Ας δοθεί ένας πίνακας τιμών συναρτήσεων y iσε κόμβους Χ 0 < х 1 < ... < х п .Δείχνω h i = x i – x i -1 , Εγώ= 1, 2, ... , Π.

Spline– μια ομαλή καμπύλη που διέρχεται από δεδομένα σημεία ( x i, y i), i = 0, 1, ... , Π. Παρεμβολή spline είναι ότι σε κάθε τμήμα [ x i -1 , x i]χρησιμοποιείται ένα πολυώνυμο ορισμένου βαθμού. Το πολυώνυμο τρίτου βαθμού χρησιμοποιείται συχνότερα, λιγότερο συχνά το δεύτερο ή τέταρτο. Στην περίπτωση αυτή, για τον προσδιορισμό των συντελεστών των πολυωνύμων, χρησιμοποιούνται οι συνθήκες συνέχειας των παραγώγων στους κόμβους παρεμβολής.

Παρεμβολή με κυβικές σφήνεςαντιπροσωπεύει τοπική παρεμβολή, όταν σε κάθε τμήμα [ x i -1 , x i], i = 1, 2, ... , Πχρησιμοποιείται μια κυβική καμπύλη που ικανοποιεί ορισμένες συνθήκες ομαλότητας, δηλαδή τη συνέχεια της ίδιας της συνάρτησης και της πρώτης και δεύτερης παραγώγου της σε κομβικά σημεία. Η χρήση της κυβικής συνάρτησης οφείλεται στις ακόλουθες σκέψεις. Αν υποθέσουμε ότι η καμπύλη παρεμβολής αντιστοιχεί σε έναν ελαστικό χάρακα σταθερό σε σημεία ( x i, y i), τότε από την πορεία της αντοχής των υλικών είναι γνωστό ότι αυτή η καμπύλη ορίζεται ως λύση διαφορική εξίσωση φά(IV) ( Χ) = 0 στο διάστημα [ x i -1 , x i](για απλότητα παρουσίασης, δεν εξετάζουμε θέματα που σχετίζονται με φυσικές διαστάσεις). Η γενική λύση σε μια τέτοια εξίσωση είναι ένα πολυώνυμο βαθμού 3 με αυθαίρετους συντελεστές, το οποίο είναι βολικά γραμμένο με τη μορφή
S i(Χ) = και εγώ + β i(Χ - x i -1) +με το i(Χ - x i -1) 2 + d i(Χ - x i -1) 3 ,
x i-1 £ Χ £ x i, i = 1, 2, ... , Π.(4.32)

Συντελεστές συνάρτησης S i(Χ) καθορίζονται από τις συνθήκες συνέχειας της συνάρτησης και της πρώτης και δεύτερης παραγώγου της σε εσωτερικούς κόμβους x i,Εγώ= 1, 2,..., Π - 1.

Από τους τύπους (4.32) στο Χ = x i-1 παίρνουμε

S i(x i- 1) = y i -1 = αι, i = 1, 2,..., Π,(4.33)

και πότε Χ = x i

S i(x i) = και εγώ + b i h i +με το i h i 2 + d i h i 3 ,(4.34)

Εγώ= 1, 2,..., n.

Οι συνθήκες συνέχειας για τη συνάρτηση παρεμβολής γράφονται ως S i(x i) = S i -1 (x i), Εγώ= 1, 2, ... , n- 1 και από τις προϋποθέσεις (4.33) και (4.34) προκύπτει ότι είναι ικανοποιητικές.

Ας βρούμε τις παραγώγους της συνάρτησης S i(Χ):

S" i(Χ) =b i + 2με το i(Χ - x i -1) + 3di(Χ – x i -1) 2 ,

S" i(Χ) = 2c i + 6d i(x - x i -1).

Στο Χ = x i-1, έχουμε S" i(x i -1) = β i, ΜΙΚΡΟ" (x i -1) = 2με το i, και πότε Χ = x iπαίρνουμε

S" i(x i) = β i+ 2με το i h i+ 3dih i 2 , ΜΙΚΡΟ" (x i) = 2με το i+ 6d i h i.

Οι προϋποθέσεις για τη συνέχεια των παραγώγων οδηγούν στις εξισώσεις

S" i(x i) =S" i +1 (x i) Þ β i+ 2με το i h i+ 3dih i 2 = β i +1 ,

Εγώ= l, 2,... , Π - 1. (4.35)

S" i (x i) = S" i +1 (x i) Þ 2 με το i+ 6d i h i= 2γ i +1 ,

Εγώ= l, 2,..., n- 1. (4.36)

Συνολικά έχουμε 4 n– 2 εξισώσεις για τον προσδιορισμό του 4 nάγνωστος. Για να ληφθούν δύο ακόμη εξισώσεις, χρησιμοποιούνται πρόσθετες οριακές συνθήκες, για παράδειγμα, η απαίτηση ότι η καμπύλη παρεμβολής έχει μηδενική καμπυλότητα στα τελικά σημεία, δηλαδή ότι η δεύτερη παράγωγος είναι ίση με μηδέν στα άκρα του τμήματος [ ΕΝΑ, σι]ΕΝΑ = Χ 0 , σι= x n:

ΜΙΚΡΟ" 1 (Χ 0) = 2ντο 1 = 0 Þ Με 1 = 0,

S"n(x n) = 2με ν + 6d n h n = 0 Þ με ν + 3d n h n = 0. (4.37)

Το σύστημα των εξισώσεων (4.33)–(4.37) μπορεί να απλοποιηθεί και να ληφθούν επαναλαμβανόμενοι τύποι για τον υπολογισμό των συντελεστών spline.

Από την συνθήκη (4.33) έχουμε σαφείς τύπους για τον υπολογισμό των συντελεστών ένα i:

ένα i = y i -1 , i= 1,..., n. (4.38)

Ας εκφραστούμε d iδιά μέσου γ iχρησιμοποιώντας (4.36), (4.37):

; Εγώ = 1, 2,...,n; .

Ας βάλουμε με ν+1 = 0, μετά για d iπαίρνουμε έναν τύπο:

, Εγώ = 1, 2,...,n. (4.39)

Ας αντικαταστήσουμε τις εκφράσεις και εγώΚαι d iστην ισότητα (4.34):

, Εγώ= 1, 2,..., n.

και εκφράζουν β i, μέσω με το i:

, Εγώ= 1, 2,..., n. (4.40)

Ας εξαιρέσουμε τους συντελεστές από τις εξισώσεις (4.35) β iΚαι d iχρησιμοποιώντας (4.39) και (4.40):

Εγώ= 1, 2,..., n -1.

Από εδώ παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό με το i:

Το σύστημα των εξισώσεων (4.41) μπορεί να ξαναγραφτεί ως

Εδώ εισάγεται η σημειογραφία

, Εγώ =1, 2,..., n- 1.

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων (4.42) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο σάρωσης. Από την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε Με 2 έως Με 3:

ντο 2 = α 2 ντο 3 + β 2 , , . (4.43)

Ας αντικαταστήσουμε το (4.43) στη δεύτερη εξίσωση (4.42):

η 2 (α 2 ντο 3 + β 2) + 2( η 2 + η 3)ντο 3 +η 3 ντο 4 = σολ 2 ,

και εκφράζουν Με 3 έως Με 4:

Με 3 = α 3 Με 4 + b 3 , (4.44)

Υποθέτοντας ότι με το i-1 = α Εγώ -1 γ i+β Εγώ-1 από Εγώη εξίσωση (4.42) παίρνουμε

γ i=α εγώ με το i+1+β Εγώ

, Εγώ = 3,..., n– 1, α n= 0, (4,45) c n +1 = 0,

γ i=α εγώ με το i+1+β Εγώ, Εγώ= n, n -1,..., 2, (4.48)

ντο 1 = 0.

3. Υπολογισμός συντελεστών και εγώ, β i,d i:

ένα i = y i -1 ,

Εγώ= 1, 2,..., n.

4. Υπολογίστε την τιμή μιας συνάρτησης χρησιμοποιώντας ένα spline. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την ακόλουθη τιμή Εγώ, ότι η δεδομένη τιμή της μεταβλητής Χανήκει στο τμήμα [ x i -1 , x i] και υπολογίστε

S i(Χ) = και εγώ + β i(Χ - x i -1) +με το i(Χ - x i -1) 2 + d i(Χ - x i -1) 3 . (4.50)

Τύποι παρεμβολής των Lagrange, Newton και Stirling, κ.λπ. όταν χρησιμοποιείται μεγάλος αριθμός κόμβων παρεμβολής σε ολόκληρο το τμήμα [ ένα, σι] συχνά οδηγούν σε κακή προσέγγιση λόγω της συσσώρευσης σφαλμάτων κατά τη διαδικασία υπολογισμού. Επιπλέον, λόγω της απόκλισης της διαδικασίας παρεμβολής, η αύξηση του αριθμού των κόμβων δεν οδηγεί απαραίτητα σε αυξημένη ακρίβεια. Για να μειωθούν τα σφάλματα, ολόκληρο το τμήμα [ ένα, σι] χωρίζεται σε μερικά τμήματα και σε καθένα από αυτά η συνάρτηση αντικαθίσταται περίπου από ένα πολυώνυμο χαμηλού βαθμού. Ονομάζεται τμηματική πολυωνυμική παρεμβολή.

Μία από τις μεθόδους παρεμβολής σε ολόκληρο το τμήμα [ ένα, σι] είναι παρεμβολή spline.

Splineείναι μια τμηματικά πολυωνυμική συνάρτηση που ορίζεται στο διάστημα [ ένα, σι] και έχοντας έναν ορισμένο αριθμό συνεχών παραγώγων σε αυτό το τμήμα. Τα πλεονεκτήματα της παρεμβολής spline σε σύγκριση με τις συμβατικές μεθόδους παρεμβολής είναι η σύγκλιση και η σταθερότητα της υπολογιστικής διαδικασίας.

Ας εξετάσουμε μια από τις πιο συνηθισμένες περιπτώσεις στην πράξη - παρεμβολή μιας συνάρτησης κυβικός σφήνας.
Αφήστε το τμήμα [ ένα, σι] καθορίζεται μια συνεχής λειτουργία. Ας εισάγουμε ένα διαμέρισμα του τμήματος:

και δηλώνουν, .

Ένα spline που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη συνάρτηση και κόμβους παρεμβολής (6) είναι μια συνάρτηση που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

1) σε κάθε τμήμα, η συνάρτηση είναι ένα κυβικό πολυώνυμο.

2) η συνάρτηση, καθώς και η πρώτη και η δεύτερη παράγωγός της, είναι συνεχείς στο διάστημα [ ένα, σι] ;

Η τρίτη συνθήκη ονομάζεται συνθήκη παρεμβολής. Καλείται ένα spline που ορίζεται από τις συνθήκες 1) – 3). παρεμβολή κυβικής σχισμής.

Ας εξετάσουμε μια μέθοδο για την κατασκευή ενός κυβικού spline.

Σε κάθε ένα από τα τμήματα, Θα αναζητήσουμε μια συνάρτηση spline με τη μορφή πολυωνύμου τρίτου βαθμού:

(7)

Οπου τους απαιτούμενους συντελεστές.

Ας διαφοροποιήσουμε το (7) τρεις φορές ως προς το Χ:

από όπου και ακολουθεί

Από την συνθήκη παρεμβολής 3) παίρνουμε:

Προκύπτει από τις συνθήκες συνέχειας της συνάρτησης.

Οι καμπύλες και οι επιφάνειες που συναντώνται σε πρακτικά προβλήματα συχνά έχουν αρκετά σύνθετο σχήμα , το οποίο δεν επιτρέπει μια καθολική αναλυτική εργασία στο σύνολό της χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις συναρτήσεις. Επομένως, συναρμολογούνται από σχετικά απλά λεία θραύσματα - τμήματα (καμπύλες) ή τομές (επιφάνειες), καθένα από τα οποία μπορεί να περιγραφεί αρκετά ικανοποιητικά χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις συναρτήσεις μιας ή δύο μεταβλητών. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι πολύ φυσικό να απαιτείται οι ομαλές συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται για την κατασκευή μερικών καμπυλών ή επιφανειών να είναι παρόμοιας φύσης, για παράδειγμα, να είναι πολυώνυμα του ίδιου βαθμού. Και προκειμένου η καμπύλη ή η επιφάνεια που προκύπτει να είναι αρκετά λεία, πρέπει να προσέχετε ιδιαίτερα πού ενώνονται τα αντίστοιχα θραύσματα. Ο βαθμός των πολυωνύμων επιλέγεται από απλές γεωμετρικές εκτιμήσεις και, κατά κανόνα, είναι μικρός. Για να αλλάξουμε ομαλά την εφαπτομένη κατά μήκος ολόκληρης της σύνθετης καμπύλης, αρκεί να περιγράψουμε τις ενωμένες καμπύλες χρησιμοποιώντας πολυώνυμα τρίτου βαθμού, κυβικά πολυώνυμα. Οι συντελεστές τέτοιων πολυωνύμων μπορούν πάντα να επιλέγονται έτσι ώστε η καμπυλότητα της αντίστοιχης σύνθετης καμπύλης να είναι συνεχής. Οι κυβικές σφήνες, που προκύπτουν κατά την επίλυση μονοδιάστατων προβλημάτων, μπορούν να προσαρμοστούν στην κατασκευή θραυσμάτων σύνθετων επιφανειών. Και εδώ οι δικυβικές σφήνες εμφανίζονται αρκετά φυσικά, που περιγράφονται χρησιμοποιώντας πολυώνυμα τρίτου βαθμού σε καθεμία από τις δύο μεταβλητές. Η εργασία με τέτοιες σφήνες απαιτεί σημαντικά μεγαλύτερο αριθμό υπολογισμών. Αλλά μια σωστά οργανωμένη διαδικασία θα επιτρέψει να ληφθούν υπόψη οι συνεχώς αυξανόμενες δυνατότητες της τεχνολογίας των υπολογιστών στο μέγιστο βαθμό. Συναρτήσεις Spline Let on το τμήμα, δηλαδή, Remark. Ο δείκτης (t) των αριθμών a^ το δείχνει αυτό. ότι το σύνολο των συντελεστών που καθορίζει τη συνάρτηση 5(x) σε κάθε μερικό τμήμα D είναι διαφορετικό. Σε καθένα από τα τμήματα D1, η spline 5(x) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού p και προσδιορίζεται σε αυτό το τμήμα με συντελεστή p + 1. Σύνολο μερικών τμημάτων - τότε. Αυτό σημαίνει ότι για να προσδιοριστεί πλήρως η spline, είναι απαραίτητο να βρεθούν (p + 1) στη συνέχεια αριθμοί. Συνθήκη) σημαίνει τη συνέχεια της συνάρτησης 5(x) και των παραγώγων της σε όλους τους εσωτερικούς κόμβους του πλέγματος w. Ο αριθμός τέτοιων κόμβων είναι m - 1. Έτσι, για να βρεθούν οι συντελεστές όλων των πολυωνύμων, λαμβάνονται p(m - 1) συνθήκες (εξισώσεις). Για τον πλήρη ορισμό ενός spline, δεν υπάρχουν αρκετές (συνθήκες (εξισώσεις). Η επιλογή των πρόσθετων συνθηκών καθορίζεται από τη φύση του προβλήματος που εξετάζεται και μερικές φορές απλώς από την επιθυμία του χρήστη. ΘΕΩΡΙΑ SPLINE παραδείγματα λύσεων Τα προβλήματα παρεμβολής και εξομάλυνσης είναι πιο συχνά θεωρείται όταν είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί ένας ή ο άλλος spline από μια δεδομένη σειρά σημείων στο επίπεδο Σε προβλήματα παρεμβολής, απαιτείται το γράφημα spline να διέρχεται από σημεία, γεγονός που επιβάλλει m + 1 πρόσθετες συνθήκες (εξισώσεις) στους συντελεστές του . Οι υπόλοιπες συνθήκες p - 1 (εξισώσεις) για τη μοναδική κατασκευή ενός spline καθορίζονται συχνότερα με τη μορφή τιμών των κατώτερων παραγώγων του spline στα άκρα του υπό εξέταση τμήματος [a, 6] - όριο ( άκρη) συνθήκες. Η δυνατότητα επιλογής διαφορετικών οριακών συνθηκών σάς επιτρέπει να κατασκευάζετε splines με ποικίλες ιδιότητες. Σε προβλήματα εξομάλυνσης, ένας spline κατασκευάζεται έτσι ώστε η γραφική παράσταση του να περνά κοντά στα σημεία (i""Y"), * = 0, 1,..., t, και όχι μέσα από αυτά. Το μέτρο αυτής της εγγύτητας μπορεί να οριστεί με διαφορετικούς τρόπους, με αποτέλεσμα μια σημαντική ποικιλία εξομαλυντικών γραμμών. Οι περιγραφόμενες επιλογές για την επιλογή κατά την κατασκευή συναρτήσεων spline δεν εξαντλούν όλη την ποικιλομορφία τους. Και αν αρχικά λαμβάνονταν υπόψη μόνο τμηματικές πολυωνυμικές συναρτήσεις spline, τότε καθώς διευρύνθηκε το εύρος των εφαρμογών τους, άρχισαν να εμφανίζονται splines, «κολλημένες μεταξύ τους» από άλλες στοιχειώδεις συναρτήσεις. Κυβικά splines παρεμβολής Δήλωση του προβλήματος παρεμβολής Έστω ένα πλέγμα w στο τμήμα [a, 6) Θεωρήστε ένα σύνολο αριθμών Πρόβλημα. Κατασκευάστε μια ομαλή συνάρτηση στο τμήμα (a, 6] που λαμβάνει καθορισμένες τιμές στους κόμβους πλέγματος o", δηλαδή Σημείωση: Το διαμορφωμένο πρόβλημα παρεμβολής συνίσταται στην επαναφορά μιας ομαλής συνάρτησης που καθορίζεται σε έναν πίνακα (Εικ. 2). Είναι σαφές ότι ένα τέτοιο πρόβλημα έχει πολλές διαφορετικές λύσεις.Επιβολή στην κατασκευασμένη συνάρτηση πρόσθετες προϋποθέσεις , μπορεί να επιτευχθεί η απαραίτητη ασάφεια. Σε εφαρμογές, υπάρχει συχνά η ανάγκη προσέγγισης μιας συνάρτησης που ορίζεται αναλυτικά χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση με προδιαγεγραμμένες επαρκώς καλές ιδιότητες. Για παράδειγμα, σε περιπτώσεις όπου ο υπολογισμός των τιμών μιας δεδομένης συνάρτησης /(x) σε σημεία του τμήματος [a, 6] σχετίζεται με σημαντικές δυσκολίες ή/και η δεδομένη συνάρτηση /(x) δεν έχει την απαιτούμενη ομαλότητα , είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε μια άλλη συνάρτηση που προσεγγίζει αρκετά καλά θα έχει μια δεδομένη συνάρτηση και θα στερείται των σημειωμένων μειονεκτημάτων της. Πρόβλημα παρεμβολής συναρτήσεων. Κατασκευάστε στο διάστημα [a, 6] μια ομαλή συνάρτηση a(x) που συμπίπτει στους κόμβους του πλέγματος w με τη δεδομένη συνάρτηση /(x). Ορισμός μιας παρεμβαλλόμενης κυβικής σφήνας Μια παρεμβαλλόμενη κυβική σφήνα S(x) σε ένα πλέγμα w είναι μια συνάρτηση που 1) σε καθένα από τα τμήματα είναι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού, 2) είναι δύο φορές συνεχώς διαφοροποιήσιμο στο τμήμα [a, b ], δηλαδή ανήκει στην κλάση C2[a, 6] και 3) ικανοποιεί τις προϋποθέσεις.Σε καθένα από τα τμήματα, η spline S(x) είναι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού και προσδιορίζεται σε αυτό το τμήμα από τέσσερις συντελεστές . Ο συνολικός αριθμός των τμημάτων είναι m. Αυτό σημαίνει ότι για να οριστεί πλήρως η spline, είναι απαραίτητο να βρεθούν αριθμοί 4m. Η συνθήκη σημαίνει τη συνέχεια της συνάρτησης S(x) και των παραγώγων της S"(x) και 5" (x) σε όλους τους εσωτερικούς κόμβους του δικτύου w. Ο αριθμός τέτοιων κόμβων είναι m - 1. Έτσι, για να βρεθούν οι συντελεστές όλων των πολυωνύμων, προκύπτουν άλλες 3(m - 1) συνθήκες (εξισώσεις). Μαζί με τις συνθήκες (2), προκύπτουν συνθήκες (εξισώσεις). Συνοριακές συνθήκες (ακμής) Δύο συνθήκες που λείπουν καθορίζονται με τη μορφή περιορισμών στις τιμές του spline ή/και των παραγώγων του στα άκρα του διαστήματος [a, 6]. Κατά την κατασκευή ενός παρεμβαλλόμενου κυβικού spline, χρησιμοποιούνται συχνότερα οι ακόλουθοι τέσσερις τύποι οριακών συνθηκών. Α. Οριακές συνθήκες 1ου τύπου. - στα άκρα του διαστήματος [a, b] καθορίζονται οι τιμές της πρώτης παραγώγου της επιθυμητής συνάρτησης. Β. Οριακές συνθήκες 2ου τύπου. - στα άκρα του διαστήματος (a, 6) καθορίζονται οι τιμές της δεύτερης παραγώγου της επιθυμητής συνάρτησης. Β. Οριακές συνθήκες 3ου τύπου. ονομάζονται περιοδικές. Είναι φυσικό να απαιτείται η εκπλήρωση αυτών των προϋποθέσεων σε περιπτώσεις όπου η παρεμβαλλόμενη συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο T = b-a. Δ. Οριακές συνθήκες 4ου τύπου. απαιτούν ειδικό σχόλιο. Ενα σχόλιο. Στους εσωτερικούς κόμβους σήψης, η τρίτη παράγωγος της συνάρτησης S(x), γενικά, είναι ασυνεχής. Ωστόσο, ο αριθμός των ασυνεχειών της τρίτης παραγώγου μπορεί να μειωθεί χρησιμοποιώντας συνθήκες του 4ου τύπου. Σε αυτήν την περίπτωση, ο κατασκευασμένος σπάγγος θα είναι συνεχώς διαφοροποιήσιμος τρεις φορές κατά διαστήματα Κατασκευή ενός κυβικού σπινθηροειδούς παρεμβολής Ας περιγράψουμε μια μέθοδο υπολογισμού των συντελεστών ενός κυβικού σφήνα, στην οποία ο αριθμός των ποσοτήτων που πρέπει να προσδιοριστούν είναι ίσος. Σε κάθε ένα από τα διαστήματα, η συνάρτηση spline παρεμβολής αναζητείται με την ακόλουθη μορφή: Εδώ ΘΕΩΡΙΑ SPLINE παραδείγματα λύσεων και αριθμών είναι λύσεις σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικές εξισώσεις, η μορφή του οποίου εξαρτάται από τον τύπο των οριακών συνθηκών. Για τις οριακές συνθήκες των τύπων 1 και 2, αυτό το σύστημα έχει την ακόλουθη μορφή όπου οι συντελεστές εξαρτώνται από την επιλογή των συνοριακών συνθηκών. Συνοριακές συνθήκες 1ου τύπου: Συνοριακές συνθήκες 2ου τύπου: Στην περίπτωση συνοριακών συνθηκών 3ου τύπου, το σύστημα προσδιορισμού αριθμών γράφεται ως εξής: Ο αριθμός των αγνώστων στο τελευταίο σύστημα είναι ίσος με mn, αφού Από τις συνθήκες περιοδικότητας προκύπτει ότι po = nm. Για οριακές συνθήκες του 4ου τύπου, το σύστημα προσδιορισμού αριθμών έχει τη μορφή όπου Με βάση τη λύση που βρέθηκε στο σύστημα, οι αριθμοί po και n μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τύπους Σημαντική σημείωση. Οι πίνακες και των τριών γραμμικών αλγεβρικών συστημάτων είναι διαγώνια κυρίαρχοι πίνακες. Οι πίνακες δεν είναι μοναδικοί και επομένως καθένα από αυτά τα συστήματα έχει μια μοναδική λύση. Θεώρημα. Υπάρχει και είναι μοναδική μια παρεμβαλλόμενη κυβική σφήνα που ικανοποιεί τις συνθήκες (2) και μια οριακή συνθήκη ενός από τους τέσσερις τύπους που αναφέρονται παραπάνω. Έτσι, η κατασκευή ενός κυβικού spline παρεμβολής σημαίνει να βρείτε τους συντελεστές του. Όταν βρεθούν οι συντελεστές spline, η τιμή του spline S(x) σε ένα αυθαίρετο σημείο του τμήματος [a, b] μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο (3). . Ωστόσο, για πρακτικούς υπολογισμούς ο παρακάτω αλγόριθμος για την εύρεση της τιμής 5(g) είναι καταλληλότερος. Έστω x 6 [x", Αρχικά υπολογίζονται οι τιμές των Α και Β χρησιμοποιώντας τους τύπους και στη συνέχεια βρίσκεται η τιμή 5(x): Η χρήση αυτού του αλγορίθμου μειώνει σημαντικά το υπολογιστικό κόστος για τον προσδιορισμό της τιμής. Συμβουλές για ο χρήστης Η επιλογή των συνόρων (ακμών) και των κόμβων παρεμβολής σάς επιτρέπει να ελέγχετε σε κάποιο βαθμό τις ιδιότητες των γραμμών παρεμβολής. Α. Επιλογή συνόρων (ακμών). Η επιλογή των συνοριακών συνθηκών είναι ένα από τα κεντρικά προβλήματα στις συναρτήσεις παρεμβολής. Γίνεται ιδιαίτερα σημαντικό στην περίπτωση που είναι απαραίτητο να διασφαλιστεί η υψηλή ακρίβεια προσέγγισης της συνάρτησης f(x) από τον spline 5(g) κοντά στα άκρα του τμήματος [a, 6). Οι οριακές τιμές έχουν αξιοσημείωτη επίδραση στη συμπεριφορά του spline 5(g) κοντά στα σημεία a και b, και αυτή η επιρροή εξασθενεί γρήγορα καθώς απομακρύνεται κανείς από αυτά. Η επιλογή των οριακών συνθηκών συχνά καθορίζεται από την παρουσία Επιπλέον πληροφορίες στη συμπεριφορά της κατά προσέγγιση συνάρτησης f(x). Εάν οι τιμές της πρώτης παραγώγου f"(x) είναι γνωστές στα άκρα του τμήματος (a, 6), τότε είναι φυσικό να χρησιμοποιηθούν οριακές συνθήκες του 1ου τύπου. Εάν οι τιμές της δεύτερης παραγώγου Τα f"(x) είναι γνωστά στα άκρα του τμήματος [a, 6], τότε είναι φυσικές οριακές συνθήκες χρήσης του τύπου 2. Εάν υπάρχει επιλογή μεταξύ των οριακών συνθηκών των τύπων 1 και 2, τότε θα πρέπει να προτιμώνται οι συνθήκες του τύπου 1. Εάν η f(x) είναι μια περιοδική συνάρτηση, τότε θα πρέπει να σταματήσουμε στις οριακές συνθήκες τύπου 3. Εάν δεν υπάρχουν πρόσθετες πληροφορίες σχετικά με τη συμπεριφορά της κατά προσέγγιση συνάρτησης, χρησιμοποιούνται συχνά οι λεγόμενες φυσικές οριακές συνθήκες. Ωστόσο, θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι με μια τέτοια επιλογή οριακών συνθηκών, η ακρίβεια προσέγγισης της συνάρτησης f( x) από τη σφήνα S(x) κοντά στα άκρα του τμήματος (a, ft] μειώνεται απότομα. Μερικές φορές χρησιμοποιούνται οριακές συνθήκες 1ου ή 2ου τύπου, αλλά όχι με ακριβείς τιμές των αντίστοιχων παραγώγων, αλλά με τους Προσεγγίσεις διαφορών Η ακρίβεια αυτής της προσέγγισης είναι χαμηλή Η πρακτική εμπειρία στους υπολογισμούς δείχνει ότι στην υπό εξέταση κατάσταση η καταλληλότερη επιλογή είναι οι οριακές συνθήκες τύπου 4. Β. Επιλογή κόμβων παρεμβολής Εάν η τρίτη παράγωγος f""(x) της συνάρτησης είναι ασυνεχής σε ορισμένα σημεία του τμήματος [a, b], τότε για να βελτιωθεί η ποιότητα της προσέγγισης, αυτά τα σημεία θα πρέπει να συμπεριληφθούν στον αριθμό των κόμβων παρεμβολής. Εάν είναι ασυνεχής δεύτερη παράγωγος /"(x), τότε για να αποφευχθεί η ταλάντωση της σφήνας κοντά στα σημεία ασυνέχειας είναι απαραίτητο να ληφθούν ειδικά μέτρα.Συνήθως επιλέγονται κόμβοι παρεμβολής ώστε τα σημεία ασυνέχειας της δεύτερης παραγώγου να πέφτουν μέσα στο διάστημα \xif), έτσι ώστε. Η τιμή του a μπορεί να επιλεγεί μέσω ενός αριθμητικού πειράματος (συχνά αρκεί να ορίσετε a = 0,01). Υπάρχει ένα σύνολο συνταγών για την υπέρβαση των δυσκολιών που προκύπτουν όταν η πρώτη παράγωγος f"(x) είναι ασυνεχής. Μία από τις απλούστερες μπορεί να προταθεί ως εξής: διαιρέστε το τμήμα προσέγγισης σε διαστήματα όπου η παράγωγος είναι συνεχής και κατασκευάστε ένα spline σε καθένα από αυτά τα διαστήματα Επιλογή συνάρτησης παρεμβολής (πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα) Προσέγγιση 1. Πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange Για ένα δεδομένο πίνακα ΘΕΩΡΙΑ SPLINE παραδείγματα λύσεων (Εικ. 3), το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange προσδιορίζεται από τον τύπο. Συνιστάται να λάβετε υπόψη οι ιδιότητες του πολυωνύμου παρεμβολής Lagrange από δύο αντίθετες θέσεις, συζητώντας τα κύρια πλεονεκτήματα χωριστά από τα μειονεκτήματα. Κύρια πλεονεκτήματα 1 -η προσέγγιση: 1) η γραφική παράσταση του πολυωνύμου παρεμβολής Lagrange διέρχεται από κάθε σημείο του πίνακα, 2) η κατασκευασμένη συνάρτηση περιγράφεται εύκολα (ο αριθμός των συντελεστών του πολυωνύμου παρεμβολής Lagrange στο πλέγμα που θα προσδιοριστεί είναι ίσος με m + 1), 3) η κατασκευασμένη συνάρτηση έχει συνεχείς παραγώγους οποιασδήποτε τάξης, 4) δεδομένου του πίνακα, το πολυώνυμο παρεμβολής είναι μοναδικά ορίζεται. Τα κύρια μειονεκτήματα της 1ης προσέγγισης: 1) ο βαθμός του πολυωνύμου παρεμβολής Lagrange εξαρτάται από τον αριθμό των κόμβων του πλέγματος και όσο μεγαλύτερος είναι αυτός ο αριθμός, τόσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός του πολυωνύμου παρεμβολής και, επομένως, όσοι περισσότεροι υπολογισμοί απαιτούνται, 2) η αλλαγή τουλάχιστον ενός σημείου στον πίνακα απαιτεί πλήρη επανυπολογισμό των συντελεστών του πολυωνύμου παρεμβολής Lagrange, 3) η προσθήκη ενός νέου σημείου στον πίνακα αυξάνει τον βαθμό του πολυωνύμου παρεμβολής Lagrange κατά ένα και οδηγεί επίσης σε πλήρη επανυπολογισμό των συντελεστών του , 4) με απεριόριστη βελτίωση του πλέγματος, ο βαθμός του πολυωνύμου παρεμβολής Lagrange αυξάνεται απεριόριστα. Η συμπεριφορά του πολυωνύμου παρεμβολής Lagrange με απεριόριστη βελτίωση πλέγματος απαιτεί γενικά ιδιαίτερη προσοχή. Σχόλια Α. Για την προσέγγιση συνεχούς συνάρτησης από πολυώνυμο. Είναι γνωστό (Weierstrass, 1885) ότι οποιαδήποτε συνεχής (και ακόμη πιο ομαλή) συνάρτηση σε ένα διάστημα μπορεί να προσεγγιστεί όσο και επιθυμητή σε αυτό το διάστημα με ένα πολυώνυμο. Ας περιγράψουμε αυτό το γεγονός στη γλώσσα των τύπων. Έστω f(x) συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [a, 6]. Τότε για οποιοδήποτε e > 0 υπάρχει ένα πολυώνυμο Є(x) τέτοιο ώστε για οποιοδήποτε x από το διάστημα [a, 6] να ικανοποιείται η ανισότητα (Εικ. 4) Σημειώστε ότι πολυώνυμα του ίδιου βαθμού που προσεγγίζουν τη συνάρτηση f(x) με την καθορισμένη ακρίβεια , είναι άπειρα πολλά. Ας κατασκευάσουμε ένα πλέγμα w στο τμήμα [a, 6]. Είναι σαφές ότι οι κόμβοι του, σε γενικές γραμμές, δεν συμπίπτουν με τα σημεία τομής των γραφημάτων του πολυωνύμου Pn(x) και της συνάρτησης f(x) (Εικ. 5). Επομένως, για το δεδομένο πλέγμα, το πολυώνυμο Pn(x) δεν είναι παρεμβολή. Όταν μια συνεχής συνάρτηση προσεγγίζεται από ένα πολυώνυμο Jla-gracz παρεμβολής, η γραφική παράσταση της όχι μόνο δεν χρειάζεται να είναι κοντά στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) σε κάθε σημείο του τμήματος [a, b), αλλά μπορεί να αποκλίνει από αυτή η λειτουργία όσο επιθυμείτε. Ας δώσουμε δύο παραδείγματα. Παράδειγμα 1 (Rung, 1901). Με μια απεριόριστη αύξηση του αριθμού των κόμβων για τη συνάρτηση στο διάστημα [-1, 1], η ισότητα ορίου ικανοποιείται (Εικ. 6) Παράδειγμα 2 (Beristein, 1912). Μια ακολουθία πολυωνύμων παρεμβολής Lagrange κατασκευασμένη σε ομοιόμορφα πλέγματα για τη συνεχή συνάρτηση /(x) = |x| σε ένα τμήμα με αυξανόμενο αριθμό κόμβων, το m δεν τείνει στη συνάρτηση /(x) (Εικ. 7). Προσέγγιση 2. Τμηματική γραμμική παρεμβολή Εάν εγκαταλειφθεί η ομαλότητα της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης, η αναλογία μεταξύ του αριθμού των πλεονεκτημάτων και του αριθμού των μειονεκτημάτων μπορεί να αλλάξει αισθητά προς την πρώτη. Ας κατασκευάσουμε μια τμηματική γραμμική συνάρτηση κατά σειριακή σύνδεσησημεία (έξοδος y,) από ευθύγραμμα τμήματα (Εικ. 8). Τα κύρια πλεονεκτήματα της 2ης προσέγγισης: 1) η γραφική παράσταση μιας τμηματικής γραμμικής συνάρτησης διέρχεται από κάθε σημείο του πίνακα, 2) η κατασκευασμένη συνάρτηση περιγράφεται εύκολα (ο αριθμός των αντίστοιχων συντελεστών που πρέπει να προσδιοριστεί γραμμικές συναρτήσεις για το πλέγμα (1) είναι ίσο με 2 m), 3) δεδομένου του πίνακα, η κατασκευασμένη συνάρτηση ορίζεται μοναδικά, 4) ο βαθμός των πολυωνύμων που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της συνάρτησης παρεμβολής δεν εξαρτάται από τον αριθμό των κόμβων του πλέγματος (ίσος με 1), 5) η αλλαγή ενός σημείου στον πίνακα απαιτεί τον υπολογισμό τεσσάρων αριθμών (συντελεστές δύο ευθειών συνδέσμων που προέρχονται από ένα νέο σημείο), 6) η προσθήκη ενός επιπλέον σημείου στον πίνακα απαιτεί τον υπολογισμό τεσσάρων συντελεστών. Η τμηματικά γραμμική συνάρτηση συμπεριφέρεται επίσης αρκετά καλά κατά τον καθαρισμό του πλέγματος. Το κύριο μειονέκτημα της 2ης προσέγγισης: η προσέγγιση της τμηματικής γραμμικής συνάρτησης δεν είναι ομαλή: οι πρώτες παράγωγοι παρουσιάζουν ασυνέχεια στους κόμβους του πλέγματος (αυτιά παρεμβολής). Προσέγγιση 3. Παρεμβολή Spline Οι προτεινόμενες προσεγγίσεις μπορούν να συνδυαστούν έτσι ώστε να διατηρηθεί ο αριθμός των αναφερόμενων πλεονεκτημάτων και των δύο προσεγγίσεων, ενώ ταυτόχρονα μειώνεται ο αριθμός των μειονεκτημάτων. Αυτό μπορεί να γίνει κατασκευάζοντας μια ομαλή συνάρτηση spline παρεμβολής βαθμού p. Τα κύρια πλεονεκτήματα της 3ης προσέγγισης: 1) η γραφική παράσταση της κατασκευασμένης συνάρτησης διέρχεται από κάθε σημείο του πίνακα, 2) η κατασκευασμένη συνάρτηση είναι σχετικά εύκολο να περιγραφεί (ο αριθμός των συντελεστών των αντίστοιχων πολυωνύμων που θα καθοριστεί για το πλέγμα ( 1) ισούται με 3) η κατασκευασμένη συνάρτηση ορίζεται μοναδικά από τον δεδομένο πίνακα, 4) τα πολυώνυμα βαθμών δεν εξαρτώνται από τον αριθμό των κόμβων πλέγματος και, επομένως, δεν αλλάζουν καθώς αυξάνεται, 5) η κατασκευασμένη συνάρτηση έχει συνεχή παράγωγα μέχρι τάξης p - 1 συμπεριλαμβανομένων, 6) η κατασκευασμένη συνάρτηση έχει καλές ιδιότητες προσέγγισης. Σύντομη ενημέρωση. Το προτεινόμενο όνομα - spline - δεν είναι τυχαίο - οι ομαλές τμηματικές πολυωνυμικές συναρτήσεις που εισαγάγαμε και η σχεδίαση splines συνδέονται στενά. Ας εξετάσουμε έναν εύκαμπτο ιδανικά λεπτό χάρακα που διέρχεται από τα σημεία αναφοράς του πίνακα που βρίσκεται στο επίπεδο (x, y). Σύμφωνα με τον νόμο Bernoulli-Euler, η γραμμική εξίσωση ενός καμπυλωμένου χάρακα έχει τη μορφή όπου S(x) είναι η κάμψη, M(x) είναι η ροπή κάμψης που ποικίλλει γραμμικά από στήριγμα σε στήριγμα, E1 είναι η ακαμψία του χάρακα . Η συνάρτηση S(x), που περιγράφει τις γραμμές του τύπου, είναι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού μεταξύ καθενός και δύο γειτονικών σημείων του πίνακα (υποστηρίγματα) και είναι δύο φορές συνεχώς διαφοροποιήσιμη σε ολόκληρο το διάστημα (a, 6). Ενα σχόλιο. 06 παρεμβολή μιας συνεχούς συνάρτησης Σε αντίθεση με τα πολυώνυμα παρεμβολής Lagrange, μια ακολουθία κυβικών γραμμών παρεμβολής σε ένα ομοιόμορφο πλέγμα συγκλίνει πάντα στην παρεμβαλλόμενη συνεχή συνάρτηση και καθώς βελτιώνονται οι διαφορικές ιδιότητες αυτής της συνάρτησης, η ταχύτητα σύγκλισης αυξάνεται. Παράδειγμα. Για μια συνάρτηση, ένα κυβικό spline σε ένα πλέγμα με τον αριθμό των κόμβων m = 6 δίνει ένα σφάλμα προσέγγισης της ίδιας τάξης με το πολυώνυμο παρεμβολής Ls(z), και σε ένα πλέγμα με τον αριθμό των κόμβων m = 21 αυτό το σφάλμα είναι τόσο μικρό που στην κλίμακα ενός συνηθισμένου σχεδίου βιβλίου απλά δεν είναι μπορεί να παρουσιαστεί (Εικ. 10) (το πολυώνυμο παρεμβολής 1>2o(r) δίνει σε αυτή την περίπτωση ένα σφάλμα περίπου 10.000 J). Ιδιότητες ενός κυβικού σπινθήρα παρεμβολής Α. Ιδιότητες προσεγγίσεως ενός κυβικού σφήνα. Οι ιδιότητες προσέγγισης του spline παρεμβολής εξαρτώνται από την ομαλότητα της συνάρτησης f(x) - όσο υψηλότερη είναι η ομαλότητα της παρεμβαλλόμενης συνάρτησης, τόσο υψηλότερη είναι η τάξη προσέγγισης και, κατά τον καθαρισμό του πλέγματος, τόσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα σύγκλισης. Εάν η παρεμβαλλόμενη συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο διάστημα Εάν η παρεμβαλλόμενη συνάρτηση f(x) έχει μια συνεχή πρώτη παράγωγο στο διάστημα [a, 6], δηλαδή, μια spline παρεμβολής που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες του 1ου ή του 3ου τύπος, τότε για h O έχουμε Σε αυτή την περίπτωση, όχι μόνο η spline συγκλίνει στην παρεμβαλλόμενη συνάρτηση, αλλά και η παράγωγος της spline συγκλίνει στην παράγωγο αυτής της συνάρτησης. Αν η spline S(x) προσεγγίζει τη συνάρτηση f(x) στο τμήμα [a, b] και η πρώτη και η δεύτερη παράγωγός της προσεγγίζουν τις συναρτήσεις B, αντίστοιχα. Η παρεμβαλλόμενη κυβική σπονδυλική στήλη έχει ένα ακόμη χρήσιμη ιδιότητα . Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα. παράδειγμα. Κατασκευάστε μια συνάρτηση /(x) που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση σε μια κατηγορία συναρτήσεων από το χώρο C2, οι γραφικές παραστάσεις της οποίας περνούν από τα σημεία του πίνακα. Μεταξύ όλων των συναρτήσεων που διέρχονται από τα σημεία αναφοράς (x;, /(x, )) και ανήκει στον καθορισμένο χώρο, είναι η κυβική σφήνα 5( x), που ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες, αποδίδει ένα άκρο (ελάχιστο) στη συνάρτηση Παρατήρηση 1. Συχνά αυτή η ακραία ιδιότητα λαμβάνεται ως ο ορισμός ενός κυβικού παρεμβολής σφήνα. Παρατήρηση 2. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι η παρεμβαλλόμενη κυβική spline έχει την ακραία ιδιότητα που περιγράφηκε παραπάνω σε μια πολύ ευρεία κατηγορία συναρτήσεων, συγκεκριμένα, στην κλάση |o, 5]. 1.2. Εξομάλυνση κυβικών σφηνών Σχετικά με τη διατύπωση του προβλήματος εξομάλυνσης Ας δοθεί ένα πλέγμα και ένα σύνολο αριθμών Σχολιασμός των αρχικών δεδομένων Στην πράξη, συχνά πρέπει να αντιμετωπίσουμε την περίπτωση που οι τιμές του y στον πίνακα καθορίζονται με κάποια λάθος. Στην πραγματικότητα, αυτό σημαίνει ότι για κάθε ένα ορίζεται ένα διάστημα και οποιοσδήποτε αριθμός από αυτό το διάστημα μπορεί να ληφθεί ως η τιμή του y, . Είναι βολικό να ερμηνεύονται οι τιμές του y, για παράδειγμα, ως τα αποτελέσματα των μετρήσεων κάποιας συνάρτησης y(x) για δεδομένες τιμές της μεταβλητής x, που περιέχουν ένα τυχαίο σφάλμα. Κατά την επίλυση του προβλήματος της επαναφοράς μιας συνάρτησης από τέτοιες «πειραματικές» τιμές, δεν συνιστάται η χρήση παρεμβολής, καθώς η συνάρτηση παρεμβολής θα αναπαράγει υπάκουα παράξενες ταλαντώσεις που προκαλούνται από ένα τυχαίο στοιχείο στον πίνακα (y,). Μια πιο φυσική προσέγγιση βασίζεται σε μια διαδικασία εξομάλυνσης που έχει σχεδιαστεί για να μειώσει κατά κάποιο τρόπο το στοιχείο της τυχαιότητας στο αποτέλεσμα της μέτρησης. Συνήθως σε τέτοια προβλήματα απαιτείται να βρεθεί μια συνάρτηση της οποίας οι τιμές για x = x, * = 0, 1,.... m θα εμπίπτουν στα κατάλληλα διαστήματα και η οποία, επιπλέον, θα έχει αρκετά καλές ιδιότητες. Για παράδειγμα, θα είχε συνεχή πρώτη και δεύτερη παράγωγο ή η γραφική παράσταση του δεν θα ήταν πολύ έντονα καμπυλωμένη, δηλαδή δεν θα είχε ισχυρές ταλαντώσεις. Ένα πρόβλημα αυτού του είδους προκύπτει επίσης όταν, δεδομένου ενός δεδομένου (ακριβώς) πίνακα, είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί μια συνάρτηση που δεν διέρχεται από δεδομένα σημεία, αλλά κοντά σε αυτά και, επιπλέον, αλλάζει αρκετά ομαλά. Με άλλα λόγια, η απαιτούμενη συνάρτηση φαινόταν να εξομαλύνει τον δεδομένο πίνακα, αντί να τον παρεμβάλλει. Έστω ένα πλέγμα w και δύο σύνολα αριθμών ΘΕΩΡΙΑ SPLINE παραδείγματα λύσης Πρόβλημα. Κατασκευάστε μια ομαλή συνάρτηση στο τμήμα [a, A] του οποίου οι τιμές στους κόμβους πλέγματος u διαφέρουν από τους αριθμούς y κατά τις δεδομένες τιμές. Το διατυπωμένο πρόβλημα εξομάλυνσης είναιαποκατάσταση ομαλή λειτουργία που καθορίζεται σε πίνακα. Είναι σαφές ότι ένα τέτοιο πρόβλημα έχει πολλές διαφορετικές λύσεις. Με την επιβολή πρόσθετων συνθηκών στην κατασκευασμένη συνάρτηση, μπορεί να επιτευχθεί η απαραίτητη ασάφεια. Ορισμός μιας κυβικής σφήνας εξομάλυνσης Μια κυβική σφήνα εξομάλυνσης S(x) σε ένα πλέγμα w είναι μια συνάρτηση που 1) σε καθένα από τα τμήματα είναι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού, 2) είναι δύο φορές συνεχώς διαφοροποιήσιμο στο τμήμα [a, 6 ], δηλαδή, ανήκει στην κλάση C2 [a , b], 3) αποδίδει ένα ελάχιστο στη συνάρτηση όπου είναι οι δεδομένοι αριθμοί, 4) ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες ενός από τους τρεις τύπους που αναφέρονται παρακάτω. Συνοριακές συνθήκες (ακρών) Οι οριακές συνθήκες καθορίζονται με τη μορφή περιορισμών στις τιμές του spline και των παραγώγων του στους οριακούς κόμβους του πλέγματος w. Α. Οριακές συνθήκες τύπου 1. - στα άκρα του διαστήματος [a, b) καθορίζονται οι τιμές της πρώτης παραγώγου της επιθυμητής συνάρτησης. Οριακές συνθήκες τύπου 2. - οι δεύτερες παράγωγοι της επιθυμητής συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος (a, b] είναι ίσες με μηδέν. Β. Οι οριακές συνθήκες του 3ου τύπου ονομάζονται περιοδικές. Θεώρημα. Κυβική σπίθα S(x), ελαχιστοποίηση της συνάρτησης (4) και η ικανοποίηση των οριακών συνθηκών ενός από τους παραπάνω τρεις τύπους, ορίζεται μοναδικά Ορισμός Μια κυβική spline που ελαχιστοποιεί το λειτουργικό J(f) και ικανοποιεί τις οριακές συνθήκες του i-gotype ονομάζεται spline εξομάλυνσης του i-gotype Παρατήρηση: Σε κάθε ισο-τμήμα (, spline 5(x) είναι ένα mio-διάστημα του τρίτου βαθμού και ορίζεται σε αυτό το τμήμα με τέσσερις συντελεστές. Ο συνολικός αριθμός των τμημάτων είναι m. Αυτό σημαίνει ότι για να προσδιοριστεί πλήρως το spline, είναι απαραίτητο να βρεθούν αριθμοί 4 m. Η συνθήκη σημαίνει τη συνέχεια της συνάρτησης 5(ag) και όλων των παραγώγων της σε όλους τους εσωτερικούς κόμβους του πλέγματος o. "Ο αριθμός τέτοιων κόμβων είναι m - 1 Έτσι, για τον υπολογισμό των συντελεστών όλων των πολυωνύμων, προκύπτουν 3(m - 1) συνθήκες (εξισώσεις). Κατασκευή κυβικού σπινθήρα εξομάλυνσης Θα περιγράψουμε μια μέθοδο υπολογισμού των συντελεστών κυβικής σφήνας, στην οποία ο αριθμός των ποσοτήτων που θα καθοριστούν ισούται με 2m + 2. Σε καθένα από τα διαστήματα, ο σπλαχνός εξομάλυνσης αναζητείται η συνάρτηση με την ακόλουθη μορφή: Εδώ και οι αριθμοί και είναι η λύση ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, η μορφή του οποίου εξαρτάται από τον τύπο των συνοριακών συνθηκών. Ας περιγράψουμε πρώτα πώς βρίσκονται οι τιμές n*. Για τις οριακές συνθήκες του 1ου και του 2ου τύπου, το σύστημα γραμμικών εξισώσεων για τον προσδιορισμό των τιμών του Hi γράφεται με την ακόλουθη μορφή όπου είναι γνωστοί αριθμοί). Οι συντελεστές εξαρτώνται από την επιλογή των οριακών συνθηκών. Οριακές συνθήκες 1ου τύπου: Οριακές συνθήκες 2ου τύπου: Στην περίπτωση οριακών συνθηκών του 3ου τύπου, το σύστημα για τον προσδιορισμό των αριθμών γράφεται ως εξής: και όλοι οι συντελεστές υπολογίζονται σύμφωνα με τους τύπους (5) (τιμές με τους δείκτες k και m + k θεωρούνται ίσοι : Σημαντική* σημείωση. Οι πίνακες των συστημάτων δεν είναι εκφυλισμένοι και επομένως καθένα από αυτά τα συστήματα έχει μια μοναδική λύση. Αν βρεθούν οι αριθμοί n, - τότε οι ποσότητες προσδιορίζονται εύκολα από τους τύπους όπου Στην περίπτωση περιοδικών συνοριακών συνθηκών, η επιλογή των συντελεστών του. Η επιλογή των συντελεστών βάρους p, - περιλαμβάνονται στη συνάρτηση (4), σας επιτρέπει να ελέγχετε τις ιδιότητες της εξομάλυνσης των σφηνών σε κάποιο βαθμό. Εάν τα πάντα και η λωρίδα εξομάλυνσης αποδειχθεί παρεμβολή. Αυτό, ειδικότερα, σημαίνει ότι όσο ακριβέστερα καθορίζονται οι τιμές, τόσο μικρότεροι αναμένεται να είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθμισης. Εάν είναι απαραίτητο να περάσει το spline από το σημείο (x^, Vk), τότε ο συντελεστής στάθμισης p\ που αντιστοιχεί σε αυτό θα πρέπει να οριστεί ίσος με το μηδέν. Σε πρακτικούς υπολογισμούς, το πιο σημαντικό πράγμα είναι η επιλογή των τιμών pi-Let D, - το σφάλμα στη μέτρηση της τιμής y,. Στη συνέχεια, είναι φυσικό να απαιτείται η σπονδυλική στήλη εξομάλυνσης να ικανοποιεί την συνθήκη ή, η οποία είναι η ίδια.Στην απλούστερη περίπτωση, οι συντελεστές στάθμισης pi μπορούν να καθοριστούν, για παράδειγμα, στη μορφή - όπου c είναι κάποια αρκετά μικρή σταθερά. Ωστόσο, αυτή η επιλογή βαρών p δεν επιτρέπει τη χρήση "διαδρόμου" λόγω σφαλμάτων στις τιμές y, -. Ένας πιο ορθολογικός, αλλά και πιο απαιτητικός αλγόριθμος για τον προσδιορισμό των τιμών p μπορεί να μοιάζει με αυτό. Εάν οι τιμές βρεθούν στην fc-th επανάληψη, τότε υποτίθεται ότι όπου e είναι ένας μικρός αριθμός που επιλέγεται πειραματικά λαμβάνοντας υπόψη το πλέγμα bit του υπολογιστή, τις τιμές του D και την ακρίβεια του επίλυση του συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Εάν στην fc-th επανάληψη στο σημείο i παραβιαστεί η συνθήκη (6), τότε ο τελευταίος τύπος θα εξασφαλίσει μείωση του αντίστοιχου συντελεστή βάρους p,. Αν τότε στην επόμενη επανάληψη, μια αύξηση στο p οδηγεί σε πληρέστερη χρήση του «διαδρόμου» (6) και, τελικά, σε μια πιο ομαλά μεταβαλλόμενη spline. Λίγη θεωρία Α. Αιτιολόγηση τύπων για τον υπολογισμό των συντελεστών ενός κυβικού spline παρεμβολής. Ας εισαγάγουμε τον συμβολισμό όπου m, είναι προς το παρόν άγνωστες ποσότητες. Ο αριθμός τους είναι ίσος με m + 1. Ένα spline γραμμένο με τη μορφή όπου ικανοποιεί τις συνθήκες παρεμβολής και είναι συνεχές σε όλο το διάστημα [a, b\: βάζοντάς το στον τύπο, λαμβάνουμε αντίστοιχα. Επιπλέον, έχει ένα συνεχής πρώτη παράγωγος στο διάστημα [a, 6]: Διαφοροποιώντας τη σχέση (7) και βάζοντάς την, παίρνουμε την αντίστοιχη πράγματι. Ας δείξουμε ότι οι αριθμοί m μπορούν να επιλεγούν έτσι ώστε η συνάρτηση spline (7) να έχει μια συνεχή δεύτερη παράγωγο στο διάστημα [a, 6]. Ας υπολογίσουμε τη δεύτερη παράγωγο του spline στο διάστημα: Στο σημείο x, - 0 (στο t = 1) έχουμε Ας υπολογίσουμε τη δεύτερη παράγωγο του spline στο διάστημα Στο σημείο που έχουμε Από την συνθήκη της συνέχειας του δεύτερη παράγωγος στους εσωτερικούς κόμβους του πλέγματος α. παίρνουμε σχέση m - 1 όπου προσθέτοντας σε αυτές τις m - 1 εξισώσεις άλλες δύο, που προκύπτουν από τις οριακές συνθήκες, προκύπτει ένα σύστημα m + 1 γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με m + I άγνωστο miy i = 0, 1. ... , Μ. Το σύστημα εξισώσεων για τον υπολογισμό των τιμών του rsh στην περίπτωση των συνοριακών συνθηκών του 1ου και του 2ου τύπου έχει τη μορφή όπου (οριακές συνθήκες 1ου τύπου), (οριακές συνθήκες 2ου τύπου). Για περιοδικές οριακές συνθήκες (οριακές συνθήκες τύπου 3), το πλέγμα o; επεκτείνετε κατά έναν ακόμη κόμβο και υποθέστε Τότε το σύστημα για τον προσδιορισμό των τιμών του σ* θα έχει τη μορφή συνέχειας στον δεύτερο και (ο - !)-ο κόμβο πλέγματος. Έχουμε Από τις δύο τελευταίες σχέσεις λαμβάνουμε τις δύο εξισώσεις που λείπουν που αντιστοιχούν στις συνοριακές συνθήκες του 4ου τύπου: Εξαιρώντας το άγνωστο goo από τις εξισώσεις και το άγνωστο pc από τις εξισώσεις, ως αποτέλεσμα προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων. Σημειώστε ότι ο αριθμός των αγνώστων σε αυτό το σύστημα είναι th - I. 6. Αιτιολόγηση των τύπων για τον υπολογισμό της απόδοσης μιας εξομάλυνσης subichess spline. Ας εισαγάγουμε τον συμβολισμό όπου τα Zi και nj είναι προς το παρόν άγνωστες ποσότητες. Ο αριθμός τους είναι 2m + 2. Η συνάρτηση spline που γράφεται στη μορφή είναι συνεχής σε όλο το διάστημα 8), είχε μια συνεχή πρώτη παράγωγο στο διάστημα [a, 6]. Ας υπολογίσουμε την πρώτη παράγωγο του spline S(x) στο διάστημα: Στο σημείο x^ - 0 (στο t = 1) έχουμε Ας υπολογίσουμε την πρώτη παράγωγο του spline 5(x) στο διάστημα: Στο σημείο που έχουμε Από την συνθήκη της συνέχειας της πρώτης παραγώγου του spline στους εσωτερικούς κόμβους του πλέγματος και --> λαμβάνουμε τη σχέση m - 1. Αυτή η σχέση γράφεται εύκολα σε μορφή πίνακα. Χρησιμοποιείται ο ακόλουθος συμβολισμός. Επιπλέον, ο spline στο διάστημα [a, 6) έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο: διαφοροποιώντας τη σχέση (8) και βάζοντάς την, λαμβάνουμε αντίστοιχα.Επιπλέον, η σχέση πίνακα προκύπτει από την συνθήκη για το ελάχιστο της συνάρτησης (4). Έχουμε Οι δύο τελευταίες ισότητες πίνακα μπορούν να θεωρηθούν ως ένα γραμμικό σύστημα 2m + 2 γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις για 2m + 2 αγνώστους. Αντικαθιστώντας τη στήλη r στην πρώτη ισότητα με την έκφρασή της που προκύπτει από τη σχέση (9), καταλήγουμε στην εξίσωση πίνακα SPLINE THEORY παραδείγματα λύσεων για τον προσδιορισμό της στήλης M. Αυτή η εξίσωση έχει μια μοναδική λύση λόγω του γεγονότος ότι ο πίνακας A + 6HRH7 είναι πάντα μη εκφυλισμένος. Αφού το βρήκαμε, μπορούμε εύκολα να αναγνωρίσουμε την πόλη Emsshine. Τα στοιχεία των πινάκων threadmagolal A και H καθορίζονται μόνο από τις παραμέτρους του πλέγματος και (με τα βήματα hi) και δεν εξαρτώνται από τις τιμές του y^. Γραμμικός χώρος κυβικών συναρτήσεων spline Το σύνολο κυβικών γραμμών που κατασκευάζονται στο τμήμα [a, 6) κατά μήκος του πλέγματος wcra+l κόμβου είναι γραμμικός χώρος διαστάσεις m + 3: 1) το άθροισμα δύο κυβικών σφήνων που κατασκευάζονται στο πλέγμα u>, και το γινόμενο μιας κυβικής σφήνας που κατασκευάζεται στο πλέγμα u> με έναν αυθαίρετο αριθμό είναι κυβικές σφήνες που κατασκευάζονται σε αυτό το πλέγμα, 2) οποιαδήποτε κυβική σφήνα κατασκευασμένο σε πλέγμα και από κόμβο, καθορίζεται πλήρως από την τιμή m + 1 των τιμών του y" σε αυτούς τους κόμβους και δύο οριακές συνθήκες - συνολικά + 3 παραμέτρους. Επιλέγοντας μια βάση σε αυτό το διάστημα που αποτελείται από m + 3 γραμμικά ανεξάρτητες σφήνες, μπορούμε να γράψουμε μια αυθαίρετη κυβική spline a(x) ως γραμμικό συνδυασμό τους με μοναδικό τρόπο. Σχόλιο. Αυτός ο τύπος ανάθεσης spline είναι ευρέως διαδεδομένος στην υπολογιστική πρακτική. Ιδιαίτερα βολική είναι μια βάση δεδομένων που αποτελείται από τα λεγόμενα κυβικά B-splines (βασικά, ή θεμελιώδη, splines). Η χρήση D-splines μπορεί να μειώσει σημαντικά τις απαιτήσεις για μνήμη υπολογιστή. L-splines. Μια B-spline μηδενικού βαθμού, κατασκευασμένη στην αριθμητική γραμμή κατά μήκος του πλέγματος w, ονομάζεται συνάρτηση pitchfork. B-spline βαθμού k ^ I, κατασκευασμένη στην αριθμητική γραμμή κατά μήκος του πλέγματος u, προσδιορίζεται μέσω του επαναλαμβανόμενου τύπος Οι γραφικές παραστάσεις των B-spline των πρώτων μοιρών B, -1 "(g) και δεύτερου σε\7\x) παρουσιάζονται στα Σχ. 11 και 12, αντίστοιχα. Μια B-spline αυθαίρετου βαθμού k μπορεί να είναι διαφορετική από το μηδέν μόνο σε ένα συγκεκριμένο τμήμα (που ορίζεται από k + 2 κόμβους) Είναι πιο βολικό να αριθμούνται κυβικά B-splines έτσι ώστε η spline B, -3* (π) να είναι διαφορετική από το μηδέν στο τμήμα r,-+2]. Παρουσιάζουμε τον τύπο για μια κυβική σφήνα τρίτου βαθμού για την περίπτωση ενός ομοιόμορφου πλέγματος (με βήμα Α). Έχουμε σε άλλες περιπτώσεις. Ένα τυπικό γράφημα μιας κυβικής σφήνας Β παρουσιάζεται στο Σχ. 13. Με δανεισμός*, η συνάρτηση α) είναι δύο φορές συνεχώς διαφοροποιήσιμη στο διάστημα, δηλαδή ανήκει στην κλάση C2[a, "), k b) είναι διαφορετική από το μηδέν μόνο σε τέσσερα διαδοχικά διαστήματα (Ας συμπληρώσουμε το πλέγμα w με βοηθητικούς κόμβους Με το εκτεταμένο πλέγμα w*, μπορούμε να κατασκευάσουμε μια οικογένεια από m + 3 κυβικά B-splines: Αυτή η οικογένεια αποτελεί βάση στο χώρο των κυβικών γραμμών στο τμήμα (a, b]. Έτσι, ένα αυθαίρετο κυβικό spline S(z), κατασκευασμένο στο τμήμα |b, 6] πλέγμα o; Ο κόμβος izm+1, μπορεί να αναπαρασταθεί σε αυτό το τμήμα με τη μορφή γραμμικού συνδυασμού.Με τις συνθήκες του προβλήματος, οι συντελεστές ft αυτής της επέκτασης καθορίζονται μοναδικά. ... Στην περίπτωση που δίνονται οι τιμές y* της συνάρτησης στους κόμβους του πλέγματος και οι τιμές y o και Ym της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης στα άκρα του πλέγματος (το πρόβλημα της παρεμβολής με το όριο συνθήκες πρώτου είδους), οι συντελεστές αυτοί υπολογίζονται από το σύστημα της παρακάτω φόρμας Μετά την εξαίρεση ποσότητες β-θκαι &m+i, λαμβάνουμε ένα γραμμικό σύστημα με αγνώστους 5q, ..., bm και τρισδιάστατο πίνακα. Η συνθήκη εξασφαλίζει τη διαγώνια κυριαρχία και, ως εκ τούτου, τη δυνατότητα χρήσης της μεθόδου σάρωσης για την επίλυσή της. 3MMCHMY 1. Γραμμικά συστήματαΠαρόμοιοι τύποι προκύπτουν όταν εξετάζονται άλλα προβλήματα παρεμβολής. Zmmchnm* 2. Σε σύγκριση με τους αλγόριθμους που περιγράφονται στην ενότητα 1.1, η χρήση του R-spline σε προβλήματα παρεμβολής * μας επιτρέπει να μειώσουμε* την ποσότητα των αποθηκευμένων πληροφοριών, δηλαδή να μειώσουμε σημαντικά τις απαιτήσεις για μνήμη υπολογιστή, αν και οδηγεί σε αύξηση του αριθμού των πράξεων. Κατασκευή καμπυλών spline με χρήση συναρτήσεων spline Παραπάνω, εξετάσαμε πίνακες των οποίων τα σημεία ήταν αριθμημένα έτσι ώστε τα τετμημένα τους να σχηματίζουν μια αυστηρά αυξανόμενη ακολουθία. Για παράδειγμα, η περίπτωση που φαίνεται στο Σχ. 14, όταν διαφορετικά σημεία του πίνακα έχουν την ίδια τετμημένη, δεν επιτρεπόταν. Αυτή η περίσταση καθόρισε τόσο την επιλογή της κατηγορίας προσεγγιστικών καμπυλών (συναρτήσεις κυκλοφορίας) όσο και τη μέθοδο κατασκευής τους. Ωστόσο, η μέθοδος που προτείνεται παραπάνω καθιστά δυνατή την αρκετά επιτυχημένη κατασκευή μιας καμπύλης παρεμβολής στη γενικότερη περίπτωση, όταν η αρίθμηση των σημείων του πίνακα και η θέση τους στο επίπεδο, κατά κανόνα, δεν σχετίζονται (Εικ. 15). Επιπλέον, όταν ορίζουμε την εργασία κατασκευής μιας καμπύλης παρεμβολής, μπορούμε να θεωρήσουμε τον δεδομένο πίνακα ως μη επίπεδο, δηλαδή είναι σαφές ότι για να λυθεί αυτό το γενικό πρόβλημα είναι απαραίτητο να επεκταθεί σημαντικά η κατηγορία των αποδεκτών καμπυλών, συμπεριλαμβανομένων των κλειστών καμπύλες, καμπύλες με σημεία αυτοτομής και χωρικές καμπύλες. Είναι βολικό να περιγράψουμε τέτοιες καμπύλες χρησιμοποιώντας παραμετρικές εξισώσειςΘα το απαιτήσουμε. Επιπλέον, οι συναρτήσεις πρέπει να έχουν επαρκή ομαλότητα, για παράδειγμα, ανήκουν στην κλάση C1 [a, /0] ή στην κλάση Για να βρείτε τις παραμετρικές εξισώσεις μιας καμπύλης που διέρχεται διαδοχικά από όλα τα σημεία του πίνακα, προχωρήστε ως εξής. 1ο βήμα. Σε ένα αυθαίρετα ληφθέν τμήμα, πραγματοποιείται κατά μήκος των τριών πλησιέστερων σημείων.

Παρεμβολή κυβικών γραμμών

Τα τελευταία χρόνια, ένας νέος κλάδος των σύγχρονων υπολογιστικών μαθηματικών αναπτύσσεται εντατικά - η θεωρία σφήνες.Τα Splines καθιστούν δυνατή την αποτελεσματική επίλυση προβλημάτων επεξεργασίας πειραματικών εξαρτήσεων μεταξύ παραμέτρων που έχουν μια μάλλον πολύπλοκη δομή.

Οι μέθοδοι τοπικής παρεμβολής που συζητήθηκαν παραπάνω είναι ουσιαστικά η απλούστερη spline του πρώτου βαθμού (για γραμμική παρεμβολή) και του δεύτερου βαθμού (για την τετραγωνική παρεμβολή).

Λόγω της απλότητάς τους, οι κυβικές σφήνες έχουν βρει την ευρύτερη πρακτική εφαρμογή. Οι βασικές ιδέες της θεωρίας των κυβικών σφηνών διαμορφώθηκαν ως αποτέλεσμα των προσπαθειών να περιγραφούν μαθηματικά εύκαμπτες πήχες από ελαστικό υλικό (μηχανικές σφήνες), οι οποίες έχουν χρησιμοποιηθεί από καιρό από τους σχεδιαστές σε περιπτώσεις όπου υπήρχε ανάγκη να τραβήξουν δοθέντες πόντουςμια αρκετά ομαλή καμπύλη. Είναι γνωστό ότι μια λωρίδα ελαστικού υλικού, στερεωμένη σε ορισμένα σημεία και σε θέση ισορροπίας, παίρνει μια μορφή στην οποία η ενέργειά της είναι ελάχιστη. Αυτή η θεμελιώδης ιδιότητα καθιστά δυνατή την αποτελεσματική χρήση splines για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων επεξεργασίας πειραματικών πληροφοριών.

Σε γενικές γραμμές, για τη λειτουργία y = f(Χ) απαιτείται για να βρεθεί μια προσέγγιση y=j(Χ) Με τον τρόπο που φά(x i)= ι(x i) σε σημεία Χ = Χ i , a σε άλλα σημεία του τμήματος [ α, β] αξίες

λειτουργίες φά(Χ) Και ι(Χ) ήταν κοντά ο ένας στον άλλο. Με έναν μικρό αριθμό πειραματικών σημείων (για παράδειγμα, 6-8), μια από τις μεθόδους για την κατασκευή πολυωνύμων παρεμβολής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του προβλήματος παρεμβολής. Ωστόσο, με μεγάλο αριθμό κόμβων, τα πολυώνυμα παρεμβολής γίνονται πρακτικά άχρηστα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο βαθμός του πολυωνύμου παρεμβολής είναι μόνο ένα μικρότερος από τον αριθμό των πειραματικών τιμών των συναρτήσεων. Είναι δυνατόν, φυσικά, να διαιρέσουμε το τμήμα στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση σε τμήματα που περιέχουν μικρό αριθμό πειραματικών σημείων και για καθένα από αυτά να κατασκευαστούν πολυώνυμα παρεμβολής. Ωστόσο, σε αυτήν την περίπτωση, η προσεγγιστική συνάρτηση θα έχει σημεία όπου η παράγωγος δεν είναι συνεχής, δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης θα περιέχει σημεία «διακοπής».

Οι κυβικές σφήνες δεν έχουν αυτό το μειονέκτημα. Μελέτες της θεωρίας δέσμης έχουν δείξει ότι μια εύκαμπτη λεπτή δέσμη μεταξύ δύο κόμβων περιγράφεται αρκετά καλά από ένα κυβικό πολυώνυμο, και εφόσον δεν καταρρέει, η συνάρτηση προσέγγισης πρέπει να είναι τουλάχιστον συνεχώς διαφοροποιήσιμη. Αυτό σημαίνει ότι οι λειτουργίες ι(Χ), ι'(Χ), j"(Χ) πρέπει να είναι συνεχής στο τμήμα [ α, β].

Κυβικός σπάγγος παρεμβολής , που αντιστοιχεί σε αυτή τη λειτουργία φά(Χ) και αυτούς τους κόμβους xi,που ονομάζεται συνάρτηση y(Χ), πληρούν τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

1. σε κάθε τμήμα [ x i — 1 , xi], i = 1, 2, ..., nλειτουργία y(Χ) είναι ένα πολυώνυμο τρίτου βαθμού,

Λειτουργία y(Χ), και επίσης η πρώτη και η δεύτερη παράγωγός του είναι συνεχείς στο διάστημα [ α, β],

Κυβικός σφήναςείναι κολλημένο μεταξύ τους από πολυώνυμα τρίτου βαθμού, που για Εγώ- το τμήμα γράφεται ως εξής:

Για όλο το διάστημα θα είναι ανάλογα Πκυβικά πολυώνυμα που διαφέρουν ως προς τους συντελεστές ΕΝΑΕγώ, β i, γ i, d i. Τις περισσότερες φορές, οι κόμβοι κατά την παρεμβολή spline τοποθετούνται ομοιόμορφα, δηλ. ΧΕγώ +1 -ΧΕγώ = συνθ = η (αν και αυτό δεν είναι απαραίτητο).

Είναι απαραίτητο να βρεθούν τέσσερις συντελεστές με την προϋπόθεση ότι κάθε πολυώνυμο διέρχεται από δύο σημεία (x Εγώ, y Εγώ) και (χ Εγώ +1 , y Εγώ +1 ) , που καταλήγει στις ακόλουθες προφανείς εξισώσεις:

Η πρώτη συνθήκη αντιστοιχεί στο πέρασμα του πολυωνύμου από το σημείο εκκίνησης, η δεύτερη - στο τελικό σημείο. Είναι αδύνατο να βρεθούν όλοι οι συντελεστές από αυτές τις εξισώσεις, καθώς υπάρχουν λιγότερες συνθήκες από τις απαιτούμενες παραμέτρους. Επομένως, αυτές οι συνθήκες συμπληρώνονται με τις συνθήκες ομαλότητας της συνάρτησης (δηλαδή, συνέχεια της πρώτης παραγώγου) και ομαλότητας της πρώτης παραγώγου (δηλαδή, συνέχεια της δεύτερης παραγώγου) στους κόμβους παρεμβολής. Μαθηματικά, αυτές οι συνθήκες γράφονται ως ισότητες, αντίστοιχα, της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου στο τέλος Εγώκαι στην αρχή ( Εγώ+1 )-ο οικόπεδα.

Από , Οτι

(y’ (x i +1 ) στο τέλος Εγώ-το οικόπεδο ισούται με εσυ(ΧΕγώ +1 ) αρχικά ( Εγώ+1 )-ου),

(y"(ΧΕγώ +1 ) στο τέλος Εγώ-το οικόπεδο ισούται με y" (χΕγώ +1 ) αρχικά ( Εγώ+1)ου).

Το αποτέλεσμα είναι ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων (για όλα τα τμήματα) που περιέχει 4n - 2 εξισώσεις με 4n αγνώστους (άγνωστα a 1, a 2,..., a n, b 1,..., d n - συντελεστές spline). Για να λύσετε το σύστημα, προσθέστε δύο οριακές συνθήκες ενός από τους παρακάτω τύπους (τις περισσότερες φορές χρησιμοποιείται 1):

Η κοινή λύση των 4n εξισώσεων σας επιτρέπει να βρείτε όλους τους συντελεστές 4n.

Για να επαναφέρετε παραγώγους, μπορείτε να διαφοροποιήσετε το αντίστοιχο κυβικό πολυώνυμο σε κάθε τμήμα. Εάν είναι απαραίτητος ο προσδιορισμός των παραγώγων σε κόμβους, υπάρχουν ειδικές τεχνικές που μειώνουν τον προσδιορισμό των παραγώγων στην επίλυση ενός απλούστερου συστήματος εξισώσεων για τις επιθυμητές παραγώγους δεύτερης ή πρώτης τάξης. Σημαντικά πλεονεκτήματα της παρεμβολής κυβικού spline περιλαμβάνουν τη λήψη μιας συνάρτησης που έχει την ελάχιστη δυνατή καμπυλότητα. Τα μειονεκτήματα της παρεμβολής spline περιλαμβάνουν την ανάγκη λήψης ενός σχετικά μεγάλου αριθμού παραμέτρων.

Ας λύσουμε το πρόβλημα της παρεμβολής χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα MathCAD. Για να το κάνουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε την ενσωματωμένη συνάρτηση interp(VS,x,y,z) . Μεταβλητές Χ Και y καθορίστε τις συντεταγμένες των κομβικών σημείων, z είναι ένα όρισμα συνάρτησης, VS ορίζει τον τύπο

οριακές συνθήκες στα άκρα του διαστήματος.

Ας ορίσουμε συναρτήσεις παρεμβολής για τρεις τύπους κυβικών spline

Εδώ cspline (VX , VY) επιστρέφει ένα διάνυσμα VSδεύτερες παράγωγοι όταν προσεγγίζουμε ένα κυβικό πολυώνυμο σε σημεία αναφοράς.

pspline(VX, VY) επιστρέφει ένα διάνυσμα VSδεύτερες παράγωγοι όταν πλησιάζουν σημεία αναφοράς σε παραβολική καμπύλη.

lspline(VX, VY) επιστρέφει ένα διάνυσμα VSδεύτερες παράγωγοι κατά την προσέγγιση των σημείων αναφοράς της γραμμής.

interp(VS, VX, VY, Χ) επιστρέφει τιμή y(Χ) για δεδομένα διανύσματα VS, VX, VYκαι ορίστε την τιμή Χ.

Υπολογίζουμε τις τιμές των συναρτήσεων παρεμβολής σε δεδομένα σημεία και συγκρίνουμε τα αποτελέσματα με τις ακριβείς τιμές

Λάβετε υπόψη ότι τα αποτελέσματα της παρεμβολής από διαφορετικούς τύπους κυβικών γραμμών είναι πρακτικά τα ίδια στα εσωτερικά σημεία του διαστήματος και συμπίπτουν με τις ακριβείς τιμές της συνάρτησης. Κοντά στις άκρες του διαστήματος, η διαφορά γίνεται πιο αισθητή, και όταν προεκταθεί πέρα ​​από ένα δεδομένο διάστημα, διαφορετικοί τύποι splines δίνουν σημαντικά διαφορετικά αποτελέσματα. Για μεγαλύτερη σαφήνεια, ας παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα σε ένα γράφημα (Εικ. 3.5)

Ρύζι. 3.5 Παρεμβολή κυβικών γραμμών

Εάν η συνάρτηση καθορίζεται διακριτά, τότε οι πίνακες δεδομένων καθορίζονται για παρεμβολή.

Στην καθολική παρεμβολή, η πολυωνυμική παρεμβολή χρησιμοποιείται συχνότερα. n-ο βαθμός ή παρεμβολή Lagrange.

Η κλασική προσέγγιση βασίζεται στην απαίτηση της αυστηρής αντιστοίχισης των αξιών φά(Χ) Και ι(Χ) σε σημεία x i(i = 0, 1, 2, … n).

Θα αναζητήσουμε τη συνάρτηση παρεμβολής ι(Χ) με τη μορφή πολυωνύμου βαθμού n.

Αυτό το πολυώνυμο έχει n+ 1 συντελεστής. Είναι φυσικό να το υποθέσουμε n+ 1 προϋποθέσεις

ι(Χ 0) = y 0 , ι(Χ 1) = y 1 , . . ., ι(x n) = y n (3.4)

επάλληλα στο πολυώνυμο

καθιστούν δυνατό τον αναμφισβήτητο προσδιορισμό των συντελεστών του. Πράγματι, απαιτητικό για ι(Χ) εκπλήρωση των προϋποθέσεων (3.4) , έχουμε ένα σύστημα n+ 1 εξισώσεις με n+ 1 άγνωστο:

(3.6)

Επίλυση αυτού του συστήματος για άγνωστους ένα 0 ,ένα 1 , …, ένα nλαμβάνουμε μια αναλυτική έκφραση για το πολυώνυμο (3.5). Το σύστημα (3.6) έχει πάντα μια μοναδική λύση , επειδή καθοριστική του

γνωστό στην άλγεβρα ως Ορίζουσα Vandermondeμη μηδενικό . αυτό υπονοεί , ότι το πολυώνυμο παρεμβολής ι(Χ) για λειτουργία φά(Χ), που δίνεται σε πίνακα, υπάρχει και είναι μοναδικό.

Η εξίσωση καμπύλης που προκύπτει διέρχεται ακριβώς από τα δεδομένα σημεία. Εκτός των κόμβων παρεμβολής, το μαθηματικό μοντέλο μπορεί να έχει σημαντικό σφάλμα

Τύπος παρεμβολής Lagrange

Αφήστε τις τιμές κάποιας συνάρτησης να είναι γνωστές φά(Χ) V n+ 1 διαφορετικά αυθαίρετα σημεία y i = φά(x i) , Εγώ = 0,…, Π.Για παρεμβολή (επαναφορά) μιας συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο Χ,που ανήκουν στο τμήμα [ x 0, x n], είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί ένα πολυώνυμο παρεμβολής νης τάξης, το οποίο στη μέθοδο Lagrange αναπαρίσταται ως εξής:

Επιπλέον, είναι εύκολο να το παρατηρήσετε Qj(x i) = 0, Αν Εγώ¹ ι, Και Qj(x i) =1, Αν Εγώ= ι. Αν επεκτείνουμε το γινόμενο όλων των αγκύλων στον αριθμητή (στον παρονομαστή όλες οι αγκύλες είναι αριθμοί), θα έχουμε ένα πολυώνυμο νης τάξης σε Χ,αφού ο αριθμητής περιέχει n συντελεστές πρώτης τάξης. Κατά συνέπεια, το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrange δεν είναι τίποτα άλλο από ένα συνηθισμένο πολυώνυμο n-ης τάξης, παρά τη συγκεκριμένη μορφή σημειογραφίας.

Υπολογίστε το σφάλμα παρεμβολής σε ένα σημείο Χαπό [ x 0, xn] (δηλαδή λύστε το δεύτερο

πρόβλημα παρεμβολής) μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον τύπο

Στη φόρμουλα - μέγιστη τιμή της (n+1)ης παραγώγου της αρχικής συνάρτησης φά(Χ)στο τμήμα [ x 0, xn]. Επομένως, για να εκτιμηθεί το σφάλμα παρεμβολής, είναι απαραίτητες κάποιες πρόσθετες πληροφορίες για την αρχική συνάρτηση (αυτό θα πρέπει να είναι κατανοητό, δεδομένου ότι ένας άπειρος αριθμός διαφορετικών συναρτήσεων μπορεί να περάσει από δεδομένα αρχικά σημεία, για τα οποία το σφάλμα θα είναι διαφορετικό). Τέτοιες πληροφορίες είναι η παράγωγος τάξης n+1, που δεν είναι τόσο εύκολο να βρεθεί. Παρακάτω θα δείξουμε πώς να βγείτε από αυτή την κατάσταση. Σημειώστε επίσης ότι η εφαρμογή του τύπου σφάλματος είναι δυνατή μόνο εάν η συνάρτηση είναι διαφοροποιήσιμη n +1 φορές.

Για το χτίσιμο Τύπος παρεμβολής Lagrangeστο MathCAD είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση αν.

αν (συνθήκη, x, y)

Επιστρέφει την τιμή του x αν ο cond δεν είναι 0 (true). Επιστρέφει την τιμή του y αν cond είναι 0 (false) (Εικόνα 3.6).

2.2 Παρεμβολή με χρήση κυβικού spline

Μια κυβική spline παρεμβολής που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη συνάρτηση f(x) και σε δεδομένους κόμβους x i είναι μια συνάρτηση S(x) που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

1. Σε κάθε τμήμα , i = 1, 2, ..., N, η συνάρτηση S(x) είναι πολυώνυμο τρίτου βαθμού,

2. Η συνάρτηση S(x), καθώς και η πρώτη και η δεύτερη παράγωγός της, είναι συνεχείς στο διάστημα,

3. S(x i) = f(x i), i = 0, 1, ..., N.

Σε καθένα από τα τμήματα , i = 1, 2, ..., N, θα αναζητήσουμε τη συνάρτηση S(x) = S i (x) με τη μορφή πολυωνύμου τρίτου βαθμού:

S i (x) = a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3,

x i - 1 Ј x Ј x i,

όπου τα i, b i, c i, d i είναι συντελεστές που πρέπει να προσδιοριστούν και στα n στοιχειώδη τμήματα. Για να έχει λύση ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων, ο αριθμός των εξισώσεων πρέπει να είναι ακριβώς ίσος με τον αριθμό των αγνώστων. Επομένως θα πρέπει να πάρουμε 4n εξισώσεις.

Λαμβάνουμε τις πρώτες 2n εξισώσεις από την προϋπόθεση ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης S(x) πρέπει να διέρχεται από τα δεδομένα σημεία, δηλ.

S i (x i - 1) = y i - 1, S i (x i) = y i.

Αυτές οι προϋποθέσεις μπορούν να γραφτούν ως εξής:

S i (x i - 1) = a i = y i - 1,

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n.

Οι ακόλουθες 2n - 2 εξισώσεις προκύπτουν από την συνθήκη της συνέχειας της πρώτης και της δεύτερης παραγώγου στους κόμβους παρεμβολής, δηλ. την συνθήκη ομαλότητας της καμπύλης σε όλα τα σημεία.

S i + 1 (x i) = S i (x i), i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = b i + 2 c i (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

Εξισώνοντας σε κάθε εσωτερικό κόμβο x = x i τις τιμές αυτών των παραγώγων, που υπολογίζονται στα διαστήματα αριστερά και δεξιά του κόμβου, λαμβάνουμε (λαμβάνοντας υπόψη h i = x i - x i - 1):

b i + 1 = b i + 2 h i c i + 3h d i , i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i),

αν x = x i

c i + 1 = c i + 3 h i d i , i = 1,2, ..., n - 1.

Σε αυτό το στάδιο έχουμε 4n αγνώστους και 4n - 2 εξισώσεις. Επομένως, πρέπει να βρεθούν δύο ακόμη εξισώσεις.

Όταν τα άκρα είναι χαλαρά στερεωμένα, η καμπυλότητα της γραμμής σε αυτά τα σημεία μπορεί να μηδενιστεί. Από τις συνθήκες μηδενικής καμπυλότητας στα άκρα προκύπτει ότι οι δεύτερες παράγωγοι σε αυτά τα σημεία είναι ίσες με μηδέν:

S 1 (x 0) = 0 και S n (x n) = 0,

c i = 0 και 2 c n + 6 d n h n = 0.

Οι εξισώσεις αποτελούν ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων για τον προσδιορισμό 4n συντελεστών: a i, b i, c i, d i (i = 1, 2, . . . ., n).

Αυτό το σύστημα μπορεί να μεταφερθεί σε πιο βολική μορφή. Από την συνθήκη μπορείτε να βρείτε αμέσως όλους τους συντελεστές a i.

i = 1, 2, ..., n - 1,

Αντικαθιστώντας, παίρνουμε:

b i = - (c i + 1 + 2c i) , i = 1,2, ..., n - 1,

b n = - (h n c n)

Εξαιρούμε τους συντελεστές b i και d i από την εξίσωση. Τέλος, λαμβάνουμε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων μόνο για συντελεστές με i:

c 1 = 0 και c n + 1 = 0:

h i - 1 c i - 1 + 2 (hi - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3,

i = 2, 3, ..., n.

Από τους συντελεστές που βρέθηκαν με το i είναι εύκολο να υπολογιστεί το d i,b i.

Υπολογισμός ολοκληρωμάτων με τη μέθοδο Monte Carlo

Αυτό το προϊόν λογισμικού εφαρμόζει τη δυνατότητα να θέτει πρόσθετους περιορισμούς στην περιοχή ολοκλήρωσης από δύο δισδιάστατες επιφάνειες spline (για μια ολοκληρωμένη συνάρτηση διάστασης 3)...

Παρεμβολή συνάρτησης

Ας δοθεί ένας πίνακας τιμών συνάρτησης f(xi) = yi (), στον οποίο είναι διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά τιμών ορίσματος: x0< x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3...

Παρεμβολή spline

Παρεμβολή spline

Παρεμβολή spline

Ας εξοικειωθούμε με τον αλγόριθμο του προγράμματος. 1. Υπολογίστε τις τιμές και 2. Με βάση αυτές τις τιμές, υπολογίστε τους συντελεστές λειτουργίας και o. 3. Με βάση τα δεδομένα που ελήφθησαν, υπολογίζουμε τους συντελεστές 4...

Μαθηματική μοντελοποίηση τεχνικών αντικειμένων

Οι ενσωματωμένες λειτουργίες MathCAD επιτρέπουν στην παρεμβολή να σχεδιάζει καμπύλες διαφορετικού βαθμού πολυπλοκότητας μέσω πειραματικών σημείων. Γραμμική παρεμβολή...

Μέθοδοι προσέγγισης συναρτήσεων

Σε κάθε τμήμα, το πολυώνυμο παρεμβολής είναι ίσο με μια σταθερά, δηλαδή την αριστερή ή τη δεξιά τιμή της συνάρτησης. Για αριστερή τμηματική γραμμική παρεμβολή F(x)= fi-1, εάν xi-1 ?x

Μέθοδοι προσέγγισης συναρτήσεων

Σε κάθε διάστημα η συνάρτηση είναι γραμμική Fi(x)=kix+li. Οι τιμές των συντελεστών βρίσκονται εκπληρώνοντας τις συνθήκες παρεμβολής στα άκρα του τμήματος: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi. Παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi, από όπου βρίσκουμε ki=li= fi-kixi...

Μέθοδοι επίλυσης συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Παρεμβολή

Δήλωση του προβλήματος παρεμβολής. Ένα σύστημα σημείων (κόμβοι παρεμβολής) xi, i=0,1,…,N καθορίζεται στο διάστημα. ένα? x i ? b, και τις τιμές της άγνωστης συνάρτησης σε αυτούς τους κόμβους fn i=0,1,2,…,N. Μπορούν να οριστούν οι ακόλουθες εργασίες: 1) Κατασκευάστε τη συνάρτηση F (x)...

Κατασκευή μαθηματικού μοντέλου που περιγράφει τη διαδικασία επίλυσης διαφορικής εξίσωσης

3.1 Κατασκευή του πολυωνύμου παρεμβολής Lagrange και συμπύκνωση τιμών Η προφανής μέθοδος για την επίλυση αυτού του προβλήματος είναι ο υπολογισμός των τιμών του ѓ(x) χρησιμοποιώντας τις αναλυτικές τιμές της συνάρτησης ѓ. Για τον σκοπό αυτό -σύμφωνα με τις πρώτες πληροφορίες...

Αν είναι δυνάμεις (1, x, x2, ..., xn), τότε μιλάμε για αλγεβρική παρεμβολή και η συνάρτηση ονομάζεται πολυώνυμο παρεμβολής και συμβολίζεται ως: (4) Αν () (5), τότε μπορούμε κατασκευάστε ένα πολυώνυμο παρεμβολής βαθμού n και, επιπλέον, μόνο ενός...

Πρακτική εφαρμογή παρεμβολής ομαλών συναρτήσεων

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα παρεμβολής για στοιχεία συνόλου. Για απλότητα και συντομία, ας πάρουμε =[-1;1], . Αφήστε τα σημεία να είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ας θέσουμε το εξής πρόβλημα: (12) κατασκευάστε ένα πολυώνυμο που να ικανοποιεί αυτές τις συνθήκες...

Εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι

Έτσι, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, το καθήκον της παρεμβολής είναι να βρεθεί ένα πολυώνυμο του οποίου η γραφική παράσταση διέρχεται από τα δεδομένα σημεία. Έστω η συνάρτηση y=f(x) να καθοριστεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα (Πίνακας 1)...

Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων