КОМПЮТЪРЕН МОДЕЛ "ХИЩНИК-Плячка"

Казачков Игор Алексеевич 1 , Гусева Елена Николаевна 2
1 Магнитогорска държава Технически университеттях. Г.И. Носова, Институт по строителство, архитектура и изкуство, студент 5-та година
b Магнитогорски държавен технически университет Г.И. Носова, Институт по енергетика и автоматизирани системи, кандидат на педагогическите науки, доцент на катедра "Бизнес информатика и информационни технологии"

анотация
Тази статия е посветена на прегледа на компютърния модел "хищник-плячка". Проучването ни позволява да заявим, че екологичното моделиране играе огромна роля в изучаването на околната среда. Този въпрос е многостранен.

КОМПЮТЪРЕН МОДЕЛ "ХИЩНИК-ЖЕРТВА"

Казачков Игор Алексеевич 1 , Гусева Елена Николаевна 2
1 Носов Магнитогорски държавен технически университет, Институт по строителство, архитектура и изкуства, студент от 5-ти курс
2 Магнитогорски държавен технически университет "Носов", Институт по енергетика и автоматизирани системи, доктор на педагогическите науки, доцент на катедра "Бизнес компютърни науки и информационни технологии"

Резюме
Тази статия предоставя преглед на компютърния модел "хищник-жертва". Проучването предполага, че симулацията на околната среда играе огромна роля в изследването на околната среда. Този проблем е многостранен.

Екологичното моделиране се използва за изследване на околната среда около нас. Математическите модели се използват в случаите, когато няма естествена среда и природни обекти, това помага да се предвиди въздействието различни факторикъм изследвания обект. Този методпоема функциите по проверка, конструиране и интерпретиране на резултатите. Въз основа на такива форми екологичното моделиране се занимава с оценка на промените в околната среда около нас.

В момента такива форми се използват за изучаване на околната среда около нас, а когато е необходимо да се изследва някоя от нейните области, тогава се използва математическо моделиране. Този модел позволява да се предвиди влиянието на определени фактори върху обекта на изследване. По едно време типът „хищник-плячка“ беше предложен от учени като: Т. Малтус (Malthus 1798, Malthus 1905), Верхулст (Verhulst 1838), Пърл (Pearl 1927, 1930), както и А. Лотка ( Lotka 1925, 1927 ) и V. Volterra (Volterra 1926).Тези модели възпроизвеждат периодичния осцилационен режим, възникващ в резултат на междувидовите взаимодействия в природата.

Един от основните методи на познание е моделирането. Освен че може да предскаже промените в околната среда, той също помага да се намери най-добрият начин за решаване на проблем. Дълго време математическите модели се използват в екологията, за да установят закономерностите, тенденциите в развитието на популациите и да помогнат да се подчертае същността на наблюденията. Оформлението може да служи като пример поведение, обект.

При пресъздаване на обекти в математическата биология се използват прогнози на различни системи, предвидени са специални индивидуалности на биосистемите: вътрешната структура на индивида, условията за поддържане на живота, постоянството на екологичните системи, благодарение на което се запазва жизнената активност на системите.
Появата на компютърната симулация значително разшири границата на изследователските възможности. Имаше възможност за многостранно прилагане на трудни форми, които не позволяват аналитично изследване, появиха се нови тенденции, както и симулационно моделиране.

Нека разгледаме какво е обектът на моделиране. „Обектът е затворено местообитание, където се осъществява взаимодействието на две биологични популации: хищници и плячка. Протича процесът на растеж, изчезване и размножаванедиректно върху повърхността на околната среда. Плячката се храни с ресурсите, които присъстват в околната среда, докато хищниците се хранят с плячка. В същото време хранителните ресурси могат да бъдат както възобновяеми, така и невъзобновяеми.

През 1931 г. Вито Волтера извежда следните закони на връзката хищник-плячка.

Законът на периодичния цикъл - процесът на унищожаване на плячката от хищник често води до периодични колебания в броя на популациите и на двата вида, в зависимост само от скоростта на растеж на месоядните и тревопасните животни и от първоначалното съотношение на техния брой .

Закон за запазване на средните стойности - средното изобилие на всеки вид е постоянно, независимо от първоначалното ниво, при условие че специфичните темпове на нарастване на популацията, както и ефективността на хищничеството, са постоянни.

Законът за нарушаване на средните стойности - с намаляване на двата вида пропорционално на техния брой, средната популация на плячката се увеличава, а хищниците - намалява.

Моделът хищник-плячка е специална връзка между хищника и плячката, в резултат на което и двамата печелят. Оцеляват най-здравите и адаптирани към условията на околната среда индивиди, т.е. Всичко това се дължи на естествения подбор. В среда, в която няма възможност за възпроизводство, хищникът рано или късно ще унищожи популацията на плячката, след което самата тя ще измре.

На земята има много живи организми, които при благоприятни условия увеличават броя на роднините си до огромни размери. Тази способност се нарича: биотичен потенциал на вида, т.е. увеличаване на популацията на даден вид за даден период от време. Всеки вид има свой биотичен потенциал, напр големи видовеорганизми годишно може да се увеличи само с 1,1 пъти, на свой ред организми от по-малки видове, като ракообразни и др. могат да увеличат появата си до 1030 пъти, но бактериите са още по-големи. Във всеки от тези случаи населението ще нараства експоненциално.

Експоненциалният растеж на населението е геометрична прогресия на растежа на населението. Тази способност може да се наблюдава в лабораторията при бактерии, дрожди. В извънлабораторни условия може да се наблюдава експоненциален растеж при скакалци или други видове насекоми. Такова увеличение на числеността на вида може да се наблюдава в онези места, където практически няма врагове и има повече от достатъчно храна. В крайна сметка растежът на вида, след като популацията се увеличи за кратко време, растежът на популацията започна да намалява.

Помислете за компютърен модел на възпроизвеждане на бозайници на примера на модела Lotka-Volterra. Позволявам два вида животни живеят в определен район: елени и вълци. Математически модел на промяната на населението в моделаТрайс-Волтера:

Първоначалният брой на жертвите е xn, броят на хищниците е yn.

Параметри на модела:

P1 е вероятността за среща с хищник,

P2 е темпът на растеж на хищниците за сметка на плячката,

d е коефициентът на смъртност на хищниците,

а е нарастването на броя на жертвите.

IN учебна задачабяха зададени следните стойности: броят на елените беше 500, броят на вълците беше 10, темпът на растеж на елените беше 0,02, темпът на растеж на вълците беше 0,1, вероятността за среща с хищник беше 0,0026, темпът на растеж на хищници поради плячка е 0,000056. Данните са изчислени за 203 години.

Изследване на влиянието скоростта на нарастване на жертвите за развитието на две популации, останалите параметри ще бъдат оставени непроменени.В схема 1 се наблюдава увеличаване на броя на плячката, а след това с известно забавяне се наблюдава увеличаване на хищниците. След това хищниците избиват плячката, броят на плячката рязко намалява, последвано от намаляване на броя на хищниците (фиг. 1).

Фигура 1. Размер на населението с ниска раждаемост сред жертвите

Нека анализираме промяната в модела чрез увеличаване на раждаемостта на жертвата a=0,06. В схема 2 виждаме цикличен осцилационен процес, водещ до увеличаване на броя на двете популации с течение на времето (фиг. 2).

Фигура 2. Размер на населението при средна раждаемост на жертвите

Нека разгледаме как ще се промени динамиката на популациите при висока стойност на раждаемостта на жертвата a = 1,13. На фиг. 3, има рязко увеличение на числеността и на двете популации, последвано от изчезване както на плячка, така и на хищник. Това се дължи на факта, че популацията на жертвите се е увеличила до такава степен, че ресурсите са започнали да се изчерпват, в резултат на което жертвата умира. Изчезването на хищниците се дължи на факта, че броят на жертвите е намалял и хищниците са изчерпали ресурсите си за съществуване.

Фигура 3. Популации с висока раждаемост в плячка

Въз основа на анализа на данните от компютърния експеримент може да се заключи, че компютърно моделиранени позволява да прогнозираме броя на популациите, да изследваме влиянието на различни фактори върху динамиката на популацията. В горния пример изследвахме модела хищник-плячка, ефекта от раждаемостта на плячката върху броя на елените и вълците. Малкото увеличение на популацията на плячката води до малко увеличение на плячката, която след определен период се унищожава от хищници.Умереното увеличение на популацията на плячката води до увеличаване на размера и на двете популации. Високото увеличение на популацията на плячка първо води до бързо нарастване на популацията на плячка, това се отразява на увеличаването на растежа на хищниците, но след това размножаващите се хищници бързо унищожават популацията на елените. В резултат на това и двата вида изчезват.

Гусева Е. Н. Теория на вероятностите и математическа статистика: учебник. ръководство - 5-то изд., допълнено и преработено: [електронен ресурс] / Е. Н. Гусева. – М.: Флинта, 2011.– 220 с.

Ризниченко Г.Ю. Екологията е математическа. М., 2009

Рубецков Д. И. Феномен математически модел Trays-Volterra и подобни на него // Известия Вузов. Приложна нелинейна динамика. - 2011. - № 2. - С. 69-87.

Ризниченко Г.Ю. Екологията е математическа. М., 2009

Волтера В. Математическа теория на борбата за съществуване. Москва-Ижевск: Институт за компютърни технологии, 2004. - 288 с.

Природата на мислите и моделите на природата. / Ед. Д.М. Гвишиани, И.Б. Novika, S.A. Пегова. М.: Мисъл, 2006

Королев А. Компютърно моделиране / А. Королев: Бином, 2010.

Прегледи на публикации: Моля Изчакай

Федерална агенция за образование

Държавно учебно заведение

висше професионално образование

"Ижевски държавен технически университет"

Факултет по приложна математика

Катедра "Математическо моделиране на процеси и технологии"

Курсова работа

по дисциплината "Диференциални уравнения"

Тема: "Качествено изследване на модела хищник-плячка"

Ижевск 2010 г

ВЪВЕДЕНИЕ

1. ПАРАМЕТРИ И ОСНОВНО УРАВНЕНИЕ НА МОДЕЛА ХИЩНИК-ПЛЯЧКА

2.2 Обобщени модели на Волтер от типа "хищник-плячка".

3. ПРАКТИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕНИЯ НА МОДЕЛА ХИЩНИК – ПЛЯЧКА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

БИБЛИОГРАФИЯ

ВЪВЕДЕНИЕ

В момента екологичните проблеми са от първостепенно значение. Важна стъпка в решаването на тези проблеми е разработването на математически модели на екологични системи.

Една от основните задачи на екологията на ра настоящ етапе изучаването на структурата и функционирането на природните системи, търсенето на общи модели. Математиката, която допринесе за формирането на математическата екология, имаше голямо влияние върху екологията, особено нейните раздели като теорията диференциални уравнения, теория на стабилността и теория на оптималното управление.

Една от първите работи в областта на математическата екология е работата на A.D. Трайс (1880 - 1949), който пръв описва взаимодействието на различни популации, свързани отношенияхищникът е плячка. Голям принос в изследването на модела хищник-жертва направиха V. Volterra (1860 - 1940), V.A. Костицин (1883-1963) Понастоящем уравненията, описващи взаимодействието на популациите, се наричат ​​уравнения на Лотка-Волтера.

Уравненията на Лотка-Волтера описват динамиката на средните стойности - размер на популацията. Понастоящем на тяхна основа се изграждат по-общи модели на взаимодействие между популациите, описани с интегро-диференциални уравнения, изследват се контролирани модели хищник-плячка.

Един от важните проблеми на математическата екология е проблемът за стабилността на екосистемите и управлението на тези системи. Управлението може да се извърши с цел прехвърляне на системата от едно стабилно състояние в друго, с цел нейното използване или възстановяване.

1. ПАРАМЕТРИ И ОСНОВНО УРАВНЕНИЕ НА МОДЕЛА ХИЩНИК-ПЛЯЧКА

Опитите за математическо моделиране на динамиката както на отделните биологични популации, така и на общностите, които включват взаимодействащи популации различни видовеса предприети от дълго време. Един от първите модели на растеж за изолирана популация (2.1) е предложен през 1798 г. от Томас Малтус:

Този модел се задава от следните параметри:

N - размер на популацията;

Разликата между раждаемостта и смъртността.

Интегрирайки това уравнение получаваме:

, (1.2)

където N(0) е размерът на популацията в момента t = 0. Очевидно моделът на Малтус за > 0 дава безкраен растеж на популацията, който никога не се наблюдава в естествените популации, където ресурсите, които осигуряват този растеж, винаги са ограничени. Промените в броя на популациите на флората и фауната не могат да бъдат описани с прост закон на Малтус; много взаимосвързани причини влияят върху динамиката на растежа - по-специално възпроизводството на всеки вид се саморегулира и модифицира, така че този вид да се запази в процес на еволюция.

Математическото описание на тези закономерности се извършва от математическата екология - науката за взаимоотношенията на растителните и животинските организми и съобществата, които те образуват помежду си и с заобикаляща среда.

Най-сериозното изследване на модели на биологични общности, които включват няколко популации от различни видове, е извършено от италианския математик Вито Волтера:

,

къде е размерът на популацията;

Коефициенти на естествен прираст (или смъртност) на населението; - коефициенти на междувидово взаимодействие. В зависимост от избора на коефициенти, моделът описва или борбата на видовете за общ ресурс, или взаимодействието от типа хищник-плячка, когато един вид е храна за друг. Ако в произведенията на други автори основното внимание беше обърнато на изграждането на различни модели, тогава В. Волтера проведе задълбочено проучване на изградените модели на биологични общности. Именно от книгата на В. Волтера, според много учени, започва съвременната математическа екология.

2. КАЧЕСТВЕНО ИЗСЛЕДВАНЕ НА ЕЛЕМЕНТАРНИЯ МОДЕЛ „ХИЩНИК – ПЛЯЧКА“

2.1 Модел на трофично взаимодействие хищник-жертва

Нека разгледаме модела на трофично взаимодействие по типа "хищник-плячка", построен от W. Volterra. Нека има система, състояща се от два вида, от които единият яде другия.

Да разгледаме случая, когато единият вид е хищник, а другият е плячка, и ще приемем, че хищникът се храни само с плячката. Приемаме следната проста хипотеза:

Темп на растеж на плячката;

Темп на растеж на хищника;

Популация на плячка;

Размер на популацията на хищници;

Коефициент на естествен прираст на жертвата;

Скоростта на консумация на плячка от хищника;

Коефициент на смъртност на хищници при липса на плячка;

Коефициент на „преработка” на биомасата на плячката от хищника в собствена биомаса.

Тогава динамиката на популацията в системата хищник-жертва ще бъде описана от системата от диференциални уравнения (2.1):

(2.1)

където всички коефициенти са положителни и постоянни.

Моделът има равновесно решение (2.2):

Съгласно модел (2.1), делът на хищниците в общата маса на животните се изразява с формула (2.3):

(2.3)

Анализът на стабилността на равновесното състояние по отношение на малки смущения показа, че сингулярната точка (2.2) е "неутрално" стабилна (от типа "център"), т.е. всички отклонения от равновесието не се разпадат, а прехвърлят системата в режим на колебание с амплитуда в зависимост от големината на смущението. Траекториите на системата на фазовата равнина имат формата на затворени криви, разположени на различни разстояния от точката на равновесие (фиг. 1).

Ориз. 1 - Фазов "портрет" на класическата система Волтера "хищник-плячка"

Разделяйки първото уравнение на системата (2.1) на второто, получаваме диференциално уравнение (2.4) за кривата на фазовата равнина.

(2.4)

Интегрирайки това уравнение, получаваме:

(2.5)

къде е константата на интегриране, къде

Лесно е да се покаже, че движението на точка по фазовата равнина ще се извършва само в една посока. За да направите това, е удобно да направите промяна на функциите и , като преместите началото на координатите в равнината до стационарна точка (2.2) и след това въведете полярни координати:

(2.6)

В този случай, замествайки стойностите на системата (2.6) в система (2.1), имаме:

(2.7)

Умножавайки първото уравнение по и второто по и добавяйки ги, получаваме:

След подобни алгебрични трансформации получаваме уравнението за:

Стойността , както се вижда от (4.9), винаги е по-голяма от нула. По този начин не променя знака и въртенето е всичко Времето течееднопосочен.

Интегрирайки (2.9), намираме периода:

Когато е малък, тогава уравненията (2.8) и (2.9) преминават в уравненията на елипса. Периодът на обръщение в този случай е равен на:

(2.11)

Въз основа на периодичността на решенията на уравненията (2.1) можем да получим някои следствия. За това представяме (2.1) във формата:

(2.12)

и интегрирайте за периода:

(2.13)

Тъй като заместванията от и поради периодичността изчезват, средните за периода се оказват равни на стационарните състояния (2.14):

(2.14)

Най-простите уравнения на модела "хищник-плячка" (2.1) имат редица съществени недостатъци. Така те предполагат неограничени хранителни ресурси за плячката и неограничен растеж на хищника, което противоречи на експерименталните данни. Освен това, както се вижда от фиг. 1, нито една от фазовите криви не е подчертана по отношение на стабилност. При наличие дори на малки смущаващи влияния, траекторията на системата ще се отдалечава все по-далеч от равновесното положение, амплитудата на колебанията ще се увеличи и системата бързо ще се срине.

Въпреки недостатъците на модела (2.1), идеите за фундаментално осцилаторния характер на динамиката на системата "хищник-жертва" са широко разпространени в екологията. Взаимодействията между хищник и жертва бяха използвани за обяснение на такива явления като колебания в броя на хищните и мирни животни в ловните зони, колебания в популациите на риба, насекоми и т.н. Всъщност колебанията в числеността могат да се дължат на други причини.

Да приемем, че в системата хищник-жертва се извършва изкуствено унищожаване на индивиди от двата вида и ще разгледаме въпроса как унищожаването на индивидите влияе върху средните стойности на техния брой, ако се извършва пропорционално на това число с коефициенти на пропорционалност и съответно за плячка и хищник. Като вземем предвид направените предположения, пренаписваме системата от уравнения (2.1) във формата:

(2.15)

Приемаме, че , т.е. коефициентът на унищожаване на жертвата е по-малък от коефициента на нейния естествен прираст. В този случай ще се наблюдават и периодични колебания в числата. Нека изчислим средните стойности на числата:

(2.16)

Така, ако , тогава средният брой на популациите плячка се увеличава, а този на хищниците намалява.

Нека разгледаме случая, когато коефициентът на унищожаване на плячката е по-голям от коефициента на нейния естествен прираст, т.е. В такъв случай за всяко , и следователно решението на първото уравнение (2.15) е ограничено отгоре от експоненциално намаляваща функция , Аз ям .

Започвайки от някакъв момент от времето t, в който , решението на второто уравнение (2.15) също започва да намалява и клони към нула като . Така и в случая изчезват и двата вида.

2.1 Обобщени модели на Волтер от типа "хищник-плячка".

Първите модели на V. Volterra, разбира се, не можаха да отразят всички аспекти на взаимодействието в системата хищник-плячка, тъй като бяха до голяма степен опростени по отношение на реалните условия. Например, ако броят на хищниците е равен на нула, тогава от уравнения (1.4) следва, че броят на плячката нараства неограничено, което не е вярно. Но стойността на тези модели се крие именно във факта, че те са основата, върху която математическата екология започва да се развива бързо.

Появиха се голям брой изследвания на различни модификации на системата хищник-жертва, където са конструирани по-общи модели, които отчитат в една или друга степен реалната ситуация в природата.

През 1936 г. А.Н. Колмогоров предложи да се използва следната система от уравнения, за да се опише динамиката на системата хищник-плячка:

, (2.17)

където намалява с увеличаване на броя на хищниците и се увеличава с увеличаване на броя на плячката.

Тази система от диференциални уравнения, поради своята достатъчна общност, позволява да се вземе предвид реалното поведение на популациите и в същото време да се извърши качествен анализ на нейните решения.

По-късно в своята работа Колмогоров изследва подробно един по-малко общ модел:

(2.18)

Различни частни случаи на системата от диференциални уравнения (2.18) са изследвани от много автори. Таблицата изброява различни специални случаи на функциите , , .

Таблица 1 - Различни модели на общността "хищник-плячка".

			автори
			Волтера Лотка
			Гаузе
			Пислоу
			дупка
			Ивлев
			Рояма
			Шимазу
			Може

математическо моделиране плячка на хищник

3. ПРАКТИЧЕСКИ ПРИЛОЖЕНИЯ НА МОДЕЛА ХИЩНИК – ПЛЯЧКА

Нека разгледаме математически модел на съвместно съществуване на два биологични вида (популации) от типа "хищник-плячка", наречен модел на Волтера-Лотка.

Нека два биологични вида живеят заедно в изолирана среда. Средата е неподвижна и осигурява неограничено количество от всичко необходимо за живот на един от видовете, които ще наречем жертва. Друг вид - хищник също е в стационарни условия, но се храни само с индивиди от първия вид. Това могат да бъдат караси и щуки, зайци и вълци, мишки и лисици, микроби и антитела и др. За категоричност ще ги наречем караси и щуки.

Заложени са следните начални показатели:

С течение на времето броят на караси и щуки се променя, но тъй като в езерото има много риба, няма да правим разлика между 1020 караси и 1021 и затова ще разгледаме и непрекъснатите функции на времето t. Ще наречем двойка числа (,) състоянието на модела.

Очевидно естеството на промяната на състоянието (,) се определя от стойностите на параметрите. Чрез промяна на параметрите и решаване на системата от уравнения на модела е възможно да се изследват моделите на промени в състоянието на екологичната система във времето.

В екосистемата скоростта на изменение на броя на всеки вид също ще се счита за пропорционална на неговата численост, но само с коефициент, който зависи от броя на индивидите от друг вид. И така, за каракуда този коефициент намалява с увеличаване на броя на щуките, а за щуките се увеличава с увеличаване на броя на шараните. Ще приемем, че и тази зависимост е линейна. Тогава получаваме система от две диференциални уравнения:

Тази система от уравнения се нарича модел на Волтера-Лотка. Числените коефициенти , , - се наричат ​​параметри на модела. Очевидно естеството на промяната на състоянието (,) се определя от стойностите на параметрите. Чрез промяна на тези параметри и решаване на системата от уравнения на модела е възможно да се изследват моделите на промени в състоянието на екологичната система.

Нека интегрираме системата от двете уравнения по отношение на t, което ще варира от - началния момент от времето до , където T е периодът, за който настъпват промени в екосистемата. Нека в нашия случай периодът е равен на 1 година. Тогава системата приема следния вид:

;

;

Вземайки = и =, въвеждаме подобни термини, получаваме система, състояща се от две уравнения:

Замествайки първоначалните данни в получената система, получаваме популацията на щуки и каракуди в езерото година по-късно:

Система PA88, която едновременно прогнозира вероятността от повече от 100 фармакологични ефекта и механизми на действие на вещество въз основа на неговата структурна формула. Ефективността на прилагането на този подход за планиране на скрининга е около 800%, а точността на компютърната прогноза е с 300% по-висока от тази на експертите.

И така, един от конструктивните инструменти за получаване на нови знания и решения в медицината е методът на математическото моделиране. Процесът на математизация на медицината е честа проява на взаимно проникване научно познание, повишаване на ефективността на лечението и превантивната работа.

4. Математически модел "хищници-плячка"

За първи път в биологията италианският математик В. Волтера и неговите сътрудници предлага математически модел на периодична промяна в броя на антагонистичните животински видове. Моделът, предложен от Волтера, е развитие на идеята, очертана през 1924 г. от А. Лотка в книгата "Елементи на физическата биология". Следователно, този класически математически модел е известен като модела на "Lotka-Volterra".

Въпреки че антагонистичните видове отношения са по-сложни по природа, отколкото в модела, те все пак са добър образователен модел, върху който да научите основните идеи на математическото моделиране.

И така, задача: в някаква екологично затворена зона живеят два вида животни (например рисове и зайци). Зайците (плячка) се хранят с растителни храни, които винаги са налични в достатъчни количества (този модел не отчита ограничените ресурси на растителни храни). Рисовете (хищници) могат да ядат само зайци. Необходимо е да се определи как броят на плячката и хищниците ще се промени с течение на времето в такава екологична система. Ако популацията на плячката се увеличи, вероятността от срещи между хищници и плячка се увеличава и съответно след известно забавяне популацията на хищници нараства. Този доста прост модел доста адекватно описва взаимодействието между реални популации на хищници и плячка в природата.

Сега да се заемем ссъставяне на диференциални уравнения. об-

означаваме броя на плячката чрез N, а броя на хищниците чрез M. Числата N и M са функции на времето t. В нашия модел вземаме предвид следните фактори:

а) естествено възпроизводство на жертвите; б) естествена смърт на жертвите;

в) унищожаване на жертвите чрез изяждането им от хищници; г) естествено изчезване на хищници;

д) увеличаване на броя на хищниците поради размножаване в присъствието на храна.

Тъй като говорим за математически модел, задачата е да се получат уравнения, които да включват всички предвидени фактори и да описват динамиката, тоест промяната в броя на хищниците и плячката във времето.

Нека за известно време t броят на плячката и хищниците се промени с ∆N и ∆M. Промяната в броя на жертвите ∆N във времето ∆t се определя, първо, от увеличението в резултат на естественото възпроизводство (което е пропорционално на броя на присъстващите жертви):

където B е коефициентът на пропорционалност, характеризиращ скоростта на естествено изчезване на жертвите.

В основата на извеждането на уравнението, описващо намаляването на броя на плячката поради изяждане от хищници, е идеята, че колкото по-често се срещат, толкова по-бързо намалява броят на плячката. Също така е ясно, че честотата на срещите между хищници и плячка е пропорционална както на броя на плячката, така и на броя на хищниците, тогава

Разделяйки лявата и дясната страна на уравнение (4) на ∆t и преминавайки към границата при ∆t→0, получаваме диференциално уравнение от първи ред:

За да решите това уравнение, трябва да знаете как броят на хищниците (M) се променя с времето. Промяната в броя на хищниците (∆M ) се определя от нарастване поради естественото размножаване при наличие на достатъчно храна (M 1 = Q∙N∙M∙∆t ) и намаляване поради естественото изчезване на хищници ( M 2 = - P∙M∙∆ t):

M = Q∙N∙M∙∆t - P∙M∙∆t

От уравнение (6) може да се получи диференциално уравнение:

Диференциалните уравнения (5) и (7) представляват математическия модел "хищници-плячка". Достатъчно е да се определят стойностите на коефициента

компонентите A, B, C, Q, P и математическият модел могат да се използват за решаване на проблема.

Проверка и корекция на математическия модел. В тази лаборатория-

В тази работа се предлага, в допълнение към изчисляването на най-пълния математически модел (уравнения 5 и 7), да се изследват по-прости, в които нещо не се взема предвид.

След като са разгледани пет нива на сложност на математическия модел, може да се "почувства" етапът на проверка и коригиране на модела.

1-во ниво - моделът отчита за "жертвите" само естественото им размножаване, "хищници" отсъстват;

2-ро ниво - моделът отчита естественото измиране за "жертви", "хищници" отсъстват;

3-то ниво - моделът отчита за "жертвите" естественото им възпроизводство

И изчезване, "хищници" отсъстват;

4-то ниво - моделът отчита за "жертвите" тяхното естествено възпроизводство

И изчезване, както и изяждане от "хищници", но броят на "хищниците" остава непроменен;

Ниво 5 - моделът отчита всички разгледани фактори.

И така, имаме следната система от диференциални уравнения:

където М е броят на "хищниците"; N е броят на "жертвите";

t е текущото време;

А е скоростта на възпроизвеждане на "жертви"; C е честотата на срещите "хищник-жертва"; B е степента на изчезване на "жертвите";

Q - възпроизвеждане на "хищници";

P - изчезване на "хищници".

1-во ниво: M = 0, B = 0; 2-ро ниво: M = 0, A = 0; 3-то ниво: M = 0; 4-то ниво: Q = 0, P = 0;

5-то ниво: пълна система от уравнения.

Замествайки стойностите на коефициентите във всяко ниво, ще получим различни решения, например:

За 3-то ниво стойността на коефициента М=0, тогава

решаване на полученото уравнение

По същия начин за 1-во и 2-ро ниво. Що се отнася до 4-то и 5-то ниво, тук е необходимо да се реши системата от уравнения по метода на Runge-Kutta. В резултат на това получаваме решението на математическите модели на тези нива.

II. РАБОТА НА УЧЕНИЦИТЕ ПО ВРЕМЕ НА ПРАКТИЧЕСКИЯ УРОК

Упражнение 1 . Контрол на устната реч и корекция на усвояването на теоретичния материал от урока. Даване на разрешение за практикуване.

Задача 2 . Извършване на лабораторна работа, обсъждане на получените резултати, съставяне на резюме.

Завършване на работата

1. Извикайте програмата "Лаборатория № 6" от работния плот на компютъра, като щракнете двукратно върху съответния етикет с левия бутон на мишката.

2. Щракнете двукратно с левия бутон на мишката върху надписа "ХИЩНИК".

3. Изберете прекия път "PRED" и повторете извикването на програмата с левия бутон на мишката (двойно щракване).

4. След изпъкването на заглавието натиснете "ENTER".

5. Моделирането започва с 1-во ниво.

6. Въведете годината, от която ще се извършва анализът на модела: например 2000 г

7. Изберете интервали от време, например в рамките на 40 години, след 1 година (след това след 4 години).

2-ро ниво: B = 0,05; N0 = 200;

3-то ниво: A = 0,02; В = 0,05; N=200;

4-то ниво: A = 0,01; В = 0,002; С = 0,01; N0 = 200; М=40; 5-то ниво: A = 1; В = 0,5; С = 0,02; Q = 0,002; Р = 0,3; N0 = 200;

9. Подгответе писмен отчет за работата, който трябва да съдържа уравнения, графики, резултатите от изчисляването на характеристиките на модела, заключения за извършената работа.

Задача 3. Контрол на крайното ниво на знания:

а) устно-речеви доклад за изпълнената лабораторна работа; б) решаване на ситуационни проблеми; в) компютърно тестване.

Задача 4. Задача за следващия урок: раздел и тема на урока, координиране на темите за абстрактни доклади (размер на доклада 2-3 страници, времеви лимит 5-7 минути).

Взаимодействие на индивидите в системата "хищник-жертва".

5 курс 51 А група

Катедри по биоекология

Назарова А. А.

Научен ръководител:

Подшивалов А. А.

Оренбург 2011 г

ВЪВЕДЕНИЕ

ВЪВЕДЕНИЕ

В нашите ежедневни разсъждения и наблюдения, ние, без да го знаем, а често дори и без да го осъзнаваме, се ръководим от закони и идеи, открити преди много десетилетия. Имайки предвид проблема хищник-плячка, предполагаме, че плячката косвено засяга и хищника. Какво би ял лъвът, ако нямаше антилопи; какво биха направили мениджърите, ако нямаше работници; как да развиете бизнес, ако клиентите нямат средства ...

Системата "хищник-плячка" е сложна екосистема, за която се реализират дългосрочни взаимоотношения между видовете хищник и плячка, типичен пример за коеволюция. Отношенията между хищниците и тяхната плячка се развиват циклично, което е илюстрация на неутрално равновесие.

Изследването на тази форма на междувидови взаимоотношения, в допълнение към получаването на интересни научни резултати, ни позволява да решим много практически проблеми:

оптимизиране на биотехническите мерки както по отношение на видовете плячка, така и по отношение на хищниците;

подобряване на качеството на териториалната защита;

регулиране на ловния натиск в ловните стопанства и др.

Горното определя актуалността на избраната тема.

цел срочна писмена работае изследване на взаимодействието на индивидите в системата "хищник-плячка". За постигане на целта бяха поставени следните задачи:

хищничеството и неговата роля при формирането на трофични връзки;

основните модели на взаимоотношенията „хищник – плячка”;

влиянието на социалния начин на живот в стабилността на системата "хищник-плячка";

лабораторно моделиране на системата "хищник - жертва".

Влиянието на хищниците върху броя на плячката и обратно е доста очевидно, но е доста трудно да се определи механизмът и същността на това взаимодействие. Тези въпроси възнамерявам да разгледам в курсовата работа.

#��������############################################# ######"#5#@#?#8#;#0###��#####################+##### ######��\################ ###############��#��##### ######## Глава 4

ГЛАВА 4. ЛАБОРАТОРНО МОДЕЛИРАНЕ НА СИСТЕМАТА ХИЩНИК - ПЛЯЧКА

Учени от университета Дюк, в сътрудничество с колеги от Станфордския университет, Медицинския институт Хауърд Хюз и Калифорнийския технологичен институт, работещи под ръководството на д-р Лингчонг Ю, са разработили жива система от генетично модифицирани бактерии, която ще позволи по-подробно изследване на взаимодействията хищник-жертва на популационно ниво.

Новият експериментален модел е пример за изкуствена екосистема, в която изследователите програмират бактериите да изпълняват нови функции за създаване. Такива препрограмирани бактерии могат да бъдат широко използвани в медицината, почистването на околната среда и разработването на биокомпютри. Като част от тази работа учените пренаписаха „софтуера“ на E. coli (Escherichia coli) по такъв начин, че две различни бактериални популации формираха в лабораторията типична система от взаимодействия хищник-плячка, характеристика на която беше, че бактериите не се поглъщали един друг, но контролирали броя на противниковата популация чрез промяна на честотата на "самоубийствата".

Областта на изследване, известна като синтетична биология, се появи около 2000 г. и повечето от системите, създадени оттогава, се основават на препрограмиране на една единствена бактерия. Моделът, разработен от авторите, е уникален с това, че се състои от две бактериални популации, живеещи в една и съща екосистема, чието оцеляване зависи една от друга.

Ключът към успешното функциониране на такава система е способността на две популации да взаимодействат една с друга. Авторите създадоха два щама бактерии - "хищници" и "тревопасни", в зависимост от ситуацията, освобождавайки токсични или защитни съединения в общата екосистема.

Принципът на действие на системата се основава на поддържане на съотношението на броя на хищниците и плячката в регулирана среда. Промените в броя на клетките в една от популациите активират препрограмирани гени, което задейства синтеза на определени химични съединения.

По този начин малък брой жертви в околната среда причиняват активирането на гена за самоунищожение в клетките на хищниците и тяхната смърт. С нарастването на броя на жертвите обаче, отделяното от тях съединение в околната среда достига критична концентрация и активира гена на хищника, което осигурява синтеза на "противоотрова" на суицидния ген. Това води до увеличаване на популацията на хищници, което от своя страна води до натрупване на съединение, синтезирано от хищници в околната среда, което тласка жертвите към самоубийство.

Използвайки флуоресцентна микроскопия, учените документираха взаимодействията между хищници и плячка.

Клетките на хищници, оцветени в зелено, причиняват самоубийство на клетки на плячка, оцветени в червено. Удължаването и разкъсването на клетката на жертвата показва нейната смърт.

Тази система не е точно представяне на взаимодействията хищник-плячка в природата, като хищните бактерии не се хранят с плячка бактерии и двете популации се конкурират за едни и същи хранителни ресурси. Въпреки това авторите смятат, че разработената от тях система е полезен инструмент за биологични изследвания.

Новата система демонстрира ясна връзка между генетиката и динамиката на популацията, което в бъдеще ще помогне при изследването на влиянието на молекулярните взаимодействия върху промяната на популацията, което е централна тема на екологията. Системата предоставя практически неограничени възможности за модифициране на променливи за подробно изследване на взаимодействията между околната среда, генната регулация и динамиката на популацията.

По този начин, чрез контролиране на генетичния апарат на бактериите, е възможно да се симулират процесите на развитие и взаимодействие на по-сложни организми.

ГЛАВА 3

ГЛАВА 3

Еколози от САЩ и Канада показаха, че груповият начин на живот на хищниците и тяхната плячка радикално променя поведението на системата хищник-плячка и я прави по-устойчива. Този ефект, потвърден от наблюдения върху динамиката на броя на лъвовете и антилопите гну в парка Серенгети, се основава на простия факт, че при групов начин на живот честотата на случайните срещи между хищници и потенциални жертви намалява.

Еколозите са разработили редица математически модели, които описват поведението на системата хищник-плячка. Тези модели, по-специално, обясняват добре наблюдаваните понякога последователни периодични колебания в изобилието на хищници и плячка.

Такива модели обикновено се характеризират с високо ниво на нестабилност. С други думи, с широк диапазон от входни параметри (като смъртност на хищници, ефективност на преобразуване на биомасата на плячка в биомаса на хищник и т.н.) в тези модели, рано или късно всички хищници или измират, или първо изяждат цялата плячка, и след това пак умират от глад.

В естествените екосистеми, разбира се, всичко е по-сложно, отколкото в математическия модел. Очевидно има много фактори, които могат да увеличат стабилността на системата хищник-плячка, и в действителност рядко се стига до такива резки скокове в числеността, както при канадските рисове и зайци.

Еколози от Канада и САЩ публикуваха в последния брой на списанието " природа"статия, която привлече вниманието към един прост и очевиден фактор, който може драматично да промени поведението на системата хищник-плячка. Става дума за групов живот.

Повечето от наличните модели се основават на предположението за равномерно разпределение на хищниците и тяхната плячка в дадена територия. Това е основата за изчисляване на честотата на техните срещи. Ясно е, че колкото по-висока е плътността на плячката, толкова по-често хищниците се натъкват на тях. От това зависи броят на атаките, включително успешните, и в крайна сметка интензивността на хищничеството от хищници. Например, с излишък от плячка (ако не е нужно да отделяте време за търсене), скоростта на хранене ще бъде ограничена само от времето, необходимо на хищника да хване, убие, изяде и смила следващата плячка. Ако плячката се хваща рядко, основният фактор, определящ скоростта на паша, става времето, необходимо за търсене на плячката.

В екологичните модели, използвани за описание на системите „хищник-плячка“, естеството на зависимостта на интензивността на хищничеството (броя плячка, изядена от един хищник за единица време) от гъстотата на популацията на плячката играе ключова роля. Последният се изчислява като брой животни на единица площ.

Трябва да се отбележи, че при групов начин на живот както на плячка, така и на хищници, първоначалното предположение за равномерно пространствено разпределение на животните не е изпълнено и следователно всички по-нататъшни изчисления стават неправилни. Например, при стаден начин на живот на плячка, вероятността за среща с хищник всъщност ще зависи не от броя на отделните животни на квадратен километър, а от броя на стадата на единица площ. Ако плячката беше разпределена равномерно, хищниците биха се натъкнали на тях много по-често, отколкото при стадния начин на живот, тъй като между стадата се образуват огромни пространства, където няма плячка. Подобен резултат се получава и при груповия начин на живот на хищниците. Прайд от лъвове, скитащи се из саваната, ще забележат малко повече потенциални жертви, отколкото би забелязал самотен лъв, следващ същия път.

В продължение на три години (от 2003 до 2007 г.) учените проведоха внимателни наблюдения на лъвове и техните жертви (предимно антилопи гну) в огромната територия на парка Серенгети (Танзания). Плътността на населението се записва ежемесечно; редовно се оценява и интензивността на хранене от лъвове на различни видове копитни животни. Както самите лъвове, така и седемте основни вида от тяхната плячка водят групов начин на живот. Авторите въведоха необходимите изменения в стандартните екологични формули, за да отчетат това обстоятелство. Параметризирането на моделите е извършено на базата на реални количествени данни, получени в хода на наблюденията. Бяха разгледани четири версии на модела: в първата се игнорира груповият начин на живот на хищници и плячка; във втората се взема предвид само за хищници; в третата - само за плячка; и в четвъртата за двете.

Както може да се очаква, четвъртият вариант отговаря най-добре на реалността. Той се оказа и най-издръжлив. Това означава, че с широк диапазон от входни параметри в този модел е възможно дългосрочно стабилно съвместно съществуване на хищници и плячка. Данните от дългосрочни наблюдения показват, че и в това отношение моделът отразява адекватно реалността. Числеността на лъвовете и тяхната плячка в Серенгети е доста стабилна, не се наблюдава нищо подобно на периодични координирани колебания (както при рисовете и зайците).

Получените резултати показват, че ако лъвовете и антилопите гну живеят сами, увеличаването на броя на плячката би довело до бързо ускоряване на хищничеството им от хищници. Поради груповия начин на живот това не се случва, активността на хищниците нараства сравнително бавно, а общото ниво на хищничество остава ниско. Според авторите, подкрепени от редица косвени доказателства, броят на жертвите в Серенгети изобщо не е ограничен от лъвове, а от хранителни ресурси.

Ако ползите от колективизма за жертвите са съвсем очевидни, то по отношение на лъвовете въпросът остава открит. Това проучване ясно показа, че груповият начин на живот на хищника има сериозен недостатък - всъщност поради него всеки отделен лъв получава по-малко плячка. Очевидно този недостатък трябва да бъде компенсиран с някои много съществени предимства. Традиционно се смяташе, че социалният начин на живот на лъвовете е свързан с лов на големи животни, които трудно могат да се справят дори с лъв сам. Въпреки това, в напоследъкмного експерти (включително авторите на обсъжданата статия) започнаха да се съмняват в правилността на това обяснение. Според тях колективните действия са необходими на лъвовете само при лов на биволи, а лъвовете предпочитат да се справят с други видове плячка сами.

По-правдоподобно е предположението, че прайдите са нужни за регулиране на чисто вътрешни проблеми, каквито има много в живота на лъва. Например сред тях е разпространено детеубийството - убийството на чужди малки от мъжките. За женските, държани в група, е по-лесно да защитят децата си от агресори. Освен това е много по-лесно за един прайд, отколкото за самотен лъв да защитава ловния си район от съседните прайдове.

Източник: Джон М. Фриксел, Анна Мосер, Антъни Р. Е. Синклер, Крейг Пакър. Образуването на групи стабилизира динамиката хищник-плячка // Природата. 2007. Т. 449. С. 1041–1043.

1. Симулация системи "Хищник-жертва"

   Резюме >> Икономическо и математическо моделиране

   ... системи « Хищник-жертва"Изработено от Gizyatullin R.R gr.MP-30 Проверен от Lisovets Yu.P МОСКВА 2007 г. Въведение Взаимодействие... модел взаимодействия хищнициИ жертвина повърхността. Опростяване на предположенията. Нека се опитаме да сравним жертваИ хищникнякои...

2. Хищник-Жертва

   Резюме >> Екология

   Приложения на математическата екология е система хищник-жертва. Цикличното поведение на това системив стационарна среда беше ... чрез въвеждане на допълнителна нелинейна взаимодействиямежду хищникИ жертва. Полученият модел има на своя...

3. Конспект екология

   Резюме >> Екология

   фактор за жертви. Ето защо взаимодействие « хищник–жертва"е периодичен и е системаУравненията на Лотка... отместването е много по-малко, отколкото в система « хищник–жертва". Подобен взаимодействиясе наблюдават и в бацианската мимикрия. ...

Динамиката на населението е един от разделите на математическото моделиране. Интересен е с това, че има специфични приложения в биологията, екологията, демографията и икономиката. В този раздел има няколко основни модела, един от които, моделът Predator-Prey, се обсъжда в тази статия.

Първият пример за модел в математическата екология е моделът, предложен от V. Volterra. Той беше този, който за първи път разгледа модела на връзката между хищник и плячка.

Обмислете изложението на проблема. Да предположим, че има два вида животни, едното от които поглъща другото (хищници и плячка). В същото време се правят следните предположения: хранителните ресурси на плячката не са ограничени и следователно, при липса на хищник, популацията на плячката нараства експоненциално, докато хищниците, отделени от плячката си, постепенно умират от глад , също според експоненциален закон. Веднага щом хищниците и плячката започнат да живеят в непосредствена близост един до друг, промените в техните популации стават взаимосвързани. В този случай очевидно относителното увеличение на броя на плячката ще зависи от размера на популацията на хищниците и обратно.

В този модел се приема, че всички хищници (и цялата плячка) са в едни и същи условия. В същото време хранителните ресурси на плячката са неограничени и хищниците се хранят изключително с плячка. И двете популации живеят в ограничен район и не взаимодействат с други популации и няма други фактори, които да повлияят на размера на популациите.

Самият математически модел „хищник-плячка“ се състои от двойка диференциални уравнения, които описват динамиката на популациите на хищници и плячка в най-простия случай, когато има една популация от хищници и една популация от плячка. Моделът се характеризира с колебания в размера на двете популации, като пикът на броя на хищниците е малко зад пика на броя на плячката. Този модел може да се намери в много работи върху динамиката на населението или математическо моделиране. Той е обстойно разгледан и анализиран. математически методи. Формулите обаче не винаги могат да дадат очевидна представа за протичащия процес.

Интересно е да се разбере как точно динамиката на популациите зависи от първоначалните параметри в този модел и доколко това отговаря на реалността и здравия разум, и да се види това графично, без да се прибягва до сложни изчисления. За целта по модела Volterra е създадена програма в среда Mathcad14.

Първо, нека проверим модела за съответствие с реалните условия. За да направим това, ние разглеждаме изродени случаи, когато само една от популациите живее при дадени условия. Теоретично беше показано, че при отсъствие на хищници популацията на плячката се увеличава неограничено във времето, а популацията на хищниците измира при липса на плячка, което най-общо казано отговаря на модела и реалната ситуация (с формулираната постановка на проблема) .

Получените резултати отразяват теоретичните: хищниците постепенно измират (фиг. 1), а броят на плячката се увеличава неограничено (фиг. 2).

Фиг.1 Зависимост на броя на хищниците от времето при липса на плячка

Фиг. 2 Зависимост на броя на жертвите от времето при липса на хищници

Както се вижда, в тези случаи системата съответства на математическия модел.

Помислете как се държи системата за различни първоначални параметри. Нека има две популации - лъвове и антилопи - съответно хищници и плячка и са дадени начални показатели. Тогава получаваме следните резултати (фиг. 3):

Таблица 1. Коефициенти на колебателния режим на системата

Фиг.3 Система със стойности на параметрите от Таблица 1

Нека анализираме получените данни въз основа на графиките. С първоначалното увеличаване на популацията на антилопите се наблюдава нарастване на броя на хищниците. Имайте предвид, че пикът на нарастване на популацията на хищници се наблюдава по-късно, при намаляване на популацията на плячката, което е напълно в съответствие с реалните представи и математическия модел. Всъщност увеличаването на броя на антилопите означава увеличаване на хранителните ресурси за лъвовете, което води до увеличаване на техния брой. Освен това активното ядене на антилопи от лъвове води до бързо намаляване на броя на плячката, което не е изненадващо, като се има предвид апетита на хищника или по-скоро честотата на хищничество от хищници. Постепенното намаляване на броя на хищниците води до ситуация, при която популацията на плячката е в благоприятни условия за растеж. След това ситуацията се повтаря с определен период. Ние заключаваме, че тези условия не са подходящи за хармоничното развитие на индивидите, тъй като те водят до рязко намаляване на популацията на плячка и рязко увеличаване на двете популации.

Нека сега зададем първоначалната численост на хищника, равна на 200 индивида, като запазим останалите параметри (фиг. 4).

Таблица 2. Коефициенти на колебателния режим на системата

Фиг.4 Система със стойности на параметрите от Таблица 2

Сега трептенията на системата се случват по-естествено. При тези предположения системата съществува доста хармонично, няма резки увеличения и намаления на броя на популациите и в двете популации. Заключаваме, че с тези параметри и двете популации се развиват сравнително равномерно, за да живеят заедно в една и съща област.

Нека зададем първоначалната численост на хищника, равна на 100 индивида, броя на плячката на 200, като запазим останалите параметри (фиг. 5).

Таблица 3. Коефициенти на колебателния режим на системата

Фиг.5 Система със стойности на параметрите от Таблица 3

В този случай ситуацията е близка до първата разгледана ситуация. Обърнете внимание, че при взаимно увеличаване на популациите преходите от увеличаване към намаляване на популацията на плячката стават по-плавни и популацията на хищниците остава при липса на плячка на по-висока числена стойност. Ние заключаваме, че при тясна връзка на една популация с друга, тяхното взаимодействие се осъществява по-хармонично, ако конкретният първоначален брой популации е достатъчно голям.

Помислете за промяна на други параметри на системата. Нека началните числа отговарят на втория случай. Нека увеличим коефициента на умножение на плячката (фиг.6).

Таблица 4. Коефициенти на колебателния режим на системата

Фиг.6 Система със стойности на параметрите от Таблица 4

Нека сравним този резултат с резултата, получен във втория случай. В този случай има по-бързо увеличаване на плячката. В същото време и хищникът, и плячката се държат като в първия случай, което се обяснява с ниския брой на популациите. С това взаимодействие и двете популации достигат пик със стойности, много по-големи, отколкото във втория случай.

Сега нека увеличим коефициента на растеж на хищниците (фиг. 7).

Таблица 5. Коефициенти на колебателния режим на системата

Фиг.7 Система със стойности на параметрите от Таблица 5

Нека сравним резултатите по подобен начин. В такъв случай основни характеристикисистемата остава същата, с изключение на промяната на периода. Очаквано, периодът се скъси, което се обяснява с бързото намаляване на популацията на хищниците при липса на плячка.

И накрая, ще променим коефициента на междувидово взаимодействие. Като начало, нека увеличим честотата на хищници, които ядат плячка:

Таблица 6. Коефициенти на колебателния режим на системата

Фиг.8 Система със стойности на параметрите от Таблица 6

Тъй като хищникът яде плячката по-често, максимумът на популацията му се е увеличил в сравнение с втория случай, а разликата между максималните и минималните стойности на популациите също е намаляла. Периодът на трептене на системата остава същият.

А сега нека намалим честотата на яденето на плячка от хищници:

Таблица 7. Коефициенти на колебателния режим на системата

Фиг.9 Система със стойности на параметрите от Таблица 7

Сега хищникът яде плячката по-рядко, максимумът на популацията му е намалял в сравнение с втория случай, а максимумът на популацията на плячката се е увеличил и то 10 пъти. От това следва, че при дадени условия популацията на плячката има по-голяма свобода по отношение на размножаването, тъй като по-малка маса е достатъчна, за да може хищникът да се засити. Разликата между максималните и минималните стойности на размера на популацията също намалява.

Когато се опитваме да моделираме сложни процеси в природата или обществото, по един или друг начин възниква въпросът за коректността на модела. Естествено, при моделирането процесът се опростява, някои незначителни детайли се пренебрегват. От друга страна, съществува опасност моделът да се опрости твърде много, като по този начин се изхвърлят важни характеристики на явлението наред с незначителните. За да се избегне тази ситуация, преди моделирането е необходимо да се проучи предметната област, в която се използва този модел, да се проучат всички негови характеристики и параметри и най-важното, да се подчертаят тези характеристики, които са най-значими. Процесът трябва да има естествено описание, интуитивен, съвпадащ в основни моменти с теоретичния модел.

Моделът, разглеждан в тази статия, има редица съществени недостатъци. Например допускането на неограничени ресурси за плячката, липсата на фактори от трети страни, които влияят върху смъртността и на двата вида и т.н. Всички тези предположения не отразяват реалната ситуация. Но въпреки всички недостатъци, моделът е широко разпространен в много области, дори далеч от екологията. Това може да се обясни с факта, че системата "хищник-плячка" дава обща представа за взаимодействието на видовете. Взаимодействието с околната среда и други фактори могат да бъдат описани с други модели и анализирани в комбинация.

Отношенията от типа "хищник-жертва" са съществена характеристика на различни видове жизнена дейност, в които има сблъсък на две взаимодействащи страни. Този модел има място не само в екологията, но и в икономиката, политиката и други сфери на дейност. Например една от областите, свързани с икономиката, е анализът на пазара на труда, като се вземат предвид наличните потенциални служители и свободни работни места. Тази тема би била интересно продължение на работата по модела хищник-плячка.