Στόχοι μαθήματος

• Εκπαιδευτικό - επανάληψη, γενίκευση και δοκιμή γνώσεων σχετικά με το θέμα: "Εφαπτομένη σε κύκλο". ανάπτυξη βασικών δεξιοτήτων.
• Αναπτυξιακή - ανάπτυξη της προσοχής, της επιμονής, της επιμονής, της λογικής σκέψης, της μαθηματικής ομιλίας των μαθητών.
• Εκπαιδευτικό - μέσα από ένα μάθημα, να καλλιεργήσει μια προσεκτική στάση ο ένας προς τον άλλο, να ενσταλάξει την ικανότητα να ακούει τους συντρόφους, την αμοιβαία βοήθεια, την ανεξαρτησία.
• Εισάγετε την έννοια της εφαπτομένης, ενός σημείου επαφής.
• Εξετάστε την ιδιότητα της εφαπτομένης και του πρόσημου της και δείξτε την εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων στη φύση και την τεχνολογία.

Στόχοι μαθήματος

• Να σχηματίσουν δεξιότητες στην κατασκευή εφαπτομένων χρησιμοποιώντας έναν χάρακα κλίμακας, ένα μοιρογνωμόνιο και ένα τρίγωνο σχεδίασης.
• Ελέγξτε την ικανότητα των μαθητών να επιλύουν προβλήματα.
• Εξασφαλίστε γνώση των βασικών αλγοριθμικών τεχνικών για την κατασκευή μιας εφαπτομένης σε έναν κύκλο.
• Δημιουργήστε δεξιότητες για εφαρμογή θεωρητική γνώσηστην επίλυση προβλημάτων.
• Να αναπτύξει τη σκέψη και το λόγο των μαθητών.
• Εργαστείτε για το σχηματισμό δεξιοτήτων παρατήρησης, παρατήρησης μοτίβων, γενίκευσης, αιτιολογίας κατ' αναλογία.
• Καλλιεργήστε το ενδιαφέρον για τα μαθηματικά.

Πλάνο μαθήματος

1. Η εμφάνιση της έννοιας της εφαπτομένης.
2. Η ιστορία της εμφάνισης της εφαπτομένης.
3. Γεωμετρικοί ορισμοί.
4. Βασικά θεωρήματα.
5. Κατασκευή εφαπτομένης σε κύκλο.
6. Ενοποίηση.

Η εμφάνιση της έννοιας της εφαπτομένης

Η έννοια της εφαπτομένης είναι μια από τις παλαιότερες στα μαθηματικά. Στη γεωμετρία, μια εφαπτομένη σε έναν κύκλο ορίζεται ως μια ευθεία που έχει ακριβώς ένα σημείο τομής με αυτόν τον κύκλο. Οι αρχαίοι, με τη βοήθεια μιας πυξίδας και μιας ευθύγραμμης γραμμής, ήταν σε θέση να σχεδιάσουν εφαπτόμενες σε έναν κύκλο και αργότερα σε κωνικές τομές: ελλείψεις, υπερβολές και παραβολές.

Η ιστορία της εμφάνισης της εφαπτομένης

Το ενδιαφέρον για τις εφαπτομένες αναβίωσε στη σύγχρονη εποχή. Τότε ανακαλύφθηκαν καμπύλες που δεν ήταν γνωστές στους επιστήμονες της αρχαιότητας. Για παράδειγμα, ο Γαλιλαίος εισήγαγε το κυκλοειδές και ο Ντεκάρτ και ο Φερμά κατασκεύασαν μια εφαπτομένη σε αυτό. Στο πρώτο τρίτο του XVII αιώνα. Άρχισαν να καταλαβαίνουν ότι μια εφαπτομένη είναι μια ευθεία γραμμή, η «πιο κοντά» σε μια καμπύλη σε μια μικρή γειτονιά ενός δεδομένου σημείου. Είναι εύκολο να φανταστεί κανείς μια κατάσταση όπου είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια εφαπτομένη σε μια καμπύλη σε ένα δεδομένο σημείο (σχήμα).

Γεωμετρικοί ορισμοί

Κύκλος- ο τόπος των σημείων του επιπέδου, σε ίση απόσταση από ένα δεδομένο σημείο, που ονομάζεται κέντρο του.

κύκλος.

Σχετικοί ορισμοί

• Το τμήμα που συνδέει το κέντρο του κύκλου με οποιοδήποτε σημείο του (και επίσης το μήκος αυτού του τμήματος) ονομάζεται ακτίνα κύκλουκύκλους.
• Το τμήμα του επιπέδου που οριοθετείται από κύκλο ονομάζεται περίπου.
• Ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία σε έναν κύκλο ονομάζεται χορδή. Η χορδή που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου ονομάζεται διάμετρος.
• Οποιαδήποτε δύο σημεία που δεν συμπίπτουν στον κύκλο τον χωρίζουν σε δύο μέρη. Κάθε ένα από αυτά τα μέρη ονομάζεται τόξοκύκλους. Το μέτρο ενός τόξου μπορεί να είναι το μέτρο της αντίστοιχης κεντρικής γωνίας του. Ένα τόξο ονομάζεται ημικύκλιο εάν το τμήμα που συνδέει τα άκρα του έχει διάμετρο.
• Μια ευθεία που έχει ακριβώς ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο ονομάζεται εφαπτομένη γραμμήστον κύκλο, και το κοινό τους σημείο ονομάζεται σημείο επαφής της ευθείας και του κύκλου.
• Μια ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία ενός κύκλου ονομάζεται διατέμνων.
• Μια κεντρική γωνία σε έναν κύκλο είναι μια επίπεδη γωνία με μια κορυφή στο κέντρο της.
• Μια γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται σε έναν κύκλο και της οποίας οι πλευρές τέμνουν τον κύκλο ονομάζεται εγγεγραμένη γωνία.
• Δύο κύκλοι που έχουν κοινό κέντρο λέγονται ομόκεντρος.

Εφαπτόμενη γραμμή- ευθεία γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο της καμπύλης και συμπίπτει με αυτό σε αυτό το σημείο μέχρι την πρώτη τάξη.

Εφαπτομένη σε κύκλοΜια ευθεία που έχει ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο ονομάζεται.

Μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο κύκλου στο ίδιο επίπεδο κάθετο στην ακτίνα που σύρεται σε αυτό το σημείο, που ονομάζεται εφαπτομένη. Σε αυτή την περίπτωση, αυτό το σημείο του κύκλου ονομάζεται σημείο επαφής.

Όπου στην περίπτωσή μας το "a" είναι μια ευθεία που εφάπτεται στον δεδομένο κύκλο, το σημείο "Α" είναι το σημείο επαφής. Σε αυτή την περίπτωση, a ⊥ OA (η ευθεία a είναι κάθετη στην ακτίνα OA).

Λένε ότι δύο κύκλοι αγγίζουναν έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Αυτό το σημείο ονομάζεται εφαπτομενικό σημείο των κύκλων. Μέσω ενός εφαπτομενικού σημείου, μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια εφαπτομένη σε έναν από τους κύκλους, η οποία είναι επίσης εφαπτομένη στον άλλο κύκλο. Η εφαπτομένη των κύκλων είναι εσωτερική και εξωτερική.

Μια εφαπτομένη ονομάζεται εσωτερική εάν τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται στην ίδια πλευρά της εφαπτομένης.

Μια εφαπτομένη ονομάζεται εξωτερική εάν τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές της εφαπτομένης

Το a είναι μια κοινή εφαπτομένη σε δύο κύκλους, το K είναι ένα σημείο επαφής.

Βασικά θεωρήματα

Θεώρημασχετικά με την εφαπτομένη και την τέμνουσα

Αν μια εφαπτομένη και μια τομή σχεδιάζονται από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από τον κύκλο, τότε το τετράγωνο του μήκους της εφαπτομένης είναι ίσο με το γινόμενο της τομής και του εξωτερικού της τμήματος: MC 2 = MA MB.

Θεώρημα.Η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο εφαπτομένης του κύκλου είναι κάθετη στην εφαπτομένη.

Θεώρημα.Αν η ακτίνα είναι κάθετη στην ευθεία στο σημείο τομής του κύκλου, τότε αυτή η ευθεία εφάπτεται σε αυτόν τον κύκλο.

Απόδειξη.

Για να αποδείξουμε αυτά τα θεωρήματα, πρέπει να θυμόμαστε τι είναι η κάθετη από ένα σημείο σε μια ευθεία. Αυτή είναι η μικρότερη απόσταση από αυτό το σημείο σε αυτή τη γραμμή. Ας υποθέσουμε ότι η ΟΑ δεν είναι κάθετη στην εφαπτομένη, αλλά υπάρχει μια ευθεία γραμμή OC κάθετη στην εφαπτομένη. Το μήκος του ΛΣ περιλαμβάνει το μήκος της ακτίνας και ένα ορισμένο τμήμα BC, το οποίο είναι σίγουρα μεγαλύτερο από την ακτίνα. Έτσι, μπορεί κανείς να αποδείξει για οποιαδήποτε γραμμή. Συμπεραίνουμε ότι η ακτίνα, η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο επαφής, είναι η μικρότερη απόσταση στην εφαπτομένη από το σημείο Ο, δηλ. Το OS είναι κάθετο στην εφαπτομένη. Στην απόδειξη του θεωρήματος της αντίστροφης, θα προχωρήσουμε από το γεγονός ότι η εφαπτομένη έχει μόνο ένα κοινό σημείο με τον κύκλο. Έστω η δεδομένη ευθεία να έχει ένα ακόμη κοινό σημείο Β με τον κύκλο. Το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο και οι δύο πλευρές του είναι ίσες με ακτίνες, κάτι που δεν μπορεί να είναι. Έτσι, παίρνουμε ότι η δεδομένη ευθεία δεν έχει άλλα κοινά σημεία με τον κύκλο εκτός από το σημείο Α, δηλ. είναι εφαπτομένη.

Θεώρημα.Τα τμήματα των εφαπτομένων που σχεδιάζονται από ένα σημείο στον κύκλο είναι ίσα και η ευθεία γραμμή που συνδέει αυτό το σημείο με το κέντρο του κύκλου διαιρεί τη γωνία μεταξύ των εφαπτομένων σε χτυπήματα.

Απόδειξη.

Η απόδειξη είναι πολύ απλή. Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο θεώρημα, βεβαιώνουμε ότι το OB είναι κάθετο στο AB και το OS είναι κάθετο στο AC. Τα ορθογώνια τρίγωνα ABO και ACO είναι ίσα ως προς το σκέλος και την υποτείνουσα (OB = OS - ακτίνες, AO - σύνολο). Επομένως, τα σκέλη τους AB = AC και οι γωνίες OAC και OAB είναι επίσης ίσα.

Θεώρημα.Η τιμή της γωνίας που σχηματίζεται από μια εφαπτομένη και μια χορδή που έχει κοινό σημείο σε έναν κύκλο είναι ίση με το ήμισυ της γωνιακής τιμής του τόξου που περικλείεται μεταξύ των πλευρών του.

Απόδειξη.

Θεωρήστε τη γωνία NAB που σχηματίζεται από την εφαπτομένη και τη χορδή. Σχεδιάστε τη διάμετρο AC. Η εφαπτομένη είναι κάθετη στη διάμετρο που τραβιέται στο σημείο επαφής, επομένως, ∠CAN=90 o. Γνωρίζοντας το θεώρημα, βλέπουμε ότι η γωνία άλφα (α) είναι ίση με το μισό του γωνιακού μεγέθους του τόξου BC ή με το μισό της γωνίας BOC. ∠NAB=90 o -a, άρα παίρνουμε ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB ή = το ήμισυ της γωνιακής τιμής του τόξου BA. h.t.d.

Θεώρημα.Αν μια εφαπτομένη και μια τομή τραβηχτούν από ένα σημείο σε έναν κύκλο, τότε το τετράγωνο του τμήματος της εφαπτομένης από το δεδομένο σημείο στο σημείο της εφαπτομένης είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των τμημάτων της τομής από το δεδομένο δείχνει στα σημεία τομής του με τον κύκλο.

Απόδειξη.

Στο σχήμα, αυτό το θεώρημα μοιάζει με αυτό: MA 2 \u003d MV * MS. Ας το αποδείξουμε. Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η γωνία MAC είναι ίση με το μισό του γωνιακού μεγέθους του τόξου AC, αλλά και η γωνία ABC είναι ίση με το μισό του γωνιακού μεγέθους του τόξου AC, σύμφωνα με το θεώρημα, επομένως, αυτές οι γωνίες είναι ίσες με ο ένας τον άλλον. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι τα τρίγωνα AMC και VMA έχουν κοινή γωνία στην κορυφή Μ, δηλώνουμε την ομοιότητα αυτών των τριγώνων σε δύο γωνίες (το δεύτερο πρόσημο). Από την ομοιότητα έχουμε: MA / MB = MC / MA, από την οποία παίρνουμε MA 2 \u003d MB * MC

Κατασκευή εφαπτομένων σε κύκλο

Και τώρα ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε και να μάθουμε τι πρέπει να γίνει για να οικοδομήσουμε μια εφαπτομένη σε έναν κύκλο.

Σε αυτή την περίπτωση, κατά κανόνα, δίνεται ένας κύκλος και ένα σημείο στο πρόβλημα. Και εσείς και εγώ πρέπει να φτιάξουμε μια εφαπτομένη στον κύκλο έτσι ώστε αυτή η εφαπτομένη να περνά από ένα δεδομένο σημείο.

Σε περίπτωση που δεν γνωρίζουμε τη θέση του σημείου, τότε ας εξετάσουμε τις περιπτώσεις της πιθανής θέσης των σημείων.

Πρώτον, το σημείο μπορεί να βρίσκεται μέσα σε έναν κύκλο που οριοθετείται από τον δεδομένο κύκλο. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι δυνατό να κατασκευαστεί μια εφαπτομένη μέσω αυτού του κύκλου.

Στη δεύτερη περίπτωση, το σημείο βρίσκεται σε έναν κύκλο και μπορούμε να φτιάξουμε μια εφαπτομένη τραβώντας μια κάθετη γραμμή στην ακτίνα, η οποία σύρεται στο σημείο που μας είναι γνωστό.

Τρίτον, ας υποθέσουμε ότι το σημείο είναι έξω από τον κύκλο, ο οποίος οριοθετείται από έναν κύκλο. Σε αυτή την περίπτωση, πριν κατασκευάσουμε μια εφαπτομένη, είναι απαραίτητο να βρούμε ένα σημείο στον κύκλο από το οποίο πρέπει να περάσει η εφαπτομένη.

Με την πρώτη περίπτωση, ελπίζω να καταλαβαίνετε τα πάντα, αλλά για να λύσουμε τη δεύτερη επιλογή, πρέπει να δημιουργήσουμε ένα τμήμα στην ευθεία γραμμή στην οποία βρίσκεται η ακτίνα. Αυτό το τμήμα πρέπει να είναι ίσο με την ακτίνα και το τμήμα που βρίσκεται στον κύκλο, στην αντίθετη πλευρά.

Εδώ βλέπουμε ότι ένα σημείο σε έναν κύκλο είναι το μέσο ενός τμήματος που είναι ίσο με το διπλάσιο της ακτίνας. Το επόμενο βήμα είναι να σχεδιάσετε δύο κύκλους. Οι ακτίνες αυτών των κύκλων θα είναι ίσες με τη διπλάσια ακτίνα του αρχικού κύκλου, με κέντρα στα άκρα του τμήματος, που είναι ίση με τη διπλάσια ακτίνα. Τώρα μπορούμε να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή μέσω οποιουδήποτε σημείου τομής αυτών των κύκλων και ενός δεδομένου σημείου. Μια τέτοια ευθεία είναι η μέση κάθετη στην ακτίνα του κύκλου, η οποία σχεδιάστηκε στην αρχή. Έτσι, βλέπουμε ότι αυτή η ευθεία είναι κάθετη στον κύκλο και από αυτό προκύπτει ότι είναι εφαπτομένη στον κύκλο.

Στην τρίτη επιλογή, έχουμε ένα σημείο που βρίσκεται έξω από τον κύκλο, το οποίο οριοθετείται από έναν κύκλο. Σε αυτή την περίπτωση, κατασκευάζουμε πρώτα ένα τμήμα που θα συνδέει το κέντρο του παρεχόμενου κύκλου και το δεδομένο σημείο. Και μετά βρίσκουμε τη μέση του. Αλλά για αυτό πρέπει να δημιουργήσετε μια κάθετη διχοτόμο. Και ξέρετε ήδη πώς να το φτιάξετε. Στη συνέχεια, πρέπει να σχεδιάσουμε έναν κύκλο, ή τουλάχιστον ένα μέρος του. Τώρα βλέπουμε ότι το σημείο τομής του δεδομένου κύκλου και του νεοκατασκευασμένου είναι το σημείο από το οποίο διέρχεται η εφαπτομένη. Περνάει επίσης από το σημείο που προσδιορίστηκε από την συνθήκη του προβλήματος. Και τέλος, μέσα από τα δύο σημεία που ήδη γνωρίζετε, μπορείτε να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη γραμμή.

Και τέλος, για να αποδείξετε ότι η ευθεία που κατασκευάσαμε είναι εφαπτομένη, πρέπει να δώσετε προσοχή στη γωνία που σχηματίστηκε από την ακτίνα του κύκλου και το τμήμα που είναι γνωστό από την συνθήκη και συνδέει το σημείο τομής του κύκλους με το σημείο που δίνει η συνθήκη του προβλήματος. Τώρα βλέπουμε ότι η γωνία που προκύπτει στηρίζεται σε ένα ημικύκλιο. Και από αυτό προκύπτει ότι αυτή η γωνία είναι σωστή. Επομένως, η ακτίνα θα είναι κάθετη στη νέα γραμμή και αυτή η ευθεία είναι η εφαπτομένη.

Κατασκευή εφαπτομένης.

Η κατασκευή των εφαπτομένων είναι ένα από εκείνα τα προβλήματα που οδήγησαν στη γέννηση του διαφορικού λογισμού. Η πρώτη δημοσιευμένη εργασία σχετικά με τον διαφορικό λογισμό, που γράφτηκε από τον Leibniz, είχε τον τίτλο "Μια νέα μέθοδος μεγίστων και ελαχίστων, καθώς και εφαπτομένων, για τις οποίες ούτε τα κλασματικά ούτε τα παράλογα μεγέθη αποτελούν εμπόδιο, και ένα ειδικό είδος λογισμού για αυτό."

Γεωμετρικές γνώσεις των αρχαίων Αιγυπτίων.

Αν δεν λάβουμε υπόψη την πολύ μέτρια συμβολή των αρχαίων κατοίκων της κοιλάδας μεταξύ του Τίγρη και του Ευφράτη και της Μικράς Ασίας, τότε η γεωμετρία ξεκίνησε στην αρχαία Αίγυπτο πριν από το 1700 π.Χ. Κατά την περίοδο των τροπικών βροχών, ο Νείλος αναπλήρωσε την παροχή νερού και πλημμύρισε. Το νερό κάλυπτε τμήματα καλλιεργούμενης γης και για φορολογικούς σκοπούς ήταν απαραίτητο να καθοριστεί πόση γη χάθηκε. Οι τοπογράφοι χρησιμοποίησαν ένα σφιχτά τεντωμένο σχοινί ως εργαλείο μέτρησης. Ένα άλλο κίνητρο για τη συσσώρευση γεωμετρικών γνώσεων από τους Αιγύπτιους ήταν οι δραστηριότητές τους όπως η κατασκευή πυραμίδων και οι καλές τέχνες.

Το επίπεδο της γεωμετρικής γνώσης μπορεί να κριθεί από αρχαία χειρόγραφα, τα οποία είναι ειδικά αφιερωμένα στα μαθηματικά και είναι κάτι σαν σχολικά βιβλία, ή μάλλον, προβληματικά βιβλία, όπου δίνονται λύσεις σε διάφορα πρακτικά προβλήματα.

Το παλαιότερο μαθηματικό χειρόγραφο των Αιγυπτίων αντιγράφηκε από κάποιον μαθητή μεταξύ 1800 - 1600. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. από παλαιότερο κείμενο. Ο πάπυρος βρέθηκε από τον Ρώσο Αιγυπτιολόγο Βλαντιμίρ Σεμένοβιτς Γκολενίστσεφ. Φυλάσσεται στη Μόσχα - στο Μουσείο καλές τέχνεςπήρε το όνομά του από τον Α.Σ. Πούσκιν, και ονομάζεται πάπυρος της Μόσχας.

Ένας άλλος μαθηματικός πάπυρος, γραμμένος διακόσια ή τριακόσια χρόνια αργότερα από τη Μόσχα, φυλάσσεται στο Λονδίνο. Ονομάζεται: «Οδηγίες για το πώς να επιτύχετε γνώση όλων των σκοτεινών πραγμάτων, όλων των μυστικών που κρύβουν τα πράγματα μέσα τους... Σύμφωνα με τα παλιά μνημεία, ο γραμματέας Αχμές έγραψε αυτό.» και αγόρασε αυτόν τον πάπυρο στην Αίγυπτο. Ο Πάπυρος του Ahmes δίνει τη λύση 84 προβλημάτων για διάφορους υπολογισμούς που μπορεί να χρειαστούν στην πράξη.

Διατομές, εφαπτόμενες - όλα αυτά ακούγονταν εκατοντάδες φορές στα μαθήματα γεωμετρίας. Αλλά η αποφοίτηση από το σχολείο τελείωσε, τα χρόνια περνούν και όλη αυτή η γνώση έχει ξεχαστεί. Τι πρέπει να θυμόμαστε;

Ουσία

Ο όρος «εφαπτομένη σε κύκλο» είναι μάλλον γνωστός σε όλους. Αλλά είναι απίθανο όλοι να μπορέσουν να διατυπώσουν γρήγορα τον ορισμό του. Εν τω μεταξύ, μια εφαπτομένη είναι μια τόσο ευθεία γραμμή που βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με έναν κύκλο που την τέμνει μόνο σε ένα σημείο. Μπορεί να υπάρχει μια τεράστια ποικιλία από αυτά, αλλά όλα έχουν τις ίδιες ιδιότητες, οι οποίες θα συζητηθούν παρακάτω. Όπως μπορείτε να μαντέψετε, το σημείο επαφής είναι το μέρος όπου τέμνονται ο κύκλος και η γραμμή. Σε καθε συγκεκριμένη περίπτωσηαυτή είναι μία, αλλά αν υπάρχουν περισσότερα από αυτά, τότε θα είναι ένα τμήμα.

Ιστορία ανακάλυψης και μελέτης

Η έννοια της εφαπτομένης εμφανίστηκε στην αρχαιότητα. Η κατασκευή αυτών των ευθειών γραμμών, πρώτα σε έναν κύκλο, και στη συνέχεια σε ελλείψεις, παραβολές και υπερβολές με τη βοήθεια ενός χάρακα και μιας πυξίδας, πραγματοποιήθηκε ακόμη και στα αρχικά στάδια της ανάπτυξης της γεωμετρίας. Φυσικά, η ιστορία δεν έχει διατηρήσει το όνομα του ανακάλυψε, αλλά είναι προφανές ότι ακόμη και εκείνη την εποχή οι άνθρωποι γνώριζαν αρκετά τις ιδιότητες μιας εφαπτομένης σε έναν κύκλο.

Στη σύγχρονη εποχή, το ενδιαφέρον για αυτό το φαινόμενο φούντωσε ξανά - ένας νέος κύκλος μελέτης αυτής της έννοιας ξεκίνησε, σε συνδυασμό με την ανακάλυψη νέων καμπυλών. Έτσι, ο Γαλιλαίος εισήγαγε την έννοια του κυκλοειδούς και ο Φερμά και ο Ντεκάρτ έφτιαξαν μια εφαπτομένη σε αυτό. Όσο για κύκλους, φαίνεται ότι δεν έχουν απομείνει μυστικά για τους αρχαίους σε αυτόν τον χώρο.

Ιδιότητες

Η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο τομής θα είναι

η κύρια, αλλά όχι η μόνη ιδιότητα που έχει μια εφαπτομένη σε κύκλο. Ένα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό περιλαμβάνει ήδη δύο ευθείες γραμμές. Έτσι, μέσω ενός σημείου που βρίσκεται έξω από τον κύκλο, μπορούν να σχεδιαστούν δύο εφαπτομένες, ενώ τα τμήματα τους θα είναι ίσα. Υπάρχει ένα άλλο θεώρημα για αυτό το θέμα, αλλά σπάνια περνά μέσα στο πλαίσιο του προτύπου σχολικό μάθημα, αν και είναι εξαιρετικά βολικό για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων. Ακούγεται έτσι. Από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από τον κύκλο, μια εφαπτομένη και μια τομή έλκονται σε αυτόν. Σχηματίζονται τα τμήματα AB, AC και AD. Α είναι η τομή των γραμμών, Β είναι το σημείο επαφής, Γ και Δ είναι οι τομές. Στην περίπτωση αυτή θα ισχύει η ακόλουθη ισότητα: το μήκος της εφαπτομένης στον κύκλο, στο τετράγωνο, θα είναι ίσο με το γινόμενο των τμημάτων AC και AD.

Υπάρχει μια σημαντική συνέπεια των παραπάνω. Για κάθε σημείο του κύκλου, μπορείτε να δημιουργήσετε μια εφαπτομένη, αλλά μόνο μία. Η απόδειξη αυτού είναι αρκετά απλή: θεωρητικά ρίχνοντας μια κάθετο από την ακτίνα πάνω της, διαπιστώνουμε ότι το σχηματισμένο τρίγωνο δεν μπορεί να υπάρξει. Και αυτό σημαίνει ότι η εφαπτομένη είναι μοναδική.

Κτίριο

Μεταξύ άλλων εργασιών στη γεωμετρία, υπάρχει μια ειδική κατηγορία, κατά κανόνα, όχι

ευνοείται από μαθητές και φοιτητές. Για να λύσετε εργασίες από αυτήν την κατηγορία, χρειάζεστε μόνο μια πυξίδα και έναν χάρακα. Αυτά είναι εργασίες οικοδόμησης. Υπάρχουν επίσης μέθοδοι για την κατασκευή μιας εφαπτομένης.

Έτσι, δίνεται ένας κύκλος και ένα σημείο που βρίσκεται έξω από τα όριά του. Και είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη μέσα από αυτά. Πως να το κάνεις? Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να σχεδιάσετε ένα τμήμα μεταξύ του κέντρου του κύκλου O και δεδομένο σημείο. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας μια πυξίδα, χωρίστε το στη μέση. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να ορίσετε την ακτίνα - λίγο περισσότερο από το μισό της απόστασης μεταξύ του κέντρου του αρχικού κύκλου και του δεδομένου σημείου. Μετά από αυτό, πρέπει να δημιουργήσετε δύο τεμνόμενα τόξα. Επιπλέον, η ακτίνα της πυξίδας δεν χρειάζεται να αλλάξει και το κέντρο κάθε τμήματος του κύκλου θα είναι το αρχικό σημείο και το Ο, αντίστοιχα. Οι διασταυρώσεις των τόξων πρέπει να συνδέονται, γεγονός που θα χωρίσει το τμήμα στο μισό. Ορίστε μια ακτίνα στην πυξίδα ίση με αυτή την απόσταση. Στη συνέχεια, με το κέντρο στο σημείο τομής, σχεδιάστε έναν άλλο κύκλο. Τόσο το αρχικό σημείο όσο και το O. Σε αυτήν την περίπτωση, θα υπάρχουν δύο ακόμη τομές με τον κύκλο που δίνεται στο πρόβλημα. Θα είναι τα σημεία επαφής για το αρχικά δεδομένο σημείο.

Ήταν η κατασκευή των εφαπτομένων στον κύκλο που οδήγησε στη γέννηση

διαφορικός λογισμός. Το πρώτο έργο για αυτό το θέμα δημοσιεύτηκε από τον διάσημο Γερμανό μαθηματικό Leibniz. Προέβλεπε τη δυνατότητα εύρεσης μεγίστων, ελαχίστων και εφαπτομένων, ανεξάρτητα από κλασματικές και παράλογες τιμές. Λοιπόν, τώρα χρησιμοποιείται και για πολλούς άλλους υπολογισμούς.

Επιπλέον, η εφαπτομένη στον κύκλο σχετίζεται με τη γεωμετρική σημασία της εφαπτομένης. Από εκεί προέρχεται το όνομά του. Μετάφραση από τα λατινικά, tangens σημαίνει "εφαπτομένη". Έτσι, αυτή η έννοια συνδέεται όχι μόνο με τη γεωμετρία και τον διαφορικό λογισμό, αλλά και με την τριγωνομετρία.

Δύο κύκλοι

Μια εφαπτομένη δεν επηρεάζει πάντα μόνο ένα σχήμα. Εάν ένας τεράστιος αριθμός ευθειών μπορεί να σχεδιαστεί σε έναν κύκλο, τότε γιατί όχι και το αντίστροφο; Μπορώ. Αλλά το έργο σε αυτήν την περίπτωση είναι πολύ περίπλοκο, επειδή η εφαπτομένη σε δύο κύκλους μπορεί να μην περάσει από κανένα σημείο και η σχετική θέση όλων αυτών των σχημάτων μπορεί να είναι πολύ

διαφορετικός.

Τύποι και ποικιλίες

Όταν πρόκειται για δύο κύκλους και μία ή περισσότερες ευθείες, ακόμα κι αν είναι γνωστό ότι πρόκειται για εφαπτομενικές, δεν γίνεται αμέσως σαφές πώς βρίσκονται όλα αυτά τα σχήματα μεταξύ τους. Με βάση αυτό, υπάρχουν διάφορες ποικιλίες. Έτσι, οι κύκλοι μπορεί να έχουν ένα ή δύο κοινά σημεία ή να μην τα έχουν καθόλου. Στην πρώτη περίπτωση, θα διασταυρωθούν και στη δεύτερη, θα αγγίξουν. Και εδώ υπάρχουν δύο ποικιλίες. Εάν ένας κύκλος είναι, όπως ήταν, ενσωματωμένος στον δεύτερο, τότε η αφή ονομάζεται εσωτερική, αν όχι, τότε εξωτερική. Μπορείτε να κατανοήσετε τη σχετική θέση των σχημάτων όχι μόνο με βάση το σχέδιο, αλλά και έχοντας πληροφορίες για το άθροισμα των ακτίνων τους και την απόσταση μεταξύ των κέντρων τους. Αν αυτές οι δύο ποσότητες είναι ίσες, τότε οι κύκλοι αγγίζουν. Αν το πρώτο είναι μεγαλύτερο, τέμνονται και αν μικρότερο, τότε δεν έχουν κοινά σημεία.

Το ίδιο και οι ευθείες γραμμές. Για δύο κύκλους που δεν έχουν κοινά σημεία, μπορεί κανείς

χτίστε τέσσερις εφαπτόμενες. Δύο από αυτά θα τέμνονται μεταξύ των φιγούρων, ονομάζονται εσωτερικά. Κάποια άλλα είναι εξωτερικά.

Αν μιλάμε για κύκλους που έχουν ένα κοινό σημείο, τότε η εργασία απλοποιείται πολύ. Το θέμα είναι ότι για οποιαδήποτε σχετική θέσησε αυτή την περίπτωση θα έχουν μόνο μία εφαπτομένη. Και θα περάσει από το σημείο της τομής τους. Άρα η κατασκευή της δυσκολίας δεν θα προκαλέσει.

Εάν τα σχήματα έχουν δύο σημεία τομής, τότε μπορεί να κατασκευαστεί μια ευθεία γραμμή για αυτά, εφαπτομένη στον κύκλο, τόσο το ένα όσο και το δεύτερο, αλλά μόνο το εξωτερικό. Η λύση σε αυτό το πρόβλημα είναι παρόμοια με αυτή που θα συζητηθεί παρακάτω.

Επίλυση προβλήματος

Τόσο οι εσωτερικές όσο και οι εξωτερικές εφαπτομένες σε δύο κύκλους δεν είναι τόσο απλές στην κατασκευή, αν και αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί. Το γεγονός είναι ότι χρησιμοποιείται μια βοηθητική φιγούρα για αυτό, οπότε σκεφτείτε αυτήν τη μέθοδο μόνοι σας

αρκετά προβληματική. Έτσι, δίνονται δύο κύκλοι με διαφορετικές ακτίνες και κέντρα O1 και O2. Για αυτούς, πρέπει να δημιουργήσετε δύο ζεύγη εφαπτομένων.

Πρώτα απ 'όλα, κοντά στο κέντρο του μεγαλύτερου κύκλου, πρέπει να φτιάξετε ένα βοηθητικό. Στην περίπτωση αυτή, η διαφορά μεταξύ των ακτίνων των δύο αρχικών σχημάτων πρέπει να καθοριστεί στην πυξίδα. Οι εφαπτομένες στον βοηθητικό κύκλο κατασκευάζονται από το κέντρο του μικρότερου κύκλου. Μετά από αυτό, από το O1 και το O2, σχεδιάζονται κάθετοι σε αυτές τις γραμμές μέχρι να τέμνονται με τα αρχικά σχήματα. Όπως προκύπτει από την κύρια ιδιότητα της εφαπτομένης, βρίσκονται τα επιθυμητά σημεία και στους δύο κύκλους. Το πρόβλημα έχει λυθεί, τουλάχιστον, το πρώτο του μέρος.

Για να κατασκευάσει κανείς τις εσωτερικές εφαπτομένες πρέπει να λύσει πρακτικά

μια παρόμοια εργασία. Και πάλι, χρειάζεται ένα βοηθητικό σχήμα, αλλά αυτή τη φορά η ακτίνα του θα είναι ίση με το άθροισμα των αρχικών. Οι εφαπτομένες κατασκευάζονται σε αυτό από το κέντρο ενός από τους δεδομένους κύκλους. Η περαιτέρω πορεία της λύσης μπορεί να γίνει κατανοητή από το προηγούμενο παράδειγμα.

Η εφαπτομένη σε έναν κύκλο ή ακόμα και σε δύο ή περισσότερους δεν είναι τόσο δύσκολο έργο. Φυσικά, οι μαθηματικοί έχουν πάψει εδώ και καιρό να επιλύουν τέτοια προβλήματα χειροκίνητα και να εμπιστεύονται τους υπολογισμούς ειδικά προγράμματα. Αλλά μην νομίζετε ότι τώρα δεν είναι απαραίτητο να μπορείτε να το κάνετε μόνοι σας, γιατί για να διαμορφώσετε σωστά μια εργασία για έναν υπολογιστή, πρέπει να κάνετε και να καταλάβετε πολλά. Δυστυχώς, υπάρχουν φόβοι ότι μετά την τελική μετάβαση στη δοκιμαστική μορφή ελέγχου γνώσης, οι εργασίες κατασκευής θα προκαλούν όλο και περισσότερες δυσκολίες στους μαθητές.

Όσον αφορά την εύρεση κοινών εφαπτομένων για περισσότερους κύκλους, αυτό δεν είναι πάντα δυνατό, ακόμα κι αν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατό να βρεθεί μια τέτοια γραμμή.

Παραδείγματα πραγματικής ζωής

Μια κοινή εφαπτομένη σε δύο κύκλους συναντάται συχνά στην πράξη, αν και αυτό δεν είναι πάντα αισθητό. Μεταφορείς, συστήματα μπλοκ, ιμάντες μετάδοσης τροχαλίας, τάση νήματος μέσα ραπτομηχανή, και ακόμη και μόνο μια αλυσίδα ποδηλάτων - όλα αυτά είναι παραδείγματα από τη ζωή. Μην νομίζετε λοιπόν ότι τα γεωμετρικά προβλήματα μένουν μόνο στη θεωρία: στη μηχανική, τη φυσική, τις κατασκευές και πολλούς άλλους τομείς, βρίσκουν πρακτική εφαρμογή.

σημεία $x\_0\backslash \sigma \epsilon \; \backslash mathbb(R)$, και είναι διαφοροποιήσιμο σε αυτό: $f\; \backslash in\; \backslash mathcal(D)(x\_0)$. Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $\phi ά$στο σημείο $x\_0$ονομάζεται η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης, που δίνεται από την εξίσωση $y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"(x\_0)(x-x\_0),\backslash \tau \epsilon \tau \rho ά\gamma \omega \nu o\; x\backslash \sigma \epsilon \; \backslash mathbb(R)$.

Εάν η συνάρτηση $\phi ά$έχει στο σημείο $x\_0$άπειρη παράγωγος $f"(x\_0)\; =\; \backslash pm\backslash infty,$τότε η εφαπτομένη σε αυτό το σημείο είναι η κάθετη γραμμή που δίνεται από την εξίσωση $x\; =\; x\_0.$

Σχόλιο

Από τον ορισμό προκύπτει άμεσα ότι η γραφική παράσταση της εφαπτομένης διέρχεται από το σημείο $(x\_0,f(x\_0))$. Γωνία $\backslash ά\lambda \phi \alpha$μεταξύ της εφαπτομένης της καμπύλης και του άξονα x ικανοποιεί την εξίσωση

$\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0)=k,$

Οπου $\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(tg)$σημαίνει εφαπτομένη και $\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή\; (k)$- συντελεστής κλίσης εφαπτομένης. Παράγωγο σε ένα σημείο $x\_0$είναι ίσο με γωνιακός συντελεστήςεφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $y\; =\; f(x)$σε αυτό το σημείο.

Εφαπτομένη ως η οριακή θέση μιας τομής

Αφήνω $f\backslash \; ά\nu \omega \; \kappa \alpha \iota \; \kappa ά\tau \omega \; \tau \epsilon \lambda \epsilon ί\alpha \; U(x\_0)\; \backslash \sigma \epsilon \; \backslash R$Και $x\_1\backslash \sigma \epsilon \; U(x\_0).$Στη συνέχεια μια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $(x\_0,f(x\_0))$Και $(x\_1,f(x\_1))$δίνεται από την εξίσωση

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0)(x-x\_0).$

Αυτή η γραμμή διέρχεται από το σημείο $(x\_0,f(x\_0))$Για οποιονδηποτε $x\_1\backslash \sigma \epsilon \; U(x\_0),$και η γωνία κλίσης του $\backslash alpha(x\_1)$ικανοποιεί την εξίσωση

$\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; \backslash frac(f(x\_1)\; -\; f(x\_0))(x\_1\; -\; x\_0).$

Λόγω της ύπαρξης της παραγώγου της συνάρτησης $\phi ά$στο σημείο $x\_0,$περνώντας στο όριο στο $x\_1\backslash \; έ\omega \varsigma \; x\_0,$καταλαβαίνουμε ότι υπάρχει ένα όριο

$\backslash lim\backslash limits\_(x\_1\; \backslash έ\omega \varsigma \; x\_0)\; \backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(tg)\backslash ,\backslash alpha(x\_1)\; =\; f"(x\_0),$

και λόγω της συνέχειας της εφαπτομένης του τόξου και της οριακής γωνίας

$\backslash alpha\; =\; \backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(arctg)\backslash ,f"(x\_0).$

Μια γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο $(x\_0,f(x\_0))$και έχοντας οριακή γωνία κλίσης που ικανοποιεί $\backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(tg)\backslash ,\backslash alpha\; =\; f"(x\_0),$δίνεται από την εφαπτομενική εξίσωση:

$y\; \backslash u003d\; f\; (x\_0)\; +\; f\; "(x\_0)\; (x-x\_0).$

Εφαπτομένη στον κύκλο

Μια ευθεία που έχει ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο και βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με αυτόν ονομάζεται εφαπτομένη στον κύκλο.

Ιδιότητες

1. Η εφαπτομένη στον κύκλο είναι κάθετη στην ακτίνα που τραβιέται στο σημείο επαφής.
2. Τα τμήματα των εφαπτομένων στον κύκλο που σχεδιάζονται από ένα σημείο είναι ίσα και κάνουν ίσες γωνίες με την ευθεία που διέρχεται από αυτό το σημείο και το κέντρο του κύκλου.
3. Το μήκος του τμήματος της εφαπτομένης που σύρεται σε έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας, που λαμβάνεται μεταξύ του σημείου εφαπτομένης και του σημείου τομής της εφαπτομένης με την ακτίνα που τραβιέται από το κέντρο του κύκλου, είναι η εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ αυτής της ακτίνας και την κατεύθυνση από το κέντρο του κύκλου προς το σημείο εφαπτομένης. "Tangens" από το λατ. εφαπτόμενες- "εφαπτομένη".

Παραλλαγές και γενικεύσεις

Μονόπλευρες ημι-εφαπτομένες

• Αν υπάρχει σωστή παράγωγος Οτι δεξιά ημιεπαπτομένηστο γράφημα της συνάρτησης $\phi ά$στο σημείο $x\_0$που ονομάζεται δοκός

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_+(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash geqslant\; x\_0.$

• Αν υπάρχει αριστερή παράγωγος Οτι αριστερός ημιεφαπτομενοςστο γράφημα της συνάρτησης $\phi ά$στο σημείο $x\_0$που ονομάζεται δοκός

$y\; =\; f(x\_0)\; +\; f"\_-(x\_0)(x\; -\; x\_0),\backslash quad\; x\; \backslash leqslant\; x\_0.$

• Αν υπάρχει άπειρη δεξιά παράγωγος $f"\_+(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$ $\phi ά$στο σημείο $x\_0$που ονομάζεται δοκός

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash geqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\backslash leqslant\; f(x\_0)).$

• Αν υπάρχει άπειρη αριστερή παράγωγος $f"\_-(x\_0)\; =\; +\backslash infty\backslash ;\; (-\backslash infty),$τότε η δεξιά ημιεφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\phi ά$στο σημείο $x\_0$που ονομάζεται δοκός

$x\; =\; x\_0,\; \backslash ;\; y\; \backslash leqslant\; f(x\_0)\backslash ;\; (y\; \backslash geqslant\; f(x\_0)).$

δείτε επίσης

• Κανονικό, διφυσιολογικό

Γράψτε μια κριτική για το άρθρο "Tangent Line"

Βιβλιογραφία

• Toponogov V. A.Διαφορική γεωμετρία καμπυλών και επιφανειών. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135.
• // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron: σε 86 τόμους (82 τόμοι και 4 επιπλέον). - Αγία Πετρούπολη. , 1890-1907.

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει την εφαπτομένη

- Σε μέρη! - φώναξε ένας νεαρός αξιωματικός στους στρατιώτες που ήταν συγκεντρωμένοι γύρω από τον Πιέρ. Αυτός ο νεαρός αξιωματικός, προφανώς, εκτέλεσε τη θέση του για πρώτη ή δεύτερη φορά, και ως εκ τούτου αντιμετώπισε τόσο τους στρατιώτες όσο και τον διοικητή με ιδιαίτερη ευκρίνεια και ομοιομορφία.
Οι ακανόνιστες πυροβολισμοί κανονιών και τουφεκιών εντάθηκαν σε όλο το πεδίο, ειδικά προς τα αριστερά, όπου ήταν τα φλας του Bagration, αλλά λόγω του καπνού των βολών από το μέρος όπου βρισκόταν ο Pierre, ήταν σχεδόν αδύνατο να φανεί τίποτα. Επιπλέον, οι παρατηρήσεις για το πώς, σαν να ήταν, ένας οικογενειακός (χωρισμένος από όλους τους άλλους) κύκλος ανθρώπων που ήταν στην μπαταρία, απορρόφησαν όλη την προσοχή του Pierre. Ο πρώτος του ασυνείδητα χαρούμενος ενθουσιασμός, που παρήχθη από τη θέα και τους ήχους του πεδίου μάχης, αντικαταστάθηκε τώρα, ειδικά μετά τη θέα αυτού του μοναχικού στρατιώτη που κείτονταν στο λιβάδι, από ένα άλλο συναίσθημα. Καθισμένος τώρα στην πλαγιά της τάφρου, παρακολουθούσε τα πρόσωπα γύρω του.
Μέχρι τις δέκα η ώρα, είκοσι άτομα είχαν ήδη παρασυρθεί από την μπαταρία. δύο όπλα έσπασαν, όλο και περισσότερες οβίδες χτυπούσαν την μπαταρία και πετούσαν, βουίζοντας και σφυρίζοντας, σφαίρες μεγάλης εμβέλειας. Αλλά οι άνθρωποι που ήταν στη μπαταρία δεν φάνηκε να το προσέχουν αυτό. εύθυμη κουβέντα και αστεία ακούστηκαν από όλες τις πλευρές.
- Τσινένκο! - φώναξε ο στρατιώτης στην πλησιάζοντας, σφυρίζοντας χειροβομβίδα. - ΟΧΙ εδω! Στο πεζικό! - πρόσθεσε ένας άλλος γελώντας, παρατηρώντας ότι η χειροβομβίδα πέταξε πάνω και χτύπησε τις τάξεις του εξωφύλλου.
- Τι φίλος? - γέλασε ένας άλλος στρατιώτης στον σκυμμένο χωρικό κάτω από την ιπτάμενη οβίδα.
Αρκετοί στρατιώτες μαζεύτηκαν στον προμαχώνα, κοιτάζοντας τι συνέβαινε μπροστά.
«Και έβγαλαν την αλυσίδα, βλέπετε, γύρισαν πίσω», είπαν, δείχνοντας πάνω από τον άξονα.
«Κοιτάξτε την επιχείρησή σας», τους φώναξε ο γέρος υπαξιωματικός. - Πήγαν πίσω, που σημαίνει ότι υπάρχει δουλειά πίσω. - Και ο υπαξιωματικός, παίρνοντας από τον ώμο έναν από τους στρατιώτες, τον έσπρωξε με το γόνατό του. Ακούστηκαν γέλια.
- Κυλήστε στο πέμπτο όπλο! φώναξε από τη μια πλευρά.
«Μαζί, πιο φιλικά, στο μπουρλάτσκι», ακούστηκαν οι χαρούμενες κραυγές όσων άλλαξαν το όπλο.
«Ε, κόντεψα να ρίξω το καπέλο του κυρίου μας», γέλασε ο κοκκινοπρόσωπος τζόκερ στον Πιέρ, δείχνοντας τα δόντια του. «Ω, αδέξια», πρόσθεσε επιδοκιμαστικά στη μπάλα που είχε πέσει στον τροχό και στο πόδι ενός άνδρα.
- Λοιπόν, αλεπούδες! ένας άλλος γέλασε με τους στριμωγμένους πολιτοφύλακες που έμπαιναν στην μπαταρία για τους τραυματίες.
- Αλ δεν είναι νόστιμο κουάκερ; Αχ, κοράκια, ταλαντεύτηκαν! - φώναξαν στην πολιτοφυλακή, που δίσταζε μπροστά σε έναν στρατιώτη με κομμένο πόδι.
«Κάτι τέτοιο, μικρέ», μιμήθηκαν οι χωρικοί. - Δεν τους αρέσει το πάθος.
Ο Pierre παρατήρησε πώς μετά από κάθε σουτ που χτυπούσε, μετά από κάθε απώλεια, μια γενική αναζωπύρωση φούντωνε όλο και περισσότερο.
Σαν από ένα προοδευμένο κεραυνό, όλο και πιο συχνά, όλο και πιο λαμπερές έλαμπαν στα πρόσωπα όλων αυτών των ανθρώπων (σαν απόκρουση αυτού που συνέβαινε) κεραυνοί κρυμμένης, φλογερής φωτιάς.
Ο Πιέρ δεν κοίταξε μπροστά στο πεδίο της μάχης και δεν ενδιαφερόταν να μάθει τι συνέβαινε εκεί: ήταν εντελώς απορροφημένος στη σκέψη αυτής της, ολοένα και πιο φλεγόμενης φωτιάς, η οποία με τον ίδιο τρόπο (αισθάνθηκε) φούντωσε στην ψυχή του.
Στις δέκα η ώρα οι στρατιώτες του πεζικού, που ήταν μπροστά από τη μπαταρία στους θάμνους και κατά μήκος του ποταμού Kamenka, υποχώρησαν. Από τη μπαταρία ήταν ορατό πώς έτρεξαν πίσω από αυτό, κρατώντας τους τραυματίες στα όπλα τους. Κάποιος στρατηγός με τη συνοδεία του μπήκε στο ανάχωμα και, αφού μίλησε με τον συνταγματάρχη, κοιτάζοντας θυμωμένα τον Πιέρ, κατέβηκε πάλι, διέταξε το κάλυμμα του πεζικού, που στεκόταν πίσω από τη μπαταρία, να ξαπλώσει για να είναι λιγότερο εκτεθειμένο σε πυροβολισμούς. Κατόπιν αυτού, στις τάξεις του πεζικού, στα δεξιά της μπαταρίας, ακούστηκε ένα τύμπανο, κραυγές εντολής, και από τη μπαταρία φάνηκε πώς προχωρούσαν οι τάξεις του πεζικού.
Ο Πιερ κοίταξε πάνω από τον άξονα. Ένα πρόσωπο συγκεκριμένα τράβηξε το μάτι του. Ήταν ένας αξιωματικός που, με χλωμό νεανικό πρόσωπο, περπατούσε προς τα πίσω, κρατώντας ένα χαμηλωμένο σπαθί και κοίταζε γύρω του ανήσυχα.
Οι τάξεις των στρατιωτών του πεζικού χάθηκαν στους καπνούς, ακούστηκε η πολύωρη κραυγή τους και οι συχνοί πυροβολισμοί των όπλων. Λίγα λεπτά αργότερα από εκεί πέρασαν πλήθη τραυματιών και φορείων. Τα κοχύλια άρχισαν να χτυπούν την μπαταρία ακόμα πιο συχνά. Αρκετοί άνθρωποι ξάπλωσαν ακάθαρτοι. Κοντά στα κανόνια, οι στρατιώτες κινούνταν πιο απασχολημένοι και πιο ζωηροί. Κανείς δεν έδινε πια σημασία στον Πιέρ. Μία ή δύο φορές τον φώναξαν θυμωμένα επειδή ήταν στο δρόμο. Ο ανώτερος αξιωματικός, με ένα συνοφρυωμένο πρόσωπο, μετακινήθηκε με μεγάλα, γρήγορα βήματα από το ένα όπλο στο άλλο. Ο νεαρός αξιωματικός, αναψοκοκκινισμένος ακόμη περισσότερο, διέταξε τους στρατιώτες ακόμη πιο επιμελώς. Οι στρατιώτες πυροβόλησαν, γύρισαν, φόρτωσαν και έκαναν τη δουλειά τους με έντονο πάθος. Αναπηδούσαν στην πορεία, σαν πάνω σε ελατήρια.

Ορισμός. Εφαπτομένη σε κύκλο είναι μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο που έχει ακριβώς ένα κοινό σημείο με τον κύκλο.

Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:

Κύκλος με κέντρο Οαγγίζει μια ευθεία γραμμή μεγάλοστο σημείο ΕΝΑ Από οπουδήποτε ΜΑκριβώς δύο εφαπτομένες μπορούν να σχεδιαστούν έξω από τον κύκλο διαφορά μεταξύ εφαπτομένης μεγάλο, τέμνουσα προ ΧΡΙΣΤΟΥκαι άμεση Μ, που δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο

Αυτό θα μπορούσε να είναι το τέλος, αλλά η πρακτική δείχνει ότι δεν αρκεί απλώς να απομνημονεύσετε τον ορισμό - πρέπει να μάθετε να βλέπετε τις εφαπτομένες στα σχέδια, να γνωρίζετε τις ιδιότητές τους και, επιπλέον, πώς να εξασκείτε στη χρήση αυτών των ιδιοτήτων κατά την επίλυση πραγματικών προβλημάτων . Με όλα αυτά θα ασχοληθούμε σήμερα.

Βασικές ιδιότητες των εφαπτομένων

Για να λύσετε τυχόν προβλήματα, πρέπει να γνωρίζετε τέσσερις βασικές ιδιότητες. Δύο από αυτά περιγράφονται σε οποιοδήποτε βιβλίο αναφοράς / εγχειρίδιο, αλλά τα δύο τελευταία κατά κάποιο τρόπο έχουν ξεχαστεί, αλλά μάταια.

1. Τα τμήματα των εφαπτομένων που σχεδιάζονται από ένα σημείο είναι ίσα

Λίγο πιο πάνω, μιλήσαμε ήδη για δύο εφαπτομένες που τραβήχτηκαν από ένα σημείο M. Άρα:

Τα τμήματα των εφαπτομένων στον κύκλο, που σύρονται από ένα σημείο, είναι ίσα.

Τμήματα ΕΙΜΑΙΚαι BMίσος

2. Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα που τραβιέται στο σημείο επαφής

Ας δούμε ξανά την παραπάνω εικόνα. Ας σχεδιάσουμε τις ακτίνες ΟΑΚαι OB, μετά από το οποίο διαπιστώνουμε ότι οι γωνίες ΕΙΜΑΙΚαι OBM- ευθεία.

Η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο εφαπτομένης είναι κάθετη στην εφαπτομένη.

Αυτό το γεγονός μπορεί να χρησιμοποιηθεί χωρίς απόδειξη σε οποιοδήποτε πρόβλημα:

Οι ακτίνες που έλκονται στο σημείο εφαπτομένης είναι κάθετες στις εφαπτόμενες

Παρεμπιπτόντως, σημειώστε: εάν σχεδιάσετε ένα τμήμα ΟΜ, τότε παίρνουμε δύο ίσα τρίγωνα: ΕΙΜΑΙΚαι OBM.

3. Σχέση εφαπτομένης και τέμνουσας

Αλλά αυτό είναι ένα πιο σοβαρό γεγονός, και οι περισσότεροι μαθητές δεν το γνωρίζουν. Θεωρήστε μια εφαπτομένη και μια τομή που διέρχονται από το ίδιο κοινό σημείο Μ. Φυσικά, η τομή θα μας δώσει δύο τμήματα: μέσα στον κύκλο (τμήμα προ ΧΡΙΣΤΟΥ- λέγεται επίσης συγχορδία) και έξω (λέγεται έτσι - το εξωτερικό μέρος MC).

Το γινόμενο ολόκληρης της τομής κατά το εξωτερικό της τμήμα είναι ίσο με το τετράγωνο του εφαπτομενικού τμήματος

Σχέση τομής και εφαπτομένης

4. Γωνία μεταξύ εφαπτομένης και χορδής

Ένα ακόμη πιο προηγμένο γεγονός που χρησιμοποιείται συχνά για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων. Συνιστώ ανεπιφύλακτα να το πάρετε εν πλω.

Η γωνία μεταξύ μιας εφαπτομένης και μιας χορδής είναι ίση με την εγγεγραμμένη γωνία που βασίζεται σε αυτή τη χορδή.

Από πού προέρχεται η τελεία σι? Σε πραγματικά προβλήματα, συνήθως «σκάει» κάπου στην κατάσταση. Επομένως, είναι σημαντικό να μάθετε να αναγνωρίζετε αυτή τη διαμόρφωση στα σχέδια.

Μερικές φορές εξακολουθεί να ισχύει :)

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και/ή βάσει δημοσίων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.