вектор на изходните променливи, Y= t,

Z - вектор на външни влияния, Z= t,

t - времева координата.

Сграда математически модел се състои в определяне на връзките между определени процеси и явления, създаване на математически апарат, който позволява да се изрази количествено и качествено връзката между определени процеси и явления, между физическите величини, които представляват интерес за специалист, и факторите, влияещи върху крайния резултат.

Обикновено те са толкова много, че не е възможно да се въведе целият им набор в модела. При изграждане математически моделпреди изследването възниква задачата да се идентифицират и изключат от разглеждането фактори, които не влияят значително на крайния резултат ( математически моделобикновено включва много по-малък брой фактори, отколкото в действителност). Въз основа на експерименталните данни се излагат хипотези за връзката между величините, изразяващи крайния резултат, и факторите, въведени в математически модел. Такава връзка често се изразява чрез диференциални системи частични диференциални уравнения(например в проблемите на механиката твърдо тяло, течност и газ, теория на филтрацията, топлопроводимост, теория на електростатичните и електродинамичните полета).

Крайната цел на този етап е формулирането на математически проблем, чието решение с необходимата точност изразява резултатите, които представляват интерес за специалист.

Форма и принципи на представяне математически моделзависи от много фактори.

Според принципите на изграждане математически моделиразделена на:

1. аналитичен;
2. имитация.

В аналитичните модели процесите на функциониране на реални обекти, процеси или системи се записват под формата на изрични функционални зависимости.

Аналитичният модел е разделен на типове в зависимост от математическия проблем:

1. уравнения (алгебрични, трансцендентални, диференциални, интегрални),
2. апроксимационни проблеми (интерполация, екстраполация, числено интегриранеИ диференциация),
3. проблеми с оптимизацията,
4. стохастични проблеми.

Въпреки това, тъй като обектът на моделиране става по-сложен, изграждането на аналитичен модел се превръща в неразрешим проблем. Тогава изследователят е принуден да използва симулационно моделиране .

IN симулационно моделиранефункционирането на обекти, процеси или системи се описва от набор от алгоритми. Алгоритмите имитират реални елементарни явления, които изграждат процес или система, като същевременно запазват своите логическа структураи последователност във времето. Симулацияви позволява да получите информация за изходните данни състояния на процесаили системи в определени моменти от време, но предвиждането на поведението на обекти, процеси или системи тук е трудно. Може да се каже, че симулационни модели- те са компютърно базирани изчислителни експериментис математически модели, имитиращи поведението на реални обекти, процеси или системи.

В зависимост от характера на изучаваните реални процеси и системи математически моделиможе да бъде:

1. детерминистичен,
2. стохастичен.

При детерминистичните модели се приема, че няма случайни влияния, елементите на модела (променливи, математически зависимости) са сравнително добре установени и поведението на системата може да бъде точно определено. При конструирането на детерминирани модели най-често се използват алгебрични уравнения, интегрални уравнения, матрична алгебра.

Стохастичен моделотчита случайния характер на процесите в изследваните обекти и системи, който се описва с методите на теорията на вероятностите и математическата статистика.

Според вида на входната информация моделите се делят на:

1. непрекъснато,
2. отделен.

Ако информацията и параметрите са непрекъснати и математическите зависимости са стабилни, тогава моделът е непрекъснат. И обратното, ако информацията и параметрите са дискретни и връзките са нестабилни, тогава математически модел- отделен.

Според поведението на моделите във времето те се разделят на:

1. статичен,
2. динамичен.

Статичните модели описват поведението на обект, процес или система във всеки момент от време. Динамичните модели отразяват поведението на обект, процес или система във времето.

Според степента на съответствие между

Редица общи свойства на моделите произтичат пряко от структурата на възприетата дефиниция, които обикновено се вземат предвид в практиката на моделиране.

• 1. Моделът е "четворна структура", чиито компоненти са:
  • - предмет;
  • - задачата, решена от субекта;
  • - оригиналния обект и езика на описанието или метода на възпроизвеждане на модела.

Проблемът, решен от субекта, играе специална роля в структурата на обобщения модел. Извън контекста на задача или клас от задачи концепцията за модел е безсмислена.

• 2. Най-общо казано, всеки материален обект съответства на безброй набор от еднакво адекватни, но по същество различни модели, свързани с различни задачи.
• 3. Двойка задача-обект също съответства на набор от модели, съдържащи по принцип една и съща информация, но различни във формите на нейното представяне или възпроизвеждане.
• 4. По дефиниция моделът винаги е само относително, приблизително подобие на оригиналния обект и от гледна точка на информация е фундаментално по-беден от последния. Това е основното му свойство.
• 5. Произволният характер на оригиналния обект, който се появява в приетата дефиниция, означава, че този обект може да бъде материално-материален, може да има чисто информационен характер и накрая може да бъде комплекс от разнородни материални и информационни компоненти. Въпреки това, независимо от естеството на обекта, естеството на проблема, който се решава, и метода на изпълнение, моделът е информационна единица.
• 6. Особен, но много важен за теоретично развитите научни и технически дисциплини е случаят, когато ролята на обект на моделиране в изследователска или приложна задача играе не пряко разглеждан фрагмент от реалния свят, а някакъв идеален конструкт , т.е. всъщност друг модел, създаден по-рано и практически надежден. Такова вторично и в общия случай n-кратно моделиране може да се извърши чрез теоретични методи с последваща проверка на получените резултати спрямо експериментални данни, което е типично за фундаменталните природни науки.

В теоретично по-слабо развитите области на знанието (биология, някои технически дисциплини) вторичният модел обикновено включва емпирична информация, която не е обхваната от съществуващите теории.

Свойствата на всеки модел са както следва:

• - ограниченост: моделът отразява оригинала само в краен брой от неговите отношения и освен това ресурсите за моделиране са крайни;
• - простота: моделът показва само основните аспекти на обекта;
• - Апроксимация: реалността се показва грубо или приблизително чрез модела;
• - адекватност: моделът описва успешно моделираната система;
• - информативност: моделът трябва да съдържа достатъчно информация за системата - в рамките на хипотезите, възприети при изграждането на модела.

Класификация на математическите модели. При проектирането на технически обекти се използват много видове математически модели. В тази връзка съществуват математически модели на елементи и системи. При преминаване към по-високо йерархично ниво на структуриране на блокове системата от по-ниско ниво става елемент от система от ново ниво и обратно, при преминаване към по-ниско ниво елементът става система. Следователно най-сложните математически модели се използват на по-ниските нива.

На по-високи нива могат успешно да се прилагат по-прости модели. Те могат да бъдат получени чрез апроксимиране на модели на по-ниски йерархични нива.

В общия случай уравненията на математическия модел се отнасят физични величини, които характеризират състоянието на обекта и не са свързани с изходните, вътрешни и външни параметри, изброени по-горе. Тези величини са: скорости и сили – в механични системи. Величините, характеризиращи състоянието на техническия обект в процеса на неговата работа, се наричат ​​фазови променливи (фазови координати).

Векторът на фазовите променливи дефинира точка в пространство, наречено фазово пространство. Математическите модели са подчинени на изискванията за адекватност, икономичност, универсалност. Тези изисквания са противоречиви, поради което обикновено за проектирането на всеки обект се използва техният оригинален модел. Моделът се счита за адекватен, ако отразява изследваните свойства с приемлива точност.

Точността се оценява от степента на съвпадение на стойностите на изходните параметри, прогнозирани по време на изчислителния експеримент върху модела, с техните истински стойности. В същото време математическият модел трябва да бъде възможно най-опростен, но в същото време да осигурява адекватно описание на анализирания процес.

Класификация на математическите модели, използвани в проектирането технически системи, показано на фигурата.

Фигура 1. - Класификация на математическите модели:

Според формата на представяне на математическите модели се разграничават инвариантни, алгоритмични, аналитични и графични модели на обекта на проектиране.

В инвариантна форма математическият модел се представя чрез система от уравнения (диференциални, алгебрични), без оглед на метода за решаване на тези уравнения.

В алгоритмичната форма отношенията на модела се свързват с избрания метод за числено решение и се записват като алгоритъм за последователност от изчисления.

Аналитичният модел е изрична зависимост на желаните променливи от дадените стойности (обикновено зависимостта на изходните параметри на обекта от вътрешни и външни параметри).

Графичният (схемен) модел се представя под формата на графики, еквивалентни схеми, динамични модели, диаграми и др.

Сред алгоритмичните модели се разграничават симулационни модели, предназначени да симулират физическите и информационните процеси, протичащи в даден обект, когато той функционира под въздействието на различни фактори на околната среда.

Структурните модели показват само структурата на обектите и се използват при решаване на проблеми на структурния синтез. Параметрите на структурните модели се наричат ​​морфологични променливи.

Функционалните модели описват процесите на функциониране на техническите обекти и имат формата на системи от уравнения. Те отчитат структурните и функционалните свойства както на обекта, така и позволяват решаването на проблеми както на параметричния, така и на структурния синтез.

Според методите за получаване на функционални математически модели се разделят на теоретични и експериментални.

Теоретичните модели се получават на базата на описание на физическите процеси на функциониране на обекта, а експерименталните модели - на базата на изследване на поведението на обекта във външната среда, разглеждайки го като кибернетична черна кутия. Експериментите могат да бъдат физически (върху технически обект или негов физически модел) или изчислителни (върху теоретичен математически модел).

При конструирането на теоретични модели се използват физически и формални подходи.

Физическият подход се свежда до прякото прилагане на физически закони за описание на обекти, например законите на Нютон, Хук, Кирхоф, Фурие и др.

Формалният подход използва общи математически принципи и се използва при изграждането както на теоретични, така и на експериментални модели.

Функционалните математически модели могат да бъдат линейни и нелинейни.

Линейните модели съдържат само линейни функциифазови променливи и техните производни. Математическите модели на такива обекти включват нелинейни функции на фазови променливи и (или) техните производни и са нелинейни.

Ако симулацията отчита инерционните свойства на техническия обект и (или) промяната във времето на параметрите на обекта или околната среда, тогава моделът се нарича динамичен. В противен случай моделът е статичен.

Повечето процедури за проектиране се извършват върху детерминирани модели. Детерминистичният математически модел се характеризира с едно към едно съответствие между външно влияние върху динамична система и нейния отговор на това влияние. В изчислителния експеримент при проектирането обикновено се задават някои стандартни типични ефекти върху обект: стъпаловидни, импулсни, хармонични, частично линейни, експоненциални и др.

Те се наричат ​​тестови влияния.

Концепцията за модел и симулация.

Модел в широк смисъл- това е всеки образ, аналог на мисловен или установен образ, описание, диаграма, чертеж, карта и др. на всеки обем, процес или явление, използвани като негов заместител или представител. Самият обект, процес или явление се нарича оригинал на този модел.

Моделиране - това е изучаването на всеки обект или система от обекти чрез изграждане и изучаване на техните модели. Това е използването на модели за определяне или усъвършенстване на характеристиките и рационализиране на начините за конструиране на новопостроени обекти.

Всеки метод се основава на идеята за моделиране научно изследване, в същото време в теоретичните методи се използват различни видове знакови, абстрактни модели, в експерименталните - предметни модели.

В изследването сложно реално явление се заменя с някакво опростено копие или схема, понякога такова копие служи само за запомняне и разпознаване на желаното явление при следваща среща. Понякога изградената схема отразява някои съществени характеристики, ви позволява да разберете механизма на явлението, позволява да се предвиди неговата промяна. Различни модели могат да съответстват на едно и също явление.

Задачата на изследователя е да предвиди характера на явлението и хода на процеса.

Понякога се случва даден обект да е наличен, но експериментите с него са скъпи или водят до сериозни екологични последици. Познанията за такива процеси се получават с помощта на модели.

Важен момент е, че самото естество на науката включва изучаването не на едно специфично явление, а на широк клас свързани явления. Това предполага необходимостта от формулиране на някои общи категорични твърдения, които се наричат ​​закони. Естествено, при такава формулировка се пренебрегват много детайли. За да идентифицират по-ясно модела, те умишлено отиват към огрубяване, идеализиране, схематичност, тоест изучават не самото явление, а повече или по-малко точно негово копие или модел. Всички закони са закони за моделите и следователно не е изненадващо, че с течение на времето някои научни теории се оказват неизползваеми. Това не води до колапс на науката, тъй като един модел е заменен с друг. по-модерен.

Специална роля в науката играят математическите модели, строителният материал и инструментите на тези модели - математическите понятия. Те са се натрупвали и подобрявали в продължение на хиляди години. Съвременната математика предоставя изключително мощни и универсални средства за изследване. Почти всяко понятие в математиката, всеки математически обект, като се започне от понятието за число, е математически модел. При конструирането на математически модел на обект или явление, което се изследва, се разграничават онези негови характеристики, характеристики и детайли, които, от една страна, съдържат повече или по-малко пълна информация за обекта, а от друга страна, позволяват математически формализиране. Математическата формализация означава, че характеристиките и детайлите на даден обект могат да бъдат свързани с подходящи адекватни математически понятия: числа, функции, матрици и т.н. След това установените и предполагаеми връзки и отношения в изследвания обект между отделните му детайли и съставни частимогат да бъдат написани с помощта на математически отношения: равенства, неравенства, уравнения. Резултатът е математическо описание на процеса или явлението, което се изследва, тоест неговият математически модел.

Изследването на математическия модел винаги е свързано с някои правила за действие върху изследваните обекти. Тези правила отразяват връзките между причини и следствия.

Изграждането на математически модел е централен етап в изследването или проектирането на всяка система. Целият последващ анализ на обекта зависи от качеството на модела. Изграждането на модел не е формална процедура. Тя силно зависи от изследователя, неговия опит и вкус, винаги се опира на определен експериментален материал. Моделът трябва да е достатъчно точен, адекватен и удобен за използване.

Математическо моделиране.

Класификация на математическите модели.

Математическите модели могат да бъдатопределен И стохастичен .

Детерминистичен модел и - това са модели, при които се установява еднозначно съответствие между променливите, описващи обект или явление.

Този подход се основава на познаването на механизма на функциониране на обектите. Обектът, който се моделира, често е сложен и дешифрирането на механизма му може да бъде много трудоемко и отнема много време. В този случай те действат по следния начин: провеждат се експерименти върху оригинала, резултатите се обработват и без да се задълбочават в механизма и теорията на моделирания обект, използвайки методите на математическата статистика и теорията на вероятностите, те установяват връзки между променливите, описващи обекта. В този случай вземетестохастичен модел . IN стохастичен модел, връзката между променливите е случайна, понякога се случва фундаментално. Въздействието на огромен брой фактори, тяхната комбинация води до произволен набор от променливи, описващи обект или явление. По естеството на режимите моделът естатистически И динамичен.

Статистическимоделвключва описание на връзките между основните променливи на симулирания обект в стационарно състояние, без да се отчита промяната на параметрите във времето.

IN динамиченмоделиописва връзката между основните променливи на симулирания обект при прехода от един режим към друг.

Моделите са отделенИ непрекъснато, и смесен Тип. IN непрекъснато променливите приемат стойности от определен интервал, вотделенпроменливите приемат изолирани стойности.

Линейни модели- всички функции и отношения, които описват модела, са линейно зависими от променливите ине линеенв противен случай.

Математическо моделиране.

Изисквания , представени към моделите.

1. Универсалност- характеризира пълнотата на показване по модела на изследваните свойства на реалния обект.

1. Адекватност - способността да се отразяват желаните свойства на обекта с грешка не по-висока от определената.
2. Точност - оценява се чрез степента на съвпадение на стойностите на характеристиките на реален обект и стойностите на тези характеристики, получени с помощта на модели.
3. икономика - определя се от разходите за ресурси на паметта на компютъра и времето за нейното внедряване и експлоатация.

Математическо моделиране.

Основните етапи на моделирането.

1. Постановка на проблема.

Определяне на целта на анализа и начините за нейното постигане и разработване на общ подход към изследвания проблем. На този етап е необходимо дълбоко разбиране на същността на задачата. Понякога е не по-малко трудно да поставите правилно задача, отколкото да я решите. Постановката не е формален процес, няма общи правила.

2. Изучаването на теоретичните основи и събирането на информация за обекта на оригинала.

На този етап се избира или разработва подходяща теория. Ако не е налице, се установяват причинно-следствени връзки между променливите, описващи обекта. Определят се входните и изходните данни, правят се опростяващи допускания.

3. Формализация.

Състои се в избора на система от символи и използването им за записване на връзката между компонентите на обекта под формата на математически изрази. Създава се клас от задачи, към които може да се припише полученият математически модел на обекта. Стойностите на някои параметри на този етап може все още да не са посочени.

4. Избор на метод за решение.

На този етап се задават окончателните параметри на моделите, като се вземат предвид условията за експлоатация на обекта. За получената математическа задача се избира метод за решение или се разработва специален метод. При избора на метод се вземат предвид знанията на потребителя, неговите предпочитания, както и предпочитанията на разработчика.

5. Внедряване на модела.

След като е разработен алгоритъм, се пише програма, която се отстранява, тества и се получава решение на желания проблем.

6. Анализ на получената информация.

Сравняват се полученото и очакваното решение, контролира се грешката на моделиране.

7. Проверка на адекватността на реален обект.

Сравняват се резултатите, получени от моделаили с наличната информация за обекта, или се провежда експеримент и неговите резултати се сравняват с изчислените.

Процесът на моделиране е итеративен. При незадоволителни резултати от етапите 6. или 7. се извършва връщане към един от ранните етапи, което може да доведе до разработване на неуспешен модел. Този етап и всички следващи етапи се усъвършенстват и такова усъвършенстване на модела се извършва до получаване на приемливи резултати.

Математическият модел е приблизително описание на всеки клас явления или обекти от реалния свят на езика на математиката. Основната цел на моделирането е да изследва тези обекти и да предвиди резултатите от бъдещи наблюдения. Моделирането обаче е и метод за опознаване на околния свят, което позволява да се контролира.

Математическото моделиране и свързаният с него компютърен експеримент са незаменими в случаите, когато пълномащабен експеримент е невъзможен или труден по една или друга причина. Например, невъзможно е да се постави пълномащабен експеримент в историята, за да се провери „какво би станало, ако...“ Невъзможно е да се провери верността на тази или онази космологична теория. По принцип е възможно, но едва ли разумно, да се постави експеримент върху разпространението на някаква болест, като например чумата, или да се проведе ядрен взривда проучим неговите последици. Всичко това обаче може да се направи на компютър, като предварително са изградени математически модели на изследваните явления.

1.1.2 2. Основни етапи на математическото моделиране

1) Изграждане на модел. На този етап се конкретизира някакъв "нематематически" обект - природно явление, конструкция, стопански план, производствен процес и т.н. В този случай, като правило, ясното описание на ситуацията е трудно.Първо се идентифицират основните характеристики на явлението и връзката между тях на качествено ниво. След това намерените качествени зависимости се формулират на езика на математиката, тоест се изгражда математически модел. Това е най-трудната част от моделирането.

2) Решаване на математическия проблем, до който води моделът. На този етап се обръща голямо внимание на разработването на алгоритми и числени методи за компютърно решаване на задачата, с помощта на които резултатът може да бъде намерен с необходимата точност и в рамките на приемливо време.

3) Интерпретация на получените следствия от математическия модел.Следствията, получени от модела на езика на математиката, се интерпретират на езика, приет в тази област.

4) Проверка на адекватността на модела.На този етап се установява дали резултатите от експеримента съвпадат с теоретичните следствия от модела с определена точност.

5) Модификация на модела.На този етап или моделът се усложнява, за да е по-адекватен на реалността, или се опростява, за да се постигне практически приемливо решение.

1.1.3 3. Класификация на модела

Моделите могат да бъдат класифицирани по различни критерии. Например според естеството на решаваните проблеми моделите могат да бъдат разделени на функционални и структурни. В първия случай всички величини, характеризиращи дадено явление или обект, се изразяват количествено. В същото време някои от тях се разглеждат като независими променливи, докато други се разглеждат като функции на тези величини. Математическият модел обикновено е система от уравнения различен тип(диференциални, алгебрични и др.), установяващи количествени зависимости между разглежданите величини. Във втория случай моделът характеризира структурата на сложен обект, състоящ се от отделни части, между които има определени връзки. Обикновено тези връзки не могат да бъдат количествено измерими. За изграждането на такива модели е удобно да се използва теория на графите. Графът е математически обект, който представлява набор от точки (върхове) на равнина или в пространството, някои от които са свързани с линии (ръбове).

Според характера на изходните данни и резултатите от прогнозата моделите могат да бъдат разделени на детерминистични и вероятностно-статистически. Моделите от първия тип дават категорични, недвусмислени прогнози. Моделите от втория тип се основават на статистическа информация, а прогнозите, получени с тяхна помощ, са от вероятностен характер.

МАТЕМАТИЧЕСКО МОДЕЛИРАНЕ И ОБЩА КОМПЮТРИЗАЦИЯ ИЛИ СИМУЛАЦИОННИ МОДЕЛИ

Сега, когато в страната се извършва почти всеобща компютъризация, могат да се чуят изявления от специалисти от различни професии: "Нека въведем компютър у нас, тогава всички задачи ще бъдат решени веднага." Тази гледна точка е напълно погрешна, самите компютри не могат да направят нищо без математически модели на определени процеси и човек може само да мечтае за универсална компютъризация.

В подкрепа на гореизложеното ще се опитаме да обосновем необходимостта от моделиране, включително математическо моделиране, да разкрием предимствата му в познаването и трансформацията на външния свят от човек, да идентифицираме съществуващите недостатъци и да преминем ... към симулационно моделиране, т.е. моделиране с помощта на компютри. Но всичко е наред.

Първо, нека да отговорим на въпроса: какво е модел?

Моделът е материален или мислено представен обект, който в процеса на познание (изучаване) замества оригинала, запазвайки някои типични свойства, които са важни за това изследване.

Добре изграденият модел е по-достъпен за изследване от реалния обект. Например, експериментите с икономиката на страната за образователни цели са неприемливи, тук не може без модел.

Обобщавайки казаното, можем да отговорим на въпроса: за какво са моделите? За да

• разбират как работи даден обект (неговата структура, свойства, закони на развитие, взаимодействие с външния свят).
• научете се да управлявате обект (процес) и да определяте най-добрите стратегии
• прогнозиране на последствията от въздействието върху обекта.

Какво е положителното във всеки модел? Тя ви позволява да получите нови знания за обекта, но, за съжаление, не е пълна в една или друга степен.

Моделформулиран на езика на математиката с помощта на математически методи се нарича математически модел.

Отправната точка за изграждането му обикновено е някаква задача, например икономическа. Широко разпространени, както описателни, така и оптимизационни математически, характеризиращи различни икономически процесии събития като:

• разпределение на ресурсите
• рационално рязане
• транспорт
• консолидация на предприятия
• мрежово планиране.

Как се изгражда математически модел?

• Първо се формулират целта и предметът на изследването.
• Второ, подчертават се най-важните характеристики, съответстващи на тази цел.
• Трето, вербално се описват връзките между елементите на модела.
• Освен това връзката се формализира.
• И изчислението се извършва според математическия модел и анализа на полученото решение.

С помощта на този алгоритъм можете да решите всяка задача за оптимизация, включително многокритериална, т.е. такава, в която се преследват не една, а няколко цели, включително и противоречиви.

Да вземем пример. Теория на масовото обслужване – проблемът на масовото обслужване. Трябва да балансирате два фактора - разходите за поддръжка на обслужващи устройства и разходите за оставане на линия. След изграждане на формално описание на модела се правят изчисления с помощта на аналитични и изчислителни методи. Ако моделът е добър, тогава отговорите, намерени с негова помощ, са адекватни на системата за моделиране; ако е лош, тогава той трябва да бъде подобрен и заменен. Критерият за адекватност е практиката.

Моделите за оптимизация, включително многокритериалните, имат обща собственост– известна е цел (или няколко цели), за постигането на която често трябва да се работи със сложни системи, където не става дума толкова за решаване на оптимизационни проблеми, колкото за изследване и прогнозиране на състояния в зависимост от избраните стратегии за управление. И тук се сблъскваме с трудности при изпълнението на предишния план. Те са както следва:

• сложната система съдържа много връзки между елементите
• реалната система се влияе от случайни фактори, невъзможно е те да бъдат отчетени аналитично
• възможността за сравняване на оригинала с модела съществува само в началото и след прилагането на математическия апарат, т.к. междинните резултати може да нямат аналози в реална система.

Във връзка с изброените трудности, които възникват при изучаването на сложни системи, практиката изисква по-гъвкав метод и се появява - симулационно моделиране "Simujation modeling".

Обикновено под симулационен модел се разбира набор от компютърни програми, които описват функционирането на отделни блокове от системи и правилата за взаимодействие между тях. Използване случайни променливиналага провеждането на многократни експерименти със симулационна система (на компютър) и последващ статистически анализ на получените резултати. Много често срещан пример за използване на симулационни модели е решаването на проблем с опашката по метода МОНТЕ КАРЛО.

По този начин работата със симулационната система е експеримент, извършван на компютър. Какви са предимствата?

– По-голяма близост до реалната система в сравнение с математическите модели;

– Блоковият принцип дава възможност да се провери всеки блок преди да бъде включен в цялостната система;

– Използване на зависимости от по-сложен характер, които не се описват с прости математически зависимости.

Изброените предимства определят и недостатъците

– изграждането на симулационен модел е по-дълго, по-трудно и по-скъпо;

– за работа със симулационната система трябва да разполагате с подходящ за класа компютър;

– взаимодействието между потребителя и симулационния модел (интерфейс) не трябва да бъде твърде сложно, удобно и добре познато;

- изграждането на симулационен модел изисква по-задълбочено изследване на реалния процес, отколкото математическото моделиране.

Възниква въпросът: може ли симулационното моделиране да замени методите за оптимизация? Не, но удобно ги допълва. Симулационният модел е програма, която изпълнява някакъв алгоритъм, за оптимизиране на управлението на който първо се решава оптимизационен проблем.

Така че нито компютър, нито математически модел, нито алгоритъм за отделното му изучаване могат да решат един доста сложен проблем. Но заедно те представляват силата, която ви позволява да знаете Светът, управлявайте го в интерес на човека.

1.2 Класификация на модела

1.2.1 Класификация, като се вземе предвид факторът време и зоната на използване (Makarova N.A.) Статичен модел -това е като еднократна част от информацията за обекта (резултат от едно проучване) Динамичен модел-позволява вижте промените в обекта във времето (карта в клиниката) Моделите могат да бъдат класифицирани според към коя област на знанието принадлежат(биологичен, исторически, екологични и др.) Връщане към началото

1.2.2 Класификация по област на използване (Makarova N.A.) обучение-визуаленпомагала, тренажори , о тръшканепрограми опитен модели-умалени копия (кола в аеродинамичен тунел) Научно-техническисинхрофазотрон, стенд за тестване на електронно оборудване Игра-икономически, спорт, бизнес игри симулация-Нете просто отразяват реалността, но я имитират (лекарствата се тестват върху мишки, провеждат се експерименти в училищата и т.н.). Този метод на моделиране се нарича проба и грешка Връщане към началото

1.2.3 Класификация според метода на представяне Макарова Н.А.) Материал модели- в противен случай може да се нарече предмет. Те възприемат геометрични и физични свойстваоригинални и винаги имат реално въплъщение Информационен модели-не се допускат докоснете или вижте. Те се основават на информация. .Информациямоделът е набор от информация, която характеризира свойствата и състоянията на обект, процес, явление, както и връзката с външния свят. Словесен модел -информационен модел в мислена или разговорна форма. Емблематичен моделно-информационен модел, изразен със знаци , т.е.. с помощта на всеки формален език. Компютърен модел - м Модел, реализиран чрез софтуерна среда.

1.2.4 Класификация на моделите, дадена в книгата "Земята на информатиката" (Gein A.G.)) „...ето една на пръв поглед проста задача: колко време ще отнеме прекосяването на пустинята Каракум? Отговор, разбира сезависи от начина на пътуване. Ако пътувайте нататъккамили, тогава ще се изисква един срок, друг, ако пътувате с кола, трети, ако летите със самолет. И най-важното, за планиране на пътуване са необходими различни модели. В първия случай необходимият модел може да се намери в мемоарите на известни изследователи на пустинята: в края на краищата не може да се мине без информация за оазиси и камилски пътеки. Във втория случай, незаменима информация, съдържаща се в атласа на пътищата. В третия - можете да използвате разписанието на полетите. Тези три модела се различават - мемоари, атлас и разписание и естеството на представяне на информацията. В първия случай моделът се представя чрез словесно описание на информацията (описателен модел), във втория - като снимка от природата (естествен модел), в третата - таблица, съдържаща символи: час на заминаване и пристигане, ден от седмицата, цена на билета (така наречения знаков модел)Това разделение обаче е много условно - карти и диаграми (елементи на пълномащабен модел) могат да бъдат намерени в мемоари, има символи на картите (елементи на знаков модел), декодиране на символи (елементи на описателен модел ) е дадено в графика. Така че тази класификация на моделите... според нас е непродуктивна" Според мен този фрагмент демонстрира дескриптивността (прекрасен език и стил на представяне), характерна за всички книги на Гейн и, така да се каже, Сократовия стил на преподаване (Всички смятат, че това е така. Напълно съм съгласен с вас, но ако се вгледате внимателно, тогава ...).В такива книги е доста трудно да се намери ясна система от определения (не е предвидена от автора). В учебника под редакцията на N.A. Макарова демонстрира различен подход – дефинициите на понятията са ясно разграничени и някак статични.

1.2.5 Класификация на моделите, дадена в ръководството на A.I. Bochkin Има много начини за класифициране .Представямесамо няколко от по-известните фондации и признаци: дискретностИ непрекъснатост, матрицаи скаларни модели, статични и динамични модели, аналитични и информационни модели, предметни и образно-знакови модели, мащабни и немащабни... Всеки знак дава определеназнания за свойствата както на модела, така и на моделираната реалност. Знакът може да служи като намек за начина, по който симулацията е била извършена или трябва да се направи. Дискретност и приемственост дискретност - характерна особеност на компютърните модели .След всичкоедин компютър може да бъде в краен, макар и много голям брой състояния. Следователно, дори ако обектът е непрекъснат (време), в модела той ще се променя на скокове. Би могло да се обмисли приемственостзнак за модели от некомпютърен тип. Случайност и детерминизъм . Несигурност, злополукапървоначално противопоставени на компютърния свят: Алгоритъмът, стартиран отново, трябва да се повтори и да даде същите резултати. Но за имитация случайни процесиизползване на генератори на псевдослучайни числа. Въвеждането на произволност в детерминистични проблеми води до мощни и интересни модели (изчисляване на произволна зона на хвърляне). Матрица - скаларни. Наличие на параметри матрицамодел показва неговата по-голяма сложност и, вероятно, точност в сравнение с скаларен. Например, ако не отделим всички възрастови групи в населението на страната, като вземем предвид изменението му като цяло, получаваме скаларен модел (например модела на Малтус), ако отделим матрица (пол и възраст) модел. Това беше матричният модел, който направи възможно обяснението на колебанията в раждаемостта след войната. статичен динамизъм. Тези свойства на модела обикновено са предопределени от свойствата на реалния обект. Тук няма свобода на избора. Просто статиченмоделът може да бъде стъпка към динамичен, или някои от променливите на модела могат да се считат за непроменени за момента. Например спътник се движи около Земята, движението му се влияе от Луната. Ако считаме, че Луната е неподвижна по време на въртенето на спътника, получаваме по-прост модел. Аналитични модели. Описание на процесите аналитично, формули и уравнения. Но когато се опитвате да изградите графика, е по-удобно да имате таблици със стойности на функции и аргументи. симулационни модели. симулациямоделите се появиха много отдавна под формата на мащабни копия на кораби, мостове и т.н. се появиха много отдавна, но във връзка с компютрите се разглеждат отскоро. Знаейки колко свързанимоделирайки елементите аналитично и логически, е по-лесно не да се решава система от определени зависимости и уравнения, а да се картографира реалната система в паметта на компютъра, като се вземат предвид връзките между елементите на паметта. Информационни модели. ИнформационенПрието е моделите да се противопоставят на математическите, по-точно на алгоритмичните. Съотношението данни/алгоритъм е важно тук. Ако има повече данни или те са по-важни, имаме информационен модел, в противен случай - математически. Предметни модели. Това е преди всичко детски модел - играчка. Образно-знакови модели. Това е преди всичко модел в човешкия ум: преносен, ако преобладават графичните изображения и емблематичен, ако има повече от думи и/или числа. Образно-знаковите модели се изграждат на компютър. умалени модели. ДА СЕ мащабенмодели са тези на предмета или образни модели, които повтарят формата на обекта (карта).

Компютрите твърдо навлязоха в живота ни и практически няма такава област на човешката дейност, където компютрите да не се използват. Сега компютрите се използват широко в процеса на създаване и изследване на нови машини, нови технологични процесии ги търси най-добрите опции; при решаване на икономически проблеми, при решаване на проблеми на планирането и управлението на производството на различни нива. Създаването на големи обекти в ракетостроенето, самолетостроенето, корабостроенето, както и проектирането на язовири, мостове и др., по принцип е невъзможно без използването на компютри.

Преди всичко за използването на компютри при решаване на приложни задачи приложна задачатрябва да бъдат "преведени" на формален математически език, т.е. за реален обект, процес или система, неговата математически модел.

Думата "Модел" идва от латинския modus (копие, изображение, контур). Моделирането е замяната на някакъв обект A с друг обект B. Замененият обект A се нарича оригинал или моделиращ обект, а заместващият B се нарича модел. С други думи, моделът е обект-заместител на оригиналния обект, осигуряващ изследване на някои свойства на оригинала.

Целта на симулациятаса получаване, обработка, представяне и използване на информация за обекти, които взаимодействат помежду си и външна среда; и моделът тук действа като средство за познаване на свойствата и моделите на поведение на обекта.

Моделирането се използва широко в различни области на човешката дейност, особено в областите на проектиране и управление, където процесите на вземане на ефективни решения въз основа на получената информация са специални.

Моделът винаги се изгражда с конкретна цел, която влияе върху това кои свойства на обективно явление са значими и кои не. Моделът е, така да се каже, проекция на обективната реалност от определена гледна точка. Понякога, в зависимост от целите, можете да получите редица проекции на обективната реалност, които влизат в конфликт. Това е характерно, като правило, за сложни системи, в които всяка проекция отделя това, което е съществено за определена цел от набор от несъществени.

Теорията на моделирането е клон на науката, който изучава начини за изследване на свойствата на оригинални обекти въз основа на замяната им с други моделни обекти. Теорията на подобието е в основата на теорията на моделирането. При моделирането няма абсолютно сходство и се стреми само моделът да отразява изследваната страна на функционирането на обекта достатъчно добре. Абсолютно сходство може да има само когато един обект се замени с друг напълно същият.

Всички модели могат да бъдат разделени на два класа:

1. истински,
2. идеален.

От своя страна реалните модели могат да бъдат разделени на:

1. естествен,
2. физически,
3. математически.

Идеални моделимогат да бъдат разделени на:

1. визуален,
2. емблематичен,
3. математически.

Реалните пълномащабни модели са реални обекти, процеси и системи, върху които се извършват научни, технически и промишлени експерименти.

Реални физически модели- това са модели, модели, които възпроизвеждат физическите свойства на оригиналите (кинематични, динамични, хидравлични, топлинни, електрически, светлинни модели).

Реално математическите са аналогови, структурни, геометрични, графични, цифрови и кибернетични модели.

Идеалните визуални модели са диаграми, карти, чертежи, графики, графики, аналози, структурни и геометрични модели.

Идеалните знакови модели са символи, азбука, езици за програмиране, подредена нотация, топологична нотация, мрежово представяне.

Идеален математически модели- това са аналитични, функционални, симулационни, комбинирани модели.

В горната класификация някои модели имат двойна интерпретация (например аналогова). Всички модели, с изключение на пълномащабните, могат да бъдат комбинирани в един клас умствени модели, тъй като те са продукт на абстрактното мислене на човека.

Нека се спрем на един от най-универсалните видове моделиране - математическото, което поставя в съответствие със симулирания физически процес система от математически отношения, чието решение ви позволява да получите отговор на въпроса за поведението на обект без създаване на физически модел, което често се оказва скъпо и неефективно.

Математическо моделиране е средство за изучаване на реален обект, процес или система чрез замяната им математически модел, по-удобен за експериментално изследване с помощта на компютър.

Математически моделе приблизително представяне на реални обекти, процеси или системи, изразени в математически термини и запазващи основните характеристики на оригинала. Математически моделив количествена форма, с помощта на логически и математически конструкции, те описват основните свойства на обект, процес или система, неговите параметри, вътрешни и външни връзки.

Общо взето, модел е отражение на реален обект. Такова отражение на обект може да бъде представено чрез скица, диаграма, снимка, графика, таблица и др.

Ще разгледаме само математически модели на различни икономически процеси, които са описани с математически символи и решени с помощта на подходящи математически методи.

В икономиката се използват предимно математически модели, които описват изследваното явление с помощта на математически апарат (функции, уравнения, неравенства, техните системи).

В теорията на оптималните решения главната ролявъзложени на математическо моделиране. За изграждането на математически модел е необходимо да имате стриктно разбиране за целта на функциониране на изследваната система и да имате информация за ограниченията, които определят обхвата на допустимите стойности на контролираните променливи. Както целта, така и ограниченията трябва да бъдат представени като функции на контролираните променливи. Анализът на модела трябва да доведе до определяне на най-доброто управляващо въздействие върху обекта на управление, когато всички установени ограничения са изпълнени.

Моделът на управляван обект е изграден с цел да се приложи някакво изчислително устройство за оптимизиране на функционирането на този обект (максимално възможно повишаване на ефективността на неговата работа). Разработването на модел почти винаги е свързано с опит за постигане на две противоречащи си цели: да се отразят възможно най-точно реалните процеси и моделът да бъде възможно най-опростен, така че да е лесен за работа.

За прилагане на количествени методи за изследване на икономическите процеси е необходимо изграждането на математически модел на обекта на оптимизация. При изграждането на модел обектът обикновено се опростява, схематизира и схемата на обекта се описва с помощта на един или друг математически апарат.

Математически модел- това е приблизително описание на всеки обект или клас явления от външния свят, изразено с помощта на математически апарат и математически символи.

Математическите модели имат редица предимства пред другите видове модели. Най-важните от тях включват следното:

широк спектър от приложения,

ниска цена за създаване на модел в сравнение с други видове,

скоростта на получаване на резултати от изследвания при използване на електронни компютри,

възможността за експериментиране с изучавания икономически процес,

· възможността за проверка на правилността на поставените предпоставки и условия на поставената икономическа задача.

Математическият модел на всяка икономическа задача включва целева функция, система от ограничения и критерий за оптималност.

Целевата функция свързва различните стойности на модела една с друга. Обикновено целта е икономически показател(печалба, себестойност, доходност и др.). Следователно целевата функция понякога се нарича икономически критерий.

целева функция- характеристика на обекта от условието за по-нататъшно търсене на критерия за оптималност, математически свързващ един или друг фактор на обекта на изследване.

При решаване на оптимизационни задачи е необходимо да се определи критерият за оптималност, т.е. признак, по който се извършва сравнителна оценка на алтернативите и се избира най-добрият от тях от гледна точка на целта на оптимизацията.

Критерий за оптималност- Това е показател, който като правило има икономическо значение, което служи за формализиране на конкретната цел за управление на обекта на изследване и се изразява с помощта на целевата функция.

Критерият за оптималност на операцията изпълнява толкова важна функция като сравнителна оценка на избраните стратегии (решения) преди тяхното прилагане и на последния етап от операцията. Тя ви позволява да анализирате резултатите и да направите заключение коя от стратегиите би била оптимална.

Извикват се стойностите, които се променят по време на оптимизацията и се включват в математическия модел на обекта за оптимизация параметри за оптимизация, а съотношенията, които определят границите за възможната промяна на тези параметри, са ограничения.

Ограничения- това са съотношения, които стесняват областта на възможните, приемливи или допустими решения и фиксират основните външни и вътрешни свойства на обекта. Тези ограничения могат да бъдат дадени под формата на равенства или неравенства (или техните системи).

Решениематематически модел на икономическия проблем, или приемлив план, е набор от неизвестни стойности, който удовлетворява неговата система от ограничения. Моделът може да има много решения или изпълними планове, сред които е необходимо да се намери единственото, което удовлетворява системата от ограничения и целевата функция.

Извиква се изпълним план, който удовлетворява целевата функция оптимален .

Ако проблемният модел има набор от оптимални планове, тогава за всеки от тях стойността на целевата функция е една и съща.

По този начин, за да се направи оптимално решение на всеки икономически проблем, е необходимо да се изгради негов математически модел, който по структура включва система от ограничения, целева функция, критерий за оптималност и решение.

Процесът на изграждане на математически модел се нарича математическо моделиране .

Изготвянето на модел на обект изисква разбиране на същността на описания феномен и познаване на математическия апарат.

Моделирането и изграждането на математически модел на икономически обект позволяват да се намали икономическият анализ на производствените процеси до математически анализ и да се вземат ефективни (оптимални) решения.

При конструирането на математически модел е важно да се избягва, от една страна, прекомерното опростяване на икономическо явление или процес (тъй като прекомерното опростяване не отразява реалността), от друга страна, прекомерното му детайлизиране и усложняване (тъй като това води до Голям бройпроменливи и усложнява изграждането на модела).

Основните елементи на модела:

1) Изходни данни:

решен,

случаен.

2) Задължителни променливи:

непрекъснато,

отделен.

3) Зависимости:

линейно (променливите са включени в първа степен и няма продукт),

нелинейни (променливите са включени в степени по-високи от първите или има произведение на променливите).

Комбинацията от различни елементи на модела води до различни класове оптимизационни проблеми (тема 2), които изискват различни методи за решаване.

При решаването на конкретен икономически проблем използването на методи за оптимални решения включва:

изграждане на математически модели за проблеми при вземане на решения в сложни ситуации или при условия на несигурност,

Изследване на връзките, които впоследствие определят вземането на решения, и установяване на критерии за оптималност, които позволяват да се оцени предимството на един или друг вариант на действие.

Към основните методивземането на най-добрите решения включва:

1) Методи за математическо програмиране:

линейно програмиране,

нелинейно програмиране

целочислено програмиране,

динамично програмиране,

изпъкнало програмиране,

геометрично програмиране,

параметрично програмиране

стохастично програмиране,

евристично програмиране.

2) Методи на теорията на масовото обслужване.

3) Методи на теорията на игрите.

4) Класически методи за оптимизация (метод на Лагранж, градиентен метод).

5) Методи за планиране и управление на мрежата.