Σε αυτό το άρθρο, θα βρούμε απαντήσεις σε ερωτήσεις σχετικά με το πώς να δημιουργήσετε μια προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο και πώς να καθορίσετε τις συντεταγμένες αυτής της προβολής. Στο θεωρητικό μέρος, θα βασιστούμε στην έννοια της προβολής. Θα δώσουμε ορισμούς όρων, θα συνοδεύσουμε τις πληροφορίες με απεικονίσεις. Ας εμπεδώσουμε τις γνώσεις που αποκτήθηκαν λύνοντας παραδείγματα.

Προβολή, είδη προβολής

Για διευκόλυνση της εξέτασης των χωρικών σχημάτων, χρησιμοποιούνται σχέδια που απεικονίζουν αυτά τα σχήματα.

Ορισμός 1

Προβολή μιας φιγούρας σε ένα επίπεδο- ένα σχέδιο μιας χωρικής φιγούρας.

Προφανώς, υπάρχει ένας αριθμός κανόνων που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή μιας προβολής.

Ορισμός 2

προβολή- η διαδικασία κατασκευής σχεδίου χωρικής φιγούρας σε επίπεδο χρησιμοποιώντας κατασκευαστικούς κανόνες.

Επίπεδο προβολήςείναι το επίπεδο στο οποίο είναι χτισμένη η εικόνα.

Η χρήση ορισμένων κανόνων καθορίζει τον τύπο της προβολής: κεντρικόςή παράλληλο.

Μια ειδική περίπτωση παράλληλης προβολής είναι η κάθετη προβολή ή η ορθογώνια προβολή: στη γεωμετρία, χρησιμοποιείται κυρίως. Για το λόγο αυτό, το ίδιο το επίθετο «κάθετος» συχνά παραλείπεται στον λόγο: στη γεωμετρία λένε απλώς «προβολή σχήματος» και εννοούν με αυτό την κατασκευή μιας προβολής με τη μέθοδο της κάθετης προβολής. Σε ειδικές περιπτώσεις βέβαια μπορεί να οριστεί διαφορετικά.

Σημειώνουμε το γεγονός ότι η προβολή ενός σχήματος σε ένα επίπεδο είναι, στην πραγματικότητα, η προβολή όλων των σημείων αυτού του σχήματος. Επομένως, για να μπορέσουμε να μελετήσουμε ένα χωρικό σχήμα σε ένα σχέδιο, είναι απαραίτητο να αποκτήσουμε τη βασική ικανότητα προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο. Τι θα μιλήσουμε παρακάτω.

Θυμηθείτε ότι πιο συχνά στη γεωμετρία, μιλώντας για προβολή σε ένα επίπεδο, σημαίνουν τη χρήση κάθετης προβολής.

Θα κάνουμε κατασκευές που θα μας επιτρέψουν να αποκτήσουμε τον ορισμό της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Ας υποθέσουμε ότι δίνεται ένας τρισδιάστατος χώρος και σε αυτόν - ένα επίπεδο α και ένα σημείο M 1 που δεν ανήκει στο επίπεδο α. Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή σε ένα δεδομένο σημείο M 1 ΕΝΑκάθετη στο δεδομένο επίπεδο α. Το σημείο τομής της ευθείας α και του επιπέδου α θα συμβολίζεται ως Η 1 , με κατασκευή θα χρησιμεύει ως βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο Μ 1 στο επίπεδο α .

Εάν δοθεί ένα σημείο M 2, που ανήκει σε ένα δεδομένο επίπεδο α, τότε το M 2 θα χρησιμεύσει ως προβολή του εαυτού του στο επίπεδο α.

Ορισμός 3

είναι είτε το ίδιο το σημείο (αν ανήκει σε ένα δεδομένο επίπεδο), είτε η βάση της καθέτου που έπεσε από ένα δεδομένο σημείο σε ένα δεδομένο επίπεδο.

Εύρεση των συντεταγμένων προβολής σημείου σε επίπεδο, παραδείγματα

Έστω στο τρισδιάστατο διάστημα που δίνεται: ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z, επίπεδο α, σημείο M 1 (x 1, y 1, z 1) . Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 σε ένα δεδομένο επίπεδο.

Η λύση προφανώς προκύπτει από τον παραπάνω ορισμό της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Σημειώνουμε την προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο α ως H 1 . Σύμφωνα με τον ορισμό, H 1 είναι το σημείο τομής του δεδομένου επιπέδου α και της ευθείας a που διέρχεται από το σημείο M 1 (κάθετο στο επίπεδο). Εκείνοι. οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου Μ 1 που χρειαζόμαστε είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας α και του επιπέδου α.

Έτσι, για να βρούμε τις συντεταγμένες της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο, είναι απαραίτητο:

Να πάρετε την εξίσωση του επιπέδου α (σε περίπτωση που δεν έχει οριστεί). Ένα άρθρο σχετικά με τους τύπους εξισώσεων επιπέδου θα σας βοηθήσει εδώ.

Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας a που διέρχεται από το σημείο M 1 και είναι κάθετη στο επίπεδο α (μελετήστε το θέμα της εξίσωσης της ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε ένα δεδομένο επίπεδο).

Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας α και του επιπέδου α (άρθρο - εύρεση των συντεταγμένων του σημείου τομής του επιπέδου και της ευθείας). Τα δεδομένα που θα ληφθούν θα είναι οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 στο επίπεδο α που χρειαζόμαστε.

Ας εξετάσουμε τη θεωρία σε πρακτικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Προσδιορίστε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 (- 2, 4, 4) στο επίπεδο 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0.

Λύση

Όπως βλέπουμε, μας δίνεται η εξίσωση του επιπέδου, δηλ. δεν χρειάζεται να το συνθέσετε.

Ας γράψουμε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας α που διέρχεται από το σημείο Μ 1 και είναι κάθετη στο δεδομένο επίπεδο. Για τους σκοπούς αυτούς, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας α. Εφόσον η ευθεία a είναι κάθετη στο δεδομένο επίπεδο, τότε το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας a είναι κανονικό διάνυσμαεπίπεδο 2 x - 3 y + z - 2 \u003d 0. Ετσι, a → = (2 , - 3 , 1) – διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας a .

Τώρα συνθέτουμε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο που διέρχεται από το σημείο M 1 (- 2, 4, 4) και έχει διάνυσμα κατεύθυνσης a → = (2 , - 3 , 1) :

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1

Για να βρείτε τις επιθυμητές συντεταγμένες, το επόμενο βήμα είναι να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 και του επιπέδου 2 x - 3 y + z - 2 = 0 . Για το σκοπό αυτό κινούμαστε από κανονικές εξισώσειςστις εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων:

x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 (x + 2) = 2 (y - 4) 1 (x + 2) = 2 (z - 4) 1 ( y - 4) = - 3 (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0

Ας φτιάξουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2

Και λύστε το χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Cramer:

∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5

Έτσι, οι επιθυμητές συντεταγμένες ενός δεδομένου σημείου M 1 σε ένα δεδομένο επίπεδο α θα είναι: (0, 1, 5) .

Απάντηση: (0 , 1 , 5) .

Παράδειγμα 2

Τα σημεία А (0 , 0 , 2) δίνονται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O x y z τρισδιάστατου χώρου. Σε (2, - 1, 0) ; C (4, 1, 1) και Μ1 (-1, -2, 5). Είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντεταγμένες της προβολής M 1 στο επίπεδο A B C

Λύση

Πρώτα απ 'όλα, γράφουμε την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία:

x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6y + 6z - 12 = 0 ⇔ x - 2y + 2z - 4 = 0

Ας γράψουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας a, που θα διέρχεται από το σημείο M 1 κάθετο στο επίπεδο A B C. Το επίπεδο x - 2 y + 2 z - 4 \u003d 0 έχει ένα κανονικό διάνυσμα με συντεταγμένες (1, - 2, 2), δηλ. διάνυσμα a → = (1 , - 2 , 2) – διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας a .

Τώρα, έχοντας τις συντεταγμένες του σημείου της ευθείας Μ 1 και τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος αυτής της ευθείας, γράφουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας στο χώρο:

Στη συνέχεια προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής του επιπέδου x - 2 y + 2 z - 4 = 0 και την ευθεία

x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ

Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε στην εξίσωση του επιπέδου:

x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 λ , z = 5 + 2 λ

Τώρα, χρησιμοποιώντας τις παραμετρικές εξισώσεις x = - 1 + λ y = - 2 - 2 λ z = 5 + 2 λ, βρίσκουμε τις τιμές των μεταβλητών x, y και z στο λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 (- 1) z = 5 + 2 (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3

Έτσι, η προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο A B C θα έχει συντεταγμένες (- 2, 0, 3) .

Απάντηση: (- 2 , 0 , 3) .

Ας σταθούμε χωριστά στο ζήτημα της εύρεσης των συντεταγμένων της προβολής ενός σημείου στα επίπεδα συντεταγμένων και των επιπέδων που είναι παράλληλα στα επίπεδα συντεταγμένων.

Έστω τα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και τα επίπεδα συντεταγμένων O x y , O x z και O y z. Οι συντεταγμένες προβολής αυτού του σημείου σε αυτά τα επίπεδα θα είναι αντίστοιχα: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) και (0 , y 1 , z 1) . Εξετάστε επίσης τα επίπεδα παράλληλα με τα δεδομένα επίπεδα συντεταγμένων:

C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B

Και οι προβολές του δεδομένου σημείου M 1 σε αυτά τα επίπεδα θα είναι σημεία με συντεταγμένες x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 και - D A , y 1 , z 1 .

Ας δείξουμε πώς προέκυψε αυτό το αποτέλεσμα.

Ως παράδειγμα, ας ορίσουμε την προβολή του σημείου M 1 (x 1, y 1, z 1) στο επίπεδο A x + D = 0. Οι υπόλοιπες περιπτώσεις είναι παρόμοιες.

Το δεδομένο επίπεδο είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων O y z και i → = (1 , 0 , 0) είναι το κανονικό του διάνυσμα. Το ίδιο διάνυσμα χρησιμεύει ως το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας γραμμής της κάθετης στο επίπεδο O y z . Τότε οι παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής που διασχίζεται από το σημείο M 1 και είναι κάθετη σε ένα δεδομένο επίπεδο θα μοιάζουν με:

x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1

Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής αυτής της ευθείας και του δεδομένου επιπέδου. Πρώτα αντικαθιστούμε στην εξίσωση A x + D = 0 ισότητες: x = x 1 + λ, y = y 1, z = z 1 και παίρνουμε: A (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1

Στη συνέχεια υπολογίζουμε τις επιθυμητές συντεταγμένες χρησιμοποιώντας τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας για λ = - D A - x 1:

x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1

Δηλαδή, η προβολή του σημείου M 1 (x 1, y 1, z 1) στο επίπεδο θα είναι ένα σημείο με συντεταγμένες - D A , y 1 , z 1 .

Παράδειγμα 2

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 (- 6 , 0 , 1 2) στο επίπεδο συντεταγμένων O x y και στο επίπεδο 2 y - 3 = 0 .

Λύση

Το επίπεδο συντεταγμένων O x y θα αντιστοιχεί σε ένα ημιτελές γενική εξίσωσηεπίπεδο z = 0 . Η προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο z \u003d 0 θα έχει συντεταγμένες (- 6, 0, 0) .

Η εξίσωση επιπέδου 2 y - 3 = 0 μπορεί να γραφτεί ως y = 3 2 2 . Τώρα απλώς γράψτε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 (- 6 , 0 , 1 2) στο επίπεδο y = 3 2 2:

6 , 3 2 2 , 1 2

Απάντηση:(- 6 , 0 , 0) και - 6 , 3 2 2 , 1 2

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Αυτό το άρθρο είναι η απάντηση σε δύο ερωτήσεις: "Τι είναι" και "Πώς να βρείτε συντεταγμένες της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο"; Αρχικά, δίνονται οι απαραίτητες πληροφορίες για την προβολή και τα είδη της. Στη συνέχεια, δίνεται ο ορισμός της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο και δίνεται μια γραφική απεικόνιση. Μετά από αυτό, ελήφθη μια μέθοδος για την εύρεση των συντεταγμένων της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο. Συμπερασματικά, αναλύονται λύσεις παραδειγμάτων στα οποία υπολογίζονται οι συντεταγμένες της προβολής ενός δεδομένου σημείου σε ένα δεδομένο επίπεδο.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Προβολή, είδη προβολής - απαραίτητες πληροφορίες.

Όταν μελετάτε χωρικά σχήματα, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε τις εικόνες τους στο σχέδιο. Το σχέδιο μιας χωρικής φιγούρας είναι το λεγόμενο προβολήαυτή η φιγούρα στο αεροπλάνο. Η διαδικασία κατασκευής μιας εικόνας μιας χωρικής φιγούρας σε ένα επίπεδο συμβαίνει σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Έτσι η διαδικασία κατασκευής μιας εικόνας μιας χωρικής φιγούρας σε ένα επίπεδο, μαζί με ένα σύνολο κανόνων με τους οποίους εκτελείται αυτή η διαδικασία, ονομάζεται προβολήφιγούρες σε αυτό το επίπεδο. Το επίπεδο στο οποίο είναι χτισμένη η εικόνα ονομάζεται επίπεδο προβολής.

Ανάλογα με τους κανόνες με τους οποίους πραγματοποιείται η προβολή, υπάρχουν κεντρικόςΚαι παράλληλη προβολή. Δεν θα υπεισέλθουμε σε λεπτομέρειες, καθώς αυτό ξεφεύγει από το πεδίο εφαρμογής αυτού του άρθρου.

Στη γεωμετρία, χρησιμοποιείται κυρίως μια ειδική περίπτωση παράλληλης προβολής - κάθετη προβολή, που λέγεται και ορθογώνιο. Στο όνομα αυτού του τύπου προβολής, το επίθετο «κάθετος» συχνά παραλείπεται. Δηλαδή, όταν στη γεωμετρία μιλούν για την προβολή ενός σχήματος σε ένα επίπεδο, συνήθως εννοούν ότι αυτή η προβολή λήφθηκε με χρήση κάθετης προβολής (εκτός φυσικά εάν ορίζεται διαφορετικά).

Πρέπει να σημειωθεί ότι η προβολή ενός σχήματος σε ένα επίπεδο είναι ένα σύνολο προβολών όλων των σημείων αυτού του σχήματος στο επίπεδο προβολής. Με άλλα λόγια, για να έχουμε την προβολή ενός συγκεκριμένου σχήματος, είναι απαραίτητο να μπορούμε να βρούμε τις προβολές των σημείων αυτού του σχήματος στο επίπεδο. Η επόμενη παράγραφος του άρθρου δείχνει απλώς πώς να βρείτε την προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Προβολή σημείου σε επίπεδο - ορισμός και απεικόνιση.

Τονίζουμε για άλλη μια φορά ότι θα μιλήσουμε για την κάθετη προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Ας φτιάξουμε κατασκευές που θα μας βοηθήσουν να ορίσουμε την προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Αφήστε στον τρισδιάστατο χώρο μας δίνεται ένα σημείο Μ 1 και ένα επίπεδο. Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή α στο σημείο Μ 1, κάθετη στο επίπεδο. Αν το σημείο Μ 1 δεν βρίσκεται στο επίπεδο, τότε συμβολίζουμε το σημείο τομής της ευθείας α και του επιπέδου ως Η 1. Έτσι, κατά κατασκευή, το σημείο Η 1 είναι η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο Μ 1 στο επίπεδο.

Ορισμός.

Προβολή του σημείου Μ 1 σε επίπεδοείναι το ίδιο το σημείο M 1, αν , ή το σημείο H 1, εάν .

Αυτός ο ορισμόςη προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο είναι ισοδύναμη με τον ακόλουθο ορισμό.

Ορισμός.

Προβολή σημείου σε επίπεδο- αυτό είναι είτε το ίδιο το σημείο, εάν βρίσκεται σε ένα δεδομένο επίπεδο, είτε η βάση της κάθετης που έπεσε από αυτό το σημείο σε ένα δεδομένο επίπεδο.

Στο παρακάτω σχέδιο, το σημείο H 1 είναι η προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο. Το σημείο M 2 βρίσκεται στο επίπεδο, επομένως το M 2 είναι η προβολή του ίδιου του σημείου M 2 στο επίπεδο.

Εύρεση συντεταγμένων προβολής σημείου σε επίπεδο - επίλυση παραδειγμάτων.

Αφήστε το Oxyz να εισαχθεί στον τρισδιάστατο χώρο, ένα σημείο και αεροπλάνο. Ας θέσουμε στον εαυτό μας το καθήκον: να καθορίσουμε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 στο επίπεδο.

Η λύση του προβλήματος προκύπτει λογικά από τον ορισμό της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο.

Να συμβολίσετε την προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο ως H 1 . Εξ ορισμού, η προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο, H 1 είναι το σημείο τομής ενός δεδομένου επιπέδου και μια ευθεία γραμμή a που διέρχεται από το σημείο M 1 κάθετο στο επίπεδο. Έτσι, οι επιθυμητές συντεταγμένες της προβολής του σημείου Μ 1 στο επίπεδο είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας α και του επιπέδου.

Ως εκ τούτου, να βρείτε τις συντεταγμένες προβολής ενός σημείου στο αεροπλάνο που χρειάζεστε:

Ας εξετάσουμε παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Να βρείτε τις συντεταγμένες προβολής ενός σημείου στο αεροπλάνο .

Λύση.

Στην συνθήκη του προβλήματος, μας δίνεται μια γενική εξίσωση του επιπέδου της φόρμας , επομένως δεν χρειάζεται μεταγλώττιση.

Ας γράψουμε τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας α, που διέρχεται από το σημείο Μ 1 κάθετο στο δεδομένο επίπεδο. Για να γίνει αυτό, λαμβάνουμε τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας α. Εφόσον η ευθεία a είναι κάθετη στο δεδομένο επίπεδο, το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας a είναι το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου . Αυτό είναι, - κατευθυντικό διάνυσμα ευθείας a . Τώρα μπορούμε να γράψουμε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο που διέρχεται από το σημείο και έχει διάνυσμα κατεύθυνσης :
.

Για να ληφθούν οι απαιτούμενες συντεταγμένες της προβολής ενός σημείου σε ένα επίπεδο, μένει να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας και αεροπλάνο . Για να γίνει αυτό, από τις κανονικές εξισώσεις της ευθείας γραμμής, περνάμε στις εξισώσεις δύο τεμνόμενων επιπέδων, συνθέτουμε ένα σύστημα εξισώσεων και βρείτε τη λύση του. Χρησιμοποιούμε:

Άρα η προβολή του σημείου στο αεροπλάνο έχει συντεταγμένες.

Απάντηση:

Παράδειγμα.

Σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz σε τρισδιάστατο χώρο, σημεία και . Προσδιορίστε τις συντεταγμένες της προβολής του σημείου M 1 στο επίπεδο ABC.

Λύση.

Ας γράψουμε πρώτα την εξίσωση ενός επιπέδου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία:

Ας δούμε όμως μια εναλλακτική προσέγγιση.

Ας πάρουμε τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας a , που διέρχεται από το σημείο και κάθετο στο επίπεδο ABC. Το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου έχει συντεταγμένες, επομένως, το διάνυσμα είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας a . Τώρα μπορούμε να γράψουμε τις παραμετρικές εξισώσεις μιας ευθείας στο διάστημα, αφού γνωρίζουμε τις συντεταγμένες ενός σημείου σε μια ευθεία γραμμή ( ) και τις συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσής του ( ):

Απομένει να καθοριστούν οι συντεταγμένες του σημείου τομής της γραμμής και αεροπλάνα. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε στην εξίσωση του επιπέδου:
.

Τώρα με παραμετρικές εξισώσεις υπολογίστε τις τιμές των μεταβλητών x , y και z στο:
.

Έτσι, η προβολή του σημείου M 1 στο επίπεδο ABC έχει συντεταγμένες.

Απάντηση:

Εν κατακλείδι, ας συζητήσουμε την εύρεση των συντεταγμένων της προβολής κάποιου σημείου στα επίπεδα συντεταγμένων και των επιπέδων παράλληλα με τα επίπεδα συντεταγμένων.

σημειακές προβολές στα επίπεδα συντεταγμένων Oxy , Oxz και Oyz είναι τα σημεία με συντεταγμένες και αντίστοιχα. Και οι προβολές του σημείου στο αεροπλάνο και , που είναι παράλληλα στα επίπεδα συντεταγμένων Oxy , Oxz και Oyz αντίστοιχα, είναι σημεία με συντεταγμένες Και .

Ας δείξουμε πώς προέκυψαν αυτά τα αποτελέσματα.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την προβολή ενός σημείου στο αεροπλάνο (άλλες περιπτώσεις είναι παρόμοιες με αυτήν).

Αυτό το επίπεδο είναι παράλληλο στο επίπεδο συντεταγμένων Oyz και είναι το κανονικό του διάνυσμα. Το διάνυσμα είναι το διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας κάθετης στο επίπεδο Oyz. Τότε οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 1 κάθετο στο δεδομένο επίπεδο έχουν τη μορφή .

Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής της ευθείας και του επιπέδου. Για να γίνει αυτό, πρώτα αντικαθιστούμε στην εξίσωση της ισότητας: , και την προβολή του σημείου

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Ανώτερα μαθηματικά. Τόμος Πρώτος: Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Αναλυτική γεωμετρία.

Στόχοι:

• Μελέτη των κανόνων κατασκευής προβολών σημείων στην επιφάνεια ενός αντικειμένου και ανάγνωση σχεδίων.
• Αναπτύξτε τη χωρική σκέψη, την ικανότητα ανάλυσης του γεωμετρικού σχήματος ενός αντικειμένου.
• Να καλλιεργήσουν την εργατικότητα, την ικανότητα συνεργασίας όταν εργάζονται σε ομάδες, το ενδιαφέρον για το αντικείμενο.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΣΚΗΝΩΤΩ. ΚΙΝΗΤΡΟ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ.

ΙΙ ΣΤΑΔΙΟ. ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΝΩΣΕΩΝ, ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ.

ΠΑΥΣΗ ΓΙΑ ΕΞΟΙΚΟΝΟΜΗΣΗ ΥΓΕΙΑΣ. ΑΝΤΑΚΛΑΣΗ (ΔΙΑΘΕΣΗ)

ΣΤΑΔΙΟ III. ΑΤΟΜΙΚΗ ΔΟΥΛΕΙΑ.

ΣΚΗΝΩΤΩ. ΚΙΝΗΤΡΟ ΜΑΘΗΣΙΑΚΩΝ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΩΝ

1) Δάσκαλος:Ελέγξτε το δικό σας ΧΩΡΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣΕίναι όλα στη θέση τους; Είναι όλοι έτοιμοι να πάνε;

ΕΙΝΑΙ ΒΑΘΙΑ ΑΝΑΠΝΟΗ, ΚΡΑΤΗΣΕ ΤΗΝ ΑΝΑΠΝΟΗ ΣΤΗΝ ΕΞΑΤΜΙΣΗ, ΕΚΣΠΝΕ.

Καθορίστε τη διάθεσή σας στην αρχή του μαθήματος σύμφωνα με το σχήμα (ένα τέτοιο σχέδιο είναι στο τραπέζι για όλους)

ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ ΚΑΛΗ ΤΥΧΗ.

2)Δάσκαλος: Πρακτική δουλειάπανω σε αυτο το θεμα " Projections of Vertices, Edges, Faces” έδειξε ότι υπάρχουν τύποι που κάνουν λάθη κατά την προβολή. Μπερδεύονται ποιο από τα δύο σημεία που ταιριάζουν στο σχέδιο είναι η ορατή κορυφή και ποιο η αόρατη. όταν η άκρη είναι παράλληλη με το επίπεδο και όταν είναι κάθετη. Το ίδιο και με τις άκρες.

Για να αποφύγετε την επανάληψη λαθών, ολοκληρώστε τις απαραίτητες εργασίες χρησιμοποιώντας τη συμβουλευτική κάρτα και διορθώστε τα λάθη στην πρακτική εργασία (με το χέρι). Και καθώς εργάζεστε, να θυμάστε:

«Ο ΚΑΘΕΝΑΣ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΚΑΝΕΙ ΛΑΘΗ, ΜΕΙΝΕ ΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΤΟΥ - ΜΟΝΟ Ο ΤΡΕΛΟΣ».

Και όσοι έχουν κατακτήσει καλά το θέμα θα εργαστούν σε ομάδες με δημιουργικές εργασίες (βλ. Παράρτημα 1 ).

ΙΙ ΣΤΑΔΙΟ. ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΓΝΩΣΕΩΝ, ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ

1)Δάσκαλος:Στην παραγωγή, υπάρχουν πολλά μέρη που συνδέονται μεταξύ τους με συγκεκριμένο τρόπο.
Για παράδειγμα:
Το κάλυμμα της επιφάνειας εργασίας είναι προσαρτημένο στις κάθετες θέσεις. Δώστε προσοχή στο τραπέζι στο οποίο βρίσκεστε, πώς και με τι συνδέονται το καπάκι και οι σχάρες μεταξύ τους;

Απάντηση:Μπουλόνι.

Δάσκαλος:Τι απαιτείται για ένα μπουλόνι;

Απάντηση:Τρύπα.

Δάσκαλος:Πραγματικά. Και για να κάνετε μια τρύπα, πρέπει να γνωρίζετε τη θέση της στο προϊόν. Όταν φτιάχνει ένα τραπέζι, ο μάστορας δεν μπορεί να επικοινωνεί με τον πελάτη κάθε φορά. Λοιπόν, ποια είναι η ανάγκη παροχής ξυλουργού;

Απάντηση:Σχέδιο.

Δάσκαλος:Σχέδιο!? Τι ονομάζουμε σχέδιο;

Απάντηση:Ένα σχέδιο είναι μια εικόνα ενός αντικειμένου με ορθογώνιες προεξοχές σε μια σύνδεση προβολής. Σύμφωνα με το σχέδιο, μπορείτε να αναπαραστήσετε το γεωμετρικό σχήμα και το σχέδιο του προϊόντος.

Δάσκαλος:Έχουμε ολοκληρώσει ορθογώνιες προβολές και μετά; Θα μπορέσουμε να προσδιορίσουμε τη θέση των οπών από μία προβολή; Τι άλλο πρέπει να ξέρουμε; Τι να μάθετε;

Απάντηση:Χτίστε σημεία. Βρείτε προβολές αυτών των σημείων σε όλες τις προβολές.

Δάσκαλος:Μπράβο! Αυτός είναι ο σκοπός του μαθήματός μας και το θέμα: Κατασκευή προβολών σημείων στην επιφάνεια ενός αντικειμένου.Γράψτε το θέμα του μαθήματος στο τετράδιό σας.
Εσείς και εγώ γνωρίζουμε ότι οποιοδήποτε σημείο ή τμήμα στην εικόνα ενός αντικειμένου είναι μια προβολή μιας κορυφής, μιας άκρης, μιας όψης, δηλ. κάθε προβολή είναι μια εικόνα όχι από τη μία πλευρά (κεφ. όψη, κάτοψη, αριστερή όψη), αλλά ολόκληρο το αντικείμενο.
Για να βρείτε σωστά τις προβολές μεμονωμένων σημείων που βρίσκονται στις όψεις, πρέπει πρώτα να βρείτε τις προβολές αυτού του προσώπου και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τις γραμμές σύνδεσης για να βρείτε τις προβολές των σημείων.

(Κοιτάμε το σχέδιο στον πίνακα, δουλεύουμε σε ένα τετράδιο όπου στο σπίτι γίνονται 3 προβολές του ίδιου μέρους).

- Άνοιξε ένα σημειωματάριο με ένα ολοκληρωμένο σχέδιο (Εξήγηση της κατασκευής σημείων στην επιφάνεια ενός αντικειμένου με βασικές ερωτήσεις στον πίνακα και οι μαθητές τη διορθώνουν σε ένα σημειωματάριο.)

Δάσκαλος:Σκεφτείτε ένα σημείο ΣΕ. Σε ποιο επίπεδο βρίσκεται το πρόσωπο με αυτό το σημείο παράλληλο;

Απάντηση:Το πρόσωπο είναι παράλληλο με το μετωπικό επίπεδο.

Δάσκαλος:Ορίζουμε την προβολή ενός σημείου σι' σε μετωπική προβολή. Τραβήξτε κάτω από το σημείο σι' κάθετη γραμμή επικοινωνίας με την οριζόντια προβολή. Πού θα είναι η οριζόντια προβολή του σημείου; ΣΕ?

Απάντηση:Στη διασταύρωση με την οριζόντια προβολή του προσώπου που προβάλλονταν στην άκρη. Και βρίσκεται στο κάτω μέρος της προβολής (προβολή).

Δάσκαλος:Προβολή προφίλ σημείου σι'' που θα βρίσκεται; Πώς θα το βρούμε;

Απάντηση:Στη διασταύρωση της οριζόντιας γραμμής επικοινωνίας από σι' με κάθετη άκρη στα δεξιά. Αυτή η άκρη είναι η προβολή του προσώπου με ένα σημείο ΣΕ.

ΟΣΟΙ ΘΕΛΟΥΝ ΝΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΟΥΝ ΤΗΝ ΕΠΟΜΕΝΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΛΟΥΝΤΑΙ ΣΤΟ Δ.Σ.

Δάσκαλος:Σημειακές προβολές ΕΝΑβρίσκονται επίσης χρησιμοποιώντας γραμμές επικοινωνίας. Ποιο επίπεδο είναι παράλληλο στην άκρη με σημείο ΕΝΑ?

Απάντηση:Η όψη είναι παράλληλη με το επίπεδο προφίλ. Ορίζουμε ένα σημείο στην προβολή προφίλ ΕΝΑ'' .

Δάσκαλος:Σε ποια προβολή προβάλλεται το πρόσωπο στην άκρη;

Απάντηση:Στο μπροστινό μέρος και οριζόντια. Ας σχεδιάσουμε μια οριζόντια γραμμή σύνδεσης στη διασταύρωση με μια κάθετη άκρη στα αριστερά στην μετωπική προβολή, παίρνουμε ένα σημείο ΕΝΑ' .

Δάσκαλος:Πώς να βρείτε την προβολή ενός σημείου ΕΝΑσε οριζόντια προβολή; Άλλωστε γραμμές επικοινωνίας από την προβολή σημείων ΕΝΑ' Και ΕΝΑ'' μην τέμνει την προβολή του προσώπου (άκρη) στην οριζόντια προβολή στα αριστερά. Τι μπορεί να μας βοηθήσει;

Απάντηση:Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια σταθερή ευθεία γραμμή (καθορίζει τη θέση της προβολής στα αριστερά) από ΕΝΑ'' σχεδιάστε μια κάθετη γραμμή επικοινωνίας μέχρι να τέμνεται με μια σταθερή ευθεία γραμμή. Από το σημείο τομής χαράσσεται μια οριζόντια γραμμή επικοινωνίας, έως ότου τέμνεται με κάθετη άκρη στα αριστερά. (Αυτή είναι η όψη με σημείο Α) και δηλώνει την προβολή με σημείο ΕΝΑ .

2) Δάσκαλος:Ο καθένας έχει μια κάρτα εργασίας στο τραπέζι, με ένα χαρτί εντοπισμού συνδεδεμένο. Σκεφτείτε το σχέδιο, τώρα προσπαθήστε μόνοι σας, χωρίς να επανασχεδιάσετε τις προβολές, να βρείτε τις δεδομένες προβολές σημείων στο σχέδιο.

– Βρείτε στο σχολικό βιβλίο σελ. 76 εικ. 93. Δοκιμάστε τον εαυτό σας. Ποιος εκτέλεσε σωστά - σκοράρει "5" "; ένα λάθος - "4"; δύο - "3".

(Οι βαθμοί ορίζονται από τους ίδιους τους μαθητές στο φύλλο αυτοελέγχου).

- Συλλέξτε κάρτες για δοκιμή.

3)Ομαδική δουλειά:Περιορισμένος χρόνος: 4 λεπτά. + 2 λεπτά. επιταγές. (Δύο θρανία με μαθητές συνδυάζονται και επιλέγεται αρχηγός μέσα στην ομάδα).

Για κάθε ομάδα, οι εργασίες κατανέμονται σε 3 επίπεδα. Οι μαθητές επιλέγουν εργασίες ανά επίπεδα, (όπως θέλουν). Επίλυση προβλημάτων στην κατασκευή σημείων. Συζητήστε την κατασκευή υπό την επίβλεψη του αρχηγού. Στη συνέχεια η σωστή απάντηση εμφανίζεται στον πίνακα με τη βοήθεια ενός κωδικοσκοπίου. Όλοι ελέγχουν ότι τα σημεία προβάλλονται σωστά. Με τη βοήθεια του αρχηγού της ομάδας, βαθμολογούνται σε εργασίες και σε φύλλα αυτοελέγχου (βλ. Παράρτημα 2 Και Παράρτημα 3 ).

ΠΑΥΣΗ ΓΙΑ ΕΞΟΙΚΟΝΟΜΗΣΗ ΥΓΕΙΑΣ. ΑΝΤΑΝΑΚΛΑΣΗ

"Η πόζα του Φαραώ"- Καθίστε στην άκρη μιας καρέκλας, ισιώστε την πλάτη σας, λυγίστε τα χέρια σας στους αγκώνες, σταυρώστε τα πόδια σας και φορέστε τα δάχτυλα των ποδιών σας. Εισπνεύστε, σφίξτε όλους τους μύες του σώματος κρατώντας την αναπνοή, εκπνεύστε. Κάντε 2-3 φορές. Κλείσε τα μάτια σου σφιχτά, στα αστέρια, ανοιχτά. Σημειώστε τη διάθεσή σας.

ΣΤΑΔΙΟ III. ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ. (Ατομικές εργασίες)

Υπάρχουν κάρτες εργασιών για να διαλέξετε με διαφορετικά επίπεδα. Οι μαθητές επιλέγουν τη δική τους επιλογή. Βρείτε προβολές σημείων στην επιφάνεια ενός αντικειμένου. Οι εργασίες παραδίδονται και αξιολογούνται για το επόμενο μάθημα. (Εκ. Παράρτημα 4 , Παράρτημα 5 , Παράρτημα 6 ).

ΣΤΑΔΙΟ IV. ΤΕΛΙΚΟΣ

1) Εργασία για το σπίτι. (Εντολή).Εκτελούνται κατά επίπεδα:

Β - κατανόηση, στο "3". Άσκηση 1 εικ. 94α σελ. 77 - σύμφωνα με την εργασία του σχολικού βιβλίου: συμπληρώστε τις προβολές σημείων που λείπουν σε αυτές τις προβολές.

Β - εφαρμογή, στο "4". Άσκηση 1 Εικ. 94 α, β. συμπληρώστε τις προβολές που λείπουν και σημειώστε τις κορυφές στην οπτική εικόνα στα 94α και 94β.

Α - ανάλυση, στο "5". (Αυξημένη δυσκολία.)Πρώην. 4 εικ.97 - κατασκευάστε προβολές σημείων που λείπουν και ορίστε τα με γράμματα. Δεν υπάρχει οπτική εικόνα.

2)Ανακλαστική ανάλυση.

1. Προσδιορίστε τη διάθεση στο τέλος του μαθήματος, σημειώστε τη στο φύλλο αυτοελέγχου με οποιοδήποτε σημάδι.
2. Τι καινούργιο μάθατε στο μάθημα σήμερα;
3. Ποια μορφή εργασίας είναι πιο αποτελεσματική για εσάς: ομαδική, ατομική και θα θέλατε να επαναληφθεί στο επόμενο μάθημα;
4. Συλλέξτε λίστες ελέγχου.

3)"Λάθος δάσκαλος"

Δάσκαλος:Έχετε μάθει πώς να δημιουργείτε προβολές κορυφών, ακμών, όψεων και σημείων στην επιφάνεια ενός αντικειμένου, ακολουθώντας όλους τους κατασκευαστικούς κανόνες. Αλλά εδώ σας δόθηκε ένα σχέδιο, όπου υπάρχουν λάθη. Τώρα δοκιμάστε τον εαυτό σας ως δάσκαλος. Βρείτε τα λάθη μόνοι σας, εάν βρείτε και τα 8-6 λάθη, τότε η βαθμολογία είναι "5", αντίστοιχα. 5–4 σφάλματα - "4", 3 σφάλματα - "3".

Απαντήσεις:

Η θέση ενός σημείου στο χώρο μπορεί να προσδιοριστεί από τις δύο ορθογώνιες προεξοχές του, για παράδειγμα, οριζόντια και μετωπική, μετωπική και κατατομή. Ο συνδυασμός οποιωνδήποτε δύο ορθογώνιων προβολών σάς επιτρέπει να μάθετε την τιμή όλων των συντεταγμένων ενός σημείου, να δημιουργήσετε μια τρίτη προβολή, να προσδιορίσετε την οκτάδα στην οποία βρίσκεται. Ας εξετάσουμε μερικές τυπικές εργασίες από το μάθημα της περιγραφικής γεωμετρίας.

Σύμφωνα με το δεδομένο σύνθετο σχέδιο των σημείων Α και Β, είναι απαραίτητο:

Ας προσδιορίσουμε πρώτα τις συντεταγμένες του σημείου Α, που μπορούν να γραφτούν με τη μορφή Α (x, y, z). Η οριζόντια προβολή του σημείου Α είναι το σημείο Α ", που έχει συντεταγμένες x, y. Σχεδιάστε από το σημείο Α" κάθετες στους άξονες x, y και βρείτε, αντίστοιχα, A x, A y. Η συντεταγμένη x για το σημείο Α είναι ίση με το μήκος του τμήματος A x O με πρόσημο συν, αφού το A x βρίσκεται στην περιοχή θετικές αξίεςάξονας x. Λαμβάνοντας υπόψη την κλίμακα του σχεδίου, βρίσκουμε x \u003d 10. Η συντεταγμένη y είναι ίση με το μήκος του τμήματος A y O με αρνητικό πρόσημο, αφού t. A y βρίσκεται στην περιοχή των αρνητικών τιμών του άξονα y . Δεδομένης της κλίμακας του σχεδίου, y = -30. Η μετωπική προβολή του σημείου Α - σημείο Α"" έχει συντεταγμένες x και z. Ας ρίξουμε την κάθετο από το A"" στον άξονα z και ας βρούμε το A z . Η συντεταγμένη z του σημείου Α είναι ίση με το μήκος του τμήματος A z O με αρνητικό πρόσημο, αφού το A z βρίσκεται στην περιοχή των αρνητικών τιμών του άξονα z. Δεδομένης της κλίμακας του σχεδίου, z = -10. Έτσι, οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (10, -30, -10).

Οι συντεταγμένες του σημείου Β μπορούν να γραφτούν ως Β (x, y, z). Εξετάστε την οριζόντια προβολή του σημείου Β - σημείο Β. "Δεδομένου ότι βρίσκεται στον άξονα x, τότε B x \u003d B" και τη συντεταγμένη B y \u003d 0. Η τετμημένη x του σημείου Β είναι ίση με το μήκος του τμήματος B x O με πρόσημο συν. Λαμβάνοντας υπόψη την κλίμακα του σχεδίου, x = 30. Η μετωπική προβολή του σημείου B - σημείο B˝ έχει τις συντεταγμένες x, z. Σχεδιάστε μια κάθετο από το B"" στον άξονα z, βρίσκοντας έτσι το B z . Η εφαρμογή z του σημείου Β είναι ίση με το μήκος του τμήματος B z O με αρνητικό πρόσημο, αφού το B z βρίσκεται στην περιοχή των αρνητικών τιμών του άξονα z. Λαμβάνοντας υπόψη την κλίμακα του σχεδίου, προσδιορίζουμε την τιμή z = -20. Άρα οι συντεταγμένες Β είναι (30, 0, -20). Όλες οι απαραίτητες κατασκευές φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Κατασκευή προβολών σημείων

Τα σημεία Α και Β στο επίπεδο P 3 έχουν τις ακόλουθες συντεταγμένες: A""" (y, z), B""" (y, z). Σε αυτή την περίπτωση, το Α"" και το Α""" βρίσκονται στην ίδια κάθετη προς τον άξονα z, αφού έχουν κοινή συντεταγμένη z. Με τον ίδιο τρόπο, οι Β""" και Β""" βρίσκονται σε κοινή κάθετο στον άξονα z. Για να βρούμε την προβολή προφίλ του t. A, παραμερίζουμε κατά μήκος του άξονα y την τιμή της αντίστοιχης συντεταγμένης που βρέθηκε νωρίτερα. Στο σχήμα, αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας ένα τόξο κύκλου ακτίνας A y O. Μετά από αυτό, σχεδιάζουμε μια κάθετο από το A y στη τομή με την κάθετο που έχει αποκατασταθεί από το σημείο A "" στον άξονα z. Το σημείο τομής των δύο αυτών καθέτων καθορίζει τη θέση του Α""".

Το σημείο Β""" βρίσκεται στον άξονα z, αφού η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι ίση με μηδέν. Για να βρείτε την προβολή προφίλ του σημείου Β σε αυτό το πρόβλημα, είναι απαραίτητο μόνο να σχεδιάσετε μια κάθετο από το Β"" στο ο άξονας z. Το σημείο τομής αυτής της καθέτου με τον άξονα z είναι Β """.

Προσδιορισμός της θέσης των σημείων στο χώρο

Οπτικοποιώντας τη χωρική διάταξη, που αποτελείται από τα επίπεδα προβολής P 1, P 2 και P 3, τη θέση των οκταντών, καθώς και τη σειρά μετατροπής της διάταξης σε διαγράμματα, μπορείτε να προσδιορίσετε απευθείας ότι το t. A βρίσκεται στο III οκτάντ, και το t. B βρίσκεται στο επίπεδο P 2 .

Μια άλλη επιλογή για την επίλυση αυτού του προβλήματος είναι η μέθοδος των εξαιρέσεων. Για παράδειγμα, οι συντεταγμένες του σημείου Α είναι (10, -30, -10). Η θετική τετμημένη x καθιστά δυνατό να κρίνουμε ότι το σημείο βρίσκεται στα τέσσερα πρώτα οκτάνια. Μια αρνητική συντεταγμένη y δείχνει ότι το σημείο βρίσκεται στη δεύτερη ή τρίτη οκτάδα. Τέλος, η αρνητική εφαρμογή του z υποδηλώνει ότι το σημείο Α βρίσκεται στην τρίτη οκτάδα. Η συλλογιστική που δίνεται φαίνεται ξεκάθαρα στον παρακάτω πίνακα.

Οκτάντια	Πινακίδες συντεταγμένων
	Χ	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Συντεταγμένες του σημείου Β (30, 0, -20). Εφόσον η τεταγμένη του t. B ισούται με μηδέν, το σημείο αυτό βρίσκεται στο επίπεδο προβολής П 2 . Η θετική τετμημένη και η αρνητική εφαρμογή του σημείου Β δείχνουν ότι βρίσκεται στο όριο της τρίτης και της τέταρτης οκτάδας.

Κατασκευή οπτικής εικόνας σημείων στο σύστημα επιπέδων P 1, P 2, P 3

Χρησιμοποιώντας την μετωπική ισομετρική προβολή, κατασκευάσαμε μια χωρική διάταξη της τρίτης οκτάδας. Είναι ένα ορθογώνιο τρίεδρο, του οποίου οι όψεις είναι τα επίπεδα P 1, P 2, P 3 και η γωνία (-y0x) είναι 45 º. Σε αυτό το σύστημα, τμήματα κατά μήκος των αξόνων x, y, z θα απεικονίζονται σε πλήρες μέγεθος χωρίς παραμόρφωση.

Η κατασκευή μιας οπτικής εικόνας του σημείου Α (10, -30, -10) θα ξεκινήσει με την οριζόντια προβολή του Α". Έχοντας παραμερίσει τις αντίστοιχες συντεταγμένες κατά μήκος της τετμημένης και των τεταγμένων, βρίσκουμε τα σημεία A x και A y. η τομή των καθέτων που αποκαθίστανται από τα A x και A y αντίστοιχα προς τους άξονες x και y καθορίζει τη θέση του σημείου Α». Βάζοντας από το Α" παράλληλα στον άξονα z προς τις αρνητικές του τιμές το τμήμα ΑΑ", του οποίου το μήκος είναι ίσο με 10, βρίσκουμε τη θέση του σημείου Α.

Μια οπτική εικόνα του σημείου Β (30, 0, -20) κατασκευάζεται με παρόμοιο τρόπο - στο επίπεδο P 2, οι αντίστοιχες συντεταγμένες πρέπει να σχεδιάζονται κατά μήκος των αξόνων x και z. Η τομή των καθέτων που ανακατασκευάζονται από τα B x και B z θα καθορίσει τη θέση του σημείου B.

Για την κατασκευή εικόνων με πολλές λεπτομέρειες, είναι απαραίτητο να μπορείτε να βρείτε τις προβολές μεμονωμένων σημείων. Για παράδειγμα, είναι δύσκολο να σχεδιάσετε μια κάτοψη του τμήματος που φαίνεται στο Σχ. 139 χωρίς δόμηση οριζόντιων προβολών των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΣΤ κ.λπ.

Το πρόβλημα της εύρεσης των προβολών των σημείων κατά ένα που δίνονται στην επιφάνεια του αντικειμένου λύνεται ως εξής. Αρχικά, βρίσκονται οι προεξοχές της επιφάνειας στην οποία βρίσκεται το σημείο. Στη συνέχεια, σχεδιάζοντας μια γραμμή σύνδεσης με την προβολή, όπου η επιφάνεια παριστάνεται με μια γραμμή, βρίσκεται η δεύτερη προβολή του σημείου. Η τρίτη προβολή βρίσκεται στη διασταύρωση των γραμμών επικοινωνίας.

Εξετάστε ένα παράδειγμα.

Δίνονται τρεις προβολές του τμήματος (Εικ. 140, α). Δίνεται η οριζόντια προβολή α του σημείου Α που βρίσκεται στην ορατή επιφάνεια. Πρέπει να βρούμε τις άλλες προβολές αυτού του σημείου.

Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να σχεδιάσετε μια βοηθητική γραμμή. Εάν δίνονται δύο όψεις, τότε η θέση της βοηθητικής γραμμής στο σχέδιο επιλέγεται αυθαίρετα, στα δεξιά της επάνω όψης, έτσι ώστε η όψη στα αριστερά να βρίσκεται στην απαιτούμενη απόσταση από την κύρια όψη (Εικ. 141).

Εάν έχουν ήδη κατασκευαστεί τρεις όψεις (Εικ. 142, α), τότε η θέση της βοηθητικής γραμμής δεν μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα. πρέπει να βρεις το σημείο από το οποίο θα περάσει. Για να το κάνετε αυτό, απλώς συνεχίστε αμοιβαία διασταύρωσηοριζόντιες και προφίλ προβολές του άξονα συμμετρίας και μέσω του προκύπτοντος σημείου k (Εικ. 142, β) σχεδιάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα υπό γωνία 45 °, το οποίο θα είναι μια βοηθητική ευθεία γραμμή.

Εάν δεν υπάρχουν άξονες συμμετρίας, τότε συνεχίστε μέχρι τη διασταύρωση στο σημείο k 1 οριζόντιες και προεξοχές προφίλ οποιασδήποτε όψης που προβάλλονται με τη μορφή ευθύγραμμων τμημάτων (Εικ. 142, β).

Έχοντας χαράξει μια βοηθητική ευθεία, αρχίζουν να χτίζουν τις προεξοχές του σημείου (βλ. Εικ. 140, β).

Οι μετωπικές προεξοχές α" και προφίλ α" του σημείου Α πρέπει να βρίσκονται στις αντίστοιχες προεξοχές της επιφάνειας στην οποία ανήκει το σημείο Α. Οι προεξοχές αυτές βρίσκονται. Στο σχ. 140, β επισημαίνονται έγχρωμα. Σχεδιάστε γραμμές επικοινωνίας όπως υποδεικνύεται από τα βέλη. Στις διασταυρώσεις των γραμμών επικοινωνίας με τις προεξοχές της επιφάνειας βρίσκονται οι επιθυμητές προεξοχές α" και α".

Η κατασκευή προβολών των σημείων Β, Γ, Δ φαίνεται στο σχ. 140, σε γραμμές επικοινωνίας με βέλη. Οι δεδομένες προβολές σημείων είναι έγχρωμες. Οι γραμμές επικοινωνίας σχεδιάζονται στην προβολή στην οποία η επιφάνεια απεικονίζεται ως γραμμή και όχι ως σχήμα. Επομένως, αρχικά βρίσκεται η μετωπική προβολή από το σημείο C. Η προβολή προφίλ από το σημείο C καθορίζεται από τη διασταύρωση των γραμμών επικοινωνίας.

Εάν η επιφάνεια δεν απεικονίζεται με γραμμή σε οποιαδήποτε προεξοχή, τότε πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένα βοηθητικό επίπεδο για την κατασκευή των προβολών των σημείων. Για παράδειγμα, δίνεται μια μετωπική προβολή d του σημείου Α, που βρίσκεται στην επιφάνεια ενός κώνου (Εικ. 143, α). Ένα βοηθητικό επίπεδο τραβιέται μέσα από ένα σημείο παράλληλο στη βάση, το οποίο θα τέμνει τον κώνο σε κύκλο. Η μετωπική του προβολή είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα και η οριζόντια προβολή είναι ένας κύκλος με διάμετρο ίση με το μήκος αυτού του τμήματος (Εικ. 143, β). Τραβώντας μια γραμμή επικοινωνίας σε αυτόν τον κύκλο από το σημείο α, προκύπτει μια οριζόντια προβολή του σημείου Α.

Η προβολή προφίλ α" του σημείου Α βρίσκεται με τον συνήθη τρόπο στη διασταύρωση των γραμμών επικοινωνίας.

Με τον ίδιο τρόπο, μπορεί κανείς να βρει τις προβολές ενός σημείου που βρίσκεται, για παράδειγμα, στην επιφάνεια μιας πυραμίδας ή μιας μπάλας. Όταν μια πυραμίδα τέμνεται από ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση και διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο, σχηματίζεται ένα σχήμα παρόμοιο με τη βάση. Οι προβολές του δεδομένου σημείου βρίσκονται στις προβολές αυτού του σχήματος.

Απάντησε στις ερωτήσεις

1. Σε ποια γωνία χαράσσεται η βοηθητική γραμμή;

2. Πού σχεδιάζεται η βοηθητική γραμμή εάν δίνεται η μπροστινή και η επάνω όψη, αλλά πρέπει να δημιουργήσετε μια άποψη από τα αριστερά;

3. Πώς να προσδιορίσετε τη θέση της βοηθητικής γραμμής παρουσία τριών τύπων;

4. Ποια είναι η μέθοδος κατασκευής προβολών ενός σημείου σύμφωνα με μια δεδομένη, αν μια από τις επιφάνειες του αντικειμένου παριστάνεται με μια ευθεία;

5. Για ποια γεωμετρικά σώματα και σε ποιες περιπτώσεις βρίσκονται οι προβολές ενός σημείου που δίνονται στην επιφάνειά τους χρησιμοποιώντας βοηθητικό επίπεδο;

Εργασίες στην § 20

Άσκηση 68

Γράφω σε ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ, ποιες προβολές των σημείων που υποδεικνύονται με αριθμούς στις προβολές αντιστοιχούν στα σημεία που υποδεικνύονται με γράμματα στην οπτική εικόνα στο παράδειγμα που σας υποδεικνύει ο δάσκαλος (Εικ. 144, α-δ).

Άσκηση 69

Στο σχ. 145, α-β γράμματαυποδεικνύεται από μία μόνο προβολή ορισμένων από τις κορυφές. Βρείτε στο παράδειγμα που σας έδωσε ο δάσκαλος, τις υπόλοιπες προβολές αυτών των κορυφών και χαρακτηρίστε τις με γράμματα. Κατασκευάστε σε ένα από τα παραδείγματα τις προβολές σημείων που λείπουν στις άκρες του αντικειμένου (Εικ. 145, δ και ε). Επισημάνετε με χρώμα τις προεξοχές των άκρων στις οποίες βρίσκονται τα σημεία Ολοκληρώστε την εργασία σε διαφανές χαρτί επικαλύπτοντάς το στη σελίδα του σχολικού βιβλίου Δεν χρειάζεται να ξανασχεδιάσετε το Σχ. 145.

Άσκηση 70

Βρείτε τις προβολές σημείων που λείπουν που δίνονται από μια προβολή στις ορατές επιφάνειες του αντικειμένου (Εικ. 146). Χαρίστε τα με γράμματα. Να επισημάνετε με χρώμα τις δεδομένες προβολές σημείων. Μια οπτική εικόνα θα σας βοηθήσει να λύσετε το πρόβλημα. Η εργασία μπορεί να ολοκληρωθεί τόσο σε ένα βιβλίο εργασίας όσο και σε διαφανές χαρτί, επικαλύπτοντάς το στη σελίδα του σχολικού βιβλίου. Στην τελευταία περίπτωση, επανασχεδιάστε το Σχ. Το 146 δεν είναι απαραίτητο.

Άσκηση 71

Στο παράδειγμα που σας έδωσε ο δάσκαλος σχεδιάστε τρεις τύπους (Εικ. 147). Κατασκευάστε τις προβολές που λείπουν από τα σημεία που δίνονται στις ορατές επιφάνειες του αντικειμένου. Να επισημάνετε με χρώμα τις δεδομένες προβολές σημείων. Επισημάνετε όλες τις προβολές σημείων. Για να δημιουργήσετε προβολές σημείων, χρησιμοποιήστε μια βοηθητική ευθεία γραμμή. Κάντε ένα τεχνικό σχέδιο και σημειώστε πάνω του τα σημεία που δίνονται.