Δεκαδικό κλάσμα είναι ένα κλάσμα στο οποίο ο παρονομαστής είναι μια φυσική δύναμη του 10. Αυτό, για παράδειγμα, είναι ένα κλάσμα. Αυτό το κλάσμα μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή: γράψτε τους αριθμούς του αριθμητή σε μια γραμμή και διαχωρίστε με ένα κόμμα στα δεξιά τόσα από αυτά όσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή, δηλαδή:

Σε μια τέτοια εγγραφή, οι αριθμοί στα αριστερά της υποδιαστολής σχηματίζουν το ακέραιο μέρος και οι αριθμοί στα δεξιά της υποδιαστολής σχηματίζουν το κλασματικό μέρος αυτού του δεκαδικού κλάσματος.

Έστω p/q κάποιος θετικός ρητός αριθμός. Από την αριθμητική, η διαδικασία διαίρεσης είναι γνωστή, η οποία σας επιτρέπει να αναπαραστήσετε έναν αριθμό ως δεκαδικό κλάσμα. Η ουσία της διαδικασίας διαίρεσης είναι να βρείτε πρώτα ποιος είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός των φορών που το q περιέχεται στο p. αν το p είναι πολλαπλάσιο του q, τότε εδώ τελειώνει η διαδικασία διαίρεσης. Διαφορετικά, εμφανίζεται ένα υπόλοιπο. Στη συνέχεια, βρίσκουν πόσα δέκατα του q περιέχονται σε αυτό το υπόλοιπο και σε αυτό το βήμα η διαδικασία μπορεί να τελειώσει ή να εμφανιστεί ένα νέο υπόλοιπο. Στην τελευταία περίπτωση, βρείτε πόσα εκατοστά του q περιέχει κ.ο.κ.

Εάν ο παρονομαστής q δεν έχει άλλους πρώτους διαιρέτες εκτός από το 2 ή το 5, τότε μετά από έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων το υπόλοιπο θα είναι ίσο με μηδέν, η διαδικασία διαίρεσης θα τελειώσει και το δεδομένο συνηθισμένο κλάσμα θα μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα. Στην πραγματικότητα, σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε πάντα να επιλέξετε έναν τέτοιο ακέραιο που αφού πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεδομένου κλάσματος με αυτόν, να λάβετε ένα κλάσμα ίσο με αυτό, στο οποίο ο παρονομαστής θα είναι φυσική δύναμη του δέκα. Τέτοιο, για παράδειγμα, είναι ένα κλάσμα

που μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Ωστόσο, χωρίς να κάνετε αυτούς τους μετασχηματισμούς, διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή, ο αναγνώστης θα πάρει το ίδιο αποτέλεσμα:

Εάν ο παρονομαστής ενός μη αναγώγιμου κλάσματος έχει τουλάχιστον έναν πρώτο διαιρέτη διαφορετικό από το 2 ή το 5, τότε η διαδικασία της διαίρεσης με το q δεν θα τελειώσει ποτέ (κανένα από τα επόμενα υπόλοιπα δεν θα γίνει μηδέν).

Μετά τη διαίρεση, βρίσκουμε

Για να γράψετε το αποτέλεσμα που προκύπτει σε αυτό το παράδειγμα, οι περιοδικά επαναλαμβανόμενοι αριθμοί 0 και 6 περικλείονται σε παρένθεση και γράφονται:

Σε αυτό το παράδειγμα και σε άλλες παρόμοιες περιπτώσεις, η λειτουργία διαίρεσης δεν οδηγεί σε τελικό δεκαδικό αποτέλεσμα. Είναι δυνατόν, γενικεύοντας την έννοια του δεκαδικού κλάσματος, να πούμε ότι το πηλίκο 965/132 αντιπροσωπεύεται από ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα. Οι επαναλαμβανόμενοι αριθμοί 06 ονομάζονται περίοδος αυτού του κλάσματος και ο αριθμός τους, ίσος στο παράδειγμά μας, είναι τη διάρκεια της περιόδου.

Για να κατανοήσουμε τον λόγο του φαινομένου της περιοδικότητας ενός κλάσματος, ας αναλύσουμε, για παράδειγμα, τη διαδικασία της διαίρεσης με το 7. Εάν η διαίρεση δεν εκτελεστεί πλήρως, τότε εμφανίζεται ένα υπόλοιπο, το οποίο μπορεί να έχει μόνο μία από τις ακόλουθες τιμές : 1, 2, 3, 4, 5, 6. Και σε καθένα από τα επόμενα βήματα, το υπόλοιπο θα έχει ξανά μία από αυτές τις έξι τιμές. Επομένως, το αργότερο στο έβδομο βήμα, αναπόφευκτα θα συναντηθούμε με μία από τις υπόλοιπες τιμές που έχουν ήδη εμφανιστεί πριν. Ξεκινώντας από αυτό το σημείο, η διαδικασία διαίρεσης θα γίνει περιοδική. Περιοδικά, τόσο οι τιμές των υπολοίπων όσο και οι αριθμοί του πηλίκου θα επαναλαμβάνονται. Αυτός ο συλλογισμός ισχύει στην περίπτωση οποιουδήποτε άλλου διαιρέτη.

Έτσι, κάθε συνηθισμένο κλάσμα αντιπροσωπεύεται από ένα πεπερασμένο ή άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Είναι αξιοσημείωτο ότι, αντίθετα, κάθε περιοδικό δεκαδικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως συνηθισμένο κλάσμα. Ας δείξουμε πώς εκτελείται αυτή η ενέργεια. Στην περίπτωση αυτή, χρησιμοποιείται ο τύπος για το άθροισμα μιας απεριόριστα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου (παράγραφος 92).

μπορεί να γίνει κατανοητό ως εξής:

εδώ τα μέλη της δεξιάς πλευράς, ξεκινώντας από τη δεύτερη, σχηματίζουν μια άπειρη γεωμετρική πρόοδο με τον παρονομαστή και το πρώτο μέλος

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (92.2):

Είναι σαφές ότι η ίδια διαδικασία θα επιτρέψει σε οποιοδήποτε δεδομένο άπειρο περιοδικό κλάσμα να αναπαρασταθεί με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος (και, όπως φαίνεται, ακριβώς εκείνου από το οποίο προκύπτει το δεδομένο άπειρο περιοδικό κλάσμα με τη σειρά του στη διαδικασία διαίρεση). Ωστόσο, υπάρχει μια εξαίρεση εδώ. Θεωρήστε ένα κλάσμα

και εφαρμόστε σε αυτό τη διαδικασία μετατροπής σε ένα συνηθισμένο κλάσμα:

Φτάσαμε στον αριθμό 1/2, ο οποίος αντιπροσωπεύεται από το τελικό δεκαδικό κλάσμα

Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα θα ληφθεί όποτε η περίοδος ενός δεδομένου άπειρου κλάσματος έχει τη μορφή (9). Επομένως, προσδιορίζουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, όπως, για παράδειγμα,

Μερικές φορές είναι επίσης χρήσιμο να επιτρέπονται εγγραφές της φόρμας

που αντιπροσωπεύει τυπικά πεπερασμένο δεκαδικάως άπειρο με τελεία (0).

Όλα όσα λέγονται για τη μετατροπή ενός συνηθισμένου κλάσματος σε δεκαδικό περιοδικό κλάσμα και αντίστροφα εφαρμόζονται σε θετικούς ορθολογικούς αριθμούς. Στην περίπτωση ενός αρνητικού αριθμού, μπορείτε να κάνετε δύο πράγματα.

1) Πάρτε έναν θετικό αριθμό αντίθετο από έναν δεδομένο αρνητικό αριθμό, μετατρέψτε τον σε δεκαδικό κλάσμα και μετά βάλτε ένα σύμβολο μείον μπροστά του. Για παράδειγμα, για - 5/3 παίρνουμε

2) Παρουσιάστε αυτόν τον αρνητικό ρητό αριθμό ως το άθροισμα του ακέραιου μέρους του (αρνητικό) και του κλασματικού του μέρους (μη αρνητικό) και μετά μετατρέψτε μόνο αυτό το κλασματικό μέρος του αριθμού σε δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα:

Για να γράψετε αριθμούς που αντιπροσωπεύονται ως το άθροισμα του αρνητικού ακέραιου μέρους τους και ενός πεπερασμένου ή άπειρου δεκαδικού κλάσματος, υιοθετείται ο ακόλουθος προσδιορισμός (τεχνητή μορφή γραφής αρνητικού αριθμού):

Εδώ το σύμβολο μείον τοποθετείται όχι πριν από ολόκληρο το κλάσμα, αλλά πάνω από αυτό. ολόκληρο μέροςνα τονίσουμε ότι μόνο το ακέραιο μέρος είναι αρνητικό και το δεκαδικό μετά το κόμμα είναι θετικό.

Μια τέτοια σημείωση δημιουργεί ομοιομορφία στη σημειογραφία θετικών και αρνητικών δεκαδικών κλασμάτων και θα χρησιμοποιηθεί στο μέλλον στη θεωρία των δεκαδικών λογαρίθμων (ενότητα 28). Προτείνουμε στον αναγνώστη για εξάσκηση να ελέγξει τη μετάβαση από τη μια εγγραφή στην άλλη στα παραδείγματα:

Τώρα είναι ήδη δυνατό να διατυπωθεί το τελικό συμπέρασμα: οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί από ένα άπειρο δεκαδικό περιοδικό κλάσμα και, αντίθετα, οποιοδήποτε τέτοιο κλάσμα ορίζει έναν ρητό αριθμό. Το πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα επιτρέπει επίσης δύο μορφές γραφής με τη μορφή άπειρου δεκαδικού κλάσματος: με τελεία (0) και με τελεία (9).

Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε πώς μετατροπή κοινών κλασμάτων σε δεκαδικά, και επίσης εξετάστε την αντίστροφη διαδικασία - τη μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα. Εδώ θα εκφράσουμε τους κανόνες για την αντιστροφή των κλασμάτων και θα δώσουμε λεπτομερείς λύσειςτυπικά παραδείγματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Μετατροπή κοινών κλασμάτων σε δεκαδικά

Ας υποδηλώσουμε τη σειρά με την οποία θα ασχοληθούμε μετατροπή κοινών κλασμάτων σε δεκαδικά.

Αρχικά, θα δούμε πώς να αναπαραστήσουμε συνηθισμένα κλάσματα με παρονομαστές 10, 100, 1000, ... ως δεκαδικά κλάσματα. Αυτό συμβαίνει επειδή τα δεκαδικά κλάσματα είναι ουσιαστικά μια συμπαγής μορφή συνηθισμένων κλασμάτων με παρονομαστές 10, 100, ....

Μετά από αυτό, θα πάμε παρακάτω και θα δείξουμε πώς κάθε συνηθισμένο κλάσμα (όχι μόνο με παρονομαστές 10, 100, ...) μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό κλάσμα. Με αυτή τη μετατροπή των συνηθισμένων κλασμάτων, λαμβάνονται τόσο πεπερασμένα δεκαδικά κλάσματα όσο και άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα.

Τώρα για όλα με τη σειρά.

Μετατροπή συνηθισμένων κλασμάτων με παρονομαστές 10, 100, ... σε δεκαδικά κλάσματα

Ορισμένα κανονικά κλάσματα χρειάζονται "προκαταρκτική προετοιμασία" πριν μετατραπούν σε δεκαδικά. Αυτό ισχύει για συνηθισμένα κλάσματα, ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή των οποίων είναι μικρότερος από τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή. Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα 2/100 πρέπει πρώτα να προετοιμαστεί για μετατροπή σε δεκαδικό κλάσμα, αλλά το κλάσμα 9/10 δεν χρειάζεται να προετοιμαστεί.

Η «προκαταρκτική προετοιμασία» των σωστών συνηθισμένων κλασμάτων για τη μετατροπή σε δεκαδικά κλάσματα συνίσταται στην προσθήκη τόσων πολλών μηδενικών προς τα αριστερά στον αριθμητή, έτσι ώστε ο συνολικός αριθμός των ψηφίων εκεί να γίνει ίσος με τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή. Για παράδειγμα, ένα κλάσμα μετά την προσθήκη μηδενικών θα μοιάζει με .

Αφού προετοιμάσετε το σωστό συνηθισμένο κλάσμα, μπορείτε να αρχίσετε να το μετατρέπετε σε δεκαδικό κλάσμα.

Ας δώσουμε κανόνας για τη μετατροπή ενός σωστού κοινού κλάσματος με παρονομαστή 10, ή 100, ή 1.000, ... σε δεκαδικό κλάσμα. Αποτελείται από τρία βήματα:

• γράψε 0 ;
• βάλε μια υποδιαστολή μετά από αυτό?
• γράψτε τον αριθμό από τον αριθμητή (μαζί με τα μηδενικά που προστέθηκαν, αν τα προσθέσαμε).

Εξετάστε την εφαρμογή αυτού του κανόνα στην επίλυση παραδειγμάτων.

Παράδειγμα.

Μετατρέψτε το σωστό κλάσμα 37/100 σε δεκαδικό.

Λύση.

Ο παρονομαστής περιέχει τον αριθμό 100, ο οποίος έχει δύο μηδενικά στην καταχώρισή του. Ο αριθμητής περιέχει τον αριθμό 37, υπάρχουν δύο ψηφία στην εγγραφή του, επομένως, αυτό το κλάσμα δεν χρειάζεται να προετοιμαστεί για μετατροπή σε δεκαδικό κλάσμα.

Τώρα γράφουμε 0, βάζουμε υποδιαστολή και γράφουμε τον αριθμό 37 από τον αριθμητή, ενώ παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα 0,37.

Απάντηση:

0,37 .

Για να εμπεδώσουμε τις δεξιότητες μετάφρασης κανονικών συνηθισμένων κλασμάτων με αριθμητές 10, 100, ... σε δεκαδικά κλάσματα, θα αναλύσουμε τη λύση ενός άλλου παραδείγματος.

Παράδειγμα.

Γράψε το σωστό κλάσμα 107/10.000.000 ως δεκαδικό.

Λύση.

Ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή είναι 3 και ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή είναι 7, επομένως αυτό το συνηθισμένο κλάσμα πρέπει να προετοιμαστεί για μετατροπή σε δεκαδικό. Πρέπει να προσθέσουμε 7-3=4 μηδενικά αριστερά στον αριθμητή, ώστε ο συνολικός αριθμός των ψηφίων εκεί να γίνει ίσος με τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή. Παίρνουμε .

Απομένει να σχηματιστεί το επιθυμητό δεκαδικό κλάσμα. Για να γίνει αυτό, πρώτον, γράφουμε το 0, δεύτερον, βάζουμε κόμμα, τρίτον, σημειώνουμε τον αριθμό από τον αριθμητή μαζί με τα μηδενικά 0000107, ως αποτέλεσμα έχουμε ένα δεκαδικό κλάσμα 0,0000107.

Απάντηση:

0,0000107 .

Τα ακατάλληλα κοινά κλάσματα δεν χρειάζονται προετοιμασία κατά τη μετατροπή σε δεκαδικά κλάσματα. Θα πρέπει να τηρούνται τα ακόλουθα κανόνες για τη μετατροπή ακατάλληλων κοινών κλασμάτων με παρονομαστές 10, 100, ... σε δεκαδικά κλάσματα:

• γράψτε τον αριθμό από τον αριθμητή.
• χωρίζουμε με δεκαδικό τόσα ψηφία στα δεξιά όσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος.

Ας αναλύσουμε την εφαρμογή αυτού του κανόνα κατά την επίλυση ενός παραδείγματος.

Παράδειγμα.

Μετατρέψτε το ακατάλληλο κοινό κλάσμα 56 888 038 009/100 000 σε δεκαδικό.

Λύση.

Πρώτον, σημειώνουμε τον αριθμό από τον αριθμητή 56888038009 και δεύτερον, χωρίζουμε 5 ψηφία στα δεξιά με υποδιαστολή, αφού υπάρχουν 5 μηδενικά στον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος. Ως αποτέλεσμα, έχουμε ένα δεκαδικό κλάσμα 568 880.38009.

Απάντηση:

568 880,38009 .

Για να μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα, ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους του οποίου είναι ο αριθμός 10, ή 100, ή 1.000, ..., μπορείτε να μετατρέψετε τον μικτό αριθμό σε ένα ακατάλληλο συνηθισμένο κλάσμα, μετά το οποίο το κλάσμα που προκύπτει μπορεί να μετατραπεί σε δεκαδικό κλάσμα. Μπορείτε όμως να χρησιμοποιήσετε και τα παρακάτω ο κανόνας για τη μετατροπή μικτών αριθμών με παρονομαστή του κλασματικού μέρους 10, ή 100, ή 1.000, ... σε δεκαδικά κλάσματα:

• εάν είναι απαραίτητο, εκτελούμε "προκαταρκτική προετοιμασία" του κλασματικού μέρους του αρχικού μικτού αριθμού προσθέτοντας τον απαιτούμενο αριθμό μηδενικών στα αριστερά στον αριθμητή.
• γράψτε το ακέραιο μέρος του αρχικού μικτού αριθμού.
• βάλε δεκαδικό ψηφίο?
• γράφουμε τον αριθμό από τον αριθμητή μαζί με τα μηδενικά που προστέθηκαν.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα, στην επίλυση του οποίου θα εκτελέσουμε όλα τα απαραίτητα βήματα για να αναπαραστήσουμε έναν μικτό αριθμό ως δεκαδικό κλάσμα.

Παράδειγμα.

Μετατροπή μικτού αριθμού σε δεκαδικό.

Λύση.

Υπάρχουν 4 μηδενικά στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους και ο αριθμός 17 στον αριθμητή, που αποτελείται από 2 ψηφία, επομένως, πρέπει να προσθέσουμε δύο μηδενικά αριστερά στον αριθμητή, έτσι ώστε ο αριθμός των χαρακτήρων εκεί να γίνει ίσος με τον αριθμός μηδενικών στον παρονομαστή. Κάνοντας αυτό, ο αριθμητής θα είναι 0017 .

Τώρα γράφουμε το ακέραιο μέρος του αρχικού αριθμού, δηλαδή τον αριθμό 23, βάζουμε μια υποδιαστολή, μετά την οποία γράφουμε τον αριθμό από τον αριθμητή μαζί με τα προστιθέμενα μηδενικά, δηλαδή το 0017, ενώ παίρνουμε το επιθυμητό δεκαδικό κλάσμα 23,0017.

Ας γράψουμε εν συντομία ολόκληρη τη λύση: .

Αναμφίβολα, ήταν δυνατό να αναπαρασταθεί πρώτα ο μεικτός αριθμός ως ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια να μετατραπεί σε δεκαδικό κλάσμα. Με αυτήν την προσέγγιση, η λύση μοιάζει με αυτό:

Απάντηση:

23,0017 .

Μετατροπή συνηθισμένων κλασμάτων σε πεπερασμένα και άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα

Όχι μόνο τα συνηθισμένα κλάσματα με παρονομαστές 10, 100, ... μπορούν να μετατραπούν σε δεκαδικό κλάσμα, αλλά τα συνηθισμένα κλάσματα με άλλους παρονομαστές. Τώρα θα καταλάβουμε πώς γίνεται αυτό.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, το αρχικό κοινό κλάσμα μειώνεται εύκολα σε έναν από τους παρονομαστές 10, ή 100, ή 1000, ... (δείτε την αναγωγή ενός συνηθισμένου κλάσματος σε νέο παρονομαστή), μετά τον οποίο δεν είναι δύσκολο να παρουσιαστεί το προκύπτον κλάσμα ως δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, είναι προφανές ότι το κλάσμα 2/5 μπορεί να αναχθεί σε κλάσμα με παρονομαστή 10, για αυτό πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 2, το οποίο θα δώσει ένα κλάσμα 4/10, το οποίο, σύμφωνα με το κανόνες που συζητήθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, μπορούν εύκολα να μετατραπούν σε δεκαδικό κλάσμα 0, 4 .

Σε άλλες περιπτώσεις, πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν διαφορετικό τρόπο μετατροπής ενός συνηθισμένου κλάσματος σε δεκαδικό, τον οποίο θα εξετάσουμε τώρα.

Για να μετατρέψετε ένα συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό κλάσμα, ο αριθμητής του κλάσματος διαιρείται με τον παρονομαστή, ο αριθμητής αντικαθίσταται πρώτα από ένα ίσο δεκαδικό κλάσμα με οποιοδήποτε αριθμό μηδενικών μετά την υποδιαστολή (μιλήσαμε για αυτό στην ενότητα ίσο και άνισα δεκαδικά κλάσματα). Σε αυτή την περίπτωση, η διαίρεση εκτελείται με τον ίδιο τρόπο όπως η διαίρεση με μια στήλη φυσικών αριθμών και μια υποδιαστολή τοποθετείται στο πηλίκο όταν τελειώνει η διαίρεση του ακέραιου μέρους του μερίσματος. Όλα αυτά θα γίνουν ξεκάθαρα από τις λύσεις των παραδειγμάτων που δίνονται παρακάτω.

Παράδειγμα.

Μετατρέψτε το κοινό κλάσμα 621/4 σε δεκαδικό.

Λύση.

Αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό στον αριθμητή 621 ως δεκαδικό κλάσμα προσθέτοντας μια υποδιαστολή και μερικά μηδενικά μετά από αυτόν. Αρχικά, θα προσθέσουμε 2 ψηφία 0, αργότερα, εάν είναι απαραίτητο, μπορούμε πάντα να προσθέσουμε περισσότερα μηδενικά. Άρα, έχουμε 621,00 .

Τώρα ας διαιρέσουμε τον αριθμό 621.000 με το 4 με μια στήλη. Τα τρία πρώτα βήματα δεν διαφέρουν από τη διαίρεση με μια στήλη φυσικών αριθμών, μετά από την οποία φτάνουμε στην ακόλουθη εικόνα:

Έτσι φτάσαμε στην υποδιαστολή στο μέρισμα, και το υπόλοιπο είναι διαφορετικό από το μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, βάζουμε μια υποδιαστολή στο πηλίκο και συνεχίζουμε τη διαίρεση με μια στήλη, αγνοώντας τα κόμματα:

Αυτή η διαίρεση ολοκληρώθηκε και ως αποτέλεσμα πήραμε το δεκαδικό κλάσμα 155,25, το οποίο αντιστοιχεί στο αρχικό συνηθισμένο κλάσμα.

Απάντηση:

155,25 .

Για να εμπεδώσετε το υλικό, εξετάστε τη λύση ενός άλλου παραδείγματος.

Παράδειγμα.

Μετατρέψτε το κοινό κλάσμα 21/800 σε δεκαδικό.

Λύση.

Για να μετατρέψουμε αυτό το κοινό κλάσμα σε δεκαδικό, ας διαιρέσουμε το δεκαδικό κλάσμα 21.000 ... με 800 με μια στήλη. Μετά το πρώτο βήμα, θα πρέπει να βάλουμε μια υποδιαστολή στο πηλίκο και στη συνέχεια να συνεχίσουμε τη διαίρεση:

Τελικά, πήραμε το υπόλοιπο 0, σε αυτό ολοκληρώνεται η μετατροπή του συνηθισμένου κλάσματος 21/400 στο δεκαδικό κλάσμα και έχουμε φτάσει στο δεκαδικό κλάσμα 0,02625.

Απάντηση:

0,02625 .

Μπορεί να συμβεί όταν διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή ενός συνηθισμένου κλάσματος, να μην έχουμε ποτέ υπόλοιπο 0. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η διαίρεση μπορεί να συνεχιστεί όσο επιθυμείτε. Ωστόσο, ξεκινώντας από ένα ορισμένο βήμα, τα υπόλοιπα αρχίζουν να επαναλαμβάνονται περιοδικά, ενώ τα ψηφία στο πηλίκο επαναλαμβάνονται επίσης. Αυτό σημαίνει ότι το αρχικό κοινό κλάσμα μεταφράζεται σε άπειρο περιοδικό δεκαδικό. Ας το δείξουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Να γράψετε το κοινό κλάσμα 19/44 ως δεκαδικό.

Λύση.

Για να μετατρέψουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό, κάνουμε διαίρεση με στήλη:

Είναι ήδη σαφές ότι κατά τη διαίρεση, τα υπόλοιπα 8 και 36 άρχισαν να επαναλαμβάνονται, ενώ στο πηλίκο επαναλαμβάνονται οι αριθμοί 1 και 8. Έτσι, το αρχικό συνηθισμένο κλάσμα 19/44 μεταφράζεται σε περιοδικό δεκαδικό κλάσμα 0,43181818…=0,43(18) .

Απάντηση:

0,43(18) .

Συμπερασματικά αυτής της παραγράφου, θα καταλάβουμε ποια συνηθισμένα κλάσματα μπορούν να μετατραπούν σε τελικά δεκαδικά κλάσματα και ποια μπορούν να μετατραπούν μόνο σε περιοδικά.

Ας έχουμε ένα μη αναγώγιμο συνηθισμένο κλάσμα μπροστά μας (αν το κλάσμα είναι αναγωγίσιμο, τότε πρώτα εκτελούμε τη μείωση του κλάσματος) και πρέπει να βρούμε σε ποιο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί - πεπερασμένο ή περιοδικό.

Είναι σαφές ότι εάν ένα συνηθισμένο κλάσμα μπορεί να μειωθεί σε έναν από τους παρονομαστές 10, 100, 1000, ..., τότε το κλάσμα που προκύπτει μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα σύμφωνα με τους κανόνες που συζητήθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο. Αλλά στους παρονομαστές 10, 100, 1.000 κ.λπ. δεν δίνονται όλα τα συνηθισμένα κλάσματα. Μόνο τα κλάσματα μπορούν να αναχθούν σε τέτοιους παρονομαστές, οι παρονομαστές των οποίων είναι τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς 10, 100, ... Και ποιοι αριθμοί μπορούν να είναι διαιρέτες του 10, του 100, ...; Οι αριθμοί 10, 100, … θα μας επιτρέψουν να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση και είναι οι εξής: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Από αυτό προκύπτει ότι οι διαιρέτες των 10, 100, 1.000 κ.λπ. μπορούν να υπάρχουν μόνο αριθμοί των οποίων οι αποσυνθέσεις σε πρώτους παράγοντες περιέχουν μόνο τους αριθμούς 2 και (ή) 5 .

Τώρα μπορούμε να κάνουμε ένα γενικό συμπέρασμα σχετικά με τη μετατροπή συνηθισμένων κλασμάτων σε δεκαδικά κλάσματα:

• εάν μόνο οι αριθμοί 2 και (ή) 5 είναι παρόντες στην αποσύνθεση του παρονομαστή σε πρώτους παράγοντες, τότε αυτό το κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα.
• αν, εκτός από το δύο και τα πέντε, υπάρχουν και άλλοι πρώτοι αριθμοί στην επέκταση του παρονομαστή, τότε αυτό το κλάσμα μεταφράζεται σε άπειρο δεκαδικό περιοδικό κλάσμα.

Παράδειγμα.

Χωρίς να μετατρέψετε τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικά, πείτε μου ποιο από τα κλάσματα 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 μπορεί να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα και ποιο μπορεί να μετατραπεί μόνο σε περιοδικό.

Λύση.

Η πρώτη παραγοντοποίηση του παρονομαστή του κλάσματος 47/20 έχει τη μορφή 20=2 2 5 . Υπάρχουν μόνο δύο και πέντε σε αυτήν την επέκταση, επομένως αυτό το κλάσμα μπορεί να μειωθεί σε έναν από τους παρονομαστές 10, 100, 1000, ... (σε αυτό το παράδειγμα, στον παρονομαστή 100), επομένως, μπορεί να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα.

Η πρώτη παραγοντοποίηση του παρονομαστή του κλάσματος 7/12 έχει τη μορφή 12=2 2 3 . Δεδομένου ότι περιέχει έναν απλό παράγοντα 3 διαφορετικό από το 2 και το 5, αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα, αλλά μπορεί να μετατραπεί σε περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Κλάσμα 21/56 - συσταλτικό, μετά τη μείωση παίρνει τη μορφή 3/8. Η αποσύνθεση του παρονομαστή σε πρώτους παράγοντες περιέχει τρεις παράγοντες ίσους με 2, επομένως, το συνηθισμένο κλάσμα 3/8, και επομένως το κλάσμα ίσο με αυτό 21/56, μπορεί να μεταφραστεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα.

Τέλος, η επέκταση του παρονομαστή του κλάσματος 31/17 είναι η ίδια 17, επομένως, αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να μετατραπεί σε πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα, αλλά μπορεί να μετατραπεί σε άπειρο περιοδικό.

Απάντηση:

Τα 47/20 και 21/56 μπορούν να μετατραπούν σε τελικό δεκαδικό, ενώ τα 7/12 και 31/17 μπορούν να μετατραπούν μόνο σε περιοδικό δεκαδικό.

Τα κοινά κλάσματα δεν μετατρέπονται σε άπειρα μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά

Οι πληροφορίες της προηγούμενης παραγράφου εγείρουν το ερώτημα: «Μπορεί να ληφθεί ένα άπειρο μη περιοδικό κλάσμα κατά τη διαίρεση του αριθμητή ενός κλάσματος με τον παρονομαστή»;

Απάντηση: όχι. Κατά τη μετάφραση ενός συνηθισμένου κλάσματος, μπορεί να ληφθεί είτε ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα είτε ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Ας εξηγήσουμε γιατί συμβαίνει αυτό.

Είναι σαφές από το θεώρημα διαιρετότητας με υπόλοιπο ότι το υπόλοιπο είναι πάντα μικρότερο από τον διαιρέτη, δηλαδή αν διαιρέσουμε έναν ακέραιο αριθμό με έναν ακέραιο q, τότε μόνο ένας από τους αριθμούς 0, 1, 2, ..., q −1 μπορεί να είναι το υπόλοιπο. Συνεπάγεται ότι αφού ολοκληρωθεί η διαίρεση του ακέραιου μέρους του αριθμητή ενός συνηθισμένου κλάσματος με τον παρονομαστή q, μετά από όχι περισσότερα από βήματα q, θα προκύψει μία από τις ακόλουθες δύο καταστάσεις:

• είτε παίρνουμε το υπόλοιπο 0 , αυτό θα τερματίσει τη διαίρεση και θα πάρουμε το τελικό δεκαδικό κλάσμα.
• ή θα πάρουμε ένα υπόλοιπο που έχει ήδη εμφανιστεί πριν, μετά το οποίο τα υπόλοιπα θα αρχίσουν να επαναλαμβάνονται όπως στο προηγούμενο παράδειγμα (καθώς κατά τη διαίρεση ίσων αριθμών με q, προκύπτουν ίσα υπόλοιπα, που προκύπτει από το ήδη αναφερθέν θεώρημα διαιρετότητας), θα ληφθεί ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Δεν μπορούν να υπάρχουν άλλες επιλογές, επομένως, κατά τη μετατροπή ενός συνηθισμένου κλάσματος σε δεκαδικό κλάσμα, δεν μπορεί να ληφθεί ένα άπειρο μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Από τη συλλογιστική που δίνεται στην παράγραφο αυτή προκύπτει επίσης ότι η διάρκεια της περιόδου ενός δεκαδικού κλάσματος είναι πάντα μικρότερη από την τιμή του παρονομαστή του αντίστοιχου συνηθισμένου κλάσματος.

Μετατροπή δεκαδικών σε κοινά κλάσματα

Τώρα ας καταλάβουμε πώς να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό κλάσμα σε συνηθισμένο. Ας ξεκινήσουμε με τη μετατροπή των τελικών δεκαδικών σε κοινά κλάσματα. Μετά από αυτό, εξετάστε τη μέθοδο αντιστροφής άπειρων περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων. Εν κατακλείδι, ας πούμε για την αδυναμία μετατροπής άπειρων μη περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα.

Μετατροπή τελικών δεκαδικών σε κοινά κλάσματα

Η λήψη ενός συνηθισμένου κλάσματος, το οποίο γράφεται ως τελικό δεκαδικό κλάσμα, είναι αρκετά απλό. Ο κανόνας για τη μετατροπή ενός τελικού δεκαδικού κλάσματος σε συνηθισμένο κλάσμααποτελείται από τρία βήματα:

• Πρώτον, γράψτε το δεδομένο δεκαδικό κλάσμα στον αριθμητή, έχοντας προηγουμένως απορρίψει την υποδιαστολή και όλα τα μηδενικά στα αριστερά, εάν υπάρχουν.
• Δεύτερον, γράψτε ένα στον παρονομαστή και προσθέστε τόσα μηδενικά όσα υπάρχουν ψηφία μετά την υποδιαστολή στο αρχικό δεκαδικό κλάσμα.
• Τρίτον, εάν είναι απαραίτητο, μειώστε το προκύπτον κλάσμα.

Ας εξετάσουμε παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Μετατρέψτε το δεκαδικό 3,025 σε κοινό κλάσμα.

Λύση.

Εάν αφαιρέσουμε την υποδιαστολή στο αρχικό δεκαδικό κλάσμα, τότε παίρνουμε τον αριθμό 3025. Δεν έχει μηδενικά στα αριστερά που θα απορρίπταμε. Άρα στον αριθμητή του ζητούμενου κλάσματος γράφουμε 3025.

Γράφουμε τον αριθμό 1 στον παρονομαστή και προσθέτουμε 3 μηδενικά στα δεξιά του, αφού στο αρχικό δεκαδικό κλάσμα υπάρχουν 3 ψηφία μετά την υποδιαστολή.

Έτσι πήραμε ένα συνηθισμένο κλάσμα 3 025/1 000. Αυτό το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 25, παίρνουμε .

Απάντηση:

.

Παράδειγμα.

Μετατρέψτε το δεκαδικό 0,0017 σε κοινό κλάσμα.

Λύση.

Χωρίς υποδιαστολή, το αρχικό δεκαδικό κλάσμα μοιάζει με το 00017, απορρίπτοντας μηδενικά στα αριστερά, παίρνουμε τον αριθμό 17, που είναι ο αριθμητής του επιθυμητού συνηθισμένου κλάσματος.

Στον παρονομαστή γράφουμε μια μονάδα με τέσσερα μηδενικά, αφού στο αρχικό δεκαδικό κλάσμα υπάρχουν 4 ψηφία μετά την υποδιαστολή.

Ως αποτέλεσμα, έχουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα 17/10.000. Αυτό το κλάσμα είναι μη αναγώγιμο και ολοκληρώνεται η μετατροπή ενός δεκαδικού κλάσματος σε συνηθισμένο.

Απάντηση:

.

Όταν το ακέραιο μέρος του αρχικού τελικού δεκαδικού κλάσματος είναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε μπορεί να μετατραπεί αμέσως σε μικτό αριθμό, παρακάμπτοντας το συνηθισμένο κλάσμα. Ας δώσουμε κανόνας για τη μετατροπή ενός τελικού δεκαδικού σε μικτό αριθμό:

• ο αριθμός πριν από την υποδιαστολή πρέπει να γραφτεί ως το ακέραιο μέρος του επιθυμητού μικτού αριθμού.
• στον αριθμητή του κλασματικού μέρους, πρέπει να γράψετε τον αριθμό που λαμβάνεται από το κλασματικό μέρος του αρχικού δεκαδικού κλάσματος αφού απορρίψετε όλα τα μηδενικά στα αριστερά σε αυτό.
• στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους, πρέπει να γράψετε τον αριθμό 1, στον οποίο, στα δεξιά, προσθέστε τόσα μηδενικά όσα ψηφία υπάρχουν στην καταχώρηση του αρχικού δεκαδικού κλάσματος μετά την υποδιαστολή.
• εάν είναι απαραίτητο, μειώστε το κλασματικό μέρος του μικτού αριθμού που προκύπτει.

Εξετάστε ένα παράδειγμα μετατροπής ενός δεκαδικού κλάσματος σε μικτό αριθμό.

Παράδειγμα.

Εκφράστε το δεκαδικό 152,06005 ως μικτό αριθμό

Για να γράψετε έναν ορθολογικό αριθμό m / n ως δεκαδικό κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Στην περίπτωση αυτή, το πηλίκο γράφεται ως πεπερασμένο ή άπειρο δεκαδικό κλάσμα.

Γράψτε τον αριθμό που δίνεται ως δεκαδικό.

Λύση. Διαιρέστε τον αριθμητή κάθε κλάσματος με τον παρονομαστή του: ΕΝΑ)διαιρέστε το 6 με το 25. σι)διαιρέστε το 2 με το 3; V)διαιρέστε το 1 με το 2 και, στη συνέχεια, προσθέστε το κλάσμα που προκύπτει στη μονάδα - το ακέραιο μέρος αυτού του μικτού αριθμού.

Μη αναγώγιμα κοινά κλάσματα των οποίων οι παρονομαστές δεν περιέχουν πρώτους διαιρέτες εκτός από 2 Και 5 , γράφονται ως τελικό δεκαδικό κλάσμα.

ΣΕ παράδειγμα 1πότε ΕΝΑ)παρονομαστής 25=5 5; πότε V)ο παρονομαστής είναι 2, οπότε πήραμε τα τελικά δεκαδικά 0,24 και 1,5. Οταν σι)ο παρονομαστής είναι 3, επομένως το αποτέλεσμα δεν μπορεί να γραφτεί ως τελικό δεκαδικό.

Είναι δυνατόν, χωρίς διαίρεση σε στήλη, να μετατραπεί ένα τέτοιο συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό κλάσμα, ο παρονομαστής του οποίου δεν περιέχει άλλους διαιρέτες, εκτός από το 2 και το 5; Ας το καταλάβουμε! Ποιο κλάσμα λέγεται δεκαδικό και γράφεται χωρίς κλασματική γραμμή; Απάντηση: ένα κλάσμα με παρονομαστή 10. 100; 1000 κλπ. Και καθένας από αυτούς τους αριθμούς είναι ένα γινόμενο ίσοςαριθμός δύο και πέντε. Στην πραγματικότητα: 10=2 5 ; 100=2 5 2 5 ; 1000=2 5 2 5 2 5 κ.λπ.

Επομένως, ο παρονομαστής ενός μη αναγώγιμου συνηθισμένου κλάσματος θα πρέπει να αναπαρασταθεί ως γινόμενο δύο και πέντε και στη συνέχεια να πολλαπλασιαστεί με το 2 και (ή) 5 έτσι ώστε τα δύο και τα πέντε να γίνουν ίσα. Τότε ο παρονομαστής του κλάσματος θα είναι ίσος με 10 ή 100 ή 1000 κ.λπ. Για να μην αλλάξει η τιμή του κλάσματος, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή του κλάσματος με τον ίδιο αριθμό με τον οποίο πολλαπλασιάστηκε ο παρονομαστής.

Εκφράστε τα παρακάτω κλάσματα ως δεκαδικό:

Λύση. Κάθε ένα από αυτά τα κλάσματα είναι μη αναγώγιμο. Ας αποσυνθέσουμε τον παρονομαστή κάθε κλάσματος σε πρώτους παράγοντες.

20=2 2 5. Συμπέρασμα: λείπει ένα «πέντε».

8=2 2 2. Συμπέρασμα: δεν φτάνουν τα τρία «πέντε».

25=5 5. Συμπέρασμα: λείπουν δύο «δύο».

Σχόλιο.Στην πράξη, συχνά δεν χρησιμοποιούν την παραγοντοποίηση του παρονομαστή, αλλά απλώς θέτουν το ερώτημα: με πόσο πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο παρονομαστής έτσι ώστε το αποτέλεσμα να είναι μια μονάδα με μηδενικά (10 ή 100 ή 1000 κ.λπ.). Και τότε ο αριθμητής πολλαπλασιάζεται με τον ίδιο αριθμό.

Έτσι, σε περίπτωση ΕΝΑ)(παράδειγμα 2) από τον αριθμό 20 μπορείτε να πάρετε 100 πολλαπλασιάζοντας με το 5, επομένως, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί 5.

Οταν σι)(παράδειγμα 2) από τον αριθμό 8, ο αριθμός 100 δεν θα λειτουργήσει, αλλά ο αριθμός 1000 θα ληφθεί πολλαπλασιάζοντας με το 125. Τόσο ο αριθμητής (3) όσο και ο παρονομαστής (8) του κλάσματος πολλαπλασιάζονται με 125.

Οταν V)(παράδειγμα 2) από τα 25 παίρνετε 100 όταν πολλαπλασιάσετε με το 4. Αυτό σημαίνει ότι ο αριθμητής 8 πρέπει επίσης να πολλαπλασιαστεί επί 4.

Ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα στο οποίο ένα ή περισσότερα ψηφία επαναλαμβάνονται αμετάβλητα στην ίδια ακολουθία ονομάζεται περιοδικόςδεκαδικό κλάσμα. Το σύνολο των επαναλαμβανόμενων ψηφίων ονομάζεται περίοδος αυτού του κλάσματος. Για συντομία, η περίοδος ενός κλάσματος γράφεται μία φορά, περικλείοντάς το σε παρένθεση.

Οταν σι)(παράδειγμα 1 ) το επαναλαμβανόμενο ψηφίο είναι ένα και ισούται με 6. Επομένως, το αποτέλεσμά μας 0,66... ​​θα γραφτεί ως εξής: 0,(6) . Διαβάζουν: μηδέν ακέραιοι, έξι στην περίοδο.

Εάν υπάρχει ένα ή περισσότερα μη επαναλαμβανόμενα ψηφία μεταξύ του κόμματος και της πρώτης περιόδου, τότε ένα τέτοιο περιοδικό κλάσμα ονομάζεται μικτό περιοδικό κλάσμα.

Ένα μη αναγώγιμο κοινό κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής μαζί με άλλουςο πολλαπλασιαστής περιέχει πολλαπλασιαστή 2 ή 5 , γίνεται μικτόςπεριοδικό κλάσμα.

Γράψτε τον αριθμό ως δεκαδικό.

Ήδη μέσα δημοτικό σχολείοοι μαθητές ασχολούνται με κλάσματα. Και μετά εμφανίζονται σε κάθε θέμα. Είναι αδύνατο να ξεχάσεις ενέργειες με αυτούς τους αριθμούς. Επομένως, πρέπει να γνωρίζετε όλες τις πληροφορίες για τα συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Αυτές οι έννοιες είναι απλές, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τα πάντα με τη σειρά.

Γιατί χρειάζονται τα κλάσματα;

Ο κόσμος γύρω μας αποτελείται από ολόκληρα αντικείμενα. Επομένως, δεν υπάρχει ανάγκη για μετοχές. Όμως η καθημερινότητα ωθεί συνεχώς τους ανθρώπους να δουλεύουν με μέρη αντικειμένων και πραγμάτων.

Για παράδειγμα, η σοκολάτα αποτελείται από πολλές φέτες. Εξετάστε την κατάσταση όπου το πλακίδιο του σχηματίζεται από δώδεκα ορθογώνια. Αν το χωρίσεις στα δύο, βγάζεις 6 μέρη. Θα χωριστεί καλά στα τρία. Όμως οι πέντε δεν θα μπορέσουν να δώσουν ακέραιο αριθμό φετών σοκολάτας.

Παρεμπιπτόντως, αυτές οι φέτες είναι ήδη κλάσματα. Και η περαιτέρω διαίρεση τους οδηγεί στην εμφάνιση πιο σύνθετων αριθμών.

Τι είναι το «κλάσμα»;

Αυτός είναι ένας αριθμός που αποτελείται από μέρη του ενός. Εξωτερικά, μοιάζει με δύο αριθμούς που χωρίζονται με οριζόντια ή κάθετο. Αυτό το χαρακτηριστικό ονομάζεται κλασματικό. Ο αριθμός που αναγράφεται στο επάνω μέρος (αριστερά) ονομάζεται αριθμητής. Αυτό στο κάτω μέρος (δεξιά) είναι ο παρονομαστής.

Στην πραγματικότητα, η κλασματική ράβδος αποδεικνύεται ότι είναι σύμβολο διαίρεσης. Δηλαδή, ο αριθμητής μπορεί να ονομαστεί μέρισμα και ο παρονομαστής μπορεί να ονομαστεί διαιρέτης.

Ποια είναι τα κλάσματα;

Στα μαθηματικά, υπάρχουν μόνο δύο τύποι αυτών: συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Οι μαθητές εξοικειώνονται με τους πρώτους στις δημοτικές τάξεις, αποκαλώντας τους απλώς «κλάσματα». Το δεύτερο μαθαίνουν στην Ε' τάξη. Τότε είναι που εμφανίζονται αυτά τα ονόματα.

Κοινά κλάσματα- όλα αυτά που γράφονται ως δύο αριθμοί που χωρίζονται με μια ράβδο. Για παράδειγμα, 4/7. Δεκαδικός είναι ένας αριθμός στον οποίο το κλασματικό μέρος έχει σημειογραφία θέσης και διαχωρίζεται από τον ακέραιο με κόμμα. Για παράδειγμα, 4.7. Οι μαθητές πρέπει να είναι ξεκάθαροι ότι τα δύο παραδείγματα που δίνονται είναι εντελώς διαφορετικοί αριθμοί.

Κάθε απλό κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό. Αυτή η δήλωση ισχύει σχεδόν πάντα και αντίστροφα. Υπάρχουν κανόνες που σας επιτρέπουν να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα ως συνηθισμένο κλάσμα.

Τι υποείδη έχουν αυτοί οι τύποι κλασμάτων;

Είναι καλύτερα να ξεκινήσετε με χρονολογική σειρά, καθώς μελετώνται. Τα κοινά κλάσματα έρχονται πρώτα. Μεταξύ αυτών, διακρίνονται 5 υποείδη.

Σωστός. Ο αριθμητής του είναι πάντα μικρότερος από τον παρονομαστή.

Λανθασμένος. Ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.

Μειώσιμο / μη αναγώσιμο. Μπορεί να είναι είτε σωστό είτε λάθος. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό, αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν κοινούς παράγοντες. Αν υπάρχουν, τότε υποτίθεται ότι διαιρούν και τα δύο μέρη του κλάσματος, δηλαδή το μειώνουν.

Μικτός. Ένας ακέραιος αντιστοιχίζεται στο συνηθισμένο σωστό (λανθασμένο) κλασματικό μέρος του. Και στέκεται πάντα στα αριστερά.

Σύνθετος. Σχηματίζεται από δύο κλάσματα που χωρίζονται το ένα στο άλλο. Δηλαδή, έχει τρία κλασματικά χαρακτηριστικά ταυτόχρονα.

Οι δεκαδικοί έχουν μόνο δύο υποείδη:

τελικό, δηλαδή αυτό στο οποίο το κλασματικό μέρος είναι περιορισμένο (έχει τέλος).

άπειρος - ένας αριθμός του οποίου τα ψηφία μετά την υποδιαστολή δεν τελειώνουν (μπορούν να γραφτούν ατελείωτα).

Πώς να μετατρέψετε το δεκαδικό σε συνηθισμένο;

Εάν αυτός είναι ένας πεπερασμένος αριθμός, τότε εφαρμόζεται ένας συσχετισμός που βασίζεται στον κανόνα - όπως ακούω, έτσι γράφω. Δηλαδή, πρέπει να το διαβάσετε σωστά και να το γράψετε, αλλά χωρίς κόμμα, αλλά με κλασματική γραμμή.

Ως υπόδειξη για τον απαιτούμενο παρονομαστή, να θυμάστε ότι είναι πάντα ένα και μερικά μηδενικά. Τα τελευταία πρέπει να γραφτούν τόσα όσα και τα ψηφία στο κλασματικό μέρος του εν λόγω αριθμού.

Πώς να μετατρέψετε δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα αν λείπει ολόκληρο το μέρος τους, δηλαδή ίσο με μηδέν; Για παράδειγμα, 0,9 ή 0,05. Αφού εφαρμόσετε τον καθορισμένο κανόνα, αποδεικνύεται ότι πρέπει να γράψετε μηδενικούς ακέραιους αριθμούς. Αλλά δεν ενδείκνυται. Απομένει να γράψουμε μόνο τα κλασματικά μέρη. Για τον πρώτο αριθμό, ο παρονομαστής θα είναι 10, για τον δεύτερο - 100. Δηλαδή, τα υποδεικνυόμενα παραδείγματα θα έχουν αριθμούς ως απαντήσεις: 9/10, 5/100. Επιπλέον, το τελευταίο αποδεικνύεται ότι είναι δυνατό να μειωθεί κατά 5. Επομένως, το αποτέλεσμα για αυτό πρέπει να γραφτεί 1/20.

Πώς να φτιάξετε ένα συνηθισμένο κλάσμα από ένα δεκαδικό αν το ακέραιο μέρος του είναι διαφορετικό από το μηδέν; Για παράδειγμα, 5.23 ή 13.00108. Και τα δύο παραδείγματα διαβάζουν το ακέραιο μέρος και γράφουν την τιμή του. Στην πρώτη περίπτωση, αυτό είναι 5, στη δεύτερη - 13. Στη συνέχεια, πρέπει να προχωρήσετε στο κλασματικό μέρος. Με αυτά είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί η ίδια λειτουργία. Ο πρώτος αριθμός έχει 23/100, ο δεύτερος έχει 108/100000. Η δεύτερη τιμή πρέπει να μειωθεί ξανά. Η απάντηση είναι αυτή μικτά κλάσματα: 5 23/100 και 13 27/25000.

Πώς να μετατρέψετε ένα άπειρο δεκαδικό σε κοινό κλάσμα;

Εάν δεν είναι περιοδική, τότε μια τέτοια λειτουργία δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί. Το γεγονός αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι κάθε δεκαδικό κλάσμα μετατρέπεται πάντα είτε σε τελικό είτε σε περιοδικό.

Το μόνο που επιτρέπεται να γίνει με ένα τέτοιο κλάσμα είναι να το στρογγυλοποιήσουμε. Αλλά τότε το δεκαδικό θα είναι περίπου ίσο με αυτό το άπειρο. Μπορεί ήδη να μετατραπεί σε συνηθισμένο. Αλλά η αντίστροφη διαδικασία: η μετατροπή σε δεκαδικό - δεν θα δώσει ποτέ την αρχική τιμή. Δηλαδή, άπειρα μη περιοδικά κλάσματα δεν μετατρέπονται σε συνηθισμένα κλάσματα. Αυτό πρέπει να το θυμόμαστε.

Πώς να γράψετε ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα με τη μορφή ενός συνηθισμένου;

Σε αυτούς τους αριθμούς, ένα ή περισσότερα ψηφία εμφανίζονται πάντα μετά την υποδιαστολή, τα οποία επαναλαμβάνονται. Ονομάζονται περίοδοι. Για παράδειγμα, 0,3(3). Εδώ «3» στην περίοδο. Ταξινομούνται ως ορθολογικά, καθώς μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα.

Όσοι έχουν συναντήσει περιοδικά κλάσματα γνωρίζουν ότι μπορούν να είναι καθαρά ή μικτά. Στην πρώτη περίπτωση, η περίοδος ξεκινά αμέσως από το κόμμα. Στο δεύτερο, το κλασματικό μέρος αρχίζει με οποιουσδήποτε αριθμούς και μετά αρχίζει η επανάληψη.

Ο κανόνας με τον οποίο πρέπει να γράψετε ένα άπειρο δεκαδικό με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος θα είναι διαφορετικός για αυτούς τους δύο τύπους αριθμών. Είναι πολύ εύκολο να γράψουμε καθαρά περιοδικά κλάσματα ως συνηθισμένα κλάσματα. Όπως και με τα τελικά, πρέπει να μετατραπούν: γράψτε την περίοδο στον αριθμητή και ο αριθμός 9 θα είναι ο παρονομαστής, επαναλαμβάνοντας όσες φορές υπάρχουν ψηφία στην περίοδο.

Για παράδειγμα, 0, (5). Ο αριθμός δεν έχει ακέραιο μέρος, επομένως πρέπει να προχωρήσετε αμέσως στο κλασματικό μέρος. Γράψε στον αριθμητή 5 και στον παρονομαστή το 9. Δηλαδή η απάντηση θα είναι το κλάσμα 5/9.

Ένας κανόνας για το πώς να γράψετε ένα κοινό δεκαδικό κλάσμα που είναι μικτό κλάσμα.

Δείτε τη διάρκεια της περιόδου. Τόσο το 9 θα έχει παρονομαστή.

Γράψτε τον παρονομαστή: πρώτα εννιά και μετά μηδενικά.

Για να προσδιορίσετε τον αριθμητή, πρέπει να γράψετε τη διαφορά δύο αριθμών. Όλα τα ψηφία μετά την υποδιαστολή θα μειωθούν, μαζί με την τελεία. Αφαιρούμενο - είναι χωρίς περίοδο.

Για παράδειγμα, 0,5(8) - γράψτε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα ως κοινό κλάσμα. Το κλασματικό μέρος πριν από την περίοδο είναι μονοψήφιο. Άρα το μηδέν θα είναι ένα. Υπάρχει επίσης μόνο ένα ψηφίο στην περίοδο - 8. Δηλαδή, υπάρχει μόνο ένα εννέα. Δηλαδή, πρέπει να γράψετε 90 στον παρονομαστή.

Για να προσδιορίσετε τον αριθμητή από το 58, πρέπει να αφαιρέσετε το 5. Αποδεικνύεται 53. Για παράδειγμα, θα πρέπει να γράψετε 53/90 ως απάντηση.

Πώς μετατρέπονται τα κοινά κλάσματα σε δεκαδικά;

Η απλούστερη επιλογή είναι ένας αριθμός του οποίου ο παρονομαστής είναι ο αριθμός 10, 100 και ούτω καθεξής. Στη συνέχεια, ο παρονομαστής απλώς απορρίπτεται και τοποθετείται κόμμα μεταξύ των κλασματικών και ακέραιων μερών.

Υπάρχουν περιπτώσεις που ο παρονομαστής μετατρέπεται εύκολα σε 10, 100 κλπ. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 5, 20, 25. Αρκεί να τους πολλαπλασιάσουμε με 2, 5 και 4, αντίστοιχα. Μόνο που είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε όχι μόνο τον παρονομαστή, αλλά και τον αριθμητή με τον ίδιο αριθμό.

Για όλες τις άλλες περιπτώσεις, ένας απλός κανόνας θα είναι χρήσιμος: διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να λάβετε δύο απαντήσεις: ένα τελικό ή ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Πράξεις με κοινά κλάσματα

Πρόσθεση και αφαίρεση

Οι μαθητές τους γνωρίζουν νωρίτερα από τους άλλους. Και στην αρχή τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές και μετά διαφορετικούς. Οι γενικοί κανόνες μπορούν να περιοριστούν σε ένα τέτοιο σχέδιο.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών.

Γράψτε πρόσθετους παράγοντες σε όλα τα συνηθισμένα κλάσματα.

Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους συντελεστές που ορίζονται για αυτούς.

Προσθέστε (αφαιρέστε) τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήστε τον κοινό παρονομαστή αμετάβλητο.

Εάν ο αριθμητής του minuend είναι μικρότερος από το subtrahend, τότε πρέπει να μάθετε αν έχουμε έναν μικτό αριθμό ή ένα σωστό κλάσμα.

Στην πρώτη περίπτωση, το ακέραιο μέρος πρέπει να πάρει ένα. Προσθέστε έναν παρονομαστή στον αριθμητή ενός κλάσματος. Και μετά κάντε την αφαίρεση.

Στο δεύτερο - είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο κανόνας της αφαίρεσης από έναν μικρότερο αριθμό σε έναν μεγαλύτερο. Δηλαδή, αφαιρέστε το μέτρο του δευτερεύοντος από το μέτρο του δευτερεύοντος και βάλτε το σύμβολο «-» ως απάντηση.

Δείτε προσεκτικά το αποτέλεσμα της πρόσθεσης (αφαίρεσης). Εάν λάβετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, τότε υποτίθεται ότι θα επιλέξει ολόκληρο το τμήμα. Δηλαδή, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Για την εφαρμογή τους, τα κλάσματα δεν χρειάζεται να αναχθούν σε κοινό παρονομαστή. Αυτό διευκολύνει την ανάληψη δράσης. Πρέπει όμως να ακολουθήσουν τους κανόνες.

Κατά τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι αριθμοί στους αριθμητές και στους παρονομαστές. Εάν οποιοσδήποτε αριθμητής και παρονομαστής έχουν έναν κοινό παράγοντα, τότε μπορούν να μειωθούν.

Πολλαπλασιασμός αριθμητών.

Πολλαπλασιάστε τους παρονομαστές.

Εάν λάβετε ένα αναγώγιμο κλάσμα, τότε υποτίθεται ότι θα απλοποιηθεί ξανά.

Κατά τη διαίρεση, πρέπει πρώτα να αντικαταστήσετε τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό και τον διαιρέτη (δεύτερο κλάσμα) με ένα αντίστροφο (ανταλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή).

Στη συνέχεια προχωρήστε όπως στον πολλαπλασιασμό (ξεκινώντας από το σημείο 1).

Σε εργασίες όπου χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε (διαιρέσετε) με έναν ακέραιο, ο τελευταίος υποτίθεται ότι γράφεται ως ακατάλληλο κλάσμα. Δηλαδή με παρονομαστή 1. Στη συνέχεια προχωρήστε όπως περιγράφεται παραπάνω.



Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς

Πρόσθεση και αφαίρεση

Φυσικά, μπορείτε πάντα να μετατρέψετε ένα δεκαδικό σε κοινό κλάσμα. Και ενεργήστε σύμφωνα με το ήδη περιγραφόμενο σχέδιο. Αλλά μερικές φορές είναι πιο βολικό να ενεργείς χωρίς αυτή τη μετάφραση. Τότε οι κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση τους θα είναι ακριβώς οι ίδιοι.

Εξισώστε τον αριθμό των ψηφίων στο κλασματικό μέρος του αριθμού, δηλαδή μετά την υποδιαστολή. Εκχωρήστε τον αριθμό των μηδενικών που λείπουν σε αυτό.

Γράψτε κλάσματα έτσι ώστε το κόμμα να είναι κάτω από το κόμμα.

Προσθέστε (αφαιρέστε) όπως φυσικούς αριθμούς.

Αφαιρέστε το κόμμα.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Είναι σημαντικό να μην χρειάζεται να προσθέσετε μηδενικά εδώ. Τα κλάσματα υποτίθεται ότι αφήνονται όπως δίνονται στο παράδειγμα. Και μετά πηγαίνετε σύμφωνα με το σχέδιο.

Για πολλαπλασιασμό, πρέπει να γράψετε κλάσματα το ένα κάτω από το άλλο, χωρίς να δίνετε προσοχή στα κόμματα.

Πολλαπλασιάστε όπως οι φυσικοί αριθμοί.

Βάλτε κόμμα στην απάντηση, μετρώντας από το δεξί άκρο της απάντησης τόσα ψηφία όσα είναι στα κλασματικά μέρη και των δύο παραγόντων.

Για να διαιρέσετε, πρέπει πρώτα να μετατρέψετε τον διαιρέτη: να τον κάνετε φυσικό αριθμό. Δηλαδή πολλαπλασιάστε το με 10, 100 κ.λπ., ανάλογα με το πόσα ψηφία υπάρχουν στο κλασματικό μέρος του διαιρέτη.

Πολλαπλασιάστε το μέρισμα με τον ίδιο αριθμό.

Διαιρέστε ένα δεκαδικό με έναν φυσικό αριθμό.

Βάλτε κόμμα στην απάντηση τη στιγμή που τελειώνει η διαίρεση ολόκληρου του μέρους.



Τι γίνεται αν υπάρχουν και οι δύο τύποι κλασμάτων σε ένα παράδειγμα;

Ναι, στα μαθηματικά υπάρχουν συχνά παραδείγματα στα οποία πρέπει να εκτελέσετε πράξεις σε συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Υπάρχουν δύο πιθανές λύσεις σε αυτά τα προβλήματα. Πρέπει να ζυγίσετε αντικειμενικά τους αριθμούς και να επιλέξετε τον καλύτερο.

Πρώτος τρόπος: αναπαράσταση συνηθισμένων δεκαδικών

Είναι κατάλληλο εάν, κατά τη διαίρεση ή τη μετατροπή, λαμβάνονται τελικά κλάσματα. Εάν τουλάχιστον ένας αριθμός δίνει ένα περιοδικό μέρος, τότε αυτή η τεχνική απαγορεύεται. Επομένως, ακόμα κι αν δεν σας αρέσει να εργάζεστε με συνηθισμένα κλάσματα, θα πρέπει να τα μετρήσετε.

Ο δεύτερος τρόπος: γράψτε τα δεκαδικά κλάσματα ως συνηθισμένα

Αυτή η τεχνική είναι βολική εάν υπάρχουν 1-2 ψηφία στο τμήμα μετά την υποδιαστολή. Εάν υπάρχουν περισσότερα από αυτά, μπορεί να προκύψει ένα πολύ μεγάλο συνηθισμένο κλάσμα και οι δεκαδικές εγγραφές θα σας επιτρέψουν να υπολογίσετε την εργασία γρηγορότερα και ευκολότερα. Επομένως, είναι πάντα απαραίτητο να αξιολογείτε νηφάλια την εργασία και να επιλέξετε την απλούστερη μέθοδο λύσης.

Δεκαδικός κλάσμα- ποικιλία κλάσματα, που έχει έναν "στρογγυλό" αριθμό στον παρονομαστή: 10, 100, 1000 κ.λπ., για παράδειγμα, κλάσμαΤο 5/10 έχει δεκαδικό συμβολισμό 0,5. Με βάση αυτή την αρχή, κλάσμαμπορεί να παρουσιαστεί σε μορφήδεκαδικός κλάσματα.

Εντολή

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να φανταστούμε μορφήδεκαδικός κλάσμα 18/25.
Πρώτα πρέπει να βεβαιωθείτε ότι ένας από τους "στρογγυλούς" αριθμούς εμφανίζεται στον παρονομαστή: 100, 1000 κ.λπ. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή με 4. Αλλά με το 4, θα χρειαστεί να πολλαπλασιάσετε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή κλάσματα 18/25 επί 4 είναι 72/100. Αυτό καταγράφεται κλάσμασε δεκαδικό μορφήάρα: 0,72.

Ένα κλάσμα στα μαθηματικά είναι ένας ρητός αριθμός ίσος με ένα ή περισσότερα μέρη στα οποία χωρίζεται μια μονάδα. Σε αυτήν την περίπτωση, η εγγραφή του κλάσματος πρέπει να περιέχει μια ένδειξη δύο αριθμών: ένας από αυτούς υποδεικνύει ακριβώς σε πόσες μετοχές χωρίστηκε η μονάδα κατά τη δημιουργία αυτού του κλάσματος και ο άλλος - πόσες από αυτές τις μετοχές περιλαμβάνουν έναν κλασματικό αριθμό. Εάν αυτοί οι δύο αριθμοί γραφτούν ως αριθμητής και παρονομαστής που χωρίζονται με μια ράβδο, τότε αυτή η μορφή εγγραφής ονομάζεται «συνηθισμένο» κλάσμα. Ωστόσο, υπάρχει μια άλλη μορφή για τη γραφή κλασμάτων, που ονομάζεται "δεκαδική".

Η τριώροφη μορφή γραφής αριθμών, στην οποία ο παρονομαστής βρίσκεται πάνω από τον αριθμητή και υπάρχει επίσης μια διαχωριστική γραμμή μεταξύ τους, δεν είναι πάντα βολική. Ειδικά αυτή η ταλαιπωρία άρχισε να εκδηλώνεται με τη μαζική διανομή προσωπικούς υπολογιστές. Η δεκαδική μορφή αναπαράστασης των κλασμάτων στερείται αυτό το μειονέκτημα - δεν απαιτείται να υποδεικνύεται ο αριθμητής σε αυτήν, καθώς εξ ορισμού είναι πάντα ίσος με δέκα σε αρνητική δύναμη. Επομένως, ένας κλασματικός αριθμός μπορεί να γραφτεί σε μία γραμμή, αν και το μήκος του στις περισσότερες περιπτώσεις θα είναι πολύ μεγαλύτερο από το μήκος του αντίστοιχου συνηθισμένου κλάσματος.

Ένα άλλο πλεονέκτημα της εγγραφής αριθμών σε δεκαδική μορφή είναι ότι είναι πολύ πιο εύκολο να συγκριθούν. Δεδομένου ότι ο παρονομαστής κάθε ψηφίου δύο τέτοιων αριθμών είναι ο ίδιος, αρκεί να συγκρίνουμε μόνο δύο ψηφία των αντίστοιχων ψηφίων, ενώ κατά τη σύγκριση συνηθισμένων κλασμάτων πρέπει να λαμβάνεται υπόψη τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής καθενός από αυτούς. Αυτό το πλεονέκτημα είναι σημαντικό όχι μόνο για τους ανθρώπους, αλλά και για τους υπολογιστές - η σύγκριση αριθμών σε δεκαδική μορφή είναι αρκετά εύκολη στον προγραμματισμό.

Υπάρχουν κανόνες αιώνων για πρόσθεση, πολλαπλασιασμό και άλλες μαθηματικές πράξεις που σας επιτρέπουν να κάνετε υπολογισμούς σε χαρτί ή στο μυαλό σας με αριθμούς σε δεκαδική μορφή. Αυτό είναι ένα άλλο πλεονέκτημα αυτής της μορφής σε σχέση με τα συνηθισμένα κλάσματα. Αν και με την ανάπτυξη της τεχνολογίας των υπολογιστών, όταν η αριθμομηχανή είναι ακόμη και στο ρολόι, γίνεται όλο και λιγότερο αισθητή.

Τα περιγραφόμενα πλεονεκτήματα της δεκαδικής μορφής για την καταγραφή κλασματικών αριθμών δείχνουν ότι ο κύριος σκοπός της είναι να απλοποιήσει την εργασία με μαθηματικά μεγέθη. Αυτή η μορφή έχει επίσης μειονεκτήματα - για παράδειγμα, για να γράψετε περιοδικά κλάσματα σε ένα δεκαδικό κλάσμα, πρέπει επίσης να προσθέσετε έναν αριθμό σε αγκύλες και οι παράλογοι αριθμοί σε δεκαδική μορφή έχουν πάντα μια κατά προσέγγιση τιμή. Ωστόσο, στο τρέχον επίπεδο ανάπτυξης των ανθρώπων και των τεχνολογιών τους, είναι πολύ πιο βολικό στη χρήση από τη συνηθισμένη μορφή για την εγγραφή κλασμάτων.