Στο κανάλι youtube του site μας για να ενημερωθείτε για όλα τα νέα μαθήματα βίντεο.

Αρχικά, ας θυμηθούμε τους βασικούς τύπους των βαθμών και τις ιδιότητές τους.

Προϊόν ενός αριθμού ένασυμβαίνει στον εαυτό του n φορές, μπορούμε να γράψουμε αυτή την έκφραση ως a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Ισχύς ή εκθετικές εξισώσεις- αυτές είναι εξισώσεις στις οποίες οι μεταβλητές είναι σε δυνάμεις (ή εκθέτες) και η βάση είναι ένας αριθμός.

Παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων:

Σε αυτό το παράδειγμα, ο αριθμός 6 είναι η βάση, είναι πάντα στο κάτω μέρος και η μεταβλητή Χβαθμό ή μέτρο.

Ας δώσουμε περισσότερα παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Τώρα ας δούμε πώς λύνονται οι εκθετικές εξισώσεις;

Ας πάρουμε μια απλή εξίσωση:

2 x = 2 3

Ένα τέτοιο παράδειγμα μπορεί να λυθεί ακόμα και στο μυαλό. Μπορεί να φανεί ότι x=3. Εξάλλου, για να είναι ίσες η αριστερή και η δεξιά πλευρά, πρέπει να βάλετε τον αριθμό 3 αντί για το x.
Ας δούμε τώρα πώς πρέπει να ληφθεί αυτή η απόφαση:

2 x = 2 3
x = 3

Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, αφαιρέσαμε ίδιους λόγους(δηλαδή αποσπάσματα) και έγραψε ό,τι απέμεινε, αυτά είναι μοίρες. Πήραμε την απάντηση που ψάχναμε.

Τώρα ας συνοψίσουμε τη λύση μας.

Αλγόριθμος για την επίλυση της εκθετικής εξίσωσης:
1. Χρειάζεται έλεγχος το ίδιοείτε οι βάσεις της εξίσωσης δεξιά και αριστερά. Εάν οι λόγοι δεν είναι οι ίδιοι, αναζητούμε επιλογές για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα.
2. Αφού οι βάσεις είναι ίδιες, εξισώνωβαθμό και λύστε τη νέα εξίσωση που προκύπτει.

Τώρα ας λύσουμε μερικά παραδείγματα:

Ας ξεκινήσουμε απλά.

Οι βάσεις στην αριστερή και δεξιά πλευρά είναι ίσες με τον αριθμό 2, που σημαίνει ότι μπορούμε να απορρίψουμε τη βάση και να εξισώσουμε τις μοίρες τους.

x+2=4 Έχει βγει η απλούστερη εξίσωση.
x=4 - 2
x=2
Απάντηση: x=2

Στο παρακάτω παράδειγμα, μπορείτε να δείτε ότι οι βάσεις είναι διαφορετικές, αυτές είναι 3 και 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Αρχικά, μεταφέρουμε τα εννέα στη δεξιά πλευρά, παίρνουμε:

Τώρα πρέπει να φτιάξετε τις ίδιες βάσεις. Γνωρίζουμε ότι 9=3 2 . Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο ισχύος (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Παίρνουμε 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 τώρα είναι σαφές ότι οι βάσεις στην αριστερή και τη δεξιά πλευρά είναι ίδιες και ίσες με τρεις, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να τις απορρίψουμε και να εξισώσουμε τις μοίρες.

3x=2x+16 πήρε την απλούστερη εξίσωση
3x-2x=16
x=16
Απάντηση: x=16.

Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Πρώτα απ 'όλα, κοιτάμε τις βάσεις, οι βάσεις είναι διαφορετικές δύο και τέσσερις. Και πρέπει να είμαστε ίδιοι. Μετασχηματίζουμε το τετραπλό σύμφωνα με τον τύπο (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Και χρησιμοποιούμε επίσης έναν τύπο a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Προσθέστε στην εξίσωση:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Δώσαμε ένα παράδειγμα για τους ίδιους λόγους. Μας παρεμβαίνουν όμως άλλοι αριθμοί 10 και 24. Τι να τους κάνουμε; Αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ότι στην αριστερή πλευρά επαναλαμβάνουμε 2 2x, εδώ είναι η απάντηση - μπορούμε να βάλουμε 2 2x εκτός παρενθέσεων:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Ας υπολογίσουμε την έκφραση σε αγκύλες:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με το 6:

Φανταστείτε 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 βάσεις είναι ίδιες, πετάξτε τις και εξισώστε τις μοίρες.
Το 2x \u003d 2 αποδείχθηκε η απλούστερη εξίσωση. Το διαιρούμε με το 2, παίρνουμε
x = 1
Απάντηση: x = 1.

Ας λύσουμε την εξίσωση:

9 x - 12*3 x +27= 0

Ας μεταμορφώσουμε:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Παίρνουμε την εξίσωση:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Οι βάσεις μας είναι ίδιες, ίσες με τρεις Σε αυτό το παράδειγμα, είναι ξεκάθαρο ότι η πρώτη τριάδα έχει βαθμό διπλάσια (2x) από τη δεύτερη (μόλις x). Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε να αποφασίσετε μέθοδος αντικατάστασης. Ο αριθμός με τον μικρότερο βαθμό αντικαθίσταται από:

Στη συνέχεια 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Αντικαθιστούμε όλες τις μοίρες με x στην εξίσωση με t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση. Επιλύουμε μέσω της διάκρισης, παίρνουμε:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Επιστροφή στη Μεταβλητή Χ.

Παίρνουμε το t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Αυτό είναι,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Βρέθηκε μια ρίζα. Ψάχνουμε για το δεύτερο, από το t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Απάντηση: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Στον ιστότοπο μπορείτε στην ενότητα ΒΟΗΘΕΙΑ ΑΠΟΦΑΣΙΣΤΕ να κάνετε ερωτήσεις που σας ενδιαφέρουν, σίγουρα θα σας απαντήσουμε.

Εγγραφείτε σε μια ομάδα

Πίσω μπροστά

Προσοχή! Η προεπισκόπηση της διαφάνειας είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύει την πλήρη έκταση της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

Τύπος μαθήματος

: μάθημα γενίκευσης και σύνθετης εφαρμογής γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων με θέμα «Εκθετικές εξισώσεις και τρόποι επίλυσής τους».

Στόχοι μαθήματος.

Σεμινάρια:

επαναλάβετε και συστηματοποιήστε το κύριο υλικό του θέματος "Εκθετικές εξισώσεις, οι λύσεις τους". να παγιώσει την ικανότητα χρήσης κατάλληλων αλγορίθμων κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων διαφόρων τύπων. προετοιμασία για τις εξετάσεις.

Ανάπτυξη:

ανάπτυξη λογικής και συνειρμικής σκέψης των μαθητών. να προωθήσει την ανάπτυξη της ικανότητας της ανεξάρτητης εφαρμογής της γνώσης.

Εκπαιδευτικός:

να καλλιεργήσουν τη σκοπιμότητα, την προσοχή και την ακρίβεια στην επίλυση εξισώσεων.

Εξοπλισμός:

υπολογιστή και προβολέα πολυμέσων.

Το μάθημα χρησιμοποιεί ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ : μεθοδολογική υποστήριξη για το μάθημα - παρουσίαση στο Microsoft Power Point.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Κάθε δεξιότητα έρχεται με σκληρή δουλειά.

ΕΓΩ. Καθορισμός του στόχου του μαθήματος(διαφάνεια αριθμός 2 )

Σε αυτό το μάθημα, θα συνοψίσουμε και θα γενικεύσουμε το θέμα «Εκθετικές εξισώσεις, οι λύσεις τους». Ας εξοικειωθούμε με τις τυπικές εργασίες της εξέτασης διαφορετικών ετών σε αυτό το θέμα.

Εργασίες για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων μπορούν να βρεθούν σε οποιοδήποτε μέρος των εργασιών USE. Στο μέρος " ΣΕ " συνήθως προτείνουν να λύσουν τις απλούστερες εκθετικές εξισώσεις. Στο μέρος " ΜΕ " μπορείτε να συναντήσετε πιο σύνθετες εκθετικές εξισώσεις, η λύση των οποίων είναι συνήθως ένα από τα στάδια της εργασίας.

Για παράδειγμα ( διαφάνεια αριθμός 3 ).

• ΧΡΗΣΗ - 2007

B 4 - Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της παράστασης x y, Οπου ( Χ; στο) είναι η λύση του συστήματος:

• ΧΡΗΣΗ - 2008

B 1 - Επίλυση εξισώσεων:

ΕΝΑ) Χ 6 3Χ – 36 6 3Χ = 0;

β) 4 Χ +1 + 8 4Χ= 3.

• ΧΡΗΣΗ - 2009

Β 4 - Βρείτε την τιμή της παράστασης x + y, Οπου ( Χ; στο) είναι η λύση του συστήματος:

• ΧΡΗΣΗ - 2010

– Λύστε την εξίσωση: 7 Χ– 2 = 49. – Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: 4 Χ 2 + 3Χ – 2 - 0,5 2x2 + 2Χ – 1 = 0. – Λύστε το σύστημα των εξισώσεων:

II. Επικαιροποίηση βασικών γνώσεων. Επανάληψη

(Διαφάνειες #4 – 6 παρουσιάσεις της τάξης)

Εμφανίζεται η οθόνη περίληψη αναφοράς του θεωρητικού υλικού πανω σε αυτο το θεμα.

Συζητούνται τα ακόλουθα ερωτήματα:

1. Τι ονομάζονται εξισώσεις ενδεικτικός?
2. Να αναφέρετε τους κύριους τρόπους επίλυσής τους. Δώστε παραδείγματα των τύπων τους ( διαφάνεια αριθμός 4 )

(Λύστε μόνοι σας τις προτεινόμενες εξισώσεις για κάθε μέθοδο και εκτελέστε έναν αυτοέλεγχο χρησιμοποιώντας τη διαφάνεια)

3. Ποιο θεώρημα χρησιμοποιείται για την επίλυση των απλούστερων εκθετικών εξισώσεων της μορφής: και f(x) = a g(x) ?
4. Ποιες άλλες μέθοδοι για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων υπάρχουν; ( διαφάνεια αριθμός 5 )

• Μέθοδος παραγοντοποίησης
(με βάση τις ιδιότητες των δυνάμεων με οι ίδιες βάσεις, λήψη: ο βαθμός με τον χαμηλότερο δείκτη βγαίνει εκτός παρενθέσεων).
• Λήψη διαίρεσης (πολλαπλασιασμού) με εκθετική έκφραση διαφορετική από το μηδέν, κατά την επίλυση ομοιογενών εκθετικών εξισώσεων
.

• Συμβουλή:

όταν λύνουμε εκθετικές εξισώσεις, είναι χρήσιμο να κάνουμε πρώτα μετασχηματισμούς, λαμβάνοντας μοίρες με τις ίδιες βάσεις και στα δύο μέρη της εξίσωσης.

1. Επίλυση εξισώσεων με τις δύο τελευταίες μεθόδους ακολουθούμενη από σχόλια

(διαφάνεια αριθμός 6 ).

. 4 Χ+ 1 – 2 4 Χ– 2 = 124, 4 Χ– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 Χ– 2 62 = 124,

4 Χ– 2 = 2, 4 Χ– 2 = 4 0,5 , Χ– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x – 3 2 Χ 5Χ - 5 5 2Χ= 0¦: 5 2 Χ 0,

2 (2/5) 2x - 3 (2/5) Χ - 5 = 0,

t = (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3t- 5 = 0,t= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, Χ= ?...

III. Επίλυση εργασιών USE 2010

Οι μαθητές λύνουν ανεξάρτητα τις εργασίες που προτείνονται στην αρχή του μαθήματος στη διαφάνεια Νο. 3, χρησιμοποιώντας τις οδηγίες για τη λύση, ελέγχουν τη λύση τους και τις απαντήσεις σε αυτές χρησιμοποιώντας την παρουσίαση ( διαφάνεια αριθμός 7). Κατά τη διαδικασία της εργασίας, συζητούνται επιλογές και μέθοδοι επίλυσης, εφιστάται η προσοχή σε πιθανά σφάλματα στη λύση.

: α) 7 Χ– 2 = 49, β) (1/6) 12 - 7 x = 36. Απάντηση: ΕΝΑ) Χ= 4, β) Χ = 2. : 4 Χ 2 + 3Χ – 2 - 0,5 2x2 + 2Χ- 1 \u003d 0. (Μπορείτε να αντικαταστήσετε το 0,5 \u003d 4 - 0,5)

Λύση. ,

Χ 2 + 3Χ – 2 = -Χ 2 - 4Χ + 0,5 …

Απάντηση: Χ= -5/2, Χ = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, στο cos y< 0.

Πρόταση για απόφαση

. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2 γρ y+ 4 5 tg y- 1 = 0. Έστω Χ= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.

Αφού tg y= -1 και συν y< 0, λοιπόν στοΙΙ συντεταγμένες τρίμηνο

Απάντηση: στο= 3/4 + 2κ, κ Ν.

IV. Συνεργασία Whiteboard

Το καθήκον ενός υψηλού επιπέδου μάθησης θεωρείται - διαφάνεια αριθμός 8. Με τη βοήθεια αυτής της διαφάνειας γίνεται διάλογος μεταξύ του δασκάλου και των μαθητών, ο οποίος συμβάλλει στην ανάπτυξη της λύσης.

- Σε ποια παράμετρο ΕΝΑ εξίσωση 2 2 Χ – 3 2 Χ + ΕΝΑ 2 – 4ΕΝΑ= 0 έχει δύο ρίζες;

Αφήνω t= 2 Χ, Οπου t > 0 . Παίρνουμε t 2 – 3t + (ΕΝΑ 2 – 4ΕΝΑ) = 0 .

1). Εφόσον η εξίσωση έχει δύο ρίζες, τότε D > 0;

2). Επειδή t 1,2 > 0, λοιπόν t 1 t 2 > 0, δηλαδή ΕΝΑ 2 – 4ΕΝΑ> 0 (?...).

Απάντηση: ΕΝΑ(– 0,5; 0) ή (4; 4,5).

V. Εργασίες επαλήθευσης

(διαφάνεια αριθμός 9 )

Οι μαθητές εκτελούν εργασίες επαλήθευσηςσε φυλλάδια, ασκώντας αυτοέλεγχο και αυτοαξιολόγηση της εργασίας που εκτελείται με τη βοήθεια παρουσίασης, διεκδικώντας τον εαυτό της στο θέμα. Καθορίζουν ανεξάρτητα ένα πρόγραμμα για τη ρύθμιση και τη διόρθωση της γνώσης με βάση τα λάθη που έγιναν στα βιβλία εργασίας. Φύλλα με ολοκληρωμένη αυτοτελή εργασία παραδίδονται στον εκπαιδευτικό για επαλήθευση.

Οι υπογραμμισμένοι αριθμοί βασικό επίπεδο, με αστερίσκο - αυξημένη πολυπλοκότητα.

Λύση και απαντήσεις.

0,3 2Χ + 1 = 0,3 – 2 , 2Χ + 1 = -2, Χ= -1,5.

(1; 1).

3. 2 Χ– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 Χ– 1 76 = 19, 2 Χ– 1 = 1/4, 2 Χ– 1 = 2 – 2 , Χ– 1 = -2,

x = -1.

4 *.3 9 x = 2 3 Χ 5Χ+ 5 25 Χ | : 25 Χ ,

3 (9/25) x = 2 (3/5) Χ+ 5,

3 (9/27) Χ = 2 (3/5) Χ + 5 = 0,

3 (3/5) 2Χ – 2 (3/5) Χ - 5 = 0,…, (3/5) Χ = -1 (δεν είναι κατάλληλο),

(3/5) Χ = 5, x = -1.

VI. Εργασία για το σπίτι

(διαφάνεια αριθμός 10 )

• Επαναλάβετε § 11, 12.
• Από το υλικό της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης 2008 - 2010, επιλέξτε εργασίες σχετικά με το θέμα και λύστε τις.
• Δοκιμαστική εργασία στο σπίτι
:

Στο στάδιο της προετοιμασίας για την τελική εξέταση, οι μαθητές Λυκείου πρέπει να βελτιώσουν τις γνώσεις τους στο θέμα «Εκθετικές Εξισώσεις». Η εμπειρία των προηγούμενων ετών δείχνει ότι τέτοιες εργασίες προκαλούν ορισμένες δυσκολίες για τους μαθητές. Επομένως, οι μαθητές γυμνασίου, ανεξάρτητα από το επίπεδο προετοιμασίας τους, πρέπει να κατακτήσουν προσεκτικά τη θεωρία, να απομνημονεύσουν τους τύπους και να κατανοήσουν την αρχή της επίλυσης τέτοιων εξισώσεων. Έχοντας μάθει να αντιμετωπίζουν αυτό το είδος εργασιών, οι απόφοιτοι θα μπορούν να υπολογίζουν σε υψηλές βαθμολογίες όταν περνούν τις εξετάσεις στα μαθηματικά.

Ετοιμαστείτε για τις εξετάσεις μαζί με το Shkolkovo!

Κατά την επανάληψη των υλικών που καλύπτονται, πολλοί μαθητές αντιμετωπίζουν το πρόβλημα να βρουν τους τύπους που απαιτούνται για την επίλυση των εξισώσεων. Ένα σχολικό εγχειρίδιο δεν είναι πάντα διαθέσιμο και η επιλογή των απαραίτητων πληροφοριών για ένα θέμα στο Διαδίκτυο διαρκεί πολύ.

Η εκπαιδευτική πύλη Shkolkovo προσκαλεί τους μαθητές να χρησιμοποιήσουν τη βάση γνώσεων μας. Εφαρμόζουμε μια εντελώς νέα μέθοδο προετοιμασίας για το τελικό τεστ. Μελετώντας στον ιστότοπό μας, θα μπορείτε να εντοπίσετε κενά στη γνώση και να δώσετε προσοχή σε αυτές ακριβώς τις εργασίες που προκαλούν τις μεγαλύτερες δυσκολίες.

Οι δάσκαλοι του «Shkolkovo» συγκέντρωσαν, συστηματοποίησαν και παρουσίασαν όλα τα απαραίτητα για μια επιτυχημένη περνώντας τις εξετάσειςυλικό στην πιο απλή και προσιτή μορφή.

Οι κύριοι ορισμοί και τύποι παρουσιάζονται στην ενότητα "Θεωρητική αναφορά".

Για καλύτερη αφομοίωση της ύλης, σας προτείνουμε να εξασκηθείτε στις εργασίες. Εξετάστε προσεκτικά τα παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων με λύσεις που παρουσιάζονται σε αυτή τη σελίδα για να κατανοήσετε τον αλγόριθμο υπολογισμού. Μετά από αυτό, προχωρήστε με τις εργασίες στην ενότητα "Κατάλογοι". Μπορείτε να ξεκινήσετε με τις πιο εύκολες εργασίες ή να προχωρήσετε κατευθείαν στην επίλυση σύνθετων εκθετικών εξισώσεων με πολλούς αγνώστους ή . Η βάση δεδομένων των ασκήσεων στην ιστοσελίδα μας συμπληρώνεται και ενημερώνεται συνεχώς.

Αυτά τα παραδείγματα με δείκτες που σας προκάλεσαν δυσκολίες μπορούν να προστεθούν στα "Αγαπημένα". Έτσι μπορείτε να τα βρείτε γρήγορα και να συζητήσετε τη λύση με τον δάσκαλο.

Για να περάσετε με επιτυχία τις εξετάσεις, μελετήστε στην πύλη Shkolkovo κάθε μέρα!

Αυτό το μάθημα προορίζεται για όσους μόλις αρχίζουν να μαθαίνουν εκθετικές εξισώσεις. Όπως πάντα, ας ξεκινήσουμε με έναν ορισμό και απλά παραδείγματα.

Εάν διαβάζετε αυτό το μάθημα, τότε υποπτεύομαι ότι έχετε ήδη τουλάχιστον μια ελάχιστη κατανόηση των απλούστερων εξισώσεων - γραμμικών και τετραγωνικών: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ κ.λπ. Για να μπορέσετε να λύσετε τέτοιες κατασκευές είναι απολύτως απαραίτητο για να μην "κολλήσετε" στο θέμα που θα συζητηθεί τώρα.

Λοιπόν, εκθετικές εξισώσεις. Επιτρέψτε μου να σας δώσω μερικά παραδείγματα:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Κάποια από αυτά μπορεί να σας φαίνονται πιο περίπλοκα, μερικά από αυτά, αντίθετα, είναι πολύ απλά. Όλα όμως ενώνονται με ένα σημαντικό χαρακτηριστικό: περιέχουν μια εκθετική συνάρτηση $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Έτσι εισάγουμε τον ορισμό:

Εκθετική εξίσωση είναι κάθε εξίσωση που περιέχει μια εκθετική συνάρτηση, δηλ. μια έκφραση της μορφής $((a)^(x))$. Εκτός από την καθορισμένη συνάρτηση, τέτοιες εξισώσεις μπορούν να περιέχουν οποιεσδήποτε άλλες αλγεβρικές κατασκευές - πολυώνυμα, ρίζες, τριγωνομετρία, λογάριθμους κ.λπ.

Εντάξει τότε. Κατάλαβε τον ορισμό. Τώρα το ερώτημα είναι: πώς να λύσετε όλα αυτά τα χάλια; Η απάντηση είναι απλή και σύνθετη ταυτόχρονα.

Ας ξεκινήσουμε με τα καλά νέα: από την εμπειρία μου με πολλούς μαθητές, μπορώ να πω ότι για τους περισσότερους από αυτούς, οι εκθετικές εξισώσεις είναι πολύ πιο εύκολες από τους ίδιους λογάριθμους και ακόμη περισσότερο την τριγωνομετρία.

Αλλά υπάρχουν και άσχημα νέα: μερικές φορές οι συντάκτες προβλημάτων για κάθε είδους σχολικά βιβλία και εξετάσεις επισκέπτονται «έμπνευση» και ο φλεγμονώδης εγκέφαλός τους αρχίζει να παράγει τόσο βάναυσες εξισώσεις που γίνεται προβληματικό όχι μόνο για τους μαθητές να τα λύσουν - ακόμη και πολλοί δάσκαλοι κολλάνε σε τέτοια προβλήματα.

Ωστόσο, ας μην μιλάμε για θλιβερά πράγματα. Και ας επιστρέψουμε σε αυτές τις τρεις εξισώσεις που δόθηκαν στην αρχή κιόλας της ιστορίας. Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε καθένα από αυτά.

Πρώτη εξίσωση: $((2)^(x))=4$. Λοιπόν, σε ποια δύναμη πρέπει να ανυψωθεί ο αριθμός 2 για να πάρει τον αριθμό 4; Ίσως το δεύτερο; Άλλωστε, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — και έχουμε λάβει τη σωστή αριθμητική ισότητα, δηλ. πράγματι $x=2$. Λοιπόν, ευχαριστώ, καπάκι, αλλά αυτή η εξίσωση ήταν τόσο απλή που ακόμη και η γάτα μου μπορούσε να τη λύσει. :)

Ας δούμε την παρακάτω εξίσωση:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Εδώ όμως είναι λίγο πιο δύσκολο. Πολλοί μαθητές γνωρίζουν ότι $((5)^(2))=25$ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Μερικοί επίσης υποψιάζονται ότι $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ είναι ουσιαστικά ο ορισμός των αρνητικών εκθετών (παρόμοιος με τον τύπο $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Τέλος, μόνο λίγοι μαντεύουν ότι αυτά τα γεγονότα μπορούν να συνδυαστούν και το αποτέλεσμα είναι το ακόλουθο αποτέλεσμα:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Έτσι, η αρχική μας εξίσωση θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Δεξί βέλος ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Και τώρα αυτό έχει ήδη λυθεί πλήρως! Στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση, στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης υπάρχει μια εκθετική συνάρτηση, δεν υπάρχει τίποτα άλλο εκτός από αυτές πουθενά αλλού. Ως εκ τούτου, είναι δυνατόν να "απορρίψετε" τις βάσεις και να εξισώσετε ανόητα τους δείκτες:

Πήραμε την απλούστερη γραμμική εξίσωση που μπορεί να λύσει κάθε μαθητής σε μερικές μόνο γραμμές. Εντάξει, σε τέσσερις γραμμές:

\[\αρχή(στοίχιση)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(στοίχιση)\]

Εάν δεν καταλάβατε τι συνέβαινε στις τελευταίες τέσσερις γραμμές, φροντίστε να επιστρέψετε στο θέμα " γραμμικές εξισώσεις"και επαναλάβετε το. Διότι χωρίς σαφή αφομοίωση αυτού του θέματος, είναι πολύ νωρίς για εσάς να αναλάβετε εκθετικές εξισώσεις.

\[((9)^(x))=-3\]

Λοιπόν, πώς αποφασίζεις; Πρώτη σκέψη: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, οπότε η αρχική εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

\[((\αριστερά(((3)^(2)) \δεξιά))^(x))=-3\]

Στη συνέχεια, υπενθυμίζουμε ότι κατά την αύξηση ενός βαθμού σε μια ισχύ, οι δείκτες πολλαπλασιάζονται:

\[((\αριστερά(((3)^(2)) \δεξιά))^(x))=(3)^(2x))\Δεξί βέλος ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Και για μια τέτοια απόφαση, παίρνουμε ένα ειλικρινά άξιο δόγμα. Γιατί εμείς, με την ισοτιμία ενός Pokémon, στείλαμε το σύμβολο μείον μπροστά από τα τρία στη δύναμη αυτού του τριών. Και δεν μπορείς να το κάνεις αυτό. Και για αυτο. Ρίξτε μια ματιά στις διαφορετικές δυνάμεις του τριπλού:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(μήτρα)\]

Κατά τη σύνταξη αυτού του tablet, δεν παρέστρεψα αμέσως μόλις το έκανα: θεώρησα θετικούς βαθμούς και αρνητικούς, ακόμη και κλασματικούς ... καλά, πού είναι τουλάχιστον ένας αρνητικός αριθμός εδώ; Δεν είναι! Και δεν μπορεί να είναι, γιατί η εκθετική συνάρτηση $y=((a)^(x))$, πρώτον, παίρνει πάντα μόνο θετικές αξίες(όσο και αν πολλαπλασιάσετε ένα ή διαιρέσετε με δύο, θα εξακολουθεί να είναι θετικός αριθμός), και δεύτερον, η βάση μιας τέτοιας συνάρτησης - ο αριθμός $a$ - είναι εξ ορισμού ένας θετικός αριθμός!

Λοιπόν, πώς να λύσουμε τότε την εξίσωση $((9)^(x))=-3$; Όχι, δεν υπάρχουν ρίζες. Και από αυτή την άποψη, οι εκθετικές εξισώσεις μοιάζουν πολύ με τις τετραγωνικές - μπορεί επίσης να μην υπάρχουν ρίζες. Αλλά αν στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις ο αριθμός των ριζών καθορίζεται από τη διάκριση (η διάκριση είναι θετική - 2 ρίζες, αρνητική - χωρίς ρίζες), τότε στις εκθετικές εξισώσεις όλα εξαρτώνται από το τι βρίσκεται στα δεξιά του πρόσημου ίσου.

Έτσι, διατυπώνουμε το βασικό συμπέρασμα: η απλούστερη εκθετική εξίσωση της μορφής $((a)^(x))=b$ έχει ρίζα αν και μόνο αν $b \gt 0$. Γνωρίζοντας αυτό το απλό γεγονός, μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε εάν η εξίσωση που σας προτείνεται έχει ρίζες ή όχι. Εκείνοι. αξίζει να το λύσετε καθόλου ή γράψτε αμέσως ότι δεν υπάρχουν ρίζες.

Αυτή η γνώση θα μας βοηθήσει πολλές φορές όταν πρέπει να λύσουμε πιο περίπλοκα προβλήματα. Στο μεταξύ, αρκετοί στίχοι - ήρθε η ώρα να μελετήσετε τον βασικό αλγόριθμο για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων.

Πώς να λύσετε εκθετικές εξισώσεις

Λοιπόν, ας διατυπώσουμε το πρόβλημα. Είναι απαραίτητο να λυθεί η εκθετική εξίσωση:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

Σύμφωνα με τον "αφελή" αλγόριθμο που χρησιμοποιήσαμε νωρίτερα, είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε τον αριθμό $b$ ως δύναμη του αριθμού $a$:

Επιπλέον, εάν αντί για τη μεταβλητή $x$ υπάρχει κάποια έκφραση, θα λάβουμε μια νέα εξίσωση, η οποία μπορεί ήδη να λυθεί. Για παράδειγμα:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Δεξί βέλος ((3)^(-x))=((3)^(4))\Δεξί βέλος -x=4\Δεξί βέλος x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Δεξί βέλος ((5)^(2x))=(5)^(3))\Δεξί βέλος 2x=3\Δεξί βέλος x=\frac(3)( 2). \\\end(στοίχιση)\]

Και παραδόξως, αυτό το σχήμα λειτουργεί στο 90% περίπου των περιπτώσεων. Τι γίνεται με το άλλο 10% τότε; Το υπόλοιπο 10% είναι ελαφρώς «σχιζοφρενικές» εκθετικές εξισώσεις της μορφής:

\[((2)^(x))=3;\τετράγωνο ((5)^(x))=15;\τετράγωνο ((4)^(2x))=11\]

Σε ποια δύναμη χρειάζεται να σηκώσεις 2 για να πάρεις 3; Κατά την πρώτη? Αλλά όχι: $((2)^(1))=2$ δεν είναι αρκετό. Στο δεύτερο; Κανένα από τα δύο: $((2)^(2))=4$ είναι πάρα πολύ. Τι τότε?

Οι γνώστες μαθητές πιθανότατα έχουν ήδη μαντέψει: σε τέτοιες περιπτώσεις, όταν είναι αδύνατο να λυθεί "όμορφα", το "βαρύ πυροβολικό" συνδέεται με την υπόθεση - λογάριθμους. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι χρησιμοποιώντας λογάριθμους, οποιοσδήποτε θετικός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύναμη οποιουδήποτε άλλου θετικού αριθμού (με εξαίρεση τον ένα):

Θυμάστε αυτόν τον τύπο; Όταν λέω στους μαθητές μου για τους λογάριθμους, σας προειδοποιώ πάντα: αυτή η φόρμουλα (είναι επίσης η βασική λογαριθμική ταυτότητα ή, αν θέλετε, ο ορισμός του λογαρίθμου) θα σας στοιχειώσει για πολύ καιρό και θα «αναδυθεί» στο μέγιστο. απροσδόκητα μέρη. Λοιπόν, αυτή βγήκε στην επιφάνεια. Ας δούμε την εξίσωσή μας και αυτόν τον τύπο:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Αν υποθέσουμε ότι ο $a=3$ είναι ο αρχικός μας αριθμός στα δεξιά και το $b=2$ είναι η ίδια η βάση της εκθετικής συνάρτησης στην οποία θέλουμε να μειώσουμε τη δεξιά πλευρά, παίρνουμε το εξής:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Δεξί βέλος ((2)^(x))=(2)^(((\log )_(2))3))\Δεξί βέλος x=( (\log )_(2))3. \\\end(στοίχιση)\]

Λάβαμε μια ελαφρώς περίεργη απάντηση: $x=((\log )_(2))3$. Σε κάποια άλλη εργασία, με μια τέτοια απάντηση, πολλοί θα αμφισβητούσαν και θα άρχιζαν να επανεξετάζουν τη λύση τους: τι θα γινόταν αν υπήρχε κάπου λάθος; Σπεύδω να σας ευχαριστήσω: δεν υπάρχει σφάλμα εδώ και οι λογάριθμοι στις ρίζες των εκθετικών εξισώσεων είναι μια τυπική κατάσταση. Συνηθίστε το λοιπόν. :)

Τώρα λύνουμε αναλογικά τις υπόλοιπες δύο εξισώσεις:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Δεξί βέλος ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Δεξί βέλος x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Δεξί βέλος ((4)^(2x))=((4)^((\log )_(4))11))\Δεξί βέλος 2x=( (\log )_(4))11\Δεξί βέλος x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Παρεμπιπτόντως, η τελευταία απάντηση μπορεί να γραφτεί διαφορετικά:

Εμείς εισαγάγαμε τον πολλαπλασιαστή στο όρισμα του λογαρίθμου. Αλλά κανείς δεν μας εμποδίζει να προσθέσουμε αυτόν τον παράγοντα στη βάση:

Σε αυτήν την περίπτωση, και οι τρεις επιλογές είναι σωστές - είναι απλά διαφορετικές μορφέςαρχεία του ίδιου αριθμού. Ποιο να επιλέξετε και να σημειώσετε σε αυτήν την απόφαση εξαρτάται από εσάς.

Έτσι, μάθαμε να λύνουμε τυχόν εκθετικές εξισώσεις της μορφής $((a)^(x))=b$, όπου οι αριθμοί $a$ και $b$ είναι αυστηρά θετικοί. Ωστόσο, η σκληρή πραγματικότητα του κόσμου μας είναι ότι τέτοιες απλές εργασίες θα σας συναντήσουν πολύ, πολύ σπάνια. Πιο συχνά θα συναντήσετε κάτι σαν αυτό:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, πώς αποφασίζεις; Μπορεί αυτό να λυθεί καθόλου; Και αν ναι, πώς;

Κανένας πανικός. Όλες αυτές οι εξισώσεις μειώνονται γρήγορα και απλά σε αυτούς τους απλούς τύπους που έχουμε ήδη εξετάσει. Απλά πρέπει να ξέρετε να θυμάστε μερικά κόλπα από το μάθημα της άλγεβρας. Και φυσικά, δεν υπάρχουν κανόνες για την εργασία με πτυχία εδώ. Θα μιλήσω για όλα αυτά τώρα. :)

Μετασχηματισμός εκθετικών εξισώσεων

Το πρώτο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση, ανεξάρτητα από το πόσο περίπλοκη μπορεί να είναι, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο πρέπει να περιοριστεί στις απλούστερες εξισώσεις - σε αυτές που έχουμε ήδη εξετάσει και που ξέρουμε πώς να λύσουμε. Με άλλα λόγια, το σχήμα για την επίλυση οποιασδήποτε εκθετικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

1. Καταγράψτε την αρχική εξίσωση. Για παράδειγμα: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Κάνε μια βλακεία. Ή έστω κάποια χάλια που λέγεται "μετασχηματίστε την εξίσωση"?
3. Στην έξοδο, λάβετε τις απλούστερες εκφράσεις όπως $((4)^(x))=4$ ή κάτι άλλο παρόμοιο. Επιπλέον, μια αρχική εξίσωση μπορεί να δώσει πολλές τέτοιες εκφράσεις ταυτόχρονα.

Με το πρώτο σημείο, όλα είναι ξεκάθαρα - ακόμα και η γάτα μου μπορεί να γράψει την εξίσωση σε ένα φύλλο. Και με το τρίτο σημείο, όπως φαίνεται, είναι λίγο πολύ ξεκάθαρο - έχουμε ήδη λύσει μια ολόκληρη δέσμη τέτοιων εξισώσεων παραπάνω.

Τι γίνεται όμως με το δεύτερο σημείο; Ποιες είναι οι μεταμορφώσεις; Τι να μετατρέψω σε τι; Και πως?

Λοιπόν, ας το καταλάβουμε. Καταρχήν θα ήθελα να επισημάνω το εξής. Όλες οι εκθετικές εξισώσεις χωρίζονται σε δύο τύπους:

1. Η εξίσωση αποτελείται από εκθετικές συναρτήσεις με την ίδια βάση. Παράδειγμα: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Ο τύπος περιέχει εκθετικές συναρτήσεις με διαφορετικές βάσεις. Παραδείγματα: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ και $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Ας ξεκινήσουμε με εξισώσεις του πρώτου τύπου - είναι οι πιο εύκολο να λυθούν. Και στη λύση τους θα μας βοηθήσει μια τέτοια τεχνική όπως η επιλογή σταθερών εκφράσεων.

Επισήμανση μιας σταθερής έκφρασης

Ας δούμε ξανά αυτήν την εξίσωση:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Τι βλέπουμε; Τα τέσσερα ανυψώνονται σε διαφορετικούς βαθμούς. Αλλά όλες αυτές οι δυνάμεις είναι απλά αθροίσματα της μεταβλητής $x$ με άλλους αριθμούς. Επομένως, είναι απαραίτητο να θυμάστε τους κανόνες για την εργασία με πτυχία:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))((a )^(y))). \\\end(στοίχιση)\]

Με απλά λόγια, η πρόσθεση εκθετών μπορεί να μετατραπεί σε γινόμενο δυνάμεων και η αφαίρεση μετατρέπεται εύκολα σε διαίρεση. Ας προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε αυτούς τους τύπους στις δυνάμεις από την εξίσωσή μας:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(στοίχιση)\]

Ξαναγράφουμε την αρχική εξίσωση λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός και, στη συνέχεια, συλλέγουμε όλους τους όρους στα αριστερά:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -έντεκα; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(στοίχιση)\]

Οι πρώτοι τέσσερις όροι περιέχουν το στοιχείο $((4)^(x))$ — ας το βγάλουμε από την αγκύλη:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(στοίχιση)\]

Απομένει να διαιρεθούν και τα δύο μέρη της εξίσωσης με το κλάσμα $-\frac(11)(4)$, δηλ. ουσιαστικά πολλαπλασιάζουμε με το ανεστραμμένο κλάσμα - $-\frac(4)(11)$. Παίρνουμε:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Μειώσαμε την αρχική εξίσωση στην απλούστερη και πήραμε την τελική απάντηση.

Ταυτόχρονα, στη διαδικασία επίλυσης, ανακαλύψαμε (και μάλιστα βγάλαμε από την αγκύλη) τον κοινό παράγοντα $((4)^(x))$ - αυτή είναι η σταθερή έκφραση. Μπορεί να οριστεί ως νέα μεταβλητή ή μπορείτε απλά να την εκφράσετε με ακρίβεια και να λάβετε μια απάντηση. Σε κάθε περίπτωση, η βασική αρχή της λύσης είναι η εξής:

Βρείτε στην αρχική εξίσωση μια σταθερή έκφραση που περιέχει μια μεταβλητή που διακρίνεται εύκολα από όλες τις εκθετικές συναρτήσεις.

Τα καλά νέα είναι ότι σχεδόν κάθε εκθετική εξίσωση δέχεται μια τόσο σταθερή έκφραση.

Υπάρχουν όμως και άσχημα νέα: τέτοιες εκφράσεις μπορεί να είναι πολύ δύσκολες και μπορεί να είναι αρκετά δύσκολο να τις ξεχωρίσεις. Ας δούμε λοιπόν ένα άλλο πρόβλημα:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Ίσως κάποιος θα έχει τώρα μια ερώτηση: «Πάσα, σε λιθοβολούν; Εδώ είναι διαφορετικές βάσεις - 5 και 0,2. Ας προσπαθήσουμε όμως να μετατρέψουμε μια ισχύ με βάση το 0,2. Για παράδειγμα, ας απαλλαγούμε από το δεκαδικό κλάσμα, φέρνοντάς το στο συνηθισμένο:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)) )\]

Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός 5 εξακολουθεί να εμφανίζεται, αν και στον παρονομαστή. Ταυτόχρονα, ο δείκτης ξαναγράφηκε ως αρνητικός. Και τώρα θυμόμαστε έναν από τους πιο σημαντικούς κανόνες για την εργασία με πτυχία:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Εδώ βέβαια απάτησα λίγο. Επειδή για πλήρη κατανόηση, ο τύπος για την απαλλαγή από αρνητικούς δείκτες έπρεπε να γραφτεί ως εξής:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Δεξί βέλος ((\αριστερά(\frac(1)(5) \δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(5)(1) \ δεξιά))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Από την άλλη πλευρά, τίποτα δεν μας εμπόδισε να δουλέψουμε μόνο με ένα κλάσμα:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ δεξιά))^(-\αριστερά(x+1 \δεξιά)))=((5)^(\αριστερά(-1 \δεξιά)\cdot \αριστερά(-\αριστερά(x+1 \δεξιά) \δεξιά) ))=((5)^(x+1))\]

Αλλά σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να μπορείτε να ανεβάσετε έναν βαθμό σε άλλο βαθμό (σας υπενθυμίζω: σε αυτήν την περίπτωση, οι δείκτες αθροίζονται). Αλλά δεν χρειάστηκε να "αναποδογυρίσω" τα κλάσματα - ίσως για κάποιον θα είναι πιο εύκολο. :)

Σε κάθε περίπτωση, η αρχική εκθετική εξίσωση θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(στοίχιση)\]

Έτσι, αποδεικνύεται ότι η αρχική εξίσωση είναι ακόμη πιο εύκολη στην επίλυση από την προηγουμένως θεωρημένη: εδώ δεν χρειάζεται καν να ξεχωρίσετε μια σταθερή έκφραση - όλα έχουν μειωθεί από μόνα τους. Μένει μόνο να θυμόμαστε ότι $1=((5)^(0))$, από όπου παίρνουμε:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτή είναι η όλη λύση! Πήραμε την τελική απάντηση: $x=-2$. Ταυτόχρονα, θα ήθελα να σημειώσω ένα τέχνασμα που απλοποίησε σημαντικά όλους τους υπολογισμούς για εμάς:

Στις εκθετικές εξισώσεις, φροντίστε να απαλλαγείτε από δεκαδικά κλάσματα, μετατρέψτε τα σε κανονικά. Αυτό θα σας επιτρέψει να δείτε τις ίδιες βάσεις των μοιρών και να απλοποιήσετε πολύ τη λύση.

Τώρα ας περάσουμε σε πιο σύνθετες εξισώσεις στις οποίες υπάρχουν διαφορετικές βάσεις, οι οποίες γενικά δεν είναι αναγώγιμες μεταξύ τους χρησιμοποιώντας δυνάμεις.

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα εκθέτη

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι έχουμε δύο πιο σκληρές εξισώσεις:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(στοίχιση)\]

Η κύρια δυσκολία εδώ είναι ότι δεν είναι ξεκάθαρο σε τι και σε ποια βάση να οδηγήσει. Πού είναι οι σταθερές εκφράσεις; Πού είναι τα κοινά σημεία; Δεν υπάρχει τίποτα από αυτά.

Αλλά ας προσπαθήσουμε να πάμε από την άλλη. Εάν δεν υπάρχουν έτοιμες πανομοιότυπες βάσεις, μπορείτε να προσπαθήσετε να τις βρείτε συνυπολογίζοντας τις διαθέσιμες βάσεις.

Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη εξίσωση:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Δεξί βέλος ((21)^(3x))=((\αριστερά(7\cdot 3 \δεξιά))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(στοίχιση)\]

Αλλά τελικά, μπορείτε να κάνετε το αντίθετο - σχηματίστε τον αριθμό 21 από τους αριθμούς 7 και 3. Είναι ιδιαίτερα εύκολο να το κάνετε αυτό στα αριστερά, καθώς οι δείκτες και των δύο βαθμών είναι οι ίδιοι:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\end(στοίχιση)\]

Αυτό είναι όλο! Βγάλατε τον εκθέτη από το γινόμενο και πήρατε αμέσως μια όμορφη εξίσωση που μπορεί να λυθεί σε μερικές γραμμές.

Τώρα ας ασχοληθούμε με τη δεύτερη εξίσωση. Εδώ όλα είναι πολύ πιο περίπλοκα:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Σε αυτή την περίπτωση, τα κλάσματα αποδείχθηκαν μη αναγώγιμα, αλλά αν κάτι μπορούσε να μειωθεί, φροντίστε να το μειώσετε. Αυτό συχνά οδηγεί σε ενδιαφέροντες λόγους με τους οποίους μπορείτε ήδη να εργαστείτε.

Δυστυχώς, δεν έχουμε καταλήξει σε τίποτα. Αλλά βλέπουμε ότι οι εκθέτες στα αριστερά στο γινόμενο είναι αντίθετοι:

Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω: για να απαλλαγείτε από το σύμβολο μείον στον εκθέτη, πρέπει απλώς να "αναποδογυρίσετε" το κλάσμα. Ας ξαναγράψουμε λοιπόν την αρχική εξίσωση:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(στοίχιση)\]

Στη δεύτερη γραμμή, απλώς τοποθετήσαμε το σύνολο από το προϊόν σύμφωνα με τον κανόνα $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$, και στο τελευταίο απλώς πολλαπλασίασαν τον αριθμό 100 με ένα κλάσμα.

Τώρα σημειώστε ότι οι αριθμοί στα αριστερά (στη βάση) και στα δεξιά είναι κάπως παρόμοιοι. Πως? Ναι, προφανώς: είναι ισάριθμες δυνάμεις! Εχουμε:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \δεξιά))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3))=((\αριστερά(\frac(3)(10) \δεξιά))^(2)). \\\end(στοίχιση)\]

Έτσι, η εξίσωσή μας θα ξαναγραφεί ως εξής:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10) \δεξιά))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \δεξιά))^(3\αριστερά(x-1 \δεξιά)))=((\αριστερά(\frac(10)(3) \δεξιά))^(3x-3))\]

Ταυτόχρονα, στα δεξιά, μπορείτε επίσης να πάρετε έναν βαθμό με την ίδια βάση, για τον οποίο αρκεί απλώς να "αναποδογυρίσετε" το κλάσμα:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Τέλος, η εξίσωσή μας θα έχει τη μορφή:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(στοίχιση)\]

Αυτή είναι η όλη λύση. Η βασική του ιδέα συνοψίζεται στο γεγονός ότι ακόμη και με διαφορετικούς λόγους, προσπαθούμε με το άγκιστρο ή με το στραβό να μειώσουμε αυτούς τους λόγους στον ίδιο. Σε αυτό μας βοηθούν οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί των εξισώσεων και οι κανόνες εργασίας με δυνάμεις.

Αλλά ποιους κανόνες και πότε να χρησιμοποιήσετε; Πώς να καταλάβετε ότι σε μια εξίσωση πρέπει να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές με κάτι και σε μια άλλη - να αποσυνθέσετε τη βάση της εκθετικής συνάρτησης σε παράγοντες;

Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα θα έρθει με την εμπειρία. Δοκιμάστε τις δυνάμεις σας στην αρχή σε απλές εξισώσεις και στη συνέχεια περιπλέκετε σταδιακά τις εργασίες - και πολύ σύντομα οι δεξιότητές σας θα είναι αρκετές για να λύσετε οποιαδήποτε εκθετική εξίσωση από την ίδια ΧΡΗΣΗ ή οποιαδήποτε ανεξάρτητη / δοκιμαστική εργασία.

Και για να σας βοηθήσω σε αυτό το δύσκολο έργο, προτείνω να κατεβάσετε ένα σύνολο εξισώσεων στον ιστότοπό μου για μια ανεξάρτητη λύση. Όλες οι εξισώσεις έχουν απαντήσεις, ώστε να μπορείτε πάντα να ελέγχετε τον εαυτό σας.

Σε γενικές γραμμές, σας εύχομαι επιτυχημένη εκπαίδευση. Και τα λέμε στο επόμενο μάθημα - εκεί θα αναλύσουμε πραγματικά πολύπλοκες εκθετικές εξισώσεις, όπου οι μέθοδοι που περιγράφονται παραπάνω δεν είναι πλέον αρκετές. Και μια απλή προπόνηση δεν θα είναι αρκετή. :)

Επίλυση εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τι συνέβη εκθετική εξίσωση? Αυτή είναι μια εξίσωση στην οποία βρίσκονται οι άγνωστοι (x) και οι εκφράσεις μαζί τους δείκτεςκάποιους βαθμούς. Και μόνο εκεί! Είναι σημαντικό.

Εδώ είσαι παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων:

3 x 2 x = 8 x + 3

Σημείωση! Στις βάσεις των μοιρών (κάτω) - μόνο αριθμοί. ΣΕ δείκτεςμοίρες (παραπάνω) - μια μεγάλη ποικιλία εκφράσεων με x. Εάν, ξαφνικά, εμφανιστεί ένα x στην εξίσωση κάπου διαφορετικό από τον δείκτη, για παράδειγμα:

αυτή θα είναι μια εξίσωση μικτού τύπου. Τέτοιες εξισώσεις όχι σαφείς κανόνεςλύσεις. Δεν θα τα εξετάσουμε προς το παρόν. Εδώ θα ασχοληθούμε επίλυση εκθετικών εξισώσεωνστην πιο αγνή του μορφή.

Στην πραγματικότητα, ακόμη και οι καθαρές εκθετικές εξισώσεις δεν λύνονται πάντα καθαρά. Υπάρχουν όμως ορισμένοι τύποι εκθετικών εξισώσεων που μπορούν και πρέπει να λυθούν. Αυτοί είναι οι τύποι που θα εξετάσουμε.

Λύση των απλούστερων εκθετικών εξισώσεων.

Ας ξεκινήσουμε με κάτι πολύ βασικό. Για παράδειγμα:

Ακόμη και χωρίς καμία θεωρία, με απλή επιλογή είναι σαφές ότι x = 2. Τίποτα περισσότερο, σωστά! Δεν υπάρχουν άλλα ρολά αξίας x. Και τώρα ας δούμε τη λύση αυτής της δύσκολης εκθετικής εξίσωσης:

Τι καναμε? Στην πραγματικότητα, απλώς πετάξαμε τους ίδιους πάτους (τριπλούς). Εντελώς πεταμένο. Και, ό,τι ευχαριστεί, χτυπήστε το σημάδι!

Πράγματι, αν στην εκθετική εξίσωση στα αριστερά και στα δεξιά είναι το ίδιοαριθμοί σε οποιοδήποτε βαθμό, αυτοί οι αριθμοί μπορούν να αφαιρεθούν και να ισοδυναμούν με εκθέτες. Τα μαθηματικά επιτρέπουν. Μένει να λύσουμε μια πολύ απλούστερη εξίσωση. Είναι καλό, σωστά;)

Ωστόσο, ας θυμηθούμε ειρωνικά: Μπορείτε να αφαιρέσετε τις βάσεις μόνο όταν οι αριθμοί βάσης στα αριστερά και στα δεξιά βρίσκονται σε εξαιρετική απομόνωση!Χωρίς γείτονες και συντελεστές. Ας πούμε στις εξισώσεις:

2 x +2 x + 1 = 2 3, ή

Δεν μπορείτε να αφαιρέσετε τα διπλά!

Λοιπόν, έχουμε κατακτήσει το πιο σημαντικό πράγμα. Πώς να μετακινηθείτε από τις κακές εκθετικές εκφράσεις σε απλούστερες εξισώσεις.

«Εδώ είναι εκείνες οι στιγμές!» - λες. «Ποιος θα δώσει τέτοιο πρωτόγονο στον έλεγχο και τις εξετάσεις!;»

Αναγκάστηκε να συμφωνήσει. Κανείς δεν θα το κάνει. Αλλά τώρα ξέρετε πού να πάτε όταν λύνετε μπερδεμένα παραδείγματα. Είναι απαραίτητο να το θυμάστε, όταν ο ίδιος αριθμός βάσης βρίσκεται στα αριστερά - στα δεξιά. Τότε όλα θα είναι πιο εύκολα. Στην πραγματικότητα, αυτά είναι τα κλασικά των μαθηματικών. Παίρνουμε το αρχικό παράδειγμα και το μετατρέπουμε στο επιθυμητό μαςμυαλό. Σύμφωνα με τους κανόνες των μαθηματικών, φυσικά.

Εξετάστε παραδείγματα που απαιτούν πρόσθετη προσπάθεια για να τα φέρετε στο απλούστερο. Ας τους φωνάξουμε απλές εκθετικές εξισώσεις.

Επίλυση απλών εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, οι κύριοι κανόνες είναι δράσεις με εξουσίες.Χωρίς γνώση αυτών των ενεργειών, τίποτα δεν θα λειτουργήσει.

Στις ενέργειες με βαθμούς, πρέπει κανείς να προσθέσει προσωπική παρατηρητικότητα και ευρηματικότητα. Χρειαζόμαστε τους ίδιους αριθμούς βάσης; Τα αναζητούμε λοιπόν στο παράδειγμα σε ρητή ή κρυπτογραφημένη μορφή.

Ας δούμε πώς γίνεται αυτό στην πράξη;

Ας μας δώσουμε ένα παράδειγμα:

2 2x - 8 x+1 = 0

Πρώτη ματιά στο λόγους.Αυτοί... Είναι διαφορετικοί! Δύο και οκτώ. Αλλά είναι πολύ νωρίς για να αποθαρρυνόμαστε. Ήρθε η ώρα να το θυμάστε αυτό

Δύο και οκτώ είναι συγγενείς στο βαθμό.) Είναι πολύ πιθανό να γράψουμε:

8 x+1 = (2 3) x+1

Αν θυμηθούμε τον τύπο από ενέργειες με δυνάμεις:

(a n) m = a nm,

γενικά λειτουργεί τέλεια:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Το αρχικό παράδειγμα μοιάζει με αυτό:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Μεταφέρουμε 2 3 (x+1)προς τα δεξιά (κανείς δεν ακύρωσε τις στοιχειώδεις ενέργειες των μαθηματικών!), έχουμε:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Αυτό είναι πρακτικά όλο. Αφαίρεση βάσεων:

Λύνουμε αυτό το τέρας και παίρνουμε

Αυτή είναι η σωστή απάντηση.

Σε αυτό το παράδειγμα, η γνώση των δυνάμεων των δύο μας βοήθησε. Εμείς αναγνωρισθείςστα οκτώ, το κρυπτογραφημένο δυάρι. Αυτή η τεχνική (κωδικοποίηση κοινών βάσεων κάτω από διαφορετικούς αριθμούς) είναι ένα πολύ δημοφιλές κόλπο στις εκθετικές εξισώσεις! Ναι, ακόμα και σε λογάριθμους. Κάποιος πρέπει να μπορεί να αναγνωρίσει τις δυνάμεις άλλων αριθμών σε αριθμούς. Αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων.

Το γεγονός είναι ότι η αύξηση οποιουδήποτε αριθμού σε οποιαδήποτε δύναμη δεν είναι πρόβλημα. Πολλαπλασιάστε, έστω και σε ένα κομμάτι χαρτί, και αυτό είναι όλο. Για παράδειγμα, ο καθένας μπορεί να ανεβάσει 3 στην πέμπτη δύναμη. Το 243 θα βγει αν γνωρίζετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού.) Αλλά στις εκθετικές εξισώσεις, πολύ πιο συχνά είναι απαραίτητο να μην ανεβάσετε σε δύναμη, αλλά αντίστροφα ... ποιος αριθμός σε ποιο βαθμόκρύβεται πίσω από τον αριθμό 243, ή, ας πούμε, 343... Δεν θα σας βοηθήσει κανένας υπολογιστής εδώ.

Πρέπει να ξέρετε τις δυνάμεις ορισμένων αριθμών με την όραση, ναι... Να εξασκηθούμε;

Προσδιορίστε ποιες δυνάμεις και ποιοι αριθμοί είναι οι αριθμοί:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Απαντήσεις (σε χάος, φυσικά!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ένα περίεργο γεγονός. Υπάρχουν περισσότερες απαντήσεις παρά ερωτήσεις! Λοιπόν, συμβαίνει... Για παράδειγμα, το 2 6 , 4 3 , 8 2 είναι όλα 64.

Ας υποθέσουμε ότι έχετε σημειώσει τις πληροφορίες σχετικά με τη γνωριμία με τους αριθμούς.) Να σας υπενθυμίσω ότι για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, εφαρμόζουμε ΟΛΟΚΛΗΡΟαπόθεμα μαθηματικών γνώσεων. Συμπεριλαμβανομένων των κατώτερων-μεσαίων τάξεων. Δεν πήγες κατευθείαν στο λύκειο, σωστά;

Για παράδειγμα, κατά την επίλυση εκθετικών εξισώσεων, η τοποθέτηση του κοινού παράγοντα εκτός αγκύλων βοηθά πολύ συχνά (γεια σας στον βαθμό 7!). Ας δούμε ένα παράδειγμα:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Και πάλι, η πρώτη ματιά - στο έδαφος! Οι βάσεις των μοιρών είναι διαφορετικές ... Τρεις και εννιά. Και θέλουμε να είναι το ίδιο. Λοιπόν, σε αυτήν την περίπτωση, η επιθυμία είναι αρκετά εφικτή!) Επειδή:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Σύμφωνα με τους ίδιους κανόνες για ενέργειες με πτυχία:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Είναι υπέροχο, μπορείτε να γράψετε:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Δώσαμε ένα παράδειγμα για τους ίδιους λόγους. Λοιπόν, τι ακολουθεί! Τρεις δεν μπορούν να πεταχτούν έξω ... Αδιέξοδο;

Καθόλου. Θυμόμαστε τον πιο καθολικό και ισχυρό κανόνα απόφασης όλαμαθηματικές εργασίες:

Αν δεν ξέρεις τι να κάνεις, κάνε ό,τι μπορείς!

Κοιτάς, όλα σχηματίζονται).

Τι υπάρχει σε αυτή την εκθετική εξίσωση Μπορώκάνω? Ναι, η αριστερή πλευρά ζητά απευθείας παρενθέσεις! Ο κοινός συντελεστής 3 2x υποδηλώνει ξεκάθαρα αυτό. Ας προσπαθήσουμε και μετά θα δούμε:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Το παράδειγμα γίνεται όλο και καλύτερο!

Υπενθυμίζουμε ότι για να εξαλειφθούν οι βάσεις χρειαζόμαστε καθαρό πτυχίο, χωρίς συντελεστές. Ο αριθμός 70 μας ενοχλεί. Άρα διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 70, παίρνουμε:

Οπ-πα! Όλα πήγαν καλά!

Αυτή είναι η τελική απάντηση.

Συμβαίνει, ωστόσο, να επιτυγχάνεται τροχοδρόμηση για τους ίδιους λόγους, αλλά όχι η εκκαθάρισή τους. Αυτό συμβαίνει σε εκθετικές εξισώσεις άλλου τύπου. Ας πάρουμε αυτό το είδος.

Αλλαγή μεταβλητής στην επίλυση εκθετικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Ας λύσουμε την εξίσωση:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Πρώτα - ως συνήθως. Ας προχωρήσουμε στη βάση. Στο δίδυμο.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Παίρνουμε την εξίσωση:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Και εδώ θα κολλήσουμε. Τα προηγούμενα κόλπα δεν θα λειτουργήσουν, όπως και να το γυρίσετε. Θα πρέπει να βγούμε από το οπλοστάσιο ενός άλλου ισχυρού και ευέλικτου τρόπου. Λέγεται μεταβλητή αντικατάσταση.

Η ουσία της μεθόδου είναι εκπληκτικά απλή. Αντί για ένα σύνθετο εικονίδιο (στην περίπτωσή μας, 2 x), γράφουμε ένα άλλο, πιο απλό (για παράδειγμα, t). Μια τέτοια φαινομενικά ανούσια αντικατάσταση οδηγεί σε εκπληκτικά αποτελέσματα!) Όλα γίνονται ξεκάθαρα και κατανοητά!

Ας λοιπόν

Στη συνέχεια 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Αντικαθιστούμε στην εξίσωσή μας όλες τις δυνάμεις με x με t:

Λοιπόν, ξημερώνει;) Δεν έχετε ξεχάσει ακόμα τις τετραγωνικές εξισώσεις; Επιλύουμε μέσω της διάκρισης, παίρνουμε:

Εδώ, το κύριο πράγμα είναι να μην σταματήσουμε, όπως συμβαίνει ... Αυτή δεν είναι η απάντηση ακόμα, χρειαζόμαστε x, όχι t. Επιστρέφουμε στα Xs, δηλ. κάνοντας αντικατάσταση. Πρώτα για το t 1:

Αυτό είναι,

Βρέθηκε μια ρίζα. Ψάχνουμε για το δεύτερο, από το t 2:

Χμ... Αριστερά 2 x, Δεξιά 1... Ένα πρόβλημα; Ναι, καθόλου! Αρκεί να θυμόμαστε (από πράξεις με βαθμούς, ναι...) ότι μια ενότητα είναι όποιοςαριθμός στο μηδέν. Οποιος. Ό,τι χρειαστείτε, θα το βάλουμε. Χρειαζόμαστε δύο. Που σημαίνει:

Τώρα αυτό είναι όλο. Έχει 2 ρίζες:

Αυτή είναι η απάντηση.

Στο επίλυση εκθετικών εξισώσεωνστο τέλος, μερικές φορές επιτυγχάνεται κάποια άβολη έκφραση. Τύπος:

Από τα επτά, ένα δίπλωμα μέσω ενός απλού πτυχίου δεν λειτουργεί. Δεν είναι συγγενείς... Πώς μπορώ να είμαι εδώ; Κάποιος μπορεί να μπερδευτεί ... Αλλά το άτομο που διάβασε σε αυτόν τον ιστότοπο το θέμα "Τι είναι ο λογάριθμος;" , χαμογελάστε μόνο με φειδώ και γράψτε με σταθερό χέρι την απολύτως σωστή απάντηση:

Δεν μπορεί να υπάρξει τέτοια απάντηση στις εργασίες "Β" στην εξέταση. Απαιτείται συγκεκριμένος αριθμός. Αλλά στις εργασίες "C" - εύκολα.

Αυτό το μάθημα παρέχει παραδείγματα επίλυσης των πιο κοινών εκθετικών εξισώσεων. Ας επισημάνουμε το κύριο.

Πρακτικές Συμβουλές:

1. Πρώτα απ 'όλα, εξετάζουμε λόγουςβαθμούς. Ας δούμε αν δεν μπορούν να γίνουν το ίδιο.Ας προσπαθήσουμε να το κάνουμε αυτό χρησιμοποιώντας ενεργά δράσεις με εξουσίες.Μην ξεχνάτε ότι οι αριθμοί χωρίς x μπορούν επίσης να μετατραπούν σε μοίρες!

2. Προσπαθούμε να φέρουμε την εκθετική εξίσωση στη μορφή όταν το αριστερό και το δεξί είναι το ίδιοαριθμούς σε οποιοδήποτε βαθμό. Χρησιμοποιούμε δράσεις με εξουσίεςΚαι παραγοντοποίηση.Τι μπορεί να μετρηθεί σε αριθμούς - μετράμε.

3. Εάν η δεύτερη συμβουλή δεν λειτούργησε, προσπαθούμε να εφαρμόσουμε την αντικατάσταση της μεταβλητής. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι μια εξίσωση που λύνεται εύκολα. Τις περισσότερες φορές - τετράγωνο. Ή κλασματική, η οποία επίσης μειώνεται σε τετράγωνο.

4. Για να λύσετε επιτυχώς εκθετικές εξισώσεις, πρέπει να γνωρίζετε τις μοίρες ορισμένων αριθμών "από όψη".

Ως συνήθως, στο τέλος του μαθήματος καλείστε να λύσετε λίγο.) Μόνοι σας. Από απλό σε σύνθετο.

Λύστε εκθετικές εξισώσεις:

Πιο δύσκολο:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Βρείτε το προϊόν των ριζών:

2 3-x + 2 x = 9

Συνέβη;

Καλά τότε το πιο δύσκολο παράδειγμα(αποφάσισε, ωστόσο, στο μυαλό ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Τι είναι πιο ενδιαφέρον; Τότε είναι ένα κακό παράδειγμα για εσάς. Αρκετά τράβηγμα σε αυξημένη δυσκολία. Θα υπενθυμίσω ότι σε αυτό το παράδειγμα, η εφευρετικότητα και ο πιο καθολικός κανόνας για την επίλυση όλων των μαθηματικών εργασιών εξοικονομεί.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ένα παράδειγμα είναι πιο απλό, για χαλάρωση):

9 2 x - 4 3 x = 0

Και για επιδόρπιο. Να βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ναι ναι! Αυτή είναι μια εξίσωση μικτού τύπου! Το οποίο δεν λάβαμε υπόψη σε αυτό το μάθημα. Και τι να τα εξετάσουμε, πρέπει να λυθούν!) Αυτό το μάθημα είναι αρκετό για να λύσει την εξίσωση. Λοιπόν, χρειάζεται ευρηματικότητα ... Και ναι, η έβδομη τάξη θα σας βοηθήσει (αυτό είναι μια υπόδειξη!).

Απαντήσεις (σε αταξία, διαχωρισμένες με ερωτηματικά):

1; 2; 3; 4; δεν υπαρχουν λυσεις? 2; -2; -5; 4; 0.

Είναι όλα επιτυχημένα; Εξαιρετική.

Υπάρχει ένα πρόβλημα? Κανένα πρόβλημα! Στην Ειδική Ενότητα 555, όλες αυτές οι εκθετικές εξισώσεις επιλύονται με λεπτομερείς εξηγήσεις. Τι, γιατί και γιατί. Και, φυσικά, υπάρχουν πρόσθετες πολύτιμες πληροφορίες σχετικά με την εργασία με κάθε είδους εκθετικές εξισώσεις. Όχι μόνο με αυτά.)

Μια τελευταία διασκεδαστική ερώτηση που πρέπει να εξετάσετε. Σε αυτό το μάθημα, δουλέψαμε με εκθετικές εξισώσεις. Γιατί δεν είπα λέξη για την ODZ εδώ;Στις εξισώσεις, αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό πράγμα, παρεμπιπτόντως ...

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.