Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε δύο ακόμη πράξεις με διανύσματα: διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτωνΚαι μικτό γινόμενο διανυσμάτων (άμεσος σύνδεσμος για όσους το χρειάζονται). Δεν πειράζει, συμβαίνει μερικές φορές ότι για πλήρη ευτυχία, εκτός από τελείες γινόμενο των διανυσμάτων, χρειάζονται όλο και περισσότερα. Αυτός είναι ο διανυσματικός εθισμός. Μπορεί να έχει κανείς την εντύπωση ότι μπαίνουμε στη ζούγκλα της αναλυτικής γεωμετρίας. Αυτό είναι λάθος. Σε αυτό το τμήμα των ανώτερων μαθηματικών, υπάρχουν γενικά λίγα καυσόξυλα, εκτός ίσως από αρκετά για τον Πινόκιο. Στην πραγματικότητα, το υλικό είναι πολύ κοινό και απλό - σχεδόν πιο δύσκολο από το ίδιο κλιμακωτό προϊόν, ακόμη και τυπικές εργασίεςθα είναι λιγότερο. Το κύριο πράγμα στην αναλυτική γεωμετρία, όπως πολλοί θα δουν ή έχουν ήδη δει, είναι ΝΑ ΜΗΝ ΛΑΘΟΥΜΕ ΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥΣ. Επαναλάβετε σαν ξόρκι και θα είστε χαρούμενοι =)

Αν τα διανύσματα αστράφτουν κάπου μακριά, σαν αστραπή στον ορίζοντα, δεν πειράζει, ξεκινήστε με το μάθημα Διανύσματα για ανδρείκελανα επαναφέρουν ή να αποκτήσουν εκ νέου βασικές γνώσεις για τα διανύσματα. Οι πιο προετοιμασμένοι αναγνώστες μπορούν να εξοικειωθούν με τις πληροφορίες επιλεκτικά, προσπάθησα να συγκεντρώσω την πληρέστερη συλλογή παραδειγμάτων που βρίσκονται συχνά στο πρακτική δουλειά

Τι θα σε κάνει ευτυχισμένο; Όταν ήμουν μικρός, μπορούσα να κάνω ταχυδακτυλουργικά δύο ή και τρεις μπάλες. Λειτουργούσε καλά. Τώρα δεν χρειάζεται καθόλου ταχυδακτυλουργία, αφού θα εξετάσουμε μόνο διανύσματα χώρου, και επίπεδα διανύσματα με δύο συντεταγμένες θα παραμείνουν εκτός. Γιατί; Έτσι γεννήθηκαν αυτές οι ενέργειες - το διάνυσμα και το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων ορίζονται και λειτουργούν σε τρισδιάστατο χώρο. Ήδη πιο εύκολο!

Σε αυτή τη λειτουργία, με τον ίδιο τρόπο όπως στο βαθμωτό γινόμενο, δύο διανύσματα. Ας είναι άφθαρτα γράμματα.

Η ίδια η δράση συμβολίζεταιμε τον εξής τρόπο: . Υπάρχουν και άλλες επιλογές, αλλά έχω συνηθίσει να ορίζω το σταυρό γινόμενο των διανυσμάτων με αυτόν τον τρόπο, σε αγκύλες με σταυρό.

Και αμέσως ερώτηση: εάν μέσα τελείες γινόμενο των διανυσμάτωνεμπλέκονται δύο διανύσματα, και εδώ πολλαπλασιάζονται επίσης δύο διανύσματα, τότε ποιά είναι η διαφορά? Μια σαφής διαφορά, πρώτα απ 'όλα, στο ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ:

Το αποτέλεσμα του βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ένας ΑΡΙΘΜΟΣ:

Το αποτέλεσμα του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων είναι ΔΙΑΝΥΣΜΑ: , δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τα διανύσματα και παίρνουμε πάλι διάνυσμα. Κλειστό κλαμπ. Στην πραγματικότητα, εξ ου και το όνομα της λειτουργίας. Σε διάφορες εκπαιδευτικές βιβλιογραφία, οι ονομασίες μπορεί επίσης να διαφέρουν, θα χρησιμοποιήσω το γράμμα .

Ορισμός διασταυρούμενου προϊόντος

Πρώτα θα υπάρχει ορισμός με εικόνα και μετά σχόλια.

Ορισμός: σταυρωτό προϊόν μη γραμμικόφορείς, λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, ονομάζεται ΔΙΑΝΥΣΜΑ, μήκοςπου είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου, βασισμένο σε αυτά τα διανύσματα. διάνυσμα ορθογώνιο προς διανύσματα, και κατευθύνεται έτσι ώστε η βάση να έχει σωστό προσανατολισμό:

Αναλύουμε τον ορισμό με τα οστά, υπάρχουν πολλά ενδιαφέροντα πράγματα!

Έτσι, μπορούμε να επισημάνουμε τα ακόλουθα σημαντικά σημεία:

1) Διανύσματα πηγής , που υποδεικνύονται με κόκκινα βέλη, εξ ορισμού όχι συγγραμμική. Θα είναι σκόπιμο να εξετάσουμε την περίπτωση των συγγραμμικών διανυσμάτων λίγο αργότερα.

2) Διανύσματα που λαμβάνονται με αυστηρή σειρά: – Το "a" πολλαπλασιάζεται με το "be", όχι "είναι" στο "α". Το αποτέλεσμα του διανυσματικού πολλαπλασιασμούείναι ΔΙΑΝΥΣΜΑ , το οποίο συμβολίζεται με μπλε. Αν τα διανύσματα πολλαπλασιαστούν επί αντίστροφη σειρά, τότε παίρνουμε διάνυσμα ίσο σε μήκος και αντίθετο σε φορά (βυσσινί χρώμα). Δηλαδή την ισότητα .

3) Τώρα ας εξοικειωθούμε με τη γεωμετρική σημασία του διανυσματικού γινομένου. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό σημείο! Το ΜΗΚΟΣ του μπλε διανύσματος (και, επομένως, του βυσσινί διανύσματος ) είναι αριθμητικά ίσο με το ΕΜΒΑΔΟ του παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο στα διανύσματα. Στο σχήμα, αυτό το παραλληλόγραμμο είναι σκιασμένο με μαύρο χρώμα.

Σημείωση : το σχέδιο είναι σχηματικό και, φυσικά, το ονομαστικό μήκος του εγκάρσιου γινομένου δεν είναι ίσο με την περιοχή του παραλληλογράμμου.

Θυμόμαστε έναν από τους γεωμετρικούς τύπους: το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο των παρακείμενων πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους. Επομένως, με βάση τα παραπάνω, ισχύει ο τύπος για τον υπολογισμό του ΜΗΚΟΥΣ ενός διανυσματικού γινομένου:

Τονίζω ότι στον τύπο μιλάμε για το ΜΗΚΟΣ του διανύσματος, και όχι για το ίδιο το διάνυσμα. Ποιο είναι το πρακτικό νόημα; Και το νόημα είναι τέτοιο που σε προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας, η περιοχή ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται συχνά μέσω της έννοιας ενός διανυσματικού προϊόντος:

Παίρνουμε τη δεύτερη σημαντική φόρμουλα. Η διαγώνιος του παραλληλογράμμου (κόκκινη διακεκομμένη γραμμή) το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα. Επομένως, η περιοχή ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα (κόκκινη σκίαση) μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

4) Όχι λιγότερο από σημαντικό γεγονόςείναι ότι το διάνυσμα είναι ορθογώνιο στα διανύσματα, δηλαδή, . Φυσικά, το αντίθετα κατευθυνόμενο διάνυσμα (βυσσινί βέλος) είναι επίσης ορθογώνιο στα αρχικά διανύσματα.

5) Το διάνυσμα κατευθύνεται έτσι ώστε βάσηΕχει σωστάπροσανατολισμός. Σε ένα μάθημα για μετάβαση σε νέα βάσηΈχω μιλήσει αναλυτικά για επίπεδο προσανατολισμό, και τώρα θα καταλάβουμε ποιος είναι ο προσανατολισμός του χώρου. Θα σου εξηγήσω στα δάχτυλά σου δεξί χέρι . Συνδυάστε διανοητικά δείκτηςμε διάνυσμα και μεσαίο δάχτυλομε διάνυσμα. Δαχτυλίδι και μικρό δάχτυλοπιέστε στην παλάμη σας. Σαν άποτέλεσμα αντίχειρας - το διανυσματικό προϊόν θα αναζητήσει προς τα πάνω. Αυτή είναι η σωστή βάση (είναι στο σχήμα). Τώρα αλλάξτε τα διανύσματα ( δείκτη και μεσαία δάχτυλα) σε ορισμένα σημεία, ως αποτέλεσμα, ο αντίχειρας θα γυρίσει και το διανυσματικό γινόμενο θα κοιτάζει ήδη προς τα κάτω. Αυτή είναι επίσης μια βάση προσανατολισμένη προς τα δεξιά. Ίσως έχετε μια ερώτηση: ποια βάση έχει ο αριστερός προσανατολισμός; «Αναθέστε» τα ίδια δάχτυλα αριστερόχειραςδιανύσματα , και λάβετε την αριστερή βάση και τον προσανατολισμό του αριστερού χώρου (σε αυτή την περίπτωση, ο αντίχειρας θα βρίσκεται στην κατεύθυνση του κάτω διανύσματος). Μεταφορικά, αυτές οι βάσεις «στρίβουν» ή προσανατολίζουν το χώρο σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Και αυτή η έννοια δεν πρέπει να θεωρείται κάτι τραβηγμένο ή αφηρημένο - για παράδειγμα, ο πιο συνηθισμένος καθρέφτης αλλάζει τον προσανατολισμό του χώρου και εάν "τραβήξετε το ανακλώμενο αντικείμενο έξω από τον καθρέφτη", τότε γενικά δεν θα είναι δυνατό να συνδυάστε το με το «πρωτότυπο». Παρεμπιπτόντως, φέρτε τρία δάχτυλα στον καθρέφτη και αναλύστε την αντανάκλαση ;-)

... πόσο καλό είναι αυτό που ξέρετε τώρα δεξιά και αριστεράβάσεις, γιατί οι δηλώσεις κάποιων ομιλητών για αλλαγή προσανατολισμού είναι τρομερές =)

Διανυσματικό γινόμενο συγγραμμικών διανυσμάτων

Ο ορισμός έχει επεξεργαστεί λεπτομερώς, μένει να μάθουμε τι συμβαίνει όταν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά. Εάν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε μπορούν να τοποθετηθούν σε μία ευθεία και το παραλληλόγραμμό μας επίσης «διπλώνεται» σε μία ευθεία. Η περιοχή τέτοιων, όπως λένε οι μαθηματικοί, εκφυλισμένοςτο παραλληλόγραμμο είναι μηδέν. Το ίδιο προκύπτει από τον τύπο - το ημίτονο του μηδέν ή των 180 μοιρών είναι ίσο με μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι η περιοχή είναι μηδέν

Έτσι, εάν , τότε Και . Σημειώστε ότι το ίδιο το διασταυρούμενο γινόμενο είναι ίσο με το μηδενικό διάνυσμα, αλλά στην πράξη αυτό συχνά αγνοείται και γράφεται ότι είναι επίσης ίσο με μηδέν.

Μια ειδική περίπτωση είναι το διανυσματικό γινόμενο ενός διανύσματος και του ίδιου του:

Χρησιμοποιώντας το διασταυρούμενο γινόμενο, μπορείτε να ελέγξετε τη συγγραμμικότητα των τρισδιάστατων διανυσμάτων και θα αναλύσουμε επίσης αυτό το πρόβλημα, μεταξύ άλλων.

Για την επίλυση πρακτικών παραδειγμάτων, μπορεί να είναι απαραίτητο τριγωνομετρικός πίνακαςνα βρείτε τις τιμές των ημιτόνων από αυτό.

Λοιπόν, ας βάλουμε φωτιά:

Παράδειγμα 1

α) Να βρείτε το μήκος του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων αν

β) Βρείτε το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Λύση: Όχι, δεν πρόκειται για τυπογραφικό λάθος, σκόπιμα έκανα ίδια τα αρχικά δεδομένα στα στοιχεία συνθήκης. Γιατί ο σχεδιασμός των λύσεων θα είναι διαφορετικός!

α) Σύμφωνα με την προϋπόθεση, απαιτείται να βρεθεί μήκοςδιάνυσμα (διανυσματικό γινόμενο). Σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Αφού ρωτήθηκε για το μήκος, τότε στην απάντηση αναφέρουμε τη διάσταση - μονάδες.

β) Σύμφωνα με την προϋπόθεση απαιτείται να βρεθεί τετράγωνοπαραλληλόγραμμο που βασίζεται σε διανύσματα. Το εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου είναι αριθμητικά ίσο με το μήκος του εγκάρσιου γινομένου:

Απάντηση:

Λάβετε υπόψη ότι στην απάντηση σχετικά με το διανυσματικό γινόμενο δεν γίνεται καθόλου συζήτηση, μας ρωτήθηκε περιοχή σχήματος, αντίστοιχα, η διάσταση είναι τετράγωνες μονάδες.

Εξετάζουμε πάντα ΤΙ απαιτείται να βρεθεί από την συνθήκη και, με βάση αυτό, διατυπώνουμε Σαφήαπάντηση. Μπορεί να φαίνεται σαν κυριολεξία, αλλά υπάρχουν αρκετοί κυριολεκτικοί μεταξύ των δασκάλων και η εργασία με καλές πιθανότητες θα επιστραφεί για αναθεώρηση. Αν και αυτό δεν είναι ένα ιδιαίτερα τεταμένο τσίμπημα - εάν η απάντηση είναι λανθασμένη, τότε έχει την εντύπωση ότι το άτομο δεν καταλαβαίνει απλά πράγματα ή/και δεν έχει κατανοήσει την ουσία της εργασίας. Αυτή η στιγμή πρέπει να διατηρείται πάντα υπό έλεγχο, λύνοντας οποιοδήποτε πρόβλημα στα ανώτερα μαθηματικά, αλλά και σε άλλα μαθήματα.

Πού πήγε το μεγάλο γράμμα «εν»; Κατ 'αρχήν, θα μπορούσε να κολλήσει επιπλέον στη λύση, αλλά για να συντομεύσω τον δίσκο, δεν το έκανα. Ελπίζω να το καταλάβουν όλοι και να είναι ο προσδιορισμός του ίδιου πράγματος.

Ένα δημοφιλές παράδειγμα για μια λύση "φτιάξ' το μόνος σου":

Παράδειγμα 2

Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Ο τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου μέσω του διανυσματικού γινόμενου δίνεται στα σχόλια του ορισμού. Λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Στην πράξη, το έργο είναι πολύ συνηθισμένο, τα τρίγωνα μπορούν γενικά να βασανιστούν.

Για να λύσουμε άλλα προβλήματα χρειαζόμαστε:

Ιδιότητες του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων

Έχουμε ήδη εξετάσει ορισμένες ιδιότητες του διανυσματικού προϊόντος, ωστόσο, θα τις συμπεριλάβω σε αυτήν τη λίστα.

Για αυθαίρετα διανύσματα και έναν αυθαίρετο αριθμό, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

1) Σε άλλες πηγές πληροφοριών, αυτό το στοιχείο συνήθως δεν διακρίνεται στις ιδιότητες, αλλά είναι πολύ σημαντικό από πρακτική άποψη. Ας είναι λοιπόν.

2) - η ιδιοκτησία συζητείται επίσης παραπάνω, μερικές φορές ονομάζεται αντιμεταθετικότητα. Με άλλα λόγια, η σειρά των διανυσμάτων έχει σημασία.

3) - συνδυασμός ή προσεταιριστικήνόμοι διανυσματικών προϊόντων. Οι σταθερές αφαιρούνται εύκολα από τα όρια του γινομένου του διανύσματος. Αλήθεια, τι κάνουν εκεί;

4) - διανομή ή διανομήνόμοι διανυσματικών προϊόντων. Δεν υπάρχουν προβλήματα ούτε με το άνοιγμα των στηριγμάτων.

Ως επίδειξη, εξετάστε ένα σύντομο παράδειγμα:

Παράδειγμα 3

Βρείτε αν

Λύση:Κατά συνθήκη, απαιτείται και πάλι να βρεθεί το μήκος του γινομένου του διανύσματος. Ας ζωγραφίσουμε τη μινιατούρα μας:

(1) Σύμφωνα με τους συνειρμικούς νόμους, βγάζουμε τις σταθερές πέρα ​​από τα όρια του διανυσματικού γινομένου.

(2) Βγάζουμε τη σταθερά από τη μονάδα, ενώ η ενότητα «τρώει» το σύμβολο μείον. Το μήκος δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

(3) Αυτό που ακολουθεί είναι σαφές.

Απάντηση:

Ήρθε η ώρα να ρίξουμε ξύλα στη φωτιά:

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα αν

Λύση: Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο . Το εμπόδιο είναι ότι τα διανύσματα "ce" και "te" αντιπροσωπεύονται από μόνα τους ως αθροίσματα διανυσμάτων. Ο αλγόριθμος εδώ είναι τυπικός και θυμίζει κάπως τα παραδείγματα Νο. 3 και 4 του μαθήματος. Σημείο γινόμενο διανυσμάτων. Ας το αναλύσουμε σε τρία βήματα για σαφήνεια:

1) Στο πρώτο βήμα, εκφράζουμε το διανυσματικό γινόμενο μέσω του γινομένου του διανύσματος, στην πραγματικότητα, εκφράζουν το διάνυσμα ως προς το διάνυσμα. Δεν υπάρχει ακόμη λέξη για το μήκος!

(1) Αντικαθιστούμε εκφράσεις διανυσμάτων .

(2) Χρησιμοποιώντας νόμους διανομής, ανοίγουμε τις αγκύλες σύμφωνα με τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πολυωνύμων.

(3) Χρησιμοποιώντας τους συνειρμικούς νόμους, αφαιρούμε όλες τις σταθερές πέρα ​​από τα διανυσματικά γινόμενα. Με λίγη εμπειρία, οι ενέργειες 2 και 3 μπορούν να εκτελεστούν ταυτόχρονα.

(4) Ο πρώτος και ο τελευταίος όρος είναι ίσοι με μηδέν (μηδενικό διάνυσμα) λόγω της ευχάριστης ιδιότητας . Στον δεύτερο όρο, χρησιμοποιούμε την ιδιότητα αντιμεταλλαξιμότητας του γινομένου του διανύσματος:

(5) Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους.

Ως αποτέλεσμα, το διάνυσμα αποδείχθηκε ότι εκφράζεται μέσω ενός διανύσματος, το οποίο ήταν αυτό που έπρεπε να επιτευχθεί:

2) Στο δεύτερο βήμα, βρίσκουμε το μήκος του διανυσματικού γινόμενου που χρειαζόμαστε. Αυτή η ενέργεια είναι παρόμοια με το Παράδειγμα 3:

3) Βρείτε το εμβαδόν του επιθυμητού τριγώνου:

Τα βήματα 2-3 του διαλύματος θα μπορούσαν να τακτοποιηθούν σε μία γραμμή.

Απάντηση:

Το εξεταζόμενο πρόβλημα είναι αρκετά κοινό σε εργασίες ελέγχουαχ, εδώ είναι ένα παράδειγμα για μια λύση "φτιάξ' το μόνος σου":

Παράδειγμα 5

Βρείτε αν

Σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος. Ας δούμε πόσο προσεκτικοί ήσουν όταν μελετούσες τα προηγούμενα παραδείγματα ;-)

Διασταυρούμενο γινόμενο διανυσμάτων σε συντεταγμένες

, που δίνεται στην ορθοκανονική βάση , εκφράζεται με τον τύπο:

Ο τύπος είναι πραγματικά απλός: γράφουμε τα διανύσματα συντεταγμένων στην επάνω γραμμή της ορίζουσας, «πακετάρουμε» τις συντεταγμένες των διανυσμάτων στη δεύτερη και τρίτη γραμμή και βάζουμε με αυστηρή σειρά- πρώτα, οι συντεταγμένες του διανύσματος "ve", μετά οι συντεταγμένες του διανύσματος "double-ve". Εάν τα διανύσματα πρέπει να πολλαπλασιαστούν με διαφορετική σειρά, τότε οι γραμμές θα πρέπει επίσης να αλλάξουν:

Παράδειγμα 10

Ελέγξτε εάν τα ακόλουθα διανύσματα διαστήματος είναι συγγραμμικά:
ΕΝΑ)
σι)

Λύση: Το τεστ βασίζεται σε μία από τις προτάσεις σε αυτό το μάθημα: εάν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, τότε το διασταυρούμενο γινόμενο τους είναι μηδέν (μηδέν διάνυσμα): .

α) Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο:

Άρα τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά.

β) Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο:

Απάντηση: α) όχι συγγραμμικό, β)

Εδώ, ίσως, υπάρχουν όλες οι βασικές πληροφορίες για το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων.

Αυτό το τμήμα δεν θα είναι πολύ μεγάλο, καθώς υπάρχουν λίγα προβλήματα όπου χρησιμοποιείται το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων. Στην πραγματικότητα, όλα θα βασίζονται στον ορισμό, τη γεωμετρική σημασία και μερικές φόρμουλες εργασίας.

Το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι το γινόμενο τριών διανυσμάτων:

Έτσι παρατάχθηκαν σαν τρένο και περιμένουν, δεν μπορούν να περιμένουν μέχρι να υπολογιστούν.

Πρώτα πάλι ο ορισμός και η εικόνα:

Ορισμός: Μικτό προϊόν μη ομοεπίπεδηφορείς, λαμβάνονται με αυτή τη σειρά, λέγεται όγκος του παραλληλεπίπεδου, βασισμένο σε αυτά τα διανύσματα, εξοπλισμένο με ένα σύμβολο "+" εάν η βάση είναι σωστή και ένα σύμβολο "-" εάν η βάση είναι αριστερά.

Ας κάνουμε το σχέδιο. Οι αόρατες σε εμάς γραμμές σχεδιάζονται με μια διακεκομμένη γραμμή:

Ας βουτήξουμε στον ορισμό:

2) Διανύσματα που λαμβάνονται με μια ορισμένη σειρά, δηλαδή, η μετάθεση των διανυσμάτων στο γινόμενο, όπως μπορείτε να μαντέψετε, δεν είναι χωρίς συνέπειες.

3) Πριν σχολιάσω τη γεωμετρική σημασία, θα σημειώσω το προφανές γεγονός: το μικτό γινόμενο των διανυσμάτων είναι ΑΡΙΘΜΟΣ: . Στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία, ο σχεδιασμός μπορεί να είναι κάπως διαφορετικός, χρησιμοποίησα για να ορίσω ένα μικτό προϊόν μέσω και το αποτέλεσμα των υπολογισμών με το γράμμα "pe".

Α-πριό το μικτό προϊόν είναι ο όγκος του παραλληλεπίπεδου, χτισμένο σε διανύσματα (το σχήμα σχεδιάζεται με κόκκινα διανύσματα και μαύρες γραμμές). Δηλαδή, ο αριθμός είναι ίσος με τον όγκο του δεδομένου παραλληλεπίπεδου.

Σημείωση : Το σχέδιο είναι σχηματικό.

4) Ας μην ασχοληθούμε ξανά με την έννοια του προσανατολισμού της βάσης και του χώρου. Το νόημα του τελευταίου μέρους είναι ότι μπορεί να προστεθεί ένα σύμβολο μείον στον τόμο. Με απλά λόγια, το μεικτό προϊόν μπορεί να είναι αρνητικό: .

Ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός παραλληλεπίπεδου που βασίζεται σε διανύσματα προκύπτει απευθείας από τον ορισμό.

Σε αυτό το άρθρο, θα σταθούμε στην έννοια του διασταυρούμενου γινομένου δύο διανυσμάτων. Θα δώσουμε τους απαραίτητους ορισμούς, θα γράψουμε έναν τύπο για την εύρεση των συντεταγμένων ενός διανυσματικού γινομένου, θα παραθέσουμε και θα αιτιολογήσουμε τις ιδιότητές του. Μετά από αυτό, θα σταθούμε στη γεωμετρική σημασία του διασταυρούμενου γινομένου δύο διανυσμάτων και θα εξετάσουμε τις λύσεις διαφόρων τυπικών παραδειγμάτων.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ορισμός ενός διανυσματικού προϊόντος.

Πριν δώσουμε έναν ορισμό του διασταυρούμενου γινομένου, ας ασχοληθούμε με τον προσανατολισμό ενός διατεταγμένου τριπλού διανυσμάτων στον τρισδιάστατο χώρο.

Ας αναβάλουμε τα διανύσματα από ένα σημείο. Ανάλογα με την κατεύθυνση του διανύσματος, το τριπλό μπορεί να είναι δεξιά ή αριστερά. Ας δούμε από το τέλος του διανύσματος πώς η συντομότερη στροφή από το διάνυσμα στο . Εάν η συντομότερη περιστροφή είναι αριστερόστροφα, τότε καλείται το τριπλό των διανυσμάτων σωστά, σε διαφορετική περίπτωση - αριστερά.

Τώρα ας πάρουμε δύο μη συγγραμμικά διανύσματα και . Αφήστε κατά μέρος διανύσματα και από το σημείο Α. Ας κατασκευάσουμε κάποιο διάνυσμα που είναι κάθετο στο και και ταυτόχρονα. Προφανώς, όταν κατασκευάζουμε ένα διάνυσμα, μπορούμε να κάνουμε δύο πράγματα, δίνοντάς του είτε μία κατεύθυνση είτε την αντίθετη (βλ. εικόνα).

Ανάλογα με την κατεύθυνση του διανύσματος, η διατεταγμένη τριάδα των διανυσμάτων μπορεί να είναι δεξιά ή αριστερά.

Έτσι πλησιάσαμε τον ορισμό του διανυσματικού γινόμενου. Δίνεται για δύο διανύσματα που δίνονται ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένωντρισδιάστατο χώρο.

Ορισμός.

Διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτωνκαι , που δίνεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τρισδιάστατου χώρου, ονομάζεται διάνυσμα έτσι ώστε

Το διασταυρούμενο γινόμενο των διανυσμάτων και συμβολίζεται ως .

Διανυσματικές συντεταγμένες προϊόντος.

Τώρα δίνουμε τον δεύτερο ορισμό ενός διανυσματικού γινόμενου, που μας επιτρέπει να βρούμε τις συντεταγμένες του από τις συντεταγμένες των δεδομένων διανυσμάτων και.

Ορισμός.

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων τρισδιάστατου χώρου διασταυρούμενο γινόμενο δύο διανυσμάτων Και είναι ένα διάνυσμα , όπου υπάρχουν διανύσματα συντεταγμένων.

Αυτός ο ορισμός μας δίνει το σταυρό γινόμενο σε συντεταγμένη μορφή.

Είναι βολικό να αναπαραστήσουμε το γινόμενο του φορέα με τη μορφή ενός προσδιοριστή τετράγωνη μήτρατης τρίτης τάξης, η πρώτη γραμμή της οποίας είναι τα orts, η δεύτερη γραμμή περιέχει τις συντεταγμένες του διανύσματος και η τρίτη γραμμή περιέχει τις συντεταγμένες του διανύσματος σε ένα δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων:

Εάν επεκτείνουμε αυτήν την ορίζουσα με τα στοιχεία της πρώτης σειράς, τότε λαμβάνουμε ισότητα από τον ορισμό του γινομένου του διανύσματος σε συντεταγμένες (αν χρειάζεται, ανατρέξτε στο άρθρο):

Πρέπει να σημειωθεί ότι η μορφή συντεταγμένων του διασταυρούμενου γινομένου είναι πλήρως συνεπής με τον ορισμό που δίνεται στην πρώτη παράγραφο αυτού του άρθρου. Επιπλέον, αυτοί οι δύο ορισμοί ενός διασταυρούμενου προϊόντος είναι ισοδύναμοι. Η απόδειξη αυτού του γεγονότος βρίσκεται στο βιβλίο που αναφέρεται στο τέλος του άρθρου.

Διανυσματικές ιδιότητες προϊόντος.

Εφόσον το διανυσματικό γινόμενο σε συντεταγμένες μπορεί να αναπαρασταθεί ως ο προσδιοριστής του πίνακα, τα ακόλουθα μπορούν εύκολα να τεκμηριωθούν με βάση ιδιότητες του διανυσματικού προϊόντος:

Για παράδειγμα, ας αποδείξουμε την ιδιότητα αντιμεταλλαξιμότητας ενός προϊόντος διανύσματος.

Α-πριό Και . Γνωρίζουμε ότι η τιμή της ορίζουσας ενός πίνακα αντιστρέφεται όταν ανταλλάσσονται δύο σειρές, οπότε, , το οποίο αποδεικνύει την ιδιότητα αντιμεταλλαξιμότητας του προϊόντος του διανύσματος.

Διανυσματικό προϊόν - παραδείγματα και λύσεις.

Βασικά υπάρχουν τρεις τύποι εργασιών.

Σε προβλήματα του πρώτου τύπου δίνονται τα μήκη δύο διανυσμάτων και η μεταξύ τους γωνία και απαιτείται να βρεθεί το μήκος του εγκάρσιου γινομένου. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιείται ο τύπος .

Παράδειγμα.

Να βρείτε το μήκος του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων και αν είναι γνωστό .

Λύση.

Γνωρίζουμε από τον ορισμό ότι το μήκος του εγκάρσιου γινομένου των διανυσμάτων και είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των διανυσμάτων και φορές το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας, επομένως, .

Απάντηση:

.

Οι εργασίες του δεύτερου τύπου συνδέονται με τις συντεταγμένες των διανυσμάτων, στα οποία το διανυσματικό γινόμενο, το μήκος του ή κάτι άλλο αναζητείται μέσω των συντεταγμένων των δεδομένων διανυσμάτων Και .

Υπάρχουν πολλές διαφορετικές επιλογές διαθέσιμες εδώ. Για παράδειγμα, όχι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων και , αλλά οι επεκτάσεις τους σε διανύσματα συντεταγμένων της μορφής και , ή διανύσματα και μπορούν να καθοριστούν από τις συντεταγμένες των σημείων έναρξης και τέλους τους.

Ας εξετάσουμε χαρακτηριστικά παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Δίνονται δύο διανύσματα σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων . Βρείτε το διανυσματικό γινόμενο τους.

Λύση.

Σύμφωνα με τον δεύτερο ορισμό, το διασταυρούμενο γινόμενο δύο διανυσμάτων σε συντεταγμένες γράφεται ως:

Θα είχαμε καταλήξει στο ίδιο αποτέλεσμα αν είχαμε γράψει το διανυσματικό γινόμενο μέσω της ορίζουσας

Απάντηση:

.

Παράδειγμα.

Βρείτε το μήκος του διασταυρούμενου γινόμενου των διανυσμάτων και , όπου είναι οι στροφές του ορθογώνιου καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων.

Λύση.

Αρχικά, βρείτε τις συντεταγμένες του διανυσματικού γινόμενου σε ένα δεδομένο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

Δεδομένου ότι τα διανύσματα και έχουν συντεταγμένες και αντίστοιχα (αν χρειάζεται, δείτε το άρθρο διανυσματικές συντεταγμένες σε ορθογώνιες συντεταγμένες), τότε με τον δεύτερο ορισμό του διανυσματικού γινομένου έχουμε

Δηλαδή το διανυσματικό γινόμενο έχει συντεταγμένες στο δεδομένο σύστημα συντεταγμένων.

Βρίσκουμε το μήκος ενός διανυσματικού γινόμενου ως την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των συντεταγμένων του (λάβαμε αυτόν τον τύπο για το μήκος ενός διανύσματος στην τομή βρίσκοντας το μήκος ενός διανύσματος):

Απάντηση:

.

Παράδειγμα.

Οι συντεταγμένες τριών σημείων δίνονται σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Βρείτε κάποιο διάνυσμα που είναι κάθετο και ταυτόχρονα.

Λύση.

Διανύσματα και έχουν συντεταγμένες και αντίστοιχα (βλ. άρθρο βρίσκοντας τις συντεταγμένες του διανύσματος μέσα από τις συντεταγμένες των σημείων). Αν βρούμε το σταυρό γινόμενο των διανυσμάτων και , τότε εξ ορισμού είναι ένα διάνυσμα κάθετο και στο και στο, δηλαδή είναι η λύση στο πρόβλημά μας. Ας τον βρούμε

Απάντηση:

είναι ένα από τα κάθετα διανύσματα.

Σε εργασίες του τρίτου τύπου ελέγχεται η ικανότητα χρήσης των ιδιοτήτων του διανυσματικού γινομένου των διανυσμάτων. Αφού εφαρμοστούν οι ιδιότητες, εφαρμόζονται οι αντίστοιχοι τύποι.

Παράδειγμα.

Τα διανύσματα και είναι κάθετα και τα μήκη τους είναι 3 και 4 αντίστοιχα. Βρείτε το μήκος του διανυσματικού γινόμενου .

Λύση.

Με την ιδιότητα κατανομής του διανυσματικού γινόμενου, μπορούμε να γράψουμε

Δυνάμει του συνειρμική ιδιότηταβγάζουμε τους αριθμητικούς συντελεστές για το πρόσημο των διανυσματικών γινομένων στην τελευταία παράσταση:

Διανυσματικά γινόμενα και είναι ίσα με μηδέν, αφού Και , Επειτα .

Εφόσον το γινόμενο του διανύσματος είναι αντιμεταθετικό, τότε .

Έτσι, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του διανυσματικού γινομένου, καταλήξαμε στην ισότητα .

Κατά συνθήκη, τα διανύσματα και είναι κάθετα, δηλαδή η γωνία μεταξύ τους είναι ίση με . Δηλαδή έχουμε όλα τα δεδομένα για να βρούμε το απαιτούμενο μήκος

Απάντηση:

.

Η γεωμετρική σημασία του διανυσματικού προϊόντος.

Εξ ορισμού, το μήκος του διασταυρούμενου γινομένου των διανυσμάτων είναι . Και από το μάθημα της γεωμετρίας ΛύκειοΓνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι το μισό του γινόμενου του μήκους των δύο πλευρών του τριγώνου επί το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας. Επομένως, το μήκος του εγκάρσιου γινόμενου είναι ίσο με το διπλάσιο του εμβαδού ενός τριγώνου με τις πλευρές των διανυσμάτων και, εάν αναβάλλονται από ένα σημείο. Με άλλα λόγια, το μήκος του εγκάρσιου γινομένου των διανυσμάτων και είναι ίσο με το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου με πλευρές και και γωνία μεταξύ τους ίση με . Αυτή είναι η γεωμετρική σημασία του διανυσματικού γινομένου.

Τεστ Νο. 1

Διανύσματα. Στοιχεία ανώτερης άλγεβρας

1-20. Τα μήκη των διανυσμάτων και και είναι γνωστά. είναι η γωνία μεταξύ αυτών των διανυσμάτων.

Υπολογίστε: 1) και, 2) .3) Βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται στα διανύσματα και.

Κάντε ένα σχέδιο.

Λύση. Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του γινομένου κουκίδων των διανυσμάτων:

Και οι ιδιότητες του βαθμωτού προϊόντος: ,

1) βρείτε το βαθμωτό τετράγωνο του διανύσματος:

δηλαδή Τότε .

Μαλώνοντας παρόμοια, παίρνουμε

δηλαδή Τότε .

Εξ ορισμού ενός διανυσματικού προϊόντος:

λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι

Το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε διανύσματα και είναι ίσο με

21-40. Οι συντεταγμένες τριών κορυφών είναι γνωστές Α, Β, Δπαραλληλόγραμμο Α Β Γ Δ. Μέσω της διανυσματικής άλγεβρας, χρειάζεστε:

ΕΝΑ(3;0;-7), σι(2;4;6), ρε(-7;-5;1)

Λύση.

Είναι γνωστό ότι οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου στο σημείο τομής διαιρούνται στο μισό. Επομένως, οι συντεταγμένες του σημείου μι- τομές των διαγωνίων - βρείτε ως τις συντεταγμένες του μέσου του τμήματος BD. Δηλώνοντάς τα με Χ μι ,y μι , z μιτο καταλαβαίνουμε

Παίρνουμε .

Γνωρίζοντας τις συντεταγμένες του σημείου μι- διαγώνια μεσαία σημεία BDκαι τις συντεταγμένες ενός από τα άκρα του ΕΝΑ(3;0;-7), από τους τύπους προσδιορίζουμε τις επιθυμητές συντεταγμένες της κορυφής ΜΕπαραλληλόγραμμο:

Η κορυφή λοιπόν.

2) Για να βρούμε την προβολή ενός διανύσματος σε ένα διάνυσμα, βρίσκουμε τις συντεταγμένες αυτών των διανυσμάτων:

ομοίως. Την προβολή ενός διανύσματος σε ένα διάνυσμα, βρίσκουμε με τον τύπο:

3) Η γωνία μεταξύ των διαγωνίων του παραλληλογράμμου βρίσκεται ως η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων

Και από την ιδιότητα του βαθμωτού προϊόντος:

Επειτα

4) Η περιοχή του παραλληλογράμμου βρίσκεται ως μονάδα του διανυσματικού γινομένου:

5) Ο όγκος της πυραμίδας βρίσκεται ως το ένα έκτο του συντελεστή του μικτού γινομένου των διανυσμάτων, όπου O(0;0;0), τότε

Στη συνέχεια, ο επιθυμητός όγκος (κυβικές μονάδες)

41-60. Δεδομένα μήτρας:

V C -1 +3A T

Ονομασίες:

Αρχικά, βρίσκουμε το αντίστροφο του πίνακα C.

Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τον καθοριστικό του παράγοντα:

Η ορίζουσα δεν είναι μηδενική, επομένως, ο πίνακας είναι μη ενικός και για αυτόν μπορείτε να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα C-1

Ας βρούμε αλγεβρικά συμπληρώματα με τον τύπο , όπου είναι η ελάσσονα του στοιχείου :

Επειτα , .

61–80. Λύστε το σύστημα γραμμικές εξισώσεις:

Μέθοδος Cramer; 2. Μέθοδος μήτρας.

Λύση.

α) Μέθοδος Cramer

Ας βρούμε την ορίζουσα του συστήματος

Από τότε, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Βρείτε τις ορίζουσες και , αντικαθιστώντας την πρώτη, δεύτερη και τρίτη στήλη στον πίνακα των συντελεστών, αντίστοιχα, με μια στήλη ελεύθερων όρων.

Σύμφωνα με τους τύπους του Cramer:

σι)μέθοδος μήτρας (χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα).

Γράφουμε αυτό το σύστημα σε μορφή πίνακα και το λύνουμε χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα.

Αφήνω ΕΝΑείναι ο πίνακας των συντελεστών για αγνώστους. Χείναι ο πίνακας στηλών των αγνώστων Χ, y, zΚαι Hείναι ένας πίνακας στήλης ελεύθερων μελών:

Η αριστερή πλευρά του συστήματος (1) μπορεί να γραφτεί ως γινόμενο πινάκων και η δεξιά πλευρά ως πίνακας H. Επομένως, έχουμε την εξίσωση του πίνακα

Δεδομένου ότι η ορίζουσα μήτρας ΕΝΑείναι διαφορετικό από το μηδέν (στοιχείο "a"), τότε ο πίνακας ΕΝΑέχει αντίστροφο πίνακα. Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη της ισότητας (2) στα αριστερά με τον πίνακα , λαμβάνουμε

Από που μι – μήτρα ταυτότητας, α , τότε

Ας έχουμε έναν μη ενικό πίνακα Α:

Στη συνέχεια, ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται από τον τύπο:

Οπου ΕΝΑ ij- αλγεβρικό συμπλήρωμα στοιχείου ένα ijσε ορίζουσα μήτρας ΕΝΑ, που είναι το γινόμενο του (-1) i+j και του δευτερεύοντος (ορίζουσα) n-1σειρά που λαμβάνεται με διαγραφή i-thγραμμές και ι-ουστήλες στην ορίζουσα του πίνακα Α:

Από εδώ παίρνουμε τον αντίστροφο πίνακα:

Στήλη Χ: X=A -1 H

81–100. Να λύσετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss

Λύση. Γράφουμε το σύστημα με τη μορφή εκτεταμένου πίνακα:

Εκτελούμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς με χορδές.

Από τη 2η σειρά αφαιρούμε την πρώτη σειρά πολλαπλασιαζόμενη επί 2. Από τη σειρά 3 αφαιρούμε την πρώτη σειρά πολλαπλασιαζόμενη κατά 4. Από τη σειρά 4 αφαιρούμε την πρώτη σειρά, παίρνουμε τον πίνακα:

Στη συνέχεια, παίρνουμε μηδέν στην πρώτη στήλη των επόμενων σειρών, για αυτό αφαιρούμε την τρίτη σειρά από τη δεύτερη σειρά. Από την τρίτη σειρά αφαιρούμε τη δεύτερη σειρά πολλαπλασιαζόμενη κατά 2. Από την τέταρτη σειρά αφαιρούμε τη δεύτερη σειρά πολλαπλασιαζόμενη κατά 3. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε έναν πίνακα της φόρμας:

Αφαιρέστε την τρίτη από την τέταρτη γραμμή.

Αλλάξτε την προτελευταία και την τελευταία γραμμή:

Ο τελευταίος πίνακας είναι ισοδύναμος με το σύστημα των εξισώσεων:

Από την τελευταία εξίσωση του συστήματος βρίσκουμε .

Αντικαθιστώντας την προτελευταία εξίσωση, παίρνουμε .

Από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος προκύπτει ότι

Από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε το x:

Απάντηση:

Εξέταση Νο 2

Αναλυτική γεωμετρία

1-20. Δίνονται οι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου ΑΛΦΑΒΗΤΟ.Εύρημα:

1) μήκος πλευράς ΕΝΑΣΕ;

2) πλευρικές εξισώσεις ΑΒΚαι Ήλιοςκαι οι πλαγιές τους?

3) γωνία ΣΕσε ακτίνια με δύο δεκαδικά ψηφία.

4) εξίσωση ύψους CDκαι το μήκος του

5) διάμεσος εξίσωση ΑΕ

ψηλός CD;

ΠΡΟΣ ΤΗΝπαράλληλα με την πλευρά AB,

7) κάντε ένα σχέδιο.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Λύση.

Εφαρμόζοντας το (1), βρίσκουμε το μήκος της πλευράς ΑΒ:

2) πλευρικές εξισώσεις ΑΒΚαι Ήλιοςκαι οι πλαγιές τους:

Εξίσωση ευθείας γραμμήςπερνώντας από τα σημεία και έχει τη μορφή

Αντικαθιστώντας σε (2) τις συντεταγμένες των σημείων ΕΝΑΚαι ΣΕ, παίρνουμε την πλευρική εξίσωση ΑΒ:

(ΑΒ).

(προ ΧΡΙΣΤΟΥ).

3) γωνία ΣΕσε ακτίνια με δύο δεκαδικά ψηφία.

Είναι γνωστό ότι η εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ δύο ευθειών, των οποίων οι συντελεστές κλίσης είναι αντίστοιχα ίσοι και υπολογίζεται από τον τύπο

Επιθυμητή γωνία ΣΕσχηματίζεται από άμεσο ΑΒΚαι Ήλιος, των οποίων οι γωνιακοί συντελεστές βρίσκονται: ; . Εφαρμόζοντας το (3), λαμβάνουμε

; , ή

4) εξίσωση ύψους CDκαι το μήκος του.

Απόσταση από το σημείο Γ έως την ευθεία ΑΒ:

5) διάμεσος εξίσωση ΑΕκαι οι συντεταγμένες του σημείου Κ της τομής αυτής της διάμεσου με

ψηλός CD.

μέσα πλευρά π.Χ.:

Τότε η εξίσωση AE:

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων:

6) εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο ΠΡΟΣ ΤΗΝπαράλληλα με την πλευρά ΑΒ:

Δεδομένου ότι η επιθυμητή γραμμή είναι παράλληλη στο πλάι ΑΒ, μετά αυτή κλίσηθα είναι ίση με την κλίση της ευθείας ΑΒ. Αντικαθιστώντας σε (4) τις συντεταγμένες του σημείου που βρέθηκε ΠΡΟΣ ΤΗΝκαι γωνιακό συντελεστή , παίρνουμε

; (KF).

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι 12 τετραγωνικά μέτρα. μονάδες, δύο από τις κορυφές του είναι σημεία A(-1;3)Και Β(-2;4).Βρείτε δύο άλλες κορυφές αυτού του παραλληλογράμμου αν είναι γνωστό ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του βρίσκεται στον άξονα x. Κάντε ένα σχέδιο.

Λύση. Έστω το σημείο τομής των διαγωνίων να έχει συντεταγμένες .

Τότε είναι προφανές ότι

εξ ου και οι συντεταγμένες των διανυσμάτων .

Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου βρίσκεται από τον τύπο

Τότε οι συντεταγμένες των άλλων δύο κορυφών είναι .

Στα προβλήματα 51-60 οι συντεταγμένες των πόντων Α και Β. Απαιτείται:

Συνθέτω κανονική εξίσωσηυπερβολή που διέρχεται από δεδομένα σημεία Α και Βεάν οι εστίες της υπερβολής βρίσκονται στον άξονα x.

Βρείτε ημιάξονες, εστίες, εκκεντρότητα και εξισώσεις ασυμπτωτών αυτής της υπερβολής.

Βρείτε όλα τα σημεία τομής μιας υπερβολής με έναν κύκλο με κέντρο στην αρχή εάν αυτός ο κύκλος διέρχεται από τις εστίες της υπερβολής.

Κατασκευάστε μια υπερβολή, τις ασύμπτωτές της και έναν κύκλο.

Α(6;-2), Β(-8;12).

Λύση. Γράφεται η εξίσωση της επιθυμητής υπερβολής στην κανονική μορφή

Οπου έναείναι ο πραγματικός ημιάξονας της υπερβολής, σι-νοητός άξονας. Αντικατάσταση συντεταγμένων σημείων ΕΝΑΚαι ΣΕσε αυτή την εξίσωση βρίσκουμε αυτούς τους ημιάξονες:

- η εξίσωση της υπερβολής: .

Ημιάξονες a=4,

εστιακή απόσταση Εστίες (-8,0) και (8,0)

Εκκεντρικότητα

Aciptotes:

Αν ο κύκλος διέρχεται από την αρχή, η εξίσωσή του

Αντικαθιστώντας μία από τις εστίες, βρίσκουμε επίσης την εξίσωση του κύκλου

Βρείτε τα σημεία τομής της υπερβολής και του κύκλου:

Κατασκευή σχεδίου:

Στα προβλήματα 61-80 σχεδιάστε τη συνάρτηση στο πολικό σύστημα συντεταγμένων ανά σημεία, δίνοντας τιμές  μέσα στο διάστημα  /8 (0   2). Βρείτε την εξίσωση της ευθείας σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (ο θετικός ημιάξονας της τετμημένης συμπίπτει με τον πολικό άξονα και ο πόλος συμπίπτει με την αρχή).

Λύση.Ας φτιάξουμε μια γραμμή ανά σημεία, έχοντας συμπληρώσει προηγουμένως τον πίνακα τιμών και φ.

Αριθμός	φ ,	φ, μοίρες			Αριθμός	φ , χαρούμενος	βαθμούς
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 συμπεραίνουμε ότι αυτή η εξίσωση ορίζει μια έλλειψη: Δεδομένα σημεία ΕΝΑ,ΣΕ , Γ, Δ . Απαιτείται για εύρεση: 1. Εξίσωση του επιπέδου (Q), περνώντας από σημεία Α, Β, Γ ρεστο αεροπλάνο (Ε); 2. Εξίσωση ευθείας γραμμής (ΕΓΩ)περνώντας από σημεία ΣΕκαι D; 3. Γωνία μεταξύ του επιπέδου (Ε)και άμεση (ΕΓΩ); 4. Εξίσωση του επιπέδου (R),περνώντας από ένα σημείο ΕΝΑκάθετη στη γραμμή (ΕΓΩ); 5. Γωνία μεταξύ των επιπέδων (R)Και (Q) ; 6. Εξίσωση ευθείας γραμμής (Τ),περνώντας από ένα σημείο ΕΝΑπρος την κατεύθυνση του διανύσματος ακτίνας του. 7. Γωνία μεταξύ ευθειών (ΕΓΩ)Και (Τ). Α(9;-8;1), Β(-9;4;5), C(9;-5;5),ρε(6;4;0) 1. Εξίσωση του επιπέδου (Q), περνώντας από σημεία Α, Β, Γκαι ελέγξτε αν βρίσκεται το σημείο ρεστο επίπεδο καθορίζεται από τον τύπο Βρείτε : 1) . 2) τετράγωνοπαραλληλόγραμμο, χτισμένο επίΚαι. 3) Ο όγκος του παραλληλεπιπέδου, χτισμένο επί φορείς, Και. Ελεγχος Δουλειάπανω σε αυτο το θεμα " Στοιχείαθεωρία γραμμικών χώρων... Οδηγίες υλοποίησης τεστ προπτυχιακών μαθημάτων αλληλογραφίας για προσόν 080100. 62 στην κατεύθυνση Κατευθυντήριες γραμμές Το παραλληλεπίπεδο και ο όγκος της πυραμίδας, χτισμένο επί φορείς, Και. Λύση: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4. ΚΑΘΗΚΟΝΤΑ ΓΙΑ ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΡΓΑΕνότητα Ι. Γραμμική άλγεβρα. 1 – 10. Ντάνα...