2 Το σχήμα του Χόρνερ

3 συναρτήσεις ελεύθερης μορφής

4 Εύρεση των ριζών πολυωνύμων

Κατάλογος χρησιμοποιημένων πηγών πληροφοριών

1 Εύρεση ριζών εξισώσεων (Ενότητα 1 εξίσωσης)

Μία από τις πιο κοινές μεθόδους για την εύρεση των ριζών των εξισώσεων είναι η μέθοδος του Νεύτωνα και οι τροποποιήσεις της. Έστω ότι απαιτείται για την επίλυση της εξίσωσης

. Θα υποθέσουμε ότι το x είναι λύση της εξίσωσης. Ας επεκτείνουμε τη συνάρτηση f(x) σε μια σειρά στο σημείο x0 κοντά στο σημείο x και ας περιοριστούμε μόνο στους δύο πρώτους όρους της επέκτασης.

Αφού το x είναι η ρίζα της εξίσωσης, τότε

. Ως εκ τούτου,

Έτσι, εάν γνωρίζουμε την κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας της εξίσωσης, τότε η εξίσωση που προκύπτει μας επιτρέπει να την τελειοποιήσουμε. Είναι σαφές ότι η διαδικασία βελτίωσης μπορεί να επαναληφθεί πολλές φορές έως ότου η τιμή της συνάρτησης διαφέρει από το μηδέν κατά μια τιμή μικρότερη από την καθορισμένη ακρίβεια αναζήτησης. Επόμενο κ-οΗ προσέγγιση βρίσκεται από τον τύπο

Περιορίζοντας την επέκταση μόνο στους δύο πρώτους όρους, στην πραγματικότητα αντικαταστήσαμε τη συνάρτηση f(x) με μια ευθεία εφαπτομένη στο σημείο x0, επομένως η μέθοδος του Νεύτωνα ονομάζεται επίσης μέθοδος εφαπτομένων. Δεν είναι πάντα βολικό να βρούμε μια αναλυτική έκφραση για την παράγωγο μιας συνάρτησης. Ωστόσο, αυτό δεν είναι ιδιαίτερα απαραίτητο: αφού σε κάθε βήμα παίρνουμε μια κατά προσέγγιση τιμή της ρίζας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την κατά προσέγγιση τιμή της παραγώγου για να την υπολογίσουμε.

Ως μικρή ποσότητα

μπορείτε να πάρετε, για παράδειγμα, τη δεδομένη ακρίβεια υπολογισμού , τότε ο τύπος υπολογισμού θα πάρει τη μορφή (1.1)

Από την άλλη πλευρά, για να υπολογίσετε την παράγωγο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις τιμές της συνάρτησης που λήφθηκαν στα δύο προηγούμενα βήματα,

(1.2)

Σε αυτή τη μορφή, η μέθοδος ονομάζεται μέθοδος τομής. Σε αυτή την περίπτωση όμως υπάρχει πρόβλημα με τον υπολογισμό της πρώτης προσέγγισης. Συνήθως υποτίθεται ότι

, δηλαδή, το πρώτο βήμα των υπολογισμών πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.1) και όλα τα επόμενα βήματα εκτελούνται χρησιμοποιώντας τον τύπο (1.2). Είναι αυτό το υπολογιστικό σχήμα που υλοποιείται στο πακέτο Mathcad. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο τομής, δεν μπορούμε να εγγυηθούμε ότι η ρίζα βρίσκεται μεταξύ των δύο τελευταίων προσεγγίσεων. Είναι δυνατό, ωστόσο, να υπολογιστεί η επόμενη προσέγγιση χρησιμοποιώντας τα όρια του διαστήματος στο οποίο η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται μέθοδος συγχορδίας (falsepositionmethod).

Η ιδέα της μεθόδου τομής αναπτύσσεται στη μέθοδο του Muller. Ωστόσο, σε αυτή τη μέθοδο, χρησιμοποιούνται τρία προηγούμενα σημεία για να βρεθεί η επόμενη προσέγγιση. Με άλλα λόγια, η μέθοδος δεν χρησιμοποιεί γραμμική, αλλά τετραγωνική παρεμβολή συνάρτησης. Οι τύποι υπολογισμού της μεθόδου είναι οι εξής:

Το πρόσημο πριν από τη ρίζα επιλέγεται έτσι ώστε η απόλυτη τιμή του παρονομαστή να είναι μέγιστη.

Επειδή η ριζική αναζήτηση τελειώνει όταν πληρούται η προϋπόθεση

, τότε μπορεί να εμφανιστούν ψευδείς ρίζες. Για παράδειγμα, για μια εξίσωση, θα εμφανιστεί μια ψευδής ρίζα εάν η ακρίβεια αναζήτησης οριστεί σε μικρότερη από 0,0001. Αυξάνοντας την ακρίβεια της αναζήτησης, μπορείτε να απαλλαγείτε από τις ψευδείς ρίζες. Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση δεν λειτουργεί για όλες τις εξισώσεις. Για παράδειγμα, για μια εξίσωση που προφανώς δεν έχει πραγματικές ρίζες, για οποιαδήποτε, αυθαίρετα μικρή ακρίβεια, υπάρχει μια τιμή x που ικανοποιεί το κριτήριο για τον τερματισμό της αναζήτησης. Τα παραδείγματα που δίνονται δείχνουν ότι τα αποτελέσματα των υπολογισμών μέσω υπολογιστή πρέπει πάντα να αντιμετωπίζονται με κριτικό πνεύμα και να αναλύονται για αληθοφάνεια. Για να αποφύγετε "παγίδες" όταν χρησιμοποιείτε οποιοδήποτε τυπικό πακέτο που εφαρμόζει αριθμητικές μεθόδους, πρέπει να έχετε τουλάχιστον μια ελάχιστη ιδέα για το είδος της αριθμητικής μεθόδου που εφαρμόζεται για την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος.

Στην περίπτωση που το διάστημα στο οποίο βρίσκεται η ρίζα είναι γνωστό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε άλλες μεθόδους για να βρείτε μια λύση στην εξίσωση.

Στη μέθοδο του Ridder, η τιμή της συνάρτησης υπολογίζεται στο μέσο του διαστήματος

. Στη συνέχεια αναζητούν μια εκθετική συνάρτηση έτσι ώστε Στη συνέχεια να εφαρμόσουν τη μέθοδο των συγχορδιών, χρησιμοποιώντας τις τιμές. Η επόμενη τιμή υπολογίζεται από τον τύπο (1.5)

Η μέθοδος Brent συνδυάζει την ταχύτητα της μεθόδου Ridder με την εγγυημένη σύγκλιση της μεθόδου διχοτόμησης. Η μέθοδος χρησιμοποιεί αντίστροφη τετραγωνική παρεμβολή, δηλαδή αναζητά το x ως τετραγωνική συνάρτηση του y. Σε κάθε βήμα ελέγχεται ο εντοπισμός της ρίζας. Οι τύποι της μεθόδου είναι μάλλον δυσκίνητοι και δεν θα τους παρουσιάσουμε.

Χρησιμοποιούνται ειδικές μέθοδοι για την εύρεση των ριζών ενός πολυωνύμου. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούν να βρεθούν όλες οι ρίζες. Αφού βρεθεί μία από τις ρίζες του πολυωνύμου, ο βαθμός του πολυωνύμου μπορεί να μειωθεί και μετά επαναλαμβάνεται η αναζήτηση για τη ρίζα.

Μέθοδος Lobachevsky, μέθοδος κατά προσέγγιση (αριθμητική) λύσης αλγεβρικές εξισώσεις, που βρέθηκε ανεξάρτητα από τον Βέλγο μαθηματικό J. Dandelin, τον Ρώσο μαθηματικό N. I. Lobachevsky (το 1834 στην πιο τέλεια μορφή) και τον Ελβετό μαθηματικό K. Greffe. Η ουσία του L. m. είναι να κατασκευαστεί η εξίσωση f1(x) = 0, οι ρίζες της οποίας είναι τα τετράγωνα των ριζών της αρχικής εξίσωσης f(x) = 0. Τότε η εξίσωση f2(x) = 0 είναι κατασκευασμένο, οι ρίζες του οποίου είναι τα τετράγωνα των ριζών της εξίσωσης f1(x) = 0. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία αρκετές φορές, προκύπτει μια εξίσωση της οποίας οι ρίζες είναι έντονα διαχωρισμένες. Εάν όλες οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης είναι πραγματικές και διαφορετικές σε απόλυτη τιμή, υπάρχουν απλά υπολογιστικά σχήματα γραμμικών μέτρων για την εύρεση κατά προσέγγιση τιμών των ριζών. Στην περίπτωση ίσων σε απόλυτη τιμή των ριζών, καθώς και σύνθετες ρίζεςΤα υπολογιστικά σχήματα του L. m. είναι πολύ περίπλοκα.

Η μέθοδος του Laguerre βασίζεται στις ακόλουθες σχέσεις για πολυώνυμα

Το σημάδι μπροστά από τη ρίζα επιλέγεται με τέτοιο τρόπο ώστε να πάρει υψηλότερη τιμήπαρονομαστής.

Μια άλλη μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εύρεση των ριζών των πολυωνύμων είναι η μέθοδος του συνοδευτικού πίνακα. Μπορεί να φανεί ότι η μήτρα

ονομάζεται ο συνοδευτικός πίνακας για το πολυώνυμο

, έχει ιδιοτιμές ίσες με τις ρίζες του πολυωνύμου. Θυμηθείτε ότι οι ιδιοτιμές ενός πίνακα είναι εκείνοι οι αριθμοί  για τους οποίους η ισότητα ή είναι αληθής. Υπάρχουν πολύ αποτελεσματικές μεθόδουςαναζητήστε ιδιοτιμές, μερικές από τις οποίες θα συζητήσουμε παρακάτω. Έτσι, το πρόβλημα της εύρεσης των ριζών ενός πολυωνύμου μπορεί να μειωθεί στο πρόβλημα της εύρεσης των ιδιοτιμών του συνοδευτικού πίνακα.

2 Το σχήμα του Χόρνερ

Ο υπολογισμός σύμφωνα με το σχήμα Horner αποδεικνύεται πιο αποτελεσματικός και δεν γίνεται πολύ περίπλοκος. Αυτό το σχήμα βασίζεται στην ακόλουθη πολυωνυμική αναπαράσταση:

p(x) = ((... ((anx + an-1)x + an-2)x + ... + a2)x + a1)x + a0.

Ας πάρουμε ένα γενικό πολυώνυμο της μορφής:

p(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.

Θα υποθέσουμε ότι όλοι οι συντελεστές an, ..., a0 είναι γνωστοί, σταθεροί και αποθηκευμένοι σε έναν πίνακα. Αυτό σημαίνει ότι η μόνη είσοδος για την αξιολόγηση του πολυωνύμου είναι η τιμή του x και η έξοδος του προγράμματος πρέπει να είναι η τιμή του πολυωνύμου στο x.

Ιδιότητες

όπου - (στη γενική περίπτωση, μιγαδικές) ρίζες του πολυωνύμου, πιθανώς με επαναλήψεις, ενώ αν μεταξύ των ριζών του πολυωνύμου υπάρχουν ίσες, τότε η κοινή τους τιμή λέγεται πολλαπλή ρίζα.

Εύρεση ριζών

Η μέθοδος εύρεσης των ριζών γραμμικών και τετραγωνικών πολυωνύμων, δηλαδή η μέθοδος επίλυσης γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων, ήταν ήδη γνωστή στο αρχαίος κόσμος. Η αναζήτηση μιας φόρμουλας για την ακριβή λύση της γενικής εξίσωσης του τρίτου βαθμού συνεχίστηκε για μεγάλο χρονικό διάστημα (θα πρέπει να αναφέρουμε τη μέθοδο που πρότεινε ο Omar Khayyam), έως ότου πέτυχαν το πρώτο μισό του 16ου αιώνα στα έργα του Scipio del Ferro, Niccolo Tartaglia και Gerolamo Cardano. Οι τύποι για τις ρίζες των τετραγωνικών και των κυβικών εξισώσεων κατέστησαν σχετικά εύκολη την απόκτηση τύπων για τις ρίζες μιας εξίσωσης τέταρτου βαθμού.

Ότι οι ρίζες γενική εξίσωσηΟ πέμπτος βαθμός και άνω δεν εκφράζονται χρησιμοποιώντας ορθολογικές συναρτήσεις και ρίζες των συντελεστών αποδείχθηκε από τον Νορβηγό μαθηματικό Niels Abel το 1826. Αυτό δεν σημαίνει καθόλου ότι δεν μπορούν να βρεθούν οι ρίζες μιας τέτοιας εξίσωσης. Πρώτον, σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, με ορισμένους συνδυασμούς συντελεστών, οι ρίζες της εξίσωσης μπορούν να προσδιοριστούν με κάποια ευρηματικότητα. Δεύτερον, υπάρχουν τύποι για τις ρίζες των εξισώσεων του 5ου βαθμού και άνω, οι οποίες, ωστόσο, χρησιμοποιούν ειδικές συναρτήσεις - ελλειπτικές ή υπεργεωμετρικές (βλ., για παράδειγμα, τη ρίζα Bring).

Εάν όλοι οι συντελεστές ενός πολυωνύμου είναι ορθολογικοί, τότε η εύρεση των ριζών του οδηγεί στην εύρεση των ριζών ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές. Για τις ορθολογικές ρίζες τέτοιων πολυωνύμων, υπάρχουν αλγόριθμοι για την εύρεση υποψηφίων με απαρίθμηση χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner και όταν βρίσκουμε ακέραιες ρίζες, η απαρίθμηση μπορεί να μειωθεί σημαντικά με τον καθαρισμό των ριζών. Επίσης σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον πολυωνυμικό αλγόριθμο LLL.

Για την προσέγγιση (με οποιαδήποτε απαιτούμενη ακρίβεια) τις πραγματικές ρίζες ενός πολυωνύμου με πραγματικούς συντελεστές, χρησιμοποιούνται επαναληπτικές μέθοδοι, για παράδειγμα, η μέθοδος τομής, η μέθοδος διχοτόμησης, η μέθοδος του Νεύτωνα. Ο αριθμός των πραγματικών ριζών ενός πολυωνύμου σε ένα διάστημα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Sturm.

δείτε επίσης

Σημειώσεις

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

• Δίκτυο αποχέτευσης
• Γλωσσάρι όρων βεξιλολογίας

Δείτε τι είναι το "Polynomial Root" σε άλλα λεξικά:

Ρίζα αλγεβρικής εξίσωσης

Ρίζα της εξίσωσης- Η ρίζα του πολυωνύμου στο πεδίο k είναι ένα στοιχείο που, αφού το αντικαταστήσει με το x, μετατρέπει την εξίσωση σε ταυτότητα. Ιδιότητες Αν c είναι ρίζα του πολυωνύμου p(x ... Wikipedia

Bringa Root- Ελέγξτε τις πληροφορίες. Είναι απαραίτητο να ελέγξετε την ακρίβεια των γεγονότων και την αξιοπιστία των πληροφοριών που παρουσιάζονται σε αυτό το άρθρο. Θα πρέπει να υπάρχουν εξηγήσεις στη σελίδα συζήτησης. Στην άλγεβρα, η ρίζα Bring ή υπερριζική είναι μια αναλυτική συνάρτηση τέτοια ώστε για ... ... Wikipedia

Root (αποσαφήνιση)- Ρίζα: Το Βικιλεξικό έχει ένα λήμμα για "ρίζα" Ρίζα (στη βοτανική) ένα βλαστικό αξονικό υπόγειο όργανο ενός φυτού που έχει ένα sp ... Wikipedia

Root (στα μαθηματικά)- Η ρίζα στα μαθηματικά, 1) Κ. βαθμός n από τον αριθμό a ≈ ο αριθμός x (σημειώνεται), ο ντος βαθμός του οποίου είναι ίσος με a (δηλαδή xn \u003d a). Η δράση της εύρεσης του Κ. ονομάζεται εξαγωγή ριζών. Για ένα ¹ 0, υπάρχουν n διαφορετικές τιμές του K. (γενικά μιλώντας, ... ...

Ρίζα- Το I Root (radix) είναι ένα από τα κύρια βλαστικά όργανα των φυλλωδών φυτών (με εξαίρεση τα βρύα), που χρησιμεύει για να προσκολλάται στο υπόστρωμα, να απορροφά νερό από αυτό και ΘΡΕΠΤΙΚΕΣ ουσιες, ο πρωταρχικός μετασχηματισμός ενός αριθμού απορροφημένων ουσιών, ... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

ΡΙΖΑ- 1) Κ. βαθμού n από αριθμό α αριθμός n i βαθμός x n έως rogo ισούται με α. 2) Κ. μιας αλγεβρικής εξίσωσης πάνω σε ένα πεδίο Κ, το στοιχείο k, αφού το αντικαταστήσει στη θέση του x, μετατρέπει την εξίσωση σε ταυτότητα. Κ. αυτής της εξίσωσης ονομάζεται. επίσης Κ. του πολυωνύμου Αν είναι ... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια

πολλαπλή ρίζα- πολυώνυμο f (x) = a0xn + a1xn ​​1 +... + an, ένας αριθμός c τέτοιος ώστε η f (x) να διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με τη δεύτερη ή μεγαλύτερη δύναμη του διωνύμου (x c). Σε αυτή την περίπτωση, το c ονομάζεται ρίζα πολλαπλότητας εάν η f (x) διαιρείται με (x c) k, αλλά όχι ... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

συζευγμένη ρίζα- Εάν δοθεί κάποιο μη αναγώγιμο πολυώνυμο σε έναν δακτύλιο και επιλεγεί κάποια από τη ρίζα του στην προέκταση, τότε η συζευγμένη ρίζα για μια δεδομένη πολυωνυμική ρίζα είναι οποιαδήποτε πολυωνυμική ρίζα ... Wikipedia

Τετραγωνική ρίζα του 2- ίσο με το μήκος της υποτείνουσας σε ορθογώνιο τρίγωνο με μήκος σκελών 1. Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι θετική ... Wikipedia

κείναι ένα στοιχείο c ∈ K (\displaystyle c\in K)(ή ένα στοιχείο της επέκτασης πεδίου K) έτσι ώστε να πληρούνται οι ακόλουθες δύο ισοδύναμες συνθήκες: a 0 + a 1 x + ⋯ + a n x n = 0 (\displaystyle a_(0)+a_(1)x+\dots +a_(n)x^(n)=0)

Η ισοδυναμία των δύο διατυπώσεων προκύπτει από το θεώρημα του Bézout. ΣΕ διάφορες πηγέςείτε η μία από τις δύο διατυπώσεις επιλέγεται ως ορισμός και η άλλη συνάγεται ως θεώρημα.

Λένε ότι η ρίζα c (\displaystyle c)Εχει πολλαπλότητα m (\displaystyle m)αν το θεωρούμενο πολυώνυμο διαιρείται με (x − c) m (\displaystyle (x-c)^(m))και δεν διαιρείται με (x − c) m + 1 . (\displaystyle (x-c)^(m+1).)Για παράδειγμα, πολυώνυμο x 2 − 2 x + 1 (\displaystyle x^(2)-2x+1)έχει μια ρίζα ίση με 1 , (\displaystyle 1,)πολλαπλότητα 2. Η έκφραση «πολλαπλή ρίζα» σημαίνει ότι η πολλαπλότητα της ρίζας είναι μεγαλύτερη από μία.

Ιδιότητες

P (x) = a n (x − c 1) (x − c 2) … (x − c n) , (\displaystyle p(x)=a_(n)(x-c_(1))(x-c_( 2))\ldots (x-c_(n)),)όπου - (γενικά σύνθετες) ρίζες του πολυωνύμου, πιθανώς με επαναλήψεις, ενώ αν μεταξύ των ριζών c 1 , c 2 , … , c n (\displaystyle c_(1),c_(2),\ldots ,c_(n))πολυώνυμος p (x) (\displaystyle p(x))είναι ίσες, η κοινή τους τιμή ονομάζεται πολλαπλή ρίζα.

Εύρεση ριζών

Η μέθοδος εύρεσης των ριζών γραμμικών και τετραγωνικών πολυωνύμων, δηλαδή η μέθοδος επίλυσης γραμμικών και τετραγωνικών εξισώσεων, ήταν γνωστή στον αρχαίο κόσμο. Η αναζήτηση μιας φόρμουλας για την ακριβή λύση της γενικής εξίσωσης του τρίτου βαθμού συνεχίστηκε για μεγάλο χρονικό διάστημα (θα πρέπει να αναφέρουμε τη μέθοδο που πρότεινε ο Omar Khayyam), έως ότου πέτυχαν το πρώτο μισό του 16ου αιώνα στα έργα του Scipio del Ferro, Niccolo Tartaglia και Gerolamo Cardano. Οι τύποι για τις ρίζες των τετραγωνικών και των κυβικών εξισώσεων κατέστησαν σχετικά εύκολη την απόκτηση τύπων για τις ρίζες μιας εξίσωσης τέταρτου βαθμού.

Ότι οι ρίζες είναι κοινές εξισώσεις πέμπτου βαθμούκαι τα παραπάνω δεν εκφράζονται χρησιμοποιώντας ορθολογικές συναρτήσεις και ρίζες των συντελεστών, αποδείχθηκε από έναν Νορβηγό μαθηματικό

Στόχοι μαθήματος:

• διδάξει τους μαθητές να λύνουν εξισώσεις υψηλότερου βαθμού χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner.
• να αναπτύξουν την ικανότητα να εργάζονται σε ζευγάρια.
• να δημιουργήσει, μαζί με τις κύριες ενότητες του μαθήματος, μια βάση για την ανάπτυξη των ικανοτήτων των μαθητών·
• βοηθήστε τον μαθητή να αξιολογήσει τις δυνατότητές του, να αναπτύξει ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, την ικανότητα σκέψης, ομιλίας για το θέμα.

Εξοπλισμός:κάρτες για εργασία σε ομάδες, αφίσα με το σχέδιο του Horner.

Μέθοδος διδασκαλίας:διάλεξη, ιστορία, εξήγηση, εκτέλεση ασκήσεων κατάρτισης.

Μορφή ελέγχου:επαλήθευση προβλημάτων ανεξάρτητης λύσης, ανεξάρτητης εργασίας.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή

2. Πραγματοποίηση των γνώσεων των μαθητών

Ποιο θεώρημα σάς επιτρέπει να προσδιορίσετε εάν ο αριθμός είναι η ρίζα μιας δεδομένης εξίσωσης (για να διατυπώσετε ένα θεώρημα);

Το θεώρημα του Bezout. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) με το διώνυμο x-c ισούται P(c), ο αριθμός c ονομάζεται ρίζα του πολυωνύμου P(x) αν P(c)=0. Το θεώρημα επιτρέπει, χωρίς να εκτελείται η πράξη διαίρεσης, να προσδιοριστεί εάν ένας δεδομένος αριθμός είναι ρίζα ενός πολυωνύμου.

Ποιες δηλώσεις διευκολύνουν την εύρεση ριζών;

α) Αν ο αρχικός συντελεστής του πολυωνύμου είναι ίσος με ένα, τότε οι ρίζες του πολυωνύμου θα πρέπει να αναζητηθούν μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου.

β) Αν το άθροισμα των συντελεστών ενός πολυωνύμου είναι 0, τότε μία από τις ρίζες είναι 1.

γ) Αν το άθροισμα των συντελεστών σε ζυγά σημεία είναι ίσο με το άθροισμα των συντελεστών σε περιττές θέσεις, τότε μία από τις ρίζες είναι ίση με -1.

δ) Αν όλοι οι συντελεστές είναι θετικοί, τότε οι ρίζες του πολυωνύμου είναι αρνητικοί αριθμοί.

ε) Ένα πολυώνυμο περιττού βαθμού έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα.

3. Εκμάθηση νέου υλικού

Κατά την επίλυση ολόκληρων αλγεβρικών εξισώσεων, πρέπει να βρείτε τις τιμές των ριζών των πολυωνύμων. Αυτή η λειτουργία μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά εάν οι υπολογισμοί πραγματοποιηθούν σύμφωνα με έναν ειδικό αλγόριθμο που ονομάζεται σχήμα Horner. Αυτό το σχήμα πήρε το όνομά του από τον Άγγλο επιστήμονα William George Horner. Το σχήμα του Horner είναι ένας αλγόριθμος για τον υπολογισμό του πηλίκου και του υπολοίπου της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x-c. Εν συντομία, πώς λειτουργεί.

Έστω ένα αυθαίρετο πολυώνυμο P(x)=a 0 x n + a 1 x n-1 + ...+ a n-1 x+ a n. Η διαίρεση αυτού του πολυωνύμου με το x-c είναι η αναπαράστασή του με τη μορφή P(x)=(x-c)g(x) + r(x). Ιδιωτικό g (x) \u003d σε 0 x n-1 + σε n x n-2 + ... + σε n-2 x + σε n-1, όπου στο 0 \u003d a 0, στο n \u003d sv n- 1 + a n , n=1,2,3,…n-1. Υπόλοιπο r (x) \u003d St n-1 + a n. Αυτή η μέθοδος υπολογισμού ονομάζεται σχήμα Horner. Η λέξη "σχήμα" στο όνομα του αλγορίθμου οφείλεται στο γεγονός ότι συνήθως η εκτέλεσή του επισημοποιείται ως εξής. Πρώτη σχεδίαση πίνακα 2 (n+2). Ο αριθμός c γράφεται στο κάτω αριστερό κελί και οι συντελεστές του πολυωνύμου P (x) γράφονται στην επάνω γραμμή. Σε αυτήν την περίπτωση, το επάνω αριστερό κελί παραμένει κενό.

	στο 0 = a 0	σε 1 \u003d sv 1 + a 1	σε 2 \u003d sv 1 + ΕΝΑ 2		σε n-1 \u003d sv n-2 +a n-1	r(x)=f(c)=sv n-1 +a n

Ο αριθμός, που μετά την εκτέλεση του αλγορίθμου αποδεικνύεται ότι είναι γραμμένος στο κάτω δεξιό κελί, είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου P(x) με το x-c. Οι άλλοι αριθμοί στο 0 , στο 1 , στο 2 ,… της κάτω σειράς είναι οι συντελεστές του πηλίκου.

Για παράδειγμα: Διαιρέστε το πολυώνυμο P (x) \u003d x 3 -2x + 3 με το x-2.

Παίρνουμε ότι x 3 -2x + 3 \u003d (x-2) (x 2 + 2x + 2) + 7.

4. Εμπέδωση της μελετημένης ύλης

Παράδειγμα 1:Παραγοντοποιήστε το πολυώνυμο P(x)=2x4-7x 3 -3x 2 +5x-1 με ακέραιους συντελεστές.

Αναζητούμε ακέραιες ρίζες μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου -1: 1; -1. Ας κάνουμε έναν πίνακα:

X \u003d -1 - ρίζα

P (x) \u003d (x + 1) (2x 3 -9x 2 + 6x -1)

Ας ελέγξουμε το 1/2.

					Χ=1/2 - ρίζα

Επομένως, το πολυώνυμο P(x) μπορεί να αναπαρασταθεί ως

P (x) \u003d (x + 1) (x-1/2) (x 2 -8x +2) \u003d (x + 1) (2x -1) (x 2 - 4x +1)

Παράδειγμα 2:Λύστε την εξίσωση 2x 4 - 5x 3 + 5x 2 - 2 = 0

Εφόσον το άθροισμα των συντελεστών του πολυωνύμου που γράφεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι ίσο με μηδέν, τότε μία από τις ρίζες είναι 1. Ας χρησιμοποιήσουμε το σχήμα του Horner:

						Χ=1 - ρίζα

Παίρνουμε P (x) \u003d (x-1) (2x 3 -3x 2 \u003d 2x +2). Θα αναζητήσουμε ρίζες μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου 2.

Ανακαλύψαμε ότι δεν υπάρχουν πλέον ολόκληρες ρίζες. Ας ελέγξουμε το 1/2. -1/2.

					X \u003d -1/2 - ρίζα

Απάντηση: 1; -1/2.

Παράδειγμα 3:Λύστε την εξίσωση 5x 4 - 3x 3 - 4x 2 -3x + 5 = 0.

Θα αναζητήσουμε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου 5: 1, -1, 5, -5. x=1 είναι η ρίζα της εξίσωσης, αφού το άθροισμα των συντελεστών είναι μηδέν. Ας χρησιμοποιήσουμε το σχήμα του Horner:

αντιπροσωπεύουμε την εξίσωση ως γινόμενο τριών παραγόντων: (x-1) (x-1) (5x 2 -7x + 5) \u003d 0. Αποφασίζοντας τετραγωνική εξίσωση 5x 2 -7x+5=0, πήρε D=49-100=-51, χωρίς ρίζες.

Κάρτα 1

1. Συντελεστής το πολυώνυμο: x 4 +3x 3 -5x 2 -6x-8
2. Λύστε την εξίσωση: 27x 3 -15x 2 +5x-1=0

Κάρτα 2

1. Συντελεστής το πολυώνυμο: x 4 -x 3 -7x 2 + 13x-6
2. Λύστε την εξίσωση: x 4 +2x 3 -13x 2 -38x-24=0

Κάρτα 3

1. Factorize: 2x 3 -21x 2 + 37x + 24
2. Λύστε την εξίσωση: x 3 -2x 2 +4x-8=0

Κάρτα 4

1. Factorize: 5x 3 -46x 2 + 79x-14
2. Λύστε την εξίσωση: x 4 +5x 3 +5x 2 -5x-6=0

5. Συνοψίζοντας

Ο έλεγχος της γνώσης κατά την επίλυση σε ζευγάρια πραγματοποιείται στο μάθημα αναγνωρίζοντας τη μέθοδο δράσης και το όνομα της απάντησης.

Εργασία για το σπίτι:

Λύστε τις εξισώσεις:

α) x 4 -3x 3 +4x 2 -3x + 1 \u003d 0

β) 5x 4 -36x 3 +62x 2 -36x+5=0

γ) x 4 + x 3 + x + 1 \u003d 4 x 2

δ) x 4 + 2x 3 -x-2 \u003d 0

Βιβλιογραφία

1. N.Ya. Vilenkin et al., Algebra and the Beginnings of Analysis Grade 10 (σε βάθος μελέτη των μαθηματικών): Διαφωτισμός, 2005.
2. U.I. Sakharchuk, L.S. Sagatelova, Επίλυση εξισώσεων υψηλότερων βαθμών: Βόλγκογκραντ, 2007.
3. S.B. GashkovΑριθμητικά συστήματα και η εφαρμογή τους.

Εάν η συνάρτηση f(x) είναι πολυώνυμο, τότε όλες οι ρίζες της μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας την ενσωματωμένη συνάρτηση

όπου v είναι ένα διάνυσμα που αποτελείται από τους συντελεστές του πολυωνύμου.

Δεδομένου ότι το πολυώνυμο nου βαθμού έχει ακριβώς n ρίζες (μερικές από αυτές μπορεί να είναι πολλαπλές), το διάνυσμα v πρέπει να έχει n+1 στοιχεία. Το αποτέλεσμα της συνάρτησης polyroots() είναι ένα διάνυσμα που αποτελείται από n ρίζες του εξεταζόμενου πολυωνύμου. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν χρειάζεται να εισαγάγετε καμία αρχική προσέγγιση, όπως για τη συνάρτηση ρίζας (). Ένα παράδειγμα αναζήτησης για τις ρίζες ενός πολυωνύμου τέταρτου βαθμού φαίνεται στο Σχ. 4.6:

Ρύζι. 4.6. Εύρεση της ρίζας ενός πολυωνύμου

Οι συντελεστές του πολυωνύμου που εξετάζονται στο παράδειγμα γράφονται ως διάνυσμα στήλης ξεκινώντας από τον ελεύθερο όρο και τελειώνοντας με τον συντελεστή στον υψηλότερο βαθμό x n .

Για τη συνάρτηση polyroots(), μπορείτε να επιλέξετε μία από τις δύο αριθμητικές μεθόδους - την πολυωνυμική μέθοδο Lugger (είναι εγκατεστημένη από προεπιλογή) ή τη μέθοδο matrix ζεύγους. Για να αλλάξετε τη μέθοδο, πρέπει να καλέσετε το μενού περιβάλλοντος κάνοντας δεξί κλικ στη λέξη polyroots και να επιλέξετε είτε LaGuerre (Lagger) είτε Companion Matrix (Pair matrix) στο επάνω μέρος του μενού περιβάλλοντος. Στη συνέχεια, πρέπει να κάνετε κλικ εκτός της δράσης της συνάρτησης polyroots - και εάν είναι ενεργοποιημένη η αυτόματη λειτουργία υπολογισμού, οι πολυωνυμικές ρίζες θα υπολογιστούν εκ νέου σύμφωνα με τη νέα επιλεγμένη μέθοδο.

Για να αφήσετε την επιλογή της μεθόδου λύσης στο Mathcad, πρέπει να ελέγξετε το πλαίσιο ελέγχου AutoSelect επιλέγοντας το ομώνυμο στοιχείο στο ίδιο μενού περιβάλλοντος.

Επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων

Θεωρήστε τη λύση του συστήματος n μη γραμμικές εξισώσειςμε μ αγνώστους

f 1 (x 1,..., x m) = 0,

f n (x 1 ,..., x m) = 0,

Εδώ f 1 (x 1 ,... ,х m) , ..., f n (x 1 ,... ,х m) είναι μερικές βαθμωτές συναρτήσεις βαθμωτών μεταβλητών x 1 ,... ,х m και πιθανώς , από οποιεσδήποτε άλλες μεταβλητές. Οι εξισώσεις μπορεί να είναι είτε περισσότερες είτε λιγότερες από τον αριθμό των μεταβλητών. Σημειώστε ότι το παραπάνω σύστημα μπορεί να ξαναγραφτεί επίσημα ως

όπου x είναι ένα διάνυσμα που αποτελείται από μεταβλητές x 1 ,..., x m , και f (x) είναι η αντίστοιχη διανυσματική συνάρτηση.

Για την επίλυση συστημάτων, υπάρχει μια ειδική υπολογιστική μονάδα, που αποτελείται από τρία μέρη, τα οποία πηγαίνουν διαδοχικά το ένα μετά το άλλο:

δεδομένος- λέξη-κλειδί;

Ένα σύστημα γραμμένο χρησιμοποιώντας Boolean τελεστές ως ισότητες και πιθανώς ανισότητες.

Το Find(x 1 ,... ,x m) είναι μια ενσωματωμένη συνάρτηση για την επίλυση του συστήματος σε σχέση με τις μεταβλητές x 1 ,... ,x m .

Το μπλοκ Given/Find χρησιμοποιεί επαναληπτικές μεθόδους για να βρει μια λύση, επομένως, όσον αφορά τη συνάρτηση root(), απαιτείται να καθορίσετε αρχικές τιμές για όλα τα x 1 ,..., x m . Αυτό πρέπει να γίνει πριν γράψετε τη λέξη-κλειδί Δεδομένη. Η τιμή της συνάρτησης Εύρεση είναι ένα διάνυσμα που αποτελείται από τη λύση για κάθε μεταβλητή. Έτσι, ο αριθμός των διανυσματικών στοιχείων είναι ίσος με τον αριθμό των ορισμάτων Εύρεση.

Εξετάστε ένα παράδειγμα. Να λύσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους:

με ακρίβεια 0,01. Διαχωρίστε τις ρίζες γραφικά.

Ας αναπαραστήσουμε τις εξισώσεις του συστήματος με τη μορφή των παρακάτω συναρτήσεων μιας μεταβλητής:

Ας διαλέξουμε διακριτές τιμέςμεταβλητές:

Ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης χρησιμοποιώντας το μπλοκ Given - Find():

Στο σχ. Το 4.7 δείχνει ένα άλλο παράδειγμα επίλυσης συστήματος δύο εξισώσεων:

Ρύζι. 4.7. Επίλυση συστήματος εξισώσεων

Στην αρχή το σχ. 4.7, εισάγονται συναρτήσεις που ορίζουν ένα σύστημα εξισώσεων. Στη συνέχεια, οι μεταβλητές x και y, ως προς τις οποίες θα αποφασιστεί, αποδίδονται αρχικές τιμές. Ακολουθεί η λέξη κλειδί Δεδομένη και δύο τελεστές ισότητας Boole που εκφράζουν το εν λόγω σύστημα εξισώσεων. Το υπολογιστικό μπλοκ τερματίζεται από τη συνάρτηση Find, της οποίας η τιμή εκχωρείται στο διάνυσμα v. Μετά από αυτό, εκτυπώνεται το περιεχόμενο του διανύσματος v, δηλαδή η λύση του συστήματος. Το πρώτο στοιχείο του διανύσματος είναι το πρώτο όρισμα της συνάρτησης Find, το δεύτερο στοιχείο είναι το δεύτερο όρισμα. Στο τέλος ελέγχθηκε η ορθότητα της λύσης των εξισώσεων. Σημειώστε ότι οι εξισώσεις μπορούν να οριστούν απευθείας μέσα στο υπολογιστικό μπλοκ.

Η γραφική ερμηνεία του εξεταζόμενου συστήματος παρουσιάζεται στο σχήμα. 4.8. Κάθε μία από τις εξισώσεις φαίνεται στο επίπεδο xy με ένα γράφημα. Η πρώτη εξίσωση εμφανίζεται ως καμπύλη, η δεύτερη ως συμπαγής γραμμή. Δύο σημεία τομής των καμπυλών αντιστοιχούν στην ταυτόχρονη εκπλήρωση και των δύο εξισώσεων, δηλαδή στις επιθυμητές πραγματικές ρίζες του συστήματος. Όπως γίνεται εύκολα αντιληπτό, στο Σχ. 4.7, βρίσκεται μόνο μία από τις δύο λύσεις - βρίσκεται στο κάτω δεξιό μέρος του γραφήματος. Για να βρείτε τη δεύτερη λύση, θα πρέπει να επαναλάβετε τους υπολογισμούς, αλλάζοντας τις αρχικές τιμές έτσι ώστε να βρίσκονται πιο κοντά σε άλλο σημείο τομής του τα γραφήματα, για παράδειγμα x=-1, y=-1.

Ρύζι. 4.8. Γραφική λύση συστήματος δύο εξισώσεων

Εξετάστηκε ένα παράδειγμα συστήματος δύο εξισώσεων και ίδιου αριθμού αγνώστων, το οποίο εμφανίζεται πιο συχνά. Ωστόσο, υπάρχουν περιπτώσεις που ο αριθμός των εξισώσεων και των αγνώστων μπορεί να μην συμπίπτουν. Επιπλέον, στο υπολογιστικό μπλοκ μπορούν να προστεθούν επιπλέον συνθήκες με τη μορφή ανισοτήτων. Για παράδειγμα, η εισαγωγή ενός περιορισμού για αναζήτηση μόνο αρνητικών τιμών του x στο παραπάνω παράδειγμα θα οδηγήσει στην εύρεση μιας άλλης λύσης, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.9:

Ρύζι. 4.9. Επίλυση συστήματος εξισώσεων και ανισώσεων

Παρά τις ίδιες αρχικές τιμές όπως στο Σχ. 4.8, στην εικ. 4.9 λαμβάνεται άλλη ρίζα. Αυτό συνέβη ακριβώς λόγω της εισαγωγής μιας πρόσθετης ανισότητας, η οποία ορίζεται στο Δεδομένο (x< 0).

Εάν γίνει προσπάθεια επίλυσης ενός μη συμβατού συστήματος, το Mathcad θα δώσει ένα μήνυμα σφάλματος ότι δεν βρέθηκε λύση και πρέπει να δοκιμάσετε να αλλάξετε τις αρχικές τιμές ή την τιμή σφάλματος.

Η μονάδα υπολογισμού χρησιμοποιεί τη σταθερά CTOL ως εκτίμηση του σφάλματος στην επίλυση των εξισώσεων που εισάγονται μετά τη λέξη-κλειδί Δεδομένη. Για παράδειγμα, αν CTOL=0,001, τότε η εξίσωση x=10 θα θεωρηθεί εκπληρωμένη τόσο στο x=10,001 όσο και στο x=9,999. Ένα άλλο σταθερό TOL ορίζει την συνθήκη για τον τερματισμό των επαναλήψεων με τον αριθμητικό αλγόριθμο. Η τιμή του CTOL μπορεί να οριστεί από τον χρήστη με τον ίδιο τρόπο όπως το TOL, για παράδειγμα, CTOL:=0,01. Η προεπιλογή είναι CTOL=TOL=0,001, αλλά μπορείτε να τα παρακάμψετε αν θέλετε.

Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δίνεται κατά την επίλυση συστημάτων με περισσότερα άγνωστα από τον αριθμό των εξισώσεων. Για παράδειγμα, μία από τις δύο εξισώσεις μπορεί να αφαιρεθεί από το Σχ. 4.7 προσπαθώντας να λύσουμε τη μοναδική εξίσωση g(x, y)=0 με δύο αγνώστους x και y. Σε αυτήν τη διατύπωση, το πρόβλημα έχει άπειρο αριθμό ριζών: για κάθε x και, κατά συνέπεια, y = -x / 2, ικανοποιείται η συνθήκη που καθορίζει τη μοναδική εξίσωση. Ωστόσο, ακόμα κι αν υπάρχουν άπειρες ρίζες, η αριθμητική μέθοδος θα εκτελέσει υπολογισμούς μόνο μέχρι να εκπληρωθούν οι λογικές εκφράσεις στο υπολογιστικό μπλοκ (εντός του περιθωρίου σφάλματος). Μετά από αυτό, οι επαναλήψεις θα σταματήσουν και θα εκδοθεί μια λύση. Ως αποτέλεσμα, θα βρεθεί μόνο ένα ζεύγος τιμών (x, y), το οποίο βρέθηκε πρώτο.

Η υπολογιστική μονάδα με τη συνάρτηση Find μπορεί επίσης να βρει τη ρίζα μιας εξίσωσης με έναν άγνωστο. Η ενέργεια Εύρεση σε αυτήν την περίπτωση είναι ακριβώς η ίδια με τα παραδείγματα που έχουν ήδη συζητηθεί σε αυτήν την ενότητα. Το πρόβλημα της εύρεσης της ρίζας θεωρείται ως λύση σε ένα σύστημα που αποτελείται από μία εξίσωση. Η μόνη διαφορά θα είναι ο βαθμωτός και όχι ο διανυσματικός τύπος του αριθμού που επιστρέφεται από τη συνάρτηση Find(). Ένα παράδειγμα επίλυσης της εξίσωσης από την προηγούμενη ενότητα φαίνεται στο σχ. 4.10.

Ρύζι. 4.10. Εύρεση της ρίζας μιας εξίσωσης με έναν άγνωστο χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Find().

Το Mathcad προσφέρει τρία διαφορετικά είδη μεθόδων κλίσης για την επίλυση ενός συστήματος μη γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το μπλοκ Given – Find(). Για να αλλάξετε την αριθμητική μέθοδο, πρέπει:

Κάντε δεξί κλικ στο όνομα της συνάρτησης Εύρεση.

Επιλέξτε το στοιχείο Μη Γραμμικό (Μη Γραμμικό) στο μενού περιβάλλοντος που εμφανίζεται.

Επιλέξτε μία από τις τρεις μεθόδους: Σύζευξη διαβάθμισης (Συζευγμένες διαβαθμίσεις, εγκατεστημένες από προεπιλογή), Quasi-Newton (Quasi-Newtonian) ή Levenberg-Marquardt (Levenberg).