Pagina curentă: 3 (totalul cărții are 9 pagini) [extras de lectură accesibil: 7 pagini]

Font:

100% +

22. Momentul static al secțiunii

Calculele de rezistență arată că efortul și deformarea care apar într-un corp solid depind de factorii de forță interni și de caracteristicile geometrice ale secțiunii transversale. În tensiune, de exemplu, tensiunea depinde de aria secțiunii transversale și, deoarece tensiunea în acest caz este distribuită uniform pe secțiune, nu depinde de forma secțiunii. În timpul torsiunii, tensiunile depind de mărimea și forma secțiunii datorită distribuției neuniforme a tensiunilor. Formulele de calcul ale grinzii în torsiune includ moment polar de inerție eu pȘi moment polar de rezistență W p- caracteristicile geometrice ale secțiunii. Atunci când se calculează rezistența unei grinzi la încovoiere, este necesar să se cunoască momentele de inerție și momentele de rezistență la secțiune față de axele care trec prin centrul de greutate al grinzii. Să luăm în considerare o anumită secțiune a unui fascicul cu o zonă Ași o axă care trece prin centrul de greutate al acestui corp. Momentul static al unei secțiuni plane despre unele axe X este suma produselor ariilor ariilor elementare care alcatuiesc sectiunea, prin distantele acestor zone fata de axa care trece prin centrul de greutate. La fel și pentru axă y.

Momentul static se măsoară în metri cubi. Poate fi pozitiv, negativ sau zero, în funcție de axa selectată. Dacă momentele statice și aria secțiunii transversale sunt cunoscute, atunci coordonatele centrului de greutate pot fi determinate ca raport dintre momentul static și aria secțiunii transversale. Și invers, dacă sunt cunoscute coordonatele centrului de greutate al secțiunii - x c , y c, momentul static este egal cu produsul dintre aria secțiunii transversale și distanța de la centrul de greutate la axă.

S x=ai c

Sy=Toporul c

Din relațiile obținute se poate observa că în cazul în care axa trece prin centrul de greutate, momentul static este zero.

În cazul în care secțiunea transversală poate fi considerată ca n-al-lea număr de piese componente cu suprafețe cunoscute A iși coordonatele centrelor de greutate x i, y i, poziția întregului centru de greutate poate fi definită ca suma produselor:

Fiecare termen din numărător determină momentul static al acestei secțiuni în raport cu axa selectată.

23. Momentul de inerție al secțiunii

Momentul de inerție axial (sau ecuatorial) al unei secțiuni plane despre unele axe X este suma produselor ariilor ariilor elementare care alcătuiesc secțiunea transversală cu pătratul distanței acestor zone față de axa care trece prin centrul de greutate. Astfel, momentele axiale sunt integrale pe toată suprafața secțiunii.

Momentul polar de inerție relativ la un punct (pol) este suma produselor ariilor ariilor elementare care alcătuiesc secțiunea, cu pătratul distanței acestor zone până la punctul selectat.

moment de inerție centrifugal faţă de vreo două axe reciproc perpendiculare este suma produselor ariilor elementare care alcătuiesc secţiunea, cu distanţele acestor zone faţă de aceste axe.

Momentele de inerție se măsoară în m 4 . Momentele axiale și polare de inerție pot fi doar pozitive, deoarece pentru orice semn al coordonatei, pătratul acestei coordonate este luat în formulă. Momentul de inerție centrifugal poate fi pozitiv, negativ sau zero.

Suma momentelor axiale de inerție în jurul a două axe reciproc perpendiculare este egală cu momentul polar de inerție în jurul punctului în care aceste axe se intersectează.

eu ρ = eu X +eu y

Într-adevăr, ρ este distanța de la aria elementară a secțiunii până la un punct, este definită ca ipotenuza unui triunghi cu laturile XȘi y.

ρ 2 = X 2 + y 2

Inlocuim aceasta relatie in expresia pentru momentul polar de inertie si obtinem:

24. Momentele de inerție ale secțiunilor simple

Luați în considerare momentele de inerție ale unor figuri simple.

Cerc. eu ρ = eu x +eu y . Deoarece cercul este o figură simetrică, atunci I x = I y. Prin urmare, eu p = 2 eu x. Pe baza definiției momentului polar de inerție și a relației dintre momentul polar de inerție și momentele axiale de inerție în cazul unui cerc, avem:

Pentru inele diametru d si diametrul interior d 0

Semicerc. Principalele axe centrale sunt axa de simetrie a acestui semicerc și axa perpendiculară pe acesta. Pentru un semicerc, momentul de inerție este jumătate din cel al unui cerc pentru aceeași axă. Dacă desemnăm X 1 axa de bază, atunci

Din relația care leagă momentele de inerție ale axelor paralele, dintre care una este centrală, și, cunoscând valoarea ordonatei centrului de greutate al semicercului y c ≈ 0.424r puteți determina momentele de inerție ale semicercului:

Dreptunghi. Să definim momentul de inerție eu x1, care coincide cu baza dreptunghiului și luați în considerare secțiunea A ca suma dreptunghiurilor elementare ale lăţimii b si inaltime dy 1 , A=bdy 1

Pentru momentele de inerție ale axelor paralele, dintre care una este centrală, eu X =I x1 – a 2 A. În acest caz, distanța A=h/ 2, A=bh, momentul de inerție față de axe XȘi y

eu X = bh 3 / 12

eu y = hb 3 / 12

În cazul particular al unui pătrat

eu X =eu y = b 4 / 12

Pentru triunghi calculați momentul de inerție eu x1, în raport cu axa X 1 , care coincide cu baza, și pentru aceasta considerăm secțiunea ca sumă a dreptunghiurilor elementare de lățime b. După efectuarea transformărilor matematice, găsim valoarea eu X = bh 3 / 12. Momentul de inerție față de axa centrală este eu X =Ix1-a 2 b, în acest caz A=h/ 3,A= (1 / 2)bh. Ca rezultat, obținem:

eu X =bh 3 / 12 – (h/3) 3 (1 / 2)bh= bh 3 / 36

În general, axa X nu este principala

eu y= bh 3 / 48

25. Relația dintre momentele de inerție față de axe paralele

Să stabilim relația dintre momentele de inerție în jurul axelor paralele, dintre care una este centrală. Pentru a face acest lucru, luați în considerare o secțiune transversală cu o zonă A. (Fig. 10) Să presupunem că sunt cunoscute coordonatele centrului de greutate al secțiunii Cși momente de inerție eu xc, eu Y c raportat la axele centrale x c, y c. În acest caz, este posibil să se determine momentele de inerție în jurul axelor XȘi y, paralel cu centralul și îndepărtat de central la distanță AȘi b respectiv. Scriem relația pentru coordonatele axelor paralele:

X= x c+b

y= Y c+A

Apoi momentul de inerție al secțiunii în jurul axei X va fi scris sub forma:

În această expresie, primul termen este momentul de inerție în jurul axei X c, în al doilea termen integrala reprezintă momentul static (și raportat la axa centrală momentul static este întotdeauna zero), al treilea termen este aria secțiunii transversale înmulțită cu pătratul distanței dintre axe A. Prin urmare:

eu X = eu xc + A 2 A

eu y = eu Y c + b 2 A

Momentul de inerție în jurul oricărei axe este egal cu suma momentului de inerție în jurul axei centrale paralele cu cea dată și produsul ariei secțiunii transversale a figurii cu pătratul distanței. între axe.

Am obținut o relație pentru momentele de inerție față de axele centrale în trecerea la cele necentrale paralele cu acestea. Aceste relații sunt numite și formule de transfer paralel.

Din formulele obținute, este clar că momentul de inerție în jurul axei centrale este întotdeauna mai mic decât momentul de inerție al oricărui necentral paralel cu aceasta.

26. Axele principale de inerție și momentele principale de inerție

Un număr infinit de perechi de axe reciproc perpendiculare pot fi trasate prin orice punct al planului de secțiune. Deoarece suma a două momente axiale de inerție ale secțiunii este un moment polar și este o valoare constantă, atunci prin deplasarea sistemului de coordonate, puteți alege o astfel de poziție a axelor în care unul dintre momentele de inerție selectate va fi maxim. , iar al doilea - minim. Luați în considerare relația dintre momentele de inerție față de axe x 0, y 0 și momente de inerție față de axe XȘi y, rotit printr-un unghi α în raport cu x 0, y 0 . Să găsim astfel de valori ale unghiului α la care momentele de inerție ale axelor perpendiculare își vor lua valorile maxime și minime. Pentru a face acest lucru, găsim prima derivată în raport cu unghiul de rotație de la eu X , eu yși echivalează-l cu zero ( regula matematica găsirea extremelor funcţiei).

După transformări, raportul va lua forma:

Formula rezultată determină poziția a două axe reciproc perpendiculare, momentul de inerție față de una dintre ele este maxim, momentul de inerție față de cealaltă este minim. Se numesc astfel de axe axele principale de inerție. Momentele de inerție despre astfel de axe se numesc principalele momente de inerție. În acest caz, momentul centrifugal este zero.

Axele care trec prin centrul de greutate al secțiunii se numesc axe centrale. În calculele practice, sunt de interes principalele momente de inerție despre axele centrale, se numesc principalele momente centrale de inerție, și astfel de topoare axele centrale principale. Deoarece doar axele centrale sunt de interes, ele sunt pur și simplu denumite axe principale pentru concizie, iar momentele axiale de inerție calculate în raport cu astfel de axe sunt denumite pur și simplu momentele principale de inerție.

Una dintre principalele axe de inerție este axa care trece prin centrul de simetrie al planului de secțiune, a doua este perpendiculară pe aceasta. Axa de simetrie și orice perpendiculară pe aceasta formează un sistem de axe principale. Dacă secțiunea are mai multe axe de simetrie (de exemplu, un cerc, un pătrat, un triunghi echilateral), atunci toate axele centrale sunt principale și toate momentele centrale sunt egale.

27. Calculul momentelor de inerție ale secțiunilor complexe

Pentru a afla momentul de inerție al unei secțiuni complexe cu o zonă A secțiunea este împărțită în simplă A 1 , A 2 , … A n, pentru care momentele de inerție se găsesc după formule sau tabele gata făcute.

Momentul de inerție al unei figuri complexe se găsește ca suma momentelor de inerție care alcătuiesc figurile simple.

eu X = eu X 1 + eu X 2 +… + eu xn

Momentul de inerție este integrala peste aria secțiunii transversale,

pentru integrală este adevărat:

Prin urmare, se poate scrie că:

Cu alte cuvinte, momentul de inerție al unei secțiuni compozite în jurul unei axe este suma momentelor de inerție ale componentelor acestei secțiuni în jurul aceleiași axe.

La rezolvarea unor probleme de acest fel se urmează următorul algoritm. Găsiți centrul de greutate al unei secțiuni plane și determinați axele centrale principale. Din tabele sau folosind formule gata făcute, valorile momentelor de inerție ale părților constitutive sunt calculate în raport cu propriile axe centrale paralele cu axele centrale principale ale secțiunii. Folosind formulele de transfer paralel, se calculează valorile momentelor de inerție ale părților constitutive ale secțiunii în raport cu axele principale ale secțiunii. Prin însumare se determină valorile principalelor momente centrale de inerție.

Această regulă este valabilă și pentru momentul de inerție centrifugal.

28. Conceptul de cuplu

Torsiunea este unul dintre tipurile de deformare a grinzii, în care un factor de forță intern apare în secțiunea transversală a grinzii, numit cuplu Mk. Acest tip de deformare apare atunci când asupra fasciculului acționează o pereche de forțe, numite momente de torsiune M aplicat perpendicular pe axa sa longitudinală.

O bară încărcată cu cupluri se numește arbore. Suma cuplurilor care acționează asupra arborelui este zero dacă arborele se rotește uniform. Cuplul poate fi determinat prin formula, cu condiția ca puterea transmisă să fie cunoscută Pși viteza unghiulară w.

Cu o frecvență de rotație cunoscută a arborelui, viteza unghiulară poate fi scrisă ca

Prin urmare, expresia cuplului poate fi scrisă astfel:

În calculele practice, un obiect real este înlocuit cu o schemă de calcul. Pentru a simplifica problema, se presupune că momentele de rotație sunt concentrate în secțiunea mijlocie a pieselor și nu sunt distribuite pe suprafața lor. În secțiunea unui arbore arbitrar, cuplul poate fi determinat folosind metoda secțiunilor, atunci când arborele este tăiat mental de un plan. Una dintre piese este aruncată și influența sa este înlocuită cu cuplul Mk, apoi se determină din ecuațiile de echilibru. Valoarea numerică a cuplului este suma cuplurilor care se află pe o parte a secțiunii.

În secțiunile transversale ale grinzii în timpul torsii, apar doar tensiuni tangenţiale, forțele normale sunt paralele cu axa longitudinală a grinzii și momentele lor sunt egale cu zero. Prin urmare, definiția cuplului poate fi formulată după cum urmează: cuplul este momentul rezultat al forțelor tangențiale interne care apar în secțiunea transversală a grinzii în raport cu axa sa longitudinală.

La calcularea rezistenței în cazul torsiunii grinzii, este necesar să se găsească secțiunea periculoasă a grinzii. Dacă dimensiunile secțiunii transversale de-a lungul axei grinzii sunt neschimbate, atunci secțiunile cu cuplul maxim sunt considerate periculoase. Pentru a găsi secțiuni periculoase, se construiesc diagrame de cuplu (grafice ale modificărilor cuplului de-a lungul lungimii fasciculului). La construirea diagramelor, se obișnuiește să presupunem că cuplul este pozitiv dacă direcția acestuia coincide cu sensul acelor de ceasornic, dacă vă uitați la secțiunea desenată. Această ipoteză este arbitrară, deoarece semnul cuplului nu are semnificație fizică.

29. Determinarea tensiunilor la torsiune a unui arbore rotund

Când se studiază torsiunea arborilor, au loc următoarele ipoteze:

– ipoteza secțiunilor plane: secțiunile transversale plane ale grinzii după deformare rămân și ele plane și îndreptate de-a lungul normalei la axa acesteia, rotindu-se la un anumit unghi față de această axă;

- razele secțiunilor transversale nu sunt curbe, iar lungimea lor rămâne constantă;

- de-a lungul axei fasciculului, distanțele dintre secțiunile transversale rămân constante.

Pe baza ipotezelor de mai sus, torsiunea unui arbore rotund poate fi considerată ca o forfecare pură. Formulele obţinute pe baza acestor ipoteze sunt confirmate experimental.

Luați în considerare torsiunea unei secțiuni a unui fascicul circular cu o rază r lungime dz. Unul dintre capete va fi considerat fix.

Când este rotit printr-un unghi a în secțiune transversală, unghiul de forfecare care se află pe suprafața unui astfel de arbore este determinat de formula:

Raportul dintre unghiul total de răsucire pe secțiunea arborelui și lungimea sa se numește unghi relativ de răsucire.

Să identificăm mental un cilindru cu o rază ρ în secțiunea considerată a arborelui, unghiul de forfecare pentru suprafața acestui cilindru este determinat în mod similar:

Conform legii lui Hooke, în cazul forfecării, eforturile de forfecare sunt egale cu:

Astfel, în timpul torsiunii, eforturile de forfecare sunt direct proporționale cu distanța de la centrul de greutate al secțiunii, iar la centrul de greutate, tensiunile de forfecare sunt egale cu zero. Apropiindu-se de suprafața arborelui, își iau valorile maxime.

30. Calculul momentelor transmise arborelui

Luați în considerare torsiunea unei secțiuni a unui arbore rotund cu un diametru r si lungime dz. Scoatem în el un cilindru cu diametrul ρ. Deoarece torsiunea este forfecare pură, tensiunile normale sunt zero, iar tensiunile tăietoare atunci când sunt rotite prin unghiul α sunt distribuite după cum urmează:

Cuplul este definit ca:

A- arie a secțiunii transversale. Înlocuind efortul de forfecare în această expresie și ținând cont de faptul că integrala razei peste zona secțiunii este momentul polar de inerție al secțiunii , primim:

Înlocuind această expresie în formula pentru tensiunile de forfecare, obținem:

Astfel, tensiunile de forfecare sunt definite ca produsul dintre cuplul și raza, împărțit la momentul polar al secțiunii. Este clar că pentru punctele aflate la distanțe egale față de axă, tensiunile de forfecare sunt egale, valorile maxime ale tensiunii sunt în punctele situate pe suprafața arborelui.

Aici este momentul de torsiune polar de rezistenta.

Pentru secțiunea rotundă

Condiția de rezistență la torsiune este următoarea:

[τ] este efortul de forfecare maxim admisibil.

Această formulă vă permite, de asemenea, să determinați cuplul admisibil sau să selectați diametrul permis al arborelui.

31, Deformare la torsiune. Energie potențială

În procesul de torsiune, cuplurile se rotesc împreună cu secțiunea transversală printr-un anumit unghi și, în același timp, efectuează un lucru care, ca și în alte tipuri de deformare, este cheltuit pentru a crea o anumită rezervă de energie potențială în corpul supus. deformare și este determinată de formula:

Acest raport rezultă din dependență liniară cuplu M La din unghiul de rotație φ.

Când se aplică o sarcină, cuplul crește treptat, în timp ce în conformitate cu legea lui Hooke, unghiul de rotație crește proporțional. Lucrul efectuat de cuplu este egal cu energia potențială de deformare conform legii conservării energiei, prin urmare,

Dacă înlocuim formula cunoscută pentru unghiul de răsucire în raportul rezultat, atunci expresia va lua forma:

Cu o schimbare treptată a cuplului sau a secțiunii transversale a fasciculului, energia potențială este suma:

Dacă cuplul sau momentele polare (sau ambele în același timp) se modifică continuu pe lungimea secțiunilor fasciculului, atunci energia potențială este o integrală de-a lungul lungimii

32. Calculul arcurilor elicoidale

În inginerie mecanică și instrumentare, arcuri elicoidale sunt utilizate pe scară largă, care pot fi cilindrice, în formă de con sau în formă. Cele mai des folosite arcuri sunt cilindrice, din sarma cu sectiune rotunda: arcuri de prelungire (fabricate fara goluri intre bobine) si arcuri de compresie (cu decalaj). Pentru a simplifica calculul arcurilor pentru rigiditate și rezistență, vom presupune că unghiul de înclinare al bobinelor este atât de mic încât poate fi neglijat, iar secțiunea de-a lungul axei arcului este considerată transversală pentru bobină. Din condițiile de echilibru pentru partea tăiată a arcului, este clar că în secțiune apar doi factori de forță interni: forța transversală Q y = Fși cuplul M La = FD / 2, adică numai solicitări tangenţiale apar în secţiunea bobinei. Vom presupune că eforturile tăietoare asociate cu forța transversală sunt distribuite uniform pe secțiune, iar forțele tăietoare asociate prezenței unui cuplu sunt distribuite conform unei legi liniare și ating valorile maxime în punctele extreme ale secțiune. Punctul cel mai apropiat de axa arcului va fi cel mai solicitat, tensiunea pentru acesta este egală cu:

Raportul dintre diametrul arcului și diametrul firului se numește indice al arcului,

c n =D/d

Formula rezultată este aproximativă datorită neglijării influenței forței transversale și datorită faptului că curbura bobinelor nu este luată în considerare. Să introducem un factor de corecție LA, in functie de indicele arcului si de unghiul de inclinare al spirelor. Atunci condiția de forță ia forma:

Când se aplică o sarcină, arcul își schimbă lungimea. Această schimbare se numește pescaj de primăvarăλ. Să stabilim cu ce tiraj este egal dacă bobinele suferă doar torsiune. Conform formulei Clapeyron, munca forțelor statice externe este:

Energia potențială de deformare

În acest caz

Unde l- lungimea secțiunii considerate a arcului;

n- numărul de ture.

După efectuarea înlocuirii și transformărilor matematice, obținem că:

33. Deplasări și tensiuni în arcuri elicoidale

Arcurile elicoidale sunt utilizate pe scară largă în inginerie mecanică ca dispozitive de absorbție a șocurilor sau dispozitive de alimentare inversă. Calculul arcurilor elicoidale demonstrează bine metoda de determinare a deplasărilor. Arcurile elicoidale sunt împărțite în arcuri de tracțiune, compresie și torsiune. Arcurile de tractiune si compresie sunt incarcate de forte care actioneaza de-a lungul axei arcului, arcurile de torsiune sunt incarcate de momente situate intr-un plan perpendicular pe axa arcului.

Un arc răsucit poate fi considerat ca o tijă îndoită spațial cu o axă elicoidală. Forma arcului se caracterizează prin următorii parametri: diametrul arcului D, numărul de ture n, unghi de elevație θ și smoală de primăvară s definit prin formula:

s= π dtgθ

De obicei, pasul arcului este mult mai mic decât π D, unghiul θ este destul de mic (mai mic de 5°).

Luați în considerare un arc de tracțiune-compresie. Sub influența sarcinii externe Rîn fiecare secțiune transversală, un rezultat Forta interioara R si moment M=PD / 2, situată în planul de acțiune al forțelor R. Pe Fig. 13 prezintă forțele care acționează în secțiunea transversală a arcului.

Proiecțiile forței totale și ale momentului în raport cu sistemul de coordonate asociat secțiunii sunt descrise prin următoarele relații:

M La = (PD/ 2) × cosθ,

M afară= (PD / 2) × sinθ,

Q=P× cosθ,

N=P× sinθ.

Să ne asumăm puterea R este egal cu 1, atunci rapoartele pentru forțe și momente vor lua forma:

M k1 = (D/ 2) × cosθ,

M izg1 = (D/ 2) × sinθ,

Q 1 = cosθ,

N 1 = sinθ.

Să găsim deplasarea axială în primăvară folosind integrala lui Mohr. Ținând cont de micimea deplasărilor cauzate de forțele normale și transversale, precum și de deplasarea axială, în acest caz, integrala Mohr se scrie după cum urmează:

unde produsul din numitor este rigiditatea la torsiune a arcului;

l este lungimea părții de lucru a arcului;

l≈ π Dn

Datorită micşorării unghiului de înclinare a spirelor θ presupunem că cos θ = 1, atunci

Tensiunile în arcurile elicoidale care funcționează în compresie-tensiune sau torsiune se determină după cum urmează.

http://:www.svkspb.nm.ru

Caracteristicile geometrice ale secțiunilor plate

Pătrat: , dF - zona elementară.

Momentul static al elementului de zonădF despre axa 0x
- produsul elementului de zonă cu distanța „y” față de axa 0x: dS x = ydF

Însumând (integrand) astfel de produse pe întreaga zonă a figurii, obținem momente statice despre axele y și x:
;
[cm 3, m 3 etc.].

Coordonatele centrului de greutate:
. Momente statice relativ la axele centrale(axele care trec prin centrul de greutate al secțiunii) sunt egale cu zero. Când se calculează momentele statice ale unei figuri complexe, aceasta este împărțită în părți simple, cu zone cunoscute F i și coordonatele centrelor de greutate x i, y i. Momentul static al ariei întregii figuri \u003d suma a momentelor statice ale fiecăreia dintre părțile sale:
.

Coordonatele centrului de greutate al unei figuri complexe:

M
momentele de inerție ale secțiunii

Axial(ecuatorial) momentul de inerție al secțiunii- suma produselor ariilor elementare dF cu pătratele distanțelor lor față de axă.

;
[cm 4, m 4 etc.].

Momentul polar de inerție al unei secțiuni față de un anumit punct (pol) este suma produselor ariilor elementare prin pătratele distanțelor lor față de acest punct.
; [cm 4, m 4 etc.]. J y + J x = J p .

Momentul de inerție centrifugal al secțiunii- suma produselor ariilor elementare prin distanțele lor față de două axe reciproc perpendiculare.
.

Momentul de inerție centrifugal al secțiunii în jurul axelor, dintre care una sau ambele coincid cu axele de simetrie, este egal cu zero.

Momentele de inerție axiale și polare sunt întotdeauna pozitive, momentele de inerție centrifuge pot fi pozitive, negative sau zero.

Momentul de inerție al unei figuri complexe este egal cu suma momentelor de inerție ale părților sale constitutive.

Momentele de inerție ale secțiunilor unei forme simple

P
secţiune dreptunghiulară Cerc

LA


inel

T
dreptunghi

R
autofemurală

Dreptunghiular

T
dreptunghi

H sfert de cerc

J y \u003d J x \u003d 0,055R 4

Jxy =0,0165R 4

în fig. (-)

Semicerc

M

momentele de inerție ale profilelor standard se regăsesc din tabelele de sortiment:

D
vutaur Canal colţ

M

momente de inerție față de axele paralele:

J x1 = J x + a 2 F;

J y1 = J y + b 2 F;

momentul de inerție în jurul oricărei axe este egal cu momentul de inerție în jurul axei centrale paralele cu cea dată, plus produsul dintre aria figurii și pătratul distanței dintre axe. J y1x1 = J yx + abF; ("a" și "b" sunt substituite în formulă, ținând cont de semnul lor).

Relație între momente de inerție la rotirea axelor:

J x1 \u003d J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 \u003d J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Unghiul >0, dacă trecerea de la sistemul de coordonate vechi la cel nou are loc în sens invers acelor de ceasornic. J y1 + J x1 = J y + J x

Se numesc valori extreme (maximum și minim) ale momentelor de inerție principalele momente de inerție. Se numesc axele față de care momentele axiale de inerție au valori extreme axele principale de inerție. Principalele axe de inerție sunt reciproc perpendiculare. Momentele de inerție centrifuge în jurul axelor principale = 0, i.e. axe principale de inerție - axe față de care momentul de inerție centrifugal = 0. Dacă una dintre axe coincide sau ambele coincid cu axa de simetrie, atunci ele sunt principale. Unghi care definește poziția axelor principale:
, dacă  0 >0  axele sunt rotite în sens invers acelor de ceasornic. Axa maximului face întotdeauna un unghi mai mic cu cel al axelor, față de care momentul de inerție are o valoare mai mare. Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate principalele axe centrale de inerție. Momente de inerție despre aceste axe:

J max + J min = J x + J y . Momentul de inerție centrifugal în jurul axelor centrale principale de inerție este 0. Dacă sunt cunoscute momentele principale de inerție, atunci formulele pentru trecerea la axele rotite sunt:

J x1 \u003d J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 \u003d J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min) sin2;

Scopul final al calculării caracteristicilor geometrice ale secțiunii este de a determina principalele momente centrale de inerție și poziția principalelor axe centrale de inerție. R raza de inerție -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Dacă J x și J y sunt momentele principale de inerție, atunci i x și i y - razele principale de rotație. Se numește o elipsă construită pe razele principale de inerție ca pe semiaxe elipsa de inertie. Folosind elipsa de inerție, puteți găsi grafic raza de rotație i x1 pentru orice axă x 1. Pentru a face acest lucru, trageți o tangentă la elipsă paralelă cu axa x 1 și măsurați distanța de la această axă la tangentă. Cunoscând raza de rotație, puteți găsi momentul de inerție al secțiunii despre axa x 1:
. Pentru secțiunile cu mai mult de două axe de simetrie (de exemplu: un cerc, un pătrat, un inel etc.), momentele axiale de inerție în jurul tuturor axelor centrale sunt egale între ele, J xy \u003d 0, elipsa lui inerția se transformă într-un cerc de inerție.

momente de rezistenţă.

Momentul axial de rezistență- raportul dintre momentul de inerție în jurul axei și distanța de la aceasta până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii.
[cm 3, m 3]

Deosebit de importante sunt momentele de rezistență raportate la principalele axe centrale:

dreptunghi:
; cerc: Wx=Wy=
,

secțiune tubulară (inel): W x =W y =
, unde = d H /d B .

Momentul polar de rezistență - raportul dintre momentul polar de inerție și distanța de la pol până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii:
.

Pentru cercul W p =
.

Dacă m = 1, n = 1, atunci obținem caracteristica

Care e numit moment de inerție centrifugal.

moment de inerție centrifugal raportat la axele de coordonate - suma produselor ariilor elementare dA la distantele lor fata de aceste axe, luate pe toata suprafata sectiunii transversale A.

Dacă cel puţin una dintre axe y sau z este axa de simetrie a secțiunii, momentul de inerție centrifugal al unei astfel de secțiuni față de aceste axe este egal cu zero (deoarece în acest caz fiecare valoare pozitivă z y dA putem potrivi exact la fel, dar negativ, pe cealaltă parte a axei de simetrie a secțiunii, vezi figura).

Să luăm în considerare caracteristicile geometrice suplimentare care pot fi obținute din cele de bază enumerate și sunt, de asemenea, adesea folosite în calculele de rezistență și rigiditate.

Momentul polar de inerție

Momentul polar de inerție Jp numiți caracteristica

Pe de alta parte,

Momentul polar de inerție(față de un punct dat) este suma produselor suprafețelor elementare dA la pătratele distanțelor lor până la acest punct, preluat pe întreaga suprafață a secțiunii transversale A.

Dimensiunea momentelor de inerție este m 4 în SI.

Moment de rezistență

Moment de rezistență relativ la o anumită axă - o valoare egală cu momentul de inerție față de aceeași axă împărțită la distanță ( ymax sau zmax) până la punctul cel mai îndepărtat de această axă

Dimensiunea momentelor de rezistenţă este m 3 în SI.

Raza de inerție

Raza de inerție secțiune față de o axă, se numește valoarea determinată din relația:

Razele de rotație sunt exprimate în m în sistemul SI.

Cometariu: secțiuni de elemente ale structurilor moderne reprezintă adesea o anumită compoziție de materiale cu rezistență diferită la deformare elastică, caracterizată, după cum se știe din cursul fizicii, modulul lui Young E. În cazul cel mai general al unei secțiuni neomogene, modulul lui Young este o funcție continuă a coordonatele punctelor secțiunii, i.e. E = E(z, y). Prin urmare, rigiditatea unei secțiuni neomogene din punct de vedere al proprietăților elastice se caracterizează prin caracteristici mai complexe decât caracteristicile geometrice ale unei secțiuni omogene, și anume tipul elastic-geometric.

2.2. Calculul caracteristicilor geometrice ale figurilor simple

Secțiune dreptunghiulară

Determinați momentul axial de inerție al dreptunghiului în jurul axei z. Împărțim aria dreptunghiului în zone elementare cu dimensiuni b(lățimea) și dy(înălţime). Apoi aria unui astfel de dreptunghi elementar (umbrit) este egală cu dA = b dy. Înlocuirea valorii dAîn prima formulă, obținem

Prin analogie, scriem momentul axial în jurul axei la:

Momentele axiale de rezistență ale dreptunghiului:

;

În mod similar, caracteristicile geometrice pot fi obținute pentru alte figuri simple.

sectiune rotunda

În primul rând, este convenabil de găsit momentul polar de inerție J p .

Apoi, având în vedere că pentru un cerc Jz = Jy, A J p = J z + J y, găsi Jz =Jy = Jp / 2.

Să despărțim cercul în inele infinit de mici de grosime dρ si raza ρ ; zona unui astfel de inel dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ. Înlocuind expresia pentru dAîn expresia pentru Jpși integrând, obținem

2.3. Calculul momentelor de inerție față de axe paralele

zȘi y:

Este necesar să se determine momentele de inerție ale acestei secțiuni în raport cu „noile” axe z1Și y 1, paralele cu cele centrale si despartite de acestea printr-o distanta AȘi b respectiv:

Coordonatele oricărui punct din „noul” sistem de coordonate z 1 0 1 y 1 poate fi exprimat în termeni de coordonate în „vechile” axe zȘi y Asa de:

Din moment ce axele zȘi y– central, apoi momentul static Sz = 0.

În cele din urmă, putem scrie formulele de „tranziție” pentru translația paralelă a axelor:

Rețineți că coordonatele AȘi b trebuie înlocuite ținând cont de semnul lor (în sistemul de coordonate z 1 0 1 y 1).

2.4. Calculul momentelor de inerție la rotirea axelor de coordonate

Fie cunoscute momentele de inerție ale unei secțiuni arbitrare despre axele centrale z, y:

; ;

Să rotim axele z, y in colt α în sens invers acelor de ceasornic, considerând pozitiv unghiul de rotație al axelor în acest sens.

Este necesar să se determine momentele de inerție în raport cu „noile” axe (rotate). z1Și y 1:

Coordonatele elementare ale site-ului dAîn „noul” sistem de coordonate z 1 0y 1 poate fi exprimat în termeni de coordonate în axele „vechi” după cum urmează:

Inlocuim aceste valori in formulele pentru momentele de inertie in axele "noile" si integram termen cu termen:

După ce am făcut transformări similare cu restul expresiilor, vom scrie în sfârșit formulele de „tranziție” atunci când axele de coordonate sunt rotite:

Rețineți că dacă adunăm primele două ecuații, obținem

adică, momentul polar de inerție este mărimea invariant(cu alte cuvinte, neschimbat când axele de coordonate sunt rotite).

2.5. Axele principale și momentele principale de inerție

Până în prezent, caracteristicile geometrice ale secțiunilor dintr-un sistem de coordonate arbitrar au fost considerate, totuși, de cel mai mare interes practic este sistemul de coordonate în care secțiunea este descrisă de cel mai mic număr de caracteristici geometrice. Un astfel de sistem de coordonate „special” este dat de poziția axelor principale ale secțiunii. Să introducem conceptele: axele principaleȘi principalele momente de inerție.

Axele principale- două axe reciproc perpendiculare, față de care momentul de inerție centrifugal este egal cu zero, în timp ce momentele de inerție axiale iau valori extreme (maxim și minim).

Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii axele centrale principale.

Se numesc momentele de inerție față de axele principale principalele momente de inerție.

Axele centrale principale sunt de obicei notate cu litere uȘi v; principalele momente de inerție J uȘi J v(a-prior J uv = 0).

Obținem expresii care ne permit să aflăm poziția axelor principale și mărimea momentelor principale de inerție. Știind că J uv= 0, folosim ecuația (2.3):

Colţ α 0 determină poziția axelor principale față de orice axe centrale zȘi y. Colţ α 0 depus între axă z si axa uși este considerat pozitiv în sens invers acelor de ceasornic.

Rețineți că dacă secțiunea are o axă de simetrie, atunci, în conformitate cu proprietatea momentului de inerție centrifugal (a se vedea secțiunea 2.1, punctul 4), o astfel de axă va fi întotdeauna axa principală a secțiunii.

cu excepția colțului α în expresiile (2.1) și (2.2) folosind (2.4), obținem formule pentru determinarea principalelor momente axiale de inerție:

Să scriem regula: axa maxima face intotdeauna un unghi mai mic cu cel al axelor (z sau y), fata de care momentul de inertie are o valoare mai mare.

2.6. Forme raționale ale secțiunilor transversale

Tensiunile normale într-un punct arbitrar al secțiunii transversale a grinzii în încovoiere directă sunt determinate de formula:

, (2.5)

Unde M este momentul încovoietor în secțiunea transversală considerată; la este distanța de la punctul considerat până la axa centrală principală, perpendicular pe plan acțiunea momentului încovoietor; J x este principalul moment central de inerție al secțiunii.

Cele mai mari tensiuni normale de tracțiune și compresiune dintr-o secțiune transversală dată apar în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Ele sunt determinate de formulele:

; ,

Unde 1Și la 2- distante fata de axa centrala principala X până la cele mai exterioare fibre întinse și comprimate.

Pentru grinzile din materiale plastice, când [σ p ] = [σ c ] ([σ p ], [σ c ] sunt tensiunile admisibile pentru materialul grinzii în tensiune și respectiv compresiune), se utilizează secțiuni care sunt simetrice față de axa centrală. În acest caz, condiția de rezistență are forma:

≤ [σ], (2,6)

Unde W x = J x / y max- momentul de rezistență al secțiunii transversale a fasciculului față de axa centrală principală; ymax = h/2(h– înălțimea secțiunii); M max- cea mai mare valoare absolută a momentului încovoietor; [σ] – efortul de încovoiere admisibil al materialului.

Pe lângă condiția de rezistență, fasciculul trebuie să satisfacă și condiția economică. Cele mai economice sunt acele forme de secțiune transversală pentru care, cu cel mai mic consum de material (sau cu cea mai mică suprafață a secțiunii transversale), se obține cea mai mare valoare a momentului de rezistență. Pentru ca forma secțiunii să fie rațională, este necesar, dacă este posibil, să se distribuie secțiunea departe de axa centrală principală.

De exemplu, o grindă în I standard este de aproximativ șapte ori mai puternică și de treizeci de ori mai rigidă decât o grindă cu secțiune transversală pătrată din aceeași zonă, făcută din același material.

Trebuie avut în vedere că atunci când poziția secțiunii se modifică în raport cu sarcina care acționează, rezistența fasciculului se modifică semnificativ, deși aria secțiunii rămâne neschimbată. Prin urmare, secțiunea trebuie poziționată astfel încât linia de forță să coincidă cu cea a axelor principale, față de care momentul de inerție este minim. Ar trebui să se străduiască să îndoaie grinda în planul cu cea mai mare rigiditate.

Să introducem un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular O xy . Considerăm o secțiune arbitrară (regiune închisă) cu aria A în planul de coordonate (Fig. 1).

momente statice

Punctul C cu coordonatele (x C , y C)

numit centrul de greutate al secțiunii.

Dacă axele de coordonate trec prin centrul de greutate al secțiunii, atunci momentele statice ale secțiunii sunt egale cu zero:

Momentele axiale de inerție secțiunile față de axele x și y se numesc integrale de forma:

Momentul polar de inerție secțiunea față de origine se numește integrală de forma:

moment de inerție centrifugal secțiunea se numește integrală de forma:

Axele principale de inerție ale secțiunii se numesc două axe reciproc perpendiculare, față de care I xy =0. Dacă una dintre axele reciproc perpendiculare este axa de simetrie a secțiunii, atunci I xy \u003d 0 și, prin urmare, aceste axe sunt principalele. Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii principalele axe centrale de inerție ale secțiunii

2. Teorema Steiner-Huygens privind translația paralelă a axelor

Teorema Steiner-Huygens (teorema Steiner).
Momentul axial de inerție al secțiunii I față de o axă fixă ​​arbitrară x este egal cu suma momentului de inerție axial al acestei secțiuni I cu axa relativă x * paralelă cu aceasta, care trece prin centrul de masă al secțiunii. , și produsul dintre aria secțiunii A și pătratul distanței d dintre cele două axe.

Dacă sunt cunoscute momentele de inerție I x și I y față de axele x și y, atunci în raport cu axele ν și u, rotite printr-un unghi α, momentele de inerție axiale și centrifuge se calculează prin formulele:

Din formulele de mai sus se poate observa că

Acestea. suma momentelor axiale de inerție nu se modifică atunci când se rotesc axele reciproc perpendiculare, adică axele u și v, față de care momentul de inerție centrifugal al secțiunii este zero, iar momentele de inerție axiale І u și I v au valori extreme max sau min, sunt numite axele principale ale secțiunii. Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii principalele axe centrale ale secţiunii. Pentru secțiunile simetrice, axele lor de simetrie sunt întotdeauna axele centrale principale. Poziția axelor principale ale secțiunii față de alte axe este determinată folosind raportul:

unde α 0 este unghiul cu care axele x și y trebuie rotite astfel încât să devină principalele (se obișnuiește să se lase deoparte un unghi pozitiv în sens invers acelor de ceasornic, unul negativ - în sensul acelor de ceasornic). Momentele axiale de inerție în jurul axelor principale se numesc principalele momente de inerție:

semnul plus din fața celui de-al doilea termen se referă la momentul maxim de inerție, semnul minus la minim.

Adesea auzim expresii: „este inert”, „mișcă prin inerție”, „moment de inerție”. ÎN sens figurat cuvântul „inerție” poate fi interpretat ca o lipsă de inițiativă și acțiune. Ne interesează sensul direct.

Ce este inerția

Prin definitie inerţieîn fizică, este capacitatea corpurilor de a menține o stare de repaus sau de mișcare în absența forțelor externe.

Dacă totul este clar cu însuși conceptul de inerție la nivel intuitiv, atunci moment de inerție- o problemă separată. De acord, este dificil să-ți imaginezi în minte ce este. În acest articol, veți învăța cum să rezolvați problemele de bază pe această temă "Moment de inerție".

Determinarea momentului de inerție

Din curs şcolar se știe că masa este o măsură a inerției unui corp. Dacă împingem două căruțe de mase diferite, atunci va fi mai dificil să o oprim pe cea mai grea. Adică, cu cât masa este mai mare, cu atât este necesară influența externă mai mare pentru a schimba mișcarea corpului. Considerat se referă la mișcarea de translație, când căruciorul din exemplu se mișcă în linie dreaptă.

Prin analogie cu masa și mișcarea de translație, momentul de inerție este o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării de rotație în jurul unei axe.

Moment de inerție- scalar cantitate fizica, o măsură a inerției corpului în timp ce acesta se rotește în jurul unei axe. Notat prin literă J și în sistem SI măsurată în kilograme înmulțite cu un metru pătrat.

Cum se calculează momentul de inerție? Există o formulă generală prin care se calculează momentul de inerție al oricărui corp în fizică. Dacă corpul este rupt în bucăți de masă infinit de mici dm , atunci momentul de inerție va fi egal cu suma produselor acestor mase elementare și pătratul distanței până la axa de rotație.

Aceasta este formula generală pentru momentul de inerție în fizică. Pentru un punct material de masă m , care se rotește în jurul unei axe la distanță r din ea, această formulă ia forma:

teorema lui Steiner

De ce depinde momentul de inerție? Din masă, poziția axei de rotație, forma și dimensiunea corpului.

Teorema Huygens-Steiner este o teoremă foarte importantă care este adesea folosită în rezolvarea problemelor.

Apropo! Pentru cititorii noștri există acum o reducere de 10% la orice fel de muncă

Teorema Huygens-Steiner spune:

Momentul de inerție al unui corp în jurul unei axe arbitrare este egal cu suma momentului de inerție al corpului în jurul unei axe care trece prin centrul de masă paralel cu o axă arbitrară și produsul dintre masa corpului înmulțit cu pătratul distanta dintre axe.

Pentru cei care nu doresc să se integreze constant atunci când rezolvă probleme de găsire a momentului de inerție, iată o figură care arată momentele de inerție ale unor corpuri omogene care se găsesc adesea în probleme:

Un exemplu de rezolvare a problemei găsirii momentului de inerție

Să luăm în considerare două exemple. Prima sarcină este să găsești momentul de inerție. A doua sarcină este de a folosi teorema Huygens-Steiner.

Problema 1. Aflați momentul de inerție al unui disc omogen de masă m și rază R. Axa de rotație trece prin centrul discului.

Soluţie:

Să împărțim discul în inele infinit de subțiri, a căror rază variază de la 0 inainte de Rși luați în considerare un astfel de inel. Fie raza lui r, și masa dm. Apoi momentul de inerție al inelului:

Masa inelului poate fi reprezentată astfel:

Aici dz este înălțimea inelului. Înlocuiți masa în formula pentru momentul de inerție și integrați:

Rezultatul a fost o formulă pentru momentul de inerție al unui disc sau cilindru subțire absolut.

Problema 2. Fie din nou un disc cu masa m și raza R. Acum trebuie să găsim momentul de inerție al discului în jurul axei care trece prin mijlocul uneia dintre razele sale.

Soluţie:

Momentul de inerție al discului în jurul axei care trece prin centrul de masă este cunoscut din problema anterioară. Aplicam teorema Steiner si gasim:

Apropo, pe blogul nostru puteți găsi și alte materiale utile despre fizică și rezolvarea problemelor.

Sperăm că veți găsi ceva util în articol. Dacă există dificultăți în procesul de calcul al tensorului de inerție, nu uitați de serviciul pentru studenți. Experții noștri vă vor sfătui cu privire la orice problemă și vă vor ajuta să rezolvați problema în câteva minute.