2 Схема на Хорнер

3 функции на свободна форма

4 Намиране на корените на полиноми

Списък на използваните информационни източници

1 Намиране на корени на уравнения (Раздел на уравнение 1)

Един от най-разпространените методи за намиране на корените на уравненията е методът на Нютон и неговите модификации. Нека се изисква да се реши уравнението

. Ще приемем, че x е решение на уравнението. Нека разширим функцията f(x) в редица в точката x0 близо до точката x и се ограничим само до първите два члена на разширението.

Тъй като х е коренът на уравнението, тогава

. следователно

По този начин, ако знаем приблизителната стойност на корена на уравнението, тогава полученото уравнение ни позволява да го прецизираме. Ясно е, че процесът на прецизиране може да се повтаря многократно, докато стойността на функцията се различава от нула със стойност, по-малка от зададената точност на търсене. Следваща k-таприближението се намира по формулата

Ограничавайки разширението само до първите два члена, ние всъщност заменихме функцията f(x) с допирателна на права линия в точката x0, така че методът на Нютон се нарича още метод на допирателните. Не винаги е удобно да се намери аналитичен израз за производната на функция. Това обаче не е особено необходимо: ​​тъй като на всяка стъпка получаваме приблизителна стойност на корена, можем да използваме приблизителната стойност на производната, за да я изчислим.

Като малко количество

можете да вземете, например, дадената точност на изчисление, тогава формулата за изчисление ще приеме формата (1.1)

От друга страна, за да изчислите производната, можете да използвате стойностите на функцията, получени в двете предишни стъпки,

(1.2)

В тази форма методът се нарича секантен метод. В този случай обаче има проблем с изчисляването на първо приближение. Обикновено се приема, че

, тоест първата стъпка от изчисленията се извършва по формула (1.1), а всички следващи стъпки се извършват по формула (1.2). Именно тази изчислителна схема е реализирана в пакета Mathcad. Използвайки метода на секанса, не можем да гарантираме, че коренът е между последните две приближения. Възможно е обаче да се изчисли следващото приближение, като се използват границите на интервала, на който функцията променя знака. Този метод се нарича метод на акордите (метод на фалшива позиция).

Идеята за метода на секанса е разработена в метода на Мюлер. При този метод обаче три предходни точки се използват за намиране на следващото приближение. С други думи, методът използва интерполация не на линейна, а на квадратична функция. Формулите за изчисление на метода са както следва:

Знакът пред корена е избран така, че абсолютната стойност на знаменателя да е максимална.

Тъй като търсенето на корен приключва, когато условието е изпълнено

, тогава могат да се появят фалшиви корени. Например, за уравнение ще се появи фалшив корен, ако точността на търсене е зададена на по-малко от 0,0001. Чрез увеличаване на точността на търсенето можете да се отървете от фалшивите корени. Този подход обаче не работи за всички уравнения. Например, за уравнение, което очевидно няма реални корени, за всяка, произволно малка точност, има стойност x, която удовлетворява критерия за прекратяване на търсенето. Дадените примери показват, че резултатите от компютърните изчисления винаги трябва да се третират критично и да се анализират за правдоподобност. За да избегнете "подводни камъни", когато използвате всеки стандартен пакет, който прилага числени методи, трябва да имате поне минимална представа какъв вид числени методи се прилагат за решаване на определен проблем.

В случай, че е известен интервалът, на който се намира коренът, можете да използвате други методи за намиране на решение на уравнението.

При метода на Ридър стойността на функцията се изчислява в средата на интервала

. След това те търсят експоненциална функция, така че След това приложете метода на акордите, като използвате стойностите. Следващата стойност се изчислява по формулата (1.5)

Методът Brent съчетава скоростта на метода Ridder с гарантираната конвергенция на метода на разполовяването. Методът използва обратна квадратична интерполация, т.е. търси x като квадратична функция на y. На всяка стъпка се проверява локализацията на корена. Формулите на метода са доста тромави и няма да ги представяме.

Използват се специални методи за намиране на корените на полином. В този случай могат да бъдат намерени всички корени. След намиране на един от корените на полинома, степента на полинома може да бъде понижена, след което търсенето на корена се повтаря.

Метод на Лобачевски, метод на приближено (числено) решение алгебрични уравнения, открит независимо от белгийския математик Дж. Данделин, руския математик Н. И. Лобачевски (през 1834 г. в най-съвършен вид) и швейцарския математик К. Грефе. Същността на L. m. е да се построи уравнението f1(x) = 0, корените на което са квадратите на корените на първоначалното уравнение f(x) = 0. Тогава уравнението f2(x) = 0 е конструирано, корените на което са квадратите на корените на уравнението f1(x) = 0. Повтаряйки този процес няколко пъти, се получава уравнение, чиито корени са силно разделени. Ако всички корени на оригиналното уравнение са реални и различни по абсолютна стойност, има прости изчислителни схеми на линейни метри за намиране на приблизителни стойности на корените. При равни по абсолютна стойност на корените, както и сложни корениИзчислителните схеми на Л. м. са много сложни.

Методът на Laguerre се основава на следните отношения за полиноми

Знакът пред корена е избран така, че да се получи най-висока стойностзнаменател.

Друг метод, който се използва за намиране на корените на полиноми, е методът на придружаващата матрица. Може да се покаже, че матрицата

наречена придружаваща матрица за полинома

, има собствени стойности, равни на корените на полинома. Спомнете си, че собствените стойности на матрицата са тези числа , за които равенството или е вярно. Има много ефективни методитърсене на собствени стойности, някои от които ще обсъдим по-долу. По този начин проблемът с намирането на корените на полином може да се сведе до проблема с намирането на собствените стойности на придружаващата матрица.

2 Схема на Хорнер

Изчислението по схемата на Хорнер се оказва по-ефективно и не става много сложно. Тази схема се основава на следното полиномно представяне:

p(x) = ((... ((anx + an-1)x + an-2)x + ... + a2)x + a1)x + a0.

Нека вземем общ полином от формата:

p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Ще приемем, че всички коефициенти an, ..., a0 са известни, постоянни и се съхраняват в масив. Това означава, че единственият вход за оценка на полинома е стойността на x, а изходът на програмата трябва да бъде стойността на полинома при x.

Имоти

където - (в общия случай комплексни) корени на полинома, евентуално с повторения, докато ако сред корените на полинома има равни, тогава тяхната обща стойност се нарича множествен корен.

Намиране на корени

Методът за намиране на корените на линейни и квадратни полиноми, т.е. методът за решаване на линейни и квадратни уравнения, беше известен още през древен свят. Търсенето на формула за точното решение на общото уравнение от трета степен продължи дълго време (трябва да споменем метода, предложен от Омар Хаям), докато те бяха успешни през първата половина на 16 век в трудовете на Сципион дел Феро, Николо Тарталия и Джероламо Кардано. Формулите за корените на квадратни и кубични уравнения направиха сравнително лесно получаването на формули за корените на уравнение от четвърта степен.

Че корените общо уравнениепета степен и по-горе не се изразяват с помощта на рационални функции и радикали на коефициентите е доказано от норвежкия математик Нилс Абел през 1826 г. Това изобщо не означава, че корените на такова уравнение не могат да бъдат намерени. Първо, в конкретни случаи, с някои комбинации от коефициенти, корените на уравнението могат да бъдат определени с известна изобретателност. Второ, има формули за корените на уравнения от 5-та степен и по-високи, които обаче използват специални функции - елиптични или хипергеометрични (вижте например корена на Bring).

Ако всички коефициенти на полином са рационални, тогава намирането на неговите корени води до намиране на корените на полином с цели коефициенти. За рационални корени на такива полиноми има алгоритми за намиране на кандидати чрез изброяване с помощта на схемата на Horner, а при намиране на корени с цели числа изброяването може да бъде значително намалено чрез почистване на корените. Също така в този случай можете да използвате полиномиалния LLL алгоритъм.

За да се приближат (с необходимата точност) реалните корени на полином с реални коефициенти, се използват итеративни методи, например методът на секанса, методът на разполовяването, методът на Нютон. Броят на реалните корени на полином в интервал може да се оцени с помощта на теоремата на Щурм.

Вижте също

Бележки

Фондация Уикимедия. 2010 г.

• Канализация
• Речник на вексилологичните термини

Вижте какво е "Полиномният корен" в други речници:

Корен на алгебрично уравнение

Корен на уравнението- Коренът на полинома върху полето k е елемент, който след заместването му с x превръща уравнението в идентичност. Свойства Ако c е корен на полинома p(x ... Wikipedia

Корен от бринга- Проверете информацията. Необходимо е да се провери точността на фактите и надеждността на информацията, представена в тази статия. Трябва да има обяснения на страницата за разговори. В алгебрата коренът на Bring или ултрарадикалът е аналитична функция, така че за ... ... Wikipedia

Корен (многозначност)- Корен: Уикиречникът има запис за "корен" Корен (в ботаниката) вегетативен аксиален подземен орган на растение, което има sp ... Wikipedia

Корен (в математиката)- Коренът в математиката, 1) K. степен n от числото a ≈ числото x (означено), чиято n-та степен е равна на a (т.е. xn \u003d a). Действието за намиране на К. се нарича извличане на корен. За ¹ 0 има n различни стойности на K. (най-общо казано, ... ...

корен- I Коренът (radix) е един от основните вегетативни органи на листните растения (с изключение на мъховете), който служи за прикрепване към субстрата, абсорбиране на вода от него и хранителни вещества, първичната трансформация на редица абсорбирани вещества, ... ... Велика съветска енциклопедия

КОРЕН- 1) K. на степен n от число a число n i степен x n до rogo е равно на a. 2) K. на алгебрично уравнение над поле K, елементът k след заместването му на мястото на x превръща уравнението в тъждество. К. на това уравнение се нарича. също К. на полинома Ако е ... ... Математическа енциклопедия

множествен корен- полином f (x) = a0xn + a1xn ​​​​1 +... + an, число c такова, че f (x) се дели без остатък на втората или по-висока степен на бинома (x c). В този случай c се нарича корен на кратността, ако f (x) се дели на (x c) k, но не ... ... Велика съветска енциклопедия

спрегнат корен- Ако е даден някакъв нередуцируем полином върху пръстен и е избран част от корена му в разширението, тогава спрегнатият корен за даден корен на полином е всеки корен на полином ... Wikipedia

Корен квадратен от 2- равна на дължината на хипотенузата в правоъгълен триъгълник с дължина на краката 1. Корен квадратен от 2 е положителен ... Wikipedia

Ке елемент c ∈ K (\displaystyle c\in K)(или елемент от разширението на полето K), така че да са изпълнени следните две еквивалентни условия: a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n = 0 (\displaystyle a_(0)+a_(1)x+\dots +a_(n)x^(n)=0)

Еквивалентността на двете формулировки следва от теоремата на Безу. IN различни източнициили една от двете формулировки се избира като дефиниция, а другата се извежда като теорема.

Казват, че коренът c (\displaystyle c)То има множественост m (\displaystyle m)ако разглежданият полином се дели на (x − c) m (\displaystyle (x-c)^(m))и не се дели на (x − c) m + 1 . (\displaystyle (x-c)^(m+1).)Например полином x 2 − 2 x + 1 (\displaystyle x^(2)-2x+1)има единичен корен, равен на 1 , (\displaystyle 1,)кратност 2. Изразът "кратен корен" означава, че кратността на корена е по-голяма от единица.

Имоти

P (x) = a n (x − c 1) (x − c 2) … (x − c n) , (\displaystyle p(x)=a_(n)(x-c_(1))(x-c_( 2))\lточки (x-c_(n)),)където - (в общия случай комплексни) корени на полинома, евентуално с повторения, докато ако сред корените c 1 , c 2 , … , c n (\displaystyle c_(1),c_(2),\ldots ,c_(n))полином p (x) (\displaystyle p(x))са равни, тяхната обща стойност се нарича множествен корен.

Намиране на корени

Методът за намиране на корените на линейни и квадратни полиноми, тоест методът за решаване на линейни и квадратни уравнения, е бил известен в древния свят. Търсенето на формула за точното решение на общото уравнение от трета степен продължи дълго време (трябва да споменем метода, предложен от Омар Хаям), докато те бяха успешни през първата половина на 16 век в трудовете на Сципион дел Феро, Николо Тарталия и Джероламо Кардано. Формулите за корените на квадратни и кубични уравнения направиха сравнително лесно получаването на формули за корените на уравнение от четвърта степен.

Че корените са общи уравнения от пета степени по-горе не се изразяват с помощта на рационални функции и радикали на коефициентите, е доказано от норвежки математик

Цели на урока:

• учат учениците да решават уравнения от по-високи степени, като използват схемата на Horner;
• развиват способността за работа по двойки;
• да създаде, заедно с основните раздели на курса, основа за развитие на способностите на студентите;
• помогнете на ученика да оцени своя потенциал, развийте интерес към математиката, способността да мислите, да говорите по темата.

Оборудване:карти за работа в групи, плакат със схема на Хорнер.

Метод на обучение:лекция, разказ, обяснение, изпълнение на тренировъчни упражнения.

Форма на контрол:проверка на проблеми на самостоятелно решение, самостоятелна работа.

По време на часовете

1. Организационен момент

2. Актуализиране на знанията на учениците

Коя теорема ви позволява да определите дали числото е корен на дадено уравнение (да формулирате теорема)?

Теорема на Безу. Остатъкът от деленето на полинома P(x) на бинома x-c е равно P(c), числото c се нарича корен на полинома P(x), ако P(c)=0. Теоремата позволява, без да се извършва операцията деление, да се определи дали дадено число е корен на полином.

Какви твърдения улесняват намирането на корени?

а) Ако водещият коефициент на полинома е равен на единица, то корените на полинома трябва да се търсят сред делителите на свободния член.

б) Ако сумата от коефициентите на полином е 0, тогава един от корените е 1.

в) Ако сумата от коефициентите на четни места е равна на сумата от коефициентите на нечетни места, тогава един от корените е равен на -1.

г) Ако всички коефициенти са положителни, тогава корените на полинома са отрицателни числа.

д) Полином от нечетна степен има поне един реален корен.

3. Учене на нов материал

Когато решавате цели алгебрични уравнения, трябва да намерите стойностите на корените на полиномите. Тази операция може да бъде значително опростена, ако изчисленията се извършват по специален алгоритъм, наречен схема на Horner. Тази схема е кръстена на английския учен Уилям Джордж Хорнър. Схемата на Horner е алгоритъм за изчисляване на частното и остатъка от деленето на полином P(x) на x-c. Накратко как работи.

Нека е даден произволен полином P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. Разделянето на този полином на x-c е неговото представяне във формата P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Частен g (x) \u003d при 0 x n-1 + при n x n-2 + ... + при n-2 x + при n-1, където при 0 \u003d a 0, при n \u003d sv n- 1 + a n , n=1,2,3,…n-1. Остатък r (x) \u003d St n-1 + a n. Този метод на изчисление се нарича схема на Хорнер. Думата "схема" в името на алгоритъма се дължи на факта, че обикновено неговото изпълнение се формализира по следния начин. Първа таблица за теглене 2(n+2). В долната лява клетка се записва числото c, а в горния ред коефициентите на полинома P (x). В този случай горната лява клетка остава празна.

	при 0 = a 0	в 1 \u003d sv 1 + a 1	в 2 \u003d sv 1 + А 2		в n-1 \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=sv n-1 +a n

Числото, което след изпълнението на алгоритъма се оказва записано в долната дясна клетка, е остатъкът от деленето на полинома P(x) на x-c. Останалите числа при 0, при 1, при 2,… на долния ред са коефициентите на частното.

Например: Разделете полинома P (x) \u003d x 3 -2x + 3 на x-2.

Получаваме, че x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Затвърдяване на изучения материал

Пример 1:Факторизирайте полинома P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 с цели коефициенти.

Търсим цели корени сред делителите на свободния член -1: 1; -1. Нека направим таблица:

X \u003d -1 - корен

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Да проверим 1/2.

					X=1/2 - корен

Следователно полиномът P(x) може да бъде представен като

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Пример 2:Решете уравнението 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Тъй като сборът от коефициентите на полинома, записан в лявата страна на уравнението, е равен на нула, тогава един от корените е 1. Нека използваме схемата на Horner:

						X=1 - корен

Получаваме P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Ще търсим корени сред делителите на свободния член 2.

Разбрахме, че вече няма цели корени. Да проверим 1/2; -1/2.

					X \u003d -1/2 - корен

Отговор: 1; -1/2.

Пример 3:Решете уравнението 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Корените на това уравнение ще търсим сред делителите на свободния член 5: 1; -1; 5; -5. x=1 е коренът на уравнението, тъй като сборът на коефициентите е нула. Нека използваме схемата на Horner:

ние представяме уравнението като продукт на три фактора: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Решаване квадратно уравнение 5x 2 -7x+5=0, получихме D=49-100=-51, без корени.

Карта 1

1. Разложете полинома на множители: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Решете уравнението: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Карта 2

1. Разложете полинома на множители: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Решете уравнението: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Карта 3

1. Разложете на множители: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Решете уравнението: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Карта 4

1. Факторизиране: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Решете уравнението: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Обобщаване

Проверката на знанията при решаване по двойки се извършва в урока чрез разпознаване на начина на действие и името на отговора.

Домашна работа:

Решете уравненията:

а) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

б) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

в) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

г) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

Литература

1. Н.Я. Виленкин и др., Алгебра и началото на анализа 10 клас (задълбочено изучаване на математика): Просветление, 2005 г.
2. U.I. Сахарчук, Л.С. Сагателова, Решение на уравнения от по-високи степени: Волгоград, 2007.
3. С.Б. Гашков Числени системи и тяхното приложение.

Ако функцията f(x) е полином, тогава всички нейни корени могат да бъдат определени с помощта на вградената функция

където v е вектор, съставен от коефициентите на полинома.

Тъй като полиномът от n-та степен има точно n корена (някои от тях може да са кратни), векторът v трябва да има n+1 елемента. Резултатът от функцията polyroots() е вектор, съставен от n корена на разглеждания полином. В този случай не е необходимо да въвеждате първоначално приближение, както при функцията root (). Пример за търсене на корените на полином от четвърта степен е показан на фиг. 4.6:

Ориз. 4.6. Намиране на корена на полином

Коефициентите на полинома, разглеждан в примера, са записани като вектор-колона, започвайки от свободния член и завършвайки с коефициента на най-високата степен x n .

За функцията polyroots() можете да изберете един от двата числени метода - метода на полинома на Lugger (той е инсталиран по подразбиране) или метода на двойната матрица. За да промените метода, трябва да извикате контекстното меню, като щракнете с десния бутон върху думата polyroots и изберете LaGuerre (Lagger) или Companion Matrix (Pair matrix) в горната част на контекстното меню. След това трябва да щракнете извън действието на функцията polyroots - и ако режимът за автоматично изчисление е активиран, корените на полинома ще бъдат преизчислени в съответствие с новоизбрания метод.

За да оставите избора на метода на решение на Mathcad, трябва да поставите отметка в квадратчето AutoSelect, като изберете елемента със същото име в същото контекстно меню.

Решаване на системи от нелинейни уравнения

Да разгледаме решението на системата n нелинейни уравненияс m неизвестни

f 1 (x 1,..., x m) = 0,

f n (x 1 ,..., x m) = 0,

Тук f 1 (x 1 ,... ,х m) , ..., f n (x 1 ,... ,х m) са някои скаларни функции на скаларни променливи x 1 ,... ,х m и евентуално , от всякакви други променливи. Уравненията могат да бъдат повече или по-малко от броя на променливите. Имайте предвид, че горната система може да бъде официално пренаписана като

където x е вектор, съставен от променливи x 1 ,..., x m и f (x) е съответната векторна функция.

За решаване на системи има специална изчислителна единица, състояща се от три части, вървящи последователно една след друга:

дадено- ключова дума;

Система, написана с помощта на булеви оператори като равенства и евентуално неравенства;

Find(x 1 ,... ,x m) е вградена функция за решаване на системата по отношение на променливи x 1 ,... ,x m .

Блокът Given/Find използва итеративни методи за намиране на решение, така че, както и за функцията root(), се изисква да се зададат начални стойности за всички x 1 ,..., x m . Това трябва да се направи, преди да се напише ключовата дума Given. Стойността на функцията Find е вектор, съставен от решението за всяка променлива. По този начин броят на векторните елементи е равен на броя на аргументите Find.

Помислете за пример. Решете система от две уравнения с две неизвестни:

с точност до 0,01. Разделете графично корените.

Нека представим уравненията на системата под формата на следните функции на една променлива:

Да изберем дискретни стойностипроменливи:

Нека намерим корените на уравнението с помощта на блока Given - Find():

На фиг. 4.7 показва друг пример за решаване на система от две уравнения:

Ориз. 4.7. Решаване на система от уравнения

На първо фиг. 4.7 се въвеждат функции, които дефинират система от уравнения. Тогава на променливите x и y, по отношение на които ще се решава, се присвояват начални стойности. Това е последвано от ключовата дума Given и два оператора за булево равенство, изразяващи въпросната система от уравнения. Изчислителният блок се прекратява от функцията Find, чиято стойност се присвоява на вектора v. След това се отпечатва съдържанието на вектора v, т.е. решението на системата. Първият елемент на вектора е първият аргумент на функцията Find, вторият елемент е нейният втори аргумент. Накрая се провери правилността на решението на уравненията. Имайте предвид, че уравненията могат да бъдат дефинирани директно вътре в изчислителния блок.

Графичната интерпретация на разглежданата система е представена на фиг. 4.8. Всяко от уравненията е показано в равнината xy чрез графика. Първото уравнение е показано като крива, второто като плътна линия. Две точки на пресичане на кривите съответстват на едновременното изпълнение на двете уравнения, т.е. на желаните реални корени на системата. Както е лесно да се види, на фиг. 4.7 се намира само едно от двете решения - намира се в долната дясна част на графиката.За да намерите второто решение, трябва да повторите изчисленията, като промените първоначалните стойности, така че да лежат по-близо до друга пресечна точка на графиките, например x=-1, y=-1.

Ориз. 4.8. Графично решение на система от две уравнения

Разгледан е пример за система от две уравнения и същия брой неизвестни, която се среща най-често. Има обаче случаи, когато броят на уравненията и неизвестните може да не съвпада. Освен това към изчислителния блок могат да се добавят допълнителни условия под формата на неравенства. Например, въвеждането на ограничение за търсене само на отрицателни стойности на x в горния пример ще доведе до намиране на друго решение, както е показано на фиг. 4.9:

Ориз. 4.9. Решаване на система от уравнения и неравенства

Въпреки същите начални стойности като на фиг. 4.8, на фиг. 4.9 друг корен се получава. Това се случи именно поради въвеждането на допълнително неравенство, което е дефинирано в Given (x< 0).

Ако се направи опит за решаване на несъвместима система, Mathcad ще даде съобщение за грешка, че не е намерено решение и трябва да опитате да промените първоначалните стойности или стойността на грешката.

Изчислителната единица използва константата CTOL като оценка на грешката при решаването на уравненията, въведени след ключовата дума Given. Например, ако CTOL=0,001, тогава уравнението x=10 ще се счита за изпълнено както при x=10,001, така и при x=9,999. Друга константа TOL дефинира условието за прекратяване на итерациите от числения алгоритъм. Стойността на CTOL може да бъде зададена от потребителя по същия начин като TOL, например CTOL:=0,01. По подразбиране е CTOL=TOL=0,001, но можете да ги замените, ако желаете.

Трябва да се внимава особено, когато се решават системи с повече неизвестни от броя на уравненията. Например, едно от двете уравнения може да бъде премахнато от Фиг. 4.7, като се опитвате да решите единственото уравнение g(x, y)=0 с две неизвестни x и y. В тази формулировка проблемът има безкраен брой корени: за всяко x и, съответно, y \u003d -x / 2, условието, което определя уникалното уравнение, е изпълнено. Въпреки това, дори ако има безкрайно много корени, численият метод ще извършва изчисления само докато логическите изрази в изчислителния блок не бъдат изпълнени (в границите на грешката). След това итерациите ще бъдат спрени и ще бъде издадено решение. В резултат на това ще бъде намерена само една двойка стойности (x, y), която е намерена първа.

Изчислителната единица с функцията Find може също да намери корена на уравнение с едно неизвестно. Действието Търсене в този случай е абсолютно същото като примерите, които вече бяха обсъдени в този раздел. Проблемът за намиране на корена се разглежда като решение на система, състояща се от едно уравнение. Единствената разлика ще бъде скаларният, а не векторният тип на числото, върнато от функцията Find(). Пример за решаване на уравнението от предишния раздел е показано на фиг. 4.10.

Ориз. 4.10. Намиране на корена на уравнение с едно неизвестно с помощта на функцията Find().

Mathcad предлага три различни вида градиентни методи за решаване на система от нелинейни уравнения с помощта на блока Given – Find(). За да промените числения метод, трябва:

Щракнете с десния бутон върху името на функцията Find;

Изберете елемента Нелинейно (Нелинейно) в контекстното меню, което се показва;

Изберете един от трите метода: Конюгатен градиент (Конюгирани градиенти, инсталирани по подразбиране), Квази-Нютон (Квази-Нютонов) или Левенберг-Марквард (Левенберг).