Τρέχουσα σελίδα: 3 (το βιβλίο έχει συνολικά 9 σελίδες) [διαθέσιμο απόσπασμα ανάγνωσης: 7 σελίδες]

Γραμματοσειρά:

100% +

22. Ροπή στατικής τομής

Οι υπολογισμοί αντοχής δείχνουν ότι η τάση και η παραμόρφωση που συμβαίνουν σε ένα στερεό εξαρτώνται από εσωτερικούς παράγοντες δύναμης και γεωμετρικά χαρακτηριστικά της διατομής. Στην τάση, για παράδειγμα, η τάση εξαρτάται από το εμβαδόν της διατομής και εφόσον η τάση σε αυτή την περίπτωση κατανέμεται ομοιόμορφα στη διατομή, δεν εξαρτάται από το σχήμα της διατομής. Στη στρέψη, οι τάσεις εξαρτώνται από το μέγεθος και το σχήμα του τμήματος λόγω της ανομοιόμορφης κατανομής των τάσεων. Οι τύποι υπολογισμού για δοκούς σε στρέψη περιλαμβάνουν πολική ροπή αδράνειας Εγώ ΠΚαι πολική στιγμή αντίστασης W Π– γεωμετρικά χαρακτηριστικά της τομής. Κατά τον υπολογισμό της αντοχής μιας δοκού στην κάμψη, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις ροπές αδράνειας και τις ροπές αντίστασης του τμήματος σε σχέση με τους άξονες που διέρχονται από το κέντρο βάρους της δοκού. Ας λάβουμε υπόψη ένα συγκεκριμένο τμήμα μιας δοκού με εμβαδόν ΕΝΑκαι ένας άξονας που διέρχεται από το κέντρο βάρους αυτού του σώματος. Στατική ροπή ενός επιπέδου τμήματοςγύρω από κάποιο άξονα Χείναι το άθροισμα των γινομένων των εμβαδών των στοιχειωδών περιοχών που αποτελούν το τμήμα και των αποστάσεων αυτών των περιοχών από τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο βάρους. Το ίδιο και για τον άξονα y.

Η στατική ροπή μετριέται σε κυβικά μέτρα. Μπορεί να είναι θετικό, αρνητικό ή μηδενικό ανάλογα με τον επιλεγμένο άξονα. Εάν είναι γνωστές οι στατικές ροπές και το εμβαδόν της διατομής, τότε οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους μπορούν να προσδιοριστούν ως ο λόγος της στατικής ροπής προς το εμβαδόν της διατομής. Και αντίστροφα, εάν είναι γνωστές οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους του τμήματος - x γ , y γ, η στατική ροπή είναι ίση με το γινόμενο του εμβαδού της διατομής και της απόστασης από το κέντρο βάρους στον άξονα.

Sx=Αι γ

S y=Τσεκούρι γ

Από τις ληφθείσες σχέσεις είναι σαφές ότι στην περίπτωση που ο άξονας διέρχεται από το κέντρο βάρους, η στατική ροπή είναι ίση με μηδέν.

Στην περίπτωση που το τμήμα μπορεί να θεωρηθεί ως n-αριθμός συστατικών μερών με γνωστές περιοχές ΕΝΑ Εγώκαι συντεταγμένες των κέντρων βάρους xi, y Εγώ, η θέση ολόκληρου του κέντρου βάρους μπορεί να προσδιοριστεί ως το άθροισμα των γινομένων:

Κάθε όρος στον αριθμητή καθορίζει τη στατική ροπή ενός δεδομένου τμήματος σε σχέση με τον επιλεγμένο άξονα.

23. Ροπή τομής αδράνειας

Αξονική (ή ισημερινή) ροπή αδράνειας ενός επίπεδου τμήματοςγύρω από κάποιο άξονα Χείναι το άθροισμα των γινομένων των εμβαδών των στοιχειωδών περιοχών που αποτελούν τη διατομή κατά το τετράγωνο της απόστασης αυτών των περιοχών προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο βάρους. Έτσι, οι αξονικές ροπές είναι ακέραια σε ολόκληρη την περιοχή της διατομής.

Πολική ροπή αδράνειαςσε σχέση με ένα ορισμένο σημείο (πόλος) είναι το άθροισμα των γινομένων των εμβαδών των στοιχειωδών περιοχών που αποτελούν την τομή κατά το τετράγωνο της απόστασης αυτών των περιοχών από το επιλεγμένο σημείο.

Φυγόκεντρη ροπή αδράνειαςως προς δύο περίπου κάθετους άξονες, λέγεται το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών εμβαδών που αποτελούν το τμήμα και των αποστάσεων αυτών των περιοχών από αυτούς τους άξονες.

Οι ροπές αδράνειας μετρώνται σε m4. Οι αξονικές και πολικές ροπές αδράνειας μπορούν να είναι μόνο θετικές, αφού για οποιοδήποτε πρόσημο της συντεταγμένης το τετράγωνο αυτής της συντεταγμένης λαμβάνεται στον τύπο. Η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας μπορεί να είναι θετική, αρνητική ή μηδενική.

Το άθροισμα των αξονικών ροπών αδράνειας γύρω από δύο αμοιβαία κάθετους άξονες είναι ίσο με την πολική ροπή αδράνειας ως προς το σημείο όπου τέμνονται αυτοί οι άξονες.

Εγώ ρ = Εγώ Χ +Εγώ y

Πράγματι, ρ είναι η απόσταση από το εμβαδόν της στοιχειώδους τομής σε ένα ορισμένο σημείο· ορίζεται ως η υποτείνουσα ενός τριγώνου με πλευρές ΧΚαι y.

ρ 2 = Χ 2 + y 2

Αντικαταστήστε αυτή τη σχέση στην έκφραση με την πολική ροπή αδράνειας και λάβετε:

24. Ροπές αδράνειας απλών τομών

Ας εξετάσουμε τις στιγμές αδράνειας μερικών απλών σχημάτων.

Κύκλος. Εγώ ρ = I x +Iy.Δεδομένου ότι ένας κύκλος είναι ένα συμμετρικό σχήμα, τότε I x = I y. Ως εκ τούτου, Εγώρ = 2 I x. Με βάση τον ορισμό της πολικής ροπής αδράνειας και τη σχέση για την πολική ροπή αδράνειας και τις αξονικές ροπές αδράνειας στην περίπτωση ενός κύκλου, έχουμε:

Για δαχτυλίδιαδιάμετρος ρεκαι εσωτερική διάμετρο ρε 0

Ημικύκλιο. Οι κύριοι κεντρικοί άξονες είναι ο άξονας συμμετρίας αυτού του ημικυκλίου και ο κάθετος σε αυτό άξονας. Για ένα ημικύκλιο, η ροπή αδράνειας είναι η μισή από εκείνη ενός κύκλου για τον ίδιο άξονα. Αν ορίσουμε Χ 1 άξονα της βάσης, λοιπόν

Από τη σχέση που συνδέει τις ροπές αδράνειας των παράλληλων αξόνων, ένας εκ των οποίων είναι κεντρικός, και γνωρίζοντας την τεταγμένη τιμή του κέντρου βάρους του ημικυκλίου y ντο ≈ 0.424rΜπορείτε να προσδιορίσετε τις ροπές αδράνειας ενός ημικυκλίου:

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Ας προσδιορίσουμε τη ροπή αδράνειας Εγώ x1, που συμπίπτει με τη βάση του ορθογωνίου και λάβετε υπόψη την τομή ΕΝΑως το άθροισμα των στοιχειωδών ορθογωνίων πλάτους σικαι ύψος dy 1 , ΕΝΑ=bdy 1

Για ροπές αδράνειας παράλληλων αξόνων, ένας από τους οποίους είναι κεντρικός, Εγώ Χ =I x1 – a 2 A. Σε αυτή την περίπτωση, η απόσταση ένα=η/ 2, ΕΝΑ=bh, ροπή αδράνειας ως προς τους άξονες ΧΚαι y

Εγώ Χ = bh 3/ 12

Εγώ y = hb 3/ 12

Στην ειδική περίπτωση ενός τετραγώνου

Εγώ Χ =I y = b 4 / 12

Για τρίγωνοας υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας Εγώ x1, σε σχέση με τον άξονα Χ 1 , που συμπίπτει με τη βάση, και για αυτό θεωρούμε την τομή ως το άθροισμα των στοιχειωδών ορθογωνίων πλάτους σι. Αφού εκτελέσουμε μαθηματικούς μετασχηματισμούς, θα βρούμε την τιμή Εγώ Χ =bh 3 / 12. Η ροπή αδράνειας ως προς τον κεντρικό άξονα είναι ίση με Εγώ Χ =I x1-α 2 β, σε αυτήν την περίπτωση ένα=η/ 3,ΕΝΑ= (1 / 2)bh. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε:

Εγώ Χ =bh 3 / 12 – (h/3) 3 (1 / 2)bh= bh 3/ 36

Γενικά ο άξονας Χδεν είναι η κύρια και

Εγώ y = bh 3/ 48

25. Εξάρτηση μεταξύ ροπών αδράνειας ως προς παράλληλους άξονες

Ας καθορίσουμε τη σχέση μεταξύ των ροπών αδράνειας ως προς τους παράλληλους άξονες, ένας από τους οποίους είναι κεντρικός. Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε ένα τμήμα με περιοχή ΕΝΑ. (Εικ. 10) Ας υποθέσουμε ότι οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους της τομής είναι γνωστές ντοκαι στιγμές αδράνειας I xc, I ycσε σχέση με τους κεντρικούς άξονες x γ, y ντο. Σε αυτή την περίπτωση, είναι δυνατός ο προσδιορισμός των ροπών αδράνειας ως προς τους άξονες ΧΚαι y, παράλληλα με τα κεντρικά και απομακρυσμένα από τα κεντρικά σε απόσταση έναΚαι σιαντίστοιχα. Ας γράψουμε τη σχέση για τις συντεταγμένες των παράλληλων αξόνων:

Χ= x γ+σι

y= y γ+ένα

Τότε η ροπή αδράνειας του τμήματος ως προς τον άξονα Χθα γραφτεί με τη μορφή:

Σε αυτήν την έκφραση, ο πρώτος όρος αντιπροσωπεύει τη ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα Χ ντο, στον δεύτερο όρο το ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύει τη στατική ροπή (και σε σχέση με τον κεντρικό άξονα η στατική ροπή είναι πάντα μηδέν), ο τρίτος όρος είναι η περιοχή διατομής πολλαπλασιαζόμενη με το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ των αξόνων ΕΝΑ. Ετσι:

Εγώ Χ = Εγώ xc + ένα 2 ΕΝΑ

Εγώ y = Εγώ yc + σι 2 ΕΝΑ

Η ροπή αδράνειας για οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας ως προς τον κεντρικό άξονα παράλληλο με αυτόν και το γινόμενο της περιοχής διατομής του σχήματος με το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ των αξόνων.

Έχουμε λάβει μια σχέση για τις ροπές αδράνειας σε σχέση με τους κεντρικούς άξονες όταν κινούμαστε σε μη κεντρικούς παράλληλους με αυτούς. Αυτές οι σχέσεις ονομάζονται επίσης τύποι παράλληλης μεταφοράς.

Από τους τύπους που προκύπτουν είναι σαφές ότι η ροπή αδράνειας ως προς τον κεντρικό άξονα είναι πάντα μικρότερη από τη ροπή αδράνειας οποιουδήποτε μη κεντρικού παράλληλου προς αυτόν.

26. Κύριοι άξονες αδράνειας και κύριες ροπές αδράνειας

Σε οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου τομής, μπορούν να σχεδιαστούν αμέτρητα ζεύγη αμοιβαίων κάθετων αξόνων. Δεδομένου ότι το άθροισμα δύο αξονικών ροπών αδράνειας μιας διατομής είναι μια πολική ροπή και είναι μια σταθερή τιμή, τότε μετακινώντας το σύστημα συντεταγμένων, μπορείτε να επιλέξετε μια θέση των αξόνων στην οποία μία από τις επιλεγμένες ροπές αδράνειας θα είναι μέγιστη, και το δεύτερο - ελάχιστο. Ας εξετάσουμε τη σχέση μεταξύ των ροπών αδράνειας ως προς τους άξονες x 0, y 0 και ροπές αδράνειας ως προς τους άξονες ΧΚαι y, περιστρέφεται κατά γωνία α σε σχέση με x 0, y 0 . Ας βρούμε τέτοιες τιμές της γωνίας α στην οποία οι ροπές αδράνειας των κάθετων αξόνων θα πάρουν τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές τους. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο σε σχέση με τη γωνία περιστροφής από Εγώ Χ , ΕΓΩ yκαι εξισώνουμε με μηδέν ( μαθηματικός κανόναςβρίσκοντας τα άκρα της συνάρτησης).

Μετά τους μετασχηματισμούς η αναλογία θα έχει τη μορφή:

Ο προκύπτων τύπος καθορίζει τη θέση δύο αμοιβαία κάθετων αξόνων, η ροπή αδράνειας ως προς τον έναν από τους οποίους είναι μέγιστη, η ροπή αδράνειας σε σχέση με τον άλλο είναι ελάχιστη. Τέτοιοι άξονες ονομάζονται κύριοι άξονες αδράνειας. Οι ροπές αδράνειας για τέτοιους άξονες ονομάζονται κύριες στιγμές αδράνειας. Σε αυτή την περίπτωση, η φυγόκεντρη ροπή είναι ίση με μηδέν.

Οι άξονες που διέρχονται από το κέντρο βάρους του τμήματος ονομάζονται κεντρικοί άξονες. Στους πρακτικούς υπολογισμούς, οι κύριες ροπές αδράνειας σε σχέση με τους κεντρικούς άξονες παρουσιάζουν ενδιαφέρον· ονομάζονται κύριες κεντρικές ροπές αδράνειαςκαι τέτοιοι άξονες - βασικούς κεντρικούς άξονες. Εφόσον ενδιαφέρουν μόνο οι κεντρικοί άξονες, για συντομία ονομάζονται απλώς κύριοι άξονες και οι αξονικές ροπές αδράνειας που υπολογίζονται για τέτοιους άξονες ονομάζονται απλώς κύριες ροπές αδράνειας.

Ένας από τους κύριους άξονες αδράνειας είναι ο άξονας που διέρχεται από το κέντρο συμμετρίας του επιπέδου τομής, ο δεύτερος είναι κάθετος σε αυτό. Ο άξονας συμμετρίας και κάθε κάθετος σε αυτόν σχηματίζουν ένα σύστημα κύριων αξόνων. Εάν ένα τμήμα έχει πολλούς άξονες συμμετρίας (για παράδειγμα, κύκλος, τετράγωνο, ισόπλευρο τρίγωνο), τότε όλοι οι κεντρικοί άξονες είναι κύριοι και όλες οι κεντρικές ροπές είναι ίσες.

27. Υπολογισμός ροπών αδράνειας μιγαδικών τομών

Να βρεθεί η ροπή αδράνειας μιγαδικής τομής με εμβαδόν ΕΝΑη ενότητα χωρίζεται σε απλές ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 , … ΕΝΑ n, για τις οποίες βρίσκονται ροπές αδράνειας χρησιμοποιώντας έτοιμους τύπους ή πίνακες.

Η ροπή αδράνειας ενός μιγαδικού σχήματος βρίσκεται ως το άθροισμα των ροπών αδράνειας των συστατικών απλών σχημάτων.

Εγώ Χ = Εγώ Χ 1 + Εγώ Χ 2 +… + Εγώ xn

Η ροπή αδράνειας είναι αναπόσπαστο στην επιφάνεια του τμήματος,

για το ολοκλήρωμα ισχύει το εξής:

Επομένως, μπορούμε να γράψουμε ότι:

Με άλλα λόγια, η ροπή αδράνειας ενός σύνθετου τμήματος σε σχέση με έναν συγκεκριμένο άξονα είναι το άθροισμα των ροπών αδράνειας των συνιστωσών αυτού του τμήματος σε σχέση με τον ίδιο άξονα.

Κατά την επίλυση προβλημάτων αυτού του είδους, ακολουθείται ο ακόλουθος αλγόριθμος. Βρείτε το κέντρο βάρους του επίπεδου τμήματος και προσδιορίστε τους κύριους κεντρικούς άξονες. Από πίνακες ή χρησιμοποιώντας έτοιμους τύπους, υπολογίστε τις τιμές των ροπών αδράνειας των εξαρτημάτων σε σχέση με τους δικούς τους κεντρικούς άξονες παράλληλους με τους κύριους κεντρικούς άξονες του τμήματος. Χρησιμοποιώντας τύπους παράλληλης μετάφρασης, υπολογίζονται οι τιμές των ροπών αδράνειας των συστατικών μερών της τομής σε σχέση με τους κύριους άξονες της τομής. Με άθροισμα, προσδιορίζονται οι τιμές των κύριων κεντρικών ροπών αδράνειας.

Αυτός ο κανόνας ισχύει και για τη φυγόκεντρη ροπή αδράνειας.

28. Έννοια της ροπής

Η στρέψη είναι ένας από τους τύπους παραμόρφωσης δέσμης, στον οποίο εμφανίζεται ένας εσωτερικός παράγοντας δύναμης στη διατομή της δοκού, που ονομάζεται ροπή Mk. Αυτός ο τύπος παραμόρφωσης συμβαίνει όταν καλείται ένα ζεύγος δυνάμεων στιγμιότυπα Μ, εφαρμόζεται κάθετα στον διαμήκη άξονά του.

Η δοκός που φορτίζεται με ροπές ονομάζεται άξονας. Το άθροισμα των ροπών που δρουν στον άξονα είναι μηδέν εάν ο άξονας περιστρέφεται ομοιόμορφα. Η ροπή μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο, με την προϋπόθεση ότι η μεταδιδόμενη ισχύς είναι γνωστή Πκαι γωνιακή ταχύτητα w.

Με μια γνωστή ταχύτητα περιστροφής άξονα, η γωνιακή ταχύτητα μπορεί να γραφτεί ως

Επομένως, η έκφραση για τη ροπή μπορεί να γραφτεί ως:

Στους πρακτικούς υπολογισμούς, το πραγματικό αντικείμενο αντικαθίσταται από ένα σχήμα υπολογισμού. Για να απλοποιηθεί το πρόβλημα, θεωρείται ότι οι ροπές περιστροφής συγκεντρώνονται στο μεσαίο τμήμα των τμημάτων και δεν κατανέμονται στην επιφάνειά τους. Στο τμήμα ενός αυθαίρετου άξονα, η ροπή μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο διατομής, όταν ο άξονας κόβεται διανοητικά από ένα επίπεδο. Ένα από τα μέρη απορρίπτεται και η επιρροή του αντικαθίσταται από τη ροπή Mk, στη συνέχεια προσδιορίζεται από τις εξισώσεις ισορροπίας. Η αριθμητική τιμή της ροπής είναι το άθροισμα των ροπών που βρίσκονται στη μία πλευρά του τμήματος.

Στις διατομές της δοκού, κατά τη στρέψη προκύπτουν μόνο εφαπτομενικές τάσεις, οι κανονικές δυνάμεις είναι παράλληλες με τον διαμήκη άξονα της δοκού και οι ροπές τους είναι ίσες με μηδέν. Επομένως, μπορούμε να διατυπώσουμε τον ορισμό της ροπής ως εξής: ροπή είναι η προκύπτουσα ροπή εσωτερικών εφαπτομενικών δυνάμεων που προκύπτουν στη διατομή της δοκού σε σχέση με τον διαμήκη άξονά της.

Κατά τον υπολογισμό της αντοχής σε περίπτωση στρέψης μιας δοκού, είναι απαραίτητο να βρεθεί το επικίνδυνο τμήμα της δοκού. Εάν οι διαστάσεις της διατομής κατά μήκος του άξονα της δοκού παραμένουν αμετάβλητες, τότε τα τμήματα με μέγιστη ροπή θεωρούνται επικίνδυνα. Για την εύρεση επικίνδυνων τμημάτων κατασκευάζονται διαγράμματα ροπών (γραφήματα μεταβολών των ροπών σε όλο το μήκος της δοκού). Κατά την κατασκευή διαγραμμάτων, είναι γενικά αποδεκτό ότι η ροπή είναι θετική εάν η κατεύθυνσή της συμπίπτει με τη φορά των δεικτών του ρολογιού κατά την εξέταση του σχεδιασμένου τμήματος. Αυτή η υπόθεση είναι υπό όρους, αφού το πρόσημο της ροπής δεν έχει φυσική σημασία.

29. Προσδιορισμός τάσεων κατά τη στρέψη στρογγυλού άξονα

Κατά τη μελέτη της στρέψης του άξονα, ισχύουν οι ακόλουθες παραδοχές:

– υπόθεση επίπεδων τομών: οι επίπεδες διατομές μιας δοκού μετά την παραμόρφωση παραμένουν επίσης επίπεδες και κατευθύνονται κάθετες προς τον άξονά της, περιστρέφοντας υπό μια ορισμένη γωνία σε σχέση με αυτόν τον άξονα.

– οι ακτίνες των διατομών δεν κάμπτονται και το μήκος τους παραμένει σταθερό.

– κατά μήκος του άξονα της δοκού, οι αποστάσεις μεταξύ των διατομών παραμένουν σταθερές.

Με βάση τις παραπάνω παραδοχές, η στρέψη ενός κυκλικού άξονα μπορεί να θεωρηθεί ως καθαρή διάτμηση. Οι τύποι που λαμβάνονται με βάση αυτές τις υποθέσεις επιβεβαιώνονται πειραματικά.

Ας εξετάσουμε τη στρέψη ενός τμήματος μιας στρογγυλής δοκού με ακτίνα rμήκος dz. Θα θεωρήσουμε ότι ένα από τα άκρα πρέπει να διορθωθεί.

Όταν περιστρέφεται κατά γωνία α στην διατομή, η γωνία διάτμησης που βρίσκεται στην επιφάνεια ενός τέτοιου άξονα προσδιορίζεται από τον τύπο:

Ο λόγος της συνολικής γωνίας συστροφής ενός τμήματος άξονα προς το μήκος του ονομάζεται σχετική γωνία συστροφής.

Ας επιλέξουμε νοερά έναν κύλινδρο με ακτίνα ρ στο τμήμα του άξονα που εξετάζουμε· η γωνία διάτμησης για την επιφάνεια αυτού του κυλίνδρου προσδιορίζεται με παρόμοιο τρόπο:

Σύμφωνα με το νόμο του Hooke, στην περίπτωση της διάτμησης, οι διατμητικές τάσεις είναι ίσες με:

Έτσι, κατά τη στρέψη, οι εφαπτομενικές τάσεις είναι ευθέως ανάλογες με την απόσταση από το κέντρο βάρους του τμήματος και στο κέντρο βάρους οι εφαπτομενικές τάσεις είναι μηδενικές. Πλησιάζοντας την επιφάνεια του άξονα, παίρνουν τις μέγιστες τιμές τους.

30. Υπολογισμός ροπών που μεταδίδονται στον άξονα

Ας εξετάσουμε τη στρέψη ενός τμήματος ενός στρογγυλού άξονα με διάμετρο rκαι μήκος dz. Ας επιλέξουμε έναν κύλινδρο διαμέτρου ρ σε αυτόν. Δεδομένου ότι η στρέψη είναι καθαρή διάτμηση, οι κανονικές τάσεις είναι μηδενικές και οι διατμητικές τάσεις όταν περιστρέφονται κατά μια γωνία α κατανέμονται ως εξής:

Η ροπή ορίζεται ως:

ΕΝΑ- επιφάνεια εγκάρσιας διατομής. Αντικαθιστώντας την εφαπτομενική τάση σε αυτήν την έκφραση και λαμβάνοντας υπόψη ότι το ολοκλήρωμα της ακτίνας στο εμβαδόν της διατομής αντιπροσωπεύει την πολική ροπή αδράνειας της τομής , παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στον τύπο για τις εφαπτομενικές τάσεις, λαμβάνουμε:

Έτσι, η διατμητική τάση ορίζεται ως το γινόμενο της ροπής και της ακτίνας διαιρούμενο με την πολική ροπή της διατομής. Είναι σαφές ότι για σημεία που βρίσκονται σε ίσες αποστάσεις από τον άξονα, οι εφαπτομενικές τάσεις είναι ίσες· οι μέγιστες τιμές τάσης βρίσκονται σε σημεία που βρίσκονται στην επιφάνεια του άξονα.

Εδώ – πολική ροπή αντίστασης κατά τη στρέψη.

Για στρογγυλό τμήμα

Η κατάσταση της αντοχής στρέψης είναι η εξής:

[τ] – μέγιστη επιτρεπόμενη διατμητική τάση.

Αυτός ο τύπος σας επιτρέπει επίσης να προσδιορίσετε την επιτρεπόμενη ροπή ή να επιλέξετε την επιτρεπόμενη διάμετρο άξονα.

31, Στρεπτική παραμόρφωση. Δυναμική ενέργεια

Κατά τη διαδικασία στρέψης, οι ροπές στρέψης περιστρέφονται μαζί με τη διατομή κατά μια ορισμένη γωνία και ταυτόχρονα εκτελούν έργο, το οποίο, όπως και με άλλους τύπους παραμόρφωσης, δαπανάται για τη δημιουργία ενός ορισμένου αποθέματος δυναμικής ενέργειας στο σώμα που υφίσταται παραμόρφωση και καθορίζεται από τον τύπο:

Αυτή η σχέση προκύπτει από γραμμική εξάρτησηροπή Μ Προς τηναπό τη γωνία περιστροφής φ.

Όταν εκτίθεται σε φορτίο, η ροπή αυξάνεται σταδιακά, ενώ σύμφωνα με το νόμο του Hooke, η γωνία περιστροφής αυξάνεται αναλογικά. Το έργο που εκτελείται από τη ροπή είναι ίσο με τη δυναμική ενέργεια παραμόρφωσης σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της ενέργειας, επομένως,

Αν αντικαταστήσουμε τον γνωστό τύπο για τη γωνία συστροφής στη σχέση που προκύπτει, η έκφραση θα πάρει τη μορφή:

Με μια βαθμιδωτή αλλαγή στη ροπή ή τη διατομή της δοκού, η δυναμική ενέργεια είναι το άθροισμα:

Εάν η ροπή ή οι πολικές ροπές (ή και οι δύο ταυτόχρονα) αλλάζουν συνεχώς κατά το μήκος των τμημάτων της δέσμης, τότε η δυναμική ενέργεια αντιπροσωπεύει το ολοκλήρωμα κατά μήκος

32. Υπολογισμός ελικοειδών κυλινδρικών ελατηρίων

Στη μηχανολογία και την κατασκευή οργάνων χρησιμοποιούνται ευρέως τα ελικοειδή ελατήρια, τα οποία μπορεί να είναι κυλινδρικά, κωνικά ή διαμορφωμένα. Τα πιο συχνά χρησιμοποιούμενα ελατήρια είναι κυλινδρικά ελατήρια κατασκευασμένα από σύρμα με στρογγυλή διατομή: ελατήρια εφελκυσμού (που γίνονται χωρίς κενά μεταξύ των πηνίων) και ελατήρια συμπίεσης (με κενά). Για να απλοποιήσουμε τον υπολογισμό των ελατηρίων για ακαμψία και αντοχή, θα υποθέσουμε ότι η γωνία κλίσης των πηνίων είναι τόσο μικρή που μπορεί να αγνοηθεί και θεωρούμε ότι η διατομή κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου είναι εγκάρσια για το πηνίο. Από τις συνθήκες ισορροπίας για το τμήμα αποκοπής του ελατηρίου, είναι σαφές ότι δύο εσωτερικοί παράγοντες δύναμης προκύπτουν στο τμήμα: εγκάρσια δύναμη Q y = φάκαι ροπή Μ Προς την = FD / 2, δηλαδή, μόνο εφαπτομενικές τάσεις προκύπτουν στο τμήμα του πηνίου. Θα υποθέσουμε ότι οι εφαπτομενικές τάσεις που σχετίζονται με την εγκάρσια δύναμη κατανέμονται ομοιόμορφα στο τμήμα και οι εφαπτομενικές δυνάμεις που σχετίζονται με την παρουσία ροπής κατανέμονται σύμφωνα με έναν γραμμικό νόμο και φτάνουν τις μέγιστες τιμές τους στα ακραία σημεία του τμήματος . Το σημείο που βρίσκεται πιο κοντά στον άξονα του ελατηρίου θα είναι το πιο καταπονημένο· η τάση για αυτό είναι ίση με:

Ο λόγος της διαμέτρου του ελατηρίου προς τη διάμετρο του σύρματος ονομάζεται δείκτης ελατηρίου,

ντο n =D/d

Ο προκύπτων τύπος είναι κατά προσέγγιση λόγω της παραμέλησης της επίδρασης της εγκάρσιας δύναμης και λόγω του γεγονότος ότι δεν λαμβάνεται υπόψη η καμπυλότητα των στροφών. Ας εισάγουμε έναν παράγοντα διόρθωσης ΠΡΟΣ ΤΗΝ, ανάλογα με τον δείκτη ελατηρίου και τη γωνία κλίσης των πηνίων. Τότε η συνθήκη αντοχής θα πάρει τη μορφή:

Όταν εκτίθεται σε φορτίο, το ελατήριο αλλάζει μήκος. Αυτή η αλλαγή ονομάζεται ανοιξιάτικος οικισμόςλ. Ας προσδιορίσουμε ποιο είναι το βύθισμα εάν τα πηνία παρουσιάζουν μόνο στρέψη. Σύμφωνα με τον τύπο Clapeyron, το έργο των εξωτερικών στατικών δυνάμεων είναι ίσο με:

Πιθανή ενέργεια καταπόνησης

Σε αυτήν την περίπτωση

Οπου μεγάλο– μήκος του υπό εξέταση τμήματος ελατηρίου·

n- αριθμός γύρων.

Αφού εκτελέσουμε την αντικατάσταση και τους μαθηματικούς μετασχηματισμούς, παίρνουμε ότι:

33. Μετατοπίσεις και τάσεις σε ελικοειδή ελατήρια

Τα ελικοειδή ελατήρια χρησιμοποιούνται ευρέως στη μηχανολογία ως συσκευές απορρόφησης κραδασμών ή συσκευές ανάδρασης. Ο υπολογισμός των ελικοειδών ελατηρίων δείχνει ξεκάθαρα τη μέθοδο προσδιορισμού των μετατοπίσεων. Τα ελικοειδή ελατήρια χωρίζονται σε ελατήρια εφελκυσμού, συμπίεσης και στρέψης. Τα ελατήρια εφελκυσμού και συμπίεσης φορτίζονται από δυνάμεις που ενεργούν κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου, τα ελατήρια στρέψης φορτώνονται από ροπές που βρίσκονται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα του ελατηρίου.

Ένα σπειροειδές ελατήριο μπορεί να θεωρηθεί ως μια χωρικά καμπυλωτή ράβδος με άξονα που έχει ελικοειδές σχήμα. Το σχήμα του ελατηρίου χαρακτηρίζεται από τις ακόλουθες παραμέτρους: διάμετρος ελατηρίου ρε, αριθμός γύρων n, γωνία ανύψωσης θ και ανοιξιάτικο γήπεδο μικρό, που ορίζεται από τον τύπο:

μικρό= π Dtgθ

Τυπικά το βήμα του ελατηρίου είναι πολύ μικρότερο από το π ρε, η γωνία θ είναι αρκετά μικρή (μικρότερη από 5°).

Ας εξετάσουμε ένα ελατήριο τάσης-συμπίεσης. Υπό την επίδραση εξωτερικού φορτίου Rσε κάθε διατομή υπάρχει ένα προκύπτον εσωτερική δύναμη Rκαι στιγμή Μ=РD / 2, που βρίσκεται στο επίπεδο δράσης των δυνάμεων R. Στο Σχ. Το σχήμα 13 δείχνει τις δυνάμεις που δρουν στη διατομή του ελατηρίου.

Οι προβολές της συνολικής δύναμης και ροπής σε σχέση με το σύστημα συντεταγμένων που σχετίζεται με το τμήμα περιγράφονται από τις ακόλουθες σχέσεις:

Μ Προς την = (Π.Δ./ 2) × cosθ,

M izg= (PD/ 2) × sinθ,

Q=Π×cosθ,

Ν=Π× sinθ.

Ας υποθέσουμε ότι η δύναμη Rισούται με 1, τότε οι σχέσεις για δυνάμεις και ροπές θα έχουν τη μορφή:

Μ k1 = (ρε/ 2) × cosθ,

Μ izg1 = (ρε/ 2) × sinθ,

Q 1 = cosθ,

Ν 1 = sinθ.

Ας βρούμε την αξονική μετατόπιση το ελατήριο χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα του Mohr. Λαμβάνοντας υπόψη τη μικρότητα των μετατοπίσεων που προκαλούνται από κανονικές και εγκάρσιες δυνάμεις, καθώς και την αξονική μετατόπιση, στην περίπτωση αυτή το ολοκλήρωμα Mohr θα γραφτεί ως εξής:

όπου το γινόμενο στον παρονομαστή αντιπροσωπεύει τη στρεπτική ακαμψία του ελατηρίου.

l – μήκος του τμήματος εργασίας του ελατηρίου.

μεγάλο≈ π Dn

Λόγω της μικρής γωνίας κλίσης των στροφών θ υποθέτουμε ότι cos θ = 1, λοιπόν

Οι τάσεις σε ελικοειδή ελατήρια που λειτουργούν σε τάση συμπίεσης ή στρέψης προσδιορίζονται ως εξής.

http//:www.svkspb.nm.ru

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά επίπεδων τομών

τετράγωνο: , dF - στοιχειώδης πλατφόρμα.

Στατική ροπή στοιχείου περιοχήςdFσε σχέση με τον άξονα 0x
- γινόμενο του στοιχείου εμβαδού με την απόσταση "y" από τον άξονα 0x: dS x = ydF

Έχοντας αθροίσει (ενσωματώσει) τέτοια προϊόντα σε ολόκληρη την περιοχή του σχήματος, λαμβάνουμε στατικές στιγμέςσε σχέση με τους άξονες y και x:
;
[cm 3, m 3, κ.λπ.].

Συντεταγμένες κέντρου βάρους:
. Στατικές στιγμές σχετικές κεντρικούς άξονες(άξονες που διέρχονται από το κέντρο βάρους του τμήματος) είναι ίσοι με μηδέν. Κατά τον υπολογισμό των στατικών ροπών ενός μιγαδικού σχήματος, χωρίζεται σε απλά μέρη, με γνωστές περιοχές F i και συντεταγμένες των κέντρων βάρους x i, y i. Η στατική ροπή του εμβαδού ολόκληρου του σχήματος = το άθροισμα των τις στατικές ροπές καθενός από τα μέρη του:
.

Συντεταγμένες του κέντρου βάρους ενός μιγαδικού σχήματος:

Μ
Ροπές αδράνειας τομής

Αξονικός(ισημερινού) ροπή τομής αδράνειας- το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών εμβαδών dF με τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από τον άξονα.

;
[cm 4, m 4, κ.λπ.].

Η πολική ροπή αδράνειας μιας τομής σε σχέση με ένα ορισμένο σημείο (πόλος) είναι το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών περιοχών με τα τετράγωνα των αποστάσεων τους από αυτό το σημείο.
; [cm 4, m 4, κ.λπ.]. J y + J x = J p .

Φυγόκεντρη ροπή αδράνειας της τομής- το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών εμβαδών και των αποστάσεων τους από δύο αμοιβαία κάθετους άξονες.
.

Η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας του τμήματος ως προς τους άξονες, ο ένας ή και οι δύο συμπίπτουν με τους άξονες συμμετρίας, είναι ίση με μηδέν.

Οι αξονικές και πολικές ροπές αδράνειας είναι πάντα θετικές· οι φυγόκεντρες ροπές αδράνειας μπορεί να είναι θετικές, αρνητικές ή μηδενικές.

Η ροπή αδράνειας ενός μιγαδικού σχήματος είναι ίση με το άθροισμα των ροπών αδράνειας των συστατικών του μερών.

Ροπές αδράνειας τομών απλού σχήματος

Π
ορθογώνιο τμήμα Κύκλος

ΠΡΟΣ ΤΗΝ


δαχτυλίδι

Τ
τρίγωνο

R
ισομηριαία

Ορθογώνιος

Τ
τρίγωνο

H τέταρτο κύκλο

J y =J x =0,055R 4

J xy =0,0165R 4

στο Σχ. (-)

Ημικύκλιο

Μ

Οι ροπές αδράνειας των τυπικών προφίλ βρίσκονται από τους πίνακες συλλογής:

ρε
βούταβρ Κανάλι Γωνία

Μ

Ροπές αδράνειας για παράλληλους άξονες:

J x1 =J x + a 2 F;

J y1 =J y + b 2 F;

η ροπή αδράνειας για οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με τη ροπή αδράνειας ως προς τον κεντρικό άξονα παράλληλο προς τον δεδομένο, συν το γινόμενο του εμβαδού του σχήματος και του τετραγώνου της απόστασης μεταξύ των αξόνων. J y1x1 =J yx + abF; («α» και «β» αντικαθίστανται στον τύπο λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο τους).

Εξάρτηση μεταξύ ροπές αδράνειας κατά την περιστροφή των αξόνων:

J x1 =J x cos 2  + J y sin 2  - J xy sin2; J y1 =J y cos 2  + J x sin 2  + J xy sin2;

J x1y1 =(J x - J y)sin2 + J xy cos2 ;

Γωνία >0, αν η μετάβαση από το παλιό σύστημα συντεταγμένων στο νέο γίνεται αριστερόστροφα. J y1 + J x1 = J y + J x

Ονομάζονται ακραίες (μέγιστες και ελάχιστες) τιμές ροπών αδράνειας κύριες στιγμές αδράνειας. Ονομάζονται οι άξονες γύρω από τους οποίους οι αξονικές ροπές αδράνειας έχουν ακραίες τιμές κύριοι άξονες αδράνειας. Οι κύριοι άξονες αδράνειας είναι αμοιβαία κάθετοι. Φυγοκεντρικές ροπές αδράνειας ως προς τους κύριους άξονες = 0, δηλ. κύριοι άξονες αδράνειας - άξονες γύρω από τους οποίους η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας = 0. Αν ένας από τους άξονες συμπίπτει ή και οι δύο συμπίπτουν με τον άξονα συμμετρίας, τότε είναι οι κύριοι. Γωνία που ορίζει τη θέση των κύριων αξόνων:
, αν  0 >0  οι άξονες περιστρέφονται αριστερόστροφα. Ο μέγιστος άξονας κάνει πάντα μικρότερη γωνία με εκείνη των αξόνων σε σχέση με τους οποίους η ροπή αδράνειας έχει μεγαλύτερη τιμή. Οι κύριοι άξονες που διέρχονται από το κέντρο βάρους ονομάζονται κύριοι κεντρικοί άξονες αδράνειας. Ροπές αδράνειας για αυτούς τους άξονες:

J max + J min = J x + J y . Η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας σε σχέση με τους κύριους κεντρικούς άξονες αδράνειας είναι ίση με 0. Εάν είναι γνωστές οι κύριες ροπές αδράνειας, τότε οι τύποι μετάβασης σε περιστρεφόμενους άξονες είναι:

J x1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J y1 =J max cos 2  + J min sin 2 ; J x1y1 =(J max - J min)sin2;

Ο απώτερος στόχος του υπολογισμού των γεωμετρικών χαρακτηριστικών της τομής είναι να προσδιοριστούν οι κύριες κεντρικές ροπές αδράνειας και η θέση των κύριων κεντρικών αξόνων αδράνειας. R ακτίνα αδράνειας -
; J x =Fi x 2 , J y =Fi y 2 .

Αν J x και J y είναι οι κύριες ροπές αδράνειας, τότε i x και i y - κύριες ακτίνες αδράνειας. Μια έλλειψη χτισμένη στις κύριες ακτίνες αδράνειας όπως στους ημιάξονες ονομάζεται έλλειψη αδράνειας. Χρησιμοποιώντας την έλλειψη αδράνειας, μπορείτε να βρείτε γραφικά την ακτίνα αδράνειας i x1 για οποιονδήποτε άξονα x1. Για να γίνει αυτό, πρέπει να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη στην έλλειψη, παράλληλη στον άξονα x1, και να μετρήσετε την απόσταση από αυτόν τον άξονα στην εφαπτομένη. Γνωρίζοντας την ακτίνα αδράνειας, μπορείτε να βρείτε τη ροπή αδράνειας του τμήματος σε σχέση με τον άξονα x 1:
. Για τμήματα με περισσότερους από δύο άξονες συμμετρίας (για παράδειγμα: κύκλος, τετράγωνο, δακτύλιος κ.λπ.), οι αξονικές ροπές αδράνειας για όλους τους κεντρικούς άξονες είναι ίσες μεταξύ τους, J xy = 0, η έλλειψη αδράνειας μετατρέπεται σε κύκλος αδράνειας.

Στιγμές αντίστασης.

Αξονική ροπή αντίστασης- ο λόγος της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα προς την απόσταση από αυτόν έως το πιο απομακρυσμένο σημείο της τομής.
[cm 3, m 3]

Ιδιαίτερα σημαντικές είναι οι ροπές αντίστασης σε σχέση με τους κύριους κεντρικούς άξονες:

ορθογώνιο παραλληλόγραμμο:
; κύκλος: W x =W y =
,

σωληνωτό τμήμα (δακτύλιος): Π x =Π y =
, όπου = d N /d B .

Πολική ροπή αντίστασης - ο λόγος της πολικής ροπής αδράνειας προς την απόσταση από τον πόλο στο πιο απομακρυσμένο σημείο του τμήματος:
.

Για κύκλο W р =
.

Αν m = 1, n = 1, τότε παίρνουμε το χαρακτηριστικό

η οποία ονομάζεται φυγόκεντρη ροπή αδράνειας.

Φυγόκεντρη ροπή αδράνειαςσε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων – το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών περιοχών dAστις αποστάσεις τους από αυτούς τους άξονες, που έχουν ληφθεί σε όλη την επιφάνεια της διατομής ΕΝΑ.

Αν τουλάχιστον ένας από τους άξονες yή zείναι ο άξονας συμμετρίας της τομής, η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας μιας τέτοιας τομής σε σχέση με αυτούς τους άξονες είναι ίση με μηδέν (καθώς στην περίπτωση αυτή κάθε θετική τιμή z·y·dAμπορούμε να βάλουμε σε αντιστοιχία ακριβώς την ίδια, αλλά αρνητική, στην άλλη πλευρά του άξονα συμμετρίας της τομής, βλέπε σχήμα).

Ας εξετάσουμε πρόσθετα γεωμετρικά χαρακτηριστικά που μπορούν να ληφθούν από τα κύρια που παρατίθενται και επίσης χρησιμοποιούνται συχνά στους υπολογισμούς αντοχής και ακαμψίας.

Πολική ροπή αδράνειας

Πολική ροπή αδράνειας Jpονομάστε το χαρακτηριστικό

Στην άλλη πλευρά,

Πολική ροπή αδράνειας(σε σχέση με ένα δεδομένο σημείο) – το άθροισμα των γινομένων των στοιχειωδών περιοχών dAαπό τα τετράγωνα των αποστάσεων τους μέχρι αυτό το σημείο, λαμβάνεται σε ολόκληρη την περιοχή της διατομής ΕΝΑ.

Η διάσταση των ροπών αδράνειας είναι m 4 σε SI.

Στιγμή αντίστασης

Στιγμή αντίστασηςσε σχέση με κάποιον άξονα - μια τιμή ίση με τη ροπή αδράνειας σε σχέση με τον ίδιο άξονα διαιρούμενη με την απόσταση ( ymaxή z μέγ) στο πιο απομακρυσμένο σημείο από αυτόν τον άξονα

Η διάσταση των ροπών αντίστασης είναι m 3 σε SI.

Ακτίνα αδράνειας

Ακτίνα αδράνειαςτο τμήμα σε σχέση με έναν συγκεκριμένο άξονα ονομάζεται τιμή που καθορίζεται από τη σχέση:

Οι ακτίνες περιστροφής εκφράζονται σε μονάδες SI των m.

Σχόλιο:οι διατομές στοιχείων σύγχρονων κατασκευών αντιπροσωπεύουν συχνά μια ορισμένη σύνθεση υλικών με διαφορετική αντοχή στην ελαστική παραμόρφωση, που χαρακτηρίζεται, όπως είναι γνωστό από ένα μάθημα φυσικής, από το μέτρο του Young μι. Στην πιο γενική περίπτωση μιας ανομοιογενούς τομής, το μέτρο του Young είναι μια συνεχής συνάρτηση των συντεταγμένων των σημείων της τομής, δηλ. E = E(z, y). Επομένως, η ακαμψία μιας τομής που είναι ανομοιογενής ως προς τις ελαστικές ιδιότητες χαρακτηρίζεται από χαρακτηριστικά που είναι πιο σύνθετα από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά μιας ομοιογενούς τομής, δηλαδή ελαστικά-γεωμετρικά της μορφής

2.2. Υπολογισμός γεωμετρικών χαρακτηριστικών απλών σχημάτων

Ορθογώνιο τμήμα

Ας προσδιορίσουμε την αξονική ροπή αδράνειας του ορθογωνίου σε σχέση με τον άξονα z. Ας χωρίσουμε το εμβαδόν του ορθογωνίου σε στοιχειώδεις περιοχές με διαστάσεις σι(πλάτος) και dy(ύψος). Τότε το εμβαδόν ενός τέτοιου στοιχειώδους ορθογωνίου (σκιασμένου) είναι ίσο με dA = b dy. Αντικατάσταση της τιμής dAστον πρώτο τύπο, μπαίνουμε

Κατ' αναλογία γράφουμε την αξονική ροπή ως προς τον άξονα στο:

Αξονικές ροπές αντίστασης ορθογωνίου:

;

Με παρόμοιο τρόπο, μπορείτε να αποκτήσετε γεωμετρικά χαρακτηριστικά για άλλα απλά σχήματα.

Στρογγυλό τμήμα

Είναι βολικό να το βρεις πρώτα πολική ροπή αδράνειας J p .

Στη συνέχεια, δεδομένου ότι για έναν κύκλο J z = J y, ΕΝΑ J p = J z + J y, θα βρούμε J z =Jy = Jp / 2.

Ας χωρίσουμε τον κύκλο σε απειροελάχιστους δακτυλίους πάχους drκαι ακτίνα ρ ; περιοχή ενός τέτοιου δακτυλίου dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dr. Αντικατάσταση της έκφρασης για dAσε έκφραση για Jpκαι ενσωματώνοντας, παίρνουμε

2.3. Υπολογισμός ροπών αδράνειας για παράλληλους άξονες

zΚαι y:

Απαιτείται ο προσδιορισμός των ροπών αδράνειας αυτού του τμήματος σε σχέση με τους «νέους» άξονες z 1Και y 1, παράλληλα με τα κεντρικά και σε απόσταση από αυτά έναΚαι σιαντίστοιχα:

Συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου στο «νέο» σύστημα συντεταγμένων z 1 0 1 y 1μπορεί να εκφραστεί μέσω συντεταγμένων στους «παλαιούς» άξονες zΚαι yΕτσι:

Από τα τσεκούρια zΚαι y– κεντρική και μετά στατική ροπή S z = 0.

Τέλος, μπορούμε να γράψουμε τους τύπους «μετάβασης» για παράλληλη μεταφορά αξόνων:

Σημειώστε ότι οι συντεταγμένες έναΚαι σιπρέπει να αντικατασταθεί λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο τους (στο σύστημα συντεταγμένων z 1 0 1 y 1).

2.4. Υπολογισμός ροπών αδράνειας κατά την περιστροφή αξόνων συντεταγμένων

Ας είναι γνωστές οι ροπές αδράνειας μιας αυθαίρετης τομής σε σχέση με τους κεντρικούς άξονες z, y:

; ;

Ας γυρίσουμε τα τσεκούρια z, yδιαγωνίως α αριστερόστροφα, θεωρώντας θετική τη γωνία περιστροφής των αξόνων προς αυτή την κατεύθυνση.

Απαιτείται ο προσδιορισμός των ροπών αδράνειας σε σχέση με τους «νέους» (περιστρεφόμενους) άξονες z 1Και y 1:

Συντεταγμένες του δημοτικού χώρου dAστο «νέο» σύστημα συντεταγμένων z 1 0y 1μπορεί να εκφραστεί μέσω συντεταγμένων στους «παλιούς» άξονες ως εξής:

Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στους τύπους για τις ροπές αδράνειας στους «νέους» άξονες και ενσωματώνουμε όρο προς όρο:

Έχοντας κάνει παρόμοιους μετασχηματισμούς με τις υπόλοιπες εκφράσεις, θα γράψουμε τελικά τους τύπους "μετάβασης" κατά την περιστροφή των αξόνων συντεταγμένων:

Σημειώστε ότι αν προσθέσουμε τις δύο πρώτες εξισώσεις, παίρνουμε

δηλ. η πολική ροπή αδράνειας είναι η ποσότητα αμετάβλητο(με άλλα λόγια, αμετάβλητο κατά την περιστροφή των αξόνων συντεταγμένων).

2.5. Κύριοι άξονες και κύριες ροπές αδράνειας

Μέχρι τώρα, τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των τομών σε ένα αυθαίρετο σύστημα συντεταγμένων έχουν εξεταστεί, αλλά το σύστημα συντεταγμένων στο οποίο η τομή περιγράφεται από τον μικρότερο αριθμό γεωμετρικών χαρακτηριστικών έχει μεγαλύτερο πρακτικό ενδιαφέρον. Αυτό το «ειδικό» σύστημα συντεταγμένων καθορίζεται από τη θέση των κύριων αξόνων του τμήματος. Ας παρουσιάσουμε τις έννοιες: βασικούς άξονεςΚαι κύριες στιγμές αδράνειας.

Κύριοι άξονες– δύο αμοιβαία κάθετοι άξονες, σε σχέση με τους οποίους η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας είναι μηδέν, ενώ οι αξονικές ροπές αδράνειας λαμβάνουν ακραίες τιμές (μέγιστη και ελάχιστη).

Οι κύριοι άξονες που διέρχονται από το κέντρο βάρους του τμήματος ονομάζονται βασικούς κεντρικούς άξονες.

Οι ροπές αδράνειας ως προς τους κύριους άξονες ονομάζονται κύριες στιγμές αδράνειας.

Οι κύριοι κεντρικοί άξονες συνήθως χαρακτηρίζονται με γράμματα uΚαι v; κύριες ροπές αδράνειας – J uΚαι Jv(α-πριμ J uv = 0).

Ας αντλήσουμε εκφράσεις που μας επιτρέπουν να βρούμε τη θέση των κύριων αξόνων και το μέγεθος των κύριων ροπών αδράνειας. Γνωρίζοντας ότι J uv= 0, χρησιμοποιούμε την εξίσωση (2.3):

Γωνία α 0 ορίζει τη θέση των κύριων αξόνων σε σχέση με τυχόν κεντρικούς άξονες zΚαι y. Γωνία α 0 εναποτίθεται μεταξύ του άξονα zκαι άξονα uκαι θεωρείται θετικός στην αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού.

Σημειώστε ότι εάν ένα τμήμα έχει άξονα συμμετρίας, τότε, σύμφωνα με την ιδιότητα της φυγόκεντρης ροπής αδράνειας (βλ. ενότητα 2.1, παράγραφος 4), ένας τέτοιος άξονας θα είναι πάντα ο κύριος άξονας της τομής.

Εξαιρείται η γωνία α στις παραστάσεις (2.1) και (2.2) χρησιμοποιώντας το (2.4), λαμβάνουμε τύπους για τον προσδιορισμό των κύριων αξονικών ροπών αδράνειας:

Ας γράψουμε τον κανόνα: ο μέγιστος άξονας κάνει πάντα μικρότερη γωνία με εκείνη των αξόνων (z ή y) σε σχέση με τον οποίο η ροπή αδράνειας έχει μεγαλύτερη τιμή.

2.6. Ορθολογικές μορφές διατομών

Οι κανονικές τάσεις σε ένα αυθαίρετο σημείο της διατομής μιας δοκού κατά την άμεση κάμψη προσδιορίζονται από τον τύπο:

, (2.5)

Οπου Μ– ροπή κάμψης στην υπό εξέταση διατομή. στο– απόσταση από το εν λόγω σημείο έως τον κύριο κεντρικό άξονα, κάθετο στο επίπεδοδράση ροπής κάμψης. J x– η κύρια κεντρική ροπή αδράνειας του τμήματος.

Οι μεγαλύτερες εφελκυστικές και θλιπτικές κανονικές τάσεις σε μια δεδομένη διατομή εμφανίζονται στα πιο απομακρυσμένα σημεία από τον ουδέτερο άξονα. Καθορίζονται από τους τύπους:

; ,

Οπου στο 1Και στις 2– αποστάσεις από τον κύριο κεντρικό άξονα Χστις πιο απομακρυσμένες τεντωμένες και συμπιεσμένες ίνες.

Για δοκούς από πλαστικά υλικά, όταν [σ p ] = [σ c ] ([σ p ], [σ c ] είναι οι επιτρεπόμενες τάσεις για το υλικό της δοκού σε τάση και συμπίεση, αντίστοιχα), τα τμήματα συμμετρικά ως προς τον κεντρικό άξονα είναι μεταχειρισμένος. Σε αυτήν την περίπτωση, η συνθήκη αντοχής έχει τη μορφή:

≤ [σ], (2.6)

Οπου W x = J x / y μέγ– ροπή αντίστασης της περιοχής διατομής της δοκού σε σχέση με τον κύριο κεντρικό άξονα. ymax = h/2(η– ύψος τομής). Μ μέγ– η μεγαλύτερη ροπή κάμψης σε απόλυτη τιμή. [σ] – επιτρεπόμενη τάση κάμψης του υλικού.

Εκτός από τη συνθήκη αντοχής, η δοκός πρέπει να ικανοποιεί και την κατάσταση οικονομίας. Τα πιο οικονομικά είναι εκείνα τα σχήματα διατομής για τα οποία η μεγαλύτερη ροπή αντίστασης επιτυγχάνεται με τη μικρότερη ποσότητα υλικού (ή με τη μικρότερη επιφάνεια διατομής). Προκειμένου το σχήμα του τμήματος να είναι ορθολογικό, είναι απαραίτητο, εάν είναι δυνατόν, να κατανεμηθεί το τμήμα μακριά από τον κύριο κεντρικό άξονα.

Για παράδειγμα, μια τυπική δοκός I είναι περίπου επτά φορές ισχυρότερη και τριάντα φορές πιο άκαμπτη από μια τετράγωνη δοκό ίδιας διατομής κατασκευασμένη από το ίδιο υλικό.

Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι όταν η θέση του τμήματος αλλάζει σε σχέση με το ενεργό φορτίο, η αντοχή της δοκού αλλάζει σημαντικά, αν και το εμβαδόν της διατομής παραμένει αμετάβλητο. Κατά συνέπεια, το τμήμα πρέπει να τοποθετηθεί έτσι ώστε η γραμμή δύναμης να συμπίπτει με αυτή των κύριων αξόνων σε σχέση με τους οποίους η ροπή αδράνειας είναι ελάχιστη. Θα πρέπει να προσπαθήσετε να διασφαλίσετε ότι η κάμψη της δοκού πραγματοποιείται στο επίπεδο της μεγαλύτερης ακαμψίας της.

Ας εισαγάγουμε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων O xy. Ας εξετάσουμε μια αυθαίρετη τομή (κλειστή περιοχή) με εμβαδόν Α στο επίπεδο συντεταγμένων (Εικ. 1).

Στατικές στιγμές

Σημείο C με συντεταγμένες (x C , y C)

που ονομάζεται κέντρο βάρους του τμήματος.

Εάν οι άξονες συντεταγμένων διέρχονται από το κέντρο βάρους της τομής, τότε οι στατικές ροπές της τομής είναι ίσες με μηδέν:

Αξονικές ροπές αδράνειαςΤα τμήματα που σχετίζονται με τους άξονες x και y ονομάζονται ολοκληρώματα της μορφής:

Πολική ροπή αδράνειαςΤο τμήμα ως προς την αρχή των συντεταγμένων ονομάζεται ολοκλήρωμα της μορφής:

Φυγόκεντρη ροπή αδράνειαςΤο τμήμα ονομάζεται ολοκλήρωμα της μορφής:

Οι κύριοι άξονες αδράνειας του τμήματοςλέγονται δύο αμοιβαία κάθετοι άξονες, σε σχέση με τους οποίους I xy = 0. Αν ένας από τους αμοιβαία κάθετους άξονες είναι ο άξονας συμμετρίας της τομής, τότε I xy =0 και, επομένως, αυτοί οι άξονες είναι οι κύριοι. Οι κύριοι άξονες που διέρχονται από το κέντρο βάρους του τμήματος ονομάζονται κύριοι κεντρικοί άξονες αδράνειας του τμήματος

2. Θεώρημα Steiner-Huygens για παράλληλη μετάφραση αξόνων

Θεώρημα Steiner-Huygens (θεώρημα Steiner).
Η αξονική ροπή αδράνειας του τμήματος I σε σχέση με έναν αυθαίρετο σταθερό άξονα x είναι ίση με το άθροισμα της αξονικής ροπής αδράνειας αυτού του τμήματος I με τον σχετικό άξονα x * παράλληλο προς αυτό, που διέρχεται από το κέντρο μάζας του τμήματος, και το γινόμενο του εμβαδού της διατομής Α με το τετράγωνο της απόστασης d μεταξύ των δύο αξόνων.

Εάν οι ροπές αδράνειας I x και I y σε σχέση με τους άξονες x και y είναι γνωστές, τότε σε σχέση με τους άξονες ν και u που περιστρέφονται κατά γωνία α, οι αξονικές και φυγόκεντρες ροπές αδράνειας υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Από τους παραπάνω τύπους είναι σαφές ότι

Εκείνοι. το άθροισμα των αξονικών ροπών αδράνειας όταν περιστρέφονται αμοιβαία κάθετοι άξονες δεν αλλάζει, δηλαδή οι άξονες u και v, σε σχέση με τους οποίους η φυγόκεντρη ροπή αδράνειας του τμήματος είναι μηδέν, και οι αξονικές ροπές αδράνειας I u και I v έχουν ακραίες Οι τιμές max ή min, ονομάζονται κύριοι άξονες της ενότητας. Οι κύριοι άξονες που διέρχονται από το κέντρο βάρους του τμήματος ονομάζονται βασικούς κεντρικούς άξονες του τμήματος. Για τις συμμετρικές τομές, οι άξονες συμμετρίας τους είναι πάντα οι κύριοι κεντρικοί άξονες. Η θέση των κύριων αξόνων του τμήματος σε σχέση με άλλους άξονες προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας τη σχέση:

όπου α 0 είναι η γωνία με την οποία πρέπει να περιστραφούν οι άξονες x και y έτσι ώστε να γίνουν οι κύριοι (μια θετική γωνία τίθεται συνήθως αριστερόστροφα, μια αρνητική γωνία ρυθμίζεται δεξιόστροφα). Οι αξονικές ροπές αδράνειας ως προς τους κύριους άξονες ονομάζονται κύριες στιγμές αδράνειας:

Το σύμβολο συν μπροστά από τον δεύτερο όρο αναφέρεται στη μέγιστη ροπή αδράνειας, το σύμβολο μείον στο ελάχιστο.

Ακούμε συχνά τις εκφράσεις: «είναι αδρανές», «κίνηση με αδράνεια», «στιγμή αδράνειας». ΣΕ μεταφορική σημασίαη λέξη «αδράνεια» μπορεί να ερμηνευθεί ως έλλειψη πρωτοβουλίας και δράσης. Μας ενδιαφέρει το άμεσο νόημα.

Τι είναι η αδράνεια

Σύμφωνα με τον ορισμό αδράνειαστη φυσική, είναι η ικανότητα των σωμάτων να διατηρούν μια κατάσταση ηρεμίας ή κίνησης απουσία εξωτερικών δυνάμεων.

Αν όλα είναι ξεκάθαρα με την ίδια την έννοια της αδράνειας σε ένα διαισθητικό επίπεδο, τότε στιγμή αδράνειας– ξεχωριστή ερώτηση. Συμφωνώ, είναι δύσκολο να φανταστείς στο μυαλό σου τι είναι. Σε αυτό το άρθρο θα μάθετε πώς να επιλύετε βασικά προβλήματα σχετικά με το θέμα "Ροπή αδράνειας".

Προσδιορισμός ροπής αδράνειας

Από σχολικό μάθημαείναι γνωστό ότι μάζα – μέτρο της αδράνειας ενός σώματος. Αν σπρώξουμε δύο κάρα διαφορετικών μαζών, τότε το βαρύτερο θα είναι πιο δύσκολο να σταματήσει. Δηλαδή, όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα, τόσο μεγαλύτερη είναι η εξωτερική επιρροή που απαιτείται για να αλλάξει η κίνηση του σώματος. Αυτό που θεωρείται ισχύει για τη μεταφορική κίνηση, όταν το καρότσι από το παράδειγμα κινείται σε ευθεία γραμμή.

Κατ' αναλογία με τη μάζα και τη μεταφορική κίνηση, η ροπή αδράνειας είναι ένα μέτρο της αδράνειας ενός σώματος κατά την περιστροφική κίνηση γύρω από έναν άξονα.

Ροπή αδράνειας- βαθμωτό μέγεθος φυσική ποσότητα, μέτρο της αδράνειας ενός σώματος όταν περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα. Υποδηλώνεται με το γράμμα J και στο σύστημα ΣΙ μετριέται σε κιλά επί τετραγωνικό μέτρο.

Πώς να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας; Υπάρχει ένας γενικός τύπος με τον οποίο υπολογίζεται η ροπή αδράνειας οποιουδήποτε σώματος στη φυσική. Αν ένα σώμα σπάσει σε απειροελάχιστα κομμάτια με μάζα dm , τότε η ροπή αδράνειας θα είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων αυτών των στοιχειωδών μαζών κατά το τετράγωνο της απόστασης από τον άξονα περιστροφής.

Αυτός είναι ο γενικός τύπος για τη ροπή αδράνειας στη φυσική. Για ένα υλικό σημείο μάζας Μ , περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα σε απόσταση r από αυτό, αυτός ο τύπος παίρνει τη μορφή:

Θεώρημα Steiner

Από τι εξαρτάται η ροπή αδράνειας; Από μάζα, θέση του άξονα περιστροφής, σχήμα και μέγεθος του σώματος.

Το θεώρημα Huygens-Steiner είναι ένα πολύ σημαντικό θεώρημα που χρησιμοποιείται συχνά για την επίλυση προβλημάτων.

Παρεμπιπτόντως! Για τους αναγνώστες μας υπάρχει τώρα έκπτωση 10%. κάθε είδους εργασία

Το θεώρημα Huygens-Steiner αναφέρει:

Η ροπή αδράνειας ενός σώματος σε σχέση με έναν αυθαίρετο άξονα είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας του σώματος σε σχέση με έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας παράλληλο προς έναν αυθαίρετο άξονα και το γινόμενο της μάζας του σώματος κατά το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ των αξόνων.

Για όσους δεν θέλουν να ενσωματώνονται συνεχώς κατά την επίλυση προβλημάτων εύρεσης της ροπής αδράνειας, παρουσιάζουμε ένα σχέδιο που δείχνει τις ροπές αδράνειας ορισμένων ομοιογενών σωμάτων που συναντώνται συχνά σε προβλήματα:

Παράδειγμα επίλυσης προβλήματος για εύρεση της ροπής αδράνειας

Ας δούμε δύο παραδείγματα. Το πρώτο καθήκον είναι να βρείτε τη ροπή αδράνειας. Η δεύτερη εργασία είναι να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Huygens-Steiner.

Πρόβλημα 1. Να βρείτε τη ροπή αδράνειας ενός ομογενούς δίσκου μάζας m και ακτίνας R. Ο άξονας περιστροφής διέρχεται από το κέντρο του δίσκου.

Λύση:

Ας χωρίσουμε τον δίσκο σε απείρως λεπτούς δακτυλίους, η ακτίνα των οποίων ποικίλλει από 0 πριν Rκαι σκεφτείτε ένα τέτοιο δαχτυλίδι. Ας είναι η ακτίνα του rκαι μάζα - dm. Τότε η ροπή αδράνειας του δακτυλίου είναι:

Η μάζα του δακτυλίου μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

Εδώ dz– ύψος του δαχτυλιδιού. Ας αντικαταστήσουμε τη μάζα στον τύπο της ροπής αδράνειας και ολοκληρώνουμε:

Το αποτέλεσμα ήταν ένας τύπος για τη ροπή αδράνειας ενός απόλυτου λεπτού δίσκου ή κυλίνδρου.

Πρόβλημα 2. Έστω πάλι ένας δίσκος μάζας m και ακτίνας R. Τώρα πρέπει να βρούμε τη ροπή αδράνειας του δίσκου σε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από το μέσο μιας από τις ακτίνες του.

Λύση:

Η ροπή αδράνειας του δίσκου σε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας είναι γνωστή από το προηγούμενο πρόβλημα. Ας εφαρμόσουμε το θεώρημα του Steiner και ας βρούμε:

Παρεμπιπτόντως, στο ιστολόγιό μας μπορείτε να βρείτε άλλα χρήσιμα υλικά για τη φυσική και την επίλυση προβλημάτων.

Ελπίζουμε ότι θα βρείτε κάτι χρήσιμο για τον εαυτό σας στο άρθρο. Εάν προκύψουν δυσκολίες στη διαδικασία υπολογισμού του τανυστή αδράνειας, μην ξεχνάτε την υπηρεσία φοιτητή. Οι ειδικοί μας θα συμβουλεύσουν για οποιοδήποτε θέμα και θα βοηθήσουν στην επίλυση του προβλήματος μέσα σε λίγα λεπτά.