύριες ροπές του συστήματος δυνάμεων σε σχέση με τον πόλο και τον άξονα:

-προβολή της κινητικής ροπής του μηχανικού συστήματος σε σχέση με τον πόλο πάνω στον άξονα ,που διέρχεται από αυτόν τον πόλο ισούται με τη γωνιακή ορμή του συστήματος γύρω από αυτόν τον άξονα, δηλ.

. (4.21)

4.3.2. Θεωρήματα για τη μεταβολή της κινητικής ροπής ενός μηχανικού συστήματος.

Σκεφτείτε ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από υλικά σημεία των οποίων οι μάζες είναι . Ας αποδείξουμε ένα θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ροπής ενός μηχανικού συστήματος ως προς τον πόλο.

Θεώρημα.Η χρονική παράγωγος της γωνιακής ορμής ενός μηχανικού συστήματος ως προς έναν σταθερό πόλο είναι ίση με την κύρια ροπή των εξωτερικών δυνάμεων του συστήματος ως προς τον ίδιο πόλο, δηλ.

. (4.22)

Απόδειξη. Επιλέγουμε κάποιο σταθερό πόλο . Η γωνιακή ορμή ενός μηχανικού συστήματος σε σχέση με αυτόν τον πόλο είναι, εξ ορισμού, ισότητα (4.19):

.

Ας διαφοροποιήσουμε αυτή την έκφραση σε σχέση με το χρόνο:

Εξετάστε τη δεξιά πλευρά αυτής της έκφρασης. Υπολογισμός της παραγώγου του προϊόντος:

, (4.24)

Εδώ λαμβάνεται υπόψη ότι . Διανύσματα και έχουν την ίδια κατεύθυνση, τους διανυσματικό προϊόνισούται με μηδέν, εξ ου και το πρώτο άθροισμα στην ισότητα (4.24).

Εξωτερικές δυνάμειςείναι οι δυνάμεις που δρουν στο σώμα από έξω. Υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων, το σώμα είτε αρχίζει να κινείται αν βρισκόταν σε ηρεμία, είτε αλλάζει η ταχύτητα της κίνησής του ή η κατεύθυνση της κίνησης. Οι εξωτερικές δυνάμεις στις περισσότερες περιπτώσεις εξισορροπούνται από άλλες δυνάμεις και η επιρροή τους είναι ανεπαίσθητη.

Οι εξωτερικές δυνάμεις, που δρουν σε ένα στερεό σώμα, προκαλούν αλλαγές στο σχήμα του, που προκαλούνται από την κίνηση των σωματιδίων.

Εξωτερικές δυνάμεις:

- βαρύτητα - είναι η δύναμη που δρα στο σώμα στο πεδίο της βαρύτητας. Στην επιφάνεια της γης, η δύναμη της βαρύτητας είναι ίση με τη μάζα του σώματος. Κατευθυνόμενος πάντα κάθετα προς τα κάτω, κάθετα στον ορίζοντα. Το σημείο εφαρμογής είναι το γενικό κέντρο βάρους του σώματος.

-δύναμη αντίδρασης υποστήριξης είναι η δύναμη που ασκείται στο σώμα από την πλευρά του στηρίγματος όταν ασκείται πίεση σε αυτό.

-δύναμη τριβής - αυτή είναι η δύναμη που εμφανίζεται κατά την επαφή μεταξύ των σωμάτων και όταν το σώμα κινείται.

-δύναμη περιβαλλοντικής αντίστασης- η δύναμη που εμφανίζεται όταν ένα σώμα κινείται σε περιβάλλον αέρα ή νερού.

-δύναμη αδράνειας - η δύναμη που προκύπτει από την κίνηση του σώματος με επιτάχυνση.

εσωτερικές δυνάμειςείναι οι δυνάμεις που δρουν μεταξύ των σωματιδίων, αυτές οι δυνάμεις αντιστέκονται στην αλλαγή του σχήματος.

Οι εσωτερικές δυνάμεις χωρίζονται σε ενεργητική και παθητική.

Οι ενεργές δυνάμεις περιλαμβάνουν τη δύναμη της συστολής των σκελετικών μυών.

Η μυϊκή δύναμη καθορίζεται από:

φυσιολογική διάμετρος,

Περιοχή καταγωγής και προσάρτησης,

Ο τύπος του μοχλού στον οποίο γίνεται η κίνηση.

Οι παθητικές περιλαμβάνουν: τη δύναμη της ελαστικής έλξης των μαλακών ιστών, τη δύναμη αντίστασης των χόνδρων, των οστών, τη δύναμη της μοριακής συνοχής του αρθρικού υγρού.

Η έννοια του γενικού κέντρου βάρους του σώματος και της περιοχής στήριξης. Το νόημά τους.

Το GCC αποτελείται από τα κέντρα βάρους των επιμέρους συνδέσμων του σώματος, και μερικά κέντρα βάρους.Έχει σημαντικό ρόλο στην επίλυση προβλημάτων της μηχανικής της κίνησης.Είναι ένας από τους δείκτες της σωματικής διάπλασης.

Περιοχή υποστήριξης- η περιοχή που περικλείεται μεταξύ των εξωτερικών ορίων του δεξιού και του αριστερού ποδιού Το μέγεθος της περιοχής στήριξης ποικίλλει ανάλογα με τη θέση του σώματος.

Τύποι ισορροπίας του σώματος. Ο βαθμός σταθερότητας του σώματος, ο ορισμός και η σημασία του.

Υπάρχουν τρεις τύποι: σταθερό (όταν διαταράσσεται το BCT του σώματος, ανεβαίνει - κρέμεται στην εγκάρσια ράβδο), ασταθές (το BCT μειώνεται), αδιάφορο (το BCT είναι συνεχώς).

Ο βαθμός σταθερότητας εξαρτάται από το ύψος του BRC και το μέγεθος της περιοχής στήριξης.Όσο μεγαλύτερη είναι η περιοχή στήριξης και όσο χαμηλότερη είναι η CRC, τόσο υψηλότερος είναι ο βαθμός σταθερότητας.

Μια ποσοτική έκφραση είναι η γωνία σταθερότητας. Αυτή είναι η γωνία που σχηματίζεται από την κατακόρυφη δύναμη της βαρύτητας και την εφαπτομένη που τραβιέται στην άκρη του στηρίγματος.

Χαρακτηριστικά των κινήσεων του αθλητή. Είδη κινήσεων. Παραδείγματα.

Στη μηχανική, οι εξωτερικές δυνάμεις σε σχέση με ένα δεδομένο σύστημα υλικών σημείων (δηλαδή, ένα τέτοιο σύνολο υλικών σημείων στο οποίο η κίνηση κάθε σημείου εξαρτάται από τις θέσεις ή τις κινήσεις όλων των άλλων σημείων) είναι εκείνες οι δυνάμεις που αντιπροσωπεύουν τη δράση σε αυτό. σύστημα άλλων σωμάτων (άλλα συστήματα υλικών σημείων), που δεν περιλαμβάνονται από εμάς σε αυτό το σύστημα. Οι εσωτερικές δυνάμεις είναι δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ επιμέρους υλικών σημείων ενός δεδομένου συστήματος. Η διαίρεση των δυνάμεων σε εξωτερικές και εσωτερικές είναι εντελώς υπό όρους: όταν αλλάξει η δεδομένη σύνθεση του συστήματος, ορισμένες δυνάμεις που ήταν προηγουμένως εξωτερικές μπορούν να γίνουν εσωτερικές και το αντίστροφο. Έτσι, για παράδειγμα, όταν εξετάζουμε

οι κινήσεις ενός συστήματος που αποτελείται από τη γη και τη δορυφορική της σελήνη, οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ αυτών των σωμάτων θα είναι εσωτερικές δυνάμεις για αυτό το σύστημα και οι δυνάμεις έλξης του ήλιου, των άλλων πλανητών, των δορυφόρων τους και όλων των αστεριών θα είναι εξωτερικές δυνάμεις σε σχέση με αυτό το σύστημα. Αλλά αν αλλάξετε τη σύνθεση του συστήματος και θεωρήσετε την κίνηση του ήλιου και όλων των πλανητών ως κίνηση ενός κοινού συστήματος, τότε το εξωτερικό. οι δυνάμεις θα είναι μόνο οι δυνάμεις έλξης που ασκούν τα αστέρια. Ωστόσο, οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ των πλανητών, των δορυφόρων τους και του ήλιου γίνονται εσωτερικές δυνάμεις για αυτό το σύστημα. Με τον ίδιο τρόπο, εάν κατά την κίνηση μιας ατμομηχανής ξεχωρίσουμε το έμβολο ενός κυλίνδρου ατμού ως ένα ξεχωριστό σύστημα υλικών σημείων που υπόκειται στην εξέταση μας, τότε η πίεση ατμού στο έμβολο ως προς αυτό θα είναι εξωτερική δύναμη, και η ίδια πίεση ατμού θα είναι μία από τις εσωτερικές δυνάμεις εάν λάβουμε υπόψη την κίνηση ολόκληρης της ατμομηχανής στο σύνολό της. Στην περίπτωση αυτή, οι εξωτερικές δυνάμεις σε σχέση με ολόκληρη την ατμομηχανή, λαμβανόμενες ως ένα σύστημα, θα είναι: η τριβή μεταξύ των σιδηροτροχιών και των τροχών της ατμομηχανής, η βαρύτητα της ατμομηχανής, η αντίδραση των σιδηροτροχιών και η αντίσταση του αέρα. εσωτερικές δυνάμεις θα είναι όλες οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ των τμημάτων της ατμομηχανής, για παράδειγμα. δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ του ατμού και του εμβόλου του κυλίνδρου, μεταξύ του ολισθητήρα και των παραλλήλων του, μεταξύ της μπιέλας και του πείρου του στρόφαλου κ.λπ. Όπως βλέπουμε, ουσιαστικά δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων, ενώ η σχετική διαφορά μεταξύ τους καθορίζεται μόνο ανάλογα με το αν ποιους φορείς συμπεριλαμβάνουμε στο υπό εξέταση σύστημα και ποιους θεωρούμε ότι δεν αποτελούν μέρος του συστήματος. Ωστόσο, η υποδεικνυόμενη σχετική διαφορά δυνάμεων είναι πολύ σημαντική στη μελέτη της κίνησης ενός δεδομένου συστήματος. Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα (για την ισότητα δράσης και αντίδρασης), οι εσωτερικές δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ κάθε δύο υλικών σημείων του συστήματος είναι ίσες σε μέγεθος και κατευθύνονται κατά μήκος της ίδιας ευθείας προς αντίθετες κατευθύνσεις. Χάρη σε αυτό, κατά την επίλυση διαφόρων ερωτημάτων σχετικά με την κίνηση ενός συστήματος υλικών σημείων, είναι δυνατό να αποκλειστούν όλες οι εσωτερικές δυνάμεις από τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος και έτσι να γίνει δυνατή η ίδια η μελέτη της κίνησης ολόκληρου του συστήματος. Αυτή η μέθοδος αποκλεισμού εσωτερικών, στις περισσότερες περιπτώσεις άγνωστων, δυνάμεων δέσμευσης είναι απαραίτητη για την εξαγωγή διάφορων νόμων της μηχανικής του συστήματος.

Απόλυτα ελαστική κρούση- σύγκρουση δύο σωμάτων, ως αποτέλεσμα της οποίας δεν παραμένουν παραμορφώσεις και στα δύο σώματα που συμμετέχουν στη σύγκρουση και ολόκληρη η κινητική ενέργεια των σωμάτων πριν η πρόσκρουση μετά την κρούση μετατραπεί ξανά στην αρχική κινητική ενέργεια (σημειώστε ότι πρόκειται για εξιδανικευμένη υπόθεση).

Για απόλυτα ελαστική κρούση, ικανοποιείται ο νόμος διατήρησης της κινητικής ενέργειας και ο νόμος διατήρησης της ορμής.

Ας υποδηλώσουμε τις ταχύτητες των σφαιρών με μάζες m 1 και m 2 πριν από την πρόσκρουση v 1Και v 2, μετά από κρούση - μέσω v 1"Και v 2"(Εικ. 1). Για μια άμεση κεντρική κρούση, τα διανύσματα ταχύτητας των σφαιρών πριν και μετά την κρούση βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από τα κέντρα τους. Οι προβολές των διανυσμάτων ταχύτητας σε αυτή τη γραμμή είναι ίσες με τις μονάδες της ταχύτητας. Θα λάβουμε υπόψη τις κατευθύνσεις τους με πινακίδες: θα συσχετίσουμε το θετικό με την κίνηση προς τα δεξιά, το αρνητικό - με την κίνηση προς τα αριστερά.

Εικ.1

Σύμφωνα με αυτές τις παραδοχές, οι νόμοι διατήρησης έχουν τη μορφή

(1)

(2)

Έχοντας κάνει τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς στις παραστάσεις (1) και (2), λαμβάνουμε

(3)

(4)

Λύνοντας τις εξισώσεις (3) και (5), βρίσκουμε

(7)

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

1. Πότε v 2=0

(8)
(9)

Ας αναλύσουμε τις εκφράσεις (8) στο (9) για δύο μπάλες διαφορετικής μάζας:

α) m 1 \u003d m 2. Εάν η δεύτερη μπάλα κρεμόταν ακίνητη πριν από την πρόσκρουση ( v 2=0) (Εικ. 2), τότε μετά την πρόσκρουση η πρώτη μπάλα θα σταματήσει ( v 1"=0), και η δεύτερη θα κινηθεί με την ίδια ταχύτητα και προς την ίδια κατεύθυνση που κινήθηκε η πρώτη μπάλα πριν την κρούση ( v 2"=v 1);

Εικ.2

β) m 1 > m 2. Η πρώτη μπάλα συνεχίζει να κινείται προς την ίδια κατεύθυνση όπως πριν από την πρόσκρουση, αλλά με μικρότερη ταχύτητα ( v 1"<v 1). Η ταχύτητα της δεύτερης μπάλας μετά την κρούση είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα της πρώτης μετά την κρούση ( v 2">v 1") (Εικ. 3);

Εικ.3

γ) m 1 v 2"<v 1(Εικ. 4);

Εικ.4

δ) m 2 >>m 1 (για παράδειγμα, σύγκρουση μπάλας με τοίχο). Οι εξισώσεις (8) και (9) υποδηλώνουν ότι v 1"= -v 1; v 2"≈ 2m1 v 2"/m2.

2. Όταν m 1 =m 2 οι παραστάσεις (6) και (7) θα μοιάζουν v 1"= v 2; v 2"= v 1; δηλαδή, μπάλες ίσης μάζας, σαν να λέγαμε, ανταλλάσσουν ταχύτητες.

Απόλυτα ανελαστική κρούση- η σύγκρουση δύο σωμάτων, με αποτέλεσμα τα σώματα να συνδέονται, προχωρώντας περαιτέρω ως ενιαίο σύνολο. Η απολύτως ανελαστική πρόσκρουση μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας μπάλες από πλαστελίνη (πηλό) που κινούνται η μία προς την άλλη (Εικ. 5).

Εικ.5

Αν οι μάζες των σφαιρών είναι m 1 και m 2 , οι ταχύτητες τους πριν από την κρούση v 1Και v 2, στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το νόμο της διατήρησης της ορμής

Οπου v- την ταχύτητα των σφαιρών μετά την κρούση. Επειτα

(15.10)

Στην περίπτωση που οι μπάλες κινούνται η μία προς την άλλη, μαζί θα συνεχίσουν να κινούνται προς την κατεύθυνση προς την οποία κινήθηκε η μπάλα με μεγάλη ορμή. Σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, εάν οι μάζες των σφαιρών είναι ίσες (m 1 \u003d m 2), τότε

Ας προσδιορίσουμε πώς αλλάζει η κινητική ενέργεια των σφαιρών κατά τη διάρκεια μιας κεντρικής απολύτως ανελαστικής κρούσης. Δεδομένου ότι στη διαδικασία της σύγκρουσης των σφαιρών μεταξύ τους υπάρχουν δυνάμεις που εξαρτώνται από τις ταχύτητες τους και όχι από τις ίδιες τις παραμορφώσεις, έχουμε να κάνουμε με δυνάμεις διάχυσης παρόμοιες με τις δυνάμεις τριβής, οπότε ο νόμος διατήρησης της μηχανικής ενέργειας σε αυτή την περίπτωση δεν πρέπει να να παρατηρηθεί. Λόγω της παραμόρφωσης, παρατηρείται μείωση της κινητικής ενέργειας, η οποία μετατρέπεται σε θερμική ή άλλες μορφές ενέργειας. Αυτή η μείωση μπορεί να προσδιοριστεί από τη διαφορά στην κινητική ενέργεια των σωμάτων πριν και μετά την κρούση:

Χρησιμοποιώντας το (10), παίρνουμε

Αν το σώμα που χτυπήθηκε ήταν αρχικά ακίνητο (ν 2 =0), τότε

Όταν m 2 >> m 1 (η μάζα του ακίνητου σώματος είναι πολύ μεγάλη), τότε ν <<v 1και πρακτικά όλη η κινητική ενέργεια του σώματος μετατρέπεται σε άλλες μορφές ενέργειας κατά την πρόσκρουση. Επομένως, για παράδειγμα, για να ληφθεί σημαντική παραμόρφωση, το αμόνι πρέπει να είναι πολύ πιο ογκώδες από το σφυρί. Αντίθετα, όταν σφυρώνετε καρφιά στον τοίχο, η μάζα του σφυριού πρέπει να είναι πολύ μεγαλύτερη (m 1 >> m 2), μετά ν≈ν 1 και σχεδόν όλη η ενέργεια δαπανάται για τη μεγαλύτερη δυνατή κίνηση του καρφιού, και όχι στην υπολειπόμενη παραμόρφωση του τοίχου.

Μια τέλεια ανελαστική κρούση είναι ένα παράδειγμα απώλειας μηχανικής ενέργειας λόγω δυνάμεων διάχυσης.

1. Έργο μεταβλητής δύναμης.
Θεωρήστε ένα υλικό σημείο που κινείται υπό την επίδραση μιας δύναμης P σε ευθεία γραμμή. Αν δρούσα δύναμηείναι σταθερό και κατευθύνεται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής και η μετατόπιση είναι ίση με s, τότε, όπως είναι γνωστό από τη φυσική, το έργο Α αυτής της δύναμης είναι ίσο με το γινόμενο Ps. Τώρα εξάγουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό του έργου που γίνεται από μια μεταβλητή δύναμη.

Έστω ένα σημείο να κινείται κατά μήκος του άξονα x υπό την επίδραση μιας δύναμης της οποίας η προβολή στον άξονα x είναι συνάρτηση της f στο x. Εδώ θα υποθέσουμε ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση. Κάτω από τη δράση αυτής της δύναμης, το υλικό σημείο μετακινήθηκε από το σημείο Μ (α) στο σημείο Μ (β) (Εικ. 1, α). Ας δείξουμε ότι στην περίπτωση αυτή το έργο Α υπολογίζεται από τον τύπο

(1)

Ας χωρίσουμε το τμήμα [a; b] σε n τμήματα του ίδιου μήκους Αυτά είναι τα τμήματα [a; x 1 ], ,..., (Εικ. 1.6). Το έργο της δύναμης σε ολόκληρο το τμήμα [a; b] είναι ίσο με το άθροισμα του έργου αυτής της δύναμης στα ληφθέντα τμήματα. Εφόσον η f είναι συνεχής συνάρτηση του x, για ένα αρκετά μικρό τμήμα [a; x 1] το έργο της δύναμης σε αυτό το τμήμα είναι περίπου ίσο με f (a) (x 1 -a) (αγνοούμε το γεγονός ότι η f αλλάζει στο τμήμα). Ομοίως, το έργο της δύναμης στο δεύτερο τμήμα είναι περίπου ίσο με f (x 1) (x 2 - x 1), κ.λπ. το έργο της δύναμης στο ν-ο τμήμα είναι περίπου ίσο με f (x n-1) (b - x n-1). Κατά συνέπεια, το έργο της δύναμης σε ολόκληρο το τμήμα [a; b] είναι περίπου ίσο με:

και η ακρίβεια της κατά προσέγγιση ισότητας είναι όσο μεγαλύτερη, τόσο μικρότερα είναι τα τμήματα στα οποία χωρίζεται το τμήμα [α; b] Φυσικά, αυτή η κατά προσέγγιση ισότητα μετατρέπεται σε ακριβή, αν υποθέσουμε ότι n→∞:

Εφόσον το A n ως n →∞ τείνει στο ολοκλήρωμα της εξεταζόμενης συνάρτησης από το a στο b, προκύπτει ο τύπος (1).
2. Ισχύς.

Ισχύς P είναι ο ρυθμός με τον οποίο γίνεται η εργασία

Εδώ v είναι η ταχύτητα του υλικού σημείου στο οποίο ασκείται η δύναμη

Όλες οι δυνάμεις που εμφανίζονται στη μηχανική συνήθως χωρίζονται σε συντηρητική και μη.

Η δύναμη που επενεργεί σε ένα υλικό σημείο ονομάζεται συντηρητική (δυναμική) εάν το έργο αυτής της δύναμης εξαρτάται μόνο από την αρχική και την τελική θέση του σημείου. Το έργο μιας συντηρητικής δύναμης δεν εξαρτάται ούτε από τον τύπο της τροχιάς ούτε από τον νόμο της κίνησης ενός υλικού σημείου κατά μήκος της τροχιάς (βλ. Εικ. 2): .

Μια αλλαγή στην κατεύθυνση κίνησης ενός σημείου κατά μήκος ενός μικρού τμήματος προς το αντίθετο προκαλεί αλλαγή στο πρόσημο του στοιχειώδους έργου, επομένως, . Επομένως, το έργο μιας συντηρητικής δύναμης κατά μήκος μιας κλειστής τροχιάς 1 ένα 2σιΤο 1 είναι μηδέν: .

Σημεία 1 και 2, καθώς και τμήματα κλειστής τροχιάς 1 ένα 2 και 2 σι 1 μπορεί να επιλεγεί εντελώς αυθαίρετα. Έτσι, το έργο μιας συντηρητικής δύναμης κατά μήκος μιας αυθαίρετης κλειστής τροχιάς L του σημείου εφαρμογής της είναι ίσο με μηδέν:

Σε αυτόν τον τύπο, ο κύκλος στο σήμα του ολοκληρώματος δείχνει ότι η ολοκλήρωση εκτελείται κατά μήκος μιας κλειστής τροχιάς. Συχνά κλειστή τροχιά μεγάλοονομάζεται κλειστός βρόχος μεγάλο(Εικ. 3). Συνήθως ορίζεται από την κατεύθυνση της διέλευσης του περιγράμματος μεγάλοκατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Η κατεύθυνση του διανύσματος στοιχειώδους μετατόπισης συμπίπτει με την κατεύθυνση της διέλευσης του περιγράμματος μεγάλο. Στην περίπτωση αυτή, ο τύπος (5) αναφέρει: η κυκλοφορία του διανύσματος κατά μήκος του κλειστού βρόχου L είναι ίση με μηδέν.

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι δυνάμεις της βαρύτητας και της ελαστικότητας είναι συντηρητικές και οι δυνάμεις τριβής είναι μη συντηρητικές. Πράγματι, δεδομένου ότι η δύναμη τριβής κατευθύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση από τη μετατόπιση ή την ταχύτητα, το έργο των δυνάμεων τριβής κατά μήκος μιας κλειστής διαδρομής είναι πάντα αρνητικό και, επομένως, δεν ισούται με μηδέν.

Σύστημα διάχυσης(ή διαχυτική δομή, από λατ. διάλυση- «Διασκορπίζω, καταστρέφω») είναι ένα ανοιχτό σύστημα που λειτουργεί μακριά από τη θερμοδυναμική ισορροπία. Με άλλα λόγια, αυτή είναι μια σταθερή κατάσταση που εμφανίζεται σε ένα μέσο μη ισορροπίας υπό την προϋπόθεση της διασποράς (διασποράς) ενέργειας που προέρχεται από το εξωτερικό. Μερικές φορές ονομάζεται επίσης σύστημα διάχυσης σταθερό ανοιχτό σύστημαή ανοικτό σύστημα μη ισορροπίας.

Ένα σύστημα διάχυσης χαρακτηρίζεται από την αυθόρμητη εμφάνιση μιας πολύπλοκης, συχνά χαοτικής δομής. Διακριτικό χαρακτηριστικότέτοια συστήματα - μη διατήρηση του όγκου στο χώρο φάσης, δηλαδή μη εκπλήρωση του Θεωρήματος Liouville.

Ένα απλό παράδειγμα ενός τέτοιου συστήματος είναι τα κύτταρα Benard. όσο περισσότερο δύσκολα παραδείγματαπου ονομάζεται λέιζερ, η αντίδραση Belousov-Zhabotinsky και η βιολογική ζωή.

Ο όρος «διαχυτική δομή» εισήχθη από τον Ilya Prigogine.

Πρόσφατες μελέτες στον τομέα των «διασκορπιστικών δομών» μας επιτρέπουν να συμπεράνουμε ότι η διαδικασία «αυτοοργάνωσης» συμβαίνει πολύ πιο γρήγορα με την παρουσία εξωτερικών και εσωτερικών «θορύβων» στο σύστημα. Έτσι, τα φαινόμενα θορύβου οδηγούν σε επιτάχυνση της διαδικασίας «αυτοοργάνωσης».

Κινητική ενέργεια

την ενέργεια ενός μηχανικού συστήματος, η οποία εξαρτάται από την ταχύτητα κίνησης των σημείων του. Κ. ε. ΤΤο υλικό σημείο μετριέται με το μισό γινόμενο της μάζας Μαυτό το σημείο στο τετράγωνο της ταχύτητάς του υ, δηλ. T = 1/ 2 μυ 2 . Κ. ε. μηχανικό σύστημα ισούται με το αριθμητικό άθροισμα του Κ. ε. όλα τα σημεία του: Τ =Σ 1 / 2 m k υ 2 k .Έκφραση Κ. ε. τα συστήματα μπορούν επίσης να αναπαρασταθούν ως Τ = 1 / 2 Mυ c 2 + Tc,Οπου Μείναι η μάζα ολόκληρου του συστήματος, υ γείναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας, Τ γ - Κ. ε. σύστημα στην κίνησή του γύρω από το κέντρο μάζας. Κ. ε. ενός άκαμπτου σώματος που κινείται προς τα εμπρός υπολογίζεται με τον ίδιο τρόπο όπως το Κ. ε. ένα σημείο που έχει μάζα ίση με τη μάζα ολόκληρου του σώματος. Τύποι υπολογισμού Κ. ε. ένα σώμα που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα, βλ. Περιστροφική κίνηση.

Αλλαγή Κ. ε. σύστημα όταν μετακινείται από μια θέση (διαμόρφωση) 1 στη θέση 2 εμφανίζεται υπό τη δράση εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο σύστημα και ισούται με το άθροισμα του έργου . Αυτή η ισότητα εκφράζει το θεώρημα για τη μεταβολή του Κ. ε., με τη βοήθεια του οποίου λύνονται πολλά προβλήματα δυναμικής.

Σε ταχύτητες κοντά στην ταχύτητα του φωτός, ο K. e. υλικό σημείο

Οπου m0είναι η μάζα του σημείου ανάπαυσης, Μεείναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό ( m 0 s 2είναι η ενέργεια του σημείου ηρεμίας). σε χαμηλές ταχύτητες ( υ<< c ) η τελευταία σχέση πηγαίνει στον συνήθη τύπο 1 / 2 μυ 2 .

Κινητική ενέργεια.

Κινητική ενέργεια - η ενέργεια ενός κινούμενου σώματος. (Από την ελληνική λέξη kinema - κίνηση). Εξ ορισμού, η κινητική ενέργεια ενός σώματος σε ηρεμία σε ένα δεδομένο σύστημα αναφοράς εξαφανίζεται.

Αφήστε το σώμα να κινηθεί κάτω από τη δράση μόνιμοςδύναμη προς την κατεύθυνση της δύναμης.

Επειτα: .

Επειδή η κίνηση επιταχύνεται ομοιόμορφα, τότε:

Ως εκ τούτου: .

- που ονομάζεται κινητική ενέργεια

Με το ΖΟΡΙονομάζεται μέτρο της μηχανικής αλληλεπίδρασης των υλικών σωμάτων.

Δύναμη φά- η διανυσματική ποσότητα και η δράση της στο σώμα καθορίζεται από:

• μονάδα μέτρησηςή αριθμητική αξίαδύναμη (F);
• κατεύθυνσηδυνάμεις (ορθ μι);
• σημείο εφαρμογήςδύναμη (σημείο Α).

Η ευθεία ΑΒ κατά μήκος της οποίας κατευθύνεται η δύναμη ονομάζεται γραμμή δράσης της δύναμης.

Η δύναμη μπορεί να δοθεί:

• με γεωμετρικό τρόπο, δηλαδή ως διάνυσμα με γνωστό συντελεστή F και γνωστή διεύθυνση που καθορίζεται από το διάνυσμα μι ;
• με αναλυτικό τρόπο, δηλαδή οι προβολές του F x , F y , F z στον άξονα του επιλεγμένου συστήματος συντεταγμένων Oxyz .

Το σημείο εφαρμογής δύναμης Α πρέπει να δίνεται από τις συντεταγμένες x, y, z.

Οι προβολές δύναμης σχετίζονται με το μέτρο της και συνημίτονα κατεύθυνσης(συνημίτονα των γωνιών , , , που σχηματίζονται από τη δύναμη με τους άξονες συντεταγμένων Ox, Oy, Oz) από τις ακόλουθες σχέσεις:

F=(F x 2 +F y 2 +F x 2) ; ex=cos=Fx/F; e y =cos =F y /F; e z =cos =F z /F;

Δύναμη φά, που ενεργεί σε ένα απολύτως άκαμπτο σώμα, μπορεί να θεωρηθεί ότι εφαρμόζεται σε οποιοδήποτε σημείο της γραμμής δράσης της δύναμης (ένα τέτοιο διάνυσμα ονομάζεται ολίσθηση). Εάν μια δύναμη ενεργεί σε ένα άκαμπτο παραμορφώσιμο σώμα, τότε το σημείο εφαρμογής της δεν μπορεί να μεταφερθεί, καθώς αυτή η μεταφορά αλλάζει τις εσωτερικές δυνάμεις στο σώμα (ένα τέτοιο διάνυσμα ονομάζεται επισυνάπτεται).

Η μονάδα δύναμης στο σύστημα μονάδων SI είναι Newton (N); χρησιμοποιείται επίσης μεγαλύτερη μονάδα 1kN=1000N.

Τα υλικά σώματα μπορούν να δράσουν μεταξύ τους με άμεση επαφή ή σε απόσταση. Ανάλογα με αυτό, οι δυνάμεις μπορούν να χωριστούν σε δύο κατηγορίες:

• επιπόλαιοςδυνάμεις που εφαρμόζονται στην επιφάνεια του σώματος (για παράδειγμα, δυνάμεις πίεσης στο σώμα από το περιβάλλον).
• ογκομετρική (μάζα)δυνάμεις που εφαρμόζονται σε ένα δεδομένο μέρος του όγκου του σώματος (για παράδειγμα, δυνάμεις βαρύτητας).

Οι δυνάμεις επιφανείας και σώματος ονομάζονται διανέμονταιδυνάμεις. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι δυνάμεις μπορούν να θεωρηθούν κατανεμημένες κατά μήκος μιας ορισμένης καμπύλης (για παράδειγμα, οι δυνάμεις βάρους μιας λεπτής ράβδου). Οι κατανεμημένες δυνάμεις χαρακτηρίζονται από τους ένταση (πυκνότητα), δηλαδή το συνολικό ποσό της δύναμης ανά μονάδα μήκους, επιφάνειας ή όγκου. Η ένταση μπορεί να είναι σταθερή ( ομοιόμορφα κατανεμημέναδύναμη) ή μεταβλητή.

Εάν μπορούμε να παραβλέψουμε τις μικρές διαστάσεις της περιοχής δράσης των κατανεμημένων δυνάμεων, τότε εξετάζουμε συμπυκνωμένοςμια δύναμη που εφαρμόζεται σε ένα σώμα σε ένα σημείο (μια έννοια υπό όρους, αφού στην πράξη είναι αδύνατο να ασκηθεί δύναμη σε ένα σημείο του σώματος).

Οι δυνάμεις που εφαρμόζονται στο υπό εξέταση σώμα μπορούν να χωριστούν σε εξωτερική και εσωτερική. Εξωτερικές δυνάμεις ονομάζονται δυνάμεις που δρουν σε αυτό το σώμα από άλλα σώματα, και εσωτερικές είναι οι δυνάμεις με τις οποίες μέρη αυτού του σώματος αλληλεπιδρούν μεταξύ τους.

Αν η κίνηση ενός δεδομένου σώματος στο χώρο περιορίζεται από άλλα σώματα, τότε ονομάζεται όχι δωρεάν. Τα σώματα που περιορίζουν την κίνηση ενός δεδομένου σώματος ονομάζονται συνδέσεις.

Αξίωμα συνδέσεων:οι συνδέσεις μπορούν να απορριφθούν διανοητικά και το σώμα να θεωρηθεί ελεύθερο εάν η δράση των συνδέσεων στο σώμα αντικατασταθεί από τις αντίστοιχες δυνάμεις, οι οποίες ονομάζονται αντιδράσεις δεσμού.

Οι αντιδράσεις των δεσμών από τη φύση τους διαφέρουν από όλες τις άλλες δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, οι οποίες δεν είναι αντιδράσεις, οι οποίες συνήθως ονομάζονται ενεργόςδυνάμεις. Αυτή η διαφορά έγκειται στο γεγονός ότι η αντίδραση του δεσμού δεν καθορίζεται πλήρως από τον ίδιο τον δεσμό. Το μέγεθός του, και μερικές φορές επίσης η κατεύθυνσή του, εξαρτώνται από τις ενεργές δυνάμεις που δρουν στο δεδομένο σώμα, οι οποίες είναι συνήθως γνωστές εκ των προτέρων και δεν εξαρτώνται από άλλες δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. Επιπλέον, οι ενεργές δυνάμεις, που ενεργούν σε ένα σώμα σε ηρεμία, μπορούν να επικοινωνήσουν σε αυτό αυτή ή εκείνη την κίνηση. οι αντιδράσεις των δεσμών δεν διαθέτουν αυτή την ιδιότητα, με αποτέλεσμα να ονομάζονται και παθητικόςδυνάμεις.

4. Μέθοδος Τομών. Παράγοντες εσωτερικής δύναμης.
Για να προσδιορίσουμε και στη συνέχεια να υπολογίσουμε τις πρόσθετες δυνάμεις σε οποιοδήποτε τμήμα της δοκού, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των τομών. Η ουσία της μεθόδου των τομών είναι ότι η δοκός κόβεται διανοητικά σε δύο μέρη και λαμβάνεται υπόψη η ισορροπία οποιουδήποτε από αυτά, η οποία βρίσκεται υπό τη δράση όλων των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται σε αυτό το τμήμα. Όντας εσωτερικές δυνάμεις για ολόκληρο το σώμα, παίζουν το ρόλο των εξωτερικών δυνάμεων για το επιλεγμένο μέρος.

Έστω το σώμα σε ισορροπία υπό τη δράση δυνάμεων: (Εικόνα 5.1, α). Ας το κόψουμε στο επίπεδο μικρόκαι πετάξτε τη δεξιά πλευρά (Εικόνα 5.1, β). Ο νόμος κατανομής των εσωτερικών δυνάμεων στη διατομή, στη γενική περίπτωση, είναι άγνωστος. Για να το βρείτε σε κάθε συγκεκριμένη κατάσταση, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε πώς το υπό εξέταση σώμα παραμορφώνεται υπό την επίδραση εξωτερικών δυνάμεων.

Έτσι, η μέθοδος τομής καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό μόνο του αθροίσματος των εσωτερικών δυνάμεων. Με βάση την υπόθεση της συνεχούς δομής του υλικού, μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι εσωτερικές δυνάμεις σε όλα τα σημεία ενός συγκεκριμένου τμήματος αντιπροσωπεύουν ένα κατανεμημένο φορτίο.

Φέρνουμε το σύστημα των εσωτερικών δυνάμεων στο κέντρο βάρους στο κύριο διάνυσμα και την κύρια ροπή (Εικόνα 5.1, γ). Έχοντας σχεδιάσει και στον άξονα συντεταγμένων, θα πάρουμε μια γενική εικόνα της κατάστασης τάσης-παραμόρφωσης του εξεταζόμενου τμήματος της δοκού (Εικόνα 5.1, δ).

5. Αξονική τάση – συμπίεση

Κάτω από τέντωμα (συμπίεση)κατανοήστε αυτόν τον τύπο φόρτισης, στον οποίο προκύπτουν μόνο διαμήκεις δυνάμεις στις διατομές της ράβδου και άλλοι συντελεστές δύναμης είναι ίσοι με μηδέν.

Διαμήκης δύναμη- εσωτερική δύναμη ίση με το άθροισμα των προβολών όλων των εξωτερικών δυνάμεων, λαμβάνονται από τη μία πλευρά του τμήματος, στον άξονα της ράβδου. Ας δεχτούμε το εξής κανόνας για τη διαμήκη δύναμη : η διαμήκης δύναμη εφελκυσμού είναι θετική, η θλιπτική δύναμη είναι αρνητική

Ως αποτέλεσμα της δράσης εξωτερικών δυνάμεων στο σώμα, εσωτερικές δυνάμεις.
εσωτερική δύναμη- δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ τμημάτων ενός σώματος, που προκύπτουν από τη δράση εξωτερικών δυνάμεων.

Οι εσωτερικές δυνάμεις είναι αυτο-ισορροπημένες, επομένως δεν είναι ορατές και δεν επηρεάζουν την ισορροπία του σώματος. Οι εσωτερικές δυνάμεις προσδιορίζονται με τη μέθοδο τομής.

Τα εξωτερικά φορτία οδηγούν στους ακόλουθους τύπους καταστάσεων τάσης-παραμόρφωσης:

συστροφή

Για τον υπολογισμό των δομικών στοιχείων για αντοχή, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις εσωτερικές ελαστικές δυνάμεις που προκύπτουν από την εφαρμογή εξωτερικών δυνάμεων σε διαφορετικά σημεία και μέρη της κατασκευής.
Οι μέθοδοι για τον προσδιορισμό αυτών των εσωτερικών δυνάμεων χρησιμοποιώντας την επιστήμη της αντίστασης των υλικών περιλαμβάνουν ένα τέτοιο τέχνασμα όπως η μέθοδος των τομών.

Η μέθοδος των τομών είναι ότι το σώμα κόβεται διανοητικά από ένα επίπεδο σε δύο μέρη, οποιοδήποτε από τα οποία απορρίπτεται και αντί γι' αυτό εφαρμόζονται εσωτερικές δυνάμεις στο τμήμα του υπόλοιπου τμήματος, το οποίο επηρέασε πάνω του πριν την κοπή από το πλάι. του απορριφθέντος τμήματος. Το αριστερό μέρος θεωρείται ως ανεξάρτητο σώμα, το οποίο βρίσκεται σε ισορροπία υπό τη δράση εξωτερικών και εσωτερικών δυνάμεων που εφαρμόζονται στο τμήμα (τρίτος νόμος του Νεύτωνα - η δράση ισούται με την αντίδραση).
Κατά την εφαρμογή αυτής της μεθόδου, είναι πιο κερδοφόρο να απορρίπτεται εκείνο το τμήμα του δομικού στοιχείου (σώμα) για το οποίο είναι ευκολότερο να συντεθεί μια εξίσωση ισορροπίας. Έτσι, καθίσταται δυνατός ο προσδιορισμός των συντελεστών εσωτερικής δύναμης στο τμήμα, λόγω των οποίων το υπόλοιπο μέρος του σώματος βρίσκεται σε ισορροπία (μια τεχνική που χρησιμοποιείται συχνά στη Στατική).

Εφαρμόζοντας συνθήκες ισορροπίας στο υπόλοιπο μέρος του σώματος, είναι αδύνατο να βρεθεί ο νόμος κατανομής των εσωτερικών δυνάμεων στο τμήμα, αλλά είναι δυνατό να προσδιοριστούν τα στατικά ισοδύναμα αυτών των δυνάμεων (οι συντελεστές δύναμης που προκύπτουν).
Δεδομένου ότι το κύριο αντικείμενο σχεδιασμού στην αντοχή των υλικών είναι μια δοκός, ας εξετάσουμε ποια στατικά ισοδύναμα εσωτερικών δυνάμεων εμφανίζονται στη διατομή της δοκού.

Κόβουμε το δοκάρι (Εικ. 1) με διατομή α-α και εξετάζουμε την ισορροπία της αριστερής πλευράς του.
Εάν οι εξωτερικές δυνάμεις που δρουν στη δέσμη βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τότε στη γενική περίπτωση, το στατικό ισοδύναμο των εσωτερικών δυνάμεων που δρουν στο τμήμα a-a θα είναι το κύριο διάνυσμα Fgl που εφαρμόζεται στο κέντρο βάρους της τομής, και το κύρια ροπή Mgl = Mi, εξισορροπώντας τις εξωτερικές δυνάμεις του επίπεδου συστήματος που ασκούνται στο υπόλοιπο τμήμα της δοκού.

Ας αποσυνθέσουμε το κύριο διάνυσμα στη συνιστώσα N, που κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα της ράβδου, και τη συνιστώσα Q, κάθετη σε αυτόν τον άξονα και που βρίσκεται στο επίπεδο της τομής. Αυτές οι συνιστώσες του κύριου διανύσματος και της κύριας ροπής ονομάζονται συντελεστές εσωτερικής δύναμης που δρουν στο τμήμα της δοκού. Η συνιστώσα N ονομάζεται διαμήκης δύναμη, η συνιστώσα Q ονομάζεται εγκάρσια δύναμη, το ζεύγος δυνάμεων με τη ροπή Mi είναι η ροπή κάμψης.

Για να προσδιορίσουμε αυτούς τους τρεις εσωτερικούς παράγοντες δύναμης, εφαρμόζουμε τις εξισώσεις ισορροπίας που είναι γνωστές από τη Στατική για το υπόλοιπο τμήμα της δέσμης:

Σ Z = 0; Σ Y = 0; Σ Μ = 0; (ο άξονας z κατευθύνεται πάντα κατά μήκος του άξονα της δέσμης).

Εάν οι εξωτερικές δυνάμεις που δρουν στη ράβδο δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, δηλ. αντιπροσωπεύουν ένα χωρικό σύστημα δυνάμεων, τότε στη γενική περίπτωση, έξι εσωτερικοί παράγοντες δύναμης προκύπτουν στη διατομή της ράβδου (Εικ. 2), για να προσδιοριστεί που τα γνωστά από τη Στατική χρησιμοποιούνται έξι εξισώσεις ισορροπίας του υπόλοιπου τμήματος της δέσμης:

Σ X = 0; Σ Y = 0; Σ Z = 0;
Σ Mx = 0; Σ My = 0; Σ Mz = 0.

Αυτοί οι συντελεστές δύναμης στη γενική περίπτωση έχουν τα ακόλουθα ονόματα: N - διαμήκης δύναμη, Qx, Qy - εγκάρσιες δυνάμεις, Mkr - ροπή, Mikh και Miu - ροπές κάμψης.

Με διαφορετικές παραμορφώσεις στη διατομή της δοκού, προκύπτουν διάφοροι παράγοντες δύναμης.
Εξετάστε ειδικές περιπτώσεις:

1. Στην τομή εμφανίζεται μόνο μια διαμήκης δύναμη N. Αυτή είναι μια τάση εφελκυσμού (αν το N κατευθύνεται μακριά από το τμήμα) ή συμπίεση (αν το N κατευθύνεται προς το τμήμα).

2. Στην τομή εμφανίζεται μόνο εγκάρσια δύναμη Q. Πρόκειται για διατμητική παραμόρφωση.

3. Μόνο η ροπή Mkr εμφανίζεται στο τμήμα. Αυτή είναι η στρεπτική παραμόρφωση.

4. Μόνο η ροπή κάμψης Mi εμφανίζεται στο τμήμα. Αυτή είναι μια καθαρή παραμόρφωση κάμψης. Εάν μια ροπή κάμψης Mi και μια εγκάρσια δύναμη Q συμβαίνουν ταυτόχρονα στο τμήμα, τότε η κάμψη ονομάζεται εγκάρσια.

5. Εάν σε μια τομή συμβαίνουν ταυτόχρονα πολλοί συντελεστές εσωτερικής δύναμης (για παράδειγμα, μια ροπή κάμψης και μια διαμήκης δύναμη), τότε λαμβάνει χώρα ένας συνδυασμός βασικών παραμορφώσεων (σύνθετη αντίσταση).

11) Υποθέσεις για τις ιδιότητες των υλικών και τη φύση των παραμορφώσεων
Υποθέσεις σχετικά με τις ιδιότητες του υλικού:

1. Υλικό ομοιογενής, δηλαδή, οι ιδιότητές του δεν εξαρτώνται από τις διαστάσεις του όγκου που εξάγεται από το σώμα. Στην πραγματικότητα, δεν υπάρχουν ομοιογενή υλικά στη φύση. Για παράδειγμα, η δομή των μετάλλων αποτελείται από πολλούς τυχαία διατεταγμένους μικροσκοπικά μικρούς κρυστάλλους (κόκκους). Οι διαστάσεις των υπολογισμένων δομικών στοιχείων, κατά κανόνα, υπερβαίνουν αμέτρητα τις διαστάσεις των κρυστάλλων, επομένως η υπόθεση της ομοιογένειας του υλικού είναι πλήρως εφαρμόσιμη εδώ.
2. Το υλικό είναι συνέχειακαι γεμίζει συνεχώς όλο τον τόμο που του παρέχεται. Αυτή η υπόθεση προκύπτει άμεσα από την πρώτη -για την ομοιογένεια του υλικού- και επιτρέπει τη χρήση μαθηματικής ανάλυσης.
3. Υλικό ισοτροπικό, δηλαδή, οι φυσικές και μηχανικές ιδιότητες είναι ίδιες προς όλες τις κατευθύνσεις. Έτσι, ένα στοιχείο που απομονώνεται από ένα συνεχές μέσο δεν εξαρτάται από τον προσανατολισμό σε σχέση με το επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων. Τα μέταλλα λόγω της λεπτόκοκκης δομής τους θεωρούνται ισότροπα. Υπάρχουν όμως πολλά μη ισοτροπικά – ανισότροπα – υλικά. Αυτά περιλαμβάνουν ξύλο, υφάσματα, κόντρα πλακέ και πολλά πλαστικά. Ωστόσο, στην αντοχή των υλικών λαμβάνονται υπόψη κυρίως τα ισότροπα υλικά.
4. Το υλικό εντός ορισμένων ορίων φόρτισης αμαξώματος έχει ιδανική ελαστικότητα, δηλαδή μετά την αφαίρεση του φορτίου, το σώμα επαναφέρει πλήρως το αρχικό του σχήμα και μέγεθος.

Υποθέσεις σχετικά με τη φύση της παραμόρφωσης των δομικών στοιχείων:

12) Ταξινόμηση εξωτερικών δυνάμεων. Πραγματικό αντικείμενο και σχήμα υπολογισμού
Οι εξωτερικές δυνάμεις είναι οι δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ του υπό εξέταση δομικού στοιχείου και των σωμάτων που συνδέονται με αυτό. Εάν το φορτίο κατανέμεται στην επιφάνεια του σώματος ή σε μέρος του, τότε ένα τέτοιο φορτίο ονομάζεται κατανεμημένο.
Στο σχέδιο σχεδιασμού, το φορτίο που κατανέμεται στην επιφάνεια (Εικ. 1.2) φέρεται σε ένα επίπεδο που συμπίπτει με τον διαμήκη άξονα, με αποτέλεσμα ένα φορτίο να κατανέμεται κατά μήκος της γραμμής. Το μέτρο ενός τέτοιου φορτίου είναι η έντασή του q - το μέγεθος του φορτίου ανά μονάδα μήκους. Διάσταση - N/m. Το αποτέλεσμα του κατανεμημένου φορτίου είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του διαγράμματός του και εφαρμόζεται στο κέντρο βάρους του.

Ρύζι. 1.2

Εκτός από το toro, υπάρχουν φορτία με τη μορφή συγκεντρωμένης ροπής (ζευγάρια γουλιά). Υπάρχουν διάφοροι τρόποι απεικόνισης στιγμών (Εικόνα 1.3).

Ρύζι. 1.3

Τότε M είναι η ροπή (Εικ. 1.4).

Ρύζι. 1.4

Έτσι απεικονίζεται μια σίπα να έρχεται προς το μέρος μας.

Έτσι απεικονίζεται η δύναμη που προέρχεται από εμάς.
πραγματικό αντικείμενο- το υπό μελέτη δομικό στοιχείο, λαμβάνοντας υπόψη όλα τα χαρακτηριστικά του: γεωμετρικά, φυσικά, μηχανικά και άλλα.

Είναι πρακτικά αδύνατο να υπολογιστεί ένα πραγματικό αντικείμενο (θα ήταν απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η επίδραση πάρα πολλών αλληλένδετων χαρακτηριστικών του αντικειμένου), επομένως είναι απαραίτητο να πάμε σε κάποια σχήμα υπολογισμού(μοντέλα πραγματικού αντικειμένου) με βάση ένα συγκεκριμένο σύστημα υποθέσεων που εξιδανικεύουν την υπολογιζόμενη κατάσταση.

Σχέδιο σχεδίασης- αυτό είναι ένα πραγματικό αντικείμενο, στο οποίο απορρίπτονται όλες οι λεπτομέρειες (χαρακτηριστικά) που δεν σχετίζονται με τον υπολογισμό και η επιρροή τους αντικαθίσταται από επιδράσεις δύναμης.

Ο κύριος στόχος της αντοχής των υλικών είναι η δημιουργία πρακτικά αποδεκτών, απλών μεθόδων (τεχνικών) για τον υπολογισμό τυπικών, πιο κοινών δομικών στοιχείων. Η ανάγκη να περάσουμε από ένα πραγματικό αντικείμενο σε ένα σχέδιο σχεδίασης (για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς) μας αναγκάζει να εισαγάγουμε σχηματοποίηση των εννοιών.

Μπορούν να διακριθούν οι ακόλουθοι τύποι σχηματοποίησης:

γεωμετρική σχηματοποίηση;φυσική σχηματοποίηση;σχηματοποίηση ισχύος.

Γεωμετρική σχηματοποίηση (μοντέλο σχήματος)

Για να σχηματοποιηθεί το σχήμα των πραγματικών αντικειμένων στην αντοχή των υλικών, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι κύριοι τύποι στοιχείων: πυρήνας(δοκός, δοκός,

άξονας), πλάκα(πιάτο, κέλυφος) και ογκώδες σώμα.

Πυρήνας- ένα δομικό στοιχείο στο οποίο οι δύο διαστάσεις είναι μικρές σε σύγκριση με την τρίτη.

Οι εργασίες για τον υπολογισμό των ράβδων είναι κυρίως μονοδιάστατες (γραμμικές, δηλ. η λύση του προβλήματος εξαρτάται από μία μεταβλητή συντεταγμένη).

πλάκα- ένα δομικό στοιχείο στο οποίο η μία διάσταση (πάχος) είναι μικρή σε σύγκριση με τις άλλες δύο.

Μια πλάκα που είναι κυρτή πριν από τη φόρτωση ονομάζεται κέλυφος.

Τα προβλήματα ανάλυσης πλακών είναι ως επί το πλείστον δισδιάστατα (επίπεδα)

ογκώδες σώμα- ένα δομικό στοιχείο στο οποίο όλες οι διαστάσεις έχουν την ίδια σειρά.

Τα προβλήματα για τον υπολογισμό των ογκωδών σωμάτων είναι κυρίως τρισδιάστατα (χωρικά).

Στην αντοχή των υλικών εξετάζονται κυρίως μονοδιάστατα προβλήματα υπολογισμού στοιχείων ράβδων κατασκευών. Η λύση πιο πολύπλοκων δισδιάστατων και τρισδιάστατων προβλημάτων υπολογισμού πλακών, κελυφών και σωμάτων μαζών εξετάζεται από μια πειθαρχία που ονομάζεται "Θεωρία Ελαστικότητας", η οποία βασίζεται σε μικρότερο αριθμό αρχικών υποθέσεων.

Φυσική σχηματοποίηση (υλικό μοντέλο)

Όλα τα σώματα που μελετήθηκαν θεωρούνται ότι είναι κατασκευασμένα (κατασκευασμένα) από υλικά προικισμένα υπό όρους με ορισμένες εξιδανικευμένες ιδιότητες.

Το υλικό των δομικών στοιχείων θα εξεταστεί περαιτέρω στερεός,

ομοιογενής,ισοτροπικόΚαι γραμμικό ελαστικό.

στερεό υλικό- υλικό που δεν έχει κενά, κενά, ρωγμές, πόρους, εγκλείσματα κ.λπ.

Πιστεύεται ότι το υλικό γεμίζει συνεχώς (εντελώς) ολόκληρο τον όγκο του δομικού στοιχείου, ενώ δεν λαμβάνεται υπόψη η συγκεκριμένη δομή του υλικού (κόκκος, κρυσταλλική, ινώδης, στρωματοποιημένη κ.λπ.).

Ομογενές υλικό- ένα υλικό, σε κάθε σημείο του οποίου οι μηχανικές ιδιότητες είναι ίδιες και δεν εξαρτώνται από το μέγεθος του εκχωρημένου όγκου.

ισοτροπικό υλικό- ένα υλικό του οποίου οι ιδιότητες είναι ίδιες προς όλες τις κατευθύνσεις.

Έτσι, οι ιδιότητες ενός ισοτροπικού υλικού δεν εξαρτώνται από την κατεύθυνση της έρευνας, για παράδειγμα, από την κατεύθυνση εφαρμογής του φορτίου κατά τη διάρκεια μηχανικών δοκιμών.

Διαφορετικά, το υλικό ονομάζεται ανισότροπο (ξύλο, υαλοβάμβακα, μαρμαρυγία κ.λπ.).

ελαστικό υλικό- ένα υλικό που έχει την ικανότητα να επαναφέρει το αρχικό σχήμα και μέγεθος του σώματος μετά την αφαίρεση του εξωτερικού φορτίου.

Γραμμικό ελαστικό υλικό- υλικό που υπόκειται σε Ο νόμος του Χουκ.

Νόμος του Χουκ: "Οι μετατοπίσεις των σημείων ενός ελαστικού σώματος (εντός γνωστών ορίων φόρτισης) είναι ευθέως ανάλογες με τις δυνάμεις που προκαλούν αυτές τις μετατοπίσεις."

Σχηματοποίηση δύναμης (μοντέλο φορτίου)

Για τη σωστή διατύπωση του προβλήματος στην αντοχή των υλικών, είναι πολύ σημαντικό να μπορούμε να ταξινομούμε τις εξωτερικές δυνάμεις (φορτία) που επιδρούν σε δομικά στοιχεία.

Εξωτερικές δυνάμεις- τις δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ του θεωρούμενου δομικού στοιχείου και άλλων σωμάτων που συνδέονται με αυτό.

Ας εισαγάγουμε την ακόλουθη ταξινόμηση των εξωτερικών δυνάμεων σύμφωνα με τη μέθοδο εφαρμογής:

Συγκεντρωμένα φορτία– δυνάμεις και ροπές, η περιοχή δράσης των οποίων είναι μικρή σε σύγκριση με τις διαστάσεις του αντικειμένου (εφαρμόζεται σε ένα σημείο).

Ονομασίες: φά (R ), Μ (Τ ).

Μονάδες: [ φά]=H; [ Μ]=N m σε SI ή [ φά]=kg; [ Μ]=kg m στο τεχνικό σύστημα.

Κατανεμημένα φορτία- δυνάμεις που δρουν α) σε μη

ποιο μήκος, β) σε κάποιο εμβαδόν, γ) κατ' όγκο.

Ονομασία q .

Μονάδες μέτρησης: α) [ q]=H/m, kg/cm, kg/mm; β) [ q]=H/m 2 , kg/cm 2 , kg/mm ​​2 ; V) [ q] \u003d Υ / m 3, kg / cm 3, kg / mm 3, κ.λπ.

Τα εξωτερικά φορτία διακρίνονται επίσης από τη φύση της αλλαγής του χρόνου: Στατικά φορτίααργά και ομαλά αυξάνεται από το μηδέν στην τελική του τιμή και στη συνέχεια παραμένει αμετάβλητη.

Δυναμικά φορτίασυνοδεύονται από επιταχύνσεις τόσο του παραμορφωμένου σώματος όσο και των σωμάτων που αλληλεπιδρούν με αυτό.

Τα δυναμικά φορτία περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, δυνάμεις που επιδρούν σε επιταχυνόμενα κινούμενα σώματα, φορτία κρούσης κ.λπ.

Επαναμεταβλητά φορτία- δυνάμεις που μεταβάλλονται συνεχώς και περιοδικά στο χρόνο.

Τώρα, έχοντας εισαγάγει τη θεωρούμενη σχηματοποίηση των εννοιών, μπορούμε να προχωρήσουμε στην εργασία με σχήματα υπολογισμού, στην ανάλυσή τους. Ταυτόχρονα, σημειώνουμε ότι το ίδιο πραγματικό αντικείμενο μπορεί να έχει πολλά σχήματα σχεδίασης και πολλά διαφορετικά πραγματικά αντικείμενα μπορούν να συσχετιστούν με το ίδιο σχήμα σχεδίασης. Ειδικότερα, κατά τον υπολογισμό ενός γερανού (βλ. σχήμα), το καλώδιο και η στήλη στήριξης θα υπολογιστούν σύμφωνα με το σχέδιο σχεδιασμού μιας τεντωμένης ή συμπιεσμένης ράβδου και του φορέα και των οδηγών - σύμφωνα με το σχέδιο μιας δοκού δύο στηρίξεων , κλπ. Αυτό συνεπάγεται έναν άλλο ορισμό της αντοχής των υλικών.

ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- ένας κλάδος μηχανικής που ασχολείται με την ανάλυση αντοχής (με τη γενική έννοια) των πιο τυπικών (συχνά απαντώμενων) σχεδίων σχεδιασμού κατάλληλων για τον υπολογισμό οποιωνδήποτε στοιχείων οποιασδήποτε κατασκευής.

13) Εσωτερικές δυνάμεις σε τάση και συμπίεση. Κατασκευή διαγραμμάτων εσωτερικών δυνάμεων. Η έννοια του επικίνδυνου τμήματος.
Ένταση και συμπίεση

Τέντωμα (συμπίεση)- ένας απλός τύπος αντίστασης, στον οποίο η ράβδος φορτώνεται με δυνάμεις παράλληλες με τον διαμήκη άξονα της ράβδου και εφαρμόζεται στο κέντρο βάρους του τμήματός της.

Θεωρήστε μια ράβδο ελαστικά τεντωμένη από κεντρικά εφαρμοσμένες συγκεντρωμένες δυνάμεις P.

Πριν προχωρήσουμε στη μελέτη των εσωτερικών δυνάμεων και τάσεων που προκύπτουν σε μια τεντωμένη ράβδο, ας εξετάσουμε ορισμένες υποθέσεις που σχετίζονται με τη φύση της παραμόρφωσης μιας τέτοιας ράβδου και οι οποίες έχουν εξαιρετική σημασία στην αντοχή των υλικών.

Αρχή του Saint Venant: σε τμήματα αρκετά μακριά από τα σημεία εφαρμογής των δυνάμεων, η κατανομή των τάσεων και των παραμορφώσεων εξαρτάται ελάχιστα από τη μέθοδο εφαρμογής των φορτίων.

Η αρχή του Saint-Venant καθιστά δυνατό τον υπολογισμό χωρίς να λαμβάνονται υπόψη τοπικές (τοπικές) παραμορφώσεις που συμβαίνουν κοντά στα σημεία εφαρμογής των εξωτερικών δυνάμεων και διαφέρουν από τις παραμορφώσεις του κύριου όγκου του υλικού, γεγονός που στις περισσότερες περιπτώσεις απλοποιεί τη λύση του το πρόβλημα.

Η υπόθεση των επίπεδων τομών (η υπόθεση του J. Bernoulli):οι διατομές της ράβδου είναι επίπεδες και κάθετες στον άξονά της πριν από την παραμόρφωση παραμένουν επίπεδες και κάθετες στον άξονα και μετά την παραμόρφωση.

Διανοητικά ανατέμνοντας τη ράβδο, προσδιορίζουμε τις εσωτερικές δυνάμεις στην τεντωμένη ράβδο:

α) μια ράβδος φορτισμένη με δυνάμεις εφελκυσμού P και σε ισορροπία κόβεται από αυθαίρετη τομή.

β) πετάμε ένα από τα μέρη της ράβδου και η επίδρασή του στο άλλο μέρος αντισταθμίζεται από εσωτερικές δυνάμεις με ένταση.

γ) την αξονική εσωτερική δύναμη N, που προκύπτει στο τμήμα της ράβδου, προσδιορίζουμε συντάσσοντας τις εξισώσεις ισορροπίας για το τμήμα αποκοπής:

Προβάλλοντας την εξωτερική δύναμη P, ενεργώντας στο αποκομμένο τμήμα της ράβδου, σε άλλους άξονες (z και y), καθώς και συνθέτοντας τις εξισώσεις των ροπών σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων, είναι εύκολο να βεβαιωθείτε ότι η αξονική δύναμη Το N είναι η μόνη εσωτερική δύναμη που εμφανίζεται στο τμήμα της ράβδου (τα υπόλοιπα είναι πανομοιότυπα ίσα με μηδέν).

Έτσι, κατά τη διάρκεια της τάσης (συμπίεσης), από τις έξι εσωτερικές δυνάμεις στη διατομή της ράβδου, προκύπτει μόνο μία - διαμήκης δύναμη Ν.

Οι κανονικές τάσεις που προκύπτουν στο τμήμα της ράβδου σχετίζονται με την αξονική δύναμη N ως εξής:

Ή . (2.2)

Δεδομένου ότι, σύμφωνα με την υπόθεση Bernoulli, οι τάσεις κατανέμονται ομοιόμορφα στη διατομή (δηλαδή = const), μπορούμε να γράψουμε:

Έτσι, οι κανονικές εφελκυστικές (θλιπτικές) τάσεις ορίζονται ως

Διαγράμματα εσωτερικών δυνάμεων σε τάση-συμπίεση

Η τάση ή η συμπίεση είναι ένας τόσο απλός τύπος αντίστασης, στον οποίο ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις κατά μήκος του διαμήκους άξονα της δοκού και μόνο κανονική δύναμη εμφανίζεται στη διατομή της.

Εξετάστε το σχήμα υπολογισμού μιας δοκού σταθερής διατομής με δεδομένο εξωτερικό συγκεντρωμένο φορτίο P και κατανεμημένο q, (Εικ. 1).

α) σχήμα υπολογισμού, β) πρώτο τμήμα, αριστερό τμήμα αποκοπής, γ) δεύτερο τμήμα, αριστερό τμήμα αποκοπής, δ) δεύτερο τμήμα, δεξιό τμήμα αποκοπής, ε) διάγραμμα κανονικών δυνάμεων

Εικ.1.Σχεδίαση κανονικών δυνάμεων:

Αφήστε . Πρώτα από όλα, ορίζουμε την αντίδραση υποστήριξης R, δεδομένης της κατεύθυνσής του κατά μήκος του άξονα Χ.

Η δοκός έχει 2 τμήματα 1 και 2.

Μέσα στο πρώτο τμήμα κόβουμε νοερά τη δοκό σε 2 μέρη με ένα κανονικό τμήμα και εξετάζουμε την ισορροπία, ας πούμε την αριστερή πλευρά, εισάγοντας την παρακάτω συντεταγμένη x 1, Εικ.1 β:

Κατά συνέπεια, στο πρώτο τμήμα, η δοκός υφίσταται συμπίεση από μια σταθερή κανονική δύναμη.

Το ίδιο θα κάνουμε και με τη δεύτερη ενότητα. Κόψτε το διανοητικά με ένα τμήμα 2-2 και σκεφτείτε την ισορροπία της αριστερής πλευράς (Εικ. 1 γ) Ας καθορίσουμε πρώτα τα όρια της αλλαγής x 2:

Αντικατάσταση των οριακών τιμών της παραμέτρου x 2, παίρνουμε:

Έτσι, μέσα στο δεύτερο τμήμα, η δοκός τεντώνεται και η κανονική δύναμη αλλάζει γραμμικά.

Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα προκύπτει όταν εξετάζουμε το δεξιό τμήμα αποκοπής (Εικ. 1δ):

Με βάση τα δεδομένα που ελήφθησαν, κατασκευάζεται ένα διάγραμμα κανονικών δυνάμεων με τη μορφή γραφήματος της κατανομής της κανονικής δύναμης κατά μήκος της ράβδου (Εικ. 1ε). Είναι χαρακτηριστικό ότι τα άλματα στο διάγραμμα οφείλονται στην παρουσία συγκεντρωμένων δυνάμεων στα αντίστοιχα τμήματα RΚαι R, που με τη σειρά του μπορεί να χρησιμεύσει ως κανόνας για την ορθότητα των κατασκευών που εκτελούνται.

Για τον έλεγχο της αντοχής σε κάμψη, σύμφωνα με τα εξωτερικά φορτία που ασκούνται στη δοκό, κατασκευάζονται διαγράμματα μεταβολών των εσωτερικών δυνάμεων σε όλο το μήκος της και προσδιορίζονται τα επικίνδυνα τμήματα της δοκού, για καθένα από τα οποία είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί δοκιμή αντοχής. .

Με μια δοκιμή πλήρους αντοχής, θα υπάρχουν τουλάχιστον τρία τέτοια τμήματα (μερικές φορές συμπίπτουν):

1. τμήμα στο οποίο η ροπή κάμψης Μχ- φτάνει τη μέγιστη τιμή του σε απόλυτη τιμή, - για αυτό το τμήμα επιλέγεται το τμήμα ολόκληρης της δοκού.

2. τμήμα στο οποίο η εγκάρσια δύναμη Qy, φτάνει τη μέγιστη τιμή modulo του.

3. τμήμα στο οποίο και ροπή κάμψης Μχκαι δύναμη διάτμησης Qyφτάνουν σε αρκετά μεγάλες τιμές συντελεστή.

Σε κάθε ένα από τα επικίνδυνα τμήματα, είναι απαραίτητο, έχοντας δημιουργήσει διαγράμματα κανονικών και διατμητικές τάσεις, να βρεθούν τα επικίνδυνα σημεία της τομής (γίνεται έλεγχος αντοχής για καθένα από αυτά), τα οποία θα είναι επίσης τουλάχιστον τρία:

1. το σημείο στο οποίο οι κανονικές τάσεις φτάνουν τη μέγιστη τιμή τους - δηλαδή το σημείο στην εξωτερική επιφάνεια της δοκού που είναι το πιο απομακρυσμένο από τον ουδέτερο άξονα της διατομής.

2. το σημείο στο οποίο οι διατμητικές τάσεις φθάνουν στη μέγιστη τιμή τους - ένα σημείο που βρίσκεται στον ουδέτερο άξονα της διατομής.

το σημείο στο οποίο τόσο οι κανονικές όσο και οι διατμητικές τάσεις φτάνουν σε αρκετά μεγάλες τιμές (αυτός ο έλεγχος έχει νόημα
για τμήματα όπως μπλουζάκι ή I-beam, όπου το πλάτος αλλάζει απότομα την τιμή του).

14) Κατάσταση αντοχής στρέψης. Η έννοια του επικίνδυνου τμήματος
Η συνθήκη αντοχής στρέψης, λαμβάνοντας υπόψη τον υιοθετημένο συμβολισμό, διαμορφώνεται ως εξής: οι μέγιστες τάσεις διάτμησης που εμφανίζονται στο επικίνδυνο τμήμα του άξονα δεν πρέπει να υπερβαίνουν τις επιτρεπόμενες τάσεις και γράφεται ως

όπου λαμβάνεται είτε με βάση πειραματικά δεδομένα, είτε (ελλείψει των απαραίτητων πειραματικών χαρακτηριστικών) σύμφωνα με τις θεωρίες αντοχής που αντιστοιχούν στο υλικό. Για παράδειγμα, από τις θεωρίες αντοχής για εύθραυστα υλικά που εφαρμόζονται στην καθαρή διάτμηση, ακολουθούν τα ακόλουθα αποτελέσματα:

Από τη δεύτερη θεωρία της δύναμης

Από τη θεωρία του Mohr

Από τις θεωρίες αντοχής για όλκιμα υλικά σε καθαρή διάτμηση, λαμβάνουμε:

Σύμφωνα με την τρίτη θεωρία της δύναμης

Σύμφωνα με την τέταρτη θεωρία της δύναμης

Όπως προκύπτει από το νόμο του ζευγαρώματος των εφαπτομενικών τάσεων, ταυτόχρονα με τις εφαπτομενικές τάσεις που δρουν στο επίπεδο της διατομής του άξονα, εμφανίζονται εφαπτομενικές τάσεις στα διαμήκη επίπεδα. Είναι ίσα σε μέγεθος με τις τάσεις ζεύγους, αλλά έχουν το αντίθετο πρόσημο. Έτσι, όλα τα στοιχεία της δοκού κατά τη στρέψη βρίσκονται σε κατάσταση καθαρής διάτμησης. Εφόσον η καθαρή διάτμηση είναι μια ειδική περίπτωση μιας κατάστασης επιπέδου τάσης, στην οποία , , , τότε όταν οι όψεις των στοιχείων περιστρέφονται κατά 45 0, μόνο κανονικές τάσεις ίσες σε μέγεθος βρίσκονται σε νέες περιοχές (Εικ. 5.8).

Εξετάστε τους πιθανούς τύπους καταστροφής αξόνων από διάφορα υλικά κατά τη στρέψη. Οι άξονες από πλαστικά υλικά καταστρέφονται συχνότερα κατά μήκος ενός τμήματος κάθετου προς τον άξονα του άξονα, υπό την επίδραση των τάσεων διάτμησης που δρουν σε αυτό το τμήμα (Εικ. 5.9, α). Οι άξονες από εύθραυστα υλικά καταστρέφονται κατά μήκος της ελικοειδής επιφάνειας με κλίση προς τον άξονα του άξονα υπό γωνία 45 0, δηλ. προς την κατεύθυνση δράσης των μέγιστων τάσεων εφελκυσμού (Εικ. 5.9, β). Σε ξύλινους άξονες, οι πρώτες ρωγμές εμφανίζονται κατά μήκος των γενετικών στοιχείων του κυλίνδρου, καθώς το ξύλο αντέχει ελάχιστα στη δράση των τάσεων διάτμησης που κατευθύνονται κατά μήκος των ινών (Εικ. 5.9, γ).

Εικ.5.8 Εικ.5.9

Έτσι, η φύση της καταστροφής εξαρτάται από την ικανότητα του υλικού του άξονα να αντιστέκεται στις επιδράσεις κανονικών και διατμητικές τάσεις. Σύμφωνα με αυτό, οι επιτρεπόμενες διατμητικές τάσεις λαμβάνονται ίσες με - για εύθραυστα υλικά και - για όλκιμα υλικά.

ΣΕ επικίνδυνο τμήμα του άξονα κατά την κάμψη με στρέψηπροκύψουν ταυτόχρονα υψηλότερη ροπή () και τη ροπή κάμψης που προκύπτει.

15) Στρέψη. Στρεπτική τάση. Διάγραμμα διατμητικές τάσεις.
συστροφή ονομάζεται η παραμόρφωση που συμβαίνει όταν ένα ζεύγος δυνάμεων ενεργεί στη ράβδο, που βρίσκεται σε επίπεδο κάθετο στον άξονά της (Εικ. 5.1).

Οι ράβδοι κυκλικής ή δακτυλιοειδούς τομής, που λειτουργούν σε στρέψη, ονομάζονται άξονες. Κατά τον υπολογισμό των αξόνων, η ισχύς που μεταδίδεται στον άξονα είναι συνήθως γνωστή και πρέπει να προσδιοριστεί το μέγεθος των εξωτερικών ροπών συστροφής. Οι εξωτερικές στρεπτικές ροπές, κατά κανόνα, μεταφέρονται στον άξονα στα σημεία που εφαρμόζουν πάνω του τροχαλίες, γρανάζια κ.λπ.

Αφήστε τον άξονα να περιστραφεί με σταθερή ταχύτητα nσ.α.λ και μεταδίδουν ισχύ Ν Nm/s Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του άξονα είναι ίση με (rad / sec), και η μεταδιδόμενη ισχύς είναι .

Η στιγμή της συστροφής είναι .

Εάν η ισχύς δίνεται σε κιλοβάτ, τότε η τιμή της ροπής καθορίζεται από τον τύπο

ΤΑΣΗ ΣΤΡΕΨΗΣ.

Εάν εφαρμοστούν ίσες αλλά αντίθετα κατευθυνόμενες εξωτερικές στρεπτικές ροπές στα άκρα του άξονα, τότε υπάρχουν μόνο εφαπτομενικές τάσεις σε όλες τις διατομές του, δηλ. η κατάσταση τάσης στα σημεία της στριμμένης ράβδου είναι καθαρή διάτμηση. Στην κυκλική διατομή του άξονα, οι διατμητικές τάσεις και οι τάσεις διάτμησης είναι ίσες με μηδέν στο κέντρο και είναι μέγιστες στην άκρη. σε ενδιάμεσα σημεία είναι ανάλογα με την απόσταση από το κέντρο βάρους της τομής. Ο συνήθης τύπος για τη μέγιστη στρεπτική διατμητική τάση είναι: μικρό = Tc/J, Οπου Τ- στρίψιμο στο ένα άκρο, ντοείναι η ακτίνα του άξονα και Jείναι η πολική ροπή της τομής. Για κύκλο J = pr 4/2. Αυτός ο τύπος ισχύει μόνο στην περίπτωση κυκλικής διατομής. Οι τύποι για άξονες με διατομή διαφορετικού σχήματος προέρχονται από την επίλυση των αντίστοιχων προβλημάτων χρησιμοποιώντας τις μεθόδους της μαθηματικής θεωρίας της ελαστικότητας, σε ορισμένες περιπτώσεις με μεθόδους πειραματικής ανάλυσης.

Ρύζι. 2.9. Οικόπεδα διατμητικές τάσεις σε στρέψη

α) ελαστικό στάδιο. β) στάδιο πλαστικής παραμόρφωσης.

γ) στάδιο καταστροφής. 1 – ελαστική ζώνη. 2 - πλαστική ζώνη