Συχνά στο πανεπιστήμιο υπάρχουν εργασίες στα ανώτερα μαθηματικά στα οποία είναι απαραίτητο υπολογισμός ορίζουσας μήτρας. Παρεμπιπτόντως, η ορίζουσα μπορεί να είναι μόνο σε τετράγωνους πίνακες. Παρακάτω εξετάζουμε τους βασικούς ορισμούς για το τι ιδιότητες έχει η ορίζουσα και πώς να την υπολογίσουμε σωστά.Θα δείξουμε επίσης μια λεπτομερή λύση χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Τι είναι η ορίζουσα ενός πίνακα: υπολογισμός της ορίζουσας χρησιμοποιώντας τον ορισμό

Καθοριστική μήτρα

Η δεύτερη σειρά είναι ο αριθμός.

Η ορίζουσα ενός πίνακα συμβολίζεται - (συντομογραφία για Λατινική ονομασίακαθοριστική), ή .

Αν: τότε αποδεικνύεται

Θυμίζουμε μερικούς ακόμη βοηθητικούς ορισμούς:

Ορισμός

Ένα διατεταγμένο σύνολο αριθμών που αποτελείται από στοιχεία ονομάζεται σειρά μετάθεσης.

Για ένα σύνολο που περιέχει στοιχεία, υπάρχει ένα παραγοντικό (n), το οποίο συμβολίζεται πάντα με ένα θαυμαστικό: . Οι μεταθέσεις διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς τη σειρά τους. Για να γίνει πιο σαφές, ας πάρουμε ένα παράδειγμα:

Εξετάστε ένα σύνολο τριών στοιχείων (3, 6, 7). Υπάρχουν 6 μεταθέσεις συνολικά, αφού .:

Ορισμός

Μια αντιστροφή σε μια μετάθεση της τάξης είναι ένα διατεταγμένο σύνολο αριθμών (ονομάζεται επίσης διχοτόμηση), όπου δύο από αυτούς σχηματίζουν ένα είδος διαταραχής. Αυτό συμβαίνει όταν ο μεγαλύτερος από τους αριθμούς σε μια δεδομένη μετάθεση βρίσκεται στα αριστερά του μικρότερου αριθμού.

Παραπάνω, εξετάσαμε ένα παράδειγμα με την αντιστροφή μιας μετάθεσης, όπου υπήρχαν αριθμοί. Ας πάρουμε λοιπόν τη δεύτερη γραμμή, όπου, κρίνοντας από τους δεδομένους αριθμούς, προκύπτει ότι , και , αφού το δεύτερο στοιχείο είναι μεγαλύτερο από το τρίτο στοιχείο . Ας πάρουμε για σύγκριση την έκτη γραμμή, όπου βρίσκονται οι αριθμοί: . Υπάρχουν τρία ζεύγη εδώ: , και , δεδομένου ότι ο τίτλος="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Απόδοση από το QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Απόδοση από το QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.!}

Δεν θα μελετήσουμε την ίδια την αντιστροφή, αλλά οι μεταθέσεις θα μας φανούν πολύ χρήσιμες στην περαιτέρω εξέταση του θέματος.

Ορισμός

Ορίζουσα του πίνακα x - αριθμός:

είναι μια μετάθεση αριθμών από το 1 σε έναν άπειρο αριθμό και είναι ο αριθμός των αντιστροφών στη μετάθεση. Έτσι, η ορίζουσα περιλαμβάνει όρους, οι οποίοι ονομάζονται «όροι της ορίζουσας».

Μπορείτε να υπολογίσετε την ορίζουσα ενός πίνακα δεύτερης τάξης, τρίτης και ακόμη και τέταρτης. Αξίζει επίσης να αναφέρουμε:

Ορισμός

η ορίζουσα ενός πίνακα είναι ένας αριθμός που ισούται με

Για να κατανοήσουμε αυτόν τον τύπο, θα τον περιγράψουμε με περισσότερες λεπτομέρειες. Η ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα x είναι ένα άθροισμα που περιέχει όρους και κάθε όρος είναι γινόμενο ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων πίνακα. Ταυτόχρονα, κάθε προϊόν έχει ένα στοιχείο από κάθε γραμμή και κάθε στήλη του πίνακα.

Μπορεί να εμφανίζεται μπροστά από έναν συγκεκριμένο όρο εάν τα στοιχεία του πίνακα στο γινόμενο πηγαίνουν με τη σειρά (κατά αριθμό σειράς) και ο αριθμός των αντιστροφών στη μετάθεση του συνόλου των αριθμών στηλών είναι περιττός.

Αναφέρθηκε παραπάνω ότι η ορίζουσα μήτρας συμβολίζεται με ή , δηλαδή, η ορίζουσα ονομάζεται συχνά ορίζουσα.

Λοιπόν, πίσω στον τύπο:

Μπορεί να φανεί από τον τύπο ότι η ορίζουσα ενός πίνακα πρώτης τάξης είναι ένα στοιχείο του ίδιου πίνακα.

Υπολογισμός της ορίζουσας πίνακα δεύτερης τάξης

Τις περισσότερες φορές, στην πράξη, η ορίζουσα μήτρας επιλύεται με μεθόδους δεύτερης, τρίτης και λιγότερο συχνά, τέταρτης τάξης. Εξετάστε πώς υπολογίζεται η ορίζουσα ενός πίνακα δεύτερης τάξης:

Σε έναν πίνακα δεύτερης τάξης προκύπτει ότι το παραγοντικό . Πριν εφαρμόσετε τον τύπο

Είναι απαραίτητο να καθορίσουμε ποια δεδομένα λαμβάνουμε:

2. μεταθέσεις συνόλων: και ;

3. αριθμός αντιστροφών στη μετάθεση : και , δεδομένου ότι ο τίτλος="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;!}

4. αντίστοιχες εργασίες : και .

Αποδεικνύεται:

Με βάση τα παραπάνω, παίρνουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό της ορίζουσας ενός τετραγωνικού πίνακα δεύτερης τάξης, δηλαδή x:

Σκεφτείτε το συγκεκριμένο παράδειγμαπώς να υπολογίσετε την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα δεύτερης τάξης:

Παράδειγμα

Εργο

Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα x:

Λύση

Έτσι, παίρνουμε , , , .

Για να το λύσετε, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον τύπο που συζητήθηκε προηγουμένως:

Αντικαθιστούμε τους αριθμούς από το παράδειγμα και βρίσκουμε:

Απάντηση

Ορίζουσα μήτρας δεύτερης τάξης = .

Υπολογισμός της ορίζουσας ενός πίνακα τρίτης τάξης: ένα παράδειγμα και μια λύση χρησιμοποιώντας τον τύπο

Ορισμός

Η ορίζουσα ενός πίνακα τρίτης τάξης είναι ο αριθμός που προκύπτει από εννέα δεδομένους αριθμούς διατεταγμένους σε τετράγωνο πίνακα,

Η ορίζουσα τρίτης τάξης βρίσκεται σχεδόν με τον ίδιο τρόπο όπως η ορίζουσα δεύτερης τάξης. Η μόνη διαφορά είναι στη φόρμουλα. Επομένως, εάν είστε καλά έμπειροι στον τύπο, τότε δεν θα υπάρχουν προβλήματα με τη λύση.

Θεωρήστε έναν τετραγωνικό πίνακα τρίτης τάξης * :

Με βάση αυτόν τον πίνακα, καταλαβαίνουμε ότι, αντίστοιχα, το παραγοντικό = , που σημαίνει ότι λαμβάνονται οι συνολικές μεταθέσεις

Για να εφαρμόσετε σωστά τον τύπο, πρέπει να βρείτε τα δεδομένα:

Άρα, συνολικές μεταθέσεις του συνόλου:

Ο αριθμός των αντιστροφών στη μετάθεση και τα αντίστοιχα γινόμενα = ;

Αριθμός αντιστροφών στο permutation title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;!}

Αντιστροφές μετάθεσης title="Απόδοση από QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;!}

. ; inverses in permutation title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; inverses in permutation title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = !}

. ; inverses in permutation title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .!}

Τώρα παίρνουμε:

Έτσι, λάβαμε έναν τύπο για τον υπολογισμό της ορίζουσας ενός πίνακα τάξης x:

Εύρεση πίνακα τρίτης τάξης με τον κανόνα του τριγώνου (κανόνας Sarrus)

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, τα στοιχεία της ορίζουσας 3ης τάξης βρίσκονται σε τρεις σειρές και τρεις στήλες. Εάν εισαγάγετε τη σημείωση του γενικού στοιχείου , τότε το πρώτο στοιχείο υποδηλώνει τον αριθμό της γραμμής και το δεύτερο στοιχείο από τους δείκτες, τον αριθμό της στήλης. Υπάρχουν κύριες (στοιχεία) και δευτερεύουσες (στοιχεία) διαγώνιοι της ορίζουσας. Οι όροι στη δεξιά πλευρά ονομάζονται όροι της ορίζουσας).

Μπορεί να φανεί ότι κάθε μέλος της ορίζουσας βρίσκεται στο σχήμα με ένα μόνο στοιχείο σε κάθε γραμμή και κάθε στήλη.

Μπορείτε να υπολογίσετε την ορίζουσα χρησιμοποιώντας τον κανόνα του ορθογωνίου, ο οποίος εμφανίζεται ως διάγραμμα. Τα ορίζοντα μέλη από τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου επισημαίνονται με κόκκινο χρώμα, καθώς και οι όροι από τα στοιχεία που βρίσκονται στην κορυφή τριγώνων που έχουν μια πλευρά, είναι παράλληλοι στην κύρια διαγώνιο (αριστερό διάγραμμα), λαμβάνονται με το σημάδι.

Οι όροι με μπλε βέλη από τα στοιχεία της πλευρικής διαγώνιου, καθώς και από τα στοιχεία που βρίσκονται στις κορυφές τριγώνων που έχουν πλευρές παράλληλες προς την πλευρική διαγώνιο (δεξιό διάγραμμα) λαμβάνονται με το πρόσημο.

Στο παρακάτω παράδειγμα, θα μάθουμε πώς να υπολογίζουμε την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα τρίτης τάξης.

Παράδειγμα

Εργο

Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα τρίτης τάξης:

Λύση

Σε αυτό το παράδειγμα:

Υπολογίζουμε την ορίζουσα χρησιμοποιώντας τον τύπο ή το σχήμα που συζητήθηκε παραπάνω:

Απάντηση

Ορίζουσα μήτρας τρίτης τάξης =

Βασικές ιδιότητες οριζόντιων πινάκων τρίτης τάξης

Με βάση τους προηγούμενους ορισμούς και τύπους, εξετάστε τους κύριους καθοριστικές ιδιότητες μήτρας.

1. Το μέγεθος της ορίζουσας δεν θα αλλάξει όταν αντικατασταθούν οι αντίστοιχες σειρές, στήλες (μια τέτοια αντικατάσταση ονομάζεται μεταφορά).

Χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα, βεβαιωθείτε ότι η ορίζουσα του πίνακα είναι ίση με την ορίζουσα του μεταφερόμενου πίνακα:

Θυμηθείτε τον τύπο για τον υπολογισμό της ορίζουσας:

Μεταφέρουμε τον πίνακα:

Υπολογίζουμε την ορίζουσα του μετατιθέμενου πίνακα:

Βεβαιωθήκαμε ότι η ορίζουσα του μεταφερόμενου πίνακα είναι ίση με την αρχική μήτρα, η οποία υποδεικνύει τη σωστή λύση.

2. Το πρόσημο της ορίζουσας θα αλλάξει προς το αντίθετο εάν οποιεσδήποτε δύο από τις στήλες ή δύο σειρές της εναλλάσσονται σε αυτήν.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Δίνονται δύο πίνακες τρίτης τάξης ( x ):

Είναι απαραίτητο να δείξουμε ότι οι ορίζοντες αυτών των πινάκων είναι αντίθετοι.

Λύση

Στη μήτρα και στη μήτρα οι σειρές έχουν αλλάξει (η τρίτη από την πρώτη και από την πρώτη στην τρίτη). Σύμφωνα με τη δεύτερη ιδιότητα, οι ορίζουσες δύο πινάκων πρέπει να διαφέρουν ως προς το πρόσημο. Δηλαδή, ο ένας πίνακας είναι θετικός και ο άλλος αρνητικός. Ας ελέγξουμε αυτήν την ιδιότητα εφαρμόζοντας τον τύπο για τον υπολογισμό της ορίζουσας.

Το ακίνητο είναι αληθινό γιατί .

3. Η ορίζουσα ισούται με μηδέν αν έχει τα ίδια αντίστοιχα στοιχεία σε δύο σειρές (στήλες). Έστω η ορίζουσα να έχει τα ίδια στοιχεία της πρώτης και της δεύτερης στήλης:

Ανταλλάσσοντας τις ίδιες στήλες, σύμφωνα με την ιδιότητα 2, παίρνουμε μια νέα ορίζουσα: = . Από την άλλη, η νέα ορίζουσα είναι ίδια με την αρχική, αφού οι απαντήσεις είναι τα ίδια στοιχεία, δηλαδή = . Από αυτές τις ισότητες παίρνουμε: = .

4. Η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν εάν όλα τα στοιχεία μιας γραμμής (στήλης) είναι μηδενικά. Αυτή η δήλωση προκύπτει από το γεγονός ότι κάθε όρος της ορίζουσας σύμφωνα με τον τύπο (1) έχει ένα και μόνο ένα στοιχείο από κάθε γραμμή (στήλη), που έχει μόνο μηδενικά.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Ας δείξουμε ότι η ορίζουσα του πίνακα είναι ίση με μηδέν:

Ο πίνακας μας έχει δύο ίδιες στήλες (δεύτερη και τρίτη), επομένως, με βάση δεδομένη περιουσία, η ορίζουσα πρέπει να είναι μηδέν. Ας ελέγξουμε:

Πράγματι, η ορίζουσα ενός πίνακα με δύο ίδιες στήλες είναι μηδέν.

5. Ο κοινός παράγοντας των στοιχείων της πρώτης σειράς (στήλη) μπορεί να αφαιρεθεί από το ορίζοντα:

6. Εάν τα στοιχεία μιας γραμμής ή μιας στήλης της ορίζουσας είναι ανάλογα με τα αντίστοιχα στοιχεία της δεύτερης σειράς (στήλης), τότε μια τέτοια ορίζουσα είναι ίση με μηδέν.

Πράγματι, μετά την ιδιότητα 5, ο συντελεστής αναλογικότητας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της ορίζουσας και στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί η ιδιότητα 3.

7. Εάν καθένα από τα στοιχεία των σειρών (στήλων) της ορίζουσας είναι το άθροισμα δύο όρων, τότε αυτή η ορίζουσα μπορεί να δοθεί ως το άθροισμα των αντίστοιχων οριζόντων:

Για έλεγχο, αρκεί να γράψετε σε διευρυμένη μορφή σύμφωνα με (1) την ορίζουσα που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της ισότητας, στη συνέχεια να ομαδοποιήσετε χωριστά τους όρους που περιέχουν στοιχεία και . Κάθε μία από τις προκύπτουσες ομάδες όρων θα είναι η πρώτη και δεύτερες ορίζουσες στη δεξιά πλευρά της ισότητας, αντίστοιχα.

8. Οι τιμές του ορισμού δεν θα αλλάξουν εάν τα αντίστοιχα στοιχεία της δεύτερης σειράς (στήλης) πολλαπλασιασμένα με τον ίδιο αριθμό προστεθούν στο στοιχείο μιας γραμμής ή μιας στήλης:

Αυτή η ισότητα προκύπτει από τις ιδιότητες 6 και 7.

9. Η ορίζουσα του πίνακα , , ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων οποιασδήποτε γραμμής ή στήλης και των αλγεβρικών συμπληρωμάτων τους.

Εδώ μέσω του αλγεβρικού συμπληρώματος του στοιχείου του πίνακα . Χρησιμοποιώντας αυτήν την ιδιότητα, μπορείτε να υπολογίσετε όχι μόνο πίνακες τρίτης τάξης, αλλά και πίνακες υψηλότερων τάξεων ( x ή x). Σειρά. Θυμηθείτε το, καθώς χρησιμοποιείται συχνά στην πράξη.

Αξίζει να πούμε ότι χρησιμοποιώντας την ένατη ιδιότητα, μπορεί κανείς να υπολογίσει τις ορίζουσες των πινάκων όχι μόνο της τέταρτης τάξης, αλλά και των υψηλότερων τάξεων. Ωστόσο, σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να εκτελέσετε πολλές υπολογιστικές πράξεις και να είστε προσεκτικοί, καθώς το παραμικρό λάθος στα σημάδια θα οδηγήσει σε λανθασμένη απόφαση. Οι πίνακες υψηλότερων τάξεων επιλύονται πιο εύκολα με τη μέθοδο Gaussian και θα μιλήσουμε για αυτό αργότερα.

10. Η ορίζουσα του γινόμενου πινάκων ίδιας τάξης είναι ίση με το γινόμενο των οριζόντων τους.

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Παράδειγμα

Εργο

Βεβαιωθείτε ότι η ορίζουσα των δύο πινάκων και είναι ίση με το γινόμενο των ορίζοντών τους. Δίνονται δύο πίνακες:

Λύση

Πρώτον, βρίσκουμε το γινόμενο των οριζόντιων δύο πινάκων και .

Τώρα εκτελούμε τον πολλαπλασιασμό και των δύο πινάκων και έτσι υπολογίζουμε την ορίζουσα:

Απάντηση

Το φροντίσαμε

Υπολογισμός της ορίζουσας ενός πίνακα με τη μέθοδο Gaussian

Καθοριστική μήτραενημερώθηκε: 22 Νοεμβρίου 2019 από: Επιστημονικά άρθρα.Ru

Ασκηση.Υπολογίστε την ορίζουσα επεκτείνοντάς την πάνω από τα στοιχεία κάποιας γραμμής ή κάποιας στήλης.

Λύση.Ας εκτελέσουμε πρώτα στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στις σειρές της ορίζουσας κάνοντας όσο το δυνατόν περισσότερα μηδενικά είτε σε μια σειρά είτε σε μια στήλη. Για να γίνει αυτό, πρώτα αφαιρούμε εννέα τρίτα από την πρώτη γραμμή, πέντε τρίτα από τη δεύτερη και τρία τρίτα από την τέταρτη, παίρνουμε:

Επεκτείνουμε την ορίζουσα που προκύπτει με τα στοιχεία της πρώτης στήλης:

Η προκύπτουσα ορίζουσα τρίτης τάξης επεκτείνεται επίσης από τα στοιχεία της γραμμής και της στήλης, έχοντας προηγουμένως λάβει μηδενικά, για παράδειγμα, στην πρώτη στήλη. Για να γίνει αυτό, αφαιρούμε δύο δεύτερες γραμμές από την πρώτη γραμμή και τη δεύτερη από την τρίτη:

Απάντηση.

12. Slough 3 παραγγελίες

1. Κανόνας του τριγώνου

Σχηματικά, αυτός ο κανόνας μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Το γινόμενο των στοιχείων της πρώτης ορίζουσας που συνδέονται με γραμμές λαμβάνεται με πρόσημο συν. ομοίως, για τη δεύτερη ορίζουσα, τα αντίστοιχα γινόμενα λαμβάνονται με αρνητικό πρόσημο, δηλ.

2. Κανόνας Sarrus

Στα δεξιά της ορίζουσας προστίθενται οι δύο πρώτες στήλες και τα γινόμενα των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο και στις παράλληλες προς αυτήν διαγώνιες λαμβάνονται με σύμβολο συν. και τα γινόμενα των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου και των παράλληλων προς αυτήν διαγωνίων, με πρόσημο μείον:

3. Επέκταση της ορίζουσας σε γραμμή ή στήλη

Η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της σειράς της ορίζουσας και των αλγεβρικών συμπληρωμάτων τους. Συνήθως επιλέγετε τη γραμμή/στήλη στην οποία/η υπάρχουν μηδενικά. Η γραμμή ή η στήλη στην οποία πραγματοποιείται η αποσύνθεση θα υποδεικνύεται με ένα βέλος.

Ασκηση.Επεκτείνοντας την πρώτη σειρά, υπολογίστε την ορίζουσα

Λύση.

Απάντηση.

4. Φέρνοντας την ορίζουσα σε τριγωνική μορφή

Με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών σε γραμμές ή στήλες, η ορίζουσα μειώνεται σε τριγωνική μορφή και, στη συνέχεια, η τιμή της, σύμφωνα με τις ιδιότητες της ορίζουσας, είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων στην κύρια διαγώνιο.

Παράδειγμα

Ασκηση.Υπολογίστε ορίζουσα φέρνοντάς το σε τριγωνικό σχήμα.

Λύση.Αρχικά, κάνουμε μηδενικά στην πρώτη στήλη κάτω από την κύρια διαγώνιο. Όλοι οι μετασχηματισμοί θα εκτελεστούν ευκολότερα εάν το στοιχείο είναι ίσο με 1. Για να γίνει αυτό, θα ανταλλάξουμε την πρώτη και τη δεύτερη στήλη της ορίζουσας, η οποία, σύμφωνα με τις ιδιότητες της ορίζουσας, θα την κάνει να αλλάξει πρόσημο στο αντίθετο :

Στη συνέχεια, παίρνουμε μηδενικά στη δεύτερη στήλη στη θέση των στοιχείων κάτω από την κύρια διαγώνιο. Και πάλι, αν το διαγώνιο στοιχείο είναι ίσο με , τότε οι υπολογισμοί θα είναι απλούστεροι. Για να γίνει αυτό, ανταλλάσσουμε τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή (και ταυτόχρονα αλλάζουμε στο αντίθετο πρόσημο της ορίζουσας):

Στη συνέχεια, κάνουμε μηδενικά στη δεύτερη στήλη κάτω από την κύρια διαγώνιο, γι 'αυτό προχωράμε ως εξής: προσθέτουμε τρεις δεύτερες σειρές στην τρίτη σειρά και δύο δεύτερες σειρές στην τέταρτη, παίρνουμε:

Επιπλέον, από την τρίτη σειρά βγάζουμε το (-10) ως ορίζοντα και κάνουμε μηδενικά στην τρίτη στήλη κάτω από την κύρια διαγώνιο και για αυτό προσθέτουμε την τρίτη στην τελευταία σειρά:

Κατά την επίλυση προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά, είναι πολύ συχνά απαραίτητο να υπολογισμός ορίζουσας μήτρας. Η ορίζουσα ενός πίνακα εμφανίζεται στη γραμμική άλγεβρα, αναλυτική γεωμετρία, μαθηματική ανάλυση και άλλες ενότητες ανώτερων μαθηματικών. Έτσι, κανείς απλά δεν μπορεί να κάνει χωρίς την ικανότητα επίλυσης καθοριστικών παραγόντων. Επίσης, για αυτοέλεγχο, μπορείτε να κατεβάσετε δωρεάν την αριθμομηχανή προσδιοριστικών, δεν θα σας διδάξει πώς να λύσετε ορίζουσες από μόνη της, αλλά είναι πολύ βολικό, γιατί είναι πάντα ωφέλιμο να γνωρίζετε τη σωστή απάντηση εκ των προτέρων!

Δεν θα δώσω έναν αυστηρό μαθηματικό ορισμό της ορίζουσας και, γενικά, θα προσπαθήσω να ελαχιστοποιήσω τη μαθηματική ορολογία, αυτό δεν θα διευκολύνει τους περισσότερους αναγνώστες. Ο σκοπός αυτού του άρθρου είναι να σας διδάξει πώς να επιλύετε ορίζοντες δεύτερης, τρίτης και τέταρτης τάξης. Όλο το υλικό παρουσιάζεται σε απλή και προσιτή μορφή και ακόμη και ένας γεμάτος (άδειος) βραστήρας στα ανώτερα μαθηματικά, μετά από προσεκτική μελέτη του υλικού, θα μπορέσει να λύσει σωστά τους ορίζοντες.

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές μπορείτε να βρείτε μια ορίζουσα δεύτερης τάξης, για παράδειγμα: , και μια ορίζουσα τρίτης τάξης, για παράδειγμα: .

Ορίζουσα τέταρτης τάξης επίσης δεν είναι αντίκα, και θα έρθουμε σε αυτό στο τέλος του μαθήματος.

Ελπίζω όλοι να καταλάβουν το εξής:Οι αριθμοί μέσα στην ορίζουσα ζουν μόνοι τους, και δεν τίθεται θέμα αφαίρεσης! Δεν μπορείτε να ανταλλάξετε αριθμούς!

(Συγκεκριμένα, είναι δυνατό να εκτελεστούν κατά ζεύγη μεταθέσεις σειρών ή στηλών μιας ορίζουσας με αλλαγή του πρόσημου, αλλά συχνά αυτό δεν είναι απαραίτητο - δείτε το επόμενο μάθημα Ιδιότητες μιας ορίζουσας και μειώνοντας τη σειρά της)

Έτσι, αν δοθεί κάποια προσδιοριστική, τότε μην αγγίζετε τίποτα μέσα του!

Σημειογραφία: Εάν δοθεί ένας πίνακας , τότε η ορίζουσα του συμβολίζεται με . Επίσης, πολύ συχνά η ορίζουσα συμβολίζεται με λατινικό γράμμα ή ελληνικό.

1)Τι σημαίνει να λύνω (βρίσκω, αποκαλύπτω) μια ορίζουσα;Για να υπολογίσετε την ορίζουσα είναι να ΒΡΕΙΤΕ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ. Τα ερωτηματικά στα παραπάνω παραδείγματα είναι εντελώς συνηθισμένοι αριθμοί.

2) Τώρα μένει να καταλάβουμε ΠΩΣ θα βρείτε αυτόν τον αριθμό;Για να γίνει αυτό, πρέπει να εφαρμόσετε ορισμένους κανόνες, τύπους και αλγόριθμους, οι οποίοι θα συζητηθούν τώρα.

Ας ξεκινήσουμε με την ορίζουσα "δύο" σε "δύο":

ΑΥΤΟ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΤΟ ΘΥΜΑΣΤΕ, τουλάχιστον για την περίοδο σπουδών ανώτερων μαθηματικών στο πανεπιστήμιο.

Ας δούμε αμέσως ένα παράδειγμα:

Ετοιμος. Το πιο σημαντικό, ΜΗΝ ΜΠΕΡΔΕΤΕ ΤΑ ΣΗΜΑΔΙΑ.

Ορίζουσα μήτρας τρία προς τρίαμπορεί να ανοίξει με 8 τρόπους, 2 από αυτούς είναι απλοί και 6 κανονικοί.

Ας ξεκινήσουμε με δύο απλούς τρόπους

Παρόμοια με την ορίζουσα "δύο επί δύο", η ορίζουσα "τρία επί τρία" μπορεί να επεκταθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Η φόρμουλα είναι μεγάλη και είναι εύκολο να κάνεις λάθος λόγω απροσεξίας. Πώς να αποφύγετε τα ενοχλητικά λάθη; Για αυτό, εφευρέθηκε μια δεύτερη μέθοδος για τον υπολογισμό της ορίζουσας, η οποία στην πραγματικότητα συμπίπτει με την πρώτη. Ονομάζεται μέθοδος Sarrus ή μέθοδος «παράλληλων λωρίδων».
Η ουσία είναι ότι η πρώτη και η δεύτερη στήλη αποδίδονται στα δεξιά της ορίζουσας και οι γραμμές σχεδιάζονται προσεκτικά με ένα μολύβι:

Οι παράγοντες που βρίσκονται στις "κόκκινες" διαγώνιες περιλαμβάνονται στον τύπο με το σύμβολο "συν".
Οι παράγοντες που βρίσκονται στις "μπλε" διαγώνιες περιλαμβάνονται στον τύπο με το σύμβολο μείον:

Παράδειγμα:

Συγκρίνετε τις δύο λύσεις. Είναι εύκολο να δούμε ότι αυτό είναι το ΙΔΙΟ, απλώς στη δεύτερη περίπτωση οι παράγοντες του τύπου αναδιατάσσονται ελαφρώς και, το πιο σημαντικό, η πιθανότητα να γίνει λάθος είναι πολύ μικρότερη.

Τώρα εξετάστε τους έξι κανονικούς τρόπους υπολογισμού της ορίζουσας

Γιατί φυσιολογικό; Διότι στη συντριπτική πλειονότητα των περιπτώσεων, οι καθοριστικές πρέπει να ανοίγονται με αυτόν τον τρόπο.

Όπως μπορείτε να δείτε, η ορίζουσα τρία προς τρία έχει τρεις στήλες και τρεις σειρές.
Μπορείτε να λύσετε την ορίζουσα επεκτείνοντάς την σε οποιαδήποτε γραμμή ή σε οποιαδήποτε στήλη.
Έτσι, αποδεικνύονται 6 τρόποι, ενώ σε όλες τις περιπτώσεις χρησιμοποιούν του ίδιου τύπουαλγόριθμος.

Η ορίζουσα μήτρας ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της σειράς (στήλης) και των αντίστοιχων αλγεβρικών προσθηκών. Τρομακτικός? Όλα είναι πολύ πιο απλά, θα χρησιμοποιήσουμε μια αντιεπιστημονική, αλλά κατανοητή προσέγγιση, προσβάσιμη ακόμη και σε ένα άτομο που απέχει πολύ από τα μαθηματικά.

Στο παρακάτω παράδειγμα, θα επεκτείνουμε την ορίζουσα στην πρώτη γραμμή.
Για να το κάνουμε αυτό, χρειαζόμαστε μια μήτρα σημείων: . Είναι εύκολο να δεις ότι τα σημάδια είναι κλιμακωτά.

Προσοχή! Η μήτρα των σημείων είναι δική μου εφεύρεση. Αυτή η έννοιαδεν είναι επιστημονικό, δεν χρειάζεται να χρησιμοποιηθεί στον τελικό σχεδιασμό των εργασιών, σας βοηθά μόνο να κατανοήσετε τον αλγόριθμο για τον υπολογισμό της ορίζουσας.

Θα δώσω πρώτα την πλήρη λύση. Και πάλι, παίρνουμε την πειραματική μας ορίζουσα και εκτελούμε υπολογισμούς:

ΚΑΙ κύριο ερώτημα: ΠΩΣ μπορείτε να το πάρετε αυτό από την ορίζουσα "τρία επί τρία":
?

Έτσι, η ορίζουσα "τρία επί τρία" καταλήγει στην επίλυση τριών μικρών οριζόντων, ή όπως λέγονται επίσης, ΑΝΗΛΙΚΕΣ. Συνιστώ να θυμάστε τον όρο, ειδικά επειδή είναι αξιομνημόνευτος: μικρός - μικρός.

Μόλις επιλεγεί η μέθοδος επέκτασης της ορίζουσας στην πρώτη γραμμή, προφανώς όλα περιστρέφονται γύρω από αυτό:

Τα στοιχεία συνήθως προβάλλονται από αριστερά προς τα δεξιά (ή από πάνω προς τα κάτω, εάν επιλέγεται μια στήλη)

Πάμε, πρώτα ασχολούμαστε με το πρώτο στοιχείο της συμβολοσειράς, δηλαδή με τη μονάδα:

1) Γράφουμε το αντίστοιχο πρόσημο από τον πίνακα των σημείων:

2) Στη συνέχεια γράφουμε το ίδιο το στοιχείο:

3) Νοητικά διαγράψτε τη γραμμή και τη στήλη στην οποία βρίσκεται το πρώτο στοιχείο:

Οι υπόλοιποι τέσσερις αριθμοί σχηματίζουν την ορίζουσα «δύο επί δύο», η οποία καλείται ΑΝΗΛΙΚΟΣδεδομένο στοιχείο (μονάδα).

Περνάμε στο δεύτερο στοιχείο της γραμμής.

4) Γράφουμε το αντίστοιχο πρόσημο από τον πίνακα των σημείων:

5) Στη συνέχεια γράφουμε το δεύτερο στοιχείο:

6) Διαγράψτε ΔΙΑΝΟΗΤΙΚΑ τη γραμμή και τη στήλη που περιέχει το δεύτερο στοιχείο:

Λοιπόν, το τρίτο στοιχείο της πρώτης γραμμής. Καμία πρωτοτυπία

7) Γράφουμε το αντίστοιχο πρόσημο από τον πίνακα των σημείων:

8) Καταγράψτε το τρίτο στοιχείο:

9) Νοητικά διαγράψτε τη γραμμή και τη στήλη στην οποία βρίσκεται το τρίτο στοιχείο:

Οι υπόλοιποι τέσσερις αριθμοί γράφονται σε μια μικρή ορίζουσα.

Τα υπόλοιπα βήματα δεν είναι δύσκολα, αφού γνωρίζουμε ήδη πώς να μετράμε τους ορίζοντες «δύο προς δύο». ΜΗΝ ΜΠΕΡΔΕΤΕ ΤΑ ΖΩΔΙΑ!

Ομοίως, η ορίζουσα μπορεί να επεκταθεί σε οποιαδήποτε γραμμή ή σε οποιαδήποτε στήλη.Φυσικά και στις έξι περιπτώσεις η απάντηση είναι η ίδια.

Η ορίζουσα "τέσσερα επί τέσσερα" μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ίδιο αλγόριθμο.
Σε αυτή την περίπτωση, η μήτρα των σημείων θα αυξηθεί:

Στο παρακάτω παράδειγμα, επέκτεινα την ορίζουσα στην τέταρτη στήλη:

Και πώς έγινε, προσπαθήστε να το καταλάβετε μόνοι σας. Περισσότερες πληροφορίες θα έρθουν αργότερα. Αν κάποιος θέλει να λύσει την ορίζουσα μέχρι το τέλος, η σωστή απάντηση είναι: 18. Για εκπαίδευση, είναι καλύτερα να ανοίξει την ορίζουσα σε κάποια άλλη στήλη ή άλλη γραμμή.

Το να εξασκείς, να αποκαλύπτεις, να κάνεις υπολογισμούς είναι πολύ καλό και χρήσιμο. Αλλά πόσο χρόνο θα αφιερώσετε σε έναν μεγάλο καθοριστικό παράγοντα; Δεν υπάρχει πιο γρήγορος και πιο αξιόπιστος τρόπος; Σας προτείνω να εξοικειωθείτε αποτελεσματικές μεθόδουςυπολογισμός ορίζουσας στο δεύτερο μάθημα - Ιδιότητες της ορίζουσας. Μείωση της σειράς της ορίζουσας .

ΠΡΟΣΕΧΕ!

Είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων κάποιας γραμμής ή στήλης και των αλγεβρικών συμπληρωμάτων τους, δηλ. , όπου το i 0 είναι σταθερό.
Η παράσταση (*) ονομάζεται αποσύνθεση της ορίζουσας D ως προς τα στοιχεία της σειράς με τον αριθμό i 0 .

Ανάθεση υπηρεσίας. Αυτή η υπηρεσία έχει σχεδιαστεί για να βρίσκει τον καθοριστικό παράγοντα του πίνακα online με την εκτέλεση ολόκληρης της λύσης σε μορφή Word. Επιπλέον, δημιουργείται ένα πρότυπο λύσης στο Excel.

Εντολή. Επιλέξτε τη διάσταση του πίνακα, κάντε κλικ στο Επόμενο. Υπάρχουν δύο τρόποι υπολογισμού της ορίζουσας: α-πριόΚαι αποσύνθεση ανά γραμμή ή στήλη. Εάν θέλετε να βρείτε την ορίζουσα δημιουργώντας μηδενικά σε μία από τις γραμμές ή τις στήλες, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν την αριθμομηχανή.

Αλγόριθμος για την εύρεση της ορίζουσας

1. Για πίνακες τάξης n=2, η ορίζουσα υπολογίζεται με τον τύπο: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Για πίνακες τάξης n=3, η ορίζουσα υπολογίζεται μέσω αλγεβρικών προσθηκών ή Μέθοδος Sarrus.
3. Ένας πίνακας με διάσταση μεγαλύτερη από τρεις αποσυντίθεται σε αλγεβρικές προσθήκες, για τις οποίες υπολογίζονται οι ορίζουσες (ελάσσονες) τους. Για παράδειγμα, Ορίζουσα μήτρας 4ης τάξηςβρίσκεται μέσω επέκτασης σε γραμμές ή στήλες (βλ. παράδειγμα).

Για τον υπολογισμό των συναρτήσεων που περιέχουν ορίζοντα στον πίνακα, χρησιμοποιούνται τυπικές μέθοδοι. Για παράδειγμα, υπολογίστε την ορίζουσα ενός πίνακα 3ης τάξης:

Ας χρησιμοποιήσουμε την επέκταση πρώτης γραμμής.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Μέθοδοι υπολογισμού οριζόντων

Εύρεση της ορίζουσας μέσω αλγεβρικών προσθηκώνείναι μια κοινή μέθοδος. Η απλοποιημένη εκδοχή του είναι ο υπολογισμός της ορίζουσας με τον κανόνα Sarrus. Ωστόσο, με μια μεγάλη διάσταση μήτρας, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες μέθοδοι:

1. υπολογισμός της ορίζουσας με μείωση σειράς
2. υπολογισμός της ορίζουσας με τη μέθοδο Gaussian (με αναγωγή του πίνακα σε τριγωνική μορφή).

Στο Excel, για τον υπολογισμό της ορίζουσας, χρησιμοποιείται η συνάρτηση = MOPRED (εύρος κελιών).

Εφαρμοσμένη χρήση καθοριστικών παραγόντων

Οι ορίζοντες υπολογίζονται, κατά κανόνα, για ένα συγκεκριμένο σύστημα, που δίνεται με τη μορφή τετραγωνικού πίνακα. Εξετάστε ορισμένους τύπους εργασιών εύρεση ορίζουσας μήτρας. Μερικές φορές απαιτείται να βρεθεί μια άγνωστη παράμετρος a για την οποία η ορίζουσα θα ήταν ίση με μηδέν. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να συντάξετε μια εξίσωση για την ορίζουσα (για παράδειγμα, σύμφωνα με κανόνας τριγώνου) και, εξισώνοντάς το με 0 , υπολογίστε την παράμετρο a .
αποσύνθεση κατά στήλες (από την πρώτη στήλη):
Ελάσσονα για (1,1): Διαγράψτε την πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη από τον πίνακα.
Ας βρούμε την καθοριστική για αυτό το ανήλικο. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.

Ας προσδιορίσουμε το δευτερεύον για το (2,1): για να γίνει αυτό, διαγράφουμε τη δεύτερη σειρά και την πρώτη στήλη από τον πίνακα.

Ας βρούμε την καθοριστική για αυτό το ανήλικο. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Μικρό για (3,1): Διαγράψτε την 3η σειρά και την 1η στήλη από τον πίνακα.
Ας βρούμε την καθοριστική για αυτό το ανήλικο. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Η κύρια ορίζουσα είναι: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Ας βρούμε την ορίζουσα χρησιμοποιώντας επέκταση ανά γραμμές (από την πρώτη σειρά):
Ελάσσονα για (1,1): Διαγράψτε την πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη από τον πίνακα.

Ας βρούμε την καθοριστική για αυτό το ανήλικο. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. Μικρό για (1,2): Διαγράψτε την 1η σειρά και τη 2η στήλη από τον πίνακα. Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα για αυτό το δευτερεύον. ∆ 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. Και για να βρούμε το δευτερεύον για το (1,3) διαγράφουμε την πρώτη σειρά και την τρίτη στήλη από τον πίνακα. Ας βρούμε την καθοριστική για αυτό το ανήλικο. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Βρίσκουμε την κύρια ορίζουσα: ∆ \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

Ορισμός 1. 7. Ανήλικοςστοιχείο της ορίζουσας είναι η ορίζουσα που λαμβάνεται από τη δεδομένη διαγράφοντας τη γραμμή και τη στήλη που περιέχουν το επιλεγμένο στοιχείο.

Σημείωση: το επιλεγμένο στοιχείο της ορίζουσας, το δευτερεύον της.

Παράδειγμα. Για

Ορισμός 1. 8. Αλγεβρική πρόσθεσητο στοιχείο της ορίζουσας λέγεται ελάσσονα αν το άθροισμα των δεικτών του δεδομένου στοιχείου i + j είναι άρτιος αριθμός, ή το αντίθετο του δευτερεύοντος αν το i + j είναι περιττό, δηλ.

Εξετάστε έναν άλλο τρόπο υπολογισμού οριζόντων τρίτης τάξης - τη λεγόμενη επέκταση γραμμής ή στήλης. Για να γίνει αυτό, αποδεικνύουμε το ακόλουθο θεώρημα:

Θεώρημα 1.1. Η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων οποιασδήποτε από τις γραμμές ή τις στήλες της και τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα, δηλ.

όπου i=1,2,3.

Απόδειξη.

Θα αποδείξουμε το θεώρημα για την πρώτη σειρά της ορίζουσας, αφού για οποιαδήποτε άλλη γραμμή ή στήλη μπορούμε να κάνουμε παρόμοιο συλλογισμό και να έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα.

Ας βρούμε αλγεβρικές προσθήκες στα στοιχεία της πρώτης σειράς:

Έτσι, για τον υπολογισμό της ορίζουσας, αρκεί να βρούμε τις αλγεβρικές προσθήκες στα στοιχεία οποιασδήποτε γραμμής ή στήλης και να υπολογίσουμε το άθροισμα των γινομένων τους με τα αντίστοιχα στοιχεία της ορίζουσας.

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την ορίζουσα χρησιμοποιώντας την επέκταση στην πρώτη στήλη. Σημειώστε ότι σε αυτή την περίπτωση δεν απαιτείται αναζήτηση, αφού, κατά συνέπεια, βρίσκουμε και Ως εκ τούτου,

Καθοριστικοί παράγοντες ανώτερης τάξης.

Ορισμός 1. 9. ορίζουσα nης τάξης

είναι το άθροισμα του n! μέλη καθένα από τα οποία αντιστοιχεί σε ένα από τα n! διατεταγμένα σύνολα που λαμβάνονται με r ανά ζεύγος μεταθέσεις στοιχείων από το σύνολο 1,2,…,n.

Παρατήρηση 1. Οι ιδιότητες των οριζόντιων 3ης τάξης ισχύουν και για ορίζοντες νης τάξης.

Παρατήρηση 2. Στην πράξη, οι ορίζοντες υψηλής τάξης υπολογίζονται χρησιμοποιώντας μια επέκταση γραμμής ή στήλης. Αυτό καθιστά δυνατή τη μείωση της σειράς των υπολογισμένων προσδιοριστικών παραγόντων και τελικά τη μείωση του προβλήματος στην εύρεση οριζόντων 3ης τάξης.

Παράδειγμα. Υπολογίστε την ορίζουσα 4ης τάξης χρησιμοποιώντας την επέκταση στη 2η στήλη. Για να το κάνουμε αυτό, βρίσκουμε:

Ως εκ τούτου,

Θεώρημα Laplace- ένα από τα θεωρήματα της γραμμικής άλγεβρας. Πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827), στον οποίο αποδίδεται η διατύπωση αυτού του θεωρήματος το 1772, αν και μια ειδική περίπτωση αυτού του θεωρήματος σχετικά με την επέκταση της ορίζουσας σε μια σειρά (στήλη) ήταν γνωστή στον Leibniz. .

πληρότητατο δευτερεύον ορίζεται ως εξής:

Ο παρακάτω ισχυρισμός είναι αληθής.

Ο αριθμός των δευτερευόντων στα οποία λαμβάνεται το άθροισμα στο θεώρημα του Laplace είναι ίσος με τον αριθμό των τρόπων επιλογής στηλών από , δηλαδή τον διωνυμικό συντελεστή .

Δεδομένου ότι οι σειρές και οι στήλες ενός πίνακα είναι ισοδύναμες ως προς τις ιδιότητες της ορίζουσας, το θεώρημα του Laplace μπορεί επίσης να διατυπωθεί για τις στήλες ενός πίνακα.

Αποσύνθεση σειρών (στήλης) της ορίζουσας (Συνέπεια 1)

Μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος του Laplace είναι ευρέως γνωστή - η επέκταση της ορίζουσας σε μια γραμμή ή στήλη. Σας επιτρέπει να αναπαραστήσετε την ορίζουσα ενός τετραγωνικού πίνακα ως το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων οποιασδήποτε από τις γραμμές ή τις στήλες του και τα αλγεβρικά τους συμπληρώματα.

ας - τετράγωνη μήτραΜέγεθος . Ας δοθεί επίσης κάποιος αριθμός σειράς ή αριθμός στήλης του πίνακα. Στη συνέχεια, η ορίζουσα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους.